Difração e fenda dupla

Iniciante

Passo 1: a luz consegue contornar cantos, um pouco. Alinhamos as coisas mirando ao longo delas porque a luz normalmente vai em linha reta. Mas, se você espremer a luz por uma fresta muito estreita, ela se abre em leque do outro lado. Esse espalhamento se chama difração. O som faz o mesmo por uma porta aberta, e é por isso que você ouve pessoas do outro lado de uma esquina; para a luz, a fresta precisa ser minúscula, porque as ondas de luz são muito curtas. Quanto mais estreita a fresta, maior o espalhamento. Balas minúsculas atravessariam em linha reta; só ondas se espalham assim.

Passo 2: duas fendas. Agora faça a luz passar por duas fendas estreitas e próximas. Cada uma emite suas próprias ondulações circulares, e os dois conjuntos se sobrepõem. Onde uma crista de uma fenda encontra uma crista da outra, elas se somam e a tela fica clara. Onde uma crista encontra um vale, elas se anulam e a tela continua escura. Essa soma de ondas é a interferência.

Na animação, ondas retas chegam pela esquerda, se espalham a partir das duas fendas, e a tela se enche de listras claras e escuras; as barras laranja mostram o brilho de cada ponto.

Passo 3: por que listras. A listra do meio é clara porque está igualmente longe das duas fendas, então as ondas chegam em fase. Suba um pouco e um dos caminhos fica mais longo: meia onda a mais dá escuridão, uma onda inteira a mais dá a próxima listra clara.

Thomas Young fez isso por volta de 1801, e isso convenceu os físicos de que a luz é uma onda: luz somada a luz pode produzir escuridão. Cubra uma fenda e as listras somem, deixando uma mancha lisa única.

Teste você mesmo: em um ponto da tela, um caminho é exatamente dois comprimentos de onda mais longo que o outro. Clara ou escura? (Clara: as cristas chegam juntas de novo.)

Intermediário

Difração: ondas se espalham pelas aberturas

A luz parece viajar em linha reta, por isso as sombras têm bordas nítidas. No entanto, toda onda se espalha depois de passar por uma abertura: isso é difração. Pelo princípio de Huygens, cada ponto de uma frente de onda age como fonte de novas ondas elementares, e a onda mais adiante é a soma delas. Uma abertura larga reconstitui um feixe reto; uma estreita age quase como uma única fonte, e a onda se espalha em círculos.

Para um comprimento de onda $\lambda$ e uma abertura de largura $a$, o espalhamento é de cerca de $\lambda /a$ radianos. O som, com comprimentos de onda perto de 1 m, passa por uma porta e preenche a sala inteira; a luz verde, com $\lambda \approx 500\mathrm{nm}$, se espalha a partir de um furo de 1 mm de largura em apenas meio milímetro por metro. Para mostrar a luz difratando, uma fenda precisa ter uma fração de milímetro de largura.

Duas fendas iluminadas por uma só onda

Na animação, cristas retas atingem duas fendas estreitas separadas por uma distância $d$, com uma tela a uma distância $L$ atrás delas. A mesma crista chega às duas fendas ao mesmo tempo, então elas emitem ondulações em fase: são fontes coerentes. Um ponto na tela, a distâncias $r_1$ e $r_2$ das fendas, é claro ou escuro conforme a diferença de caminho $\Delta r=r_2-r_1$.

Onde um caminho é maior por um número inteiro de comprimentos de onda, a crista chega com crista; onde é maior por um número ímpar de meios comprimentos de onda, a crista chega com vale:

• $\Delta r=m\lambda \text{(bright)}$
• $\Delta r=\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda \text{(dark)}$

Aqui $m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$ é a ordem da franja. A franja central, $m=0$, é clara porque o eixo está igualmente distante das duas fendas; as ordens são negativas abaixo do eixo e positivas acima, como na leitura da animação.

Da diferença de caminho ao ângulo

Vista de uma tela distante ($L\gg d$), os dois caminhos até um ponto são praticamente paralelos, formando um ângulo $\theta$ com o eixo central. Uma perpendicular baixada da fenda superior sobre o caminho inferior corta um pequeno triângulo retângulo cuja hipotenusa é $d$ e cujo cateto oposto ao ângulo $\theta$ é o caminho extra,
$\Delta r=d\sin \theta$

As condições para franjas claras e escuras viram, então, condições sobre o ângulo:
$d\sin \theta =m\lambda \text{(bright)}$
$d\sin \theta =\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda \text{(dark)}$
Como $\sin \theta \le 1$, cabem no máximo $d/\lambda$ ordens de cada lado.

Perto do eixo vale a aproximação de pequeno ângulo $\sin \theta \approx \tan \theta =y/L$, em que $y$ é a altura na tela; assim, a franja clara de ordem $m$ fica em $y_m=m\lambda L/d$ e as franjas são igualmente espaçadas:
$\Delta y=\frac{\lambda L}{d}$
Luz vermelha, fendas mais próximas e uma tela mais distante dão todas franjas mais largas.

Exemplo resolvido: o padrão da animação

O desenho não está em escala. Em pixels, ele tem $\lambda =8$, $d=50$ e $L=220$, então as fendas estão a apenas 6,25 comprimentos de onda uma da outra, enquanto nas fendas reais são centenas. A fórmula de pequeno ângulo dá
$\Delta y=\frac{\lambda L}{d}=\frac{8\cdot 220}{50}=35,2\mathrm{px}$

A primeira franja clara tem $\sin {\theta }_1=\lambda /d=0,16$, logo ${\theta }_1=9,2^{\circ }$. Sua posição exata, onde $r_2-r_1=\lambda$, fica 35,9 px acima do centro, o comprimento da marca $\Delta y$ ao lado da tela: a 9°, a fórmula de pequeno ângulo erra só 2 %.

Acompanhe o ponto de prova subindo pela tela, com o caminho verde $r_1$ vindo da fenda superior e o roxo $r_2$ da inferior. Sua leitura vai de $-1,76\lambda$ embaixo, passando por 0 na franja central, 0,50 na primeira franja escura, 1,00 na primeira clara, 1,50 na segunda escura, até 1,76 em cima. Assim, a tela tem três franjas claras ($m=0,\pm 1$) e quatro escuras; a segunda ordem, a 18,7°, fica logo além da borda em 16,5°.

As barras laranja mostram as franjas laterais com cerca de três quartos da altura central: a largura de cada fenda, tratada no nível avançado, as reduz.

Exemplo resolvido: medindo o comprimento de onda da luz

Luz de $\lambda =600\mathrm{nm}$ incide em fendas separadas por $d=0,25\mathrm{mm}$, e a tela está a $L=1,0\mathrm{m}$. Com todas as medidas em metros,
$\Delta y=\frac{600\times 10^{-9}\cdot 1,0}{0,25\times 10^{-3}}=2,4\times 10^{-3}\mathrm{m}=2,4\mathrm{mm}$
A primeira franja fica em ${\theta }_1=\lambda /d=2,4\times 10^{-3}\mathrm{rad}$, cerca de 0,14°, onde a aproximação de pequeno ângulo é excelente. Franjas tão finas são uma das razões pelas quais o efeito passou despercebido por tanto tempo.

Invertendo a relação, $\lambda =d\Delta y/L$ mede comprimentos de onda. Com as mesmas fendas e tela, dez espaçamentos das franjas de um ponteiro laser cobrem 26 mm (medir muitos espaçamentos de uma vez divide o erro), então $\Delta y=2,6\mathrm{mm}$ e
$\lambda =\frac{d\Delta y}{L}=\frac{(0,25\times 10^{-3})\cdot (2,6\times 10^{-3})}{1,0}=6,5\times 10^{-7}\mathrm{m}=650\mathrm{nm}$

A luz branca contém todos os comprimentos de onda ao mesmo tempo. A franja central é branca, mas o violeta (400 nm) forma franjas separadas por 1,6 mm e o vermelho (700 nm) por 2,8 mm, então cada franja de primeira ordem é um pequeno espectro, com violeta por dentro e vermelho por fora; após duas ou três ordens, as cores se sobrepõem num brilho esbranquiçado.

Lendo as franjas na tela

As listras e as barras laranja mostram a intensidade $I$, a potência que chega a cada metro quadrado da tela. Para duas fendas estreitas e iguais, ela segue uma curva ${\cos }^2$ suave, faixas claras e lacunas escuras de mesma largura, com cada franja escura exatamente no meio de duas claras: na animação, a primeira franja escura fica a 17,8 px do centro e a primeira clara a 35,9 px.

As amplitudes se somam, e a intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude: numa franja clara a amplitude dobra e a intensidade é $2^2=4$ vezes a de uma fenda, enquanto numa franja escura ela é zero. Na média sobre muitas franjas, ela é exatamente o dobro de uma fenda, porque a luz que falta nas franjas escuras foi para as claras. Cubra uma fenda e as franjas se transformam numa mancha larga e lisa.

Erros comuns

• As franjas escuras não são sombras da parede entre as fendas: as duas fendas iluminam a primeira franja escura, e cobrir qualquer uma delas deixa esse ponto com um quarto do brilho do pico central.
• Afastar as fendas não espalha as franjas; isso as aperta. O espaçamento vai com $1/d$, então dividir $d$ por dois, de 0,25 mm para 0,125 mm, dobra $\Delta y$, de 2,4 mm para 4,8 mm.
• A fórmula $\Delta y=\lambda L/d$ vale só para pequenos ângulos: para fendas separadas por dois comprimentos de onda, a primeira ordem está a 30°, onde $y=L\tan 30^{\circ }=0,58L$, e não $0,5L$.
• Duas lâmpadas separadas, ou até dois lasers, não formam franjas visíveis: suas fases variam muito mais rápido do que o olho acompanha, e só sobra a soma das intensidades. As duas fendas precisam ser iluminadas pela mesma onda.

Onde você encontra isso

Redes de difração com centenas de linhas por milímetro medem comprimentos de onda na maioria dos espectrômetros, e o arco-íris de um CD vem de suas trilhas, separadas por 1,6 µm. A difração também limita a nitidez: a luz que passa por um telescópio ou pela pupila de um olho, de diâmetro $D$, se espalha cerca de $\lambda /D$, como explica O olho, câmeras e telescópios.

Raios X, com comprimentos de onda perto de 0,1 nm, difratam nas fileiras de átomos de um cristal e revelam onde os átomos estão. Elétrons e até moléculas inteiras formam as mesmas franjas, um de cada vez; esse é o ponto de partida de Dualidade onda-partícula. Em seguida, Polarização da luz trata de outra propriedade das ondas de luz: a direção em que elas vibram.

Avançado

Somando os dois campos

As franjas de fenda dupla vêm da soma das próprias ondas, não de suas intensidades; então o primeiro passo é somar corretamente os dois campos. Sejam as fendas separadas por uma distância $d$, e considere um ponto distante na direção $\theta$, medido a partir da direção frontal, com distâncias $r_1$ e $r_2$ às duas fendas. Cada fenda entrega um campo de mesma amplitude $E_0$ e frequência angular $\omega$: $E_0\cos (\omega t-k{r}_1)$ da primeira e $E_0\cos (\omega t-k{r}_2)$ da segunda, em que $k=2\pi /\lambda$ é o número de onda. O termo $\omega t$ é comum aos dois, então só importa a diferença de fase:
$\phi =k(r_2-r_1)=kd\sin \theta$
O último passo usa a diferença de caminho em campo distante $r_2-r_1=d\sin \theta$; a próxima seção verifica quão precisa ela é.

Legenda

$E_0$	Amplitude do campo de uma fenda; as duas fendas dão a mesma.	$V/m$
$\phi$	Diferença de fase dos dois campos, $\phi =kd\sin \theta$: a rotação do prolongamento tracejado da primeira seta até a segunda.	$\mathrm{rad}$
$\phi /2$	Metade da diferença de fase: o ângulo entre a resultante e o primeiro fasor.	$\mathrm{rad}$
$E$	Resultante (campo total): a soma dos dois fasores, fechando o triângulo.	$V/m$

A Figura 1 soma os dois campos como fasores. Um fasor é uma seta cujo comprimento é a amplitude de uma oscilação e cujo ângulo é a sua fase; somar duas oscilações de mesma frequência equivale, então, a somar duas setas ponta a cauda. A seta azul é o campo da primeira fenda, de comprimento $E_0$. A seta verde começa na ponta dela e é o campo da segunda fenda: mesmo comprimento $E_0$, mas girada de $\phi$ em relação ao prolongamento tracejado da seta azul. A seta roxa $E$ liga o início da azul à ponta da verde, então é o campo total.

Agora observe a forma. Dois lados iguais formam um triângulo isósceles, então seus dois ângulos da base são iguais, e juntos somam o ângulo externo $\phi$ na junção: cada um é $\phi /2$. A altura tracejada a partir da junção encontra $E$ em ângulo reto e divide o triângulo em dois triângulos retângulos iguais, cada um com hipotenusa $E_0$ e ângulo $\phi /2$ na cauda da seta azul. Metade da resultante é, portanto, $E_0\cos (\phi /2)$, e o total é
$E=2E_0|\cos (\phi /2)|$
O módulo mantém $E$ positivo quando $\phi$ passa de $\pi$ e o cosseno fica negativo. Duas verificações: em $\phi =0$ as setas ficam numa mesma linha e $E=2E_0$; em $\phi =\pi$ apontam em sentidos opostos e se cancelam.

Um detector não consegue acompanhar a oscilação rápida do campo. Ele mede a intensidade, que é proporcional à média temporal do campo ao quadrado, então $I\propto E^2$. Elevando $E$ ao quadrado e escrevendo $\phi /2=\pi d\sin \theta /\lambda$, obtemos
$I=I_0{\cos }^2\left(\frac{\pi d\sin \theta }{\lambda }\right)$

Aqui $I_0$ é a intensidade no centro, onde os dois campos chegam em fase. Ali a amplitude é dobrada, logo $I_0$ é quatro vezes a intensidade $I_1$ de uma fenda sozinha. (Em Interferência e superposição, $I_0$ significava uma única fonte; aqui significa o pico central.) Nenhuma energia é criada: a média de ${\cos }^2$ sobre muitas franjas é $\frac{1}{2}$, então a intensidade média é $I_0/2=2I_1$, exatamente o que as duas fendas juntas entregam. A interferência apenas move luz das franjas escuras para as claras.

Quão precisa é a diferença de caminho?

O resultado acima usou $r_2-r_1=d\sin \theta$, que trata os dois raios até o ponto como paralelos. Isso é exato apenas a distância infinita, então vale conhecer o erro numa tela real.

Meça a distância $R$ e o ângulo $\theta$ a partir do ponto médio das fendas. A lei dos cossenos dá cada distância exata, $r^2=R^2+d^2/4\pm Rd\sin \theta$, com o sinal de mais para a fenda mais distante. Expanda cada raiz quadrada em potências de $d/R$. As duas distâncias contêm o mesmo termo de segunda ordem $d^2{\cos }^2\theta /(8R)$, que se cancela na diferença; a primeira correção que sobra é de terceira ordem:
$\Delta r=d\sin \theta \left(1-\frac{d^2{\cos }^2\theta }{8R^2}\right)$
Assim, o erro relativo é no máximo $(d/R{)}^2/8$: ele diminui com o quadrado de $d/R$.

Na animação, $d/R\approx 0,22$ na primeira franja clara, então a correção é de apenas 0,6 %. Na tela, a curva exata $r_2-r_1=\lambda$ (uma hipérbole) encontra a franja em 35,9 px, a fórmula de campo distante com $y=L\tan \theta$ dá 35,7 px, e a fórmula de pequeno ângulo $y=\lambda L/d$ dá 35,2 px.

Uma fenda de largura finita

Até aqui, cada fenda era um ponto que emite a mesma amplitude $E_0$ em todas as direções. Uma fenda real tem largura $a$, e cada parte dela age como fonte, então seu brilho depende da direção. Somar essas partes resulta no envelope lento sob as franjas.

Legenda

$E_0$	Comprimento do arco: a amplitude em frente, onde todas as faixas estão em fase.	$V/m$
$E$	Resultante das faixas: a corda do início do arco até o seu fim.	$V/m$
$\rho$	Raio do arco (tracejado), em unidades de campo.	$V/m$
$\beta$	Metade do ângulo que o arco subtende no centro; $2\beta =ka\sin \theta$ é a diferença de fase entre as bordas da fenda.	$\mathrm{rad}$

A Figura 2 soma as partes de uma fenda com fasores. Divida a fenda em muitas faixas estreitas de mesma largura; cada faixa envia um fasor minúsculo, mostrado pelos pontos ao longo da curva azul. Na direção $\theta$, o caminho de cada faixa é maior que o da vizinha pelo mesmo pequeno valor, então cada fasor é girado em relação ao anterior pelo mesmo pequeno ângulo. Uma cadeia de setas iguais, cada uma girada pelo mesmo ângulo, se curva uniformemente: segue um arco de círculo, aqui de raio $\rho$ (os raios tracejados).

Quanto o arco gira? As duas bordas da fenda diferem em caminho por $a\sin \theta$, então o primeiro e o último fasor diferem em fase por $ka\sin \theta$. A direção ao longo de um arco gira do mesmo ângulo que o arco subtende no centro, então esse ângulo central é $ka\sin \theta$. Chame-o de $2\beta$; a Figura 2 o desenha como duas metades $\beta$ de cada lado da bissetriz tracejada. Com $k=2\pi /\lambda$,
$\beta =\frac{\pi a\sin \theta }{\lambda }$

Agora compare o arco com a corda. Bem à frente, em $\theta =0$, todas as faixas estão em fase, a cadeia é uma linha reta, e seu comprimento é a amplitude total $E_0$. Em qualquer outra direção, os fasores minúsculos continuam com o mesmo tamanho, então o arco ainda tem comprimento $E_0$, e como o comprimento do arco é raio vezes ângulo, $E_0=2\rho \beta$. A resultante é a corda roxa $E$, do início do arco até o fim. A bissetriz tracejada a corta em duas metades de $\rho \sin \beta$, então $E=2\rho \sin \beta$. Dividindo uma pela outra, $\rho$ desaparece:
$E=E_0\frac{\sin \beta }{\beta }$

A corda é sempre mais curta que o arco, e se anula quando o arco se fecha. Em $2\beta =2\pi$, a cadeia se enrola no círculo completo à direita da Figura 2, seu fim volta ao início (o ponto roxo), e $E=0$. Isso acontece quando as bordas diferem em caminho por um comprimento de onda:
$a\sin \theta =\lambda \text{(first envelope zero)}$
Um argumento de pareamento dá o mesmo zero sem fasores. Divida a fenda em uma metade superior e uma inferior. Cada faixa da metade superior tem um parceiro $a/2$ abaixo, cujo caminho é então maior em $\lambda /2$, de modo que os dois se cancelam, e assim todo par.

Numa fenda dupla, cada fenda envia a amplitude $E_0\sin \beta /\beta$ na direção $\theta$, a mesma para ambas. Colocando isso no lugar de $E_0$ no resultado da Figura 1, o padrão de fenda dupla se torna um produto de franjas rápidas por um envelope lento:
$I=I_0{\cos }^2\left(\frac{\pi d\sin \theta }{\lambda }\right){\left(\frac{\sin \beta }{\beta }\right)}^2$

Este é o gráfico da nível avançado da animação, cuja fórmula escreve $\sin \theta$ como $y/L$. Lá, $a=14\mathrm{px}=1,75\lambda$ e $d=6,25\lambda$. Os primeiros picos laterais da curva dourada chegam a 0,77 da altura central, onde tocam o envelope tracejado; o envelope caiu para 0,37 nas bordas da tela, e seu primeiro zero, a 34,8°, fica bem fora da tela.

Uma franja clara que cai exatamente sobre um zero do envelope desaparece. Com $d=3a$, a terceira ordem fica em $\sin \theta =3\lambda /d=\lambda /a$, o primeiro zero do envelope, e some. Em geral, quando $d/a$ é um número inteiro $n$, as ordens $n$, $2n$, … faltam.

O padrão como transformada de Fourier

As somas de fasores das Figuras 1 e 2 são dois casos de uma só regra: a amplitude em campo distante é a transformada de Fourier da abertura. Essa regra explica de imediato por que os dois fatores se multiplicam e por que detalhes pequenos produzem padrões largos.

Legenda

$A$	Transmissão da abertura: 1 dentro de uma fenda, 0 na parede.
$x$	Posição ao longo da abertura, na linha que une as fendas.	$\mathrm{m}$
$a$	Largura de cada fenda.	$\mathrm{m}$
$d$	Distância entre os centros das duas fendas.	$\mathrm{m}$
$I$	Intensidade do padrão na direção $\theta$: franjas douradas sob o envelope tracejado.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$\sin \theta$	Seno do ângulo $\theta$ da luz que sai, medido a partir da frente; o eixo horizontal do padrão.
$\lambda /d$	Período das franjas: o espaçamento entre franjas claras vizinhas em $\sin \theta$.
$\lambda /a$	Valor de $\sin \theta$ nos primeiros zeros do envelope, marcados por anéis onde uma franja falta.

A Figura 3 coloca uma abertura acima do seu padrão de campo distante. O gráfico superior é a transmissão $A$ contra a posição $x$ ao longo da abertura: $A=1$ dentro de cada fenda e $A=0$ na parede entre elas. As fendas têm largura $a$ (barra roxa) e centros separados por uma distância $d$ (barra dourada). O gráfico inferior é a intensidade $I$ contra $\sin \theta$: franjas douradas sob um envelope roxo tracejado. Combine as cores. O espaçamento dourado $d$ fixa o período das franjas douradas $\lambda /d$, e a largura roxa $a$ fixa o envelope roxo, cujos primeiros zeros estão em $\sin \theta =\pm \lambda /a$. Aqui $d=3a$, então a terceira franja de cada lado cai num zero do envelope e falta, nos anéis.

Eis a regra. Longe da abertura, uma faixa de largura $dx$ na posição $x$ tem um caminho que difere do da faixa em $x=0$ por $x\sin \theta$, pela mesma geometria das duas fendas, então sua fase difere por $kx\sin \theta$. Escreva cada contribuição como uma exponencial complexa, pondere-a pela transmissão $A(x)$ e some sobre todas as faixas:
$E(\theta )\propto \int A(x)e^{-iqx}dx,q=k\sin \theta$
Essa integral é a transformada de Fourier de $A(x)$, com $q$ no papel de frequência espacial.

Ela reproduz os dois resultados anteriores. Duas fendas muito estreitas em $x=\pm d/2$ dão $e^{-iqd/2}+e^{iqd/2}=2\cos (qd/2)$, e como $qd/2=\pi d\sin \theta /\lambda$, seu quadrado são as franjas ${\cos }^2$. Uma fenda de largura $a$, de $-a/2$ a $a/2$, dá $a\sin (qa/2)/(qa/2)=a\sin \beta /\beta$, porque $qa/2=\beta$: o envelope.

Duas fendas largas são uma fenda larga copiada em dois lugares. Na linguagem das transformadas, a abertura é a convolução da fenda única com o par de fendas estreitas, e a transformada de uma convolução é o produto das transformadas. Por isso o fator das franjas e o envelope se multiplicam.

A transformada também mostra a reciprocidade por trás de toda difração: uma estrutura de tamanho $s$ na abertura produz estrutura na escala angular $\lambda /s$. Na Figura 3, o espaçamento grande $d$ gera as franjas finas, e a largura pequena $a$, o envelope amplo. Uma lente forma o padrão de campo distante no seu plano focal, a uma distância finita, e os padrões de raios X que revelaram as estruturas dos cristais são os quadrados dos módulos da transformada da densidade eletrônica do cristal.

Muitas fendas: a rede de difração

Acrescentar mais fendas com o mesmo espaçamento mantém os máximos claros nos mesmos lugares, mas os torna bem mais nítidos e brilhantes. Essa nitidez é o que faz de uma rede uma ferramenta precisa para medir comprimentos de onda.

Legenda

$E_0$	Amplitude do campo de uma fenda: o comprimento de cada fasor.	$V/m$
$\phi$	Passo de fase entre fendas vizinhas, $\phi =kd\sin \theta$: a rotação de um fasor para o próximo.	$\mathrm{rad}$
$E$	Resultante de todos os fasores: o lado de fechamento do polígono.	$V/m$

A metade esquerda da Figura 4 soma os campos de $N=5$ fendas iguais com espaçamento $d$. Cada seta azul tem comprimento $E_0$ e está girada do mesmo ângulo $\phi =kd\sin \theta$ em relação à anterior; o ângulo está marcado numa junção. Setas de mesmo comprimento com as mesmas rotações traçam parte de um polígono regular, então todos os vértices estão sobre um círculo (tracejado). A resultante roxa $E$ é o lado de fechamento do polígono, do início da primeira seta até a ponta da última.

O círculo dá o comprimento de $E$. Uma corda que subtende um ângulo $\alpha$ no centro de um círculo de raio $\rho$ tem comprimento $2\rho \sin (\alpha /2)$. Cada lado gira de $\phi$, então, como na Figura 2, subtende $\phi$ no centro e $E_0=2\rho \sin (\phi /2)$. O lado de fechamento abrange todos os $N$ lados e subtende $N\phi$, então $E=2\rho |\sin (N\phi /2)|$. Dividindo, $\rho$ desaparece, e elevando ao quadrado,
$I=I_1{\left(\frac{\sin (N\phi /2)}{\sin (\phi /2)}\right)}^2$
onde $I_1$ é a intensidade de uma fenda. Para $N=2$, a razão é $\sin \phi /\sin (\phi /2)=2\cos (\phi /2)$, então isso é de novo $4I_1{\cos }^2(\phi /2)$, o resultado de duas fendas.

Sempre que $\phi$ é um múltiplo inteiro de $2\pi$, todas as setas apontam para o mesmo lado e se alinham: $E=N{E}_0$, e a intensidade chega a $N^2{I}_1$. Esses máximos principais continuam em $d\sin \theta =m\lambda$, como para duas fendas. Afastando-se de um máximo, a cadeia se enrola e se fecha primeiro em $\phi =2\pi /N$: essa é a metade direita da Figura 4, um pentágono fechado com $E=0$ (o ponto roxo). Assim, a meia largura de cada máximo, do pico até o primeiro zero, é $1/N$ do espaçamento $2\pi$ entre máximos, $N/2$ vezes mais estreita do que com duas fendas. Entre máximos vizinhos há $N-1$ zeros e $N-2$ picos secundários fracos. A luz fica concentrada, não criada: a intensidade média continua sendo $N{I}_1$.

Uma rede com 500 linhas por milímetro tem espaçamento de 2,0 µm. Para luz de 600 nm, $\lambda /d=0,3$, então $\sin \theta =m\lambda /d$ é 0,3, 0,6 e 0,9 nas três primeiras ordens: elas saem a 17,5°, 36,9° e 64,2°. Uma quarta ordem precisaria de $\sin \theta =1,2$ e não existe.

Dois comprimentos de onda próximos são considerados separados quando o máximo de um cai sobre o primeiro zero do outro. Tome o ângulo do máximo de ordem $m$ para $\lambda +\Delta \lambda$, onde $d\sin \theta =m(\lambda +\Delta \lambda )$. Ali o passo de fase para $\lambda$ é $2\pi m+2\pi m\Delta \lambda /\lambda$, e ele deve exceder $2\pi m$ pelo passo até o primeiro zero, $2\pi /N$. Fazendo $m\Delta \lambda /\lambda =1/N$, obtemos o poder de resolução
$\lambda /\Delta \lambda =mN$
As linhas amarelas do sódio, 589,0 e 589,6 nm, precisam de cerca de 1000 linhas na primeira ordem. 2 cm dessa rede têm 10.000 linhas e separam, na primeira ordem, linhas separadas por 0,06 nm em 600 nm.

Problema resolvido: tamanhos de fenda a partir de um padrão

Luz laser de 600 nm passa por uma fenda dupla, e uma tela a 1,0 m mostra franjas separadas por 2,4 mm. As franjas se apagam em direção às laterais, e a quinta de cada lado, a ±12 mm, está ausente, deixando nove na faixa central. Encontre a separação entre as fendas $d$, a largura da fenda $a$ e o brilho de cada franja.

O espaçamento das franjas dá a separação. Franjas claras vizinhas diferem em caminho por um comprimento de onda, então, para pequenos ângulos, $\Delta y=\lambda L/d$, e
$d=\lambda L/\Delta y=(600\times 10^{-9}\cdot 1,0)/(2,4\times 10^{-3})=0,25\mathrm{mm}$

A lacuna dá a largura. A franja ausente cai sobre o primeiro zero do envelope, $a\sin \theta =\lambda$, que, para pequenos ângulos, está em $y=\lambda L/a=12\mathrm{mm}$, então
$a=(600\times 10^{-9}\cdot 1,0)/(12\times 10^{-3})=0,050\mathrm{mm}$
Assim $d=5a$, e por isso a quinta ordem é a que falta. Uma checagem no campo distante: $a^2/\lambda =4,2\mathrm{mm}$, bem abaixo de 1,0 m, então valem as fórmulas de campo distante.

Na franja de ordem $m$, $\sin \theta =m\lambda /d$, então $\beta =\pi a\sin \theta /\lambda =\pi ma/d=\pi m/5$. Toda franja clara tem ${\cos }^2=1$, então seu brilho depende apenas do envelope: $(\sin \beta /\beta {)}^2$ dá 1, 0,88, 0,57, 0,25 e 0,05 do centro para $m=0$ a 4, e depois 0 para $m=5$. Além da lacuna, as franjas voltam numa faixa lateral cuja franja mais clara fica abaixo de 5 % do centro.

A animação tem $d/a=50/14=3,57$, que não é inteiro, então nenhuma ordem se perde completamente. Suas primeiras ordens chegam a 0,77, a segunda a 0,31 e a terceira a apenas 0,033, logo dentro do zero do envelope em $m=3,57$; uma tela mais larga mostraria sete franjas na faixa central. Fendas alargadas para $a=d/3\approx 16,7\mathrm{px}$ removeriam exatamente a terceira ordem.

Um quantum de cada vez

O mesmo padrão sobrevive quando a luz é tão fraca que chega um fóton por vez, e aparece também para elétrons. Aqui, a regra de somar campos se torna a regra central da mecânica quântica.

Reduza a luz até que os fótons cheguem um a um: a tela registra lampejos isolados em pontos aleatórios, mas depois de muitos milhares de lampejos eles se acumulam nas mesmas franjas ${\cos }^2$. Elétrons fazem o mesmo, com o comprimento de onda de de Broglie $\lambda =h/p$, em que $p$ é a quantidade de movimento e $h$ a constante de Planck. Acelerado por 100 V, um elétron tem $\lambda =0,123\mathrm{nm}$, então fendas separadas por 1 µm dariam franjas separadas por 0,12 mm numa tela a 1 m.

A regra é a dos campos, aplicada às amplitudes de probabilidade. Cada caminho até um ponto tem uma amplitude complexa, ${\varphi }_1$ pela primeira fenda e ${\varphi }_2$ pela outra, e a probabilidade de chegar ali é o quadrado do módulo da soma delas:
$P=|{\varphi }_1+{\varphi }_2{|}^2=|{\varphi }_1{|}^2+|{\varphi }_2{|}^2+2|{\varphi }_1||{\varphi }_2|\cos (k\Delta r)$
Os dois primeiros termos são os padrões de fenda única. O último termo é a interferência, com $k=p/\hslash$ e $\hslash =h/(2\pi )$; sem ele, as fendas simplesmente somariam seus padrões de fenda única, sem franjas.

Registrar por qual fenda cada partícula passa elimina o termo cruzado, e as franjas vão junto. A razão é o empurrão que a medição provoca. Luz capaz de distinguir as fendas precisa ter comprimento de onda menor que cerca de $d$, então cada um de seus fótons carrega uma quantidade de movimento de pelo menos cerca de $h/d$. Espalhar um deles desvia o caminho da partícula em até cerca de $(h/d)/p=\lambda /d$, que é um espaçamento de franja em ângulo, e os empurrões de tamanho aleatório borram as franjas, como explica Dualidade onda-partícula.

Limites de validade

A teoria escalar usada aqui trata a luz como uma única amplitude de onda, ignorando a direção do seu campo elétrico, e trata as fendas como furos numa tela perfeitamente preta. Isso funciona para fendas com largura de vários comprimentos de onda. Uma fenda mais estreita que um comprimento de onda não tem zero de envelope ($a\sin \theta =\lambda$ exige $a\ge \lambda$), espalha a luz quase igualmente atrás de si e transmite de modo diferente campos paralelos a ela e perpendiculares a ela, um efeito de polarização que a imagem escalar deixa de fora.

As franjas também exigem coerência: as ondas precisam manter uma relação de fase estável. Uma faixa de comprimentos de onda $\Delta \lambda$ limita o comprimento de coerência, a diferença de caminho pela qual a fase permanece estável, a cerca de ${\lambda }^2/\Delta \lambda$. Para a luz branca, isso é cerca de 1 µm, apenas dois ou três comprimentos de onda, então só as duas ou três primeiras ordens mostram cores, enquanto um laser, coerente por centímetros a metros, dá franjas bem afastadas.

Uma fonte de tamanho angular $\alpha$ também borra o padrão. Cada ponto da fonte faz sua própria cópia do padrão, deslocada em ângulo pela sua direção, e as cópias se apagam quando $\alpha$ se aproxima do espaçamento de franja $\lambda /d$. Para as fendas de 0,25 mm do problema resolvido, isso dá 2,4 mrad, mas o Sol abrange 9,3 mrad, então a luz solar direta só forma franjas através de fendas mais próximas que cerca de 0,06 mm: daí o furo de alfinete ou a fenda única na frente das montagens clássicas. A coerência parcial reduz a visibilidade $V=(I_{\max }-I_{\min })/(I_{\max }+I_{\min })$ abaixo de 1.

Por fim, a fórmula do envelope supõe o campo distante, $L\gg a^2/\lambda$; mais perto, na região de Fresnel, o padrão muda de forma com a distância. As posições das franjas da fenda dupla precisam apenas de $d\ll L$, como mostrou a seção sobre a diferença de caminho. É por isso que as franjas da animação obedecem a $d\sin \theta =m\lambda$, embora $d^2/\lambda =312\mathrm{px}$ supere $L=220\mathrm{px}$.

Para onde isso leva

Muitas fendas formam a rede no coração da maioria dos espectrômetros, e os espectros de linhas que elas registram levam a Modelos atômicos: o átomo de Bohr. Uma abertura circular de diâmetro $D$ espalha a luz numa mancha de raio angular $1,22\lambda /D$, o limite de resolução de O olho, câmeras e telescópios. Os campos que se somam aqui são os de Ondas eletromagnéticas, e a direção em que eles oscilam é o tema de Polarização da luz.

A regra das amplitudes $P=|{\varphi }_1+{\varphi }_2{|}^2$ é o núcleo da mecânica quântica: Dualidade onda-partícula a constrói a partir de elétrons individuais, e Equação de Schrödinger e tunelamento a transforma numa equação de onda para a matéria.