Máquinas simples: alavancas, polias e engrenagens

Iniciante

Como uma pessoa consegue erguer um carro com um macaco ou arrancar um prego com um martelo de unha? Com máquinas simples: alavancas, polias, rampas, rodas com eixo, parafusos e engrenagens.

Passo 1. Uma máquina muda a força de que você precisa. Um pé de cabra deixa sua mão empurrar suavemente a ponta longa enquanto a ponta curta levanta uma pedra pesada.

Passo 2. Nada é de graça. Os físicos medem trabalho como força × distância, e uma máquina não pode entregar mais trabalho do que você coloca nela. Então, se ela reduz a força, aumenta a distância: empurre com um quarto da força e você precisará empurrar quatro vezes mais longe.

Passo 3. As polias mostram isso melhor. Na animação, uma corda sobe e desce entre um bloco superior fixo e um bloco inferior que carrega a caixa. Quatro trechos, numerados de 1 a 4, sustentam o bloco inferior, então dividem o peso da caixa e sua mão puxa apenas um quarto dele: compare a barra vermelha curta, “sua força”, com a barra roxa do peso. Mas, para subir a caixa 1 m, cada trecho precisa encurtar 1 m, então 4 m de corda passam pela sua mão: a barra dourada cresce quatro vezes mais rápido que a verde.

Passo 4. Uma rampa segue o mesmo truque: empurrar uma caixa por uma subida longa e suave exige menos força do que erguê-la na vertical, mas por um caminho mais longo.

Teste você mesmo: uma rampa lisa de 4 m de comprimento sobe 1 m. Que empurrão move uma caixa de 400 N para cima? (100 N: quatro vezes a distância, um quarto da força.)

As máquinas reais se saem um pouco pior que esse ideal: o atrito nas polias e nos mancais transforma parte do seu esforço em calor, por isso você sempre puxa um pouco mais forte.

Intermediário

O que uma máquina muda, e o que não muda

Uma máquina simples recebe a força que você aplica, o esforço $F_{\mathrm{in}}$, que percorre uma distância $d_{\mathrm{in}}$, e atua sobre uma carga com uma força $F_{\mathrm{out}}$ ao longo de uma distância $d_{\mathrm{out}}$; numa elevação constante, $F_{\mathrm{out}}$ é o peso $mg$ da carga. Dois números puros a descrevem: a vantagem mecânica, medida na máquina real, e a ideal, definida somente pela geometria.

• $\mathrm{MA}=\frac{F_{\mathrm{out}}}{F_{\mathrm{in}}}$
• $\mathrm{IMA}=\frac{d_{\mathrm{in}}}{d_{\mathrm{out}}}$

Uma máquina não tem fonte de energia própria. Sem atrito, o trabalho fornecido é igual ao trabalho entregue, $W_{\mathrm{in}}=W_{\mathrm{out}}$, então $F_{\mathrm{in}}{d}_{\mathrm{in}}=F_{\mathrm{out}}{d}_{\mathrm{out}}$ e $\mathrm{MA}=\mathrm{IMA}$: a força é multiplicada exatamente na mesma medida em que a distância é dividida. Com atrito, parte da entrada vira calor $Q$, então $W_{\mathrm{in}}=W_{\mathrm{out}}+Q$ e o rendimento
$\eta =\frac{W_{\mathrm{out}}}{W_{\mathrm{in}}}=\frac{\mathrm{MA}}{\mathrm{IMA}}$
é menor que 1. O atrito altera as forças, mas não as distâncias, então a razão entre os trabalhos é a razão entre $\mathrm{MA}$ e $\mathrm{IMA}$.

Polias: conte os trechos de sustentação

Uma polia é uma roda com canal, uma roldana, que gira livremente em um eixo; por isso a tração $T$ na corda é a mesma dos dois lados. Uma única polia fixa apenas inverte o sentido da força, com $\mathrm{MA}=1$, embora puxar para baixo, ajudado pelo seu próprio peso, seja mais fácil.

Uma talha passa uma corda para cima e para baixo entre um bloco superior fixo e um bloco inferior que carrega a carga. Se $n$ trechos sustentam o bloco móvel, eles dividem a carga, $nT=mg$, então a força na extremidade livre é $F=T=mg/n$. A geometria confirma isso: quando o bloco inferior sobe $h$, cada trecho encurta $h$, e a corda que sobra, $d=nh$, passa pela sua mão. Conte apenas os trechos presos ao bloco móvel. O atrito aumenta a força pelo fator $1/\eta$:
$\text{Block and tackle}:d=nh,F=\frac{mg}{n\eta }$

Exemplo resolvido: o guincho da animação

A caixa de 40 kg pesa $mg=40\cdot 9,81=392,4\mathrm{N}$, e os quatro trechos numerados na visão iniciante sustentam o bloco inferior, então $n=4$ e, na máquina ideal desta camada,
$T=F=\frac{mg}{n}=\frac{392,4}{4}=98,1\mathrm{N}$

Cada seta azul $T$ nos trechos tem esse comprimento, e o mesmo vale para a seta vermelha $F$ na mão. A caixa sobe $h=1,00\mathrm{m}$ a 0,25 m/s enquanto a mão puxa $d=4\cdot 1,00=4,00\mathrm{m}$ de corda a 1 m/s, ao longo da linha tracejada dourada. Os dois trabalhos são
$W_{\mathrm{in}}=Fd=98,1\cdot 4,00=392,4\mathrm{J}$
$W_{\mathrm{out}}=mgh=392,4\cdot 1,00=392,4\mathrm{J}$

Esses são os valores finais dos dois indicadores, que sobem juntos. A linha superior do painel, $\mathrm{MA}=mg/F=d/h=4$, resume tudo: um quarto da força, quatro vezes a distância, o mesmo trabalho.

Ler a montagem: setas, barras e teto

A barra vermelha de força é um quarto da barra roxa de peso, enquanto a barra dourada da corda cresce quatro vezes mais rápido que a barra verde de altura. Pense em cada trabalho como a área de um retângulo, força vezes distância: baixo e largo para a mão, alto e estreito para a caixa, de área igual.

As setas formam um diagrama de corpo livre do bloco inferior: quatro setas $T$ o puxam para cima e o peso o puxa para baixo, então $4T=mg$. O bloco superior é puxado para baixo pelos quatro trechos e também pela extremidade livre, porque você puxa para baixo: o teto precisa suportar $5T=490,5\mathrm{N}$, que é $mg+F$, mais que a própria caixa.

Alavancas, engrenagens e rampas

Uma alavanca é uma barra rígida que gira em torno de um ponto fixo, o fulcro. Em uma pequena rotação, cada ponto se move em proporção à sua distância do fulcro, então os braços $L_{\mathrm{in}}$ e $L_{\mathrm{out}}$, ambos medidos a partir do fulcro, dão $\mathrm{IMA}=L_{\mathrm{in}}/L_{\mathrm{out}}$, e os torques se equilibram:
$\text{Lever}:F_{\mathrm{in}}{L}_{\mathrm{in}}=F_{\mathrm{out}}{L}_{\mathrm{out}}$

O que fica no meio define a classe: o fulcro na 1ª classe (pé de cabra, tesoura), a carga na 2ª classe (carrinho de mão, quebra-nozes; sempre $\mathrm{MA}>1$), o esforço na 3ª classe (pinça, seu antebraço; sempre $\mathrm{MA}<1$, trocando força por velocidade e alcance). Roda e eixo é uma alavanca que gira continuamente: uma manivela de raio $R$ sobre um tambor de raio $r$ tem $\mathrm{IMA}=R/r$.

Engrenagens são rodas dentadas cujos dentes têm todos o mesmo tamanho, então o número de dentes $N$ é proporcional ao raio:
$\text{Gears}:\frac{{\tau }_{\mathrm{out}}}{{\tau }_{\mathrm{in}}}=\frac{{\omega }_{\mathrm{in}}}{{\omega }_{\mathrm{out}}}=\frac{N_{\mathrm{out}}}{N_{\mathrm{in}}}$
Aqui $\tau$ é o torque, em N·m, e $\omega$ a velocidade de rotação. No detalhe avançado, um pinhão de 8 dentes aciona uma engrenagem de 24 dentes: um terço da velocidade, três vezes o torque.

Uma rampa lisa de comprimento $s$ subindo $h$ precisa de um empurrão ao longo dela de apenas $mgh/s$, então $\mathrm{IMA}=s/h$: uma rampa de 4 m de comprimento subindo 1 m é o guincho da animação em outra forma.

Exemplo resolvido: um guincho manual com engrenagens

Um guincho de canteiro de obras ergue um palete de 150 kg de azulejos. Sua manivela de 0,25 m gira um pinhão de 10 dentes, que aciona uma engrenagem de 40 dentes no eixo de um tambor de raio 0,050 m. O rendimento é de 75%. Que força você deve aplicar na manivela?

Manivela e tambor atuam como roda e eixo com fator $0,25/0,050=5$, e as engrenagens acrescentam $40/10=4$. As razões se multiplicam ao longo de uma cadeia de máquinas, então $\mathrm{IMA}=5\cdot 4=20$, e
$\mathrm{MA}=\eta \mathrm{IMA}=0,75\cdot 20=15$
$F_{\mathrm{in}}=\frac{mg}{\mathrm{MA}}=\frac{150\cdot 9,81}{15}=\frac{1471,5}{15}=98,1\mathrm{N}$

Confira com as distâncias: uma volta do tambor enrola $2\pi \cdot 0,050=0,314\mathrm{m}$ de corda e exige quatro voltas da manivela, $4\cdot 2\pi \cdot 0,25=6,28\mathrm{m}$ de deslocamento da mão, vinte vezes mais. Uma elevação de 1 m custa $98,1\cdot 20=1962\mathrm{J}$ para 1471,5 J de trabalho útil; os outros 490,5 J aquecem as engrenagens e os mancais.

Erros comuns

• Contar todos os trechos de corda. O quinto trecho vertical na animação vai do bloco superior até a sua mão e não sustenta nada: $n=4$, e dividir por 5 daria 78,5 N.
• Acreditar que a máquina economiza trabalho. Ela economiza força, nunca trabalho: o guincho real da visão avançada exige 490,5 J para entregar 392,4 J.
• Medir os braços da alavanca a partir da carga. Um pé de cabra de 1,5 m com o fulcro a 0,10 m da ponta tem braços de 1,40 m e 0,10 m, logo $\mathrm{MA}=14$, e não 15.
• Tomar as perdas como fração do trabalho de saída. Com $\eta =0,80$, o guincho precisa de $392,4/0,80=490,5\mathrm{J}$: o calor, 98,1 J, é um quinto do trabalho de entrada, e não 20% do trabalho de saída.
• Achar inútil uma máquina com $\mathrm{MA}\le 1$. Uma polia fixa muda a direção da força, e pinças trocam força por movimento fino.

Onde você encontra isso

Na bicicleta, uma coroa de 48 dentes acionando uma catraca de 16 dentes faz a roda girar três vezes a cada volta do pedal: engrenagens usadas ao contrário, para ganhar velocidade. Seu antebraço é uma alavanca de 3ª classe: o bíceps puxa cerca de 4 cm do cotovelo e a mão fica a 35 cm, então segurar um peso de 50 N exige cerca de 440 N de força muscular.

A prensa hidráulica de Pressão nos fluidos e princípio de Pascal é uma máquina cuja vantagem é uma razão entre áreas de pistões; transformadores em Motores, geradores e transformadores trocam tensão por corrente como as engrenagens trocam torque por velocidade; e o rendimento reaparece, com um limite mais rigoroso, em Primeira lei da termodinâmica e máquinas térmicas.

Avançado

Por que toda máquina ideal obedece à mesma regra

Alavancas, polias, engrenagens e rampas não se parecem em nada, mas todas trocam força por distância na mesma proporção. Esta seção mostra por quê, com um argumento que não usa forças, apenas o fato de que o movimento perpétuo é impossível.

Dizemos que uma máquina é reversível se, sem atrito, ela funciona para trás tão facilmente quanto para frente: o que ela faz em um sentido, pode desfazer no outro. Agora tome duas máquinas reversíveis. Cada uma é acionada abaixando o mesmo peso de 100 N em 1 m, e cada uma usa isso para erguer a mesma carga. A primeira a ergue em $x_1$, a segunda em $x_2$, e suponha que $x_2>x_1$.

Faça a segunda máquina funcionar para frente: o peso desce 1 m e a carga sobe $x_2$. Depois faça a primeira máquina funcionar para trás: ela abaixa a carga em $x_1$ e, ao fazer isso, ergue o peso de 100 N de volta em 1 m. O peso está onde começou e as duas máquinas estão como antes, mas a carga ficou $x_2-x_1$ mais alta que antes. Repita o ciclo e você ergue a carga sem custo, quantas vezes quiser.

Esse movimento perpétuo nunca é observado, então a suposição estava errada: $x_2\le x_1$. O argumento funciona igualmente com as duas máquinas trocadas, o que dá $x_1\le x_2$. Logo $x_1=x_2$: todas as máquinas reversíveis erguem uma dada carga à mesma altura.

Basta, portanto, uma máquina reversível para encontrar a regra de todas, e a alavanca em equilíbrio é a mais simples. Incline-a levemente: o peso que desce de um lado vezes a altura da queda é igual ao peso que sobe do outro lado vezes a altura da subida. Força vezes a distância percorrida ao longo dela é o trabalho $W$, então, para toda máquina reversível, o trabalho de entrada é igual ao trabalho de saída, $W_{\mathrm{in}}=W_{\mathrm{out}}$.

Uma máquina com atrito não é reversível, e o mesmo argumento a limita. Se ela erguesse a carga mais alto do que uma máquina reversível, fazer a reversível funcionar para trás daria novamente algo de graça. Assim, $W_{\mathrm{out}}\le W_{\mathrm{in}}$, e o rendimento $\eta =W_{\mathrm{out}}/W_{\mathrm{in}}$ é no máximo 1. Sadi Carnot usou o mesmo raciocínio em 1824 para mostrar que nenhuma máquina térmica supera uma reversível que trabalha entre as mesmas duas temperaturas.

Trabalho virtual: a vantagem pela geometria

Legenda

$F_1$	Esforço empurrando para baixo a extremidade do braço longo: a força de entrada.	$\mathrm{N}$
$F_2$	Carga pressionando para baixo a extremidade do braço curto: a força de saída.	$\mathrm{N}$
$L_1$	Comprimento do braço do esforço, do fulcro até o esforço.	$\mathrm{m}$
$L_2$	Comprimento do braço da carga, do fulcro até a carga.	$\mathrm{m}$
$\delta \theta$	Ângulo minúsculo pelo qual a alavanca é inclinada, desenhado grande.	$\mathrm{rad}$
$\delta x_1$	Distância que a extremidade do esforço desce: $L_1\delta \theta$.	$\mathrm{m}$
$\delta x_2$	Distância que a extremidade da carga sobe: $L_2\delta \theta$.	$\mathrm{m}$

A regra $W_{\mathrm{in}}=W_{\mathrm{out}}$ transforma uma questão sobre as forças de uma máquina em uma questão sobre sua geometria: quanto cada extremidade se move. A Figura 1 mostra isso para uma alavanca em equilíbrio. O esforço $F_1$ empurra para baixo a extremidade do braço longo $L_1$, e a carga $F_2$ pressiona para baixo a extremidade do braço curto $L_2$; os índices 1 e 2 representam “entrada” e “saída”.

Agora imagine inclinar a alavanca por um ângulo minúsculo $\delta \theta$, desenhado grande na figura para que possa ser visto. Um ponto à distância $L$ do fulcro percorre um arco de comprimento $L\delta \theta$, e, para um ângulo minúsculo, esse arco é um pequeno passo para cima ou para baixo. Observe as duas setas nas extremidades da alavanca: a extremidade do esforço desce $\delta x_1=L_1\delta \theta$, e a extremidade da carga sobe $\delta x_2=L_2\delta \theta$. A razão entre elas, $\delta x_1/\delta x_2=L_1/L_2$, é 2 na figura e depende apenas dos comprimentos dos braços.

Agora aplique a regra do trabalho. Como a alavanca está em equilíbrio, o movimento pode ser tão lento quanto quisermos, então ela não ganha energia cinética; como a alavanca é reversível, nenhum trabalho se converte em calor. Todo o trabalho feito pelo esforço vai, portanto, para erguer a carga:
$F_{\mathrm{in}}\delta x_{\mathrm{in}}=F_{\mathrm{out}}\delta x_{\mathrm{out}}$

Os $\delta x$ são deslocamentos virtuais: imaginados em vez de realizados, e tão pequenos que as forças não mudam enquanto acontecem. Só a razão entre eles importa, e os vínculos da máquina a fixam, aqui a alavanca rígida girando em torno do fulcro. Para a alavanca, o equilíbrio se lê $F_1\delta x_1=F_2\delta x_2$. Substituindo os dois deslocamentos, $\delta \theta$ se cancela e resta o familiar equilíbrio de torques $F_1{L}_1=F_2{L}_2$.

Este é o princípio do trabalho virtual, que dá a vantagem de uma máquina sem nenhum diagrama de corpo livre. Duas razões descrevem qualquer máquina: a vantagem mecânica $\mathrm{MA}=F_{\mathrm{out}}/F_{\mathrm{in}}$, o fator pelo qual ela multiplica a força, e a vantagem mecânica ideal $\mathrm{IMA}=\delta x_{\mathrm{in}}/\delta x_{\mathrm{out}}$, a razão entre as distâncias percorridas. O trabalho virtual diz que, para uma máquina reversível, as duas são iguais; para a alavanca, ambas valem $L_1/L_2$. Com atrito, $\eta =W_{\mathrm{out}}/W_{\mathrm{in}}=\mathrm{MA}/\mathrm{IMA}$.

A talha: uma corda de comprimento fixo

Legenda

$y$	Distância do bloco superior ao inferior: o comprimento de cada trecho de sustentação.	$\mathrm{m}$
$\ell$	Comprimento da corda do bloco superior até a mão.	$\mathrm{m}$
$n$	Número de trechos que sustentam o bloco inferior, aqui 4.
$\delta h$	Altura pela qual a carga é erguida.	$\mathrm{m}$
$n\delta h$	Distância que a mão desce: $n$ vezes $\delta h$.	$\mathrm{m}$

Uma talha, o guincho da animação, mantém sua geometria na corda. A corda não estica, e esse único fato fixa o quanto a mão precisa puxar. Na Figura 2, o bloco inferior, que carrega a caixa, pende a uma distância $y$ abaixo do bloco superior em $n=4$ trechos, cada um de comprimento $y$, e $\ell$ é o comprimento da corda do bloco superior até a mão.

O comprimento da corda nos $n$ trechos mais a extremidade livre é a corda inteira, então ele permanece o mesmo:
$ny+\ell =\mathrm{const},\delta \ell =-n\delta y$

Agora eleve a carga em $\delta h$, de modo que o bloco inferior suba e $\delta y=-\delta h$; os retângulos tracejados mostram onde estavam a caixa e a mão antes. Cada um dos $n$ trechos agora está mais curto em $\delta h$. A corda que eles cedem, $n\delta h$ ao todo, vai para a extremidade livre, $\delta \ell =n\delta h$, então a mão desce $n\delta h$, a seta longa à direita.

O trabalho virtual dá então a força. A força da mão $F$ atua sobre $n\delta h$ enquanto o peso $mg$ sobe $\delta h$, então $Fn\delta h=mg\delta h$ e $F=mg/n$: o $\mathrm{IMA}$ é $n$, o número de trechos que sustentam o bloco inferior. Dividindo as duas distâncias pelo tempo gasto, obtêm-se as velocidades, $v_{\mathrm{in}}=n{v}_{\mathrm{out}}$: na animação, 1 m/s na mão e 0,25 m/s na caixa.

Engrenagens e uma rampa pela mesma regra

O mesmo raciocínio serve para máquinas que giram ou deslizam. Duas engrenagens acopladas têm dentes que se tocam e se movem juntos, então suas bordas compartilham uma velocidade: ${\omega }_{\mathrm{in}}{r}_{\mathrm{in}}={\omega }_{\mathrm{out}}{r}_{\mathrm{out}}$, onde $\omega$ é a velocidade angular e $r$ o raio. Os dentes têm o mesmo espaçamento nas duas engrenagens, então cada raio é proporcional ao seu número de dentes, e as velocidades estão na razão inversa das quantidades de dentes.

Para uma rampa, considere um bloco de massa $M$ sobre um plano inclinado liso de comprimento $s$ e altura $h$, preso por uma corda sobre uma polia no topo a uma massa suspensa $M^{\prime }$. Quando $M^{\prime }$ desce $s$, ela puxa o bloco ao longo de todo o comprimento da rampa e assim o eleva em $h$. O balanço de trabalho $M^{\prime }gs=Mgh$ diz que os dois se equilibram quando $M^{\prime }s=Mh$: para uma rampa de 4 m que sobe 1 m, um quarto de $M$ basta. Simon Stevin chegou a resultados desse tipo por outro caminho em 1586: uma corrente fechada pendurada sobre um bloco triangular nunca começa a girar sozinha, o que é, de novo, a impossibilidade do movimento perpétuo.

Perdas, roldana por roldana

Legenda

$F$	Força da mão na extremidade livre da corda.	$\mathrm{N}$
$T_4$	Tração no trecho ao lado da mão: ${\eta }_{s}F$.	$\mathrm{N}$
$T_3$	Tração no segundo trecho a partir da mão: ${\eta }_s^{2}F$.	$\mathrm{N}$
$T_2$	Tração no terceiro trecho a partir da mão: ${\eta }_s^{3}F$.	$\mathrm{N}$
$T_1$	Tração no quarto trecho, preso ao bloco superior: ${\eta }_s^{4}F$.	$\mathrm{N}$
${\eta }_s$	Fração da tração recebida que uma roldana transmite; menor que 1 por causa do atrito.
$mg$	Peso da carga, sustentado pelos quatro trechos juntos.	$\mathrm{N}$

Até aqui, toda máquina era reversível. Polias reais têm atrito nos mancais, e esta seção calcula quanto isso custa e onde o custo aparece. A Figura 3 estende em linha reta a corda da talha da animação e desenha todas as trações na mesma escala: a força $F$ da mão no topo, depois os quatro trechos, de $T_4$ junto à mão até $T_1$, o trecho preso ao bloco superior.

O modelo é simples. Cada roldana, a roda com canal de uma polia, transmite apenas uma fração ${\eta }_s$ da tração que recebe, um pouco menos que 1, e o trabalho perdido aquece o seu mancal. Assim, cada seta da figura é ${\eta }_s$ vezes a anterior, como mostram os rótulos ${\eta }_s$ entre elas.

Acompanhe a corda de volta a partir da mão. Ela passa por uma roldana antes do primeiro trecho, então esse trecho carrega $T_4={\eta }_{s}F$. Mais uma roldana dá $T_3={\eta }_s^{2}F$, e assim por diante até o trecho ancorado com $T_1={\eta }_s^{n}F$. Os trechos juntos sustentam a carga, o que a barra embaixo mostra ao colocar as quatro setas uma após a outra contra $mg$. A soma delas é uma série geométrica:
$mg=F\left({\eta }_s+{\eta }_s^2+\dots +{\eta }_s^n\right)=F\frac{{\eta }_s(1-{\eta }_s^n)}{1-{\eta }_s}$

Agora introduza o rendimento $\eta$ de toda a talha. Seu $\mathrm{IMA}$ continua sendo $n$, então $\mathrm{MA}=n\eta$ e $F=mg/(n\eta )$. Substituindo isso na soma, a carga se cancela:
$n\eta =\frac{{\eta }_s(1-{\eta }_s^n)}{1-{\eta }_s}$

Para a animação, $\eta =0,80$ e $n=4$ exigem que ${\eta }_s+{\eta }_s^2+{\eta }_s^3+{\eta }_s^4=3,2$, logo ${\eta }_s\approx 0,913$. A caixa de 40 kg pesa 392,4 N, então a força é $F=392,4/3,2=122,6\mathrm{N}$. As trações $T_1$ a $T_4$ valem 85,1, 93,2, 102,2 e 111,9 N, e somam exatamente 392,4 N: na figura, as setas azuis se alongam em direção à mão, e a $F$ vermelha é a maior de todas. A $\mathrm{MA}$ real é $n\eta =3,2$, enquanto a $\mathrm{IMA}$ continua sendo 4, porque o atrito altera as forças, não a geometria.

Lendo o gráfico de energia

Legenda

$t$	Tempo desde o início.	$\mathrm{s}$
$W$	Trabalho realizado até agora.	$\mathrm{J}$
$W_1$	Trabalho de entrada: a força da mão vezes o comprimento de corda puxado, $Fd$.	$\mathrm{J}$
$W_2$	Trabalho de saída: a energia potencial ganha pela carga, $mgh$.	$\mathrm{J}$
$Fd$	Trabalho de entrada no fim da elevação.	$\mathrm{J}$
$mgh$	Trabalho de saída no fim da elevação.	$\mathrm{J}$
$t_1$	Instante em que a caixa começa a subir.	$\mathrm{s}$
$t_2$	Instante em que a caixa para de subir.	$\mathrm{s}$
$\Delta t$	Um pequeno intervalo de tempo.	$\mathrm{s}$
$\Delta W_1$	Trabalho de entrada realizado durante $\Delta t$.	$\mathrm{J}$
$\Delta W_2$	Trabalho de saída realizado durante $\Delta t$.	$\mathrm{J}$
$Q$	Calor gerado pelo atrito nas roldanas: a diferença final entre os dois trabalhos.	$\mathrm{J}$

O balanço de trabalho também pode ser acompanhado enquanto acontece. A Figura 4 traça os dois trabalhos contra o tempo durante a elevação, com os índices 1 e 2 representando novamente “entrada” e “saída”. O trabalho de entrada é $W_1=W_{\mathrm{in}}(t)=Fd(t)$, onde $d$ é o comprimento de corda que a mão já puxou, e o trabalho de saída é $W_2=W_{\mathrm{out}}(t)=mgh(t)$, onde $h$ é a altura que a caixa já subiu.

Leia o gráfico da esquerda para a direita. Nada acontece antes de $t_1=0,4$ s. A partir daí a caixa sobe com velocidade constante, então ambos os trabalhos crescem em linhas retas. Em $t_2=4,4$ s a elevação termina: a mão puxou 4 m de corda e a caixa está 1 m mais alta. As linhas se nivelam em $Fd=490,5\mathrm{J}$ e $mgh=392,4\mathrm{J}$.

Cada inclinação é uma potência, a rapidez com que o trabalho é realizado. Observe os dois pequenos triângulos: no mesmo intervalo $\Delta t$, a linha de entrada sobe $\Delta W_1$ e a de saída sobe $\Delta W_2$. A mão puxa 122,6 N a 1 m/s, uma potência de entrada de 122,6 W, enquanto a caixa ganha energia potencial a $392,4\cdot 0,25=98,1\mathrm{W}$. A razão entre as inclinações é 0,80 em cada instante, $\Delta W_2/\Delta W_1=\eta$, então o rendimento também é a razão entre a potência de saída e a potência de entrada.

A lacuna sombreada entre as linhas é o trabalho perdido para o atrito até aquele momento. Ela cresce a $122,6-98,1=24,5\mathrm{W}$ e termina em $Q=490,5-392,4=98,1\mathrm{J}$, o colchete à direita da figura e o valor do indicador de calor da animação. Depois de $t_2$ as duas linhas ficam horizontais, porque uma máquina parada não realiza trabalho, por mais forte que seja segurada.

Mais trechos, trens de engrenagens e autotravamento

O modelo de perdas responde a três questões práticas: se mais trechos sempre ajudam, como as perdas se somam ao longo de uma cadeia de engrenagens e por que algumas máquinas sustentam sua carga sozinhas.

Mais trechos não ajudam sem limite. À medida que $n$ cresce, ${\eta }_s^n\to 0$, então a $\mathrm{MA}={\eta }_s(1-{\eta }_s^n)/(1-{\eta }_s)$ real se estabiliza em ${\eta }_s/(1-{\eta }_s)\approx 10,5$. Passar de 4 para 8 trechos eleva a MA apenas de 3,2 para 5,4, enquanto $\eta$ cai de 0,80 para 0,68. A Figura 3 mostra o motivo: cada trecho extra fica mais longe da mão e carrega menos tração que o anterior.

Engrenagens ideais transmitem a potência sem alteração, ${\tau }_{\mathrm{in}}{\omega }_{\mathrm{in}}={\tau }_{\mathrm{out}}{\omega }_{\mathrm{out}}$, onde $\tau$ é o torque: uma engrenagem que gira três vezes mais devagar gira com três vezes o torque. No detalhe da animação, um pinhão de 8 dentes aciona uma engrenagem de 24 dentes; o pinhão gira 270°, enquanto a engrenagem gira 90°, e ${\tau }_2=3{\tau }_1$, com 1 para o pinhão e 2 para a engrenagem. Ao longo de um trem de engrenagens, as razões de cada estágio se multiplicam, dois estágios 1 : 3 dão 1 : 9, e o mesmo acontece com os rendimentos. Um bom estágio perde apenas alguns por cento, então dois estágios com 0,98 ainda transmitem 96%.

Um macaco de parafuso ou uma rosca sem-fim precisa segurar sua carga quando você solta; uma máquina assim é chamada autotravante. Para ver quando isso acontece, suponha que o atrito custe o mesmo calor $Q$ em qualquer sentido de funcionamento da máquina. Erguer exige então $W_{\mathrm{in}}=W_{\mathrm{out}}+Q$. Se a carga tentasse acionar a máquina ao contrário, a carga descendo forneceria apenas $W_{\mathrm{out}}$, mas ainda teria de pagar $Q$; ela não consegue, e por isso permanece parada, se $W_{\mathrm{out}}\le Q$. Em termos do rendimento de elevação, isso significa $\eta =W_{\mathrm{out}}/(W_{\mathrm{out}}+Q)\le 0,5$.

Um macaco automotivo mostra isso com números. Com uma manivela de 0,20 m, uma volta leva a mão por um círculo de $2\pi \cdot 0,20=1,26\mathrm{m}$, enquanto um parafuso que avança 2,0 mm por volta eleva o carro 0,0020 m, então $\mathrm{IMA}=2\pi \cdot 0,20/0,0020\approx 630$. Com $\eta =0,30$, a $\mathrm{MA}$ real é cerca de 190, e cerca de 21 N na manivela erguem 4000 N. Como 0,30 está abaixo da metade, o carro fica suspenso quando você solta.

Problema resolvido: baixando a caixa

Faça o guincho da animação funcionar ao contrário: abaixe a caixa de 40 kg em 1 m com velocidade constante, com ${\eta }_s=0,9127$ em cada roldana. Com que força a mão deve segurar, e para onde vai a energia?

Primeiro, em que sentido age o atrito? A corda agora vai da mão para dentro da talha, e o atrito em cada roldana continua a se opor ao movimento. Assim, em cada roldana a tração do lado para o qual a corda se move deve ser a maior: ela é $1/{\eta }_s$ vezes a tração do lado da mão. O trecho ao lado da mão carrega $F/{\eta }_s$, o seguinte $F/{\eta }_s^2$, e assim por diante até $F/{\eta }_s^4$ no trecho ancorado. Juntos, eles ainda sustentam a carga:
$mg=F\left(\frac{1}{{\eta }_s}+\frac{1}{{\eta }_s^2}+\frac{1}{{\eta }_s^3}+\frac{1}{{\eta }_s^4}\right)=5,052F$
$F=\frac{392,4}{5,052}=77,67\mathrm{N}$

Essas trações são os quatro valores da elevação na ordem inversa, de 111,9 N no trecho ancorado até 85,1 N ao lado da mão. A força de retenção é ${\eta }_s^5$ vezes a força de elevação, cerca de 63% dela: o atrito agora ajuda a mão em vez de lutar contra ela.

Agora a energia. A caixa que desce libera $mgh=392,4\mathrm{J}$. A mão deixa sair 4 m de corda enquanto resiste com 77,67 N, então absorve $77,67\cdot 4,00=310,7\mathrm{J}$, e as roldanas transformam os $392,4-310,7=81,7\mathrm{J}$ restantes em calor.

Se os mancais seguram quase igualmente bem em repouso e em movimento, qualquer força entre 77,7 N e 122,6 N mantém a caixa parada: abaixo dessa faixa ela desce, acima dela sobe. Ainda assim, a força de retenção nunca chega a zero. Com um rendimento de elevação de 0,80, bem acima de metade, a talha não é autotravante, e se você soltar a caixa ela desce.

Limites de validade

Todos os resultados acima se apoiam em idealizações: uma corda sem massa que não estica, roldanas sem peso, alavancas rígidas e movimento lento e constante. Cada uma pode ser relaxada, e o balanço de trabalho mostra o que muda.

Um bloco inferior de 2,0 kg é erguido junto com a caixa, então acrescenta 19,6 N à carga e eleva a força ideal de 98,1 N para 103,0 N. Acelerar a caixa para cima a 0,5 m/s² exige uma força resultante para cima, $nT=m(g+a)$, ou 103,1 N por trecho, e o trabalho extra se torna energia cinética em vez de altura. A corda real também se estica, e os mancais têm uma perda que não cresce com a carga, então uma talha pouco carregada tem desempenho pior do que um ${\eta }_s$ constante prevê.

O próprio balanço de trabalho é a conservação da energia, e nunca se observou que ele falhe. O que muda em escalas minúsculas é o movimento suave. Uma proteína motora, a cinesina, anda ao longo de um filamento dentro de uma célula em passos de 8 nm e para diante de uma carga de cerca de 6 pN. Ela realiza, portanto, no máximo $(6\times 10^{-12}\mathrm{N})(8\times 10^{-9}\mathrm{m})\approx 4,8\times 10^{-20}\mathrm{J}$ de trabalho por passo, apenas cerca de 11 vezes a energia térmica $kT\approx 4,3\times 10^{-21}\mathrm{J}$ à temperatura do corpo, onde $k$ é a constante de Boltzmann e $T$ aqui é a temperatura absoluta. Cada passo consome uma molécula de ATP, que vale cerca do dobro desse trabalho, e impulsos térmicos aleatórios são grande parte do movimento. Nessa escala, o balanço vale apenas em média, e a Segunda Lei decide em que sentido a máquina pode funcionar.

Para onde isso leva

O trabalho virtual é um atalho para os equilíbrios de torques de Equilíbrio estático e alavancas, e Dinâmica rotacional e torque fornece o torque e a potência $P=\tau \omega$ que um par de engrenagens transmite. A prensa hidráulica de Pressão nos fluidos e princípio de Pascal tem uma vantagem ideal igual a uma razão de áreas: 100 para pistões de 2 cm e 20 cm de diâmetro. Os transformadores, em Motores, geradores e transformadores, multiplicam a tensão pela sua razão de espiras e dividem a corrente por ela, transmitindo potência como as engrenagens. O alongamento da corda pertence a Elasticidade: lei de Hooke, tensão e deformação. O argumento das máquinas reversíveis retorna em Primeira lei da termodinâmica e máquinas térmicas e em Segunda lei da termodinâmica e entropia, onde limita o rendimento de toda máquina térmica.