Empuxo e princípio de Arquimedes

Iniciante

Se você mergulha até o fundo de uma piscina, sente a água pressionando seus ouvidos. A água pressiona tudo o que está nela, por todos os lados, e quanto mais fundo você vai, mais forte ela pressiona, porque a água de baixo sustenta toda a água de cima.

Agora imagine um bloco debaixo d’água. A base dele está mais funda que o topo, então a água empurra a base para cima com mais força do que empurra o topo para baixo. A diferença é um empurrão para cima: o empuxo.

Quão forte ele é? Imagine um saco plástico fino cheio de água, parado na piscina. Ele não afunda nem sobe, então a água ao redor precisa sustentar exatamente o seu peso. Troque o saco por uma pedra de mesmo formato: a água não percebe a diferença e empurra com a mesma força. Esse é o princípio de Arquimedes: o empuxo é igual ao peso do fluido que o objeto desloca. Cada litro deslocado dá cerca de 9,8 N de sustentação, então, debaixo d’água, você só levanta o peso do objeto menos esse empurrão.

Um objeto que pesa mais que a água que consegue deslocar afunda. Um que pesa menos flutua, estabilizando-se na profundidade exata em que a água deslocada pesa o mesmo que ele. Na animação, o bloco de madeira balança e para com 60% da sua altura debaixo d’água, quando a seta “a água empurra para cima” fica do mesmo tamanho da seta do peso. O ar também é um fluido: um balão de ar quente sobe porque pesa menos do que o ar que desloca.

Teste você: uma pedra de 3 litros está no fundo de um lago. Quanto mais leve ela parece quando você a levanta debaixo d’água? Resposta: pelo peso de 3 litros de água, cerca de 29 N.

Intermediário

O que densidade e pressão medem

Quem decide se algo flutua é a densidade, a massa por unidade de volume:
$\rho =\frac{m}{V}$

Ela é medida em kg/m³. A água doce tem 1000 kg/m³, então um litro tem massa de 1 kg; o gelo tem 920 kg/m³ e o aço cerca de 7850 kg/m³. Para um objeto oco ou formado por materiais misturados, $\rho$ é a densidade média: a massa total dividida pelo volume inteiro dentro da sua superfície externa.

Pressão é força por unidade de área, em pascal ($1\mathrm{Pa}=1N/{\mathrm{m}}^2$). Um fluido em repouso empurra perpendicularmente em cada superfície, e com mais força quanto maior a profundidade, porque cada camada sustenta o fluido acima dela:
$p=p_0+\rho gh$

Aqui $p_0$ é a pressão na superfície, cerca de 101 kPa, e $h$ é a profundidade. A água acrescenta cerca de 9,8 kPa por metro, como mostra a aula Pressão em fluidos e Princípio de Pascal.

De onde vem o empuxo

Imagine uma caixa de altura $H$ com topo e base horizontais de área $A$, totalmente debaixo d’água. A base está $H$ mais funda, então a pressão ali é maior em $\rho gH$, e o empurrão para cima na base supera o empurrão para baixo no topo:
$F_{\mathrm{up}}-F_{\mathrm{down}}=\rho gHA=\rho gV$

As forças laterais se anulam aos pares, e $p_0$ e a profundidade da caixa desaparecem: o empuxo resultante é para cima, iguala o peso da água que a caixa substitui e é o mesmo em qualquer profundidade.

Para qualquer outra forma, imagine o espaço ocupado pelo corpo preenchido com água. Essa porção de água fica em repouso, então a água ao redor a sustenta com exatamente o seu peso, sem depender do que há dentro da superfície. Esse é o princípio de Arquimedes: um corpo imerso em um fluido recebe um empuxo para cima igual ao peso do fluido que desloca,
$F_b={\rho }_{\mathrm{fluid}}{V}_{\mathrm{sub}}g$

Use a densidade do fluido, não a do objeto, e apenas o volume $V_{\mathrm{sub}}$ abaixo da superfície.

Afundar, flutuar ou suspender

Totalmente submerso, $V_{\mathrm{sub}}=V$: o peso ${\rho }_{\mathrm{object}}Vg$ enfrenta um empuxo ${\rho }_{\mathrm{fluid}}Vg$, então só importam as duas densidades.

• Se ${\rho }_{\mathrm{object}}>{\rho }_{\mathrm{fluid}}$, o peso vence em qualquer profundidade e o objeto afunda, não importa o tamanho.
• Se ${\rho }_{\mathrm{object}}<{\rho }_{\mathrm{fluid}}$, o empuxo vence e o objeto sobe até parte dele aparecer.
• Se as duas densidades forem iguais, o objeto fica suspenso em qualquer profundidade, como um peixe ou um submarino bem equilibrado.

Um objeto flutuante afunda só até que o fluido que ele desloca pese o mesmo que ele, ${\rho }_{\mathrm{fluid}}{V}_{\mathrm{sub}}g={\rho }_{\mathrm{object}}Vg$, então a fração abaixo da superfície é a razão entre as densidades:
$\frac{V_{\mathrm{sub}}}{V}=\frac{{\rho }_{\mathrm{object}}}{{\rho }_{\mathrm{fluid}}}$

O gelo flutua na água doce com 92% submerso. Na água do mar, cerca de 1025 kg/m³, um iceberg tem $920/1025\approx 0,90$ do seu volume abaixo da superfície: só um décimo aparece.

Exemplo resolvido: o bloco da animação

Nas legendas, $h$ não é uma profundidade, e sim a altura do bloco, 0,5 m. A seção transversal é $A=0,7\mathrm{m}\times 0,1\mathrm{m}=0,07{\mathrm{m}}^2$, então $V=0,035{\mathrm{m}}^3$, e ${\rho }_b=600kg/{\mathrm{m}}^3$ é a densidade da madeira (${\rho }_w$ é a da água). A massa e o peso são
$m={\rho }_{b}V=600\cdot 0,035=21\mathrm{kg},mg=21\cdot 9,81\approx 206\mathrm{N}$
que é a seta verde $mg$. Totalmente debaixo d’água, o bloco seria empurrado para cima com $1000\cdot 0,035\cdot 9,81\approx 343\mathrm{N}$, mais que o seu peso, por isso ele flutua.

Em equilíbrio, $F_b=mg$, então $V_{\mathrm{sub}}=206/(1000\cdot 9,81)=0,021{\mathrm{m}}^3$ e a profundidade submersa é $d=V_{\mathrm{sub}}/A=0,30\mathrm{m}=0,6h$: a razão $600/1000$ da regra de flutuação, na altura da linha tracejada. A pressão confirma: a face de baixo, a 0,30 m de profundidade, sente $1000\cdot 9,81\cdot 0,30\approx 2943\mathrm{Pa}$ a mais que a de cima, e $2943\cdot 0,07\approx 206\mathrm{N}$.

Os valores seguem $F_b={\rho }_{w}gAd$: 6,9 N a mais para cada centímetro de profundidade. Solto 5 cm acima da água, o bloco atinge a superfície a cerca de 1 m/s e ultrapassa, ficando totalmente submerso por cerca de um quarto de segundo: $d$ chega a 50 cm e $F_b$ ao seu máximo, 343 N, que o joga de volta para cima. Após algumas oscilações cada vez menores, os valores terminam em $d\approx 30\mathrm{cm}$ e um $F_b$ a poucos newtons de 206 N.

Exemplo resolvido: pesar uma pedra na água

Uma pedra numa balança de mola marca 24,5 N no ar e 14,7 N totalmente debaixo d’água. Quais são o seu volume e a sua densidade?

Debaixo d’água a balança mostra o peso aparente, ou seja, o peso real menos o empuxo, então $F_b=24,5-14,7=9,8\mathrm{N}$, o peso da água deslocada:
$V=\frac{F_b}{{\rho }_{\mathrm{fluid}}g}=\frac{9,8}{1000\cdot 9,81}\approx 1,0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$
ou seja, um litro. A massa é $24,5/9,81\approx 2,5\mathrm{kg}$, logo $\rho =m/V\approx 2500kg/{\mathrm{m}}^3$, típico de rocha. Mais rápido ainda: o peso dividido pela perda na água, $24,5/9,8=2,5$, é a densidade relativa à água.

Conta a lenda que Arquimedes testou a coroa de um rei pela água que ela deslocava. Ouro puro (19 300 kg/m³), de mesmo peso, perde só 1,3 N na água; por isso, ouro misturado com prata, mais leve, se denuncia por perder mais.

Lendo as setas e a linha tracejada

A seta verde $mg$ mantém o seu comprimento, enquanto a seta vermelha $F_b$ cresce em proporção à profundidade submersa. Com a base do bloco acima da linha tracejada, a seta vermelha é menor e a força resultante aponta para baixo; abaixo dela, aponta para cima. Cada centímetro de distância da linha devolve 6,9 N em direção a ela, como faria uma mola de rigidez 687 N/m. O bloco ultrapassa a linha porque ainda está em movimento ali, e o arrasto da água diminui a cada oscilação.

Em um gráfico de pressão contra profundidade, uma reta sobe a partir de $p_0$ com $\rho g$ por metro. A diferença entre as duas faces de um corpo submerso, $\rho gH$, é a mesma em qualquer lugar.

Erros comuns

• Usar a densidade do objeto em $F_b$: para o bloco, isso dá $600\cdot 0,021\cdot 9,81\approx 124\mathrm{N}$, em vez dos 206 N corretos.
• Usar o volume inteiro de um objeto flutuante: o volume de 0,035 m³ do bloco daria 343 N, mas só os 0,021 m³ abaixo da linha d’água contam.
• Esperar um empuxo maior mais fundo: uma pedra submersa de 2 litros sente $1000\cdot 0,002\cdot 9,81=19,62\mathrm{N}$ a 1 m e a 10 m, porque o topo e a base ganham a mesma pressão extra.
• Achar que coisas pesadas sempre afundam: uma esfera de aço de 1 g afunda, enquanto um navio de aço de 50 000 toneladas flutua, porque o seu casco cheio de ar é, em média, menos denso que a água.
• Esquecer de converter litros: dois litros são 0,002 m³, e colocar 2 dá 19 620 N.

Onde isso aparece

Navios afundam cerca de 2,5% a mais em volume na água doce do que no mar, por isso os cascos têm linhas de carga separadas para as duas. Submarinos enchem ou esvaziam tanques de lastro para afundar, ficar suspensos ou subir, e um densímetro flutua mais fundo em um líquido menos denso, então sua haste indica a densidade do leite ou do vinho. Aquecido a 100 °C, o ar tem cerca de 0,95 kg/m³, contra 1,20 kg/m³ do lado de fora a 20 °C; por isso, cada metro cúbico de um balão de ar quente levanta só cerca de 0,25 kg.

O empuxo impulsiona a convecção, a subida de fluido quente, em Condução, convecção e radiação, e define a velocidade de sedimentação de grãos em Arrasto e velocidade terminal. O bloco que oscila é um oscilador como os de Movimento harmônico simples, e quando o fluido escoa, a pressão já não depende apenas da profundidade: esse é o Princípio de Bernoulli.

Avançado

Pressão em um fluido em repouso

O empuxo é apenas pressão: a força para cima sobre um corpo imerso é a soma de todos os empurrões que o fluido ao redor exerce sobre a sua superfície. Então começamos com o comportamento da pressão em um fluido em repouso. Notação: ${\rho }_f$ é a densidade do fluido, seja ele qual for; quando o fluido é água, escrevemos ${\rho }_w$, e, como na animação, ${\rho }_b$ é a densidade do bloco. $g\approx 9,81m/{\mathrm{s}}^2$ é a aceleração da gravidade, e $p_0$ é a pressão do ar na superfície da água.

Legenda

$p_1$	Pressão na face superior, na profundidade $h$.	$\mathrm{Pa}$
$p_2$	Pressão na face inferior, na profundidade $h+\ell$; maior que $p_1$.	$\mathrm{Pa}$
$h$	Profundidade da face superior abaixo da superfície.	$\mathrm{m}$
$\ell$	Altura da caixa.	$\mathrm{m}$
$V$	Volume da caixa, $\ell A$, em que $A$ é a área de sua face superior ou inferior.	${\mathrm{m}}^3$
${\vec{F}}_b$	Força de pressão resultante sobre a caixa, para cima: $(p_2-p_1)A={\rho }_{f}gV$.	$\mathrm{N}$

A figura 1 mostra uma caixa de altura $\ell$ e volume $V$, com uma face superior e uma inferior de área $A$ cada uma (logo $V=\ell A$), mantida totalmente debaixo d’água com a face superior na profundidade $h$. Observe primeiro as direções das setas: em cada face elas encontram a superfície em ângulo reto. Um fluido em repouso não resiste a tensões de cisalhamento, isto é, a uma força paralela à superfície que faria suas camadas deslizarem umas sobre as outras; ele só consegue empurrar perpendicularmente a uma superfície.

Agora observe os comprimentos. As setas crescem com a profundidade, porque cada camada de água sustenta o peso de toda a água acima dela. Só essa parte que depende da profundidade está desenhada: o ar acrescenta a mesma pressão $p_0$ a todas as faces, e uma pressão uniforme não produz força resultante sobre uma caixa fechada, como provamos abaixo.

Os dois lados estão nas mesmas profundidades, então suas setas se igualam aos pares e se anulam. Restam a face superior, empurrada para baixo por $p_{1}A$, e a face inferior, empurrada para cima por $p_{2}A$. A base está $\ell$ mais funda, então $p_2$ excede $p_1$ pelo peso de uma coluna de água de altura $\ell$ sobre a área unitária, ${\rho }_f(\ell A)g/A$:
$p_2-p_1={\rho }_{f}g\ell$
A força resultante sobre a caixa é, portanto, para cima:
$F_b=(p_2-p_1)A={\rho }_{f}g\ell A={\rho }_{f}gV$
Esse é o peso da água que preencheria a caixa. A profundidade $h$ desapareceu: enquanto a água não se comprime, o empuxo é o mesmo em qualquer profundidade.

Pressão como campo

O argumento da caixa usou dois fatos sem demonstração: que a pressão em um ponto empurra igualmente em todas as direções, e que ela cresce de forma contínua com a profundidade. Ambos decorrem da segunda lei de Newton aplicada a pequenos pedaços de fluido em repouso; a forma geral permite, depois, tratar corpos de qualquer formato e até recipientes acelerados.

Primeiro, a direção. Escreva a força do fluido sobre um pequeno elemento de superfície de área $dA$ como $-p\hat{n}dA$, em que $\hat{n}$ é o vetor unitário normal ao elemento, apontando para fora do corpo; o sinal de menos indica que o fluido empurra para dentro. A pressão $p$ é a mesma qualquer que seja a orientação do elemento? Considere uma pequena cunha triangular de fluido. As forças sobre suas faces crescem com o quadrado do seu tamanho, e o peso, com o cubo. Quando a cunha encolhe, o peso se torna desprezível, e as forças nas faces precisam se equilibrar sozinhas; para um triângulo, isso só é possível se a pressão for a mesma em todas as faces. Logo, $p$ não depende da direção: a pressão é um campo escalar $p(\vec{r})$, um único número em cada ponto.

Depois, como ela varia. Tome um pequeno cubo de lados $dx$, $dy$, $dz$. O fluido na face esquerda o empurra no sentido $+x$ com $p(x)dydz$; o fluido na face direita o empurra de volta com $p(x+dx)dydz$. A força resultante em $x$ é a diferença, $-(\partial p/\partial x)dxdydz$. O mesmo vale para $y$ e $z$, então a força de pressão por unidade de volume é $-\nabla p$: diferenças de pressão empurram o fluido de onde a pressão é alta para onde ela é baixa.

Para um fluido em repouso, essa força deve equilibrar a gravidade, que puxa cada unidade de volume com ${\rho }_f\vec{g}$. Com $z$ medido para cima, de modo que $\vec{g}$ aponte no sentido de $-z$,
$\nabla p={\rho }_f\vec{g},\frac{dp}{dz}=-{\rho }_{f}g$
Para densidade constante, integrando a partir da superfície para baixo, obtemos $p=p_0+{\rho }_{f}gh$ na profundidade $h$; os $p_1$ e $p_2$ da figura 1 são esses valores nas profundidades $h$ e $h+\ell$. Como $\nabla p$ aponta na direção de $\vec{g}$, a pressão muda apenas na vertical: as superfícies de mesma pressão, entre elas a superfície livre, são perpendiculares a $\vec{g}$, ou seja, horizontais.

Três caminhos para o princípio de Arquimedes

O princípio de Arquimedes afirma que um corpo em um fluido em repouso sofre uma força para cima igual ao peso do fluido que ele desloca. A caixa provou isso para um formato. Três argumentos provam para qualquer formato, e cada um acrescenta algo: o primeiro é um cálculo de uma linha, o segundo também diz onde a força atua, e o terceiro mostra por que só a densidade média importa.

Legenda

$S$	Superfície do corpo; à direita, a mesma superfície envolve água.
$V$	Volume envolvido por $S$.	${\mathrm{m}}^3$
$p$	Pressão sobre $S$: perpendicular a ela, maior onde $S$ está mais funda.	$\mathrm{Pa}$
$B$	Centroide do volume envolvido por $S$: o centro de empuxo.
${\vec{F}}_b$	Força de pressão sobre $S$, para cima, por $B$; igual nos dois painéis.	$\mathrm{N}$
$W$	Peso da água que preenche $S$, ${\rho }_{f}Vg$, para baixo, por $B$.	$\mathrm{N}$

A figura 2 contém a ideia-chave. À esquerda, um corpo de forma qualquer está em água em repouso; $S$ é a sua superfície, $V$ o volume dentro dela, e as setas representam a pressão $p$ sobre $S$, perpendicular a $S$ e mais longas onde $S$ está mais funda. À direita, o corpo foi retirado e a mesma superfície $S$ envolve água. Compare as setas: são idênticas. A pressão em cada ponto de $S$ é determinada pela profundidade desse ponto na água ao redor, que não mudou; portanto, ela não pode depender do que está dentro de $S$. Seja o que for que preencha $S$, a força total de pressão sobre ela, ${\vec{F}}_b$, é a mesma.

Caminho 1, pelo cálculo. O empuxo é a soma das forças de pressão sobre a superfície fechada $S$. A pressão hidrostática é apenas uma função da altura, então pode ser estendida ao volume $V$ ocupado pelo corpo. O teorema do gradiente, parente próximo do teorema da divergência, transforma então a integral de superfície de $p\hat{n}$ em uma integral de volume de $\nabla p$, e a equação hidrostática fornece $\nabla p$:
${\vec{F}}_b=-{\oint }_{S}p\hat{n}dA=-{\int }_V\nabla pdV=-{\rho }_f\vec{g}V$
A força aponta contra $\vec{g}$, ou seja, para cima, com módulo ${\rho }_{f}gV$: o peso de um volume $V$ de fluido. A pressão superficial $p_0$ desapareceu porque seu gradiente é nulo; essa é a prova de que uma pressão uniforme não exerce força resultante sobre uma superfície fechada.

Para um corpo flutuante, apenas parte da superfície está molhada. Trabalhe com a pressão em excesso sobre $p_0$: a pressão do ar, $p_0$, atua sobre toda a superfície fechada e se cancela. Esse excesso de pressão é zero no plano da linha d’água, então fechar a superfície molhada com a porção desse plano dentro do corpo não acrescenta nada, e o mesmo teorema dá ${\rho }_{w}g{V}_{\mathrm{sub}}$, em que $V_{\mathrm{sub}}$ é o volume submerso.

Caminho 2, pelo equilíbrio, sem cálculo; ele usa a figura da direita. A água dentro de $S$ está em repouso sob duas forças: seu peso $W={\rho }_{f}Vg$, atuando para baixo pelo centro de massa, e a força de pressão ${\vec{F}}_b$ da água ao redor. Como ela não acelera, as forças se cancelam, então $F_b=W$, apontando para cima. Como ela não começa a girar, as duas forças não têm torque resultante, portanto ${\vec{F}}_b$ atua na mesma vertical que $W$. Para água uniforme, o centro de massa é o centroide, o centro geométrico do volume dentro de $S$, chamado $B$.

Agora volte à figura da esquerda. A pressão em $S$ é a mesma, então o corpo sente a mesma força ao longo da mesma linha. O empuxo é igual ao peso do fluido deslocado e atua por $B$, o centroide do volume deslocado, chamado centro de empuxo. Esse argumento nem precisa de densidade constante: em um fluido cuja densidade varia com a profundidade, a força ainda é o peso do fluido deslocado, $g{\int }_V{\rho }_{f}dV$, agora atuando pelo centro de massa desse fluido.

Caminho 3, pela energia. Eleve o corpo de uma pequena altura $\delta z$. Sua própria energia potencial aumenta em $mg\delta z$. O fluido flui para o espaço que ele deixa embaixo, e o efeito líquido sobre o fluido é que um volume $V$ dele, de massa ${\rho }_{f}V$, desceu $\delta z$, perdendo ${\rho }_{f}Vg\delta z$. No total,
$\delta U=(m-{\rho }_{f}V)g\delta z$
Uma força é menos a inclinação da energia potencial, logo a força resultante para cima é $-\delta U/\delta z={\rho }_{f}Vg-mg$: empuxo menos peso. Só a massa e o volume do corpo entram, ou seja, sua densidade média $m/V$. É por isso que um casco de aço flutua, embora o aço seja quase oito vezes mais denso que a água: ele encerra ar suficiente para trazer a densidade média abaixo da densidade da água.

A água como mola

Um corpo flutuante empurrado para baixo e solto oscila para cima e para baixo. Esta seção mostra que, perto da posição de flutuação, a água age sobre ele como uma mola linear, e encontra o período dessa oscilação.

Tome o bloco da animação. Ele tem laterais verticais, então a área da sua seção horizontal, $A=0,70\mathrm{m}\cdot 0,10\mathrm{m}=0,07{\mathrm{m}}^2$, é a mesma em qualquer altura. A partir daqui, $h$ é a altura do bloco, $h=0,50\mathrm{m}$, e não uma profundidade como na figura 1. Sua densidade é ${\rho }_b=0,6{\rho }_w$, então sua massa é $m={\rho }_{b}Ah=21\mathrm{kg}$ e seu peso, 206 N. Flutuando, o empuxo é igual ao peso, ${\rho }_{w}gAd={\rho }_{b}gAh$, então a profundidade de flutuação (o calado) é $d=({\rho }_b/{\rho }_w)h=0,30\mathrm{m}$.

Agora empurre o bloco por uma distância extra $x$ abaixo da sua profundidade de flutuação. Ele desloca um volume extra $Ax$, então o empuxo cresce ${\rho }_{w}gAx$ enquanto o peso permanece o mesmo. A força resultante é uma força restauradora $-kx$, com rigidez $k={\rho }_{w}gA$, cerca de 687 N/m para o bloco. Isso é a lei de Hooke, logo o movimento é harmônico simples. Usando $m={\rho }_{b}Ah$ e depois $d=({\rho }_b/{\rho }_w)h$, sua frequência angular é
${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{{\rho }_{w}g}{{\rho }_{b}h}}=\sqrt{\frac{g}{d}}$
A área se cancelou, e o resultado é simples: um corpo flutuante de laterais verticais oscila com o período de um pêndulo simples de comprimento igual à sua profundidade de flutuação. Para $d=0,30\mathrm{m}$, ${\omega }_0\approx 5,7rad/s$ e $T_0=2\pi \sqrt{d/g}\approx 1,10\mathrm{s}$, qualquer que seja a área; um navio de laterais verticais e calado de 9 m balançaria, isto é, oscilaria verticalmente, cerca de uma vez a cada 6 s.

A mola só é linear enquanto o bloco está parcialmente debaixo d’água. Quando ele está totalmente submerso, seu volume deslocado não pode mais crescer, e a força de empuxo também não. O gráfico do movimento mostra os dois regimes.

Lendo o gráfico y(t)

O bloco da animação é acionado por essa mola junto com um arrasto da água. Seu gráfico testa o modelo da mola: onde ele vale, onde falha e quão rápido o movimento se extingue.

Legenda

$y$	Altura do bloco acima do seu nível de flutuação.	$\mathrm{m}$
$t$	Tempo desde a soltura.	$\mathrm{s}$
$y_0$	Altura inicial, no momento da soltura.	$\mathrm{m}$
$d-h$	Altura em que o topo do bloco fica nivelado com a água ($d$ é a profundidade de flutuação, $h$ a altura do bloco); abaixo dela, o bloco inteiro está submerso.	$\mathrm{m}$
$T$	Tempo entre dois pontos de retorno superiores sucessivos.	$\mathrm{s}$
$e^{-\gamma t}$	Fator pelo qual as oscilações diminuem com o tempo; $\gamma$ é a taxa de amortecimento.

A figura 3 traça a altura $y$ do bloco acima do nível de flutuação contra o tempo $t$; o eixo horizontal $t$, $y=0$, é o próprio nível de flutuação. O bloco é solto em $y_0=35\mathrm{cm}$, o que deixa sua base 5 cm acima da água, já que ele flutua com 30 cm submersos.

Acompanhe a primeira oscilação: ela não é harmônica. O bloco cai pelo ar, mergulha fundo, passando pela linha tracejada $d-h=-20\mathrm{cm}$, onde o topo fica nivelado com a água, até $-24,5\mathrm{cm}$ em 0,55 s. Abaixo de $d-h$ a mola satura: $F_b$ não pode exceder o empuxo do bloco inteiro, ${\rho }_{w}gV=343\mathrm{N}$. Depois dessa oscilação, a profundidade submersa fica entre cerca de 15 e 40 cm, dentro da altura do bloco, onde a força é linear.

Agora leia os pontos de retorno superiores depois do primeiro: +15.2, +6.7, +2.9, +1.3 e +0.55 cm. Eles ocorrem cerca de 1,11 s um do outro, o intervalo $T$ marcado na figura, e cada um vale cerca de 0,44 do anterior. Uma razão constante por oscilação significa decaimento exponencial, então os picos estão sobre o envelope tracejado $\pm y_0{e}^{-\gamma t}$ da oscilação amortecida $y\approx y_0{e}^{-\gamma t}\cos (\omega t)$ que identifica o gráfico na animação; aqui $\omega$ é a frequência angular amortecida ${\omega }_d$. Um período multiplica a amplitude por $e^{-\gamma T}\approx 0,44$, então
$\gamma \approx \ln (1/0,44)/1,11\approx 0,74{\mathrm{s}}^{-1}$
próximo do $\gamma =0,75{\mathrm{s}}^{-1}$ embutido no arrasto da água do modelo.

O amortecimento quase não reduz a oscilação: ${\omega }_d=\sqrt{{\omega }_0^2-{\gamma }^2}\approx 5,67rad/s$ fica só cerca de 1% abaixo de ${\omega }_0$, e por isso $T$ é tão próximo de $T_0$. O fator de qualidade $Q={\omega }_0/(2\gamma )\approx 3,8$ indica amortecimento leve: o bloco faz algumas oscilações visíveis antes de se acomodar.

Estabilidade e o metacentro

Flutuar não basta: um navio também precisa ficar em pé. Esta seção pergunta quando uma pequena inclinação, um adernamento, produz um torque que devolve o corpo à posição vertical, e encontra um comprimento, a altura metacêntrica $GM$, que responde a isso.

Legenda

$\theta$	Ângulo de adernamento: o quanto o casco foi girado da vertical.	$\mathrm{rad}$
$G$	Centro de gravidade do casco, na linha de centro; o peso atua aqui.
$B$	Centro de empuxo quando o casco estava na vertical, um ponto fixo no casco.
$B^{\prime }$	Centro de empuxo agora: o centroide da parte submersa, deslocado para o lado baixo.
$M$	Metacentro: onde a vertical por $B^{\prime }$ cruza a linha de centro.
$GM$	Altura metacêntrica: a distância de $G$ até $M$; o binário de endireitamento é $mgGM\sin \theta$.	$\mathrm{m}$
$m\vec{g}$	Peso do casco, para baixo, por $G$.	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_b$	Força de empuxo, para cima, por $B^{\prime }$; de módulo igual ao do peso.	$\mathrm{N}$

A figura 4 mostra um casco em forma de caixa adernado por um ângulo $\theta$, desenhado bem maior do que um adernamento real para deixar a geometria clara. Duas forças atuam sobre ele. O peso $m\vec{g}$ atua para baixo pelo centro de gravidade $G$, um ponto fixo no casco. A força de empuxo ${\vec{F}}_b$ atua para cima pelo centro de empuxo, o centroide da parte submersa. Quando o casco estava na vertical, esse centroide estava em $B$, na linha de centro, a linha de simetria do casco que passa por $G$. Em um navio, $B$ costuma ficar abaixo de $G$, como aqui, e isso por si só não é perigoso.

Agora observe a linha d’água. O adernamento tira do fluido uma cunha do casco do lado alto e empurra para dentro uma cunha do lado baixo. O volume submerso continua o mesmo, mas a forma dele se desloca para o lado baixo, e com ela o seu centroide: o centro de empuxo passa de $B$ para $B^{\prime }$, e ${\vec{F}}_b$ atua agora na vertical que passa por $B^{\prime }$. Siga essa vertical para cima: ela cruza a linha de centro no metacentro $M$.

Quão alto está $M$? Seja $I$ o segundo momento de área da linha d’água, isto é, da área que a superfície da água recorta no casco, em relação ao eixo de adernamento, a linha em torno da qual ele inclina. Uma faixa da área da linha d’água a uma distância $y$ desse eixo ganha ou perde uma altura submersa $y\theta$, de modo que as cunhas transportam um momento de volume $I\theta$ de um lado para o outro, e $B$ se desloca lateralmente de $I\theta /V_{\mathrm{sub}}$. Para um ângulo pequeno, esse deslocamento equivale a $BM\theta$, logo $M$ fica a uma altura fixa
$BM=\frac{I}{V_{\mathrm{sub}}}$
acima de $B$.

Na figura 4, $M$ fica acima de $G$, à distância $GM$. O peso por $G$ e o empuxo por $B^{\prime }$ são iguais e opostos, mas não estão na mesma linha, formando assim um binário. Seu braço de alavanca é $GM\sin \theta$, e seu momento, $mgGM\sin \theta$, devolve o casco à posição vertical. Se $M$ ficasse abaixo de $G$, as mesmas duas forças o inclinariam ainda mais. Um corpo flutuante é, portanto, estável contra um pequeno adernamento quando $M$ está acima de $G$, isto é, quando $GM>0$.

Para um casco em forma de caixa de largura $b$, comprimento $L$ e profundidade de flutuação $d$, $I=L{b}^3/12$ e $V_{\mathrm{sub}}=Lbd$, logo
$BM=\frac{b^2}{12d}$
A largura ajuda pelo seu quadrado. Tudo que eleva $G$ trabalha contra a estabilidade: carga armazenada no alto e água que escorre livremente pelo convés, indo para o lado baixo e agindo como um $G$ elevado, uma causa clássica de naufrágios por emborcamento.

Problema: o bloco ficaria em pé?

Aplique isso ao bloco da animação: altura $h=0,50\mathrm{m}$, profundidade de flutuação $d=0,30\mathrm{m}$, 0,70 m de largura e 0,10 m de espessura. Meça as alturas a partir da base. O bloco é uniforme, então $G$ está na metade da altura, a 0,25 m, e $B$ no meio da parte submersa, a meia profundidade de flutuação, 0,15 m.

Adernando no plano da tela, a linha d’água tem 0,70 m de largura:
$BM=\frac{b^2}{12d}=\frac{0,70^2}{12\cdot 0,30}\approx 0,136\mathrm{m}$
Assim, $M$ fica a $0,15+0,136\approx 0,286\mathrm{m}$ acima do fundo, 3,6 cm acima de $G$: o bloco é estável nessa direção. Com 5° de adernamento, onde $\sin \theta \approx 0,087$, o momento de endireitamento é $206\cdot 0,036\cdot 0,087\approx 0,65\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$.

Adernando através da espessura de 0,10 m, a linha d’água tem apenas 0,10 m de largura, e $BM=0,10^2/(12\cdot 0,30)\approx 0,003\mathrm{m}$. Agora $M$ fica 9,7 cm abaixo de $G$, então $GM<0$ e o bloco é instável. Um bloco real dessas proporções tombaria e flutuaria sobre sua face larga, 6 cm de profundidade (0,6 de seus 0,10 m de espessura). Só a animação bidimensional, que deixa o bloco subir e descer mas não rolar, o mantém em pé.

O mesmo raciocínio dá uma regra geral. Para um bloco uniforme de densidade relativa $s={\rho }_b/{\rho }_w$, altura $h$ e largura $b$ no plano do adernamento, $G$ está em $h/2$, $B$ em $d/2=sh/2$, e $BM=b^2/(12sh)$. Exigindo que $M$ esteja acima de $G$, $sh/2+b^2/(12sh)>h/2$, e rearranjando, obtemos a condição para flutuar em pé:
$\frac{b}{h}>\sqrt{6s(1-s)}$
Para $s=0,6$, isso exige $b/h>1,2$: a largura dá 1,4 e passa no teste, a espessura dá apenas 0,2 e não passa. Uma viga quadrada, $b=h$, não passa no teste para nenhum $s$ entre cerca de 0,21 e 0,79; por isso, vigas quadradas de madeira comum flutuam inclinadas, e não deitadas sobre a face.

Fluidos acelerados e compressíveis

Até aqui o recipiente estava em repouso e o fluido era incompressível. Abandonar qualquer uma dessas hipóteses muda o empuxo de maneiras instrutivas.

Num recipiente que acelera com $\vec{a}$, o fluido em repouso em relação a ele também precisa acelerar. A segunda lei de Newton por unidade de volume fica então $-\nabla p+{\rho }_f\vec{g}={\rho }_f\vec{a}$, isto é, $\nabla p={\rho }_f(\vec{g}-\vec{a})$. Essa é a equação hidrostática com $\vec{g}$ substituído pela gravidade efetiva $\vec{g}-\vec{a}$, de modo que tudo acima se aplica: o empuxo aponta contra $\vec{g}-\vec{a}$.

Disso decorrem três consequências. Num elevador que sobe com aceleração de 2 m/s², o peso efetivo $m(g+a)$ e o empuxo crescem ambos pelo fator $11,81/9,81$, então um bloco flutuante mantém a sua profundidade. Num carro que acelera, a gravidade efetiva se inclina para trás, então um balão de hélio preso por um barbante se inclina para a frente enquanto os passageiros são empurrados para trás. Em queda livre, $\vec{g}-\vec{a}=0$: não há gradiente de pressão, não há empuxo, e numa estação orbital as bolhas não sobem em uma bebida.

Num fluido compressível, ${\rho }_f$ varia com a altura. Uma atmosfera isotérmica tem $\rho ={\rho }_0{e}^{-z/H}$, em que a altura de escala $H\approx 8,4\mathrm{km}$ a 15 °C é a altura em que a densidade cai por um fator $e$. Um balão lacrado e rígido cuja densidade média é a metade da do ar ao nível do solo sobe até que o ar ao redor tenha a mesma densidade, onde $e^{-z/H}=1/2$, perto de $H\ln 2\approx 5,8\mathrm{km}$. Ele se estabiliza ali: empurrado para cima, encontra ar mais rarefeito, seu empuxo cai abaixo do peso e ele desce de volta; empurrado para baixo, acontece o contrário.

Um corpo compressível num líquido se comporta de maneira oposta. Um mergulhador de roupa de borracha-espuma que desce mais fundo é comprimido pela pressão extra, desloca menos água e por isso afunda mais rápido. A flutuabilidade neutra é, portanto, instável para qualquer coisa que se comprima mais facilmente que a água; por isso mergulhadores, peixes e submarinos precisam ajustá-la continuamente.

Limites de validade

Tudo o que foi dito acima se baseia em idealizações. Aqui está quando cada uma falha e por quanto.

A água é levemente compressível, com módulo de compressão volumétrica de cerca de 2,2 GPa: a 4000 m, sob uns 40 MPa, a água do mar fica cerca de 2% mais densa do que na superfície, e o empuxo de um corpo rígido aumenta na mesma proporção.

A hidrostática também pressupõe fluido em volta de todo o corpo. Um corpo apoiado totalmente no fundo, sem fluido por baixo, não recebe empuxo de baixo e é mantido no lugar pela pressão sobre o seu topo.

A tensão superficial $\sigma$ acrescenta uma força proporcional ao comprimento da linha em que a superfície da água encontra o corpo, enquanto peso e empuxo crescem com o volume. Os dois são comparáveis para objetos do tamanho do comprimento capilar, $\sqrt{\sigma /(\rho g)}\approx 2,7\mathrm{mm}$ para a água, por isso insetos e uma agulha de aço seca podem repousar sobre a superfície.

Um corpo acelerado também precisa acelerar parte do fluido à sua volta. Para uma esfera, essa massa adicional é $\frac{1}{2}{\rho }_{f}V$, então uma bolha solta do repouso, cuja própria massa é desprezível, começa a subir com cerca de ${\rho }_{f}Vg/(\frac{1}{2}{\rho }_{f}V)=2g$, e não com a aceleração enorme que sua massa minúscula sugere. A massa adicional e as ondas que um bloco real emite fazem com que ele oscile mais devagar, e se acomode mais cedo, do que o modelo da mola prevê.

Por fim, o empuxo é um efeito de meio contínuo, e para partículas muito pequenas a agitação térmica compete com ele. Grãos de 10 nm de diâmetro e com o dobro da densidade da água se espalham pela agitação térmica por cerca de 0,8 m de altura, a altura em que levantar um grão contra o seu peso menos o empuxo custa a energia térmica típica $k_{B}T$; por isso quase não sedimentam.

Para onde isso leva

O empuxo reaparece sempre que as densidades diferem. Em Arrasto e velocidade terminal, uma pequena esfera que sedimenta em um líquido atinge uma velocidade terminal proporcional à diferença de densidades ${\rho }_s-{\rho }_f$, porque o empuxo é subtraído do peso. Fluido quente que sobe e fluido frio que desce é convecção, em Condução, convecção e radiação. Fluidos em escoamento, nos quais a pressão já não é determinada apenas pela profundidade, são o tema do Princípio de Bernoulli. O bloco oscilante, com $Q\approx 3,8$, é um caso de Amortecimento e ressonância, e o balão que se inclina para a frente num carro acelerado mostra que gravidade e aceleração não podem ser distinguidas, o ponto de partida da Gravidade como curvatura do espaço-tempo.