Movimiento circular

Principiante

Haz girar una pelota atada a una cuerda, toma una curva en bicicleta o mira cómo la Luna da vueltas a la Tierra: en todos estos casos el movimiento sigue una curva. Construyamos la idea en cuatro pasos cortos.

Paso 1. La velocidad reúne la rapidez y la dirección. Una pelota que gira con rapidez constante cambia de dirección en cada instante, así que su velocidad cambia sin parar, y todo cambio de velocidad es una aceleración. Girar con rapidez constante ya es acelerar.

Paso 2. Una aceleración necesita una fuerza neta. En una circunferencia esa fuerza apunta siempre al centro y se llama fuerza centrípeta, es decir, «que busca el centro». No es un tipo nuevo de fuerza, sino un papel que cumple alguna fuerza real: para la pelota, la cuerda que tira hacia tu mano; para un coche en una curva, el agarre de la carretera sobre los neumáticos; para la Luna, la gravedad de la Tierra.

Paso 3. Suelta la cuerda y el tirón desaparece. Ya nada curva la trayectoria, así que la pelota sigue hacia donde iba en ese instante: en línea recta a lo largo de la tangente, la recta que apenas roza la circunferencia. En la animación, tras soltarla, los puntos grises quedan sobre esa recta, igual de separados. La pelota no sale disparada directamente hacia fuera; el tirón hacia fuera que notas en la mano es la pelota tirando de la cuerda.

Paso 4. Ir más rápido, o girar en un círculo más cerrado, exige un tirón hacia dentro más fuerte. Por eso se frena antes de una curva cerrada.

Comprueba lo aprendido: un satélite gira alrededor de la Tierra con rapidez constante. ¿Actúa una fuerza sobre él? ¿Hacia dónde apunta? (Sí: la gravedad, que apunta hacia el centro de la Tierra.)

Intermedio

Qué medimos en una circunferencia

Coloca el origen en el centro. El cuerpo se mantiene a la distancia $r$ de él, el radio, así que basta un ángulo $\theta$, contado en sentido antihorario desde una recta de referencia, para saber dónde está. Los ángulos se miden en radianes: un ángulo $\theta$ subtiende un arco $s=r\theta$, de modo que una vuelta completa son $2\pi \approx 6,28\mathrm{rad}$.

La velocidad angular $\omega =\Delta \theta /\Delta t$, en rad/s, dice lo deprisa que crece el ángulo, y la rapidez $v$, lo deprisa que recorre el cuerpo el arco. Como el arco es $r$ veces el ángulo,
$v=\omega r$
así que todos los puntos de una rueda que gira comparten una misma $\omega$, pero un punto situado al doble de distancia del eje se mueve al doble de rapidez.

Una vuelta completa dura el periodo $T$; la frecuencia $f=1/T$, en hercios (Hz), cuenta las vueltas por segundo. Una vuelta equivale al arco $2\pi r$, o al ángulo $2\pi$, de modo que
$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi }{\omega }$

Girar con rapidez constante es acelerar

La velocidad es un vector: un módulo, la rapidez, y una dirección, que en una circunferencia es siempre la de la tangente. Esa dirección gira sin parar, así que la velocidad cambia incluso con rapidez constante, y todo cambio de velocidad es una aceleración.

Dibuja la velocidad en dos instantes separados $\Delta t$, con los orígenes de las flechas juntos. Ambas miden $v$, y la segunda ha girado el ángulo $\omega \Delta t$, igual que el radio. La pequeña flecha que une sus puntas es el cambio $\Delta v$, de longitud aproximada $v\omega \Delta t$; al reducir $\Delta t$ queda perpendicular a la velocidad y apunta hacia el centro. Al dividir entre $\Delta t$ resulta $a=v\omega$, y con $\omega =v/r$:
$a=\frac{v^2}{r}={\omega }^{2}r$

Esta aceleración centrípeta, es decir, «que busca el centro», contiene $v$ dos veces: un cuerpo más rápido hace girar su velocidad más deprisa, y la velocidad que hace girar es, además, mayor.

Quién aporta la fuerza hacia dentro

Según la segunda ley de Newton, un cuerpo de masa $m$ que gira con rapidez constante se mantiene en la circunferencia solo si la fuerza neta sobre él apunta al centro y vale
$F=\frac{m{v}^2}{r}$
Esta fuerza centrípeta no es un tipo nuevo de fuerza, sino un papel que cumple una fuerza real: la tensión de la cuerda en una pelota que gira, el rozamiento de la carretera en un coche que toma una curva plana, la gravedad en el caso de la Luna, el empuje de la pared del tambor sobre la ropa en un centrifugado.

Por eso, en un diagrama de cuerpo libre dibuja solo fuerzas reales, suma sus componentes hacia el centro e iguala la suma a $m{v}^2/r$; nunca añadas una flecha centrípeta aparte. Qué forma de $a$ conviene usar depende de lo que se mantenga fijo: con la misma rapidez, una circunferencia más cerrada exige más fuerza, $a\propto 1/r$, mientras que en un plato giratorio, donde $\omega$ es común, los puntos exteriores necesitan más, $a\propto r$.

Ejemplo resuelto: la pelota de la animación

Vista desde arriba, una pelota de 0,2 kg se desliza sobre una mesa horizontal lisa, atada por una cuerda de longitud $r=0,8\mathrm{m}$ a una mano situada en el centro, y gira con $\omega =3,0rad/s$. La mesa sostiene su peso, así que solo la cuerda tira de ella en horizontal:
$v=\omega r=3,0\cdot 0,8=2,4m/s$
$a=\frac{v^2}{r}=\frac{2,4^2}{0,8}=\frac{5,76}{0,8}=7,2m/{\mathrm{s}}^2$
$F=ma=0,2\cdot 7,2=1,44\mathrm{N}$

Son las lecturas de la animación, $v=2,4m/s$, $\omega =3,0rad/s$ y $a=7,2m/{\mathrm{s}}^2$; la otra forma coincide, ${\omega }^{2}r=9\cdot 0,8=7,2m/{\mathrm{s}}^2$. Una vuelta dura $T=2\pi /3,0\approx 2,09\mathrm{s}$, así que las 1,75 vueltas hasta que se suelta duran unos 3,67 s.

Si se hace girar sobre la cabeza, en la misma circunferencia y con la misma rapidez, hay que sostener además la pelota: la cuerda queda inclinada hacia abajo y su tensión sube hasta unos 2,4 N, pero solo su parte horizontal, que sigue siendo 1,44 N, curva la trayectoria.

Ejemplo resuelto: un coche en una curva plana

Un coche de 1200 kg toma una curva plana de 50 m de radio a 15 m/s (54 km/h). Necesita
$a=\frac{v^2}{r}=\frac{15^2}{50}=4,5m/{\mathrm{s}}^2,F=ma=1200\cdot 4,5=5400\mathrm{N}$
y solo el rozamiento de los neumáticos puede aportarla. Sobre asfalto seco el coeficiente de rozamiento ronda $\mu =0,7$, de modo que la carretera puede dar hasta $\mu mg=0,7\cdot 1200\cdot 9,81\approx 8240\mathrm{N}$: el coche aguanta en la curva. En el límite, $m{v}^2/r=\mu mg$, la masa se cancela y $v_{\max }=\sqrt{\mu gr}=\sqrt{0,7\cdot 9,81\cdot 50}\approx 18,5m/s$, unos 67 km/h.

Sobre una carretera mojada, $\mu \approx 0,4$ permite solo unos 4710 N, menos de los 5400 N necesarios. El coche se va hacia el exterior de la curva porque sigue una trayectoria más recta que la carretera, no porque algo lo empuje hacia fuera. Su rapidez segura baja a $\sqrt{0,4\cdot 9,81\cdot 50}\approx 14m/s$, unos 50 km/h. A 30 m/s necesitaría cuatro veces la fuerza, 21 600 N, más de lo que da incluso una carretera seca.

Cómo leer las flechas de la animación

La flecha azul $v$ queda a lo largo de la tangente, con longitud fija, y gira 3,0 rad (unos 172°) cada segundo. La flecha roja $a$ apunta a lo largo de la cuerda, marcada $r$, hacia la mano. Las dos se mantienen perpendiculares, así que el tirón cambia la dirección del movimiento pero nunca la rapidez.

Como la flecha $a$ gira con la pelota, $a$ no es un vector constante, y las ecuaciones de aceleración constante de Movimiento rectilíneo no valen aquí. En media vuelta la velocidad se invierte, de $+2,4$ a $-2,4m/s$, en $T/2\approx 1,05\mathrm{s}$: la aceleración media es solo $4,8/1,05\approx 4,6m/{\mathrm{s}}^2$, porque $a$ cambia de dirección sin cesar, y en una vuelta completa es cero.

Al soltarla, en la parte baja de la imagen, la flecha roja desaparece y la lectura de $a$ cae a cero; la flecha azul conserva su longitud y su dirección, y la pelota avanza por la tangente de trazos a 2,4 m/s constantes.

Errores frecuentes

• Rapidez constante no significa aceleración nula: la pelota mantiene 2,4 m/s y aun así acelera a 7,2 m/s², porque cambia su dirección.
• Ninguna fuerza hacia fuera actúa sobre la pelota; el tirón que notas en la mano es la pelota tirando de la cuerda (tercera ley de Newton). Al soltarla sale por la tangente, y a los 0,25 s está a 1,0 m del centro solo porque una recta se aleja de una circunferencia.
• La fuerza centrípeta no es una fuerza adicional: sobre la mesa es la propia tensión, 1,44 N, y no la tensión más otros 1,44 N.
• Duplicar la rapidez no duplica la fuerza: $F\propto v^2$, así que a 4,8 m/s la tensión sube de 1,44 N a 5,76 N.
• Usa radianes por segundo: 3,0 rad/s son unas 28,6 vueltas por minuto, y si se sustituye 28,6 en $v=\omega r$ resulta 22,9 m/s en lugar de 2,4 m/s.

Dónde aparece

Curvas de carretera, ciclistas que se inclinan al girar, velódromos peraltados: en cada caso una fuerza real aporta $m{v}^2/r$. Una lavadora a 1200 rpm, con un tambor de 0,25 m de radio, comunica a su contenido una aceleración de unos 3950 m/s², unas 400 veces $g$; el tambor empuja la ropa en círculo, pero el agua escapa por los agujeros a lo largo de la tangente. Una centrifugadora de laboratorio a 10 000 rpm con un brazo de 10 cm alcanza unas 11 000 veces $g$.

En los satélites la fuerza centrípeta es la gravedad: la Estación Espacial Internacional cae alrededor de la Tierra con una aceleración de unos 8,6 m/s². Estas ideas conducen a Gravitación y órbitas; a Dinámica de rotación y momento de fuerza, donde cada punto de un cuerpo que gira describe una circunferencia; a Movimiento armónico simple, el movimiento circular visto de canto; y a Fuerza magnética sobre cargas en movimiento, donde los campos magnéticos curvan las partículas cargadas hasta hacerlas girar en círculos.

Avanzado

Posición, velocidad y aceleración como vectores

Esta sección deduce los dos hechos centrales del movimiento circular derivando el vector de posición: la velocidad va a lo largo de la tangente, y la aceleración apunta al centro con módulo $v^2/r$. Trabajar con vectores da módulos y direcciones de una sola vez. Todos los números salen de la animación: una pelota de 0,2 kg sobre una mesa lisa, sujeta por una cuerda de longitud $r=0,8\mathrm{m}$ y que gira con velocidad angular $\omega =3,0rad/s$, de modo que su rapidez es $v=\omega r=2,4m/s$, su aceleración $a=7,2m/{\mathrm{s}}^2$, y la cuerda tira de ella con 1,44 N.

Leyenda

$\vec{r}$	Vector de posición: del centro al cuerpo; su longitud es el radio $r$.	$\mathrm{m}$
$\vec{v}$	Velocidad: a lo largo de la tangente, en el sentido del movimiento; su módulo es $v=\omega r$.	$m/s$
$\vec{a}$	Aceleración: opuesta a $\vec{r}$, hacia el centro; su módulo es ${\omega }^{2}r=v^2/r$.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\theta$	Ángulo que ha girado el radio desde el eje $x$: $\theta =\omega t$.	$\mathrm{rad}$
$x$	Eje horizontal; el cuerpo parte de su lado positivo.	$\mathrm{m}$
$y$	Eje vertical.	$\mathrm{m}$

La figura 1 congela el movimiento en un instante. El centro está en el origen; el cuerpo partió del eje $x$ positivo y gira en sentido antihorario con $\omega$ constante, así que, tras un tiempo $t$, el radio ha girado el ángulo $\theta =\omega t$, marcado en el centro. El vector de posición $\vec{r}$ va del centro al cuerpo. Su longitud es siempre $r$, y sus componentes son sus sombras sobre los dos ejes:
$\vec{r}(t)=r(\cos \omega t,\sin \omega t)$
La velocidad $\vec{v}$ y la aceleración $\vec{a}$ pertenecen al cuerpo, así que se dibujan a partir de él. Fíjate en dos cosas: el pequeño cuadrado entre $\vec{v}$ y la prolongación discontinua del radio, y $\vec{a}$, que está sobre la misma recta que $\vec{r}$ pero apunta en sentido contrario. ($\vec{a}$ se dibuja justo al lado de $\vec{r}$ solo para separar las dos flechas.)

Para hallar $\vec{v}$, deriva cada componente respecto del tiempo. Por la regla de la cadena, la derivada de $\cos \omega t$ es $-\omega \sin \omega t$ y la de $\sin \omega t$ es $\omega \cos \omega t$, así que
$\vec{v}=r\omega (-\sin \omega t,\cos \omega t)$
Derivando una vez más, del mismo modo,
$\vec{a}=-{\omega }^{2}r(\cos \omega t,\sin \omega t)=-{\omega }^2\vec{r}$

Ahora lee los resultados. El paréntesis de $\vec{v}$ es el de $\vec{r}$ girado un cuarto de vuelta en sentido antihorario, y su longitud es 1. Así que $\vec{v}$ es perpendicular al radio, y ese es el ángulo recto marcado en la figura 1: la velocidad va a lo largo de la tangente, con módulo $\omega r$. La aceleración es el vector de posición invertido y multiplicado por ${\omega }^2$. Por tanto, apunta exactamente al centro, con módulo ${\omega }^{2}r=v^2/r$, que vale 7,2 m/s² para la pelota.

El mismo resultado sin coordenadas

La deducción anterior suponía una rotación uniforme. Un argumento más corto usa solo el hecho de que la distancia al centro nunca cambia, así que también vale para un cuerpo que acelera o frena en la circunferencia.

La longitud de $\vec{r}$ es fija, así que $\vec{r}\cdot \vec{r}=r^2$ es constante. Derívala con la regla del producto: $2\vec{r}\cdot \vec{v}=0$, de modo que la velocidad es perpendicular al radio en cualquier movimiento sobre una circunferencia. Deriva $\vec{r}\cdot \vec{v}=0$ una vez más: $\vec{v}\cdot \vec{v}+\vec{r}\cdot \vec{a}=0$, es decir, $\vec{r}\cdot \vec{a}=-v^2$. Al dividir por $r$ se obtiene la componente de $\vec{a}$ a lo largo del radio orientado hacia fuera, $-v^2/r$. Así, la componente de la aceleración hacia el centro es $v^2/r$ en cualquier movimiento sobre una circunferencia, uniforme o no.

Si además la rapidez es constante, el mismo truco aplicado a $\vec{v}\cdot \vec{v}=v^2$ da $\vec{v}\cdot \vec{a}=0$. Entonces la aceleración no tiene parte a lo largo de la tangente, y solo queda la parte hacia el centro.

La circunferencia de la velocidad: la hodógrafa

La velocidad traza una circunferencia propia, y esta da la imagen más directa de por qué $a=v^2/r$: la aceleración es a la velocidad lo que la velocidad es a la posición.

Copia las flechas $\vec{v}$ de la figura 1, tomadas en muchos instantes, a partir de un origen común; ese dibujo se llama hodógrafa. Todas las flechas tienen la misma longitud $v$, y cada una apunta un cuarto de vuelta por delante del $\vec{r}$ de su instante, así que las flechas giran al mismo ritmo $\omega$ que el radio. Por eso sus puntas recorren una circunferencia de radio $v$ con velocidad angular $\omega$.

Aplica ahora a esta circunferencia lo que sabes de la primera. La punta de $\vec{r}$ se mueve con rapidez $\omega r$, y esa rapidez es el módulo de $\vec{v}$. Del mismo modo, la punta de $\vec{v}$ se mueve con rapidez $\omega v$, y esa rapidez es el módulo de $\vec{a}$, porque la aceleración es el ritmo de cambio de la velocidad. Así que $a=\omega v=v^2/r$. La punta de $\vec{v}$ se mueve a lo largo de la tangente de la hodógrafa, un cuarto de vuelta por delante de $\vec{v}$. Como $\vec{v}$ ya va un cuarto de vuelta por delante de $\vec{r}$, $\vec{a}$ está a media vuelta de $\vec{r}$: apunta al centro. Posición, velocidad y aceleración son tres flechas de longitudes $r$, $\omega r$ y ${\omega }^{2}r$, cada una un cuarto de vuelta por delante de la anterior, porque cada una es el ritmo de cambio de la anterior.

Caer alrededor de la circunferencia

Newton vio la misma aceleración de otra forma: un cuerpo que describe una circunferencia está cayendo hacia el centro todo el tiempo, y nunca llega porque también se mueve de lado. Esta visión enlaza el movimiento circular con la caída libre, y condujo a la primera prueba de la ley de la gravitación.

Leyenda

$r$	Radio de la circunferencia: la longitud de la cuerda.	$\mathrm{m}$
$\omega t$	Ángulo que gira el radio en el tiempo $t$.	$\mathrm{rad}$
$vt$	Distancia que recorrería el cuerpo a lo largo de la tangente en el tiempo $t$ sin cuerda.	$\mathrm{m}$
$h$	Separación entre esa posición libre y la real sobre la circunferencia: lo que el cuerpo ha caído hacia el centro.	$\mathrm{m}$

La figura 2 sigue al cuerpo durante un tiempo $t$ desde lo alto de la circunferencia. Parte del punto, con su velocidad a lo largo de la tangente, que aquí apunta a la izquierda. Sin fuerza se movería en línea recta, recorrería una distancia $vt$ a lo largo de la tangente y acabaría en la pelota pálida. En cambio, la cuerda lo mantiene en la circunferencia: el radio $r$ gira el ángulo $\omega t$, el cuerpo recorre un arco de la misma longitud $r\omega t=vt$ y acaba en la pelota sólida. La flecha $h$ va de donde estaría el cuerpo a donde está: es lo que ha caído. (En la figura el tiempo se ha dibujado largo para que se vean las formas; el resultado de abajo vale para tiempos cortos.)

¿Cuánto mide $h$? La recta tangente en lo alto está a una distancia $r$ por encima del centro, y la posición real está a $r\cos \omega t$ por encima de él, así que el cuerpo ha bajado $r(1-\cos \omega t)$ por debajo de la recta tangente. Para un tiempo corto, la posición libre queda casi exactamente encima de la real, así que $h$ es casi exactamente esa bajada y apunta casi en vertical hacia abajo, hacia el centro. Para un ángulo pequeño $x$, $\cos x\approx 1-x^2/2$, y con $r\omega t=vt$,
$h\approx r(1-\cos \omega t)\approx \frac{r(\omega t{)}^2}{2}=\frac{(vt{)}^2}{2r}$
Compara con la caída libre desde el reposo, $h=\frac{1}{2}a{t}^2$. Ambas coinciden si $a=v^2/r$: el cuerpo cae hacia el centro exactamente como lo haría una piedra soltada con esa aceleración, y su movimiento lateral hace que nunca llegue a acercarse.

En 0,1 s, la pelota recorrería $vt=0,24\mathrm{m}$ a lo largo de la tangente mientras el radio gira 0,3 rad. La circunferencia queda entonces $0,8(1-\cos 0,3)\approx 0,0357\mathrm{m}$, es decir, 3,57 cm, por debajo de la recta tangente, frente a $\frac{1}{2}\cdot 7,2\cdot 0,1^2=0,036\mathrm{m}$ de la aproximación.

Newton usó esta imagen para poner a prueba su ley de la gravitación con la Luna. Su órbita tiene un radio $R\approx 3,84\times 10^8\mathrm{m}$, unos 60,3 radios terrestres, y un periodo $T$ de 27,3 días. Con $v=2\pi R/T$, la Luna cae hacia la Tierra con la aceleración
$a=\frac{v^2}{R}=\frac{4{\pi }^{2}R}{T^2}\approx 2,72\times 10^{-3}m/{\mathrm{s}}^2$
Si la gravedad se debilita con el inverso del cuadrado de la distancia, a 60,3 radios terrestres debería dar $g/60,3^2\approx 2,70\times 10^{-3}m/{\mathrm{s}}^2$. Ambos valores coinciden con un margen del 1 %: la atracción que hace caer una manzana también mantiene a la Luna cayendo alrededor de la Tierra.

Sombras sobre los ejes: movimiento armónico simple

Visto de lado, el movimiento circular se convierte en una oscilación. Por este vínculo, las matemáticas de la circunferencia aparecen en tantas partes de la física, desde los muelles hasta la corriente alterna.

Toma la componente $x$ de $\vec{a}=-{\omega }^2\vec{r}$. Se lee $\ddot{x}=-{\omega }^{2}x$, donde cada punto significa una derivada respecto del tiempo. Es la ecuación de una masa $m$ en un muelle de constante elástica $k$, $m\ddot{x}=-kx$, con $k/m={\omega }^2$, y la componente $y$ da la misma ecuación. Así que la sombra del movimiento circular uniforme sobre cualquier recta es un movimiento armónico simple, con la misma $\omega$ y una amplitud igual al radio.

El nivel Avanzado de la animación lo muestra. Los puntos morados sobre los ejes son las sombras: se deslizan entre $-0,8$ y $+0,8\mathrm{m}$ con el periodo $2\pi /\omega =2,09\mathrm{s}$. Van más deprisa, a 2,4 m/s, al pasar por el centro, donde la pelota se mueve paralela al eje, y se detienen un instante en los extremos, donde su aceleración llega al máximo, 7,2 m/s². Las gráficas $x(t)$ e $y(t)$ son un coseno y un seno, desfasados un cuarto de periodo (0,52 s).

Los números complejos dicen lo mismo en una línea. Escribe la posición como $z=x+iy=r{e}^{i\omega t}$. Entonces $\dot{z}=i\omega z$, y multiplicar un número complejo por $i$ lo gira un cuarto de vuelta en sentido antihorario: la velocidad forma un ángulo recto con el radio. Derivar otra vez da $\ddot{z}=(i\omega {)}^{2}z=-{\omega }^{2}z$, la aceleración centrípeta. La parte real, $x=r\cos \omega t$, es la oscilación. Una oscilación es una rotación vista de canto, y por eso $e^{i\omega t}$ es el lenguaje natural de las vibraciones, las ondas y las corrientes alternas.

Soltar la pelota muestra lo que ocurre cuando cesa el tirón hacia dentro. Se suelta en $\omega t=7\pi /2$, cuando la pelota está en $(0,-r)$ con velocidad $(+v,0)$; a partir de ahí, $\vec{a}=0$. La gráfica $x(t)$ abandona el coseno por su recta tangente, con pendiente 2,4 m/s, y llega a 1,2 m, es decir, $1,5r$, en el borde de la gráfica 0,5 s después. La gráfica $y(t)$ se queda en $-0,8\mathrm{m}$, porque el seno estaba en su mínimo, donde su pendiente es cero. Es la primera ley de Newton dibujada como dos gráficas.

Vectores unitarios que giran con el cuerpo

Hasta ahora la rapidez era constante. Cuando un cuerpo acelera en una circunferencia, o se mueve por cualquier curva, la aceleración gana una parte a lo largo de la trayectoria. La forma más limpia de hallar todas sus partes es usar vectores unitarios que giran con el cuerpo.

En cualquier movimiento plano, describe el cuerpo por su distancia $r$ al origen y su ángulo $\theta$, ambos libres ahora de cambiar. En el cuerpo, define dos vectores unitarios: $\hat{r}$, que apunta hacia fuera a lo largo del radio, y $\hat{\theta }$, un cuarto de vuelta por delante de él, en el sentido en que crece $\theta$ (antihorario). Entonces $\vec{r}=r\hat{r}$.

En componentes, $\hat{r}=(\cos \theta ,\sin \theta )$ y $\hat{\theta }=(-\sin \theta ,\cos \theta )$. Derivando con la regla de la cadena, como en la primera sección,
$\frac{d\hat{r}}{dt}=\dot{\theta }\hat{\theta },\frac{d\hat{\theta }}{dt}=-\dot{\theta }\hat{r}$
Dicho con palabras: al crecer el ángulo, $\hat{r}$ se inclina hacia $\hat{\theta }$, y $\hat{\theta }$ se inclina hacia el centro.

Deriva $\vec{r}=r\hat{r}$ con la regla del producto. El primer término es el movimiento hacia fuera; el segundo, el movimiento alrededor:
$\vec{v}=\dot{r}\hat{r}+r\dot{\theta }\hat{\theta }$
Deriva otra vez, término a término, con las dos reglas anteriores:
$\vec{a}=\ddot{r}\hat{r}+\dot{r}\dot{\theta }\hat{\theta }+\dot{r}\dot{\theta }\hat{\theta }+r\ddot{\theta }\hat{\theta }-r{\dot{\theta }}^2\hat{r}$
Agrupando las partes según $\hat{r}$ y según $\hat{\theta }$:
$\vec{a}=(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)\hat{r}+(r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta })\hat{\theta }$

En una circunferencia $r$ es fijo, así que $\dot{r}=\ddot{r}=0$. Queda una parte hacia dentro, $-r{\dot{\theta }}^2\hat{r}$, de módulo $r{\dot{\theta }}^2=v^2/r$, y una parte tangencial $r\ddot{\theta }\hat{\theta }$. Escribe la aceleración angular como $\alpha =\ddot{\theta }$. Entonces la parte tangencial tiene módulo $r\alpha$ y, como $v=r\dot{\theta }$, es igual a $dv/dt$, el ritmo al que cambia la rapidez.

Acelerar en una circunferencia

Cuando la rapidez cambia, la aceleración deja de apuntar al centro. Esta sección muestra cuánto se inclina y qué significa eso para la cuerda.

Leyenda

$\hat{r}$	Vector unitario a lo largo del radio, que apunta hacia fuera del centro.
$\hat{\theta }$	Vector unitario a lo largo de la tangente, en el sentido en que crece $\theta$ (antihorario).
$a_c$	Parte hacia dentro (centrípeta) de la aceleración, según $-\hat{r}$; su módulo es $r{\dot{\theta }}^2=v^2/r$.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$a_t$	Parte tangencial de la aceleración, según $\hat{\theta }$ mientras el cuerpo acelera; su módulo es $r\alpha =dv/dt$.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\vec{a}$	Aceleración total: la suma vectorial de las dos partes.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\beta$	Ángulo entre $\vec{a}$ y la línea al centro; $\tan \beta =a_t/a_c$.	$\mathrm{rad}$

La figura 3 muestra el caso circular en un instante, con el cuerpo a la derecha del centro. Los vectores unitarios $\hat{r}$ y $\hat{\theta }$ están dibujados en el cuerpo, perpendiculares entre sí. La aceleración tiene una parte hacia dentro de módulo $a_c=r{\dot{\theta }}^2=v^2/r$, según $-\hat{r}$, y una parte tangencial de módulo $a_t=r\alpha$, según $\hat{\theta }$ porque el cuerpo está acelerando (apuntaría según $-\hat{\theta }$ si estuviera frenando). Colocadas una a continuación de la otra, las dos partes suman la aceleración total $\vec{a}$, la flecha larga que sale del cuerpo. Así, $\vec{a}$ se inclina hacia delante un ángulo $\beta$ respecto de la línea al centro, y el triángulo rectángulo da
$\tan \beta =a_t/a_c,a=\sqrt{a_c^2+a_t^2}$
La flecha tangencial está dibujada mucho más larga que en el ejemplo que sigue, para que se vea la inclinación.

Acelera la pelota desde el reposo hasta 3,0 rad/s en 2,0 s, con una aceleración angular constante $\alpha =1,5rad/{\mathrm{s}}^2$. La parte tangencial se mantiene en $a_t=r\alpha =0,8\cdot 1,5=1,2m/{\mathrm{s}}^2$ todo el tiempo, mientras que la parte hacia dentro crece como ${\omega }^2$ y llega a 7,2 m/s² al final. En ese momento la aceleración total es $\sqrt{7,2^2+1,2^2}\approx 7,30m/{\mathrm{s}}^2$, inclinada 9,5° hacia delante, ya que $\tan \beta =1,2/7,2$. Sobre la mesa lisa la cuerda es la única fuerza horizontal, y una cuerda solo puede tirar a lo largo de sí misma, así que debe inclinarse hacia delante ese mismo ángulo: la mano va por delante de la pelota en el giro.

Fuerzas radiales y trayectorias curvas

La fórmula general tiene dos usos más. Explica por qué los planetas barren áreas iguales y da la aceleración en cualquier trayectoria curva.

El término $2\dot{r}\dot{\theta }$ importa cuando la distancia cambia durante el giro. Si la fuerza es puramente radial, como la gravedad del Sol sobre un planeta, la parte de la aceleración según $\hat{\theta }$ debe anularse. Esa parte es una sola derivada disfrazada (desarrolla el miembro derecho para comprobarlo):
$r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta }=\frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\theta })=0$
Así que $r^2\dot{\theta }$ se mantiene constante. Multiplicado por la masa, es el momento angular, que por tanto se conserva. La mitad de esa constante, $\frac{1}{2}{r}^2\dot{\theta }$, es el área que barre por unidad de tiempo la línea que une el Sol con el planeta, así que el mismo resultado es la ley de las áreas de Kepler.

Por último, cerca de cada uno de sus puntos cualquier trayectoria suave se parece a una circunferencia; el radio de la circunferencia que mejor se ajusta es el radio de curvatura $\rho$. La parte de la aceleración perpendicular a la trayectoria es entonces $v^2/\rho$, y la parte a lo largo de ella es $dv/dt$. En lo alto del arco de un proyectil, que allí se mueve en horizontal a 10 m/s, la gravedad es la única fuerza y es justo perpendicular a la trayectoria, así que $g=v^2/\rho$ y $\rho =v^2/g\approx 10,2\mathrm{m}$.

Problema resuelto: la pelota que gira sobre la cabeza

Ahora quita la pelota de la mesa. Sujeta la cuerda sobre tu cabeza y haz girar la misma pelota de 0,2 kg en una circunferencia horizontal de 0,8 m de radio, a los 3,0 rad/s de la animación. La cuerda barre un cono. ¿A qué distancia por debajo de la mano gira la pelota, cuánto mide la cuerda y cuál es su tensión $F_s$?

Leyenda

$\phi$	Ángulo entre la cuerda y la vertical.	$\mathrm{rad}$
$h$	Profundidad de la circunferencia de la pelota por debajo de la mano.	$\mathrm{m}$
$r$	Radio de la circunferencia horizontal de la pelota.	$\mathrm{m}$
$L$	Longitud de la cuerda.	$\mathrm{m}$
$F_s$	Tensión: el tirón de la cuerda sobre la pelota, a lo largo de la cuerda hacia la mano.	$\mathrm{N}$
$F_s\cos \phi$	Parte vertical de la tensión; equilibra el peso.	$\mathrm{N}$
$F_s\sin \phi$	Parte horizontal de la tensión, hacia el eje: la fuerza centrípeta $m{\omega }^{2}r$.	$\mathrm{N}$
$mg$	Peso de la pelota, vertical hacia abajo.	$\mathrm{N}$

La figura 4 muestra el cono de perfil, a la izquierda, y las fuerzas sobre la pelota, a la derecha. A la izquierda, la cuerda de longitud $L$ forma el ángulo $\phi$ con el eje vertical que pasa por la mano. La pelota gira a una distancia $r$ de ese eje, en un plano horizontal situado a una distancia $h$ por debajo de la mano. (Esta $h$ es una longitud nueva, no la caída de la figura 2.)

A la derecha, sobre la pelota actúan solo dos fuerzas: su peso $mg$, vertical hacia abajo, y la tensión $F_s$, a lo largo de la cuerda hacia la mano. Descompón la tensión en una parte vertical $F_s\cos \phi$ y una parte horizontal $F_s\sin \phi$; el ángulo entre la cuerda y la vertical vuelve a ser $\phi$. La pelota ni sube ni baja, así que la parte vertical equilibra el peso, y en la figura esas dos flechas tienen la misma longitud. La parte horizontal apunta al eje y es la única fuerza no equilibrada, así que es la fuerza centrípeta:
$F_s\cos \phi =mg,F_s\sin \phi =m{\omega }^{2}r$

Al dividir la segunda ecuación por la primera se eliminan a la vez $F_s$ y $m$:
$\tan \phi =\frac{{\omega }^{2}r}{g}=\frac{7,2}{9,81}\approx 0,734$
así que la cuerda se aparta 36,3° de la vertical. El triángulo de la izquierda, de lados $r$, $h$ y $L$, tiene el mismo ángulo $\phi$ en la mano, así que también $\tan \phi =r/h$. Igualando las dos expresiones de $\tan \phi$ se obtiene
$h=\frac{r}{\tan \phi }=\frac{g}{{\omega }^2}=\frac{9,81}{9}\approx 1,09\mathrm{m}$
que solo depende de $\omega$, no de la masa ni del radio. Por el teorema de Pitágoras, la cuerda mide $L=\sqrt{0,8^2+1,09^2}\approx 1,35\mathrm{m}$. Para la tensión, sustituye $\sin \phi =r/L$ en la ecuación horizontal: $F_{s}r/L=m{\omega }^{2}r$, así que $F_s=m{\omega }^{2}L\approx 0,2\cdot 9\cdot 1,35\approx 2,43\mathrm{N}$. Eso es 1,24 veces el peso, que es de 1,96 N. Su parte horizontal sigue siendo los 1,44 N de la versión sobre la mesa, porque la pelota sigue necesitando $m{\omega }^{2}r$ para mantenerse en su circunferencia.

Tres consecuencias sorprenden a la mayoría. En primer lugar, $h=g/{\omega }^2$ solo se reduce a cero si $\omega$ crece sin límite, así que la cuerda nunca queda exactamente horizontal: una parte de la tensión siempre tiene que sostener el peso. En segundo lugar, $h$ no puede superar la longitud de la cuerda, así que un cono exige $g/{\omega }^2<L$: con esta cuerda, por debajo de $\omega =\sqrt{g/L}\approx 2,69rad/s$ no hay cono alguno, y la pelota simplemente cuelga. En tercer lugar, en una circunferencia vertical la cuerda solo puede tirar. En lo alto, la gravedad y la cuerda apuntan ambas al centro, así que la tensión es $m(v^2/r-g)$, y no puede ser negativa: la pelota solo se mantiene en la circunferencia si $v^2/r\ge g$, es decir, $v\ge \sqrt{gr}\approx 2,80m/s$. Una pelota que pasara por lo alto a los 2,4 m/s de la animación encontraría la cuerda floja.

Sistemas en rotación y fuerzas ficticias

Todo lo anterior se veía desde la mesa, un sistema de referencia inercial. Un observador que gira con la cuerda describe el mismo movimiento de otra forma, y el suelo que pisamos es un sistema en rotación de ese tipo, lo que importa para el tiempo atmosférico.

En un sistema que gira con la cuerda, la pelota está en reposo y, sin embargo, la cuerda sigue tirando de ella hacia dentro con 1,44 N. La segunda ley de Newton solo se salva si se añaden fuerzas ficticias, que provienen de la aceleración del sistema y no de otro cuerpo. La primera es la fuerza centrífuga $m{\omega }^{2}r$, hacia fuera, aquí exactamente 1,44 N, que equilibra la cuerda. La segunda actúa solo sobre un cuerpo que se mueve en el sistema en rotación, con velocidad $\vec{v}$ respecto de ese sistema: es la fuerza de Coriolis $-2m\vec{\omega }\times \vec{v}$, perpendicular a esa velocidad, donde $\vec{\omega }$ es la velocidad angular del sistema, un vector a lo largo del eje de rotación. Tras soltarla, el observador que gira ve que la pelota se desvía hacia fuera y se queda rezagada respecto de la cuerda, unos 30° tras 0,5 s; vista desde la mesa, simplemente sigue recta.

Las dos fuerzas ficticias son proporcionales a la masa, como la gravedad, así que dan a todos los cuerpos la misma aceleración. Einstein hizo de esta coincidencia el punto de partida de la relatividad general: en una región lo bastante pequeña, ningún experimento distingue un sistema acelerado de la gravedad. El propio suelo es un sistema en rotación, que gira con la velocidad angular de la Tierra, ${\omega }_E$. En el ecuador, a la distancia $R_E$ del eje (el radio terrestre), el término centrífugo es ${\omega }_E^2{R}_E\approx 0,034m/{\mathrm{s}}^2$, el 0,35 % de $g$. Con un viento de 20 m/s a 45° de latitud, la aceleración de Coriolis es de solo unos 0,002 m/s²; sin embargo, al actuar durante horas convierte las grandes tormentas en ciclones.

Límites de validez

Todo esto trata el cuerpo como un punto y la cuerda como de masa despreciable e inextensible. Una cuerda real se estira un poco al crecer la tensión, de modo que $r$ depende ligeramente de $\omega$. El sistema debe ser inercial, pero a esta escala la rotación terrestre es inofensiva: su efecto de Coriolis sobre la pelota a 2,4 m/s es como mucho $2{\omega }_{E}v\approx 3,5\times 10^{-4}m/{\mathrm{s}}^2$, unas 20 000 veces menor que los 7,2 m/s² que aporta la cuerda.

Cerca de la velocidad de la luz $c$, el momento lineal es $\gamma mv$, donde $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ crece sin límite cuando $v$ se acerca a $c$. Una fuerza perpendicular a $\vec{v}$ solo cambia la dirección del movimiento, no la rapidez, así que $\gamma$ se mantiene constante y la fuerza necesaria para una circunferencia pasa a ser $\gamma m{v}^2/r$. Por eso una carga $q$ en un campo magnético $B$ gira con $\omega =qB/(\gamma m)$ en lugar de $qB/m$. Un protón lento en un campo de 1,0 T da 15,2 millones de vueltas por segundo; con 10 MeV de energía cinética, $\gamma \approx 1,011$ y la frecuencia baja alrededor de un 1 %, lo bastante para desfasarse respecto de la tensión eléctrica de frecuencia fija de un ciclotrón.

A escala atómica fallan las órbitas clásicas. Una carga acelerada irradia, así que un electrón que girase alrededor de un protón perdería su energía y caería en espiral en unos $10^{-11}\mathrm{s}$. Los átomos estables requieren la mecánica cuántica.

Lo que viene después

Cuando la gravedad aporta la fuerza centrípeta, $GMm/r^2=m{v}^2/r$ da las rapideces orbitales y la tercera ley de Kepler, objeto de Gravitación y órbitas; la Estación Espacial Internacional, a 420 km de altura, necesita 7,66 km/s y rodea la Tierra en unos 93 minutos. Un sólido rígido que gira es una multitud de puntos que comparten una misma $\omega$, cada uno con $v=\omega r$ y $a_t=r\alpha$: ahí empieza Dinámica de rotación y momento de fuerza, y la constante $r^2\dot{\theta }$ da paso a El momento angular y su conservación. La imagen de la sombra continúa en Movimiento armónico simple. En Fuerza magnética sobre cargas en movimiento, $qvB=m{v}^2/r$ da el radio $r=mv/(qB)$ que se usa en los espectrómetros de masas y los ciclotrones, y Modelos atómicos: el átomo de Bohr muestra cómo las reglas cuánticas rescatan al electrón que orbita. La equivalencia entre fuerzas ficticias y gravedad reaparece en La gravedad como curvatura del espacio-tiempo.