Máquinas simples: palancas, poleas y engranajes

Principiante

¿Cómo puede una sola persona levantar un coche con un gato, o sacar un clavo con un martillo de orejas? Con máquinas simples: palancas, poleas, rampas, tornos, tornillos y engranajes. Veamos paso a paso lo que hacen.

Paso 1. Una máquina cambia la fuerza que necesitas. Una pata de cabra deja que tu mano empuje suavemente el extremo largo mientras el extremo corto levanta una piedra pesada.

Paso 2. Nada sale gratis. Los físicos miden el trabajo como fuerza × distancia, y una máquina no puede entregar más trabajo del que recibe. Así que si reduce la fuerza, alarga la distancia: empuja con la cuarta parte de fuerza y tendrás que empujar a lo largo de una distancia cuatro veces mayor.

Paso 3. Las poleas lo muestran mejor que nada. En la animación, una misma cuerda sube y baja entre un bloque superior fijo y un bloque inferior que lleva la caja. Cuatro tramos, numerados del 1 al 4, sostienen el bloque inferior: se reparten el peso de la caja y tu mano tira solo con la cuarta parte. Compara la barra roja corta «tu tirón» con la barra morada del peso. Pero para subir la caja 1 m, cada tramo debe acortarse 1 m, así que por tu mano pasan 4 m de cuerda: la barra dorada crece cuatro veces más deprisa que la verde.

Paso 4. Una rampa es el mismo truco: empujar una caja por una pendiente larga y suave exige menos fuerza que levantarla en vertical, pero a lo largo de un camino más largo.

Compruébalo: una rampa lisa de 4 m de largo sube 1 m. ¿Con qué fuerza hay que empujar una caja de 400 N por ella? (100 N: cuatro veces la distancia, la cuarta parte de la fuerza.)

Las máquinas reales rinden algo menos que este ideal: el rozamiento en poleas y ejes convierte parte de tu esfuerzo en calor, así que siempre hay que tirar un poco más fuerte.

Intermedio

Qué cambia una máquina y qué no puede cambiar

Una máquina simple recibe la fuerza que aplicas, la fuerza motriz $F_{\mathrm{entrada}}$, que recorre una distancia $d_{\mathrm{entrada}}$, y actúa sobre una carga con una fuerza $F_{\mathrm{salida}}$ a lo largo de una distancia $d_{\mathrm{salida}}$; en una elevación a velocidad constante, $F_{\mathrm{salida}}$ es el peso de la carga, $mg$. Dos números puros la describen: la ventaja mecánica, medida en la máquina real, y la ideal, fijada solo por la geometría.

• $\mathrm{VM}=\frac{F_{\mathrm{salida}}}{F_{\mathrm{entrada}}}$
• $\mathrm{VMI}=\frac{d_{\mathrm{entrada}}}{d_{\mathrm{salida}}}$

Una máquina no tiene una fuente de energía propia. Sin rozamiento, el trabajo aportado es igual al entregado, $W_{\mathrm{entrada}}=W_{\mathrm{salida}}$, de modo que $F_{\mathrm{entrada}}{d}_{\mathrm{entrada}}=F_{\mathrm{salida}}{d}_{\mathrm{salida}}$ y $\mathrm{VM}=\mathrm{VMI}$: la fuerza se multiplica exactamente tanto como se divide la distancia. Con rozamiento, parte de la entrada se convierte en calor $Q$, así que $W_{\mathrm{entrada}}=W_{\mathrm{salida}}+Q$ y el rendimiento
$\eta =\frac{W_{\mathrm{salida}}}{W_{\mathrm{entrada}}}=\frac{\mathrm{VM}}{\mathrm{VMI}}$
es menor que 1. El rozamiento modifica las fuerzas pero no las distancias, así que el cociente de los trabajos es el cociente entre $\mathrm{VM}$ y $\mathrm{VMI}$.

Poleas: cuenta los tramos que sostienen la carga

Una polea es una rueda acanalada, una roldana, que gira libremente sobre un eje, así que la tensión $T$ de la cuerda es la misma a ambos lados. Una sola polea fija, por tanto, solo cambia la dirección del tirón, con $\mathrm{VM}=1$, aunque tirar hacia abajo, ayudándote de tu propio peso, resulta más cómodo.

Un polipasto pasa una cuerda arriba y abajo entre un bloque superior fijo y un bloque inferior que lleva la carga. Si $n$ tramos sostienen el bloque móvil, se reparten la carga, $nT=mg$, y el tirón en el extremo libre es $F=T=mg/n$. La geometría concuerda: cuando el bloque inferior sube $h$, cada tramo se acorta $h$, y la cuerda sobrante, $d=nh$, sale por tu mano. Cuenta solo los tramos unidos al bloque móvil. El rozamiento aumenta el tirón en el factor $1/\eta$:
$\text{Polipasto}:d=nh,F=\frac{mg}{n\eta }$

Ejemplo resuelto: el polipasto de la animación

La caja de 40 kg pesa $mg=40\cdot 9,81=392,4\mathrm{N}$, y los cuatro tramos numerados en la vista de principiante sostienen el bloque inferior, así que $n=4$ y, en la máquina ideal de este nivel,
$T=F=\frac{mg}{n}=\frac{392,4}{4}=98,1\mathrm{N}$

Cada flecha azul $T$ de los tramos tiene esta longitud, y también la flecha roja $F$ de la mano. La caja sube $h=1,00\mathrm{m}$ a 0,25 m/s mientras la mano recoge $d=4\cdot 1,00=4,00\mathrm{m}$ de cuerda a 1 m/s, a lo largo de la línea dorada discontinua. Los dos trabajos son
$W_{\mathrm{entrada}}=Fd=98,1\cdot 4,00=392,4\mathrm{J}$
$W_{\mathrm{salida}}=mgh=392,4\cdot 1,00=392,4\mathrm{J}$

Son los valores finales de las dos lecturas, que suben a la vez. La línea superior del panel, $\mathrm{VM}=mg/F=d/h=4$, lo resume: la cuarta parte de la fuerza, cuatro veces la distancia, el mismo trabajo.

Cómo leer el montaje: flechas, barras y techo

La barra roja del tirón es la cuarta parte de la barra morada del peso, mientras que la barra dorada de la cuerda crece cuatro veces más deprisa que la barra verde de la altura. Piensa en cada trabajo como el área de un rectángulo, fuerza por distancia: bajo y ancho para la mano, alto y estrecho para la caja, con la misma área.

Las flechas forman un diagrama de cuerpo libre del bloque inferior: cuatro flechas $T$ tiran de él hacia arriba y el peso tira hacia abajo, de modo que $4T=mg$. El bloque superior recibe el tirón hacia abajo de los cuatro tramos y también del extremo libre, porque tú tiras hacia abajo: el techo debe sostener $5T=490,5\mathrm{N}$, es decir, $mg+F$, más que la propia caja.

Palancas, engranajes y rampas

Una palanca es una barra rígida que gira en torno a un punto fijo, el apoyo. En un giro pequeño, cada punto se mueve en proporción a su distancia al apoyo, así que los brazos $L_{\mathrm{entrada}}$ y $L_{\mathrm{salida}}$, ambos medidos desde el apoyo, dan $\mathrm{VMI}=L_{\mathrm{entrada}}/L_{\mathrm{salida}}$, y los momentos se equilibran:
$\text{Palanca}:F_{\mathrm{entrada}}{L}_{\mathrm{entrada}}=F_{\mathrm{salida}}{L}_{\mathrm{salida}}$

Lo que queda en medio determina el género: el apoyo en el primero (pata de cabra, tijeras), la carga en el segundo (carretilla, cascanueces; siempre $\mathrm{VM}>1$) y la fuerza motriz en el tercero (pinzas, tu antebrazo; siempre $\mathrm{VM}<1$, porque cambia fuerza por velocidad y alcance). El torno, o rueda con eje, es una palanca que sigue girando: una manivela de radio $R$ sobre un tambor de radio $r$ tiene $\mathrm{VMI}=R/r$.

Los engranajes son ruedas dentadas cuyos dientes tienen todos el mismo tamaño, así que el número de dientes $N$ es proporcional al radio:
$\text{Engranajes}:\frac{{\tau }_{\mathrm{salida}}}{{\tau }_{\mathrm{entrada}}}=\frac{{\omega }_{\mathrm{entrada}}}{{\omega }_{\mathrm{salida}}}=\frac{N_{\mathrm{salida}}}{N_{\mathrm{entrada}}}$
Aquí $\tau$ es el momento de fuerza, en N·m, y $\omega$ la velocidad angular. En el recuadro de la vista avanzada, un piñón de 8 dientes mueve una rueda de 24 dientes: un tercio de la velocidad, el triple de momento.

Una rampa lisa de longitud $s$ que sube $h$ solo necesita un empuje a lo largo de ella de $mgh/s$, así que $\mathrm{VMI}=s/h$: una rampa de 4 m que sube 1 m es el polipasto de la animación con otra forma.

Ejemplo resuelto: un torno de mano con engranajes

Un torno de obra sube un palé de baldosas de 150 kg. Su manivela de 0,25 m mueve un piñón de 10 dientes, que engrana con una rueda de 40 dientes en el eje de un tambor de 0,050 m de radio. El rendimiento es del 75 %. ¿Qué fuerza debes aplicar a la manivela?

La manivela y el tambor funcionan como una rueda con eje de factor $0,25/0,050=5$, y los engranajes añaden $40/10=4$. Los cocientes se multiplican a lo largo de una cadena de máquinas, así que $\mathrm{VMI}=5\cdot 4=20$ y
$\mathrm{VM}=\eta \mathrm{VMI}=0,75\cdot 20=15$
$F_{\mathrm{entrada}}=\frac{mg}{\mathrm{VM}}=\frac{150\cdot 9,81}{15}=\frac{1471,5}{15}=98,1\mathrm{N}$

Compruébalo con las distancias: una vuelta del tambor enrolla $2\pi \cdot 0,050=0,314\mathrm{m}$ de cuerda y exige cuatro vueltas de manivela, $4\cdot 2\pi \cdot 0,25=6,28\mathrm{m}$ de recorrido de la mano, veinte veces más. Subir 1 m cuesta $98,1\cdot 20=1962\mathrm{J}$ para 1471,5 J de salida; los otros 490,5 J calientan los engranajes y los cojinetes.

Errores frecuentes

• Contar todos los tramos de cuerda. El quinto tramo vertical de la animación va del bloque superior a tu mano y no sostiene nada: $n=4$, y dividir entre 5 daría 78,5 N.
• Creer que una máquina ahorra trabajo. Ahorra fuerza, nunca trabajo: el polipasto real de la vista avanzada necesita 490,5 J para entregar 392,4 J.
• Medir los brazos de la palanca desde la carga. Una pata de cabra de 1,5 m con el apoyo a 0,10 m de la punta tiene brazos de 1,40 m y 0,10 m, así que $\mathrm{VM}=14$, no 15.
• Tomar las pérdidas como una parte de la salida. Con $\eta =0,80$ el polipasto necesita $392,4/0,80=490,5\mathrm{J}$: el calor, 98,1 J, es la quinta parte de la entrada, no el 20 % de la salida.
• Considerar inútil una máquina con $\mathrm{VM}\le 1$. Una polea fija cambia la dirección del tirón, y unas pinzas cambian fuerza por movimientos finos.

Dónde aparece

En una bicicleta, un plato de 48 dientes que mueve un piñón de 16 dientes hace girar la rueda tres veces por cada vuelta de pedal: engranajes usados a la inversa, para ganar velocidad en lugar de fuerza. Tu antebrazo es una palanca de tercer género: el bíceps tira a unos 4 cm del codo y la mano está a 35 cm, así que sostener un peso de 50 N exige unos 440 N de fuerza muscular.

La prensa hidráulica de Presión en fluidos y principio de Pascal es una máquina cuya ventaja es un cociente de áreas de émbolos; los transformadores de Motores, generadores y transformadores cambian tensión eléctrica por corriente igual que los engranajes cambian momento por velocidad; y el rendimiento reaparece, con un límite más estricto, en Primera ley de la termodinámica y máquinas térmicas.

Avanzado

Por qué toda máquina ideal cumple la misma regla

Palancas, poleas, engranajes y rampas no se parecen en nada, y aun así todas intercambian fuerza por distancia en la misma proporción. Esta sección muestra por qué, con un argumento que no usa ninguna fuerza, solo el hecho de que el movimiento perpetuo es imposible.

Llama reversible a una máquina que, sin rozamiento, funciona hacia atrás con la misma facilidad que hacia delante: lo que hace en un sentido, puede deshacerlo en el otro. Toma ahora dos máquinas reversibles. Cada una se acciona bajando 1 m el mismo peso de 100 N, y aprovecha eso para subir la misma carga. La primera la sube $x_1$, la segunda $x_2$, y supón que $x_2>x_1$.

Haz funcionar la segunda máquina hacia delante: el peso baja 1 m y la carga sube $x_2$. Después haz funcionar la primera hacia atrás: baja la carga $x_1$ y, al hacerlo, vuelve a subir 1 m el peso de 100 N. El peso está donde empezó y las dos máquinas están como estaban, pero la carga cuelga $x_2-x_1$ más arriba que antes. Repite el ciclo y subirás la carga gratis, tantas veces como quieras.

Ese movimiento perpetuo nunca se observa, así que la suposición era falsa: $x_2\le x_1$. El argumento funciona igual si intercambias las dos máquinas, y entonces da $x_1\le x_2$. Por tanto, $x_1=x_2$: todas las máquinas reversibles suben una carga dada a la misma altura.

Así que basta una máquina reversible para hallar la regla de todas, y la más sencilla es una palanca en equilibrio. Inclínala un poco: el peso que baja por un lado, multiplicado por la altura que desciende, es igual al peso que sube por el otro lado, multiplicado por la altura que asciende. Una fuerza por la distancia recorrida en su dirección es el trabajo $W$, así que en toda máquina reversible el trabajo de entrada es igual al de salida, $W_{\mathrm{entrada}}=W_{\mathrm{salida}}$.

Una máquina con rozamiento no es reversible, y el mismo argumento la limita. Si subiera la carga más alto que una máquina reversible, hacer funcionar la reversible hacia atrás volvería a dar algo a cambio de nada. Así que $W_{\mathrm{salida}}\le W_{\mathrm{entrada}}$, y el rendimiento $\eta =W_{\mathrm{salida}}/W_{\mathrm{entrada}}$ vale como mucho 1. Sadi Carnot usó el mismo razonamiento en 1824 para demostrar que ninguna máquina térmica supera a una reversible que trabaje entre las mismas dos temperaturas.

Trabajo virtual: la ventaja a partir de la geometría

Leyenda

$F_1$	Fuerza motriz que empuja hacia abajo el extremo del brazo largo: la fuerza de entrada.	$\mathrm{N}$
$F_2$	Carga que presiona hacia abajo el extremo del brazo corto: la fuerza de salida.	$\mathrm{N}$
$L_1$	Longitud del brazo de la fuerza motriz, desde el apoyo hasta la fuerza motriz.	$\mathrm{m}$
$L_2$	Longitud del brazo de la carga, desde el apoyo hasta la carga.	$\mathrm{m}$
$\delta \theta$	Ángulo diminuto que se inclina la palanca, dibujado grande.	$\mathrm{rad}$
$\delta x_1$	Distancia que baja el extremo de la fuerza motriz: $L_1\delta \theta$.	$\mathrm{m}$
$\delta x_2$	Distancia que sube el extremo de la carga: $L_2\delta \theta$.	$\mathrm{m}$

La regla $W_{\mathrm{entrada}}=W_{\mathrm{salida}}$ convierte una pregunta sobre las fuerzas de una máquina en una pregunta sobre su geometría: cuánto se mueve cada extremo. La figura 1 lo muestra para una palanca en equilibrio. La fuerza motriz $F_1$ empuja hacia abajo el extremo del brazo largo $L_1$, y la carga $F_2$ presiona hacia abajo el extremo del brazo corto $L_2$; los subíndices 1 y 2 indican la entrada y la salida.

Imagina ahora que inclinas la palanca un ángulo diminuto $\delta \theta$, dibujado grande en la figura para que se vea. Un punto a una distancia $L$ del apoyo recorre un arco de longitud $L\delta \theta$, y para un ángulo diminuto ese arco es un pasito recto hacia arriba o hacia abajo. Fíjate en las dos flechas de los extremos de la palanca: el extremo de la fuerza motriz baja $\delta x_1=L_1\delta \theta$ y el de la carga sube $\delta x_2=L_2\delta \theta$. Su cociente, $\delta x_1/\delta x_2=L_1/L_2$, vale 2 en el dibujo y solo depende de las longitudes de los brazos.

Aplica ahora la regla del trabajo. Como la palanca está en equilibrio, el movimiento puede hacerse tan lento como queramos, así que no le da energía cinética; como la palanca es reversible, nada del trabajo se convierte en calor. Por tanto, todo el trabajo de la fuerza motriz se dedica a subir la carga:
$F_{\mathrm{entrada}}\delta x_{\mathrm{entrada}}=F_{\mathrm{salida}}\delta x_{\mathrm{salida}}$

Los $\delta x$ son desplazamientos virtuales: imaginados en vez de realizados, y tan pequeños que las fuerzas no cambian mientras ocurren. Solo importa su cociente, y lo fijan las ligaduras de la máquina, aquí la palanca rígida que gira alrededor de su apoyo. Para la palanca, el balance se escribe $F_1\delta x_1=F_2\delta x_2$. Sustituye los dos desplazamientos y $\delta \theta$ se cancela; queda el conocido equilibrio de momentos, $F_1{L}_1=F_2{L}_2$.

Este es el principio de los trabajos virtuales, y da la ventaja de una máquina sin un solo diagrama de cuerpo libre. Dos cocientes describen cualquier máquina: la ventaja mecánica $\mathrm{VM}=F_{\mathrm{salida}}/F_{\mathrm{entrada}}$, el factor por el que multiplica la fuerza, y la ventaja mecánica ideal $\mathrm{VMI}=\delta x_{\mathrm{entrada}}/\delta x_{\mathrm{salida}}$, el cociente de las distancias recorridas. Según los trabajos virtuales, en una máquina reversible ambas son iguales; en la palanca, las dos valen $L_1/L_2$. Con rozamiento, $\eta =W_{\mathrm{salida}}/W_{\mathrm{entrada}}=\mathrm{VM}/\mathrm{VMI}$.

El polipasto: una cuerda de longitud fija

Leyenda

$y$	Distancia del bloque superior al inferior: la longitud de cada tramo portante.	$\mathrm{m}$
$\ell$	Longitud de cuerda desde el bloque superior hasta la mano.	$\mathrm{m}$
$n$	Número de tramos que sostienen el bloque inferior, aquí 4.
$\delta h$	Altura que sube la carga.	$\mathrm{m}$
$n\delta h$	Distancia que baja la mano: $n$ veces $\delta h$.	$\mathrm{m}$

Un polipasto, el elevador de la animación, guarda su geometría en la cuerda. La cuerda no se estira, y ese único hecho fija cuánto tiene que tirar la mano. En la figura 2, el bloque inferior, que lleva la caja, cuelga a una distancia $y$ por debajo del bloque superior, de $n=4$ tramos de longitud $y$ cada uno, y $\ell$ es la longitud de cuerda desde el bloque superior hasta la mano.

La cuerda de los $n$ tramos más la del extremo libre es toda la cuerda, así que su longitud no cambia:
$ny+\ell =\mathrm{cte},\delta \ell =-n\delta y$

Sube ahora la carga $\delta h$, de modo que el bloque inferior asciende y $\delta y=-\delta h$; los rectángulos de trazos muestran dónde estaban antes la caja y la mano. Cada uno de los $n$ tramos es ahora $\delta h$ más corto. La cuerda que liberan, $n\delta h$ en total, pasa al extremo libre, $\delta \ell =n\delta h$, así que la mano baja $n\delta h$, la flecha larga de la derecha.

El trabajo virtual da entonces el tirón. La fuerza $F$ de la mano actúa a lo largo de $n\delta h$ mientras el peso $mg$ sube $\delta h$, así que $Fn\delta h=mg\delta h$ y $F=mg/n$: la $\mathrm{VMI}$ es $n$, el número de tramos que sostienen el bloque inferior. Si divides ambas distancias entre el tiempo empleado, obtienes las velocidades, $v_{\mathrm{entrada}}=n{v}_{\mathrm{salida}}$: en la animación, 1 m/s en la mano y 0,25 m/s en la caja.

Engranajes y plano inclinado con la misma regla

El mismo razonamiento sirve para máquinas que giran o se deslizan. Dos engranajes acoplados tienen dientes que se tocan y avanzan juntos, así que sus bordes comparten una misma velocidad: ${\omega }_{\mathrm{entrada}}{r}_{\mathrm{entrada}}={\omega }_{\mathrm{salida}}{r}_{\mathrm{salida}}$, donde $\omega$ es la velocidad angular y $r$ el radio. Los dientes tienen la misma separación en los dos engranajes, así que cada radio es proporcional a su número de dientes, y las velocidades angulares están en la razón inversa de los números de dientes.

Para un plano inclinado, toma un bloque de masa $M$ sobre un plano liso de longitud $s$ y altura $h$, atado con una cuerda que pasa por una polea en lo alto a una masa colgante $M^{\prime }$. Cuando $M^{\prime }$ baja $s$, arrastra el bloque a lo largo de todo el plano y así lo sube $h$. El balance de trabajo $M^{\prime }gs=Mgh$ dice que se equilibran cuando $M^{\prime }s=Mh$: para un plano de 4 m que sube 1 m, basta una cuarta parte de $M$. Simon Stevin llegó a resultados así en 1586 por otro camino: un lazo cerrado de cadena colgado sobre un bloque triangular nunca empieza a girar por sí solo, lo que vuelve a ser la imposibilidad del movimiento perpetuo.

Pérdidas, roldana por roldana

Leyenda

$F$	Tirón de la mano en el extremo libre de la cuerda.	$\mathrm{N}$
$T_4$	Tensión del tramo junto a la mano: ${\eta }_{s}F$.	$\mathrm{N}$
$T_3$	Tensión del segundo tramo desde la mano: ${\eta }_s^{2}F$.	$\mathrm{N}$
$T_2$	Tensión del tercer tramo desde la mano: ${\eta }_s^{3}F$.	$\mathrm{N}$
$T_1$	Tensión del cuarto tramo, atado al bloque superior: ${\eta }_s^{4}F$.	$\mathrm{N}$
${\eta }_s$	Fracción de la tensión recibida que transmite una roldana; menor que 1 por el rozamiento.
$mg$	Peso de la carga, sostenido entre los cuatro tramos.	$\mathrm{N}$

Hasta ahora todas las máquinas eran reversibles. Las poleas reales tienen rozamiento en sus cojinetes, y esta sección calcula cuánto cuesta y dónde se nota. La figura 3 extiende en línea recta la cuerda del polipasto de la animación y dibuja todas las tensiones a la misma escala: arriba, el tirón $F$ de la mano; después, los cuatro tramos, desde $T_4$, junto a la mano, hasta $T_1$, el tramo atado al bloque superior.

El modelo es sencillo. Cada roldana, la rueda acanalada de una polea, solo transmite una fracción ${\eta }_s$ de la tensión que recibe, algo menor que 1, y el trabajo perdido calienta su cojinete. Así que cada flecha de la figura es ${\eta }_s$ veces la de encima, como indican las etiquetas ${\eta }_s$ entre ellas.

Recorre la cuerda hacia atrás desde la mano. Pasa por una roldana antes del primer tramo, así que ese tramo soporta $T_4={\eta }_{s}F$. Una roldana más da $T_3={\eta }_s^{2}F$, y así sucesivamente hasta el tramo atado, con $T_1={\eta }_s^{n}F$. Juntos, los tramos sostienen la carga, y la barra de abajo lo muestra poniendo las cuatro flechas una tras otra frente a $mg$. Su suma es una serie geométrica:
$mg=F\left({\eta }_s+{\eta }_s^2+\dots +{\eta }_s^n\right)=F\frac{{\eta }_s(1-{\eta }_s^n)}{1-{\eta }_s}$

Introduce ahora el rendimiento $\eta$ del polipasto completo. Su $\mathrm{VMI}$ sigue siendo $n$, así que $\mathrm{VM}=n\eta$ y $F=mg/(n\eta )$. Sustitúyelo en la suma y la carga se cancela:
$n\eta =\frac{{\eta }_s(1-{\eta }_s^n)}{1-{\eta }_s}$

Para la animación, $\eta =0,80$ y $n=4$ exigen ${\eta }_s+{\eta }_s^2+{\eta }_s^3+{\eta }_s^4=3,2$, así que ${\eta }_s\approx 0,913$. La caja de 40 kg pesa 392,4 N, de modo que el tirón es $F=392,4/3,2=122,6\mathrm{N}$. Las tensiones de los tramos, de $T_1$ a $T_4$, son 85,1; 93,2; 102,2 y 111,9 N, y suman exactamente 392,4 N: en la figura, las flechas azules se alargan hacia la mano, y la roja, $F$, es la más larga de todas. La $\mathrm{VM}$ real es $n\eta =3,2$, mientras que la $\mathrm{VMI}$ sigue siendo 4, porque el rozamiento cambia las fuerzas pero no la geometría.

Cómo leer la gráfica de energía

Leyenda

$t$	Tiempo desde el inicio.	$\mathrm{s}$
$W$	Trabajo realizado hasta ese momento.	$\mathrm{J}$
$W_1$	Trabajo de entrada: el tirón de la mano por la longitud de cuerda recogida, $Fd$.	$\mathrm{J}$
$W_2$	Trabajo de salida: la energía potencial que gana la carga, $mgh$.	$\mathrm{J}$
$Fd$	Trabajo de entrada al final de la subida.	$\mathrm{J}$
$mgh$	Trabajo de salida al final de la subida.	$\mathrm{J}$
$t_1$	Instante en que la caja empieza a subir.	$\mathrm{s}$
$t_2$	Instante en que la caja deja de subir.	$\mathrm{s}$
$\Delta t$	Un intervalo corto de tiempo.	$\mathrm{s}$
$\Delta W_1$	Trabajo de entrada realizado durante $\Delta t$.	$\mathrm{J}$
$\Delta W_2$	Trabajo de salida realizado durante $\Delta t$.	$\mathrm{J}$
$Q$	Calor producido por el rozamiento en las roldanas: la separación final entre los dos trabajos.	$\mathrm{J}$

El balance de trabajo también puede observarse mientras ocurre. La figura 4 representa los dos trabajos frente al tiempo durante la subida; los subíndices 1 y 2 vuelven a indicar la entrada y la salida. El trabajo de entrada es $W_1=W_{\mathrm{entrada}}(t)=Fd(t)$, donde $d$ es la longitud de cuerda que la mano ha recogido, y el de salida es $W_2=W_{\mathrm{salida}}(t)=mgh(t)$, donde $h$ es la altura que ha subido la caja.

Lee la gráfica de izquierda a derecha. Antes de $t_1=0,4$ s no pasa nada. A partir de ahí la caja sube a velocidad constante, así que ambos trabajos crecen en línea recta. En $t_2=4,4$ s termina la subida: la mano ha recogido 4 m de cuerda y la caja está 1 m más arriba. Las rectas se quedan horizontales en $Fd=490,5\mathrm{J}$ y $mgh=392,4\mathrm{J}$.

Cada pendiente es una potencia, el ritmo al que se realiza trabajo. Fíjate en los dos triangulitos: en el mismo intervalo $\Delta t$, la recta de entrada sube $\Delta W_1$ y la de salida $\Delta W_2$. La mano tira con 122,6 N a 1 m/s, una potencia de entrada de 122,6 W, mientras la caja gana energía potencial a razón de $392,4\cdot 0,25=98,1\mathrm{W}$. El cociente de las pendientes es 0,80 en todo instante, $\Delta W_2/\Delta W_1=\eta$, así que el rendimiento es también el cociente entre la potencia de salida y la de entrada.

La franja sombreada entre las rectas es el trabajo perdido por rozamiento hasta ese momento. Se ensancha a $122,6-98,1=24,5\mathrm{W}$ y termina en $Q=490,5-392,4=98,1\mathrm{J}$, la llave a la derecha de la figura y el valor de la lectura de calor de la animación. Después de $t_2$ ambas rectas son horizontales, porque una máquina parada no realiza trabajo, por muy fuerte que se la sujete.

Más tramos, trenes de engranajes y autobloqueo

El modelo de pérdidas responde a tres preguntas prácticas: si añadir tramos siempre ayuda, cómo se acumulan las pérdidas a lo largo de un tren de engranajes y por qué algunas máquinas sujetan su carga por sí solas.

Añadir tramos no ayuda sin límite. Al crecer $n$, ${\eta }_s^n\to 0$, así que la $\mathrm{VM}$ real, $\mathrm{VM}={\eta }_s(1-{\eta }_s^n)/(1-{\eta }_s)$, se estabiliza en ${\eta }_s/(1-{\eta }_s)\approx 10,5$. Pasar de 4 a 8 tramos solo la sube de 3,2 a 5,4, mientras $\eta$ cae de 0,80 a 0,68. La figura 3 muestra la razón: cada tramo añadido está más lejos de la mano y soporta menos tensión que el anterior.

Los engranajes ideales transmiten la potencia sin cambiarla, ${\tau }_{\mathrm{entrada}}{\omega }_{\mathrm{entrada}}={\tau }_{\mathrm{salida}}{\omega }_{\mathrm{salida}}$, donde $\tau$ es el momento de fuerza: un engranaje que gira tres veces más despacio gira con el triple de momento. En el recuadro de la animación, un piñón de 8 dientes mueve una rueda de 24 dientes; el piñón gira 270° mientras la rueda gira 90°, y ${\tau }_2=3{\tau }_1$, con 1 para el piñón y 2 para la rueda. A lo largo de un tren de engranajes, las relaciones de las etapas se multiplican, de modo que dos etapas de 1 : 3 dan 1 : 9, y los rendimientos también. Una buena etapa solo pierde un pequeño tanto por ciento, así que dos etapas de 0,98 aún transmiten el 96 %.

Un gato de tornillo o un tornillo sin fin debe sujetar su carga cuando lo sueltas; una máquina así se llama autobloqueante. Para ver cuándo ocurre, supón que el rozamiento cuesta el mismo calor $Q$ en cualquier sentido de marcha. Subir exige entonces $W_{\mathrm{entrada}}=W_{\mathrm{salida}}+Q$. Si la carga intentara mover la máquina hacia atrás, al bajar solo aportaría $W_{\mathrm{salida}}$ pero tendría que pagar igualmente $Q$; no puede, y por eso se queda quieta, si $W_{\mathrm{salida}}\le Q$. En términos del rendimiento de subida, eso es $\eta =W_{\mathrm{salida}}/(W_{\mathrm{salida}}+Q)\le 0,5$.

Un gato de coche pone números a esto. Con una manivela de 0,20 m, una vuelta lleva la mano por una circunferencia de $2\pi \cdot 0,20=1,26\mathrm{m}$, mientras que un tornillo que avanza 2,0 mm por vuelta sube el coche 0,0020 m, así que $\mathrm{VMI}=2\pi \cdot 0,20/0,0020\approx 630$. Con $\eta =0,30$, la $\mathrm{VM}$ real es de unos 190, y unos 21 N en la manivela levantan 4000 N. Como 0,30 es menor que un medio, el coche se queda arriba cuando sueltas.

Problema resuelto: bajar la caja

Haz funcionar hacia atrás el polipasto de la animación: baja 1 m la caja de 40 kg a velocidad constante, con ${\eta }_s=0,9127$ en cada roldana. ¿Con cuánta fuerza debe sujetar la mano y adónde va la energía?

Primero, ¿en qué sentido actúa el rozamiento? Ahora la cuerda va de la mano hacia el polipasto, y el rozamiento en cada roldana sigue oponiéndose a su movimiento. Así que en cada roldana la tensión del lado hacia el que avanza la cuerda tiene que ser la mayor: es $1/{\eta }_s$ veces la tensión del lado de la mano. El tramo junto a la mano soporta $F/{\eta }_s$, el siguiente $F/{\eta }_s^2$, y así hasta $F/{\eta }_s^4$ en el tramo atado. Juntos siguen sosteniendo la carga:
$mg=F\left(\frac{1}{{\eta }_s}+\frac{1}{{\eta }_s^2}+\frac{1}{{\eta }_s^3}+\frac{1}{{\eta }_s^4}\right)=5,052F$
$F=\frac{392,4}{5,052}=77,67\mathrm{N}$

Estas tensiones son los cuatro valores de la subida en orden inverso, de 111,9 N en el tramo atado a 85,1 N junto a la mano. La fuerza de sujeción es ${\eta }_s^5$ veces la fuerza de subida, alrededor del 63 % de ella: ahora el rozamiento ayuda a la mano en vez de oponerse a ella.

Ahora, la energía. La caja que baja libera $mgh=392,4\mathrm{J}$. La mano deja salir 4 m de cuerda resistiendo con 77,67 N, así que absorbe $77,67\cdot 4,00=310,7\mathrm{J}$, y las roldanas convierten en calor los $392,4-310,7=81,7\mathrm{J}$ restantes.

Si los cojinetes agarran más o menos igual en reposo que en movimiento, cualquier tirón entre 77,7 N y 122,6 N mantiene quieta la caja: por debajo de ese intervalo baja, y por encima sube. Pero la fuerza de sujeción nunca llega a cero. Con un rendimiento de subida de 0,80, muy por encima de un medio, el polipasto no es autobloqueante, y si sueltas la cuerda, la caja se va hacia abajo.

Límites de validez

Todos los resultados anteriores se basan en idealizaciones: una cuerda sin masa que no se estira, roldanas sin peso, palancas rígidas y un movimiento lento y uniforme. Cada una puede relajarse, y el balance de trabajo muestra qué cambia entonces.

Un bloque inferior de 2,0 kg sube con la caja, así que añade 19,6 N a la carga y eleva el tirón ideal de 98,1 N a 103,0 N. Acelerar la caja hacia arriba a 0,5 m/s² exige una fuerza neta hacia arriba, $nT=m(g+a)$, es decir, 103,1 N por tramo, y el trabajo extra se convierte en energía cinética en lugar de en altura. Además, la cuerda real se estira y los cojinetes tienen una pérdida que no crece con la carga, así que un polipasto poco cargado rinde peor de lo que predice un ${\eta }_s$ constante.

El balance de trabajo en sí es la conservación de la energía, y nunca se ha visto que falle. Lo que cambia a escalas diminutas es la suavidad de la marcha. La kinesina, una proteína motora, camina por un filamento dentro de una célula en pasos de 8 nm y se detiene ante una carga de unos 6 pN. Por tanto, realiza como máximo $(6\times 10^{-12}\mathrm{N})(8\times 10^{-9}\mathrm{m})\approx 4,8\times 10^{-20}\mathrm{J}$ de trabajo por paso, solo unas 11 veces la energía térmica $kT\approx 4,3\times 10^{-21}\mathrm{J}$ a la temperatura corporal, donde $k$ es la constante de Boltzmann y $T$, aquí, la temperatura absoluta. Cada paso gasta una molécula de ATP, que vale unas dos veces ese trabajo, y los golpes térmicos aleatorios son una parte importante del movimiento. A esta escala el balance solo se cumple en promedio, y es la segunda ley de la termodinámica la que decide en qué sentido puede funcionar la máquina.

Lo que viene después

El trabajo virtual es un atajo hacia los equilibrios de momentos de Equilibrio estático y palancas, y Dinámica de rotación y momento de fuerza aporta el momento de fuerza y la potencia $P=\tau \omega$ que transmite un par de engranajes. La prensa hidráulica de Presión en fluidos y principio de Pascal tiene una ventaja ideal igual a un cociente de áreas: 100 para pistones de 2 cm y 20 cm de diámetro. Los transformadores, en Motores, generadores y transformadores, multiplican la tensión por su relación de espiras y dividen la corriente entre ella, transmitiendo la potencia como los engranajes. El estiramiento de la cuerda pertenece a Elasticidad: ley de Hooke, esfuerzo y deformación. El argumento de las máquinas reversibles vuelve en Primera ley de la termodinámica y máquinas térmicas y en La segunda ley de la termodinámica y la entropía, donde limita el rendimiento de toda máquina térmica.