简单机械：杠杆、滑轮与齿轮

入门

一个人如何用千斤顶举起汽车，或用羊角锤拔出钉子？靠的就是简单机械：杠杆、滑轮、斜面、轮轴、螺丝和齿轮。

第 1 步：机械会改变你所需的力。撬棍让你的手在长端轻轻施力，而短端就能撬起一块沉重的石头。

第 2 步：天下没有免费的午餐。物理学家用力 × 距离来度量功，机械输出的功不可能超过你输入的功。因此，它缩小了力，就必然拉长了距离：用四分之一的力推，就必须推四倍的距离。

第 3 步：滑轮最能说明这一点。在动画中，一根绳子在固定的上滑轮与托着箱子的下滑轮之间上下穿行。编号为 1 至 4 的四股绳子托住下滑轮，因此它们分担箱子的重量，你的手只需用四分之一的力：请把较短的红色“你的拉力”条与紫色重量条作比较。但要把箱子提升 1 m，每股绳子都必须缩短 1 m，因此有 4 m 的绳子通过你的手：金色条的增长速度是绿色条的四倍。

第 4 步：斜面的原理相同：沿着又长又缓的斜坡推箱子，所需的力比直接竖直提起要小，但路径更长。

自我检验：一个长 4 m、升高 1 m 的光滑斜面。要把一个重 400 N 的箱子推上去，需要多大的推力？（100 N：距离是四倍，力是四分之一。）

实际机械的表现略逊于这种理想情况：滑轮和轴承中的摩擦把一部分用力转化为热量，因此你总要稍微用力大一点。

中级

机械改变了什么，又不能改变什么

简单机械接收你施加的力，即动力 $F_{\mathrm{in}}$，它通过距离 $d_{\mathrm{in}}$ 移动；并以力 $F_{\mathrm{out}}$ 通过距离 $d_{\mathrm{out}}$ 作用于负载。对于匀速提升，$F_{\mathrm{out}}$ 就是负载的重量 $mg$。两个无量纲的数可以描述它：在实际机械上测得的机械优势，以及仅由几何结构决定的理想机械优势。

• $\mathrm{MA}=\frac{F_{\mathrm{out}}}{F_{\mathrm{in}}}$
• $\mathrm{IMA}=\frac{d_{\mathrm{in}}}{d_{\mathrm{out}}}$

机械本身没有能量来源。无摩擦时，输入功等于输出功，即 $W_{\mathrm{in}}=W_{\mathrm{out}}$，因此 $F_{\mathrm{in}}{d}_{\mathrm{in}}=F_{\mathrm{out}}{d}_{\mathrm{out}}$，且 $\mathrm{MA}=\mathrm{IMA}$：力被放大的倍数恰好等于距离被缩小的倍数。有摩擦时，一部分输入转化为热量 $Q$，因此 $W_{\mathrm{in}}=W_{\mathrm{out}}+Q$，效率
$\eta =\frac{W_{\mathrm{out}}}{W_{\mathrm{in}}}=\frac{\mathrm{MA}}{\mathrm{IMA}}$
小于 1。摩擦改变的是力而不是距离，因此功之比就是 $\mathrm{MA}$ 与 $\mathrm{IMA}$ 之比。

滑轮：数出承重的绳股

滑轮是一个带槽的轮子（绳轮），绕轴自由转动，因此绳子两侧的张力 $T$ 相同。单个定滑轮只能改变拉力的方向，$\mathrm{MA}=1$，不过借助自身体重向下拉会更省力。

滑轮组中，一根绳子在固定的上滑轮与承载负载的下滑轮之间上下穿行。若 $n$ 股绳子托住动滑轮，它们共同分担负载，$nT=mg$，因此自由端的拉力为 $F=T=mg/n$。几何关系也与之相符：下滑轮上升 $h$ 时，每股绳子都缩短 $h$，多出的绳长 $d=nh$ 经由你的手被拉出。只计算连接动滑轮的绳股。摩擦使拉力增大为 $1/\eta$ 倍：
$\text{Block and tackle}:d=nh,F=\frac{mg}{n\eta }$

例题：动画中的提升装置

40 kg 的箱子重 $mg=40\cdot 9.81=392.4\mathrm{N}$，初级视图中编号的四股绳子托住下滑轮，因此 $n=4$，并且在本层级的理想机械中，
$T=F=\frac{mg}{n}=\frac{392.4}{4}=98.1\mathrm{N}$

绳股上每个蓝色 $T$ 箭头都是这个长度，手上的红色 $F$ 箭头也是如此。箱子以 0.25 m/s 的速度上升 $h=1.00\mathrm{m}$，手则以 1 m/s 的速度拉过 $d=4\cdot 1.00=4.00\mathrm{m}$ 的绳子，路径沿金色虚线。两者的功为
$W_{\mathrm{in}}=Fd=98.1\cdot 4.00=392.4\mathrm{J}$
$W_{\mathrm{out}}=mgh=392.4\cdot 1.00=392.4\mathrm{J}$

这些是两个读数的最终值，它们同步上升。面板顶行的 $\mathrm{MA}=mg/F=d/h=4$ 概括了全部：力为四分之一，距离为四倍，功相同。

读懂装置：箭头、条形与天花板

红色拉力条是紫色重量条的四分之一，而金色绳长条的增长速度是绿色高度条的四倍。可以把每项功看作一个矩形的面积，即力乘以距离：对于手，矩形低而宽；对于箱子，矩形高而窄；两者面积相等。

这些箭头构成了下滑轮的受力图：四个 $T$ 箭头向上拉它，重力向下拉它，因此 $4T=mg$。上滑轮受到四股绳子以及自由端的向下拉力，因为你是向下拉的：天花板必须承受 $5T=490.5\mathrm{N}$，即 $mg+F$，比箱子本身的重量还大。

杠杆、齿轮与斜面

杠杆是绕固定点（即支点）转动的刚性杆。在微小转动中，每个点的位移与其到支点的距离成正比，因此两个力臂 $L_{\mathrm{in}}$ 和 $L_{\mathrm{out}}$（均从支点量起）给出 $\mathrm{IMA}=L_{\mathrm{in}}/L_{\mathrm{out}}$，并且力矩平衡：
$\text{Lever}:F_{\mathrm{in}}{L}_{\mathrm{in}}=F_{\mathrm{out}}{L}_{\mathrm{out}}$

位于中间的是什么，就决定了杠杆的类别：支点在中间为第一类杠杆（撬棍、剪刀）；负载在中间为第二类杠杆（独轮车、胡桃夹；始终 $\mathrm{MA}>1$）；动力在中间为第三类杠杆（镊子、你的前臂；始终 $\mathrm{MA}<1$，以力换取速度和运动范围）。轮轴是一种可以持续转动的杠杆：半径为 $R$ 的曲柄装在半径为 $r$ 的鼓轮上，其 $\mathrm{IMA}=R/r$。

齿轮是轮齿大小都相同的带齿轮子，因此齿数 $N$ 与半径成正比：
$\text{Gears}:\frac{{\tau }_{\mathrm{out}}}{{\tau }_{\mathrm{in}}}=\frac{{\omega }_{\mathrm{in}}}{{\omega }_{\mathrm{out}}}=\frac{N_{\mathrm{out}}}{N_{\mathrm{in}}}$
这里 $\tau$ 为力矩，单位为 N·m，$\omega$ 为转动速率。在专家视图的插图中，8 齿小齿轮驱动 24 齿大齿轮：转速为三分之一，力矩为三倍。

长为 $s$、高为 $h$ 的光滑斜面，沿斜面所需的推力仅为 $mgh/s$，因此 $\mathrm{IMA}=s/h$：长 4 m、高 1 m 的斜面就是动画中滑轮组的另一种形式。

例题：齿轮手摇绞车

一台工地绞车提起一托重 150 kg 的瓷砖。它的 0.25 m 曲柄带动 10 齿小齿轮，小齿轮再驱动装在半径为 0.050 m 鼓轮轴上的 40 齿大齿轮。效率为 75 %。你需要在手柄上施加多大的力？

曲柄与鼓轮构成轮轴，倍数为 $0.25/0.050=5$，齿轮则提供 $40/10=4$。各个比值沿一连串机械相乘，因此 $\mathrm{IMA}=5\cdot 4=20$，并且
$\mathrm{MA}=\eta \mathrm{IMA}=0.75\cdot 20=15$
$F_{\mathrm{in}}=\frac{mg}{\mathrm{MA}}=\frac{150\cdot 9.81}{15}=\frac{1471.5}{15}=98.1\mathrm{N}$

用距离来检验：鼓轮转一圈卷绕 $2\pi \cdot 0.050=0.314\mathrm{m}$ 的绳子，需要曲柄转四圈，即手移动 $4\cdot 2\pi \cdot 0.25=6.28\mathrm{m}$，是绳子卷绕长度的二十倍。提升 1 m 需要 $98.1\cdot 20=1962\mathrm{J}$ 的输入功，以获得 1471.5 J 的输出功；其余的 490.5 J 使齿轮和轴承发热。

常见错误

• 把每一段绳子都算进去。动画中第五段竖直绳子从上滑轮延伸到你的手，并不承托任何东西：$n=4$，若除以 5 则得到 78.5 N。
• 误以为机械能省功。机械省的是力，从来不省功：专家视图中的实际提升装置需要 490.5 J 才能输出 392.4 J。
• 从负载处量取力臂。一根 1.5 m 长的撬棍，支点距其末端 0.10 m，力臂分别为 1.40 m 和 0.10 m，因此 $\mathrm{MA}=14$，而不是 15。
• 把损耗按输出的百分比计算。在 $\eta =0.80$ 时，提升装置需要 $392.4/0.80=490.5\mathrm{J}$：热量 98.1 J 是输入的五分之一，而不是输出的 20 %。
• 认为 $\mathrm{MA}\le 1$ 的机械毫无用处。定滑轮改变拉力的方向，镊子则以力换取精细的运动。

你在哪里会遇到它

自行车上，48 齿的链盘驱动 16 齿的链轮，踩踏板转一圈，车轮转三圈：这是齿轮倒过来使用，以获得速度。你的前臂是第三类杠杆：二头肌在距肘部约 4 cm 处拉动，而手位于 35 cm 远处，因此托住 50 N 的重物需要约 440 N 的肌肉力。

《流体压强与帕斯卡原理》中的液压机是一种机械，其优势为两活塞面积之比；《电动机、发电机与变压器》中的变压器以电压换电流，正如齿轮以力矩换转速；效率则在《热力学第一定律与热机》中再次出现，并受到更严格的限制。

高级

为什么所有理想机械遵循同一规律

杠杆、滑轮、齿轮和斜面看上去毫不相像，但它们都以相同的比例以力换距离。本节将用一个完全不涉及力的论证来说明原因，只依赖于永动机不可能存在这一事实。

若一台机械在无摩擦时，倒转与正转同样容易，即它能把一个方向所做的事反向复原，则称其为可逆机械。现在取两台可逆机械。每台都由同一个 100 N 的重物下降 1 m 来驱动，并用这一能量提升同一个负载。第一台将负载提升 $x_1$，第二台提升 $x_2$，并假设 $x_2>x_1$。

正向运行第二台机械：重物下降 1 m，负载上升 $x_2$。然后反向运行第一台机械：它使负载下降 $x_1$，同时把 100 N 的重物重新提升 1 m。重物回到了起点，两台机械也都恢复原状，但负载却比之前高出 $x_2-x_1$。重复这一循环，你就能免费地把负载提得越来越高，想提多少次就提多少次。

这种永动从未被观测到，因此假设是错误的：$x_2\le x_1$。交换两台机械，论证同样成立，从而得到 $x_1\le x_2$。因此 $x_1=x_2$：所有可逆机械将同一负载提升到相同的高度。

因此，只需一台可逆机械就足以找出所有可逆机械的规律，而最简单的例子是平衡的杠杆。将它轻轻倾斜，一侧下降的重量乘以下降的高度，等于另一侧上升的重量乘以上升的高度。力乘以沿力的方向移动的距离即为功 $W$，所以对每台可逆机械而言，输入功都等于输出功，即 $W_{\mathrm{in}}=W_{\mathrm{out}}$。

有摩擦的机械不是可逆的，同样的论证也对它加以限制。如果它把负载提升得比可逆机械更高，那么反向运行可逆机械又会白白得到能量。因此 $W_{\mathrm{out}}\le W_{\mathrm{in}}$，效率 $\eta =W_{\mathrm{out}}/W_{\mathrm{in}}$ 至多为 1。萨迪·卡诺在 1824 年用同样的推理证明：在相同的两个温度之间工作的任何热机，其效率都不可能超过可逆热机。

虚功：由几何得出优势

图例

$F_1$	施加于长臂末端向下的动力：输入力。	$\mathrm{N}$
$F_2$	压在短臂末端向下的负载：输出力。	$\mathrm{N}$
$L_1$	动力臂的长度，即从支点到动力作用点。	$\mathrm{m}$
$L_2$	负载臂的长度，即从支点到负载作用点。	$\mathrm{m}$
$\delta \theta$	将杠杆倾斜所经过的微小角度（图中放大）。	$\mathrm{rad}$
$\delta x_1$	动力端下降的距离：$L_1\delta \theta$。	$\mathrm{m}$
$\delta x_2$	负载端上升的距离：$L_2\delta \theta$。	$\mathrm{m}$

规律 $W_{\mathrm{in}}=W_{\mathrm{out}}$ 把关于机械受力的问题，转化为关于其几何结构的问题：即每一端移动多远。图 1 展示了平衡杠杆的这种情形。动力 $F_1$ 向下作用于长臂 $L_1$ 的末端，负载 $F_2$ 向下压在短臂 $L_2$ 的末端；下标 1 和 2 分别代表“输入”和“输出”。

现在设想将杠杆倾斜一个极小的角度 $\delta \theta$，图中将其画得很大以便看清。距支点为 $L$ 的点沿长度为 $L\delta \theta$ 的圆弧移动，而对于极小的角度，这段圆弧就是一小段竖直向上或向下的位移。观察杠杆两端的两个箭头：动力端下降 $\delta x_1=L_1\delta \theta$，负载端上升 $\delta x_2=L_2\delta \theta$。它们的比值 $\delta x_1/\delta x_2=L_1/L_2$ 在图中为 2，且仅取决于力臂的长度。

现在应用功的规律。由于杠杆处于平衡状态，运动可以任意缓慢，因此杠杆不获得动能；由于杠杆是可逆的，功不会转化为热量。因此动力所做的全部功都用于提升负载：
$F_{\mathrm{in}}\delta x_{\mathrm{in}}=F_{\mathrm{out}}\delta x_{\mathrm{out}}$

$\delta x$ 是虚位移：它们是想象出来的，而非真实发生的，并且小到在发生过程中力不发生变化。真正重要的只是它们的比值，而这一比值由机械的约束决定，这里即刚性杆绕支点转动。对于杠杆，平衡式为 $F_1\delta x_1=F_2\delta x_2$。代入两个位移后 $\delta \theta$ 消去，得到熟悉的力矩平衡式 $F_1{L}_1=F_2{L}_2$。

这就是虚功原理，它无需画出任何一张受力图即可给出机械的优势。任何机械都可以用两个比值来描述：机械优势 $\mathrm{MA}=F_{\mathrm{out}}/F_{\mathrm{in}}$，即机械放大力的倍数；以及理想机械优势 $\mathrm{IMA}=\delta x_{\mathrm{in}}/\delta x_{\mathrm{out}}$，即移动距离之比。虚功原理表明，对于可逆机械，两者相等；对于杠杆，两者都等于 $L_1/L_2$。有摩擦时，$\eta =W_{\mathrm{out}}/W_{\mathrm{in}}=\mathrm{MA}/\mathrm{IMA}$。

滑轮组：长度固定的绳子

图例

$y$	上滑轮到下滑轮的距离：即每股承重绳的长度。	$\mathrm{m}$
$\ell$	从上滑轮到手的绳长。	$\mathrm{m}$
$n$	承托下滑轮的绳股数，此处为 4。
$\delta h$	负载被提升的高度。	$\mathrm{m}$
$n\delta h$	手下降的距离：$n$ 乘以 $\delta h$。	$\mathrm{m}$

滑轮组（即动画中的提升装置）的几何关系体现在绳子上。绳子不会伸长，仅这一事实就决定了手必须拉动多远。图 2 中，承载箱子的下滑轮位于上滑轮下方距离 $y$ 处，由 $n=4$ 股绳子悬挂，每股长度为 $y$，而 $\ell$ 是从上滑轮到手的绳长。

$n$ 股绳子的长度加上自由端的长度即为整根绳子的长度，因此保持不变：
$ny+\ell =\mathrm{const},\delta \ell =-n\delta y$

现在将负载提升 $\delta h$，使下滑轮上升，$\delta y=-\delta h$；虚线框表示箱子和手原先所在的位置。此时 $n$ 股绳子各缩短了 $\delta h$。它们释放的绳子共 $n\delta h$，全部流向自由端，$\delta \ell =n\delta h$，因此手下降了 $n\delta h$，即右侧的长箭头。

然后由虚功原理给出拉力。手的力 $F$ 作用的距离为 $n\delta h$，而重物 $mg$ 上升 $\delta h$，因此 $Fn\delta h=mg\delta h$，即 $F=mg/n$：$\mathrm{IMA}$ 为 $n$，即托住下滑轮的绳股数。将两段距离都除以所用时间，即得速度 $v_{\mathrm{in}}=n{v}_{\mathrm{out}}$：在动画中，手处为 1 m/s，箱子处为 0.25 m/s。

用同一规律分析齿轮与斜面

同样的推理也适用于转动或滑动的机械。两个啮合的齿轮，其齿相互接触并同步运动，因此它们的轮缘速度相同：${\omega }_{\mathrm{in}}{r}_{\mathrm{in}}={\omega }_{\mathrm{out}}{r}_{\mathrm{out}}$，其中 $\omega$ 为角速度，$r$ 为半径。两个齿轮的齿距相同，所以每个半径都与其齿数成正比，而转速之比与齿数之比互为倒数。

对于斜面，取一质量为 $M$ 的物块置于长为 $s$、高为 $h$ 的光滑斜面上，物块通过顶端滑轮上的绳子与一悬挂的质量 $M^{\prime }$ 相连。当 $M^{\prime }$ 下降 $s$ 时，它将物块沿斜面拉过全长，从而使其升高 $h$。功的平衡式 $M^{\prime }gs=Mgh$ 表明，两者在 $M^{\prime }s=Mh$ 时达到平衡：对于长 4 m、升高 1 m 的斜面，只需 $M$ 的四分之一即可。西蒙·斯蒂文在 1586 年以另一种方式得到了类似的结果：一条闭合的链条挂在三角形块上，它永远不会自行转动，这同样是永动不可能的体现。

逐个滑轮分析损耗

图例

$F$	手在绳子自由端的拉力。	$\mathrm{N}$
$T_4$	紧靠手的绳股的张力：${\eta }_{s}F$。	$\mathrm{N}$
$T_3$	离手第二股绳子的张力：${\eta }_s^{2}F$。	$\mathrm{N}$
$T_2$	离手第三股绳子的张力：${\eta }_s^{3}F$。	$\mathrm{N}$
$T_1$	第四股绳子（系于上滑轮）的张力：${\eta }_s^{4}F$。	$\mathrm{N}$
${\eta }_s$	单个滑轮传递的输入张力比例，因摩擦而小于 1。
$mg$	负载的重量，由四股绳子共同承担。	$\mathrm{N}$

到目前为止，所有机械都是可逆的。而实际滑轮的轴承中存在摩擦，本节将计算它的代价，以及代价体现在何处。图 3 将动画中滑轮组的绳子拉直展开，并以同一比例画出所有张力：顶部是手的拉力 $F$，然后是四股绳子，从紧靠手的 $T_4$ 直到系在上滑轮上的 $T_1$。

模型很简单。每个滑轮（即带槽的轮子）只传递其所受张力的一部分 ${\eta }_s$，略小于 1，损失的功使其轴承发热。因此，图中每个箭头都是上方箭头的 ${\eta }_s$ 倍，两者之间的 ${\eta }_s$ 标注即表明这一点。

从手开始沿绳子回溯。绳子在第一股之前先经过一个滑轮，因此该股的张力为 $T_4={\eta }_{s}F$。再经过一个滑轮得到 $T_3={\eta }_s^{2}F$，依此类推，直至固定端的一股 $T_1={\eta }_s^{n}F$。绳股共同托住负载，底部的条形图将四个箭头首尾相接与 $mg$ 相比，以此表示这一点。它们的和是一个等比级数：
$mg=F\left({\eta }_s+{\eta }_s^2+\dots +{\eta }_s^n\right)=F\frac{{\eta }_s(1-{\eta }_s^n)}{1-{\eta }_s}$

现在引入整个滑轮组的效率 $\eta$。其 $\mathrm{IMA}$ 仍为 $n$，因此 $\mathrm{MA}=n\eta$，且 $F=mg/(n\eta )$。将其代入求和式，负载即被消去：
$n\eta =\frac{{\eta }_s(1-{\eta }_s^n)}{1-{\eta }_s}$

对于动画中的装置，$\eta =0.80$ 与 $n=4$ 要求 ${\eta }_s+{\eta }_s^2+{\eta }_s^3+{\eta }_s^4=3.2$，因此 ${\eta }_s\approx 0.913$。40 kg 的箱子重 392.4 N，所以拉力为 $F=392.4/3.2=122.6\mathrm{N}$。绳股张力 $T_1$ 至 $T_4$ 分别为 85.1、93.2、102.2 和 111.9 N，它们的和恰好为 392.4 N：图中蓝色箭头朝手的方向逐渐变长，而红色的 $F$ 是其中最长的。实际的 $\mathrm{MA}$ 为 $n\eta =3.2$，而 $\mathrm{IMA}$ 仍为 4，因为摩擦改变的是力，而不是几何结构。

读懂能量图

图例

$t$	自开始以来的时间。	$\mathrm{s}$
$W$	至今所做的功。	$\mathrm{J}$
$W_1$	输入功：手的拉力乘以拉过的绳长，即 $Fd$。	$\mathrm{J}$
$W_2$	输出功：负载获得的势能，即 $mgh$。	$\mathrm{J}$
$Fd$	提升结束时的输入功。	$\mathrm{J}$
$mgh$	提升结束时的输出功。	$\mathrm{J}$
$t_1$	箱子开始上升的时刻。	$\mathrm{s}$
$t_2$	箱子停止上升的时刻。	$\mathrm{s}$
$\Delta t$	一段很短的时间。	$\mathrm{s}$
$\Delta W_1$	$\Delta t$ 内所做的输入功。	$\mathrm{J}$
$\Delta W_2$	$\Delta t$ 内所做的输出功。	$\mathrm{J}$
$Q$	滑轮中摩擦产生的热量：两项功最终的差值。	$\mathrm{J}$

功的平衡也可以在过程中实时观察。图 4 绘制了提升过程中两项功随时间的变化，下标 1 和 2 同样分别代表“输入”和“输出”。输入功为 $W_1=W_{\mathrm{in}}(t)=Fd(t)$，其中 $d$ 为手已拉过的绳长；输出功为 $W_2=W_{\mathrm{out}}(t)=mgh(t)$，其中 $h$ 为箱子已上升的高度。

从左至右阅读图像。在 $t_1=0.4$ s 之前没有任何变化。此后箱子以恒定速度上升，因此两项功都沿直线增长。在 $t_2=4.4$ s 时提升结束：手已拉过 4 m 绳子，箱子升高了 1 m。两条线最终趋于平坦，分别为 $Fd=490.5\mathrm{J}$ 和 $mgh=392.4\mathrm{J}$。

每条线的斜率就是功率，即做功的快慢。观察两个小三角形：在相同的时间段 $\Delta t$ 内，输入线上升 $\Delta W_1$，输出线上升 $\Delta W_2$。手以 1 m/s 的速度施加 122.6 N 的拉力，输入功率为 122.6 W，而箱子获得势能的速率为 $392.4\cdot 0.25=98.1\mathrm{W}$。两线斜率之比在每一时刻都为 0.80，即 $\Delta W_2/\Delta W_1=\eta$，因此效率也等于输出功率与输入功率之比。

两线之间的阴影区域即迄今因摩擦损失的功。它以 $122.6-98.1=24.5\mathrm{W}$ 的速率扩大，最终达到 $Q=490.5-392.4=98.1\mathrm{J}$，即图右侧的括号，也是动画中热量读数的数值。$t_2$ 之后两条线都变为水平，因为停止运转的机械无论受到多大的力，都不做功。

更多绳股、齿轮系与自锁

损耗模型可以回答三个实际问题：增加绳股是否总是有利，损耗如何沿齿轮系累积，以及为何某些机械能自行托住负载。

增加绳股的好处并非无穷无尽。随着 $n$ 增大，${\eta }_s^n\to 0$，因此实际的 $\mathrm{MA}={\eta }_s(1-{\eta }_s^n)/(1-{\eta }_s)$ 将趋于 ${\eta }_s/(1-{\eta }_s)\approx 10.5$。绳股从 4 股增至 8 股，只能使其从 3.2 提高到 5.4，而 $\eta$ 则从 0.80 降至 0.68。图 3 说明了原因：每增加一股，它离手就更远，所承受的张力也比前一股更小。

理想齿轮原封不动地传递功率，${\tau }_{\mathrm{in}}{\omega }_{\mathrm{in}}={\tau }_{\mathrm{out}}{\omega }_{\mathrm{out}}$，其中 $\tau$ 为力矩：转速降为三分之一的齿轮，其力矩为三倍。在动画插图中，8 齿小齿轮驱动 24 齿大齿轮；小齿轮转过 270°，大齿轮转过 90°，且 ${\tau }_2=3{\tau }_1$，其中 1 代表小齿轮，2 代表大齿轮。沿齿轮系，各级的传动比相乘，两级 1 : 3 的传动给出 1 : 9，效率也同样相乘。一个良好的齿轮级只损失百分之几，因此两级效率均为 0.98 时，仍能传递 96 %。

螺旋千斤顶或蜗杆传动在你松手后必须托住负载，这种机械称为自锁机械。要判断何时会出现这种情况，设摩擦无论机械朝哪个方向运行都损失相同的热量 $Q$。此时提升需要 $W_{\mathrm{in}}=W_{\mathrm{out}}+Q$。若负载试图反向驱动机械，下降的负载只能提供 $W_{\mathrm{out}}$，却仍需付出 $Q$；它做不到，因此，当 $W_{\mathrm{out}}\le Q$ 时，它会保持静止。用提升效率表示，即 $\eta =W_{\mathrm{out}}/(W_{\mathrm{out}}+Q)\le 0.5$。

汽车千斤顶可以用数字来说明。手柄长 0.20 m，转一圈时手运动的圆周长为 $2\pi \cdot 0.20=1.26\mathrm{m}$，而螺杆每转前进 2.0 mm，即将汽车抬升 0.0020 m，因此 $\mathrm{IMA}=2\pi \cdot 0.20/0.0020\approx 630$。在 $\eta =0.30$ 时，实际的 $\mathrm{MA}$ 约为 190，手柄上约 21 N 的力即可抬起 4000 N 的重量。由于 0.30 小于一半，松手后汽车会保持在原位。

例题：放下箱子

将动画中的滑轮组反向运行：以匀速将 40 kg 的箱子下降 1 m，每个滑轮的 ${\eta }_s=0.9127$。手需要用多大的力来控制，能量又流向何处？

首先，摩擦力朝哪个方向作用？此时绳子从手处进入滑轮组，而每个滑轮处的摩擦仍然阻碍其运动。因此在每个滑轮处，绳子所朝向那一侧的张力必须更大：它是手这一侧张力的 $1/{\eta }_s$ 倍。紧靠手的绳股承受 $F/{\eta }_s$，下一股为 $F/{\eta }_s^2$，依此类推，直至固定端的绳股 $F/{\eta }_s^4$。它们共同仍然托住负载：
$mg=F\left(\frac{1}{{\eta }_s}+\frac{1}{{\eta }_s^2}+\frac{1}{{\eta }_s^3}+\frac{1}{{\eta }_s^4}\right)=5.052F$
$F=\frac{392.4}{5.052}=77.67\mathrm{N}$

这些张力恰好是提升时四个数值的倒序：从固定端绳股的 111.9 N 降至紧靠手的 85.1 N。托住的力为提升时拉力的 ${\eta }_s^5$ 倍，约为其 63 %：此时摩擦不再与手作对，而是帮助了手。

现在来看能量。下降的箱子释放 $mgh=392.4\mathrm{J}$。手以 77.67 N 的力抵抗，放出 4 m 绳子，因此吸收 $77.67\cdot 4.00=310.7\mathrm{J}$，而滑轮将剩余的 $392.4-310.7=81.7\mathrm{J}$ 转化为热量。

若轴承在静止时与运动时的摩擦作用大致相同，则 77.7 N 至 122.6 N 之间的任何拉力都能使箱子保持静止：低于此范围箱子下降，高于此范围箱子上升。然而，托住的力永远不会降到零。提升效率为 0.80，远高于一半，因此该滑轮组不是自锁的，松手后箱子就会下落。

适用范围的限制

以上所有结论都基于理想化假设：绳子无质量且不伸长、滑轮无重量、杠杆为刚性，以及运动缓慢而稳定。每一条假设都可以放宽，而功的平衡式可以显示哪些量会随之改变。

质量为 2.0 kg 的下滑轮与箱子一同被提升，因此它为负载增加 19.6 N，并使理想拉力从 98.1 N 升至 103.0 N。若使箱子以 0.5 m/s² 的加速度向上运动，需要一个向上的合力 $nT=m(g+a)$，即每股绳子 103.1 N，且多出的功转化为动能，而不是高度。实际的绳子也会伸长，并且轴承的损耗不随负载增大而增长，因此轻载的滑轮组表现会比恒定的 ${\eta }_s$ 所预测的更差。

功的平衡本身就是能量守恒，至今从未被观察到失效。在极微小的尺度上，改变的是运动的平稳性。驱动蛋白是一种在细胞内沿细丝以 8 nm 的步长行走的分子马达，在约 6 pN 的负载下会停止。因此，它每一步所做的功至多为 $(6\times 10^{-12}\mathrm{N})(8\times 10^{-9}\mathrm{m})\approx 4.8\times 10^{-20}\mathrm{J}$，仅约为体温下热能 $kT\approx 4.3\times 10^{-21}\mathrm{J}$ 的 11 倍，其中 $k$ 为玻尔兹曼常数，$T$ 在此为绝对温度。每一步消耗一个 ATP 分子，其能量约为该功的两倍，而随机的热运动在其运动中占很大比例。在这一尺度上，能量平衡只在统计平均意义上成立，而这台机器能朝哪个方向运转，则由第二定律决定。

延伸阅读与联系

虚功原理是《静力平衡与杠杆》中力矩平衡的一条捷径，而《转动动力学与力矩》则提供了齿轮副所传递的力矩及功率 $P=\tau \omega$。《流体压强与帕斯卡原理》中的液压机，其理想优势等于面积之比：对于直径分别为 2 cm 和 20 cm 的活塞，该比值为 100。《电动机、发电机与变压器》中的变压器，以匝数比乘以电压、除以电流，像齿轮一样传递功率。绳子的伸长属于《弹性：胡克定律、应力与应变》。可逆机械的论证还会出现在《热力学第一定律与热机》和《热力学第二定律与熵》中，并在那里限制了每台热机的效率上限。