गुरुत्वाकर्षण और कक्षाएँ

ग्रह और उपग्रह बिना कभी ज़मीन पर उतरे लगातार क्यों गिरते रहते हैं: न्यूटन का व्युत्क्रम-वर्ग नियम $F = G m_{1} m_{2} / r^{2}$ और केप्लर के कक्षा-संबंधी तीन नियम।

एक ग्रह दीर्घवृत्तीय कक्षा में तारे के चारों ओर घूमता है; तारे के पास आने पर उसकी चाल बढ़ती है और दूर जाने पर घटती है।

इस विषय से पहले: वृत्तीय गति

शुरुआती

मुख्य विचार

हर द्रव्यमान वाली वस्तु दूसरी हर वस्तु को खींचती है; द्रव्यमान जितना बड़ा, खिंचाव उतना प्रबल।
दूरी बढ़ने पर खिंचाव तेज़ी से घटता है: दोगुनी दूरी पर खिंचाव एक-चौथाई, तिगुनी दूरी पर एक-नौवाँ।
कक्षा एक अंतहीन पतन है: पार्श्व वेग इतना अधिक हो कि वस्तु गिरती रहे, पर कभी ज़मीन तक न पहुँचे।
अंतरिक्ष यात्री इसलिए नहीं तैरते कि गुरुत्व समाप्त हो गया है; वे और उनका यान साथ-साथ गिरते हैं।
ग्रह तारे की ओर गिरते समय तेज़ होता है और दूर जाते समय धीमा, इसलिए निकटतम बिंदु पर उसकी गति सबसे अधिक होती है।

पेंसिल गिराइए तो वह गिरती है; ऊपर देखिए तो चंद्रमा आकाश में टँगा दिखता है। न्यूटन का महान विचार था कि एक ही खिंचाव दोनों को समझा सकता है।

चरण 1: हर द्रव्यमान वाली वस्तु हर दूसरी वस्तु को खींचती है, और द्रव्यमान बड़े हों तो खिंचाव भी अधिक होता है। आप पृथ्वी का खिंचाव महसूस करते हैं, पर अपने बगल में बैठे व्यक्ति का बहुत छोटा खिंचाव महसूस नहीं करते।

चरण 2: दूरी बढ़ने पर खिंचाव घटता है, और तेज़ी से। दूरी केंद्र से केंद्र तक मापी जाती है: दोगुनी दूरी पर खिंचाव एक-चौथाई हो जाता है; तिगुनी दूरी पर एक-नौवाँ। त्वरित जाँच: यदि दो वस्तुओं को दस गुना दूर कर दिया जाए, तो उनके बीच का खिंचाव कैसे बदलेगा? (उत्तर: वह सौ गुना कम हो जाता है।)

चरण 3: चंद्रमा पृथ्वी पर क्यों नहीं गिरता? वह लगातार गिरता ही है। खिंचाव न हो तो वह सीधा आगे बढ़ जाएगा; गुरुत्व उसके मार्ग को पृथ्वी की ओर मोड़ देता है। कल्पना कीजिए कि एक बहुत ऊँचे पर्वत पर तोप रखी है जो पार्श्व दिशा में गोला दागती है। धीमा गोला पास में गिरता है, तेज़ गोला दूर। यदि उसे पर्याप्त तेज़ दागा जाए, तो गोला उतनी ही तेज़ी से गिरता है जितनी तेज़ी से मुड़ी हुई धरती उसके नीचे से दूर हटती है, इसलिए वह कभी नहीं गिरता: वह कक्षा में होता है। अंतरिक्ष यात्री इसी कारण तैरते हैं: वे और उनका यान साथ-साथ गिरते हैं, हालाँकि वहाँ का गुरुत्व लगभग धरती जितना ही प्रबल है।

चरण 4: अधिकतर कक्षाएँ हल्की खिंची हुई वृत्ताकार आकृतियाँ हैं, जिन्हें दीर्घवृत्त कहते हैं, और तारा उनके केंद्र में नहीं होता। ग्रह तारे की ओर गिरते समय तेज़ होता है और दूर जाते समय धीमा।

ऐनिमेशन में लाल तीर तारे का खिंचाव है: वह हमेशा तारे की ओर होता है और ग्रह के पास होने पर लंबा दिखता है। नीली बिंदीदार रेखा दिखाती है कि गुरुत्व बंद होने पर ग्रह किस ओर जाता। भूरे बिंदु समान समय-अंतराल पर बने स्थान हैं: तारे से दूर वे पास-पास जमा होते हैं और उसके निकट फैल जाते हैं।

मध्यम

मुख्य विचार

$F = G m_{1} m_{2} / r^{2}$ , जहाँ $G = 6.674 \times 1 0^{- 11} N \cdot m^{2} /k g^{2}$ ; $r$ दोनों केंद्रों के बीच की दूरी है, और दोनों खिंचाव समान परिमाण के तथा विपरीत दिशाओं में होते हैं।
क्षेत्र-तीव्रता $g = GM / r^{2}$ : पृथ्वी की सतह पर 9.8 m/s²; केंद्र से दोगुनी दूरी पर इसका एक-चौथाई (लगभग 2.5 m/s²)।
वृत्तीय कक्षा: $GM m / r^{2} = m v^{2} / r$ से $v = GM / r$ ; अंतरिक्ष स्टेशन ( $r = 6771 km$ ) 7.67 km/s पर चलता है और लगभग 92 मिनट में एक चक्कर पूरा करता है।
ऊँची वृत्तीय कक्षाएँ धीमी होती हैं: $v \propto 1/ r$ और $T \propto r^{3/2}$ , उपग्रह के द्रव्यमान से स्वतंत्र।
400 km पर $g$ अब भी लगभग 8.7 m/s² है; अंतरिक्ष यात्री भारहीन होते हैं, क्योंकि वे और स्टेशन साथ-साथ गिरते हैं।

गुरुत्वाकर्षण का नियम और क्षेत्र-तीव्रता

हर द्रव्यमान वाला पिंड हर दूसरे पिंड को आकर्षित करता है। द्रव्यमान $m_{1}$ और $m_{2}$ के लिए, जिनके केंद्र $r$ दूरी पर हों, न्यूटन का सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियम खिंचाव का परिमाण देता है:
$F = \frac{G m _{1} m _{2}}{r ^{2}}$

यहाँ $G = 6.674 \times 1 0^{- 11} N \cdot m^{2} /k g^{2}$ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है, जो इतना छोटा है कि 1 m दूर खड़े 70 kg के दो व्यक्ति एक-दूसरे को केवल $3.3 \times 1 0^{- 7} N$ से खींचते हैं। बल दोनों केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश लगता है, और न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार हर पिंड दूसरे को बराबर बल से खींचता है: आप पृथ्वी को उतने ही 690 N बल से ऊपर खींचते हैं जितने से वह आपको नीचे खींचती है। किसी ग्रह या तारे के लिए $r$ उसके केंद्र से मापा जाता है।

किसी छोटे द्रव्यमान $m$ पर लगने वाले बल को $m$ से भाग देने पर द्रव्यमान $M$ वाले पिंड की क्षेत्र-तीव्रता मिलती है, यानी प्रति किलोग्राम खिंचाव:
$g = \frac{GM}{r ^{2}}$

इसकी इकाई न्यूटन प्रति किलोग्राम है, जो m/s² के बराबर है: $g$ उस स्थान पर मुक्त-पतन त्वरण है। पृथ्वी की सतह पर ( $M = 5.97 \times 1 0^{24} kg$ , $R = 6371 km$ ) यह 9.8 m/s² है। $r = 2 R$ पर, यानी पृथ्वी की एक त्रिज्या ऊपर, यह उसका एक-चौथाई, लगभग 2.45 m/s², है; और 400 km ऊपर यह अब भी लगभग 8.7 m/s² है।

वृत्तीय कक्षाएँ

जैसा वृत्तीय गति में देखा गया, त्रिज्या $r$ के वृत्त पर चाल $v$ से चलने वाले पिंड को केंद्र की ओर $m v^{2} / r$ का शुद्ध बल चाहिए। उपग्रह के लिए यह बल अकेला गुरुत्व देता है:
$\frac{GM m}{r ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{r}$
$v = \frac{GM}{r} (circular orbit)$

उपग्रह का अपना द्रव्यमान $m$ कट जाता है: अंतरिक्ष स्टेशन और उसके चालक दल से गिरा हुआ एक पाना एक ही कक्षा साझा करते हैं। एक चक्कर की लंबाई $2 π r$ है और उसमें लगा समय $T = 2 π r / v$ , इसलिए $T^{2} = 4 π^{2} r^{3} / (GM)$ । ऊँची कक्षाएँ धीमी होती हैं, $v \propto 1/ r$ , और उनका एक चक्कर बहुत लंबा होता है, $T \propto r^{3/2}$ : धरती के बहुत पास से उड़ता उपग्रह लगभग 84 मिनट में एक चक्कर लगाएगा, जबकि पृथ्वी से 60 पृथ्वी-त्रिज्या दूर चंद्रमा को 27.3 दिन लगते हैं।

दीर्घवृत्त और केप्लर के तीन नियम

जो उपग्रह $GM / r$ से थोड़ी अधिक या कम चाल से पार्श्व दिशा में छोड़ा जाता है, वह उसके बजाय दीर्घवृत्त पर चलता है। योहान्स केप्लर ने 1609 से 1619 के बीच ग्रहीय गति के तीन नियम खोजे, और न्यूटन का नियम तीनों को समझाता है।

हर ग्रह दीर्घवृत्त पर चलता है, जिसकी एक नाभि पर सूर्य होता है, केंद्र पर नहीं।
सूर्य और ग्रह को जोड़ने वाली रेखा बराबर समय में बराबर क्षेत्रफल तय करती है; इसलिए ग्रह निकटतम बिंदु, उपसौर, पर सबसे तेज़ और दूरतम बिंदु, अपसौर, पर सबसे धीमा होता है।
आवर्तकाल का वर्ग कक्षा के आकार के घन के समानुपाती है।

आकार अर्ध-दीर्घ अक्ष $a$ से दिया जाता है, जो सबसे लंबे व्यास का आधा है और निकटतम तथा दूरतम दूरियों का औसत है। उत्केंद्रता $e$ बताती है कि दीर्घवृत्त कितना खिंचा है: निकटतम दूरी $a (1 - e)$ है, दूरतम $a (1 + e)$ , और वृत्त की $e = 0$ होती है। न्यूटन के रूप में तीसरा नियम है
$T^{2} = \frac{4 π ^{2} a ^{3}}{GM}$
यह वृत्तीय परिणाम है जिसमें $r$ की जगह $a$ रखा गया है, उत्केंद्रता चाहे जो हो। सूर्य के चारों ओर, जब $T$ वर्षों में और $a$ खगोलीय इकाइयों ( $1 AU = 1.496 \times 1 0^{11} m$ ) में हो, तो यह सीधा $T^{2} = a^{3}$ हो जाता है।

गुरुत्वीय क्षेत्र में ऊर्जा

दो द्रव्यमानों को अलग करने में कार्य लगता है, इसलिए उनकी स्थितिज ऊर्जा दूरी के साथ बढ़ती है। अनंत पृथक्करण पर इसे शून्य मानने से
$U = - \frac{GM m}{r}$
मिलता है।

ऋण चिह्न का अर्थ है कि पिंड एक गड्ढे में है: $r$ पर विराम से चलते हुए पिंड को अनंत तक ले जाने में $GM m / r$ कार्य लगता है। कक्षा में कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m v^{2} - GM m / r$ स्थिर रहती है, इसलिए पिंड अंदर गिरते समय तेज़ होता है। $E \geq 0$ होने पर पिंड पलायन कर जाता है; पृथ्वी की सतह से इसके लिए $2 GM / R \approx 11.2 km/s$ चाहिए।

दीर्घवृत्त पर ऊर्जा केवल उसके आकार पर निर्भर करती है, $E = - GM m / (2 a)$ । दोनों व्यंजकों को बराबर रखने पर किसी भी दूरी पर चाल मिलती है, जिसे वीस-विवा संबंध कहते हैं:
$v^{2} = GM (\frac{2}{r} - \frac{1}{a})$
वृत्त के लिए $r = a$ और यह $v^{2} = GM / r$ हो जाता है।

उदाहरण: ऐनिमेशन का ग्रह

तारे का द्रव्यमान सूर्य जितना है, $GM = 1.327 \times 1 0^{20} m^{3} / s^{2}$ ; दीर्घवृत्त में $a = 1 AU$ और $e = 0.5$ है, इसलिए ग्रह 0.5 AU और 1.5 AU के बीच झूलता है और पृथ्वी के $a$ के समान होने से एक चक्कर में एक वर्ष लगाता है। उपसौर पर, तारे से $7.48 \times 1 0^{10} m$ दूर,
$g = \frac{1.327 \times 1 0 ^{20}}{( 7.48 \times 1 0 ^{10} ) ^{2}} \approx 0.0237 m/ s^{2} = 23.7 mm/ s^{2}$
और तीन गुना दूर पर यह नौ गुना छोटा, 2.6 mm/s², है। ये $F / m$ मान के दो चरम हैं, और लाल $F$ तीर भी उसी अनुपात में सिकुड़ता है।

चालों के लिए, 1 AU पर वृत्तीय चाल $GM / a \approx 29.8 km/s$ है, यानी पृथ्वी की चाल। दूरियाँ AU में लेने पर वीस-विवा संबंध देता है
$v = 29.8 2/0.5 - 1 = 29.8 3 \approx 51.6 km/s$
$v = 29.8 2/1.5 - 1 = 29.8/ 3 \approx 17.2 km/s$
क्रमशः उपसौर और अपसौर पर, यानी $v$ मान के दोनों सिरों पर।

चालों का अनुपात 3 है, जो दूरियों के अनुपात का व्युत्क्रम है, जैसा समान क्षेत्रफल का नियम माँगता है: दीर्घ अक्ष के दोनों सिरों पर वेग त्रिज्या-सदिश के लंबवत होता है, एक छोटे समय $Δ t$ में $\frac{1}{2} r v Δ t$ क्षेत्रफल का एक पतला त्रिभुज बनता है, और $0.5 \cdot 51.6 = 1.5 \cdot 17.2$ । दोनों बिंदुओं पर प्रति किलोग्राम ऊर्जा $\frac{1}{2} v^{2} - GM / r$ $- 4.4 \times 1 0^{8} J/kg$ निकलती है, जो $- GM / (2 a)$ है।

तीरों के बीच का कोण देखिए। अंदर की ओर जाते समय बैंगनी $v$ तीर और लाल $F$ तीर के बीच का कोण 90° से कम होता है, इसलिए खिंचाव का एक घटक गति की दिशा में होता है और ग्रह को तेज़ करता है; बाहर की ओर कोण 90° से अधिक होता है और खिंचाव उसे धीमा करता है। उपसौर और अपसौर पर तीर लंबवत होते हैं और चाल क्षण भर के लिए स्थिर रहती है।

उदाहरण: पृथ्वी के दो उपग्रह

अंतरिक्ष स्टेशन पृथ्वी से लगभग 400 km ऊपर उड़ता है, इसलिए पृथ्वी के केंद्र से उसकी दूरी $r = 6371 + 400 = 6771 km$ है। पृथ्वी के लिए $GM = 3.986 \times 1 0^{14} m^{3} / s^{2}$ लेने पर
$v = \frac{3.986 \times 1 0 ^{14}}{6.771 \times 1 0 ^{6}} \approx 7672 m/s \approx 7.67 km/s$
$T = \frac{2 π r}{v} = \frac{2 π \cdot 6.771 \times 1 0 ^{6}}{7672} \approx 5545 s$
लगभग 92 मिनट। वहाँ $g = GM / r^{2} \approx 8.7 m/ s^{2}$ है, जो भूमि पर उसके मान का 89 % है।

भू-स्थिर उपग्रह को तारों के सापेक्ष पृथ्वी के हर घूर्णन पर एक चक्कर लगाना होता है, $T = 86164 s$ (23 घंटे 56 मिनट), ताकि वह भूमध्य रेखा के किसी एक बिंदु के ऊपर स्थिर रहे। तीसरे नियम से
$r = (\frac{GM T ^{2}}{4 π ^{2}})^{1/3} \approx 4.216 \times 1 0^{7} m$
अर्थात भूमध्य रेखा से लगभग 35 800 km ऊपर, और $2 π r / T \approx 3.07 km/s$ की चाल पर। जाँच के लिए, इसकी त्रिज्या स्टेशन की त्रिज्या से $42 164/6771 \approx 6.23$ गुना है, इसलिए इसका आवर्तकाल उसके $6.2 3^{3/2} \approx 15.5$ गुना होना चाहिए, और सचमुच $1436/92.4 \approx 15.5$ है।

सामान्य गलतियाँ

यह मानना कि कक्षा में गुरुत्व नहीं होता। 400 km पर $g$ अब भी 8.7 m/s² है; अंतरिक्ष यात्री इसलिए तैरते हैं कि वे और स्टेशन साथ-साथ गिरते हैं।
$r$ को सतह से मापना। 6771 km की जगह 400 km लेने पर स्टेशन की चाल 7.67 km/s के बजाय 31.6 km/s निकलेगी।
यह सोचना कि भारी उपग्रहों या ऊँची कक्षाओं को अधिक चाल चाहिए। सूत्र $v = GM / r$ में उपग्रह का द्रव्यमान नहीं है, और भू-स्थिर उपग्रह स्टेशन से धीमा है।
तीसरे नियम में दूरतम दूरी डालना। हैली धूमकेतु 0.59 AU से 35.1 AU तक जाता है, इसलिए $a = 17.8 AU$ और $T = 17. 8^{3/2} \approx 75$ वर्ष है, 208 वर्ष नहीं।
यह मानना कि ग्रह इसलिए तेज़ होता है क्योंकि खिंचाव प्रबल है। उपसौर पर खिंचाव अधिकतम होता है, ऐनिमेशन में 23.7 mm/s², फिर भी वह वेग के लंबवत है, इसलिए चाल का बढ़ना अभी-अभी रुका है।

इसका उपयोग कहाँ होता है

20 200 km ऊपर 12 घंटे के आवर्तकाल वाले नेविगेशन उपग्रह, भू-स्थिर मौसम और दूरदर्शन उपग्रह, ज्वार, और ग्रहों तथा तारों के द्रव्यमान, जिन्हें उनके चारों ओर की कक्षाओं से तीसरे नियम द्वारा निकाला जाता है: ये सब इसी पाठ पर टिके हैं।

समान क्षेत्रफल का नियम कोणीय संवेग संरक्षण है (देखें कोणीय संवेग और उसका संरक्षण); $U = - GM m / r$ कार्य, ऊर्जा और शक्ति के $m g h$ का व्यापक रूप है; वही व्युत्क्रम-वर्ग नियम कूलॉम का नियम में आवेशों पर लागू होता है; और वक्र दिक्-काल के रूप में गुरुत्व की शुरुआत इस तथ्य से होती है कि हर पिंड एक ही त्वरण से गिरता है।

उन्नत

मुख्य विचार

चंद्र-परीक्षण: पृथ्वी की 60 त्रिज्याओं पर $a = 4 π^{2} r / T^{2} \approx g /6 0^{2}$ , अतः सेब और चंद्रमा एक ही व्युत्क्रम-वर्ग नियम का पालन करते हैं।
गुरुत्व केंद्रीय बल है, इसलिए $L$ संरक्षित है और $d A / d t = L / (2 m)$ स्थिर है: किसी भी केंद्रीय बल के लिए बराबर समय में बराबर क्षेत्रफल।
$1/ r^{2}$ के साथ कक्षाएँ शंकुच्छेद $r = p / (1 + e cos θ)$ हैं: $E < 0$ दीर्घवृत्त, $E = 0$ परवलय, $E > 0$ अतिपरवलय।
$T^{2} = 4 π^{2} a^{3} / (GM)$ केवल अर्ध-दीर्घ अक्ष पर निर्भर करता है, दीर्घवृत्त कितना खिंचा है इस पर नहीं।
सभी पिंड एक-सा गिरते हैं (गुरुत्वीय = जड़त्वीय द्रव्यमान); इसी पर आधारित सापेक्षता बुध के 43″ प्रति शताब्दी अतिरिक्त अग्रगमन को समझाती है।

सेब से चंद्रमा तक

यह भाग बल-नियम और इस पहले प्रमाण को प्रस्तुत करता है कि एक ही नियम धरती और आकाश दोनों पर लागू होता है। दो द्रव्यमान $M$ और $m$ , जो $r$ दूरी पर हों, $GM m / r^{2}$ परिमाण के बल से एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं, जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है। सदिश रूप में, जब $M$ मूलबिंदु पर हो और $m$ स्थिति $r$ पर हो,
$F = - \frac{GM m}{r ^{2}} \overset{r}{^}$
जहाँ $\overset{r}{^}$ , $M$ से $m$ की ओर इंगित करने वाला एकांक सदिश है। ऋण चिह्न बल को फिर से $M$ की ओर मोड़ देता है: गुरुत्व आकर्षित करता है।

न्यूटन का पहला परीक्षण चंद्रमा की तुलना गिरते सेब से करता था। यदि खिंचाव $1/ r^{2}$ के अनुसार घटता है, तो पृथ्वी की 60 त्रिज्या दूर यह सतह की तुलना में $6 0^{2} = 3600$ गुना कम होना चाहिए। चंद्रमा $r = 3.844 \times 1 0^{8} m$ दूर है, यानी लगभग 60 पृथ्वी-त्रिज्या, और 27.32 दिनों में पृथ्वी का एक चक्कर लगाता है ( $T = 2.36 \times 1 0^{6} s$ )। अपने वृत्त पर बने रहने के लिए उसे अभिकेंद्र त्वरण चाहिए
$a_{c} = \frac{4 π ^{2} r}{T ^{2}} \approx 2.72 \times 1 0^{- 3} m/ s^{2}$
और व्युत्क्रम-वर्ग नियम $g /6 0^{2} = 9.81/3600 \approx 2.72 \times 1 0^{- 3} m/ s^{2}$ का पूर्वानुमान देता है। दोनों मेल खाते हैं: सेब और चंद्रमा एक ही नियम का पालन करते हैं।

दूरी पृथ्वी के केंद्र से क्यों मापी जा सकती है? कोश-प्रमेय के कारण: एक समान गोलीय कोश बाहर के द्रव्यमान को ऐसे आकर्षित करता है मानो पूरे कोश का द्रव्यमान उसके केंद्र पर रखा हो, और उसके भीतर के द्रव्यमान पर कोई शुद्ध बल नहीं लगाता। एक ग्रह ऐसे अनेक कोशों का समूह है, इसलिए बाहर से वह एक बिंदु-द्रव्यमान की तरह कार्य करता है। एक समान ग्रह के भीतर केवल वे कोश खिंचाव देते हैं जो केंद्र के अधिक निकट हैं। उनका द्रव्यमान $r^{3}$ के साथ बढ़ता है, जबकि प्रति एकांक द्रव्यमान उनका खिंचाव $1/ r^{2}$ के साथ घटता है, इसलिए $g$ , $r$ के समानुपाती घटता है और केंद्र पर शून्य हो जाता है।

एक बार $G$ ज्ञात हो जाए, तो वही नियम पृथ्वी का द्रव्यमान निकाल देता है। कैवेंडिश ने 1798 में एक मरोड़ तुला से $G$ मापा था। सतह पर $g = GM / R^{2}$ है, जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है, इसलिए $M = g R^{2} / G \approx 5.97 \times 1 0^{24} kg$ । यह 5.5 g/cm³ का औसत घनत्व है, जो सतही चट्टानों के घनत्व का दोगुना है, इसलिए पृथ्वी का गहरा भीतरी भाग, विशेषकर क्रोड, कहीं अधिक घना होना चाहिए।

कोणीय संवेग से समान क्षेत्रफल

केप्लर ने पाया कि तारे से ग्रह तक की रेखा बराबर समय में बराबर क्षेत्रफल तय करती है, इसलिए ग्रह तारे के निकट तेज़ और दूर धीमे चलता है। यह भाग दिखाता है कि उनका नियम कोणीय संवेग संरक्षण का ही दूसरा रूप है।

चित्र 1 में ग्रह का एक छोटा चरण बड़ा करके दिखाया गया है, जब वह दूरी $r$ पर हो और उसका तारा $M$ हो। त्रिज्या-सदिश की दिशा कोण $θ$ से दी जाती है। एक छोटे समय $d t$ में ग्रह $v d t$ दूरी चलता है, नीला तीर। इस चरण को दो भागों में बाँटिए। त्रिज्या के अनुदिश भाग $d r$ केवल दूरी बदलता है; वह कोई क्षेत्रफल नहीं बनाता, क्योंकि वह ग्रह को उसी रेखा पर खिसकाता है जिस पर वह पहले से है। त्रिज्या के आर-पार का भाग लघु चाप $r d θ$ है, जिसे त्रिज्या-सदिश छोटे कोण $d θ$ से घूमते हुए खींचता है। केवल यही भाग नया क्षेत्रफल बनाता है: सुनहरा त्रिभुज, जिसका आधार $r$ और ऊँचाई $r d θ$ है, इसलिए $d A = \frac{1}{2} r \cdot r d θ$ ।

$d t$ से भाग देने पर क्षेत्र-वेग मिलता है, यानी प्रति एकांक समय में तय क्षेत्रफल: $d A / d t = \frac{1}{2} r^{2} \dot{θ}$ , जहाँ $\dot{θ} = d θ / d t$ वह दर है जिससे त्रिज्या-सदिश घूमता है। त्रिज्या के आर-पार ग्रह की गति $r \dot{θ}$ है, इसलिए तारे के सापेक्ष उसके कोणीय संवेग का परिमाण $L = m r \cdot r \dot{θ} = m r^{2} \dot{θ}$ है। अतः
$\frac{d A}{d t} = \frac{L}{2 m}$

अब चित्र 1 में खिंचाव $F$ को देखिए: वह त्रिज्या के अनुदिश $M$ की ओर इंगित करता है। अतः बल-आघूर्ण $r \times F$ शून्य है, क्योंकि दो समांतर सदिशों का सदिश गुणनफल शून्य होता है, और बल-आघूर्ण के बिना कोणीय संवेग $L$ नहीं बदल सकता। उसका परिमाण $L$ क्षेत्र-वेग निर्धारित करता है, जो केप्लर का दूसरा नियम है। उसकी दिशा, जो $r$ और $v$ दोनों पर लंबवत है, भी कभी नहीं बदलती, इसलिए कक्षा एक समतल में रहती है।

यहाँ $1/ r^{2}$ का प्रयोग नहीं हुआ। किसी भी केंद्रीय बल के लिए, यानी हर ऐसे बल के लिए जो एक निश्चित केंद्र की रेखा के अनुदिश हो, समान क्षेत्रफल का नियम लागू होता है। इसलिए केप्लर का दूसरा नियम बल की दिशा की जाँच करता है, न कि उसकी प्रबलता दूरी पर कैसे निर्भर करती है।

ऐनिमेशन का ग्रह इसे ठोस बनाता है। वह एक सौर द्रव्यमान वाले तारे के चारों ओर अर्ध-दीर्घ अक्ष $a = 1 AU$ (सबसे लंबे व्यास का आधा) और उत्केंद्रता $e = 0.5$ (दीर्घवृत्त कितना चपटा है, इसका माप: वृत्त के लिए 0, लंबे पतले के लिए 1 के निकट) वाले दीर्घवृत्त पर घूमता है। इसका अर्ध-लघु अक्ष, यानी सबसे छोटे व्यास का आधा, $b = a 1 - e^{2} \approx 0.866 AU$ है, और इसका आवर्तकाल, जैसा नीचे के तीसरे नियम से दिखेगा, एक वर्ष है। विशेषज्ञ दृश्य में हर सुनहरा खंड आवर्तकाल के आठवें भाग, लगभग 45.7 दिनों में तय होता है, इसलिए दोनों का क्षेत्रफल दीर्घवृत्त के क्षेत्रफल का आठवाँ भाग है, $πab /8 \approx 0.34 A U^{2}$ । उपसौर (तारे के निकटतम बिंदु) पर खंड छोटा और चौड़ा है; अपसौर (सबसे दूर बिंदु) पर वाला लंबा और सँकरा है।

दीर्घ अक्ष के दोनों सिरों पर वेग त्रिज्या के लंबवत होता है, इसलिए वहाँ ठीक $L / m = r v$ होता है। नीचे के वीस-विवा संबंध से मिली चालें, 0.5 AU पर 51.6 km/s और 1.5 AU पर 17.2 km/s, दोनों सिरों पर $0.5 \cdot 51.6 = 1.5 \cdot 17.2 \approx 25.8 AU \cdot km/s$ देती हैं, जैसा होना ही चाहिए।

ऊर्जा और त्रिज्य गति

केवल कोणीय संवेग से यह नहीं पता चलता कि ग्रह तारे के कितने निकट आता है या कितना भटकता है। ऊर्जा बताती है, और वह कक्षा को दूरी $r$ में एक-आयामी समस्या तक घटा देती है।

**चित्र 2.** प्रभावी स्थितिज ऊर्जा $U_{e ff}$ (बैंगनी) बिंदुकित वक्रों $L^{2} / (2 m r^{2})$ और $U$ का योग है। ग्रह केवल वहीं रहता है जहाँ $U_{e ff}$ क्षैतिज स्तर $E$ के नीचे हो, यानी मोड़-बिंदुओं $r_{m i n}$ और $r_{m a x}$ के बीच; स्तर और बैंगनी वक्र के बीच का अंतर त्रिज्य गतिज ऊर्जा $K_{r}$ है।

स्थितिज ऊर्जा से शुरू कीजिए। जब दोनों पिंड अनंत दूरी पर हों तो $U = 0$ चुनिए। तब दूरी $r$ पर $U$ , गुरुत्व द्वारा $m$ पर $r$ से अनंत तक जाने में किया गया कार्य है, $\int_{r}^{\infty} (- GM m / r^{'2}) d r^{'}$ , जिससे मिलता है
$U = - \frac{GM m}{r}$
यह हर जगह ऋणात्मक है और दूर पर शून्य की ओर उठता है: चित्र 2 में नीचे का बिंदीदार वक्र, $U$ ।

अब गतिज ऊर्जा। वेग को त्रिज्य भाग $\overset{r}{˙}$ , यानी दूरी के परिवर्तन की दर, और पार्श्व भाग $r \dot{θ}$ में बाँटिए। $L = m r^{2} \dot{θ}$ से पार्श्व भाग $L / (m r)$ के बराबर है, इसलिए उसकी गतिज ऊर्जा $L^{2} / (2 m r^{2})$ है। तब संरक्षित कुल ऊर्जा है
$E = \frac{1}{2} m \overset{r}{˙}^{2} + \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}} - \frac{GM m}{r}$

चूँकि $L$ स्थिर है, अंतिम दो पद केवल $r$ पर निर्भर करते हैं, इसलिए उन्हें मिलाकर त्रिज्य गति के लिए एक ही स्थितिज ऊर्जा माना जा सकता है: प्रभावी स्थितिज ऊर्जा $U_{e ff}$ , चित्र 2 का बैंगनी वक्र। यह दोनों बिंदीदार वक्रों का योग है। ऊपर वाला, अपकेंद्री पद $L^{2} / (2 m r^{2})$ , $r$ घटने पर तेज़ी से चढ़ता है; वह एक अपकेंद्री अवरोध का काम करता है, जो ग्रह को तारे में गिरने से रोकता है। नीचे वाला $U$ है। पास में अवरोध जीतता है, दूर गुरुत्व जीतता है, और बीच में योग एक गर्त बनाता है।

अब चित्र को घाटी में लुढ़कती गेंद की तरह पढ़िए। ऊर्जा $E$ क्षैतिज बिंदीदार स्तर है, जो हर $r$ पर एक-सी है। उस स्तर और बैंगनी वक्र के बीच का अंतर त्रिज्य गतिज ऊर्जा $K_{r} = \frac{1}{2} m \overset{r}{˙}^{2}$ है। वह ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए ग्रह केवल वहीं हो सकता है जहाँ वक्र स्तर के नीचे है।

जैसा चित्र में दिखाया गया है, $E < 0$ के लिए, स्तर वक्र को दो मोड़-बिंदुओं $r_{m i n}$ और $r_{m a x}$ पर काटता है। वहाँ $K_{r} = 0$ है, इसलिए $\overset{r}{˙} = 0$ : दूरी का घटना या बढ़ना बंद हो जाता है और वह लौट पड़ती है। अतः दूरी $r_{m i n}$ (उपसौर) और $r_{m a x}$ (अपसौर) के बीच दोलन करती है। यदि स्तर गर्त के तल को ठीक छू ले, तो दोनों मोड़-बिंदु एक हो जाते हैं और कक्षा एक वृत्त होती है। $E \geq 0$ के लिए स्तर वक्र को केवल एक बार, अवरोध पर, काटता है, और ग्रह अनंत तक पलायन कर जाता है।

कक्षा का आकार

चित्र 2 दूरियों की सीमा देता है, परंतु वह वक्र नहीं जिसे ग्रह खींचता है। वह वक्र पाने के लिए, गति के त्रिज्य समीकरण को समय के बजाय कोण $θ$ के रूप में फिर से लिखिए।

त्रिज्या के अनुदिश, न्यूटन का दूसरा नियम है $m (\overset{r}{¨} - r \dot{θ}^{2}) = - GM m / r^{2}$ ; पद $- r \dot{θ}^{2}$ वह अभिकेंद्र त्वरण है जो त्रिज्या-सदिश के घूमने से आता है। समीकरण को हल करने योग्य बनाने के लिए दो परिवर्तन हैं। पहला, चर के रूप में $u = 1/ r$ लीजिए। दूसरा, समय की जगह कोण को स्वतंत्र चर लीजिए, $\dot{θ} = L / (m r^{2}) = (L / m) u^{2}$ । तब $\overset{r}{˙} = - (L / m) d u / d θ$ और $\overset{r}{¨} = - (L / m)^{2} u^{2} d^{2} u / d θ^{2}$ हैं, और $- m (L / m)^{2} u^{2}$ से भाग देने पर नियम रैखिक हो जाता है:
$\frac{d ^{2} u}{d θ ^{2}} + u = \frac{GM m ^{2}}{L ^{2}}$

यह एक स्थिर बल से धकेले गए सरल दोलक का समीकरण है, इसलिए इसका हल वह स्थिरांक और एक कोज्या का योग है: $u = (1 + e cos θ) / p$ , जहाँ $p = L^{2} / (GM m^{2})$ और $θ$ उपसौर से मापा गया है। $r$ के रूप में,
$r = \frac{p}{1 + e c o s θ}$
यह एक शंकु-परिच्छेद है जिसकी एक नाभि पर तारा है: $e < 1$ ( $E < 0$ ) के लिए दीर्घवृत्त, $e = 1$ ( $E = 0$ ) के लिए परवलय और $e > 1$ ( $E > 0$ ) के लिए अतिपरवलय। दीर्घवृत्त के लिए, $θ = 0$ पर उपसौर और $θ = π$ पर अपसौर $r_{m i n} = p / (1 + e)$ और $r_{m a x} = p / (1 - e)$ देते हैं। उनका योग दीर्घ अक्ष $2 a$ है, अतः $p = a (1 - e^{2}) = b^{2} / a$ , $r_{m i n} = a (1 - e)$ और $r_{m a x} = a (1 + e)$ ।

व्युत्क्रम-वर्ग नियम विशेष है। बर्ट्रांड के प्रमेय के अनुसार केवल दो बल ऐसी आबद्ध कक्षाएँ देते हैं जो सदैव बंद रहती हैं: व्युत्क्रम-वर्ग बल और रैखिक स्प्रिंग बल। किसी अन्य घात-नियम के अंतर्गत आबद्ध कक्षा बंद नहीं होती, और उसका उपसौर हर चक्कर में थोड़ा खिसक जाता है।

ऊर्जा दीर्घवृत्त का आकार तय करती है। किसी भी मोड़-बिंदु पर $\overset{r}{˙} = 0$ है, इसलिए $E = L^{2} / (2 m r^{2}) - GM m / r$ । $r^{2}$ से गुणा करने पर यह एक द्विघात बनता है, $E r^{2} + GM m r - L^{2} / (2 m) = 0$ , जिसके दो मूल $r_{m i n}$ और $r_{m a x}$ हैं। द्विघात के मूलों का योग, पहले गुणांक से मध्य गुणांक के ऋण को भाग देने पर मिलता है, इसलिए $r_{m i n} + r_{m a x} = - GM m / E$ । यह योग $2 a$ है, अतः
$E = - \frac{GM m}{2 a}$
ऊर्जा आकार $a$ तय करती है; दिए गए $a$ के लिए कोणीय संवेग $p$ तय करता है और उसके साथ उत्केंद्रता $e$ भी।

इसे कक्षा के किसी भी बिंदु की ऊर्जा $\frac{1}{2} m v^{2} - GM m / r$ के बराबर रखकर, और $m /2$ से भाग देकर वीस-विवा संबंध मिलता है, जिसका उपयोग ऐनिमेशन अपने चाल-मान के लिए करता है:
$v^{2} = GM (\frac{2}{r} - \frac{1}{a})$
वृत्त पर $r = a$ और $v^{2} = GM / r$ ; सूर्य से 1 AU पर यह 29.8 km/s है, जो पृथ्वी की कक्षीय चाल है। ऐनिमेशन के ग्रह के लिए, $a = 1 AU$ के साथ, चाल $29.8 2/ r - 1 km/s$ है, जहाँ $r$ , AU में है: उपसौर पर 51.6 km/s और अपसौर पर 17.2 km/s।

केप्लर का तीसरा नियम

तीसरा नियम आवर्तकाल को कक्षा के आकार से जोड़ता है, और उलटा पढ़ने पर केंद्रीय पिंड का द्रव्यमान भी बताता है।

एक आवर्तकाल में त्रिज्या-सदिश पूरे दीर्घवृत्त को बुहारता है, जिसका क्षेत्रफल $πab$ है, और यह स्थिर दर $L / (2 m)$ से होता है, इसलिए $T = 2 πab m / L$ । वर्ग करने पर $T^{2} = 4 π^{2} a^{2} b^{2} m^{2} / L^{2}$ मिलता है। कक्षा-समीकरण $L^{2} = GM m^{2} p$ से, और $p = b^{2} / a$ के साथ, $L^{2} = GM m^{2} b^{2} / a$ है। प्रतिस्थापित करने पर $b^{2}$ और $m^{2}$ कट जाते हैं:
$T^{2} = \frac{4 π ^{2} a ^{3}}{GM}$
आवर्तकाल केवल $a$ पर निर्भर करता है, उत्केंद्रता पर नहीं: 1 AU त्रिज्या का वृत्त और ऐनिमेशन का दीर्घवृत्त, जिसमें $a = 1 AU$ और $e = 0.5$ है, दोनों एक वर्ष लेते हैं।

उलटा पढ़ने पर यह नियम सूर्य का द्रव्यमान बताता है। पृथ्वी की कक्षा, $a = 1.496 \times 1 0^{11} m$ और $T = 3.156 \times 1 0^{7} s$ , से $GM = 4 π^{2} a^{3} / T^{2} \approx 1.327 \times 1 0^{20} m^{3} / s^{2}$ मिलता है, और इस प्रकार सौर द्रव्यमान $1.99 \times 1 0^{30} kg$ है।

कक्षा में समय: केप्लर का समीकरण

अब तक के नियम आकार और आवर्तकाल देते हैं, पर यह नहीं बताते कि किसी दिए गए क्षण में ग्रह कहाँ है। इसके लिए एक और कोण चाहिए, उत्केंद्र कोण, और उसके लिए एक समीकरण।

चित्र 3 में केंद्र $O$ , अर्ध-दीर्घ अक्ष $a$ और अर्ध-लघु अक्ष $b$ वाला दीर्घवृत्त दिखाया गया है। तारा $M$ एक नाभि पर है, जो $O$ से $a e$ दूरी पर है; उपसौर दीर्घ अक्ष का वह सिरा है जो तारे की ओर है। $O$ के चारों ओर त्रिज्या $a$ का बिंदुकित वृत्त खींचिए, जो दीर्घ अक्ष के दोनों सिरों पर दीर्घवृत्त को छूता है। ग्रह से दीर्घ अक्ष पर लंबवत एक रेखा (पतली बिंदुकित रेखा) खींचिए, जब तक वह वृत्त को न काटे। $O$ से वृत्त के उस बिंदु तक की रेखा उपसौर की ओर के अक्ष से कोण $ψ$ बनाती है: यही कोण उत्केंद्र कोण है।

वृत्त को अक्ष की ओर $b / a$ गुणक से दबाने पर वह दीर्घवृत्त बन जाता है, इसलिए $O$ से मापने पर ग्रह $(a cos ψ, b sin ψ)$ पर है, जबकि तारा $(a e, 0)$ पर है। पाइथागोरस से उनके बीच की दूरी मिलती है, और $b^{2} = a^{2} (1 - e^{2})$ के साथ पद एक पूर्ण वर्ग में समा जाते हैं:
$r^{2} = a^{2} (cos ψ - e)^{2} + b^{2} sin^{2} ψ = a^{2} (1 - e cos ψ)^{2}$
अर्थात $r = a (1 - e cos ψ)$ : $ψ = 0$ पर सबसे छोटी, $a (1 - e)$ , और $ψ = π$ पर सबसे बड़ी, $a (1 + e)$ ।

अब समय। क्षेत्रों के नियम से, उपसौर से बीता समय $t$ उस अवधि में बुहारे गए क्षेत्रफल के समानुपाती है, और $t / T$ वह क्षेत्रफल है जिसे पूरे दीर्घवृत्त $πab$ से भाग दिया गया हो। क्षेत्रफल वृत्त पर खोजना सबसे आसान है, और फिर दबाया जा सकता है। वृत्त पर, तारे से देखने पर, उपसौर से कोण $ψ$ वाले बिंदु तक बुहारा गया क्षेत्र वह खंड है जिसका शीर्ष $O$ पर है और कोण $ψ$ है, जिसका क्षेत्रफल $\frac{1}{2} a^{2} ψ$ है, उसमें से $O$ , तारे और उस बिंदु को शीर्ष मानने वाला त्रिभुज घटाकर। इस त्रिभुज का आधार $a e$ और ऊँचाई $a sin ψ$ है, इसलिए इसका क्षेत्रफल $\frac{1}{2} a^{2} e sin ψ$ है। $b / a$ से दबाने पर हर क्षेत्रफल एक ही गुणक से सिकुड़ता है, इसलिए दीर्घवृत्त पर बुहारा गया क्षेत्रफल $\frac{1}{2} ab (ψ - e sin ψ)$ है। $πab$ से भाग देकर और $2 π$ से गुणा करने पर केप्लर का समीकरण मिलता है:
$\frac{2 π t}{T} = ψ - e sin ψ$

जब $ψ$ ज्ञात हो, तो समय तुरंत निकल आता है; जब समय ज्ञात हो, तो $ψ$ के लिए कोई बंद-रूप हल नहीं है। ऐनिमेशन हर समय-चरण पर न्यूटन की पुनरावृत्ति से $ψ$ निकालता है, फिर स्थिति। विशेषज्ञ दृश्य का $r (t)$ ग्राफ़ परिणाम दिखाता है: 1.5 AU पर एक चौड़ा, सपाट शिखर और 0.5 AU पर एक सँकरी, तीखी घाटी। ग्रह $ψ = π /2$ और $ψ = 3 π /2$ पर लघु अक्ष को पार करता है; इन्हें केप्लर के समीकरण में रखने पर पता चलता है कि वह अपने वर्ष का $\frac{1}{2} + e / π \approx 0.66$ भाग लघु अक्ष के दूर वाले ओर बिताता है, लगभग 241 दिन, जबकि निकट वाले ओर केवल 124 दिन।

उदाहरण: स्थानांतरण कक्षा

केप्लर कक्षाएँ ही अंतरिक्ष यानों की यात्रा का तरीका भी हैं। एक ही तारे के चारों ओर दो वृत्ताकार कक्षाओं के बीच सबसे सस्ता दो-प्रज्वलन मार्ग होहमान स्थानांतरण है: एक दीर्घवृत्त का आधा भाग जो दोनों वृत्तों को छूता है।

चित्र 4 इसे $r_{1} = 0.5 AU$ और $r_{2} = 1.5 AU$ के लिए पैमाने पर दिखाता है, इसलिए स्थानांतरण दीर्घवृत्त ऐनिमेशन का दीर्घवृत्त है। यान आंतरिक वृत्त पर शुरू होता है। एक अग्र-प्रज्वलन $Δ v_{1}$ उसे ऐसे दीर्घवृत्त पर डालता है जिसका उपसौर आंतरिक वृत्त को छूता है और अपसौर बाहरी वृत्त को। अतः उसका दीर्घ अक्ष $r_{1} + r_{2}$ है, इसलिए $a = (r_{1} + r_{2}) /2 = 1 AU$ । केवल दीर्घवृत्त का ठोस आधा भाग तय किया जाता है; उसके दूरस्थ सिरे पर एक दूसरा अग्र-प्रज्वलन $Δ v_{2}$ कक्षा को वृत्ताकार बना देता है।

पहला प्रज्वलन। वृत्त पर वीस-विवा संबंध $v = GM / r$ देता है, इसलिए $r_{1}$ पर वृत्ताकार चाल $29.8 2 \approx 42.1 km/s$ है। स्थानांतरण दीर्घवृत्त को 51.6 km/s की उपसौर-चाल चाहिए, इसलिए $Δ v_{1} = 9.5 km/s$ ।

दूसरा प्रज्वलन। आधी कक्षा बाद, $T /2 \approx 183$ दिनों के बाद, यान 17.2 km/s पर अपसौर पर पहुँचता है। वहाँ की वृत्ताकार चाल $29.8/ 1.5 \approx 24.3 km/s$ से कम है, इसलिए $Δ v_{2} = 7.1 km/s$ ।

दोनों प्रज्वलन आगे की ओर धकेलते हैं, कुल 16.6 km/s, फिर भी यान शुरुआत से 17.8 km/s धीमा होकर समाप्त होता है। ऊर्जा इस विरोधाभास को सुलझाती है। प्रति किलोग्राम, एक वृत्ताकार कक्षा की कुल ऊर्जा $E = - GM / (2 r)$ है, गतिज ऊर्जा $GM / (2 r) = - E$ और स्थितिज ऊर्जा $- GM / r = 2 E$ । $r_{1}$ से $r_{2}$ तक कुल ऊर्जा $- 8.87 \times 1 0^{8}$ से बढ़कर $- 2.96 \times 1 0^{8} J/kg$ हो जाती है, इसलिए इंजन $5.91 \times 1 0^{8} J/kg$ देता है। स्थितिज ऊर्जा उससे दोगुनी, $1.18 \times 1 0^{9} J/kg$ बढ़ती है, और गतिज ऊर्जा $5.91 \times 1 0^{8} J/kg$ घटती है ताकि अंतर पूरा हो। ऊँची कक्षाएँ धीमी होती हैं, पर उनमें अधिक ऊर्जा होती है।

पृथ्वी से मंगल तक, 1 AU से 1.52 AU तक, वही मार्ग $a \approx 1.26 AU$ है। वर्षों में $T$ और AU में $a$ लेने पर तीसरा नियम $T = a^{3/2}$ है, इसलिए यात्रा $\frac{1}{2} \cdot 1.2 6^{3/2} \approx 0.707$ वर्ष, यानी लगभग 258 दिन, लेती है।

दो बिंदु-द्रव्यमानों से परे

वास्तविक तंत्र एक स्थिर पिंड के चारों ओर घूमते एक बिंदु-द्रव्यमान से तीन तरह से भिन्न हैं: दोनों पिंड चलते हैं, पिंडों का आकार होता है, और प्रायः दो से अधिक पिंड होते हैं।

दो पिंड अपने उभयनिष्ठ द्रव्यमान-केंद्र के चारों ओर घूमते हैं, और उनकी सापेक्ष कक्षा उन्हीं नियमों का पालन करती है, जिसमें $M$ की जगह $M + m$ आता है: $T^{2} = 4 π^{2} a^{3} / (G (M + m))$ । पृथ्वी-चंद्र द्रव्यमान-केंद्र पृथ्वी के केंद्र से 4670 km दूर है, यानी पृथ्वी के भीतर; सूर्य-बृहस्पति द्रव्यमान-केंद्र सूर्य के केंद्र से 1.07 सौर त्रिज्या दूर है, उसकी सतह से थोड़ा ऊपर। ऐसे बिंदु के चारों ओर किसी तारे का छोटा-सा डगमगाना अन्य तारों के चारों ओर ग्रहों को प्रकट करता है।

परिमित आकार वाला पिंड यह भी अनुभव करता है कि उसके आर-पार बल-क्षेत्र कैसे बदलता है। द्रव्यमान $M$ के पिंड का दूरी $d$ पर क्षेत्र $GM / d^{2}$ पृथ्वी की त्रिज्या $R$ के आर-पार लगभग $R$ गुना अपनी दूरी के साथ परिवर्तन-दर जितना बदलता है, यानी $2 GMR / d^{3}$ । चंद्रमा के लिए यह $1.1 \times 1 0^{- 6} m/ s^{2}$ है: ज्वारीय त्वरण, जो महासागरों को दो उभारों में खींचता है, एक चंद्रमा की ओर और एक दूसरी ओर। पृथ्वी पर सूर्य का क्षेत्र चंद्रमा का लगभग 180 गुना है, फिर भी उसका ज्वारीय प्रभाव चंद्रमा का लगभग आधा ही है, क्योंकि अंतर $1/ d^{3}$ के अनुसार घटता है और सूर्य लगभग 390 गुना दूर है।

अन्य ग्रह हर कक्षा को विचलित करते हैं; वे बुध के उपसौर को प्रति शताब्दी लगभग 530″ आगे बढ़ा देते हैं। पृथ्वी का भूमध्यरेखीय उभार उपग्रह-कक्षाओं के तलों को घुमा देता है, सूर्य के साथ कदम मिलाने के लिए चुनी गई लगभग-ध्रुवीय कक्षाओं के लिए लगभग 1° प्रतिदिन। तीन या अधिक पिंडों के लिए कोई सामान्य सूत्र नहीं है, और ग्रहीय सारणियाँ संख्यात्मक समाकलन से आती हैं।

वैधता की सीमाएँ

व्युत्क्रम-वर्ग नियम की पुष्टि एक मिलीमीटर के दसवें भाग से कम दूरी से लेकर ग्रहीय दूरियों तक हो चुकी है, और गुरुत्वीय तथा जड़त्वीय द्रव्यमान की समानता लगभग $1 0^{15}$ में एक भाग तक। न्यूटन का गुरुत्व सापेक्षता के व्यापक सिद्धांत की दुर्बल-क्षेत्र, धीमी-गति सीमा है। सुधारों का आकार शुद्ध संख्या $GM / (r c^{2})$ से तय होता है, जहाँ $c$ प्रकाश की चाल है: पृथ्वी की सतह पर लगभग $7 \times 1 0^{- 10}$ और सूर्य से 1 AU पर लगभग $1 \times 1 0^{- 8}$ ।

ये सुधार छोटे हैं, फिर भी मापे जाते हैं। बुध का उपसौर प्रति शताब्दी 43″ अतिरिक्त आगे बढ़ता है; ऐनिमेशन का ग्रह, $a = 1 AU$ और $e = 0.5$ के साथ, प्रति शताब्दी लगभग 5″ घूमेगा। 20 200 km ऊपर के नेविगेशन-उपग्रहों की घड़ियाँ वहाँ गुरुत्व कमज़ोर होने के कारण भूमि की घड़ियों से प्रतिदिन लगभग 46 माइक्रोसेकंड आगे रहती हैं; उनकी कक्षीय चाल लगभग 7 वापस ले लेती है, जिससे शुद्ध लाभ लगभग 38 रह जाता है। न्यूट्रॉन तारे के निकट, जहाँ $GM / (r c^{2}) \approx 0.2$ है, और कृष्ण विवर के क्षितिज पर, जहाँ यह 0.5 तक पहुँचता है, न्यूटन का नियम पूरी तरह विफल हो जाता है।

गुरुत्व अत्यंत दुर्बल भी है: दो इलेक्ट्रॉन विद्युत-बल से एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं, और यह बल उनके गुरुत्वीय आकर्षण से लगभग $4 \times 1 0^{42}$ गुना प्रबल होता है। गुरुत्व आकाश पर केवल इसलिए राज करता है क्योंकि द्रव्यमान का एक ही चिह्न है, इसलिए वह सदैव जुड़ता है, जबकि बड़े पिंडों के धनात्मक और ऋणात्मक आवेश एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। प्लांक लंबाई, लगभग $1.6 \times 1 0^{- 35} m$ , पर गुरुत्व और क्वांटम यांत्रिकी दोनों महत्वपूर्ण होंगे, और कोई परखा गया सिद्धांत उस क्षेत्र को नहीं ढकता।

आगे की दिशा

समान-क्षेत्रफल का नियम कोणीय संवेग संरक्षण है, जैसा “कोणीय संवेग और उसका संरक्षण” में मिलता है; और $U = - GM m / r$ , “कार्य, ऊर्जा और शक्ति” में $m g h$ का व्यापक रूप है। वही व्युत्क्रम-वर्ग नियम “कूलॉम का नियम” में आवेशों पर शासन करता है, उसका क्षेत्र-चित्र “विद्युत क्षेत्र और विभव” में आगे बढ़ता है, और “परमाणु मॉडल: बोर परमाणु” में इलेक्ट्रॉन क्वांटित कोणीय संवेग के साथ केप्लर-कक्षा में चलता है।

एकसमान पृथ्वी के भीतर $g \propto r$ है, एक प्रत्यानयन-खिंचाव जो केंद्र से दूरी के साथ बढ़ता है, और यही “सरल आवर्त गति” की शर्त है: केंद्र से होकर घर्षण-रहित सुरंग में चलने वाली रेलगाड़ी लगभग 42 मिनट में पार होगी, जो पृथ्वी की सतह को छूती कक्षा के 84 मिनट के आवर्तकाल का आधा है। अंत में, गुरुत्वीय और जड़त्वीय द्रव्यमान की समानता “वक्र दिक्-काल के रूप में गुरुत्व” का प्रारंभ-बिंदु है, जहाँ कक्षाएँ वक्र दिक्-काल में सबसे सीधे पथ बन जाती हैं।

मुख्य सूत्र

न्यूटन का सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियम

F = \frac{G m _{1} m _{2}}{r ^{2}}

द्रव्यमानों की हर जोड़ी एक-दूसरे को ऐसे बल से आकर्षित करती है जो हर द्रव्यमान के समानुपाती है और केंद्र-से-केंद्र दूरी के व्युत्क्रम-वर्ग के अनुसार घटता है। बल दोनों केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश होता है, और दोनों पिंड एक-दूसरे को बराबर बल से खींचते हैं (न्यूटन का तीसरा नियम), भले ही एक कहीं अधिक भारी हो। गोलीय पिंड ऐसे व्यवहार करते हैं मानो उनका सारा द्रव्यमान उनके केंद्रों पर हो।

चिह्न
$F$	प्रत्येक पिंड पर आकर्षी बल का परिमाण	$N$
$G$	गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक	$N \cdot m^{2} /k g^{2}$
$m_{1}$	पहले पिंड का द्रव्यमान	$kg$
$m_{2}$	दूसरे पिंड का द्रव्यमान	$kg$
$r$	केंद्रों के बीच की दूरी	$m$

कब लागू होता है: बिंदु-द्रव्यमानों और एक-दूसरे के बाहर स्थित गोलीय पिंडों के लिए सटीक; अन्य आकारों के लिए छोटे भागों के खिंचावों को जोड़ना होगा। यह केवल अत्यधिक प्रबल क्षेत्रों या प्रकाश-चाल के निकट वेगों पर विफल होता है, जहाँ सापेक्षता का व्यापक सिद्धांत काम सँभालता है।

उदाहरण: 70 kg के दो व्यक्ति, 1 m दूर: $F = 6.674 \times 1 0^{- 11} \cdot 70 \cdot 70/ 1^{2} \approx 3.3 \times 1 0^{- 7} N$ ।

गुरुत्वीय क्षेत्र-तीव्रता

g = \frac{GM}{r ^{2}}

एक छोटे द्रव्यमान पर लगने वाले बल को उस द्रव्यमान से भाग देने पर मिलता है: द्रव्यमान $M$ द्वारा उत्पन्न प्रति किलोग्राम खिंचाव। चूँकि छोटा द्रव्यमान कट जाता है, $g$ मुक्त-पतन त्वरण भी है, जो उस स्थान पर सभी पिंडों के लिए समान है। यह केंद्र से दूरी के व्युत्क्रम-वर्ग के अनुसार घटता है।

चिह्न
$g$	गुरुत्वीय क्षेत्र-तीव्रता (मुक्त-पतन त्वरण)	$N/kg$
$G$	गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक	$N \cdot m^{2} /k g^{2}$
$M$	आकर्षित करने वाले पिंड का द्रव्यमान	$kg$
$r$	उसके केंद्र से दूरी	$m$

कब लागू होता है: गोलीय पिंड के बाहर, जहाँ $r$ उसके केंद्र से मापा जाता है। एक समान गोले के भीतर $g$ इसके बजाय $r$ के समानुपाती बढ़ता है, केंद्र पर शून्य से; विषुवत रेखा पर पृथ्वी का घूर्णन मापे गए मान को लगभग 0.3 % घटा देता है।

उदाहरण: पृथ्वी की सतह पर $g = 3.986 \times 1 0^{14} / (6.371 \times 1 0^{6})^{2} \approx 9.8 N/kg$ ; $r = 2 R$ पर लगभग 2.45 N/kg।

वृत्ताकार कक्षा में चाल

v = \frac{GM}{r} (circular orbit)

गुरुत्व ठीक वही अभिकेंद्र बल देता है जो एक वृत्त को चाहिए, $GM m / r^{2} = m v^{2} / r$ , और यह हर त्रिज्या पर चाल तय करता है। कक्षा में घूमने वाले पिंड का द्रव्यमान कट जाता है, इसलिए एक ही ऊँचाई पर सभी उपग्रह एक ही चाल से चलते हैं। ऊँची कक्षाएँ धीमी होती हैं: $v \propto 1/ r$ ।

चिह्न
$v$	कक्षीय चाल	$m/s$
$G$	गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक	$N \cdot m^{2} /k g^{2}$
$M$	केंद्रीय पिंड का द्रव्यमान	$kg$
$r$	कक्षा की त्रिज्या, केंद्रीय पिंड के केंद्र से मापी गई	$m$

कब लागू होता है: केवल किसी बहुत भारी पिंड के चारों ओर वृत्ताकार कक्षा के लिए; दीर्घवृत्त पर चाल बदलती है और तब वीस-विवा संबंध लागू होता है।

उदाहरण: अंतरिक्ष स्टेशन, $r = 6771 km$ : $v = 3.986 \times 1 0^{14} / (6.771 \times 1 0^{6}) \approx 7.67 km/s$ ।

केप्लर का तीसरा नियम

T^{2} = \frac{4 π ^{2} a ^{3}}{GM}

आवर्तकाल का वर्ग अर्ध-दीर्घ अक्ष के घन के समानुपाती बढ़ता है, और एक ही द्रव्यमान की परिक्रमा करने वाले सभी पिंडों के लिए स्थिरांक समान होता है। वृत्त के लिए यह $T = 2 π r / v$ और $v = GM / r$ से निकलता है; दीर्घवृत्त के लिए स्थिर क्षेत्र-चाल से। उत्केंद्रता इसमें नहीं आती: समान $a$ वाला वृत्त और खिंचा हुआ दीर्घवृत्त एक ही समय लेते हैं।

चिह्न
$T$	कक्षीय आवर्तकाल	$s$
$a$	अर्ध-दीर्घ अक्ष (वृत्त के लिए त्रिज्या)	$m$
$G$	गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक	$N \cdot m^{2} /k g^{2}$
$M$	केंद्रीय पिंड का द्रव्यमान	$kg$

कब लागू होता है: दो पिंडों के लिए, जहाँ $m ≪ M$ ; अन्यथा $M$ की जगह $M + m$ रखिए। अन्य पिंडों के खिंचाव छोटे विचलन पैदा करते हैं।

उदाहरण: एक सौर द्रव्यमान के चारों ओर $a = 1 AU$ वाला एनिमेशन का ग्रह 1 वर्ष लेता है; हैली धूमकेतु, $a = 17.8 AU$ , लगभग 75 वर्ष।

वीस-विवा संबंध (कक्षा में किसी भी स्थान पर चाल)

v^{2} = GM (\frac{2}{r} - \frac{1}{a})

कक्षा के लिए लिखा ऊर्जा-संरक्षण: प्रति किलोग्राम कुल ऊर्जा $\frac{1}{2} v^{2} - GM / r$ दीर्घवृत्त पर हर जगह $- GM / (2 a)$ के बराबर है। अतः किसी भी बिंदु की चाल केवल केंद्रीय पिंड से दूरी और कक्षा के आकार पर निर्भर करती है। वृत्त के लिए $r = a$ और $v^{2} = GM / r$ ; $a \to \infty$ लेने पर पलायन-चाल $v^{2} = 2 GM / r$ मिलती है।

चिह्न
$v$	दूरी $r$ पर चाल	$m/s$
$G$	गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक	$N \cdot m^{2} /k g^{2}$
$M$	केंद्रीय पिंड का द्रव्यमान	$kg$
$r$	केंद्रीय पिंड के केंद्र से वर्तमान दूरी	$m$
$a$	कक्षा का अर्ध-दीर्घ अक्ष	$m$

कब लागू होता है: $m ≪ M$ वाले दो पिंडों की किसी भी कक्षा के लिए, बिना किसी अन्य बल के; अतिपरवलय के लिए $a$ को ऋणात्मक लिया जाता है।

उदाहरण: एनिमेशन का ग्रह ( $a = 1 AU$ ): 0.5 AU पर $v = 29.8 3 \approx 51.6 km/s$ ; 1.5 AU पर 17.2 km/s।

गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा

U = - \frac{GM m}{r}

एक जोड़ी द्रव्यमानों में संचित ऊर्जा, जिसे उनके अनंत दूरी पर होने पर शून्य चुना जाता है। गुरुत्व उन्हें एक-दूसरे की ओर खींचता है, इसलिए उन्हें अलग करने में कार्य लगता है और $U$ शून्य की ओर बढ़ता है: हर परिमित दूरी पर यह ऋणात्मक है। जिस पिंड की कुल ऊर्जा $\frac{1}{2} m v^{2} + U$ ऋणात्मक हो, वह आबद्ध है।

चिह्न
$U$	पिंड-युग्म की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा	$J$
$G$	गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक	$N \cdot m^{2} /k g^{2}$
$M$	केंद्रीय पिंड का द्रव्यमान	$kg$
$m$	छोटे पिंड का द्रव्यमान	$kg$
$r$	केंद्रों के बीच की दूरी	$m$

कब लागू होता है: गोलीय पिंडों के बाहर। केवल $U$ के अंतर मायने रखते हैं: सतह के निकट, ऊँचाई $h ≪ R$ के लिए परिवर्तन $m g h$ है।

उदाहरण: पृथ्वी की सतह पर 1 kg का द्रव्यमान: $U = - (3.986 \times 1 0^{14}) / (6.371 \times 1 0^{6}) \approx - 6.26 \times 1 0^{7} J$ ; 11.2 km/s की पलायन-चाल पर प्रक्षेपित करने से यही 62.6 MJ मिलते हैं।

केप्लर का दूसरा नियम (बराबर समय में बराबर क्षेत्रफल)

\frac{d A}{d t} = \frac{L}{2 m} = const

बहुत छोटे समय में तारे से ग्रह तक की रेखा $\frac{1}{2} r^{2} d θ$ क्षेत्रफल का एक पतला त्रिभुज बुहारती है, और $m r^{2} \dot{θ}$ ही कोणीय संवेग $L$ है। गुरुत्व तारे की ओर इंगित करता है, इसलिए उस पर उसका बल-आघूर्ण शून्य होता है और $L$ स्थिर रहता है: बराबर समय में बराबर क्षेत्रफल। अतः ग्रह को जहाँ $r$ छोटा हो वहाँ तेज़ और जहाँ बड़ा हो वहाँ धीमे चलना होगा।

चिह्न
$A$	तारे से ग्रह तक की रेखा द्वारा बुहारा गया क्षेत्रफल	$m^{2}$
$t$	समय	$s$
$L$	तारे के सापेक्ष ग्रह का कोणीय संवेग	$kg \cdot m^{2} /s$
$m$	ग्रह का द्रव्यमान	$kg$

कब लागू होता है: किसी भी केंद्रीय बल के लिए, चाहे उसकी दूरी पर निर्भरता कुछ भी हो। यदि बल-आघूर्ण लगे, जैसे अवमंदन या रॉकेट इंजन से, तो यह विफल होता है।

उदाहरण: एनिमेशन में दीर्घ अक्ष के दोनों सिरों पर $r v$ समान है: $0.5 \cdot 51.6 = 1.5 \cdot 17.2 \approx 25.8 AU \cdot km/s$ ।

शब्दावली

सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण: हर जोड़ी द्रव्यमानों के बीच का आकर्षण, $F = G m_{1} m_{2} / r^{2}$ : सेब, चंद्रमा और आकाशगंगाओं के लिए एक ही नियम। यह सदैव आकर्षी होता है और दोनों केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है।
व्युत्क्रम-वर्ग नियम: ऐसा नियम जिसमें कोई प्रभाव $1/ r^{2}$ के अनुसार घटता है: दोगुनी दूरी पर एक-चौथाई, दस गुना दूरी पर सौवाँ भाग। गुरुत्व और बिंदु-आवेशों के बीच का विद्युत बल, दोनों इसका पालन करते हैं।
गुरुत्वीय क्षेत्र: किसी द्रव्यमान द्वारा अपने चारों ओर उत्पन्न प्रति किलोग्राम खिंचाव, $g = GM / r^{2}$ , जो उस द्रव्यमान की ओर इंगित करता है। यह उस बिंदु पर मुक्त-पतन त्वरण के बराबर है।
कोश-प्रमेय: एक समान गोलीय कोश बाहर के द्रव्यमान को ऐसे आकर्षित करता है मानो उसका सारा द्रव्यमान केंद्र पर हो, और भीतर के द्रव्यमान पर कोई शुद्ध बल नहीं लगाता। इसी कारण दूरियाँ ग्रह के केंद्र से मापी जाती हैं।
कक्षा: गुरुत्व के अंतर्गत एक पिंड का दूसरे के चारों ओर चलने का मार्ग, जैसे ग्रह का तारे के चारों ओर या उपग्रह का पृथ्वी के चारों ओर। यह एक अंतहीन मुक्त-पतन है, जिसमें पार्श्व गति पिंड को केंद्रीय द्रव्यमान से आगे ले जाती रहती है।
भारहीनता: जब आप और आपके आसपास की चीज़ें मुक्त रूप से साथ-साथ गिरते हैं, तब वज़न न होने का अहसास, जिसमें आप पर कुछ भी दबाव नहीं डालता। गुरुत्व लुप्त नहीं हुआ: अंतरिक्ष स्टेशन पर वह अब भी लगभग 8.7 m/s² है।
दीर्घवृत्त: एक बंद अंडाकार वक्र: वे बिंदु जिनकी दो निश्चित बिंदुओं (नाभियों) से दूरियों का योग एक ही लंबाई $2 a$ हो। इसकी उत्केंद्रता $e$ , जो वृत्त के लिए 0 से लगभग 1 तक होती है, बताती है कि यह कितना खिंचा है।
उपसौर और अपसौर: कक्षा का निकटतम बिंदु, $a (1 - e)$ पर, और सबसे दूर का बिंदु, $a (1 + e)$ पर, सूर्य या किसी अन्य तारे के चारों ओर की कक्षा के लिए (पृथ्वी के चारों ओर के लिए भू-उपभू और भू-अपभू)। ग्रह उपसौर पर सबसे तेज़ और अपसौर पर सबसे धीमा होता है।
केप्लर के नियम: ग्रहीय कक्षाओं के तीन नियम: सूर्य को एक नाभि पर रखने वाले दीर्घवृत्त; बराबर समय में बराबर क्षेत्रफल; $T^{2} \propto a^{3}$ । न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण नियम तीनों को समझाता है।
केंद्रीय बल: ऐसा बल जो सदैव एक निश्चित केंद्र की ओर या उससे दूर इंगित करता है, जैसे गुरुत्व तारे की ओर। उस केंद्र पर इसका बल-आघूर्ण नहीं होता, इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है और बराबर समय में बराबर क्षेत्रफल बुहारा जाता है।
पलायन-चाल: सबसे छोटी प्रक्षेपण-चाल जिससे कोई पिंड स्थायी रूप से निकल जाए, अनंत तक पहुँचे और उसकी कुल ऊर्जा शून्य हो: $2 GM / r$ , जो उसी दूरी पर वृत्ताकार चाल का $2$ गुना है। पृथ्वी की सतह से यह लगभग 11.2 km/s है।
तुल्यता सिद्धांत: गुरुत्वीय और जड़त्वीय द्रव्यमान की समानता, जिससे सभी पिंड अपने द्रव्यमान या पदार्थ से स्वतंत्र एक ही त्वरण से गिरते हैं। यह लगभग दस लाख अरब में एक भाग तक परखा गया है और सापेक्षता के व्यापक सिद्धांत का आरंभ-बिंदु है।

राशियाँ
$F$	गुरुत्वीय बल	$N$	दो द्रव्यमानों के बीच परस्पर आकर्षण का परिमाण; हर पिंड पर बल समान होता है, पर दिशाएँ विपरीत।
$G$	गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक	$N \cdot m^{2} /k g^{2}$	एक सार्वत्रिक स्थिरांक, $6.674 \times 1 0^{- 11} N \cdot m^{2} /k g^{2}$ : 1 m दूरी पर स्थित दो 1 kg द्रव्यमानों के बीच का बल, न्यूटन में। यह सबसे कम यथार्थता से ज्ञात मूल स्थिरांक है।
$M$	केंद्रीय पिंड का द्रव्यमान	$kg$	कक्षा के केंद्र पर स्थित ग्रह या तारे का द्रव्यमान। कक्षाएँ केवल गुणनफल $GM$ प्रकट करती हैं, जो स्वयं $M$ से कहीं अधिक यथार्थता से ज्ञात है। घूमने वाले पिंड का अपना द्रव्यमान $m$ लिखा जाता है ( $m_{1}$ और $m_{2}$ सामान्य नियम में); वह गति में ही कट जाता है।
$r$	केंद्रों के बीच की दूरी	$m$	केंद्र से केंद्र तक मापी जाती है, सतह से कभी नहीं: अंतरिक्ष स्टेशन के लिए $r = 6771 km$ , 400 km नहीं।
$g$	गुरुत्वीय क्षेत्र-तीव्रता	$N/kg$	प्रति किलोग्राम बल, $GM / r^{2}$ , जो मुक्त-पतन त्वरण भी है ( $1 N/kg = 1 m/ s^{2}$ ): पृथ्वी की सतह पर 9.8 N/kg।
$v$	कक्षीय चाल	$m/s$	कक्षा के साथ चाल: वृत्त पर $GM / r$ , अंतरिक्ष स्टेशन के लिए 7.67 km/s। दीर्घवृत्त पर यह बदलती है और निकटतम बिंदु पर सबसे अधिक होती है।
$T$	कक्षीय आवर्तकाल	$s$	एक पूरी परिक्रमा का समय: अंतरिक्ष स्टेशन के लिए 92 मिनट, और पृथ्वी तथा एनिमेशन के ग्रह के लिए एक वर्ष।
$a$	अर्ध-दीर्घ अक्ष	$m$	दीर्घवृत्त के सबसे लंबे व्यास का आधा, यानी निकटतम और दूरतम दूरियों का औसत; प्रायः खगोलीय इकाइयों में, $1 AU = 1.496 \times 1 0^{11} m$ । अकेले यही आवर्तकाल और ऊर्जा तय करता है।
$U$	गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा	$J$	पिंड-युग्म की ऊर्जा, $- GM m / r$ : अनंत अलगाव पर शून्य और पास होने पर ऋणात्मक। दूरी के साथ इसका बढ़ना उन्हें अलग करने में लगने वाला कार्य है।
$L$	कोणीय संवेग	$kg \cdot m^{2} /s$	संवेग का कक्षीय समकक्ष, $m r^{2} \dot{θ}$ । गुरुत्व तारे पर कोई बल-आघूर्ण नहीं डालता, इसलिए $L$ स्थिर रहता है: केप्लर का दूसरा नियम।

क्विज़

शुरुआती दो क्षुद्रग्रहों के बीच की दूरी दोगुनी हो जाती है। उनके बीच के गुरुत्वीय खिंचाव का क्या होता है?
1. आधा हो जाता है
2. एक-चौथाई रह जाता है
3. वही रहता है
4. दोगुना हो जाता है
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उत्तर: B. एक-चौथाई रह जाता है
दोगुनी दूरी पर खिंचाव ½ × ½ = ¼ रह जाता है: वह एक-चौथाई हो जाता है, केवल आधा नहीं। गुरुत्व दूरी के बढ़ने से भी तेज़ी से घटता है।
शुरुआती चंद्रमा पृथ्वी से क्यों नहीं टकराता?
1. इतनी दूरी पर गुरुत्व नहीं होता
2. सूर्य उसे उतने ही बल से खींच लेता है
3. उसकी पार्श्व चाल इतनी है कि वह गिरते हुए भी पृथ्वी के चारों ओर घूमता रहता है
4. वह इतना हल्का है कि आकर्षित नहीं होता
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उत्तर: C. उसकी पार्श्व चाल इतनी है कि वह गिरते हुए भी पृथ्वी के चारों ओर घूमता रहता है
गुरुत्व चंद्रमा पर सचमुच लगता है; वह उसके मार्ग को मोड़ता है। चंद्रमा की पार्श्व चाल के कारण, उसके गिरते समय पृथ्वी की सतह भी उसके नीचे से दूर मुड़ती जाती है।
शुरुआती ग्रह अपनी दीर्घवृत्तीय कक्षा में कहाँ सबसे तेज़ चलता है?
1. तारे के सबसे निकट
2. तारे से सबसे दूर
3. हर जगह एक ही चाल
4. निकटतम और दूरतम बिंदुओं के ठीक बीच में
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उत्तर: A. तारे के सबसे निकट
जब ग्रह अंदर गिरता है, तो गुरुत्व उसे तेज़ करता है; इसलिए वह निकटतम बिंदु (उपसौर) पर सबसे तेज़ और दूरतम बिंदु (अपसौर) पर सबसे धीमा होता है।
मध्यम पृथ्वी की सतह से एक पृथ्वी-त्रिज्या जितनी ऊँचाई पर गुरुत्वीय क्षेत्र-तीव्रता कितनी है?
1. 9.8 m/s²
2. 4.9 m/s²
3. 2.45 m/s²
4. 0 m/s²
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उत्तर: C. 2.45 m/s²
पृथ्वी के केंद्र से दूरी दोगुनी होती है, इसलिए g = G·M / r² एक-चौथाई हो जाता है: 9.8 ÷ 4 ≈ 2.45 m/s²। 4.9 m/s² गलती से मान लेता कि g ∝ 1/r।
मध्यम एक उपग्रह को निम्न वृत्ताकार कक्षा से ऊँची वृत्ताकार कक्षा में ले जाया जाता है। उसकी कक्षीय चाल…
1. बढ़ती है
2. वही रहती है
3. शून्य हो जाती है
4. घटती है
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उत्तर: D. घटती है
G·M·m / r² = m·v² / r से v = √(G·M / r): त्रिज्या बड़ी हो तो चाल कम होती है, यद्यपि ऊँची कक्षा तक पहुँचने में ऊर्जा लगी थी।
मध्यम 400 km ऊँचाई पर स्थित अंतरिक्ष स्टेशन पर अंतरिक्ष यात्री अंदर इसलिए तैरते हैं क्योंकि…
1. 400 km पर गुरुत्व नहीं है
2. वहाँ गुरुत्व सतही मान का केवल लगभग 1 % है
3. वे और स्टेशन मुक्त पतन में साथ-साथ हैं
4. पृथ्वी का घूर्णन गुरुत्व को निरस्त कर देता है
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उत्तर: C. वे और स्टेशन मुक्त पतन में साथ-साथ हैं
400 km पर g अब भी लगभग 8.7 m/s² है। स्टेशन और उसमें मौजूद सभी लोग एक ही त्वरण से पृथ्वी के चारों ओर गिरते हैं, इसलिए कुछ भी उन्हें फ़र्श पर नहीं दबाता।
उन्नत केप्लर का दूसरा नियम, बराबर समय में बराबर क्षेत्रफल, सीधे किसका परिणाम है?
1. ऊर्जा-संरक्षण
2. कोणीय संवेग-संरक्षण, क्योंकि गुरुत्व केंद्रीय बल है
3. केवल बल के 1/r² रूप का
4. रेखीय संवेग-संरक्षण
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उत्तर: B. कोणीय संवेग-संरक्षण, क्योंकि गुरुत्व केंद्रीय बल है
dA/dt = L / (2m)। केंद्रीय बल का तारे के सापेक्ष बल-आघूर्ण शून्य होता है, इसलिए L और अतः क्षेत्र-चाल स्थिर रहती है, चाहे बल का नियम कुछ भी हो।
उन्नत एक धूमकेतु सूर्य की परिक्रमा करता है। उसका निकटतम बिंदु सूर्य से 0.5 AU पर है और दूरतम बिंदु 7.5 AU पर। उसका आवर्तकाल कितना है?
1. लगभग 20.5 वर्ष
2. 64 वर्ष
3. लगभग 0.35 वर्ष
4. 8 वर्ष
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उत्तर: D. 8 वर्ष
केप्लर का तीसरा नियम अर्ध-दीर्घ अक्ष लेता है, जो दीर्घवृत्त के सबसे लंबे व्यास का आधा है: a = (0.5 + 7.5) / 2 = 4 AU, इसलिए T = a^1.5 = 4^1.5 = 8 वर्ष (T वर्षों में, a AU में, सूर्य के चारों ओर)। दूरतम दूरी लेने पर 7.5^1.5 ≈ 20.5 वर्ष आता, और निकटतम पर 0.5^1.5 ≈ 0.35 वर्ष; 64 तो a³ है, वर्गमूल के बिना।

$M$	तारा, जिसका द्रव्यमान $M$ है।	$kg$
$r$	तारे से ग्रह तक की दूरी।	$m$
$F$	तारे का ग्रह पर खिंचाव, त्रिज्या के अनुदिश $M$ की ओर।	$N$
$v d t$	छोटे समय $d t$ में ग्रह का चरण: वेग गुणा समय।	$m$
$d r$	चरण का त्रिज्या के अनुदिश भाग: यानी $r$ में परिवर्तन।	$m$
$r d θ$	चरण का त्रिज्या के आर-पार भाग: त्रिज्या $r$ का एक चाप।	$m$
$d θ$	चरण के दौरान त्रिज्या-सदिश द्वारा घूमा गया कोण।	$rad$
$d A$	चरण के दौरान त्रिज्या-सदिश द्वारा बुहारे गए पतले त्रिभुज का क्षेत्रफल।	$m^{2}$

$U_{e ff}$	त्रिज्य गति की प्रभावी स्थितिज ऊर्जा: $L^{2} / (2 m r^{2}) - GM m / r$ ।	$J$
$E$	कुल ऊर्जा: कक्षा के साथ स्थिर, आबद्ध कक्षा में ऋणात्मक; क्षैतिज स्तर के रूप में दर्शाई गई।	$J$
$r$	तारे से दूरी।	$m$
$r_{m i n}$	उपसौर दूरी $a (1 - e)$ : आंतरिक मोड़-बिंदु, जहाँ $\overset{r}{˙} = 0$ ।	$m$
$r_{m a x}$	अपसौर दूरी $a (1 + e)$ : बाहरी मोड़-बिंदु, जहाँ $\overset{r}{˙} = 0$ ।	$m$
$K_{r}$	त्रिज्य गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} m \overset{r}{˙}^{2}$ : $E$ और $U_{e ff}$ के बीच का अंतर।	$J$
$\frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}}$	अपकेंद्री पद: दूरी $r$ पर पार्श्व गति की गतिज ऊर्जा।	$J$
$U$	गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा, $- GM m / r$ ।	$J$

$O$	दीर्घवृत्त और बिंदुकित वृत्त का केंद्र।
$M$	तारा, जो दीर्घवृत्त की एक नाभि पर है; उसका द्रव्यमान $M$ है।	$kg$
$a$	अर्ध-दीर्घ अक्ष: केंद्र से दीर्घ अक्ष के सिरे तक; बिंदुकित वृत्त की त्रिज्या भी।	$m$
$b$	अर्ध-लघु अक्ष: केंद्र से लघु अक्ष के सिरे तक।	$m$
$a e$	केंद्र से तारे की दूरी: उत्केंद्रता $e$ गुणा $a$ ।	$m$
$r$	तारे से ग्रह तक की दूरी।	$m$
$ψ$	उत्केंद्र कोण: $O$ पर, अक्ष से (उपसौर की ओर) ग्रह के ठीक ऊपर के वृत्त-बिंदु तक का कोण।	$rad$

$M$	तारा, जो दोनों वृत्तों के केंद्र पर है; उसका द्रव्यमान $M$ है।	$kg$
$r_{1}$	आंतरिक वृत्ताकार कक्षा की त्रिज्या, जहाँ से यान शुरू करता है।	$m$
$r_{2}$	बाहरी वृत्ताकार कक्षा की त्रिज्या, गंतव्य।	$m$
$Δ v_{1}$	पहला अग्र-प्रज्वलन, आंतरिक वृत्त पर: वृत्ताकार चाल से दीर्घवृत्त की उपसौर-चाल तक।	$m/s$
$Δ v_{2}$	दूसरा अग्र-प्रज्वलन, अपसौर पर, दीर्घवृत्त के दूरस्थ सिरे पर: अपसौर-चाल से वृत्ताकार चाल तक।	$m/s$