Pressão nos fluidos e princípio de Pascal

Iniciante

Pressão indica o quanto um fluido empurra cada pedaço de uma superfície. Água e ar são feitos de incontáveis moléculas minúsculas que nunca param de se mover. Elas batem em tudo que tocam: as paredes de um copo, sua pele, seus tímpanos. Cada batida é um empurrão minúsculo, e todas juntas, espalhadas por uma área, formam a pressão. É também por isso que um fluido empurra uma superfície qualquer que seja a direção em que ela aponta.

Passo 1: a pressão cresce com a profundidade. Quanto mais fundo você vai em um líquido parado, mais líquido há acima de você, e o peso dele pressiona tudo o que está abaixo. É por isso que seus ouvidos doem no fundo de uma piscina, e por isso uma barragem é construída bem mais grossa na base do que no topo. Um líquido mais denso, como a água do mar, pressiona um pouco mais na mesma profundidade.

Passo 2: só a profundidade conta. Um tubo fino e um lago largo, cheios até o mesmo nível, têm a mesma pressão na mesma profundidade; a quantidade de água não faz diferença.

Teste você mesmo: na animação, qual dos três furos jorra mais rápido, e por quê? Resposta: o de baixo, porque ali a água é a mais funda e pressiona com mais força.

Passo 3: um líquido confinado transmite um empurrão. Se você pressiona em um ponto, a pressão extra chega igualmente a todos os pontos do líquido (princípio de Pascal). Na animação, um empurrão no pistão fino levanta um carro apoiado no pistão largo. O pistão largo tem quatro vezes a área, então recebe quatro vezes a força.

Passo 4: nada é de graça. Para erguer o carro, o pistão fino precisa percorrer quatro vezes a distância que o carro sobe.

Intermediário

O que a pressão mede

Pressão é a força que um fluido exerce sobre cada metro quadrado de uma superfície que toca:
$p=\frac{F}{A}$
Sua unidade é o pascal, $1\mathrm{Pa}=1N/{\mathrm{m}}^2$. O ar à nossa volta pressiona com cerca de 101 kPa, o peso de umas 10 toneladas sobre cada metro quadrado, mas os fluidos dentro do nosso corpo empurram de volta com a mesma força.

Pressão não é uma força e não tem direção própria. Em um ponto de um fluido em repouso ela tem o mesmo valor, qualquer que seja a orientação de uma pequena superfície, e a força que ela produz, $F=pA$, é sempre perpendicular a essa superfície. A pressão absoluta é contada a partir do vácuo, a manométrica a partir dos 101 kPa da atmosfera: um manômetro de pneu marcando 220 kPa significa cerca de 321 kPa absolutos.

Por que a pressão cresce com a profundidade

Dentro de um líquido de densidade $\rho$ em repouso, imagine a coluna vertical de líquido acima de uma pequena área $A$ na profundidade $h$. Seu peso é $\rho Ahg$ e, como a pressão nas laterais é horizontal, só o líquido abaixo pode sustentá-lo; dividindo pela área, obtém-se a pressão manométrica na profundidade $h$:
$p=\rho gh$
Somando a pressão $p_0$ sobre a superfície livre, geralmente a da atmosfera, obtém-se a pressão absoluta:
$p=p_0+\rho gh$

Na água, a pressão sobe 9,81 kPa por metro, então 10 m acrescentam cerca de 98 kPa, quase uma atmosfera: um mergulhador a 10 m suporta o dobro da pressão da superfície. O mercúrio é 13,6 vezes mais denso, então em um barômetro uma coluna de apenas $101325/(13600\cdot 9,81)\approx 0,76\mathrm{m}$ equilibra a atmosfera; uma coluna de água precisaria de 10,3 m, o limite de qualquer bomba de sucção.

Só a profundidade conta, não a forma do recipiente nem a quantidade de líquido: um tubo fino e um lago largo cheios até o mesmo nível têm a mesma pressão na mesma profundidade. Esse é o paradoxo hidrostático. Todos os pontos de um mesmo nível de um líquido contínuo e parado têm, portanto, a mesma pressão, e vasos comunicantes se enchem até a mesma altura.

Princípio de Pascal e a prensa hidráulica

O princípio de Pascal afirma que uma variação de pressão aplicada a um líquido confinado é transmitida integralmente a todos os pontos do líquido e às paredes. O peso do líquido fixa apenas as diferenças de pressão, por meio de $\rho gh$; portanto, um empurrão na fronteira deve elevar todas as pressões de uma mesma quantidade.

Uma prensa hidráulica aproveita isso. Com seus dois pistões, de áreas $A_1$ e $A_2$, aproximadamente na mesma altura, as pressões sob eles são iguais, $F_1/A_1=F_2/A_2$, logo
$F_2=\frac{F_1{A}_2}{A_1}$
Para pistões redondos, a área é proporcional ao quadrado do diâmetro: dobrar o diâmetro quadruplica a força.

O preço é a distância. Um líquido quase não se comprime, então o volume empurrado para fora do cilindro estreito deve entrar no largo:
$A_1{d}_1=A_2{d}_2$
Combinado com a razão das forças, isso dá
$F_1{d}_1=F_2{d}_2$
O trabalho aplicado é igual ao trabalho obtido: como uma alavanca, a prensa multiplica a força e divide a distância, sem nunca criar energia.

Exemplo resolvido: o tanque e a prensa da animação

O tanque está cheio, com furos a 15, 35 e 55 cm abaixo da superfície. Os rótulos roxos dão $\rho gh$ em cada furo; para o mais baixo
$p=1000\cdot 9,81\cdot 0,55\approx 5400\mathrm{Pa}=5,4\mathrm{kPa}$
e, de forma análoga, 1,5 e 3,4 kPa para os dois de cima. Só essa parte manométrica impulsiona os jatos, pois a atmosfera também pressiona o lado de fora de cada furo. O empurrão se transforma em velocidade, $v=\sqrt{2gh}$ (veja Princípio de Bernoulli): cerca de 1,7, 2,6 e 3,3 m/s, então o jato mais baixo é o mais rápido.

À direita, o pistão largo tem o dobro da largura do fino, logo $A_2=4A_1$. Para sustentar o carro de 1000 kg, ele precisa empurrar com $F_2=1000\cdot 9,81=9810\mathrm{N}$, então a mão precisa de apenas
$F_1=\frac{F_2{A}_1}{A_2}=\frac{9810}{4}\approx 2450\mathrm{N}$
Esses são os 2,45 kN e 9,81 kN do rótulo, e a seta verde sob o pistão largo é quatro vezes mais longa que a vermelha acima da alça.

Ao descer a alça, os medidores mostram $d_1$ chegando a 48 cm enquanto $d_2$ chega a apenas 12 cm, um quarto disso. Os trabalhos concordam: $F_1{d}_1=2452,5\cdot 0,48\approx 1177\mathrm{J}$ e $F_2{d}_2=9810\cdot 0,12\approx 1177\mathrm{J}$, a energia que eleva o carro 12 cm.

Exemplo resolvido: o vidro frontal de um aquário

Um aquário é cheio até 60 cm de profundidade, e seu painel frontal tem 1,5 m de largura. A pressão manométrica sobre o vidro cresce de zero na superfície até $1000\cdot 9,81\cdot 0,60\approx 5890\mathrm{Pa}$ no fundo, então sua média $\bar{p}$ sobre o painel é o valor na metade da profundidade, cerca de 2940 Pa. Com a área molhada de $1,5\cdot 0,60=0,90{\mathrm{m}}^2$
$F=\bar{p}A\approx 2943\cdot 0,90\approx 2650\mathrm{N}$
o peso de uma massa de 270 kg. A atmosfera pressiona as duas faces do vidro, e isso se cancela.

A força não depende de quão longe o tanque se estende atrás do vidro: um tanque com apenas 5 cm da frente até o fundo empurra com a mesma força. Dobrar a profundidade para 1,20 m dobra tanto a pressão média quanto a área, então a força cresce quatro vezes, para cerca de 10,6 kN. Como a maior parte atua embaixo, tanques e barragens são construídos mais resistentes na base.

Lendo um diagrama pressão–profundidade

Em função da profundidade, a pressão é uma reta de inclinação $\rho g$: 9,81 kPa por metro na água, mas apenas 12 Pa por metro no ar. A reta da pressão manométrica começa em zero; a reta da pressão absoluta é a mesma reta deslocada para cima de $p_0\approx 101\mathrm{kPa}$.

Setas desenhadas em uma parede, uma por profundidade e tão longas quanto a pressão ali, delineiam um triângulo cuja área vezes a largura da parede é a força total; daí a média do aquário ser metade do valor do fundo. Ao redor de um objeto submerso, as setas são mais longas embaixo do que em cima, e sua soma é o empuxo para cima.

Erros comuns

• Mais água não significa mais pressão: um tubo estreito e um lago, ambos com 10 m de profundidade, dão os mesmos 98 kPa no fundo.
• Pressão não é força: os 5,4 kPa do furo mais baixo empurram com 0,54 N um tampão de 1 cm², mas com 5,4 N um de 10 cm².
• Separe pressão manométrica e absoluta: 20 m abaixo de um lago a água acrescenta 196 kPa, mas a pressão absoluta é 297 kPa.
• Use a razão entre áreas, não entre diâmetros: pistões de 3 cm e 12 cm de diâmetro multiplicam uma força por $(12/3{)}^2=16$, não por 4.

Onde você encontra isso

Elevadores de carro, macacos, freios hidráulicos e escavadeiras funcionam pelo princípio de Pascal, geralmente com óleo a vários megapascais. Caixas-d'água ficam altas porque cada metro de altura acrescenta 9,81 kPa às torneiras abaixo, e, quando você está em pé, a pressão sanguínea nos seus pés é cerca de 100 mmHg (13 kPa) maior do que no coração. A seguir, “Empuxo e princípio de Arquimedes” transforma o empurrão extra de baixo na força que faz navios flutuarem, e “Princípio de Bernoulli” leva a pressão para fluidos em movimento.

Avançado

Por que a pressão não tem direção

Um fluido é um material que não resiste a cisalhamento: empurre de lado uma camada de água, por mais suave que seja o empurrão, e ela escoa. Um fluido viscoso como o mel resiste à taxa de cisalhamento, mas, uma vez em repouso, não carrega tensão de cisalhamento alguma. Dentro de um fluido em repouso, a força sobre qualquer pequena superfície é perpendicular a ela, e a força por unidade de área é chamada de pressão. Esta seção mostra que a pressão em um ponto é um único número, o mesmo qualquer que seja a orientação da superfície; tudo o que vem depois na lição se apoia nesse fato.

Legenda

$\hat{n}$	Vetor unitário perpendicular à face inclinada, apontando para fora da cunha.
$p_x$	Pressão na face normal a $x$.	$\mathrm{Pa}$
$p_z$	Pressão na face normal a $z$.	$\mathrm{Pa}$
$p_n$	Pressão na face inclinada.	$\mathrm{Pa}$
$dA$	Área da face inclinada.	${\mathrm{m}}^2$
$n_{x}dA$	Área da face normal a $x$: a face inclinada projetada sobre ela, com $n_x$ a componente em $x$ de $\hat{n}$.	${\mathrm{m}}^2$
$n_{z}dA$	Área da face normal a $z$: a face inclinada projetada sobre ela, com $n_z$ a componente em $z$ de $\hat{n}$.	${\mathrm{m}}^2$
$x$	Eixo coordenado horizontal.	$\mathrm{m}$
$z$	Eixo coordenado vertical, apontando para cima.	$\mathrm{m}$

A Figura 1 mostra uma pequena cunha de fluido vista de lado. Observe suas três faces. A face da esquerda é vertical, então sua normal aponta ao longo de $x$; a face de baixo é horizontal, então sua normal aponta ao longo de $z$; a face inclinada tem área $dA$ e um vetor unitário normal externo $\hat{n}$ com componentes $n_x$ e $n_z$. As faces da esquerda e de baixo são as projeções da face inclinada sobre planos perpendiculares a $x$ e a $z$, então suas áreas são $n_{x}dA$ e $n_{z}dA$. No desenho, $n_x=0,6$ e $n_z=0,8$, então as três faces têm áreas na razão $0,6:0,8:1$ e recebem 3, 4 e 5 setas iguais. As duas extremidades triangulares da cunha, paralelas à página, empurram apenas ao longo de $y$, então não participam do equilíbrio em $x$ ou em $z$.

Chame as pressões nas três faces de $p_x$, $p_z$ e $p_n$, sem supor que sejam iguais. O fluido externo empurra cada face para dentro. Ao longo de $x$, a face da esquerda é empurrada para $+x$ com a força $p_x{n}_{x}dA$. A face inclinada é empurrada ao longo de $-\hat{n}$ com a força $p_{n}dA$, e a parte em $x$ desse empurrão é $p_n{n}_{x}dA$, voltada para $-x$. A face de baixo empurra apenas ao longo de $z$. A cunha está em repouso, então as forças em $x$ se cancelam:
$p_x{n}_{x}dA=p_n{n}_{x}dA$
e, portanto, $p_x=p_n$.

Ao longo de $z$, a mesma contagem dá $p_z{n}_{z}dA$ para cima e $p_n{n}_{z}dA$ para baixo, mas o peso da cunha também entra. O peso é proporcional ao volume da cunha, que diminui com o cubo do seu tamanho, enquanto as forças de superfície diminuem apenas com o quadrado. Divida o balanço por $dA$ e faça a cunha encolher até um ponto: o termo do peso vai a zero, e $p_z=p_n$.

Assim, $p_x=p_z=p_n$, e como a inclinação da face era arbitrária, a pressão em um ponto é a mesma em toda superfície que passa por ele. A pressão é um campo escalar $p(\vec{r})$: um número em cada ponto, sem direção própria. A direção de uma força de pressão vem da superfície. Sobre um elemento de superfície de área $dA$ com vetor unitário normal externo $\hat{n}$, o fluido empurra com $d\vec{F}=-p\hat{n}dA$, o sinal de menos indicando para dentro.

A equação da hidrostática

A pressão muda de ponto para ponto, e essa mudança é o que sustenta um fluido contra o próprio peso. Esta seção transforma a ideia em uma única equação que fornece a pressão em todo ponto de um fluido em repouso.

Legenda

$dx$	Largura do bloco ao longo de $x$.	$\mathrm{m}$
$dz$	Altura do bloco.	$\mathrm{m}$
$p(z)$	Pressão na face inferior, na altura $z$; empurra para cima.	$\mathrm{Pa}$
$p(z+dz)$	Pressão na face superior, na altura $z+dz$; empurra para baixo e é a menor das duas.	$\mathrm{Pa}$
$p$	Pressão em cada face lateral; a mesma nas duas, pois estão na mesma altura.	$\mathrm{Pa}$
$\rho gdV$	Peso do bloco: a densidade $\rho$ vezes $g$ vezes seu volume $dV=dxdydz$.	$\mathrm{N}$
$x$	Eixo coordenado horizontal.	$\mathrm{m}$
$z$	Altura, medida para cima.	$\mathrm{m}$

A Figura 2 mostra um pequeno bloco de fluido em repouso, com $dx$ de largura, $dz$ de altura e $dy$ de profundidade para dentro da página, então seu volume é $dV=dxdydz$. Compare as setas em pares opostos. Uma pressão uniforme comprime o bloco igualmente pelos lados opostos e não produz força resultante; só uma diferença entre faces opostas pode empurrá-lo.

Comece pelos lados. As duas faces laterais estão à mesma altura e têm a mesma pressão $p$, então seus empurrões são iguais e opostos, e se cancelam.

Agora, em cima e embaixo. A face de baixo, na altura $z$, é empurrada para cima com $p(z)dxdy$; a face de cima, na altura $z+dz$, é empurrada para baixo com $p(z+dz)dxdy$. Ao longo da pequena altura $dz$, a pressão muda em $p(z+dz)-p(z)=(\partial p/\partial z)dz$, então o empurrão resultante para cima é
$[p(z)-p(z+dz)]dxdy=-\frac{\partial p}{\partial z}dV$
A pressão é maior embaixo, então a seta de pressão $p(z)$ é mais longa que a seta $p(z+dz)$, e o empurrão resultante aponta para cima. A seta verde $\rho gdV$ é o peso do bloco, com $\rho$ a densidade e $g$ a aceleração da gravidade. Em repouso, o empurrão resultante e o peso devem ser iguais; a figura desenha o peso exatamente do comprimento da diferença entre as duas setas de pressão.

A mesma contagem vale para cada par de faces. As faces normais a $x$ deixam um empurrão resultante $-(\partial p/\partial x)dV$ ao longo de $x$, que é zero para as duas setas laterais iguais da figura, e as faces normais a $y$ deixam $-(\partial p/\partial y)dV$. Os três pares juntos dão uma força de pressão por unidade de volume de $-\nabla p$. Em equilíbrio, ela cancela o peso por unidade de volume, $\rho \vec{g}$, então
$\nabla p=\rho \vec{g}$
Esta é a equação da hidrostática. Com a energia potencial gravitacional por unidade de massa $\varphi =gz$, para a qual $\vec{g}=-\nabla \varphi$, ela fica $\nabla p=-\rho \nabla \varphi$. Com $z$ medido para cima, $\vec{g}$ tem apenas uma componente em $z$, igual a $-g$, então a parte vertical da equação é
$\frac{dp}{dz}=-\rho g$
e as partes horizontais, $\partial p/\partial x=\partial p/\partial y=0$, afirmam que a pressão é a mesma ao longo de um mesmo nível.

Para um líquido, a densidade é quase constante, e a equação se integra de imediato em $p+\rho gz=\mathrm{const}$. A condição de contorno fixa a constante: na superfície livre, a uma altura $h$ acima do ponto considerado, a pressão é a pressão atmosférica $p_0$, então
$p=p_0+\rho gh$
Aqui $h$ é a profundidade, medida para baixo a partir da superfície. A pressão cresce com $h$, embora $dp/dz$ seja negativo; as duas afirmações concordam, porque $z$ aponta para cima e $h$ aponta para baixo.

Na camada de especialista da animação, uma sonda que afunda traça esta lei. Ela representa a pressão manométrica $p-p_0$, a pressão acima da atmosférica, em função da profundidade $h$: uma reta passando pela origem com inclinação $\rho g\approx 9,81kPa/m$, chegando a cerca de 7,0 kPa no ponto mais fundo da sonda, a 71 cm. A pressão absoluta $p$ daria a mesma reta deslocada para cima de $p_0\approx 101\mathrm{kPa}$. As duas retas têm a mesma inclinação, e apenas a inclinação, o gradiente de $p$, exerce uma força resultante sobre o fluido.

Isóbaras, níveis e convecção

A equação da hidrostática diz mais do que como a pressão cresce com a profundidade. Ela fixa a forma das superfícies de mesma pressão e indica quando um fluido não consegue permanecer em repouso de modo algum.

Como $\nabla p=-\rho \nabla \varphi$, o gradiente de $p$ é paralelo ao gradiente de $\varphi$ em todo ponto. Um gradiente é perpendicular às superfícies nas quais sua grandeza é constante, então as superfícies de mesma pressão, as isóbaras, são também superfícies de $\varphi$ constante: as equipotenciais da gravidade. Em um laboratório, são planos horizontais; em escala planetária, acompanham a forma curva de um mar calmo. Por isso vasos comunicantes se enchem até um mesmo nível: a superfície livre em cada um deles faz parte da mesma isóbara, $p=p_0$.

A mesma equação mostra quando não é possível nenhum estado de repouso. O rotacional de um gradiente é sempre zero, então o rotacional de $\nabla p$ se anula, e o rotacional de $\rho \nabla \varphi$ também precisa se anular:
$\nabla \times (\rho \nabla \varphi )=\nabla \rho \times \nabla \varphi =0$
Um produto vetorial se anula apenas quando seus dois vetores são paralelos; logo, o gradiente de densidade deve ser vertical: $\rho$ precisa ser o mesmo ao longo de cada nível. Aqueça um lado de uma sala, ou um lado de uma panela com água, e a densidade muda ao longo de um nível. Nenhum campo de pressão consegue então equilibrar a gravidade, e o fluido tem de se mover. Esse movimento é a convecção; ele impulsiona as brisas marítimas e espalha o calor de um radiador pela sala.

Princípio de Pascal e o trabalho da prensa

Uma prensa hidráulica levanta um carro com a força de uma mão. Dois argumentos curtos explicam como: um a partir do campo de pressão, outro a partir da energia.

Primeiro o campo. A equação $\nabla p=\rho \vec{g}$ envolve apenas o gradiente de $p$, então fixa a pressão apenas a menos de uma constante somada, que a condição de contorno determina. Se aumentarmos a pressão na fronteira de um líquido incompressível em $\Delta p$, todo o campo sobe $\Delta p$, enquanto seu gradiente continua $\rho \vec{g}$. Cada ponto do líquido sente o mesmo aumento: esse é o princípio de Pascal. Em um líquido real, o aumento não chega a todos os lugares ao mesmo tempo. Ele se propaga como uma onda de pressão à velocidade do som, cerca de 1480 m/s na água, então atravessa a prensa de 1,5 m de largura da animação em cerca de um milissegundo.

Agora a energia, que dá a razão das forças sem mencionar pressão. Empurre o pistão pequeno, de área $A_1$, para baixo por uma pequena distância $\delta d_1$. O líquido não se comprime, então o volume $A_1\delta d_1$ que sai do cilindro pequeno preenche o grande, de área $A_2$, cujo pistão sobe $\delta d_2=(A_1/A_2)\delta d_1$. Em uma prensa ideal, sem atrito, o trabalho aplicado é igual ao trabalho obtido, $F_1\delta d_1=F_2\delta d_2$, e assim
$F_2=F_1\frac{A_2}{A_1}$
Este é o resultado que o princípio de Pascal dá, com $F_1=\Delta p{A}_1$ e $F_2=\Delta p{A}_2$. O argumento é o princípio dos trabalhos virtuais, o mesmo que explica a alavanca: a prensa troca distância por força.

Ao longo de todo o curso, cada pistão varre o mesmo volume, $V=A_1{d}_1=A_2{d}_2$, então os dois trabalhos valem $\Delta pV$. Na animação, o pistão pequeno tem 26 cm de diâmetro e é empurrado com 2452.5 N, então a pressão sob ele é $\Delta p=2452,5/(\pi \cdot 0,13^2)\approx 46,2\mathrm{kPa}$. Sua área é $0,0531{\mathrm{m}}^2$ e seu curso é de 0,48 m, então ele varre $V\approx 0,0531\cdot 0,48\approx 0,0255{\mathrm{m}}^3$, e $W_1=W_2=\Delta pV\approx 1177\mathrm{J}$. Esse é o maior valor que ambos os medidores de trabalho alcançam, no fim do curso.

Gases e a atmosfera exponencial

Em um líquido, a densidade quase não muda com a pressão; em um gás, ela é quase proporcional a ela. Para ver o que isso faz com a equação da hidrostática, precisamos antes da pressão de um gás em termos de suas moléculas.

A pressão de um gás é o momento que as moléculas transferem a uma parede por unidade de tempo e por unidade de área. Considere uma parede perpendicular a $x$. Uma molécula de massa $m$ que bate nela com componente de velocidade $v_x$ volta com $-v_x$, e assim transfere o momento $2m{v}_x$. As moléculas com um dado $v_x$ que atingem uma área $dA$ em um tempo $dt$ são as que estão a uma distância $v_{x}dt$ da parede, um número proporcional a $v_x$, então cada grupo contribui proporcionalmente a $v_x^2$. Apenas metade das moléculas se move em direção à parede, o que cancela o fator 2, e a média sobre todas as moléculas dá
$p=nm\overline{v_x^2}$
onde $n$ é o número de moléculas por unidade de volume e $\overline{v_x^2}$ é a média de $v_x^2$. No equilíbrio térmico, cada molécula tem, em média, a energia cinética $\frac{1}{2}kT$ para seu movimento ao longo de $x$, com $k$ a constante de Boltzmann e $T$ a temperatura absoluta. Assim, $m\overline{v_x^2}=kT$, e
$p=nkT$
Para o ar a 101 kPa e 288 K, isso dá $n\approx 2,55\times 10^{25}{\mathrm{m}}^{-3}$.

Agora a atmosfera, com $m$ sendo a massa média de uma molécula de ar. A densidade é $\rho =nm$, então, a temperatura uniforme, $\rho =mp/(kT)$: proporcional à pressão. A equação da hidrostática se torna
$\frac{dp}{dz}=-\frac{mg}{kT}p$
A pressão cai a uma taxa proporcional a ela mesma, então cai exponencialmente com a altura. Com $p_0$ agora sendo a pressão ao nível do mar, $z=0$:
$p=p_0{e}^{-z/H},H=\frac{kT}{mg}\approx 8,4\mathrm{km}$
para o ar a 288 K. $H$ é a altura de escala, a altura ao longo da qual a pressão cai por um fator $e$. O fator $e^{-mgz/(kT)}$ é o fator de Boltzmann, que compara a energia potencial $mgz$ de uma molécula com a energia térmica $kT$; aqui ele aparece pelo lado mecânico.

A lei se sustenta bem. No topo do Everest, a 8,85 km, ela prevê cerca de 35 kPa, perto dos 34 kPa medidos ali; o ar real é mais frio que 288 K, o que reduz um pouco mais a pressão. Em 1648, um barômetro de mercúrio levado ao Puy de Dôme a pedido de Pascal mostrou a coluna caindo cerca de 8 cm, porque havia menos ar pressionando de cima.

Fluidos acelerados e empuxo

A equação da hidrostática também vale em um recipiente que acelera, desde que trabalhemos no referencial do próprio recipiente. Ela então explica por que a superfície de um tanque agitado se inclina e, com mais um passo, de onde vem o empuxo.

Legenda

$\vec{a}$	Aceleração do caminhão e de seu tanque; também desenhada invertida, como $-\vec{a}$, para construir $\vec{g}-\vec{a}$.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\vec{g}$	Aceleração da gravidade, apontando para baixo.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\vec{g}-\vec{a}$	Gravidade efetiva no referencial do tanque; a pressão cresce ao longo dela.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\theta$	Inclinação da superfície livre em relação à horizontal, igual ao ângulo entre $\vec{g}$ e $\vec{g}-\vec{a}$; $\tan \theta =a/g$.	$\mathrm{rad}$

Em um referencial que acelera com $\vec{a}$, cada porção de fluido sente, além do peso, uma força inercial $-\rho \vec{a}$ por unidade de volume, então a equação fica
$\nabla p=\rho (\vec{g}-\vec{a})$
O fluido se comporta como se a gravidade fosse $\vec{g}-\vec{a}$, a gravidade efetiva. A Figura 3 mostra um tanque em um caminhão que acelera para a direita com $\vec{a}$. À direita da figura, $\vec{g}-\vec{a}$ é construído somando $\vec{g}$, para baixo, e $-\vec{a}$, apontando para trás: o resultado aponta para baixo e para trás. A pressão cresce ao longo de $\vec{g}-\vec{a}$, então as isóbaras, desenhadas tracejadas, são perpendiculares a ele. A superfície livre é uma dessas isóbaras, $p=p_0$, então se inclina com elas, e a água se acumula na traseira do tanque.

Para achar a inclinação, observe o ângulo $\theta$ entre a superfície e a horizontal. A superfície é perpendicular a $\vec{g}-\vec{a}$ e a horizontal é perpendicular a $\vec{g}$, então $\theta$ também é o ângulo entre $\vec{g}$ e $\vec{g}-\vec{a}$. No triângulo vetorial à direita, o lado oposto a $\theta$ é $a$ e o lado adjacente é $g$, logo
$\tan \theta =a/g$
A figura usa $a=g/2$ para tornar a inclinação fácil de ver. A água em um tanque em um caminhão que acelera a 3 m/s² se inclina com um ângulo $\theta$ tal que $\tan \theta =3/9,81\approx 0,31$, cerca de 17°.

O empuxo vem do mesmo campo. A força de pressão total sobre um corpo submerso é a soma de $-p\hat{n}dA$ sobre sua superfície fechada. Um teorema do cálculo vetorial transforma essa integral de superfície na integral de volume de $\nabla p$ sobre o espaço ocupado pelo corpo, então, para um fluido em repouso,
$-\oint p\hat{n}dA=-\int \nabla pdV=-\rho \vec{g}V$
com $V$ o volume do corpo. Essa força aponta para cima e é igual ao peso do fluido deslocado: o princípio de Arquimedes. A pressão na superfície não depende do que a preenche, então o resultado vale para qualquer corpo. No tanque acelerado, a mesma integral dá $-\rho (\vec{g}-\vec{a})V$, que tem uma parte para a frente; por isso um balão de hélio dentro de um carro se inclina para a frente quando o carro acelera.

Problema resolvido: o peso do líquido na prensa

A análise da prensa acima ignorou o peso do próprio líquido. Este problema o reintroduz, para mostrar o tamanho da correção e para onde vai a energia.

Legenda

$A_1$	Área do pistão pequeno.	${\mathrm{m}}^2$
$A_2$	Área do pistão grande, quatro vezes $A_1$.	${\mathrm{m}}^2$
$F_1$	Força que a mão exerce sobre o pistão pequeno.	$\mathrm{N}$
$F_2$	Força do líquido sobre o pistão grande, igual ao peso do carro.	$\mathrm{N}$
$p_1$	Pressão do líquido sob o pistão pequeno.	$\mathrm{Pa}$
$p_2$	Pressão do líquido sob o pistão grande, $F_2/A_2$.	$\mathrm{Pa}$
$z_1$	Altura da base do pistão pequeno.	$\mathrm{m}$
$z_2$	Altura da base do pistão grande.	$\mathrm{m}$
$z_1-z_2$	Quanto mais alta está a base do pistão pequeno; a pressão sob ela é menor em $\rho g(z_1-z_2)$.	$\mathrm{m}$

A Figura 4 mostra a prensa da animação cheia de água, no início do curso. Observe primeiro os fundos dos dois pistões. O do pistão pequeno, na altura $z_1$, fica 40 cm acima do do pistão grande, na altura $z_2$. Durante o curso, o pistão pequeno desce 48 cm e o grande sobe 12 cm, então no fim o fundo do pistão pequeno fica 20 cm abaixo do outro.

O pistão grande carrega o carro, então o líquido precisa empurrá-lo para cima com o peso do carro, $F_2$. Sobre a área $A_2$, isso exige a pressão $p_2=F_2/A_2\approx 46,19\mathrm{kPa}$, durante todo o curso. A pressão cai com a altura, como diz a equação da hidrostática; então, sob o pistão pequeno, mais alto em $z_1-z_2$, ela é menor:
$p_1=p_2-\rho g(z_1-z_2)$
Essa é a seta mais curta $p_1$ na figura. A mão precisa então empurrar com $F_1=p_1{A}_1$.

No início, $\rho g(z_1-z_2)=9810\cdot 0,40\approx 3,92\mathrm{kPa}$; no fim, a diferença de altura é $-0,20\mathrm{m}$ e o termo vale $-1,96\mathrm{kPa}$. Com $A_1=0,0531{\mathrm{m}}^2$, a mão precisa empurrar com
$F_1=(46,19-3,92)\mathrm{kPa}\cdot 0,0531{\mathrm{m}}^2\approx 2,24\mathrm{kN}$
no início e
$F_1=(46,19+1,96)\mathrm{kPa}\cdot 0,0531{\mathrm{m}}^2\approx 2,56\mathrm{kN}$
no fim, em vez dos 2,45 kN constantes obtidos sem o peso do líquido.

A diferença de altura varia linearmente ao longo do curso, de $0,40$ a $-0,20\mathrm{m}$, e assim também a pressão sob o pistão pequeno. O trabalho da mão é, portanto, o volume varrido vezes a pressão média. A diferença média de altura é 0,10 m, então a mão realiza
$W_1=V(p_2-\rho g\cdot 0,10\mathrm{m})=0,02548{\mathrm{m}}^3\cdot 45,21\mathrm{kPa}\approx 1152\mathrm{J}$

Isso é 25 J a menos do que os 1177 J que o carro ganha, e a diferença vem da própria água. Os 25,5 kg de água empurrados deixam uma coluna no topo do cilindro pequeno, com centro 24 cm abaixo do nível inicial do pistão pequeno, e terminam como uma camada sob o pistão grande, com centro 6 cm acima do nível inicial desse pistão, que estava 40 cm mais abaixo. O centro de massa desce, portanto, $0,40-0,24-0,06=0,10\mathrm{m}$ e libera $25,5\cdot 9,81\cdot 0,10\approx 25\mathrm{J}$: a energia se conserva quando o líquido é contado. Aqui a correção chega a 8,5 % da força; macacos reais trabalham em megapascais, onde alguns quilopascais de $\rho g\Delta z$ são desprezíveis.

Limites de validade

Cada resultado acima repousa sobre algumas hipóteses, e cada uma delas falha em algum lugar.

A primeira é a ausência de cisalhamento, que vale apenas para um fluido em repouso ou que se move como corpo rígido, como a água no caminhão. Em um fluido em escoamento, a pressão também depende da velocidade, e a viscosidade traz de volta as tensões de cisalhamento.

A segunda é a densidade constante. Ela serve muito bem para líquidos: a água se comprime cerca de 0,005 % por atmosfera, e mesmo no fundo da fossa oceânica mais profunda, quase 11 km abaixo, sob cerca de 110 MPa, ela é apenas alguns por cento mais densa. Para um gás, vale apenas em alturas pequenas comparadas à altura de escala $H$: em uma sala de 10 m, a pressão do ar muda 0,12 %, mas em uma cadeia de montanhas é preciso a lei exponencial.

A terceira é que as superfícies são planas. Onde uma superfície líquida é curva, a tensão superficial acrescenta um salto de pressão através dela. Em um tubo de vidro cheio de água, de raio $r=0,5\mathrm{mm}$, a tensão superficial $\gamma \approx 0,072N/m$ reduz a pressão logo abaixo da superfície curva em $2\gamma /r$, cerca de 0,3 kPa, o suficiente para puxar a água uns 3 cm para cima no tubo.

A última é o próprio contínuo. Um campo suave $p(\vec{r})$ exige elementos de fluido pequenos em comparação com o aparelho, mas que contenham muitas moléculas. Uma molécula de ar ao nível do mar percorre cerca de 70 nm entre colisões, então isso é fácil ali; acima de cerca de 120 km ela percorre mais de um metro, e a imagem do contínuo falha.

Para onde isso leva

A pressão em um fluido em repouso é o ponto de partida de várias outras lições. Integrá-la sobre um corpo submerso é o tema de “Empuxo e princípio de Arquimedes”. O “Princípio de Bernoulli” estende $p+\rho gz=\mathrm{const}$ a fluidos em movimento, somando $\frac{1}{2}\rho v^2$, e é daí que vem a velocidade do jato, $\sqrt{2gh}$. “Arrasto e velocidade terminal” traz de volta o cisalhamento que um fluido em repouso não tem. A origem molecular de $p=nkT$ é desenvolvida em “Teoria cinética dos gases”, a convecção reaparece em “Condução, convecção e radiação”, e a troca de força por distância da prensa é a mesma vista em “Máquinas simples: alavancas, polias e engrenagens”. O som, por fim, é uma pequena e rápida ondulação de pressão, tema de “Som e efeito Doppler”.