Movimento circular

Iniciante

Gire uma bola em um barbante, pedale numa curva ou observe a Lua girando em torno da Terra: todos esses movimentos seguem uma curva. Vamos construir a ideia em quatro pequenos passos.

Passo 1. Velocidade significa rapidez e direção juntas. Uma bola que gira com rapidez constante muda de direção a cada instante, então sua velocidade está sempre mudando, e qualquer mudança de velocidade é uma aceleração. Uma rapidez constante em um círculo ainda significa aceleração.

Passo 2. Uma aceleração precisa de uma força resultante. Em um círculo, essa força aponta sempre para o centro, e é chamada de força centrípeta, ou força que busca o centro. Não é um tipo novo de força, mas um papel que alguma força real desempenha: para a bola, é o barbante puxando em direção à sua mão; para um carro na curva, é a aderência da estrada nos pneus; para a Lua, é a gravidade da Terra.

Passo 3. Solte o barbante e o puxão desaparece. Nada mais curva a trajetória, então a bola segue na direção que tinha naquele instante: em linha reta ao longo da tangente, a reta que apenas toca o círculo. Na animação, os pontos cinza depois da soltura ficam igualmente espaçados nessa reta. A bola não é lançada diretamente para fora; o puxão para fora que você sente na mão é a bola puxando o barbante.

Passo 4. Ir mais rápido, ou em um círculo menor, exige um puxão para dentro mais forte. É por isso que os motoristas reduzem antes de curvas fechadas.

Teste você mesmo: um satélite gira em torno da Terra com velocidade constante. Há uma força atuando sobre ele, e para que lado ela aponta? (Sim: a gravidade, apontando para o centro da Terra.)

Intermediário

O que medimos em um círculo

Coloque a origem no centro. O corpo permanece à distância $r$ dele, o raio, então um único ângulo $\theta$, medido no sentido anti-horário a partir de uma linha de referência, indica onde ele está. Os ângulos são medidos em radianos: um ângulo $\theta$ delimita um arco $s=r\theta$, então uma volta completa é $2\pi \approx 6,28\mathrm{rad}$.

A velocidade angular $\omega =\Delta \theta /\Delta t$, em rad/s, indica quão rápido o ângulo cresce, e a velocidade $v$, quão rápido o corpo percorre o arco. Como o arco é $r$ vezes o ângulo,
$v=\omega r$
então todos os pontos de uma roda girando compartilham um mesmo $\omega$, mas um ponto duas vezes mais afastado se move duas vezes mais rápido.

Uma volta leva o período $T$; a frequência $f=1/T$, em hertz (Hz), conta as voltas por segundo. Uma volta é o arco $2\pi r$, ou o ângulo $2\pi$, então
$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi }{\omega }$

Girar com velocidade constante é acelerar

A velocidade é um vetor: um módulo, a rapidez, e uma direção, que em um círculo é sempre ao longo da tangente. Essa direção gira o tempo todo, então a velocidade muda mesmo com rapidez constante, e qualquer mudança de velocidade é uma aceleração.

Desenhe a velocidade em dois instantes separados por $\Delta t$, com as origens juntas. Ambas as setas têm comprimento $v$, e a segunda girou o ângulo $\omega \Delta t$, como o raio. A pequena seta que une suas pontas é a variação $\Delta v$, de comprimento cerca de $v\omega \Delta t$; à medida que $\Delta t$ diminui, ela aponta em ângulo reto com a velocidade, para o centro. Dividindo por $\Delta t$ obtemos $a=v\omega$, e com $\omega =v/r$:
$a=\frac{v^2}{r}={\omega }^{2}r$

Essa aceleração centrípeta, ou que busca o centro, contém $v$ duas vezes: um corpo mais rápido gira sua velocidade mais depressa, e a velocidade que ele gira é maior.

Quem fornece a força para dentro

Pela segunda lei de Newton, um corpo de massa $m$ girando com rapidez constante permanece no círculo somente se a força resultante sobre ele apontar para o centro com módulo
$F=\frac{m{v}^2}{r}$
Essa força centrípeta não é um tipo novo de força, mas uma função desempenhada por uma força real: a tração do barbante para uma bola girada, o atrito da estrada para um carro em uma curva plana, a gravidade para a Lua, o empurrão da parede do tambor para as roupas no ciclo de centrifugação.

Então desenhe no diagrama de corpo livre somente forças reais, some suas componentes em direção ao centro e iguale a soma a $m{v}^2/r$; nunca desenhe uma seta centrípeta extra. Qual forma de $a$ usar depende do que está fixo: com a mesma rapidez, um círculo mais fechado precisa de mais força, $a\propto 1/r$, enquanto em um prato giratório, onde $\omega$ é compartilhado, os pontos externos precisam de mais, $a\propto r$.

Exemplo resolvido: a bola da animação

Visto de cima, uma bola de massa 0,2 kg desliza sobre uma mesa horizontal lisa, presa por um barbante de comprimento $r=0,8\mathrm{m}$ a uma mão no centro, e gira com $\omega =3,0rad/s$. A mesa sustenta o peso, então somente o barbante a puxa lateralmente:
$v=\omega r=3,0\cdot 0,8=2,4m/s$
$a=\frac{v^2}{r}=\frac{2,4^2}{0,8}=\frac{5,76}{0,8}=7,2m/{\mathrm{s}}^2$
$F=ma=0,2\cdot 7,2=1,44\mathrm{N}$

Esses são os indicadores, $v=2,4m/s$, $\omega =3,0rad/s$ e $a=7,2m/{\mathrm{s}}^2$; a outra forma concorda, ${\omega }^{2}r=9\cdot 0,8=7,2m/{\mathrm{s}}^2$. Uma volta leva $T=2\pi /3,0\approx 2,09\mathrm{s}$, então as 1,75 voltas antes da soltura duram cerca de 3,67 s.

Girada acima da cabeça no mesmo círculo, com a mesma rapidez, a bola também precisa ser sustentada: o barbante fica inclinado para baixo e sua tração sobe para cerca de 2,4 N, mas somente a parte horizontal dele, ainda 1,44 N, curva a trajetória.

Exemplo resolvido: um carro em uma curva plana

Um carro de 1200 kg faz uma curva plana de raio 50 m a 15 m/s (54 km/h). Ele precisa de
$a=\frac{v^2}{r}=\frac{15^2}{50}=4,5m/{\mathrm{s}}^2,F=ma=1200\cdot 4,5=5400\mathrm{N}$
e somente o atrito dos pneus pode fornecê-la. No asfalto seco, o coeficiente de atrito é cerca de $\mu =0,7$, então a estrada pode dar até $\mu mg=0,7\cdot 1200\cdot 9,81\approx 8240\mathrm{N}$: o carro segura a curva. No limite $m{v}^2/r=\mu mg$, a massa se cancela e $v_{\max }=\sqrt{\mu gr}=\sqrt{0,7\cdot 9,81\cdot 50}\approx 18,5m/s$, cerca de 67 km/h.

Em uma estrada molhada, $\mu \approx 0,4$ permite apenas cerca de 4710 N, menos que os 5400 N necessários. O carro abre a curva e sai para fora da pista porque segue em uma linha mais reta do que a estrada, não porque algo o empurra para fora. Sua velocidade segura cai para $\sqrt{0,4\cdot 9,81\cdot 50}\approx 14m/s$, cerca de 50 km/h. A 30 m/s, ele precisaria de quatro vezes a força, 21.600 N, mais do que até uma estrada seca consegue dar.

Lendo as setas da animação

A seta azul $v$ fica ao longo da tangente, com comprimento fixo, e gira 3,0 rad (cerca de 172°) a cada segundo. A seta vermelha $a$ aponta ao longo do barbante, marcado com $r$, até a mão. As duas permanecem em ângulo reto, então o puxão muda a direção do movimento, mas nunca a rapidez.

Como a seta $a$ gira junto com a bola, $a$ não é um vetor constante, e as equações de aceleração constante do movimento retilíneo não se aplicam. Em meia volta a velocidade se inverte, de $+2,4$ para $-2,4m/s$, em $T/2\approx 1,05\mathrm{s}$: a aceleração média é apenas $4,8/1,05\approx 4,6m/{\mathrm{s}}^2$, já que $a$ continua mudando de direção, e em uma volta completa ela é zero.

Na soltura, no fundo da figura, a seta vermelha desaparece e o indicador de $a$ cai a zero; a seta azul mantém comprimento e direção, e a bola segue ao longo da tangente tracejada a 2,4 m/s constantes.

Erros comuns

• Rapidez constante não é aceleração zero: a bola mantém 2,4 m/s e, mesmo assim, acelera a 7,2 m/s², porque sua direção muda.
• Nenhuma força atua para fora sobre a bola; o puxão na sua mão é a bola puxando o barbante (terceira lei de Newton). Solta, ela sai ao longo da tangente, e está a 1,0 m do centro após 0,25 s apenas porque uma reta se afasta do círculo.
• A força centrípeta não é uma força extra: na mesa, ela é a própria tração, 1,44 N, e não a tração mais outros 1,44 N.
• Dobrar a rapidez não dobra a força: $F\propto v^2$, então a 4,8 m/s a tração sobe de 1,44 N para 5,76 N.
• Use radianos por segundo: 3,0 rad/s equivalem a cerca de 28,6 voltas por minuto, e colocar 28,6 em $v=\omega r$ dá 22,9 m/s em vez de 2,4 m/s.

Onde você encontra isso

Curvas de estrada, ciclistas inclinados nas curvas, velódromos inclinados: em cada caso uma força real fornece $m{v}^2/r$. Uma máquina de lavar a 1200 rpm, com um tambor de raio 0,25 m, dá às roupas cerca de 3950 m/s², algo como 400 vezes $g$; o tambor empurra a roupa em círculo, mas a água escapa pelos furos ao longo da tangente. Uma centrífuga de laboratório a 10.000 rpm, com um braço de 10 cm, atinge cerca de 11.000 vezes $g$.

Para satélites, a força centrípeta é a gravidade: a Estação Espacial Internacional cai em torno da Terra a cerca de 8,6 m/s². Essas ideias levam à Gravitação e Órbitas; à Dinâmica Rotacional e Torque, em que cada ponto de um corpo girando se move em um círculo; ao Movimento Harmônico Simples, o movimento circular visto de lado; e à Força Magnética sobre Cargas em Movimento, em que campos magnéticos curvam partículas carregadas em círculos.

Avançado

Posição, velocidade e aceleração como vetores

Esta seção deduz os dois fatos centrais do movimento circular derivando o vetor posição: a velocidade segue ao longo da tangente, e a aceleração aponta para o centro com módulo $v^2/r$. Trabalhar com vetores fornece módulos e direções de uma só vez. Os números ao longo do texto vêm da animação: uma bola de 0,2 kg sobre uma mesa lisa, presa por um barbante de comprimento $r=0,8\mathrm{m}$ e girando com a velocidade angular $\omega =3,0rad/s$, de modo que sua rapidez é $v=\omega r=2,4m/s$, sua aceleração $a=7,2m/{\mathrm{s}}^2$, e o barbante puxa com 1,44 N.

Legenda

$\vec{r}$	Vetor posição: do centro até o corpo; seu comprimento é o raio $r$.	$\mathrm{m}$
$\vec{v}$	Velocidade: ao longo da tangente, na direção do movimento; seu módulo é $v=\omega r$.	$m/s$
$\vec{a}$	Aceleração: oposta a $\vec{r}$, em direção ao centro; seu módulo é ${\omega }^{2}r=v^2/r$.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\theta$	Ângulo que o raio girou a partir do eixo $x$: $\theta =\omega t$.	$\mathrm{rad}$
$x$	Eixo horizontal; o corpo começa no seu lado positivo.	$\mathrm{m}$
$y$	Eixo vertical.	$\mathrm{m}$

A Figura 1 congela o movimento em um instante. O centro está na origem; o corpo começou sobre o eixo $x$ positivo e gira no sentido anti-horário com $\omega$ constante, então, após um tempo $t$, o raio girou o ângulo $\theta =\omega t$, marcado no centro. O vetor posição $\vec{r}$ vai do centro até o corpo. Seu comprimento é sempre $r$, e suas componentes são as sombras dele nos dois eixos:
$\vec{r}(t)=r(\cos \omega t,\sin \omega t)$
A velocidade $\vec{v}$ e a aceleração $\vec{a}$ pertencem ao corpo, por isso são desenhadas a partir dele. Observe duas coisas: o pequeno quadrado entre $\vec{v}$ e o prolongamento tracejado do raio, e $\vec{a}$, que está na mesma reta que $\vec{r}$, mas aponta no sentido contrário. ($\vec{a}$ é desenhado ao lado de $\vec{r}$ apenas para manter as duas setas separadas.)

Para encontrar $\vec{v}$, derive cada componente em relação ao tempo. Pela regra da cadeia, a derivada de $\cos \omega t$ é $-\omega \sin \omega t$ e a de $\sin \omega t$ é $\omega \cos \omega t$, logo
$\vec{v}=r\omega (-\sin \omega t,\cos \omega t)$
Derivando mais uma vez, do mesmo modo,
$\vec{a}=-{\omega }^{2}r(\cos \omega t,\sin \omega t)=-{\omega }^2\vec{r}$

Agora leia os resultados. O termo entre parênteses em $\vec{v}$ é o de $\vec{r}$ girado um quarto de volta no sentido anti-horário, e tem comprimento 1. Logo, $\vec{v}$ é perpendicular ao raio, que é o ângulo reto marcado na Figura 1: a velocidade está ao longo da tangente, com módulo $\omega r$. A aceleração é o vetor posição invertido e multiplicado por ${\omega }^2$. Ela aponta, portanto, exatamente para o centro, com módulo ${\omega }^{2}r=v^2/r$, que é 7,2 m/s² para a bola.

O mesmo resultado sem coordenadas

A dedução acima supôs uma rotação constante. Um argumento mais curto usa apenas o fato de que a distância ao centro nunca muda, então também vale para um corpo que acelera ou desacelera sobre o círculo.

O comprimento de $\vec{r}$ é fixo, então $\vec{r}\cdot \vec{r}=r^2$ é uma constante. Derive pela regra do produto: $2\vec{r}\cdot \vec{v}=0$, logo a velocidade é perpendicular ao raio para qualquer movimento sobre um círculo. Derive $\vec{r}\cdot \vec{v}=0$ mais uma vez: $\vec{v}\cdot \vec{v}+\vec{r}\cdot \vec{a}=0$, ou seja, $\vec{r}\cdot \vec{a}=-v^2$. Dividindo por $r$, obtemos a componente de $\vec{a}$ ao longo do raio para fora, $-v^2/r$. Portanto, a componente da aceleração para dentro é $v^2/r$ para todo movimento sobre um círculo, uniforme ou não.

Se a rapidez também for constante, o mesmo truque aplicado a $\vec{v}\cdot \vec{v}=v^2$ dá $\vec{v}\cdot \vec{a}=0$. A aceleração então não tem parte ao longo da tangente, e resta apenas a parte para dentro.

O próprio círculo da velocidade: o hodógrafo

A velocidade traça um círculo próprio, e ele dá a imagem mais direta de por que $a=v^2/r$: a aceleração está para a velocidade assim como a velocidade está para a posição.

Copie as setas $\vec{v}$ da Figura 1, de muitos instantes, para uma origem comum; esse desenho é chamado de hodógrafo. Cada seta tem o mesmo comprimento $v$, e cada uma aponta um quarto de volta à frente do $\vec{r}$ de seu instante, de modo que as setas giram à mesma taxa $\omega$ que o raio. Suas pontas, portanto, percorrem um círculo de raio $v$ com velocidade angular $\omega$.

Agora aplique a este círculo o que sabemos sobre o primeiro. A ponta de $\vec{r}$ se move com velocidade $\omega r$, e essa velocidade é o módulo de $\vec{v}$. Do mesmo modo, a ponta de $\vec{v}$ se move com velocidade $\omega v$, e essa velocidade é o módulo de $\vec{a}$, porque a aceleração é a taxa de variação da velocidade. Logo, $a=\omega v=v^2/r$. A ponta de $\vec{v}$ se move ao longo da tangente do hodógrafo, um quarto de volta à frente de $\vec{v}$. Como $\vec{v}$ já está um quarto de volta à frente de $\vec{r}$, $\vec{a}$ está meia volta de $\vec{r}$: aponta para o centro. Posição, velocidade e aceleração são três setas de comprimentos $r$, $\omega r$ e ${\omega }^{2}r$, cada uma um quarto de volta à frente da anterior, porque cada uma é a taxa de variação da anterior.

Caindo ao redor do círculo

Newton viu a mesma aceleração de outro modo: um corpo sobre um círculo está caindo em direção ao centro o tempo todo, e nunca chega lá porque também se move lateralmente. Essa visão liga o movimento circular à queda livre, e levou ao primeiro teste da lei da gravitação.

Legenda

$r$	Raio do círculo: o comprimento do barbante.	$\mathrm{m}$
$\omega t$	Ângulo que o raio gira no tempo $t$.	$\mathrm{rad}$
$vt$	Distância que o corpo percorreria no tempo $t$ ao longo da tangente, sem o barbante.	$\mathrm{m}$
$h$	Distância entre essa posição livre e a posição real sobre o círculo: quanto o corpo caiu em direção ao centro.	$\mathrm{m}$

A Figura 2 acompanha o corpo durante um tempo $t$ a partir do topo do círculo. Ele começa no ponto, com sua velocidade ao longo da tangente, apontando aqui para a esquerda. Sem força, ele se moveria em linha reta, uma distância $vt$ ao longo da tangente, e terminaria na bola clara. O barbante o mantém no círculo: o raio $r$ gira o ângulo $\omega t$, o corpo percorre um arco do mesmo comprimento $r\omega t=vt$, e termina na bola cheia. A seta $h$ vai de onde o corpo estaria até onde ele está: é quanto ele caiu. (O tempo na figura foi desenhado grande para que as formas possam ser vistas; o resultado abaixo vale para tempos curtos.)

Quanto vale $h$? A reta tangente no topo está a uma distância $r$ acima do centro, e a posição real está $r\cos \omega t$ acima dele, então o corpo caiu $r(1-\cos \omega t)$ abaixo da reta tangente. Para um tempo curto, a posição livre fica quase exatamente acima da real, então $h$ é quase exatamente essa queda e aponta quase na vertical, para o centro. Para um ângulo pequeno $x$, $\cos x\approx 1-x^2/2$, e com $r\omega t=vt$,
$h\approx r(1-\cos \omega t)\approx \frac{r(\omega t{)}^2}{2}=\frac{(vt{)}^2}{2r}$
Compare com a queda livre a partir do repouso, $h=\frac{1}{2}a{t}^2$. Os dois concordam se $a=v^2/r$: o corpo cai em direção ao centro exatamente como uma pedra solta cairia com essa aceleração, e seu movimento lateral impede que ele jamais se aproxime.

Para a bola, em 0,1 s ela percorreria $vt=0,24\mathrm{m}$ ao longo da tangente enquanto o raio gira 0,3 rad. O círculo fica então $0,8(1-\cos 0,3)\approx 0,0357\mathrm{m}$, ou 3,57 cm, abaixo da reta tangente, contra $\frac{1}{2}\cdot 7,2\cdot 0,1^2=0,036\mathrm{m}$ pela aproximação.

Newton usou essa imagem para testar sua lei da gravitação na Lua. A órbita dela tem raio $R\approx 3,84\times 10^8\mathrm{m}$, cerca de 60,3 raios terrestres, e período $T$ de 27,3 dias. Com $v=2\pi R/T$, a Lua cai em direção à Terra com a aceleração
$a=\frac{v^2}{R}=\frac{4{\pi }^{2}R}{T^2}\approx 2,72\times 10^{-3}m/{\mathrm{s}}^2$
Se a gravidade enfraquece com o inverso do quadrado da distância, a 60,3 raios terrestres ela deveria dar $g/60,3^2\approx 2,70\times 10^{-3}m/{\mathrm{s}}^2$. Os dois valores concordam dentro de 1%: a força que faz uma maçã cair também mantém a Lua caindo em torno da Terra.

Sombras nos eixos: movimento harmônico simples

Visto de lado, o movimento circular se torna uma oscilação. Essa ligação é o motivo pelo qual a matemática do círculo aparece em tantas partes da física, de molas à corrente alternada.

Tome a componente $x$ de $\vec{a}=-{\omega }^2\vec{r}$. Ela se lê $\ddot{x}=-{\omega }^{2}x$, em que cada ponto significa uma derivada em relação ao tempo. Essa é a equação de uma massa $m$ presa a uma mola de rigidez $k$, $m\ddot{x}=-kx$, com $k/m={\omega }^2$, e a componente $y$ dá a mesma equação. Assim, a sombra de um movimento circular uniforme sobre qualquer reta é movimento harmônico simples, com a mesma $\omega$ e uma amplitude igual ao raio.

O nível avançado da animação mostra isso. Os pontos roxos nos eixos são as sombras: deslizam entre $-0,8$ e $+0,8\mathrm{m}$ com período $2\pi /\omega =2,09\mathrm{s}$. São mais rápidos, a 2,4 m/s, ao passar pelo meio, onde a bola se move paralelamente ao eixo, e param por um instante nas extremidades, onde sua aceleração atinge o pico de 7,2 m/s². Os gráficos $x(t)$ e $y(t)$ são um cosseno e um seno, separados por um quarto de período (0,52 s).

Números complexos dizem o mesmo em uma linha. Escreva a posição como $z=x+iy=r{e}^{i\omega t}$. Então $\dot{z}=i\omega z$, e multiplicar por $i$ gira um número complexo um quarto de volta no sentido anti-horário: a velocidade é perpendicular ao raio. Derivando de novo, obtemos $\ddot{z}=(i\omega {)}^{2}z=-{\omega }^{2}z$, a aceleração centrípeta. A parte real, $x=r\cos \omega t$, é a oscilação. Uma oscilação é uma rotação vista de lado, e por isso $e^{i\omega t}$ é a linguagem natural de vibrações, ondas e correntes alternadas.

A soltura mostra o que acontece quando o puxão para dentro cessa. Ela ocorre em $\omega t=7\pi /2$, quando a bola está em $(0,-r)$ com velocidade $(+v,0)$; a partir daí, $\vec{a}=0$. O gráfico $x(t)$ deixa o cosseno ao longo de sua reta tangente, com inclinação 2,4 m/s, e atinge 1,2 m, ou $1,5r$, na borda do gráfico 0,5 s depois. O gráfico $y(t)$ permanece em $-0,8\mathrm{m}$, porque o seno estava no mínimo, onde sua inclinação é zero. É a primeira lei de Newton desenhada como dois gráficos.

Vetores unitários que giram com o corpo

Até aqui a rapidez era constante. Quando um corpo acelera sobre um círculo, ou se move ao longo de qualquer curva, a aceleração ganha uma parte ao longo da trajetória. A maneira mais limpa de encontrar cada parte é usar vetores unitários que giram com o corpo.

Para qualquer movimento em um plano, descreva o corpo pela sua distância $r$ à origem e pelo seu ângulo $\theta$, ambos agora livres para variar. No corpo, defina dois vetores unitários: $\hat{r}$, apontando para fora ao longo do raio, e $\hat{\theta }$, um quarto de volta à frente dele, no sentido de crescimento de $\theta$ (anti-horário). Então $\vec{r}=r\hat{r}$.

Em componentes, $\hat{r}=(\cos \theta ,\sin \theta )$ e $\hat{\theta }=(-\sin \theta ,\cos \theta )$. Derivando com a regra da cadeia, como na primeira seção,
$\frac{d\hat{r}}{dt}=\dot{\theta }\hat{\theta },\frac{d\hat{\theta }}{dt}=-\dot{\theta }\hat{r}$
Em palavras: conforme o ângulo cresce, $\hat{r}$ se inclina em direção a $\hat{\theta }$, e $\hat{\theta }$ se inclina em direção ao centro.

Derive $\vec{r}=r\hat{r}$ pela regra do produto. O primeiro termo é o movimento para fora, o segundo é o movimento em torno:
$\vec{v}=\dot{r}\hat{r}+r\dot{\theta }\hat{\theta }$
Derive de novo, termo a termo, usando as duas regras acima:
$\vec{a}=\ddot{r}\hat{r}+\dot{r}\dot{\theta }\hat{\theta }+\dot{r}\dot{\theta }\hat{\theta }+r\ddot{\theta }\hat{\theta }-r{\dot{\theta }}^2\hat{r}$
Reunindo as partes ao longo de $\hat{r}$ e ao longo de $\hat{\theta }$:
$\vec{a}=(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)\hat{r}+(r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta })\hat{\theta }$

Num círculo, $r$ é fixo, logo $\dot{r}=\ddot{r}=0$. O que resta é uma parte para dentro $-r{\dot{\theta }}^2\hat{r}$, de módulo $r{\dot{\theta }}^2=v^2/r$, e uma parte tangencial $r\ddot{\theta }\hat{\theta }$. Escreva a aceleração angular como $\alpha =\ddot{\theta }$. Então a parte tangencial tem módulo $r\alpha$, e como $v=r\dot{\theta }$, isso é igual a $dv/dt$, a taxa com que a rapidez muda.

Acelerando sobre um círculo

Quando a rapidez muda, a aceleração não aponta mais para o centro. Esta seção mostra quanto ela se inclina e o que isso significa para o barbante.

Legenda

$\hat{r}$	Vetor unitário ao longo do raio, apontando para longe do centro.
$\hat{\theta }$	Vetor unitário tangente, no sentido de crescimento de $\theta$ (anti-horário).
$a_c$	Parte para dentro (centrípeta) da aceleração, ao longo de $-\hat{r}$; seu módulo é $r{\dot{\theta }}^2=v^2/r$.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$a_t$	Parte tangencial da aceleração, ao longo de $\hat{\theta }$ enquanto o corpo acelera; seu módulo é $r\alpha =dv/dt$.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\vec{a}$	Aceleração total: a soma vetorial das duas partes.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\beta$	Ângulo entre $\vec{a}$ e a reta até o centro; $\tan \beta =a_t/a_c$.	$\mathrm{rad}$

A Figura 3 mostra o caso circular em um instante, com o corpo à direita do centro. Os vetores unitários $\hat{r}$ e $\hat{\theta }$ são desenhados no corpo, perpendiculares entre si. A aceleração tem uma parte para dentro de módulo $a_c=r{\dot{\theta }}^2=v^2/r$, ao longo de $-\hat{r}$, e uma parte tangencial de módulo $a_t=r\alpha$, ao longo de $\hat{\theta }$, porque o corpo está acelerando (ela apontaria ao longo de $-\hat{\theta }$ se o corpo estivesse desacelerando). Colocadas em sequência, as duas partes somam a aceleração total $\vec{a}$, a seta longa a partir do corpo. Assim, $\vec{a}$ se inclina à frente da reta até o centro pelo ângulo $\beta$, e o triângulo retângulo dá
$\tan \beta =a_t/a_c,a=\sqrt{a_c^2+a_t^2}$
A seta tangencial está desenhada bem maior que no exemplo a seguir, para que a inclinação possa ser vista.

Faça a bola sair do repouso e chegar a 3,0 rad/s em 2,0 s, com $\alpha =1,5rad/{\mathrm{s}}^2$ constante. A parte tangencial permanece $a_t=r\alpha =0,8\cdot 1,5=1,2m/{\mathrm{s}}^2$ o tempo todo, enquanto a parte para dentro cresce com ${\omega }^2$ e atinge 7,2 m/s² no fim. Nesse momento, a aceleração total é $\sqrt{7,2^2+1,2^2}\approx 7,30m/{\mathrm{s}}^2$, inclinada para a frente em 9,5°, já que $\tan \beta =1,2/7,2$. Sobre a mesa lisa, o barbante é a única força lateral, e um barbante só pode puxar ao longo de si mesmo; então ele precisa se inclinar para a frente nesse mesmo ângulo: a mão conduz a bola na volta.

Forças radiais e trajetórias curvas

A fórmula geral tem mais duas aplicações. Ela explica por que os planetas varrem áreas iguais, e fornece a aceleração em qualquer trajetória curva.

O termo $2\dot{r}\dot{\theta }$ importa quando a distância muda durante a volta. Se a força for puramente radial, como a gravidade do Sol sobre um planeta, a parte $\hat{\theta }$ da aceleração deve se anular. Essa parte é, na verdade, uma única derivada disfarçada (desenvolva o lado direito para conferir):
$r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta }=\frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\theta })=0$
Assim, $r^2\dot{\theta }$ permanece constante. Multiplicado pela massa, é o momento angular, que, portanto, se conserva. Metade dele, $\frac{1}{2}{r}^2\dot{\theta }$, é a taxa com que a reta do Sol varre área, de modo que o mesmo resultado é a lei das áreas de Kepler.

Finalmente, perto de cada um de seus pontos, qualquer trajetória suave se parece com um círculo; o raio desse círculo de melhor ajuste é o raio de curvatura $\rho$. A parte da aceleração transversal à trajetória é então $v^2/\rho$, e a parte ao longo dela é $dv/dt$. No topo do arco de um projétil, movendo-se horizontalmente a 10 m/s, a gravidade é a única força e aponta transversalmente à trajetória, então $g=v^2/\rho$ e $\rho =v^2/g\approx 10,2\mathrm{m}$.

Problema resolvido: a bola girada sobre a cabeça

Agora tire a bola da mesa. Segure o barbante acima da cabeça e gire a mesma bola de 0,2 kg em um círculo horizontal de raio 0,8 m, com os 3,0 rad/s da animação. O barbante varre um cone. A que distância abaixo da mão a bola gira, qual é o comprimento do barbante e qual é a sua tração $F_s$?

Legenda

$\phi$	Ângulo entre o barbante e a vertical.	$\mathrm{rad}$
$h$	Profundidade do círculo da bola abaixo da mão.	$\mathrm{m}$
$r$	Raio do círculo horizontal da bola.	$\mathrm{m}$
$L$	Comprimento do barbante.	$\mathrm{m}$
$F_s$	Tração: o puxão do barbante na bola, ao longo do barbante em direção à mão.	$\mathrm{N}$
$F_s\cos \phi$	Parte vertical da tração; equilibra o peso.	$\mathrm{N}$
$F_s\sin \phi$	Parte horizontal da tração, em direção ao eixo: a força centrípeta $m{\omega }^{2}r$.	$\mathrm{N}$
$mg$	Peso da bola, para baixo.	$\mathrm{N}$

A Figura 4 mostra o cone de lado, à esquerda, e as forças sobre a bola, à direita. À esquerda, o barbante de comprimento $L$ forma o ângulo $\phi$ com o eixo vertical que passa pela mão. A bola gira à distância $r$ desse eixo, em um plano horizontal a uma distância $h$ abaixo da mão. (Esse $h$ é um comprimento novo, não a queda da Figura 2.)

À direita, somente duas forças atuam sobre a bola: seu peso $mg$, para baixo, e a tração $F_s$, ao longo do barbante em direção à mão. Decomponha a tração em uma parte vertical $F_s\cos \phi$ e uma parte horizontal $F_s\sin \phi$; o ângulo entre o barbante e a vertical é novamente $\phi$. A bola não sobe nem desce, então a parte vertical equilibra o peso, e na figura essas duas setas têm o mesmo comprimento. A parte horizontal aponta para o eixo e é a única força não equilibrada, portanto é a força centrípeta:
$F_s\cos \phi =mg,F_s\sin \phi =m{\omega }^{2}r$

Dividindo a segunda equação pela primeira, eliminamos $F_s$ e $m$:
$\tan \phi =\frac{{\omega }^{2}r}{g}=\frac{7,2}{9,81}\approx 0,734$
então o barbante se inclina 36,3° em relação à vertical. O triângulo da esquerda, com lados $r$, $h$ e $L$, tem o mesmo ângulo $\phi$ na mão, então também vale $\tan \phi =r/h$. Igualando as duas expressões para $\tan \phi$,
$h=\frac{r}{\tan \phi }=\frac{g}{{\omega }^2}=\frac{9,81}{9}\approx 1,09\mathrm{m}$
que depende apenas de $\omega$, não da massa nem do raio. Pelo teorema de Pitágoras, o barbante tem $L=\sqrt{0,8^2+1,09^2}\approx 1,35\mathrm{m}$ de comprimento. Para a tração, substitua $\sin \phi =r/L$ na equação horizontal: $F_{s}r/L=m{\omega }^{2}r$, logo $F_s=m{\omega }^{2}L\approx 0,2\cdot 9\cdot 1,35\approx 2,43\mathrm{N}$. Isso é 1,24 vez o peso de 1,96 N. Sua parte horizontal continua sendo os 1,44 N da versão sobre a mesa, porque a bola ainda precisa de $m{\omega }^{2}r$ para permanecer em seu círculo.

Três consequências surpreendem a maioria das pessoas. Primeira, $h=g/{\omega }^2$ só se aproxima de zero quando $\omega$ cresce sem limite, então o barbante nunca fica exatamente horizontal: parte da tração precisa sempre sustentar o peso. Segunda, $h$ não pode exceder o comprimento do barbante, então um cone exige $g/{\omega }^2<L$: com este barbante, abaixo de $\omega =\sqrt{g/L}\approx 2,69rad/s$ não há cone algum, e a bola simplesmente pende. Terceira, em um círculo vertical o barbante só pode puxar. No topo, a gravidade e o barbante apontam ambos para o centro, então a tração é $m(v^2/r-g)$, e ela não pode ser negativa: a bola permanece no círculo somente se $v^2/r\ge g$, ou $v\ge \sqrt{gr}\approx 2,80m/s$. Uma bola que passa pelo topo com os 2,4 m/s da animação encontraria o barbante frouxo.

Referenciais girantes e pseudoforças

Tudo até aqui foi visto da mesa, um referencial inercial. Um observador que gira com o barbante descreve o mesmo movimento de forma diferente, e o chão sob nossos pés é um referencial girante desse tipo, o que importa para o clima.

Em um referencial que gira com o barbante, a bola está em repouso, mas o barbante ainda a puxa para dentro com 1,44 N. A segunda lei de Newton só se mantém se você acrescentar pseudoforças, que vêm da aceleração do referencial e não de qualquer outro corpo. A primeira é a força centrífuga $m{\omega }^{2}r$, para fora, aqui exatamente 1,44 N, que equilibra o barbante. A segunda atua somente sobre um corpo que se move no referencial girante, com velocidade $\vec{v}$ nesse referencial: a força de Coriolis $-2m\vec{\omega }\times \vec{v}$, perpendicular a essa velocidade, em que $\vec{\omega }$ é a velocidade angular do referencial, ao longo do eixo de rotação. Após a soltura, o observador girante vê a bola derivar para fora e ficar para trás do barbante, cerca de 30° depois de 0,5 s; visto da mesa, ela simplesmente segue em linha reta.

Ambas as pseudoforças são proporcionais à massa, como a gravidade, então dão a todo corpo a mesma aceleração. Einstein transformou essa coincidência no ponto de partida da relatividade geral: em uma região suficientemente pequena, nenhum experimento consegue distinguir um referencial acelerado da gravidade. O próprio chão é um referencial girante, que gira com a velocidade angular ${\omega }_E$ da Terra. No equador, no raio terrestre $R_E$, o termo centrífugo é ${\omega }_E^2{R}_E\approx 0,034m/{\mathrm{s}}^2$, 0,35% de $g$. Com um vento de 20 m/s na latitude de 45°, a aceleração de Coriolis é de apenas cerca de 0,002 m/s², mas, atuando por horas, ela transforma grandes tempestades em ciclones.

Limites de validade

Tudo aqui trata o corpo como um ponto e o barbante como sem massa e inextensível. Um barbante real estica um pouco conforme a tração aumenta, então $r$ depende levemente de $\omega$. O referencial deve ser inercial, mas, nessa escala, a rotação da Terra é inofensiva: seu efeito de Coriolis sobre a bola a 2,4 m/s é no máximo $2{\omega }_{E}v\approx 3,5\times 10^{-4}m/{\mathrm{s}}^2$, cerca de 20.000 vezes menor que os 7,2 m/s² que o barbante fornece.

Perto da velocidade da luz $c$, a quantidade de movimento é $\gamma mv$, em que $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ cresce sem limite conforme $v$ se aproxima de $c$. Uma força perpendicular a $\vec{v}$ muda apenas a direção do movimento, não a rapidez, então $\gamma$ permanece constante, e a força necessária para um círculo se torna $\gamma m{v}^2/r$. Uma carga $q$ em um campo magnético $B$ gira, portanto, com $\omega =qB/(\gamma m)$ em vez de $qB/m$. Um próton lento em um campo de 1,0 T dá 15,2 milhões de voltas por segundo; com energia cinética de 10 MeV, $\gamma \approx 1,011$ e a frequência cai cerca de 1%, o suficiente para sair do passo com a tensão elétrica de frequência fixa de um cíclotron.

Na escala atômica, as órbitas clássicas falham. Uma carga acelerada irradia, então um elétron girando em torno de um próton perderia energia e cairia em espiral em cerca de $10^{-11}\mathrm{s}$; átomos estáveis exigem a mecânica quântica.

Para onde isso leva

Quando a gravidade fornece a força centrípeta, $GMm/r^2=m{v}^2/r$ dá as velocidades orbitais e a terceira lei de Kepler, tema de Gravitação e Órbitas; a Estação Espacial Internacional, a 420 km de altura, precisa de 7,66 km/s e dá uma volta na Terra em cerca de 93 minutos. Um corpo rígido em rotação é uma multidão de pontos compartilhando um mesmo $\omega$, cada um com $v=\omega r$ e $a_t=r\alpha$: aí começa a Dinâmica Rotacional e Torque, e a constante $r^2\dot{\theta }$ se transforma em Momento Angular e sua Conservação. O quadro das sombras continua em Movimento Harmônico Simples. Em Força Magnética sobre Cargas em Movimento, $qvB=m{v}^2/r$ dá o raio $r=mv/(qB)$ usado em espectrômetros de massa e cíclotrons, e em Modelos Atômicos: o átomo de Bohr mostra como as regras quânticas salvam o elétron em órbita. A equivalência entre pseudoforças e gravidade reaparece em Gravidade como Espaço-Tempo Curvo.