प्रबलता, तीव्रता और डेसिबल

ध्वनि दूरी के साथ क्षीण क्यों होती है, $I = P / (4 π r^{2})$ , और डेसिबल पैमाना $β = 10 lo g_{10} (I / I_{0})$ तीव्रताओं की विशाल परास को रोज़मर्रा की संख्याओं में कैसे समेट देता है।

एक लाउडस्पीकर गोलाकार ध्वनि-तरंगें भेजता है। दूरी r पर एक वर्ग से गुज़रने वाली शक्ति 2r पर चार वर्गों में फैल जाती है, इसलिए तीव्रता 1/r² के अनुपात में घटती है और दूरी दोगुनी होने पर स्तर 6 dB गिर जाता है।

इस विषय से पहले: ध्वनि और डॉप्लर प्रभाव

शुरुआती

मुख्य विचार

ध्वनि हर दिशा में फैलती है, इसलिए वह जितनी दूर जाती है, उतने ही बड़े क्षेत्रफल में वही ऊर्जा फैल जाती है।
स्रोत से दोगुनी दूरी पर ध्वनि 4 गुने क्षेत्रफल में फैली होती है, इसलिए आपको उसका केवल एक-चौथाई मिलता है।
ध्वनि-स्तर डेसिबल (dB) में मापा जाता है: हर अतिरिक्त 10 dB का अर्थ है ध्वनि-तीव्रता दस गुना।
तारत्व (ऊँचा या नीचा) और प्रबलता (तेज़ या धीमी) ध्वनि के अलग-अलग गुण हैं।
लगभग 85 dB से ऊपर की ध्वनि में घंटों रहने से आपकी सुनने की क्षमता स्थायी रूप से खराब हो सकती है।

स्प्रे पेंट का डिब्बा दीवार के बहुत पास रखें तो एक छोटा, मोटा धब्बा बनेगा। दोगुनी दूरी पर वही पेंट दोगुनी चौड़ाई और दोगुनी ऊँचाई वाला, यानी चार गुना क्षेत्र ढक लेगा, इसलिए परत चार गुना पतली होगी। लाउडस्पीकर की ध्वनि भी इसी तरह हर दिशा में फैलती है, जैसे फैलता हुआ बुलबुला। एनिमेशन के नीले वलय वही बुलबुला हैं, और वे बढ़ते हुए क्षीण होते जाते हैं।

लाउडस्पीकर हर सेकंड समान ध्वनि-ऊर्जा भेजता है। तीव्रता वह है जो हर सेकंड प्रति वर्ग मीटर पर पहुँचती है, और उसे वाट प्रति वर्ग मीटर में मापा जाता है। सुनहरे वर्गों को देखें: लाउडस्पीकर के पास एक वर्ग से गुज़रने वाली ध्वनि दोगुनी दूरी पर स्थित चार समान वर्गों में बँट जाती है, इसलिए उनमें से हर एक को केवल एक-चौथाई मिलता है।

हमारे कान एक विशाल परास सँभालते हैं, सबसे धीमी ध्वनि से लेकर उस शोर तक जिसकी तीव्रता दस लाख करोड़ गुना अधिक है। संख्याओं को सहज रखने के लिए हम डेसिबल (dB) का प्रयोग करते हैं, जो चार्ट पर दिखाए गए हैं: हर 10 dB की छलांग का अर्थ है दस गुना तीव्रता। इसलिए 60 dB, 40 dB से सौ गुना तीव्र है। दोगुनी दूरी पर जाने से लगभग 6 dB घटता है।

प्रबलता का हमारा बोध संख्याओं से अधिक संयत है: किसी ध्वनि को दोगुना तेज़ लगने के लिए लगभग दस गुना तीव्रता, यानी 10 dB अधिक, चाहिए। और प्रबलता तारत्व नहीं है: ऊँचा या नीचा होना आवृत्ति पर निर्भर करता है, इसलिए धीमी सीटी ऊँची हो सकती है और तेज़ ढोल नीचा।

अपने कानों का ध्यान रखें: लगभग 85 dB से ऊपर की ध्वनि में घंटों रहने से वे स्थायी रूप से क्षतिग्रस्त हो सकते हैं।

स्वयं जाँचें: एक रेडियो 70 dB पर बज रहा है और दूसरी ध्वनि 90 dB तक पहुँचती है। उसकी तीव्रता कितने गुना है? (100 गुना: 10 dB के दो चरण।)

मध्यम

मुख्य विचार

तीव्रता प्रति क्षेत्रफल शक्ति है: सभी दिशाओं में समान रूप से विकिरण करने वाले स्रोत के लिए $I = P / (4 π r^{2})$ , W/m² में।
व्युत्क्रम-वर्ग नियम: $r$ दोगुना करने पर $I$ 4 गुना घट जाता है; $r$ तिगुना करने पर वह 9 गुना घट जाता है।
$β = 10 lo g_{10} (I / I_{0})$ , जहाँ $I_{0} = 1 0^{- 12} W/ m^{2}$ है: $I$ में $\times 10$ से $+ 10$ dB, $\times 2$ से $+ 3$ dB और $\div 4$ से $- 6$ dB।
डेसिबल जुड़ते नहीं: दो समान स्वतंत्र 80 dB स्रोत मिलकर 83 dB देते हैं, 160 dB नहीं।

तीव्रता: प्रति वर्ग मीटर से गुज़रती शक्ति

किसी स्रोत की ध्वनिक शक्ति $P$ वह ध्वनि-ऊर्जा है जो वह हर सेकंड उत्सर्जित करता है, वाट में। ध्वनि कम ऊर्जा ले जाती है: एक सामान्य लाउडस्पीकर अपनी विद्युत शक्ति का 1 % या उससे भी कम ध्वनि में बदलता है, और एनिमेशन वाला लाउडस्पीकर केवल $P = 10 mW$ विकिरित करता है।

आपका कान उस शक्ति का केवल वह भाग एकत्र करता है जो उसके अपने छोटे क्षेत्रफल पर पड़ता है। तीव्रता वह शक्ति है जो ध्वनि की ओर मुख वाली सतह के प्रत्येक वर्ग मीटर से गुज़रती है:
$I = \frac{P}{A}$

इसे W/m² में मापा जाता है और यह किसी एक स्थान पर ध्वनि का वर्णन करती है, स्रोत का नहीं। इसे प्रबलता से अलग रखें, यानी श्रोता को ध्वनि कितनी तेज़ लगती है, और तारत्व से भी, यानी ऊँचा या नीचा, जो मुख्यतः आवृत्ति से तय होता है।

व्युत्क्रम-वर्ग नियम

कल्पना करें कि एक छोटा स्रोत सभी दिशाओं में समान रूप से ध्वनि भेज रहा है। दूरी $r$ पर वह हर सेकंड जो ऊर्जा उत्सर्जित करता है, वह क्षेत्रफल $4 π r^{2}$ वाले गोले पर फैल जाती है, इसलिए एक बिंदु-स्रोत की तीव्रता होगी
$I = \frac{P}{4 π r ^{2}}$

दूरी दोगुनी करने पर गोला चार गुना बड़ा हो जाता है, इसलिए तीव्रता एक-चौथाई रह जाती है; दूरी तिगुनी करने पर तीव्रता 9 गुना घट जाती है। दो दूरियों की तुलना करते समय $P$ और $4 π$ कट जाते हैं:
$\frac{I _{2}}{I _{1}} = (\frac{r _{1}}{r _{2}})^{2}$

एनिमेशन में सुनहरा पिरामिड यह ज्यामिति दिखाता है। $r = 2 m$ पर एक वर्ग के कोनों से होकर जाने वाली किरणें 4 m पर एक ऐसा वर्ग घेरती हैं जिसकी चौड़ाई और ऊँचाई दोगुनी है: चार समान वर्ग, जिन पर $I /4$ लिखा है। एक वर्ग से गुज़री ऊर्जा चार में बँट जाती है: कुछ भी नष्ट नहीं होता, वह बस अधिक पतली परत में फैल जाती है।

डेसिबल पैमाना

कान की परास बहुत विशाल है: लगभग $1 0^{- 12} W/ m^{2}$ से, जो एक युवा श्रोता को सुनाई देने वाला सबसे मद्धम 1 kHz स्वर है, लगभग 10 W/m² तक, जहाँ ध्वनि पीड़ादायक हो जाती है। तेरह घातों में फैली संख्याओं के बजाय हम घातें गिनते हैं। ध्वनि-तीव्रता स्तर है
$β = 10 lo g_{10} \frac{I}{I _{0}}, I_{0} = 1 0^{- 12} W/ m^{2}$
डेसिबल (dB) में। तीव्रता में 10 का गुणक 10 dB जोड़ता है और 100 का गुणक 20 dB; चूँकि $lo g_{10} 2 = 0.301$ , दोगुना होने पर 3.0 dB और चार गुना होने पर 6.0 dB जुड़ते हैं।

इससे दो व्यावहारिक नियम निकलते हैं। चूँकि $I_{2} / I_{1} = (r_{1} / r_{2})^{2}$ , लघुगणक वर्ग को गुणक 2 में बदल देता है, और $10 \cdot 2 = 20$ : स्तर दूरी के दस गुना होने पर 20 dB और दोगुनी होने पर 6 dB गिरता है। चूँकि स्वतंत्र स्रोतों की तीव्रताएँ जुड़ती हैं, $N$ समान स्रोत स्तर को $10 lo g_{10} N$ से बढ़ाते हैं:

$β_{2} = β_{1} - 20 lo g_{10} (\frac{r _{2}}{r _{1}})$
$β_{N} = β_{1} + 10 lo g_{10} N (N equal incoherent sources)$

उदाहरण: एनिमेशन का मीटर

लाउडस्पीकर $P = 10 mW = 0.010 W$ विकिरित करता है। निकट के श्रोता के लिए, $r = 2 m$ पर:
$A = 4 π r^{2} = 4 π \cdot 2^{2} = 50.3 m^{2}$
$I = \frac{0.010 W}{50.3 m ^{2}} = 1.99 \times 1 0^{- 4} W/ m^{2}$
अतः $I / I_{0} = 1.99 \times 1 0^{8}$ और
$β = 10 lo g_{10} (1.99 \times 1 0^{8}) = 10 \cdot 8.30 = 83.0 dB$

4 m पर स्थित दूर के श्रोता को उस तीव्रता का एक-चौथाई मिलता है, $4.97 \times 1 0^{- 5} W/ m^{2}$ , और स्तर $83.0 - 20 lo g_{10} 2 = 77.0 dB$ होता है। ये वे $I$ और $β$ पाठ्यांक हैं जो लाल मीटर के श्रोताओं की दूरी तक पहुँचने पर दिखते हैं: लगभग 199 µW/m² और 83.0 dB, फिर 49.7 µW/m² और 77.0 dB।

मीटर 1 m (795.8 µW/m², 89.0 dB) से शुरू होता है और 8 m (12.4 µW/m², 70.9 dB) पर समाप्त होता है। उसकी दूरी हर 2 s में दोगुनी होती है, इसलिए हर चरण तीव्रता को 4 से भाग देता है और स्तर को उतने ही 6.0 dB घटाता है, और सूचक चार्ट पर बराबर चरणों में नीचे खिसकता है। पूरी यात्रा में तीव्रता 64 गुना सिकुड़ती है, फिर भी स्तर केवल 18 dB गिरता है।

उदाहरण: ड्रिल से सुरक्षित दूरी

न्यूमैटिक ड्रिल से 2 m दूर रखे मीटर का पाठ्यांक 100 dB है। चार्ट पर श्रवण-जोखिम का चिह्न 85 dB है; स्तर इस चिह्न तक गिराने के लिए आपको कितनी दूर होना होगा? 2 m पर, $I = I_{0} \cdot 1 0^{100/10} = 0.01 W/ m^{2}$ ; यदि ड्रिल सभी दिशाओं में समान रूप से विकिरित करे, तो उसकी ध्वनिक शक्ति होगी $P = 4 π \cdot 2^{2} \cdot 0.01 \approx 0.50 W$ । स्तर को 15 dB गिरना होगा, अतः
$20 lo g_{10} (\frac{r}{2 m}) = 15$
$r = 2 m \cdot 1 0^{15/20} = 2 m \cdot 1 0^{0.75} = 11.2 m$

एक और, समान ड्रिल 2 m पर स्तर को $100 + 10 lo g_{10} 2 = 103.0 dB$ तक बढ़ा देती है, और 85 dB वाली दूरी बढ़कर $2 \cdot 1 0^{18/20} = 15.9 m$ हो जाती है: दोगुनी नहीं, बल्कि $2$ गुना दूर। कठोर ज़मीन हर दूरी पर लगभग समान 3 dB जोड़ती है: वह शक्ति के अनुमान को आधा कर देती है, पर इन दूरियों को नहीं बदलती।

एक सामान्य व्यावसायिक दिशानिर्देश 85 dB पर प्रतिदिन 8 घंटे की अनुमति देता है, और हर 3 dB अधिक पर समय आधा कर देता है। एक ड्रिल से 2 m दूर का कर्मचारी उससे 15 dB ऊपर है, यानी पाँच बार आधा, इसलिए सीमा है $8 h / 2^{5} = 15 min$ ।

डेसिबल चार्ट पढ़ना

लाउडस्पीकर के बगल का चार्ट डेसिबल में अंकित एक पैमाना है, इसलिए उस पर समान दूरियाँ तीव्रता के समान गुणक हैं: 30 dB की फुसफुसाहट से 60 dB की बातचीत तक का अंतर 1000 गुना है, और 0 dB से 130 dB की पीड़ा-सीमा तक $1 0^{13}$ गुना। उसकी रंगीन पट्टी 70 dB तक हरी, 85 dB तक सुनहरी और उससे ऊपर लाल है, जहाँ लंबे समय तक रहने से सुनने की क्षमता को हानि होती है। सूचक 89.0 dB पर लाल में शुरू होता है, जब मीटर लाउडस्पीकर से लगभग 1.6 m दूर होता है तब 85 dB पार करता है, और हरे के ठीक ऊपर 70.9 dB पर रुकता है।

प्रबलता तीव्रता से कहीं अधिक धीरे बढ़ती है। किसी ध्वनि को दोगुना तेज़ लगने के लिए लगभग 10 dB, यानी दस गुना तीव्रता, चाहिए। इसलिए 110 dB का रॉक-कंसर्ट, जो बातचीत से 50 dB ऊपर है, $1 0^{5}$ गुना तीव्रता रखता है, पर सुनाई केवल लगभग $2^{5} = 32$ गुना तेज़ देता है।

सामान्य गलतियाँ

डेसिबल जुड़ते नहीं। दो समान, स्वतंत्र 80 dB मशीनें 160 dB नहीं, 83 dB देती हैं: तीव्रताएँ जुड़ती हैं, और तीव्रता दोगुनी करने से 3 dB जुड़ता है। 86 dB तक पहुँचने के लिए चार मशीनें चाहिए।
दूरी दोगुनी करने से तीव्रता आधी नहीं, चौथाई होती है, यानी 6 dB की कमी; केवल व्यस्त सड़क जैसे स्रोतों की लंबी पंक्ति हर दोगुनी दूरी पर केवल 3 dB खोती है।
0 dB मौन नहीं है, बल्कि संदर्भ तीव्रता $I_{0}$ है, लगभग वह सबसे मद्धम ध्वनि जो एक युवा कान सुन सकता है; इससे मद्धम ध्वनियों का स्तर ऋणात्मक होता है, और $1 0^{- 13} W/ m^{2}$ का स्तर −10 dB है।
चार गुना तीव्रता चार गुना तेज़ नहीं सुनाई देती: दूरी आधी करने से मिलने वाले 6 dB केवल लगभग 1.5 गुना तेज़ लगते हैं, क्योंकि प्रबलता लगभग हर 10 dB पर दोगुनी होती है।
छोटी चूकें पूरे गुणक का अंतर ला देती हैं: $4 π r^{2}$ के बजाय $r^{2}$ से भाग देने पर तीव्रता 12.6 गुना अधिक हो जाती है, और $I_{0}$ या गुणक 10 छोड़ देने से $1 0^{- 5} W/ m^{2}$ का स्तर, 70 dB, −50 dB या 7 dB बन जाता है।

इसका उपयोग कहाँ होता है

कार्यस्थलों और हवाई अड्डों के पास शोर-सीमाएँ, ईयर-डिफ़ेंडरों की रेटिंग (अच्छे ईयरमफ़ 20 से 30 dB घटाते हैं, यानी तीव्रता में 100 से 1000 गुना) और शहरों के शोर-नक्शे, ये सब इन्हीं नियमों पर टिके हैं। डेसिबल वहाँ उपयोगी है जहाँ अनुपात अनेक घातों में फैले हों: एम्पलीफ़ायर का लाभ, ऑप्टिकल फ़ाइबर में खोई रोशनी, फ़ोन सिग्नल की शक्ति।

व्युत्क्रम-वर्ग नियम केवल ध्वनि का नहीं है: प्रकाश, गुरुत्व और एक बिंदु-आवेश का विद्युत क्षेत्र भी गोलों पर फैलते हैं, जैसा कि “गुरुत्वाकर्षण और कक्षाएँ”, “कूलॉम का नियम” और “विद्युत चुंबकीय तरंगें” दिखाते हैं। सुसंगत स्रोत, जो तीव्रताएँ नहीं बल्कि आयाम जोड़ते हैं, “व्यतिकरण और अध्यारोपण” की ओर ले जाते हैं, और दीवारों के बीच फँसी ध्वनि “अप्रगामी तरंगों” की ओर।

उन्नत

मुख्य विचार

आयाम $1/ r$ के अनुसार घटता है और ऊर्जा आयाम के वर्ग के अनुसार बदलती है, इसलिए $I \propto 1/ r^{2}$ : स्रोत से निकला हर शंकु किसी भी दूरी पर समान शक्ति ले जाता है।
$I = p_{0}^{2} / (2 ρ c)$ ; मीटर $L_{p} = 20 lo g_{10} (p_{rms} /20 μ Pa)$ पढ़ते हैं, जिसमें 20 इसलिए है क्योंकि $I \propto p^{2}$ ; मुक्त वायु में $L_{p} \approx β$ ।
$β (r) = β_{1} - 20 lo g_{10} (r / r_{1})$ : $lo g r$ के विरुद्ध एक सीधी रेखा, प्रति दशक −20 dB, प्रति दोगुनी दूरी −6.02 dB।
स्वतंत्र स्रोतों की तीव्रताएँ जुड़ती हैं, $β_{1} + 10 lo g_{10} N$ ; सुसंगत स्रोतों के आयाम जुड़ते हैं और वे व्यतिकरण उत्पन्न करते हैं।
$1/ r^{2}$ नियम निकट-क्षेत्र में, कमरों में और वायु-अवशोषण होने पर विफल हो जाता है; रेखीय स्रोत बेलनों में फैलता है: प्रति दोगुनी दूरी −3 dB।

तीव्रता क्या मापती है

तीव्रता बताती है कि किसी सतह से होकर कितनी ध्वनि-ऊर्जा बह रही है: वह शक्ति जो प्रवाह के लंबवत रखे प्रति वर्ग मीटर से गुज़रती है, वाट प्रति वर्ग मीटर में। माइक्रोफ़ोन या कर्णपटल इसी पर प्रतिक्रिया देते हैं, और अकेले ऊर्जा-संरक्षण ही बताता है कि यह दूरी के साथ कैसे बदलती है।

यह प्रवाह आता कहाँ से है? ध्वनि-तरंग में वायु-दाब अपने सामान्य मान के आसपास एक छोटे अतिरिक्त दाब $p$ तक ऊपर-नीचे होता है, जबकि वायु स्वयं वेग $u$ से आगे-पीछे चलती है। दाब आगे की गतिमान वायु को धक्का देता है, इसलिए वह प्रति वर्ग मीटर $p u$ की दर से कार्य करता है: बल प्रति क्षेत्रफल गुणा वेग, यानी “बल गुणा वेग” का ध्वनिक रूप। यह गुणनफल तरंग के साथ झूलता है, इसलिए तीव्रता $I$ को इसके एक चक्र पर औसत के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह एक सदिश है जो ऊर्जा के बहाव की दिशा बताता है।

अब स्रोत को किसी भी बंद पृष्ठ से घेरें और उसे छोटे टुकड़ों में बाँटें। हर टुकड़े को सदिश $d A$ लिखें, जिसकी लंबाई उस टुकड़े का क्षेत्रफल हो और जो बाहर की ओर इंगित करे। प्रवाह का केवल वही भाग किसी टुकड़े से होकर ऊर्जा ले जाता है जो उसे पार करता है, इसलिए उस टुकड़े से निकलने वाली शक्ति $I \cdot d A$ है। यदि स्रोत स्थिर चल रहा है और कोई ध्वनि अवशोषित नहीं होती, तो भीतर ऊर्जा जमा नहीं हो सकती, इसलिए स्रोत की पूरी शक्ति $P$ उस पृष्ठ से बाहर निकलनी ही चाहिए (घेरे वाले समाकलन चिह्न का अर्थ है पूरे बंद पृष्ठ पर योग):
$\oint I \cdot d A = P$

शंकु में प्रसार: व्युत्क्रम-वर्ग नियम

इस समीकरण का दूरी के बारे में क्या अर्थ है, यह देखने का सबसे सरल तरीका प्रवाह के एक संकीर्ण पुंज का अनुसरण करना है।

चित्र 1 स्रोत पर शीर्ष वाले एक संकीर्ण शंकु के भीतर की ऊर्जा का अनुसरण करता है। उसकी चार किरणें उस शंकु द्वारा ले जाई गई शक्ति $Δ P$ को दर्शाती हैं। वे दूरी $r_{1}$ पर एक वर्गाकार सतह $A_{1}$ और फिर दूरी $r_{2} = 2 r_{1}$ पर दूसरी सतह $A_{2}$ को पार करती हैं; दोनों सतहें स्रोत की ओर मुख किए हुए हैं। शंकु की भुजाएँ शीर्ष से निकली सीधी रेखाएँ हैं, इसलिए वर्ग की हर भुजा दूरी के अनुपात में बढ़ती है: दोगुनी दूरी पर सतह दोगुनी चौड़ी और दोगुनी ऊँची होती है, और $A_{2} = 4 A_{1}$ होता है। $A_{2}$ पर आड़ी रेखाएँ उसे चार खानों में बाँटती हैं, जिनमें से हर एक का आकार $A_{1}$ के बराबर है।

अब किरणों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को देखें। $A_{1}$ पर चारों किरणें एक खाने-भर क्षेत्र से गुज़रती हैं; $A_{2}$ पर हर खाने में एक किरण है। वही शक्ति चार गुने क्षेत्रफल पर फैली है, इसलिए प्रति वर्ग मीटर शक्ति घटकर एक-चौथाई हो गई है, यानी $I_{2} = I_{1} /4$ । प्रतीकों में: दोनों सतहों के बीच कोई ऊर्जा नहीं खोती, अतः $I_{1} A_{1} = I_{2} A_{2} = Δ P$ । शंकु के अनुदिश अनुप्रस्थ-काट $r^{2}$ के अनुपात में बढ़ता है, इसलिए तीव्रता $1/ r^{2}$ के अनुपात में घटती है, और यह शंकु हर दूरी पर समान शक्ति ले जाता है।

ऐसे शंकुओं से सभी दिशाएँ भर दीजिए। समान रूप से विकिरण करने वाले स्रोत के लिए, उसके केंद्र पर त्रिज्या $r$ वाले गोले पर $I$ ठीक बाहर की ओर इंगित करता है और हर जगह उसका परिमाण $I$ एक-सा है। तब हर टुकड़ा $I d A$ पार करता है, और सभी टुकड़े मिलकर गोले का क्षेत्रफल $4 π r^{2}$ बनाते हैं। बंद-पृष्ठ का समीकरण बन जाता है $4 π r^{2} I = P$ , जो व्युत्क्रम-वर्ग नियम है:
$I = \frac{P}{4 π r ^{2}}$
पहले विशेषज्ञ-ग्राफ़ के ऊपर की लाइव जाँच इसे एनिमेशन के 10 mW लाउडस्पीकर के लिए दिखाता है: 1 m से 8 m तक $I$ 796 से गिरकर 12.4 µW/m² हो जाता है, फिर भी $4 π r^{2} I$ 10.0 mW पर स्थिर रहता है।

आयाम 1/r के अनुपात में क्यों घटता है

व्युत्क्रम-वर्ग नियम ऊर्जा के बारे में है। तरंग का स्वयं क्या होता है, वह दाब-उतार-चढ़ाव जो माइक्रोफ़ोन दर्ज करता है? उसे भी घटना होगा; प्रश्न यह है कि कितनी तेज़ी से।

चित्र 2 लाउडस्पीकर से $r = 0$ पर निकलने वाली एक किरण के साथ अतिरिक्त दाब $p$ का एक क्षण का चित्र है। पहले अंतराल देखें: पड़ोसी शिखर सदा एक तरंगदैर्ध्य $λ$ की दूरी पर होते हैं, इसलिए दूरी तारत्व नहीं बदलती। फिर ऊँचाइयाँ देखें: $r_{1}$ पर शिखर $p_{1}$ तक पहुँचता है; $r_{2} = 2 r_{1}$ पर शिखर केवल $p_{2} = p_{1} /2$ है। हर शिखर बिंदीदार वक्र $+ C / r$ को छूता है और हर गर्त वक्र $- C / r$ को, जहाँ $C$ स्रोत की शक्ति से तय एक स्थिरांक है। दोगुनी दूरी, आधा आयाम: दाब-आयाम $1/ r$ के अनुपात में घटता है।

तरंग-समीकरण इसकी पुष्टि करता है। मान लीजिए $c$ ध्वनि की चाल है। जब एक बिंदु-स्रोत सभी दिशाओं में समान रूप से ध्वनि भेजता है, तो $p$ केवल दूरी $r$ और समय $t$ पर निर्भर करता है। इस स्थिति में त्रि-विमीय तरंग-समीकरण को गुणनफल $r p$ के लिए एक-विमीय तरंग-समीकरण में ठीक-ठीक बदला जा सकता है:
$\frac{\partial ^{2} ( r p )}{\partial r ^{2}} = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} ( r p )}{\partial t ^{2}}$
यह डोरी पर तरंग का समीकरण है, जिसके हल वे आकृतियाँ हैं जो बिना बदले चाल $c$ से चलती हैं। बाहर जाने वाला हल है $r p = f (t - r / c)$ , जहाँ $f$ कोई भी फलन है: स्रोत किसी क्षण जो करता है, वही दूरी $r$ पर समय $r / c$ बाद दोहराया जाता है। $r$ से भाग देने पर,
$p (r, t) = \frac{f ( t - r / c )}{r}$

चित्र 2 के साथ पढ़ें: फलन $f$ उतार-चढ़ाव बनाता है, और भाजक $r$ उनका आवरण $\pm C / r$ बनाता है। एनिमेशन में तरंग-मोर्चे बड़े होते हुए पतले और फीके क्यों खींचे जाते हैं, यह भी इसी से स्पष्ट होता है।

$1/ r$ के अनुपात में घटता आयाम तीव्रता का $1/ r^{2}$ के अनुपात में घटना क्यों बन जाता है? उस वस्तु पर विचार करें जो ध्वनि ग्रहण करती है, जैसे कर्णपटल या माइक्रोफ़ोन की झिल्ली। ऐसा ग्राही रेखीय है: किसी दी गई आवृत्ति पर चालित होने पर उसका वेग उस पर लगे बल के समानुपाती होता है। वह जो शक्ति अवशोषित करता है, वह बल गुणा वेग है, इसलिए वह आयाम के वर्ग के अनुपात में होती है। आयाम $1/ r$ और शक्ति आयाम का वर्ग, इसलिए तीव्रता $1/ r^{2}$ । ऊर्जा-संरक्षण और तरंग-समीकरण एक-दूसरे की पुष्टि करते हैं, और यही दो तथ्य प्रकाश के विद्युत क्षेत्र पर भी लागू होते हैं।

समतल तरंग में दाब और तीव्रता

दाब-पाठ को तीव्रता में बदलने के लिए हमें दिए गए $p$ के साथ जुड़ा वायु-वेग $u$ चाहिए। स्रोत से दूर गोलाकार तरंग का एक छोटा भाग लगभग समतल होता है: $x$ दिशा में चलने वाली समतल तरंग। घनत्व $ρ$ की वायु की पतली परत के लिए न्यूटन का द्वितीय नियम कहता है कि प्रति इकाई आयतन द्रव्यमान गुणा त्वरण, उस परिणामी धक्के के बराबर है जो एक फलक पर दाब के दूसरे फलक से अधिक होने से आता है:
$ρ \frac{\partial u}{\partial t} = - \frac{\partial p}{\partial x}$
$+ x$ की ओर चलने वाली तरंग के लिए $p = F (t - x / c)$ किसी फलन $F$ के साथ, इसलिए दाईं ओर $F^{'} / c$ है। समय पर समाकलन करने पर,
$u = \frac{p}{ρ c}$
वायु दाब के साथ ताल मिलाकर, यानी समान कला में, चलती है: जहाँ दाब अधिक है, वहाँ वायु आगे की ओर उमड़ती है। प्रति वर्ग मीटर शक्ति $p u$ तब $p^{2} / (ρ c)$ होती है। आयाम $p_{0}$ की ज्या-तरंग के लिए एक चक्र पर $p^{2}$ का औसत $p_{0}^{2} /2$ है, इसलिए
$I = \frac{p _{0}^{2}}{2 ρ c}$
गुणनफल $ρ c$ माध्यम की ध्वनिक प्रतिबाधा है: यह बताता है कि वायु को किसी दी गई चाल से चलाने के लिए कितना दाब चाहिए। 20 °C की वायु के लिए $ρ c \approx 413 kg/ (m^{2} s)$ है।

ये राशियाँ कितनी बड़ी हैं? एनिमेशन में स्रोत से 2 m दूर के निकट श्रोता पर $I = 1.99 \times 1 0^{- 4} W/ m^{2}$ है। तब $p_{0} = 2 \cdot 413 \cdot 1.99 \times 1 0^{- 4} \approx 0.41 Pa$ , और वायु का वेग-आयाम $p_{0} / (ρ c)$ लगभग 1 mm/s है। वेग-आयाम को $2 π$ गुणा आवृत्ति से भाग देने पर विस्थापन मिलता है: 1 kHz पर वायु केवल 0.16 µm आगे-पीछे हिलती है, और श्रवण-सीमा पर लगभग $1 0^{- 11} m$ , यानी एक परमाणु के व्यास का दसवाँ भाग।

दो डेसिबल पैमाने

श्रवण में तीव्रता की लगभग तेरह घातें फैली हैं, इसलिए स्तरों को लघुगणकीय पैमाने पर दिया जाता है। ध्वनि-तीव्रता स्तर है $β = 10 lo g_{10} (I / I_{0})$ , जहाँ $I_{0} = 1 0^{- 12} W/ m^{2}$ है, जो लगभग उस सबसे मद्धम 1 kHz ध्वनि के बराबर है जो एक युवा कान सुन सकता है। तीव्रता में हर दस गुने पर 10 dB जुड़ता है: निकट श्रोता की $1.99 \times 1 0^{- 4} W/ m^{2}$ का स्तर 83.0 dB है।

किंतु मीटर दाब को मापता है, तीव्रता को नहीं। वह ध्वनि-दाब स्तर $L_{p} = 20 lo g_{10} (p_{rms} / p_{ref})$ दर्ज करता है, जहाँ $p_{rms} = p_{0} / 2$ वर्ग-माध्य-मूल दाब है और $p_{ref} = 20 μ Pa$ । गुणांक 10 नहीं, 20 है, क्योंकि तीव्रता दाब के वर्ग के अनुपात में होती है, और किसी अनुपात का $20 lo g_{10}$ उसके वर्ग के $10 lo g_{10}$ के बराबर होता है। चूँकि $I = p_{rms}^{2} / (ρ c)$ , दोनों पैमाने केवल एक स्थिरांक से भिन्न हैं, $L_{p} - β = 10 lo g_{10} (ρ c I_{0} / p_{ref}^{2}) \approx 0.14 dB$ वायु में, इसलिए व्यवहार में वे परस्पर बदले जा सकते हैं: निकट श्रोता का 83.0 dB मीटर पर 83.1 dB पढ़ा जाता है।

इसमें शामिल दाब अत्यंत छोटे हैं। 60 dB की बातचीत में $p_{rms} = 0.02 Pa$ है, जो वायुमंडलीय दाब के एक करोड़वें भाग का दोगुना है, और पीड़ादायक 120 dB केवल 20 Pa है। यही छोटापन तरंग-समीकरण को बहुत उच्च परिशुद्धता तक रैखिक बनाता है, और रैखिकता ही कई स्रोतों की तरंगों को सरलता से जोड़ने देती है, जिसका उपयोग एक बाद के भाग में होता है।

लघुगणकीय अक्षों पर सीधी रेखाएँ

लघुगणक केवल विशाल परास को संकुचित नहीं करते; वे घात-नियमों को सीधी रेखाओं में बदल देते हैं। किसी बिंदु-स्रोत से दो दूरियों के बीच $I_{2} / I_{1} = (r_{1} / r_{2})^{2}$ है, और दोनों ओर $10 lo g_{10}$ लेने पर
$β_{2} = β_{1} - 20 lo g_{10} (\frac{r _{2}}{r _{1}})$
मिलता है। $lo g r$ के विरुद्ध स्तर एक सीधी रेखा पर गिरता है: दूरी के हर दस गुने (एक दशक) पर 20 dB, और हर दोगुनी दूरी पर $20 lo g_{10} 2 = 6.02$ dB।

दो विशेषज्ञ-ग्राफ़ दोनों दृष्टिकोण दिखाते हैं। पहले पर $I (r)$ 1 m पर 796 µW/m² से 2 m पर 199 तक गिरता है और फिर धीरे-धीरे 8 m पर 12.4 µW/m² की ओर जाता है; ऐसे वक्र पर समान अनुपात देखना कठिन है। दूसरे पर, जहाँ $lo g r$ के विरुद्ध आलेखन है, 1, 2, 4 और 8 m की दूरियाँ समान अंतर पर हैं, और स्तर एक सीधी रेखा पर गिरता है, जो 89.0, 83.0, 77.0 और 70.9 dB से होकर जाती है। मीटर, जिसकी दूरी हर 2 s में दोगुनी होती है, इस रेखा पर स्थिर गति से चलता है।

ढाल घातांक को मापता है। कोई भी घात-नियम $I \propto r^{- n}$ इन अक्षों पर प्रति दशक $- 10 n$ dB ढाल की सीधी रेखा देता है: बिंदु-स्रोत के लिए −20, लंबे रेखीय स्रोत (नीचे का प्रश्न) के लिए −10, समतल तरंग या नलिका में बहने वाली ध्वनि के लिए 0। ध्वनि-अवशोषी (एनेकोइक) कक्ष, जिनकी दीवारें लगभग सारी ध्वनि सोख लेती हैं, इसी तरह परखे जाते हैं: जहाँ भी मापा गया स्तर −20 dB प्रति दशक की रेखा से भटकता है, वहाँ परावर्तन उसमें जुड़ रहे होते हैं।

स्रोतों का योग: कला तय करती है

जब दो स्रोत एक साथ बजते हैं, तो उनके डेसिबल स्तर नहीं जुड़ते: दो 80 dB की मशीनें 160 dB नहीं बनातीं। चूँकि तरंगों के आयाम छोटे होते हैं, वे अध्यारोपित होती हैं, और हर क्षण उनके दाब जुड़ते हैं, $p = p_{1} + p_{2}$ । तीव्रता दाब के वर्ग-माध्य का अनुसरण करती है; समय-औसत को ऊपर की रेखा से दर्शाते हुए,
$\overline{p^{2}} = \overline{p_{1}^{2}} + \overline{p_{2}^{2}} + 2 \overline{p_{1} p_{2}}$
पहले दो पद दोनों स्रोतों के अपने-अपने योगदान हैं। अंतिम पद, अर्थात् अंतर्गुणन पद, इस पर निर्भर करता है कि दोनों तरंगें एक-दूसरे के साथ कितने तालमेल में चलती हैं, और वही परिणाम तय करता है।

चित्र 3 एक श्रोता पर समान आवृत्ति की दो ज्या-तरंगों का योग दर्शाता है। यहाँ से $p_{1}$ , $p_{2}$ और $p$ आयाम दर्शाते हैं। हर तरंग एक तीर है: तीर की लंबाई उसका दाब-आयाम है और दिशा उसकी कला है, यानी वह चक्र में कहाँ तक पहुँची है। तीर $p_{1}$ क्षैतिज अक्ष पर है। तीर $p_{2}$ पहले तीर के सिरे से शुरू होता है और कला-अंतर $φ$ से घुमाया गया है, यानी उस कोण से जितना दूसरी तरंग पहली से आगे है। संयुक्त तरंग वह तीर $p$ है जो $p_{1}$ के आरंभ से $p_{2}$ के सिरे तक जाता है और त्रिभुज बंद करता है। $p$ के सामने वाला त्रिभुज का कोण $π - φ$ है, इसलिए कोज्या-नियम देता है
$p^{2} = p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + 2 p_{1} p_{2} cos φ$
अंतिम पद वर्ग-माध्य का अंतर्गुणन पद है, जिसे अब कला के रूप में लिखा गया है। चित्र में दोनों स्रोत बराबर हैं, $p_{1} = p_{2}$ , इसलिए $φ$ बदलने पर $p$ का सिरा $p_{1}$ के सिरे को केंद्र मानकर खींचे गए बिंदीदार वृत्त पर घूमता है।

स्वतंत्र स्रोत, जैसे दो मशीनें या दो आवाज़ें, किसी स्थिर कला-संबंध में नहीं होते। उनका कला-अंतर यादृच्छिक रूप से बदलता रहता है, $p$ का सिरा पूरे वृत्त पर भटकता है, और $cos φ$ का औसत शून्य हो जाता है। अंतर्गुणन पद लुप्त हो जाता है और तीव्रताएँ सीधे जुड़ जाती हैं, इसलिए $N$ समान स्रोत एक स्रोत की $N$ गुना तीव्रता देते हैं:
$β_{N} = β_{1} + 10 lo g_{10} N (N equal incoherent sources)$

दो स्रोत 3.0 dB जोड़ते हैं, दस स्रोत 10 dB। असमान स्रोतों पर तेज़ वाला प्रभावी होता है: 80 dB और 70 dB, $I_{0}$ के क्रमशः $1 0^{8}$ और $1 0^{7}$ गुना हैं, इसलिए मिलाकर वे $10 lo g_{10} (1 0^{8} + 1 0^{7}) = 80.4 dB$ देते हैं। इस नियम को उलटा चलाने पर पृष्ठभूमि शोर माप से हट जाता है: तीव्रताएँ घटाइए, डेसिबल नहीं।

सुसंगत स्रोत, जैसे एक ही स्वर से चलाए गए दो लाउडस्पीकर, स्थिर कला-अंतर बनाए रखते हैं, इसलिए अंतर्गुणन पद बचा रहता है। उसका मान इस पर निर्भर करता है कि श्रोता कहाँ खड़ा है, क्योंकि $φ$ दोनों पथ-लंबाइयों के अंतर पर निर्भर है। जहाँ तरंगें एक ही कला में पहुँचती हैं, वहाँ $φ = 0$ और $p$ का सिरा वृत्त के दाएँ बिंदु पर होता है: तीर एक सीध में जुड़ते हैं, $p = 2 p_{1}$ , और तीव्रता एक स्रोत की चार गुना है, यानी +6.0 dB। जहाँ तरंगें आधे चक्र के अंतर से पहुँचती हैं, वहाँ $φ = π$ और $p$ का सिरा बाएँ बिंदु पर, यानी $p_{1}$ के आरंभ पर लौट आता है: तरंगें एक-दूसरे को निरस्त कर देती हैं। पूरे प्रतिरूप पर औसत लेने पर भी तीव्रता एक स्रोत की दोगुनी ही रहती है। व्यतिकरण ऊर्जा को इधर-उधर करता है; वह ऊर्जा बनाता नहीं।

उदाहरण: एक सीधी सड़क का शोर

रोज़मर्रा का शोर अक्सर एक कतार में बहुत-से स्रोतों से आता है। एक लंबी सीधी सड़क को स्वतंत्र स्रोतों की एक कतार मानिए, हर एक एनिमेशन के लाउडस्पीकर जैसा, $P = 10 mW$ , और हर $d = 20 m$ पर एक। सड़क से $r = 40 m$ दूरी पर मीटर क्या पढ़ेगा, और सड़क से दूर चलने पर स्तर कितनी तेज़ी से गिरता है?

चित्र 4 सड़क को ऊपर से दिखाता है, जिसमें संख्याओं के अनुरूप $r = 2 d$ है। मीटर $M$ सड़क से $r$ दूरी पर, निकटतम स्रोत के ठीक सामने खड़ा है। सड़क पर एक और स्रोत $x$ दूरी पर है, जो $M$ से सड़क पर डाले गए लंब के पाद से मापी जाती है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार वह मीटर से $s = r^{2} + x^{2}$ दूर है, इसलिए अकेला वह वहाँ $P / (4 π s^{2})$ देता है।

स्रोत स्वतंत्र हैं, इसलिए पिछले खंड के अनुसार मीटर उनकी तीव्रताएँ जोड़ता है। एक-एक करके जोड़ने के बजाय उन्हें सड़क पर समान रूप से फैलाइए: लंबाई $d x$ के एक टुकड़े में $d x / d$ स्रोत हैं। पूरी सड़क के टुकड़ों का योग करने पर योग समाकलन बन जाता है। उसके बीच के चरण में प्रयोग होता है
$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{d x}{r ^{2} + x ^{2}} = \frac{π}{r}$
और परिणाम है
$I = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{P}{4 π ( r ^{2} + x ^{2} )} \frac{d x}{d} = \frac{P}{4 π d} \cdot \frac{π}{r} = \frac{P}{4 d r}$

40 m पर, $I = 0.010/ (4 \cdot 20 \cdot 40) = 3.1 \times 1 0^{- 6} W/ m^{2}$ , इसलिए $β = 64.9 dB$ ; जबकि निकटतम अकेला स्रोत केवल 57.0 dB देता है। 80 m पर स्तर 61.9 dB है और 160 m पर 58.9 dB: हर दोगुनी दूरी पर 3.0 dB की कमी, जो बिंदु-स्रोत की गिरावट की आधी है, क्योंकि अब $I \propto 1/ r$ है। कारण समाकलन में दिखता है: आधी ध्वनि सड़क के उस हिस्से से आती है जो दोनों ओर निकटतम बिंदु से $r$ के भीतर है। $r$ दोगुना करने से हर स्रोत का हिस्सा चौथाई रह जाता है, पर उस हिस्से में स्रोतों की संख्या दोगुनी हो जाती है, इसलिए तीव्रता केवल आधी होती है।

मॉडल की दो जाँचें। $r \geq d$ होने पर समाकलन अलग-अलग स्रोतों के सटीक योग से 0.4 % के भीतर मेल खाता है; उससे पास में निकटतम स्रोत हावी हो जाता है और सड़क अब सतत नहीं दिखती। और लंबाई $L$ की सीमित सड़क $L$ से कहीं दूर से फिर एक बिंदु-स्रोत जैसी दिखती है, जहाँ स्तर फिर प्रति दोगुनी दूरी 6 dB गिरता है।

एक और सूक्ष्म बिंदु: क्या 64.9 dB वास्तव में मीटर के पास से बहने वाली ऊर्जा है? सड़क के चारों ओर त्रिज्या $r$ का एक बेलन खींचिए। दूर के स्रोतों की तरंगें उसे तिरछे पार करती हैं, और उनके प्रवाह का केवल वह भाग बेलन से बाहर निकलता है जो ठीक बाहर की ओर इंगित करता है। केवल यही भाग गिनने पर प्रति वर्ग मीटर $P / (2 π d r)$ मिलता है; इसे बेलन के प्रति मीटर सड़क के क्षेत्रफल $2 π r$ से गुणा करने पर वही $P / d$ लौटता है, जो सड़क का हर मीटर विकिरित करता है। यह मीटर के मान का लगभग $2/ π$ है, अर्थात लगभग 2 dB कम, क्योंकि मीटर हर दिशा की तरंगों की तीव्रताएँ जोड़ देता है। इसलिए $p_{0}^{2} / (2 ρ c)$ केवल एक दिशा में चलने वाली तरंग के लिए ही ऊर्जा-प्रवाह के बराबर होता है।

सीमाएँ और वैधता

व्युत्क्रम-वर्ग नियम चार धारणाओं पर टिका है: छोटा स्रोत, खुला स्थान, ऐसी स्थिर वायु जो कुछ अवशोषित न करे, और छोटे आयाम। इनमें से हर एक कहीं न कहीं विफल होती है।

स्रोत के निकट: किसी वास्तविक स्रोत की एक तरंगदैर्ध्य के भीतर (100 Hz पर 3.4 m), या उसके आकार की कुछ गुना दूरी के भीतर, दाब और वायु-वेग अभी समतल तरंग की तरह समान कला में नहीं होते, और विस्तारित स्रोत का दाब अभी $1/ r$ के अनुपात में नहीं गिरता। वास्तविक स्रोत दिशात्मक भी होते हैं: लाउडस्पीकर अपने शंकु के आकार से छोटी तरंगदैर्ध्य की ध्वनि मुख्यतः आगे भेजता है। $I = QP / (4 π r^{2})$ में दिशात्मकता गुणांक $Q$ यही वर्णन करता है; कठोर ज़मीन पर रखा स्रोत केवल आधे स्थान में विकिरित करता है, इसलिए $Q = 2$ (+3 dB)। ऐसे गुणांक दूरी पर निर्भर नहीं करते, इसलिए प्रति दोगुनी दूरी 6 dB की गिरावट बनी रहती है।

घरों के भीतर ध्वनि दीवारों से परावर्तित होती है। क्रांतिक दूरी के आगे, जहाँ परावर्तित ध्वनि सीधी ध्वनि जितनी प्रबल हो जाती है (किसी बैठक-कक्ष में अक्सर लगभग एक मीटर), वहाँ परावर्तन हावी होते हैं, और दूर जाने से स्तर मुश्किल से घटता है। बाहर, वायु फैलाव के अलावा प्रति किलोमीटर एक निश्चित संख्या में डेसिबल भी सोखती है, और यह हानि आवृत्ति के साथ तेज़ी से बढ़ती है: 20 °C और 70 % आर्द्रता पर 125 Hz पर लगभग प्रति किलोमीटर 0.3 dB, 1 kHz पर 5 dB और 8 kHz पर लगभग 80 dB, जबकि 1 m से 1 km तक फैलाव में 60 dB लगते हैं। ऊँचे तारत्व की ध्वनियाँ सबसे पहले मिटती हैं, इसीलिए दूर की बादलों की गड़गड़ाहट गहरी, निम्न तारत्व की सुनाई देती है।

उच्च आयाम पर रैखिकता टूट जाती है। 150 dB पर, जैसे जेट इंजन के पास, $p_{rms} \approx 630 Pa$ वायुमंडलीय दाब का केवल 0.6 % है, फिर भी शिखर गर्तों से थोड़ा तेज़ चलते हैं, और 1 kHz की समतल तरंग लगभग 7 m के भीतर आघात-तरंग (शॉक) में बदल जाएगी। समुद्र-तल पर किसी अविकृत ज्या-तरंग का स्तर लगभग 191 dB से अधिक नहीं हो सकता: तब उसका आयाम वायुमंडलीय दाब के बराबर होगा और उसके गर्त निर्वात तक पहुँच जाएँगे। अंत में, $β$ भौतिक मात्रा मापता है, प्रबलता नहीं: कान निम्न आवृत्तियों पर बहुत कम संवेदी है, इसलिए मीटर आमतौर पर A-भारांकन लगाते हैं, एक फ़िल्टर जो उन आवृत्तियों को क्षीण करता है जिन्हें कान कम सुनता है, और परिणाम dB(A) में देते हैं।

आगे की दिशा

बंद पृष्ठों से होने वाला प्रवाह गुरुत्व और एक बिंदु-आवेश के क्षेत्र को भी $1/ r^{2}$ के अनुसार गिराता है, जैसे “गुरुत्वाकर्षण और कक्षाएँ” और “कूलॉम का नियम” में; यही गॉस के नियम के पीछे का विचार है। प्रकाश भी यही अंकगणित मानता है: “विद्युत चुंबकीय तरंगें” में उसकी तीव्रता $E_{0}^{2} / (2 Z_{0})$ है, जहाँ मुक्त आकाश की प्रतिबाधा $Z_{0} \approx 377 Ω$ $ρ c$ की भूमिका निभाता है। सुसंगत स्रोत और उनका अंतर्गुणन पद “व्यतिकरण और अध्यारोपण” की ओर ले जाते हैं, दीवारों के बीच फँसी ध्वनि “अप्रगामी तरंगों” की ओर, और एक चालित ग्राही के रूप में कर्णपटल “अवमंदन और अनुनाद” की ओर। प्रति किलोमीटर निश्चित डेसिबल-मान पर होने वाला अवशोषण वैसा ही घातीय क्षय है जैसा “रेडियोऐक्टिवता और अर्ध-आयु” में है।

मुख्य सूत्र

प्रति क्षेत्रफल शक्ति के रूप में तीव्रता

I = \frac{P}{A}

तीव्रता ध्वनि की वह शक्ति है जो ध्वनि की ओर मुख वाली सतह के हर वर्ग मीटर से गुज़रती है। कान या माइक्रोफ़ोन इसी पर प्रतिक्रिया करते हैं, क्योंकि हर एक अपने छोटे क्षेत्रफल पर गिरी ऊर्जा एकत्र करता है। वही शक्ति बड़े क्षेत्रफल पर फैल जाए, तो उस पर हर बिंदु पर ध्वनि कमज़ोर होती है।

चिह्न
$I$	ध्वनि की तीव्रता	$W/ m^{2}$
$P$	सतह से गुज़रने वाली ध्वनि-शक्ति	$W$
$A$	सतह का क्षेत्रफल, ध्वनि के लंबवत	$m^{2}$

कब लागू होता है: सतह पर औसत देता है; यदि ध्वनि समान रूप से न फैली हो, तो इसे एक छोटे टुकड़े पर लगाएँ। ध्वनि से दूर झुकी सतह उसका कम भाग पकड़ती है।

उदाहरण: 2 m पर 50.3 m² गोले पर फैले 10 mW: $I = 0.010/50.3 = 1.99 \times 1 0^{- 4} W/ m^{2}$ ।

बिंदु-स्रोत की तीव्रता

I = \frac{P}{4 π r ^{2}}

एक छोटा स्रोत जो सभी दिशाओं में समान रूप से विकिरण करता है, अपनी शक्ति को क्षेत्रफल $4 π r^{2}$ वाले गोले पर फैलाता है। रास्ते में कोई ऊर्जा नष्ट न हो, तो हर ऐसे गोले से वही $P$ गुज़रता है, इसलिए तीव्रता $1/ r^{2}$ के अनुसार घटती है।

चिह्न
$I$	दूरी $r$ पर ध्वनि की तीव्रता	$W/ m^{2}$
$P$	स्रोत की ध्वनिक शक्ति	$W$
$r$	स्रोत से दूरी	$m$

कब लागू होता है: खुली हवा में, परावर्तक सतहों से दूर, एक तरंगदैर्ध्य और कई स्रोत-आकारों से अधिक दूरी पर, और इतनी दूरी पर जहाँ वायु-अवशोषण नगण्य हो। दिशात्मक और रेखीय स्रोतों के लिए अन्य रूप चाहिए।

उदाहरण: एनिमेशन के 10 mW लाउडस्पीकर से 1 m पर 796 µW/m², 2 m पर 199 µW/m² और 8 m पर 12.4 µW/m²।

व्युत्क्रम-वर्ग अनुपात

\frac{I _{2}}{I _{1}} = (\frac{r _{1}}{r _{2}})^{2}

दो दूरियों पर बिंदु-स्रोत नियम को परस्पर भाग देने से $P$ और $4 π$ कट जाते हैं और केवल दूरियों के अनुपात का वर्ग बचता है। उलटाव पर ध्यान दें: बाईं ओर $I_{2}$ ऊपर है, पर दाईं ओर $r_{1}$ , क्योंकि दूर के बिंदु पर कम ध्वनि पहुँचती है।

चिह्न
$I_{1}$	दूरी $r_{1}$ पर तीव्रता	$W/ m^{2}$
$I_{2}$	दूरी $r_{2}$ पर तीव्रता	$W/ m^{2}$
$r_{1}$	स्रोत से पहली दूरी	$m$
$r_{2}$	स्रोत से दूसरी दूरी	$m$

कब लागू होता है: बिंदु-स्रोत नियम की वही शर्तें, उसी स्रोत और उसी दिशा के लिए।

उदाहरण: 2 m से 4 m: $I_{2} / I_{1} = (2/4)^{2} = 1/4$ , अतः 199 µW/m² बन जाता है 49.7 µW/m²।

डेसिबल में ध्वनि-तीव्रता स्तर

β = 10 lo g_{10} \frac{I}{I _{0}}, I_{0} = 1 0^{- 12} W/ m^{2}

स्तर गिनता है कि तीव्रता संदर्भ $I_{0}$ से 10 की कितनी घातें ऊपर है, और फिर उसे 10 से गुणा करता है ताकि इकाई डेसिबल हो। 10 का गुणक 10 dB जोड़ता है और 2 का गुणक 3 dB, इसलिए कान की $1 0^{13}$ की परास 0 से 130 dB के बीच समा जाती है। वापस जाने के लिए $I = I_{0} \cdot 1 0^{β /10}$ का प्रयोग करें।

चिह्न
$β$	ध्वनि-तीव्रता स्तर	$dB$
$I$	ध्वनि की तीव्रता	$W/ m^{2}$
$I_{0}$	संदर्भ तीव्रता, लगभग 1 kHz पर श्रवण-सीमा	$W/ m^{2}$

कब लागू होता है: किसी भी तीव्रता पर लागू; $I_{0}$ से मद्धम ध्वनियों का स्तर ऋणात्मक होता है। यह भौतिक माप है: अनुभूत प्रबलता आवृत्ति पर भी निर्भर करती है, इसलिए मीटर प्रायः A-भारांकन लगाते हैं, जिसे dB(A) लिखा जाता है।

उदाहरण: एनिमेशन के लाउडस्पीकर से 2 m पर: $β = 10 lo g_{10} (1.99 \times 1 0^{8}) = 83.0 dB$ ।

दूरी के साथ स्तर का बदलाव

β_{2} = β_{1} - 20 lo g_{10} (\frac{r _{2}}{r _{1}})

व्युत्क्रम-वर्ग अनुपात का लघुगणक लेने पर गुणनखंड $(r_{1} / r_{2})^{2}$ घटाव में बदल जाता है। 20 संख्या $10 \cdot 2$ से आती है, वर्ग के कारण: दूरी दोगुनी होने पर $20 lo g_{10} 2 = 6.0 dB$ की हानि होती है, और दूरी दस गुनी होने पर 20 dB की।

चिह्न
$β_{2}$	दूरी $r_{2}$ पर स्तर	$dB$
$β_{1}$	दूरी $r_{1}$ पर स्तर	$dB$
$r_{2}$	स्रोत से नई दूरी	$m$
$r_{1}$	वह दूरी जहाँ स्तर ज्ञात है	$m$

कब लागू होता है: खुली हवा में बिंदु-स्रोत के लिए; एक स्थिर अतिरिक्त राशि, जैसे कठोर ज़मीन से 3 dB, घटाव में निरस्त हो जाती है। रेखीय स्रोत के लिए 20 की जगह 10 आता है, और वायु-अवशोषण दूरी के अनुपात में हानि जोड़ता है।

उदाहरण: 2 m पर 100 dB वाला ड्रिल $2 \cdot 1 0^{15/20} = 11.2 m$ पर 85 dB हो जाता है।

N समान स्वतंत्र स्रोतों का स्तर

β_{N} = β_{1} + 10 lo g_{10} N (N equal incoherent sources)

स्वतंत्र स्रोतों की कलाएँ असंबद्ध होती हैं, इसलिए उनकी दाब-तरंगें कभी एक-दूसरे को प्रबल करती हैं और कभी निरस्त, और औसत में उनकी तीव्रताएँ सीधे जुड़ जाती हैं। $N$ समान स्रोत एक स्रोत की $N$ गुना तीव्रता देते हैं, जिसे लघुगणक $10 lo g_{10} N$ डेसिबल में बदल देता है।

चिह्न
$β_{N}$	सभी $N$ स्रोतों के बजने पर स्तर	$dB$
$β_{1}$	अकेले एक स्रोत का स्तर	$dB$
$N$	समान स्रोतों की संख्या

कब लागू होता है: केवल ऐसे असंबद्ध स्रोतों के लिए जो सुनने के बिंदु पर समान स्तर देते हों। सुसंगत स्रोत, जैसे एक ही स्वर बजाने वाले दो लाउडस्पीकर, व्यतिकरण करते हैं: जहाँ वे प्रबल होते हैं वहाँ +6 dB, और जहाँ निरस्त होते हैं वहाँ मौन।

उदाहरण: दो 80 dB मशीनें: $80 + 10 lo g_{10} 2 = 83 dB$ ; दस मशीनें 90 dB देती हैं।

दाब-आयाम से तीव्रता

I = \frac{p _{0}^{2}}{2 ρ c}

एक चलती तरंग में वायु का वेग अतिरिक्त दाब के साथ चलता है, $u = p / (ρ c)$ , इसलिए प्रति वर्ग मीटर शक्ति, यानी दाब गुणा वेग, $p^{2} / (ρ c)$ है; एक चक्र पर औसत लेने से आधा मिलता है। अतः तीव्रता आयाम के वर्ग के अनुपात में होती है, इसीलिए दाब-स्तर $20 lo g_{10}$ और तीव्रता-स्तर $10 lo g_{10}$ का प्रयोग करते हैं।

चिह्न
$I$	ध्वनि की तीव्रता	$W/ m^{2}$
$p_{0}$	दाब-आयाम (शिखर अतिरिक्त दाब)	$Pa$
$ρ$	माध्यम का घनत्व	$kg/ m^{3}$
$c$	माध्यम में ध्वनि की चाल	$m/s$

कब लागू होता है: एकल चलती तरंग के लिए, समतल या स्रोत से दूर। निकट-क्षेत्र में और स्थिर या विसरित क्षेत्रों में यह विफल होता है, जहाँ कई दिशाओं से तरंगें पार होती हैं और दाब तथा वायु-वेग समकालिक नहीं रहते।

उदाहरण: एनिमेशन के लाउडस्पीकर से 2 m पर: $p_{0} = 2 \cdot 413 \cdot 1.99 \times 1 0^{- 4} \approx 0.41 Pa$ ।

शब्दावली

ध्वनि-तीव्रता: ध्वनि की ओर मुख वाली सतह के प्रति वर्ग मीटर से गुज़रने वाली ध्वनि-शक्ति, W/m² में। यह किसी स्थान की ध्वनि से संबंधित है, स्रोत से नहीं: वही लाउडस्पीकर 2 m पर 199 µW/m² और 4 m पर उसका एक-चौथाई देता है।
ध्वनिक शक्ति: स्रोत द्वारा हर सेकंड भेजी गई कुल ध्वनि-ऊर्जा, वाटों में। तीव्रता के विपरीत यह इस पर निर्भर नहीं करती कि आप कहाँ सुन रहे हैं; एनिमेशन का लाउडस्पीकर 10 mW विकिरित करता है।
बिंदु-स्रोत: ऐसा स्रोत जो श्रोता की दूरी से बहुत छोटा हो और सभी दिशाओं में समान रूप से विकिरण करे। उसकी ध्वनि गोलों पर फैलती है, इसलिए व्युत्क्रम-वर्ग नियम लागू होता है।
व्युत्क्रम-वर्ग नियम: बिंदु-स्रोत की तीव्रता $1/ r^{2}$ के अनुसार घटती है, क्योंकि वही शक्ति $4 π r^{2}$ क्षेत्रफल के गोले पर फैलती है। दूरी दोगुनी होने पर तीव्रता चौथाई रह जाती है (−6 dB); दूरी तिगुनी होने पर वह 9 गुना घटती है।
डेसिबल: दो शक्तियों या तीव्रताओं के अनुपात की लघुगणकीय इकाई, अर्थात अनुपात का $10 lo g_{10}$ । +10 dB का अर्थ है दस गुनी तीव्रता, और +3 dB लगभग दो गुनी; चूँकि यह अनुपात मापता है, इसलिए स्तर के साथ हमेशा संदर्भ चाहिए।
ध्वनि-तीव्रता स्तर: तीव्रता को संदर्भ $I_{0} = 1 0^{- 12} W/ m^{2}$ के सापेक्ष डेसिबल में व्यक्त करना, $β = 10 lo g_{10} (I / I_{0})$ । 60 dB की बातचीत $I_{0}$ का दस लाख गुना है।
ध्वनि-दाब स्तर: ध्वनि-स्तर मीटर जो दर्ज करता है, $L_{p} = 20 lo g_{10} (p_{rms} /20 μ Pa)$ , जिसकी गणना तीव्रता के बजाय दाब से की जाती है। गुणांक 20 इसलिए है क्योंकि तीव्रता दाब के वर्ग के अनुपात में होती है; खुली हवा में $L_{p}$ और $β$ में केवल लगभग 0.1 dB का अंतर है।
श्रवण-सीमा: सबसे मद्धम ध्वनि जिसे एक स्वस्थ युवा कान पहचान सके, लगभग $1 0^{- 12} W/ m^{2}$ , या 1 kHz पर 0 dB। कान निम्न और अति-उच्च आवृत्तियों पर कम संवेदी होता है, इसलिए वहाँ सीमा ऊँची होती है।
पीड़ा-सीमा: वह स्तर जिस पर ध्वनि दर्द देने लगती है, लगभग 120 से 130 dB, यानी 1 से 10 W/m²। श्रवण-क्षति उससे बहुत पहले शुरू हो जाती है, लगभग 85 dB से ऊपर लंबे समय तक रहने पर।
प्रबलता: ध्वनि श्रोता को कितनी तेज़ लगती है, मापी गई तीव्रता से भिन्न। यह कहीं अधिक धीरे बढ़ती है: लगभग 10 dB अधिक, यानी दस गुनी तीव्रता, दोगुनी तेज़ लगती है। यह तारत्व से भी भिन्न है, जो मुख्यतः आवृत्ति से तय होता है।
असंबद्ध स्रोत: ऐसे स्रोत जिनकी कलाएँ असंबद्ध हैं, जैसे दो मशीनें या दो आवाज़ें। उनकी तीव्रताएँ जुड़ती हैं, इसलिए $N$ समान स्रोत स्तर को $10 lo g_{10} N$ बढ़ाते हैं; सुसंगत स्रोत, जिन्हें एक ही संकेत मिलता है, दाब-आयाम जोड़ते हैं और व्यतिकरण करते हैं।
रेखीय स्रोत: स्रोतों की एक लंबी पंक्ति, जैसे सीधी सड़क पर यातायात। उसकी ध्वनि गोलों के बजाय बेलनों में फैलती है, इसलिए तीव्रता $1/ r$ के अनुसार घटती है और दूरी दोगुनी होने पर स्तर केवल 3 dB गिरता है।

राशियाँ
$P$	ध्वनिक शक्ति	$W$	स्रोत द्वारा हर सेकंड सभी दिशाओं में मिलाकर उत्सर्जित ध्वनि-ऊर्जा; एनिमेशन के लाउडस्पीकर के लिए 10 mW।
$A$	क्षेत्रफल	$m^{2}$	वह क्षेत्रफल जिस पर शक्ति फैलती है, ध्वनि के लंबवत; बिंदु-स्रोत के लिए गोला $4 π r^{2}$ ।
$r$	स्रोत से दूरी	$m$	स्रोत से सुनने के बिंदु तक की दूरी; $r_{1}$ और $r_{2}$ ऐसी ही दो दूरियाँ हैं।
$I$	ध्वनि की तीव्रता	$W/ m^{2}$	सुनने के बिंदु पर प्रति क्षेत्रफल शक्ति; $I_{1}$ और $I_{2}$ उसके $r_{1}$ और $r_{2}$ पर मान हैं।
$I_{0}$	संदर्भ तीव्रता	$W/ m^{2}$	$1 0^{- 12} W/ m^{2}$ , लगभग 1 kHz पर श्रवण-सीमा; डेसिबल पैमाने का शून्य।
$β$	ध्वनि-तीव्रता स्तर	$dB$	$10 lo g_{10} (I / I_{0})$ , डेसिबल में व्यक्त अनुपात; $β_{1}$ , $β_{2}$ और $β_{N}$ दी गई दूरियों पर या $N$ स्रोतों से स्तर हैं।
$N$	स्रोतों की संख्या		एक साथ बजने वाले समान, स्वतंत्र स्रोतों की संख्या।
$p_{0}$	दाब-आयाम	$Pa$	तरंग गुज़रते समय वायु-दाब का अपने माध्य मान से अधिकतम आधिक्य; $p_{0} / 2$ वह वर्ग-माध्य-मूल दाब है जो मीटर मापता है।
$ρ$	वायु का घनत्व	$kg/ m^{3}$	माध्यम के एक घन मीटर का द्रव्यमान; 20 °C और समुद्र-तल दाब पर वायु के लिए लगभग $1.20 kg/ m^{3}$ ।
$c$	ध्वनि की चाल	$m/s$	20 °C की वायु में लगभग 343 m/s; गुणनफल $ρ c \approx 413 kg/ (m^{2} s)$ वायु की ध्वनिक प्रतिबाधा है। “ध्वनि और डॉप्लर प्रभाव” में इसे $v$ लिखा जाता है।

क्विज़

शुरुआती आप एक खुले मैदान में एक छोटे लाउडस्पीकर से 1 m से 2 m दूर चलते हैं। आपके कानों पर ध्वनि-तीव्रता का क्या होता है?
1. आधी हो जाती है
2. चौथाई हो जाती है
3. वही रहती है
4. आठवाँ हिस्सा हो जाती है
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उत्तर: B. चौथाई हो जाती है
दोगुनी दूरी पर वही ध्वनि-ऊर्जा 4 गुने क्षेत्रफल वाले गोले पर फैल जाती है, इसलिए हर वर्ग मीटर और हर कान को उसका चौथाई मिलता है।
शुरुआती ध्वनि का कौन-सा गुण मुख्यतः उसका तारत्व, यानी उसकी ऊँचाई या नीचाई तय करता है?
1. उसकी तीव्रता
2. उसकी चाल
3. उसकी आवृत्ति
4. स्रोत से आपकी दूरी
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उत्तर: C. उसकी आवृत्ति
तारत्व आवृत्ति पर निर्भर करता है, यानी प्रति सेकंड कंपनों की संख्या पर। तीव्रता ध्वनि की प्रबलता तय करती है, ऊँचाई नहीं, और हवा में सभी ध्वनियाँ एक ही चाल से चलती हैं।
शुरुआती ध्वनि-स्तर 50 dB से बढ़कर 70 dB हो जाता है। ध्वनि की तीव्रता कितने गुना बढ़ गई है?
1. 100 गुना
2. 20 गुना
3. 2 गुना
4. 1.4 गुना
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उत्तर: A. 100 गुना
हर 10 dB की छलांग तीव्रता को 10 गुना कर देती है, इसलिए 20 dB अधिक का अर्थ है 10 × 10 = 100 गुना तीव्रता।
मध्यम एक सायरन सभी दिशाओं में समान रूप से 2 W ध्वनि-शक्ति विकिरित करता है। 10 m दूर ध्वनि-तीव्रता क्या है?
1. 1.6 × 10⁻² W/m²
2. 2.0 × 10⁻² W/m²
3. 5.0 × 10⁻³ W/m²
4. 1.6 × 10⁻³ W/m²
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उत्तर: D. 1.6 × 10⁻³ W/m²
I = P/(4π·r²) = 2 ÷ (4π × 10²) ≈ 1.6 × 10⁻³ W/m²। r को वर्ग करना भूल जाने पर 1.6 × 10⁻² W/m² मिलता है, केवल r² से भाग देने पर 2.0 × 10⁻² W/m², और π छोड़ देने पर 5.0 × 10⁻³ W/m²।
मध्यम दो समान मशीनें आपकी स्थिति पर प्रत्येक 80 dB उत्पन्न करती हैं। दोनों साथ चलने पर स्तर क्या होगा?
1. 160 dB
2. 83 dB
3. 86 dB
4. 80 dB
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उत्तर: B. 83 dB
दोनों मशीनें स्वतंत्र (असंबद्ध) स्रोत हैं, इसलिए उनकी तीव्रताएँ जुड़ती हैं, डेसिबल नहीं। तीव्रता दोगुनी करने पर 10·log₁₀ 2 ≈ 3 dB जुड़ता है, अतः स्तर 83 dB है। 86 dB के लिए चार मशीनें चाहिए; दो सुसंगत स्रोत, जैसे एक ही स्वर बजाने वाले दो लाउडस्पीकर, केवल संपोषी व्यतिकरण वाले स्थानों पर +6 dB देते हैं।
मध्यम 10⁻⁵ W/m² तीव्रता वाली ध्वनि का ध्वनि-तीव्रता स्तर क्या है? (I₀ = 10⁻¹² W/m²)
1. 70 dB
2. 50 dB
3. 7 dB
4. −50 dB
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उत्तर: A. 70 dB
β = 10·log₁₀(10⁻⁵ / 10⁻¹²) = 10·log₁₀(10⁷) = 70 dB। गुणांक 10 भूल जाने पर 7 dB मिलता है, और I₀ से भाग दिए बिना 10·log₁₀ I लेने पर −50 dB।
उन्नत खुली हवा में, एक ध्वनि-स्तर मीटर एक छोटे स्रोत से 1 m पर 94 dB दिखाता है। 10 m दूर वह क्या दिखाएगा?
1. 84 dB
2. 88 dB
3. 74 dB
4. 9.4 dB
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उत्तर: C. 74 dB
स्तर 20·log₁₀(r₂/r₁) = 20·log₁₀ 10 = 20 dB गिरता है, जिससे 74 dB मिलता है। 84 dB तब मिलता जब I ∝ 1/r होता, और 88 dB दूरी के केवल एक बार दोगुनी होने के बाद का स्तर है।
उन्नत एक लंबे, व्यस्त राजमार्ग के पास, दूरी दोगुनी होने पर शोर-स्तर 6 dB के बजाय केवल लगभग 3 dB गिरता है। ऐसा क्यों?
1. यातायात का शोर अधिकतर निम्न तारत्व का होता है
2. ज़मीन के पास हवा कम ध्वनि सोखती है
3. ज़मीन अतिरिक्त ध्वनि आपकी ओर परावर्तित करती है
4. सड़क बिंदु नहीं, स्रोतों की एक पंक्ति है
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उत्तर: D. सड़क बिंदु नहीं, स्रोतों की एक पंक्ति है
सड़क के साथ फैली गाड़ियाँ 2π·r·L क्षेत्रफल वाले बेलन से विकिरण करती हैं। r दोगुना करने पर केवल वह क्षेत्रफल दोगुना होता है, इसलिए I आधा होता है और स्तर 3 dB गिरता है; जबकि बिंदु-स्रोत गोले पर फैलता है और 6 dB खोता है। ज़मीन का परावर्तन हर दूरी पर लगभग समान 3 dB जोड़ता है, इसलिए वह प्रति दोगुनी दूरी की गिरावट नहीं बदल सकता।

$Δ P$	शंकु द्वारा ले जाई गई शक्ति: स्रोत के उत्पादन का वह भाग जो हर सतह को पार करता है।	$W$
$r_{1}$	स्रोत से पहली सतह की दूरी।	$m$
$r_{2}$	स्रोत से दूसरी सतह की दूरी, जो $r_{1}$ की दोगुनी है।	$m$
$A_{1}$	पहली सतह का क्षेत्रफल, स्रोत की ओर मुख वाली।	$m^{2}$
$A_{2}$	दूसरी सतह का क्षेत्रफल, $A_{1}$ का चार गुना, जिसके हर खाने में एक किरण है।	$m^{2}$
$I_{1}$	पहली सतह पर तीव्रता: वहाँ प्रति वर्ग मीटर शक्ति, $Δ P / A_{1}$ ।	$W/ m^{2}$
$I_{2}$	दूसरी सतह पर तीव्रता, $Δ P / A_{2}$ ।	$W/ m^{2}$

$p$	दिखाए गए क्षण पर ध्वनि-तरंग का अतिरिक्त दाब।	$Pa$
$r$	किरण के अनुदिश स्रोत से दूरी।	$m$
$p_{1}$	$r_{1}$ पर शिखर की ऊँचाई: वहाँ का दाब-आयाम।	$Pa$
$p_{2}$	$r_{2}$ पर शिखर की ऊँचाई: $p_{1}$ का आधा।	$Pa$
$r_{1}$	स्रोत से पहले चिह्नित शिखर की दूरी।	$m$
$r_{2}$	दूसरे चिह्नित शिखर की दूरी, जो $r_{1}$ की दोगुनी है।	$m$
$λ$	तरंगदैर्ध्य: पड़ोसी शिखरों के बीच की दूरी, जो हर $r$ पर समान है।	$m$
$C / r$	तरंग का आवरण, जहाँ $C$ स्रोत से तय स्थिरांक है: शिखर $+ C / r$ को और गर्त $- C / r$ को छूते हैं।	$Pa$

$p_{1}$	श्रोता पर पहली तरंग का दाब-आयाम: उसके तीर की लंबाई।	$Pa$
$p_{2}$	दूसरी तरंग का दाब-आयाम, यहाँ $p_{1}$ के बराबर; उसकी दिशा पहली के सापेक्ष उसकी कला दिखाती है।	$Pa$
$p$	संयुक्त तरंग का आयाम: तीरों का योग $p_{1} + p_{2}$ ।	$Pa$
$φ$	कला-अंतर: वह कोण जिससे $p_{2}$ को $p_{1}$ की दिशा से घुमाया गया है; समकालिक होने पर $0$ , आधे चक्र के अंतर पर $π$ ।	$rad$

$P$	हर स्रोत की ध्वनिक शक्ति।	$W$
$d$	पड़ोसी स्रोतों के बीच की दूरी।	$m$
$M$	ध्वनि-स्तर मीटर।
$r$	मीटर से सड़क की दूरी, जो उसके निकटतम स्रोत की भी दूरी है।	$m$
$x$	सड़क पर एक स्रोत की स्थिति, $M$ से डाले गए लंब के पाद से मापी गई।	$m$
$s$	उस स्रोत से मीटर तक की दूरी, $r^{2} + x^{2}$ ।	$m$
$d x$	सड़क के एक पतले टुकड़े की लंबाई; उसमें $d x / d$ स्रोत होते हैं।	$m$