ध्वनि और डॉप्लर प्रभाव

पास से गुज़रता सायरन पिच क्यों गिराता है: गति आप तक पहुँचने वाली तरंगों को सिकोड़ या फैला देती है, इसलिए $v_{s}$ की चाल से आता स्रोत $f^{'} = f v / (v - v_{s})$ के रूप में सुनाई देता है, जहाँ $v$ ध्वनि की चाल है।

आधी ध्वनि-चाल से चलता एक सायरन वृत्ताकार तरंगाग्र उत्सर्जित करता है, जो उसके सामने सिमट जाते हैं और पीछे फैल जाते हैं।

इस विषय से पहले: तरंगों की मूल बातें

शुरुआती

मुख्य विचार

चलता सायरन अपनी ध्वनि-तरंगों को सामने सिकोड़ता है और पीछे फैला देता है।
जो शिखर अधिक बार पहुँचते हैं वे ऊँचे सुनाई देते हैं; जो कम बार पहुँचते हैं वे नीचे।
किसी स्थिर स्रोत की ओर चलने से भी पिच ऊँची होती है, क्योंकि आप उसके शिखर अधिक बार पार करते हैं।
सायरन के पास आते समय पिच ऊँची और दूर जाते समय नीची रहती है; पास आना केवल आवाज़ तेज़ करता है।
अपनी तरंगों से तेज़ स्रोत उन्हें अपने पीछे V आकार में जमा कर देता है: नाव की धनुष-तरंग, या हवा में सोनिक बूम।

एक स्थिर तालाब में बत्तख को तैरते देखें। वह हर समय नई लहरें बनाती है, पर हर लहर उस जगह से फैलती है जहाँ बत्तख उसे बनाते समय थी। बत्तख के आगे लहरें सिमट जाती हैं; पीछे वे दूर-दूर होती हैं। चलते सायरन की ध्वनि हवा में ठीक ऐसा ही करती है, और एनिमेशन के नीले छल्ले यही दिखाते हैं।

आपका कान पिच को इस रूप में सुनता है कि शिखर कितनी बार पहुँचते हैं। सामने वाले श्रोता को शिखर पास-पास और बार-बार पहुँचते हैं, इसलिए सायरन ऊँचा लगता है। पीछे वाले को वे फैले हुए और कम बार पहुँचते हैं, इसलिए वह नीचा लगता है। सायरन स्वयं अपना स्वर कभी नहीं बदलता: ड्राइवर उसे हर समय सामान्य सुनता है। गति से होने वाला पिच का यह बदलाव डॉप्लर प्रभाव है।

यह उल्टी दिशा में भी होता है। एक स्थिर घंटी की ओर दौड़ें तो उसके शिखर खड़े रहने की तुलना में जल्दी मिलते हैं, इसलिए स्वर थोड़ा ऊँचा लगता है; दूर भागें तो वह नीचा हो जाता है।

दो आम गलतियाँ होती हैं। एम्बुलेंस के पास आते समय पिच लगातार नहीं बढ़ती: जब तक वह पास आती है, वह ऊँची रहती है; जब तक वह दूर जाती है, नीची रहती है, और गुज़रते समय गिरती है। पास आना केवल उसे तेज़ करता है, जो एक अलग प्रभाव है।

और अगर स्रोत अपनी तरंगों से तेज़ हो? तब वह अपने सारे शिखर पीछे छोड़ देता है, और वे V आकार में जमा हो जाते हैं, जैसे किसी स्पीडबोट का पीछे का निशान। हवा में ध्वनि के लिए यह जमाव सोनिक बूम है, जो तब सुनाई देता है जब कोई विमान ध्वनि से तेज़ उड़ता है, न कि केवल उसी क्षण जब वह उस चाल तक पहुँचता है।

खुद जाँचें: एक कार आपसे दूर जाते हुए हॉर्न बजाती है। आपको सुनाई देने वाला स्वर ड्राइवर के सुने स्वर से ऊँचा है या नीचा? (नीचा।)

मध्यम

मुख्य विचार

स्रोत पास आता हुआ: $f^{'} = f v / (v - v_{s})$ ; दूर जाता: $f^{'} = f v / (v + v_{s})$ , जहाँ 20 °C पर हवा में $v \approx 343 m/s$ ।
चलता स्रोत तरंगदैर्ध्य बदलता है: सामने $λ^{'} = (v - v_{s}) / f$ और पीछे $(v + v_{s}) / f$ ।
चलता प्रेक्षक $λ$ अपरिवर्तित छोड़ता है, पर शिखरों से अधिक तेज़ी से मिलता है: $f^{'} = f (v + v_{o}) / v$ ।
सारी चालें हवा के सापेक्ष मापी जाती हैं, इसलिए स्रोत और प्रेक्षक की गति सममित नहीं है।

हम क्या और कहाँ से मापते हैं

हवा में ध्वनि संपीड़न और विरलन का एक चलता हुआ स्वरूप है। एक स्रोत जो प्रति सेकंड $f$ बार कंपन करता है, उसकी आवृत्ति हर्ट्ज़ (Hz) में होती है, और वह हर आवर्तकाल $T = 1/ f$ पर एक शिखर भेजता है। शिखर ध्वनि की चाल $v$ से चलते हैं, जिसे हवा तय करती है, स्रोत नहीं: 20 °C पर लगभग 343 m/s। पड़ोसी शिखरों के बीच की दूरी एक तरंगदैर्ध्य $λ = v / f$ होती है, यानी 340 m/s पर हवा में 400 Hz स्वर के लिए 0.85 m।

श्रोता कुछ और गिनता है: हर सेकंड कान तक पहुँचने वाले शिखर। यह सुनी गई आवृत्ति $f^{'}$ है, जिसे कान पिच के रूप में महसूस करता है, और जब कुछ भी नहीं चल रहा हो, तो $f^{'} = f$ । डॉप्लर प्रभाव वह अंतर है जो गति से होता है। हर चाल हवा के सापेक्ष मापी जाती है: स्रोत के लिए $v_{s}$ और प्रेक्षक (श्रोता) के लिए $v_{o}$ , दोनों उस रेखा के अनुदिश चलते हैं जो उन्हें जोड़ती है।

चलता स्रोत तरंगदैर्ध्य बदलता है

एक बार शिखर स्रोत से निकल जाए, तो वह उत्सर्जन बिंदु से $v$ पर फैलता है, चाहे स्रोत आगे कुछ भी करे। मान लें स्रोत $v_{s}$ से एक श्रोता की ओर चलता है। एक आवर्तकाल में आख़िरी शिखर $v T$ आगे चला जाता है, जबकि स्रोत उसके पीछे $v_{s} T$ चलता है, इसलिए स्रोत के सामने शिखर अधिक सिमटे होते हैं:
$λ^{'} = \frac{v - v _{s}}{f} (in front of the source)$

स्रोत के पीछे अंतर $(v + v_{s}) / f$ है। शिखर अब भी $v$ से चलते हैं, इसलिए सामने का स्थिर श्रोता प्रति सेकंड $v / λ^{'} = f v / (v - v_{s})$ शिखर पाता है, जो $f$ से अधिक है, और पीछे वाला $f v / (v + v_{s})$ , जो कम है।

चलते प्रेक्षक की बात अलग है। स्थिर स्रोत सामान्य अंतर $λ = v / f$ रखता है, और उसकी ओर $v_{o}$ से चलता श्रोता उसके शिखर सापेक्ष चाल $v + v_{o}$ से पार करता है, इसलिए $f^{'} = f (v + v_{o}) / v$ । स्रोत की गति हवा में तरंगदैर्ध्य बदलती है; श्रोता की गति केवल यह बदलती है कि शिखर कितनी बार मिलते हैं।

डॉप्लर सूत्र

जब गति उस रेखा के अनुदिश हो जो स्रोत और श्रोता को जोड़ती है, और हर चाल हवा के सापेक्ष मापी जाए, तो तीन मूल स्थितियाँ ये हैं:

$f^{'} = \frac{f v}{v - v _{s}} (source approaching)$
$f^{'} = \frac{f v}{v + v _{s}} (source receding)$
$f^{'} = \frac{f ( v + v _{o} )}{v} (observer approaching)$

जब दोनों चलते हैं, तो प्रभाव गुणा हो जाते हैं: पास आने के लिए $f^{'} = f (v + v_{o}) / (v - v_{s})$ , और जो चाल दूर की दिशा में हो उसका चिह्न बदल जाता है। हर उत्तर जाँचें: पास आना आवृत्ति बढ़ाता है, दूर जाना घटाता है, और यदि हवा के सापेक्ष कुछ भी नहीं चल रहा, तो $f^{'} = f$ । एम्बुलेंस के ठीक आगे उसी चाल $u$ से चलती कार $f (v - u) / (v - u) = f$ सुनती है, एम्बुलेंस के ड्राइवर की तरह।

उदाहरण: आलेख वाला सायरन

एनिमेशन गति को बढ़ाकर दिखाता है ताकि सिकुड़न आसानी से दिखे। सायरन $f = 400 Hz$ उत्सर्जित करता है और $v_{s} = 170 m/s$ से चलता है, जो $v = 340 m/s$ का आधा है। स्थिर होने पर उसके शिखर $λ = 340/400 = 0.85 m$ दूर होते। उसके सामने और पीछे,
$λ^{'} = \frac{340 - 170}{400} = 0.425 m, f^{'} = \frac{340}{0.425} = 800 Hz$
$\frac{v + v _{s}}{f} = \frac{340 + 170}{400} = 1.275 m, f^{'} = \frac{340}{1.275} \approx 267 Hz$

ये स्क्रीन पर दिखने वाली संख्याएँ हैं। बैंगनी रीडिंग सामने के बैंगनी श्रोता के लिए 800 Hz देती है, हरी रीडिंग पीछे के हरे श्रोता के लिए 267 Hz, और निचले कोनों के लेबल तरंगदैर्ध्य दिखाते हैं, जिन्हें 0.43 m और 1.28 m तक पूर्णांकित किया गया है। नीले छल्ले सामने स्थिर-हवा के अंतर का आधा और पीछे उसका डेढ़ गुना दूर हैं, और नारंगी-लाल $v_{s}$ तीर सायरन का वेग दिखाता है।

हर पक्ष स्वयं की जाँच करता है: $f^{'} λ^{'} = 800 \cdot 0.425 = 340 m/s$ ; शिखर अपनी चाल रखते हैं और केवल उनका अंतर बदलता है। जिस श्रोता के पास से यह सायरन गुज़रता है, उसे इसकी ध्वनि $(v + v_{s}) / (v - v_{s}) = 3$ के गुणक से नीची सुनाई देती है, यानी एक ऑक्टेव और एक पंचम।

उदाहरण: गुज़रती एम्बुलेंस

700 Hz के सायरन वाली एक एम्बुलेंस 25 m/s (90 km/h) से चलती है, ऐसे दिन जब $v = 343 m/s$ हो। सड़क के पास खड़े होकर आप सुनते हैं
$f^{'} = \frac{700 \cdot 343}{343 - 25} \approx 755 Hz, f^{'} = \frac{700 \cdot 343}{343 + 25} \approx 652 Hz$
गुज़रने से पहले और बाद में: लगभग 103 Hz की गिरावट, $368/318 \approx 1.16$ का अनुपात, जो एक पूरे टोन (1.12) से अधिक है।

अब स्वयं 20 m/s से एम्बुलेंस की ओर गाड़ी चलाएँ। मिलने से पहले दोनों पास आते हैं; उसके बाद दोनों दूर जाते हैं:
$f^{'} = \frac{700 \cdot ( 343 + 20 )}{343 - 25} \approx 799 Hz, f^{'} = \frac{700 \cdot ( 343 - 20 )}{343 + 25} \approx 614 Hz$
गिरावट लगभग 185 Hz तक बढ़ जाती है, क्योंकि अब दोनों गतियाँ योगदान देती हैं।

अंत में भूमिकाएँ बदलें। स्थिर 700 Hz के अलार्म की ओर 25 m/s से चलते हुए आप $700 \cdot 368/343 \approx 751 Hz$ सुनते हैं, चलती एम्बुलेंस से मिली ध्वनि से लगभग 4 Hz कम: सड़क की गति पर छोटा, पर वास्तविक, क्योंकि हवा में केवल स्रोत की गति तरंगदैर्ध्य बदलती है।

लहरमुख चित्र पढ़ना

एनिमेशन का हर नीला छल्ला एक शिखर है, जो उस बिंदु पर केंद्रित है जहाँ सायरन ने उसे उत्सर्जित किया था, न कि जहाँ सायरन अभी है। केंद्र सड़क के साथ एक पंक्ति में हैं, सबसे छोटा और सबसे नया छल्ला सायरन के सबसे पास। अंतर सीधे आगे सबसे छोटा और सीधे पीछे सबसे बड़ा है, और बीच में सहजता से बदलता है।

सड़क के किनारे खड़ा श्रोता यह पैटर्न गुज़रता देखता है। जब सायरन सड़क पर दूर ऊपर होता है, तो उस तक पहुँचने वाले शिखर लगभग उतने ही सिकुड़े होते हैं जितने सामने वाले; जब वह दूर नीचे चला जाता है, तो लगभग उतने ही फैले जितने पीछे वाले। बीच में पिच नीचे खिसकती है, और जितना सायरन सड़क के पास होता है उतनी ही तेज़ी से। छल्ले पिच दिखाते हैं, प्रबलता नहीं: जैसे-जैसे सायरन पास आता है आवाज़ भी तेज़ होती है, क्योंकि उसकी शक्ति छोटे गोलों पर फैलती है।

सामान्य गलतियाँ

स्रोत के निकट आने पर पिच नहीं बढ़ती। 25 m/s की स्थिर चाल से सीधे आपकी ओर आता सायरन 755 Hz पर ही रहता है; केवल प्रबलता बढ़ती है, दूरी आधी होने पर लगभग 6 dB हर बार।
स्रोत और प्रेक्षक की गति एक-दूसरे की जगह नहीं ले सकती। 340 m/s वाली हवा में 30 m/s से पास आता 500 Hz का सायरन 548 Hz सुनाई देता है; 30 m/s से एक स्थिर सायरन की ओर बढ़ता श्रोता 544 Hz सुनता है।
चालें हवा के सापेक्ष मापी जाती हैं। 10 m/s की हवा उसके अनुदिश ध्वनि की चाल को 353 या 333 m/s कर देती है, लेकिन यदि स्रोत और श्रोता स्थिर हैं, तो हर शिखर को पहुँचने में एक समान समय लगता है और पिच $f$ पर ही रहती है।
गति स्वयं स्रोत को नहीं बदलती: एम्बुलेंस का ड्राइवर, सायरन के साथ चलते हुए, उसका वास्तविक स्वर सुनता है, एनिमेशन में 400 Hz और एम्बुलेंस में 700 Hz।
चाल को आवृत्ति में न जोड़ें: 30 m/s से पास आता 500 Hz का स्रोत 548 Hz देता है, 530 Hz नहीं। पास आना $f$ से ऊपर और दूर जाना नीचे पहुँचाता है, यहाँ 459 Hz पर।

इसे कहाँ पाते हैं

गति-बंदूकें सूक्ष्मतरंग प्रतिध्वनि के डॉप्लर विस्थापन को मापती हैं, डॉप्लर अल्ट्रासाउंड धमनी में बहता रक्त दिखाता है, मौसम रडार तूफ़ानों के भीतर की हवाएँ मानचित्रित करता है, और चमगादड़ कीटों का पीछा अपनी प्रतिध्वनियों की पिच से करते हैं। खगोलज्ञ तारों की गति उनकी वर्णक्रमीय रेखाओं के विस्थापन से पढ़ते हैं, दूर जाने वाले के लिए लाल और पास आने वाले के लिए नीला, और दूसरे तारों के चारों ओर ग्रह उनके डगमगाने से खोजते हैं।

अगला पाठ, प्रबलता, तीव्रता और डेसिबल, सायरन के पास आते समय सुनाई देने वाले दूसरे बदलाव, उसकी बढ़ती प्रबलता से संबंधित है। व्यतिकरण और अध्यारोपण उन विस्पंदों (beats) की व्याख्या करता है जिनसे यंत्र छोटे विस्थापन मापते हैं, और विशिष्ट आपेक्षिकता बताती है कि डॉप्लर प्रभाव प्रकाश के लिए कैसे काम करता है, जिसके लिए चाल मापने हेतु कोई हवा नहीं है।

उन्नत

मुख्य विचार

चलता स्रोत: हर शिखर आपके अधिक निकट से शुरू होता है, इसलिए आगमन सिमट जाते हैं: $f^{'} = f / (1 - (v_{s} / v) cos θ)$ , जहाँ $θ$ उत्सर्जन के समय लिया जाता है।
चलता प्रेक्षक: आप अतिरिक्त कला (phase) पार करते हैं, $ω^{'} = ω + k v_{o}$ , अतः $f^{'} = f (1 + v_{o} / v)$ , जो स्रोत-गति से कम है।
ध्वनि का एक विशिष्ट फ़्रेम है, हवा; प्रकाश का कोई नहीं, और काल-विस्तारण के साथ दोनों दृष्टिकोण $f^{'} = f (1 + β) / (1 - β)$ देते हैं।
अपनी तरंगों से तेज़ कोई भी वस्तु मैक शंकु खींचती है, $sin α = v / v_{s}$ : धनुष-तरंगें, सोनिक बूम, चेरेंकोव प्रकाश।
किसी चलते लक्ष्य से परावर्तन आवृत्ति को दो बार बदलता है, $Δ f \approx 2 f u / v$ : रडार गन और डॉप्लर अल्ट्रासाउंड।

शिखर गिनना: चलता स्रोत

आवृत्ति $f$ वाला एक सायरन स्थिर हवा में $v_{s}$ चाल से चलता है, जिसमें ध्वनि $v$ चाल से चलती है, और एक श्रोता $C$ स्थिर खड़ा है। $C$ को $f$ से भिन्न पिच $f^{'}$ क्यों सुनाई देती है? सबसे साफ़ उत्तर शिखर गिनने से मिलता है। पिच प्रति सेकंड आने वाले दाब-शिखरों की संख्या है, इसलिए हमें बस दो पड़ोसी शिखरों के आगमन के बीच का समय चाहिए। चित्र 1 यही गिनती सेट करता है।

**चित्र 1.** उस चलते सायरन के दो क्रमिक शिखर श्रोता $C$ की ओर जाते हुए। उन्हें भेजने के बीच सायरन $v_{s} T$ चलता है; चूँकि दोनों पथ लगभग समानांतर हैं, दूसरा $v_{s} T cos θ$ छोटा है। पैमाने पर नहीं।

सायरन को एक घड़ी मानें जो हर आवर्तकाल $T = 1/ f$ पर एक शिखर भेजती है। शिखर संख्या $n$ समय $n T$ पर बिंदु $S_{n}$ से निकलता है। शिखर $n + 1$ एक आवर्तकाल बाद $S_{n + 1}$ से निकलता है, क्योंकि उस अवधि में सायरन सड़क पर $v_{s} T$ दूरी चल चुका है: चित्र 1 में $S_{n}$ से $S_{n + 1}$ तक का तीर।

एक बार शिखर निकल जाए, तो सायरन उसके लिए मायने नहीं रखता: वह $v$ चाल से हवा में सीधी रेखा में $C$ तक चलता है। शिखर $n$ पथ $r_{n}$ तय करता है और शिखर $n + 1$ पथ $r_{n + 1}$ , इसलिए वे इन समयों पर पहुँचते हैं
$t_{n} = n T + r_{n} / v, t_{n + 1} = (n + 1) T + r_{n + 1} / v$
इन दोनों आगमनों के बीच का समय वह आवर्तकाल है जो श्रोता सुनता है:
$T^{'} = t_{n + 1} - t_{n} = T + \frac{r _{n + 1} - r _{n}}{v}$

सब कुछ इस पर टिका है कि दूसरा पथ पहले से कितना भिन्न है। चित्र 1 की बिंदुकित रेखा देखें, जो $S_{n + 1}$ से पहले पथ पर लंब गिरी है। कदम $v_{s} T$ $C$ तक की दूरी की तुलना में छोटा है (एक आवर्तकाल कुछ मिलीसेकंड रहता है), इसलिए दोनों पथ लगभग समानांतर हैं। तब दूसरा पथ पहले से उतना छोटा है जितना $S_{n}$ और उस बिंदुकित रेखा के पैर के बीच पहले पथ का हिस्सा है। यह हिस्सा कदम का $C$ की रेखा के अनुदिश घटक है, अर्थात $v_{s} T cos θ$ , जहाँ $θ$ सायरन के वेग और $S_{n}$ पर $C$ की रेखा के बीच का कोण है। अतः
$r_{n + 1} - r_{n} = - v_{s} T cos θ$

इसे $T^{'}$ में रखने पर $T^{'} = T (1 - (v_{s} / v) cos θ)$ मिलता है। आवृत्ति आवर्तकाल का व्युत्क्रम है, इसलिए
$f^{'} = \frac{f}{1 - ( v _{s} / v ) c o s θ}$

तीन दिशाएँ सूत्र का अर्थ दिखाती हैं। सीधे आगे, $θ = 0$ , यह $f v / (v - v_{s})$ देता है: शिखर सिमट जाते हैं और पिच बढ़ती है। यह स्थिति किसी भी दूरी पर सटीक है, क्योंकि तब दोनों पथ एक ही रेखा पर होते हैं। सीधे पीछे, $θ = 18 0^{\circ}$ , यह $f v / (v + v_{s})$ देता है: शिखर फैल जाते हैं और पिच गिरती है। बगल में, $θ = 9 0^{\circ}$ , कोई विस्थापन नहीं, क्योंकि देखने की रेखा के लंबवत कदम पहली कोटि पर $C$ की दूरी नहीं बदलता।

दो बिंदु आसानी से छूट जाते हैं। पहला, केवल त्रिज्य घटक $v_{s} cos θ$ , यानी श्रोता की ओर की रेखा के अनुदिश वेग का हिस्सा, गिना जाता है; उस रेखा के पार की गति कुछ नहीं करती। दूसरा, $θ$ उत्सर्जन के क्षण का कोण है, सुनने के क्षण का नहीं। जो शिखर आप अभी सुनते हैं, उसने $r / v$ पहले, तथाकथित विलंबित समय (retarded time) पर, शुरुआत की थी, जब सायरन कहीं और था। नीचे का सड़क-किनारे का उदाहरण दिखाता है कि यह विलंब सुनना आसान है।

कला गिनना: चलता प्रेक्षक

अब भूमिकाएँ बदलें: सायरन स्थिर खड़ा है और श्रोता चलता है। तब हवा वही समान दूरी वाले शिखर ले जाती है जैसे स्थिर श्रोता के लिए; तरंग में कुछ नहीं बदलता। बदलता यह है कि चलता श्रोता शिखरों से कितनी बार टकराता है। दिक्-काल चित्र, चित्र 2, इस गिनती को दिखाता है।

चित्र 2 में स्थिति $x$ दाईं ओर बढ़ती है और समय $t$ ऊपर की ओर, और स्रोत $x = 0$ पर ऊर्ध्वाधर अक्ष पर है। वह हर आवर्तकाल $T$ पर एक शिखर भेजता है। हर शिखर $v$ से दाईं ओर चलता है, इसलिए चित्र में वह एक तिरछी सीधी रेखा है, जो हर आवर्तकाल पर एक तरंगदैर्ध्य $λ = v T$ आगे बढ़ती है। इसीलिए शिखर-रेखाएँ समानांतर हैं और हर $λ$ दूरी तय करने पर $T$ ऊपर उठती हैं।

स्थिर श्रोता इस चित्र में एक ऊर्ध्वाधर रेखा है, और वह हर $T$ पर एक शिखर-रेखा पार करता है। चित्र 2 का श्रोता स्रोत की ओर $v_{o} = v /2$ से चलता है, इसलिए उसका पथ शिखर-रेखाओं की ओर झुकता है, और वह उन्हें अधिक बार काटता है। वह और शिखर $v + v_{o}$ पर एक-दूसरे की ओर बढ़ते हैं, और शिखर $λ$ दूर हैं, इसलिए शिखरों के बीच का समय $T^{'} = λ / (v + v_{o}) = T / (1 + v_{o} / v) = 2 T /3$ हो जाता है, जो चित्र में $T^{'}$ से चिह्नित है। जिस समय $4 T$ में स्थिर श्रोता चार शिखर मिलता है, उसमें यह छह मिलता है।

वही गणना प्रतीकों में तरंग की कला (phase) से होती है। तरंग को $ω t - k x$ के फ़ंक्शन के रूप में लिखें, जिसमें कोणीय आवृत्ति $ω = 2 π f$ और तरंग-संख्या $k = ω / v = 2 π / λ$ है। एक शिखर से अगले तक कला $2 π$ बढ़ती है, इसलिए कला के रेडियन गिनना शिखर गिनना है। जो श्रोता $x_{0}$ से शुरू होकर स्रोत की ओर चलता है, वह $x = x_{0} - v_{o} t$ पर है, इसलिए वह जो कला अनुभव करता है वह है
$ω t - k (x_{0} - v_{o} t) = (ω + k v_{o}) t - k x_{0}$
यह $ω + k v_{o}$ की दर से बढ़ती है, अतः
$ω^{'} = ω + k v_{o}, f^{'} = f (1 + \frac{v _{o}}{v})$
समय $t$ में अतिरिक्त $k v_{o} t$ रेडियन वे अतिरिक्त शिखर हैं जिनसे वह टकराता है: चित्र 2 में उसके पथ का झुकाव। पीछे चलने पर $v_{o}$ का चिह्न बदल जाता है और पिच गिरती है।

स्रोत या प्रेक्षक: समान विस्थापन नहीं

दोनों परिणाम मिलते-जुलते दिखते हैं, पर समान नहीं हैं। दोनों स्थितियों को एक चाल $u$ दें और $β = u / v$ लिखें। आपकी ओर $u$ से आता स्रोत आवृत्ति को
$\frac{1}{1 - β} = 1 + β + β^{2} + \dots$
से गुणा करता है, जबकि $u$ से स्रोत की ओर बढ़ते आप इसे $1 + β$ से गुणा करते हैं। ये $β$ की पहली कोटि तक मेल खाते हैं और $β^{2} / (1 - β)$ से भिन्न होते हैं, इसलिए अंतर तभी मायने रखता है जब $u$ , $v$ का एक ठीक-ठाक अंश हो।

सड़क की गति पर यह छोटा परंतु मापने योग्य है। 340 m/s पर ध्वनि और 30 m/s पर, $β \approx 0.088$ और अंतर $f$ का 0.85 % है: 500 Hz का सायरन गतिमान होने पर 548.4 Hz और श्रोता के चलने पर 544.1 Hz सुनाई देता है, दोनों में 4.3 Hz का अंतर। एनिमेशन के मैक 0.5 पर, $u = v /2$ , अंतर नाटकीय है: 170 m/s से स्थिर 400 Hz सायरन की ओर दौड़ता श्रोता 600 Hz सुनता है, जबकि 170 m/s से स्थिर श्रोता की ओर दौड़ता सायरन 800 Hz सुनाई देता है।

हवा एक फ़्रेम चुनती है

यह असमानता कोई विरोधाभास नहीं है। हवा एक वास्तविक भौतिक माध्यम है, और वह फ़्रेम जिसमें वह स्थिर है, विशेष है: इन सूत्रों में “चलना” हमेशा हवा के सापेक्ष चलने का अर्थ है।

यह देखने के लिए कि फ़्रेमों के बीच आवृत्ति कैसे बदलती है, उसी तरंग को $x$ के अनुदिश वेग $u$ से चलते फ़्रेम से वर्णित करें। उसकी स्थिति निर्देशांक $x^{'}$ है, जहाँ $x = x^{'} + u t$ , और वह वही घड़ी रखता है। कला बन जाती है
$ω t - k x = (ω - k u) t - k x^{'}$
तरंग-संख्या अब भी $k$ है, इसलिए तरंगदैर्ध्य हर प्रेक्षक के लिए समान है; केवल आवृत्ति बदलती है, $ω - k u$ हो जाती है। स्रोत की ओर बढ़ता श्रोता $u = - v_{o}$ रखता है, जो $ω + k v_{o}$ लौटाता है।

चलता स्रोत भी इसी नियम में फिट होता है। स्रोत के अपने फ़्रेम में हवा उसके पीछे $v_{s}$ से बहती है, जैसे हवा का झोंका, इसलिए उसकी ध्वनि उसके सापेक्ष केवल $v - v_{s}$ से आगे चलती है। चूँकि वह प्रति सेकंड $f$ शिखर भेजता है, वे $λ = (v - v_{s}) / f$ दूरी पर हैं, और वह तरंगदैर्ध्य सभी फ़्रेमों में समान है। हवा में शिखर $v$ से चलते हैं, इसलिए हवा में स्थिर श्रोता $v / λ = f v / (v - v_{s})$ सुनता है, ठीक वैसा ही जैसा शिखर-गणना ने पाया।

जब दोनों चलते हैं, किसी भी कोण पर, तो दोनों गुणक आपस में गुणा होते हैं:
$f^{'} = f \frac{v + v _{o} c o s φ}{v - v _{s} c o s θ}$
यहाँ $θ$ उत्सर्जन पर स्रोत के वेग और चित्र 1 की तरह प्रेक्षक की ओर की रेखा के बीच का कोण है, और $φ$ प्रेक्षक के वेग और स्रोत की दिशा के बीच का कोण है।

सड़क के किनारे सुनी गई पिच-वक्र

जो सायरन गुज़रता है वह उच्च से निम्न पर एकदम नहीं कूदता: उसकी पिच एक चिकने वक्र पर फिसलती है। उस वक्र को निकालने में पहले खंड के दोनों बिंदु काम आते हैं: उत्सर्जन कोण और विलंब। चित्र 3 परिणाम दिखाता है।

चित्र 3 श्रोता $C$ द्वारा सुनी गई पिच $f^{'}$ को समय $t$ के विरुद्ध दिखाता है। संख्याएँ एनिमेशन की हैं, छोटे चित्र में घटाई गईं: $C$ सड़क से $d = 50$ लंबाई-इकाई दूर है, ध्वनि प्रति सेकंड 70 इकाई और सायरन 35 इकाई चलता है, इसलिए $v_{s} / v = 0.5$ , जैसे एनिमेशन के 170 और 340 m/s के लिए। सायरन की अपनी आवृत्ति $f = 400 Hz$ है, बिंदुकित रेखा, और सायरन $t_{1} = 4 s$ पर $C$ के बराबर है।

वक्र का हर बिंदु दो चरण लेता है। सुनने के समय $t$ के लिए, पहले उस समय पर पहुँचने वाले शिखर का उत्सर्जन-समय $t_{e}$ खोजें: वह जिसके लिए $t_{e}$ पर सायरन की $C$ से दूरी उतनी हो जितनी शिखर उसके बाद $v (t - t_{e})$ तय कर चुका है। फिर $t_{e}$ पर कोण $θ$ से $f / (1 - (v_{s} / v) cos θ)$ का मान निकालें। वक्र $t = 0$ पर 788 Hz से शुरू होता है, सीधे-सामने के 800 Hz से थोड़ा नीचे, क्योंकि वह शिखर तब निकला जब $C$ तक की रेखा सड़क से पहले ही 10° हट चुकी थी। यह $t = 8 s$ तक 279 Hz तक गिरता है।

अब वक्र के बीच को देखें। सायरन $t_{1}$ पर $C$ के बराबर है, फिर भी वक्र बिंदुकित रेखा $f^{'} = f$ को केवल बाद में, $t_{2}$ पर काटता है। सुनी गई पिच $f$ के बराबर उस शिखर के लिए है जो बगल में, $θ = 9 0^{\circ}$ पर भेजा गया; वह शिखर $t_{1}$ पर निकला और फिर भी सड़क से श्रोता तक की दूरी $d$ पार करनी पड़ी। अतः
$t_{2} = t_{1} + d / v = 4 + 50/70 \approx 4.71 s$
यह चित्र 3 का कोष्ठक $d / v$ है। आप सायरन को गुज़र जाने के कुछ देर बाद गुज़रता सुनते हैं।

पिच कितनी तेज़ गिरती है? सुनी गई पिच $t$ पर केवल उत्सर्जन-समय के माध्यम से निर्भर करती है, इसलिए शृंखला-नियम से $d f^{'} / d t = (d f^{'} / d t_{e}) / (d t / d t_{e})$ , और दोनों गुणक सरल हैं।

आगमन समय के लिए, $t = t_{e} + r / v$ , जहाँ $r$ उत्सर्जन पर सायरन की $C$ से दूरी है। वह दूरी त्रिज्य चाल से घटती है, $d r / d t_{e} = - v_{s} cos θ$ , इसलिए $d t / d t_{e} = 1 - (v_{s} / v) cos θ$ ।

कोण के लिए, मान लें $X = v_{s} (t_{1} - t_{e})$ वह दूरी है जो सायरन को $C$ के बराबर होने तक अभी तय करनी है। तब $cos θ = X / X^{2} + d^{2}$ , जिसका $X$ के सापेक्ष अवकलज है $d^{2} / (X^{2} + d^{2})^{3/2} = sin^{3} θ / d$ । चूँकि $d X / d t_{e} = - v_{s}$ , इसलिए $d (cos θ) / d t_{e} = - (v_{s} / d) sin^{3} θ$ ।

$f^{'} = f / (1 - (v_{s} / v) cos θ)$ का अवकलन करने पर $d f^{'} / d t_{e} = f (v_{s} / v) (d cos θ / d t_{e}) / (1 - (v_{s} / v) cos θ)^{2}$ मिलता है। $d t / d t_{e}$ से भाग देने पर हर में एक और घात जुड़ती है:
$\frac{d f ^{'}}{d t} = - f \frac{v _{s}}{v} \frac{v _{s}}{d} \frac{s i n ^{3} θ}{( 1 - ( v _{s} / v ) c o s θ ) ^{3}}$

ठीक $t_{2}$ पर, जहाँ $θ = 9 0^{\circ}$ , यह $- f (v_{s} / v) (v_{s} / d) = - 400 \cdot 0.5 \cdot 35/50 = - 140 Hz/s$ है। $t_{1}$ पर खींची गई स्पर्श-रेखा, जो $d f^{'} / d t$ से चिह्नित है, उससे भी खड़ी है: वह पूरे वक्र की सबसे खड़ी ढलान है, जैसा नीचे का हल किया गया प्रश्न दिखाता है। सूत्र यह भी बताता है कि ढलान दूरी के साथ कैसे बदलती है। ढलान $1/ d$ के अनुपात में है, इसलिए सड़क से दोगुनी दूरी पर वही गिरावट दोगुने समय में होती है; सड़क पर ही, $d \to 0$ , फिसलन 800 से 267 Hz तक एकाएक कदम बन जाती है।

हल किया गया प्रश्न: सायरन के गुज़रने का क्षण

सबसे आकर्षक क्षण वह है जब सायरन आपके बराबर हो। उस क्षण आप कौन-सी पिच सुनते हैं, और क्या तब पिच सबसे तेज़ गिरती है? चित्र 4 उस क्षण की ज्यामिति दिखाता है।

$t_{1} = 4 s$ पर सायरन $S$ पर है, $C$ के बराबर। $C$ पर उसी क्षण पहुँचने वाला शिखर, बिंदुकित चाप, $S_{e}$ से एक समय $τ$ पहले निकला था। उस समय में शिखर $S_{e}$ से $C$ तक $vτ$ चला, जो त्रिभुज का कर्ण है, जबकि सायरन $S_{e}$ से $S$ तक सड़क पर $v_{s} τ$ चला। तीसरी भुजा सड़क से $C$ तक की दूरी $d$ है, सड़क के लंबवत, और $S_{e}$ पर का कोण उत्सर्जन-कोण $θ$ है।

चरण 1, पिच। इस समकोण त्रिभुज में $θ$ की कोज्या सड़क के अनुदिश भुजा को कर्ण से भाग देने पर मिलती है:
$cos θ = \frac{v _{s} τ}{vτ} = \frac{v _{s}}{v}$
समय $τ$ कट जाता है, इसलिए यह $C$ की सड़क से दूरी चाहे जो हो, सत्य है। डॉप्लर सूत्र तब देता है
$f^{'} = \frac{f}{1 - v _{s}^{2} / v ^{2}}$
जो $v_{s} / v = 0.5$ के लिए $400/0.75 \approx 533 Hz$ है, वह मान जो चित्र 3 में $t_{1}$ पर चिह्नित है, $θ = 6 0^{\circ}$ पर उत्सर्जित शिखर से। पाइथागोरस प्रमेय बताती है कि वह कितनी देर पहले निकला: $(vτ)^{2} = (v_{s} τ)^{2} + d^{2}$ , इसलिए $τ = d / v^{2} - v_{s}^{2} = 50/ 7 0^{2} - 3 5^{2} \approx 0.82 s$ ।

चरण 2, सबसे खड़ी ढलान। ढलान के सूत्र में केवल कोण बदलता है, और वह अनुपात $sin θ / (1 - (v_{s} / v) cos θ)$ के घन के रूप में आता है, इसलिए ढलान वहाँ सबसे खड़ी है जहाँ यह अनुपात सबसे बड़ा है। अनुपात का $θ$ के सापेक्ष अवकलज है
$\frac{c o s θ - v _{s} / v}{( 1 - ( v _{s} / v ) c o s θ ) ^{2}}$
जो $cos θ = v_{s} / v$ पर शून्य होता है, ठीक वही कोण जो चरण 1 में था। अतः पिच सबसे तेज़ उस क्षण गिरती है जब सायरन आपके बराबर हो। वहाँ $sin θ = 1 - v_{s}^{2} / v^{2}$ है और अनुपात $1/ 0.75$ है, जबकि $θ = 9 0^{\circ}$ पर 1; अतः ढलान $140/0.7 5^{3/2} \approx 216 Hz/s$ है: चित्र 3 की स्पर्श-रेखा।

चरण 3, एक असली एम्बुलेंस। मध्यम स्तर की एम्बुलेंस (700 Hz, 25 m/s, $v = 343 m/s$ ) के लिए $v_{s} / v \approx 0.073$ है। गुज़रते समय आप सुनते हैं $700/ (1 - 0.07 3^{2}) \approx 703.7 Hz$ , उसकी अपनी पिच से मुश्किल से ऊपर। उसकी पिच पास आते समय लगभग 755 Hz से दूर जाते समय लगभग 652 Hz तक गिरती है, 103 Hz की गिरावट। उसके पथ से 10 m दूर खड़े होने पर सबसे खड़ी ढलान लगभग $700 \cdot 0.073 \cdot 25/10 \approx 128 Hz/s$ है (गुणक $(1 - 0.07 3^{2})^{3/2}$ 1 से 1 % से कम भिन्न है), इसलिए गिरावट में लगभग 0.8 s लगते हैं। यह $2 d / v_{s}$ की कोटि का है, वह समय जो एम्बुलेंस को आपकी दूरी के दोगुने को पार करने में लगता है, जिस दौरान आपकी ओर की रेखा अपने अधिकांश कोणों से घूम जाती है।

अपनी तरंगों से तेज़: मैक शंकु

जब स्रोत अपनी ही ध्वनि को पकड़ लेता है तो क्या होता है? जैसे-जैसे $v_{s} \to v$ , आगे भेजे गए शिखर एक ही मोर्चे में जमा हो जाते हैं। एक बार $v_{s} > v$ हो, स्रोत हर उस शिखर से आगे निकल जाता है जिसे वह भेजता है।

एक क्षण पर शिखरों की कल्पना करें। $τ$ पहले उत्सर्जित शिखर त्रिज्या $vτ$ का एक गोला है, जिसका केंद्र उस समय के स्रोत से $v_{s} τ$ पीछे है, न कि उसकी वर्तमान स्थिति से। पुराने शिखर पीछे के केंद्रों वाले बड़े गोले हैं, और ये सब एक शंकु को स्पर्श करते हैं जिसका शीर्ष स्रोत पर है। शीर्ष से एक रेखा जो किसी एक गोले को ठीक छूती है, स्पर्श-बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत है, जिससे कर्ण $v_{s} τ$ और शीर्ष के सामने की भुजा $vτ$ वाला एक समकोण त्रिभुज बनता है। अतः शंकु का अर्ध-कोण $α$ इस संबंध को मानता है: $sin α = vτ / (v_{s} τ)$ :
$sin α = \frac{v}{v _{s}} (Mach cone)$

अनुपात $v_{s} / v$ मैक संख्या है: मैक 2 पर $α = 3 0^{\circ}$ ; मैक 1.5 पर लगभग 42°। स्रोत जितना तेज़, शंकु उतना संकरा।

शंकु डॉप्लर सूत्र में भी छिपा है। इसका हर $1 - (v_{s} / v) cos θ$ शून्य हो जाता है जब $cos θ = v / v_{s} = sin α$ , वह दिशा जो शंकु की सतह के लंबवत है: उस दिशा में भेजे गए सभी शिखर एक ही क्षण पहुँचते हैं। वही जमाव आघात-तरंग है, और वह ज़मीन पर सोनिक बूम के रूप में तब तक फैलता है जब तक विमान पराध्वनिक रहता है, न कि केवल उसी क्षण जब वह ध्वनि की चाल तक पहुँचता है। सीधे आगे की दिशाओं के लिए हर ऋणात्मक हो जाता है, जिसका अर्थ है कि बाद में भेजे गए शिखर पहले पहुँचते हैं। अतः शंकु गुज़र जाने के बाद श्रोता एक साथ दो धाराएँ सुनता है, जिनमें से एक उल्टे क्रम में आती है।

कोई भी वस्तु जो अपने माध्यम की तरंगों से तेज़ है, ऐसा शंकु खींचती है, चाहे उसकी अपनी कोई ध्वनि हो या न हो: गोली; उथले पानी में नाव, जहाँ लंबी तरंगें सब $g h$ पर चलती हैं, जिसमें $h$ गहराई है; या पानी में अपने प्रकाश से तेज़ चलता आवेशित कण, $c / n \approx 0.75 c$ की चाल से, जिसका चेरेंकोव विकिरण रिएक्टर तालाबों के पानी को नीला चमकाता है।

प्रकाश, प्रतिध्वनि और रडार

प्रकाश को किसी माध्यम की ज़रूरत नहीं, इसलिए कोई हवा नहीं जो फ़्रेम चुने: केवल स्रोत और प्रेक्षक का सापेक्ष वेग मायने रख सकता है, और गिनने के दोनों तरीके एक ही उत्तर देने चाहिए। समय-फैलाव जोड़ने पर वे देते हैं: $β c$ चाल से चलती घड़ी, उस फ़्रेम से देखे जाने पर जिसमें वह चलती है, गुणक $1 - β^{2}$ से धीमी टिक-टिक करती है।

पहले प्रेक्षक के फ़्रेम में गिनें, जिसमें स्रोत $β = u / c$ से आ रहा है। उसकी धीमी घड़ी $f 1 - β^{2}$ पर उत्सर्जित करती है, और चलते-स्रोत का गुणक $1/ (1 - β)$ ऊपर से जुड़ता है: $f 1 - β^{2} / (1 - β)$ । अब स्रोत के फ़्रेम में गिनें, जहाँ प्रेक्षक आ रही है। वह स्रोत-समय के प्रति सेकंड $f (1 + β)$ शिखर मिलती है, पर उसकी अपनी घड़ी धीमी चलती है, इसलिए उसके समय के प्रति सेकंड वह गिनती है $f (1 + β) / 1 - β^{2}$ । चूँकि $1 - β^{2} = (1 - β) (1 + β)$ , दोनों घटकर
$f^{'} = f \frac{1 + β}{1 - β}$
हो जाते हैं।

इस समझौते के पीछे वही नियम है जो ध्वनि के लिए मिला था। कला $ω t - k x$ शिखर गिनती है, और सभी प्रेक्षक एक गिनती पर सहमत होते हैं, इसलिए $ω$ और $k$ फ़्रेमों के बीच एक साथ बदलते हैं, जैसे $t$ और $x$ बदलते हैं: ध्वनि के लिए गैलीलियाई फ़्रेम-परिवर्तन से, प्रकाश के लिए लॉरेंत्ज़ रूपांतरण से। अकेला समय-फैलाव ऐसा विस्थापन भी लाता है जिसका ध्वनि में कोई समकक्ष नहीं: अनुप्रस्थ डॉप्लर प्रभाव। जब स्रोत आपके बराबर होता है, तब उत्सर्जित प्रकाश $f 1 - β^{2}$ पर पहुँचता है, जो $f$ से नीचे है। $β = 0.1$ पर दूर जाते स्रोत के लिए $f^{'} / f = 0.9/1.1 \approx 0.905$ , तो उसकी लाल हाइड्रोजन रेखा 656.3 nm पर 725.6 nm के रूप में दिखती है।

एक चलते लक्ष्य से प्रतिध्वनि दो बार विस्थापित होती है। पहले लक्ष्य एक चलते प्रेक्षक का काम करता है और $f (v + u) / v$ पाता है; फिर वह उस ध्वनि को चलते स्रोत की तरह वापस भेजता है, जो $v / (v - u)$ से गुणा करता है। $u$ से आते लक्ष्य के लिए
$f^{''} = f \frac{v + u}{v - u} \approx f (1 + \frac{2 u}{v})$
जहाँ सन्निकटन तब लागू है जब $u$ , $v$ से बहुत छोटा हो। वही दोहरा विस्थापन तब भी लागू होता है जब स्रोत स्वयं एक स्थिर दीवार की ओर चलता हो: यदि एनिमेशन की सायरन-कार 170 m/s से सीधे दीवार की ओर चलती, तो उसका ड्राइवर प्रतिध्वनि $400 \cdot 510/170 = 1200 Hz$ पर सुनता।

रडार और चिकित्सा अल्ट्रासाउंड सन्निकटन का उपयोग करते हैं। वे प्रतिध्वनि को बाहर जाते संकेत के साथ मिलाते हैं और उनके बीच का विस्पंद $Δ f = f^{''} - f \approx 2 f u / v$ मापते हैं, जो लक्ष्य की चाल देता है। 24.125 GHz का ट्रैफ़िक रडार 30 m/s पर चलती कार को $Δ f = 2 f u / c \approx 4.8 kHz$ के साथ देखता है, और 5 MHz का अल्ट्रासाउंड प्रोब 0.5 m/s से बहते रक्त को (ऊतक में ध्वनि 1540 m/s चलती है) लगभग 3.2 kHz के साथ देखता है।

वैधता की सीमाएँ

सूत्र एक समान, स्थिर माध्यम और एकल तरंग-चाल मानते हैं। हवा में $v$ तापमान के साथ बढ़ता है और हवा के साथ बदल जाता है, और दोनों की प्रवणता (gradient) ध्वनि को सीधी दृष्टि-रेखा से मोड़ते हैं। वे यह भी मानते हैं कि स्रोत का वेग और दिशा एक आवर्तकाल में थोड़े बदलते हैं, 400 Hz सायरन के लिए 2.5 ms।

ये रैखिक भी हैं: ये ध्वनि को छोटे दाब-झूलों के रूप में लेते हैं, भाषण के लिए 100 000 Pa वायुमंडलीय दाब के ऊपर लगभग 0.02 Pa, जो ध्वनि की चाल बदले बिना जुड़ जाते हैं। $v_{s} = v$ के पास यह विफल होता है। इकट्ठे शिखर एक प्रबल संपीड़न बनाते हैं जो सामान्य ध्वनि से तेज़ चलता है, और सूत्र का अनंत $f^{'}$ एक आघात-मोर्चा बन जाता है, जो नाक के पास मुड़ा होता है और दूर बाहर मैक शंकु में सीधा हो जाता है। सोनिक बूम दसियों पास्कल ले जाता है, जो आम तौर पर नाक और पूँछ से दोहरे धमाके के रूप में सुनाई देता है। परिक्षेपण (dispersion), यानी तरंगदैर्ध्य पर निर्भर तरंग-चाल, शंकु को भी बदलता है: गहरे पानी पर, जहाँ लंबी तरंगें छोटी से तेज़ निकलती हैं, जहाज़ का पीछे का निशान चालों की विस्तृत सीमा में लगभग 19.5° का अर्ध-कोण रखता है।

ध्वनि के लिए, सापेक्षिकीय संशोधन कोटि $(v_{s} / c)^{2}$ के होते हैं, 170 m/s पर भी लगभग $3 \times 1 0^{- 13}$ , इसलिए गैलीलियाई सूत्र व्यवहार में सटीक हैं, जबकि स्रोत-प्रेक्षक असममिति, कोटि $(v_{s} / v)^{2}$ , वास्तविक है। प्रकाश के लिए, प्रथम-कोटि $Δ f / f \approx 2 u / c$ रडार के लिए पर्याप्त है, जहाँ $β \approx 1 0^{- 7}$ है, पर $β = 0.5$ पर सटीक एक-तरफ़ा गुणक $3 \approx 1.73$ है, न स्रोत-सूत्र का 2 और न प्रेक्षक-सूत्र का 1.5।

यह कहाँ ले जाता है

विशिष्ट आपेक्षिकता स्रोत-प्रेक्षक पहेली को आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य के लॉरेंत्ज़ रूपांतरण में बदल देती है, और विद्युत चुंबकीय तरंगें वे रेडियो तरंगें और प्रकाश बताती हैं जिनका रडार और खगोल विज्ञान उपयोग करते हैं। प्रतिध्वनि और संकेत के बीच के विस्पंद व्यतिकरण और अध्यारोपण से संबंधित हैं, और निकट आते सायरन की प्रबलता प्रबलता, तीव्रता और डेसिबल से। परमाणुओं की ऊष्मीय गति वर्णक्रमीय रेखाओं को कुछ पार्ट्स प्रति मिलियन से चौड़ा करती है, जो “गैसों का अणुगति सिद्धांत” को “परमाणु मॉडल: बोर परमाणु” से जोड़ता है। “वक्र दिक्-काल के रूप में गुरुत्व” एक भिन्न विस्थापन का वर्णन करता है, गुरुत्वीय क्षेत्र में घड़ियों का, जिसे डॉप्लर प्रभाव से भ्रमित नहीं करना चाहिए।

मुख्य सूत्र

स्थिर श्रोता की ओर आता चलता स्रोत

f^{'} = \frac{f v}{v - v _{s}} (source approaching)

स्रोत दो शिखरों के बीच श्रोता की ओर $v_{s} T$ चलता है, इसलिए सामने के शिखर $v / f$ के बजाय $(v - v_{s}) / f$ दूरी पर पैक होते हैं। वे अब भी $v$ से चलते हैं, इसलिए श्रोता हर सेकंड $v$ को उस अंतर से भाग देकर पाता है। जैसे-जैसे $v_{s}$ , $v$ के निकट पहुँचता है, आवृत्ति बिना सीमा के बढ़ती है।

चिह्न
$f^{'}$	श्रोता द्वारा सुनी गई आवृत्ति	$Hz$
$f$	स्रोत द्वारा उत्सर्जित आवृत्ति	$Hz$
$v$	हवा के सापेक्ष ध्वनि की चाल	$m/s$
$v_{s}$	हवा के सापेक्ष स्रोत की श्रोता की ओर चाल	$m/s$

कब लागू होता है: स्थिर हवा में सीधे स्थिर श्रोता की ओर चलते और ध्वनि से धीमे स्रोत के लिए। कोण पर $f^{'} = f / (1 - (v_{s} / v) cos θ)$ का उपयोग करें; जब $v_{s}$ , $v$ तक पहुँचता है तो उसके बजाय आघात बनता है।

उदाहरण: एनिमेशन का 400 Hz सायरन, 170 m/s पर, हवा में 340 m/s पर: $f^{'} = 400 \cdot 340/170 = 800 Hz$ ।

स्थिर श्रोता से दूर जाता चलता स्रोत

f^{'} = \frac{f v}{v + v _{s}} (source receding)

स्रोत के पीछे हर नया शिखर पिछले से $v_{s} T$ दूर शुरू होता है, इसलिए शिखर $(v + v_{s}) / f$ दूरी पर फैलते हैं और कम बार पहुँचते हैं। पास आने की स्थिति से भिन्न, विस्थापन किसी भी चाल पर मध्यम रहता है: मैक 1 पर स्वर ठीक आधा हो जाता है।

चिह्न
$f^{'}$	श्रोता द्वारा सुनी गई आवृत्ति	$Hz$
$f$	स्रोत द्वारा उत्सर्जित आवृत्ति	$Hz$
$v$	हवा के सापेक्ष ध्वनि की चाल	$m/s$
$v_{s}$	हवा के सापेक्ष स्रोत की श्रोता से दूर जाने की चाल	$m/s$

कब लागू होता है: स्थिर हवा में चलते स्रोत के ठीक पीछे स्थिर श्रोता के लिए; यह किसी भी स्रोत-चाल पर लागू होता है।

उदाहरण: एनिमेशन का सायरन पीछे से सुना गया: $f^{'} = 400 \cdot 340/510 \approx 267 Hz$ ।

स्थिर स्रोत की ओर आता चलता प्रेक्षक

f^{'} = \frac{f ( v + v _{o} )}{v} (observer approaching)

स्रोत स्थिर है, इसलिए उसके शिखर अपना सामान्य अंतर $λ = v / f$ रखते हैं; प्रेक्षक बस उनसे सापेक्ष चाल $v + v_{o}$ से टकराता है। स्रोत की गति के विपरीत, प्रेक्षक की गति हवा में तरंग को नहीं बदलती, इसीलिए एक ही चाल पर दोनों सूत्र भिन्न हैं। दूर जाते समय $v_{o}$ को $- v_{o}$ से बदलें।

चिह्न
$f^{'}$	चलते प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति	$Hz$
$f$	स्रोत द्वारा उत्सर्जित आवृत्ति	$Hz$
$v$	हवा के सापेक्ष ध्वनि की चाल	$m/s$
$v_{o}$	हवा के सापेक्ष प्रेक्षक की स्रोत की ओर चाल	$m/s$

कब लागू होता है: स्थिर हवा में सीधे एक स्थिर स्रोत की ओर चलते प्रेक्षक के लिए। कोण पर केवल प्रेक्षक के वेग का वह घटक गिना जाता है जो स्रोत की ओर की रेखा के अनुदिश है।

उदाहरण: 25 m/s से एक स्थिर 700 Hz अलार्म की ओर चलते हुए, जहाँ $v = 343 m/s$ : $f^{'} = 700 \cdot 368/343 \approx 751 Hz$ ।

चलते स्रोत के सामने तरंगदैर्ध्य

λ^{'} = \frac{v - v _{s}}{f} (in front of the source)

दो शिखरों के बीच पिछला शिखर $v T$ आगे चलता है, जबकि स्रोत उसके पीछे $v_{s} T$ चलता है, इसलिए अंतर $(v - v_{s}) T = (v - v_{s}) / f$ है। यह हवा में तरंग का अपना बदलाव है, जिसे हर प्रेक्षक, चलता हो या न हो, समान पाता है। स्रोत के पीछे अंतर $(v + v_{s}) / f$ है।

चिह्न
$λ^{'}$	स्रोत के सामने हवा में तरंगदैर्ध्य	$m$
$v$	हवा के सापेक्ष ध्वनि की चाल	$m/s$
$v_{s}$	हवा के सापेक्ष स्रोत की चाल	$m/s$
$f$	स्रोत द्वारा उत्सर्जित आवृत्ति	$Hz$

कब लागू होता है: स्थिर हवा में ध्वनि की चाल से नीचे, स्थिर गति से चलते स्रोत के ठीक सामने; $v_{s} = v$ पर अंतर शून्य हो जाता है और शिखर एक मोर्चे में मिल जाते हैं।

उदाहरण: एनिमेशन में, $λ^{'} = (340 - 170) /400 = 0.425 m$ (0.43 m दिखाया गया), स्थिर सायरन के 0.85 m के मुकाबले।

किसी भी कोण पर चलता स्रोत

f^{'} = \frac{f}{1 - ( v _{s} / v ) cos θ}

हर शिखर पिछले से श्रोता के अधिक निकट से शुरू होता है, स्रोत के कदम के त्रिज्य घटक $v_{s} T cos θ$ जितना, इसलिए शिखर $T (1 - (v_{s} / v) cos θ)$ अंतर पर आते हैं। कोण उत्सर्जन के क्षण पर लिया जाता है: जो शिखर आप अभी सुनते हैं वह तब निकला था जब स्रोत कहीं और था। सामने ( $θ = 0$ ) और पीछे ( $θ = 18 0^{\circ}$ ) यह पहले दो सूत्रों तक घटता है; $θ = 9 0^{\circ}$ पर कोई विस्थापन नहीं होता।

चिह्न
$f^{'}$	श्रोता द्वारा सुनी गई आवृत्ति	$Hz$
$f$	स्रोत द्वारा उत्सर्जित आवृत्ति	$Hz$
$v_{s}$	हवा के सापेक्ष स्रोत की चाल	$m/s$
$v$	हवा के सापेक्ष ध्वनि की चाल	$m/s$
$θ$	उत्सर्जन के समय स्रोत के वेग और श्रोता की दिशा के बीच का कोण	$rad$

कब लागू होता है: स्थिर हवा में स्थिर श्रोता के लिए, जो इतना दूर हो कि स्रोत एक आवर्तकाल में दूरी का केवल छोटा अंश चले। ध्वनि से तेज़ स्रोत के लिए हर शून्य हो सकता है या ऋणात्मक हो सकता है: तब शिखर या तो मैक शंकु पर एक साथ पहुँचते हैं, या उल्टे क्रम में।

उदाहरण: एनिमेशन का श्रोता C, जब सायरन उसके पास से गुज़रता है, लगभग 533 Hz सुनता है, $θ = 6 0^{\circ}$ पर उत्सर्जित शिखर से: $400/ (1 - 0.5 \cdot 0.5) \approx 533 Hz$ ।

मैक शंकु का अर्ध-कोण

sin α = \frac{v}{v _{s}} (Mach cone)

$τ$ पहले उत्सर्जित शिखर त्रिज्या $vτ$ का एक गोला है, जिसका केंद्र ध्वनि से तेज़ स्रोत के $v_{s} τ$ पीछे है। ये सब गोले एक शंकु को छूते हैं जिसका शीर्ष स्रोत पर है, और स्रोत, एक केंद्र और स्पर्श-बिंदु से बना समकोण त्रिभुज $sin α = vτ / (v_{s} τ)$ देता है। स्रोत जितना तेज़, शंकु उतना संकरा।

चिह्न
$α$	शंकु का अर्ध-कोण	$rad$
$v$	माध्यम में तरंगों की चाल	$m/s$
$v_{s}$	स्रोत की चाल	$m/s$

कब लागू होता है: केवल $v_{s} > v$ के लिए, और उन तरंगों के लिए जिनकी चाल उनकी तरंगदैर्ध्य पर निर्भर नहीं करती: हवा में ध्वनि, उथले पानी पर लंबी तरंगें; काँच या पानी में प्रकाश थोड़ा परिक्षेपी है, इसलिए हर रंग का शंकु थोड़ा भिन्न होता है। नाक के पास एक प्रबल आघात $v$ से तेज़ चलता है और शंकु को मोड़ता है; गहरे पानी पर जहाज़ का पीछे का निशान इसके बजाय लगभग 19.5° रखता है।

उदाहरण: मैक 2 पर एक जेट: $sin α = 1/2$ , इसलिए $α = 3 0^{\circ}$ ।

शब्दावली

डॉप्लर प्रभाव: स्रोत, प्रेक्षक या दोनों की गति से तरंग स्रोत से प्राप्त आवृत्ति में होने वाला बदलाव। पास आता सायरन ऊँचा और दूर जाता नीचा सुनाई देता है, जबकि सायरन स्वयं अपना स्वर कभी नहीं बदलता।
डॉप्लर विस्थापन: उस बदलाव का आकार, $Δ f = f^{'} - f$ : पास आने पर धनात्मक, दूर जाने पर ऋणात्मक। प्रकाश के लिए इसे नीला-विस्थापन या लाल-विस्थापन कहते हैं, क्योंकि वर्णक्रमीय रेखाएँ वर्णक्रम के नीले या लाल सिरे की ओर खिसकती हैं।
पिच: कोई ध्वनि कितनी ऊँची या नीची लगती है, जो कान तक पहुँचने वाली आवृत्ति तय करती है। यह प्रबलता नहीं है: पास आता सायरन ऊँचा और तेज़ दोनों होता है, दो अलग कारणों से।
ध्वनि की चाल: वह चाल जिससे ध्वनि के शिखर माध्यम में चलते हैं, जो माध्यम की कठोरता और घनत्व से तय होती है, स्रोत से नहीं। हवा में 20 °C पर लगभग 343 m/s, और हर डिग्री पर लगभग 0.6 m/s बढ़ती है; पानी में लगभग 1480 m/s है।
तरंगाग्र: वह सतह जिस पर तरंग की कला समान है, जैसे एक शिखर। स्थिर हवा में एक छोटे स्रोत से तरंगाग्र गोले होते हैं (एनिमेशन में वृत्त), हर एक उस जगह केंद्रित जहाँ स्रोत ने उसे उत्सर्जित करते समय था।
माध्यम का विराम फ़्रेम: वह फ़्रेम जिसमें हवा (या पानी) स्थिर है। केवल इसी फ़्रेम में ध्वनि हर दिशा में समान चाल $v$ से चलती है, इसलिए डॉप्लर सूत्र हर चाल को इसके सापेक्ष मापते हैं; प्रकाश का ऐसा कोई फ़्रेम नहीं है।
त्रिज्य वेग: स्रोत और प्रेक्षक को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश वेग का घटक, स्रोत के लिए $v_{s} cos θ$ । यह प्रथम-कोटि डॉप्लर विस्थापन तय करता है; दृष्टि-रेखा के आर-पार की गति ध्वनि के लिए कोई विस्थापन नहीं देती।
विलंबित समय: वह पूर्वतर क्षण जब अभी सुने जा रहे शिखर का उत्सर्जन हुआ था, एक आगमन-विलंब $r / v$ पहले। डॉप्लर सूत्र में कोण $θ$ उसी क्षण पर लिया जाता है, इसीलिए गुज़रता सायरन ठीक $f$ पर तभी सुनाई देता है जब वह गुज़र चुका हो।
मैक संख्या: किसी पिंड की चाल का ध्वनि की चाल से अनुपात, $v_{s} / v$ । एनिमेशन का सायरन मैक 0.5 पर चलता है; मैक 1 से ऊपर कोई पिंड अपनी तरंगों से आगे निकल जाता है।
मैक शंकु: वह शंकु जिसे किसी स्रोत के सभी तरंगाग्र छूते हैं जो अपनी तरंगों से तेज़ है, जिसका अर्ध-कोण $α$ है और $sin α = v / v_{s}$ से दिया जाता है। उस पर का दाब-उछाल एक आघात-तरंग है, जो शंकु के गुज़रने पर ज़मीन पर सोनिक बूम के रूप में सुनी जाती है।
चेरेंकोव विकिरण: एक आवेशित कण द्वारा उत्सर्जित प्रकाश, जो किसी पदार्थ में, उस पदार्थ में प्रकाश की चाल से तेज़ चलता है, जैसे पानी में 0.75 c से तेज़ इलेक्ट्रॉन। यह एक शंकु बनाता है, सोनिक बूम का प्रकाशीय समकक्ष, और रिएक्टर तालाबों की नीली चमक का कारण है।
डॉप्लर रडार और अल्ट्रासाउंड: ऐसे यंत्र जो एक तरंग भेजते हैं और चलते लक्ष्य से प्रतिध्वनि की आवृत्ति मापते हैं। प्रतिध्वनि दो बार विस्थापित होती है, $Δ f \approx 2 f u / v$ , और उसे बाहर जाते संकेत के साथ मिलाने पर $Δ f$ पर एक विस्पंद मिलता है।

राशियाँ
$f$	स्रोत आवृत्ति	$Hz$	स्रोत द्वारा प्रति सेकंड उत्सर्जित शिखरों की संख्या, उसके साथ चलते किसी प्रेक्षक द्वारा मापी गई: एनिमेशन के सायरन के लिए 400 Hz।
$f^{'}$	सुनी गई आवृत्ति	$Hz$	प्रति सेकंड श्रोता तक पहुँचने वाले शिखरों की संख्या, जो पिच के रूप में सुनाई देती है: एनिमेशन के सायरन के सामने 800 Hz और पीछे लगभग 267 Hz।
$v$	ध्वनि की चाल	$m/s$	माध्यम के सापेक्ष तरंगों की चाल: 20 °C पर हवा में लगभग 343 m/s, एनिमेशन में 340 m/s तक पूर्णांकित।
$v_{s}$	स्रोत की चाल	$m/s$	हवा के सापेक्ष स्रोत की चाल: एनिमेशन में 170 m/s, ध्वनि की चाल का आधा।
$v_{o}$	प्रेक्षक की चाल	$m/s$	हवा के सापेक्ष श्रोता की चाल, $f^{'} = f (v + v_{o}) / v$ में स्रोत की ओर धनात्मक गिनी गई।
$λ$	तरंगदैर्ध्य	$m$	पड़ोसी शिखरों के बीच की दूरी, स्थिर स्रोत के लिए $λ = v / f$ : 340 m/s पर हवा में 400 Hz के लिए 0.85 m।
$λ^{'}$	परिवर्तित तरंगदैर्ध्य	$m$	चलते स्रोत के सामने हवा में शिखरों का अंतर, $(v - v_{s}) / f$ , या उसके पीछे, $(v + v_{s}) / f$ : एनिमेशन में 0.425 m और 1.275 m।
$θ$	उत्सर्जन कोण	$rad$	उत्सर्जन के समय स्रोत के वेग और स्रोत से श्रोता की दिशा के बीच का कोण: सीधे आगे $0$ , सीधे पीछे $π$ (180°)।
$α$	मैक शंकु का अर्ध-कोण	$rad$	ध्वनि से तेज़ स्रोत द्वारा खींचे गए शंकु के खुले कोण का आधा, $sin α = v / v_{s}$ : मैक 2 पर $3 0^{\circ}$ ।
$Δ f$	डॉप्लर विस्थापन	$Hz$	सुनी गई आवृत्ति में से उत्सर्जित आवृत्ति घटाने पर मिलने वाला अंतर, $f^{'} - f$ ; $u$ चाल से चलते लक्ष्य की प्रतिध्वनि के लिए लगभग $2 f u / v$ ।

क्विज़

शुरुआती एक सायरन बजाती एम्बुलेंस आपकी ओर आती है, आपके पास से गुज़रती है और दूर चली जाती है। आपको क्या सुनाई देता है?
1. हर समय पास आने के साथ लगातार बढ़ती हुई पिच
2. पूरे समय एक ही पिच, बस पहले तेज़ और फिर धीमी आवाज़ के साथ
3. पास आते समय ऊँची पिच, और गुज़रने के बाद नीची पिच
4. पास आते समय नीची पिच, और दूर जाते समय ऊँची पिच
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उत्तर: C. पास आते समय ऊँची पिच, और गुज़रने के बाद नीची पिच
एम्बुलेंस के पास आते समय शिखर आपके पास सिमटकर पहुँचते हैं, इसलिए पिच ऊँची होती है। दूर जाते समय वे फैलकर पहुँचते हैं और पिच नीची हो जाती है।
शुरुआती चलती एम्बुलेंस के सामने सायरन की पिच ऊँची क्यों सुनाई देती है?
1. तरंग-शिखर सिमट जाते हैं, इसलिए वे अधिक बार आपके पास पहुँचते हैं
2. चलने पर सायरन सचमुच ऊँचा स्वर बजाता है
3. चलते वाहन के सामने ध्वनि बहुत तेज़ चलती है
4. सामने ध्वनि ज़्यादा तेज़ होती है, और तेज़ ध्वनि ऊँची होती है
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उत्तर: A. तरंग-शिखर सिमट जाते हैं, इसलिए वे अधिक बार आपके पास पहुँचते हैं
हर शिखर पिछले से थोड़ा आगे उत्सर्जित होता है, इसलिए सामने वे पास-पास आ जाते हैं और अधिक बार पहुँचते हैं। सायरन का अपना स्वर नहीं बदलता।
शुरुआती छत पर लगे सायरन की पिच ड्राइवर को कैसी सुनाई देती है?
1. ऊँची पिच
2. सायरन की सामान्य पिच
3. नीची पिच
4. ऐसी पिच जो लगातार ऊपर-नीचे होती रहे
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उत्तर: B. सायरन की सामान्य पिच
ड्राइवर सायरन के साथ ही चलता है, इसलिए उनके बीच कोई गति नहीं और डॉप्लर विस्थापन नहीं होता।
मध्यम 500 Hz का एक सायरन 30 m/s की चाल से आपकी ओर आ रहा है। ध्वनि की चाल 340 m/s है। आपको कौन-सी आवृत्ति सुनाई देगी?
1. लगभग 459 Hz
2. लगभग 544 Hz
3. 530 Hz
4. लगभग 548 Hz
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उत्तर: D. लगभग 548 Hz
f′ = f·v/(v − v_s) = 500 × 340 ÷ 310 ≈ 548 Hz. 459 Hz दूर जाने वाला मान है, 544 Hz प्रेक्षक-सूत्र से आता है, और 530 Hz गलती से चाल को आवृत्ति में जोड़ देता है।
मध्यम 400 Hz का एक स्रोत 40 m/s से ऐसी हवा में चलता है जहाँ ध्वनि 340 m/s से चलती है। उसके ठीक सामने तरंगदैर्ध्य कितनी है?
1. 0.85 m
2. 0.75 m
3. 0.95 m
4. 0.80 m
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उत्तर: B. 0.75 m
λ′ = (v − v_s)/f = 300 ÷ 400 = 0.75 m. 0.85 m स्रोत के स्थिर होने पर तरंगदैर्ध्य है, और 0.95 m उसके पीछे का मान है।
मध्यम 30 m/s से एक स्थिर श्रोता की ओर चलते स्रोत की तुलना 30 m/s से एक स्थिर स्रोत की ओर चलते श्रोता से करें। कौन-सा कथन सही है?
1. चलता स्रोत थोड़ा बड़ा विस्थापन देता है
2. दोनों में बिल्कुल एक ही विस्थापन होता है, क्योंकि केवल सापेक्ष चाल मायने रखती है
3. केवल चलता स्रोत विस्थापन पैदा करता है
4. केवल चलता श्रोता विस्थापन पैदा करता है
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उत्तर: A. चलता स्रोत थोड़ा बड़ा विस्थापन देता है
f·v/(v − u) थोड़ा बड़ा है, f·(v + u)/v से। ध्वनि हवा में चलती है, इसलिए मायने रखता है कि कौन हवा के सापेक्ष चल रहा है: केवल स्रोत की गति तरंगदैर्ध्य बदलती है।
उन्नत एक कार सीधी सड़क पर चलती है और सड़क किनारे खड़े श्रोता के पास से गुज़रती है। जिस क्षण कार श्रोता के बराबर है, उस समय उत्सर्जित शिखर किस आवृत्ति से सुनाई देता है?
1. f·v/(v − v_s)
2. f·v/(v + v_s)
3. ठीक f
4. शून्य
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उत्तर: C. ठीक f
f′ = f/(1 − (v_s/v)·cos θ), जहाँ θ उत्सर्जन के क्षण पर मापा जाता है। जिस शिखर को कार श्रोता के बराबर होने पर उत्सर्जित करती है, उसके लिए θ = 90° है, इसलिए cos θ = 0 और f′ = f ठीक। श्रोता वह शिखर थोड़ी देर बाद सुनता है, सड़क से दूरी पार करने के बाद।
उन्नत एक जेट विमान मैक 2 पर उड़ता है। उसके मैक शंकु का अर्ध-कोण कितना है?
1. 60°
2. 45°
3. 27°
4. 30°
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उत्तर: D. 30°
sin α = v/v_s = 1/2, इसलिए α = 30°. 60° कोण को उसके पूरक से भ्रमित करता है, और 27° sin की जगह tan लेने से आता है।

$t$	समय।	$s$
$f^{'}$	$C$ द्वारा सुनी गई आवृत्ति।	$Hz$
$f$	सायरन की आवृत्ति (बिंदुकित रेखा)।	$Hz$
$t_{1}$	वह क्षण जब सायरन $C$ के बराबर है।	$s$
$t_{2}$	वह क्षण जब $f^{'}$ , $f$ के बराबर होता है: $t_{1}$ पर बगल में भेजा गया शिखर पहुँचता है।	$s$
$d / v$	ध्वनि को सड़क से $C$ तक की दूरी $d$ पार करने में लगने वाला समय।	$s$
$d f^{'} / d t$	$t_{1}$ पर वक्र की ढलान: सुनी गई पिच कितनी तेज़ गिरती है।	$Hz/s$

$C$	श्रोता, जो स्थिर हवा में स्थिर है।
$S_{n}$	जहाँ सायरन शिखर $n$ भेजते समय है।
$S_{n + 1}$	जहाँ वह शिखर $n + 1$ भेजते समय है, एक आवर्तकाल बाद।
$T$	सायरन का आवर्तकाल, $T = 1/ f$ ।	$s$
$v_{s} T$	सायरन द्वारा एक आवर्तकाल में उसके वेग के अनुदिश तय की गई दूरी।	$m$
$r_{n}$	शिखर $n$ के पथ की लंबाई, $S_{n}$ से $C$ तक।	$m$
$r_{n + 1}$	शिखर $n + 1$ के पथ की लंबाई, $S_{n + 1}$ से $C$ तक।	$m$
$θ$	उत्सर्जन के क्षण पर सायरन के वेग और $C$ की रेखा के बीच का कोण।	$rad$
$v_{s} T cos θ$	$C$ की रेखा के अनुदिश कदम $v_{s} T$ का घटक: दूसरा पथ कितना छोटा है।	$m$

$x$	स्रोत से श्रोता की ओर की रेखा के अनुदिश स्थिति; स्रोत $x = 0$ पर है।	$m$
$t$	समय।	$s$
$T$	स्रोत द्वारा भेजे गए दो शिखरों के बीच का समय: आवर्तकाल।	$s$
$T^{'}$	चलते श्रोता द्वारा मिले दो शिखरों के बीच का समय, यहाँ $2 T /3$ ।	$s$
$λ$	तरंगदैर्ध्य: पड़ोसी शिखरों के बीच की दूरी, $λ = v T$ ।	$m$
$v_{o}$	स्रोत की ओर चलते श्रोता की चाल, यहाँ $v /2$ ।	$m/s$

$C$	सड़क के किनारे खड़ा श्रोता।
$S_{e}$	जहाँ सायरन था जब उसने वह शिखर भेजा जो अब $C$ तक पहुँचता है।
$S$	जहाँ सायरन अभी है, $C$ के बराबर।
$d$	सड़क से $C$ तक की दूरी।	$m$
$τ$	वह समय जितना शिखर $S_{e}$ से निकलने के बाद से चल रहा है।	$s$
$vτ$	शिखर द्वारा तय की गई दूरी, $S_{e}$ से $C$ तक।	$m$
$v_{s} τ$	उस समय में सायरन द्वारा तय की गई दूरी, $S_{e}$ से $S$ तक।	$m$
$θ$	उत्सर्जन कोण: सायरन के वेग और $S_{e}$ से $C$ तक की रेखा के बीच।	$rad$