圆周运动

入门

在绳子上甩动小球、骑自行车绕弯，或看月球绕地球运动：这些都是沿曲线运动。下面分四小步建立这个概念。

第一步。速度同时包含速率和方向。小球以稳定的速率绕圆周运动，每时每刻方向都在变化，因此速度也在变，而速度的任何变化都是加速度。所以圆周上的稳定速率依然意味着加速度。

第二步。加速度需要合力。在圆周上，这个合力始终指向圆心，称为向心力，即“寻找中心的力”。它不是一种新的力，而是某个真实的力所承担的任务：对小球来说是绳子拉向你手的力，对拐弯的汽车来说是轮胎与路面之间的抓地力，对月球来说是地球的引力。

第三步。松开绳子，拉力就消失了。没有任何东西再使路径弯曲，小球便保持该瞬间的运动方向继续前进：沿切线做直线运动，切线就是恰好与圆相切的那条直线。在动画中，释放之后的灰点等间距地落在这条直线上。小球并不是笔直地向外飞出；你手上感到的向外拉力，是小球拉绳子产生的。

第四步。速度更快，或圆周更小，就需要更大的向心拉力。这就是为什么司机在急弯前要减速。

自我检验：卫星绕地球做匀速率运动，有没有力作用在它上面？它指向哪里？（有，是引力，指向地心。）

中级

圆周上我们测量什么

把原点放在圆心。物体与圆心的距离始终为半径 $r$，因此只需一个角度 $\theta$（从参考线逆时针计量）就能说明它的位置。角度以弧度计：角度 $\theta$ 所对的弧长为 $s=r\theta$，所以一整圈是 $2\pi \approx 6.28\mathrm{rad}$。

角速度 $\omega =\Delta \theta /\Delta t$（单位 rad/s）说明角度增长得多快，速率 $v$ 说明物体沿圆弧运动得多快。由于弧长是 $r$ 倍的角度，
$v=\omega r$
因此转动的轮子上所有点的 $\omega$ 都相同，但离轴远一倍的点运动速率也快一倍。

转一圈所用的时间是周期 $T$；频率 $f=1/T$（单位赫兹，Hz）表示每秒转过的圈数。转一圈的弧长是 $2\pi r$，对应的角度是 $2\pi$，所以
$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi }{\omega }$

匀速转弯也是加速运动

速度是矢量：有大小（即速率）和方向，而圆周上的方向始终沿切线。这个方向一直在转动，因此即使速率不变，速度也在改变；速度的任何改变都是加速度。

画出相隔 $\Delta t$ 的两个时刻的速度，尾部对齐。两个箭头长度都是 $v$，第二个箭头转过的角度为 $\omega \Delta t$，与半径转过的角度相同。连接两个箭头末端的小箭头就是速度的变化 $\Delta v$，长度约为 $v\omega \Delta t$；当 $\Delta t$ 趋于零时，它与速度垂直，指向圆心。除以 $\Delta t$ 得到 $a=v\omega$，再利用 $\omega =v/r$：
$a=\frac{v^2}{r}={\omega }^{2}r$

这种指向圆心的向心加速度中含有两次 $v$：速度越快，速度转动得越快，而被转动的速度矢量也越长。

谁提供向心力

根据牛顿第二定律，质量为 $m$ 的物体以稳定速率转圈时，只有合力指向圆心且大小为
$F=\frac{m{v}^2}{r}$
时，它才能保持在圆周上。这个向心力不是一种新的力，而是由真实的力承担：甩动小球时是绳子的张力，平路上转弯的汽车是路面的摩擦力，月球是引力，脱水筒里的衣物则是滚筒壁的推力。

所以在受力图上只画真实的力，把它们指向圆心方向的分量相加，并令其和等于 $m{v}^2/r$；不要再额外画一个向心力箭头。选用哪种形式的 $a$，取决于什么量保持不变：速率相同时，圆越小需要的力越大，$a\propto 1/r$；而在转盘上，$\omega$ 处处相同，外缘的点需要更大的力，$a\propto r$。

例题：动画中的小球

从上往下看，一个质量为 0.2 kg 的小球在光滑水平桌面上滑动，它用长 $r=0.8\mathrm{m}$ 的绳子系在圆心处的手上，以 $\omega =3.0rad/s$ 转动。桌面托住小球的重力，因此只有绳子沿水平方向拉它：
$v=\omega r=3.0\cdot 0.8=2.4m/s$
$a=\frac{v^2}{r}=\frac{2.4^2}{0.8}=\frac{5.76}{0.8}=7.2m/{\mathrm{s}}^2$
$F=ma=0.2\cdot 7.2=1.44\mathrm{N}$

这些就是读数：$v=2.4m/s$、$\omega =3.0rad/s$ 和 $a=7.2m/{\mathrm{s}}^2$；另一种形式也一致，${\omega }^{2}r=9\cdot 0.8=7.2m/{\mathrm{s}}^2$。转一圈的时间为 $T=2\pi /3.0\approx 2.09\mathrm{s}$，所以释放前的 1.75 圈持续约 3.67 s。

如果在同一圆周、同一速率下把小球在头顶上甩动，小球同样必须被托住：绳子向下倾斜，张力增大到约 2.4 N，但只有其水平分量（仍为 1.44 N）使路径弯曲。

例题：平路上转弯的汽车

一辆质量 1200 kg 的汽车以 15 m/s（54 km/h）的速率驶过半径为 50 m 的平路弯道。它需要
$a=\frac{v^2}{r}=\frac{15^2}{50}=4.5m/{\mathrm{s}}^2,F=ma=1200\cdot 4.5=5400\mathrm{N}$
而这个力只能由轮胎与路面之间的摩擦力提供。干燥沥青路面的摩擦因数约为 $\mu =0.7$，所以路面最多可提供 $\mu mg=0.7\cdot 1200\cdot 9.81\approx 8240\mathrm{N}$：汽车能够通过弯道。在极限状态 $m{v}^2/r=\mu mg$ 下，质量消去，$v_{\max }=\sqrt{\mu gr}=\sqrt{0.7\cdot 9.81\cdot 50}\approx 18.5m/s$，约 67 km/h。

在湿滑路面上，$\mu \approx 0.4$ 只允许约 4710 N，小于所需的 5400 N。汽车会冲出弯道，是因为它比弯道走得更直，而不是因为有什么东西把它推出去。它的安全速率降为 $\sqrt{0.4\cdot 9.81\cdot 50}\approx 14m/s$，约 50 km/h。以 30 m/s 行驶时，它需要四倍的力，即 21,600 N，即使干燥路面也无法提供。

读懂动画中的箭头

蓝色的 $v$ 箭头沿切线方向，长度固定，每秒转过 3.0 rad（约 172°）。红色的 $a$ 箭头沿标有 $r$ 的绳子指向手。两者始终成直角，所以拉力只改变运动方向，从不改变速率。

由于 $a$ 箭头随小球转动，$a$ 不是恒定矢量，因此《直线运动》中的匀加速公式不适用。转过半圈时速度反向，从 $+2.4$ 变为 $-2.4m/s$，用时 $T/2\approx 1.05\mathrm{s}$：平均加速度只有 $4.8/1.05\approx 4.6m/{\mathrm{s}}^2$，因为 $a$ 的方向不断改变；转完整的一圈，平均加速度为零。

在释放时（画面底部），红色箭头消失，$a$ 的读数降为零；蓝色箭头的长度和方向保持不变，小球沿虚线切线以 2.4 m/s 的稳定速率运动。

常见错误

• 速率稳定并不等于加速度为零：小球保持 2.4 m/s 的速率，却以 7.2 m/s² 加速，因为它的方向在改变。
• 小球并不受向外的力；你手上感到的拉力是小球拉绳子产生的（牛顿第三定律）。释放后它沿切线飞出，0.25 s 后距圆心 1.0 m，只是因为直线会远离圆。
• 向心力不是额外的力：在桌面上，它就是张力本身，即 1.44 N，而不是张力再加上另一个 1.44 N。
• 速度加倍，力并不加倍：$F\propto v^2$，所以速率为 4.8 m/s 时，张力从 1.44 N 增至 5.76 N。
• 要用弧度每秒：3.0 rad/s 约等于每分钟 28.6 圈，若把 28.6 代入 $v=\omega r$，会得到 22.9 m/s 而不是 2.4 m/s。

你会在哪里遇到它

道路弯道、骑车人侧身过弯、倾斜弯道的自行车赛场：每一次都是真实的力提供 $m{v}^2/r$。洗衣机以 1200 rpm 转动、滚筒半径为 0.25 m 时，衣物获得约 3950 m/s² 的加速度，约为 $g$ 的 400 倍；滚筒壁推着衣物转动，而水则沿切线方向从孔中甩出。实验室离心机以 10,000 rpm 转动、臂长 10 cm 时，可达约 11,000 倍的 $g$。

对卫星而言，向心力就是引力：国际空间站绕地球下落，加速度约为 8.6 m/s²。这些概念通向：《万有引力与轨道》；《转动动力学与力矩》，其中转动刚体上每一点都沿圆周运动；《简谐运动》，即侧看时的圆周运动；以及《运动电荷受到的磁场力》，其中磁场使带电粒子沿圆周运动。

高级

位置、速度与加速度的矢量表示

本节通过对位置矢量求导，推导出圆周运动的两个核心结论：速度沿切线方向，加速度指向圆心，大小为 $v^2/r$。用矢量方法可以一次性得到大小和方向。全文数值都取自动画：一个质量 0.2 kg 的小球放在光滑桌面上，由长 $r=0.8\mathrm{m}$ 的绳子拉着，以角速度 $\omega =3.0rad/s$ 转动，因此其速率 $v=\omega r=2.4m/s$，加速度 $a=7.2m/{\mathrm{s}}^2$，绳子的拉力为 1.44 N。

图例

$\vec{r}$	位置矢量：从圆心指向物体；其长度为半径 $r$。	$\mathrm{m}$
$\vec{v}$	速度：沿切线方向，即运动方向；大小为 $v=\omega r$。	$m/s$
$\vec{a}$	加速度：与 $\vec{r}$ 方向相反，指向圆心；大小为 ${\omega }^{2}r=v^2/r$。	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\theta$	半径从 $x$ 轴转过的角度：$\theta =\omega t$。	$\mathrm{rad}$
$x$	水平轴；物体起始位于其正半轴一侧。	$\mathrm{m}$
$y$	竖直轴。	$\mathrm{m}$

图 1 定格了某一瞬间的运动。圆心在原点；物体从正 $x$ 轴出发，以恒定的 $\omega$ 逆时针转动，因此经过时间 $t$ 后，半径转过角度 $\theta =\omega t$，并在圆心处标出。位置矢量 $\vec{r}$ 从圆心指向物体，其长度始终为 $r$，它的分量就是它在两条坐标轴上的投影：
$\vec{r}(t)=r(\cos \omega t,\sin \omega t)$
速度 $\vec{v}$ 和加速度 $\vec{a}$ 属于物体，所以从物体处画出。请注意两点：$\vec{v}$ 与半径虚线延长线之间的小方块，以及 $\vec{a}$，它与 $\vec{r}$ 位于同一直线上但方向相反。（$\vec{a}$ 画在 $\vec{r}$ 旁边，只是为了让两个箭头分开。）

要求 $\vec{v}$，就对每个分量关于时间求导。由链式法则，$\cos \omega t$ 的导数是 $-\omega \sin \omega t$，$\sin \omega t$ 的导数是 $\omega \cos \omega t$，因此
$\vec{v}=r\omega (-\sin \omega t,\cos \omega t)$
再以同样方式求一次导数，
$\vec{a}=-{\omega }^{2}r(\cos \omega t,\sin \omega t)=-{\omega }^2\vec{r}$

现在读取结果。$\vec{v}$ 中的括号，是 $\vec{r}$ 中的括号逆时针转过四分之一圈的结果，其长度为 1。所以 $\vec{v}$ 与半径垂直，即图 1 中标出的直角：速度沿切线方向，大小为 $\omega r$。加速度就是位置矢量反向并乘以 ${\omega }^2$，因此它恰好指向圆心，大小为 ${\omega }^{2}r=v^2/r$，对小球而言是 7.2 m/s²。

不用坐标的同一结论

上面的推导假设转动速率不变。一个较简短的论证只用到“距圆心的距离不变”这一事实，因此它也适用于在圆周上加速或减速的物体。

$\vec{r}$ 的长度固定，所以 $\vec{r}\cdot \vec{r}=r^2$ 为常数。用乘积法则求导：$2\vec{r}\cdot \vec{v}=0$，所以对任何圆周运动，速度都与半径垂直。再对 $\vec{r}\cdot \vec{v}=0$ 求导：$\vec{v}\cdot \vec{v}+\vec{r}\cdot \vec{a}=0$，即 $\vec{r}\cdot \vec{a}=-v^2$。除以 $r$，得到 $\vec{a}$ 沿向外半径方向的分量 $-v^2/r$。因此，对任何圆周运动（无论是否匀速），加速度的向内分量都是 $v^2/r$。

若速率也恒定，对 $\vec{v}\cdot \vec{v}=v^2$ 使用同样的技巧，得到 $\vec{v}\cdot \vec{a}=0$。那么加速度在切线方向上没有分量，只剩向内的部分。

速度自身的圆：速端图

速度本身也画出一个圆，这是理解 $a=v^2/r$ 最直接的图像：加速度之于速度，正如速度之于位置。

把图 1 中许多时刻的 $\vec{v}$ 箭头都平移到同一原点，这种图称为速端图（hodograph）。每个箭头长度都是 $v$，并且各自都比其所在时刻的 $\vec{r}$ 超前四分之一圈，因此这些箭头与半径以相同的角速度 $\omega$ 转动。它们的末端因而沿半径为 $v$ 的圆、以角速度 $\omega$ 运动。

现在把我们对第一个圆所知道的结论应用到这个圆上。$\vec{r}$ 的末端以速率 $\omega r$ 运动，这个速率就是 $\vec{v}$ 的大小。同理，$\vec{v}$ 的末端以速率 $\omega v$ 运动，这个速率就是 $\vec{a}$ 的大小，因为加速度就是速度的变化率。所以 $a=\omega v=v^2/r$。$\vec{v}$ 的末端沿速端图的切线方向运动，比 $\vec{v}$ 超前四分之一圈。既然 $\vec{v}$ 已比 $\vec{r}$ 超前四分之一圈，那么 $\vec{a}$ 与 $\vec{r}$ 相差半圈：它指向圆心。位置、速度和加速度是三个箭头，长度分别为 $r$、$\omega r$ 和 ${\omega }^{2}r$，每一个都比前一个超前四分之一圈，因为每一个都是前一个的变化率。

绕圆下落

牛顿用另一种方式看待同样的加速度：沿圆周运动的物体一直在朝圆心下落，但它永远到不了圆心，因为它同时还在横向运动。这一观点把圆周运动与自由落体联系起来，并导致了万有引力定律的首次检验。

图例

$r$	圆的半径：即绳长。	$\mathrm{m}$
$\omega t$	半径在时间 $t$ 内转过的角度。	$\mathrm{rad}$
$vt$	若没有绳子，物体在时间 $t$ 内沿切线方向走过的距离。	$\mathrm{m}$
$h$	从该自由位置到圆周上实际位置之间的间隙：即物体朝圆心下落的距离。	$\mathrm{m}$

图 2 从圆周最高点出发，跟踪物体经过时间 $t$ 的运动。它从小圆点处出发，速度沿切线方向，此处指向左侧。若没有外力，它会沿直线运动，经过距离 $vt$ 后到达浅色小球处。绳子则使它保持在圆周上：半径 $r$ 转过角度 $\omega t$，物体走过长度相同的弧 $r\omega t=vt$，最终到达实心小球处。箭头 $h$ 从物体若不受约束应在的位置指向它实际的位置：这就是它下落的距离。（图中的时间画得较长，以便看清形状；下面的结果针对短时间。）

$h$ 有多长？顶部的切线距圆心为 $r$，而物体的实际位置在圆心之上 $r\cos \omega t$ 处，因此物体低于切线的距离为 $r(1-\cos \omega t)$。对于短时间，自由位置几乎正好位于实际位置的正上方，所以 $h$ 几乎就等于这个下落距离，且几乎竖直朝下，指向圆心。对于小角度 $x$，$\cos x\approx 1-x^2/2$，再利用 $r\omega t=vt$，
$h\approx r(1-\cos \omega t)\approx \frac{r(\omega t{)}^2}{2}=\frac{(vt{)}^2}{2r}$
比较从静止开始的自由落体 $h=\frac{1}{2}a{t}^2$。若 $a=v^2/r$，两者相符：物体朝圆心的下落，恰与加速度为该值的落体一样，而其横向运动使它永远无法更接近圆心。

对小球而言，在 0.1 s 内它沿切线会走 $vt=0.24\mathrm{m}$，而半径转过 0.3 rad。此时圆周位于切线以下 $0.8(1-\cos 0.3)\approx 0.0357\mathrm{m}$，即 3.57 cm，而近似公式给出 $\frac{1}{2}\cdot 7.2\cdot 0.1^2=0.036\mathrm{m}$。

牛顿用这一图像检验了他的万有引力定律在月球上是否成立。月球的轨道半径 $R\approx 3.84\times 10^8\mathrm{m}$，约为地球半径的 60.3 倍，周期 $T$ 为 27.3 天。由 $v=2\pi R/T$，月球朝地球下落的加速度为
$a=\frac{v^2}{R}=\frac{4{\pi }^{2}R}{T^2}\approx 2.72\times 10^{-3}m/{\mathrm{s}}^2$
若引力随距离平方反比减弱，那么在 60.3 个地球半径处，它应给出 $g/60.3^2\approx 2.70\times 10^{-3}m/{\mathrm{s}}^2$。两者在 1% 以内一致：让苹果落地的那种引力，同样让月球绕地球不断下落。

坐标轴上的投影：简谐运动

从侧面看，圆周运动变成了振动。这种联系解释了为什么圆的数学贯穿物理学的许多领域，从弹簧到交流电。

取 $\vec{a}=-{\omega }^2\vec{r}$ 的 $x$ 分量，得 $\ddot{x}=-{\omega }^{2}x$，其中每个点号表示对时间求一次导数。这正是劲度系数为 $k$ 的弹簧上质量为 $m$ 的物体的方程 $m\ddot{x}=-kx$，且 $k/m={\omega }^2$；$y$ 分量给出同样的方程。因此，匀速圆周运动在任一直线上的投影都是简谐运动，角速度同为 $\omega$，振幅等于半径。

动画的高级层展示了这一点。坐标轴上的紫色点就是投影：它们在 $-0.8$ 与 $+0.8\mathrm{m}$ 之间滑动，周期为 $2\pi /\omega =2.09\mathrm{s}$。它们在经过中央时最快，速率为 2.4 m/s，此时小球的运动平行于坐标轴；在两端时，它们短暂停止，此时加速度达到峰值 7.2 m/s²。$x(t)$ 和 $y(t)$ 图像分别是余弦和正弦，相差四分之一周期（0.52 s）。

复数可以用一行说明同样的事情。把位置写成 $z=x+iy=r{e}^{i\omega t}$。则 $\dot{z}=i\omega z$，乘以 $i$ 使复数逆时针转过四分之一圈：速度与半径垂直。再次求导得到 $\ddot{z}=(i\omega {)}^{2}z=-{\omega }^{2}z$，即向心加速度。实部 $x=r\cos \omega t$ 就是振动。振动就是侧看的转动，这正是 $e^{i\omega t}$ 成为描述振动、波和交流电的自然语言的原因。

释放展示了当向内的拉力消失时会发生什么。释放发生在 $\omega t=7\pi /2$ 时，此时小球位于 $(0,-r)$，速度为 $(+v,0)$；此后 $\vec{a}=0$。$x(t)$ 图像离开余弦曲线，沿其切线方向延伸，斜率为 2.4 m/s，并在释放 0.5 s 后到达图像边缘的 1.2 m，即 $1.5r$。$y(t)$ 图像保持在 $-0.8\mathrm{m}$，因为正弦在此处处于最小值，斜率为零。这就是用两幅图画出的牛顿第一定律。

随物体转动的单位矢量

到目前为止速率都是恒定的。当物体在圆周上加速，或沿任意曲线运动时，加速度会获得沿路径方向的分量。找出每个分量最简洁的方法，是使用随物体一起转动的单位矢量。

对于平面内的任意运动，用物体到原点的距离 $r$ 与角度 $\theta$ 描述它，二者现在都可以随时间变化。在物体处定义两个单位矢量：$\hat{r}$，沿半径方向向外；$\hat{\theta }$，比它超前四分之一圈，指向 $\theta$ 增大的方向（逆时针）。于是 $\vec{r}=r\hat{r}$。

用分量表示，$\hat{r}=(\cos \theta ,\sin \theta )$，$\hat{\theta }=(-\sin \theta ,\cos \theta )$。如同第一节，用链式法则求导，
$\frac{d\hat{r}}{dt}=\dot{\theta }\hat{\theta },\frac{d\hat{\theta }}{dt}=-\dot{\theta }\hat{r}$
用文字说：角度增大时，$\hat{r}$ 向 $\hat{\theta }$ 倾斜，而 $\hat{\theta }$ 向圆心倾斜。

对 $\vec{r}=r\hat{r}$ 用乘积法则求导。第一项是向外的运动，第二项是绕行的运动：
$\vec{v}=\dot{r}\hat{r}+r\dot{\theta }\hat{\theta }$
再逐项求导，使用上面的两个法则：
$\vec{a}=\ddot{r}\hat{r}+\dot{r}\dot{\theta }\hat{\theta }+\dot{r}\dot{\theta }\hat{\theta }+r\ddot{\theta }\hat{\theta }-r{\dot{\theta }}^2\hat{r}$
把沿 $\hat{r}$ 的部分和沿 $\hat{\theta }$ 的部分分别合并：
$\vec{a}=(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)\hat{r}+(r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta })\hat{\theta }$

在圆周上 $r$ 固定，所以 $\dot{r}=\ddot{r}=0$。剩下的是向内的部分 $-r{\dot{\theta }}^2\hat{r}$，大小为 $r{\dot{\theta }}^2=v^2/r$，以及切向部分 $r\ddot{\theta }\hat{\theta }$。记角加速度为 $\alpha =\ddot{\theta }$。则切向部分的大小为 $r\alpha$；又因 $v=r\dot{\theta }$，它等于 $dv/dt$，即速率变化的快慢。

沿圆周加速

当速率改变时，加速度不再指向圆心。本节说明它倾斜了多少，以及这对绳子意味着什么。

图例

$\hat{r}$	沿半径方向的单位矢量，背离圆心。
$\hat{\theta }$	沿切线方向的单位矢量，沿 $\theta$ 增大的方向（逆时针）。
$a_c$	加速度的向内（向心）分量，沿 $-\hat{r}$；其大小为 $r{\dot{\theta }}^2=v^2/r$。	$m/{\mathrm{s}}^2$
$a_t$	加速度的切向分量，速率增加时沿 $\hat{\theta }$；其大小为 $r\alpha =dv/dt$。	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\vec{a}$	总加速度：两个分量的矢量和。	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\beta$	$\vec{a}$ 与指向圆心的直线之间的夹角；$\tan \beta =a_t/a_c$。	$\mathrm{rad}$

图 3 在某一瞬间展示了圆周情形，物体位于圆心右侧。单位矢量 $\hat{r}$ 和 $\hat{\theta }$ 画在物体处，两者互相垂直。加速度有一个向内的分量，大小为 $a_c=r{\dot{\theta }}^2=v^2/r$，沿 $-\hat{r}$；还有一个切向分量，大小为 $a_t=r\alpha$，因为物体在加速，所以沿 $\hat{\theta }$（若物体减速，则沿 $-\hat{\theta }$）。首尾相接时，两个分量相加得到总加速度 $\vec{a}$，即从物体出发的长箭头。因此 $\vec{a}$ 比指向圆心的直线超前了角度 $\beta$，直角三角形给出
$\tan \beta =a_t/a_c,a=\sqrt{a_c^2+a_t^2}$
切向箭头画得比下面例子中的长得多，以便看清倾斜。

让小球从静止开始，在 2.0 s 内以恒定的 $\alpha =1.5rad/{\mathrm{s}}^2$ 加速到 3.0 rad/s。切向分量始终为 $a_t=r\alpha =0.8\cdot 1.5=1.2m/{\mathrm{s}}^2$，而向内分量随 ${\omega }^2$ 增大，在结束时达到 7.2 m/s²。此时总加速度为 $\sqrt{7.2^2+1.2^2}\approx 7.30m/{\mathrm{s}}^2$，向前倾斜 9.5°，因为 $\tan \beta =1.2/7.2$。在光滑桌面上，绳子是唯一的水平力，而绳子只能沿自身方向拉，所以它必须向前倾斜同样的角度：手领着小球转动。

径向力与弯曲路径

一般公式还有两个用途。它解释了为什么行星扫过相等的面积，并给出了任意弯曲路径上的加速度。

当距离在转动过程中变化时，项 $2\dot{r}\dot{\theta }$ 就起作用了。如果力纯粹是径向的，例如太阳对行星的引力，那么加速度的 $\hat{\theta }$ 分量必须为零。这一分量其实是一个导数（展开右边即可验证）：
$r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta }=\frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\theta })=0$
因此 $r^2\dot{\theta }$ 保持不变。乘以质量后，它就是角动量，因而是守恒的。它的一半 $\frac{1}{2}{r}^2\dot{\theta }$，是太阳到行星的连线扫过面积的速率，所以同一结论就是开普勒的面积定律。

最后，任何光滑路径在每个点附近都近似为一个圆；与之最贴合的圆的半径就是曲率半径 $\rho$。于是加速度中垂直于路径的部分是 $v^2/\rho$，沿路径的部分是 $dv/dt$。在抛体轨迹的最高点，物体以 10 m/s 水平运动，重力是唯一的力，且垂直于路径方向，因此 $g=v^2/\rho$，$\rho =v^2/g\approx 10.2\mathrm{m}$。

例题：头顶甩动的小球

现在把小球从桌面上拿起来。把绳子举过头顶，使同一个 0.2 kg 的小球以动画中的 3.0 rad/s，在半径 0.8 m 的水平圆周上甩动。绳子扫出一个圆锥面。小球的圆周在手下方多远？绳子有多长？绳子的张力 $F_s$ 是多少？

图例

$\phi$	绳子与竖直方向的夹角。	$\mathrm{rad}$
$h$	小球所在圆周在手下方的深度。	$\mathrm{m}$
$r$	小球水平圆周的半径。	$\mathrm{m}$
$L$	绳子的长度。	$\mathrm{m}$
$F_s$	张力：绳子对小球的拉力，沿绳子指向手。	$\mathrm{N}$
$F_s\cos \phi$	张力的竖直分量，与重力平衡。	$\mathrm{N}$
$F_s\sin \phi$	张力的水平分量，指向轴线：即向心力 $m{\omega }^{2}r$。	$\mathrm{N}$
$mg$	小球的重力，竖直向下。	$\mathrm{N}$

图 4 左侧是从侧面看的圆锥，右侧是小球上的受力。左侧，长为 $L$ 的绳子与经过手部的竖直轴成角 $\phi$。小球以距离 $r$ 绕该轴转动，位于手下方距离 $h$ 的水平面上。（这里的 $h$ 是新的长度，不同于图 2 中的下落距离。）

右侧，只有两个力作用在小球上：竖直向下的重力 $mg$，以及沿绳子指向手的张力 $F_s$。把张力分解为竖直分量 $F_s\cos \phi$ 和水平分量 $F_s\sin \phi$；绳子与竖直方向的夹角仍为 $\phi$。小球既不上升也不下降，所以竖直分量与重力平衡，图中这两个箭头长度相同。水平分量指向轴线，是唯一不平衡的力，因此它就是向心力：
$F_s\cos \phi =mg,F_s\sin \phi =m{\omega }^{2}r$

用第二个方程除以第一个，消去 $F_s$ 与 $m$：
$\tan \phi =\frac{{\omega }^{2}r}{g}=\frac{7.2}{9.81}\approx 0.734$
所以绳子与竖直方向成 36.3° 角。左侧的三角形，边长为 $r$、$h$ 和 $L$，在手处的角也是 $\phi$，因此 $\tan \phi =r/h$。令两个 $\tan \phi$ 的表达式相等，得
$h=\frac{r}{\tan \phi }=\frac{g}{{\omega }^2}=\frac{9.81}{9}\approx 1.09\mathrm{m}$
它只取决于 $\omega$，与质量或半径无关。由勾股定理，绳长为 $L=\sqrt{0.8^2+1.09^2}\approx 1.35\mathrm{m}$。至于张力，把 $\sin \phi =r/L$ 代入水平方程：$F_{s}r/L=m{\omega }^{2}r$，所以 $F_s=m{\omega }^{2}L\approx 0.2\cdot 9\cdot 1.35\approx 2.43\mathrm{N}$。这是重量 1.96 N 的 1.24 倍。它的水平分量仍是桌面情形中的 1.44 N，因为小球仍需要 $m{\omega }^{2}r$ 才能留在圆周上。

三个结论最让人意外。第一，$h=g/{\omega }^2$ 只有当 $\omega$ 无限增大时才趋于零，因此绳子永远不会恰好水平：张力的一部分必须始终托住重量。第二，$h$ 不能超过绳长，所以形成圆锥需要 $g/{\omega }^2<L$：对这根绳子而言，低于 $\omega =\sqrt{g/L}\approx 2.69rad/s$ 时，根本不会形成圆锥，小球只会下垂。第三，在竖直圆周上，绳子只能拉。在最高点，重力与绳子的拉力都指向圆心，因此张力为 $m(v^2/r-g)$，且不能为负：小球只有在 $v^2/r\ge g$，即 $v\ge \sqrt{gr}\approx 2.80m/s$ 时才能留在圆周上。若小球以动画中的 2.4 m/s 经过最高点，绳子就会松弛。

旋转参考系与惯性力

到目前为止，所有分析都是在桌面上观察，即在惯性参考系中。随绳子一起转动的观察者会以另一种方式描述同样的运动；而我们脚下的地面正是这样一个旋转参考系，这对天气很重要。

在随绳子转动的参考系中，小球是静止的，但绳子仍以 1.44 N 将它向内拉。只有加上惯性力，牛顿第二定律才能继续成立：惯性力来自参考系的加速度，而不是来自任何其他物体。第一个是离心力 $m{\omega }^{2}r$，指向外侧，这里恰好为 1.44 N，与绳子的拉力平衡。第二个只作用于在旋转参考系中运动的物体，其在该参考系中的速度为 $\vec{v}$：科里奥利力 $-2m\vec{\omega }\times \vec{v}$，与该速度垂直，其中 $\vec{\omega }$ 是参考系的角速度，沿转轴方向。释放之后，转动的观察者看到小球向外漂移，并在 0.5 s 后落后于绳子约 30°；而从桌面看，它只是沿直线运动。

两种惯性力都正比于质量，就像重力一样，因此它们给所有物体相同的加速度。爱因斯坦把这种巧合作为广义相对论的出发点：在足够小的区域内，任何实验都无法区分加速参考系与引力。地面本身就是一个旋转参考系，以地球的角速度 ${\omega }_E$ 转动。在赤道处、地球半径 $R_E$ 处，离心项为 ${\omega }_E^2{R}_E\approx 0.034m/{\mathrm{s}}^2$，即 $g$ 的 0.35%。在纬度 45° 处，对于 20 m/s 的风，科里奥利加速度仅约 0.002 m/s²，但持续作用数小时后，它能把大型风暴转成气旋。

适用范围

这里的全部分析都把物体视为质点，把绳子视为无质量且不可伸长。真实的绳子会随张力增大而略有伸长，因此 $r$ 会略微依赖于 $\omega$。参考系必须是惯性系，但在这一尺度上，地球自转是无害的：它对速率 2.4 m/s 的小球的科里奥利效应至多为 $2{\omega }_{E}v\approx 3.5\times 10^{-4}m/{\mathrm{s}}^2$，比绳子提供的 7.2 m/s² 小约 20,000 倍。

接近光速 $c$ 时，动量为 $\gamma mv$，其中 $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ 随 $v$ 趋近于 $c$ 而无限增大。与 $\vec{v}$ 垂直的力只改变运动方向，不改变速率，因此 $\gamma$ 保持不变，形成圆周所需的力变为 $\gamma m{v}^2/r$。在磁场 $B$ 中，电荷 $q$ 的圆周运动角频率为 $\omega =qB/(\gamma m)$，而不是 $qB/m$。慢速质子在 1.0 T 的磁场中，每秒绕行约 1520 万次；当其动能为 10 MeV 时，$\gamma \approx 1.011$，频率降低约 1%，这足以使它与回旋加速器固定频率的电压失步。

在原子尺度上，经典轨道失效。加速运动的电荷会辐射，因此绕质子运动的电子会损失能量，并在约 $10^{-11}\mathrm{s}$ 内螺旋落入原子核；稳定的原子需要量子力学。

延伸阅读

当引力提供向心力时，$GMm/r^2=m{v}^2/r$ 给出轨道速率和开普勒第三定律，这是《万有引力与轨道》的内容；国际空间站高约 420 km，需要 7.66 km/s 的速率，约 93 分钟绕地球一周。刚体可以看作许多共享同一 $\omega$ 的点，每一点都有 $v=\omega r$ 和 $a_t=r\alpha$，这正是《转动动力学与力矩》的起点；常数 $r^2\dot{\theta }$ 则发展为《角动量及其守恒》。投影的图景在《简谐运动》中继续。在《运动电荷受到的磁场力》中，$qvB=m{v}^2/r$ 给出半径 $r=mv/(qB)$，用于质谱仪和回旋加速器；《原子模型：玻尔原子》说明量子规则如何挽救绕核运行的电子；惯性力与引力的等价性则在《引力即时空弯曲》中再次出现。