Indução eletromagnética

Como um fluxo magnético $Φ$ variável através de uma bobina induz uma fem $ε = - N d Φ/ d t$ : a lei de Faraday, a lei de Lenz para o sentido dela e o gerador.

Um ímã de barra é empurrado para dentro de uma bobina e depois puxado para fora. O ponteiro de um medidor oscila para um lado, depois para o outro, e fica em zero enquanto o ímã está parado.

Antes deste tema: Força magnética sobre cargas em movimento

Iniciante

Ideias principais

Empurre um ímã para dentro de uma bobina e passa corrente sem pilha. Puxe-o para fora e a corrente passa no sentido contrário.
Só a variação conta: um ímã parado dentro da bobina, por mais forte que seja, não produz corrente nenhuma.
Mover um fio através do campo de um ímã também funciona: as cargas que vão com o fio são empurradas ao longo dele.
A corrente induzida se opõe à mudança, então você precisa realizar trabalho para mover o ímã. Esse trabalho se torna energia elétrica.
Movimento mais rápido, ímã mais forte ou mais espiras dão uma corrente maior. Geradores e dínamos de bicicleta usam isso.

Ligue uma bobina de fio a um medidor de corrente sensível. Não há pilha em lugar nenhum, então o ponteiro fica em zero. Agora empurre um ímã de barra para dentro da bobina: o ponteiro se desloca para um lado. Segure o ímã parado dentro dela, e o ponteiro volta a zero. Puxe-o para fora, e o ponteiro se desloca para o outro lado.

Esta é a indução eletromagnética, descoberta por Michael Faraday em 1831. A regra é curta: uma corrente só flui enquanto o magnetismo que atravessa a bobina estiver mudando. Um ímã enorme parado não faz nada; um pequeno movido depressa faz algo. A animação mostra as três etapas: ímã entrando, ímã parado, ímã saindo.

Você já conhece o motivo. Um ímã empurra cargas em movimento lateralmente. Mova um fio atravessando o campo de um ímã e as cargas dentro do fio são levadas junto, então são empurradas ao longo do fio: esse empurrão é a corrente induzida. Não importa o que se move, o ímã ou o fio.

A corrente induzida sempre se opõe à mudança que a criou. Quando o ímã entra, a bobina vira um pequeno ímã que o empurra de volta; quando ele sai, a bobina tenta retê-lo. Assim, você precisa realizar trabalho para mover o ímã, e esse trabalho é exatamente de onde vem a energia elétrica.

Mover mais rápido, usar um ímã mais forte ou enrolar mais espiras produzem todos uma corrente maior. Geradores de usinas, dínamos de bicicleta e carregadores sem fio dependem disso.

Teste-se: um ímã fica parado dentro de uma bobina ligada a um medidor. O que o medidor mostra? (Zero: nada está mudando.)

Intermediário

Ideias principais

Fluxo $Φ = B A cos θ$ ( $1 Wb = 1 T \cdot m^{2}$ ) mede quanto campo atravessa uma espira.
Lei de Faraday: $ε = - N ΔΦ/Δ t$ . Só um fluxo variável induz uma fem, por maior que seja $Φ$ .
Mudar $B$ , a área $A$ ou o ângulo $θ$ altera o fluxo e induz uma fem.
Lei de Lenz: a corrente induzida se opõe à variação do fluxo. Por isso, mover o ímã exige trabalho, que vira energia elétrica.

Fluxo magnético: quanto campo atravessa a espira

A indução não é causada pelo campo magnético em si, e sim por uma mudança em quanto campo passa por um circuito: o fluxo magnético. Para uma espira plana de área $A$ em um campo uniforme $B$ ,
$Φ = B A cos θ$
em que $θ$ é o ângulo entre o campo e a normal, a reta perpendicular ao plano da espira. Um campo que atravessa a espira em linha reta dá $θ = 0$ e $Φ = B A$ . Um campo paralelo ao plano dá $Φ = 0$ , porque nenhuma linha de campo atravessa a espira.

O fluxo é medido em webers, $1 Wb = 1 T \cdot m^{2}$ , e tem sinal: se você inverter o campo ou virar a espira, o fluxo muda de sinal. Uma bobina de $N$ espiras, como as 200 da animação, responde ao fluxo concatenado $N Φ$ , já que cada espira carrega o mesmo fluxo.

Lei de Faraday: só a variação conta

A lei de Faraday afirma que um fluxo variável induz uma força eletromotriz (fem) em uma bobina de $N$ espiras:
$ε = - \frac{N ΔΦ}{Δ t}$
A fem, medida em volts, é a energia fornecida a cada coulomb que dá uma volta completa no circuito, e a fórmula fornece a média dela no intervalo $Δ t$ . Através de um circuito de resistência $R$ , ela produz uma corrente $I = ε / R$ .

O fluxo $Φ = B A cos θ$ pode mudar de três maneiras, e cada uma induz uma fem:

Mude o campo $B$ : mova um ímã, ou ligue ou desligue um eletroímã.
Mude a área $A$ : estique a espira, ou deslize uma barra sobre trilhos.
Mude o ângulo $θ$ : gire a bobina, que é como um gerador funciona.

O tamanho do fluxo em si não importa. Enquanto o ímã está parado dentro da bobina, de 2,6 s a 4,6 s, o indicador de $Φ$ se mantém em 0,20 mWb e o indicador de $ε$ mostra 0 mV.

Lei de Lenz: o sinal de menos

O sinal de menos é a lei de Lenz: a corrente induzida se opõe à variação do fluxo que a produziu. Quando o polo norte se aproxima, o fluxo cresce, então a corrente cria um campo no sentido oposto: a extremidade da bobina voltada para o ímã se torna um polo norte e o repele. Quando o ímã sai, o fluxo cai, a corrente se inverte, e essa extremidade vira um polo sul que puxa o ímã de volta. Sua mão direita indica o sentido: o polegar aponta ao longo do campo que a corrente deve criar, e os dedos se curvam no sentido em que ela flui.

A lei de Lenz é conservação de energia disfarçada. Como a bobina empurra de volta, você precisa realizar trabalho para mover o ímã, e esse trabalho se transforma na energia elétrica do circuito. Se a bobina ajudasse o movimento, um pequeno empurrão faria o ímã se afastar sozinho: energia do nada.

Exemplo resolvido: a bobina da animação

Com o ímã totalmente dentro, o campo $B = 0, 20 T$ corre ao longo do eixo da bobina ( $θ = 0$ ) através de uma área $A = 10 c m^{2} = 1, 0 \times 1 0^{- 3} m^{2}$ :
$Φ = B A = 0, 20 \cdot 1, 0 \times 1 0^{- 3} = 2, 0 \times 1 0^{- 4} Wb = 0, 20 mWb$
O indicador de $Φ$ alcança esse valor em 2,6 s. Ele começa em 0,00 porque, a 125 mm de distância, o ímã envia apenas cerca de 0,0025 mWb através da bobina.

O empurrão dura 2,0 s, de 0,6 s a 2,6 s, então a fem média durante o empurrão é
$∣ ε ∣ = \frac{N ΔΦ}{Δ t} = \frac{200 \cdot 0 , 20 \times 1 0 ^{- 3}}{2 , 0} = 0, 020 V$
ou 20 mV. No entanto, o indicador de $ε$ cai até cerca de $- 89 mV$ em $t \approx 2, 2 s$ , porque o fluxo não cresce a uma taxa constante. Em 1,7 s ele ainda é de apenas cerca de 0,02 mWb; depois, quando a extremidade norte entra na bobina, sobe para cerca de 0,18 mWb em 2,3 s. Nessa janela de 0,6 s a média é $200 \cdot 0, 16 \times 1 0^{- 3} /0, 6 \approx 53 mV$ , e uma média nunca pode superar o pico.

O sinal segue a lei de Lenz: o indicador é negativo enquanto o fluxo sobe e chega a $+ 89 mV$ enquanto ele cai, quando o ímã sai.

Exemplo resolvido: uma barra deslizando em trilhos

Dois trilhos paralelos separados por 25 cm estão ligados em uma extremidade através de um resistor de 0,50 Ω, e uma barra metálica repousa sobre eles em um campo uniforme de 0,40 T, perpendicular ao plano deles. Você puxa a barra ao longo dos trilhos com velocidade constante de 2,0 m/s.

Em um tempo $Δ t$ , a barra, de comprimento $L = 0, 25 m$ entre os trilhos, acrescenta ao circuito uma área $Lv Δ t$ . Então $ΔΦ = B Lv Δ t$ , e a lei de Faraday com $N = 1$ dá
$ε = B Lv$
$ε = 0, 40 \cdot 0, 25 \cdot 2, 0 = 0, 20 V$
e uma corrente $I = ε / R = 0, 20/0, 50 = 0, 40 A$ .

Por conduzir corrente em um campo, a barra sofre uma força $F = B I L = 0, 40 \cdot 0, 40 \cdot 0, 25 = 0, 040 N$ , que pela lei de Lenz aponta para trás, contra o movimento. Manter a barra a 2,0 m/s exige uma potência $F v = 0, 080 W$ , exatamente a $I^{2} R = 0, 080 W$ que o resistor transforma em calor: cada joule veio do seu puxão.

Lendo o medidor, as setas e os gráficos

O indicador verde de $Φ$ sobe de 0,00 a 0,20 mWb em uma subida em forma de S: lenta, depois rápida, e lenta de novo quando o ímã se acomoda. O indicador de $ε$ , o ângulo do ponteiro do medidor e o comprimento da seta roxa $I$ acompanham proporcionalmente a fem. O N ou S ao lado da extremidade esquerda da bobina é o polo que a corrente induzida cria.

Em um gráfico de $Φ$ contra $t$ , a fem é $- N$ vezes a inclinação: negativa em uma subida, zero em qualquer trecho plano, não importa em que altura esteja, e positiva em uma descida. O ponto mais íngreme da subida, perto de 2,2 s, tem uma inclinação de cerca de 0,45 mWb/s, e $200 \cdot 0, 45 \approx 89 mV$ é a leitura de pico.

Erros comuns

Campo forte não é fem grande. Com o ímã parado dentro, 0,20 mWb atravessa cada espira e a fem é exatamente zero.
A corrente induzida se opõe à variação, não ao campo. Quando o ímã sai, o campo induzido aponta no mesmo sentido do campo do próprio ímã, sustentando o fluxo que cai.
O ângulo $θ$ é medido a partir da normal, não do plano. Uma bobina cujo plano faz 30° com o campo tem $θ = 6 0^{\circ}$ . Com os números da animação, $Φ = B A cos 6 0^{\circ} = 0, 10 mWb$ , e não 0,17 mWb.
Mantenha o fator $N$ e converta com $1 c m^{2} = 1 0^{- 4} m^{2}$ . Esquecer $N$ transforma a média de 20 mV da animação em 0,1 mV; tomar 10 cm² como $1 0^{- 2} m^{2}$ a transforma em 200 mV.
Fem não é corrente. Uma bobina com as extremidades abertas tem a fem completa entre elas, mas não conduz corrente, então não sente frenagem alguma.

Onde você encontra isso

A maior parte da eletricidade do mundo vem de geradores que fazem ímãs passarem por bobinas, produzindo corrente alternada de 50 ou 60 Hz. Transformadores mudam tensões por indução, carregadores sem fio para celulares transferem energia pelo ar a cerca de 100–200 kHz, cooktops de indução aquecem a panela por correntes de Foucault, e captadores de guitarra e detectores de metal percebem metal em movimento ou escondido. Alguns trens freiam com correntes de Foucault, e carros elétricos recuperam energia fazendo seus motores funcionarem como geradores.

As máquinas são o tema de Motores, geradores e transformadores. A lei de Faraday também é metade do mecanismo da luz: campos magnéticos e elétricos que variam geram um ao outro e viajam juntos como Ondas eletromagnéticas.

Avançado

Ideias principais

$\nabla \times E = - \partial B / \partial t$ : um $B$ variável cria um $E$ rotacional, não conservativo, que empurra as cargas em um circuito parado.
A área do pulso $\int ε d t = - N ΔΦ$ é fixada pela variação do fluxo; a carga movida é $Q = N ∣ΔΦ∣/ R$ , qualquer que seja a velocidade.
Em um condutor em movimento, a fem é a força magnética sobre suas cargas: $ε = \oint (v \times B) \cdot d l = B Lv$ para uma barra sobre trilhos.
Com contatos deslizantes (disco de Faraday) a regra do fluxo pode falhar; $ε = \oint (E + v \times B) \cdot d l$ vale sempre.
Uma bobina girando em campo uniforme dá $ε = NB A ω sin ω t$ : zero quando o fluxo é máximo, pico quando ele é zero.

Fem e fluxo, definidos com precisão

A lei de Faraday relaciona duas grandezas, a fem ao longo de um circuito e o fluxo magnético através dele, então ambas precisam de definições exatas antes que a lei possa ser enunciada. Percorra uma vez um caminho fechado $C$ em pequenos passos $d l$ . A fem $ε$ do caminho é o trabalho por unidade de carga, nessa única volta, realizado pelo que empurra a carga ao longo dele. Se uma carga $q$ sente a força $F$ , então
$ε = \oint (F / q) \cdot d l$
Uma fem não é uma diferença de potencial. O campo elétrico de cargas em repouso não realiza trabalho líquido sobre uma carga levada ao longo de um laço fechado, porque a carga termina no potencial em que começou: esse campo tem circulação nula. Assim, sempre que um caminho fechado tem uma fem, há outro empurrão em ação, e esta lição trata de onde ele vem.

A Figura 1 define a geometria. As pontas de seta em $C$ dão o sentido em que o caminho é percorrido, e um passo $d l$ está desenhado. Para medir o fluxo, precisamos de uma superfície $S$ cuja borda seja $C$ ; a figura usa a plana. Divida $S$ em pequenos pedaços e descreva cada um por um vetor $d A$ : seu comprimento é a área do pedaço, e ele fica em ângulo reto com o pedaço. Um pedaço tem dois lados, e a regra da mão direita escolhe um: curve os dedos da mão direita ao longo de $d l$ , e o polegar dá o sentido de $d A$ . Essa regra liga o sinal do fluxo ao sentido em que a fem é contada.

Agora observe o próprio pedaço. O campo $B$ ali forma o ângulo $θ$ com $d A$ , então só a componente $B cos θ$ atravessa o pedaço, e o pedaço acrescenta $B d A cos θ = B \cdot d A$ ao fluxo. Somando todos os pedaços, obtemos o fluxo através de $C$ :
$Φ = \int B \cdot d A$
Por que a escolha da superfície não importa? Porque $\nabla \cdot B = 0$ : as linhas de campo nunca começam nem terminam. Assim, toda linha que atravessa a superfície plana também atravessa uma cúpula apoiada na mesma borda. Toda superfície limitada por $C$ carrega o mesmo fluxo, então $Φ$ pertence ao próprio caminho.

Com as duas grandezas definidas, a lei de Faraday diz que a fem é menos a taxa de variação do fluxo. Para um caminho em repouso, o único empurrão é o campo elétrico, e a lei fica
$\oint E \cdot d l = - \frac{d}{d t} \int B \cdot d A$
Uma bobina de $N$ espiras equivale a $N$ desses caminhos em série, cada um atravessado pelo mesmo fluxo, então sua fem é
$ε = - N \frac{d Φ}{d t}$
O sinal de menos é a lei de Lenz. Uma fem positiva faz a corrente circular ao longo de $d l$ , e pela regra da mão direita o campo dessa corrente atravessa $S$ no sentido de $d A$ , somando fluxo positivo. Um fluxo crescente recebe, portanto, uma fem negativa, cuja corrente remove fluxo e assim se opõe ao aumento.

O teorema de Stokes transforma a circulação de $E$ ao redor de $C$ no fluxo de $\nabla \times E$ através de $S$ . Como a lei vale para todo laço, por menor que seja, ela vale ponto a ponto:
$\nabla \times E = - \partial B / \partial t$
Um campo magnético variável é cercado por um campo elétrico rotacional, esteja ou não ali um fio para senti-lo.

Fem de movimento: circuito em campo constante

O fluxo através de um circuito pode mudar por duas razões bem diferentes: o circuito se move por um campo que permanece parado, ou o campo muda enquanto o circuito fica parado. A lei de Faraday cobre as duas com uma única fórmula, mas a física por trás delas é diferente. Considere primeiro o circuito em movimento, porque ali a lei decorre de uma força que você já conhece.

A Figura 2 mostra o circuito móvel mais simples. Uma barra de comprimento $L$ repousa sobre dois trilhos ligados na extremidade esquerda, e desliza para a direita com velocidade $v$ . O campo $B$ aponta para dentro da página em toda parte (as cruzes). As cargas na barra se movem com ela, então cada uma sente a força magnética $q v \times B$ ; para uma carga positiva, essa é a força $F$ , que aponta para cima na barra. A fem é o trabalho por unidade de carga dessa força ao longo do circuito:
$ε = \oint (v \times B) \cdot d l$
Somente a barra se move, então somente ela contribui. Ao longo dela, $v \times B$ tem módulo $v B$ e aponta ao longo da barra, então o módulo da fem é $B Lv$ .

Agora conecte isso ao fluxo. No curto intervalo $d t$ , o elemento $d l$ se desloca $v d t$ e varre a faixa sombreada, cujo vetor de área é $d A = v d t \times d l$ ; a barra inteira varre a área $Lv d t$ . Como $\nabla \cdot B = 0$ , o fluxo através do circuito cresce exatamente pelo fluxo que atravessa essas faixas varridas. Dividindo por $d t$ :
$\frac{d Φ}{d t} = \oint B \cdot (v \times d l) = - \oint (v \times B) \cdot d l$
O segundo passo usa a propriedade cíclica do produto misto, $B \cdot (v \times d l) = d l \cdot (B \times v)$ , junto com $B \times v = - v \times B$ . O lado direito é menos a fem, então $ε = - d Φ/ d t$ . Para um circuito que se move por um campo fixo, a regra do fluxo não é uma lei nova: é uma consequência da força magnética sobre cargas em movimento.

Os sinais da Figura 2 confirmam isso. O elemento $d l$ aponta para baixo na barra, no sentido de percurso do circuito, que é horário. Pela regra da mão direita, $d A$ aponta então para dentro da página, ao longo de $B$ , então o fluxo é positivo e cresce. A força $F$ aponta para cima na barra, contra $d l$ , então a fem é negativa: fluxo crescente e fem negativa, como exige a lei de Lenz.

Campo variável: o campo elétrico induzido

Agora mantenha o circuito parado e mude o campo, por exemplo movendo o ímã em vez da bobina. Cargas em repouso não sentem força magnética, então a força magnética não pode ser o empurrão. O empurrão vem de um campo elétrico realmente novo, cujo rotacional não é zero: $\nabla \times E = - \partial B / \partial t$ . Nada na lei da força magnética prevê isso. É uma lei da natureza separada, descoberta por experimento.

Ainda assim, os dois mecanismos sempre dão a mesma fem, então só importa o movimento relativo entre ímã e bobina. O artigo de Einstein sobre relatividade, de 1905, começa exatamente com este exemplo. No referencial do ímã, as cargas da bobina se movem e sentem a força $q v \times B$ ; no referencial da bobina, elas estão em repouso e sentem $q E$ . A relatividade mostra que esse é um único campo visto de dois referenciais: como ele se divide em partes elétrica e magnética depende do observador.

O pulso de fem: sua altura e sua área

Quando o ímã da animação é empurrado para dentro da bobina, a fem aparece como um único pulso. Duas características do pulso carregam a física: sua altura é determinada pela rapidez com que o fluxo muda, e sua área, pela quantidade total de variação do fluxo.

A Figura 3 é desenhada com base no mesmo modelo da animação. O gráfico superior é o fluxo $Φ (t)$ através de uma espira enquanto o ímã é empurrado: ele sobe $ΔΦ$ até $Φ_{m a x}$ e depois fica plano. O gráfico inferior é a fem $ε (t)$ , que pela lei de Faraday é $- N$ vezes a inclinação do gráfico superior. Observe o ponto sobre a curva de fluxo: ali a tangente é mais íngreme, e seu triângulo de inclinação tem catetos $d t$ e $d Φ$ . Siga a linha tracejada verticalmente para baixo, e a fem está no fundo do seu pulso, cuja profundidade é $ε_{m a x}$ . Onde $Φ$ é plano, antes de o ímã chegar e depois de ele parar dentro, a fem é zero, não importa quão grande seja o fluxo.

Comece pela altura. No modelo, o fluxo através de uma espira depende da distância $s$ entre os centros do ímã e da bobina assim:
$Φ (s) = Φ_{m a x} [1 + (s / a)^{2}]^{- 3/2}$
com $Φ_{m a x} = 0, 20 mWb$ e $a = 30 mm$ . O fluxo depende do tempo apenas através de $s$ , então a regra da cadeia separa a fem em um fator determinado pela forma do campo e um fator determinado pela velocidade:
$ε = - N \frac{d Φ}{d s} \frac{d s}{d t}$
A inclinação $d Φ/ d s$ é proporcional a $(s / a) [1 + (s / a)^{2}]^{- 5/2}$ . Igualando a derivada dela a zero, obtemos $1 + (s / a)^{2} = 5 (s / a)^{2}$ , então a inclinação é mais íngreme em $s = \pm a /2$ , onde seu módulo é $0, 86 Φ_{m a x} / a$ . Durante a entrada, o ímã se move com velocidade constante de 78 mm/s e passa por $s = - 15 mm$ em $t \approx 2, 2 s$ . A profundidade do pulso é, portanto,
$ε_{m a x} = 200 \cdot 0, 86 \cdot (0, 20 \times 1 0^{- 3} /0, 030) \cdot 0, 078 \approx 0, 089 V$
que é o vale de $- 89 mV$ do gráfico. O pulso é estreito: ele fica mais fundo que metade desse valor por apenas 0,37 s dos 2 s do empurrão.

Agora a área. Integrando a lei de Faraday sobre o pulso inteiro, obtemos
$\int ε d t = - N \int d Φ = - N ΔΦ$
A área depende apenas da variação total do fluxo, não de quão rapidamente ela aconteceu. Aqui o fluxo sobe de 0,0025 mWb, com o ímã a 125 mm de distância, até 0,20 mWb, então a área é $- 200 \cdot (0, 20 - 0, 0025) mWb \approx - 39, 5 mV \cdot s$ (um volt-segundo é um weber). Puxar o ímã para fora dá um pulso de mesma área e sinal oposto. Um empurrão duas vezes mais rápido dá um pulso duas vezes mais alto e metade da largura, com a mesma área.

A área tem uso prático. Através de um circuito de resistência $R$ , a carga que flui é $Q = \int ε d t / R$ , portanto $Q = N ∣ΔΦ∣/ R$ : cerca de 2,0 mC por pulso com 20 Ω. Isso continua exato mesmo quando a indutância própria da bobina importa, porque a corrente é zero antes e depois do pulso, e a fem indutiva integra para zero. Uma bobina de busca ligada a um medidor de carga pode, portanto, medir um campo, não importa a velocidade da mão que a move.

A bobina girante: um gerador

Um gerador muda o fluxo por rotação: uma bobina gira de modo constante em um campo fixo. Suponha que ela gire com velocidade angular $ω$ em um campo uniforme $B$ , de modo que o ângulo $θ$ da Figura 1, entre $B$ e o vetor área da bobina, cresça como $θ = ω t$ . Cada espira, de área $A$ , carrega então $Φ = B A cos ω t$ , e a lei de Faraday dá
$ε = - N \frac{d Φ}{d t} = NB A ω sin ω t$
A fem é zero quando a bobina fica de frente para o campo e o fluxo é máximo, porque o cosseno é plano no seu pico. A fem é máxima um quarto de volta depois, quando a bobina fica de lado para o campo e o fluxo passa por zero, mudando mais depressa. Fluxo e fem ficam defasados em um quarto de ciclo, como posição e velocidade no movimento harmônico simples.

Gire a bobina da animação, com $N = 200$ e $A = 1, 0 \times 1 0^{- 3} m^{2}$ , em seu campo de 0,20 T 50 vezes por segundo, de modo que $ω = 2 π \cdot 50 \approx 314 rad/s$ . A fem de pico é
$NB A ω = 200 \cdot 0, 20 \cdot 1, 0 \times 1 0^{- 3} \cdot 314 \approx 12, 6 V$
A forma média da lei confirma isso. Em cada meia volta, o fluxo vai de $+ 0, 20$ para $- 0, 20 mWb$ em 0,010 s, então a fem média é $200 \cdot 0, 40 \times 1 0^{- 3} /0, 010 = 8, 0 V$ . Isso é $2/ π$ do pico, a média de uma meia senoide, como deve ser. O pico é 140 vezes os 89 mV do ímã empurrado à mão, por duas razões: o fluxo agora se inverte por completo, em vez de apenas aparecer, e faz isso cem vezes por segundo.

Correntes induzidas freiam

Uma vez que uma fem induzida impulsiona uma corrente, essa corrente fica em um campo magnético e sofre uma força. Pela lei de Lenz, a força sempre se opõe ao movimento que a causou, então a indução atua como um freio. A barra sobre trilhos torna isso quantitativo.

Empurre a barra e solte. Com velocidade $v$ , a fem $B Lv$ produz a corrente $I = B Lv / R$ pela resistência $R$ do circuito, e o campo empurra a barra de volta com a força $B I L = B^{2} L^{2} v / R$ . A segunda lei de Newton para uma barra de massa $m$ fica então
$m \frac{d v}{d t} = - \frac{B ^{2} L ^{2}}{R} v$
O arrasto é proporcional à velocidade, então a velocidade decai exponencialmente, $v = v_{0} e^{- t / τ}$ , com a constante de tempo $τ = m R / (B^{2} L^{2})$ . Use os trilhos do exemplo Intermediário, com $B = 0, 40 T$ , $L = 0, 25 m$ e $R = 0, 50 Ω$ , e uma barra de 20 g: $τ = 0, 020 \cdot 0, 50/ (0, 4 0^{2} \cdot 0, 2 5^{2}) = 1, 0 s$ . Lançada a 2,0 m/s, a barra desliza uma distância $v_{0} τ = 2, 0 m$ (a integral de $v$ em todo o tempo), e toda a sua energia cinética de 0,040 J acaba como calor no resistor.

Em metal maciço não há fio que guie a corrente; o campo elétrico induzido impulsiona correntes parasitas (correntes de Foucault) em laços fechados dentro do próprio metal. Elas aquecem a panela de um cooktop por indução, freiam trens sem desgaste e fazem um ímã descer lentamente por um tubo de cobre. Os núcleos de transformadores são feitos de lâminas finas e isoladas, que interrompem esses laços e reduzem as perdas. Uma bobina também se opõe a mudanças da própria corrente, porque o fluxo dessa corrente atravessa a própria bobina. Essa autoindução é a razão pela qual interromper a corrente em uma bobina grande pode produzir uma faísca.

Problema resolvido: um ímã caindo através da bobina

Solte o ímã da animação a partir do repouso, com o eixo vertical e o centro 20 cm acima do centro da bobina, de modo que ele caia direto através dela. Primeiro deixe a bobina aberta: nenhuma corrente flui, então nada freia a queda. Como se comparam os pulsos de entrada e de saída? Depois feche a bobina em 20 Ω: quanta frenagem extra isso acrescenta?

Alturas de pico. Cada pulso é mais fundo onde a inclinação $d Φ/ d s$ é mais íngreme, em $s = \pm 15 mm$ , então
$∣ ε_{m a x} ∣ \approx N \cdot 0, 86 (Φ_{m a x} / a) v = 200 \cdot 0, 86 \cdot (0, 20 \times 1 0^{- 3} /0, 030) v \approx 1, 15 v$
em volts, para $v$ em m/s. O centro do ímã alcança $s = - 15 mm$ depois de cair 0,185 m, com $v = 2 \cdot 9, 81 \cdot 0, 185 \approx 1, 91 m/s$ , e $s = + 15 mm$ depois de 0,215 m, com cerca de 2,05 m/s. Assim, o pulso de entrada atinge um pico perto de $- 2, 2 V$ , e o pulso de saída perto de $+ 2, 35 V$ , apenas 15 ms depois.

Larguras. Cada pulso tem área $N Φ_{m a x} \approx 40 mV \cdot s$ , porque o fluxo sobe de quase nada até $Φ_{m a x}$ e depois volta. Com áreas iguais, o pulso de saída, mais alto, precisa ser mais estreito: área dividida pela altura dá cerca de 18 ms para o pulso de entrada e 17 ms para o de saída. Os dois pulsos são cerca de 25 vezes mais altos e 25 vezes mais estreitos que na animação, a razão entre as velocidades.

Frenagem. Agora feche a bobina em 20 Ω. A potência convertida em calor é $ε^{2} / R$ , e sua integral $\int ε^{2} d t / R$ , calculada numericamente sobre os dois pulsos, é cerca de 5,8 mJ. Um ímã de 50 g chega com $m g h = 0, 050 \cdot 9, 81 \cdot 0, 20 \approx 0, 098 J$ de energia cinética, então perde cerca de 6% da energia. Sua velocidade varia como a raiz quadrada da energia, então ela cai só cerca de 3%: ignorar a frenagem na primeira parte foi razoável. Em um tubo de cobre a resistência é minúscula, as correntes são grandes, e a frenagem é forte o bastante para manter o ímã em uma velocidade terminal baixa.

Limites de validade: quando a regra do fluxo falha

A regra do fluxo funciona quando o caminho da corrente se move junto com o material que a conduz, como faz a barra sobre trilhos. Um disco girando mostra o que dá errado quando isso não acontece, e o que usar em vez disso.

A Figura 4 mostra um disco de cobre de raio $r$ girando com velocidade angular $ω$ em um campo $B$ ao longo do seu eixo, saindo da página (os pontos). Uma escova toca o eixo e outra a borda, e fios levam ambas a um medidor que lê a fem $ε$ . A corrente passa pelos fios, pelo medidor e por um raio do disco entre as escovas. Esse caminho permanece onde está enquanto o disco gira, então o fluxo através dele nunca muda, e a regra do fluxo prevê fem nenhuma. Mesmo assim, o medidor marca uma.

A lei da força explica a leitura. O metal do disco se move, então as cargas nele sentem $q v \times B$ . À distância $ρ$ do eixo, o metal se move com velocidade $ω ρ$ , então na Figura 4 as setas $v$ ao longo do raio crescem proporcionalmente a $ρ$ , e suas pontas ficam sobre uma reta tracejada que passa pelo centro. A força $F$ sobre uma carga positiva aponta ao longo do raio, para longe do eixo (é desenhada no raio da esquerda). Um pequeno trecho $d ρ$ do raio, portanto, acrescenta $B ω ρ d ρ$ à fem, e a soma do eixo até a borda é a área sob essa reta, um triângulo:
$ε = \int_{0}^{r} B ω ρ d ρ = \frac{1}{2} B ω r^{2}$
Para um disco de raio 10 cm girando 50 vezes por segundo em 0,50 T, isso dá 0,79 V. A regra que nunca falha é a própria lei da força, com a força por unidade de carga integrada ao longo do caminho real das cargas:
$ε = \oint (E + v \times B) \cdot d l$

A imagem de circuito também tem limites próprios. Ela supõe que a fem aparece em toda a malha ao mesmo tempo, o que exige um circuito muito menor que o comprimento de onda $c / f$ do campo variável: 6000 km em 50 Hz, mas só 30 cm em 1 GHz, onde os fios começam a irradiar como antenas. Também ignoramos o campo próprio da bobina. Para a bobina da animação, de comprimento $ℓ = 60 mm$ , a estimativa de solenoide longo para sua indutância, $μ_{0} N^{2} A / ℓ$ , dá menos de 1 mH, e com 20 Ω uma constante de tempo perto de 40 µs: desprezível diante do pulso de 0,4 s, mas dominante em altas frequências.

Como o empurrão se divide entre $E$ e $v \times B$ depende do referencial. Em baixas velocidades, um referencial que se move com velocidade $v$ vê o campo elétrico $E^{'} = E + v \times B$ ; nos 78 mm/s da animação, essa regra erra apenas cerca de $(v / c)^{2} \approx 7 \times 1 0^{- 20}$ .

No outro extremo está um anel supercondutor. Em torno de um laço de resistência nula, a fem total deve ser zero, ou a corrente cresceria sem limite; assim, o fluxo através do anel, incluindo o fluxo da sua própria corrente, não pode mudar de modo algum. Esse fluxo também só aparece em múltiplos inteiros do quantum de fluxo $h /2 e \approx 2, 07 \times 1 0^{- 15} Wb$ . Os 0,20 mWb da bobina equivalem a cerca de $1 0^{11}$ quanta; SQUIDs, dispositivos supercondutores de interferência quântica, resolvem uma pequena fração de um quantum, o bastante para registrar os campos magnéticos do cérebro.

Para onde isso leva

A força magnética sobre cargas em movimento forneceu a parte $v \times B$ desta lição. Motores, geradores e transformadores coloca a lei para trabalhar: um transformador é formado por duas bobinas que compartilham um fluxo variável, e um motor é um gerador operando ao contrário, com a força contraeletromotriz que a lei de Lenz prevê. Potência e energia elétrica em casa acompanha essa energia até a tomada, e o freio de correntes parasitas reaparece como amortecedor linear em Amortecimento e ressonância.

Acrescente a correção de Maxwell, de que um campo elétrico variável também produz um campo magnético, e os dois campos se regeneram um ao outro no espaço vazio, viajando a $c = 1/ μ_{0} ε_{0}$ : o assunto de Ondas eletromagnéticas. E como só o movimento relativo entre ímã e bobina importa, o caminho leva adiante até a Relatividade restrita.

Fórmulas principais

Fluxo magnético através de uma espira plana

Φ = B A cos θ

O fluxo mede quanto campo magnético atravessa uma espira: o campo vezes a área, reduzido por $cos θ$ quando o campo está inclinado. Só a componente do campo ao longo da normal atravessa a espira; a componente que está no plano dela passa raspando. O sinal depende de qual lado da espira é tomado como positivo, e se inverte quando o campo muda de sentido ou a espira é virada.

Símbolos
$Φ$	fluxo através da espira	$Wb$
$B$	campo magnético, uniforme sobre a espira	$T$
$A$	área da espira	$m^{2}$
$θ$	ângulo entre o campo e a normal à espira	$rad$

Quando vale: Para uma espira plana em campo uniforme. Caso contrário, some o campo sobre a superfície, $Φ = \int B \cdot d A$ ; para uma bobina de $N$ espiras, multiplique por $N$ para obter o fluxo concatenado.

Exemplo: A bobina da animação, com $B = 0, 20 T$ ao longo do eixo e $A = 10 c m^{2}$ : $Φ = 0, 20 \cdot 1, 0 \times 1 0^{- 3} = 2, 0 \times 1 0^{- 4} Wb = 0, 20 mWb$ .

Lei de Faraday: fem média

ε = - \frac{N ΔΦ}{Δ t}

A fem induzida em uma bobina é igual ao número de espiras vezes a taxa com que o fluxo através de cada espira varia. Em um intervalo finito, a fórmula dá a fem média. O sinal de menos é a lei de Lenz: a fem produz uma corrente cujo próprio campo se opõe à variação. Um fluxo constante dá zero, não importa quão grande seja.

Símbolos
$ε$	fem induzida média	$V$
$N$	número de espiras
$ΔΦ$	variação do fluxo através de uma espira	$Wb$
$Δ t$	duração da variação	$s$

Quando vale: Dá a média em $Δ t$ ; a fem em um instante é $- N d Φ/ d t$ . Supõe que todas as espiras têm o mesmo fluxo e que o caminho da corrente se move junto com o material condutor, como ocorre com uma barra sobre trilhos.

Exemplo: O empurrão da animação: $200 \cdot 0, 20 \times 1 0^{- 3} /2, 0 = 0, 020 V$ , ou 20 mV em média, enquanto a leitura chega a cerca de 89 mV no pico.

Lei de Faraday: fem em um instante

ε = - \frac{N d Φ}{d t}

Fazendo $Δ t$ tender a zero, obtém-se a fem em cada instante: $- N$ vezes a inclinação do gráfico de $Φ (t)$ . Trechos íngremes dão fems grandes, trechos planos nenhuma. Integrada no tempo, a área sob um pulso de fem é $- N ΔΦ$ , não importa quão depressa a mudança ocorreu.

Símbolos
$ε$	fem no instante $t$	$V$
$N$	número de espiras
$Φ$	fluxo através de uma espira	$Wb$
$t$	tempo	$s$

Quando vale: Vale sempre que o caminho da corrente se move junto com o material condutor, quer o campo mude, quer o circuito se mova. Quando um material desliza sobre um caminho que permanece parado, como em um disco girante com escovas, use a lei da força $ε = \oint (E + v \times B) \cdot d l$ .

Exemplo: A inclinação mais íngreme do fluxo da animação, cerca de 0,45 mWb/s, dá $200 \cdot 0, 45 \approx 89 mV$ , a leitura de pico.

Fem de movimento de uma barra deslizante

ε = B Lv

Uma barra que se move atravessando um campo carrega suas cargas consigo, e a força magnética $q v B$ as empurra ao longo da barra. O trabalho por unidade de carga ao longo do comprimento $L$ é $B Lv$ . A lei de Faraday dá o mesmo resultado, porque a barra varre área à taxa $Lv$ .

Símbolos
$ε$	fem entre as extremidades da barra	$V$
$B$	campo magnético	$T$
$L$	comprimento da barra atravessando o campo	$m$
$v$	velocidade da barra	$m/s$

Quando vale: Quando a barra, sua velocidade e o campo são perpendiculares entre si e o campo é uniforme. Caso contrário, só as componentes perpendiculares contam: $ε = \int (v \times B) \cdot d l$ ao longo da barra.

Exemplo: Uma barra de 25 cm a 2,0 m/s em 0,40 T: $ε = 0, 40 \cdot 0, 25 \cdot 2, 0 = 0, 20 V$ .

Fem de uma bobina girando em campo uniforme

ε = NB A ω sin ω t

Uma bobina girando com velocidade angular $ω$ tem fluxo $B A cos ω t$ através de cada espira, e $- N d Φ/ d t$ dá uma fem senoidal de amplitude $NB A ω$ . A fem é zero quando a bobina está de frente para o campo, onde o fluxo é máximo, e atinge o pico um quarto de volta depois, quando o fluxo passa por zero. Girar duas vezes mais depressa dobra tanto a amplitude quanto a frequência.

Símbolos
$ε$	fem no instante $t$	$V$
$N$	número de espiras
$B$	campo magnético, uniforme	$T$
$A$	área de uma espira	$m^{2}$
$ω$	velocidade angular da bobina	$rad/s$
$t$	tempo desde que a bobina estava de frente para o campo	$s$

Quando vale: Para campo uniforme e velocidade angular constante, com $t = 0$ quando a bobina está de frente para o campo. Geradores reais moldam o campo e usam várias bobinas, mas a amplitude ainda cresce na proporção de $ω$ .

Exemplo: A bobina da animação girada 50 vezes por segundo ( $ω \approx 314 rad/s$ ): $ε_{0} = 200 \cdot 0, 20 \cdot 1, 0 \times 1 0^{- 3} \cdot 314 \approx 12, 6 V$ .

Lei de Faraday na forma integral

\oint E \cdot d l = - \frac{d}{d t} \int B \cdot d A

O campo elétrico tangencial, somado uma vez ao longo de qualquer caminho fechado, é igual ao negativo da derivada no tempo do fluxo magnético através de qualquer superfície cuja borda seja esse caminho. Um campo magnético variável é, portanto, cercado por um campo elétrico rotacional, mesmo no vácuo, e esse campo empurra cargas em um circuito parado. Pelo teorema de Stokes, isso equivale a $\nabla \times E = - \partial B / \partial t$ .

Símbolos
$E$	campo elétrico	$V/m$
$d l$	elemento do caminho fechado	$m$
$B$	campo magnético	$T$
$d A$	elemento de uma superfície limitada pelo caminho, normal dada pela regra da mão direita	$m^{2}$
$t$	tempo	$s$

Quando vale: Exata para um caminho fixo no espaço: é uma das equações de Maxwell. Para um circuito em movimento, a fem inclui também $\oint (v \times B) \cdot d l$ .

Exemplo: Dentro de um solenoide largo cujo campo cresce a 0,50 T/s, um círculo coaxial de raio $r = 10 cm$ tem $2 π r E = π r^{2} d B / d t$ , logo $E = (r /2) d B / d t = 0, 025 V/m$ .

Glossário

Indução eletromagnética: A produção de uma fem, e assim de uma corrente em um circuito fechado, por um fluxo magnético variável. Um fluxo constante, por maior que seja, não induz nada; Michael Faraday descobriu o efeito em 1831.
Fluxo magnético: A quantidade de campo magnético que atravessa uma superfície, $Φ = \int B \cdot d A$ ; para uma espira plana em campo uniforme, $B A cos θ$ . Não é o próprio campo: um campo fraco sobre uma espira grande pode dar mais fluxo que um campo forte sobre uma espira pequena.
Fluxo concatenado: O fluxo através de uma espira vezes o número de espiras, $N Φ$ , quando todas as espiras têm o mesmo fluxo. A fem é o negativo da sua taxa de variação; na animação ele chega a $200 \cdot 0, 20 mWb = 40 mWb$ .
Força eletromotriz (fem): O trabalho por unidade de carga realizado sobre cargas levadas uma vez por um circuito, medido em volts. Apesar do nome, não é uma força, e, ao contrário de uma diferença de potencial, pode ser não nula ao longo de um laço fechado.
Lei de Faraday da indução: A fem ao longo de um circuito é igual ao negativo da taxa de variação do fluxo concatenado, $ε = - N d Φ/ d t$ . Vale tanto quando o campo varia quanto quando o circuito se move ou se deforma.
Lei de Lenz: A corrente induzida flui de modo a se opor à variação do fluxo que a causa; é o sinal de menos da lei de Faraday. Ela se opõe à variação, não ao campo, e expressa a conservação de energia.
Fem de movimento: A fem em um condutor que se move através de um campo magnético, devida à força magnética $q v \times B$ sobre suas cargas. Para uma barra de comprimento $L$ que se move com velocidade $v$ atravessando um campo $B$ , $ε = B Lv$ .
Campo elétrico induzido: O campo elétrico que cerca um campo magnético variável, obedecendo a $\nabla \times E = - \partial B / \partial t$ . Suas linhas de campo se fecham sobre si mesmas, então ele não é o gradiente de nenhum potencial e pode empurrar cargas ao longo de um laço.
Correntes de Foucault: Correntes induzidas em laços fechados dentro de um condutor sólido por um campo variável ou em movimento. Elas aquecem o metal, como nos cooktops de indução, e freiam seu movimento; lâminas finas e isoladas as mantêm pequenas nos núcleos de transformadores.
Gerador: Uma máquina que transforma trabalho mecânico em energia elétrica por indução, geralmente girando bobinas e ímãs uns em relação aos outros. Uma bobina girando com $ω$ em um campo uniforme produz a fem alternada $NB A ω sin ω t$ .
Autoindução: A fem induzida em uma bobina por variações da sua própria corrente, que alteram o seu próprio fluxo. Pela lei de Lenz, ela se opõe à variação da corrente; a indutância da bobina mede sua intensidade.
Disco de Faraday: Um disco metálico girando em um campo paralelo ao seu eixo, com contatos deslizantes no eixo e na borda. Ele fornece uma fem constante $\frac{1}{2} B ω r^{2}$ , embora o fluxo através do caminho da corrente nunca mude: um caso em que a regra do fluxo falha e a lei da força deve ser usada.

Grandezas
$Φ$	Fluxo magnético	$Wb$	O fluxo através de uma espira da bobina, com $1 Wb = 1 T \cdot m^{2}$ . Na animação, ele sobe de quase zero até 0,20 mWb à medida que o ímã entra.
$ΔΦ$	Variação do fluxo	$Wb$	Fluxo final menos fluxo inicial através de uma espira no intervalo considerado. Só ele fixa a área de um pulso de fem, $- N ΔΦ$ .
$B$	Campo magnético	$T$	A intensidade do campo magnético, também chamada densidade de fluxo magnético: o fluxo por metro quadrado de uma superfície perpendicular a ele. O campo do ímã dentro da bobina é de 0,20 T.
$N$	Número de espiras		Quantas vezes o fio dá a volta na bobina. Cada espira acrescenta a mesma fem, então o total é $N$ vezes o de uma espira; a bobina da animação tem 200.
$ε$	Força eletromotriz (fem)	$V$	A fem induzida no circuito; seu sinal, em relação ao sentido positivo escolhido, indica em que sentido ela empurra a corrente. Seu pico é de cerca de 89 mV na animação.
$Δ t$	Intervalo de tempo	$s$	O tempo durante o qual o fluxo muda; a lei de Faraday com intervalo finito dá a fem média nesse intervalo.
$L$	Comprimento da barra	$m$	O comprimento do condutor em movimento que atravessa o campo, por exemplo a parte de uma barra entre dois trilhos.
$v$	Velocidade da barra	$m/s$	A velocidade do condutor atravessando o campo, em ângulo reto com a barra e com o campo.
$ω$	Velocidade angular	$rad/s$	Quão depressa a bobina do gerador gira, $ω = 2 π f$ : 50 voltas por segundo equivalem a cerca de 314 rad/s.
$E$	Campo elétrico induzido	$V/m$	O campo elétrico em torno de um campo magnético variável; sua circulação ao longo de um caminho fechado é a fem desse caminho.

Quiz

Iniciante Um ímã fica parado dentro de uma bobina ligada a um medidor de corrente. O que o medidor mostra?
1. Uma corrente grande e constante
2. Corrente zero
3. Uma corrente que cresce sem parar
4. Uma corrente que muda de sentido o tempo todo
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Resposta: B. Corrente zero
Uma corrente só é induzida enquanto o magnetismo através da bobina muda. Um ímã em repouso, por mais forte que seja, não induz nada.
Iniciante Qual destas opções faz o ponteiro do medidor oscilar mais?
1. Mover o ímã mais depressa
2. Mover o ímã mais devagar
3. Manter o ímã parado dentro da bobina
4. Usar uma bobina com menos espiras
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Resposta: A. Mover o ímã mais depressa
Uma variação mais rápida produz uma corrente induzida maior. Mais espiras e um ímã mais forte também ajudam; manter o ímã parado não produz corrente.
Iniciante Você empurra um ímã para dentro de uma bobina e o ponteiro oscila para a esquerda. O que acontece quando você puxa o ímã para fora?
1. Ele oscila para a esquerda de novo
2. Ele não se move
3. Ele oscila para a direita
4. Ele oscila para a esquerda e fica ali
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Resposta: C. Ele oscila para a direita
Puxar o ímã para fora muda o magnetismo no sentido oposto, então a corrente e o ponteiro se invertem.
Intermediário O fluxo através de uma bobina de 100 espiras muda de 0 para 2,0 mWb em 0,10 s. Qual é a fem induzida média?
1. 0,02 V
2. 0,2 V
3. 2,0 V
4. 20 V
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Resposta: C. 2,0 V
|ε| = N·ΔΦ/Δt = 100 × 2,0 × 10⁻³ / 0,10 = 2,0 V. Esquecer o fator N dá 0,02 V.
Intermediário O polo norte de um ímã é empurrado em direção a uma bobina. Pela lei de Lenz, a extremidade da bobina voltada para o ímã se torna:
1. Um polo norte, que repele o ímã
2. Um polo sul, que atrai o ímã
3. Não magnética
4. Um polo norte, que atrai o ímã
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Resposta: A. Um polo norte, que repele o ímã
A corrente induzida se opõe à variação: para resistir ao polo norte que se aproxima, a bobina cria um polo norte que o repele.
Intermediário Uma bobina plana de área 0,02 m² está perpendicular a um campo de 0,5 T. Qual é o fluxo através de cada espira?
1. 0,04 Wb
2. 0,01 Wb
3. 25 Wb
4. 0,1 Wb
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Resposta: B. 0,01 Wb
Φ = B·A = 0,5 × 0,02 = 0,01 Wb. Dividir em vez de multiplicar dá 25 Wb.
Avançado Uma bobina geradora gira em um campo uniforme. No instante em que o fluxo através dela é máximo, a fem induzida é:
1. Também máxima
2. Metade do seu valor de pico
3. No pico, mas com sinal invertido
4. Zero
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Resposta: D. Zero
ε = −N·dΦ/dt depende de quão depressa Φ muda, não de seu valor. Φ = B·A·cos ωt atinge o máximo quando o plano da bobina é perpendicular ao campo (ωt = 0), exatamente onde a inclinação dele, como sen ωt, é zero. A fem é máxima um quarto de volta depois, quando o fluxo através da bobina é zero.
Avançado Um ímã é empurrado para dentro da mesma bobina duas vezes, uma devagar e outra depressa. Como se comparam as integrais no tempo ∫ε dt dos dois pulsos?
1. São iguais, ambas −N·ΔΦ
2. É maior no empurrão rápido
3. É maior no empurrão lento
4. É zero nos dois
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Resposta: A. São iguais, ambas −N·ΔΦ
∫ε dt = −N·∫dΦ = −N·ΔΦ depende apenas do fluxo inicial e final. O empurrão rápido produz um pulso mais alto e mais estreito, com a mesma área.

$C$	O caminho fechado, aqui o circuito, percorrido em pequenos passos.
$S$	Uma superfície cuja borda é $C$ ; toda superfície assim carrega o mesmo fluxo.
$d l$	Um pequeno passo ao longo de $C$ , no sentido indicado pelas pontas de seta.	$m$
$d A$	Um pequeno pedaço de $S$ como vetor: seu comprimento é a área do pedaço, ele é perpendicular ao pedaço, e a regra da mão direita escolhe o seu lado.	$m^{2}$
$B$	Campo magnético no pedaço.	$T$
$θ$	Ângulo entre $B$ e $d A$ .	$rad$

$B$	Campo magnético, apontando para dentro da página (as cruzes).	$T$
$v$	Velocidade da barra, para a direita.	$m/s$
$L$	Comprimento da barra entre os trilhos.	$m$
$v d t$	Quanto a barra se move no curto tempo $d t$ .	$m$
$d l$	Um pequeno elemento da barra, apontando no sentido do circuito: horário, ou seja, para baixo na barra.	$m$
$d A$	A faixa varrida por $d l$ no tempo $d t$ , como vetor de área $v d t \times d l$ ; aponta para dentro da página.	$m^{2}$
$F$	Força magnética $q v \times B$ sobre uma carga positiva $q$ que se move com a barra; aponta para cima na barra.	$N$

$t$	Tempo.	$s$
$Φ$	Fluxo através de uma espira da bobina.	$Wb$
$Φ_{m a x}$	O maior fluxo, atingido assim que o ímã fica parado dentro da bobina.	$Wb$
$ΔΦ$	Subida total do fluxo durante o empurrão.	$Wb$
$d t$	Um intervalo curto de tempo: o cateto horizontal do triângulo de inclinação.	$s$
$d Φ$	Variação de $Φ$ ao longo da tangente durante $d t$ : o cateto vertical.	$Wb$
$ε$	Fem induzida em toda a bobina de $N$ espiras.	$V$
$ε_{m a x}$	Profundidade do pulso, abaixo do ponto mais íngreme de $Φ$ ; a própria fem é negativa ali.	$V$
$N ΔΦ$	Tamanho da área sombreada sob o pulso: $N$ espiras vezes a subida $ΔΦ$ .	$V \cdot s$

$B$	Campo magnético ao longo do eixo, apontando para fora da página (os pontos).	$T$
$ω$	Velocidade angular do disco.	$rad/s$
$r$	Raio do disco: a distância do eixo até a borda.	$m$
$d ρ$	Um pequeno trecho do raio, à distância $ρ$ do eixo.	$m$
$v$	Velocidade do metal em um ponto do raio, de módulo $ω ρ$ : cresce proporcionalmente à distância ao eixo.	$m/s$
$F$	Força magnética $q v \times B$ sobre uma carga positiva no metal: ao longo do raio, para longe do eixo.	$N$
$ε$	Fem entre as escovas, lida pelo medidor.	$V$