弹性：胡克定律、应力与应变

入门

挤压海绵、拉伸橡皮筋或弯折塑料尺，然后松手：它们都会弹回。

第1步。弹性还是非弹性？如果去掉外力后材料能恢复原来的形状，它就是弹性的。按这一标准，钢比橡胶更有弹性：钢很难变形，但几乎能完全弹回。模型黏土和面团正好相反：你压成什么形状，它们就保持什么形状。

第2步。胡克定律。在弹簧上挂一个砝码，它会伸长一点。再挂一个相同的砝码，它会再伸长同样的量：重量加倍，伸长也加倍。罗伯特·胡克（1678年）把它写成 $F=kx$：拉力 $F$ 等于一个数 $k$ 乘以伸长量 $x$。

第3步。劲度。数 $k$ 表示弹簧有多硬。玩具的螺旋弹簧很软（$k$ 小）；汽车悬挂弹簧很硬（$k$ 大），因此同样的负载使它伸长得少得多。

第4步。能量与极限。被拉伸的弹簧储存能量，释放时把能量还给外界：弹弓和蹦床就是这样工作的。但拉得过猛，弹簧就会超过弹性极限：它将永久变长，无法恢复原长。

自我检测：一根弹簧在 5 N 的重量下伸长 2 cm。在 15 N 的拉力下（仍低于弹性极限），它伸长多少？（6 cm：力为三倍，伸长也为三倍。）

在动画中，相同的砝码一次挂一个。每一个都使红色指针沿刻度尺下移相同的一格（绿色标记），绿色条形也按相等的步长增长。取下砝码后，弹簧恰好回到出发时的虚线位置。

中级

负载、伸长量与劲度系数

在弹簧上挂一个负载，弹簧就会变长。关键在于长度的变化量，即伸长量 $x=L-L_0$，其中 $L_0$ 为自然长度，$L$ 为受载时的长度；在动画中，它从虚线处开始测量。被压缩的弹簧，$x$ 为负值。

罗伯特·胡克于1678年发表：在一定限度内，伸长量与引起它的力成正比：负载加倍，伸长量也加倍。
$F=kx$

常数 $k$ 称为弹簧常数，或劲度系数，单位是牛顿每米（N/m）：即每米伸长所需的力。将负载除以它所产生的伸长量即可求得：
$k=\frac{F}{x}$
玩具螺旋弹簧约为 1 N/m，动画中的弹簧为 25 N/m，汽车悬挂弹簧约为 30 000 N/m。

弹簧会以大小相同的回复力拉回，方向与伸长相反：需要考虑正负号时写作 $F=-kx$。静止悬挂的质量处于平衡状态，因此 $kx=mg$，这就是弹簧秤称重的原理。在动画中，蓝色的 $kx$ 箭头和红色的 $F$ 箭头始终等长；在放下砝码的过程中，灰色托盘箭头承担其余的重量。

能量与力–伸长量图像

以伸长量为横坐标作图，负载给出一条过原点的直线，其斜率为 $k$：刚硬的弹簧直线陡，柔软的弹簧直线缓。只有在弹性极限之内，各点才落在这条直线上。低于弹性极限时，卸载后弹簧恢复到原来的自然长度；超过弹性极限，直线弯曲，弹簧将永久变长，这就是塑性形变。

直线下的面积是拉伸所做的功，以弹性势能的形式储存。拉力从 0 均匀增加到 $kx$，因此其平均值为终值的一半，面积为三角形：
$U=\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}Fx$
伸长量加倍，储存的能量变为四倍；弓或弹弓在释放时把能量还回来。

串联与并联弹簧

将两根弹簧一上一下连接（串联），每根都承受全部负载，因此伸长量相加：$x=F/k_1+F/k_2$。两边除以 $F$，得到
$\text{series}:\frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$

将负载挂在两根并排的弹簧上（并联），两根弹簧由一根横杆连接，使其伸长量相等，它们分担负载，因此其力相加：
$\text{parallel}:k=k_1+k_2$

两根与动画中相同的弹簧串联得到 12.5 N/m，并联得到 50 N/m：串联组合比任一根弹簧都软，并联组合更硬。一根弹簧也可以看作两半串联，因此动画中弹簧的每一半都具有 50 N/m。

例题：动画中的弹簧

动画中每个砝码重 1.0 N（质量 $1.0/9.81\approx 0.102\mathrm{kg}$），使指针沿刻度尺下移 4.0 cm。由表格第一行可得
$k=\frac{F}{x}=\frac{1.0\mathrm{N}}{0.040\mathrm{m}}=25N/m$

其余各行，从 2.0 N 对应 0.08 m 到 4.0 N 对应 0.16 m，在最后一列给出相同的比值：这一恒定比值就是胡克定律。挂上全部四个砝码时，$x=F/k=4.0/25=0.16\mathrm{m}$。这正是四个砝码都挂上后的 $F$ 和 $x$ 读数，即 4.0 N 与 16 cm，绿色的 $x$ 箭头跨越刻度尺上的 16 cm。

此时储存的能量为 $U=\frac{1}{2}\cdot 25\cdot 0.16^2=0.32\mathrm{J}$，也等于 $\frac{1}{2}\cdot 4.0\cdot 0.16$。挂上一、二、三个砝码后，能量分别为 0.02、0.08 和 0.18 J：每个砝码都增加相同的 4 cm，但第四个砝码增加 0.14 J，是第一个的七倍，因为此时弹簧已经以 3.0 N 的力拉伸。取下砝码后，$x$ 回到零，能量也随之释放，因为 4.0 N 低于 5.5 N（22 cm）的弹性极限。再挂第五个砝码仍然安全；挂第六个则不行。

应力、应变与杨氏模量

劲度系数属于某一个物体，而非其材料。两倍长的金属丝在相同负载下伸长两倍；横截面积为两倍的金属丝，要得到相同的伸长量需要两倍的力。要描述材料本身，应将力除以面积，将伸长量除以原长：
$\sigma =\frac{F}{A},\epsilon =\frac{\Delta L}{L_0}$

应力 $\sigma$ 的单位是帕斯卡（$1\mathrm{Pa}=1N/{\mathrm{m}}^2$，$1\mathrm{MPa}=1N/m{\mathrm{m}}^2$）；应变 $\epsilon$ 是无量纲的纯数，常以百分数表示。在线性区域内两者成正比，其比值即杨氏模量：
$E=\frac{\sigma }{\epsilon }$

钢的杨氏模量约为 200 GPa，铝和玻璃约为 70 GPa，木材沿木纹方向约为 10 GPa，橡胶则只有 0.01–0.1 GPa。这三个关系式共同给出任何金属丝或杆件的伸长量：
$\Delta L=\frac{F{L}_0}{AE}$
因此，均匀的金属丝就是一根劲度系数为 $k=AE/L_0$ 的弹簧：越长越软，越粗越硬。

例题：受载的钢丝

一根长 2.0 m、直径 1.0 mm 的钢丝悬挂着 10 kg 的质量。它会伸长多少？负载即重力 $F=mg=10\cdot 9.81=98.1\mathrm{N}$，横截面为圆形：
$A=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi \cdot (1.0\times 10^{-3}{)}^2}{4}=7.85\times 10^{-7}{\mathrm{m}}^2$

应力 $\sigma =98.1/(7.85\times 10^{-7})=1.25\times 10^8\mathrm{Pa}$，即 125 MPa。除以 $E=200\mathrm{GPa}$ 得到应变 $\epsilon =1.25\times 10^8/(2.0\times 10^{11})=6.25\times 10^{-4}$，约为 0.06%。伸长量为
$\Delta L=\epsilon L_0=6.25\times 10^{-4}\cdot 2.0=1.25\times 10^{-3}\mathrm{m}$
即 1.25 mm。

作为弹簧，该钢丝的 $k=AE/L_0\approx 7.9\times 10^{4}N/m$，约为动画中弹簧的 3000 倍。其 125 MPa 的应力仅为普通结构钢屈服应力（约 250 MPa）的一半，因此卸载后能完全恢复。直径加倍、面积为四倍的钢丝，伸长量只有约 0.31 mm。

常见错误

• 用长度代替伸长量：一根 20 cm 的弹簧被拉到 24 cm，其 $x=4\mathrm{cm}$，而不是 24 cm。
• 厘米和米混用：1.0 N 对应 4.0 cm 时，$1.0/0.040=25N/m$，而不是 $1.0/4.0=0.25$。
• 把质量当作力：0.20 kg 的质量以其重力拉伸，即 $0.20\cdot 9.81=1.96\mathrm{N}$，而不是 0.20 N。
• 忘记二分之一：伸长 16 cm 时，动画中的弹簧储存 $\frac{1}{2}Fx=0.32\mathrm{J}$，而不是 $Fx=0.64\mathrm{J}$，因为拉伸初期的力较小。
• 以为串联弹簧更硬：两根 25 N/m 的弹簧一上一下连接得到 12.5 N/m，因为每根弹簧都承受全部负载。

应用场合

弹簧秤、汽车悬挂、床垫、手表游丝以及圆珠笔中的弹簧，都依赖 $F=kx$。电子秤使用应变片，即一种金属箔，其电阻随拉伸而变化，能感应百万分之几的应变。桥梁、起重机和飞机的设计都要使每个应力都远在线性区域之内。

挂在弹簧上的质量被下拉后释放便会振动，这就是《简谐运动》的内容，随后是《阻尼与共振》。固体中的声速由其杨氏模量决定（见《波的基础》），而受热时无法伸长的铁轨会承受应力（见《热膨胀》）。

高级

为何小变形是线性的

图例

$U$	两原子对的势能：实线，取任意零点为基准。	$\mathrm{J}$
$x$	两原子之间的间距。	$\mathrm{m}$
$x_0$	平衡间距，位于势阱底部。	$\mathrm{m}$
$\frac{1}{2}k(x-x_0{)}^2$	具有相同谷底和曲率的理想弹簧的能量：即虚线抛物线。	$\mathrm{J}$
$k$	该弹簧的劲度，等于势阱底部的曲率 $U^{\prime \prime }(x_0)$。	$N/m$

胡克定律指出，使物体发生形变所需的力与形变成正比。它不像能量守恒那样是基本原理。当位移很小时，几乎任何光滑的力都呈现这种形式，图 1 说明了原因。

实线 $U$ 是固体中相邻两个原子的势能，作为它们间距 $x$ 的函数。原子在远距离上相互吸引，在近距离上急剧排斥；两种作用都源于电相互作用。二者共同形成一个势阱，其最低点即平衡间距 $x_0$。在左侧，原子被挤压靠近，曲线急剧上升。在右侧，原子被拉开，曲线趋于平缓，拉得足够远时，化学键便断裂。

虚线抛物线 $\frac{1}{2}k(x-x_0{)}^2$ 是理想弹簧的能量，它与实际曲线有相同的谷底和相同的曲率。先看 $x_0$ 附近：那里两条曲线很难区分。再看 $x_0$ 两侧等距处的两条虚线竖线。竖线上的点标出两条曲线开始分离的位置：在被压缩的一侧（左），真实曲线位于抛物线上方；在被拉伸的一侧（右），则位于其下方。

为使其精确，将 $U$ 在极小值处展开为泰勒级数：
$U(x)=U(x_0)+U^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}{U}^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2+\frac{1}{6}{U}^{\prime \prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^3+\cdots$

每一项都带有更高次的位移幂 $x-x_0$，因此对于小位移，每一项都远小于前一项。第一项是常数，不产生力。第二项为零，因为 $U$ 在极小值处的斜率为零：$U^{\prime }(x_0)=0$。对剩余部分求导即得力 $F=-dU/dx$：
$F=-k(x-x_0)-\frac{1}{2}{U}^{\prime \prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2,k=U^{\prime \prime }(x_0)$

第一项就是胡克定律。位移足够小时，无论势阱形状如何，它都胜过第二项，这就是为什么同一个定律既适用于分子键，也适用于钢缆和桥梁。劲度 $k$ 即势阱底部的曲率，而 $k>0$ 正是稳定平衡的条件：无论向哪一侧位移，原子都会被推回。

第二项衡量势阱的不对称程度：它就是图 1 中两条曲线之间的差距。真实的化学键压缩比拉伸更困难，因此 $U^{\prime \prime \prime }(x_0)<0$，附加力 $-\frac{1}{2}{U}^{\prime \prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2$ 在两侧都为正。键被拉伸（$x>x_0$）时，附加力与回复拉力方向相反，键变软；键被压缩（$x<x_0$）时，附加力与回复推力叠加，键变硬。这一修正很小：钢仅在约 0.1% 的应变（长度的相对变化）以内保持弹性，在此范围内修正量不足百分之一。然而，正是这种不对称性使固体受热时膨胀。

从单个弹簧到材料

常数 $k$ 只属于某一特定的弹簧或杆件。要描述材料，我们需要一个不依赖于试样尺寸的常数；两个思想实验说明了应当除以什么。

把两个相同的物块首尾相接并拉伸。每个物块承受相同的力 $F$，因此各自伸长相同的量，两者合起来伸长为单个物块的两倍：这就是串联规律。伸长量与长度成正比，因此与长度无关的形变量度是应变，即单位原长的伸长量，$\epsilon =\Delta L/L_0$。

现在把两个物块并排放置。要使它们伸长相同的量，需要两倍的力：这就是并联规律。力与横截面积 $A$ 成正比，因此与面积无关的载荷度量是应力，即单位面积上的力，$\sigma =F/A$。

对于均匀杆件，应力与应变成正比，比例常数 $E$（即杨氏模量）只取决于材料本身。将同一定律重新整理，即可得到杆件的劲度：
$\frac{F}{A}=E\frac{\Delta L}{L_0},k=\frac{AE}{L_0}$

短而粗的杆件较硬，长而细的杆件较软；但只要它们由同一种钢制成，同一个 $E$ 值就能描述二者。

从原子键到杨氏模量

图例

$a$	相邻原子的间距。	$\mathrm{m}$
$k_b$	一个化学键的劲度，以弹簧表示。	$N/m$
$L_0$	杆件的长度。	$\mathrm{m}$
$A$	负载作用的端面面积（平板，侧视）：即杆件的横截面积。	${\mathrm{m}}^2$
$F$	拉动杆件端面的负载。	$\mathrm{N}$

杨氏模量可以由原子本身估算，方法是应用同样的串并联计数。图 2 把晶体建模为间距为 $a$ 的原子组成的立方堆叠，每个化学键都是劲度为 $k_b$ 的弹簧。长度为 $L_0$ 的杆件左端固定在墙上，右端受力 $F$ 拉伸。深色平板是其端面，面积为 $A$，以侧视方式呈现。

先沿横截面计数。端面上每个原子占据边长为 $a$ 的正方形，因此有 $A/a^2$ 条原子链沿杆件并排排列（示意图中为三条）。再沿一条链计数：它是由 $L_0/a$ 个化学键串联而成（示意图中为五个）。

现在把两次计数结合起来。串联时，$L_0/a$ 个相同弹簧共同承担伸长，因此一条链的劲度比单个化学键小同样的倍数：其劲度为 $k_b/(L_0/a)=k_{b}a/L_0$。并联时，各条链共同承担载荷，因此其劲度相加：
$k=\frac{A}{a^2}\cdot \frac{k_{b}a}{L_0}=\frac{A}{L_0}\cdot \frac{k_b}{a}$

将其与 $k=AE/L_0$ 比较，得到 $E=k_b/a$：模量等于单个化学键的劲度除以原子间距。

对于钢，取 $E=200\mathrm{GPa}$ 与 $a\approx 0.25\mathrm{nm}$，得到 $k_b=Ea\approx 50N/m$，恰好是动画中弹簧 25 N/m 的两倍。单个化学键并不特别硬。模量之所以巨大，只是因为有如此多的链共同受拉：每平方米横截面上大约有 $1/a^2$，即约 $1.6\times 10^{19}$ 条链。

作为直线下面积的储存能量

回到单个弹簧，此时 $x$ 表示其相对自然长度的伸长量。克服其自身拉力 $k{x}^{\prime }$，将其从 0 拉伸到 $x$ 所需的功为
$U={\int }_0^{x}k{x}^{\prime }d{x}^{\prime }=\frac{1}{2}k{x}^2$

在动画的 $F$–$x$ 图像上，这就是直线下方的阴影三角形，底为 $x$，高为 $kx$。随着红点上升，$U$ 读数在 1、2、3 和 4 N 时分别达到 0.02、0.08、0.18 和 0.32 J。

看增量而不是总量：分别为 0.02、0.06、0.10 和 0.14 J，比例为 1 : 3 : 5 : 7。每增加 1 N 的负载就增加 4 cm 的伸长，而三角形的每个 4 cm 宽的条带都是梯形，其平均高度分别为 0.5、1.5、2.5 和 3.5 N。后面的条带需要做更多的功，因为弹簧在它们开始时已经在拉伸。出于同样的原因，从 $x_1$ 拉伸到 $x_2$ 所需的功为 $\frac{1}{2}k(x_2^2-x_1^2)$，而不是 $\frac{1}{2}k(x_2-x_1{)}^2$。

对于杆件，同样的三角形给出 $U=\frac{1}{2}F\Delta L=\frac{1}{2}(\sigma A)(\epsilon L_0)$。除以体积 $A{L}_0$，并利用 $\epsilon =\sigma /E$，即得单位体积的能量，它正是应力–应变直线下的面积：
$u=\frac{1}{2}\sigma \epsilon =\frac{{\sigma }^2}{2E}$

钢在其约 250 MPa 的屈服应力下（这是它能够弹性承受的最大应力）储存的能量为 $u=(2.5\times 10^8{)}^2/(2\cdot 2.0\times 10^{11})\approx 1.6\times 10^{5}J/{\mathrm{m}}^3$。钢的密度约为 7800 kg/m³，因此每千克约 20 J，仅能将这一千克物体举高 2 m。弹簧储存能量很方便，但储能密度并不高。

侧向收缩、剪切与螺旋弹簧

被拉伸的杆件也会变细。其宽度按比例 $\nu \epsilon$ 缩小，其中泊松比 $\nu$ 对金属约为 0.3，对橡胶则接近 0.5。

由于定律是线性的，各个独立载荷的效应可以直接叠加。以压强 $p$ 作用于立方体的六个面进行挤压：相当于同时沿三个坐标轴各施加一次压缩。每一次压缩使立方体沿其自身轴方向缩短应变 $p/E$，并通过泊松比使其沿另外两个轴方向伸长 $\nu p/E$。因此，沿任一轴的净应变为 $-(p/E)(1-2\nu )$。体积的相对变化是三个应变之和 $-3(p/E)(1-2\nu )$，而体积模量，即压强除以体积的相对减少量，为
$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$

$K$ 为正要求 $\nu <1/2$。当 $\nu =1/2$ 时，拉伸不改变体积，这就是橡胶如此难以压缩的原因。

第三个模量描述剪切，即在体积不变的情况下形状发生改变，例如将物块顶部沿水平方向推离其底部。对于各向同性材料，即在各个方向上性质相同的材料，它并不独立：两个常数即可描述所有微小形变。已知 $E$ 和 $\nu$，剪切模量为
$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$
对钢约为 80 GPa。

在螺旋弹簧中，决定性因素是剪切。拉动螺旋弹簧几乎不会使钢丝变长，而是使其扭转。设钢丝直径为 $d$、螺旋直径为 $D$、圈数为 $n$，钢丝的扭转给出
$k=\frac{G{d}^4}{8D^{3}n}$

直径 0.5 mm 的钢丝，绕成直径 10 mm、共 25 圈的螺旋，得到 $k=8.0\times 10^{10}\cdot (5\times 10^{-4}{)}^4/(8\cdot 0.01^3\cdot 25)=25N/m$：正是动画中的弹簧。注意 $D$ 的影响很强：螺旋直径增大到 1.4 倍，会使弹簧变软 $1.4^3\approx 2.7$ 倍。因此，$k$ 描述的是某一个弹簧，而 $E$、$\nu$ 和 $G$ 描述的是制成它的钢材。

超越弹性极限

图例

$\sigma$	应力：力除以金属丝的原始横截面积。	$\mathrm{Pa}$
$\epsilon$	应变：单位原始长度的伸长量。
$E$	杨氏模量：起始直线及卸载直线的斜率。	$\mathrm{Pa}$
${\sigma }_y$	屈服应力，直线终止、金属丝开始流动之处。	$\mathrm{Pa}$
${\sigma }_u$	抗拉强度：曲线上的最高应力。	$\mathrm{Pa}$
${\epsilon }_p$	卸载后残留的永久应变。
$u$	断裂前单位体积吸收的能量：曲线下的阴影面积。	$J/{\mathrm{m}}^3$

迄今为止的讨论都假定应变很小。图 3 显示了金属丝被进一步拉伸时会发生什么：其应力 $\sigma$ 随应变 $\epsilon$ 的变化，直至断裂。这里的 $\sigma$ 是力除以金属丝原始的横截面积。

从原点开始。应力沿斜率为 $E$ 的直线上升：这是胡克定律的适用区域。直线终止于与 ${\sigma }_y$ 同高的点，即屈服应力（动画中金属丝图像上的紫色点）。超过此点，金属丝开始流动。晶体中的线缺陷——位错开始滑移，因此原子面不是同时整体滑动，而是一排一排地相互错动。这就是真实金属屈服如此之早的原因：理想晶体可以承受数吉帕的应力，而真实钢材在 0.25–2 GPa 时即屈服。动画中弹簧的 $F$–$x$ 图像形状相同：其直线终止于弹性极限，即 5.5 N 和 22 cm 处的紫色点，虚线在此处弯曲。

现在沿曲线越过 ${\sigma }_y$ 继续。曲线仍然上升，但更加平缓，因为位错相互缠结、彼此阻碍，这称为加工硬化。曲线的顶点是抗拉强度 ${\sigma }_u$。越过顶点后出现颈缩：金属丝的某一短段比其余部分变细得更快。力以及据此画出的应力随之下降，尽管在颈缩处的真实应力仍在上升，金属丝最终在叉号（×）处断裂。

接下来，在曲线上升段的某点停止加载，然后卸载。金属丝沿箭头方向回落，该直线与弹性直线平行，斜率同为 $E$，因为只有应变中的弹性部分被恢复。应力为零时，它保留永久应变 ${\epsilon }_p$。再次加载时，它沿同一直线上升并重新接回曲线：此时它能弹性承受的应力比之前更高。

整条曲线下方的阴影面积 $u=\int \sigma d\epsilon$，即断裂前单位体积所吸收的能量；在直线段，它就是前面遇到的三角形 $\frac{1}{2}\sigma \epsilon$。面积大意味着材料韧性好。延性金属在断裂前通过流动吸收大量能量，而玻璃或铸铁则在直线段的末端附近断裂。动画中的弹簧在 4.0 N 处停止，即其 5.5 N 极限的 73%，因此卸载时它沿原线返回，0.32 J 能量全部回收。

例题：任由负载下落

图例

$F$	力，同时也是负载本身：水平线，即四个挂上的质量的重力。	$\mathrm{N}$
$x$	弹簧相对自然长度的伸长量。	$\mathrm{m}$
$kx$	伸长量为 $x$ 时弹簧的拉力：斜线。	$\mathrm{N}$
$x_e$	拉力等于负载的伸长量，即 $F/k$：缓慢加载时的平衡位置。	$\mathrm{m}$
$x_L$	弹性极限处的伸长量（紫色点）；超过此点，弹簧的线段为虚线。	$\mathrm{m}$
$x_m$	砝码停止的最低点处的伸长量，即 $2F/k$。	$\mathrm{m}$
$K$	砝码的动能：左侧三角形为到 $x_e$ 为止获得的能量；右侧的 $-K$ 三角形则为取回的相同能量。	$\mathrm{J}$

动画中的托盘轻柔地放下每个砝码，因此弹簧在每一瞬间都处于平衡状态。假设改为：四个砝码共 4.0 N，在自然长度处一起挂上并松手。图 4 在力–伸长量 $x$ 图上追踪这一下落过程。

作用在砝码上的有两个力。负载 $F$，即它们的重力，在任何伸长量下都相同：水平线。弹簧的拉力 $kx$ 随伸长增大：斜线。两条线相交于 $x_e=F/k=4.0/25=0.16\mathrm{m}$，即缓慢加载时达到的 16 cm。

在 $x_e$ 左侧，负载是较大的力，因此砝码加速。合力即两条线之间的间隙，它所做的功，即左侧三角形的面积，转化为砝码的动能 $K$。它在 $x_e$ 处最大，等于 $\frac{1}{2}F{x}_e$。

在 $x_e$ 右侧，弹簧的拉力大于负载，因此砝码减速，弹簧收回能量：即标记为 $-K$ 的右侧三角形。它的面积与左侧相等，因为拉力从 $F$ 增至 $2F$ 所经过的距离，与它从 0 增至 $F$ 所经过的距离相同，都是 $x_e$。因此，动能在 $x_m=2x_e$ 处再次为零，砝码在此瞬间停止。

能量法直接给出相同结果。忽略弹簧质量与空气阻力，在最低点砝码瞬时静止，因此重力释放的全部能量 $F{x}_m$ 都储存在弹簧中：
$F{x}_m=\frac{1}{2}k{x}_m^2,x_m=\frac{2F}{k}=\frac{2\cdot 4.0}{25}=0.32\mathrm{m}$

这是缓慢加载时 16 cm 的两倍，并远远超过 22 cm 的弹性极限 $x_L$（图 4 中的紫色点）：弹簧将永久变长。突加负载使最大形变加倍，因此这根弹簧从自然长度落下时能承受的最大负载，是其静态极限的一半，即 $25\cdot 0.22/2=2.75\mathrm{N}$。

理想弹簧会在 0 与 32 cm 之间围绕 16 cm 处振动。质量为 $m=4.0/9.81=0.408\mathrm{kg}$，因此 $\omega =\sqrt{k/m}=\sqrt{25/0.408}\approx 7.83rad/s$，周期为 $2\pi /\omega \approx 0.80\mathrm{s}$。中心处的速度可由能量求得。在 16 cm 处，重力已释放 $4.0\cdot 0.16=0.64\mathrm{J}$，而弹簧储存 0.32 J，因此其余 0.32 J 为动能：$v=\sqrt{2\cdot 0.32/0.408}\approx 1.25m/s$，等于 $\omega \cdot 0.16\mathrm{m}$，这正是简谐运动所要求的。

缓慢加载则避免了这一切，因为托盘吸收了多余的能量：若四个砝码同时放下，托盘需吸收 0.32 J 的多余能量。像动画中那样分四步加载，浪费较少。每一步中，托盘的推力从刚添加的砝码重 1.0 N 开始，并在 4 cm 内降至零，因此托盘每步只吸收 $\frac{1}{2}\cdot 1.0\cdot 0.04=0.02\mathrm{J}$。四步中重力共释放 0.40 J（砝码分别下落 16、12、8 和 4 cm），弹簧保留 0.32 J，托盘吸收 0.08 J。步长越小，损失越趋于零。

适用范围的限制

胡克定律是小应变定律。低碳钢仅在应变为 $250\mathrm{MPa}/200\mathrm{GPa}=1.25\times 10^{-3}$（约 0.13%）以内保持线性，而窗玻璃在约 0.1% 时即断裂。橡胶可以拉伸至原长的数倍，但应变超过几个百分点后，其应力–应变曲线呈 S 形，其张力来源也不同。橡胶是由长链分子缠结而成的物质。拉伸使这些分子伸直，而它们的热运动又会把它们拉回到缠结的形态，而缠结的形态远多于伸直的形态。这是一种熵效应，并带来一个出人意料的结果：被拉伸的橡皮筋受热时拉力反而更大。

材料还与时间有关。聚合物、混凝土和高温金属会发生蠕变：在恒定载荷下，它们会持续缓慢地变形。许多材料卸载时所沿的曲线也与加载时不同。两条曲线之间围成的环路称为滞后，其面积即每个循环中转化为热能的能量，这也是橡胶球永远无法弹回到起始高度的原因。

弹簧模型本身也有局限。质量为 $m_s$ 的实际弹簧振动时，就好像有约 $m_s/3$ 的质量加在了负载上。许多拉伸弹簧在卷绕时带有预紧力 $F_0$：在负载超过 $F_0$ 之前它们完全不伸长，之后则遵循 $F=F_0+kx$。动画中的弹簧没有预紧力，因此其直线过原点。

由此引出的内容

弹簧上的质量遵循 $m\ddot{x}=-kx$，这就是《简谐运动》的方程：动画中 0.41 kg 的负载将以 0.80 s 的周期振动，而《阻尼与共振》则加入了内部损耗。在杆中，每一薄片都是位于弹簧之间的质量，纵波沿杆以 $\sqrt{E/\rho }$ 的速度传播，其中 $\rho$ 为密度：在钢中约为 5000 m/s，几乎是空气中声速的 15 倍（见《波的基础》）。

图 1 中那种不对称的化学键引出了《热膨胀》。两端固定、被加热 30 K 的钢轨无法伸长，因此它承受的应力，相当于把它按其自由膨胀量压回去所需的应力：$\sigma =E\alpha \Delta T=2.0\times 10^{11}\cdot 1.2\times 10^{-5}\cdot 30\approx 7.2\times 10^7\mathrm{Pa}$，即 72 MPa，其中 $\alpha$ 为钢的膨胀系数。最后，水的体积模量约为 2.2 GPa，这意味着将其压缩 1% 需要 22 MPa，约 220 个大气压，这就是《流体压强与帕斯卡原理》能将其视为不可压缩流体的原因。