वृत्तीय गति

शुरुआती

डोरी पर गेंद घुमाना, साइकिल से मोड़ पर चलना, या चंद्रमा को पृथ्वी के चारों ओर घूमते देखना: ये सब वक्र पर गति है। आइए इस विचार को चार छोटे चरणों में समझें।

चरण 1. वेग में चाल और दिशा दोनों होती हैं। स्थिर चाल से वृत्त में घूमती गेंद की दिशा हर क्षण बदलती है, इसलिए उसका वेग भी लगातार बदलता है, और वेग में कोई भी परिवर्तन त्वरण है। वृत्त पर स्थिर चाल का अर्थ भी त्वरण ही है।

चरण 2. त्वरण के लिए शुद्ध बल चाहिए। वृत्त पर यह बल हमेशा केंद्र की ओर होता है, और इसे अभिकेंद्रीय बल, यानी केंद्र की ओर खींचने वाला बल, कहते हैं। यह कोई नई तरह का बल नहीं है, बल्कि कोई वास्तविक बल यह काम करता है: गेंद के लिए वह डोरी है जो हाथ की ओर खींचती है, मोड़ पर मुड़ती कार के लिए टायरों और सड़क के बीच की पकड़ है, और चंद्रमा के लिए पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण है।

चरण 3. डोरी छोड़ दें तो खिंचाव गायब हो जाता है। अब कुछ भी पथ को मोड़ता नहीं, इसलिए गेंद उसी दिशा में आगे बढ़ती है जिस दिशा में उस क्षण जा रही थी: स्पर्श रेखा के अनुदिश सीधी रेखा में, यानी वह रेखा जो वृत्त को केवल छूती है। एनिमेशन में छोड़ने के बाद के भूरे बिंदु इसी रेखा पर बराबर दूरी पर हैं। गेंद बाहर की ओर सीधी नहीं उड़ती; आपके हाथ में महसूस होने वाला बाहर का खिंचाव, गेंद के डोरी को खींचने का परिणाम है।

चरण 4. तेज़ चलने पर, या छोटे वृत्त पर, अधिक अंदर की ओर खिंचाव चाहिए। इसीलिए तीखे मोड़ से पहले ड्राइवर धीमे होते हैं।

खुद जाँचें: एक उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर स्थिर चाल से घूमता है। क्या उस पर कोई बल लग रहा है, और वह किस दिशा में है? (हाँ, गुरुत्वाकर्षण, जो पृथ्वी के केंद्र की ओर है।)

मध्यम

वृत्त पर हम क्या मापते हैं

मूल बिंदु को केंद्र पर रखिए। वस्तु केंद्र से दूरी $r$ पर रहती है, यानी त्रिज्या पर, इसलिए एक कोण $\theta$ (संदर्भ रेखा से वामावर्त गिना गया) बता देता है कि वह कहाँ है। कोण रेडियन में मापे जाते हैं: कोण $\theta$ से चाप $s=r\theta$ कटता है, इसलिए पूरा चक्कर $2\pi \approx 6.28\mathrm{rad}$ है।

कोणीय चाल $\omega =\Delta \theta /\Delta t$, जिसकी इकाई rad/s है, बताती है कि कोण कितनी तेज़ी से बढ़ता है, और चाल $v$ बताती है कि वस्तु चाप पर कितनी तेज़ी से दौड़ती है। चूँकि चाप $r$ गुणा कोण के बराबर है,
$v=\omega r$
इसलिए घूमते पहिये के सभी बिंदुओं की $\omega$ एक ही होती है, पर अक्ष से दोगुनी दूरी वाला बिंदु दोगुनी चाल से चलता है।

एक चक्कर में लगने वाला समय आवर्तकाल $T$ है; आवृत्ति $f=1/T$, जिसकी इकाई हर्ट्ज़ (Hz) है, प्रति सेकंड चक्करों की संख्या बताती है। एक चक्कर का चाप $2\pi r$ है, या कोण $2\pi$ है, इसलिए
$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi }{\omega }$

स्थिर चाल से मुड़ना भी त्वरण है

वेग एक सदिश है: उसका परिमाण, यानी चाल, और दिशा होती है, और वृत्त पर दिशा हमेशा स्पर्श रेखा के अनुदिश होती है। यह दिशा लगातार घूमती रहती है, इसलिए स्थिर चाल पर भी वेग बदलता है, और वेग में कोई भी परिवर्तन त्वरण है।

$\Delta t$ के अंतर पर दो क्षणों के वेग एक ही आरंभ-बिंदु से खींचिए। दोनों तीरों की लंबाई $v$ है, और दूसरा तीर $\omega \Delta t$ कोण से घूम चुका है, जितना त्रिज्या घूमी। दोनों सिरों को जोड़ने वाला छोटा तीर वेग का परिवर्तन $\Delta v$ है, जिसकी लंबाई लगभग $v\omega \Delta t$ है; $\Delta t$ घटने पर यह वेग के समकोण पर, केंद्र की ओर इंगित करता है। $\Delta t$ से भाग देने पर $a=v\omega$ मिलता है, और $\omega =v/r$ के साथ:
$a=\frac{v^2}{r}={\omega }^{2}r$

इस अभिकेंद्रीय त्वरण में, जो केंद्र की ओर होता है, $v$ दो बार आता है: तेज़ चलती वस्तु अपना वेग अधिक तेज़ी से मोड़ती है, और जो वेग वह मोड़ती है वह भी लंबा होता है।

अंदर की ओर बल कौन देता है

न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, द्रव्यमान $m$ की वस्तु स्थिर चाल से घूमते हुए तभी वृत्त पर रहती है जब उस पर शुद्ध बल केंद्र की ओर हो और उसका परिमाण हो
$F=\frac{m{v}^2}{r}$
यह अभिकेंद्र बल कोई नया बल नहीं, बल्कि वास्तविक बलों में से किसी का काम है: घुमाई गई गेंद के लिए डोरी का तनाव, समतल मोड़ पर कार के लिए सड़क का घर्षण, चंद्रमा के लिए गुरुत्वाकर्षण, और कपड़े धोने वाली मशीन के स्पिन चक्र में कपड़ों के लिए ड्रम की दीवार का धक्का।

इसलिए मुक्त-पिंड आरेख पर केवल वास्तविक बल बनाइए, उनके केंद्र की ओर घटक जोड़िए और योग को $m{v}^2/r$ के बराबर रखिए; अभिकेंद्रीय बल का अलग तीर कभी न बनाएँ। $a$ का कौन-सा रूप उपयोग करें, यह इस पर निर्भर है कि क्या स्थिर रहता है: समान चाल पर छोटे वृत्त को अधिक बल चाहिए, $a\propto 1/r$; जबकि घूमती तश्तरी (टर्नटेबल) पर, जहाँ $\omega$ सबका एक है, बाहरी बिंदुओं को अधिक बल चाहिए, $a\propto r$।

उदाहरण: एनिमेशन की गेंद

ऊपर से देखने पर, 0.2 kg द्रव्यमान की एक गेंद चिकनी क्षैतिज मेज़ पर फिसलती है, जो $r=0.8\mathrm{m}$ लंबी डोरी से केंद्र पर रखे हाथ से बँधी है, और $\omega =3.0rad/s$ पर घूमती है। मेज़ गेंद का भार सँभालती है, इसलिए केवल डोरी उसे बगल से खींचती है:
$v=\omega r=3.0\cdot 0.8=2.4m/s$
$a=\frac{v^2}{r}=\frac{2.4^2}{0.8}=\frac{5.76}{0.8}=7.2m/{\mathrm{s}}^2$
$F=ma=0.2\cdot 7.2=1.44\mathrm{N}$

ये एनिमेशन की रीडिंग हैं: $v=2.4m/s$, $\omega =3.0rad/s$ और $a=7.2m/{\mathrm{s}}^2$; दूसरा रूप भी मेल खाता है, ${\omega }^{2}r=9\cdot 0.8=7.2m/{\mathrm{s}}^2$। एक चक्कर में $T=2\pi /3.0\approx 2.09\mathrm{s}$ लगते हैं, इसलिए छोड़ने से पहले के 1.75 चक्कर लगभग 3.67 s लेते हैं।

उसी वृत्त और उसी चाल पर गेंद को सिर के ऊपर घुमाया जाए, तो डोरी को उसका भार भी सँभालना पड़ता है: डोरी नीचे की ओर झुकती है और उसका तनाव लगभग 2.4 N तक बढ़ जाता है, पर केवल उसका क्षैतिज घटक, जो अब भी 1.44 N है, पथ को मोड़ता है।

उदाहरण: समतल मोड़ पर कार

1200 kg की कार 50 m त्रिज्या के समतल मोड़ को 15 m/s (54 km/h) पर लेती है। उसे चाहिए
$a=\frac{v^2}{r}=\frac{15^2}{50}=4.5m/{\mathrm{s}}^2,F=ma=1200\cdot 4.5=5400\mathrm{N}$
और यह बल केवल टायरों पर लगने वाला घर्षण दे सकता है। सूखे डामर पर घर्षण गुणांक लगभग $\mu =0.7$ है, इसलिए सड़क अधिकतम $\mu mg=0.7\cdot 1200\cdot 9.81\approx 8240\mathrm{N}$ दे सकती है: कार मोड़ सँभाल लेती है। सीमा पर $m{v}^2/r=\mu mg$ में द्रव्यमान रद्द हो जाता है, और $v_{\max }=\sqrt{\mu gr}=\sqrt{0.7\cdot 9.81\cdot 50}\approx 18.5m/s$, यानी लगभग 67 km/h।

गीली सड़क पर $\mu \approx 0.4$ केवल लगभग 4710 N की अनुमति देता है, जो आवश्यक 5400 N से कम है। कार बाहर की ओर फिसल जाती है, क्योंकि वह मोड़ से अधिक सीधी चलती है, न कि इसलिए कि कुछ उसे बाहर धकेलता है। उसकी सुरक्षित चाल घटकर $\sqrt{0.4\cdot 9.81\cdot 50}\approx 14m/s$, यानी लगभग 50 km/h रह जाती है। 30 m/s पर उसे चार गुना बल, यानी 21,600 N चाहिए, जो सूखी सड़क भी नहीं दे सकती।

एनिमेशन के तीरों को पढ़ना

नीला $v$ तीर स्पर्श रेखा के अनुदिश है, उसकी लंबाई स्थिर है, और वह हर सेकंड 3.0 rad (लगभग 172°) घूमता है। लाल $a$ तीर उस डोरी के अनुदिश, जिस पर $r$ लिखा है, हाथ की ओर इंगित करता है। दोनों हमेशा समकोण पर रहते हैं, इसलिए खिंचाव गति की दिशा बदलता है, पर चाल कभी नहीं बदलता।

चूँकि $a$ का तीर गेंद के साथ घूमता है, $a$ कोई स्थिर सदिश नहीं है, इसलिए सरल रेखा की स्थिर-त्वरण वाली समीकरणें यहाँ लागू नहीं होतीं। आधे चक्कर में वेग उलट जाता है, $+2.4$ से $-2.4m/s$ तक, $T/2\approx 1.05\mathrm{s}$ में: औसत त्वरण केवल $4.8/1.05\approx 4.6m/{\mathrm{s}}^2$ है, क्योंकि $a$ की दिशा लगातार बदलती है, और पूरे चक्कर पर वह शून्य है।

छोड़ते समय, चित्र के निचले भाग पर, लाल तीर गायब हो जाता है और $a$ की रीडिंग शून्य हो जाती है; नीला तीर अपनी लंबाई और दिशा बनाए रखता है, और गेंद बिंदीदार स्पर्श रेखा पर 2.4 m/s की स्थिर चाल से दौड़ती है।

सामान्य गलतियाँ

• स्थिर चाल का अर्थ शून्य त्वरण नहीं है: गेंद 2.4 m/s की चाल रखती है फिर भी 7.2 m/s² से त्वरित होती है, क्योंकि उसकी दिशा बदलती है।
• गेंद पर कोई बाहरी बल नहीं लगता; आपके हाथ में महसूस होने वाला खिंचाव, गेंद का डोरी को खींचना है (न्यूटन का तीसरा नियम)। छोड़ने पर वह स्पर्श रेखा पर उड़ती है, और 0.25 s बाद वह केंद्र से 1.0 m दूर होती है, केवल इसलिए कि सीधी रेखा वृत्त से दूर जाती है।
• अभिकेंद्र बल कोई अतिरिक्त बल नहीं है: मेज़ पर वह डोरी का तनाव ही है, यानी 1.44 N, न कि तनाव के साथ एक और 1.44 N।
• चाल दोगुनी करने से बल दोगुना नहीं होता: $F\propto v^2$, इसलिए 4.8 m/s पर तनाव 1.44 N से बढ़कर 5.76 N हो जाता है।
• रेडियन प्रति सेकंड का उपयोग करें: 3.0 rad/s लगभग 28.6 चक्कर प्रति मिनट है, और 28.6 को $v=\omega r$ में रखने पर 2.4 m/s के बजाय 22.9 m/s आता है।

यह कहाँ मिलता है

सड़क के मोड़, मोड़ों पर झुकने वाले साइकिल सवार, ढलान वाले वेलोड्रोम: हर बार कोई वास्तविक बल $m{v}^2/r$ देता है। 1200 rpm पर घूमती, 0.25 m त्रिज्या वाली ड्रम वाली वॉशिंग मशीन अपने कपड़ों को लगभग 3950 m/s² देती है, जो $g$ का लगभग 400 गुना है; ड्रम कपड़ों को वृत्त में धकेलता है, पर पानी छेदों से स्पर्श रेखा के अनुदिश बाहर निकल जाता है। 10 cm भुजा वाला प्रयोगशाला अपकेंद्रित्र (सेंट्रीफ़्यूज) 10,000 rpm पर लगभग 11,000 गुना $g$ तक पहुँचता है।

उपग्रहों के लिए अभिकेंद्र बल गुरुत्वाकर्षण ही है: अंतरराष्ट्रीय अंतरिक्ष स्टेशन पृथ्वी के चारों ओर लगभग 8.6 m/s² से गिरता रहता है। ये विचार आगे इन विषयों तक ले जाते हैं: गुरुत्वाकर्षण और कक्षाएँ; घूर्णी गतिकी और बल-आघूर्ण, जहाँ घूमते पिंड का हर बिंदु एक वृत्त पर चलता है; सरल आवर्त गति, यानी किनारे से देखी गई वृत्तीय गति; और गतिमान आवेशों पर चुंबकीय बल, जहाँ चुंबकीय क्षेत्र आवेशित कणों को वृत्तों में मोड़ते हैं।

उन्नत

स्थिति, वेग और त्वरण सदिश के रूप में

यह खंड स्थिति सदिश का अवकलन करके वृत्तीय गति के दो मूल तथ्य निकालता है: वेग स्पर्श रेखा के अनुदिश होता है, और त्वरण केंद्र की ओर इंगित करता है, जिसका परिमाण $v^2/r$ है। सदिशों के साथ काम करने से परिमाण और दिशा एक ही बार में मिल जाते हैं। यहाँ के सभी अंक एनिमेशन से लिए गए हैं: 0.2 kg की एक गेंद चिकनी मेज़ पर है, $r=0.8\mathrm{m}$ लंबी डोरी से बँधी है और $\omega =3.0rad/s$ कोणीय चाल से घूम रही है, इसलिए उसकी चाल $v=\omega r=2.4m/s$ है, त्वरण $a=7.2m/{\mathrm{s}}^2$ है, और डोरी 1.44 N का खिंचाव देती है।

संकेत-सूची

$\vec{r}$	स्थिति सदिश: केंद्र से वस्तु तक; उसकी लंबाई त्रिज्या $r$ है।	$\mathrm{m}$
$\vec{v}$	वेग: स्पर्श रेखा के अनुदिश, गति की दिशा में; उसका परिमाण $v=\omega r$ है।	$m/s$
$\vec{a}$	त्वरण: $\vec{r}$ के विपरीत, केंद्र की ओर; उसका परिमाण ${\omega }^{2}r=v^2/r$ है।	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\theta$	$x$-अक्ष से त्रिज्या द्वारा घूमा कोण: $\theta =\omega t$।	$\mathrm{rad}$
$x$	क्षैतिज अक्ष; वस्तु उसके धनात्मक भाग पर शुरू होती है।	$\mathrm{m}$
$y$	ऊर्ध्वाधर अक्ष।	$\mathrm{m}$

चित्र 1 एक क्षण की गति को स्थिर दिखाता है। केंद्र मूल बिंदु पर है; वस्तु धनात्मक $x$-अक्ष से शुरू होती है और स्थिर $\omega$ से वामावर्त घूमती है, इसलिए समय $t$ के बाद त्रिज्या कोण $\theta =\omega t$ से घूम चुकी होती है, जो केंद्र पर चिह्नित है। स्थिति सदिश $\vec{r}$ केंद्र से वस्तु तक जाता है। उसकी लंबाई हमेशा $r$ रहती है, और उसके घटक दोनों अक्षों पर उसकी छायाएँ हैं:
$\vec{r}(t)=r(\cos \omega t,\sin \omega t)$
वेग $\vec{v}$ और त्वरण $\vec{a}$ वस्तु से जुड़े हैं, इसलिए वे वस्तु से खींचे जाते हैं। दो बातों पर ध्यान दें: $\vec{v}$ और त्रिज्या की बिंदीदार बढ़ोतरी के बीच का छोटा वर्ग, और $\vec{a}$, जो $\vec{r}$ के समान रेखा पर है पर विपरीत दिशा में। ($\vec{a}$ को $\vec{r}$ के बगल में केवल इसलिए खींचा गया है ताकि दोनों तीर अलग दिखें।)

$\vec{v}$ पाने के लिए, हर घटक का समय के सापेक्ष अवकलन कीजिए। श्रृंखला नियम से $\cos \omega t$ का अवकलज $-\omega \sin \omega t$ है और $\sin \omega t$ का अवकलज $\omega \cos \omega t$ है, इसलिए
$\vec{v}=r\omega (-\sin \omega t,\cos \omega t)$
और एक बार फिर उसी तरह अवकलन करने पर,
$\vec{a}=-{\omega }^{2}r(\cos \omega t,\sin \omega t)=-{\omega }^2\vec{r}$

अब परिणाम पढ़िए। $\vec{v}$ में कोष्ठक, $\vec{r}$ के कोष्ठक का वामावर्त चौथाई चक्कर घुमाया हुआ रूप है, और उसकी लंबाई 1 है। इसलिए $\vec{v}$ त्रिज्या पर लंबवत है, जो चित्र 1 में चिह्नित समकोण है: वेग स्पर्श रेखा के अनुदिश है, जिसका परिमाण $\omega r$ है। त्वरण स्थिति सदिश का उल्टा और ${\omega }^2$ से गुणित है। इसलिए वह ठीक केंद्र की ओर इंगित करता है, और उसका परिमाण ${\omega }^{2}r=v^2/r$ है, जो गेंद के लिए 7.2 m/s² है।

बिना निर्देशांकों के वही परिणाम

ऊपर का व्युत्पन्न स्थिर घूर्णन मान लेता है। एक छोटा तर्क केवल इस तथ्य का उपयोग करता है कि केंद्र से दूरी नहीं बदलती, इसलिए यह उस वस्तु पर भी लागू होता है जो वृत्त पर चाल बढ़ाती या घटाती है।

$\vec{r}$ की लंबाई स्थिर है, इसलिए $\vec{r}\cdot \vec{r}=r^2$ नियत है। गुणन नियम से अवकलन कीजिए: $2\vec{r}\cdot \vec{v}=0$, इसलिए वृत्त पर किसी भी गति के लिए वेग त्रिज्या पर लंबवत होता है। $\vec{r}\cdot \vec{v}=0$ का एक बार और अवकलन कीजिए: $\vec{v}\cdot \vec{v}+\vec{r}\cdot \vec{a}=0$, अर्थात $\vec{r}\cdot \vec{a}=-v^2$। $r$ से भाग देने पर बाहर की ओर त्रिज्या के अनुदिश $\vec{a}$ का घटक $-v^2/r$ मिलता है। इसलिए वृत्त पर हर गति के लिए, चाहे वह एकसमान हो या नहीं, त्वरण का अंदर की ओर घटक $v^2/r$ होता है।

यदि चाल भी स्थिर हो, तो $\vec{v}\cdot \vec{v}=v^2$ पर वही चाल लगाने से $\vec{v}\cdot \vec{a}=0$ मिलता है। तब त्वरण का स्पर्श रेखा के अनुदिश कोई हिस्सा नहीं होता, केवल अंदर की ओर का हिस्सा बचता है।

वेग का अपना वृत्त: हॉडोग्राफ़

वेग स्वयं एक वृत्त बनाता है, और यह दिखाता है कि $a=v^2/r$ क्यों है: जिस तरह वेग स्थिति से जुड़ा है, उसी तरह त्वरण वेग से जुड़ा है।

चित्र 1 के कई क्षणों के $\vec{v}$ तीरों को एक साझा मूल बिंदु पर खिसकाइए; इस चित्र को हॉडोग्राफ़ (hodograph) कहते हैं। हर तीर की लंबाई $v$ है, और हर एक अपने क्षण के $\vec{r}$ से एक चौथाई चक्कर आगे है, इसलिए तीर त्रिज्या के समान दर $\omega$ से घूमते हैं। इस प्रकार उनके सिरे $\omega$ कोणीय चाल से त्रिज्या $v$ वाले वृत्त पर चलते हैं।

अब पहले वृत्त के बारे में जो जाना है, वही इस वृत्त पर लगाइए। $\vec{r}$ का सिरा चाल $\omega r$ से चलता है, और यही $\vec{v}$ का परिमाण है। उसी प्रकार $\vec{v}$ का सिरा चाल $\omega v$ से चलता है, और यही $\vec{a}$ का परिमाण है, क्योंकि त्वरण वेग का परिवर्तन-दर है। अतः $a=\omega v=v^2/r$। $\vec{v}$ का सिरा हॉडोग्राफ़ की स्पर्श रेखा के अनुदिश चलता है, जो $\vec{v}$ से एक चौथाई चक्कर आगे है। चूँकि $\vec{v}$ पहले से $\vec{r}$ से एक चौथाई चक्कर आगे है, इसलिए $\vec{a}$ और $\vec{r}$ के बीच आधा चक्कर है: वह केंद्र की ओर इंगित करता है। स्थिति, वेग और त्वरण तीन तीर हैं, जिनकी लंबाइयाँ $r$, $\omega r$ और ${\omega }^{2}r$ हैं, और हर एक अपने से पहले वाले से एक चौथाई चक्कर आगे है, क्योंकि हर एक पिछले का परिवर्तन-दर है।

वृत्त के चारों ओर गिरना

न्यूटन ने वही त्वरण एक अन्य तरीके से देखा: वृत्त पर चलती वस्तु लगातार केंद्र की ओर गिरती रहती है, और वह कभी पहुँचती नहीं, क्योंकि वह साथ ही बगल में भी चलती है। यह दृष्टिकोण वृत्तीय गति को मुक्त पतन से जोड़ता है, और इसी से गुरुत्वाकर्षण नियम की पहली जाँच हुई।

संकेत-सूची

$r$	वृत्त की त्रिज्या: यानी डोरी की लंबाई।	$\mathrm{m}$
$\omega t$	समय $t$ में त्रिज्या द्वारा घूमा कोण।	$\mathrm{rad}$
$vt$	यदि डोरी न हो, तो समय $t$ में वस्तु स्पर्श रेखा के अनुदिश जितनी दूरी तय करती।	$\mathrm{m}$
$h$	उस स्वतंत्र स्थिति से वृत्त पर वास्तविक स्थिति तक का अंतर: यानी वस्तु केंद्र की ओर कितनी गिरी।	$\mathrm{m}$

चित्र 2 शीर्ष से समय $t$ तक वस्तु का अनुसरण करता है। वह वृत्त के शीर्ष पर बिंदु से शुरू होती है, जहाँ उसका वेग स्पर्श रेखा के अनुदिश है, यहाँ बाईं ओर। बिना बल के वह सीधी रेखा में चलती और स्पर्श रेखा के अनुदिश दूरी $vt$ तय करके फीकी गेंद पर पहुँचती। डोरी उसे वृत्त पर रखती है: त्रिज्या $r$ कोण $\omega t$ से घूमती है, वस्तु उतनी ही लंबाई $r\omega t=vt$ का चाप तय करती है, और ठोस गेंद पर पहुँचती है। तीर $h$ उस स्थान से चलता है जहाँ वस्तु होती, उस स्थान तक जहाँ वह है: यही वह दूरी है जितनी वह गिरी है। (चित्र में समय आकार दिखाने के लिए लंबा खींचा गया है; नीचे का परिणाम छोटे समय के लिए है।)

$h$ कितना है? शीर्ष पर स्पर्श रेखा केंद्र से $r$ ऊपर है, और वास्तविक स्थिति उससे $r\cos \omega t$ ऊपर है, इसलिए वस्तु स्पर्श रेखा से $r(1-\cos \omega t)$ नीचे गिर चुकी है। छोटे समय के लिए मुक्त स्थिति लगभग ठीक वास्तविक स्थिति के ऊपर होती है, इसलिए $h$ लगभग ठीक यही गिरावट है और लगभग सीधे नीचे, केंद्र की ओर इंगित करता है। छोटे कोण $x$ के लिए $\cos x\approx 1-x^2/2$ है, और $r\omega t=vt$ से,
$h\approx r(1-\cos \omega t)\approx \frac{r(\omega t{)}^2}{2}=\frac{(vt{)}^2}{2r}$
तुलना कीजिए विराम से मुक्त पतन $h=\frac{1}{2}a{t}^2$ से। यदि $a=v^2/r$ हो तो दोनों मेल खाते हैं: वस्तु केंद्र की ओर ठीक उसी तरह गिरती है जैसे उस त्वरण से गिरता पत्थर, और उसकी बगल की गति उसे कभी केंद्र के और पास नहीं जाने देती।

गेंद के लिए, 0.1 s में वह स्पर्श रेखा के अनुदिश $vt=0.24\mathrm{m}$ चलती, जबकि त्रिज्या 0.3 rad घूमती। तब वृत्त स्पर्श रेखा से $0.8(1-\cos 0.3)\approx 0.0357\mathrm{m}$, यानी 3.57 cm नीचे है, जबकि सन्निकटन से $\frac{1}{2}\cdot 7.2\cdot 0.1^2=0.036\mathrm{m}$ आता है।

न्यूटन ने इसी चित्र से चंद्रमा पर अपने गुरुत्वाकर्षण नियम की जाँच की। उसकी कक्षा की त्रिज्या $R\approx 3.84\times 10^8\mathrm{m}$ है, जो पृथ्वी की त्रिज्या का लगभग 60.3 गुना है, और उसका आवर्तकाल $T$ 27.3 दिन है। $v=2\pi R/T$ से, चंद्रमा का पृथ्वी की ओर गिरने का त्वरण है
$a=\frac{v^2}{R}=\frac{4{\pi }^{2}R}{T^2}\approx 2.72\times 10^{-3}m/{\mathrm{s}}^2$
यदि गुरुत्व दूरी के वर्ग के व्युत्क्रम में घटता है, तो 60.3 पृथ्वी-त्रिज्या पर वह $g/60.3^2\approx 2.70\times 10^{-3}m/{\mathrm{s}}^2$ देना चाहिए। दोनों 1% के भीतर मेल खाते हैं: जो खिंचाव सेब को गिराता है, वही चंद्रमा को पृथ्वी के चारों ओर गिरते रहने देता है।

अक्षों पर छायाएँ: सरल आवर्त गति

बगल से देखने पर वृत्तीय गति दोलन बन जाती है। यह संबंध बताता है कि वृत्त का गणित भौतिकी के इतने सारे भागों में क्यों आता है, स्प्रिंग से लेकर प्रत्यावर्ती धारा तक।

$\vec{a}=-{\omega }^2\vec{r}$ के $x$-घटक को लीजिए। वह $\ddot{x}=-{\omega }^{2}x$ देता है, जहाँ हर बिंदु समय के सापेक्ष एक अवकलज दर्शाता है। यह कठोरता $k$ के स्प्रिंग पर द्रव्यमान $m$ का समीकरण $m\ddot{x}=-kx$ है, जिसमें $k/m={\omega }^2$ है, और $y$-घटक वही समीकरण देता है। अतः किसी भी सीधी रेखा पर एकसमान वृत्तीय गति की छाया सरल आवर्त गति है, उसी $\omega$ के साथ और त्रिज्या के बराबर आयाम के साथ।

एनिमेशन का उन्नत स्तर यही दिखाता है। अक्षों पर बैंगनी बिंदु छायाएँ हैं: वे $-0.8$ और $+0.8\mathrm{m}$ के बीच आवर्तकाल $2\pi /\omega =2.09\mathrm{s}$ के साथ सरकते हैं। वे बीच से गुजरते समय सबसे तेज़ हैं, 2.4 m/s पर, जहाँ गेंद अक्ष के समांतर चलती है, और सिरों पर एक क्षण के लिए रुकते हैं, जहाँ उनका त्वरण 7.2 m/s² की चरम सीमा पर होता है। $x(t)$ और $y(t)$ ग्राफ़ कोज्या और ज्या हैं, जो एक चौथाई आवर्तकाल (0.52 s) अलग हैं।

सम्मिश्र संख्याएँ यही बात एक पंक्ति में कहती हैं। स्थिति को $z=x+iy=r{e}^{i\omega t}$ लिखिए। तब $\dot{z}=i\omega z$, और $i$ से गुणा करने पर सम्मिश्र संख्या वामावर्त एक चौथाई चक्कर घूम जाती है: वेग त्रिज्या पर लंबवत है। फिर से अवकलन करने पर $\ddot{z}=(i\omega {)}^{2}z=-{\omega }^{2}z$ मिलता है, जो अभिकेंद्रीय त्वरण है। वास्तविक भाग $x=r\cos \omega t$ दोलन है। दोलन, बगल से देखा गया चक्कर है, और इसीलिए $e^{i\omega t}$ कंपन, तरंगों और प्रत्यावर्ती धाराओं की स्वाभाविक भाषा है।

छोड़ना दिखाता है कि अंदर की ओर का खिंचाव रुकने पर क्या होता है। यह $\omega t=7\pi /2$ पर होता है, जब गेंद $(0,-r)$ पर है और वेग $(+v,0)$ है; उसके बाद $\vec{a}=0$ है। $x(t)$ ग्राफ़ कोज्या से हटकर अपनी स्पर्श रेखा के अनुदिश जाता है, जिसकी ढलान 2.4 m/s है, और छोड़ने के 0.5 s बाद ग्राफ़ के किनारे पर 1.2 m, यानी $1.5r$ पर पहुँचता है। $y(t)$ ग्राफ़ $-0.8\mathrm{m}$ पर रहता है, क्योंकि ज्या अपने न्यूनतम पर थी, जहाँ उसकी ढलान शून्य है। यह दो ग्राफ़ों में खींचा गया न्यूटन का प्रथम नियम है।

गति के साथ घूमने वाले एकांक सदिश

अब तक चाल स्थिर थी। जब वस्तु वृत्त पर चाल बढ़ाती है, या किसी भी वक्र पर चलती है, तो त्वरण में पथ के अनुदिश एक हिस्सा जुड़ जाता है। हर हिस्सा ढूँढने का सबसे सरल तरीका वे एकांक सदिश हैं जो वस्तु के साथ घूमते हैं।

समतल की किसी भी गति के लिए, वस्तु को उसकी मूल बिंदु से दूरी $r$ और कोण $\theta$ से वर्णित कीजिए; दोनों अब बदल सकते हैं। वस्तु पर दो एकांक सदिश परिभाषित कीजिए: $\hat{r}$, त्रिज्या के अनुदिश बाहर की ओर, और $\hat{\theta }$, उससे एक चौथाई चक्कर आगे, $\theta$ के बढ़ने की दिशा में (वामावर्त)। तब $\vec{r}=r\hat{r}$।

घटकों में, $\hat{r}=(\cos \theta ,\sin \theta )$ और $\hat{\theta }=(-\sin \theta ,\cos \theta )$। पहले खंड की तरह, श्रृंखला नियम से अवकलन करने पर
$\frac{d\hat{r}}{dt}=\dot{\theta }\hat{\theta },\frac{d\hat{\theta }}{dt}=-\dot{\theta }\hat{r}$
शब्दों में: जैसे-जैसे कोण बढ़ता है, $\hat{r}$, $\hat{\theta }$ की ओर झुकता है, और $\hat{\theta }$ केंद्र की ओर झुकता है।

$\vec{r}=r\hat{r}$ पर गुणन नियम लगाइए। पहला पद बाहर की गति है, दूसरा पद घुमाव की गति है:
$\vec{v}=\dot{r}\hat{r}+r\dot{\theta }\hat{\theta }$
फिर से, पद-दर-पद, ऊपर के दो नियमों का उपयोग करते हुए अवकलन कीजिए:
$\vec{a}=\ddot{r}\hat{r}+\dot{r}\dot{\theta }\hat{\theta }+\dot{r}\dot{\theta }\hat{\theta }+r\ddot{\theta }\hat{\theta }-r{\dot{\theta }}^2\hat{r}$
$\hat{r}$ और $\hat{\theta }$ के अनुदिश भागों को इकट्ठा करने पर:
$\vec{a}=(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)\hat{r}+(r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta })\hat{\theta }$

वृत्त पर $r$ स्थिर है, इसलिए $\dot{r}=\ddot{r}=0$। शेष बचता है अंदर का भाग $-r{\dot{\theta }}^2\hat{r}$, जिसका परिमाण $r{\dot{\theta }}^2=v^2/r$ है, और स्पर्शीय भाग $r\ddot{\theta }\hat{\theta }$। कोणीय त्वरण को $\alpha =\ddot{\theta }$ लिखिए। तब स्पर्शीय भाग का परिमाण $r\alpha$ है, और चूँकि $v=r\dot{\theta }$, यह $dv/dt$ के बराबर है, यानी वह दर जिस पर चाल बदलती है।

वृत्त पर चाल बढ़ाना

जब चाल बदलती है, तो त्वरण अब केंद्र की ओर नहीं रहता। यह खंड बताता है कि वह कितना झुकता है, और इसका डोरी के लिए क्या अर्थ है।

संकेत-सूची

$\hat{r}$	त्रिज्या के अनुदिश इकाई सदिश, केंद्र से दूर।
$\hat{\theta }$	स्पर्श रेखा के अनुदिश इकाई सदिश, $\theta$ बढ़ने की दिशा में (वामावर्त)।
$a_c$	त्वरण का अंदर की ओर (अभिकेंद्रीय) घटक, $-\hat{r}$ के अनुदिश; उसका परिमाण $r{\dot{\theta }}^2=v^2/r$ है।	$m/{\mathrm{s}}^2$
$a_t$	त्वरण का स्पर्शीय घटक, चाल बढ़ने पर $\hat{\theta }$ के अनुदिश; उसका परिमाण $r\alpha =dv/dt$ है।	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\vec{a}$	कुल त्वरण: दोनों घटकों का सदिश योग।	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\beta$	$\vec{a}$ और केंद्र की ओर की रेखा के बीच कोण; $\tan \beta =a_t/a_c$।	$\mathrm{rad}$

चित्र 3 वृत्तीय स्थिति को एक क्षण पर दिखाता है, जिसमें वस्तु केंद्र के दाईं ओर है। इकाई सदिश $\hat{r}$ और $\hat{\theta }$ वस्तु पर खींचे गए हैं, और वे एक-दूसरे पर लंबवत हैं। त्वरण का अंदर की ओर भाग है जिसका परिमाण $a_c=r{\dot{\theta }}^2=v^2/r$ है, और दिशा $-\hat{r}$ है; तथा स्पर्शीय भाग है जिसका परिमाण $a_t=r\alpha$ है, और दिशा $\hat{\theta }$ है क्योंकि वस्तु त्वरित हो रही है (यदि वह मंद हो रही होती, तो दिशा $-\hat{\theta }$ होती)। सिर से पूँछ जोड़ने पर दोनों भाग मिलकर कुल $\vec{a}$ देते हैं, जो वस्तु से निकलने वाला लंबा तीर है। अतः $\vec{a}$ केंद्र की ओर की रेखा से कोण $\beta$ आगे झुकता है, और समकोण त्रिभुज देता है
$\tan \beta =a_t/a_c,a=\sqrt{a_c^2+a_t^2}$
स्पर्शीय तीर नीचे दिए उदाहरण से कहीं बड़ा खींचा गया है, ताकि झुकाव दिख सके।

गेंद को 2.0 s में विराम से 3.0 rad/s तक, स्थिर $\alpha =1.5rad/{\mathrm{s}}^2$ से घुमाइए। स्पर्शीय भाग पूरे समय $a_t=r\alpha =0.8\cdot 1.5=1.2m/{\mathrm{s}}^2$ रहता है, जबकि अंदर का भाग ${\omega }^2$ के साथ बढ़ता है और अंत में 7.2 m/s² तक पहुँचता है। उस क्षण कुल त्वरण $\sqrt{7.2^2+1.2^2}\approx 7.30m/{\mathrm{s}}^2$ है, जो 9.5° आगे झुका है, क्योंकि $\tan \beta =1.2/7.2$। चिकनी मेज़ पर डोरी ही एकमात्र क्षैतिज बल है, और डोरी केवल अपनी ही दिशा में खींच सकती है, इसलिए उसे भी उतना ही आगे झुकना होगा: हाथ गेंद को घुमाते हुए आगे रहता है।

त्रिज्यीय बल और वक्र पथ

सामान्य सूत्र के दो और उपयोग हैं। यह बताता है कि ग्रह बराबर क्षेत्र क्यों घेरते हैं, और यह किसी भी वक्र पथ पर त्वरण देता है।

जब घूमने के दौरान दूरी बदलती है, तो पद $2\dot{r}\dot{\theta }$ महत्वपूर्ण हो जाता है। यदि बल विशुद्ध रूप से त्रिज्यीय है, जैसे किसी ग्रह पर सूर्य का गुरुत्व, तो त्वरण का $\hat{\theta }$ भाग शून्य होना चाहिए। यह भाग असल में एक अवकलज है (दाईं ओर का विस्तार करके जाँचिए):
$r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta }=\frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\theta })=0$
अतः $r^2\dot{\theta }$ स्थिर रहता है। द्रव्यमान से गुणा करने पर यह कोणीय संवेग है, इसलिए वह संरक्षित है। इसका आधा, $\frac{1}{2}{r}^2\dot{\theta }$, वह दर है जिस पर सूर्य से ग्रह तक की रेखा क्षेत्रफल घेरती है, इसलिए वही परिणाम केप्लर का क्षेत्रफल-नियम है।

अंत में, किसी भी चिकने पथ का हर बिंदु के पास एक वृत्त जैसा होता है; उस सबसे अच्छे वृत्त की त्रिज्या ही वक्रता त्रिज्या $\rho$ है। तब पथ के आरपार का त्वरण भाग $v^2/\rho$ है, और पथ के अनुदिश भाग $dv/dt$ है। किसी प्रक्षेप्य पथ के शीर्ष पर, 10 m/s की क्षैतिज गति के साथ, केवल गुरुत्व बल है और वह पथ के आरपार इंगित करता है, इसलिए $g=v^2/\rho$ और $\rho =v^2/g\approx 10.2\mathrm{m}$।

उदाहरण: सिर के ऊपर घुमाई गई गेंद

अब गेंद को मेज़ से उठाइए। डोरी को सिर के ऊपर थामिए और उसी 0.2 kg की गेंद को 0.8 m त्रिज्या के क्षैतिज वृत्त में एनिमेशन की 3.0 rad/s पर घुमाइए। डोरी एक शंकु बनाती है। गेंद हाथ के नीचे कितनी दूरी पर घूमती है, डोरी कितनी लंबी है, और उसका तनाव $F_s$ कितना है?

संकेत-सूची

$\phi$	डोरी और ऊर्ध्वाधर के बीच कोण।	$\mathrm{rad}$
$h$	हाथ के नीचे गेंद के वृत्त की गहराई।	$\mathrm{m}$
$r$	गेंद के क्षैतिज वृत्त की त्रिज्या।	$\mathrm{m}$
$L$	डोरी की लंबाई।	$\mathrm{m}$
$F_s$	तनाव: डोरी द्वारा गेंद पर खिंचाव, डोरी के अनुदिश हाथ की ओर।	$\mathrm{N}$
$F_s\cos \phi$	तनाव का ऊर्ध्वाधर घटक; यह भार को संतुलित करता है।	$\mathrm{N}$
$F_s\sin \phi$	तनाव का क्षैतिज घटक, अक्ष की ओर: यानी अभिकेंद्र बल $m{\omega }^{2}r$।	$\mathrm{N}$
$mg$	गेंद का भार, सीधे नीचे।	$\mathrm{N}$

चित्र 4 में बाईं ओर शंकु बगल से दिखता है, और दाईं ओर गेंद पर बल हैं। बाईं ओर, लंबाई $L$ की डोरी हाथ से गुज़रने वाले ऊर्ध्वाधर अक्ष से कोण $\phi$ बनाती है। गेंद उस अक्ष से दूरी $r$ पर, हाथ के नीचे $h$ दूरी वाले क्षैतिज तल में घूमती है। (यह $h$ एक नई लंबाई है, चित्र 2 की गिरावट नहीं।)

दाईं ओर, गेंद पर केवल दो बल लगते हैं: उसका भार $mg$ सीधे नीचे, और तनाव $F_s$ डोरी के अनुदिश हाथ की ओर। तनाव को ऊर्ध्वाधर घटक $F_s\cos \phi$ और क्षैतिज घटक $F_s\sin \phi$ में बाँटिए; डोरी और ऊर्ध्वाधर के बीच कोण फिर भी $\phi$ है। गेंद न उठती है न गिरती है, इसलिए ऊर्ध्वाधर घटक भार को संतुलित करता है, और चित्र में ये दोनों तीर बराबर लंबाई के हैं। क्षैतिज घटक अक्ष की ओर इंगित करता है और एकमात्र असंतुलित बल है, इसलिए वही अभिकेंद्र बल है:
$F_s\cos \phi =mg,F_s\sin \phi =m{\omega }^{2}r$

दूसरे समीकरण को पहले से भाग देने पर $F_s$ और $m$ दोनों हट जाते हैं:
$\tan \phi =\frac{{\omega }^{2}r}{g}=\frac{7.2}{9.81}\approx 0.734$
इसलिए डोरी ऊर्ध्वाधर से 36.3° झुकी है। बाईं ओर के त्रिभुज की भुजाएँ $r$, $h$ और $L$ हैं, और हाथ पर उसका कोण भी $\phi$ है, इसलिए $\tan \phi =r/h$ भी है। दोनों $\tan \phi$ व्यंजकों को बराबर रखने पर
$h=\frac{r}{\tan \phi }=\frac{g}{{\omega }^2}=\frac{9.81}{9}\approx 1.09\mathrm{m}$
यह केवल $\omega$ पर निर्भर करता है, द्रव्यमान या त्रिज्या पर नहीं। पाइथागोरस से डोरी $L=\sqrt{0.8^2+1.09^2}\approx 1.35\mathrm{m}$ लंबी है। तनाव के लिए, $\sin \phi =r/L$ को क्षैतिज समीकरण में रखिए: $F_{s}r/L=m{\omega }^{2}r$, इसलिए $F_s=m{\omega }^{2}L\approx 0.2\cdot 9\cdot 1.35\approx 2.43\mathrm{N}$। यह 1.96 N के भार का 1.24 गुना है। इसका क्षैतिज घटक अब भी मेज़ वाले मामले के 1.44 N के बराबर है, क्योंकि गेंद को अब भी वृत्त पर रहने के लिए $m{\omega }^{2}r$ चाहिए।

तीन परिणाम अधिकांश लोगों को चौंकाते हैं। पहला, $h=g/{\omega }^2$ तभी शून्य होता है जब $\omega$ असीम रूप से बढ़े, इसलिए डोरी कभी ठीक क्षैतिज नहीं होती: तनाव का कुछ भाग हमेशा भार सँभालता है। दूसरा, $h$ डोरी की लंबाई से अधिक नहीं हो सकता, इसलिए शंकु के लिए $g/{\omega }^2<L$ चाहिए: इस डोरी के साथ, $\omega =\sqrt{g/L}\approx 2.69rad/s$ से नीचे कोई शंकु नहीं बनता, गेंद बस लटकी रहती है। तीसरा, ऊर्ध्वाधर वृत्त में डोरी केवल खींच सकती है। शीर्ष पर गुरुत्व और डोरी दोनों केंद्र की ओर इंगित करते हैं, इसलिए तनाव $m(v^2/r-g)$ है, और वह ऋणात्मक नहीं हो सकता: गेंद वृत्त पर तभी रहती है जब $v^2/r\ge g$ हो, यानी $v\ge \sqrt{gr}\approx 2.80m/s$। यदि गेंद एनिमेशन के 2.4 m/s पर शीर्ष से गुज़रे, तो डोरी ढीली हो जाएगी।

घूर्णी निर्देश तंत्र और आभासी बल

अब तक सब कुछ मेज़ से देखा गया था, यानी एक जड़त्वीय निर्देश तंत्र से। डोरी के साथ घूमने वाला पर्यवेक्षक उसी गति को अलग तरह से वर्णित करता है, और हमारे पैरों के नीचे की ज़मीन ऐसा ही घूमता हुआ निर्देश तंत्र है, जो मौसम के लिए मायने रखता है।

डोरी के साथ घूमते निर्देश तंत्र में गेंद स्थिर है, फिर भी डोरी उसे 1.44 N से अंदर खींचती है। न्यूटन का द्वितीय नियम तभी बचता है जब आभासी बल जोड़े जाएँ, जो किसी अन्य वस्तु से नहीं, बल्कि निर्देश तंत्र के त्वरण से आते हैं। पहला है अपकेंद्री बल $m{\omega }^{2}r$, बाहर की ओर, जो यहाँ ठीक 1.44 N है और डोरी को संतुलित करता है। दूसरा केवल उस वस्तु पर लगता है जो घूमते निर्देश तंत्र में चल रही है, जिसका उस तंत्र में वेग $\vec{v}$ है: कोरिऑलिस बल $-2m\vec{\omega }\times \vec{v}$, जो उस वेग पर लंबवत है, जहाँ $\vec{\omega }$ निर्देश तंत्र का कोणीय वेग है, घूर्णन-अक्ष के अनुदिश। छोड़ने के बाद घूमता पर्यवेक्षक गेंद को बाहर की ओर खिसकते और 0.5 s बाद डोरी से लगभग 30° पीछे रहते देखता है; मेज़ से देखने पर वह बस सीधी जाती है।

दोनों आभासी बल द्रव्यमान के समानुपाती हैं, जैसे गुरुत्व, इसलिए वे सभी वस्तुओं को एक ही त्वरण देते हैं। आइंस्टाइन ने इस संयोग को सामान्य आपेक्षिकता का आरंभिक बिंदु बनाया: पर्याप्त छोटे क्षेत्र में कोई प्रयोग त्वरित निर्देश तंत्र और गुरुत्व में अंतर नहीं कर सकता। ज़मीन स्वयं एक घूर्णी निर्देश तंत्र है, जो पृथ्वी की कोणीय चाल ${\omega }_E$ से घूमती है। विषुवत रेखा पर, पृथ्वी की त्रिज्या $R_E$ पर, अपकेंद्री पद ${\omega }_E^2{R}_E\approx 0.034m/{\mathrm{s}}^2$ है, जो $g$ का 0.35% है। 45° अक्षांश पर 20 m/s की हवा के लिए कोरिऑलिस त्वरण केवल लगभग 0.002 m/s² है, फिर भी घंटों तक लगातार काम करने पर यह बड़े तूफ़ानों को चक्रवात में बदल देता है।

वैधता की सीमाएँ

यहाँ सब कुछ वस्तु को बिंदु-द्रव्यमान और डोरी को द्रव्यमानहीन तथा अविस्तार्य मानकर है। वास्तविक डोरी तनाव बढ़ने पर थोड़ी खिंचती है, इसलिए $r$ थोड़ा $\omega$ पर निर्भर करता है। निर्देश तंत्र जड़त्वीय होना चाहिए, लेकिन इस पैमाने पर पृथ्वी का घूर्णन हानिरहित है: 2.4 m/s पर चलती गेंद पर उसका कोरिऑलिस प्रभाव अधिकतम $2{\omega }_{E}v\approx 3.5\times 10^{-4}m/{\mathrm{s}}^2$ है, जो डोरी द्वारा दिए गए 7.2 m/s² से लगभग 20,000 गुना छोटा है।

प्रकाश की चाल $c$ के निकट संवेग $\gamma mv$ है, जहाँ $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ है, जो $v$ के $c$ के निकट पहुँचने पर असीम रूप से बढ़ता है। $\vec{v}$ पर लंबवत बल केवल गति की दिशा बदलता है, चाल नहीं, इसलिए $\gamma$ स्थिर रहता है और वृत्त के लिए आवश्यक बल $\gamma m{v}^2/r$ हो जाता है। चुंबकीय क्षेत्र $B$ में आवेश $q$ $\omega =qB/(\gamma m)$ कोणीय आवृत्ति से घूमता है, न कि $qB/m$ से। 1.0 T के क्षेत्र में धीमा प्रोटॉन हर सेकंड लगभग 1.52 करोड़ चक्कर लगाता है; 10 MeV गतिज ऊर्जा पर $\gamma \approx 1.011$ होता है और आवृत्ति लगभग 1% घट जाती है, जो साइक्लोट्रॉन की स्थिर-आवृत्ति वाली वोल्टेज से तालमेल बिगाड़ने के लिए पर्याप्त है।

परमाणु स्तर पर शास्त्रीय कक्षाएँ विफल हो जाती हैं। त्वरित आवेश विकिरण छोड़ता है, इसलिए प्रोटॉन के चारों ओर घूमता इलेक्ट्रॉन अपनी ऊर्जा खो देगा और लगभग $10^{-11}\mathrm{s}$ में सर्पिल होकर अंदर गिर जाएगा; स्थायी परमाणुओं के लिए क्वांटम यांत्रिकी चाहिए।

आगे क्या

जब गुरुत्वाकर्षण अभिकेंद्र बल देता है, तो $GMm/r^2=m{v}^2/r$ से कक्षीय चाल और केप्लर का तीसरा नियम मिलते हैं, जो गुरुत्वाकर्षण और कक्षाएँ का विषय है; अंतरराष्ट्रीय अंतरिक्ष स्टेशन, जो लगभग 420 km ऊपर है, 7.66 km/s की चाल चाहता है और लगभग 93 मिनट में पृथ्वी का एक चक्कर लगाता है। एक घूमता दृढ़ पिंड एक ही $\omega$ साझा करने वाले बिंदुओं का समूह है, जिनमें से हर एक के लिए $v=\omega r$ और $a_t=r\alpha$ है: यहीं से घूर्णी गतिकी और बल-आघूर्ण शुरू होता है, और स्थिर $r^2\dot{\theta }$ कोणीय संवेग और उसके संरक्षण में विकसित होता है। छाया वाला चित्र सरल आवर्त गति में आगे बढ़ता है। गतिमान आवेशों पर चुंबकीय बल में $qvB=m{v}^2/r$ त्रिज्या $r=mv/(qB)$ देता है, जो द्रव्यमान स्पेक्ट्रममापी और साइक्लोट्रॉन में प्रयुक्त होती है; परमाणु मॉडल: बोर परमाणु दिखाता है कि क्वांटम नियम कक्षा में घूमते इलेक्ट्रॉन को कैसे बचाते हैं; और आभासी बलों तथा गुरुत्व की समानता वक्र दिक्-काल के रूप में गुरुत्व में लौटती है।