Давление в жидкостях и закон Паскаля

Начальный

Давление показывает, с какой силой жидкость или газ давит на каждый кусочек поверхности. Вода и воздух состоят из бесчисленных крошечных молекул, которые ни на миг не останавливаются. Они ударяются обо всё, чего касаются: о стенки стакана, о кожу, о барабанные перепонки. Каждый удар — крошечный толчок, а все вместе, распределённые по площади, они и создают давление. Поэтому жидкость давит на поверхность, как бы та ни была повёрнута.

Шаг 1: давление растёт с глубиной. Чем глубже опускаешься в покоящуюся жидкость, тем больше её над тобой, и её вес давит на всё, что ниже. Вот почему на дне бассейна болят уши и почему плотину у основания делают гораздо толще, чем наверху. Более плотная жидкость, например морская вода, на той же глубине давит немного сильнее.

Шаг 2: важна только глубина. В тонкой трубке и в широком озере, заполненных до одного уровня, давление на одной и той же глубине одинаково; количество воды роли не играет.

Проверьте себя: из какого из трёх отверстий в анимации вода бьёт быстрее всего и почему? Ответ: из нижнего, потому что там вода глубже всего и давит сильнее всего.

Шаг 3: жидкость в закрытом сосуде передаёт нажим. Надавите на неё в одном месте — и добавочное давление одинаково дойдёт до каждой её точки (закон Паскаля). В анимации нажатие на тонкий поршень поднимает машину, стоящую на широком. Площадь широкого поршня в четыре раза больше, поэтому и сила на нём в четыре раза больше.

Шаг 4: даром ничего не даётся. Чтобы поднять машину, тонкий поршень должен пройти путь в четыре раза больше, чем поднимется машина.

Средний

Что измеряет давление

Давление — это сила, с которой жидкость или газ давит на каждый квадратный метр соприкасающейся с ними поверхности:
$p=\frac{F}{S}$
Его единица — паскаль, $1\mathrm{Па}=1\mathrm{Н}/{\mathrm{м}}^2$. Атмосфера создаёт давление около 101 кПа — вес примерно 10 тонн воздуха над каждым квадратным метром, — но жидкости и газы внутри нашего тела давят наружу столь же сильно.

Давление — не сила, и собственного направления у него нет. В точке покоящейся жидкости оно одинаково, как ни поверни маленькую площадку, а создаваемая им сила, $F=pS$, всегда перпендикулярна этой площадке. Абсолютное давление отсчитывают от вакуума, избыточное — от атмосферных 101 кПа: если манометр шины показывает 220 кПа, то абсолютное давление в ней около 321 кПа.

Почему давление растёт с глубиной

Представьте в покоящейся жидкости плотностью $\rho$ вертикальный столб над маленькой площадкой $S$ на глубине $h$. Его вес равен $\rho Shg$, а так как давление на боковые стенки столба направлено горизонтально, удерживает его только жидкость снизу; разделив на площадь, получаем избыточное давление на глубине $h$:
$p=\rho gh$
Если прибавить давление $p_0$ на свободной поверхности, обычно атмосферное, получится абсолютное давление:
$p=p_0+\rho gh$

В воде давление растёт на 9,81 кПа с каждым метром, так что 10 м добавляют около 98 кПа, почти одну атмосферу: на глубине 10 м водолаз испытывает вдвое большее давление, чем у поверхности. Ртуть плотнее воды в 13,6 раза, поэтому в барометре атмосферу уравновешивает столб высотой всего $101325/(13600\cdot 9,81)\approx 0,76\mathrm{м}$; водяному столбу понадобилось бы 10,3 м — это предел для любого всасывающего насоса.

Важна только глубина, а не форма сосуда и не количество жидкости: тонкая труба и широкое озеро, заполненные до одного уровня, дают на одной глубине одинаковое давление. Это гидростатический парадокс. Значит, во всех точках одного уровня связной покоящейся жидкости давление одинаково, и сообщающиеся сосуды заполняются до одной высоты.

Закон Паскаля и гидравлический пресс

Закон Паскаля гласит: изменение давления, произведённое на жидкость в замкнутом сосуде, передаётся без изменения в каждую точку жидкости и на стенки сосуда. Вес жидкости определяет лишь разности давлений, через $\rho gh$, поэтому нажим на границу обязан повысить давление во всех точках на одну и ту же величину.

На этом работает гидравлический пресс. Два его поршня, с площадями $S_1$ и $S_2$, находятся примерно на одной высоте, поэтому давления под ними равны, $F_1/S_1=F_2/S_2$, и
$F_2=\frac{F_1{S}_2}{S_1}$
У круглых поршней площадь пропорциональна квадрату диаметра: увеличив диаметр вдвое, получаем вчетверо большую силу.

Платой служит путь. Жидкость почти не сжимается, поэтому объём, вытесненный из узкого цилиндра, должен войти в широкий:
$S_1{d}_1=S_2{d}_2$
Вместе с отношением сил это даёт
$F_1{d}_1=F_2{d}_2$
Затраченная работа равна полученной: как и рычаг, пресс умножает силу, но делит перемещение, и энергию никогда не создаёт.

Пример: бак и пресс из анимации

Бак всё время остаётся полным, отверстия расположены на 15, 35 и 55 см ниже поверхности. Фиолетовые подписи показывают $\rho gh$ у каждого отверстия; для нижнего
$p=1000\cdot 9,81\cdot 0,55\approx 5400\mathrm{Па}=5,4\mathrm{кПа}$
а для двух верхних, соответственно, 1,5 и 3,4 кПа. Струи разгоняет только эта избыточная часть, потому что атмосфера давит и на наружную сторону каждого отверстия. Давление превращается в скорость, $v=\sqrt{2gh}$ (см. урок «Уравнение Бернулли»): получается примерно 1,7, 2,6 и 3,3 м/с, так что нижняя струя самая быстрая.

Справа широкий поршень вдвое шире тонкого, поэтому $S_2=4S_1$ (на рисунке эти площади подписаны $A_1$ и $A_2$). Чтобы удержать автомобиль массой 1000 кг, он должен давить с силой $F_2=1000\cdot 9,81=9810\mathrm{Н}$, а значит, руке нужно приложить всего
$F_1=\frac{F_2{S}_1}{S_2}=\frac{9810}{4}\approx 2450\mathrm{Н}$
Это 2,45 кН и 9,81 кН из подписи, а зелёная стрелка под широким поршнем вчетверо длиннее красной над рукояткой.

Когда рукоятка идёт вниз, показания приборов говорят: $d_1$ доходит до 48 см, а $d_2$ — всего до 12 см, то есть вчетверо меньше. Работы совпадают: $F_1{d}_1=2452,5\cdot 0,48\approx 1177\mathrm{Дж}$ и $F_2{d}_2=9810\cdot 0,12\approx 1177\mathrm{Дж}$ — это энергия, которая поднимает автомобиль на 12 см.

Пример: переднее стекло аквариума

Аквариум налит до глубины 60 см, а его переднее стекло имеет ширину 1,5 м. Избыточное давление на стекло растёт от нуля у поверхности до $1000\cdot 9,81\cdot 0,60\approx 5890\mathrm{Па}$ у дна, поэтому его среднее значение $\bar{p}$ по стеклу равно значению на половине глубины, около 2940 Па. Смоченная площадь равна $1,5\cdot 0,60=0,90{\mathrm{м}}^2$, поэтому сила равна
$F=\bar{p}S\approx 2943\cdot 0,90\approx 2650\mathrm{Н}$
то есть весу груза массой 270 кг. Атмосфера давит на обе стороны стекла, и её действие взаимно уничтожается.

Эта сила не зависит от того, как далеко аквариум тянется за стеклом: если расстояние от переднего стекла до заднего всего 5 см, давит он на стекло так же сильно. Если удвоить глубину воды до 1,20 м, вдвое вырастут и среднее давление, и площадь, так что сила увеличится вчетверо, примерно до 10,6 кН. Поскольку основная часть силы действует у дна, баки и плотины делают прочнее всего внизу.

Как читать диаграмму давления и глубины

Если построить график давления в зависимости от глубины, получится прямая с наклоном $\rho g$: 9,81 кПа на метр в воде, но всего 12 Па на метр в воздухе. Прямая избыточного давления начинается с нуля; прямая абсолютного давления — та же прямая, поднятая на $p_0\approx 101\mathrm{кПа}$.

Стрелки, нарисованные на стенке по одной на каждую глубину и такой длины, как давление на ней, образуют треугольник; его площадь, умноженная на ширину стенки, равна полной силе. Отсюда и среднее давление для аквариума, равное половине давления у дна. Вокруг погружённого тела стрелки снизу длиннее, чем сверху, и их сумма — направленная вверх выталкивающая сила.

Частые ошибки

• Больше воды — не значит больше давления: узкая труба и озеро глубиной по 10 м дают на дне одинаковые 98 кПа.
• Давление — не сила: 5,4 кПа у нижнего отверстия давят с силой 0,54 Н на пробку площадью 1 см², но с силой 5,4 Н на пробку площадью 10 см².
• Не путайте избыточное и абсолютное давление: на глубине 20 м в озере вода добавляет 196 кПа, но абсолютное давление равно 297 кПа.
• Берите отношение площадей, а не диаметров: поршни диаметром 3 см и 12 см умножают силу в $(12/3{)}^2=16$ раз, а не в 4.

Где это встречается

Автомобильные подъёмники, домкраты, гидравлические тормоза и экскаваторы работают на законе Паскаля, обычно с маслом под давлением в несколько мегапаскалей. Водонапорные башни строят высокими, потому что каждый метр высоты добавляет 9,81 кПа у кранов внизу, а когда вы стоите, давление крови в ногах примерно на 100 мм рт. ст. (13 кПа) выше, чем у сердца. Дальше урок «Закон Архимеда» превращает дополнительный нажим снизу в силу, которая держит на плаву корабли, а урок «Уравнение Бернулли» прослеживает давление в движущихся жидкостях.

Продвинутый

Почему у давления нет направления

Текучая среда — жидкость или газ — не может сопротивляться сдвигу: надавите вбок на слой воды, пусть даже совсем слабо, — и он потечёт. Вязкая жидкость, например мёд, сопротивляется скорости сдвига, но в покое касательных напряжений в ней нет совсем. Поэтому в покоящейся жидкости сила, действующая через любую малую площадку, перпендикулярна этой площадке, а сила на единицу площади называется давлением. В этом разделе показано, что давление в точке — одно число, одинаковое при любой ориентации площадки; на этом факте держится весь остальной урок.

Обозначения

$\hat{n}$	Единичный вектор, перпендикулярный наклонной грани и направленный наружу из клина.
$p_x$	Давление на грань, перпендикулярную $x$.	$\mathrm{Па}$
$p_z$	Давление на грань, перпендикулярную $z$.	$\mathrm{Па}$
$p_n$	Давление на наклонную грань.	$\mathrm{Па}$
$dA$	Площадь наклонной грани.	${\mathrm{м}}^2$
$n_{x}dA$	Площадь грани, перпендикулярной $x$: проекция на неё наклонной грани; $n_x$ — составляющая $\hat{n}$ вдоль $x$.	${\mathrm{м}}^2$
$n_{z}dA$	Площадь грани, перпендикулярной $z$: проекция на неё наклонной грани; $n_z$ — составляющая $\hat{n}$ вдоль $z$.	${\mathrm{м}}^2$
$x$	Горизонтальная координатная ось.	$\mathrm{м}$
$z$	Вертикальная координатная ось, направленная вверх.	$\mathrm{м}$

На рисунке 1 показан маленький клин жидкости, вид сбоку. Посмотрите на три его грани. Левая грань вертикальна, поэтому её нормаль направлена вдоль $x$; нижняя грань горизонтальна, и её нормаль направлена вдоль $z$; наклонная грань имеет площадь $dA$ и внешнюю единичную нормаль $\hat{n}$ с составляющими $n_x$ и $n_z$ (здесь, как и на всех рисунках урока, площадь обозначена буквой $A$). Левая и нижняя грани — это проекции наклонной грани на плоскости, перпендикулярные $x$ и $z$, поэтому их площади равны $n_{x}dA$ и $n_{z}dA$. На рисунке $n_x=0,6$ и $n_z=0,8$, так что площади трёх граней относятся как $0,6:0,8:1$ и на них приходится 3, 4 и 5 одинаковых стрелок. Две треугольные торцевые грани клина, параллельные плоскости рисунка, давят только вдоль $y$ и в балансе сил вдоль $x$ и $z$ не участвуют.

Обозначим давления на три грани $p_x$, $p_z$ и $p_n$, не предполагая заранее, что они равны. Жидкость снаружи давит на каждую грань внутрь клина. Вдоль $x$ левая грань толкается к $+x$ силой $p_x{n}_{x}dA$. Наклонная грань толкается вдоль $-\hat{n}$ силой $p_{n}dA$, и проекция этого толчка на ось $x$ равна $p_n{n}_{x}dA$ и направлена к $-x$. Нижняя грань толкается только вдоль $z$. Клин покоится, поэтому силы вдоль $x$ уравновешены:
$p_x{n}_{x}dA=p_n{n}_{x}dA$
и, следовательно, $p_x=p_n$.

Вдоль $z$ такой же подсчёт даёт $p_z{n}_{z}dA$ вверх и $p_n{n}_{z}dA$ вниз, но сюда входит ещё и вес клина. Вес пропорционален объёму клина, который убывает как куб его размера, а поверхностные силы убывают лишь как квадрат. Разделите баланс на $dA$ и стяните клин в точку: слагаемое с весом стремится к нулю, и $p_z=p_n$.

Итак, $p_x=p_z=p_n$, а поскольку наклон грани был произвольным, давление в точке одинаково на любой проходящей через неё площадке. Давление — скалярное поле $p(\vec{r})$: одно число в каждой точке, без собственного направления. Направление силы давления задаёт поверхность. На элемент поверхности площадью $dA$ с внешней единичной нормалью $\hat{n}$ жидкость давит с силой $d\vec{F}=-p\hat{n}dA$; знак минус означает, что сила направлена внутрь.

Уравнение гидростатики

Давление меняется от точки к точке, и именно это изменение удерживает жидкость против её собственного веса. В этом разделе идея превращается в одно уравнение, которое даёт давление в любой точке покоящейся жидкости.

Обозначения

$dx$	Ширина бруска вдоль $x$.	$\mathrm{м}$
$dz$	Высота бруска.	$\mathrm{м}$
$p(z)$	Давление на нижнюю грань, на высоте $z$; оно толкает вверх.	$\mathrm{Па}$
$p(z+dz)$	Давление на верхнюю грань, на высоте $z+dz$; оно толкает вниз и меньше нижнего.	$\mathrm{Па}$
$p$	Давление на каждую боковую грань; на обеих одинаково, так как они на одной высоте.	$\mathrm{Па}$
$\rho gdV$	Вес бруска: плотность $\rho$, умноженная на $g$ и на его объём $dV=dxdydz$.	$\mathrm{Н}$
$x$	Горизонтальная координатная ось.	$\mathrm{м}$
$z$	Высота, отсчитываемая вверх.	$\mathrm{м}$

На рисунке 2 показан маленький брусок покоящейся жидкости шириной $dx$, высотой $dz$ и глубиной $dy$ (вглубь рисунка), так что его объём $dV=dxdydz$. Сравните стрелки попарно, на противоположных гранях. Равномерное давление сжимает брусок одинаково с противоположных сторон и не даёт результирующей силы; толкнуть его может только разность давлений на противоположных гранях.

Начнём с боковых граней. Они находятся на одной высоте и испытывают одинаковое давление $p$, поэтому их толчки равны и противоположны и взаимно уничтожаются.

Теперь верх и низ. Нижняя грань, на высоте $z$, толкается вверх силой $p(z)dxdy$; верхняя, на высоте $z+dz$, — вниз силой $p(z+dz)dxdy$. На малой высоте $dz$ давление меняется на $p(z+dz)-p(z)=(\partial p/\partial z)dz$, поэтому результирующий толчок вверх равен
$[p(z)-p(z+dz)]dxdy=-\frac{\partial p}{\partial z}dV$
Внизу давление больше, поэтому стрелка $p(z)$ длиннее стрелки $p(z+dz)$, и результирующий толчок направлен вверх. Зелёная стрелка $\rho gdV$ — вес бруска, где $\rho$ — плотность, а $g$ — ускорение свободного падения. В покое результирующий толчок и вес должны быть равны, и на рисунке вес нарисован ровно такой длины, как разность двух стрелок давления.

Тот же подсчёт годится для каждой пары граней. Грани, перпендикулярные $x$, оставляют результирующий толчок $-(\partial p/\partial x)dV$ вдоль $x$ (для двух равных боковых стрелок рисунка он равен нулю), а грани, перпендикулярные $y$, оставляют $-(\partial p/\partial y)dV$. Три пары вместе дают силу давления на единицу объёма $-\nabla p$. В равновесии она уравновешивает вес единицы объёма, $\rho \vec{g}$, поэтому
$\nabla p=\rho \vec{g}$
Это уравнение гидростатики. Если ввести потенциальную энергию единицы массы в поле тяжести $\varphi =gz$, для которой $\vec{g}=-\nabla \varphi$, оно записывается как $\nabla p=-\rho \nabla \varphi$. При оси $z$, направленной вверх, у $\vec{g}$ есть только $z$-составляющая, равная $-g$, поэтому вертикальная часть уравнения имеет вид
$\frac{dp}{dz}=-\rho g$
а горизонтальные части, $\partial p/\partial x=\partial p/\partial y=0$, говорят, что давление одинаково вдоль всего уровня.

Для жидкости плотность почти постоянна, и уравнение сразу интегрируется: $p+\rho gz=\mathrm{const}$. Постоянную задаёт граница: на свободной поверхности, на высоте $h$ над рассматриваемой точкой, давление равно атмосферному $p_0$, поэтому
$p=p_0+\rho gh$
Здесь $h$ — глубина, отсчитанная вниз от поверхности. Давление растёт с $h$, хотя $dp/dz$ отрицательна; противоречия нет, потому что $z$ направлена вверх, а $h$ — вниз.

В экспертном слое анимации этот закон рисует погружающийся датчик. Он строит избыточное давление $p-p_0$, то есть превышение над атмосферным, в зависимости от глубины $h$: получается прямая через начало координат с наклоном $\rho g\approx 9,81\mathrm{кПа}/\mathrm{м}$, которая доходит примерно до 7,0 кПа в самой глубокой точке датчика, на глубине 71 см. Абсолютное давление $p$ дало бы ту же прямую, поднятую на $p_0\approx 101\mathrm{кПа}$. Наклон у обеих прямых одинаков, и только наклон, градиент $p$, создаёт результирующую силу, действующую на жидкость.

Изобары, уровни и конвекция

Уравнение гидростатики говорит больше, чем то, как давление растёт с глубиной. Оно задаёт форму поверхностей равного давления и показывает, когда жидкость вообще не может оставаться в покое.

Поскольку $\nabla p=-\rho \nabla \varphi$, градиент $p$ в каждой точке параллелен градиенту $\varphi$. Градиент перпендикулярен поверхностям, на которых его величина постоянна, поэтому поверхности равного давления, изобары, — это и поверхности постоянного $\varphi$, то есть эквипотенциальные поверхности поля тяжести. В лаборатории это горизонтальные плоскости, а в масштабе планеты они повторяют искривлённую форму спокойного моря. Поэтому сообщающиеся сосуды заполняются до одного уровня: свободная поверхность в каждом из них — часть одной и той же изобары $p=p_0$.

То же уравнение показывает, когда состояние покоя невозможно. Ротор градиента всегда равен нулю, поэтому ротор $\nabla p$ равен нулю, а значит, равен нулю и ротор $\rho \nabla \varphi$:
$\nabla \times (\rho \nabla \varphi )=\nabla \rho \times \nabla \varphi =0$
Векторное произведение обращается в нуль, только если два вектора параллельны, поэтому градиент плотности должен быть вертикальным: $\rho$ должна быть одинаковой вдоль каждого уровня. Нагрейте одну сторону комнаты или одну сторону кастрюли с водой — и плотность вдоль уровня изменится. Тогда никакое поле давления не уравновесит тяжесть, и жидкость должна прийти в движение. Это движение — конвекция; она создаёт морские бризы и разносит тепло радиатора по комнате.

Закон Паскаля и работа пресса

Гидравлический пресс поднимает автомобиль усилием руки. Объясняют это два коротких рассуждения: одно исходит из поля давления, другое — из энергии.

Сначала поле. В уравнение $\nabla p=\rho \vec{g}$ входит только градиент $p$, поэтому оно определяет давление лишь с точностью до постоянного слагаемого, которое задаёт граница. Повысьте давление на границе несжимаемой жидкости на $\Delta p$ — и всё поле поднимется на $\Delta p$, а его градиент останется равным $\rho \vec{g}$. Каждая точка жидкости получает одинаковую прибавку: это и есть закон Паскаля. В настоящей жидкости прибавка приходит не всюду сразу. Она распространяется как волна давления со скоростью звука, около 1480 м/с в воде, поэтому пресс из анимации шириной 1,5 м она пересекает примерно за миллисекунду.

Теперь энергия, которая даёт отношение сил вовсе без упоминания давления. Сдвиньте малый поршень площадью $A_1$ вниз на малое расстояние $\delta d_1$. Жидкость не сжимается, поэтому объём $A_1\delta d_1$, ушедший из малого цилиндра, заполняет большой цилиндр площадью $A_2$, и его поршень поднимается на $\delta d_2=(A_1/A_2)\delta d_1$. В идеальном прессе, без трения, затраченная работа равна полученной, $F_1\delta d_1=F_2\delta d_2$, и поэтому
$F_2=F_1\frac{A_2}{A_1}$
Это тот же результат, что даёт закон Паскаля при $F_1=\Delta p{A}_1$ и $F_2=\Delta p{A}_2$. Такое рассуждение — принцип возможных перемещений, тот же, что объясняет рычаг: пресс обменивает путь на силу.

За полный ход каждый поршень вытесняет один и тот же объём, $V=A_1{d}_1=A_2{d}_2$, поэтому обе работы равны $\Delta pV$. В анимации диаметр малого поршня 26 см и на него давят с силой 2452,5 Н, поэтому давление под ним $\Delta p=2452,5/(\pi \cdot 0,13^2)\approx 46,2\mathrm{кПа}$. Его площадь $0,0531{\mathrm{м}}^2$, а ход 0,48 м, так что он вытесняет $V\approx 0,0531\cdot 0,48\approx 0,0255{\mathrm{м}}^3$, и $W_1=W_2=\Delta pV\approx 1177\mathrm{Дж}$. Это наибольшее значение, до которого доходят оба показания работы, в нижней точке хода.

Газы и экспоненциальная атмосфера

В жидкости плотность почти не меняется с давлением, а в газе она ему почти пропорциональна. Чтобы увидеть, что это делает с уравнением гидростатики, сначала выразим давление газа через его молекулы.

Давление газа — это импульс, который молекулы передают стенке за единицу времени на единицу площади. Возьмём стенку, перпендикулярную $x$. Молекула массой $m$, ударяющаяся о неё с составляющей скорости $v_x$, отскакивает с $-v_x$ и, значит, передаёт импульс $2m{v}_x$. Молекулы с данным $v_x$, которые ударяются о площадку $dA$ за время $dt$, — это те, что находятся от неё ближе, чем на $v_{x}dt$; их число пропорционально $v_x$, поэтому вклад каждой группы пропорционален $v_x^2$. До стенки долетает только та половина молекул, что движется к ней, — это сокращает множитель 2, и усреднение по всем молекулам даёт
$p=nm\overline{v_x^2}$
где $n$ — число молекул в единице объёма, а $\overline{v_x^2}$ — среднее значение $v_x^2$. В тепловом равновесии на движение вдоль $x$ у каждой молекулы приходится в среднем кинетическая энергия $\frac{1}{2}kT$, где $k$ — постоянная Больцмана, а $T$ — абсолютная температура. Поэтому $m\overline{v_x^2}=kT$ и
$p=nkT$
Для воздуха при 101 кПа и 288 К отсюда $n\approx 2,55\times 10^{25}{\mathrm{м}}^{-3}$.

Теперь атмосфера; пусть $m$ — средняя масса молекулы воздуха. Плотность $\rho =nm$, поэтому при одинаковой температуре $\rho =mp/(kT)$ — она пропорциональна давлению. Уравнение гидростатики принимает вид
$\frac{dp}{dz}=-\frac{mg}{kT}p$
Давление убывает со скоростью, пропорциональной ему самому, поэтому с высотой оно убывает экспоненциально. Если теперь $p_0$ — давление на уровне моря, $z=0$, то
$p=p_0{e}^{-z/H},H=\frac{kT}{mg}\approx 8,4\mathrm{км}$
для воздуха при 288 К. $H$ — высота однородной атмосферы: подъём, на котором давление падает в $e$ раз. Множитель $e^{-mgz/(kT)}$ — больцмановский множитель, который сравнивает потенциальную энергию молекулы $mgz$ с тепловой энергией $kT$; здесь он возникает из механики.

Закон хорошо выполняется. Для вершины Эвереста, на высоте 8,85 км, он предсказывает около 35 кПа, что близко к измеренным там 34 кПа; реальный воздух холоднее 288 К, и это ещё немного понижает давление. В 1648 году ртутный барометр, который по просьбе Паскаля подняли на Пюи-де-Дом, показал, что столб опустился примерно на 8 см: сверху давило меньше воздуха.

Жидкости с ускорением и выталкивающая сила

Уравнение гидростатики выполняется и в сосуде, который движется с ускорением, если работать в системе отсчёта самого сосуда. Тогда оно объясняет, почему наклоняется поверхность воды в цистерне, а ещё одним шагом — откуда берётся выталкивающая сила.

Обозначения

$\vec{a}$	Ускорение грузовика и цистерны; нарисовано и в обратную сторону, как $-\vec{a}$, чтобы построить $\vec{g}-\vec{a}$.	$\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$
$\vec{g}$	Ускорение свободного падения, направленное вниз.	$\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$
$\vec{g}-\vec{a}$	Эффективное ускорение свободного падения в системе отсчёта цистерны; вдоль него растёт давление.	$\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$
$\theta$	Наклон свободной поверхности к горизонтали, равный углу между $\vec{g}$ и $\vec{g}-\vec{a}$; $\tan \theta =a/g$.	$\mathrm{рад}$

В системе отсчёта, движущейся с ускорением $\vec{a}$, на каждую частицу жидкости, кроме веса, действует сила инерции $-\rho \vec{a}$ на единицу объёма, и уравнение принимает вид
$\nabla p=\rho (\vec{g}-\vec{a})$
Жидкость ведёт себя так, будто ускорение свободного падения равно $\vec{g}-\vec{a}$, — это эффективное ускорение свободного падения. На рисунке 3 показана цистерна на грузовике, разгоняющемся вправо с ускорением $\vec{a}$. Справа на рисунке вектор $\vec{g}-\vec{a}$ построен как сумма $\vec{g}$, направленного вертикально вниз, и $-\vec{a}$, направленного назад: результат направлен вниз и назад. Давление растёт вдоль $\vec{g}-\vec{a}$, поэтому изобары, показанные штриховыми линиями, перпендикулярны этому вектору. Свободная поверхность — одна из изобар, $p=p_0$, поэтому она наклоняется вместе с ними, и вода собирается у задней стенки цистерны.

Чтобы найти наклон, рассмотрим угол $\theta$ между поверхностью и горизонталью. Поверхность перпендикулярна $\vec{g}-\vec{a}$, а горизонталь перпендикулярна $\vec{g}$, поэтому $\theta$ — это ещё и угол между $\vec{g}$ и $\vec{g}-\vec{a}$. В векторном треугольнике справа катет, противолежащий углу $\theta$, равен $a$, а прилежащий — $g$, поэтому
$\tan \theta =a/g$
На рисунке взято $a=g/2$, чтобы наклон был хорошо виден. Вода в цистерне грузовика, разгоняющегося с ускорением 3 м/с², образует поверхность, наклонённую под углом $\theta$, для которого $\tan \theta =3/9,81\approx 0,31$, то есть около 17°.

Выталкивающая сила возникает из того же поля. Полная сила давления на погружённое тело — это сумма $-p\hat{n}dA$ по его замкнутой поверхности. Теорема векторного анализа превращает этот поверхностный интеграл в объёмный интеграл от $\nabla p$ по области, которую занимает тело, поэтому для покоящейся жидкости
$-\oint p\hat{n}dA=-\int \nabla pdV=-\rho \vec{g}V$
где $V$ — объём тела. Эта сила направлена вверх и равна весу жидкости, вытесненной телом: это закон Архимеда. Давление на поверхность не зависит от того, что находится внутри неё, поэтому результат верен для любого тела. В цистерне, движущейся с ускорением, тот же интеграл даёт $-\rho (\vec{g}-\vec{a})V$, и у этой силы есть составляющая, направленная вперёд; вот почему воздушный шарик с гелием в машине при разгоне наклоняется вперёд.

Задача: вес жидкости в прессе

В разборе пресса выше вес самой жидкости не учитывался. Эта задача возвращает его, чтобы показать, насколько велика поправка и куда уходит энергия.

Обозначения

$A_1$	Площадь малого поршня.	${\mathrm{м}}^2$
$A_2$	Площадь большого поршня, в четыре раза больше $A_1$.	${\mathrm{м}}^2$
$F_1$	Сила, с которой рука давит на малый поршень.	$\mathrm{Н}$
$F_2$	Сила давления жидкости на большой поршень, равная весу автомобиля.	$\mathrm{Н}$
$p_1$	Давление жидкости под малым поршнем.	$\mathrm{Па}$
$p_2$	Давление жидкости под большим поршнем, $F_2/A_2$.	$\mathrm{Па}$
$z_1$	Высота нижней грани малого поршня.	$\mathrm{м}$
$z_2$	Высота нижней грани большого поршня.	$\mathrm{м}$
$z_1-z_2$	На сколько нижняя грань малого поршня выше; давление под ним меньше на $\rho g(z_1-z_2)$.	$\mathrm{м}$

На рисунке 4 показан пресс из анимации, заполненный водой, в начале хода. Сначала посмотрите на нижние грани двух поршней. Нижняя грань малого поршня, на высоте $z_1$, на 40 см выше нижней грани большого, находящейся на высоте $z_2$. За ход малый поршень опускается на 48 см, а большой поднимается на 12 см, так что в конце нижняя грань малого поршня оказывается на 20 см ниже грани большого.

Большой поршень несёт автомобиль, поэтому жидкость должна давить на него вверх с силой, равной весу автомобиля, $F_2$. На площади $A_2$ для этого нужно давление $p_2=F_2/A_2\approx 46,19\mathrm{кПа}$ на протяжении всего хода. Давление убывает с высотой, как и говорит уравнение гидростатики, поэтому под малым поршнем, который выше на $z_1-z_2$, оно меньше:
$p_1=p_2-\rho g(z_1-z_2)$
Это более короткая стрелка $p_1$ на рисунке. Рука должна тогда давить с силой $F_1=p_1{A}_1$.

В начале $\rho g(z_1-z_2)=9810\cdot 0,40\approx 3,92\mathrm{кПа}$; в конце разность высот равна $-0,20\mathrm{м}$, и это слагаемое равно $-1,96\mathrm{кПа}$. При $A_1=0,0531{\mathrm{м}}^2$ рука должна давить с силой
$F_1=(46,19-3,92)\mathrm{кПа}\cdot 0,0531{\mathrm{м}}^2\approx 2,24\mathrm{кН}$
в начале и
$F_1=(46,19+1,96)\mathrm{кПа}\cdot 0,0531{\mathrm{м}}^2\approx 2,56\mathrm{кН}$
в конце, а не с неизменной силой 2,45 кН, найденной без учёта веса жидкости.

Разность высот меняется по ходу линейно, от $0,40$ до $-0,20\mathrm{м}$, а вместе с ней и давление под малым поршнем. Поэтому работа руки равна вытесненному объёму, умноженному на среднее давление. Средняя разность высот равна 0,10 м, и рука совершает работу
$W_1=V(p_2-\rho g\cdot 0,10\mathrm{м})=0,02548{\mathrm{м}}^3\cdot 45,21\mathrm{кПа}\approx 1152\mathrm{Дж}$

Это на 25 Дж меньше, чем 1177 Дж, которые получает автомобиль, и разница возникает из-за самой воды. Перекачанные 25,5 кг воды уходят из столба в верхней части малого цилиндра, центр которого на 24 см ниже начального уровня малого поршня, и оказываются слоем под большим поршнем, центр которого на 6 см выше начального уровня этого поршня, стоявшего на 40 см ниже. Поэтому центр масс воды опускается на $0,40-0,24-0,06=0,10\mathrm{м}$ и освобождает $25,5\cdot 9,81\cdot 0,10\approx 25\mathrm{Дж}$: энергия сохраняется, если учесть и жидкость. Поправка достигает здесь 8,5 % силы; настоящие домкраты работают при мегапаскалях, где несколько килопаскалей $\rho g\Delta z$ пренебрежимо малы.

Границы применимости

Каждый полученный выше результат опирается на несколько допущений, и каждое из них где-то нарушается.

Первое — отсутствие сдвига, а его нет лишь в среде, которая покоится или движется как твёрдое тело, как вода в цистерне грузовика. В текущей жидкости давление зависит ещё и от скорости, а вязкость возвращает касательные напряжения.

Второе — постоянная плотность. Жидкостям она подходит очень хорошо: вода сжимается примерно на 0,005 % при повышении давления на одну атмосферу, и даже на дне самой глубокой океанской впадины, почти в 11 км под поверхностью, под давлением около 110 МПа, она плотнее всего на несколько процентов. Для газа это верно лишь на высотах, малых по сравнению с высотой однородной атмосферы $H$: в комнате высотой 10 м давление воздуха меняется на 0,12 %, а для горной цепи уже нужен экспоненциальный закон.

Третье — плоские поверхности. Где поверхность жидкости искривлена, поверхностное натяжение создаёт на ней скачок давления. В заполненной водой стеклянной трубке радиусом $r=0,5\mathrm{мм}$ поверхностное натяжение $\gamma \approx 0,072\mathrm{Н}/\mathrm{м}$ понижает давление сразу под искривлённой поверхностью на $2\gamma /r$, около 0,3 кПа, — этого достаточно, чтобы поднять воду в трубке примерно на 3 см.

Последнее — сама сплошная среда. Гладкое поле $p(\vec{r})$ требует элементов жидкости, малых по сравнению с прибором, но содержащих много молекул. Молекула воздуха на уровне моря пролетает между столкновениями около 70 нм, так что там это условие выполняется легко; выше примерно 120 км она пролетает больше метра, и представление о сплошной среде перестаёт работать.

Что дальше

Давление в покоящейся жидкости — отправная точка нескольких других уроков. Интегрирование давления по поверхности погружённого тела — тема урока «Закон Архимеда». Урок «Уравнение Бернулли» распространяет $p+\rho gz=\mathrm{const}$ на движущиеся жидкости, добавляя $\frac{1}{2}\rho v^2$, — отсюда берётся скорость струи $\sqrt{2gh}$, а урок «Сопротивление среды и предельная скорость» возвращает сдвиговые напряжения, которых нет у жидкости в покое. Молекулярное происхождение $p=nkT$ разбирается в уроке «Молекулярно-кинетическая теория газов», конвекция возвращается в уроке «Теплопроводность, конвекция и излучение», а обмен силы на путь в прессе — тот же, что в уроке «Простые механизмы: рычаги, блоки и зубчатые передачи». Наконец, звук — это малая и быстрая рябь давления, тема урока «Звук и эффект Доплера».