Difracción y experimento de la doble rendija

Principiante

Paso 1, la luz dobla un poco las esquinas. Alineamos objetos mirando a lo largo de ellos porque la luz suele ir en línea recta. Pero haz pasar la luz por una rendija muy estrecha y al otro lado se abre en abanico. Esa apertura se llama difracción. El sonido hace lo mismo al pasar por una puerta abierta, y por eso oyes a alguien que está tras una esquina; para la luz, la abertura tiene que ser diminuta, porque sus ondas son muy cortas. Cuanto más estrecha la rendija, más se abre la luz. Unas balitas pasarían en línea recta; solo las ondas se abren así.

Paso 2, dos rendijas. Ahora dale a la luz dos rendijas estrechas y muy juntas. Cada una emite sus propias ondas circulares, y las dos series se superponen. Donde una cresta de una rendija coincide con una cresta de la otra, se suman y la pantalla se ve brillante. Donde una cresta coincide con un valle, se anulan y la pantalla queda oscura. Esta suma de ondas se llama interferencia.

En la animación, ondas rectas llegan por la izquierda, se abren desde las dos rendijas y la pantalla se llena de franjas brillantes y oscuras; las barras naranjas muestran lo brillante que es cada punto.

Paso 3, por qué hay franjas. La franja central es brillante porque está a la misma distancia de las dos rendijas y las ondas llegan acompasadas. Sube un poco y un camino se alarga: media onda más da oscuridad, una onda entera más da la siguiente franja brillante.

Thomas Young hizo este experimento hacia 1801, y convenció a los físicos de que la luz es una onda: luz sumada a luz puede dar oscuridad. Tapa una rendija y las franjas desaparecen: queda una sola mancha uniforme.

Ponte a prueba: en un punto de la pantalla, un camino es exactamente dos longitudes de onda más largo que el otro. ¿Brillante u oscuro? (Brillante: las crestas vuelven a llegar juntas.)

Intermedio

Difracción: las ondas se abren al pasar por aberturas

La luz parece viajar en línea recta, y por eso las sombras tienen bordes nítidos. Sin embargo, toda onda se abre después de atravesar una abertura: es la difracción. Según el principio de Huygens, cada punto de un frente de onda actúa como fuente de ondas secundarias, y la onda que hay más adelante es su suma. Una abertura ancha reconstruye un haz recto; una estrecha se comporta casi como una sola fuente, y la onda se abre en círculos.

Para una longitud de onda $\lambda$ y una abertura de anchura $a$, la onda se abre en un ángulo de unos $\lambda /a$ radianes. El sonido, con longitudes de onda cercanas a 1 m, entra por una puerta y llega a toda la habitación; la luz verde, con $\lambda \approx 500\mathrm{nm}$, sale de un agujero de 1 mm de ancho y se abre solo medio milímetro por cada metro. Para ver que la luz se difracta, la rendija debe tener una fracción de milímetro de ancho.

Dos rendijas iluminadas por una misma onda

En la animación, unas crestas rectas llegan a dos rendijas estrechas separadas una distancia $d$, con una pantalla a una distancia $L$ detrás de ellas. La misma cresta llega a las dos rendijas a la vez, así que emiten ondas secundarias acompasadas: son fuentes coherentes. Un punto de la pantalla situado a distancias $r_1$ y $r_2$ de las rendijas es brillante u oscuro según la diferencia de camino $\Delta r=r_2-r_1$.

Donde un camino es más largo que el otro en un número entero de longitudes de onda, la cresta llega con la cresta; donde lo es en un número impar de semilongitudes de onda, la cresta llega con el valle:

• $\Delta r=m\lambda \text{(franja brillante)}$
• $\Delta r=\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda \text{(franja oscura)}$

Aquí $m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$ es el orden de la franja. La franja central, $m=0$, es brillante porque el eje está a la misma distancia de las dos rendijas; los órdenes son negativos por debajo del eje y positivos por encima, como en el marcador de la animación.

De la diferencia de camino al ángulo

Con una pantalla lejana ($L\gg d$), los dos caminos hasta un punto son prácticamente paralelos y forman un ángulo $\theta$ con el eje central. Una perpendicular trazada desde la rendija superior sobre el camino inferior recorta un pequeño triángulo rectángulo cuya hipotenusa es $d$ y cuyo cateto opuesto al ángulo $\theta$ es el camino adicional:
$\Delta r=d\sin \theta$

Las condiciones de franja brillante y de franja oscura se convierten así en condiciones sobre el ángulo:
$d\sin \theta =m\lambda \text{(franja brillante)}$
$d\sin \theta =\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda \text{(franja oscura)}$
Como $\sin \theta \le 1$, caben como máximo $d/\lambda$ órdenes a cada lado.

Cerca del eje vale la aproximación de ángulos pequeños, $\sin \theta \approx \tan \theta =y/L$, donde $y$ es la altura sobre la pantalla; así, la franja brillante de orden $m$ está en $y_m=m\lambda L/d$ y las franjas quedan equiespaciadas:
$\Delta y=\frac{\lambda L}{d}$
La luz roja, las rendijas más juntas y una pantalla más lejana dan franjas más anchas.

Ejemplo resuelto: el patrón de la animación

El dibujo no está a escala. En píxeles tiene $\lambda =8$, $d=50$ y $L=220$, de modo que las rendijas están separadas solo 6,25 longitudes de onda, mientras que en las reales son cientos. La fórmula de ángulos pequeños da
$\Delta y=\frac{\lambda L}{d}=\frac{8\cdot 220}{50}=35,2\mathrm{px}$

La primera franja brillante cumple $\sin {\theta }_1=\lambda /d=0,16$, luego ${\theta }_1=9,2^{\circ }$. Su posición exacta, donde $r_2-r_1=\lambda$, está a 35,9 px sobre el centro, la longitud de la marca de $\Delta y$ junto a la pantalla: a 9° la fórmula de ángulos pequeños se queda corta solo un 2 %.

Sigue el punto sonda mientras sube por la pantalla, con el camino verde $r_1$ que lo une a la rendija superior y el morado $r_2$ que lo une a la inferior. Su marcador va de $-1,76\lambda$ abajo, pasando por 0 en la franja central, 0,50 en la primera franja oscura, 1,00 en la primera brillante y 1,50 en la segunda oscura, hasta 1,76 arriba. Así, la pantalla contiene tres franjas brillantes ($m=0,\pm 1$) y cuatro oscuras; el segundo orden, a 18,7°, cae justo más allá del borde, que está a 16,5°.

Las barras naranjas muestran las franjas laterales con solo unas tres cuartas partes de la altura de la central: la anchura de cada rendija, que se trata en el nivel experto, las atenúa.

Ejemplo resuelto: medir la longitud de onda de la luz

Luz de $\lambda =600\mathrm{nm}$ incide sobre dos rendijas separadas $d=0,25\mathrm{mm}$, y la pantalla está a $L=1,0\mathrm{m}$. Con todas las longitudes en metros,
$\Delta y=\frac{600\times 10^{-9}\cdot 1,0}{0,25\times 10^{-3}}=2,4\times 10^{-3}\mathrm{m}=2,4\mathrm{mm}$
La primera franja está en ${\theta }_1=\lambda /d=2,4\times 10^{-3}\mathrm{rad}$, unos 0,14°, donde la aproximación de ángulos pequeños es excelente. Unas franjas tan finas son una de las razones por las que el efecto pasó tanto tiempo inadvertido.

Al revés, $\lambda =d\Delta y/L$ sirve para medir longitudes de onda. Con las mismas rendijas y la misma pantalla, diez separaciones entre las franjas de un puntero láser abarcan 26 mm (medir muchas separaciones a la vez divide el error), así que $\Delta y=2,6\mathrm{mm}$ y
$\lambda =\frac{d\Delta y}{L}=\frac{(0,25\times 10^{-3})\cdot (2,6\times 10^{-3})}{1,0}=6,5\times 10^{-7}\mathrm{m}=650\mathrm{nm}$

La luz blanca contiene todas las longitudes de onda a la vez. La franja central es blanca, pero el violeta (400 nm) da franjas separadas 1,6 mm y el rojo (700 nm), 2,8 mm, así que cada franja de primer orden es un pequeño espectro, con el violeta por dentro y el rojo por fuera; tras dos o tres órdenes los colores se solapan en un brillo blanquecino.

Cómo leer las franjas en la pantalla

Las bandas y las barras naranjas muestran la intensidad $I$, la potencia que llega a cada metro cuadrado de la pantalla. Para dos rendijas estrechas e iguales, sigue una curva suave en ${\cos }^2$, con bandas brillantes y huecos oscuros de la misma anchura y cada franja oscura a medio camino entre dos brillantes: en la animación, la primera oscura está a 17,8 px del centro y la primera brillante, a 35,9 px.

Las amplitudes se suman y la intensidad va como el cuadrado de la amplitud: en una franja brillante la amplitud se duplica y la intensidad es $2^2=4$ veces la de una rendija, mientras que en una franja oscura es nula. Promediada sobre muchas franjas, es exactamente el doble que la de una rendija, porque la luz que falta en las franjas oscuras ha ido a parar a las brillantes. Tapa una rendija y las franjas se desvanecen en una mancha ancha y uniforme.

Errores frecuentes

• Las franjas oscuras no son sombras de la pared entre las rendijas: las dos rendijas iluminan la primera franja oscura, y tapar cualquiera de ellas hace que ese punto tenga una cuarta parte del brillo del pico central.
• Separar más las rendijas no ensancha las franjas, sino que las aprieta. La separación va como $1/d$, así que reducir $d$ a la mitad, de 0,25 mm a 0,125 mm, duplica $\Delta y$, de 2,4 mm a 4,8 mm.
• La fórmula $\Delta y=\lambda L/d$ solo vale para ángulos pequeños: con rendijas separadas dos longitudes de onda, el primer orden está a 30°, donde $y=L\tan 30^{\circ }=0,58L$ y no $0,5L$.
• Dos lámparas distintas, o incluso dos láseres, no producen franjas visibles: sus fases varían mucho más deprisa de lo que el ojo puede seguir, y solo queda la suma de sus intensidades. Las dos rendijas deben estar iluminadas por la misma onda.

Dónde aparece

Las redes de difracción de cientos de líneas por milímetro miden longitudes de onda en la mayoría de los espectrómetros, y el arcoíris de un CD se debe a sus pistas, separadas 1,6 µm. La difracción también limita la nitidez: la luz que atraviesa un telescopio o la pupila de un ojo, de diámetro $D$, se abre en un ángulo de unos $\lambda /D$, como se explica en la lección El ojo, la cámara y el telescopio.

Los rayos X, con longitudes de onda cercanas a 0,1 nm, se difractan en las filas de átomos de un cristal y revelan dónde están los átomos. Los electrones e incluso moléculas enteras forman las mismas franjas de una en una, el punto de partida de la lección Dualidad onda-corpúsculo. A continuación, la lección Polarización de la luz pasa a otra propiedad de las ondas luminosas: la dirección en que vibran.

Avanzado

Sumar los dos campos

Las franjas de dos rendijas salen de sumar las propias ondas, no sus brillos, así que lo primero es sumar bien los dos campos. Sean dos rendijas separadas una distancia $d$ y un punto lejano en la dirección $\theta$, medida desde el frente, a distancias $r_1$ y $r_2$ de las dos rendijas. Cada rendija aporta un campo de la misma amplitud $E_0$ y frecuencia angular $\omega$: $E_0\cos (\omega t-k{r}_1)$ la primera y $E_0\cos (\omega t-k{r}_2)$ la segunda, donde $k=2\pi /\lambda$ es el número de onda. El término $\omega t$ es común a ambas, así que solo importa la diferencia de fase:
$\phi =k(r_2-r_1)=kd\sin \theta$
El último paso usa la diferencia de camino en campo lejano, $r_2-r_1=d\sin \theta$; la sección siguiente comprueba su precisión.

Leyenda

$E_0$	Amplitud del campo de una rendija; las dos dan la misma.	$V/m$
$\phi$	Diferencia de fase de los dos campos, $\phi =kd\sin \theta$: el giro desde la prolongación discontinua de la primera flecha hasta la segunda.	$\mathrm{rad}$
$\phi /2$	Mitad de la diferencia de fase: el ángulo entre la resultante y el primer fasor.	$\mathrm{rad}$
$E$	Resultante (campo total): la suma de los dos fasores, que cierra el triángulo.	$V/m$

La figura 1 suma los dos campos como fasores. Un fasor es una flecha cuya longitud es la amplitud de una oscilación y cuyo ángulo es su fase; sumar dos oscilaciones de la misma frecuencia equivale entonces a sumar dos flechas una a continuación de la otra. La flecha azul es el campo de la primera rendija, de longitud $E_0$. La flecha verde parte de su punta y es el campo de la segunda rendija: la misma longitud $E_0$, pero girada $\phi$ respecto de la prolongación discontinua de la flecha azul. La flecha morada $E$ va del origen de la primera a la punta de la segunda, así que es el campo total.

Fíjate ahora en la forma. Dos lados iguales forman un triángulo isósceles, así que sus dos ángulos de la base son iguales, y juntos valen el ángulo exterior $\phi$ en la unión: cada uno vale $\phi /2$. La altura discontinua desde la unión corta a $E$ en ángulo recto y divide el triángulo en dos triángulos rectángulos iguales, cada uno con hipotenusa $E_0$ y ángulo $\phi /2$ en el origen de la flecha azul. La mitad de la resultante es, por tanto, $E_0\cos (\phi /2)$, y la resultante entera
$E=2E_0|\cos (\phi /2)|$
El módulo mantiene $E$ positivo cuando $\phi$ pasa de $\pi$ y el coseno se vuelve negativo. Dos comprobaciones: con $\phi =0$ las flechas están en una misma línea y $E=2E_0$; con $\phi =\pi$ apuntan en sentidos opuestos y se anulan.

Un detector no puede seguir la rápida oscilación del campo. Mide la intensidad, proporcional al promedio temporal del campo al cuadrado, así que $I\propto E^2$. Elevando $E$ al cuadrado y escribiendo $\phi /2=\pi d\sin \theta /\lambda$ se obtiene
$I=I_0{\cos }^2\left(\frac{\pi d\sin \theta }{\lambda }\right)$

Aquí $I_0$ es la intensidad en el centro, donde los dos campos llegan en fase. La amplitud allí se duplica, así que $I_0$ es cuatro veces la intensidad $I_1$ de una sola rendija. (En la lección Interferencia y superposición, $I_0$ significaba una sola fuente; aquí significa el pico central.) No se crea energía: la media de ${\cos }^2$ sobre muchas franjas es $\frac{1}{2}$, así que la intensidad media es $I_0/2=2I_1$, exactamente lo que entregan las dos rendijas juntas. La interferencia solo traslada la luz de las franjas oscuras a las brillantes.

¿Qué precisión tiene la diferencia de camino?

El resultado anterior usó $r_2-r_1=d\sin \theta$, que trata como paralelos los dos rayos hacia el punto. Eso solo es exacto a distancia infinita, así que conviene conocer el error en una pantalla real.

Mide la distancia $R$ y el ángulo $\theta$ desde el punto medio de las rendijas. La ley de los cosenos da cada distancia exacta, $r^2=R^2+d^2/4\pm Rd\sin \theta$, con el signo más para la rendija más lejana. Desarrolla cada raíz cuadrada en potencias de $d/R$. Ambas distancias contienen el mismo término de segundo orden, $d^2{\cos }^2\theta /(8R)$, que se cancela en la diferencia; la primera corrección que sobrevive es de tercer orden:
$\Delta r=d\sin \theta \left(1-\frac{d^2{\cos }^2\theta }{8R^2}\right)$
Así, el error relativo es como mucho $(d/R{)}^2/8$: disminuye con el cuadrado de $d/R$.

En la animación, $d/R\approx 0,22$ en la primera franja brillante, así que la corrección es de solo el 0,6 %. En la pantalla, la curva exacta $r_2-r_1=\lambda$ (una hipérbola) la corta a 35,9 px, la fórmula de campo lejano con $y=L\tan \theta$ da 35,7 px y la fórmula de ángulos pequeños $y=\lambda L/d$ da 35,2 px.

Una rendija de anchura finita

Hasta ahora cada rendija era un punto que envía la misma amplitud $E_0$ en todas las direcciones. Una rendija real tiene una anchura $a$, y cada parte de ella actúa como fuente, así que su brillo depende de la dirección. Sumar esas partes da la envolvente lenta bajo las franjas.

Leyenda

$E_0$	Longitud del arco: la amplitud de frente, donde todas las tiras están en fase.	$V/m$
$E$	Resultante de las tiras: la cuerda desde el inicio del arco hasta su final.	$V/m$
$\rho$	Radio del arco (discontinuo), en unidades de campo.	$V/m$
$\beta$	Mitad del ángulo que abarca el arco desde su centro; $2\beta =ka\sin \theta$ es la diferencia de fase entre los bordes de la rendija.	$\mathrm{rad}$

La figura 2 suma con fasores las partes de una rendija. Corta la rendija en muchas tiras estrechas de igual anchura; cada tira envía un fasor diminuto, representado por los puntos a lo largo de la curva azul. En la dirección $\theta$, el camino de cada tira es más largo que el de su vecina en una misma pequeña cantidad, así que cada fasor está girado respecto del anterior un mismo ángulo pequeño. Una cadena de flechas iguales, cada una girada el mismo ángulo, se curva de manera uniforme: sigue un arco de circunferencia, aquí de radio $\rho$ (los radios discontinuos).

¿Cuánto gira el arco? Los dos bordes de la rendija difieren en camino en $a\sin \theta$, así que el primer y el último fasor difieren en fase en $ka\sin \theta$. La dirección a lo largo de un arco gira el mismo ángulo que el arco abarca desde el centro, de modo que ese ángulo central es $ka\sin \theta$. Llámalo $2\beta$; la figura 2 lo dibuja como dos mitades $\beta$ a ambos lados de la bisectriz discontinua. Con $k=2\pi /\lambda$,
$\beta =\frac{\pi a\sin \theta }{\lambda }$

Compara ahora el arco con la cuerda. De frente, en $\theta =0$, todas las tiras están en fase, la cadena es una recta y su longitud es la amplitud total $E_0$. En cualquier otra dirección los fasores diminutos tienen la misma longitud, así que el arco sigue midiendo $E_0$, y como la longitud de un arco es el radio por el ángulo, $E_0=2\rho \beta$. La resultante es la cuerda morada $E$, desde el inicio del arco hasta su final. La bisectriz discontinua la corta en dos mitades de $\rho \sin \beta$, así que $E=2\rho \sin \beta$. Al dividir una entre otra desaparece $\rho$:
$E=E_0\frac{\sin \beta }{\beta }$

La cuerda es siempre más corta que el arco, y se anula cuando el arco se cierra. Con $2\beta =2\pi$ la cadena se enrolla en la circunferencia completa de la derecha de la figura 2, su final vuelve a su inicio (el punto morado) y $E=0$. Eso ocurre cuando los bordes difieren en camino en una longitud de onda:
$a\sin \theta =\lambda \text{(primer cero de la envolvente)}$
Un argumento por parejas da el mismo cero sin fasores. Divide la rendija en una mitad superior y otra inferior. Cada tira de la mitad superior tiene una pareja $a/2$ más abajo, cuyo camino es entonces $\lambda /2$ más largo, así que las dos se cancelan, y también cada pareja.

En una doble rendija, cada rendija envía en la dirección $\theta$ la amplitud $E_0\sin \beta /\beta$, la misma para ambas. Ponerla en lugar de $E_0$ en el resultado de la figura 1 convierte el patrón de dos rendijas en un producto de franjas rápidas y una envolvente lenta:
$I=I_0{\cos }^2\left(\frac{\pi d\sin \theta }{\lambda }\right){\left(\frac{\sin \beta }{\beta }\right)}^2$

Esta es la gráfica de la capa experta de la animación, cuya fórmula escribe $\sin \theta$ como $y/L$. Allí, $a=14\mathrm{px}=1,75\lambda$ y $d=6,25\lambda$. Los primeros picos laterales de la curva dorada llegan a 0,77 de la altura central, donde tocan la envolvente discontinua; la envolvente ha bajado a 0,37 en los bordes de la pantalla, y su primer cero, a 34,8°, queda muy lejos de ella.

Una franja brillante que cae exactamente sobre un cero de la envolvente no aparece. Con $d=3a$, el tercer orden está en $\sin \theta =3\lambda /d=\lambda /a$, el primer cero de la envolvente, y desaparece. En general, siempre que $d/a$ es un número entero $n$, faltan los órdenes $n$, $2n$, …

El patrón en campo lejano como transformada de Fourier

Las sumas de fasores de las figuras 1 y 2 son dos casos de una misma regla: la amplitud en campo lejano es la transformada de Fourier de la abertura. Esta regla explica de golpe por qué los dos factores se multiplican y por qué los detalles pequeños dan patrones anchos.

Leyenda

$A$	Transmisión de la abertura: 1 dentro de una rendija, 0 en la pared.
$x$	Posición a lo largo de la abertura, sobre la recta que une las rendijas.	$\mathrm{m}$
$a$	Anchura de cada rendija.	$\mathrm{m}$
$d$	Distancia entre los centros de las dos rendijas.	$\mathrm{m}$
$I$	Intensidad del patrón en la dirección $\theta$: franjas doradas bajo la envolvente discontinua.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$\sin \theta$	Seno del ángulo $\theta$ de la luz saliente, medido desde el frente; el eje horizontal del patrón.
$\lambda /d$	Periodo de las franjas: separación de dos franjas brillantes vecinas en $\sin \theta$.
$\lambda /a$	Valor de $\sin \theta$ en los primeros ceros de la envolvente, marcados con círculos donde falta una franja.

La figura 3 coloca una abertura sobre su patrón en campo lejano. La gráfica superior es la transmisión $A$ frente a la posición $x$ a lo largo de la abertura: $A=1$ dentro de cada rendija y $A=0$ en la pared que las separa. Las rendijas tienen anchura $a$ (barra morada) y sus centros distan $d$ (barra dorada). La gráfica inferior es la intensidad $I$ frente a $\sin \theta$: franjas doradas bajo una envolvente morada discontinua. Relaciona los colores. La separación dorada $d$ fija el periodo dorado de las franjas, $\lambda /d$, y la anchura morada $a$ fija la envolvente morada, cuyos primeros ceros están en $\sin \theta =\pm \lambda /a$. Aquí $d=3a$, así que la tercera franja de cada lado cae sobre un cero de la envolvente y falta, en los círculos.

Esta es la regla. Lejos de la abertura, una tira de anchura $dx$ en la posición $x$ tiene un camino que difiere en $x\sin \theta$ del de la tira en $x=0$, por la misma geometría que con las dos rendijas, así que su fase difiere en $kx\sin \theta$. Escribe cada contribución como una exponencial compleja, pondérala con la transmisión $A(x)$ y suma sobre todas las tiras:
$E(\theta )\propto \int A(x)e^{-iqx}dx,q=k\sin \theta$
Esta integral es la transformada de Fourier de $A(x)$, con $q$ en el papel de frecuencia espacial.

Reproduce los dos resultados anteriores. Dos rendijas muy estrechas en $x=\pm d/2$ dan $e^{-iqd/2}+e^{iqd/2}=2\cos (qd/2)$ y, como $qd/2=\pi d\sin \theta /\lambda$, su cuadrado son las franjas en ${\cos }^2$. Una rendija de anchura $a$, de $-a/2$ a $a/2$, da $a\sin (qa/2)/(qa/2)=a\sin \beta /\beta$, porque $qa/2=\beta$: la envolvente.

Dos rendijas anchas son una rendija ancha copiada en dos lugares. En el lenguaje de las transformadas, la abertura es la rendija única convolucionada con la pareja de rendijas estrechas, y la transformada de una convolución es el producto de las transformadas. Por eso el factor de las franjas y la envolvente se multiplican.

La transformada muestra también la reciprocidad que hay detrás de toda difracción: un detalle de tamaño $s$ en la abertura produce estructura en la escala angular $\lambda /s$. En la figura 3, la separación grande $d$ produce las franjas finas y la anchura pequeña $a$ la envolvente ancha. Una lente forma el patrón en campo lejano en su plano focal, a una distancia finita, y los patrones de rayos X que revelaron la estructura de los cristales son los módulos al cuadrado de la transformada de la densidad electrónica del cristal.

Muchas rendijas: la red de difracción

Añadir más rendijas con la misma separación mantiene las franjas brillantes en los mismos sitios, pero las hace mucho más finas y brillantes. Esa finura es lo que hace de la red una herramienta precisa para medir longitudes de onda.

Leyenda

$E_0$	Amplitud del campo de una rendija: la longitud de cada fasor.	$V/m$
$\phi$	Paso de fase entre rendijas vecinas, $\phi =kd\sin \theta$: el giro de un fasor al siguiente.	$\mathrm{rad}$
$E$	Resultante de todos los fasores: el lado de cierre del polígono.	$V/m$

La mitad izquierda de la figura 4 suma los campos de $N=5$ rendijas iguales con separación $d$. Cada flecha azul tiene longitud $E_0$ y está girada el mismo ángulo $\phi =kd\sin \theta$ respecto de la anterior; el ángulo está marcado en una unión. Flechas iguales con giros iguales trazan parte de un polígono regular, así que todos los vértices están sobre una circunferencia (discontinua). La resultante morada $E$ es el lado de cierre del polígono, desde el primer origen hasta la última punta.

La circunferencia da la longitud de $E$. Una cuerda que abarca un ángulo $\alpha$ en el centro de una circunferencia de radio $\rho$ mide $2\rho \sin (\alpha /2)$. Cada lado gira $\phi$, así que, como en la figura 2, abarca $\phi$ en el centro y $E_0=2\rho \sin (\phi /2)$. El lado de cierre abarca los $N$ lados y subtiende $N\phi$, así que $E=2\rho |\sin (N\phi /2)|$. Al dividir desaparece $\rho$, y al elevar al cuadrado resulta
$I=I_1{\left(\frac{\sin (N\phi /2)}{\sin (\phi /2)}\right)}^2$
donde $I_1$ es la intensidad de una rendija. Para $N=2$ el cociente es $\sin \phi /\sin (\phi /2)=2\cos (\phi /2)$, así que de nuevo es $4I_1{\cos }^2(\phi /2)$, el resultado de dos rendijas.

Siempre que $\phi$ es un múltiplo entero de $2\pi$, todas las flechas apuntan en el mismo sentido y se alinean: $E=N{E}_0$, y la intensidad alcanza $N^2{I}_1$. Estos máximos principales siguen donde $d\sin \theta =m\lambda$, igual que con dos rendijas. Al alejarse de un máximo la cadena se enrolla y se cierra por primera vez en $\phi =2\pi /N$: es la mitad derecha de la figura 4, un pentágono cerrado con $E=0$ (el punto morado). Así, la semianchura de cada máximo, desde su cima hasta su primer cero, es $1/N$ de la separación $2\pi$ entre máximos, $N/2$ veces más estrecha que con dos rendijas. Entre máximos vecinos hay $N-1$ ceros y $N-2$ picos secundarios débiles. La luz se concentra, no se crea: la intensidad media sigue siendo $N{I}_1$.

Una red de 500 líneas por milímetro tiene una separación de 2,0 µm. Para luz de 600 nm, $\lambda /d=0,3$, así que $\sin \theta =m\lambda /d$ vale 0,3; 0,6 y 0,9 en los tres primeros órdenes: salen a 17,5°, 36,9° y 64,2°. Un cuarto orden necesitaría $\sin \theta =1,2$ y no existe.

Dos longitudes de onda próximas se consideran separadas cuando el máximo de una cae sobre el primer cero de la otra. Toma el ángulo del máximo de orden $m$ de $\lambda +\Delta \lambda$, donde $d\sin \theta =m(\lambda +\Delta \lambda )$. Allí el paso de fase para $\lambda$ es $2\pi m+2\pi m\Delta \lambda /\lambda$, y debe superar a $2\pi m$ en el paso del primer cero, $2\pi /N$. Imponer $m\Delta \lambda /\lambda =1/N$ da el poder de resolución
$\lambda /\Delta \lambda =mN$
Las líneas amarillas del sodio, de 589,0 y 589,6 nm, necesitan unas 1000 líneas en el primer orden. 2 cm de esta red contienen 10 000 líneas y, en el primer orden, separan líneas que distan 0,06 nm entre sí a 600 nm.

Problema resuelto: medidas de las rendijas según el patrón

Luz láser de 600 nm atraviesa una doble rendija, y una pantalla a 1,0 m muestra franjas separadas 2,4 mm. Las franjas se atenúan hacia los lados, y la quinta a cada lado, a ±12 mm, falta, de modo que quedan nueve en la banda central. Halla la separación $d$ entre las rendijas, su anchura $a$ y el brillo de cada franja.

La separación entre franjas da la distancia entre rendijas. Dos franjas brillantes vecinas difieren en camino en una longitud de onda, así que para ángulos pequeños $\Delta y=\lambda L/d$, y
$d=\lambda L/\Delta y=(600\times 10^{-9}\cdot 1,0)/(2,4\times 10^{-3})=0,25\mathrm{mm}$

La franja que falta da la anchura. Está en el primer cero de la envolvente, $a\sin \theta =\lambda$, que para ángulos pequeños queda en $y=\lambda L/a=12\mathrm{mm}$, así que
$a=(600\times 10^{-9}\cdot 1,0)/(12\times 10^{-3})=0,050\mathrm{mm}$
Por tanto $d=5a$, y por eso falta justamente el quinto orden. Comprobación del campo lejano: $a^2/\lambda =4,2\mathrm{mm}$, muy por debajo de 1,0 m, así que valen las fórmulas de campo lejano.

En la franja de orden $m$, $\sin \theta =m\lambda /d$, así que $\beta =\pi a\sin \theta /\lambda =\pi ma/d=\pi m/5$. Toda franja brillante tiene ${\cos }^2=1$, así que su brillo depende solo de la envolvente: $(\sin \beta /\beta {)}^2$ da 1; 0,88; 0,57; 0,25 y 0,05 del centro para $m=0$ a 4, y luego 0 para $m=5$. Pasado el hueco, las franjas reaparecen en una banda lateral cuya franja más brillante queda por debajo del 5 % del centro.

La animación tiene $d/a=50/14=3,57$, que no es un número entero, así que ningún orden se pierde por completo. Sus primeros órdenes alcanzan 0,77, los segundos 0,31 y los terceros solo 0,033, justo dentro del cero de la envolvente en $m=3,57$; una pantalla suficientemente ancha mostraría siete franjas en la banda central. Unas rendijas ensanchadas hasta $a=d/3\approx 16,7\mathrm{px}$ eliminarían exactamente el tercer orden.

Un cuanto cada vez

El mismo patrón sobrevive cuando la luz es tan tenue que llega fotón a fotón, y aparece también con electrones. Aquí la regla para sumar campos se convierte en la regla central de la mecánica cuántica.

Atenúa la luz hasta que los fotones lleguen de uno en uno: la pantalla registra destellos aislados en puntos al azar y, sin embargo, tras muchos miles de ellos se acumulan en las mismas franjas en ${\cos }^2$. Los electrones hacen lo mismo, con la longitud de onda de de Broglie $\lambda =h/p$, donde $p$ es el momento lineal y $h$ la constante de Planck. Acelerado por una diferencia de potencial de 100 V, un electrón tiene $\lambda =0,123\mathrm{nm}$, así que unas rendijas separadas 1 µm darían franjas separadas 0,12 mm en una pantalla a 1 m.

La regla es la de los campos, aplicada a amplitudes de probabilidad. Cada manera de llegar a un punto tiene una amplitud compleja, ${\varphi }_1$ por una rendija y ${\varphi }_2$ por la otra, y la probabilidad de llegar allí es el módulo al cuadrado de su suma:
$P=|{\varphi }_1+{\varphi }_2{|}^2=|{\varphi }_1{|}^2+|{\varphi }_2{|}^2+2|{\varphi }_1||{\varphi }_2|\cos (k\Delta r)$
Los dos primeros términos son los patrones de rendija única. El último término es la interferencia, con $k=p/\hslash$ y $\hslash =h/(2\pi )$; sin él, las rendijas se limitarían a sumar sus patrones de rendija única, sin franjas.

Registrar por qué rendija pasa cada partícula elimina el término cruzado y, con él, las franjas. La razón es el golpe que da la medida. La luz capaz de distinguir las rendijas debe tener una longitud de onda inferior a unos $d$, así que cada uno de sus fotones lleva un momento lineal de al menos unos $h/d$. Al dispersar uno de ellos, la trayectoria de la partícula se desvía hasta unos $(h/d)/p=\lambda /d$, que es una separación entre franjas en ángulo, y los golpes de tamaño aleatorio difuminan las franjas, como explica la lección Dualidad onda-corpúsculo.

Límites de validez

La teoría escalar usada aquí trata la luz como una sola amplitud de onda, ignorando la dirección de su campo eléctrico, y trata las rendijas como agujeros en una pantalla perfectamente negra. Eso funciona con rendijas de varias longitudes de onda de anchura. Una rendija más estrecha que una longitud de onda no tiene cero en la envolvente ($a\sin \theta =\lambda$ exige $a\ge \lambda$), reparte la luz casi uniformemente tras ella y transmite de forma distinta los campos paralelos y perpendiculares a su longitud, un efecto de polarización que la imagen escalar deja fuera.

Las franjas exigen además coherencia: las ondas deben mantener una relación de fase estable. Una dispersión de longitudes de onda $\Delta \lambda$ limita la longitud de coherencia, la diferencia de camino en la que la fase se mantiene estable, a unos ${\lambda }^2/\Delta \lambda$. Para la luz blanca eso son unos 1 µm, solo dos longitudes de onda más o menos, de modo que solo los dos primeros órdenes, más o menos, muestran colores, mientras que un láser, coherente a lo largo de centímetros o metros, da franjas muy lejos del centro.

También emborrona el patrón una fuente de tamaño angular $\alpha$. Cada punto de la fuente genera su propia copia del patrón, desplazada en ángulo según su propia dirección, y las copias se difuminan cuando $\alpha$ se acerca a la separación angular entre franjas $\lambda /d$. Para las rendijas de 0,25 mm del problema resuelto eso son 2,4 mrad, pero el Sol abarca 9,3 mrad, así que la luz solar directa solo da franjas con rendijas más próximas que unos 0,06 mm: de ahí el orificio o la rendija única que hay delante de los montajes clásicos. La coherencia parcial reduce la visibilidad $V=(I_{\max }-I_{\min })/(I_{\max }+I_{\min })$ por debajo de 1.

Por último, la fórmula de la envolvente supone el campo lejano, $L\gg a^2/\lambda$; más cerca, en el régimen de Fresnel, el patrón cambia de forma con la distancia. Las posiciones de las franjas de dos rendijas solo exigen $d\ll L$, como mostró la sección sobre la diferencia de camino. Por eso las franjas de la animación cumplen $d\sin \theta =m\lambda$ aunque $d^2/\lambda =312\mathrm{px}$ supere a $L=220\mathrm{px}$.

Lo que viene después

Muchas rendijas forman la red de difracción, el corazón de la mayoría de los espectrómetros, y los espectros de líneas que registran conducen a la lección Modelos atómicos: el átomo de Bohr. Una abertura circular de diámetro $D$ reparte la luz en una mancha de radio angular $1,22\lambda /D$, el límite de resolución que estudia la lección El ojo, la cámara y el telescopio. Los campos que aquí se suman son los de la lección Ondas electromagnéticas, y su dirección de oscilación es el tema de la lección Polarización de la luz.

La regla de las amplitudes, $P=|{\varphi }_1+{\varphi }_2{|}^2$, es el núcleo de la mecánica cuántica: la lección Dualidad onda-corpúsculo la construye a partir de electrones aislados, y la lección Ecuación de Schrödinger y efecto túnel la convierte en una ecuación de ondas para la materia.