Equação de Schrödinger e tunelamento

Iniciante

Passo 1: a energia impõe um limite. Uma bola que rola morro acima troca velocidade por altura. Com energia insuficiente para chegar ao topo, ela para no meio do caminho e rola de volta, sempre: energia não pode surgir do nada.

Passo 2: coisas minúsculas se comportam como ondas. A luz às vezes se comporta como onda e às vezes como partículas (fótons), e os elétrons também. Um elétron é descrito por uma onda, escrita $\psi$ (a letra grega psi). Onde a onda é grande, é provável encontrar o elétron; onde ela é plana, quase nunca. Na animação, a linha azul é a onda do elétron, e a colina sombreada mostra onde ele provavelmente está.

Passo 3: uma onda pode vazar por uma parede fina. A linha dourada é a energia do elétron, e a parede cinza é mais alta, então uma bola sempre voltaria. Observe: a maior parte da onda volta, mas uma onda menor aparece depois da parede e segue em frente. Cada elétron ainda é encontrado inteiro de um lado ou do outro; aqui, cerca de um em cada cinco passa. Isso é o tunelamento quântico. A luz também faz isso: a luz presa no vidro por reflexão interna total pode atravessar uma fina fenda de ar até um segundo bloco.

Teste você mesmo: a parede fica duas vezes mais grossa. Passam mais ou menos elétrons? Resposta: muito menos, porque a onda morre rapidamente dentro da parede. Uma parede mais baixa, porém, deixa passar mais.

Passo 4: ondas presas têm energias fixas. Na caixa à direita, a onda precisa caber entre as paredes como uma corda de violão, então só são permitidas meias-ondas inteiras, cada uma com sua energia. Os elétrons nos átomos também estão presos, e é por isso que os átomos têm níveis de energia.

O tunelamento permite que núcleos se fundam dentro do Sol e armazena fotos na memória flash.

Intermediário

A função de onda e suas probabilidades

Na mecânica quântica, um elétron não tem trajetória definida. Seu estado é uma função de onda $\psi (x)$, uma onda que nunca é vista diretamente: um detector encontra o elétron inteiro em um lugar, e a função de onda apenas diz quão provável é cada lugar.

Pela regra de Born, $|\psi {|}^2$ é uma probabilidade por metro, e a probabilidade de encontrar a partícula entre dois pontos é a área sob ela:
$P=\int |\psi {|}^{2}dx$

Na animação, $|\psi {|}^2$ é o sombreado roxo, e a linha azul é a parte real da onda, $\mathrm{Re}\psi$. Os marcadores $P(\text{left})$, $P(\text{barrier})$ e $P(\text{right})$ são as áreas do sombreado em três regiões, e, sobre toda a reta, somam 1.

A equação de Schrödinger em um diagrama de energia

Para uma partícula de energia definida $E$, a função de onda obedece à equação de Schrödinger independente do tempo:
$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi }{d{x}^2}+V(x)\psi =E\psi$
Aqui $m$ é a massa, $V(x)$ a energia potencial e $\hslash =h/2\pi$ a constante de Planck reduzida. Leia-a como um balanço de energia: energia cinética mais energia potencial é igual a $E$, e a parte cinética é determinada por quão fortemente $\psi$ se curva.

A animação é um diagrama de energia: a posição corre na horizontal e a energia sobe na vertical. A barreira cinza é $V(x)$, zero dos dois lados e $V_0$ no interior, e a linha dourada é $E$, com a onda desenhada em torno dela. Onde $E>V$, a onda oscila com o comprimento de onda de de Broglie
$\lambda =\frac{h}{p},p=\sqrt{2m(E-V)}$
como a onda azul faz dos dois lados da barreira.

Onde $E<V$, uma partícula clássica nunca poderia estar, pois sua energia cinética seria negativa. A equação ainda tem soluções ali, mas são exponenciais, não ondas, e a que decai morre gradualmente dentro da parede.

Dentro da barreira: decaimento e transmissão

Em uma barreira espessa de altura $V_0$, a onda decai como $e^{-\kappa x}$, com a constante de decaimento
$\kappa =\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hslash }$
Ao longo do comprimento de decaimento $1/\kappa$, a amplitude cai por um fator $e\approx 2,72$. Uma diferença $V_0-E$ maior, ou uma partícula mais pesada, torna $\kappa$ maior e o decaimento mais rápido.

Uma barreira fina deixa alguma onda do outro lado, com o mesmo comprimento de onda, mas amplitude menor. A fração de elétrons que passa é a probabilidade de transmissão $T$, a fração que volta é $R$, e $R+T=1$. Para uma barreira de largura $a$ muito maior que $1/\kappa$,
$T\approx 16\left(\frac{E}{V_0}\right)\left(1-\frac{E}{V_0}\right)e^{-2\kappa a}$
A amplitude é multiplicada por $e^{-\kappa a}$ e a probabilidade pelo quadrado disso; o fator pré-exponencial, nunca acima de 4, depende apenas de $E/V_0$.

A largura está no expoente, então o tunelamento é extremamente sensível a ela: cada espessura extra de $1/(2\kappa )$ divide $T$ por $e$. Para barreiras com alguns elétron-volts de altura, só camadas com no máximo alguns nanômetros de espessura deixam passar muitos elétrons.

Exemplo resolvido: a barreira da animação

O elétron tem $E=3\mathrm{eV}$ e encontra uma barreira $V_0=4\mathrm{eV}$ de altura e $a=0,25\mathrm{nm}$ de largura, valores escritos na cena. O topo da barreira está 1 eV, ou $1,60\times 10^{-19}\mathrm{J}$, acima da energia, então
$\kappa =\frac{\sqrt{2\cdot 9,11\times 10^{-31}\cdot 1,60\times 10^{-19}}}{1,055\times 10^{-34}}\approx 5,12\times 10^9{\mathrm{m}}^{-1}=5,12\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$
e o comprimento de decaimento $1/\kappa =0,195\mathrm{nm}$ é um pouco menor que a barreira.

Então $2\kappa a=2\cdot 5,12\cdot 0,25=2,56$ e $e^{-2,56}\approx 0,077$. O fator pré-exponencial é $16\cdot 0,75\cdot 0,25=3$, logo
$T\approx 3\cdot 0,077\approx 0,23$
A fórmula exata do nível avançado dá 0,214, e o pacote em movimento, que tem uma pequena dispersão de energias, dá 0,218. É aí que os marcadores se estabilizam: $P(\text{right})=0,22$ e $P(\text{left})=0,78$.

Fora da barreira, $\lambda =h/\sqrt{2mE}=0,708\mathrm{nm}$, e a onda transmitida tem o mesmo comprimento de onda, mas apenas cerca de $\sqrt{0,22}\approx 0,47$ da amplitude incidente. Diante da barreira, as ondas incidente e refletida se sobrepõem em franjas altas separadas por $\lambda /2=0,354\mathrm{nm}$. Cerca de 4 s depois, os marcadores mostram 0,80 à esquerda, 0,10 na barreira e 0,10 à direita: por um momento, um décimo da probabilidade fica dentro da parede.

Exemplo: microscópio de tunelamento por varredura

Uma ponta metálica afiada é mantida a uma fração de nanômetro acima de uma superfície condutora. Para elétrons próximos ao topo dos níveis preenchidos, a lacuna é uma barreira cujo topo fica cerca de uma função trabalho acima deles, aqui $V_0-E=4,5\mathrm{eV}$, e a corrente é proporcional à transmissão, $I\propto e^{-2\kappa d}$, com $d$ a largura da lacuna. Por qual fator ela muda quando a ponta se aproxima 0,1 nm?

Como $\kappa$ cresce com a raiz quadrada da diferença, $\kappa =5,12\cdot \sqrt{4,5}\approx 10,9\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$, e o fator pré-exponencial se cancela na razão: $I_2/I_1=e^{2\kappa \Delta d}=e^{2\cdot 10,9\cdot 0,1}=e^{2,17}\approx 8,8$. Com o valor arredondado $\kappa \approx 10\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$, é $e^2\approx 7$: um deslocamento menor que meio diâmetro de átomo multiplica a corrente várias vezes.

Uma elevação de apenas 0,01 nm de altura muda a corrente por $e^{0,217}\approx 1,24$, um aumento de 24 %, enquanto um degrau atômico de 0,2 nm de altura a muda cerca de 77 vezes. Um circuito de realimentação move a ponta para manter a corrente constante durante a varredura, e a altura da ponta então traça a superfície átomo por átomo.

Ondas presas: níveis de energia em uma caixa

Agora prenda o elétron em uma caixa de largura $L$, com $V=0$ no interior e paredes que ele não pode atravessar. A função de onda precisa se anular nas duas paredes, como uma corda de violão presa pelas duas pontas, então só cabem números inteiros de meios comprimentos de onda, $L=n\lambda /2$. Assim $p=h/\lambda =nh/(2L)$, e a energia cinética $p^2/2m$ dá as energias permitidas
$E_n=\frac{n^2{h}^2}{8m{L}^2}$
com $n=1,2,3,\dots$ contando as meias-ondas; $n=0$ significaria onda nenhuma, por isso a energia mais baixa nunca é zero.

Os níveis crescem com $n^2$, na razão 1 : 4 : 9, como na caixa da animação, rotulados $E_1$, $4E_1$ e $9E_1$. Cada onda estacionária mantém um sombreado fixo $|{\psi }_n{|}^2$: um estado de energia definida é estacionário. Para $L=1\mathrm{nm}$, $E_1=(6,626\times 10^{-34}{)}^2/(8\cdot 9,11\times 10^{-31}\cdot 10^{-18})\approx 6,0\times 10^{-20}\mathrm{J}=0,38\mathrm{eV}$, logo $E_2=1,50\mathrm{eV}$ e $E_3=3,38\mathrm{eV}$. Uma transição de $n=3$ para $n=2$ libera $5E_1=1,88\mathrm{eV}$, um fóton vermelho de cerca de 660 nm. Uma caixa menor afasta mais os níveis, na proporção $1/L^2$.

Erros comuns

• O elétron não perde energia na barreira. Depois dela o comprimento de onda ainda é 0,708 nm, então um elétron de 3 eV sai com 3 eV; só a amplitude é menor.
• O elétron não se divide. $P(\text{right})=0,22$ significa que cerca de 22 em cada 100 elétrons são encontrados além da barreira, cada um inteiro.
• A transmissão não é inversamente proporcional à largura: de 0,25 nm para 0,5 nm, $T$ cai de 0,214 para 0,018, cerca de doze vezes, porque dobrar a largura eleva o fator exponencial ao quadrado.
• A massa importa tanto quanto a energia. Um próton com os mesmos 3 eV na mesma barreira tem um $\kappa$ maior por $\sqrt{1836}\approx 43$, logo $2\kappa a\approx 110$ e $T\approx 6\times 10^{-48}$.

Onde isso aparece

A memória flash armazena cada bit como carga em uma porta isolada, escrita e apagada ao forçar elétrons através de uma camada isolante de alguns nanômetros de espessura. Diodos túnel, microscópios de tunelamento por varredura e a saída de partículas alfa dos núcleos seguem a regra desta lição, e no núcleo do Sol os prótons só se fundem graças ao tunelamento.

As mesmas regras de onda governam a luz em Reflexão e refração, onde um feixe totalmente refletido pode atravessar uma fina lacuna. Os núcleos tunelam em Radioatividade e meia-vida e em Fissão, fusão e E = mc²; Semicondutores, diodos e LEDs constrói bandas de energia a partir de ondas de elétrons; e Modelos atômicos: o átomo de Bohr tem parentes dos níveis da caixa.

Avançado

Uma frequência, muitos comprimentos de onda

O tunelamento é um efeito ondulatório, então comece com a onda de uma partícula de energia definida e pergunte como ela muda quando a energia potencial muda ao longo do caminho. Duas regras definem quase tudo o que vem a seguir: a frequência é a mesma em toda parte, e o comprimento de onda se ajusta à energia cinética local. Onde a energia cinética seria negativa, a onda não para de repente; ela se extingue.

Legenda

$E$	Energia do estado: um único valor para a onda inteira.	$\mathrm{J}$
$V(x)$	Energia potencial na posição $x$, desenhada em cinza: $0$, $\frac{3}{4}E$ e $\frac{5}{4}E$.	$\mathrm{J}$
$\psi$	Função de onda: sua parte real em um instante.	${\mathrm{m}}^{-1/2}$
$x$	Posição ao longo da linha do movimento.	$\mathrm{m}$
${\lambda }_1$	Comprimento de onda no nível mais baixo, onde $E-V$ é maior.	$\mathrm{m}$
${\lambda }_2$	Comprimento de onda no nível do meio, onde $E-V$ é um quarto: ${\lambda }_2=2{\lambda }_1$.	$\mathrm{m}$
${\kappa }^{-1}$	Comprimento de decaimento onde $V>E$: nele, $\psi$ cai para $1/e$ do seu valor na borda.	$\mathrm{m}$

A Figura 1 mostra um estado de energia $E$ (a linha roxa) cruzando três níveis planos da energia potencial $V(x)$ (cinza). Embaixo, a curva azul é a função de onda $\psi$ em um instante. No nível mais baixo, $V=0$, e a onda oscila com comprimento de onda ${\lambda }_1$. No nível do meio, $V=\frac{3}{4}E$, então a energia cinética $E-V$ é apenas um quarto do que era: a onda se estica para ${\lambda }_2=2{\lambda }_1$, e suas cristas ficam mais altas. No nível mais alto, $V=\frac{5}{4}E$ fica acima de $E$. Ali a onda deixa de oscilar e se extingue, caindo para $1/e$ de seu valor na borda ao longo do pequeno comprimento ${\kappa }^{-1}$ marcado à direita. Observe também os dois degraus: a curva é contínua ali e não tem ponto anguloso.

Por que a frequência é compartilhada. Quando $V$ não depende do tempo, um estado de energia definida tem a forma $\psi (x)e^{-i\omega t}$: uma forma fixa no espaço multiplicada por um único fator oscilante, com a mesma frequência angular $\omega =E/\hslash$ em todo $x$. Nada no potencial muda com o tempo, então nada pode fazer uma parte da onda andar mais depressa que outra. A luz que entra no vidro se comporta da mesma forma: mantém sua frequência e muda apenas seu comprimento de onda. Uma frequência para a onda inteira significa uma energia para o movimento inteiro. Isso é a conservação da energia, na linguagem das ondas.

Por que o comprimento de onda muda. A energia fixa é dividida de modo diferente entre cinética e potencial de um lugar para outro. Escrevendo $\hslash \omega =p^2/2m+V(x)$ e resolvendo para a quantidade de movimento, obtém-se a quantidade de movimento local $p(x)=\sqrt{2m(E-V(x))}$ e, com ele, o comprimento de onda local $h/p(x)$. Onde $V$ cai, $p$ é maior e as ondas se comprimem; onde $V$ sobe, elas se esticam. No nível do meio da Figura 1, a energia cinética é um quarto da anterior, então $p$ cai à metade e o comprimento de onda dobra, de ${\lambda }_1$ para ${\lambda }_2$. As cristas são mais altas ali porque uma partícula mais lenta passa mais tempo em cada trecho do caminho, então é mais provável encontrá-la ali.

O que acontece onde $V>E$. Uma partícula clássica nunca pode estar ali, pois sua energia cinética $E-V$ seria negativa: esta é a região classicamente proibida. Na fórmula, a raiz quadrada de um número negativo é imaginária, $p=i\hslash \kappa$, com a constante de decaimento real
$\kappa =\frac{\sqrt{2m(V-E)}}{\hslash }$
Colocada na onda plana $e^{ipx/\hslash }$, isso a transforma na exponencial real $e^{-\kappa x}$. A equação também admite a solução crescente $e^{+\kappa x}$, mas em uma região proibida que se estende sem fim ela faria $\psi$ crescer sem limite, por isso é descartada. A amplitude, portanto, penetra na região proibida, mas decai ali, por um fator $e$ a cada comprimento $1/\kappa$. Na Figura 1, $V-E$ no nível mais alto é igual a $E-V$ no nível do meio, então $\kappa$ é igual ao número de onda $2\pi /{\lambda }_2$ do nível do meio, e o comprimento de decaimento é ${\kappa }^{-1}={\lambda }_2/2\pi$: a onda some em cerca de um sexto de comprimento de onda.

A luz se extingue da mesma forma, e o efeito pode ser visto em uma bancada de laboratório. Um raio viaja no vidro de índice de refração $n$, com ângulo $\theta$ em relação à normal de uma superfície, com ar do outro lado. O padrão da onda ao longo da superfície precisa coincidir dos dois lados, então a componente do vetor de onda ao longo da superfície, $k_y=n\omega \sin \theta /c$, é a mesma no ar. No ar, porém, o vetor de onda inteiro tem apenas comprimento $\omega /c$. Além do ângulo crítico, onde $n\sin \theta >1$, a componente ao longo da superfície já é maior que isso sozinha, então o quadrado da componente através da lacuna é negativo:
$k_x^2=(\omega /c{)}^2-k_y^2=(\omega /c{)}^2(1-n^2{\sin }^2\theta )$
Então $k_x=i\kappa$ é imaginário, e o campo no ar decai como $e^{-\kappa x}$. Para $n=1,5$ a 60°, $\kappa {\lambda }_0=2\pi \sqrt{n^2{\sin }^2\theta -1}\approx 5,2$, onde ${\lambda }_0$ é o comprimento de onda no vácuo. Luz verde de 550 nm decai, portanto, em cerca de 0,1 µm. Ao aproximar um segundo bloco de vidro nessa distância, parte da luz atravessa a lacuna para dentro dele. Isso é a reflexão interna total frustrada: penetração de barreira para fótons.

Continuidade nas bordas: a transmissão exata

Agora torne a região proibida finita: uma barreira com solo permitido dos dois lados. A onda que decai chega ao outro lado com amplitude reduzida, mas não nula, e ali recomeça como onda que se propaga. Para descobrir quanto passa, resolva a equação de onda em cada região e una os pedaços nas bordas.

Legenda

$V_0$	Altura da barreira.	$\mathrm{J}$
$E$	Energia da onda, abaixo do topo da barreira.	$\mathrm{J}$
$a$	Largura da barreira.	$\mathrm{m}$
$\psi$	Função de onda: sua parte real em um instante.	${\mathrm{m}}^{-1/2}$
$x$	Posição ao longo da linha do movimento.	$\mathrm{m}$
$r$	Amplitude da onda refletida, para uma onda incidente de amplitude 1.
$t$	Amplitude da onda transmitida atrás da barreira, na mesma escala.

A Figura 2 mostra uma onda de amplitude unitária chegando pela esquerda a uma barreira de altura $V_0$ e largura $a$. Ela é desenhada para $E=\frac{3}{4}{V}_0$ e $\kappa a=1,6$, uma barreira um pouco menor que meio comprimento de onda de espessura. Diante da barreira, a onda incidente (seta 1) e a onda refletida (seta $r$) se sobrepõem e formam uma onda quase estacionária. Dentro, a curva se afasta do eixo e afunda. Atrás da barreira, uma única onda de amplitude $t$ segue para a direita, e nada volta dali. Os comprimentos das setas são as amplitudes: aqui $|r|=0,94$ e $|t|=0,34$. Os dois pontos marcam as bordas, onde $\psi$ e sua inclinação ${\psi }^{\prime }$ precisam ter os mesmos valores dos dois lados.

Por que eles precisam coincidir? Reescreva a equação de Schrödinger como uma afirmação sobre curvatura:
$\frac{d^2\psi }{d{x}^2}=\frac{2m}{{\hslash }^2}(V-E)\psi$
Onde $V<E$, a curvatura tem sinal oposto ao de $\psi$, então a curva sempre se encurva de volta para o eixo e oscila. Onde $V>E$, ela tem o mesmo sinal, então a curva se afasta do eixo, como $e^{\pm \kappa x}$. Em uma borda, $V$ dá um salto finito, então a curvatura também salta, mas continua finita. Uma curvatura finita atuando sobre uma distância que tende a zero não pode mudar a inclinação, logo ${\psi }^{\prime }$ é contínua; e uma curva com inclinação finita não pode dar um salto, logo $\psi$ também é contínua. É por isso que a curva da Figura 2 passa pelos pontos sem ponto anguloso.

Agora o cálculo. Coloque a barreira em $0<x<a$, com $V=0$ fora dela. Fora, o número de onda é $k=\sqrt{2mE}/\hslash$; dentro, a constante de decaimento é $\kappa =\sqrt{2m(V_0-E)}/\hslash$. À esquerda, $\psi =e^{ikx}+r{e}^{-ikx}$: a onda incidente de amplitude unitária mais a onda refletida. Dentro, $\psi =C{e}^{\kappa x}+D{e}^{-\kappa x}$; o termo crescente agora é permitido, porque a barreira termina antes que ele possa crescer sem limite. À direita, $\psi =t{e}^{ikx}$ sozinho, porque nada chega desse lado.

São quatro incógnitas, $r$, $C$, $D$ e $t$, e as bordas fornecem quatro condições: $\psi$ e ${\psi }^{\prime }$ contínuas em $x=0$ e em $x=a$. São quatro equações lineares, e eliminar $C$ e $D$ deixa
$t=\frac{e^{-ika}}{\cosh \kappa a+i\frac{{\kappa }^2-k^2}{2k\kappa }\sinh \kappa a}$
A probabilidade de transmissão é o quadrado do módulo, ou seja, o inverso do quadrado do módulo do denominador:
$|t{|}^2={\left[{\cosh }^2\kappa a+{\left(\frac{{\kappa }^2-k^2}{2k\kappa }\right)}^2{\sinh }^2\kappa a\right]}^{-1}$
Substitua ${\cosh }^2$ por $1+{\sinh }^2$. Os dois termos em ${\sinh }^2$ então se combinam, com o coeficiente $1+({\kappa }^2-k^2{)}^2/(2k\kappa {)}^2=({\kappa }^2+k^2{)}^2/(2k\kappa {)}^2$. Como ${\kappa }^2+k^2=2m{V}_0/{\hslash }^2$, esse coeficiente é $V_0^2/(4E(V_0-E))$, e
$T={\left[1+\frac{V_0^2{\sinh }^2(\kappa a)}{4E(V_0-E)}\right]}^{-1}$

Por que $|t{|}^2$ é a fração que passa? A corrente de probabilidade $j=(\hslash /m)\mathrm{Im}({\psi }^{\ast }{\psi }^{\prime })$ mede quanta probabilidade atravessa um ponto por segundo. Em um estado estacionário, a probabilidade não se acumula em lugar nenhum, então $j$ é o mesmo em todo $x$. À esquerda, ele vale $(\hslash k/m)(1-|r{|}^2)$, o fluxo incidente menos o fluxo refletido; à direita, vale $(\hslash k/m)|t{|}^2$. Igualando os dois, obtém-se $|r{|}^2+|t{|}^2=1$: cada partícula é refletida ou transmitida. A velocidade $\hslash k/m$ é a mesma dos dois lados, então $T=|t{|}^2$ é a fração transmitida. Na Figura 2, as setas dão $|r{|}^2=0,88$ e $|t{|}^2=0,12$, que somam 1, e os 12 % que passam são $T$. A fórmula concorda: com $E=\frac{3}{4}{V}_0$, o fator $V_0^2/(4E(V_0-E))$ é $4/3$, $\sinh 1,6=2,38$, e $T=1/(1+\frac{4}{3}\cdot 5,65)=0,12$.

Para uma barreira espessa, $\kappa a\gg 1$, valem duas simplificações. Primeiro, $\sinh \kappa a=\frac{1}{2}(e^{\kappa a}-e^{-\kappa a})\approx \frac{1}{2}{e}^{\kappa a}$, porque a segunda exponencial é minúscula. Segundo, o termo em ${\sinh }^2$ fica enorme, então o 1 entre colchetes é desprezível e o colchete pode ser invertido diretamente:
$T\approx 16\left(\frac{E}{V_0}\right)\left(1-\frac{E}{V_0}\right)e^{-2\kappa a}$
O fator pré-exponencial nunca passa de 4, seu valor em $E=\frac{1}{2}{V}_0$; assim, a exponencial decide: cada comprimento de decaimento extra $1/\kappa$ de largura divide $T$ por $e^2\approx 7,4$.

Como a transmissão cai com a largura

A fórmula exata é difícil de ler de relance. Um gráfico de $T$ contra a largura mostra seus dois regimes: um início suave para barreiras finas e uma exponencial pura para as espessas.

Legenda

$\ln T$	Logaritmo natural da probabilidade de transmissão; 0 significa $T=1$.
$a$	Largura da barreira.	$\mathrm{m}$
$T$	Probabilidade de transmissão exata para uma barreira de largura $a$.
$e^{-2\kappa a}$	Lei da barreira espessa, aqui $T\approx 3e^{-2\kappa a}$: a reta tracejada.
$\kappa a$	Largura em comprimentos de decaimento $1/\kappa$; o marcador tracejado em $\kappa a=2$ é onde a reta assume.
$a_0$	Largura da barreira da animação, 0,25 nm.	$\mathrm{m}$
$\Delta a$	Um passo na largura da barreira.	$\mathrm{m}$
$\Delta (\ln T)$	Variação de $\ln T$ nesse passo, $-2\kappa \Delta a$: $T$ é multiplicado por $e^{-2\kappa \Delta a}$.

A Figura 3 traça o $T(a)$ exato para $E=3\mathrm{eV}$ e $V_0=4\mathrm{eV}$, até $a=0,6\mathrm{nm}$; o nível Avançado da animação mostra a mesma curva. Aqui ela está em escala logarítmica, como $\ln T$ contra $a$, porque nessa escala uma exponencial é uma reta. Para um elétron com $V_0-E=1\mathrm{eV}$, $\kappa =5,12\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$, então um comprimento de decaimento vale cerca de 0,2 nm.

Siga a curva contínua $T$ a partir da esquerda. Ela começa em $T=1$, ou seja, $\ln T=0$, pois sem barreira não há reflexão. Ela deixa esse nível suavemente: para $a$ pequeno, $\sinh \kappa a\approx \kappa a$, então $T\approx [1+1,33(\kappa a{)}^2{]}^{-1}$, onde $1,33=V_0^2/(4E(V_0-E))$. Os valores exatos ainda são 0,92 em 0,05 nm e 0,72 em 0,1 nm. Além do marcador tracejado em $\kappa a=2$, a curva é praticamente uma reta. O triângulo lê sua inclinação: um passo $\Delta a$ reduz $\ln T$ de $\Delta (\ln T)=-2\kappa \Delta a$, então cada 0,1 nm a mais multiplica $T$ por $e^{-1,02}\approx 0,36$. O anel marca a barreira da animação, $a_0=0,25\mathrm{nm}$, onde $T=0,214$.

A linha tracejada é a lei da barreira espessa. Para essas energias, $16(E/V_0)(1-E/V_0)=16\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}=3$, então $T\approx 3e^{-2\kappa a}$: uma reta que começa em $\ln 3\approx 1,1$ e à qual a curva exata se une. Para barreiras finas a lei é ruim. Em $a=0$ ela dá 3, mais do que qualquer probabilidade pode ser, e em 0,25 nm dá 0,232, 8 % acima. A partir de 0,4 nm ela concorda dentro de 2 %.

A animação envia um pacote de ondas, não uma onda de energia única: suas energias se espalham 0,34 eV em torno de 3 eV. Como $T$ sobe rapidamente com $E$ (energia maior significa $\kappa$ menor), as componentes mais rápidas atravessam com mais facilidade. A transmissão do pacote, 0,218, fica então um pouco acima dos 0,214 de uma onda de 3 eV, e os elétrons transmitidos têm energia média de 3,08 eV, contra 2,99 eV dos refletidos.

E se a energia estiver acima da barreira, $E>V_0$? Classicamente, toda partícula passaria. Na fórmula, $V_0-E$ agora é negativo, então $\kappa$ se torna imaginário: $\kappa =iq$, onde $q=\sqrt{2m(E-V_0)}/\hslash$ é o número de onda real sobre a barreira. Então $\sinh \kappa a$ vira $i\sin qa$, e tanto ${\sinh }^2\kappa a$ quanto $V_0-E$ trocam de sinal, então
$T={\left[1+\frac{V_0^2{\sin }^2(qa)}{4E(E-V_0)}\right]}^{-1}$
Agora $T$ oscila com a largura, em vez de cair. Ele chega a 1 apenas nas ressonâncias $qa=n\pi$, onde a barreira contém um número inteiro de meios comprimentos de onda e as ondas refletidas nas duas bordas se cancelam. Em qualquer outra largura, parte da onda é refletida, mesmo com a partícula tendo energia sobrando. Para um elétron de 3 eV sobre uma barreira de 2 eV, $q=5,12\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$: conforme a largura cresce, $T$ cai até 0,75 e volta a 1 em $a=0,61\mathrm{nm}$, em 1,23 nm e assim por diante.

Barreiras suaves e decaimento alfa

Barreiras reais raramente são retangulares: sua altura muda gradualmente ao longo do caminho. A lei da barreira espessa se estende a elas fatia por fatia, e sua aplicação mais conhecida explica por que alguns núcleos vivem bilhões de anos e outros menos de um microssegundo.

Legenda

$V(r)$	Energia potencial da partícula alfa à distância $r$ do centro: um poço dentro do núcleo, repulsão elétrica fora.	$\mathrm{J}$
$Q$	Energia liberada no decaimento: a energia da partícula alfa, o $E$ das fórmulas.	$\mathrm{J}$
$\alpha$	A partícula alfa, presa no poço.
$r$	Distância ao centro do núcleo.	$\mathrm{m}$
$r_1$	Superfície nuclear, onde a barreira começa.	$\mathrm{m}$
$r_2$	Ponto de retorno externo, onde $V=Q$ de novo e a barreira termina.	$\mathrm{m}$
$\kappa (r)$	Constante de decaimento $\sqrt{2m(V-Q)}/\hslash$ à distância $r$; ela cai a zero em $r_2$.	${\mathrm{m}}^{-1}$
$dr$	Largura de uma fatia fina da barreira; a fatia multiplica a amplitude por $e^{-\kappa dr}$.	$\mathrm{m}$
$\int \kappa dr$	Área sob $\kappa (r)$ de $r_1$ a $r_2$: o expoente em $T\approx e^{-2\int \kappa dr}$.

A Figura 4 mostra a barreira que retém uma partícula alfa dentro do núcleo de urânio-238. A coordenada ao longo do movimento é agora a distância $r$ ao centro, no papel de $x$. O painel superior mostra a energia potencial $V(r)$ e a energia $Q$ liberada no decaimento, que faz o papel de $E$. Dentro da superfície nuclear $r_1$, a força forte cria um poço profundo (apenas esboçado), no qual a partícula alfa $\alpha$ fica presa. Logo fora de $r_1$, a repulsão elétrica coloca $V$ muito acima de $Q$. Ela cai com $1/r$ e volta a encontrar $Q$ no ponto de retorno externo $r_2$, onde a barreira termina. O painel inferior traça a constante de decaimento $\kappa (r)=\sqrt{2m(V(r)-Q)}/\hslash$ na mesma faixa: é máxima em $r_1$ e cai a zero em $r_2$.

Para tratar uma barreira cuja altura varia, corte-a em fatias finas de largura $dr$, como a faixa dourada. Se $\kappa$ muda pouco ao longo de um comprimento de decaimento, isto é, $|d\kappa /dr|\ll {\kappa }^2$, cada fatia se comporta como um pedaço fino de barreira uniforme e multiplica a amplitude por $e^{-\kappa dr}$. Multiplicando os fatores de todas as fatias, somam-se os expoentes, e a amplitude cai por $e^{-\int \kappa dr}$, onde $\int \kappa dr$ é a área sombreada sob a curva. A probabilidade é o quadrado da amplitude, o que dobra o expoente:
$T\approx \exp \left(-2{\int }_{r_1}^{r_2}\kappa (r)dr\right)$
Esta é a estimativa WKB, em homenagem a Wentzel, Kramers e Brillouin. Ela descarta um fator de ordem 1, como o 3 da barreira retangular, porque o expoente decide. Para uma barreira retangular, a área é simplesmente $\kappa a$, e a estimativa devolve $e^{-2\kappa a}$.

George Gamow usou isso em 1928 para explicar o decaimento alfa. Além do alcance da força forte, o núcleo filho, de carga $Ze$, repele a partícula alfa, de carga $2e$, com
$V=\frac{2Z{e}^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$
a curva da Figura 4. Para o urânio-238, o núcleo filho é o tório, $Z=90$. A barreira atinge o pico perto de 28 MeV na superfície nuclear, a cerca de 9 fm do centro, enquanto a energia liberada é de apenas $Q=4,27\mathrm{MeV}$. A partícula alfa precisa, portanto, atravessar por tunelamento até onde $V$ caiu para $Q$, a cerca de 61 fm do centro. A integral dá $2\int \kappa dr\approx 88$, logo $T\approx e^{-88}\approx 6\times 10^{-39}$.

Transformar isso em tempo de vida usa a mesma ideia do problema resolvido abaixo. Dentro do núcleo, a partícula alfa bate na parede cerca de $10^{21}$ vezes por segundo, com chance $T$ de escapar a cada batida. A taxa de escape é de cerca de $10^{21}\cdot 6\times 10^{-39}=6\times 10^{-18}$ por segundo, então ela escapa após cerca de $10^{17}$ s: alguns bilhões de anos. Essa é a ordem de grandeza da meia-vida medida de 4,5 bilhões de anos, um sucesso real para uma estimativa cujo expoente é 88.

O expoente depende fortemente da energia. O polônio-212 libera 8,95 MeV. Seu ponto de retorno externo se aproxima para 26 fm, a barreira fica mais fina e mais baixa, o expoente cai para cerca de 33, e a meia-vida é de apenas 0,3 µs. Uma queda de 55 no expoente é um fator $e^{55}\approx 10^{24}$: quase dobrar a energia, de 4,3 para 9 MeV, encurta a meia-vida cerca de $10^{24}$ vezes. Essa tendência acentuada já havia sido medida como a regra empírica de Geiger–Nuttall; o tunelamento a explica.

Estados ligados e energia de ponto zero

As mesmas condições de continuidade fazem mais do que contar partículas transmitidas. Aplicadas a uma partícula presa entre paredes, elas produzem os níveis de energia dela.

Comece com uma caixa cujas paredes são infinitamente altas. Então $\kappa$ é infinito nas paredes, a onda não pode entrar nelas de forma alguma, e $\psi$ precisa se anular em $x=0$ e $x=L$. Dentro, onde $V=0$, as soluções são $\sin kx$ e $\cos kx$. A condição em $x=0$ mantém apenas $\sin kx$, e a condição em $x=L$ exige $kL=n\pi$, com $n$ um número inteiro positivo: um número inteiro de meios comprimentos de onda precisa caber na caixa. Isso dá
${\psi }_n=\sqrt{2/L}\sin (n\pi x/L)$
onde o fator $\sqrt{2/L}$ faz a probabilidade total valer 1. A energia é a energia cinética ${\hslash }^2{k}_n^2/2m$ com $k_n=n\pi /L$:
$E_n=\frac{n^2{h}^2}{8m{L}^2}$

Em um poço de profundidade finita, as paredes não são perfeitamente rígidas. Dentro, a solução oscila; fora, precisa decair dos dois lados; e em cada parede as duas partes precisam se unir com o mesmo valor e a mesma inclinação. Para a maioria das energias, a onda interna chega a uma parede com a inclinação errada, e a parte externa teria que crescer sem limite. Apenas energias especiais permitem que as duas junções funcionem ao mesmo tempo: a quantização é uma condição de contorno, não um postulado extra. As caudas também deixam a onda se espalhar um pouco além das paredes, como se a caixa fosse um pouco mais larga, então o comprimento de onda é maior e a energia, menor. Para um poço de 1 nm de largura e 4 eV de profundidade, o nível mais baixo é 0,26 eV, e não os 0,38 eV da caixa infinita.

O nível mais baixo nunca é zero. Tomar $n=0$ daria $\psi =0$ em toda parte, ou seja, partícula nenhuma. O princípio da incerteza diz o mesmo. No estado fundamental, a dispersão de posição é $\Delta x=0,18L$, e a quantidade de movimento, de módulo $\pi \hslash /L$ em qualquer direção, tem dispersão $\Delta p=\pi \hslash /L$. O produto é $\Delta x\Delta p\approx 0,57\hslash$, logo acima do mínimo $\hslash /2$ que o princípio permite. Confinar uma partícula a uma região de tamanho $L$ custa, portanto, energia cinética da ordem de ${\hslash }^2/(m{L}^2)$, a energia de ponto zero. Ela impede que os átomos colapsem: aproximar um elétron do núcleo diminui sua energia potencial, mas aumenta esse custo cinético.

Problema resolvido: uma armadilha que vaza

Coloque duas barreiras da animação, cada uma com 4 eV de altura e 0,25 nm de espessura, separadas por uma distância $L=2\mathrm{nm}$, com um elétron de cerca de 3 eV entre elas. Por quanto tempo o elétron fica preso, e como isso depende da espessura das paredes?

Trate o elétron como uma partícula que quica de um lado para o outro com velocidade $v=\sqrt{2E/m}=1,03\times 10^{6}m/s$, ou seja, 1,03 nm por femtossegundo, com chance $T$ de escapar a cada vez que bate em uma parede. Entre as batidas, ele cruza a lacuna uma vez, então bate em uma parede a cada $L/v=1,95\mathrm{fs}$. A chance de escape por unidade de tempo, a taxa de escape, é portanto $\Gamma =Tv/L$. Uma chance constante por unidade de tempo significa que o número de partículas ainda presas decai como $e^{-\Gamma t}$, com tempo de vida médio $1/\Gamma$:
$\tau =\frac{L}{vT}=\frac{1,95\mathrm{fs}}{T}$
Com as paredes de 0,25 nm da animação, $T=0,214$ e $\tau \approx 9\mathrm{fs}$. Com paredes de 1 nm, $T=1,06\times 10^{-4}$ e $\tau \approx 18\mathrm{ps}$. Com paredes de 2 nm, $T=3,8\times 10^{-9}$ e $\tau \approx 0,5\mu \mathrm{s}$.

Observe o padrão. Pela lei da barreira espessa, cada nanômetro extra de parede divide $T$, e assim multiplica o tempo de vida, por $e^{2\kappa \cdot 1\mathrm{nm}}=e^{10,25}$, cerca de 28.000: exatamente o salto de 18 ps para 0,5 µs. Um próton na mesma armadilha se sairia muito pior. Sua massa é 1836 vezes maior, então, com a mesma energia, ele se move 43 vezes mais devagar e enfrenta um $\kappa$ 43 vezes maior, pois ambos escalam com $\sqrt{m}$. Mesmo com paredes de 0,25 nm, $T$ cai para cerca de $6\times 10^{-48}$ e $\tau$ cresce para algo como $10^{34}$ s, muito além da idade do Universo. A imagem do quicar é grosseira para $T=0,214$, em que o elétron some em poucas batidas, e correta para $T$ pequeno, como no decaimento alfa.

Limites de validade

Tudo aqui é não relativístico. Um elétron de 3 eV se move a 0,34 % da velocidade da luz, e sua energia é $6\times 10^{-6}$ de sua energia de repouso, 511 keV, então a equação de Schrödinger o descreve muito bem. A barreira retangular e a caixa infinita são idealizações. Em uma junção de tunelamento, por exemplo, o elétron induz carga no metal próximo e é atraído por ela, e essa atração arredonda e rebaixa a barreira. Isso aumenta $T$, mas mantém a dependência exponencial com a largura.

O modelo também é unidimensional. Em três dimensões, só conta o movimento através da barreira, então um elétron que chega em ângulo, com menos energia nessa direção, tuneliza menos. Dentro de um sólido, o elétron responde a forças como se tivesse outra massa, sua massa efetiva, que substitui $m$. No arseneto de gálio, ela vale 0,067 da massa livre, o que reduz $\kappa$ cerca de quatro vezes e permite que elétrons atravessem camadas de alguns nanômetros de espessura em diodos de tunelamento ressonante. Por fim, o potencial foi tomado como fixo e o elétron como único. Em junções muito pequenas, a carga de um elétron altera o potencial o suficiente para bloquear o próximo.

Para onde isso leva

Dualidade onda-partícula introduziu a amplitude e suas probabilidades; esta lição deu a ela uma equação. Radioatividade e meia-vida mostra a lei exponencial de decaimento que uma armadilha que vaza produz, e Fissão, fusão e E = mc² mostra o tunelamento que permite a fusão dos núcleos nas estrelas. Semicondutores, diodos e LEDs aplica as mesmas condições de continuidade a um potencial periódico, onde elas dão bandas de energia.

Reflexão e refração trata da reflexão interna total, cuja forma frustrada é o análogo óptico do tunelamento. As órbitas de Modelos atômicos: o átomo de Bohr dão lugar à equação de Schrödinger tridimensional, cuja solução para o hidrogênio produz os mesmos níveis $-13,6\mathrm{eV}/n^2$ e as formas dos orbitais, e Partículas e forças: o Modelo Padrão torna essa mesma mecânica ondulatória relativística.