Einfache Maschinen: Hebel, Rollen und Zahnräder

Einsteiger

Wie kann ein Mensch mit einem Wagenheber ein Auto anheben oder mit einem Klauenhammer einen Nagel herausziehen? Mit einfachen Maschinen: Hebeln, Rollen, Rampen, Rad und Achse, Schrauben und Zahnrädern.

Schritt 1. Eine Maschine verändert die Kraft, die du brauchst. Ein Brecheisen lässt deine Hand sanft am langen Ende drücken, während das kurze Ende einen schweren Stein hochhebt.

Schritt 2. Nichts gibt es umsonst. Physiker messen Arbeit als Kraft × Weg, und eine Maschine kann nicht mehr Arbeit abgeben, als du hineinsteckst. Verkleinert sie also die Kraft, vergrößert sie den Weg: Drückst du mit einem Viertel der Kraft, musst du viermal so weit drücken.

Schritt 3. Am besten zeigen das Rollen. In der Animation läuft ein Seil zwischen einem festen oberen Block und einem unteren Block, der die Kiste trägt, auf und ab. Vier Stränge, nummeriert von 1 bis 4, halten den unteren Block; sie teilen sich das Gewicht der Kiste, und deine Hand zieht nur mit einem Viertel davon. Vergleiche den kurzen roten Balken „dein Zug“ mit dem violetten Gewichtsbalken. Um die Kiste aber 1 m anzuheben, muss sich jeder Strang um 1 m verkürzen, also laufen 4 m Seil durch deine Hand: Der goldene Balken wächst viermal so schnell wie der grüne.

Schritt 4. Eine Rampe funktioniert genauso: Eine Kiste eine lange, flache Schräge hinaufzuschieben braucht weniger Kraft als senkrechtes Hochheben, dafür über einen längeren Weg.

Teste dich selbst: Eine reibungsfreie Rampe ist 4 m lang und steigt 1 m an. Welche Schubkraft bewegt eine 400 N schwere Kiste hinauf? (100 N: viermal der Weg, ein Viertel der Kraft.)

Echte Maschinen schneiden etwas schlechter ab als dieses Ideal: Reibung in Rollen und Lagern wandelt einen Teil deines Kraftaufwands in Wärme um, daher ziehst du immer etwas stärker.

Mittelstufe

Was eine Maschine ändert und was nicht

Eine einfache Maschine nimmt die Kraft auf, die du aufwendest, den Kraftaufwand $F_{\mathrm{in}}$, der über eine Strecke $d_{\mathrm{in}}$ wirkt, und wirkt mit einer Kraft $F_{\mathrm{out}}$ über eine Strecke $d_{\mathrm{out}}$ auf eine Last; bei gleichmäßigem Heben ist $F_{\mathrm{out}}$ das Gewicht $mg$ der Last. Zwei reine Zahlen beschreiben sie: der mechanische Vorteil, am echten Gerät gemessen, und der ideale, der allein durch die Geometrie festgelegt ist.

• $\mathrm{MA}=\frac{F_{\mathrm{out}}}{F_{\mathrm{in}}}$
• $\mathrm{IMA}=\frac{d_{\mathrm{in}}}{d_{\mathrm{out}}}$

Eine Maschine hat keine eigene Energiequelle. Ohne Reibung ist die hineingesteckte Arbeit gleich der abgegebenen, $W_{\mathrm{in}}=W_{\mathrm{out}}$, also $F_{\mathrm{in}}{d}_{\mathrm{in}}=F_{\mathrm{out}}{d}_{\mathrm{out}}$ und $\mathrm{MA}=\mathrm{IMA}$: Die Kraft wird genauso oft vervielfacht, wie der Weg geteilt wird. Mit Reibung wird ein Teil der Eingangsarbeit zu Wärme $Q$, also $W_{\mathrm{in}}=W_{\mathrm{out}}+Q$, und der Wirkungsgrad
$\eta =\frac{W_{\mathrm{out}}}{W_{\mathrm{in}}}=\frac{\mathrm{MA}}{\mathrm{IMA}}$
ist kleiner als 1. Reibung verändert die Kräfte, nicht die Strecken, daher ist das Verhältnis der Arbeiten gleich dem Verhältnis von $\mathrm{MA}$ zu $\mathrm{IMA}$.

Rollen: die tragenden Seilstränge zählen

Eine Rolle ist ein gerilltes Rad, eine Seilscheibe, das frei auf einer Achse läuft; daher ist die Spannung $T$ im Seil auf beiden Seiten gleich. Eine einzelne feste Rolle lenkt die Zugkraft daher nur um, mit $\mathrm{MA}=1$; allerdings ist es leichter, nach unten zu ziehen und dabei das eigene Gewicht einzusetzen.

Ein Flaschenzug führt ein Seil zwischen einem festen oberen Block und einem unteren Block, der die Last trägt, auf und ab. Halten $n$ Stränge den beweglichen Block, teilen sie sich die Last, $nT=mg$, also ist der Zug am freien Ende $F=T=mg/n$. Die Geometrie bestätigt das: Steigt der untere Block um $h$, verkürzt sich jeder Strang um $h$, und das überschüssige Seil, $d=nh$, läuft durch deine Hand. Zähle nur die Stränge, die am beweglichen Block hängen. Reibung erhöht den Zug um den Faktor $1/\eta$:
$\text{Block and tackle}:d=nh,F=\frac{mg}{n\eta }$

Rechenbeispiel: der Flaschenzug aus der Animation

Die 40 kg schwere Kiste wiegt $mg=40\cdot 9,81=392,4\mathrm{N}$, und die vier Stränge, die in der Einsteiger-Ansicht nummeriert sind, halten den unteren Block; also $n=4$ und, in der idealen Maschine dieser Stufe,
$T=F=\frac{mg}{n}=\frac{392,4}{4}=98,1\mathrm{N}$

Jeder blaue $T$-Pfeil an den Strängen hat diese Länge, ebenso der rote $F$-Pfeil an der Hand. Die Kiste steigt mit $h=1,00\mathrm{m}$ bei 0,25 m/s, während die Hand $d=4\cdot 1,00=4,00\mathrm{m}$ Seil mit 1 m/s zieht, entlang der gestrichelten goldenen Linie. Die beiden Arbeiten sind
$W_{\mathrm{in}}=Fd=98,1\cdot 4,00=392,4\mathrm{J}$
$W_{\mathrm{out}}=mgh=392,4\cdot 1,00=392,4\mathrm{J}$

Das sind die Endwerte der beiden Anzeigen, die gemeinsam steigen. Die oberste Zeile der Tafel, $\mathrm{MA}=mg/F=d/h=4$, fasst alles zusammen: ein Viertel der Kraft, viermal der Weg, dieselbe Arbeit.

Die Anlage lesen: Pfeile, Balken und Decke

Der rote Zugbalken ist ein Viertel des violetten Gewichtsbalkens, während der goldene Seilbalken viermal so schnell wächst wie der grüne Höhenbalken. Stell dir jede Arbeit als Fläche eines Rechtecks vor, Kraft mal Weg: für die Hand niedrig und breit, für die Kiste hoch und schmal, aber gleich groß.

Die Pfeile bilden ein Freikörperbild des unteren Blocks: vier $T$-Pfeile ziehen ihn nach oben, das Gewicht zieht ihn nach unten, also $4T=mg$. Der obere Block wird von allen vier Strängen nach unten gezogen und außerdem vom freien Ende, weil du nach unten ziehst: Die Decke muss $5T=490,5\mathrm{N}$ halten, also $mg+F$, mehr als die Kiste selbst.

Hebel, Zahnräder und Rampen

Ein Hebel ist eine starre Stange, die sich um einen festen Punkt dreht, den Drehpunkt. Bei einer kleinen Drehung bewegt sich jeder Punkt proportional zu seinem Abstand vom Drehpunkt; daher ergeben die Arme $L_{\mathrm{in}}$ und $L_{\mathrm{out}}$, beide vom Drehpunkt aus gemessen, $\mathrm{IMA}=L_{\mathrm{in}}/L_{\mathrm{out}}$, und die Drehmomente stehen im Gleichgewicht:
$\text{Lever}:F_{\mathrm{in}}{L}_{\mathrm{in}}=F_{\mathrm{out}}{L}_{\mathrm{out}}$

Was in der Mitte liegt, bestimmt die Art: der Drehpunkt bei der 1. Art (Brecheisen, Schere), die Last bei der 2. Art (Schubkarre, Nussknacker; immer $\mathrm{MA}>1$), der Kraftaufwand bei der 3. Art (Pinzette, dein Unterarm; immer $\mathrm{MA}<1$, Kraft gegen Geschwindigkeit und Reichweite getauscht). Rad und Achse ist ein Hebel, der sich dauernd dreht: Eine Kurbel mit Radius $R$ auf einer Trommel mit Radius $r$ hat $\mathrm{IMA}=R/r$.

Zahnräder sind Räder mit Zähnen gleicher Größe; daher ist die Zähnezahl $N$ proportional zum Radius:
$\text{Gears}:\frac{{\tau }_{\mathrm{out}}}{{\tau }_{\mathrm{in}}}=\frac{{\omega }_{\mathrm{in}}}{{\omega }_{\mathrm{out}}}=\frac{N_{\mathrm{out}}}{N_{\mathrm{in}}}$
Hier ist $\tau$ das Drehmoment in N·m und $\omega$ die Winkelgeschwindigkeit. Im Ausschnitt der Ansicht für Fortgeschrittene treibt ein Ritzel mit 8 Zähnen ein Zahnrad mit 24 Zähnen an: ein Drittel der Drehzahl, das dreifache Drehmoment.

Eine reibungsfreie Rampe der Länge $s$ mit der Höhe $h$ braucht entlang der Rampe nur eine Schubkraft von $mgh/s$, also $\mathrm{IMA}=s/h$: Eine 4 m lange Rampe mit 1 m Höhe ist der Flaschenzug der Animation in anderer Form.

Rechenbeispiel: eine Handwinde mit Getriebe

Eine Baustellenwinde hebt eine 150 kg schwere Palette mit Fliesen. Ihre Kurbel mit 0,25 m Länge dreht ein Ritzel mit 10 Zähnen, das ein Zahnrad mit 40 Zähnen auf der Welle einer Trommel mit Radius 0,050 m antreibt. Der Wirkungsgrad beträgt 75 %. Welche Kraft musst du am Griff aufbringen?

Kurbel und Trommel wirken als Rad und Achse mit dem Faktor $0,25/0,050=5$, und das Getriebe ergibt $40/10=4$. Übersetzungen multiplizieren sich entlang einer Kette von Maschinen, also $\mathrm{IMA}=5\cdot 4=20$, und
$\mathrm{MA}=\eta \mathrm{IMA}=0,75\cdot 20=15$
$F_{\mathrm{in}}=\frac{mg}{\mathrm{MA}}=\frac{150\cdot 9,81}{15}=\frac{1471,5}{15}=98,1\mathrm{N}$

Rechne es mit Wegen nach: Eine Umdrehung der Trommel wickelt $2\pi \cdot 0,050=0,314\mathrm{m}$ Seil auf und braucht vier Umdrehungen der Kurbel, $4\cdot 2\pi \cdot 0,25=6,28\mathrm{m}$ Handweg, also zwanzigmal so weit. Ein Hub von 1 m kostet $98,1\cdot 20=1962\mathrm{J}$ bei 1471,5 J abgegebener Arbeit; die übrigen 490,5 J erwärmen Zahnräder und Lager.

Häufige Fehler

• Jedes Seilstück mitzählen. Das fünfte senkrechte Stück in der Animation läuft vom oberen Block zu deiner Hand und hält nichts: $n=4$; durch 5 zu teilen ergäbe 78,5 N.
• Glauben, eine Maschine spare Arbeit. Sie spart Kraft, nie Arbeit: Der echte Flaschenzug der Ansicht für Fortgeschrittene braucht 490,5 J, um 392,4 J abzugeben.
• Hebelarme von der Last aus messen. Ein 1,5 m langes Brecheisen mit Drehpunkt 0,10 m von der Spitze hat Arme von 1,40 m und 0,10 m, also $\mathrm{MA}=14$, nicht 15.
• Die Verluste als Anteil der Ausgangsarbeit nehmen. Bei $\eta =0,80$ braucht der Flaschenzug $392,4/0,80=490,5\mathrm{J}$: Die Wärme, 98,1 J, ist ein Fünftel der Eingangsarbeit, nicht 20 % der Ausgangsarbeit.
• Eine Maschine mit $\mathrm{MA}\le 1$ für nutzlos halten. Eine feste Rolle ändert die Richtung des Zugs, und Pinzetten tauschen Kraft gegen feine Bewegung.

Wo du ihnen begegnest

Am Fahrrad dreht ein Kettenblatt mit 48 Zähnen, das ein Ritzel mit 16 Zähnen antreibt, das Hinterrad bei jeder Pedalumdrehung dreimal: Zahnräder, andersherum für Geschwindigkeit genutzt. Dein Unterarm ist ein Hebel der 3. Art: Der Bizeps zieht etwa 4 cm neben dem Ellbogen, und die Hand ist 35 cm entfernt, daher braucht das Halten eines 50-N-Gewichts etwa 440 N Muskelkraft.

Die hydraulische Presse aus Druck in Flüssigkeiten und das pascalsche Prinzip ist eine Maschine, deren Vorteil ein Verhältnis von Kolbenflächen ist; Transformatoren aus Motoren, Generatoren und Transformatoren tauschen Spannung gegen Stromstärke, wie Zahnräder Drehmoment gegen Drehzahl tauschen; und der Wirkungsgrad taucht mit einer strengeren Grenze wieder auf in Erster Hauptsatz der Thermodynamik und Wärmekraftmaschinen.

Fortgeschritten

Warum jede ideale Maschine derselben Regel folgt

Hebel, Rollen, Zahnräder und Rampen sehen völlig verschieden aus, doch alle tauschen Kraft gegen Weg im gleichen Verhältnis. Dieser Abschnitt zeigt warum, mit einem Argument, das überhaupt keine Kräfte benutzt, sondern nur die Tatsache, dass ein Perpetuum mobile unmöglich ist.

Eine Maschine heißt umkehrbar, wenn sie ohne Reibung rückwärts genauso leicht läuft wie vorwärts: Was sie in der einen Richtung tut, kann sie in der anderen rückgängig machen. Nun nimm zwei umkehrbare Maschinen. Jede wird angetrieben, indem man dasselbe 100-N-Gewicht um 1 m absenkt, und jede nutzt das, um dieselbe Last zu heben. Die erste hebt sie um $x_1$, die zweite um $x_2$, und angenommen, dass $x_2>x_1$ ist.

Lass die zweite Maschine vorwärts laufen: Das Gewicht sinkt um 1 m, und die Last steigt um $x_2$. Dann lass die erste Maschine rückwärts laufen: Sie senkt die Last um $x_1$ und hebt dabei das 100-N-Gewicht wieder um 1 m. Das Gewicht ist wieder an seinem Ausgangspunkt, beide Maschinen sind unverändert, doch die Last hängt $x_2-x_1$ höher als vorher. Wiederholst du den Zyklus, hebst du die Last umsonst, beliebig oft.

Ein solches Perpetuum mobile wird nie beobachtet, also war die Annahme falsch: $x_2\le x_1$. Das Argument funktioniert genauso, wenn man die beiden Maschinen vertauscht, und ergibt $x_1\le x_2$. Also $x_1=x_2$: Alle umkehrbaren Maschinen heben eine gegebene Last gleich hoch.

Eine umkehrbare Maschine genügt also, um die Regel für alle zu finden, und der ausbalancierte Hebel ist der einfachste. Kippe ihn leicht: Das Gewicht, das auf einer Seite sinkt, mal der Höhe, um die es fällt, ist gleich dem Gewicht, das auf der anderen Seite steigt, mal der Höhe, um die es steigt. Kraft mal Weg in Kraftrichtung ist die Arbeit $W$; daher ist für jede umkehrbare Maschine die Eingangsarbeit gleich der Ausgangsarbeit, $W_{\mathrm{in}}=W_{\mathrm{out}}$.

Eine Maschine mit Reibung ist nicht umkehrbar, und dasselbe Argument begrenzt sie. Hebte sie die Last höher als eine umkehrbare Maschine, würde das Rückwärtslaufen der umkehrbaren Maschine wieder etwas umsonst liefern. Also $W_{\mathrm{out}}\le W_{\mathrm{in}}$, und der Wirkungsgrad $\eta =W_{\mathrm{out}}/W_{\mathrm{in}}$ ist höchstens 1. Sadi Carnot nutzte 1824 dieselbe Überlegung, um zu zeigen, dass keine Wärmekraftmaschine eine umkehrbare übertrifft, die zwischen denselben beiden Temperaturen arbeitet.

Virtuelle Arbeit: der Vorteil aus der Geometrie

Legende

$F_1$	Kraftaufwand, der am Ende des langen Arms nach unten drückt: die Eingangskraft.	$\mathrm{N}$
$F_2$	Last, die am Ende des kurzen Arms nach unten drückt: die Ausgangskraft.	$\mathrm{N}$
$L_1$	Länge des Kraftarms, vom Drehpunkt bis zum Kraftaufwand.	$\mathrm{m}$
$L_2$	Länge des Lastarms, vom Drehpunkt bis zur Last.	$\mathrm{m}$
$\delta \theta$	Winziger Winkel, um den der Hebel gekippt wird, groß gezeichnet.	$\mathrm{rad}$
$\delta x_1$	Weg, um den das Kraftende nach unten sinkt: $L_1\delta \theta$.	$\mathrm{m}$
$\delta x_2$	Weg, um den das Lastende nach oben steigt: $L_2\delta \theta$.	$\mathrm{m}$

Die Regel $W_{\mathrm{in}}=W_{\mathrm{out}}$ verwandelt eine Frage nach den Kräften einer Maschine in eine Frage nach ihrer Geometrie: wie weit sich jedes Ende bewegt. Abbildung 1 zeigt das für einen Hebel im Gleichgewicht. Der Kraftaufwand $F_1$ drückt nach unten auf das Ende des langen Arms $L_1$, und die Last $F_2$ drückt nach unten auf das Ende des kurzen Arms $L_2$; die Indizes 1 und 2 stehen für „ein“ und „aus“.

Stell dir nun vor, den Hebel um einen winzigen Winkel $\delta \theta$ zu kippen, in der Abbildung übertrieben groß gezeichnet, damit man es sieht. Ein Punkt im Abstand $L$ vom Drehpunkt bewegt sich auf einem Bogen der Länge $L\delta \theta$, und bei einem winzigen Winkel ist dieser Bogen ein kurzer Schritt senkrecht nach oben oder unten. Betrachte die beiden Pfeile an den Enden des Hebels: Das Kraftende sinkt um $\delta x_1=L_1\delta \theta$, und das Lastende steigt um $\delta x_2=L_2\delta \theta$. Ihr Verhältnis, $\delta x_1/\delta x_2=L_1/L_2$, beträgt in der Abbildung den Wert 2 und hängt allein von den Armlängen ab.

Nun wende die Arbeitsregel an. Da der Hebel im Gleichgewicht ist, kann die Bewegung beliebig langsam erfolgen, sodass er keine kinetische Energie erhält; da der Hebel umkehrbar ist, wird keine Arbeit in Wärme umgewandelt. Die gesamte vom Kraftaufwand verrichtete Arbeit geht daher in das Anheben der Last:
$F_{\mathrm{in}}\delta x_{\mathrm{in}}=F_{\mathrm{out}}\delta x_{\mathrm{out}}$

Die $\delta x$ sind virtuelle Verschiebungen: gedacht statt ausgeführt und so klein, dass sich die Kräfte während ihres Ablaufs nicht ändern. Nur ihr Verhältnis zählt, und die Zwangsbedingungen der Maschine legen es fest, hier der starre Hebel, der sich um seinen Drehpunkt dreht. Für den Hebel lautet das Gleichgewicht $F_1\delta x_1=F_2\delta x_2$. Setzt man die beiden Verschiebungen ein, kürzt sich $\delta \theta$ heraus, und es bleibt das bekannte Drehmomentgleichgewicht $F_1{L}_1=F_2{L}_2$.

Das ist das Prinzip der virtuellen Arbeit, und es liefert den Vorteil einer Maschine ohne ein einziges Freikörperbild. Zwei Verhältnisse beschreiben jede Maschine: der mechanische Vorteil $\mathrm{MA}=F_{\mathrm{out}}/F_{\mathrm{in}}$, der Faktor, um den sie die Kraft vervielfacht, und der ideale mechanische Vorteil $\mathrm{IMA}=\delta x_{\mathrm{in}}/\delta x_{\mathrm{out}}$, das Verhältnis der zurückgelegten Wege. Die virtuelle Arbeit besagt, dass bei einer umkehrbaren Maschine beide gleich sind; beim Hebel sind beide $L_1/L_2$. Mit Reibung gilt $\eta =W_{\mathrm{out}}/W_{\mathrm{in}}=\mathrm{MA}/\mathrm{IMA}$.

Der Flaschenzug: ein Seil fester Länge

Legende

$y$	Abstand vom oberen zum unteren Block: die Länge jedes tragenden Strangs.	$\mathrm{m}$
$\ell$	Länge des Seils vom oberen Block hinunter zur Hand.	$\mathrm{m}$
$n$	Zahl der Stränge, die den unteren Block tragen, hier 4.
$\delta h$	Höhe, um die die Last gehoben wird.	$\mathrm{m}$
$n\delta h$	Weg, um den die Hand sinkt: $n$-mal $\delta h$.	$\mathrm{m}$

Ein Flaschenzug, das Hebezeug der Animation, behält seine Geometrie im Seil. Das Seil dehnt sich nicht, und genau das bestimmt, wie weit die Hand ziehen muss. In Abbildung 2 hängt der untere Block, der die Kiste trägt, im Abstand $y$ unter dem oberen Block an $n=4$ Strängen, jeder der Länge $y$, und $\ell$ ist die Länge des Seils vom oberen Block hinunter zur Hand.

Die Seillänge in den $n$ Strängen plus dem freien Ende ergibt das ganze Seil, also bleibt sie gleich:
$ny+\ell =\mathrm{const},\delta \ell =-n\delta y$

Nun hebe die Last um $\delta h$, sodass der untere Block nach oben kommt und $\delta y=-\delta h$ gilt; die gestrichelten Kästen zeigen, wo Kiste und Hand vorher waren. Jeder der $n$ Stränge ist nun um $\delta h$ kürzer. Das Seil, das sie abgeben, insgesamt $n\delta h$, geht an das freie Ende, $\delta \ell =n\delta h$, sodass die Hand um $n\delta h$ nach unten kommt, der lange Pfeil rechts.

Die virtuelle Arbeit liefert dann den Zug. Die Handkraft $F$ wirkt über $n\delta h$, während das Gewicht $mg$ um $\delta h$ steigt, also $Fn\delta h=mg\delta h$ und $F=mg/n$: Der $\mathrm{IMA}$ ist $n$, die Zahl der Stränge, die den unteren Block halten. Teilt man beide Wege durch die benötigte Zeit, erhält man die Geschwindigkeiten, $v_{\mathrm{in}}=n{v}_{\mathrm{out}}$: in der Animation 1 m/s an der Hand und 0,25 m/s an der Kiste.

Zahnräder und schiefe Ebene nach derselben Regel

Dieselbe Überlegung gilt für Maschinen, die sich drehen oder gleiten. Zwei kämmende Zahnräder haben Zähne, die sich berühren und gemeinsam bewegen, sodass ihre Zahnkränze am Rand dieselbe Geschwindigkeit haben: ${\omega }_{\mathrm{in}}{r}_{\mathrm{in}}={\omega }_{\mathrm{out}}{r}_{\mathrm{out}}$, wobei $\omega$ die Winkelgeschwindigkeit und $r$ der Radius ist. Die Zähne haben auf beiden Zahnrädern denselben Abstand, daher ist jeder Radius proportional zu seiner Zähnezahl, und die Geschwindigkeiten verhalten sich umgekehrt wie die Zähnezahlen.

Für die schiefe Ebene nimm einen Block der Masse $M$ auf einer reibungsfreien schiefen Ebene der Länge $s$ und der Höhe $h$, der über eine Rolle oben mit einer hängenden Masse $M^{\prime }$ verbunden ist. Sinkt $M^{\prime }$ um $s$, zieht sie den Block über die ganze Länge der Ebene und hebt ihn damit um $h$. Die Arbeitsbilanz $M^{\prime }gs=Mgh$ besagt, dass sich beides ausgleicht, wenn $M^{\prime }s=Mh$ ist: Bei einer 4 m langen Ebene mit 1 m Höhe genügt ein Viertel von $M$. Simon Stevin kam 1586 auf anderem Weg zu solchen Ergebnissen: Eine geschlossene Kette, über einen dreieckigen Block gehängt, beginnt sich nie von selbst zu drehen, was wieder die Unmöglichkeit des Perpetuum mobile zeigt.

Verluste, Rolle für Rolle

Legende

$F$	Zug der Hand am freien Seilende.	$\mathrm{N}$
$T_4$	Spannung im Strang neben der Hand: ${\eta }_{s}F$.	$\mathrm{N}$
$T_3$	Spannung im zweiten Strang von der Hand aus: ${\eta }_s^{2}F$.	$\mathrm{N}$
$T_2$	Spannung im dritten Strang von der Hand aus: ${\eta }_s^{3}F$.	$\mathrm{N}$
$T_1$	Spannung im vierten Strang, am oberen Block befestigt: ${\eta }_s^{4}F$.	$\mathrm{N}$
${\eta }_s$	Anteil der ankommenden Spannung, den eine Rolle weitergibt; wegen der Reibung unter 1.
$mg$	Gewicht der Last, gemeinsam von den vier Strängen gehalten.	$\mathrm{N}$

Bisher war jede Maschine umkehrbar. Echte Rollen haben Reibung in ihren Lagern, und dieser Abschnitt berechnet, was das kostet und wo die Kosten sichtbar werden. Abbildung 3 legt das Seil des Flaschenzugs der Animation gerade aus und zeichnet jede Spannung in gleichem Maßstab: oben der Zug $F$ der Hand, dann die vier Stränge, von $T_4$ neben der Hand bis $T_1$, dem Strang, der am oberen Block befestigt ist.

Das Modell ist einfach. Jede Rolle, das gerillte Rad eines Flaschenzugs, gibt nur einen Anteil ${\eta }_s$ der Spannung weiter, die sie erhält, etwas weniger als 1, und die verlorene Arbeit erwärmt ihr Lager. Jeder Pfeil in der Abbildung ist also ${\eta }_s$-mal so lang wie der darüberliegende, wie die Beschriftungen ${\eta }_s$ zwischen ihnen zeigen.

Verfolge das Seil von der Hand aus zurück. Es läuft vor dem ersten Strang über eine Rolle, daher trägt dieser Strang $T_4={\eta }_{s}F$. Eine weitere Rolle ergibt $T_3={\eta }_s^{2}F$, und so weiter bis zum verankerten Strang mit $T_1={\eta }_s^{n}F$. Die Stränge halten die Last gemeinsam, was der Balken unten zeigt, indem er die vier Pfeile Ende an Ende gegen $mg$ legt. Ihre Summe ist eine geometrische Reihe:
$mg=F\left({\eta }_s+{\eta }_s^2+\dots +{\eta }_s^n\right)=F\frac{{\eta }_s(1-{\eta }_s^n)}{1-{\eta }_s}$

Nun berücksichtige den Wirkungsgrad $\eta$ des ganzen Flaschenzugs. Sein $\mathrm{IMA}$ ist weiterhin $n$, also $\mathrm{MA}=n\eta$ und $F=mg/(n\eta )$. Setzt man das in die Summe ein, kürzt sich die Last heraus:
$n\eta =\frac{{\eta }_s(1-{\eta }_s^n)}{1-{\eta }_s}$

Für die Animation verlangen $\eta =0,80$ und $n=4$, dass ${\eta }_s+{\eta }_s^2+{\eta }_s^3+{\eta }_s^4=3,2$ gilt, also ${\eta }_s\approx 0,913$. Die 40 kg schwere Kiste wiegt 392,4 N, also ist der Zug $F=392,4/3,2=122,6\mathrm{N}$. Die Seilspannungen $T_1$ bis $T_4$ betragen 85,1, 93,2, 102,2 und 111,9 N und ergeben zusammen genau 392,4 N: In der Abbildung werden die blauen Pfeile zur Hand hin länger, und das rote $F$ ist das längste von allen. Der tatsächliche $\mathrm{MA}$ ist $n\eta =3,2$, während der $\mathrm{IMA}$ weiterhin 4 ist, denn Reibung verändert die Kräfte, nicht die Geometrie.

Den Energiegraphen lesen

Legende

$t$	Zeit seit Beginn.	$\mathrm{s}$
$W$	Bisher verrichtete Arbeit.	$\mathrm{J}$
$W_1$	Zugeführte Arbeit: der Zug der Hand mal die eingezogene Seillänge, $Fd$.	$\mathrm{J}$
$W_2$	Abgegebene Arbeit: die potenzielle Energie, die die Last gewinnt, $mgh$.	$\mathrm{J}$
$Fd$	Zugeführte Arbeit am Ende des Hebens.	$\mathrm{J}$
$mgh$	Abgegebene Arbeit am Ende des Hebens.	$\mathrm{J}$
$t_1$	Zeitpunkt, an dem die Kiste zu steigen beginnt.	$\mathrm{s}$
$t_2$	Zeitpunkt, an dem die Kiste aufhört zu steigen.	$\mathrm{s}$
$\Delta t$	Ein kurzer Zeitabschnitt.	$\mathrm{s}$
$\Delta W_1$	Während $\Delta t$ zugeführte Arbeit.	$\mathrm{J}$
$\Delta W_2$	Während $\Delta t$ abgegebene Arbeit.	$\mathrm{J}$
$Q$	Durch Reibung in den Rollen erzeugte Wärme: die endgültige Lücke zwischen den beiden Arbeiten.	$\mathrm{J}$

Die Arbeitsbilanz lässt sich auch während des Vorgangs beobachten. Abbildung 4 trägt die beiden Arbeiten während des Hebens über der Zeit auf; die Indizes 1 und 2 stehen wieder für „ein“ und „aus“. Die zugeführte Arbeit ist $W_1=W_{\mathrm{in}}(t)=Fd(t)$, wobei $d$ die Seillänge ist, die die Hand eingezogen hat, und die abgegebene Arbeit ist $W_2=W_{\mathrm{out}}(t)=mgh(t)$, wobei $h$ die Höhe ist, um die die Kiste gestiegen ist.

Lies den Graphen von links nach rechts. Vor $t_1=0,4$ s geschieht nichts. Von da an steigt die Kiste mit konstanter Geschwindigkeit, daher wachsen beide Arbeiten entlang gerader Linien. Bei $t_2=4,4$ s endet das Heben: Die Hand hat 4 m Seil eingezogen, und die Kiste ist 1 m höher. Die Linien werden bei $Fd=490,5\mathrm{J}$ und $mgh=392,4\mathrm{J}$ waagerecht.

Jede Steigung ist eine Leistung, die Arbeit pro Zeit. Betrachte die beiden kleinen Dreiecke: Über dieselbe Strecke $\Delta t$ steigt die Eingangslinie um $\Delta W_1$ und die Ausgangslinie um $\Delta W_2$. Die Hand zieht mit 122,6 N bei 1 m/s, eine Eingangsleistung von 122,6 W, während die Kiste potenzielle Energie mit $392,4\cdot 0,25=98,1\mathrm{W}$ gewinnt. Das Verhältnis der Steigungen ist 0,80 zu jedem Zeitpunkt, $\Delta W_2/\Delta W_1=\eta$, daher ist der Wirkungsgrad auch das Verhältnis von Ausgangsleistung zu Eingangsleistung.

Die schraffierte Lücke zwischen den Linien ist die bisher durch Reibung verlorene Arbeit. Sie wächst mit $122,6-98,1=24,5\mathrm{W}$ und endet bei $Q=490,5-392,4=98,1\mathrm{J}$, der Klammer rechts in der Abbildung und dem Wert der Wärmeanzeige der Animation. Nach $t_2$ verlaufen beide Linien waagerecht, denn eine stehende Maschine leistet keine Arbeit, egal wie fest man sie hält.

Mehr Stränge, Zahnradketten und Selbsthemmung

Das Verlustmodell beantwortet drei praktische Fragen: ob mehr Stränge immer helfen, wie sich Verluste entlang einer Zahnradkette summieren und warum manche Maschinen ihre Last von selbst halten.

Mehr Stränge helfen nicht unbegrenzt. Mit wachsendem $n$ gilt ${\eta }_s^n\to 0$, also flacht der tatsächliche $\mathrm{MA}={\eta }_s(1-{\eta }_s^n)/(1-{\eta }_s)$ bei ${\eta }_s/(1-{\eta }_s)\approx 10,5$ ab. Der Sprung von 4 auf 8 Stränge hebt ihn nur von 3,2 auf 5,4, während $\eta$ von 0,80 auf 0,68 fällt. Abbildung 3 zeigt den Grund: Jeder zusätzliche Strang liegt weiter von der Hand entfernt und trägt weniger Spannung als der vorige.

Ideale Zahnräder geben die Leistung unverändert weiter, ${\tau }_{\mathrm{in}}{\omega }_{\mathrm{in}}={\tau }_{\mathrm{out}}{\omega }_{\mathrm{out}}$, wobei $\tau$ das Drehmoment ist: Ein Zahnrad, das sich dreimal langsamer dreht, wirkt mit dem dreifachen Drehmoment. Im Ausschnitt der Animation treibt ein Ritzel mit 8 Zähnen ein Zahnrad mit 24 Zähnen an; das Ritzel dreht sich um 270°, das Zahnrad um 90°, und ${\tau }_2=3{\tau }_1$, wobei 1 für das Ritzel und 2 für das Zahnrad steht. Entlang einer Zahnradkette multiplizieren sich die Stufenverhältnisse, zwei Stufen mit 1 : 3 ergeben 1 : 9, und ebenso die Wirkungsgrade. Eine gute Stufe verliert nur wenige Prozent, daher geben zwei Stufen mit 0,98 immer noch 96 % weiter.

Eine Schraubenwinde oder ein Schneckengetriebe muss ihre Last halten, wenn man loslässt; eine solche Maschine heißt selbsthemmend. Um zu sehen, wann das eintritt, nimm an, dass die Reibung unabhängig von der Laufrichtung dieselbe Wärme $Q$ kostet. Heben braucht dann $W_{\mathrm{in}}=W_{\mathrm{out}}+Q$. Würde die Last versuchen, die Maschine rückwärts anzutreiben, läge nur $W_{\mathrm{out}}$ zur Verfügung, müsste aber trotzdem $Q$ bezahlen; das geht nicht, und sie bleibt daher stehen, wenn $W_{\mathrm{out}}\le Q$ ist. Ausgedrückt durch den Hubwirkungsgrad heißt das $\eta =W_{\mathrm{out}}/(W_{\mathrm{out}}+Q)\le 0,5$.

Ein Wagenheber macht das mit Zahlen deutlich. Bei einem Griff von 0,20 m führt eine Umdrehung die Hand auf einem Kreis von $2\pi \cdot 0,20=1,26\mathrm{m}$ herum, während eine Schraube, die sich pro Umdrehung um 2,0 mm vorschiebt, das Auto um 0,0020 m hebt, also $\mathrm{IMA}=2\pi \cdot 0,20/0,0020\approx 630$. Bei $\eta =0,30$ beträgt der tatsächliche $\mathrm{MA}$ etwa 190, und etwa 21 N am Griff heben 4000 N. Da 0,30 unter der Hälfte liegt, bleibt das Auto oben, wenn du loslässt.

Rechenaufgabe: die Kiste absenken

Lass den Flaschenzug der Animation rückwärts laufen: Senke die 40 kg schwere Kiste mit gleichmäßiger Geschwindigkeit um 1 m, mit ${\eta }_s=0,9127$ an jeder Rolle. Wie fest muss die Hand halten, und wohin geht die Energie?

Zuerst: In welche Richtung wirkt die Reibung? Das Seil läuft nun von der Hand in den Flaschenzug, und die Reibung an jeder Rolle wirkt weiterhin ihrer Bewegung entgegen. An jeder Rolle muss also die Spannung auf der Seite, zu der sich das Seil bewegt, die größere sein: Sie ist $1/{\eta }_s$-mal so groß wie die Spannung auf der Seite der Hand. Der Strang neben der Hand trägt $F/{\eta }_s$, der nächste $F/{\eta }_s^2$, und so weiter bis $F/{\eta }_s^4$ im verankerten Strang. Zusammen halten sie weiterhin die Last:
$mg=F\left(\frac{1}{{\eta }_s}+\frac{1}{{\eta }_s^2}+\frac{1}{{\eta }_s^3}+\frac{1}{{\eta }_s^4}\right)=5,052F$
$F=\frac{392,4}{5,052}=77,67\mathrm{N}$

Diese Spannungen sind die vier Werte des Hebens in umgekehrter Reihenfolge, von 111,9 N im verankerten Strang bis 85,1 N neben der Hand. Die Haltekraft ist ${\eta }_s^5$-mal die Hubkraft, also etwa 63 % davon: Die Reibung hilft der Hand nun, statt gegen sie zu arbeiten.

Nun zur Energie. Die sinkende Kiste gibt $mgh=392,4\mathrm{J}$ frei. Die Hand lässt 4 m Seil nach und hält dabei mit 77,67 N dagegen, sie nimmt also $77,67\cdot 4,00=310,7\mathrm{J}$ auf, und die Rollen wandeln die restlichen $392,4-310,7=81,7\mathrm{J}$ in Wärme um.

Wenn die Lager im Stillstand ungefähr genauso greifen wie in Bewegung, hält jeder Zug zwischen 77,7 N und 122,6 N die Kiste still: Darunter sinkt sie, darüber steigt sie. Doch die Haltekraft erreicht nie null. Bei einem Hubwirkungsgrad von 0,80, deutlich über der Hälfte, ist der Flaschenzug nicht selbsthemmend, und lässt du los, sinkt die Kiste ab.

Grenzen der Gültigkeit

Jedes Ergebnis oben beruht auf Idealisierungen: einem masselosen Seil, das sich nicht dehnt, gewichtslosen Rollen, starren Hebeln und langsamer, gleichmäßiger Bewegung. Jede davon lässt sich lockern, und die Arbeitsbilanz zeigt, was sich dabei ändert.

Ein 2,0 kg schwerer unterer Block wird mit der Kiste gehoben, er erhöht die Last also um 19,6 N und hebt den idealen Zug von 98,1 N auf 103,0 N. Beschleunigt man die Kiste mit 0,5 m/s² nach oben, braucht man eine resultierende Kraft nach oben, $nT=m(g+a)$, also 103,1 N je Strang, und die zusätzliche Arbeit wird zu kinetischer Energie statt zu Höhe. Echtes Seil dehnt sich außerdem, und Lager haben einen Verlust, der nicht mit der Last wächst; daher schneidet ein leicht belasteter Flaschenzug schlechter ab, als ein konstantes ${\eta }_s$ vorhersagt.

Die Arbeitsbilanz selbst ist die Energieerhaltung, und man hat nie beobachtet, dass sie versagt. Was sich im winzigen Maßstab ändert, ist der glatte Ablauf. Ein Kinesin-Motorprotein läuft in einer Zelle in Schritten von 8 nm an einem Filament entlang und bleibt gegen eine Last von etwa 6 pN stehen. Es leistet daher pro Schritt höchstens $(6\times 10^{-12}\mathrm{N})(8\times 10^{-9}\mathrm{m})\approx 4,8\times 10^{-20}\mathrm{J}$ Arbeit, nur etwa das 11-Fache der thermischen Energie $kT\approx 4,3\times 10^{-21}\mathrm{J}$ bei Körpertemperatur, wobei $k$ die Boltzmann-Konstante und $T$ hier die absolute Temperatur ist. Jeder Schritt verbraucht ein ATP-Molekül, das etwa das Doppelte dieser Arbeit wert ist, und zufällige thermische Stöße sind ein großer Teil der Bewegung. In dieser Größenordnung gilt die Bilanz nur im Mittel, und der Zweite Hauptsatz entscheidet, in welche Richtung die Maschine laufen kann.

Wohin das führt

Virtuelle Arbeit ist eine Abkürzung zu den Drehmomentbilanzen aus Statisches Gleichgewicht und Hebel, und Rotationsdynamik und Drehmoment liefert das Drehmoment und die Leistung $P=\tau \omega$, die ein Zahnradpaar weitergibt. Die hydraulische Presse aus Druck in Flüssigkeiten und das pascalsche Prinzip hat einen idealen Vorteil, der gleich einem Flächenverhältnis ist: 100 für Kolben mit 2 cm und 20 cm Durchmesser. Transformatoren aus Motoren, Generatoren und Transformatoren multiplizieren die Spannung mit ihrem Windungsverhältnis und teilen die Stromstärke durch dasselbe, sie geben Leistung weiter wie Zahnräder. Die Seildehnung gehört zu Elastizität: hookesches Gesetz, Spannung und Dehnung. Das Argument über umkehrbare Maschinen kehrt in Erster Hauptsatz der Thermodynamik und Wärmekraftmaschinen und in Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik und Entropie zurück, wo es den Wirkungsgrad jeder Wärmekraftmaschine begrenzt.