Kreisbewegung

Einsteiger

Schwing einen Ball an einer Schnur, fahr mit dem Rad um eine Kurve oder beobachte, wie der Mond die Erde umkreist: All das bewegt sich auf einer Kurve. Wir bauen die Idee in vier kleinen Schritten auf.

Schritt 1. Geschwindigkeit bedeutet Tempo und Richtung zusammen. Ein Ball, der mit gleichbleibendem Tempo im Kreis läuft, ändert in jedem Moment seine Richtung, also ändert sich seine Geschwindigkeit ständig, und jede Änderung der Geschwindigkeit ist eine Beschleunigung. Ein gleichbleibendes Tempo auf einem Kreis bedeutet also trotzdem Beschleunigung.

Schritt 2. Eine Beschleunigung braucht eine resultierende Kraft. Auf einem Kreis zeigt diese Kraft immer zum Mittelpunkt; sie heißt Zentripetalkraft, also Kraft zum Zentrum hin. Es ist keine neue Art von Kraft, sondern die Aufgabe, die eine echte Kraft übernimmt: Beim Ball ist es die Schnur, die zu deiner Hand zieht, bei einem Auto in der Kurve die Haftung der Reifen auf der Straße, beim Mond die Schwerkraft der Erde.

Schritt 3. Lässt du die Schnur los, verschwindet der Zug. Nichts lenkt die Bahn mehr ab, also fährt der Ball in die Richtung weiter, in die er im selben Augenblick unterwegs war: geradlinig tangential, also entlang der Linie, die den Kreis gerade berührt. In der Animation liegen die grauen Punkte nach dem Loslassen gleichmäßig verteilt auf dieser Linie. Der Ball wird nicht geradlinig nach außen geschleudert; der Zug nach außen, den du in der Hand spürst, ist der Ball, der an der Schnur zieht.

Schritt 4. Schneller oder auf einem engeren Kreis braucht es einen stärkeren Zug nach innen. Deshalb bremsen Autofahrer vor scharfen Kurven.

Prüf dich selbst: Ein Satellit kreist mit konstanter Geschwindigkeit um die Erde. Wirkt eine Kraft auf ihn, und in welche Richtung zeigt sie? (Ja: die Schwerkraft, zum Mittelpunkt der Erde.)

Mittelstufe

Was wir auf einem Kreis messen

Lege den Ursprung in den Mittelpunkt. Der Körper bleibt im Abstand $r$ davon, dem Radius, deshalb genügt ein Winkel $\theta$, gegen den Uhrzeigersinn von einer Bezugslinie aus gezählt, um seine Lage anzugeben. Winkel werden im Bogenmaß angegeben: Ein Winkel $\theta$ schneidet den Bogen $s=r\theta$ ab, also ist eine volle Umdrehung $2\pi \approx 6,28\mathrm{rad}$.

Die Winkelgeschwindigkeit $\omega =\Delta \theta /\Delta t$ in rad/s gibt an, wie schnell der Winkel wächst, und die Geschwindigkeit $v$, wie schnell sich der Körper entlang des Bogens bewegt. Da der Bogen das $r$-Fache des Winkels ist,
$v=\omega r$
haben alle Punkte eines sich drehenden Rads dasselbe $\omega$, aber ein doppelt so weit außen liegender Punkt bewegt sich doppelt so schnell.

Eine Umdrehung dauert die Periodendauer $T$; die Frequenz $f=1/T$ in Hertz (Hz) zählt die Umdrehungen pro Sekunde. Eine Umdrehung ist der Bogen $2\pi r$ bzw. der Winkel $2\pi$, also
$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi }{\omega }$

Kurvenfahrt bei konstantem Tempo ist Beschleunigung

Die Geschwindigkeit ist ein Vektor: ein Betrag, das Tempo, und eine Richtung, die auf einem Kreis immer tangential verläuft. Diese Richtung dreht sich ständig, also ändert sich die Geschwindigkeit auch bei konstantem Tempo, und jede Änderung der Geschwindigkeit ist eine Beschleunigung.

Zeichne die Geschwindigkeit zu zwei Zeitpunkten im Abstand $\Delta t$, mit den Anfangspunkten in einem Punkt. Beide Pfeile haben die Länge $v$, und der zweite hat sich um den Winkel $\omega \Delta t$ gedreht, genau wie der Radius. Der kleine Pfeil, der ihre Spitzen verbindet, ist die Änderung $\Delta v$ mit einer Länge von etwa $v\omega \Delta t$; wenn $\Delta t$ kleiner wird, zeigt er rechtwinklig zur Geschwindigkeit, zum Mittelpunkt. Division durch $\Delta t$ ergibt $a=v\omega$, und mit $\omega =v/r$:
$a=\frac{v^2}{r}={\omega }^{2}r$

Diese Zentripetalbeschleunigung enthält $v$ zweimal: Ein schnellerer Körper dreht seine Geschwindigkeit schneller, und die Geschwindigkeit, die er dreht, ist länger.

Wer die Kraft nach innen aufbringt

Nach Newtons zweitem Gesetz bleibt ein Körper der Masse $m$, der mit gleichbleibendem Tempo im Kreis läuft, nur dann auf der Kreisbahn, wenn die resultierende Kraft auf ihn zum Mittelpunkt zeigt und die Größe
$F=\frac{m{v}^2}{r}$
hat. Diese Zentripetalkraft ist keine neue Art von Kraft, sondern die Aufgabe einer echten Kraft: die Spannkraft der Schnur bei einem geschwungenen Ball, die Straßenreibung bei einem Auto in der flachen Kurve, die Schwerkraft beim Mond, der Druck der Trommelwand auf die Wäsche beim Schleudergang.

Zeichne im Freikörperbild also nur echte Kräfte ein, addiere ihre Komponenten zum Mittelpunkt hin und setze die Summe gleich $m{v}^2/r$; zeichne niemals einen zusätzlichen Zentripetalpfeil. Welche Form von $a$ du nimmst, hängt davon ab, was konstant ist: Bei gleichem Tempo braucht ein engerer Kreis mehr Kraft, $a\propto 1/r$, während auf einem Drehteller, wo $\omega$ gemeinsam ist, die äußeren Punkte mehr brauchen, $a\propto r$.

Beispiel: der Ball aus der Animation

Von oben gesehen gleitet ein Ball der Masse 0,2 kg auf einem glatten waagerechten Tisch. Er ist mit einer Schnur der Länge $r=0,8\mathrm{m}$ an eine Hand in der Mitte gebunden und dreht sich mit $\omega =3,0rad/s$. Der Tisch trägt sein Gewicht, deshalb zieht allein die Schnur seitlich:
$v=\omega r=3,0\cdot 0,8=2,4m/s$
$a=\frac{v^2}{r}=\frac{2,4^2}{0,8}=\frac{5,76}{0,8}=7,2m/{\mathrm{s}}^2$
$F=ma=0,2\cdot 7,2=1,44\mathrm{N}$

Das sind die Anzeigen $v=2,4m/s$, $\omega =3,0rad/s$ und $a=7,2m/{\mathrm{s}}^2$; die andere Form stimmt auch, ${\omega }^{2}r=9\cdot 0,8=7,2m/{\mathrm{s}}^2$. Eine Umdrehung dauert $T=2\pi /3,0\approx 2,09\mathrm{s}$, daher dauern die 1,75 Umdrehungen vor dem Loslassen etwa 3,67 s.

Schwingst du den Ball über dem Kopf auf demselben Kreis mit derselben Geschwindigkeit, muss er zusätzlich getragen werden: Die Schnur neigt sich nach unten, und ihre Spannkraft steigt auf etwa 2,4 N, aber nur ihr waagerechter Anteil, immer noch 1,44 N, lenkt die Bahn ab.

Beispiel: ein Auto in der flachen Kurve

Ein 1200 kg schweres Auto nimmt eine flache Kurve mit 50 m Radius bei 15 m/s (54 km/h). Dafür braucht es
$a=\frac{v^2}{r}=\frac{15^2}{50}=4,5m/{\mathrm{s}}^2,F=ma=1200\cdot 4,5=5400\mathrm{N}$
und nur die Reibung der Reifen auf der Straße kann das liefern. Auf trockenem Asphalt beträgt der Reibungskoeffizient etwa $\mu =0,7$, also kann die Straße bis zu $\mu mg=0,7\cdot 1200\cdot 9,81\approx 8240\mathrm{N}$ aufbringen: Das Auto hält die Kurve. Am Grenzwert $m{v}^2/r=\mu mg$ kürzt sich die Masse heraus, und $v_{\max }=\sqrt{\mu gr}=\sqrt{0,7\cdot 9,81\cdot 50}\approx 18,5m/s$, etwa 67 km/h.

Auf nasser Straße erlaubt $\mu \approx 0,4$ nur etwa 4710 N, weniger als die benötigten 5400 N. Das Auto rutscht nach außen, weil es geradliniger fährt, als die Straße verläuft, nicht weil etwas es nach außen drückt. Seine sichere Geschwindigkeit sinkt auf $\sqrt{0,4\cdot 9,81\cdot 50}\approx 14m/s$, etwa 50 km/h. Bei 30 m/s bräuchte es die vierfache Kraft, 21.600 N, mehr als selbst eine trockene Straße liefern kann.

Die Pfeile der Animation lesen

Der blaue Pfeil $v$ liegt tangential, hat eine feste Länge und dreht sich jede Sekunde um 3,0 rad (etwa 172°). Der rote Pfeil $a$ zeigt entlang der Schnur, die mit $r$ markiert ist, zur Hand. Beide bleiben rechtwinklig zueinander, deshalb ändert der Zug die Bewegungsrichtung, aber nie das Tempo.

Weil sich der Pfeil $a$ mit dem Ball dreht, ist $a$ kein konstanter Vektor, und die Gleichungen für konstante Beschleunigung aus Geradlinige Bewegung gelten nicht. Über eine halbe Umdrehung kehrt sich die Geschwindigkeit um, von $+2,4$ auf $-2,4m/s$, in $T/2\approx 1,05\mathrm{s}$: Die mittlere Beschleunigung beträgt nur $4,8/1,05\approx 4,6m/{\mathrm{s}}^2$, weil $a$ ständig seine Richtung ändert, und über eine ganze Umdrehung ist sie null.

Beim Loslassen, unten im Bild, verschwindet der rote Pfeil und die Anzeige von $a$ fällt auf null; der blaue Pfeil behält Länge und Richtung, und der Ball läuft mit gleichbleibenden 2,4 m/s entlang der gestrichelten Tangente.

Häufige Fehler

• Gleichbleibendes Tempo heißt nicht null Beschleunigung: Der Ball behält 2,4 m/s und wird trotzdem mit 7,2 m/s² beschleunigt, weil sich seine Richtung ändert.
• Keine Kraft wirkt nach außen auf den Ball; der Zug in deiner Hand ist der Ball, der an der Schnur zieht (Newtons drittes Gesetz). Losgelassen verlässt er den Kreis tangential und ist nach 0,25 s 1,0 m vom Mittelpunkt entfernt, nur weil sich eine Gerade vom Kreis entfernt.
• Die Zentripetalkraft ist keine zusätzliche Kraft: Auf dem Tisch ist sie die Spannkraft selbst, 1,44 N, nicht die Spannkraft plus weitere 1,44 N.
• Doppeltes Tempo verdoppelt die Kraft nicht: $F\propto v^2$, also steigt die Spannkraft bei 4,8 m/s von 1,44 N auf 5,76 N.
• Verwende Radiant pro Sekunde: 3,0 rad/s sind etwa 28,6 Umdrehungen pro Minute, und setzt man 28,6 in $v=\omega r$ ein, erhält man 22,9 m/s statt 2,4 m/s.

Wo dir das begegnet

Straßenkurven, Radfahrer, die sich in die Kurve legen, überhöhte Radrennbahnen: Immer dann liefert eine echte Kraft $m{v}^2/r$. Eine Waschmaschine mit 1200 U/min und einer Trommel mit 0,25 m Radius gibt ihrem Inhalt etwa 3950 m/s² mit, rund das 400-Fache von $g$; die Trommel drückt die Wäsche im Kreis, aber das Wasser entweicht durch die Löcher tangential. Eine Laborzentrifuge mit 10.000 U/min und 10 cm Arm erreicht etwa das 11.000-Fache von $g$.

Bei Satelliten ist die Zentripetalkraft die Schwerkraft: Die Internationale Raumstation fällt mit etwa 8,6 m/s² um die Erde. Diese Ideen führen weiter zu Gravitation und Umlaufbahnen; zu Rotationsdynamik und Drehmoment, wo jeder Punkt eines sich drehenden Körpers auf einem Kreis läuft; zu harmonischer Schwingung, der Kreisbewegung von der Seite gesehen; und zu magnetischer Kraft auf bewegte Ladungen, wo Magnetfelder geladene Teilchen auf Kreisbahnen lenken.

Fortgeschritten

Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung als Vektoren

Dieser Abschnitt leitet die beiden zentralen Tatsachen der Kreisbewegung ab, indem er den Ortsvektor differenziert: Die Geschwindigkeit verläuft tangential, und die Beschleunigung zeigt mit dem Betrag $v^2/r$ zum Mittelpunkt. Mit Vektoren erhält man Beträge und Richtungen in einem Zug. Die Zahlen stammen durchgehend aus der Animation: ein 0,2 kg schwerer Ball auf einem glatten Tisch, gehalten von einer Schnur der Länge $r=0,8\mathrm{m}$ und sich drehend mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega =3,0rad/s$, sodass seine Geschwindigkeit $v=\omega r=2,4m/s$ und seine Beschleunigung $a=7,2m/{\mathrm{s}}^2$ beträgt und die Schnur mit 1,44 N zieht.

Legende

$\vec{r}$	Ortsvektor: vom Mittelpunkt zum Körper; seine Länge ist der Radius $r$.	$\mathrm{m}$
$\vec{v}$	Geschwindigkeit: tangential, in Bewegungsrichtung; ihr Betrag ist $v=\omega r$.	$m/s$
$\vec{a}$	Beschleunigung: entgegen $\vec{r}$, zum Mittelpunkt; ihr Betrag ist ${\omega }^{2}r=v^2/r$.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\theta$	Winkel, um den sich der Radius von der $x$-Achse aus gedreht hat: $\theta =\omega t$.	$\mathrm{rad}$
$x$	Horizontale Achse; der Körper startet auf ihrer positiven Seite.	$\mathrm{m}$
$y$	Vertikale Achse.	$\mathrm{m}$

Abbildung 1 friert die Bewegung zu einem Zeitpunkt ein. Der Mittelpunkt liegt im Ursprung; der Körper startete auf der positiven $x$-Achse und dreht sich mit konstantem $\omega$ gegen den Uhrzeigersinn, also hat sich der Radius nach der Zeit $t$ um den Winkel $\theta =\omega t$ gedreht, am Mittelpunkt markiert. Der Ortsvektor $\vec{r}$ läuft vom Mittelpunkt zum Körper. Seine Länge ist immer $r$, und seine Komponenten sind seine Schatten auf den beiden Achsen:
$\vec{r}(t)=r(\cos \omega t,\sin \omega t)$
Die Geschwindigkeit $\vec{v}$ und die Beschleunigung $\vec{a}$ gehören zum Körper, deshalb sind sie von ihm aus gezeichnet. Achte auf zwei Dinge: das kleine Quadrat zwischen $\vec{v}$ und der gestrichelten Verlängerung des Radius und $\vec{a}$, die auf derselben Linie wie $\vec{r}$ liegt, aber in die Gegenrichtung zeigt. ($\vec{a}$ ist nur deshalb neben $\vec{r}$ gezeichnet, damit die beiden Pfeile getrennt bleiben.)

Um $\vec{v}$ zu finden, differenzierst du jede Komponente nach der Zeit. Mit der Kettenregel ist die Ableitung von $\cos \omega t$ gleich $-\omega \sin \omega t$ und die von $\sin \omega t$ gleich $\omega \cos \omega t$, also
$\vec{v}=r\omega (-\sin \omega t,\cos \omega t)$
Noch einmal auf dieselbe Weise differenziert,
$\vec{a}=-{\omega }^{2}r(\cos \omega t,\sin \omega t)=-{\omega }^2\vec{r}$

Lies nun die Ergebnisse ab. Die Klammer in $\vec{v}$ ist die Klammer von $\vec{r}$, um eine Viertelumdrehung gegen den Uhrzeigersinn gedreht, und sie hat die Länge 1. Also steht $\vec{v}$ senkrecht auf dem Radius, das ist der in Abbildung 1 markierte rechte Winkel: Die Geschwindigkeit liegt tangential, mit dem Betrag $\omega r$. Die Beschleunigung ist der umgekehrte Ortsvektor, multipliziert mit ${\omega }^2$. Sie zeigt daher genau zum Mittelpunkt, mit dem Betrag ${\omega }^{2}r=v^2/r$, für den Ball 7,2 m/s².

Dasselbe Ergebnis ohne Koordinaten

Die obige Herleitung setzte eine gleichmäßige Drehung voraus. Ein kürzeres Argument nutzt nur, dass sich der Abstand vom Mittelpunkt nie ändert, und gilt daher auch für einen Körper, der auf dem Kreis schneller oder langsamer wird.

Die Länge von $\vec{r}$ ist fest, also ist $\vec{r}\cdot \vec{r}=r^2$ konstant. Differenziere es mit der Produktregel: $2\vec{r}\cdot \vec{v}=0$, also steht die Geschwindigkeit bei jeder Bewegung auf einem Kreis senkrecht zum Radius. Differenziere $\vec{r}\cdot \vec{v}=0$ noch einmal: $\vec{v}\cdot \vec{v}+\vec{r}\cdot \vec{a}=0$, also $\vec{r}\cdot \vec{a}=-v^2$. Division durch $r$ ergibt die Komponente von $\vec{a}$ längs des nach außen gerichteten Radius, $-v^2/r$. Die Komponente der Beschleunigung nach innen ist also $v^2/r$ bei jeder Bewegung auf einem Kreis, gleichförmig oder nicht.

Ist außerdem das Tempo konstant, ergibt derselbe Trick, angewendet auf $\vec{v}\cdot \vec{v}=v^2$, $\vec{v}\cdot \vec{a}=0$. Die Beschleunigung hat dann keinen tangentialen Anteil, und nur der Anteil nach innen bleibt übrig.

Der eigene Kreis der Geschwindigkeit: der Hodograph

Die Geschwindigkeit beschreibt einen eigenen Kreis, und der gibt das direkteste Bild davon, warum $a=v^2/r$ gilt: Die Beschleunigung verhält sich zur Geschwindigkeit wie die Geschwindigkeit zum Ort.

Übertrage die $\vec{v}$-Pfeile aus Abbildung 1 von vielen Zeitpunkten auf einen gemeinsamen Ursprung; diese Zeichnung heißt Hodograph. Jeder Pfeil hat dieselbe Länge $v$, und jeder zeigt eine Viertelumdrehung vor dem $\vec{r}$ seines Zeitpunkts, sodass sich die Pfeile mit derselben Rate $\omega$ drehen wie der Radius. Ihre Spitzen laufen daher mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ auf einem Kreis mit dem Radius $v$ um.

Wende nun auf diesen Kreis an, was wir über den ersten wissen. Die Spitze von $\vec{r}$ bewegt sich mit der Geschwindigkeit $\omega r$, und diese Geschwindigkeit ist der Betrag von $\vec{v}$. Ebenso bewegt sich die Spitze von $\vec{v}$ mit der Geschwindigkeit $\omega v$, und diese ist der Betrag von $\vec{a}$, denn die Beschleunigung ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit. Also $a=\omega v=v^2/r$. Die Spitze von $\vec{v}$ bewegt sich tangential zum Hodographen, eine Viertelumdrehung vor $\vec{v}$. Da $\vec{v}$ schon eine Viertelumdrehung vor $\vec{r}$ liegt, ist $\vec{a}$ eine halbe Umdrehung von $\vec{r}$ entfernt: Sie zeigt zum Mittelpunkt. Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung sind drei Pfeile mit den Längen $r$, $\omega r$ und ${\omega }^{2}r$, jeder eine Viertelumdrehung vor dem vorherigen, weil jeder die Änderungsrate des vorherigen ist.

Um den Kreis herum fallen

Newton sah dieselbe Beschleunigung auf andere Weise: Ein Körper auf einem Kreis fällt ständig zum Mittelpunkt, und er kommt nie dort an, weil er sich zugleich seitlich bewegt. Diese Sicht verbindet die Kreisbewegung mit dem freien Fall und führte zum ersten Test des Gravitationsgesetzes.

Legende

$r$	Radius des Kreises: die Länge der Schnur.	$\mathrm{m}$
$\omega t$	Winkel, um den sich der Radius in der Zeit $t$ dreht.	$\mathrm{rad}$
$vt$	Strecke, die der Körper in der Zeit $t$ ohne Schnur längs der Tangente zurücklegen würde.	$\mathrm{m}$
$h$	Abstand von dieser freien Position zur wirklichen Position auf dem Kreis: wie weit der Körper zum Mittelpunkt gefallen ist.	$\mathrm{m}$

Abbildung 2 verfolgt den Körper für die Zeit $t$ vom oberen Punkt des Kreises aus. Er startet am Punkt, mit seiner Geschwindigkeit tangential, hier nach links zeigend. Ohne Kraft würde er sich geradlinig eine Strecke $vt$ entlang der Tangente bewegen und beim hellen Ball enden. Stattdessen hält ihn die Schnur auf dem Kreis: Der Radius $r$ dreht sich um den Winkel $\omega t$, der Körper legt einen Bogen gleicher Länge $r\omega t=vt$ zurück und endet beim vollen Ball. Der Pfeil $h$ läuft von dort, wo der Körper ohne Schnur wäre, zu dort, wo er ist: Das ist die Strecke, um die er gefallen ist. (Die Zeit ist in der Abbildung groß gezeichnet, damit man die Formen sehen kann; das Ergebnis unten gilt für kurze Zeiten.)

Wie groß ist $h$? Die Tangente im oberen Punkt liegt im Abstand $r$ über dem Mittelpunkt, und die wirkliche Position liegt darüber in der Höhe $r\cos \omega t$, also ist der Körper $r(1-\cos \omega t)$ unter die Tangente gefallen. Für eine kurze Zeit liegt die freie Position fast genau über der wirklichen, also ist $h$ fast genau diese Absenkung und zeigt fast senkrecht nach unten, zum Mittelpunkt. Für einen kleinen Winkel $x$ gilt $\cos x\approx 1-x^2/2$, und mit $r\omega t=vt$:
$h\approx r(1-\cos \omega t)\approx \frac{r(\omega t{)}^2}{2}=\frac{(vt{)}^2}{2r}$
Vergleiche mit dem freien Fall aus der Ruhe, $h=\frac{1}{2}a{t}^2$. Beide stimmen überein, wenn $a=v^2/r$ ist: Der Körper fällt zum Mittelpunkt genau so, wie ein losgelassener Stein mit dieser Beschleunigung fallen würde, und seine seitliche Bewegung verhindert, dass er je näher kommt.

Beim Ball würde er in 0,1 s $vt=0,24\mathrm{m}$ entlang der Tangente laufen, während sich der Radius um 0,3 rad dreht. Der Kreis liegt dann $0,8(1-\cos 0,3)\approx 0,0357\mathrm{m}$, also 3,57 cm, unter der Tangente, gegenüber $\frac{1}{2}\cdot 7,2\cdot 0,1^2=0,036\mathrm{m}$ aus der Näherung.

Newton nutzte dieses Bild, um sein Gravitationsgesetz am Mond zu prüfen. Dessen Bahn hat den Radius $R\approx 3,84\times 10^8\mathrm{m}$, etwa 60,3 Erdradien, und eine Umlaufzeit $T$ von 27,3 Tagen. Mit $v=2\pi R/T$ fällt der Mond mit der Beschleunigung zur Erde
$a=\frac{v^2}{R}=\frac{4{\pi }^{2}R}{T^2}\approx 2,72\times 10^{-3}m/{\mathrm{s}}^2$
Wenn die Schwerkraft mit dem Quadrat des Abstands abnimmt, sollte sie bei 60,3 Erdradien $g/60,3^2\approx 2,70\times 10^{-3}m/{\mathrm{s}}^2$ ergeben. Beide Werte stimmen auf 1 % überein: Dieselbe Kraft, die einen Apfel fallen lässt, hält auch den Mond auf seiner fallenden Bahn um die Erde.

Schatten auf den Achsen: harmonische Schwingung

Von der Seite gesehen wird die Kreisbewegung zur Schwingung. Diese Verbindung ist der Grund, warum die Mathematik des Kreises so viele Bereiche der Physik durchzieht, von Federn bis zum Wechselstrom.

Nimm die $x$-Komponente von $\vec{a}=-{\omega }^2\vec{r}$. Sie lautet $\ddot{x}=-{\omega }^{2}x$, wobei jeder Punkt eine Ableitung nach der Zeit bedeutet. Das ist die Gleichung einer Masse $m$ an einer Feder mit der Steifigkeit $k$, $m\ddot{x}=-kx$, mit $k/m={\omega }^2$, und die $y$-Komponente ergibt dieselbe Gleichung. Der Schatten einer gleichförmigen Kreisbewegung auf einer beliebigen Geraden ist also harmonische Schwingung, mit derselben $\omega$ und einer Amplitude gleich dem Radius.

Die Ebene „Fortgeschritten“ der Animation zeigt das. Die lila Punkte auf den Achsen sind die Schatten: Sie gleiten zwischen $-0,8$ und $+0,8\mathrm{m}$ mit der Periodendauer $2\pi /\omega =2,09\mathrm{s}$. Am schnellsten sind sie mit 2,4 m/s in der Mitte, wo sich der Ball parallel zur Achse bewegt, und an den Enden stehen sie kurz still, wo ihre Beschleunigung mit 7,2 m/s² ihren Höchstwert erreicht. Die Graphen $x(t)$ und $y(t)$ sind ein Kosinus und ein Sinus, um eine Viertelperiode (0,52 s) versetzt.

Komplexe Zahlen sagen dasselbe in einer Zeile. Schreibe den Ort als $z=x+iy=r{e}^{i\omega t}$. Dann gilt $\dot{z}=i\omega z$, und Multiplikation mit $i$ dreht eine komplexe Zahl um eine Viertelumdrehung gegen den Uhrzeigersinn: Die Geschwindigkeit steht senkrecht auf dem Radius. Nochmals differenziert ergibt $\ddot{z}=(i\omega {)}^{2}z=-{\omega }^{2}z$, die Zentripetalbeschleunigung. Der Realteil $x=r\cos \omega t$ ist die Schwingung. Eine Schwingung ist eine Drehung von der Seite gesehen, deshalb ist $e^{i\omega t}$ die natürliche Sprache von Schwingungen, Wellen und Wechselströmen.

Das Loslassen zeigt, was passiert, wenn der Zug nach innen aufhört. Es geschieht bei $\omega t=7\pi /2$, wenn der Ball bei $(0,-r)$ mit der Geschwindigkeit $(+v,0)$ ist; von da an gilt $\vec{a}=0$. Der Graph $x(t)$ verlässt den Kosinus entlang seiner Tangente mit der Steigung 2,4 m/s und erreicht 0,5 s später 1,2 m bzw. $1,5r$ am Rand des Graphen. Der Graph $y(t)$ bleibt bei $-0,8\mathrm{m}$, weil der Sinus dort sein Minimum hatte, wo seine Steigung null ist. Das ist Newtons erstes Gesetz, in zwei Graphen gezeichnet.

Einheitsvektoren, die sich mit dem Körper drehen

Bisher war das Tempo konstant. Wenn ein Körper auf einem Kreis schneller wird oder sich auf einer beliebigen Kurve bewegt, erhält die Beschleunigung einen Anteil entlang der Bahn. Am saubersten findet man alle Anteile mit Einheitsvektoren, die sich mit dem Körper drehen.

Für jede Bewegung in einer Ebene beschreibe den Körper durch seinen Abstand $r$ vom Ursprung und seinen Winkel $\theta$, die jetzt beide veränderlich sind. Am Körper definierst du zwei Einheitsvektoren: $\hat{r}$, nach außen längs des Radius zeigend, und $\hat{\theta }$, eine Viertelumdrehung davor, in Richtung wachsenden $\theta$ (gegen den Uhrzeigersinn). Dann gilt $\vec{r}=r\hat{r}$.

In Komponenten $\hat{r}=(\cos \theta ,\sin \theta )$ und $\hat{\theta }=(-\sin \theta ,\cos \theta )$. Differenziert mit der Kettenregel wie im ersten Abschnitt,
$\frac{d\hat{r}}{dt}=\dot{\theta }\hat{\theta },\frac{d\hat{\theta }}{dt}=-\dot{\theta }\hat{r}$
In Worten: Wächst der Winkel, kippt $\hat{r}$ in Richtung $\hat{\theta }$, und $\hat{\theta }$ kippt zum Mittelpunkt.

Differenziere $\vec{r}=r\hat{r}$ mit der Produktregel. Der erste Term ist die Bewegung nach außen, der zweite die Bewegung im Kreis:
$\vec{v}=\dot{r}\hat{r}+r\dot{\theta }\hat{\theta }$
Differenziere noch einmal, Term für Term, mit den beiden obigen Regeln:
$\vec{a}=\ddot{r}\hat{r}+\dot{r}\dot{\theta }\hat{\theta }+\dot{r}\dot{\theta }\hat{\theta }+r\ddot{\theta }\hat{\theta }-r{\dot{\theta }}^2\hat{r}$
Fasse die Anteile längs $\hat{r}$ und längs $\hat{\theta }$ zusammen:
$\vec{a}=(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)\hat{r}+(r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta })\hat{\theta }$

Auf einem Kreis ist $r$ fest, also $\dot{r}=\ddot{r}=0$. Übrig bleibt ein Anteil nach innen $-r{\dot{\theta }}^2\hat{r}$ der Größe $r{\dot{\theta }}^2=v^2/r$ und ein tangentialer Anteil $r\ddot{\theta }\hat{\theta }$. Schreibe die Winkelbeschleunigung als $\alpha =\ddot{\theta }$. Dann hat der tangentiale Anteil die Größe $r\alpha$, und da $v=r\dot{\theta }$ ist, ist das $dv/dt$, die Änderungsrate des Tempos.

Schneller werden auf einem Kreis

Ändert sich das Tempo, zeigt die Beschleunigung nicht mehr zum Mittelpunkt. Dieser Abschnitt zeigt, wie weit sie sich neigt, und was das für die Schnur bedeutet.

Legende

$\hat{r}$	Einheitsvektor längs des Radius, vom Mittelpunkt weg zeigend.
$\hat{\theta }$	Einheitsvektor tangential, in Richtung wachsenden $\theta$ (gegen den Uhrzeigersinn).
$a_c$	Anteil der Beschleunigung nach innen (zentripetal), längs $-\hat{r}$; seine Größe ist $r{\dot{\theta }}^2=v^2/r$.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$a_t$	Tangentialer Anteil der Beschleunigung, längs $\hat{\theta }$, solange der Körper schneller wird; seine Größe ist $r\alpha =dv/dt$.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\vec{a}$	Gesamtbeschleunigung: die vektorielle Summe der beiden Anteile.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\beta$	Winkel zwischen $\vec{a}$ und der Linie zum Mittelpunkt; $\tan \beta =a_t/a_c$.	$\mathrm{rad}$

Abbildung 3 zeigt den Kreisfall zu einem Zeitpunkt, mit dem Körper rechts vom Mittelpunkt. Die Einheitsvektoren $\hat{r}$ und $\hat{\theta }$ sind am Körper eingezeichnet, rechtwinklig zueinander. Die Beschleunigung hat einen Anteil nach innen der Größe $a_c=r{\dot{\theta }}^2=v^2/r$ längs $-\hat{r}$ und einen tangentialen Anteil der Größe $a_t=r\alpha$ längs $\hat{\theta }$, weil der Körper schneller wird (er würde längs $-\hat{\theta }$ zeigen, wenn der Körper langsamer würde). Aneinandergereiht ergeben die beiden Anteile die Gesamtbeschleunigung $\vec{a}$, den langen Pfeil vom Körper aus. Also neigt sich $\vec{a}$ um den Winkel $\beta$ nach vorn gegenüber der Linie zum Mittelpunkt, und das rechtwinklige Dreieck liefert
$\tan \beta =a_t/a_c,a=\sqrt{a_c^2+a_t^2}$
Der tangentiale Pfeil ist viel länger gezeichnet als im folgenden Beispiel, damit die Neigung zu sehen ist.

Bringe den Ball aus der Ruhe in 2,0 s auf 3,0 rad/s, mit konstantem $\alpha =1,5rad/{\mathrm{s}}^2$. Der tangentiale Anteil bleibt die ganze Zeit $a_t=r\alpha =0,8\cdot 1,5=1,2m/{\mathrm{s}}^2$, während der Anteil nach innen mit ${\omega }^2$ wächst und am Ende 7,2 m/s² erreicht. In diesem Moment beträgt die Gesamtbeschleunigung $\sqrt{7,2^2+1,2^2}\approx 7,30m/{\mathrm{s}}^2$, nach vorn geneigt um 9,5°, denn $\tan \beta =1,2/7,2$. Auf dem glatten Tisch ist die Schnur die einzige seitliche Kraft, und eine Schnur kann nur in ihrer eigenen Richtung ziehen; sie muss sich also um denselben Winkel nach vorn neigen: Die Hand führt den Ball im Kreis.

Radiale Kräfte und gekrümmte Bahnen

Die allgemeine Formel hat zwei weitere Anwendungen. Sie erklärt, warum Planeten gleiche Flächen überstreichen, und sie liefert die Beschleunigung auf jeder gekrümmten Bahn.

Der Term $2\dot{r}\dot{\theta }$ spielt eine Rolle, wenn sich der Abstand während der Drehung ändert. Ist die Kraft rein radial, wie die Schwerkraft der Sonne auf einen Planeten, muss der $\hat{\theta }$-Anteil der Beschleunigung verschwinden. Dieser Anteil ist in Wahrheit eine einzige Ableitung (zur Kontrolle die rechte Seite ausmultiplizieren):
$r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta }=\frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\theta })=0$
Also bleibt $r^2\dot{\theta }$ konstant. Mit der Masse multipliziert ist das der Drehimpuls, der daher erhalten bleibt. Die Hälfte davon, $\frac{1}{2}{r}^2\dot{\theta }$, ist die Rate, mit der die Verbindungslinie zur Sonne Fläche überstreicht; dasselbe Ergebnis ist also Keplers Flächensatz.

Schließlich sieht in der Nähe jedes Punktes jede glatte Bahn wie ein Kreis aus; der Radius des bestpassenden Kreises ist der Krümmungsradius $\rho$. Der Anteil der Beschleunigung quer zur Bahn ist dann $v^2/\rho$, und der Anteil längs der Bahn ist $dv/dt$. Im höchsten Punkt einer Wurfbahn, wo der Körper waagerecht mit 10 m/s fliegt, ist die Schwerkraft die einzige Kraft und steht quer zur Bahn, also gilt $g=v^2/\rho$ und $\rho =v^2/g\approx 10,2\mathrm{m}$.

Aufgabe: der über dem Kopf geschwungene Ball

Nimm nun den Ball vom Tisch. Halte die Schnur über den Kopf und schwinge denselben 0,2 kg schweren Ball auf einem waagerechten Kreis mit dem Radius 0,8 m bei den 3,0 rad/s der Animation. Die Schnur überstreicht einen Kegel. Wie weit unter der Hand kreist der Ball, wie lang ist die Schnur, und wie groß ist ihre Spannkraft $F_s$?

Legende

$\phi$	Winkel zwischen Schnur und Senkrechter.	$\mathrm{rad}$
$h$	Tiefe des Kreises des Balls unter der Hand.	$\mathrm{m}$
$r$	Radius des waagerechten Kreises des Balls.	$\mathrm{m}$
$L$	Länge der Schnur.	$\mathrm{m}$
$F_s$	Spannkraft: der Zug der Schnur am Ball, längs der Schnur zur Hand.	$\mathrm{N}$
$F_s\cos \phi$	Senkrechter Anteil der Spannkraft; er hebt das Gewicht auf.	$\mathrm{N}$
$F_s\sin \phi$	Waagerechter Anteil der Spannkraft, zur Achse: die Zentripetalkraft $m{\omega }^{2}r$.	$\mathrm{N}$
$mg$	Gewicht des Balls, senkrecht nach unten.	$\mathrm{N}$

Abbildung 4 zeigt links den Kegel von der Seite und rechts die Kräfte auf den Ball. Links bildet die Schnur der Länge $L$ den Winkel $\phi$ mit der senkrechten Achse durch die Hand. Der Ball kreist im Abstand $r$ von dieser Achse, in einer waagerechten Ebene im Abstand $h$ unter der Hand. (Dieses $h$ ist eine neue Länge, nicht die Fallstrecke aus Abbildung 2.)

Rechts wirken nur zwei Kräfte auf den Ball: sein Gewicht $mg$, senkrecht nach unten, und die Spannkraft $F_s$ längs der Schnur zur Hand. Zerlege die Spannkraft in einen senkrechten Anteil $F_s\cos \phi$ und einen waagerechten Anteil $F_s\sin \phi$; der Winkel zwischen Schnur und Senkrechter ist wieder $\phi$. Der Ball steigt und sinkt nicht, also hebt der senkrechte Anteil das Gewicht genau auf, und in der Abbildung haben diese beiden Pfeile dieselbe Länge. Der waagerechte Anteil zeigt zur Achse und ist die einzige unausgeglichene Kraft, also ist er die Zentripetalkraft:
$F_s\cos \phi =mg,F_s\sin \phi =m{\omega }^{2}r$

Teilt man die zweite Gleichung durch die erste, fallen sowohl $F_s$ als auch $m$ heraus:
$\tan \phi =\frac{{\omega }^{2}r}{g}=\frac{7,2}{9,81}\approx 0,734$
Die Schnur neigt sich also um 36,3° gegen die Senkrechte. Das Dreieck links mit den Seiten $r$, $h$ und $L$ hat an der Hand denselben Winkel $\phi$, also gilt auch $\tan \phi =r/h$. Setzt man die beiden Ausdrücke für $\tan \phi$ gleich, folgt
$h=\frac{r}{\tan \phi }=\frac{g}{{\omega }^2}=\frac{9,81}{9}\approx 1,09\mathrm{m}$
was nur von $\omega$ abhängt, nicht von der Masse oder dem Radius. Nach dem Satz des Pythagoras ist die Schnur $L=\sqrt{0,8^2+1,09^2}\approx 1,35\mathrm{m}$ lang. Für die Spannkraft setzt du $\sin \phi =r/L$ in die waagerechte Gleichung ein: $F_{s}r/L=m{\omega }^{2}r$, also $F_s=m{\omega }^{2}L\approx 0,2\cdot 9\cdot 1,35\approx 2,43\mathrm{N}$. Das ist das 1,24-Fache des Gewichts von 1,96 N. Der waagerechte Anteil beträgt weiterhin die 1,44 N der Tischversion, denn der Ball braucht nach wie vor $m{\omega }^{2}r$, um auf seinem Kreis zu bleiben.

Drei Folgerungen überraschen die meisten. Erstens: $h=g/{\omega }^2$ wird nur dann null, wenn $\omega$ ohne Grenze wächst, daher ist die Schnur nie ganz waagerecht; ein Teil der Spannkraft muss das Gewicht immer tragen. Zweitens: $h$ kann die Länge der Schnur nicht übersteigen, also braucht ein Kegel $g/{\omega }^2<L$. Mit dieser Schnur gibt es unterhalb von $\omega =\sqrt{g/L}\approx 2,69rad/s$ gar keinen Kegel, und der Ball hängt einfach herab. Drittens: Im senkrechten Kreis kann die Schnur nur ziehen. Oben zeigen Schwerkraft und Schnur beide zum Mittelpunkt, also ist die Spannkraft $m(v^2/r-g)$, und sie darf nicht negativ werden: Der Ball bleibt nur dann auf dem Kreis, wenn $v^2/r\ge g$ gilt, also $v\ge \sqrt{gr}\approx 2,80m/s$. Ein Ball, der den höchsten Punkt mit den 2,4 m/s der Animation passiert, fände die Schnur schlaff.

Rotierende Bezugssysteme und Scheinkräfte

Bisher wurde alles vom Tisch aus gesehen, einem Inertialsystem. Ein Beobachter, der sich mit der Schnur dreht, beschreibt dieselbe Bewegung anders, und der Boden unter unseren Füßen ist ein solches drehendes Bezugssystem, was für das Wetter eine Rolle spielt.

In einem mit der Schnur drehenden Bezugssystem ist der Ball in Ruhe, und doch zieht die Schnur ihn mit 1,44 N nach innen. Newtons zweites Gesetz gilt nur weiter, wenn man Scheinkräfte hinzufügt, die aus der Beschleunigung des Bezugssystems stammen und nicht von einem anderen Körper. Die erste ist die Zentrifugalkraft $m{\omega }^{2}r$, nach außen, hier genau 1,44 N, die die Schnur ausgleicht. Die zweite wirkt nur auf einen Körper, der sich im drehenden Bezugssystem bewegt, mit der Geschwindigkeit $\vec{v}$ in diesem System: die Corioliskraft $-2m\vec{\omega }\times \vec{v}$, rechtwinklig zu dieser Geschwindigkeit, wobei $\vec{\omega }$ die Winkelgeschwindigkeit des Bezugssystems ist, entlang der Drehachse. Nach dem Loslassen sieht der drehende Beobachter den Ball nach außen driften und hinter der Schnur zurückfallen, nach 0,5 s um etwa 30°; vom Tisch aus gesehen läuft er einfach geradeaus.

Beide Scheinkräfte sind wie die Schwerkraft proportional zur Masse und geben daher jedem Körper dieselbe Beschleunigung. Einstein machte diesen Zufall zum Ausgangspunkt der allgemeinen Relativitätstheorie: In einem hinreichend kleinen Bereich kann kein Experiment ein beschleunigtes Bezugssystem von der Schwerkraft unterscheiden. Der Boden selbst ist ein rotierendes Bezugssystem, das sich mit der Winkelgeschwindigkeit ${\omega }_E$ der Erde dreht. Am Äquator, beim Erdradius $R_E$, beträgt der Zentrifugalterm ${\omega }_E^2{R}_E\approx 0,034m/{\mathrm{s}}^2$, also 0,35 % von $g$. Bei einem Wind von 20 m/s auf 45° Breite beträgt die Coriolisbeschleunigung nur etwa 0,002 m/s², doch über Stunden wirkend macht sie aus großen Stürmen Zyklone.

Gültigkeitsgrenzen

Hier wird der Körper durchweg als Punkt behandelt und die Schnur als masselos und undehnbar. Eine echte Schnur dehnt sich bei wachsender Spannkraft ein wenig, also hängt $r$ leicht von $\omega$ ab. Das Bezugssystem muss ein Inertialsystem sein, doch in diesem Maßstab ist die Erdrotation harmlos: Ihre Coriolis-Wirkung auf den Ball bei 2,4 m/s beträgt höchstens $2{\omega }_{E}v\approx 3,5\times 10^{-4}m/{\mathrm{s}}^2$, rund 20.000-mal kleiner als die 7,2 m/s², die die Schnur liefert.

Nahe der Lichtgeschwindigkeit $c$ ist der Impuls $\gamma mv$, wobei $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ über alle Grenzen wächst, wenn $v$ sich $c$ nähert. Eine Kraft quer zu $\vec{v}$ ändert nur die Bewegungsrichtung, nicht das Tempo, also bleibt $\gamma$ konstant, und die Kraft für einen Kreis wird $\gamma m{v}^2/r$. Eine Ladung $q$ im Magnetfeld $B$ läuft daher mit $\omega =qB/(\gamma m)$ statt $qB/m$ im Kreis. Ein langsames Proton im Feld von 1,0 T umläuft 15,2 Millionen Mal pro Sekunde; bei 10 MeV kinetischer Energie ist $\gamma \approx 1,011$, und die Frequenz sinkt um etwa 1 %, genug, um aus dem Takt der Wechselspannung fester Frequenz eines Zyklotrons zu fallen.

Auf atomarer Skala versagen klassische Bahnen. Eine beschleunigte Ladung strahlt, also würde ein Elektron, das ein Proton umkreist, seine Energie verlieren und innerhalb von etwa $10^{-11}\mathrm{s}$ spiralförmig hineinstürzen; stabile Atome brauchen die Quantenmechanik.

Wohin das führt

Übernimmt die Gravitation die Zentripetalkraft, liefert $GMm/r^2=m{v}^2/r$ die Bahngeschwindigkeiten und Keplers drittes Gesetz, das Thema von Gravitation und Umlaufbahnen; die Internationale Raumstation in 420 km Höhe braucht 7,66 km/s und umkreist die Erde in etwa 93 Minuten. Ein sich drehender starrer Körper ist eine Menge von Punkten mit gemeinsamem $\omega$, jeder mit $v=\omega r$ und $a_t=r\alpha$: Hier beginnt Rotationsdynamik und Drehmoment, und die Konstante $r^2\dot{\theta }$ führt zu Drehimpuls und Drehimpulserhaltung. Das Schattenbild wird in harmonischer Schwingung fortgesetzt. In magnetischer Kraft auf bewegte Ladungen liefert $qvB=m{v}^2/r$ den Radius $r=mv/(qB)$, der in Massenspektrometern und Zyklotrons verwendet wird, und in Atommodelle: das bohrsche Atom zeigt, wie Quantenregeln das umlaufende Elektron retten. Die Gleichwertigkeit von Scheinkräften und Schwerkraft kehrt in Gravitation als gekrümmte Raumzeit zurück.