Diffraction et fentes de Young

Débutant

Étape 1, la lumière contourne un peu les obstacles. On aligne des objets en visant le long d'eux parce que la lumière va d'habitude en ligne droite. Mais faites-la passer par une fente très étroite, et elle s'étale en éventail de l'autre côté. Cet étalement s'appelle la diffraction. Le son fait de même par une porte ouverte, et c'est pourquoi on entend quelqu'un derrière un coin ; pour la lumière, l'ouverture doit être minuscule, car ses ondes sont très courtes. Plus la fente est étroite, plus l'étalement est large. De petits projectiles passeraient tout droit ; seules des ondes s'étalent ainsi.

Étape 2, deux fentes. Donnons maintenant à la lumière deux fentes étroites et proches. Chacune émet ses propres rides circulaires, et les deux séries se superposent. Là où une crête venue d'une fente rencontre une crête venue de l'autre, elles s'additionnent et l'écran est brillant. Là où une crête rencontre un creux, elles s'annulent et l'écran reste sombre. Cette addition des ondes s'appelle l'interférence.

Dans l'animation, des ondes planes arrivent de la gauche, s'étalent à partir des deux fentes, et l'écran se couvre de bandes brillantes et sombres ; les barres orange indiquent la luminosité de chaque point.

Étape 3, pourquoi des bandes. La bande centrale est brillante car elle est à égale distance des deux fentes : les ondes y arrivent en phase. Montez un peu et un trajet s'allonge : une demi-onde de plus donne l'obscurité, une onde entière de plus donne la bande brillante suivante.

Thomas Young réalisa cette expérience vers 1801, et elle convainquit les physiciens que la lumière est une onde : de la lumière ajoutée à de la lumière peut donner de l'obscurité. Masquez une fente et les bandes disparaissent : il ne reste qu'une tache uniforme.

Testez-vous : en un point de l'écran, un trajet est plus long que l'autre d'exactement deux longueurs d'onde. Brillant ou sombre ? (Brillant : les crêtes arrivent de nouveau ensemble.)

Intermédiaire

Diffraction : les ondes s'étalent derrière une ouverture

La lumière semble se propager en ligne droite, et c'est pourquoi les ombres ont des bords nets. Pourtant, toute onde s'étale après avoir franchi une ouverture : c'est la diffraction. D'après le principe de Huygens, chaque point d'un front d'onde se comporte comme une source d'ondelettes, et l'onde plus loin est leur somme. Une ouverture large reconstitue un faisceau droit ; une ouverture étroite se comporte presque comme une source unique, et l'onde s'étale en cercles.

Pour une longueur d'onde $\lambda$ et une ouverture de largeur $a$, l'étalement est d'environ $\lambda /a$ radians. Le son, dont les longueurs d'onde avoisinent 1 m, traverse une porte et se répand dans toute la pièce ; la lumière verte, avec $\lambda \approx 500\mathrm{nm}$, ne s'étale que d'un demi-millimètre par mètre derrière un trou de 1 mm de large. Pour mettre en évidence la diffraction de la lumière, une fente doit donc mesurer une fraction de millimètre.

Deux fentes éclairées par une même onde

Dans l'animation, des crêtes droites atteignent deux fentes étroites distantes de $d$, derrière lesquelles se trouve un écran à la distance $L$. La même crête arrive en même temps aux deux fentes, qui émettent donc des ondelettes en phase : ce sont des sources cohérentes. Un point de l'écran situé à des distances $r_1$ et $r_2$ des fentes est brillant ou sombre selon la différence de marche $\Delta r=r_2-r_1$.

Là où un trajet est plus long d'un nombre entier de longueurs d'onde, une crête arrive avec une crête ; là où il l'est d'un nombre impair de demi-longueurs d'onde, une crête arrive avec un creux :

• $\Delta r=m\lambda \text{(frange brillante)}$
• $\Delta r=\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda \text{(frange sombre)}$

Ici $m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$ est l'ordre de la frange. La frange centrale, $m=0$, est brillante parce que l'axe est à égale distance des deux fentes ; les ordres sont négatifs sous l'axe et positifs au-dessus, comme sur l'affichage de l'animation.

De la différence de marche à l'angle

Quand l'écran est lointain ($L\gg d$), les deux trajets vers un point sont pratiquement parallèles, à un angle $\theta$ de l'axe central. Une perpendiculaire abaissée de la fente supérieure sur le trajet inférieur découpe un petit triangle rectangle, dont l'hypoténuse est $d$ et dont le côté opposé à l'angle $\theta$ est le trajet supplémentaire,
$\Delta r=d\sin \theta$

Les conditions de frange brillante et de frange sombre deviennent donc des conditions sur l'angle :
$d\sin \theta =m\lambda \text{(frange brillante)}$
$d\sin \theta =\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda \text{(frange sombre)}$
Comme $\sin \theta \le 1$, au plus $d/\lambda$ ordres tiennent de chaque côté.

Près de l'axe, l'approximation des petits angles $\sin \theta \approx \tan \theta =y/L$ s'applique, où $y$ est la hauteur sur l'écran ; la frange brillante d'ordre $m$ se trouve donc en $y_m=m\lambda L/d$, et les franges sont équidistantes :
$\Delta y=\frac{\lambda L}{d}$
Une lumière rouge, des fentes plus rapprochées et un écran plus éloigné donnent tous des franges plus larges.

Exemple résolu : la figure de l'animation

Le dessin n'est pas à l'échelle. En pixels, il a $\lambda =8$, $d=50$ et $L=220$, si bien que les fentes ne sont distantes que de 6,25 longueurs d'onde, alors que de vraies fentes le sont de plusieurs centaines. La formule des petits angles donne
$\Delta y=\frac{\lambda L}{d}=\frac{8\cdot 220}{50}=35,2\mathrm{px}$

La première frange brillante vérifie $\sin {\theta }_1=\lambda /d=0,16$, donc ${\theta }_1=9,2^{\circ }$. Sa position exacte, là où $r_2-r_1=\lambda$, est à 35,9 px au-dessus du centre, la longueur du repère $\Delta y$ placé près de l'écran : à 9°, la formule des petits angles n'est trop petite que de 2 %.

Suivez le point sonde qui monte le long de l'écran, relié aux fentes par le trajet vert $r_1$, issu de la fente supérieure, et par le trajet violet $r_2$, issu de la fente inférieure. Son affichage va de $-1,76\lambda$ en bas à 1,76 en haut, en passant par 0 sur la frange centrale, 0,50 sur la première frange sombre, 1,00 sur la première frange brillante et 1,50 sur la deuxième frange sombre. L'écran contient donc trois franges brillantes ($m=0,\pm 1$) et quatre franges sombres ; le deuxième ordre, à 18,7°, se trouve juste au-delà du bord de l'écran, à 16,5°.

Les barres orange montrent les franges latérales à environ les trois quarts seulement de la hauteur de la frange centrale : la largeur de chaque fente, traitée au niveau expert, les affaiblit.

Exemple résolu : mesurer la longueur d'onde de la lumière

Une lumière de longueur d'onde $\lambda =600\mathrm{nm}$ tombe sur des fentes distantes de $d=0,25\mathrm{mm}$, et l'écran est à $L=1,0\mathrm{m}$. Avec toutes les longueurs en mètres,
$\Delta y=\frac{600\times 10^{-9}\cdot 1,0}{0,25\times 10^{-3}}=2,4\times 10^{-3}\mathrm{m}=2,4\mathrm{mm}$
La première frange se trouve en ${\theta }_1=\lambda /d=2,4\times 10^{-3}\mathrm{rad}$, soit environ 0,14°, où l'approximation des petits angles est excellente. Des franges aussi fines expliquent en partie que l'effet soit resté si longtemps inaperçu.

Lue à l'envers, la formule $\lambda =d\Delta y/L$ permet de mesurer des longueurs d'onde. Avec les mêmes fentes et le même écran, les franges d'un pointeur laser s'étendent sur 26 mm pour dix interfranges (en mesurer plusieurs à la fois divise l'erreur), donc $\Delta y=2,6\mathrm{mm}$ et
$\lambda =\frac{d\Delta y}{L}=\frac{(0,25\times 10^{-3})\cdot (2,6\times 10^{-3})}{1,0}=6,5\times 10^{-7}\mathrm{m}=650\mathrm{nm}$

La lumière blanche contient toutes les longueurs d'onde à la fois. La frange centrale est blanche, mais le violet (400 nm) donne des franges espacées de 1,6 mm et le rouge (700 nm) de 2,8 mm ; chaque frange du premier ordre est donc un petit spectre, violet à l'intérieur et rouge à l'extérieur, et après deux ou trois ordres les couleurs se chevauchent en une lueur blanchâtre.

Lire les franges sur l'écran

Les bandes et les barres orange représentent l'intensité $I$, la puissance reçue par chaque mètre carré de l'écran. Pour deux fentes étroites et identiques, elle suit une courbe en ${\cos }^2$ régulière, avec des bandes brillantes et des intervalles sombres de même largeur, chaque frange sombre se trouvant à mi-chemin entre deux franges brillantes : dans l'animation, la première frange sombre est à 17,8 px du centre et la première frange brillante à 35,9 px.

Les amplitudes s'additionnent, et l'intensité varie comme le carré de l'amplitude : sur une frange brillante, l'amplitude double et l'intensité vaut $2^2=4$ fois celle d'une fente, alors que sur une frange sombre elle est nulle. Moyennée sur de nombreuses franges, elle vaut exactement le double de celle d'une fente, car la lumière qui manque aux franges sombres est passée dans les brillantes. Masquez une fente et les franges disparaissent en une tache large et uniforme.

Erreurs fréquentes

• Les franges sombres ne sont pas les ombres du mur situé entre les fentes : les deux fentes éclairent la première frange sombre, et boucher l'une ou l'autre fait que ce point reçoit le quart de l'intensité du pic central.
• Écarter les fentes n'étale pas les franges, cela les resserre. L'interfrange varie en $1/d$ : diviser $d$ par deux, de 0,25 mm à 0,125 mm, double $\Delta y$, de 2,4 mm à 4,8 mm.
• La formule $\Delta y=\lambda L/d$ ne vaut qu'aux petits angles : pour des fentes distantes de deux longueurs d'onde, le premier ordre est à 30°, où $y=L\tan 30^{\circ }=0,58L$, et non $0,5L$.
• Deux lampes séparées, et même deux lasers, ne donnent pas de franges visibles : leurs phases fluctuent bien plus vite que l'œil ne peut le suivre, et il ne reste que la somme de leurs intensités. Les deux fentes doivent être éclairées par la même onde.

Où on la rencontre

Les réseaux de plusieurs centaines de traits par millimètre servent à mesurer les longueurs d'onde dans la plupart des spectromètres, et l'arc-en-ciel d'un CD vient de ses pistes, espacées de 1,6 µm. La diffraction limite aussi la netteté : la lumière qui traverse une lunette ou la pupille d'un œil, de diamètre $D$, s'étale d'environ $\lambda /D$, comme l'explique L'œil, l'appareil photo et la lunette.

Les rayons X, dont les longueurs d'onde avoisinent 0,1 nm, sont diffractés par les rangées d'atomes d'un cristal et révèlent la place de ces atomes. Les électrons, et même des molécules entières, construisent les mêmes franges un à un, ce qui est le point de départ de Dualité onde-corpuscule. La leçon suivante, Polarisation de la lumière, aborde une autre propriété des ondes lumineuses : la direction dans laquelle elles vibrent.

Avancé

Additionner les deux champs

Les franges de deux fentes viennent de l'addition des ondes elles-mêmes, et non de leurs luminosités ; la première tâche est donc d'additionner correctement les deux champs. Soit deux fentes distantes de $d$, et un point éloigné situé dans la direction $\theta$, mesurée à partir de l'axe, à des distances $r_1$ et $r_2$ des deux fentes. Chaque fente fournit un champ de même amplitude $E_0$ et de même pulsation $\omega$ : $E_0\cos (\omega t-k{r}_1)$ pour la première et $E_0\cos (\omega t-k{r}_2)$ pour la seconde, où $k=2\pi /\lambda$ est le nombre d'onde. Le terme $\omega t$ est commun aux deux, de sorte que seul compte le déphasage :
$\phi =k(r_2-r_1)=kd\sin \theta$
La dernière égalité utilise la différence de marche en champ lointain, $r_2-r_1=d\sin \theta$ ; la section suivante vérifie sa précision.

Légende

$E_0$	Amplitude du champ d'une fente ; les deux fentes donnent la même.	$V/m$
$\phi$	Déphasage des deux champs, $\phi =kd\sin \theta$ : la rotation entre le prolongement en pointillés de la première flèche et la seconde.	$\mathrm{rad}$
$\phi /2$	Moitié du déphasage : l'angle entre la résultante et le premier phaseur.	$\mathrm{rad}$
$E$	Résultante (champ total) : la somme des deux phaseurs, qui ferme le triangle.	$V/m$

La figure 1 additionne les deux champs sous forme de phaseurs. Un phaseur est une flèche dont la longueur est l'amplitude d'une oscillation et dont l'angle est sa phase ; additionner deux oscillations de même fréquence revient alors à additionner deux flèches bout à bout. La flèche bleue est le champ de la première fente, de longueur $E_0$. La flèche verte part de sa pointe et représente le champ de la seconde fente : même longueur $E_0$, mais tournée de $\phi$ par rapport au prolongement en pointillés de la flèche bleue. La flèche violette $E$ va de l'origine de la première à la pointe de la seconde : c'est donc le champ total.

Regardons maintenant la forme. Deux côtés égaux font un triangle isocèle ; ses deux angles à la base sont donc égaux, et ensemble ils valent l'angle extérieur $\phi$ à la jonction : chacun vaut $\phi /2$. La hauteur en pointillés issue de la jonction coupe $E$ à angle droit et partage le triangle en deux triangles rectangles égaux, d'hypoténuse $E_0$ et d'angle $\phi /2$ à l'origine de la flèche bleue. La moitié de la résultante vaut donc $E_0\cos (\phi /2)$, et la résultante entière
$E=2E_0|\cos (\phi /2)|$
La valeur absolue garde $E$ positif quand $\phi$ dépasse $\pi$ et que le cosinus devient négatif. Deux vérifications : pour $\phi =0$, les flèches sont alignées et $E=2E_0$ ; pour $\phi =\pi$, elles sont de sens opposés et se compensent.

Un détecteur ne peut pas suivre l'oscillation rapide du champ. Il mesure l'intensité, proportionnelle à la moyenne temporelle du carré du champ, donc $I\propto E^2$. En élevant $E$ au carré et en écrivant $\phi /2=\pi d\sin \theta /\lambda$, on obtient
$I=I_0{\cos }^2\left(\frac{\pi d\sin \theta }{\lambda }\right)$

Ici, $I_0$ est l'intensité au centre, où les deux champs arrivent en phase. L'amplitude y est doublée, donc $I_0$ vaut quatre fois l'intensité $I_1$ d'une seule fente. (Dans « Interférences et superposition », $I_0$ désignait une seule source ; ici, c'est le pic central.) Aucune énergie n'est créée : la moyenne de ${\cos }^2$ sur de nombreuses franges vaut $\frac{1}{2}$, donc l'intensité moyenne est $I_0/2=2I_1$, exactement ce que fournissent ensemble les deux fentes. L'interférence ne fait que déplacer la lumière des franges sombres vers les franges brillantes.

Quelle précision pour la différence de marche ?

Le résultat ci-dessus utilisait $r_2-r_1=d\sin \theta$, ce qui revient à traiter comme parallèles les deux rayons qui vont au point. C'est exact seulement à une distance infinie ; il vaut donc la peine de connaître l'erreur sur un écran réel.

Mesurons la distance $R$ et l'angle $\theta$ à partir du milieu des fentes. La loi des cosinus donne chaque distance exacte, $r^2=R^2+d^2/4\pm Rd\sin \theta$, avec le signe plus pour la fente la plus éloignée. Développons chaque racine carrée en puissances de $d/R$. Les deux distances contiennent le même terme du second ordre, $d^2{\cos }^2\theta /(8R)$, qui disparaît dans la différence ; la première correction qui subsiste est du troisième ordre :
$\Delta r=d\sin \theta \left(1-\frac{d^2{\cos }^2\theta }{8R^2}\right)$
L'erreur relative est donc au plus de $(d/R{)}^2/8$ : elle décroît comme le carré de $d/R$.

Dans l'animation, $d/R\approx 0,22$ à la première frange brillante, donc la correction n'est que de 0,6 %. Sur l'écran, la courbe exacte $r_2-r_1=\lambda$ (une hyperbole) le coupe à 35,9 px, la formule de champ lointain avec $y=L\tan \theta$ donne 35,7 px, et la formule des petits angles $y=\lambda L/d$ donne 35,2 px.

Une fente de largeur finie

Jusqu'ici, chaque fente était un point qui envoie la même amplitude $E_0$ dans toutes les directions. Une fente réelle a une largeur $a$, et chacune de ses parties se comporte comme une source ; sa luminosité dépend donc de la direction. L'addition de ces parties donne l'enveloppe lente sous les franges.

Légende

$E_0$	Longueur de l'arc : l'amplitude droit devant, où toutes les bandes sont en phase.	$V/m$
$E$	Résultante des bandes : la corde, du début de l'arc à sa fin.	$V/m$
$\rho$	Rayon de l'arc (en pointillés), en unités de champ.	$V/m$
$\beta$	Moitié de l'angle sous lequel l'arc est vu depuis son centre ; $2\beta =ka\sin \theta$ est le déphasage entre les bords de la fente.	$\mathrm{rad}$

La figure 2 additionne avec des phaseurs les parties d'une fente. Découpons la fente en de nombreuses bandes étroites de même largeur ; chaque bande envoie un minuscule phaseur, figuré par les points le long de la courbe bleue. Dans la direction $\theta$, le trajet de chaque bande est plus long que celui de sa voisine d'une même petite quantité, si bien que chaque phaseur est tourné par rapport au précédent d'un même petit angle. Une chaîne de flèches égales, chacune tournée du même angle, s'incurve régulièrement : elle suit un arc de cercle, ici de rayon $\rho$ (les rayons en pointillés).

De combien l'arc tourne-t-il ? Les deux bords de la fente diffèrent en trajet de $a\sin \theta$, donc le premier et le dernier phaseur diffèrent en phase de $ka\sin \theta$. Le long d'un arc, la direction tourne d'autant que l'angle sous lequel l'arc est vu depuis son centre ; cet angle au centre vaut donc $ka\sin \theta$. Notons-le $2\beta$ ; la figure 2 le dessine en deux moitiés $\beta$ de part et d'autre de la bissectrice en pointillés. Avec $k=2\pi /\lambda$,
$\beta =\frac{\pi a\sin \theta }{\lambda }$

Comparons maintenant l'arc et la corde. Droit devant, en $\theta =0$, toutes les bandes sont en phase, la chaîne est un segment de droite, et sa longueur est l'amplitude totale $E_0$. Dans toute autre direction, les minuscules phaseurs ont la même longueur, donc l'arc garde la longueur $E_0$ ; comme la longueur d'un arc est le rayon multiplié par l'angle, $E_0=2\rho \beta$. La résultante est la corde violette $E$, du début de l'arc à sa fin. La bissectrice en pointillés la coupe en deux moitiés de $\rho \sin \beta$, donc $E=2\rho \sin \beta$. En divisant l'une par l'autre, on élimine $\rho$ :
$E=E_0\frac{\sin \beta }{\beta }$

La corde est toujours plus courte que l'arc, et elle s'annule quand l'arc se referme. Pour $2\beta =2\pi$, la chaîne s'enroule en un cercle complet, à droite sur la figure 2, son extrémité retombe sur son début (le point violet) et $E=0$. Cela se produit quand les bords diffèrent en trajet d'une longueur d'onde :
$a\sin \theta =\lambda \text{(premier zeˊro de l’enveloppe)}$
Un raisonnement par paires donne le même zéro sans phaseurs. Séparons la fente en une moitié haute et une moitié basse. Chaque bande de la moitié haute a une partenaire située $a/2$ plus bas, dont le trajet est alors plus long de $\lambda /2$ ; les deux s'annulent, et toutes les paires aussi.

Dans une double fente, chaque fente envoie dans la direction $\theta$ l'amplitude $E_0\sin \beta /\beta$, la même pour les deux. En la mettant à la place de $E_0$ dans le résultat de la figure 1, on fait de la figure à deux fentes un produit de franges rapides et d'une enveloppe lente :
$I=I_0{\cos }^2\left(\frac{\pi d\sin \theta }{\lambda }\right){\left(\frac{\sin \beta }{\beta }\right)}^2$

C'est le graphe de la couche experte de l'animation, dont la formule écrit $\sin \theta$ sous la forme $y/L$. On y a $a=14\mathrm{px}=1,75\lambda$ et $d=6,25\lambda$. Les premiers pics latéraux de la courbe dorée atteignent 0,77 de la hauteur centrale, là où ils touchent l'enveloppe en pointillés ; l'enveloppe est tombée à 0,37 aux bords de l'écran, et son premier zéro, à 34,8°, est loin hors de l'écran.

Une frange brillante qui tombe exactement sur un zéro de l'enveloppe est absente. Avec $d=3a$, le troisième ordre se trouve en $\sin \theta =3\lambda /d=\lambda /a$, premier zéro de l'enveloppe, et disparaît. En général, chaque fois que $d/a$ est un nombre entier $n$, les ordres $n$, $2n$, … manquent.

La figure en champ lointain : une transformée de Fourier

Les sommes de phaseurs des figures 1 et 2 sont deux cas d'une même règle : l'amplitude en champ lointain est la transformée de Fourier de l'ouverture. Cette règle explique d'un coup pourquoi les deux facteurs se multiplient et pourquoi les petits détails donnent des figures larges.

Légende

$A$	Transmission de l'ouverture : 1 dans une fente, 0 sur la paroi.
$x$	Position dans l'ouverture, le long de la droite qui joint les fentes.	$\mathrm{m}$
$a$	Largeur de chaque fente.	$\mathrm{m}$
$d$	Distance entre les centres des deux fentes.	$\mathrm{m}$
$I$	Intensité de la figure dans la direction $\theta$ : des franges dorées sous l'enveloppe en pointillés.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$\sin \theta$	Sinus de l'angle $\theta$ de la lumière émergente, mesuré à partir de l'axe ; c'est l'axe horizontal de la figure.
$\lambda /d$	Période des franges : écart de deux franges brillantes voisines en $\sin \theta$.
$\lambda /a$	Valeur de $\sin \theta$ aux premiers zéros de l'enveloppe, marqués par des cercles là où une frange manque.

La figure 3 place une ouverture au-dessus de sa figure en champ lointain. Le graphe du haut donne la transmission $A$ en fonction de la position $x$ dans l'ouverture : $A=1$ dans chaque fente et $A=0$ sur la paroi qui les sépare. Les fentes ont la largeur $a$ (barre violette) et leurs centres sont distants de $d$ (barre dorée). Le graphe du bas donne l'intensité $I$ en fonction de $\sin \theta$ : des franges dorées sous une enveloppe violette en pointillés. Associez les couleurs. L'écart doré $d$ fixe la période des franges dorées, $\lambda /d$, et la largeur violette $a$ fixe l'enveloppe violette, dont les premiers zéros sont en $\sin \theta =\pm \lambda /a$. Ici, $d=3a$, donc la troisième frange de chaque côté tombe sur un zéro de l'enveloppe et manque, à l'endroit des cercles.

Voici la règle. Loin de l'ouverture, une bande de largeur $dx$ à la position $x$ a un trajet qui diffère de $x\sin \theta$ de celui de la bande en $x=0$, par la même géométrie que pour les deux fentes ; sa phase diffère donc de $kx\sin \theta$. Écrivons chaque contribution comme une exponentielle complexe, pondérons-la par la transmission $A(x)$ et additionnons sur toutes les bandes :
$E(\theta )\propto \int A(x)e^{-iqx}dx,q=k\sin \theta$
Cette intégrale est la transformée de Fourier de $A(x)$, $q$ jouant le rôle de la fréquence spatiale.

Elle redonne les deux résultats précédents. Deux fentes très étroites en $x=\pm d/2$ donnent $e^{-iqd/2}+e^{iqd/2}=2\cos (qd/2)$ et, comme $qd/2=\pi d\sin \theta /\lambda$, son carré est celui des franges en ${\cos }^2$. Une fente de largeur $a$, de $-a/2$ à $a/2$, donne $a\sin (qa/2)/(qa/2)=a\sin \beta /\beta$, car $qa/2=\beta$ : c'est l'enveloppe.

Deux fentes larges sont une grande fente copiée en deux endroits. Dans le langage des transformées, l'ouverture est la fente unique convoluée avec la paire de fentes étroites, et la transformée d'une convolution est le produit des transformées. Voilà pourquoi le facteur des franges et l'enveloppe se multiplient.

La transformée montre aussi la réciprocité qui sous-tend toute diffraction : un détail de taille $s$ dans l'ouverture crée une structure à l'échelle angulaire $\lambda /s$. Sur la figure 3, le grand écart $d$ donne les franges fines, et la petite largeur $a$ l'enveloppe large. Une lentille forme la figure en champ lointain dans son plan focal, à distance finie, et les figures de rayons X qui ont révélé la structure des cristaux sont les modules au carré de la transformée de la densité électronique du cristal.

Nombreuses fentes : le réseau de diffraction

Ajouter des fentes au même espacement laisse les franges brillantes aux mêmes endroits, mais les rend bien plus fines et plus brillantes. Cette finesse fait du réseau un outil précis pour mesurer les longueurs d'onde.

Légende

$E_0$	Amplitude du champ d'une fente : la longueur de chaque phaseur.	$V/m$
$\phi$	Pas de phase entre fentes voisines, $\phi =kd\sin \theta$ : la rotation d'un phaseur au suivant.	$\mathrm{rad}$
$E$	Résultante de tous les phaseurs : le côté de fermeture du polygone.	$V/m$

La moitié gauche de la figure 4 additionne les champs de $N=5$ fentes identiques d'espacement $d$. Chaque flèche bleue a la longueur $E_0$ et est tournée du même angle $\phi =kd\sin \theta$ par rapport à la précédente ; l'angle est marqué à une jonction. Des flèches égales avec des rotations égales décrivent une partie de polygone régulier, de sorte que tous les sommets sont sur un même cercle (en pointillés). La résultante violette $E$ est le côté de fermeture du polygone, de la première origine à la dernière pointe.

Le cercle donne la longueur de $E$. Une corde qui sous-tend un angle $\alpha$ au centre d'un cercle de rayon $\rho$ a pour longueur $2\rho \sin (\alpha /2)$. Chaque côté tourne de $\phi$ : comme sur la figure 2, il sous-tend donc $\phi$ au centre, et $E_0=2\rho \sin (\phi /2)$. Le côté de fermeture couvre les $N$ côtés et sous-tend $N\phi$, donc $E=2\rho |\sin (N\phi /2)|$. En divisant, on élimine $\rho$, et en élevant au carré on obtient
$I=I_1{\left(\frac{\sin (N\phi /2)}{\sin (\phi /2)}\right)}^2$
où $I_1$ est l'intensité d'une seule fente. Pour $N=2$, le rapport vaut $\sin \phi /\sin (\phi /2)=2\cos (\phi /2)$, d'où de nouveau $4I_1{\cos }^2(\phi /2)$, le résultat à deux fentes.

Chaque fois que $\phi$ est un multiple entier de $2\pi$, toutes les flèches pointent dans le même sens et sont alignées : $E=N{E}_0$, et l'intensité atteint $N^2{I}_1$. Ces maxima principaux restent en $d\sin \theta =m\lambda$, comme pour deux fentes. En s'éloignant d'un maximum, la chaîne s'enroule et se referme pour la première fois en $\phi =2\pi /N$ : c'est la moitié droite de la figure 4, un pentagone fermé avec $E=0$ (le point violet). La demi-largeur de chaque maximum, de son sommet à son premier zéro, vaut donc $1/N$ de l'écart $2\pi$ entre maxima, soit $N/2$ fois moins qu'avec deux fentes. Entre deux maxima voisins se trouvent $N-1$ zéros et $N-2$ faibles pics secondaires. La lumière est concentrée, non créée : l'intensité moyenne reste $N{I}_1$.

Un réseau de 500 traits par millimètre a un pas de 2,0 µm. Pour une lumière de 600 nm, $\lambda /d=0,3$, donc $\sin \theta =m\lambda /d$ vaut 0,3 ; 0,6 et 0,9 aux trois premiers ordres : la lumière part à 17,5°, 36,9° et 64,2°. Un quatrième ordre exigerait $\sin \theta =1,2$ et n'existe pas.

Deux longueurs d'onde voisines sont dites séparées quand le maximum de l'une tombe sur le premier zéro de l'autre. Prenons l'angle du maximum d'ordre $m$ de $\lambda +\Delta \lambda$, où $d\sin \theta =m(\lambda +\Delta \lambda )$. Là, le pas de phase pour $\lambda$ est $2\pi m+2\pi m\Delta \lambda /\lambda$, et il doit dépasser $2\pi m$ du pas du premier zéro, $2\pi /N$. En posant $m\Delta \lambda /\lambda =1/N$, on obtient le pouvoir de résolution
$\lambda /\Delta \lambda =mN$
Les raies jaunes du sodium, à 589,0 et 589,6 nm, exigent environ 1 000 traits au premier ordre. 2 cm de ce réseau en comptent 10 000 et séparent, au premier ordre, des raies distantes de 0,06 nm à 600 nm.

Problème résolu : dimensions des fentes d'après la figure

Une lumière laser de 600 nm traverse une double fente, et un écran placé à 1,0 m montre des franges espacées de 2,4 mm. Les franges s'affaiblissent vers les côtés, et la cinquième de chaque côté, à ±12 mm, manque, ce qui laisse neuf franges dans la bande centrale. Trouvez l'écart $d$ entre les fentes, leur largeur $a$ et la luminosité de chaque frange.

L'interfrange donne l'écart entre les fentes. Deux franges brillantes voisines diffèrent en trajet d'une longueur d'onde ; pour les petits angles, $\Delta y=\lambda L/d$, d'où
$d=\lambda L/\Delta y=(600\times 10^{-9}\cdot 1,0)/(2,4\times 10^{-3})=0,25\mathrm{mm}$

La frange manquante donne la largeur. Elle se trouve sur le premier zéro de l'enveloppe, $a\sin \theta =\lambda$, qui, pour les petits angles, est en $y=\lambda L/a=12\mathrm{mm}$, d'où
$a=(600\times 10^{-9}\cdot 1,0)/(12\times 10^{-3})=0,050\mathrm{mm}$
Donc $d=5a$, ce qui explique que ce soit le cinquième ordre qui manque. Une vérification du champ lointain : $a^2/\lambda =4,2\mathrm{mm}$, très inférieur à 1,0 m, donc les formules de champ lointain s'appliquent.

À la frange d'ordre $m$, $\sin \theta =m\lambda /d$, donc $\beta =\pi a\sin \theta /\lambda =\pi ma/d=\pi m/5$. Chaque frange brillante a ${\cos }^2=1$ ; sa luminosité est donc fixée par la seule enveloppe : $(\sin \beta /\beta {)}^2$ donne 1 ; 0,88 ; 0,57 ; 0,25 et 0,05 de la valeur centrale pour $m=0$ à 4, puis 0 pour $m=5$. Au-delà de la frange manquante, les franges reviennent dans une bande latérale dont la frange la plus brillante reste sous 5 % du centre.

L'animation a $d/a=50/14=3,57$, qui n'est pas un nombre entier, si bien qu'aucun ordre n'y est entièrement perdu. L'ordre 1 y atteint 0,77, l'ordre 2 atteint 0,31 et l'ordre 3 seulement 0,033, juste à l'intérieur du zéro de l'enveloppe en $m=3,57$ ; un écran assez large montrerait sept franges dans la bande centrale. Des fentes élargies à $a=d/3\approx 16,7\mathrm{px}$ supprimeraient exactement le troisième ordre.

Un quantum à la fois

La même figure subsiste quand la lumière est si faible qu'elle arrive photon par photon, et elle apparaît aussi avec des électrons. Ici, la règle d'addition des champs devient la règle centrale de la mécanique quantique.

Atténuez la lumière jusqu'à ce que les photons arrivent un par un : l'écran enregistre des éclairs isolés en des points aléatoires, mais, après plusieurs milliers d'impacts, ils s'accumulent pour former les mêmes franges en ${\cos }^2$. Les électrons font de même, avec la longueur d'onde de de Broglie $\lambda =h/p$, où $p$ est la quantité de mouvement et $h$ la constante de Planck. Accélérés sous 100 V, ils ont $\lambda =0,123\mathrm{nm}$, si bien que des fentes distantes de 1 µm donneraient des franges espacées de 0,12 mm sur un écran placé à 1 m.

La règle est celle des champs, appliquée aux amplitudes de probabilité. Chaque chemin qui mène à un point a une amplitude complexe, ${\varphi }_1$ par une fente et ${\varphi }_2$ par l'autre, et la probabilité d'y arriver est le carré du module de leur somme :
$P=|{\varphi }_1+{\varphi }_2{|}^2=|{\varphi }_1{|}^2+|{\varphi }_2{|}^2+2|{\varphi }_1||{\varphi }_2|\cos (k\Delta r)$
Les deux premiers termes sont les figures de fente unique. Le dernier terme est l'interférence, avec $k=p/\hslash$ et $\hslash =h/(2\pi )$ ; sans lui, les fentes ajouteraient simplement leurs figures de fente unique, sans franges.

Enregistrer par quelle fente passe chaque particule supprime le terme croisé, et les franges avec lui. La raison est la secousse que donne la mesure. Une lumière capable de distinguer les fentes doit avoir une longueur d'onde inférieure à environ $d$, donc chacun de ses photons porte une quantité de mouvement d'au moins environ $h/d$. En diffusant un tel photon, la particule voit sa trajectoire déviée d'un angle pouvant atteindre environ $(h/d)/p=\lambda /d$, soit un interfrange en angle, et des secousses de grandeur aléatoire brouillent les franges, comme l'explique « Dualité onde-corpuscule ».

Limites de validité

La théorie scalaire employée ici traite la lumière comme une seule amplitude d'onde, en ignorant la direction de son champ électrique, et traite les fentes comme des trous dans un écran parfaitement noir. Cela convient pour des fentes larges de plusieurs longueurs d'onde. Une fente plus étroite qu'une longueur d'onde n'a pas de zéro d'enveloppe ($a\sin \theta =\lambda$ exige $a\ge \lambda$), étale la lumière presque uniformément derrière elle et transmet différemment les champs parallèles et perpendiculaires à sa direction, un effet de polarisation que l'image scalaire ignore.

Les franges exigent aussi de la cohérence : les ondes doivent garder une relation de phase stable. Une dispersion des longueurs d'onde $\Delta \lambda$ limite la longueur de cohérence, la différence de marche sur laquelle la phase reste stable, à environ ${\lambda }^2/\Delta \lambda$. Pour la lumière blanche, cela fait environ 1 µm, soit seulement deux longueurs d'onde environ, de sorte que seuls les deux premiers ordres environ présentent des couleurs, alors qu'un laser, cohérent sur des centimètres ou des mètres, donne des franges loin du centre.

Une source d'étendue angulaire $\alpha$ brouille aussi la figure. Chaque point de la source produit sa propre copie de la figure, décalée en angle selon sa propre direction, et les copies s'effacent dès que $\alpha$ approche l'interfrange angulaire $\lambda /d$. Pour les fentes de 0,25 mm du problème résolu, cela fait 2,4 mrad, mais le Soleil sous-tend 9,3 mrad : la lumière directe du Soleil ne donne donc des franges qu'avec des fentes plus rapprochées qu'environ 0,06 mm, d'où le trou d'épingle ou la fente simple placés devant les montages classiques. Une cohérence partielle abaisse la visibilité $V=(I_{\max }-I_{\min })/(I_{\max }+I_{\min })$ en dessous de 1.

Enfin, la formule de l'enveloppe suppose le champ lointain, $L\gg a^2/\lambda$ ; plus près, dans le régime de Fresnel, la figure change de forme avec la distance. Les positions des franges à deux fentes exigent seulement $d\ll L$, comme l'a montré la section sur la différence de marche. C'est pourquoi les franges de l'animation obéissent à $d\sin \theta =m\lambda$ bien que $d^2/\lambda =312\mathrm{px}$ dépasse $L=220\mathrm{px}$.

Ce qui vient ensuite

Beaucoup de fentes forment le réseau, au cœur de la plupart des spectromètres, et les spectres de raies qu'ils enregistrent mènent à « Modèles atomiques : l'atome de Bohr ». Une ouverture circulaire de diamètre $D$ étale la lumière en une tache de rayon angulaire $1,22\lambda /D$, la limite de résolution de « L'œil, l'appareil photo et la lunette ». Les champs qui s'ajoutent ici sont ceux que décrit « Ondes électromagnétiques », et leur direction d'oscillation est l'objet de « Polarisation de la lumière ».

La règle d'amplitude $P=|{\varphi }_1+{\varphi }_2{|}^2$ est le cœur de la mécanique quantique : « Dualité onde-corpuscule » la construit à partir d'électrons isolés, et « Équation de Schrödinger et effet tunnel » en fait une équation d'onde pour la matière.