Mouvement circulaire

Débutant

Faire tourner une balle au bout d'une ficelle, prendre un virage à vélo, regarder la Lune tourner autour de la Terre : dans tous ces cas, le mouvement suit une courbe. Avançons en quatre étapes.

Étape 1. La vitesse, c'est à la fois une valeur et une direction. Une balle qui tourne à allure constante change de direction à chaque instant : sa vitesse change donc sans arrêt, et tout changement de vitesse est une accélération. Tourner en rond à allure constante, c'est déjà accélérer.

Étape 2. Une accélération exige une force résultante. Sur un cercle, cette force est toujours dirigée vers le centre : on l'appelle force centripète (« qui cherche le centre »). Ce n'est pas une nouvelle sorte de force, mais un rôle que joue une force bien réelle : pour la balle, la ficelle qui tire vers la main ; pour une voiture dans un virage, l'adhérence de la route sur les pneus ; pour la Lune, la gravitation terrestre.

Étape 3. Lâchez la ficelle : la traction disparaît. Plus rien ne courbe la trajectoire, et la balle continue dans la direction qu'elle avait à cet instant, en ligne droite le long de la tangente, la droite qui effleure le cercle. Dans l'animation, après le lâcher, les points gris sont régulièrement espacés sur cette droite. La balle ne part pas droit vers l'extérieur ; ce que votre main sent tirer vers l'extérieur, c'est la balle sur la ficelle.

Étape 4. Aller plus vite, ou tourner sur un cercle plus serré, demande une traction plus forte vers l'intérieur. C'est pourquoi on ralentit avant un virage serré.

À vous : un satellite tourne autour de la Terre à vitesse constante. Une force agit-elle sur lui, et dans quelle direction ? (Oui : la gravitation, dirigée vers le centre de la Terre.)

Intermédiaire

Ce que l'on mesure sur un cercle

Placez l'origine au centre. Le corps reste à la distance $r$ de ce point, le rayon : un seul angle $\theta$, compté dans le sens trigonométrique à partir d'une droite de référence, suffit donc à dire où il se trouve. Les angles s'expriment en radians : un angle $\theta$ découpe un arc $s=r\theta$, si bien qu'un tour complet vaut $2\pi \approx 6,28\mathrm{rad}$.

La vitesse angulaire $\omega =\Delta \theta /\Delta t$, en rad/s, indique à quel rythme l'angle augmente, et la vitesse $v$ à quel rythme le corps parcourt l'arc. Comme l'arc vaut $r$ fois l'angle,
$v=\omega r$
ainsi tous les points d'une roue qui tourne ont le même $\omega$, mais un point deux fois plus éloigné de l'axe va deux fois plus vite.

Un tour dure la période $T$ ; la fréquence $f=1/T$, en hertz (Hz), compte les tours par seconde. Un tour correspond à l'arc $2\pi r$, ou à l'angle $2\pi$, d'où
$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi }{\omega }$

Tourner à vitesse de valeur constante, c'est accélérer

La vitesse est un vecteur : elle a une norme, la valeur de la vitesse, et une direction, qui sur un cercle est toujours celle de la tangente. Cette direction tourne sans cesse ; la vitesse varie donc même quand sa valeur est constante, et toute variation de vitesse est une accélération.

Dessinez la vitesse à deux instants séparés de $\Delta t$, en faisant partir les deux flèches du même point. Elles ont toutes deux la longueur $v$, et la seconde a tourné de l'angle $\omega \Delta t$, comme le rayon. La petite flèche qui joint leurs extrémités représente la variation $\Delta v$, de longueur voisine de $v\omega \Delta t$ ; quand $\Delta t$ diminue, elle devient perpendiculaire à la vitesse et dirigée vers le centre. En divisant par $\Delta t$, on obtient $a=v\omega$, et avec $\omega =v/r$ :
$a=\frac{v^2}{r}={\omega }^{2}r$

Cette accélération centripète, c'est-à-dire « qui cherche le centre », contient $v$ deux fois : un corps plus rapide fait tourner son vecteur vitesse plus vite, et ce vecteur est lui-même plus long.

Qui fournit la force vers l'intérieur

D'après la deuxième loi de Newton, un corps de masse $m$ qui tourne avec une valeur de vitesse constante ne reste sur le cercle que si la force résultante qui s'exerce sur lui est dirigée vers le centre et a pour valeur
$F=\frac{m{v}^2}{r}$
Cette force centripète n'est pas un nouveau type de force, mais un rôle tenu par une force réelle : la tension de la ficelle pour une balle qu'on fait tourner, le frottement de la route pour une voiture dans un virage plat, la gravitation pour la Lune, la poussée de la paroi du tambour pour le linge pendant l'essorage.

Sur un diagramme des forces, ne dessinez donc que des forces réelles, additionnez leurs composantes vers le centre et égalez la somme à $m{v}^2/r$ ; ne tracez jamais de flèche centripète supplémentaire. La forme de $a$ à employer dépend de ce qui reste fixé : à vitesse égale, un cercle plus serré exige plus de force, $a\propto 1/r$, alors que sur un plateau tournant, où $\omega$ est commun, ce sont les points extérieurs qui en exigent le plus, $a\propto r$.

Exemple résolu : la balle de l'animation

Vue de dessus, une balle de 0,2 kg glisse sur une table horizontale lisse, reliée par une ficelle de longueur $r=0,8\mathrm{m}$ à une main placée au centre, et tourne à $\omega =3,0rad/s$. La table supporte son poids, si bien que seule la ficelle la tire horizontalement :
$v=\omega r=3,0\cdot 0,8=2,4m/s$
$a=\frac{v^2}{r}=\frac{2,4^2}{0,8}=\frac{5,76}{0,8}=7,2m/{\mathrm{s}}^2$
$F=ma=0,2\cdot 7,2=1,44\mathrm{N}$

Ce sont les valeurs affichées, $v=2,4m/s$, $\omega =3,0rad/s$ et $a=7,2m/{\mathrm{s}}^2$ ; l'autre forme donne le même résultat, ${\omega }^{2}r=9\cdot 0,8=7,2m/{\mathrm{s}}^2$. Un tour dure $T=2\pi /3,0\approx 2,09\mathrm{s}$ ; les 1,75 tour avant le lâcher durent donc environ 3,67 s.

Si la balle tournait au-dessus de la tête, sur le même cercle et à la même vitesse, il faudrait aussi la soutenir : la ficelle s'incline vers le bas et sa tension monte à environ 2,4 N, mais seule sa composante horizontale, toujours 1,44 N, courbe la trajectoire.

Exemple résolu : une voiture dans un virage plat

Une voiture de 1200 kg aborde un virage plat de rayon 50 m à 15 m/s (54 km/h). Il lui faut
$a=\frac{v^2}{r}=\frac{15^2}{50}=4,5m/{\mathrm{s}}^2,F=ma=1200\cdot 4,5=5400\mathrm{N}$
et seul le frottement des pneus sur la route peut la fournir. Sur asphalte sec, le coefficient de frottement vaut environ $\mu =0,7$ ; la route peut donc exercer jusqu'à $\mu mg=0,7\cdot 1200\cdot 9,81\approx 8240\mathrm{N}$ : la voiture tient le virage. À la limite, $m{v}^2/r=\mu mg$, la masse se simplifie et $v_{\max }=\sqrt{\mu gr}=\sqrt{0,7\cdot 9,81\cdot 50}\approx 18,5m/s$, soit environ 67 km/h.

Sur route mouillée, $\mu \approx 0,4$ ne permet qu'environ 4710 N, moins que les 5400 N nécessaires. La voiture part vers l'extérieur du virage parce qu'elle va plus droit que la route, non parce que quelque chose la pousse vers l'extérieur. La vitesse maximale sans glissement tombe à $\sqrt{0,4\cdot 9,81\cdot 50}\approx 14m/s$, soit environ 50 km/h. À 30 m/s, il faudrait une force quatre fois plus grande, 21 600 N, plus que ce que même une route sèche peut offrir.

Lire les flèches de l'animation

La flèche bleue $v$ est portée par la tangente, garde une longueur fixe et tourne de 3,0 rad (environ 172°) chaque seconde. La flèche rouge $a$ pointe le long de la ficelle, repérée par $r$, vers la main. Les deux restent perpendiculaires : la traction change la direction du mouvement, jamais la valeur de la vitesse.

Comme la flèche $a$ tourne avec la balle, $a$ n'est pas un vecteur constant, et les équations à accélération constante de la leçon Mouvement rectiligne ne s'appliquent pas. En un demi-tour, la vitesse s'inverse, de $+2,4$ à $-2,4m/s$, en $T/2\approx 1,05\mathrm{s}$ : l'accélération moyenne n'est que de $4,8/1,05\approx 4,6m/{\mathrm{s}}^2$, puisque $a$ change sans cesse de direction, et sur un tour entier elle est nulle.

Au lâcher, en bas de l'image, la flèche rouge disparaît et l'affichage de $a$ tombe à zéro ; la flèche bleue garde sa longueur et sa direction, et la balle suit la tangente en pointillés à 2,4 m/s constants.

Erreurs fréquentes

• Une vitesse de valeur constante ne signifie pas une accélération nulle : la balle garde 2,4 m/s et pourtant accélère à 7,2 m/s², parce que sa direction change.
• Aucune force vers l'extérieur n'agit sur la balle ; la traction que sent votre main, c'est la balle qui tire sur la ficelle (troisième loi de Newton). Lâchée, elle part le long de la tangente, et elle se trouve à 1,0 m du centre au bout de 0,25 s uniquement parce qu'une droite s'écarte d'un cercle.
• La force centripète n'est pas une force de plus : sur la table, c'est la tension elle-même, 1,44 N, et non la tension plus 1,44 N supplémentaires.
• Doubler la vitesse ne double pas la force : $F\propto v^2$, donc à 4,8 m/s la tension passe de 1,44 N à 5,76 N.
• Utilisez des radians par seconde : 3,0 rad/s font environ 28,6 tours par minute, et mettre 28,6 dans $v=\omega r$ donne 22,9 m/s au lieu de 2,4 m/s.

Où on le rencontre

Virages routiers, cyclistes qui se penchent dans les courbes, vélodromes aux virages relevés : chaque fois, une force réelle fournit $m{v}^2/r$. Une machine à laver qui tourne à 1200 tr/min, avec un tambour de rayon 0,25 m, soumet son contenu à environ 3950 m/s², soit quelque 400 fois $g$ ; le tambour pousse le linge sur son cercle, mais l'eau s'échappe par les trous le long de la tangente. Une centrifugeuse de laboratoire à 10 000 tr/min, avec un bras de 10 cm, atteint environ 11 000 fois $g$.

Pour les satellites, la force centripète est la gravitation : la Station spatiale internationale tombe autour de la Terre avec environ 8,6 m/s². Ces idées conduisent à Gravitation et orbites ; à Dynamique de rotation et moment de force, où chaque point d'un corps qui tourne décrit un cercle ; à Oscillations harmoniques, le mouvement circulaire vu par la tranche ; et à Force magnétique sur une charge en mouvement, où des champs magnétiques courbent en cercles la trajectoire des particules chargées.

Avancé

Position, vitesse et accélération sous forme de vecteurs

Cette section établit les deux faits centraux du mouvement circulaire en dérivant le vecteur position : la vitesse est portée par la tangente, et l'accélération pointe vers le centre avec la norme $v^2/r$. Travailler avec des vecteurs donne d'un seul coup les normes et les directions. Toutes les valeurs numériques viennent de l'animation : une balle de 0,2 kg posée sur une table lisse, retenue par une ficelle de longueur $r=0,8\mathrm{m}$ et tournant à la vitesse angulaire $\omega =3,0rad/s$, si bien que la valeur de sa vitesse est $v=\omega r=2,4m/s$, son accélération $a=7,2m/{\mathrm{s}}^2$, et que la ficelle tire avec 1,44 N.

Légende

$\vec{r}$	Vecteur position : du centre au corps ; sa longueur est le rayon $r$.	$\mathrm{m}$
$\vec{v}$	Vitesse : portée par la tangente, dans le sens du mouvement ; sa norme est $v=\omega r$.	$m/s$
$\vec{a}$	Accélération : opposée à $\vec{r}$, vers le centre ; sa norme est ${\omega }^{2}r=v^2/r$.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\theta$	Angle dont le rayon a tourné depuis l'axe $x$ : $\theta =\omega t$.	$\mathrm{rad}$
$x$	Axe horizontal ; le corps part de son côté positif.	$\mathrm{m}$
$y$	Axe vertical.	$\mathrm{m}$

La figure 1 fige le mouvement à un instant. Le centre est à l'origine ; le corps est parti de l'axe $x$ positif et tourne dans le sens trigonométrique à $\omega$ constante, de sorte qu'au bout d'une durée $t$ le rayon a tourné de l'angle $\theta =\omega t$, marqué au centre. Le vecteur position $\vec{r}$ va du centre au corps. Sa longueur vaut toujours $r$, et ses composantes sont ses ombres sur les deux axes :
$\vec{r}(t)=r(\cos \omega t,\sin \omega t)$
La vitesse $\vec{v}$ et l'accélération $\vec{a}$ appartiennent au corps : elles sont donc tracées à partir de lui. Observez deux choses : le petit carré entre $\vec{v}$ et le prolongement en pointillés du rayon, et $\vec{a}$, porté par la même droite que $\vec{r}$ mais orienté dans l'autre sens. ($\vec{a}$ est dessiné juste à côté de $\vec{r}$ uniquement pour séparer les deux flèches.)

Pour trouver $\vec{v}$, dérivez chaque composante par rapport au temps. D'après la règle de dérivation des fonctions composées, la dérivée de $\cos \omega t$ est $-\omega \sin \omega t$ et celle de $\sin \omega t$ est $\omega \cos \omega t$, donc
$\vec{v}=r\omega (-\sin \omega t,\cos \omega t)$
En dérivant encore une fois, de la même manière,
$\vec{a}=-{\omega }^{2}r(\cos \omega t,\sin \omega t)=-{\omega }^2\vec{r}$

Lisez maintenant les résultats. La parenthèse de $\vec{v}$ est celle de $\vec{r}$ tournée d'un quart de tour dans le sens trigonométrique, et sa longueur vaut 1. Donc $\vec{v}$ est perpendiculaire au rayon : c'est l'angle droit marqué sur la figure 1. La vitesse est portée par la tangente, avec la norme $\omega r$. L'accélération est le vecteur position renversé et multiplié par ${\omega }^2$. Elle pointe donc exactement vers le centre, avec la norme ${\omega }^{2}r=v^2/r$, soit 7,2 m/s² pour la balle.

Le même résultat sans coordonnées

La démonstration ci-dessus supposait une rotation régulière. Un argument plus court n'utilise que le fait que la distance au centre ne change jamais ; il s'applique donc aussi à un corps qui accélère ou ralentit sur le cercle.

La longueur de $\vec{r}$ est fixe, donc $\vec{r}\cdot \vec{r}=r^2$ est une constante. Dérivez-la avec la règle du produit : $2\vec{r}\cdot \vec{v}=0$, donc la vitesse est perpendiculaire au rayon pour tout mouvement sur un cercle. Dérivez encore $\vec{r}\cdot \vec{v}=0$ : $\vec{v}\cdot \vec{v}+\vec{r}\cdot \vec{a}=0$, c'est-à-dire $\vec{r}\cdot \vec{a}=-v^2$. En divisant par $r$, on obtient la composante de $\vec{a}$ le long du rayon orienté vers l'extérieur, $-v^2/r$. La composante de l'accélération dirigée vers l'intérieur vaut donc $v^2/r$ pour tout mouvement sur un cercle, uniforme ou non.

Si la valeur de la vitesse est elle aussi constante, la même astuce appliquée à $\vec{v}\cdot \vec{v}=v^2$ donne $\vec{v}\cdot \vec{a}=0$. L'accélération n'a alors aucune partie le long de la tangente, et il ne reste que la partie dirigée vers l'intérieur.

Le cercle de la vitesse : l'hodographe

La vitesse décrit elle aussi un cercle, et ce cercle montre le plus directement pourquoi $a=v^2/r$ : l'accélération est à la vitesse ce que la vitesse est à la position.

Reportez les flèches $\vec{v}$ de la figure 1, prises à de nombreux instants, à partir d'une même origine ; ce dessin s'appelle l'hodographe. Toutes les flèches ont la même longueur $v$, et chacune pointe un quart de tour en avance sur le $\vec{r}$ du même instant ; les flèches tournent donc au même rythme $\omega$ que le rayon. Leurs extrémités parcourent ainsi un cercle de rayon $v$ à la vitesse angulaire $\omega$.

Appliquez maintenant à ce cercle ce que l'on sait du premier. L'extrémité de $\vec{r}$ se déplace à la vitesse $\omega r$, et cette vitesse est la norme de $\vec{v}$. De même, l'extrémité de $\vec{v}$ se déplace à la vitesse $\omega v$, et cette vitesse est la norme de $\vec{a}$, puisque l'accélération est le taux de variation de la vitesse. Donc $a=\omega v=v^2/r$. L'extrémité de $\vec{v}$ se déplace le long de la tangente à l'hodographe, un quart de tour en avance sur $\vec{v}$. Comme $\vec{v}$ est déjà un quart de tour en avance sur $\vec{r}$, $\vec{a}$ est à un demi-tour de $\vec{r}$ : il pointe vers le centre. Position, vitesse et accélération sont trois flèches de longueurs $r$, $\omega r$ et ${\omega }^{2}r$, chacune un quart de tour en avance sur la précédente, parce que chacune est le taux de variation de la précédente.

Tomber autour du cercle

Newton a vu la même accélération autrement : un corps sur un cercle tombe sans cesse vers le centre, et n'y arrive jamais parce qu'il se déplace aussi de côté. Ce point de vue relie le mouvement circulaire à la chute libre, et il a conduit au premier test de la loi de la gravitation.

Légende

$r$	Rayon du cercle : la longueur de la ficelle.	$\mathrm{m}$
$\omega t$	Angle dont le rayon tourne pendant la durée $t$.	$\mathrm{rad}$
$vt$	Distance que le corps parcourrait le long de la tangente pendant la durée $t$ sans ficelle.	$\mathrm{m}$
$h$	Écart entre cette position libre et la position réelle sur le cercle : la hauteur dont le corps est tombé vers le centre.	$\mathrm{m}$

La figure 2 suit le corps pendant une durée $t$ à partir du sommet du cercle. Il part du point, avec sa vitesse portée par la tangente, dirigée ici vers la gauche. Sans force, il irait en ligne droite, parcourrait la distance $vt$ le long de la tangente et finirait à la balle pâle. Au lieu de cela, la ficelle le retient sur le cercle : le rayon $r$ tourne de l'angle $\omega t$, le corps parcourt un arc de même longueur $r\omega t=vt$ et finit à la balle pleine. La flèche $h$ va de l'endroit où le corps serait à celui où il est : c'est la hauteur dont il est tombé. (La durée est exagérée sur la figure pour que les formes soient visibles ; le résultat ci-dessous vaut pour des durées courtes.)

Quelle est la longueur de $h$ ? La tangente au sommet passe à la distance $r$ au-dessus du centre, et la position réelle se trouve à $r\cos \omega t$ au-dessus de lui ; le corps est donc descendu de $r(1-\cos \omega t)$ sous la tangente. Pour une durée courte, la position libre est presque exactement au-dessus de la position réelle, si bien que $h$ vaut presque exactement cette descente et pointe presque droit vers le bas, vers le centre. Pour un petit angle $x$, $\cos x\approx 1-x^2/2$, et avec $r\omega t=vt$,
$h\approx r(1-\cos \omega t)\approx \frac{r(\omega t{)}^2}{2}=\frac{(vt{)}^2}{2r}$
Comparez avec la chute libre depuis le repos, $h=\frac{1}{2}a{t}^2$. Les deux coïncident si $a=v^2/r$ : le corps tombe vers le centre exactement comme le ferait une pierre lâchée avec cette accélération, et son mouvement latéral l'empêche de jamais s'en rapprocher.

En 0,1 s, la balle parcourrait $vt=0,24\mathrm{m}$ le long de la tangente, pendant que le rayon tourne de 0,3 rad. Le cercle passe alors $0,8(1-\cos 0,3)\approx 0,0357\mathrm{m}$, soit 3,57 cm, sous la tangente, contre $\frac{1}{2}\cdot 7,2\cdot 0,1^2=0,036\mathrm{m}$ par l'approximation.

Newton s'est servi de cette image pour éprouver sa loi de la gravitation sur la Lune. Son orbite a un rayon $R\approx 3,84\times 10^8\mathrm{m}$, environ 60,3 rayons terrestres, et une période $T$ de 27,3 jours. Avec $v=2\pi R/T$, la Lune tombe vers la Terre avec l'accélération
$a=\frac{v^2}{R}=\frac{4{\pi }^{2}R}{T^2}\approx 2,72\times 10^{-3}m/{\mathrm{s}}^2$
Si la gravitation s'affaiblit comme l'inverse du carré de la distance, elle devrait donner, à 60,3 rayons terrestres, $g/60,3^2\approx 2,70\times 10^{-3}m/{\mathrm{s}}^2$. Les deux valeurs s'accordent à 1 % près : l'attraction qui fait tomber une pomme maintient aussi la Lune en chute autour de la Terre.

Les ombres sur les axes : oscillations harmoniques

Vu de côté, le mouvement circulaire devient une oscillation. C'est grâce à ce lien que les mathématiques du cercle se retrouvent dans une si grande partie de la physique, des ressorts au courant alternatif.

Prenez la composante selon $x$ de $\vec{a}=-{\omega }^2\vec{r}$. Elle s'écrit $\ddot{x}=-{\omega }^{2}x$, où chaque point désigne une dérivée par rapport au temps. C'est l'équation d'une masse $m$ au bout d'un ressort de raideur $k$, $m\ddot{x}=-kx$, avec $k/m={\omega }^2$, et la composante selon $y$ donne la même équation. L'ombre d'un mouvement circulaire uniforme sur une droite quelconque est donc un mouvement harmonique, de même $\omega$ et d'amplitude égale au rayon.

Le niveau Avancé de l'animation le montre. Les points violets sur les axes sont les ombres : ils glissent entre $-0,8$ et $+0,8\mathrm{m}$ avec la période $2\pi /\omega =2,09\mathrm{s}$. Ils vont le plus vite, à 2,4 m/s, quand ils passent au milieu, là où la balle se déplace parallèlement à l'axe, et ils s'arrêtent un instant aux extrémités, où leur accélération atteint son maximum, 7,2 m/s². Les graphes de $x(t)$ et de $y(t)$ sont un cosinus et un sinus, décalés d'un quart de période (0,52 s).

Les nombres complexes disent la même chose en une ligne. Écrivez la position sous la forme $z=x+iy=r{e}^{i\omega t}$. Alors $\dot{z}=i\omega z$, et multiplier un nombre complexe par $i$ le fait tourner d'un quart de tour dans le sens trigonométrique : la vitesse est à angle droit du rayon. Une nouvelle dérivation donne $\ddot{z}=(i\omega {)}^{2}z=-{\omega }^{2}z$, l'accélération centripète. La partie réelle, $x=r\cos \omega t$, est l'oscillation. Une oscillation est une rotation vue par la tranche, et c'est pourquoi $e^{i\omega t}$ est le langage naturel des vibrations, des ondes et des courants alternatifs.

Le lâcher montre ce qui se passe quand la traction vers l'intérieur cesse. Il a lieu quand $\omega t=7\pi /2$, alors que la balle est en $(0,-r)$ avec la vitesse $(+v,0)$ ; à partir de là, $\vec{a}=0$. Le graphe de $x(t)$ quitte le cosinus le long de sa tangente, avec la pente 2,4 m/s, et atteint 1,2 m, soit $1,5r$, au bord du graphe 0,5 s plus tard. Le graphe de $y(t)$ reste à $-0,8\mathrm{m}$, car le sinus était à son minimum, là où sa pente est nulle. C'est la première loi de Newton dessinée en deux graphes.

Des vecteurs unitaires qui tournent avec le corps

Jusqu'ici, la valeur de la vitesse était constante. Quand un corps accélère sur un cercle, ou se déplace sur une courbe quelconque, l'accélération acquiert une partie le long de la trajectoire. Le moyen le plus propre de trouver toutes ses parties est d'utiliser des vecteurs unitaires qui tournent avec le corps.

Pour tout mouvement plan, repérez le corps par sa distance $r$ à l'origine et par son angle $\theta$, qui peuvent désormais varier tous les deux. Au niveau du corps, définissez deux vecteurs unitaires : $\hat{r}$, dirigé vers l'extérieur le long du rayon, et $\hat{\theta }$, un quart de tour en avance sur lui, dans le sens des $\theta$ croissants (sens trigonométrique). Alors $\vec{r}=r\hat{r}$.

En composantes, $\hat{r}=(\cos \theta ,\sin \theta )$ et $\hat{\theta }=(-\sin \theta ,\cos \theta )$. En dérivant avec la règle des fonctions composées, comme dans la première section,
$\frac{d\hat{r}}{dt}=\dot{\theta }\hat{\theta },\frac{d\hat{\theta }}{dt}=-\dot{\theta }\hat{r}$
Autrement dit : quand l'angle augmente, $\hat{r}$ bascule vers $\hat{\theta }$, et $\hat{\theta }$ bascule vers le centre.

Dérivez $\vec{r}=r\hat{r}$ avec la règle du produit. Le premier terme est le mouvement vers l'extérieur, le second le mouvement de rotation :
$\vec{v}=\dot{r}\hat{r}+r\dot{\theta }\hat{\theta }$
Dérivez encore, terme à terme, à l'aide des deux règles ci-dessus :
$\vec{a}=\ddot{r}\hat{r}+\dot{r}\dot{\theta }\hat{\theta }+\dot{r}\dot{\theta }\hat{\theta }+r\ddot{\theta }\hat{\theta }-r{\dot{\theta }}^2\hat{r}$
En regroupant les parties selon $\hat{r}$ et selon $\hat{\theta }$ :
$\vec{a}=(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)\hat{r}+(r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta })\hat{\theta }$

Sur un cercle, $r$ est fixe, donc $\dot{r}=\ddot{r}=0$. Il reste une partie dirigée vers l'intérieur, $-r{\dot{\theta }}^2\hat{r}$, de norme $r{\dot{\theta }}^2=v^2/r$, et une partie tangentielle $r\ddot{\theta }\hat{\theta }$. Notez $\alpha =\ddot{\theta }$ l'accélération angulaire. La partie tangentielle a alors la norme $r\alpha$ et, comme $v=r\dot{\theta }$, elle est égale à $dv/dt$, le rythme auquel la valeur de la vitesse change.

Accélérer sur un cercle

Quand la valeur de la vitesse change, l'accélération ne pointe plus vers le centre. Cette section montre de combien elle s'incline, et ce que cela signifie pour la ficelle.

Légende

$\hat{r}$	Vecteur unitaire porté par le rayon, dirigé vers l'extérieur.
$\hat{\theta }$	Vecteur unitaire porté par la tangente, dans le sens des $\theta$ croissants (sens trigonométrique).
$a_c$	Partie de l'accélération dirigée vers l'intérieur (centripète), selon $-\hat{r}$ ; sa norme est $r{\dot{\theta }}^2=v^2/r$.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$a_t$	Partie tangentielle de l'accélération, selon $\hat{\theta }$ tant que le corps accélère ; sa norme est $r\alpha =dv/dt$.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\vec{a}$	Accélération totale : la somme vectorielle des deux parties.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\beta$	Angle entre $\vec{a}$ et la droite qui mène au centre ; $\tan \beta =a_t/a_c$.	$\mathrm{rad}$

La figure 3 montre le cas circulaire à un instant, le corps étant à droite du centre. Les vecteurs unitaires $\hat{r}$ et $\hat{\theta }$ sont tracés au niveau du corps, à angle droit l'un de l'autre. L'accélération a une partie dirigée vers l'intérieur, de norme $a_c=r{\dot{\theta }}^2=v^2/r$, selon $-\hat{r}$, et une partie tangentielle de norme $a_t=r\alpha$, selon $\hat{\theta }$ parce que le corps accélère (elle serait selon $-\hat{\theta }$ s'il ralentissait). Mises bout à bout, les deux parties donnent l'accélération totale $\vec{a}$, la longue flèche issue du corps. Ainsi, $\vec{a}$ penche vers l'avant de l'angle $\beta$ par rapport à la droite qui mène au centre, et le triangle rectangle donne
$\tan \beta =a_t/a_c,a=\sqrt{a_c^2+a_t^2}$
La flèche tangentielle est dessinée bien plus longue que dans l'exemple qui suit, pour que l'inclinaison soit visible.

Faites passer la balle du repos à 3,0 rad/s en 2,0 s, avec une accélération angulaire constante $\alpha =1,5rad/{\mathrm{s}}^2$. La partie tangentielle reste égale à $a_t=r\alpha =0,8\cdot 1,5=1,2m/{\mathrm{s}}^2$ tout du long, tandis que la partie dirigée vers l'intérieur croît comme ${\omega }^2$ et atteint 7,2 m/s² à la fin. À cet instant, l'accélération totale vaut $\sqrt{7,2^2+1,2^2}\approx 7,30m/{\mathrm{s}}^2$, inclinée de 9,5° vers l'avant, puisque $\tan \beta =1,2/7,2$. Sur la table lisse, la ficelle est la seule force horizontale, et une ficelle ne peut tirer que dans sa propre direction : elle doit donc s'incliner vers l'avant du même angle. La main devance la balle dans sa rotation.

Forces radiales et trajectoires courbes

La formule générale sert encore à deux choses. Elle explique pourquoi les planètes balaient des aires égales, et elle donne l'accélération sur n'importe quelle trajectoire courbe.

Le terme $2\dot{r}\dot{\theta }$ compte quand la distance change pendant le tour. Si la force est purement radiale, comme la gravitation du Soleil sur une planète, la partie de l'accélération selon $\hat{\theta }$ doit s'annuler. Cette partie est une seule dérivée déguisée (développez le membre de droite pour le vérifier) :
$r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta }=\frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\theta })=0$
Ainsi, $r^2\dot{\theta }$ reste constant. Multiplié par la masse, c'est le moment cinétique, qui est donc conservé. La moitié de cette constante, $\frac{1}{2}{r}^2\dot{\theta }$, est l'aire que la droite issue du Soleil balaie par unité de temps : le même résultat est donc la loi des aires de Kepler.

Enfin, au voisinage de chacun de ses points, toute trajectoire lisse ressemble à un cercle ; le rayon du cercle qui l'épouse le mieux est le rayon de courbure $\rho$. La partie de l'accélération perpendiculaire à la trajectoire vaut alors $v^2/\rho$, et la partie qui lui est parallèle vaut $dv/dt$. Au sommet de l'arc d'un projectile, qui se déplace horizontalement à 10 m/s, la pesanteur est la seule force et elle est exactement perpendiculaire à la trajectoire, donc $g=v^2/\rho$ et $\rho =v^2/g\approx 10,2\mathrm{m}$.

Problème résolu : la balle qui tourne au-dessus de la tête

Retirez maintenant la balle de la table. Tenez la ficelle au-dessus de votre tête et faites tourner la même balle de 0,2 kg sur un cercle horizontal de rayon 0,8 m, aux 3,0 rad/s de l'animation. La ficelle décrit un cône. À quelle distance sous la main la balle tourne-t-elle, quelle est la longueur de la ficelle, et quelle est sa tension $F_s$ ?

Légende

$\phi$	Angle entre la ficelle et la verticale.	$\mathrm{rad}$
$h$	Profondeur du cercle de la balle sous la main.	$\mathrm{m}$
$r$	Rayon du cercle horizontal de la balle.	$\mathrm{m}$
$L$	Longueur de la ficelle.	$\mathrm{m}$
$F_s$	Tension : la traction de la ficelle sur la balle, le long de la ficelle vers la main.	$\mathrm{N}$
$F_s\cos \phi$	Partie verticale de la tension ; elle équilibre le poids.	$\mathrm{N}$
$F_s\sin \phi$	Partie horizontale de la tension, vers l'axe : la force centripète $m{\omega }^{2}r$.	$\mathrm{N}$
$mg$	Poids de la balle, vertical vers le bas.	$\mathrm{N}$

La figure 4 montre le cône de profil, à gauche, et les forces qui s'exercent sur la balle, à droite. À gauche, la ficelle de longueur $L$ fait l'angle $\phi$ avec l'axe vertical qui passe par la main. La balle tourne à la distance $r$ de cet axe, dans un plan horizontal situé à la distance $h$ sous la main. (Ce $h$ est une nouvelle longueur, et non la chute de la figure 2.)

À droite, deux forces seulement s'exercent sur la balle : son poids $mg$, vertical vers le bas, et la tension $F_s$, le long de la ficelle vers la main. Décomposez la tension en une partie verticale $F_s\cos \phi$ et une partie horizontale $F_s\sin \phi$ ; l'angle entre la ficelle et la verticale est encore $\phi$. La balle ne monte ni ne descend : la partie verticale équilibre donc le poids, et sur la figure ces deux flèches ont la même longueur. La partie horizontale pointe vers l'axe et c'est la seule force non compensée : c'est donc la force centripète :
$F_s\cos \phi =mg,F_s\sin \phi =m{\omega }^{2}r$

En divisant la seconde équation par la première, on élimine à la fois $F_s$ et $m$ :
$\tan \phi =\frac{{\omega }^{2}r}{g}=\frac{7,2}{9,81}\approx 0,734$
donc la ficelle s'écarte de 36,3° de la verticale. Le triangle de gauche, de côtés $r$, $h$ et $L$, a le même angle $\phi$ au niveau de la main, donc on a aussi $\tan \phi =r/h$. En égalant les deux expressions de $\tan \phi$, on obtient
$h=\frac{r}{\tan \phi }=\frac{g}{{\omega }^2}=\frac{9,81}{9}\approx 1,09\mathrm{m}$
qui ne dépend que de $\omega$, et ni de la masse ni du rayon. D'après le théorème de Pythagore, la ficelle mesure $L=\sqrt{0,8^2+1,09^2}\approx 1,35\mathrm{m}$. Pour la tension, reportez $\sin \phi =r/L$ dans l'équation horizontale : $F_{s}r/L=m{\omega }^{2}r$, donc $F_s=m{\omega }^{2}L\approx 0,2\cdot 9\cdot 1,35\approx 2,43\mathrm{N}$. C'est 1,24 fois le poids, qui vaut 1,96 N. Sa partie horizontale reste égale aux 1,44 N de la version sur table, parce que la balle a toujours besoin de $m{\omega }^{2}r$ pour rester sur son cercle.

Trois conséquences surprennent la plupart des gens. D'abord, $h=g/{\omega }^2$ ne tend vers zéro que si $\omega$ croît sans limite : la ficelle n'est donc jamais exactement horizontale, car une partie de la tension doit toujours soutenir le poids. Ensuite, $h$ ne peut pas dépasser la longueur de la ficelle, si bien qu'un cône exige $g/{\omega }^2<L$ : avec cette ficelle, au-dessous de $\omega =\sqrt{g/L}\approx 2,69rad/s$, il n'y a pas de cône du tout, et la balle pend simplement. Enfin, dans un cercle vertical, la ficelle ne peut que tirer. Au sommet, la pesanteur et la ficelle pointent toutes deux vers le centre, donc la tension vaut $m(v^2/r-g)$, et elle ne peut pas être négative : la balle ne reste sur le cercle que si $v^2/r\ge g$, soit $v\ge \sqrt{gr}\approx 2,80m/s$. Une balle qui passerait au sommet aux 2,4 m/s de l'animation trouverait la ficelle détendue.

Référentiels tournants et forces d'inertie

Jusqu'ici, tout était vu depuis la table, un référentiel galiléen. Un observateur qui tourne avec la ficelle décrit le même mouvement autrement, et le sol sous nos pieds est justement un référentiel tournant, ce qui compte pour la météo.

Dans un référentiel qui tourne avec la ficelle, la balle est au repos, et pourtant la ficelle la tire toujours vers l'intérieur avec 1,44 N. La deuxième loi de Newton ne reste valable que si l'on ajoute des forces d'inertie, qui proviennent de l'accélération du référentiel et non d'un autre corps. La première est la force centrifuge $m{\omega }^{2}r$, vers l'extérieur, ici exactement 1,44 N, qui équilibre la ficelle. La seconde n'agit que sur un corps qui se déplace dans le référentiel tournant, avec la vitesse $\vec{v}$ par rapport à ce référentiel : c'est la force de Coriolis $-2m\vec{\omega }\wedge \vec{v}$, perpendiculaire à cette vitesse, où $\vec{\omega }$ est le vecteur vitesse angulaire du référentiel, porté par l'axe de rotation. Après le lâcher, l'observateur qui tourne voit la balle dériver vers l'extérieur et prendre du retard sur la ficelle, d'environ 30° après 0,5 s ; vue depuis la table, elle va simplement tout droit.

Les deux forces d'inertie sont proportionnelles à la masse, comme la gravitation : elles donnent donc à tous les corps la même accélération. Einstein a fait de cette coïncidence le point de départ de la relativité générale : dans une région assez petite, aucune expérience ne permet de distinguer un référentiel accéléré de la gravitation. Le sol lui-même est un référentiel tournant, qui tourne à la vitesse angulaire de la Terre, ${\omega }_E$. À l'équateur, à la distance $R_E$ de l'axe (le rayon terrestre), le terme centrifuge vaut ${\omega }_E^2{R}_E\approx 0,034m/{\mathrm{s}}^2$, soit 0,35 % de $g$. Pour un vent de 20 m/s à la latitude de 45°, l'accélération de Coriolis n'est que d'environ 0,002 m/s², mais, agissant pendant des heures, elle transforme les grandes tempêtes en cyclones.

Limites de validité

Tout ce qui précède traite le corps comme un point et la ficelle comme sans masse et inextensible. Une vraie ficelle s'allonge un peu quand la tension augmente, de sorte que $r$ dépend légèrement de $\omega$. Le référentiel doit être galiléen, mais à cette échelle la rotation de la Terre est sans conséquence : son effet de Coriolis sur la balle à 2,4 m/s vaut au plus $2{\omega }_{E}v\approx 3,5\times 10^{-4}m/{\mathrm{s}}^2$, quelque 20 000 fois moins que les 7,2 m/s² que fournit la ficelle.

Près de la vitesse de la lumière $c$, la quantité de mouvement vaut $\gamma mv$, où $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ croît sans limite quand $v$ s'approche de $c$. Une force perpendiculaire à $\vec{v}$ ne change que la direction du mouvement, pas la valeur de la vitesse ; $\gamma$ reste donc constant, et la force nécessaire pour un cercle devient $\gamma m{v}^2/r$. Une charge $q$ dans un champ magnétique $B$ tourne par conséquent à $\omega =qB/(\gamma m)$ au lieu de $qB/m$. Un proton lent dans un champ de 1,0 T fait 15,2 millions de tours par seconde ; à 10 MeV d'énergie cinétique, $\gamma \approx 1,011$ et la fréquence baisse d'environ 1 %, assez pour sortir de phase avec la tension à fréquence fixe d'un cyclotron.

À l'échelle atomique, les orbites classiques échouent. Une charge accélérée rayonne : un électron qui tournerait autour d'un proton perdrait donc son énergie et tomberait en spirale en environ $10^{-11}\mathrm{s}$. Des atomes stables exigent la mécanique quantique.

Ce qui vient ensuite

Quand la gravitation fournit la force centripète, $GMm/r^2=m{v}^2/r$ donne les vitesses orbitales et la troisième loi de Kepler, objet de Gravitation et orbites ; la Station spatiale internationale, à 420 km d'altitude, a besoin de 7,66 km/s et fait le tour de la Terre en environ 93 minutes. Un solide en rotation est une foule de points qui partagent la même $\omega$, chacun avec $v=\omega r$ et $a_t=r\alpha$ : c'est le point de départ de Dynamique de rotation et moment de force, et la constante $r^2\dot{\theta }$ se développe dans Le moment cinétique et sa conservation. L'image de l'ombre se poursuit dans Oscillations harmoniques. Dans Force magnétique sur une charge en mouvement, $qvB=m{v}^2/r$ donne le rayon $r=mv/(qB)$ utilisé dans les spectromètres de masse et les cyclotrons, et Modèles atomiques : l'atome de Bohr montre comment des règles quantiques sauvent l'électron en orbite. L'équivalence entre forces d'inertie et gravitation revient dans La gravitation, courbure de l'espace-temps.