सरल मशीनें: उत्तोलक, घिरनी और गियर

शुरुआती

एक व्यक्ति जैक से कार कैसे उठा सकता है, या क्लॉ हैमर से कील कैसे निकाल सकता है? सरल मशीनों से: उत्तोलक, घिरनी, नत तल, पहिया और धुरी, पेच और गियर।

चरण 1. मशीन आवश्यक बल बदल देती है। सब्बल में आपका हाथ लंबे सिरे पर हल्का धक्का देता है, जबकि छोटा सिरा भारी पत्थर को उठा देता है।

चरण 2. कुछ भी मुफ़्त नहीं मिलता। भौतिकी में कार्य को बल × दूरी से मापा जाता है, और कोई मशीन आपके लगाए कार्य से अधिक कार्य नहीं दे सकती। इसलिए यदि वह बल घटाती है, तो दूरी बढ़ा देती है: एक-चौथाई बल से धक्का दें तो चार गुना दूरी तक धक्का देना होगा।

चरण 3. घिरनियाँ इसे सबसे अच्छी तरह दिखाती हैं। एनीमेशन में एक रस्सी, ऊपर के स्थिर ब्लॉक और पेटी वाले निचले ब्लॉक के बीच ऊपर-नीचे चलती है। 1 से 4 तक क्रमांकित चार खंड निचले ब्लॉक को थामते हैं, इसलिए वे पेटी का भार बाँटते हैं और आपका हाथ उसका केवल एक-चौथाई खींचता है: छोटी लाल “आपका बल” पट्टी की तुलना बैंगनी भार-पट्टी से करें। पर पेटी को 1 m उठाने के लिए हर खंड को 1 m छोटा होना पड़ता है, इसलिए आपके हाथ से 4 m रस्सी गुज़रती है: सुनहरी पट्टी हरी पट्टी से चार गुना तेज़ बढ़ती है।

चरण 4. नत तल का सिद्धांत यही है: किसी डिब्बे को लंबे, मंद ढलान पर ऊपर धकेलने में सीधे उठाने की तुलना में कम बल लगता है, पर पथ लंबा होता है।

स्वयं जाँचें: 4 m लंबा एक चिकना नत तल 1 m ऊँचा है। 400 N की पेटी को उस पर चढ़ाने के लिए कितना धक्का चाहिए? (100 N: दूरी चार गुना, बल एक-चौथाई।)

वास्तविक मशीनें इस आदर्श से थोड़ी कमतर काम करती हैं: घिरनियों और बेयरिंगों में घर्षण आपके प्रयास का कुछ भाग ऊष्मा में बदल देता है, इसलिए आपको हमेशा थोड़ा अधिक खींचना पड़ता है।

मध्यम

मशीन क्या बदलती है और क्या नहीं बदल सकती

सरल मशीन आपका लगाया बल, यानी प्रयास बल $F_{\mathrm{in}}$, लेती है, जो दूरी $d_{\mathrm{in}}$ से गुज़रता है, और बल $F_{\mathrm{out}}$ से दूरी $d_{\mathrm{out}}$ तक भार पर कार्य करता है; स्थिर उठान में $F_{\mathrm{out}}$ भार का वज़न $mg$ है। इसका वर्णन दो शुद्ध संख्याएँ करती हैं: यांत्रिक लाभ, जो वास्तविक मशीन पर मापा जाता है, और आदर्श लाभ, जो केवल ज्यामिति से तय होता है।

• $\mathrm{MA}=\frac{F_{\mathrm{out}}}{F_{\mathrm{in}}}$
• $\mathrm{IMA}=\frac{d_{\mathrm{in}}}{d_{\mathrm{out}}}$

मशीन की अपनी ऊर्जा का स्रोत नहीं होता। घर्षण न हो तो दिया गया कार्य और प्राप्त कार्य बराबर होते हैं, $W_{\mathrm{in}}=W_{\mathrm{out}}$, अतः $F_{\mathrm{in}}{d}_{\mathrm{in}}=F_{\mathrm{out}}{d}_{\mathrm{out}}$ और $\mathrm{MA}=\mathrm{IMA}$: बल जितना गुणा होता है, दूरी उतनी ही घट जाती है। घर्षण के साथ आगत का कुछ भाग ऊष्मा $Q$ बन जाता है, इसलिए $W_{\mathrm{in}}=W_{\mathrm{out}}+Q$ और दक्षता
$\eta =\frac{W_{\mathrm{out}}}{W_{\mathrm{in}}}=\frac{\mathrm{MA}}{\mathrm{IMA}}$
1 से कम होती है। घर्षण बलों को बदलता है, दूरियों को नहीं, इसलिए कार्यों का अनुपात $\mathrm{MA}$ और $\mathrm{IMA}$ के अनुपात के बराबर है।

घिरनियाँ: सहारा देने वाले रस्सी-खंड गिनें

घिरनी एक खाँचेदार पहिया है, जो धुरी पर स्वतंत्र रूप से घूमता है, इसलिए रस्सी में तनाव $T$ दोनों ओर समान होता है। एक अकेली स्थिर घिरनी केवल खिंचाव की दिशा मोड़ती है, $\mathrm{MA}=1$ के साथ, हालाँकि अपने वज़न की सहायता से नीचे की ओर खींचना आसान होता है।

ब्लॉक और टैकल में एक रस्सी ऊपर के स्थिर ब्लॉक और भार उठाने वाले निचले ब्लॉक के बीच ऊपर-नीचे चलती है। यदि $n$ खंड चल ब्लॉक को थामें, तो वे भार बाँटते हैं, $nT=mg$, इसलिए मुक्त सिरे पर खिंचाव $F=T=mg/n$ है। ज्यामिति भी यही कहती है: जब निचला ब्लॉक $h$ ऊपर उठता है, तो हर खंड $h$ छोटा होता है, और अतिरिक्त रस्सी, $d=nh$, आपके हाथ से बाहर आती है। केवल चल ब्लॉक से जुड़े खंड गिनें। घर्षण खिंचाव को $1/\eta$ गुना बढ़ा देता है:
$\text{Block and tackle}:d=nh,F=\frac{mg}{n\eta }$

उदाहरण: एनीमेशन की उठाने वाली मशीन

40 kg की पेटी का भार $mg=40\cdot 9.81=392.4\mathrm{N}$ है, और प्रारंभिक दृश्य में क्रमांकित चार खंड निचले ब्लॉक को थामते हैं, इसलिए $n=4$ और इस स्तर की आदर्श मशीन में,
$T=F=\frac{mg}{n}=\frac{392.4}{4}=98.1\mathrm{N}$

रस्सी के खंडों पर हर नीला $T$ तीर इसी लंबाई का है, और हाथ पर लाल $F$ तीर भी। पेटी 0.25 m/s की गति से $h=1.00\mathrm{m}$ ऊपर उठती है, जबकि हाथ 1 m/s की गति से $d=4\cdot 1.00=4.00\mathrm{m}$ रस्सी खींचता है, मार्ग सुनहरी बिंदीदार रेखा के साथ। दोनों कार्य हैं
$W_{\mathrm{in}}=Fd=98.1\cdot 4.00=392.4\mathrm{J}$
$W_{\mathrm{out}}=mgh=392.4\cdot 1.00=392.4\mathrm{J}$

ये दोनों पाठ्यांकों के अंतिम मान हैं, जो साथ-साथ बढ़ते हैं। पैनल की ऊपरी पंक्ति $\mathrm{MA}=mg/F=d/h=4$ सब कुछ सार में कहती है: बल एक-चौथाई, दूरी चार गुनी, कार्य समान।

उपकरण पढ़ना: तीर, पट्टियाँ और छत

लाल खिंचाव-पट्टी बैंगनी भार-पट्टी की एक-चौथाई है, जबकि सुनहरी रस्सी-पट्टी हरी ऊँचाई-पट्टी से चार गुना तेज़ बढ़ती है। हर कार्य को एक आयत का क्षेत्रफल समझें, यानी बल गुणा दूरी: हाथ के लिए आयत चौड़ी और नीची, पेटी के लिए ऊँची और सँकरी, पर क्षेत्रफल बराबर।

तीर निचले ब्लॉक का मुक्त-पिंड आरेख बनाते हैं: चार $T$ तीर उसे ऊपर खींचते हैं और भार नीचे, इसलिए $4T=mg$। ऊपरी ब्लॉक को चारों खंड और मुक्त सिरा भी नीचे खींचते हैं, क्योंकि आप नीचे की ओर खींचते हैं: छत को $5T=490.5\mathrm{N}$ सहना होगा, जो $mg+F$ है, यानी पेटी के अपने भार से भी अधिक।

उत्तोलक, गियर और नत तल

उत्तोलक एक दृढ़ छड़ है जो एक स्थिर बिंदु, आलंब (fulcrum), के चारों ओर घूमती है। छोटे घूर्णन में हर बिंदु आलंब से अपनी दूरी के अनुपात में चलता है, इसलिए दोनों भुजाएँ $L_{\mathrm{in}}$ और $L_{\mathrm{out}}$, जो आलंब से मापी जाती हैं, $\mathrm{IMA}=L_{\mathrm{in}}/L_{\mathrm{out}}$ देती हैं, और बल-आघूर्ण संतुलित होते हैं:
$\text{Lever}:F_{\mathrm{in}}{L}_{\mathrm{in}}=F_{\mathrm{out}}{L}_{\mathrm{out}}$

बीच में जो रखा हो, वही वर्ग तय करता है: आलंब बीच में हो तो वर्ग 1 (सब्बल, कैंची); भार बीच में हो तो वर्ग 2 (ठेला, नटक्रैकर; सदैव $\mathrm{MA}>1$); प्रयास बीच में हो तो वर्ग 3 (चिमटी, आपकी बाँह; सदैव $\mathrm{MA}<1$, जो बल के बदले गति और पहुँच देता है)। पहिया और धुरी एक ऐसा उत्तोलक है जो लगातार घूमता रहता है: त्रिज्या $R$ की हत्थी त्रिज्या $r$ के ड्रम पर लगी हो तो उसका $\mathrm{IMA}=R/r$ होता है।

गियर दाँतेदार पहिए हैं जिनके सभी दाँत समान आकार के होते हैं, इसलिए दाँतों की संख्या $N$ त्रिज्या के समानुपाती होती है:
$\text{Gears}:\frac{{\tau }_{\mathrm{out}}}{{\tau }_{\mathrm{in}}}=\frac{{\omega }_{\mathrm{in}}}{{\omega }_{\mathrm{out}}}=\frac{N_{\mathrm{out}}}{N_{\mathrm{in}}}$
यहाँ $\tau$ बल-आघूर्ण है, N·m में, और $\omega$ घूर्णन की दर। विशेषज्ञ इनसेट में 8 दाँत का पिनियन 24 दाँत के गियर को चलाता है: गति एक-तिहाई, बल-आघूर्ण तीन गुना।

लंबाई $s$ और ऊँचाई $h$ वाले चिकने नत तल पर उसके अनुदिश केवल $mgh/s$ का धक्का चाहिए, इसलिए $\mathrm{IMA}=s/h$: 4 m लंबा और 1 m ऊँचा नत तल एनीमेशन की टैकल का ही दूसरा रूप है।

उदाहरण: गियर वाला हाथ-विंच

एक निर्माण-स्थल की विंच 150 kg की टाइलों का पैलेट उठाती है। इसका 0.25 m का हैंडल 10 दाँत के पिनियन को घुमाता है, जो त्रिज्या 0.050 m के ड्रम की धुरी पर लगे 40 दाँत के गियर को चलाता है। दक्षता 75 % है। आपको हैंडल पर कितना बल लगाना होगा?

हैंडल और ड्रम $0.25/0.050=5$ गुणक वाले पहिया-और-धुरी की तरह काम करते हैं, और गियर $40/10=4$ देते हैं। मशीनों की शृंखला में अनुपात आपस में गुणा होते हैं, इसलिए $\mathrm{IMA}=5\cdot 4=20$, और
$\mathrm{MA}=\eta \mathrm{IMA}=0.75\cdot 20=15$
$F_{\mathrm{in}}=\frac{mg}{\mathrm{MA}}=\frac{150\cdot 9.81}{15}=\frac{1471.5}{15}=98.1\mathrm{N}$

दूरी से जाँचें: ड्रम का एक चक्कर $2\pi \cdot 0.050=0.314\mathrm{m}$ रस्सी लपेटता है और इसके लिए हैंडल के चार चक्कर चाहिए, $4\cdot 2\pi \cdot 0.25=6.28\mathrm{m}$ हाथ की यात्रा, यानी बीस गुना दूरी। 1 m उठाने में $98.1\cdot 20=1962\mathrm{J}$ लगते हैं, जबकि निर्गत कार्य 1471.5 J है; शेष 490.5 J गियर और बेयरिंग गर्म करते हैं।

सामान्य गलतियाँ

• रस्सी की हर लंबाई गिन लेना। एनीमेशन की पाँचवीं खड़ी लंबाई ऊपरी ब्लॉक से आपके हाथ तक जाती है और कुछ नहीं थामती: $n=4$ है, और 5 से भाग देने पर 78.5 N आएगा।
• मानना कि मशीन कार्य बचाती है। वह बल बचाती है, कार्य कभी नहीं: विशेषज्ञ दृश्य की वास्तविक उठाने वाली मशीन 392.4 J देने के लिए 490.5 J लेती है।
• उत्तोलक की भुजाएँ भार से मापना। 1.5 m का सब्बल, जिसका आलंब उसके सिरे से 0.10 m पर है, उसकी भुजाएँ 1.40 m और 0.10 m हैं, इसलिए $\mathrm{MA}=14$, 15 नहीं।
• हानि को निर्गत के हिस्से के रूप में लेना। $\eta =0.80$ पर मशीन को $392.4/0.80=490.5\mathrm{J}$ चाहिए: ऊष्मा 98.1 J है, जो आगत का पाँचवाँ भाग है, न कि निर्गत का 20 %।
• $\mathrm{MA}\le 1$ वाली मशीन को बेकार कहना। स्थिर घिरनी खिंचाव की दिशा बदलती है, और चिमटी बल के बदले बारीक गति देती है।

यह आपको कहाँ मिलती है

साइकिल पर 48 दाँत की चेनरिंग 16 दाँत की स्प्रॉकेट चलाती है, इसलिए पैडल का हर चक्कर पहिये को तीन बार घुमाता है: गियर को उलटा इस्तेमाल करके गति पाई जाती है। आपकी बाँह वर्ग 3 का उत्तोलक है: बाइसेप्स कोहनी से लगभग 4 cm पर खींचती है और हाथ 35 cm दूर है, इसलिए 50 N का भार थामने के लिए लगभग 440 N पेशीय बल चाहिए।

“तरल दाब और पास्कल का नियम” पाठ का हाइड्रोलिक प्रेस एक ऐसी मशीन है जिसका लाभ पिस्टन-क्षेत्रफलों के अनुपात के बराबर है; “मोटर, जनित्र और ट्रांसफ़ॉर्मर” पाठ में ट्रांसफ़ॉर्मर वोल्टेज को धारा के बदले देते हैं, जैसे गियर बल-आघूर्ण को गति के बदले देते हैं; और दक्षता, कड़ी सीमा के साथ, “ऊष्मागतिकी का पहला नियम और ऊष्मा इंजन” पाठ में फिर आती है।

उन्नत

सभी आदर्श मशीनें एक ही नियम क्यों मानती हैं

उत्तोलक, घिरनी, गियर और नत तल देखने में बिल्कुल अलग लगते हैं, फिर भी वे सब बल को दूरी के बदले एक ही अनुपात में बदलते हैं। यह खंड दिखाता है कि ऐसा क्यों है, एक ऐसे तर्क से जिसमें कोई बल प्रयोग नहीं होता, केवल इस तथ्य से कि शाश्वत गति असंभव है।

किसी मशीन को उत्क्रमणीय कहें यदि घर्षण के बिना वह पीछे की ओर उतनी ही आसानी से चले जितनी आगे: वह एक दिशा में जो करती है, दूसरी दिशा में उसे पलट सकती है। अब दो उत्क्रमणीय मशीनें लें। हर एक को उसी 100 N के वज़न को 1 m नीचे उतारकर चलाया जाता है, और हर एक से वही भार उठाया जाता है। पहली उसे $x_1$ ऊपर उठाती है, दूसरी $x_2$, और मान लें कि $x_2>x_1$।

दूसरी मशीन को आगे चलाएँ: वज़न 1 m नीचे जाता है और भार $x_2$ ऊपर। फिर पहली मशीन को पीछे चलाएँ: वह भार को $x_1$ नीचे उतारती है और ऐसा करते हुए 100 N के वज़न को फिर 1 m ऊपर उठाती है। वज़न अपनी शुरुआती जगह पर है और दोनों मशीनें भी जैसी थीं वैसी हैं, फिर भी भार पहले से $x_2-x_1$ ऊँचा लटका है। इस चक्र को दोहराएँ तो बिना कुछ दिए आप भार को जितनी बार चाहें ऊपर उठा सकते हैं।

ऐसी शाश्वत गति कभी देखी नहीं गई, इसलिए हमारी धारणा गलत थी: $x_2\le x_1$। दोनों मशीनों की अदला-बदली करने पर भी तर्क उतना ही चलता है, जो $x_1\le x_2$ देता है। अतः $x_1=x_2$: सभी उत्क्रमणीय मशीनें दिए गए भार को समान ऊँचाई तक उठाती हैं।

इसलिए सभी मशीनों का नियम खोजने के लिए एक उत्क्रमणीय मशीन पर्याप्त है, और सबसे सरल संतुलित उत्तोलक है। उसे थोड़ा झुकाएँ, तो एक ओर नीचे उतरते वज़न और उसके नीचे उतरने की ऊँचाई का गुणनफल उतना ही होता है जितना दूसरी ओर ऊपर उठते वज़न और उसके ऊपर उठने की ऊँचाई का। बल और उसके अनुदिश तय की गई दूरी का गुणनफल ही कार्य $W$ है, इसलिए हर उत्क्रमणीय मशीन के लिए आगत कार्य निर्गत कार्य के बराबर होता है, $W_{\mathrm{in}}=W_{\mathrm{out}}$।

घर्षण वाली मशीन उत्क्रमणीय नहीं होती, और वही तर्क उसे भी सीमित करता है। यदि वह भार को उत्क्रमणीय मशीन से अधिक ऊँचा उठाए, तो उत्क्रमणीय मशीन को उल्टा चलाने पर फिर बिना कुछ दिए लाभ मिलेगा। अतः $W_{\mathrm{out}}\le W_{\mathrm{in}}$, और दक्षता $\eta =W_{\mathrm{out}}/W_{\mathrm{in}}$ अधिक-से-अधिक 1 हो सकती है। सादी कार्नो ने 1824 में यही तर्क देकर दिखाया कि दो समान तापमानों के बीच कार्य करने वाला कोई ऊष्मा इंजन उत्क्रमणीय इंजन से बेहतर नहीं हो सकता।

आभासी कार्य: ज्यामिति से लाभ

संकेत-सूची

$F_1$	लंबी भुजा के सिरे पर नीचे की ओर लगाया गया प्रयास: आगत बल।	$\mathrm{N}$
$F_2$	छोटी भुजा के सिरे पर नीचे दबाता भार: निर्गत बल।	$\mathrm{N}$
$L_1$	प्रयास भुजा की लंबाई, आलंब से प्रयास तक।	$\mathrm{m}$
$L_2$	भार भुजा की लंबाई, आलंब से भार तक।	$\mathrm{m}$
$\delta \theta$	वह अति-सूक्ष्म कोण जिससे उत्तोलक झुकाया गया (चित्र में बड़ा दिखाया गया)।	$\mathrm{rad}$
$\delta x_1$	प्रयास सिरे के नीचे जाने की दूरी: $L_1\delta \theta$।	$\mathrm{m}$
$\delta x_2$	भार सिरे के ऊपर जाने की दूरी: $L_2\delta \theta$।	$\mathrm{m}$

नियम $W_{\mathrm{in}}=W_{\mathrm{out}}$ मशीन के बलों के प्रश्न को उसकी ज्यामिति के प्रश्न में बदल देता है: हर सिरा कितनी दूर चलता है। चित्र 1 संतुलित उत्तोलक के लिए यही दिखाता है। प्रयास बल $F_1$ लंबी भुजा $L_1$ के सिरे को नीचे धकेलता है, और भार $F_2$ छोटी भुजा $L_2$ के सिरे को नीचे दबाता है; पादांक 1 और 2 का अर्थ “आगत” और “निर्गत” है।

अब कल्पना करें कि उत्तोलक को एक बहुत छोटे कोण $\delta \theta$ से झुकाया गया है, जो चित्र में दिखने लायक बड़ा बनाया गया है। आलंब से दूरी $L$ पर स्थित बिंदु लंबाई $L\delta \theta$ के चाप पर चलता है, और बहुत छोटे कोण के लिए वह चाप सीधे ऊपर या नीचे का एक छोटा कदम है। उत्तोलक के सिरों के दो तीरों को देखें: प्रयास सिरा $\delta x_1=L_1\delta \theta$ नीचे जाता है और भार का सिरा $\delta x_2=L_2\delta \theta$ ऊपर। उनका अनुपात $\delta x_1/\delta x_2=L_1/L_2$ चित्र में 2 है, और यह केवल भुजाओं की लंबाई पर निर्भर है।

अब कार्य-नियम लगाएँ। चूँकि उत्तोलक संतुलन में है, गति को हम जितना चाहें धीमा रख सकते हैं, इसलिए उसे गतिज ऊर्जा नहीं मिलती; और चूँकि वह उत्क्रमणीय है, कोई कार्य ऊष्मा में नहीं बदलता। अतः प्रयास द्वारा किया गया सारा कार्य भार उठाने में जाता है:
$F_{\mathrm{in}}\delta x_{\mathrm{in}}=F_{\mathrm{out}}\delta x_{\mathrm{out}}$

$\delta x$ आभासी विस्थापन हैं: ये कल्पित हैं, वास्तविक नहीं, और इतने छोटे कि उनके होते समय बल नहीं बदलते। केवल उनका अनुपात मायने रखता है, और उसे मशीन की बाधाएँ तय करती हैं, यहाँ वह कठोर छड़ जो अपने आलंब के चारों ओर घूमती है। उत्तोलक के लिए संतुलन है $F_1\delta x_1=F_2\delta x_2$। दोनों विस्थापन रखने पर $\delta \theta$ कट जाता है और परिचित बल-आघूर्ण संतुलन $F_1{L}_1=F_2{L}_2$ बचता है।

यही आभासी कार्य का सिद्धांत है, और यह बिना एक भी मुक्त-पिंड आरेख बनाए मशीन का लाभ दे देता है। कोई भी मशीन दो अनुपातों से वर्णित होती है: यांत्रिक लाभ $\mathrm{MA}=F_{\mathrm{out}}/F_{\mathrm{in}}$, जिस गुणक से वह बल बढ़ाती है, और आदर्श यांत्रिक लाभ $\mathrm{IMA}=\delta x_{\mathrm{in}}/\delta x_{\mathrm{out}}$, जो चली गई दूरियों का अनुपात है। आभासी कार्य कहता है कि उत्क्रमणीय मशीन के लिए दोनों बराबर होते हैं; उत्तोलक के लिए दोनों $L_1/L_2$ हैं। घर्षण के साथ, $\eta =W_{\mathrm{out}}/W_{\mathrm{in}}=\mathrm{MA}/\mathrm{IMA}$।

ब्लॉक और टैकल: निश्चित लंबाई की रस्सी

संकेत-सूची

$y$	ऊपरी से निचले ब्लॉक तक की दूरी: यानी हर सहारा देने वाले खंड की लंबाई।	$\mathrm{m}$
$\ell$	ऊपरी ब्लॉक से हाथ तक रस्सी की लंबाई।	$\mathrm{m}$
$n$	निचले ब्लॉक को थामने वाले खंड, यहाँ 4।
$\delta h$	भार जितनी ऊँचाई तक उठाया गया।	$\mathrm{m}$
$n\delta h$	हाथ जितनी दूरी नीचे आता है: $n$ गुना $\delta h$।	$\mathrm{m}$

ब्लॉक और टैकल, यानी एनीमेशन की उठाने वाली मशीन, अपनी ज्यामिति रस्सी में बनाए रखती है। रस्सी नहीं खिंचती, और यही एक तथ्य तय करता है कि हाथ को कितनी दूर खींचना होगा। चित्र 2 में निचला ब्लॉक, जो पेटी उठाता है, ऊपरी ब्लॉक से नीचे $y$ दूरी पर $n=4$ खंडों पर लटकता है, हर खंड की लंबाई $y$ है, और $\ell$ ऊपरी ब्लॉक से हाथ तक की रस्सी की लंबाई है।

$n$ खंडों की रस्सी की लंबाई और मुक्त सिरे को जोड़ें तो पूरी रस्सी मिलती है, इसलिए वह स्थिर रहती है:
$ny+\ell =\mathrm{const},\delta \ell =-n\delta y$

अब भार को $\delta h$ ऊपर उठाएँ, ताकि निचला ब्लॉक ऊपर आए और $\delta y=-\delta h$; बिंदीदार आयत दिखाते हैं कि पेटी और हाथ पहले कहाँ थे। अब $n$ में से हर खंड $\delta h$ छोटा हो गया है। वे जो रस्सी छोड़ते हैं, कुल $n\delta h$, मुक्त सिरे की ओर जाती है, $\delta \ell =n\delta h$, इसलिए हाथ $n\delta h$ नीचे आता है, जैसा दाईं ओर का लंबा तीर दिखाता है।

अब आभासी कार्य खिंचाव देता है। हाथ का बल $F$ $n\delta h$ दूरी पर लगता है, जबकि भार $mg$ $\delta h$ ऊपर उठता है, इसलिए $Fn\delta h=mg\delta h$ और $F=mg/n$: $\mathrm{IMA}$ $n$ है, यानी निचले ब्लॉक को थामने वाले खंडों की संख्या। दोनों दूरियों को लिए गए समय से भाग देने पर चालें मिलती हैं, $v_{\mathrm{in}}=n{v}_{\mathrm{out}}$: एनीमेशन में हाथ पर 1 m/s और पेटी पर 0.25 m/s।

गियर और ढलान एक ही नियम से

यही तर्क घूमने या फिसलने वाली मशीनों पर भी लागू होता है। आपस में जुड़े दो गियरों के दाँत एक-दूसरे को छूते हुए साथ चलते हैं, इसलिए उनकी परिधि की चाल एक समान होती है: ${\omega }_{\mathrm{in}}{r}_{\mathrm{in}}={\omega }_{\mathrm{out}}{r}_{\mathrm{out}}$, जहाँ $\omega$ कोणीय चाल है और $r$ त्रिज्या। दोनों गियरों पर दाँतों की दूरी समान है, इसलिए हर त्रिज्या अपने दाँतों की संख्या के समानुपाती है, और चालें दाँतों की संख्या के व्युत्क्रम अनुपात में हैं।

ढलान के लिए, लंबाई $s$ और ऊँचाई $h$ के चिकने नत तल पर द्रव्यमान $M$ का एक ब्लॉक लें, जो ऊपर की घिरनी पर रस्सी के द्वारा लटकते द्रव्यमान $M^{\prime }$ से बँधा है। जब $M^{\prime }$ $s$ नीचे गिरता है, तो वह ब्लॉक को ढलान की पूरी लंबाई पर खींचता है और इस तरह उसे $h$ ऊपर उठाता है। कार्य-संतुलन $M^{\prime }gs=Mgh$ कहता है कि जब $M^{\prime }s=Mh$ हो तब दोनों संतुलित होते हैं: 4 m लंबे और 1 m ऊँचे ढलान के लिए $M$ का एक-चौथाई पर्याप्त है। साइमन स्टीविन ने 1586 में दूसरे तरीके से ऐसे परिणाम पाए: त्रिभुजाकार ब्लॉक पर लटकी बंद जंजीर अपने-आप कभी नहीं घूमती, जो फिर से शाश्वत गति की असंभवता है।

घिरनी-दर-घिरनी हानियाँ

संकेत-सूची

$F$	रस्सी के मुक्त सिरे पर हाथ का खिंचाव।	$\mathrm{N}$
$T_4$	हाथ के पास वाले खंड का तनाव: ${\eta }_{s}F$।	$\mathrm{N}$
$T_3$	हाथ से दूसरे खंड का तनाव: ${\eta }_s^{2}F$।	$\mathrm{N}$
$T_2$	हाथ से तीसरे खंड का तनाव: ${\eta }_s^{3}F$।	$\mathrm{N}$
$T_1$	चौथे खंड (ऊपरी ब्लॉक से बँधा) का तनाव: ${\eta }_s^{4}F$।	$\mathrm{N}$
${\eta }_s$	एक घिरनी द्वारा आने वाले तनाव का आगे दिया गया अंश, घर्षण के कारण 1 से कम।
$mg$	भार, जिसे चारों खंड मिलकर थामते हैं।	$\mathrm{N}$

अब तक हर मशीन उत्क्रमणीय थी। वास्तविक घिरनियों की बेयरिंग में घर्षण होता है, और यह खंड हिसाब लगाता है कि उसकी कीमत कितनी है और वह कीमत कहाँ दिखती है। चित्र 3 एनीमेशन की टैकल की रस्सी को सीधा फैलाता है और सभी तनावों को एक ही पैमाने पर खींचता है: सबसे ऊपर हाथ का खिंचाव $F$, फिर चार खंड, हाथ के पास के $T_4$ से लेकर ऊपरी ब्लॉक से बँधे $T_1$ तक।

मॉडल सरल है। हर घिरनी, यानी खाँचेदार पहिया, अपने प्राप्त तनाव का केवल एक भाग ${\eta }_s$ आगे देती है, जो 1 से थोड़ा कम है, और खोया कार्य उसकी बेयरिंग को गर्म करता है। इसलिए चित्र का हर तीर अपने ऊपर वाले का ${\eta }_s$ गुना है, जैसा उनके बीच के ${\eta }_s$ लेबल दिखाते हैं।

हाथ से रस्सी के साथ पीछे की ओर चलें। पहले खंड से पहले वह एक घिरनी से गुज़रती है, इसलिए वह खंड $T_4={\eta }_{s}F$ वहन करता है। एक और घिरनी $T_3={\eta }_s^{2}F$ देती है, और इसी तरह ऊपरी ब्लॉक से बँधे खंड तक $T_1={\eta }_s^{n}F$। सभी खंड मिलकर भार थामते हैं, जिसे नीचे की पट्टी चार तीरों को सिरे से सिरा जोड़कर $mg$ के मुकाबले दिखाती है। उनका योग एक गुणोत्तर श्रेणी है:
$mg=F\left({\eta }_s+{\eta }_s^2+\dots +{\eta }_s^n\right)=F\frac{{\eta }_s(1-{\eta }_s^n)}{1-{\eta }_s}$

अब पूरी टैकल की दक्षता $\eta$ लाएँ। उसका $\mathrm{IMA}$ अब भी $n$ है, इसलिए $\mathrm{MA}=n\eta$ और $F=mg/(n\eta )$। इसे योग में रखें तो भार कट जाता है:
$n\eta =\frac{{\eta }_s(1-{\eta }_s^n)}{1-{\eta }_s}$

एनीमेशन में $\eta =0.80$ और $n=4$ के लिए ${\eta }_s+{\eta }_s^2+{\eta }_s^3+{\eta }_s^4=3.2$ चाहिए, इसलिए ${\eta }_s\approx 0.913$। 40 kg की पेटी का भार 392.4 N है, अतः खिंचाव $F=392.4/3.2=122.6\mathrm{N}$ है। खंड-तनाव $T_1$ से $T_4$ क्रमशः 85.1, 93.2, 102.2 और 111.9 N हैं, और उनका योग ठीक 392.4 N है: चित्र में नीले तीर हाथ की ओर लंबे होते जाते हैं, और लाल $F$ उन सबमें सबसे लंबा है। वास्तविक $\mathrm{MA}$ $n\eta =3.2$ है, जबकि $\mathrm{IMA}$ अब भी 4 है, क्योंकि घर्षण बलों को बदलता है, ज्यामिति को नहीं।

ऊर्जा-ग्राफ़ पढ़ना

संकेत-सूची

$t$	आरंभ से बीता समय।	$\mathrm{s}$
$W$	अब तक किया गया कार्य।	$\mathrm{J}$
$W_1$	आगत कार्य: हाथ का खिंचाव गुणा खींची गई रस्सी की लंबाई, यानी $Fd$।	$\mathrm{J}$
$W_2$	निर्गत कार्य: भार द्वारा प्राप्त स्थितिज ऊर्जा, यानी $mgh$।	$\mathrm{J}$
$Fd$	उठान के अंत में आगत कार्य।	$\mathrm{J}$
$mgh$	उठान के अंत में निर्गत कार्य।	$\mathrm{J}$
$t_1$	वह क्षण जब पेटी उठना शुरू करती है।	$\mathrm{s}$
$t_2$	वह क्षण जब पेटी उठना रुकती है।	$\mathrm{s}$
$\Delta t$	समय का एक छोटा अंतराल।	$\mathrm{s}$
$\Delta W_1$	$\Delta t$ में किया गया आगत कार्य।	$\mathrm{J}$
$\Delta W_2$	$\Delta t$ में किया गया निर्गत कार्य।	$\mathrm{J}$
$Q$	घिरनियों में घर्षण से बनी ऊष्मा: दोनों कार्यों का अंतिम अंतर।	$\mathrm{J}$

कार्य-संतुलन को घटित होते हुए भी देखा जा सकता है। चित्र 4 उठान के दौरान दोनों कार्यों को समय के साथ दर्शाता है; पादांक 1 और 2 यहाँ भी “आगत” और “निर्गत” के लिए हैं। आगत कार्य $W_1=W_{\mathrm{in}}(t)=Fd(t)$ है, जहाँ $d$ हाथ द्वारा खींची गई रस्सी की लंबाई है, और निर्गत कार्य $W_2=W_{\mathrm{out}}(t)=mgh(t)$ है, जहाँ $h$ पेटी के उठने की ऊँचाई है।

ग्राफ़ को बाएँ से दाएँ पढ़ें। $t_1=0.4$ s से पहले कुछ नहीं होता। उसके बाद पेटी स्थिर चाल से उठती है, इसलिए दोनों कार्य सीधी रेखाओं में बढ़ते हैं। $t_2=4.4$ s पर उठान समाप्त होता है: हाथ ने 4 m रस्सी खींची है और पेटी 1 m ऊपर है। रेखाएँ $Fd=490.5\mathrm{J}$ और $mgh=392.4\mathrm{J}$ पर समतल हो जाती हैं।

हर रेखा का ढाल एक शक्ति है, यानी कार्य करने की दर। दो छोटे त्रिभुजों को देखें: एक ही अंतराल $\Delta t$ में आगत रेखा $\Delta W_1$ ऊपर जाती है और निर्गत रेखा $\Delta W_2$। हाथ 1 m/s पर 122.6 N लगाता है, यानी आगत शक्ति 122.6 W, जबकि पेटी $392.4\cdot 0.25=98.1\mathrm{W}$ पर स्थितिज ऊर्जा प्राप्त करती है। ढालों का अनुपात हर क्षण 0.80 है, $\Delta W_2/\Delta W_1=\eta$, इसलिए दक्षता निर्गत शक्ति और आगत शक्ति का अनुपात भी है।

रेखाओं के बीच का छायांकित अंतर अब तक घर्षण में खोया कार्य है। वह $122.6-98.1=24.5\mathrm{W}$ पर चौड़ा होता है और $Q=490.5-392.4=98.1\mathrm{J}$ पर समाप्त होता है, यानी चित्र के दाईं ओर का कोष्ठक और एनीमेशन के ऊष्मा-पाठ्यांक का मान। $t_2$ के बाद दोनों रेखाएँ सपाट हो जाती हैं, क्योंकि रुकी हुई मशीन कोई कार्य नहीं करती, चाहे उसे कितने भी ज़ोर से पकड़ा जाए।

अधिक रस्सी-खंड, गियर-ट्रेन और स्व-अवरोधन

हानि-मॉडल तीन व्यावहारिक प्रश्नों के उत्तर देता है: क्या अधिक खंड हमेशा मदद करते हैं, गियर की शृंखला में हानियाँ कैसे जुड़ती हैं, और कुछ मशीनें अपना भार स्वयं क्यों थामती हैं।

अधिक खंड असीमित लाभ नहीं देते। $n$ बढ़ने पर ${\eta }_s^n\to 0$ होता है, इसलिए वास्तविक $\mathrm{MA}={\eta }_s(1-{\eta }_s^n)/(1-{\eta }_s)$ ${\eta }_s/(1-{\eta }_s)\approx 10.5$ पर स्थिर हो जाता है। 4 से 8 खंड करने पर वह केवल 3.2 से 5.4 होता है, जबकि $\eta$ 0.80 से गिरकर 0.68 हो जाता है। चित्र 3 कारण दिखाता है: हर अतिरिक्त खंड हाथ से और दूर है और उससे पहले वाले से कम तनाव वहन करता है।

आदर्श गियर शक्ति को अपरिवर्तित आगे देते हैं, ${\tau }_{\mathrm{in}}{\omega }_{\mathrm{in}}={\tau }_{\mathrm{out}}{\omega }_{\mathrm{out}}$, जहाँ $\tau$ बल-आघूर्ण है: जो गियर तीन गुना धीमा घूमता है, उसका बल-आघूर्ण तीन गुना होता है। एनीमेशन के इनसेट में 8 दाँत का पिनियन 24 दाँत के गियर को चलाता है; पिनियन 270° घूमता है जबकि गियर 90°, और ${\tau }_2=3{\tau }_1$, जहाँ पिनियन के लिए 1 और गियर के लिए 2 है। गियर-ट्रेन में चरणों के अनुपात गुणा होते हैं, दो 1 : 3 चरण 1 : 9 देते हैं, और दक्षताएँ भी इसी तरह गुणा होती हैं। एक अच्छा चरण केवल कुछ प्रतिशत हानि करता है, इसलिए दो चरण 0.98 पर भी 96 % आगे देते हैं।

स्क्रू जैक या वर्म गियर को आपके छोड़ने पर अपना भार थामना पड़ता है; ऐसी मशीन को स्व-अवरोधी कहते हैं। देखें कि यह कब होता है: मान लें कि घर्षण मशीन के किसी भी दिशा में चलने पर समान ऊष्मा $Q$ खर्च करता है। तब उठाने में $W_{\mathrm{in}}=W_{\mathrm{out}}+Q$ चाहिए। यदि भार मशीन को उल्टा चलाने की कोशिश करे, तो नीचे आता भार केवल $W_{\mathrm{out}}$ दे पाएगा, पर फिर भी $Q$ चुकाना होगा; वह ऐसा नहीं कर सकता, और इसलिए यदि $W_{\mathrm{out}}\le Q$ हो तो स्थिर रहता है। उठाने की दक्षता के रूप में यह $\eta =W_{\mathrm{out}}/(W_{\mathrm{out}}+Q)\le 0.5$ है।

कार-जैक इसे संख्याओं में बताता है। 0.20 m के हैंडल से एक चक्कर में हाथ $2\pi \cdot 0.20=1.26\mathrm{m}$ के वृत्त में घूमता है, जबकि प्रति चक्कर 2.0 mm आगे बढ़ने वाला स्क्रू कार को 0.0020 m ऊपर उठाता है, इसलिए $\mathrm{IMA}=2\pi \cdot 0.20/0.0020\approx 630$। $\eta =0.30$ पर वास्तविक $\mathrm{MA}$ लगभग 190 है, और हैंडल पर लगभग 21 N 4000 N उठा देता है। चूँकि 0.30 आधे से कम है, इसलिए हाथ छोड़ने पर कार ऊपर ही रहती है।

हल किया गया प्रश्न: पेटी को नीचे उतारना

एनीमेशन की टैकल को उल्टा चलाएँ: 40 kg की पेटी को 1 m स्थिर चाल से नीचे उतारें, हर घिरनी पर ${\eta }_s=0.9127$ के साथ। हाथ को कितना ज़ोर से थामना होगा, और ऊर्जा कहाँ जाती है?

पहले, घर्षण किस दिशा में काम करता है? अब रस्सी हाथ से टैकल में जाती है, और हर घिरनी पर घर्षण अब भी उसकी गति का विरोध करता है। इसलिए हर घिरनी पर जिस ओर रस्सी जा रही है, उस ओर का तनाव बड़ा होना चाहिए: वह हाथ की ओर के तनाव का $1/{\eta }_s$ गुना है। हाथ के पास का खंड $F/{\eta }_s$ वहन करता है, अगला $F/{\eta }_s^2$, और इसी तरह ऊपरी ब्लॉक से बँधे खंड में $F/{\eta }_s^4$ तक। ये सब मिलकर अब भी भार थामते हैं:
$mg=F\left(\frac{1}{{\eta }_s}+\frac{1}{{\eta }_s^2}+\frac{1}{{\eta }_s^3}+\frac{1}{{\eta }_s^4}\right)=5.052F$
$F=\frac{392.4}{5.052}=77.67\mathrm{N}$

ये तनाव उठाने के चार मान ही हैं, उल्टे क्रम में: बँधे खंड में 111.9 N से लेकर हाथ के पास 85.1 N तक। थामने वाला बल उठाने वाले बल का ${\eta }_s^5$ गुना है, अर्थात उसका लगभग 63 %: अब घर्षण हाथ से लड़ नहीं रहा, बल्कि उसकी मदद कर रहा है।

अब ऊर्जा। नीचे गिरती पेटी $mgh=392.4\mathrm{J}$ मुक्त करती है। हाथ 77.67 N के विरोध के साथ 4 m रस्सी छोड़ता है, इसलिए वह $77.67\cdot 4.00=310.7\mathrm{J}$ सोखता है, और घिरनियाँ शेष $392.4-310.7=81.7\mathrm{J}$ को ऊष्मा में बदल देती हैं।

यदि बेयरिंग स्थिर अवस्था में भी लगभग उतनी ही पकड़ रखती हैं जितनी गति में, तो 77.7 N और 122.6 N के बीच का कोई भी खिंचाव पेटी को स्थिर रखता है: इस सीमा से नीचे वह नीचे जाती है, और ऊपर वह ऊपर उठती है। फिर भी थामने वाला बल कभी शून्य नहीं होता। उठाने की दक्षता 0.80 है, जो आधे से काफ़ी अधिक है, इसलिए यह टैकल स्व-अवरोधी नहीं है, और हाथ छोड़ने पर पेटी नीचे चली जाती है।

वैधता की सीमाएँ

ऊपर का हर परिणाम आदर्शीकरणों पर टिका है: द्रव्यमानहीन रस्सी जो नहीं खिंचती, भारहीन घिरनियाँ, कठोर उत्तोलक, और धीमी, स्थिर गति। इनमें से हर एक को ढीला किया जा सकता है, और कार्य-संतुलन दिखाता है कि क्या बदलता है।

2.0 kg का निचला ब्लॉक पेटी के साथ उठाया जाता है, इसलिए वह भार में 19.6 N जोड़ता है और आदर्श खिंचाव को 98.1 N से बढ़ाकर 103.0 N कर देता है। पेटी को 0.5 m/s² से ऊपर की ओर त्वरित करने के लिए ऊपर की ओर परिणामी बल चाहिए, $nT=m(g+a)$, यानी प्रति खंड 103.1 N, और अतिरिक्त कार्य ऊँचाई के बजाय गतिज ऊर्जा बन जाता है। वास्तविक रस्सी भी खिंचती है, और बेयरिंग में एक ऐसी हानि होती है जो भार के साथ नहीं बढ़ती, इसलिए हल्के भार वाली टैकल स्थिर ${\eta }_s$ के अनुमान से खराब काम करती है।

कार्य-संतुलन स्वयं ऊर्जा-संरक्षण है, और यह कभी विफल होता नहीं देखा गया। अति-सूक्ष्म पैमाने पर जो बदलता है वह सुचारु चलना है। किनेसिन मोटर प्रोटीन कोशिका के भीतर एक तंतु के साथ 8 nm के चरणों में चलता है और लगभग 6 pN के भार पर रुक जाता है। इसलिए वह प्रति चरण अधिकतम $(6\times 10^{-12}\mathrm{N})(8\times 10^{-9}\mathrm{m})\approx 4.8\times 10^{-20}\mathrm{J}$ कार्य करता है, जो शरीर के तापमान पर ऊष्मीय ऊर्जा $kT\approx 4.3\times 10^{-21}\mathrm{J}$ का केवल लगभग 11 गुना है; यहाँ $k$ बोल्ट्ज़मान स्थिरांक है और $T$ परम तापमान। हर चरण में एक ATP अणु खर्च होता है, जिसका मान उस कार्य का लगभग दोगुना है, और यादृच्छिक ऊष्मीय झटके उसकी गति का बड़ा भाग हैं। इस पैमाने पर संतुलन केवल औसत में लागू होता है, और ऊष्मागतिकी का दूसरा नियम तय करता है कि मशीन किस दिशा में चल सकती है।

यह कहाँ ले जाता है

आभासी कार्य “स्थैतिक संतुलन और उत्तोलक” पाठ के बल-आघूर्ण संतुलनों तक पहुँचने का एक छोटा रास्ता है, और “घूर्णी गतिकी और बल-आघूर्ण” पाठ वह बल-आघूर्ण और शक्ति $P=\tau \omega$ देता है जो गियर-युग्म आगे पहुँचाता है। “तरल दाब और पास्कल का नियम” पाठ में हाइड्रोलिक प्रेस का आदर्श लाभ क्षेत्रफलों के अनुपात के बराबर है: 2 cm और 20 cm व्यास के पिस्टनों के लिए 100। “मोटर, जनित्र और ट्रांसफ़ॉर्मर” पाठ में ट्रांसफ़ॉर्मर वोल्टेज को अपने फेरों के अनुपात से गुणा करते हैं और धारा को उससे भाग देते हैं, और गियरों की तरह शक्ति आगे देते हैं। रस्सी का खिंचना “प्रत्यास्थता: हुक का नियम, प्रतिबल और विकृति” का विषय है। उत्क्रमणीय मशीन का तर्क “ऊष्मागतिकी का पहला नियम और ऊष्मा इंजन” तथा “ऊष्मागतिकी का दूसरा नियम और एन्ट्रॉपी” में लौटता है, जहाँ वह हर ऊष्मा इंजन की दक्षता पर सीमा लगाता है।