Motores, geradores e transformadores

Iniciante

Coloque uma espira de fio entre os polos de um ímã e faça uma corrente circular por ela. Um lado da espira é empurrado para cima e o outro para baixo, então a espira torce. Deixada sozinha, a espira balança até se alinhar com o ímã e parar. Para mantê-la girando, a corrente na espira deve ser invertida a cada meia volta; um anel partido que gira com a espira, esfregando em dois contatos fixos, faz exatamente isso. Agora você tem um motor elétrico, o coração de uma furadeira, de um ventilador ou de um carro elétrico.

Faça a máquina funcionar ao contrário e ela se torna um gerador. Na animação, uma bobina continua girando entre os polos norte e sul de um ímã, como uma turbina faria em uma usina. Seus lados varrem o magnetismo e empurram uma corrente pelo circuito. Observe a seta vermelha no fio: ela cresce, diminui e aponta para o outro lado a cada meia volta. Essa é a corrente alternada (CA), a mesma das tomadas da sua casa, e a lâmpada pisca duas vezes por volta.

A corrente então chega a um transformador: duas bobinas em um mesmo anel de ferro. A corrente variável na primeira bobina cria um magnetismo variável no ferro, que gera uma corrente na segunda bobina. Mais espiras na segunda bobina dão uma tensão maior, mas nunca mais potência: dez vezes a tensão significa um décimo da corrente. É por isso que a eletricidade viaja em tensão muito alta: uma corrente pequena nos cabos desperdiça muito menos energia como calor.

Teste você mesmo: um transformador tem 50 espiras na entrada e 500 na saída. Com 12 V CA na entrada, o que sai? (120 V, com um décimo da corrente.)

Intermediário

Força sobre um fio, torque sobre uma bobina

Um campo magnético empurra lateralmente cargas em movimento e, portanto, um fio percorrido por corrente. Para um fio reto de comprimento $L$ conduzindo uma corrente $I$ através de um campo uniforme $B$, a força é
$F=BIL\sin \theta$
onde $\theta$ é o ângulo entre o fio e o campo: a força é máxima quando o fio cruza o campo em ângulo reto e nula ao longo das linhas de campo. Ela é perpendicular a ambos, e a regra da mão esquerda de Fleming dá sua direção: indicador no sentido do campo, dedo médio no sentido da corrente, polegar no sentido da força. Assim, 1 T empurra com 1 N cada metro de fio que conduz 1 A cruzando o campo.

Dobre o fio em uma bobina retangular de $N$ espiras e área $A$, montada em um eixo entre os polos do ímã. Seus dois lados longos conduzem correntes opostas e são empurrados em sentidos opostos, então a bobina sofre um torque
$\tau =NBIA\sin \theta$
onde $\theta$ agora é o ângulo entre o campo e a normal à bobina. O torque é máximo quando o plano da bobina está ao longo do campo e nulo quando ela está de frente para o campo, onde uma bobina deixada livre para em repouso. Um motor de corrente contínua continua girando graças a um comutador, um anel partido no eixo tocado por duas escovas, que inverte a corrente a cada meia volta, justamente quando o torque está prestes a se inverter.

O gerador: um motor funcionando ao contrário

Retire a bateria e gire a bobina com velocidade angular constante $\omega$. Medindo o ângulo a partir da posição em que a bobina está de frente para o campo, o fluxo através de cada espira é $\Phi =BA\cos \omega t$, e a lei de Faraday, $\epsilon =-Nd\Phi /dt$, fornece a FEM e seu valor de pico:

• $\epsilon =NBA\omega \sin \omega t$
• ${\epsilon }_0=NBA\omega$

Essa FEM alternada tem frequência $f=\omega /2\pi$. Ela é máxima quando o plano da bobina está ao longo do campo: os lados então cortam perpendicularmente as linhas de campo, e o fluxo, ao passar por zero, varia mais rapidamente. É zero quando a bobina está de frente para o campo; ali o fluxo é máximo, mas momentaneamente constante. Anéis coletores levam a FEM para fora sem torcer os fios; um comutador no lugar deles daria CC pulsante. Os medidores indicam o valor eficaz (rms), que é o pico dividido por $\sqrt{2}$ para uma onda senoidal: uma rede de 230 V tem pico de cerca de 325 V.

Transformadores: duas bobinas, um fluxo

Um transformador não tem partes móveis: uma bobina primária com $N_p$ espiras e uma secundária com $N_s$ espiras compartilham um mesmo núcleo fechado de ferro. Uma corrente alternada no primário cria um fluxo alternado que o ferro guia através do secundário. Cada espira de qualquer bobina é atravessada pelo mesmo fluxo variável e recebe a mesma FEM, então as tensões estão na razão das espiras; sem perdas, a potência que entra é igual à que sai:

• $\frac{V_s}{V_p}=\frac{N_s}{N_p}$
• $V_p{I}_p=V_s{I}_s$

Um transformador elevador ($N_s>N_p$) aumenta a tensão e reduz a corrente pelo mesmo fator, então nenhuma energia é criada. Uma corrente contínua constante cria um fluxo constante, que não induz nada; por isso um transformador precisa de CA. Transformadores grandes têm mais de 99 % de rendimento.

Exemplo resolvido: a máquina da animação

A bobina tem $N=200$ espiras de área $A=0,020{\mathrm{m}}^2$ (20 cm por 10 cm) em um campo $B=0,50\mathrm{T}$, e dá uma volta a cada 2 s, então $\omega =2\pi /2=\pi \approx 3,14rad/s$. Então
${\Phi }_{\max }=BA=0,50\cdot 0,020=0,010\mathrm{Wb}$
${\epsilon }_0=NBA\omega =200\cdot 0,50\cdot 0,020\cdot \pi \approx 6,28\mathrm{V}$

Em $t=0$ a bobina está de frente para o campo: o medidor de $\Phi$ mostra 10,0 mWb e o de $\epsilon$ mostra zero. Um oitavo de volta depois, em $t=0,25\mathrm{s}$, o fluxo é $10\cos 45^{\circ }\approx 7,1\mathrm{mWb}$ e a FEM $6,28\sin 45^{\circ }\approx 4,44\mathrm{V}$. Em $t=0,5\mathrm{s}$ o plano da bobina está ao longo do campo, $\Phi$ passa por zero e $\epsilon$ atinge o pico de 6,28 V. Em $t=1\mathrm{s}$ o fluxo é −10,0 mWb e a FEM é novamente zero.

Com $N_p=100$ e $N_s=200$, o secundário fornece $V_s=2\epsilon$, com pico de 12,57 V (cerca de 12,6 V) no medidor de $V_s$, em fase com $\epsilon$. A potência da lâmpada cresce com $V_s^2$, então ela acende nos dois picos, positivo e negativo: duas vezes por volta.

Lendo as setas: por que o gerador resiste

As setas azuis $v$ mostram os lados longos percorrendo seu círculo: em $t=0$ deslizam ao longo do campo $B$ e não cortam nada; em $t=0,5\mathrm{s}$ cruzam o campo em ângulo reto. Só o movimento através do campo empurra as cargas, daí o $\sin \omega t$. As setas roxas $F$ são o efeito motor dentro do gerador: o campo empurra a corrente induzida com $F=BIL$, sempre contra o movimento. Essa é a lei de Lenz; se as forças ajudassem, a bobina aceleraria sozinha e produziria energia do nada.

Trate a lâmpada como um resistor de 25 Ω. No pico ela conduz $12,57/25\approx 0,50\mathrm{A}$, então o transformador ideal precisa do dobro, cerca de 1,0 A, na bobina. O torque é então $\tau =NBIA=200\cdot 0,50\cdot 1,0\cdot 0,020=2,0\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$, e girar contra ele a $\pi rad/s$ exige $\tau \omega \approx 6,3\mathrm{W}$, exatamente a potência de pico da lâmpada, $12,57\cdot 0,50\approx 6,3\mathrm{W}$. Desconecte a lâmpada e a bobina gira livremente.

Exemplo resolvido: linhas de alta tensão

Uma fazenda eólica envia 20 MW por linhas com resistência total de 4.0 Ω. Elas aquecem à taxa $I^{2}R$, e para uma dada potência a corrente é $I=P/V$, então
$P_{\mathrm{loss}}=I^{2}R={\left(\frac{P}{V}\right)}^{2}R$

Na tensão própria dos geradores, 11 kV, a corrente seria $20\times 10^6/(11\times 10^3)\approx 1818\mathrm{A}$ e a perda $1818^2\cdot 4,0\approx 13,2\mathrm{MW}$: dois terços da potência apenas aqueceriam os fios. Um transformador elevador com relação de espiras 1 : 12 eleva a tensão para 132 kV. A corrente cai para 151.5 A e a perda para $151,5^2\cdot 4,0\approx 92\mathrm{kW}$, menos de meio por cento: doze vezes a tensão, $12^2=144$ vezes menos perda. Transformadores abaixadores perto das casas a reduzem de volta para 230 V.

Erros comuns

• Um transformador não funciona com CC constante: uma bateria de 12 V dá 0 V no secundário após um breve impulso na ligação.
• A FEM não é máxima quando a bobina está de frente para os ímãs: ali o fluxo, 10 mWb na animação, é máximo, mas momentaneamente constante, então $\epsilon =0$. A FEM atinge o pico de 6,28 V quando $\Phi =0$.
• Um transformador elevador não cria energia: a lâmpada recebe o dobro da tensão da bobina, mas metade da corrente, 0,50 A contra 1,0 A, então ambos os lados têm 6,3 W.
• Os dois ângulos chamados $\theta$ são diferentes: em $F=BIL\sin \theta$ ele fica entre o fio e o campo, em $\tau =NBIA\sin \theta$ entre o campo e a normal. Uma bobina com o plano ao longo do campo tem, portanto, o maior torque.

Onde você encontra isso

Motores elétricos acionam ventiladores, elevadores, bombas e carros elétricos, e consomem quase metade da eletricidade do mundo. O motor de um carro elétrico ainda funciona como gerador quando freia. Um gerador de usina de dois polos girando a 3000 rpm produz os 50 Hz da rede europeia, e transformadores ficam nas duas pontas de cada linha de transmissão e dentro de carregadores de celular. Os 230 V vistos na lição “Potência e energia elétrica em casa” são um valor eficaz, e os campos variáveis por trás de cada transformador levam à lição “Ondas eletromagnéticas”.

Avançado

Duas formas de chegar à mesma FEM

Um gerador é uma bobina de $N$ espiras girada com velocidade angular constante $\omega$ em um campo magnético uniforme $\vec{B}$. A regra de fluxo de Faraday dá sua FEM em uma linha, mas esconde o que realmente empurra as cargas pelo circuito. Por isso, primeiro encontramos a FEM a partir da força magnética sobre as cargas dentro do fio em movimento e depois verificamos que a regra do fluxo dá o mesmo resultado. Seja cada espira um retângulo com dois lados longos de comprimento $L$, paralelos ao eixo, e duas extremidades curtas de comprimento $w$, a largura da bobina, de modo que sua área seja $A=Lw$.

Legenda

$\vec{B}$	Campo magnético, uniforme e horizontal no plano da figura.	$\mathrm{T}$
$\omega$	Velocidade angular da bobina, que gira no sentido horário aqui.	$rad/s$
$\frac{w}{2}$	Raio do círculo em que cada lado longo se move: metade da largura $w$ da bobina.	$\mathrm{m}$
$\vec{v}$	Velocidade de um lado longo, tangente ao seu círculo, de módulo $\omega w/2$.	$m/s$
$\theta$	Ângulo entre $\vec{v}$ e $\vec{B}$, e também entre $\vec{A}$ e $\vec{B}$: $\theta =\omega t$.	$\mathrm{rad}$
$\vec{A}$	Vetor área da bobina: módulo $A=Lw$, perpendicular à bobina, portanto paralelo a $\vec{v}$ do lado superior.	${\mathrm{m}}^2$
$\vec{F}$	Força magnética $q\vec{v}\times \vec{B}$ sobre uma carga positiva $q$ em um lado longo. Aponta ao longo do fio: para fora da página no lado superior (ponto), para dentro no inferior (cruz).	$\mathrm{N}$

A figura 1 é vista ao longo do eixo, que aponta para dentro da página. Cada lado longo então aparece como um pequeno disco, e a própria bobina como a linha que une os dois discos. O campo $\vec{B}$ corre horizontalmente pela página, e a bobina gira no sentido horário com $\omega$.

Comecemos pelo movimento de um lado longo. Ele está a uma distância $w/2$ do eixo, então se move sobre o círculo tracejado de raio $w/2$ com velocidade $v=\omega w/2$. Sua velocidade $\vec{v}$ é tangente a esse círculo. Medimos o tempo a partir do instante em que os lados se movem ao longo das linhas de campo, com $\vec{v}$ paralela a $\vec{B}$. A velocidade gira junto com a bobina, então, no instante $t$, ela girou o ângulo $\theta =\omega t$, marcado na figura entre $\vec{v}$ e a linha horizontal tracejada no lado superior.

A seguir, a força. Uma carga positiva $q$ arrastada pelo lado sente a força magnética $\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$. Tanto $\vec{v}$ quanto $\vec{B}$ estão no plano da página, então o produto vetorial é perpendicular à página, ou seja, ao longo do fio. No lado superior ele aponta para fora da página (o ponto); no lado inferior, cuja velocidade é invertida, aponta para dentro da página (a cruz). Como $\theta$ é o ângulo entre $\vec{v}$ e $\vec{B}$, a força tem módulo $qvB\sin \theta =qvB\sin \omega t$.

Agora o trabalho. A FEM é o trabalho realizado sobre uma carga unitária levada uma vez ao redor do circuito. Ao longo de um lado longo, a força por unidade de carga, $vB\sin \omega t$, aponta ao longo do fio em todo o comprimento $L$, então realiza o trabalho $BLv\sin \omega t$ por unidade de carga. As extremidades curtas estão no plano da página; a força sobre suas cargas ainda aponta ao longo do eixo, perpendicular ao fio, então não realiza trabalho ao longo delas.

Por fim, percorramos uma espira inteira. No lado superior nos deslocamos para fora da página, no mesmo sentido da força ali. No lado inferior voltamos para dentro da página, e a força ali também aponta para dentro, então empurra no sentido em que caminhamos. Os dois lados se somam em vez de se cancelarem, e cada espira dá $2BLv\sin \omega t$. As $N$ espiras estão ligadas em série, então suas FEMs também se somam:
$\epsilon =2NBL\frac{\omega w}{2}\sin \omega t=NBA\omega \sin \omega t$
onde o último passo usa $A=Lw$.

A rota pelo fluxo é mais curta. O vetor área $\vec{A}$ tem módulo $A$ e é perpendicular ao plano da bobina. Na figura 1 ele é paralelo à velocidade do lado superior, porque essa velocidade também é perpendicular à bobina. Assim, $\vec{A}$ gira com $\vec{v}$ e faz com $\vec{B}$ o mesmo ângulo $\theta =\omega t$. O fluxo através de uma espira é, portanto, $\Phi =BA\cos \omega t$, máximo em $t=0$, quando a bobina está de frente para o campo. A lei de Faraday dá
$\epsilon =-N\frac{d\Phi }{dt}=-NBA\frac{d}{dt}\cos \omega t=NBA\omega \sin \omega t$
o mesmo resultado.

Usemos os números da animação. Sua bobina tem $L=0,20\mathrm{m}$ ao longo do eixo e $w=0,10\mathrm{m}$ de largura, logo $A=0,020{\mathrm{m}}^2$, com $N=200$ espiras em $B=0,50\mathrm{T}$, girando com $\omega =\pi rad/s$ (uma volta a cada 2 s). Cada lado longo se move com $v=\pi \cdot 0,05\approx 0,157m/s$ e contribui com no máximo $BLv=0,50\cdot 0,20\cdot 0,157\approx 15,7\mathrm{mV}$. As 200 espiras têm 400 lados longos, todos em série, então a FEM de pico é $400\cdot 15,7\mathrm{mV}\approx 6,28\mathrm{V}$, a mesma que $NBA\omega =200\cdot 0,50\cdot 0,020\cdot \pi$.

As duas rotas concordam, mas descrevem mecanismos físicos diferentes. No gerador, o fio se move, e a força magnética sobre suas cargas em movimento faz o empurrão; a regra do fluxo é um resumo compacto dessa força. No transformador nada se move, então não há força $q\vec{v}\times \vec{B}$ alguma. Em vez disso, o fluxo variável cria um campo elétrico que circula pelo núcleo,
$\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=-\frac{d\Phi }{dt}$
e esse campo elétrico impulsiona as cargas na bobina secundária. Que uma única regra cubra dois mecanismos tão diferentes sugere que campos elétrico e magnético são dois aspectos de um único campo, algo que a relatividade torna preciso.

Lendo o gráfico: o fluxo antecede a FEM

O gráfico da animação mostra o fluxo e a FEM juntos. Lê-lo bem significa enxergar a lei de Faraday como uma afirmação sobre inclinações, que é a forma mais rápida de esboçar qualquer FEM induzida a partir de seu fluxo.

Legenda

$\Phi$	Fluxo magnético através de uma espira, $BA\cos \omega t$, desenhado em escala ajustada à altura de ${\epsilon }_0$.	$\mathrm{Wb}$
$\epsilon$	FEM da bobina, $-Nd\Phi /dt$.	$\mathrm{V}$
${\epsilon }_0$	FEM de pico da bobina, $NBA\omega$.	$\mathrm{V}$
$V_s$	Tensão da bobina secundária do transformador; seu pico é $2{\epsilon }_0$ para $N_s/N_p=2$.	$\mathrm{V}$
$t$	Tempo.	$\mathrm{s}$
$T$	Período: o tempo de uma volta da bobina.	$\mathrm{s}$
$\frac{T}{4}$	Um quarto de período: o tempo pelo qual o fluxo se adianta em relação à FEM, uma fase de $90^{\circ }$.	$\mathrm{s}$

A figura 2 redesenha esse gráfico ao longo de um período $T$, o tempo de uma volta; aqui $T=2\pi /\omega =2\mathrm{s}$. A curva verde é o fluxo $\Phi (t)$ através de uma espira, ajustado à altura da FEM para que as duas sejam fáceis de comparar. A curva vermelha é a FEM $\epsilon (t)$. A curva dourada, que veremos adiante, é a saída $V_s(t)$ de um transformador alimentado pelo gerador.

Primeiro, compare onde as curvas atingem seus picos. O fluxo $\Phi =BA\cos \omega t$ tem um pico em $t=0$, e a FEM tem seu primeiro pico um quarto de período depois, em $T/4=0,5\mathrm{s}$. O fluxo está adiantado em relação à FEM em um quarto de ciclo, uma fase de $90^{\circ }$. O padrão se repete a cada período, então o fluxo volta a atingir o pico em 2 s, 4 s e assim por diante.

Agora veja por quê. A lei de Faraday, $\epsilon =-Nd\Phi /dt$, diz que a FEM é igual a menos $N$ vezes a inclinação da curva verde. Em um pico ou vale de $\Phi$, a curva fica plana por um instante, então $\epsilon =0$ ali, embora o fluxo esteja no máximo. Onde $\Phi$ cruza zero, em $T/4$, ele está mais íngreme; a tangente tracejada mostra essa inclinação, e ali $\epsilon$ atinge seu pico $+{\epsilon }_0=+6,28\mathrm{V}$. Meio período depois, $\Phi$ cresce cruzando zero com a mesma inclinação, e $\epsilon =-6,28\mathrm{V}$.

Os números confirmam. O fluxo através de uma espira tem amplitude $BA=0,50\cdot 0,020=10\mathrm{mWb}$, então o fluxo concatenado $N\Phi$ tem amplitude $200\cdot 10\mathrm{mWb}=2,0\mathrm{Wb}$. Um cosseno de amplitude $a$ e frequência angular $\omega$ tem inclinação máxima $a\omega$, aqui $2,0\cdot \pi \approx 6,28Wb/s$. Como $1Wb/s=1\mathrm{V}$, isso é a FEM de pico ${\epsilon }_0$.

A curva dourada $V_s(t)$ tem os mesmos zeros e picos que $\epsilon (t)$, mas é duas vezes mais alta, atingindo $2{\epsilon }_0$. Um transformador ideal copia a forma de onda, multiplica-a pela razão de espiras, aqui $N_s/N_p=2$, e não introduz defasagem; a figura 4 mostra por quê.

Por último, qual número único citar para uma tensão desse tipo. Um resistor $R$ submetido a ${\epsilon }_0\sin \omega t$ consome a potência $({\epsilon }_0^2/R){\sin }^2\omega t$. Em um ciclo, ${\sin }^2\omega t$ tem média $\frac{1}{2}$, porque ${\sin }^2$ e ${\cos }^2$ têm a mesma média e somam 1. A potência média é, portanto, metade da potência de pico, a mesma que uma tensão constante ${\epsilon }_0/\sqrt{2}$ forneceria. Esse é o valor eficaz (rms), aqui $6,28/\sqrt{2}\approx 4,44\mathrm{V}$.

Balanço de energia: o gerador paga com torque

Um gerador transforma trabalho mecânico em energia elétrica, então algo deve resistir à rotação; caso contrário, a bobina forneceria potência de graça. Esse algo é a força magnética sobre a própria corrente que a bobina entrega.

Seja a bobina entregando uma corrente $I$ em fase com sua FEM, como faz sobre um resistor. Em cada espira, um lado longo conduz $I$ ao longo de um comprimento $L$ perpendicular a $\vec{B}$, então sente uma força $BIL$, perpendicular a $\vec{B}$ no plano da figura 1. Apenas a parte dessa força ao longo da velocidade $\vec{v}$ do lado gira a bobina. Como $\vec{v}$ faz o ângulo $\omega t$ com $\vec{B}$, essa parte é $BIL\sin \omega t$, e pela lei de Lenz atua contra $\vec{v}$, com braço de alavanca $w/2$. Dois lados por espira e $N$ espiras dão o torque contrário
$\tau =2N(BIL\sin \omega t)\frac{w}{2}=NBIA\sin \omega t$
Para manter a bobina girando com $\omega$ constante, quem a aciona deve fornecer esse torque, então a potência mecânica aplicada é
$\tau \omega =(NBIA\sin \omega t)\omega =(NBA\omega \sin \omega t)I=\epsilon I$
exatamente a potência elétrica entregue, a cada instante.

Qual força realiza o trabalho? Não a magnética: ela é sempre perpendicular à velocidade total de cada carga, a soma do movimento da bobina com a deriva da carga ao longo do fio, e por isso não realiza trabalho algum. Ela apenas redireciona o trabalho. A parte da força devida ao movimento da bobina empurra as cargas ao longo do fio e impulsiona a corrente; a parte devida à deriva delas ao longo do fio empurra lateralmente o fio e se opõe à rotação. Esses dois trabalhos são iguais e opostos, então toda a energia elétrica vem de quem gira o eixo.

O motor: FCEM e a reta de torque

Usada como motor, a mesma máquina tem o acoplamento invertido. A alimentação impulsiona uma corrente, a força sobre essa corrente gira a bobina, e a bobina girando, sendo também um gerador, produz uma FEM que se opõe à alimentação. Essa FCEM determina a corrente e a velocidade de um motor, e define quanto torque ele pode fornecer em cada velocidade.

Legenda

$\omega$	Velocidade do eixo do motor.	$rad/s$
$\tau$	Torque que o motor fornece; cai linearmente à medida que $\omega$ aumenta.	$\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
${\tau }_0$	Torque de partida, $kV/R$: o torque com o eixo travado, $\omega =0$.	$\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
${\omega }_0$	Velocidade em vazio, $V/k$: a FCEM iguala a tensão de alimentação, não circula corrente e o torque é zero.	$rad/s$
$\frac{{\omega }_0}{2}$	Metade da velocidade em vazio, onde a potência mecânica é maior.	$rad/s$
$\frac{{\tau }_0}{2}$	Metade do torque de partida: o torque em ${\omega }_0/2$.	$\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
$P$	Potência mecânica $\tau \omega$, a área do retângulo sombreado; em ${\omega }_0/2$ atinge seu maior valor, $V^2/(4R)$.	$\mathrm{W}$

A figura 3 traça o torque $\tau$ que um motor fornece em função da velocidade $\omega$ de seu eixo, para uma tensão de alimentação fixa $V$ aplicada através da resistência $R$ do seu enrolamento. Para ver por que o gráfico é uma reta, modelemos o motor. Com muitas bobinas no rotor e um comutador que liga cada bobina no momento certo, a FCEM ${\epsilon }_b$ é quase constante e proporcional à velocidade. Três equações descrevem então o motor:
$V={\epsilon }_b+IR,{\epsilon }_b=k\omega ,\tau =kI$
A primeira é o circuito: a tensão de alimentação se divide entre a FCEM e a queda no enrolamento. A segunda e a terceira contêm a mesma constante $k$, e precisam conter: o balanço de energia acima, ${\epsilon }_{b}I=\tau \omega$, só vale se a constante que liga ${\epsilon }_b$ a $\omega$ for igual à que liga $\tau$ a $I$.

A primeira equação dá a corrente, $I=(V-k\omega )/R$, e a terceira a transforma em torque:
$\tau =\frac{k(V-k\omega )}{R}$
Esta é a reta decrescente da figura. Na extremidade esquerda o eixo está parado, $\omega =0$, então não há FCEM, e só o enrolamento limita a corrente a $V/R$; o torque é então o torque de partida ${\tau }_0=kV/R$. Conforme a velocidade sobe, a FCEM cresce, a corrente cai e o torque cai com ela. Na extremidade direita, a velocidade em vazio ${\omega }_0=V/k$, a FCEM subiu até a tensão de alimentação, não resta corrente e o torque é zero.

A potência mecânica é $P=\tau \omega$. No gráfico, é a área de um retângulo com um canto na origem e o canto oposto sobre a reta, como o sombreado. Escrevendo a reta como $\tau ={\tau }_0(1-\omega /{\omega }_0)$, obtém-se
$P={\tau }_0\omega \left(1-\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)$
que é zero nas duas extremidades da reta. É uma parábola em $\omega$, simétrica em torno do ponto médio de seus dois zeros, então é máxima em $\omega ={\omega }_0/2$, onde o torque é ${\tau }_0/2$. A potência de pico é, portanto, $({\tau }_0/2)({\omega }_0/2)=V^2/(4R)$.

Quanto da entrada se torna trabalho? O motor recebe a potência elétrica $VI$ e converte ${\epsilon }_{b}I$ dela em potência mecânica; seu rendimento, desprezando o atrito, é então ${\epsilon }_b/V=\omega /{\omega }_0$. Na velocidade de potência máxima, ${\epsilon }_b=V/2$: só metade da potência recebida se torna potência mecânica, e a outra metade aquece o enrolamento. Perto da velocidade em vazio, onde o retângulo é largo mas baixo, o rendimento é alto.

Tomemos um motor de 12 V com $R=0,50\Omega$. Na partida $\omega =0$, então não há FCEM e $I=12/0,50=24\mathrm{A}$. Girando a 3000 rpm, ou seja, $\omega =3000\cdot 2\pi /60\approx 314rad/s$, sua FCEM é ${\epsilon }_b=11\mathrm{V}$, e ele consome apenas $(12-11)/0,50=2,0\mathrm{A}$. Dos 24 W recebidos, ${\epsilon }_{b}I=22\mathrm{W}$ viram trabalho mecânico e $I^{2}R=2\mathrm{W}$ aquecem o enrolamento, um rendimento de 92 %.

Esse ponto de operação também fornece a constante do motor, $k={\epsilon }_b/\omega =11/314\approx 0,035\mathrm{V}\cdot s/rad$, então o torque é $\tau =kI=0,035\cdot 2,0=0,070\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$; como verificação, $\tau \omega =0,070\cdot 314\approx 22\mathrm{W}$. Agora coloque esse motor na figura 3. Seu torque de partida é ${\tau }_0=kV/R=0,035\cdot 12/0,50\approx 0,84\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ e sua velocidade em vazio é ${\omega }_0=V/k\approx 343rad/s$, perto de 3270 rpm. Assim, 3000 rpm fica perto da extremidade direita da reta, onde o torque é pequeno e o rendimento $\omega /{\omega }_0$ é alto. O torque cai linearmente com a velocidade, de 0,84 N·m até zero, e a potência mecânica atinge o máximo à metade da velocidade em vazio, cerca de 1640 rpm, com $V^2/(4R)=72\mathrm{W}$. Ali o motor consome $(12-6)/0,50=12\mathrm{A}$, ou seja 144 W, então apenas 50 % disso se torna trabalho.

Dentro do transformador

Um transformador altera o tamanho de uma tensão alternada sem partes móveis, e é por isso que as redes elétricas operam em CA. Todo o seu comportamento decorre de um fato: o núcleo de ferro faz o mesmo fluxo atravessar cada espira das duas bobinas.

Legenda

$V_p$	Tensão da fonte sobre a bobina primária.	$\mathrm{V}$
$I_p$	Corrente na bobina primária.	$\mathrm{A}$
$N_p$	Número de espiras da bobina primária.
$\Phi$	Fluxo magnético no núcleo de ferro, o mesmo através de cada espira das duas bobinas.	$\mathrm{Wb}$
$N_s$	Número de espiras da bobina secundária.
$I_s$	Corrente na bobina secundária e na carga.	$\mathrm{A}$
$V_s$	Tensão na bobina secundária e na carga.	$\mathrm{V}$
$R$	Resistência da carga no secundário.	$\Omega$

A figura 4 mostra um transformador com carga. A fonte aplica a tensão $V_p$ sobre as $N_p$ espiras do primário e impulsiona a corrente $I_p$ por elas. O núcleo de ferro leva o fluxo $\Phi$ por seu circuito fechado, ao longo das setas verdes, de modo que o mesmo $\Phi$ atravessa todas as $N_s$ espiras do secundário. O secundário aplica a tensão $V_s$ sobre a carga $R$ e impulsiona a corrente $I_s$ por ela.

Como cada espira de qualquer das bobinas é atravessada pelo mesmo fluxo, cada espira tem a mesma FEM, em módulo $d\Phi /dt$. Espiras em série se somam, e desprezando a resistência dos enrolamentos, a tensão nos terminais de cada bobina é igual à sua FEM, ou seja, em módulo
$V_p=N_p\frac{d\Phi }{dt},V_s=N_s\frac{d\Phi }{dt}$
Dividindo uma pela outra, $d\Phi /dt$ se cancela e resta a razão de espiras, $V_s/V_p=N_s/N_p$. As duas tensões seguem o mesmo $d\Phi /dt$, então também sobem e descem juntas, sem defasagem, como mostrou a figura 2.

Agora leia a primeira equação ao contrário: a tensão do primário fixa o fluxo, qualquer que seja a carga. Para uma tensão senoidal de pico $V_0$, o fluxo também é senoidal, com pico ${\Phi }_0=V_0/(N_p\omega )$, porque derivar uma senoide multiplica sua amplitude por $\omega$. Um primário de 230 V, 50 Hz e 1000 espiras tem $V_0\approx 325\mathrm{V}$ e $\omega \approx 314rad/s$, logo ${\Phi }_0\approx 1,04\mathrm{mWb}$. Para manter o ferro abaixo de cerca de 1,2 T, o núcleo precisa de uma seção de ${\Phi }_0/B\approx 8,6\times 10^{-4}{\mathrm{m}}^2$, ou seja, cerca de 8,6 cm². A área necessária cai com $1/\omega$: nos 400 Hz usados em aviões bastaria um oitavo dela, e carregadores que chaveiam dezenas de quilohertz usam núcleos minúsculos de ferrite.

Por que a corrente do primário sobe quando se liga uma carga? A corrente da carga $I_s$ circula pelas espiras do secundário e, sozinha, magnetizaria o núcleo no sentido oposto a $I_p$; na figura 4, as duas correntes circulam em sentidos opostos ao redor do núcleo. Mas o fluxo está fixado por $V_p$. Assim, o primário precisa absorver uma corrente extra cujo efeito magnetizante, medido como corrente vezes número de espiras, cancele o do secundário: $N_p{I}_p=N_s{I}_s$, a menos da pequena corrente de magnetização que estabelece o próprio fluxo. Multiplicando pela razão de tensões, obtém-se $V_p{I}_p=V_s{I}_s$: potência entrando igual à potência saindo.

Um transformador também altera resistências. Visto do primário, a carga é $V_p/I_p$. Substituindo $V_p=(N_p/N_s)V_s$ e $I_p=(N_s/N_p)I_s$, obtém-se
$\frac{V_p}{I_p}={\left(\frac{N_p}{N_s}\right)}^{2}R$
que é como um transformador casa um alto-falante a um amplificador.

Dois casos-limite completam o quadro. Com o secundário aberto, não circula $I_s$, e a tensão do secundário é determinada apenas pela corrente do primário: em módulo, $V_s=Md{I}_p/dt$, onde $M$ é a indutância mútua das duas bobinas. Em CC, $d\Phi /dt=0$: nada é induzido em nenhuma das bobinas, nada passa ao secundário, e apenas a pequena resistência do cobre limita a corrente do primário.

Exemplo: carregando o gerador

Ligue uma lâmpada de 25 Ω, tratada como um simples resistor, ao secundário do transformador da animação ($N_p=100$, $N_s=200$), cujo primário é alimentado pelo gerador, e despreze a resistência das bobinas. Que corrente percorre a bobina do gerador, com que força ela deve ser girada, e o que mudaria sem o transformador?

Primeiro, a carga como a bobina a vê. Do primário, a lâmpada parece $(N_p/N_s{)}^{2}R=(100/200{)}^2\cdot 25=6,25\Omega$. A bobina aplica sua FEM, de pico 6,28 V, a essa resistência, então a corrente da bobina é uma senoide em fase com a FEM, de pico $6,28/6,25\approx 1,01\mathrm{A}$. O secundário dobra a tensão e reduz pela metade a corrente, então a lâmpada conduz um pico de cerca de 0,50 A com pico de 12,57 V.

Em seguida, o torque. O balanço de energia deu o torque contrário $NBAI\sin \omega t$, onde $I$ agora é a corrente do primário $I_p$, ela mesma proporcional a $\sin \omega t$. Com $NBA=200\cdot 0,50\cdot 0,020=2,0\mathrm{Wb}$ e $1\mathrm{Wb}\cdot \mathrm{A}=1\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$,
$\tau =NBA{I}_p\sin \omega t\approx 2,0{\sin }^2\omega t\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
Ele atinge o máximo de 2,0 N·m quando o plano da bobina está ao longo do campo, onde FEM e corrente são maiores, e sua média é metade disso, 1,0 N·m. Como verificação, a potência mecânica média $\bar{\tau }\omega =1,005\cdot \pi \approx 3,16\mathrm{W}$ iguala a potência média da lâmpada, metade da tensão de pico vezes a corrente de pico: $\frac{1}{2}\cdot 12,57\cdot 0,503\approx 3,16\mathrm{W}$.

Sem o transformador, a lâmpada ficaria diretamente nos anéis coletores, como uma carga de 25 Ω em vez de 6,25 Ω. Ela consumiria apenas ${\epsilon }_0^2/(2R)=6,28^2/50\approx 0,79\mathrm{W}$, um quarto disso, e a bobina seria quatro vezes mais fácil de girar. O transformador não cria energia: ao fazer a lâmpada parecer quatro vezes menor em resistência, permite que a bobina impulsione quatro vezes a corrente com a mesma FEM e, portanto, entregue quatro vezes a potência, toda ela fornecida por quem gira a bobina.

Por fim, observe que o torque varia com ${\sin }^2\omega t=\frac{1}{2}(1-\cos 2\omega t)$: ele oscila com o dobro da frequência de rotação, o que sacode uma máquina monofásica. As usinas evitam isso com três conjuntos de bobinas defasados de $120^{\circ }$. As partes $\cos 2\omega t$ dos três torques ficam então defasadas de um terço de período e se cancelam, pois
${\sin }^2\theta +{\sin }^2(\theta -120^{\circ })+{\sin }^2(\theta +120^{\circ })=\frac{3}{2}$
de modo que um gerador trifásico equilibrado fornece torque e potência perfeitamente constantes.

Limites de validade

O transformador ideal supõe três coisas: todo o fluxo atravessa as duas bobinas, os enrolamentos não têm resistência, e o ferro é magnetizado sem custo e sem perdas. Núcleos reais perdem energia de duas formas. A histerese custa uma quantia fixa de energia a cada inversão da magnetização do ferro, então sua perda de potência cresce aproximadamente em proporção à frequência. As correntes parasitas são correntes induzidas no próprio ferro; elas crescem com o quadrado da frequência e da espessura das chapas de ferro, por isso os núcleos são feitos de lâminas isoladas com cerca de 0,3 mm de espessura. Transformadores grandes chegam a 99,5 % de rendimento, mas uma unidade de 500 MVA dissipa 2,5 MW como calor, daí o tanque de óleo e os radiadores. O aço-silício satura perto de 1,5 a 2 T: acima disso, mais corrente quase não acrescenta fluxo. Como o fluxo é fixado por ${\Phi }_0=V_0/(N_p\omega )$, um transformador operado abaixo de sua frequência de projeto ou acima de sua tensão de projeto é levado à saturação e absorve correntes enormes.

O tratamento também é quase estático: os campos são considerados atuando em todos os pontos ao mesmo tempo. Em 50 Hz, o comprimento de onda é $c/f=6000\mathrm{km}$, então qualquer máquina é minúscula em comparação, mas uma linha de 1000 km equivale a um sexto de comprimento de onda e deve ser analisada como linha de transmissão. A regra do fluxo também exige cuidado quando um material condutor desliza por um contato fixo, como em um gerador de disco, onde não está claro por qual circuito o fluxo deve ser contado. A força $q\vec{v}\times \vec{B}$ é então o guia confiável.

A CA nem sempre é a melhor escolha. Um cabo longo tem grande capacitância, que a CA precisa carregar e descarregar continuamente. Além de cerca de 50 a 100 km de cabo submarino, ou várias centenas de quilômetros de linha aérea, a CC em alta tensão com conversores eletrônicos é mais vantajosa. Isolamento e efeito corona no ar ao redor dos condutores limitam as maiores tensões de transmissão a cerca de 1 MV.

O que vem depois

A força sobre correntes da lição “Força magnética sobre cargas em movimento” e a regra do fluxo da lição “Indução eletromagnética” são toda a física de que uma rede elétrica precisa. O campo elétrico induzido de cada transformador, unido ao seu par, um campo magnético produzido por um campo elétrico variável, dá as ondas autossustentadas de “Ondas eletromagnéticas”. No referencial que se move com um lado da bobina, o empurrão magnético do gerador se torna um campo elétrico: um primeiro vislumbre da “Relatividade restrita”. Os valores eficazes e o fator de potência de fontes CA foram tratados em “Potência e energia elétrica em casa”, e os retificadores e inversores por trás de motores sem escovas e de ligações HVDC vêm de “Semicondutores, diodos e LEDs”.