स्थैतिक संतुलन और उत्तोलक

शुरुआती

पुल, शेल्फ़ और संतुलित सीसॉ में एक बात समान है: वे पूरी तरह स्थिर रहते हैं। भौतिकी में इसे स्थैतिक संतुलन कहते हैं। इसकी शर्तें चरण-दर-चरण यहाँ दी गई हैं।

चरण 1. धक्के और खिंचाव एक-दूसरे को निरस्त करने चाहिए। मेज़ पर रखी किताब को उसका भार नीचे खींचता है, और मेज़ उतने ही बल से ऊपर धकेलती है, इसलिए कुल बल शून्य होता है और किताब नहीं खिसकती।

चरण 2. केवल बलों का निरस्त होना काफ़ी नहीं है। मेज़ पर पड़े रूलर के दोनों सिरों को विपरीत दिशाओं में बराबर बल से धकेलें, तो वह उसी जगह घूमने लगता है। इसलिए घूर्णी प्रभाव भी निरस्त होने चाहिए। किसी बल का घूर्णी प्रभाव, यानी उसका बल-आघूर्ण, बल और धुरी से उसकी दूरी दोनों के साथ बढ़ता है।

चरण 3. सीसॉ पर भारी ओर तभी जीतता है जब वह बीच के करीब न हो। दोगुने वज़न वाले व्यक्ति को आधी दूरी पर बैठना होगा, ताकि दोनों ओर भार × दूरी बराबर हो। यही उत्तोलक का नियम है, जो आर्किमिडीज़ के समय से ज्ञात है; इसी से लंबी सब्बल उस पत्थर को हिला देती है जिसे आप कभी उठा नहीं सकते। एनिमेशन में नीला भारी डिब्बा धुरी की ओर खिसकता है, और 2 निशान पर पहुँचकर, जबकि हल्का डिब्बा 4 पर है, शहतीर समतल संतुलित हो जाता है।

चरण 4. हर वस्तु ऐसे व्यवहार करती है मानो उसका पूरा भार एक बिंदु पर लगा हो, यानी उसके द्रव्यमान-केंद्र पर। कोई बुकशेल्फ़, या आगे झुका हुआ व्यक्ति तब तक खड़ा रहता है जब तक वह बिंदु उसके आधार के ऊपर रहता है; ज़्यादा झुकने पर भार उसे पलटने लगता है।

स्वयं जाँचें: एक 20 kg का बच्चा सीसॉ की धुरी से 3 m दूर बैठा है। संतुलन के लिए 60 kg के अभिभावक को धुरी से कितनी दूरी पर, दूसरी ओर बैठना चाहिए? (धुरी से दूसरी ओर 1 m पर: तीन गुना भारी, एक-तिहाई दूरी पर।)

मध्यम

दो संतुलन-शर्तें

दृढ़ पिंड, यानी वह वस्तु जो अपना आकार नहीं बदलती, स्थैतिक संतुलन में तब होती है जब वह स्थिर रहती है: न तो फिसलना शुरू करती है और न घूमना। बल एक-दूसरे को निरस्त करने चाहिए, नहीं तो द्रव्यमान-केंद्र त्वरित हो जाएगा; और उनके घूर्णी प्रभाव, यानी बल-आघूर्ण, भी निरस्त होने चाहिए, नहीं तो वस्तु घूमने लगेगी:
$\sum F=0,\sum \tau =0$

समतल में पहली शर्त दो समीकरण हैं, क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों के लिए। इनमें से कोई भी शर्त दूसरी का परिणाम नहीं है: बराबर परिमाण और विपरीत दिशा के दो बल, जो अलग-अलग रेखाओं पर लगें, बल के रूप में निरस्त हो जाते हैं पर बल-युग्म बनाते हैं; इसी से आपके हाथ स्टीयरिंग व्हील को घुमाते हैं। हर प्रश्न मुक्त-पिंड आरेख से शुरू करें: वस्तु को अकेले खींचें, और हर बाहरी बल उसके लगने के स्थान पर दिखाएँ, हर भार द्रव्यमान-केंद्र पर और हर आधार-बल संपर्क-बिंदु पर।

बल-आघूर्ण: बल गुणा उत्तोलक-भुजा

बल-आघूर्ण बताता है कि कोई बल किसी चुने हुए बिंदु के सापेक्ष वस्तु को कितनी प्रबलता से घुमाता है। बल की क्रिया-रेखा, यानी वह सीधी रेखा जिसके अनुदिश बल लगता है, और उस बिंदु से इस रेखा तक की लंब दूरी $r$ लीजिए: यही उत्तोलक-भुजा है। तब
$\tau =rF\text{(}r\text{: lever arm, perpendicular to the line of action)}$

बल-आघूर्ण का मात्रक न्यूटन-मीटर (N·m) है, इसे कभी जूल में नहीं लिखा जाता, क्योंकि बल-आघूर्ण ऊर्जा नहीं है। वामावर्त (घड़ी की सूई की उलटी दिशा) बल-आघूर्ण धनात्मक माने जाते हैं। जिस बल की क्रिया-रेखा बिंदु से होकर गुज़रती है, उसका बल-आघूर्ण शून्य होता है, चाहे वह कितना भी बड़ा हो: दरवाज़े को उसके कब्ज़ों की ओर धकेलने से कुछ नहीं होता। यदि बल बिंदु से दूरी $d$ पर लगता है और उन्हें जोड़ने वाली रेखा से उसका कोण $\varphi$ है, तो उत्तोलक-भुजा $d\sin \varphi$ होती है।

उत्तोलक का नियम

धुरी के एक ओर $r_1$ दूरी पर भार $m_1$ और दूसरी ओर $r_2$ पर भार $m_2$ रखें। हर भार $mg$ सीधे नीचे कार्य करता है, इसलिए उसकी उत्तोलक-भुजा धुरी से उसकी क्षैतिज दूरी होती है। दोनों बल-आघूर्ण विपरीत चिह्न के होते हैं, और $\sum \tau =0$ से
$m_{1}g{r}_1=m_{2}g{r}_2\text{(law of the lever)}$

$g$ निरस्त होता है, इसलिए केवल द्रव्यमान और दूरी मायने रखते हैं: दोगुने द्रव्यमान के लिए उत्तोलक-भुजा आधी चाहिए। धुरी के अपने धक्के का धुरी के सापेक्ष बल-आघूर्ण शून्य है, इसलिए वह समीकरण से बाहर रहता है; $\sum F=0$ उसका परिमाण तय करता है, यानी वह कुल भार जो वह उठाता है, शहतीर का अपना भार सहित। यह नियम बल को गुणित भी करता है: सब्बल पर धुरी से 1.2 m दूर 300 N लगाएँ, तो धुरी से 0.10 m दूर पड़े पत्थर पर 3600 N का बल लगेगा।

उदाहरण: एनिमेशन की तुला

हल्का डिब्बा, $m_2=1.0\mathrm{kg}$, धुरी के दाईं ओर $r_2=0.40\mathrm{m}$ पर है, इसलिए शहतीर समतल होने पर उसका दक्षिणावर्त बल-आघूर्ण होता है
${\tau }_2=r_2{m}_{2}g=0.40\cdot 1.0\cdot 9.81=3.92\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
भारी डिब्बा, $m_1=2.0\mathrm{kg}$, उसे इस दूरी पर संतुलित करता है
$r_1=\frac{m_2{r}_2}{m_1}=\frac{1.0\cdot 0.40}{2.0}=0.20\mathrm{m}$

शहतीर के 10 cm वाले निशानों में भारी डिब्बा 2 पर और हल्का 4 पर है। वहाँ दोनों पाठ्यांक 3.92 N·m दिखाते हैं और शहतीर समतल है: तीर $F_1=19.6\mathrm{N}$ उस तीर से दोगुना लंबा है जो $F_2=9.81\mathrm{N}$ दर्शाता है, और नीचे अंकित उत्तोलक-भुजाएँ $r_1$ और $r_2$ का अनुपात 1 : 2 है।

शुरू में भारी डिब्बा धुरी से 0.42 m बाहर है, और उसका 8.30 N·m का बल-आघूर्ण हल्के डिब्बे के 3.79 N·m पर भारी पड़ता है। शहतीर लगभग 10° वामावर्त घूमता है, जब तक धुरी के नीचे का भारित सूचक, जो हल्की ओर झुका है, शेष 4.51 N·m नहीं दे देता। जैसे-जैसे डिब्बा अंदर खिसकता है, ${\tau }_1$ घटता है; 0.20 m के भीतर हल्की ओर का बल जीतता है, और 0.10 m पर, जब ${\tau }_1\approx 1.87\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ है, शहतीर दूसरी ओर लगभग 4.6° झुकता है।

ध्यान दें कि ${\tau }_2$ 3.79 और 3.95 N·m के बीच घटता-बढ़ता है, हालाँकि उसका डिब्बा कभी नहीं खिसकता: शहतीर झुकने से धुरी से उसके भार की डैश वाली रेखा तक की क्षैतिज दूरी बदलती है। उत्तोलक-भुजा बल की क्रिया-रेखा के लंब मापी जाती है, शहतीर के अनुदिश नहीं।

उदाहरण: तख़्ते पर चित्रकार

20 kg का एकसमान तख़्ता, जिसकी लंबाई 3.0 m है, दोनों सिरों के नीचे टेक पर टिका है, और 70 kg का एक चित्रकार बाएँ सिरे से 1.0 m पर खड़ा है। तख़्ते का भार, $196.2\mathrm{N}$, उसके बीच में कार्य करता है, और चित्रकार का भार, $686.7\mathrm{N}$, 1.0 m पर। बाईं टेक के सापेक्ष बल-आघूर्ण लेने पर उसका अज्ञात बल हट जाता है:
$F_R\cdot 3.0=686.7\cdot 1.0+196.2\cdot 1.5=981\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
अतः $F_R=327\mathrm{N}$ है, और $\sum F=0$ से $F_L=686.7+196.2-327=556\mathrm{N}$ मिलता है: चित्रकार के निकट वाली टेक अधिक भार उठाती है।

अब दाहिनी टेक को 1.0 m अंदर खिसकाएँ, ताकि 1.0 m का उभार बचे, और चित्रकार को बाहर की ओर चलने दें। बाईं ओर का धक्का शून्य होते ही तख़्ता उस टेक के सापेक्ष पलट जाता है, यानी जब चित्रकार का उस टेक के सापेक्ष बल-आघूर्ण तख़्ते के बल-आघूर्ण के बराबर हो, जिसका केंद्र दूसरी ओर 0.50 m पर है: $70d=20\cdot 0.50$, अतः $d=0.14\mathrm{m}$। टेक से आगे बस एक छोटा कदम, और तख़्ता पलट जाता है; इसीलिए मचान के तख़्ते कसकर बाँधे जाते हैं।

द्रव्यमान-केंद्र, स्थायित्व और पलटना

बल-आघूर्ण के लिए वस्तु का पूरा भार एक बिंदु पर कार्य करता है, जो उसका द्रव्यमान-केंद्र है, यानी द्रव्यमान से भारित औसत स्थिति:
$x_{\mathrm{CM}}=\frac{\sum m_i{x}_i}{\sum m_i}$
संतुलित डिब्बों के लिए, $x_{\mathrm{CM}}=(2.0\cdot (-0.20)+1.0\cdot 0.40)/3.0=0$: धुरी के ठीक ऊपर, यानी शहतीर समतल है।

कोई संतुलन स्थायी है यदि हल्का झुकाव द्रव्यमान-केंद्र को ऊपर उठाए, ताकि भार वस्तु को वापस घुमा दे, जैसे एनिमेशन की तुला में, जिसका भारी सूचक द्रव्यमान-केंद्र को धुरी के नीचे रखता है। यह अस्थायी है यदि झुकाव द्रव्यमान-केंद्र को नीचे ले जाए, जैसे नोक पर खड़ी पेंसिल या दो सवारियों वाला सीसॉ।

कोई वस्तु आधार पर टिकी हो तो तब पलटती है जब उसके द्रव्यमान-केंद्र से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा आधार के बाहर निकल जाए। 0.70 m चौड़ा और 1.80 m ऊँचा एकसमान फ़्रिज, जिसे एक किनारे पर झुकाया गया है, 21.3° से कम कोण पर छोड़ा जाए तो पीछे लौट आता है, जहाँ $\tan \theta =0.70/1.80$; उससे आगे वह गिर जाता है। ढलान पर एकसमान बक्सा $\tan \theta =w/h$ पर पलटता है।

सामान्य गलतियाँ

• यह सोचना कि संतुलन के लिए भार बराबर चाहिए। असल में बल-आघूर्ण बराबर चाहिए: 0.20 m पर 2.0 kg, 0.40 m पर 1.0 kg को संतुलित करता है।
• उत्तोलक-भुजा शहतीर या दरवाज़े के अनुदिश मापना, बल की क्रिया-रेखा के लंब नहीं। दरवाज़े की कब्ज़ों से 0.80 m दूर, 30° कोण पर लगाया गया 50 N का धक्का $0.80\cdot 50\cdot \sin 30^{\circ }=20\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ देता है, न कि 40 N·m।
• शहतीर का अपना भार भूल जाना। तख़्ते के 20 kg को छोड़ दें, तो दाहिनी टेक 327 N के बजाय 229 N धकेलती दिखेगी।
• यह मान लेना कि बल-आघूर्ण असली धुरी के सापेक्ष ही लेने होंगे। $\sum \tau =0$ हर बिंदु के सापेक्ष होता है, इसलिए वह बिंदु चुनें जहाँ कोई अज्ञात बल लगता हो।
• यह अपेक्षा कि भारी वस्तु अधिक तीखे कोण पर पलटेगी। केवल आकार मायने रखता है: 0.40 m चौड़ा और 1.00 m ऊँचा समान रूप से भरा बक्सा, चाहे उसमें 20 kg हो या 200 kg, 21.8° पर पलटता है।

व्यावहारिक उपयोग

इंजीनियर इन दोनों समीकरणों से शहतीरों और नींवों का आकार तय करते हैं, और टावर क्रेन अपने छोटे हाथ पर लगे कंक्रीट के प्रतिभार से भार को संतुलित करती है। आपकी बाँह भी एक उत्तोलक है: बाइसेप्स कोहनी से लगभग 5 cm पर खींचता है, इसलिए कोहनी से 35 cm दूर 5.0 kg का डंबल पकड़ने में लगभग $49\cdot 0.35/0.05\approx 343\mathrm{N}$ बल लगता है, जो उसके भार का सात गुना है। ये विचार “सरल मशीनें: उत्तोलक, घिरनी और गियर” में आगे बढ़ते हैं, जहाँ उत्तोलक बल के बदले दूरी का विनिमय करते हैं; और “प्रत्यास्थता: हुक का नियम, प्रतिबल और विकृति” में, जहाँ यहाँ बताए भारों के नीचे असली शहतीर मुड़ते हैं।

उन्नत

आभासी कार्य शून्य होने के रूप में संतुलन

दो शर्तें किसी दृढ़ पिंड को स्थिर रखती हैं: उस पर लगे बलों का योग शून्य होता है, और उनके बल-आघूर्णों का योग भी शून्य होता है। दोनों एक ही कथन से निकलती हैं जो कार्य के बारे में है, और वही कथन बाद में यह भी तय करता है कि संतुलन स्थायी है या नहीं, इसलिए इन्हें एक बार इसी तरह व्युत्पन्न करना उपयोगी है।

कल्पना कीजिए कि स्थिर वस्तु को उसके आधार द्वारा अनुमत एक छोटी मात्रा में हिलाया गया है: यह एक आभासी विस्थापन है, जो केवल कागज़ पर किया गया है। इस दौरान वस्तु पर लगे हर बल द्वारा किए गए कार्य को जोड़िए; कुल योग आभासी कार्य $\delta W$ है। यदि किसी अनुमत गति के लिए $\delta W$ धनात्मक होता, तो बल स्वयं उस दिशा में गतिज ऊर्जा देते, और वस्तु अपने आप उसी दिशा में चल पड़ती। छोटे विस्थापन की दिशा उलटने पर $\delta W$ का चिह्न भी उलट जाता है, इसलिए वह ऋणात्मक भी नहीं हो सकता। अतः संतुलन में आभासी कार्य, विस्थापन के प्रथम घात तक, आधार द्वारा अनुमत हर विस्थापन के लिए शून्य होता है।

समतल में गतिशील दृढ़ पिंड की तीन स्वतंत्र छोटी गतियाँ होती हैं: दो दिशाओं में से हर एक में स्थानांतरण, और एक घूर्णन। स्थानांतरण $\delta \vec{s}$ में पिंड का हर बिंदु एक ही $\delta \vec{s}$ जितना खिसकता है, इसलिए $\delta W=(\sum \vec{F})\cdot \delta \vec{s}$, जो हर दिशा के स्थानांतरण के लिए तभी शून्य होगा जब $\sum \vec{F}=0$ हो। किसी भी बिंदु के सापेक्ष छोटे घूर्णन $\delta \theta$ में, जिस बल का उस बिंदु के सापेक्ष बल-आघूर्ण $\tau$ है, वह $\tau \delta \theta$ कार्य करता है: बल-आघूर्ण ठीक उतना है जितना प्रति रेडियन घूर्णन में कार्य होता है। अतः $\delta W=(\sum \tau )\delta \theta$, जो केवल तब शून्य होगा जब $\sum \tau =0$।

आंतरिक बल, यानी पिंड के भागों के बीच के धक्के और खिंचाव, इस तर्क में कभी नहीं आते। वे बराबर और विपरीत युग्मों में आते हैं, जो दो भागों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश लगते हैं; और दृढ़ पिंड उन दोनों भागों के बीच की दूरी स्थिर रखता है, इसलिए हर युग्म के दोनों बल बराबर और विपरीत कार्य करते हैं।

केवल कार्य से उत्तोलक का नियम

इस सिद्धांत की सबसे सरल परख उत्तोलक है। आभासी कार्य से वह नियम सीधे भारों और ऊँचाइयों से मिलता है, और इसके लिए बल-आघूर्ण को पहले परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं होती।

संकेत-सूची

$m_{1}g$	भार 1 का भार, जिसका द्रव्यमान $m_1$ है।	$\mathrm{N}$
$m_{2}g$	भार 2 का भार, जिसका द्रव्यमान $m_2$ है।	$\mathrm{N}$
$r_1$	धुरी से भार 1 तक शहतीर के अनुदिश दूरी।	$\mathrm{m}$
$r_2$	धुरी से भार 2 तक शहतीर के अनुदिश दूरी; यहाँ $r_1$ की दोगुनी।	$\mathrm{m}$
$\delta \theta$	धुरी के चारों ओर शहतीर का छोटा आभासी घूर्णन, चित्र में बढ़ाकर दिखाया गया।	$\mathrm{rad}$
$\delta h_1$	घूर्णन के दौरान भार 1 का नीचे गिरना: $r_1\delta \theta$।	$\mathrm{m}$
$\delta h_2$	घूर्णन के दौरान भार 2 का ऊपर उठना: $r_2\delta \theta$।	$\mathrm{m}$

चित्र 1 एक धुरी पर टिका शहतीर दिखाता है: एक ओर दूरी $r_1$ पर भार 1, द्रव्यमान $m_1$, और दूसरी ओर दूरी $r_2$ पर भार 2, द्रव्यमान $m_2$। शहतीर संतुलित है, $m_1{r}_1=m_2{r}_2$, और हम इसे धुरी के सापेक्ष एक छोटा आभासी घूर्णन $\delta \theta$ देते हैं, जिसे चित्र में वास्तविक से कहीं बड़ा बनाया गया है। दो छोटी ऊर्ध्वाधर भुजाओं को देखिए। धुरी से दूरी $r$ पर स्थित शहतीर का कोई बिंदु लंबाई $r\delta \theta$ के चाप पर चलता है, और छोटे कोण के लिए वह चाप व्यावहारिक रूप से ऊर्ध्वाधर है। अतः भार 1 $\delta h_1=r_1\delta \theta$ नीचे गिरता है और भार 2 $\delta h_2=r_2\delta \theta$ ऊपर उठता है।

अब कार्य जोड़िए। धुरी नहीं चलती, इसलिए उसका बल कोई कार्य नहीं करता। गुरुत्व केवल ऊर्ध्वाधर गति पर कार्य करता है: भार 1, जो गिरता है, पर वह $+m_{1}g\delta h_1$ करता है; भार 2, जो उठता है, पर वह $-m_{2}g\delta h_2$ करता है। कुल को शून्य रखने पर $m_{1}g{r}_1\delta \theta =m_{2}g{r}_2\delta \theta$ मिलता है, और दोनों पक्षों को $g\delta \theta$ से भाग देने पर $m_1{r}_1=m_2{r}_2$ बचता है। यही उत्तोलक का नियम है, जो केवल ऊर्जा के हिसाब से प्राप्त होता है।

एनिमेशन में संतुलित शहतीर पर $r_1=0.20\mathrm{m}$ पर 2.0 kg का डिब्बा और $r_2=0.40\mathrm{m}$ पर 1.0 kg का डिब्बा है। शहतीर को 0.01 rad झुकाने पर भारी डिब्बा 2 mm नीचे जाता है और हल्का डिब्बा 4 mm ऊपर, और $2.0\cdot 2=1.0\cdot 4$: गुरुत्व एक ओर जो प्राप्त करता है, दूसरी ओर वह लौटा देता है।

यह नियम इसके अलावा कुछ और नहीं हो सकता, क्योंकि एक संतुलित, घर्षण-रहित उत्तोलक को किसी भी छोटे बल से धीरे-धीरे घुमाया जा सकता है। यदि वह द्रव्यमानों और दूरियों के किसी दूसरे अनुपात पर संतुलित होता, तो किसी एक दिशा में घुमाने से भारों की कुल स्थितिज ऊर्जा बिना किसी स्रोत के बढ़ जाती, और यह प्रक्रिया अनंत बार दोहराई जा सकती: यही सतत गति की मशीन होती। इसलिए उत्तोलक का नियम सतत गति की असंभवता से निकलता है। साइमन स्टीविन ने 1586 में झुके तल के बारे में इसी तरह तर्क दिया था: पच्चर पर लटकी चेन का एक बंद लूप अपने आप कभी घूमना शुरू नहीं करता।

तीन समीकरण, और कोई भी बिंदु धुरी के रूप में

व्यवहार में संतुलन-शर्तों को समीकरणों के रूप में लिखा जाता है, और ऐसा बिंदु चुना जाता है जिससे वे सबसे आसान हों। यह भाग दिखाता है कि कोई भी बिंदु धुरी क्यों हो सकता है, और ये समीकरण कितने अज्ञात तय कर सकते हैं।

समतल में संतुलन तीन समीकरण हैं: $\sum F_x=0$, $\sum F_y=0$ और $\sum {\tau }_z=0$। स्थिति ${\vec{r}}_i$ पर लगे बल ${\vec{F}}_i$ का बिंदु $B$ के सापेक्ष बल-आघूर्ण $({\vec{r}}_i-{\vec{r}}_B)\times {\vec{F}}_i$ है। भुजा को $({\vec{r}}_i-{\vec{r}}_A)+({\vec{r}}_A-{\vec{r}}_B)$ में बाँटिए, जहाँ $A$ कोई अन्य बिंदु है, और सभी बलों पर जोड़िए:
${\vec{\tau }}_B={\vec{\tau }}_A+({\vec{r}}_A-{\vec{r}}_B)\times \sum \vec{F}$
जब कुल बल शून्य होता है, तो दूसरा पद लुप्त हो जाता है और बल-आघूर्ण हर बिंदु के सापेक्ष समान होता है। इसलिए धुरी जहाँ सुविधाजनक हो वहाँ चुनी जा सकती है, आमतौर पर किसी आधार पर: उस आधार के अज्ञात बल की वहाँ कोई भुजा नहीं होती, और वह बल-आघूर्ण समीकरण से बाहर हो जाता है।

तीन समीकरण अधिक-से-अधिक तीन अज्ञात तय कर सकते हैं। दो आधारों पर टिका शहतीर, या चिकनी दीवार से टिकी सीढ़ी, में इतने ही अज्ञात होते हैं, और उसे स्थैतिक रूप से निर्धार्य कहा जाता है। चार पैरों वाली मेज़ में चार अज्ञात पैर-बल हैं, पर उपयोगी समीकरण केवल तीन हैं, इसलिए वह स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: केवल स्थैतिकी से पता नहीं चल सकता कि भार कैसे बँटेगा, और यह केवल पैरों और फ़र्श की थोड़ी-सी लोच से तय होता है। असमतल फ़र्श पर एक पैर कुछ भी नहीं उठाता, और मेज़ डगमगाती है।

तीन बल एक बिंदु पर मिलते हैं

जब ठीक तीन बल किसी वस्तु को स्थिर रखते हैं, तो कोई ज्यामितीय नियम किसी एक बल की दिशा समीकरण लिखने से पहले ही तय कर देता है। दीवार से टिकी सीढ़ी इसका मानक उदाहरण है।

संकेत-सूची

$W$	सीढ़ी का भार, जो उसके मध्य-बिंदु पर कार्य करता है।	$\mathrm{N}$
$P$	दीवार का धक्का। चिकनी दीवार केवल अपनी सतह के लंबवत धक्का देती है, इसलिए $P$ क्षैतिज है।	$\mathrm{N}$
$R$	सीढ़ी के पाद पर फ़र्श की प्रतिक्रिया: अभिलंब बल और घर्षण का योग। इसकी रेखा $T$ से गुज़रती है।	$\mathrm{N}$
$T$	वह बिंदु जहाँ $W$ और $P$ की क्रिया-रेखाएँ मिलती हैं।
$\theta$	सीढ़ी और फ़र्श के बीच का कोण।	$\mathrm{rad}$
$\phi$	$R$ और ऊर्ध्वाधर के बीच का कोण; $\tan \phi =a/h$, यानी घर्षण को अभिलंब बल से भाग देने पर।	$\mathrm{rad}$
$h$	सीढ़ी के शीर्ष की ऊँचाई, जो $T$ की भी ऊँचाई है।	$\mathrm{m}$
$a$	सीढ़ी के पाद से उसके मध्य-बिंदु से गुज़रने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा तक की क्षैतिज दूरी; यह रेखा भी $T$ से होकर जाती है।	$\mathrm{m}$

चित्र 2 लंबाई $L$ और भार $W$ की एक समान सीढ़ी दिखाता है, जो फ़र्श पर कोण $\theta$ पर खड़ी है और एक चिकनी दीवार से टिकी है। सीढ़ी पर तीन बल कार्य करते हैं। भार $W$ मध्य-बिंदु से होकर सीधे नीचे कार्य करता है। चिकनी दीवार केवल अपनी सतह के लंबवत धक्का दे सकती है, इसलिए शीर्ष पर उसका धक्का $P$ क्षैतिज है। फ़र्श की प्रतिक्रिया $R$, पाद पर, अभी तक अज्ञात दिशा में है। $W$ और $P$ की क्रिया-रेखाओं को डैश वाली रेखाओं के अनुदिश आगे बढ़ाकर देखिए: वे $T$ पर मिलती हैं, जो सीढ़ी के शीर्ष के समान ऊँचाई पर और मध्य-बिंदु के ठीक ऊपर है।

$T$ के सापेक्ष बल-आघूर्ण लीजिए। $W$ और $P$ का वहाँ कोई बल-आघूर्ण नहीं है, क्योंकि दोनों रेखाएँ $T$ से गुज़रती हैं। कुल बल-आघूर्ण शून्य है, इसलिए $R$ का भी $T$ के सापेक्ष कोई बल-आघूर्ण नहीं होना चाहिए, और यह तभी संभव है जब उसकी क्रिया-रेखा भी $T$ से होकर गुज़रे। इस प्रकार घर्षण की चर्चा से पहले ही $R$ की दिशा तय हो जाती है। यह नियम सामान्य है: जब ठीक तीन असमानांतर बल किसी वस्तु को संतुलन में रखते हैं, तो उनकी क्रिया-रेखाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं।

अब $R$ को अभिलंब बल $N$, जो सीधे ऊपर है, और घर्षण $f$, जो फ़र्श के अनुदिश दीवार की ओर है, में विभाजित कीजिए। ऊर्ध्वाधर बलों से $N=W$ आता है, और क्षैतिज बलों से $f=P$। चित्र 2 में $R$ ऊर्ध्वाधर से कोण $\phi$ पर झुका है, इसलिए $\tan \phi =f/N$। वही कोण उस समकोण त्रिभुज के आधार पर भी है जिसकी ऊर्ध्वाधर भुजा शीर्ष की ऊँचाई (और $T$ की) है, $h=L\sin \theta$, और जिसकी क्षैतिज भुजा पाद से मध्य-बिंदु से गुज़रने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा तक की दूरी है, $a=\frac{1}{2}L\cos \theta$। अतः $\tan \phi =a/h$, और
$\frac{f}{N}=\frac{a}{h}=\frac{1}{2\tan \theta }$
$60^{\circ }$ पर फ़र्श से झुकी एक समान सीढ़ी के लिए यह $1/(2\tan 60^{\circ })\approx 0.29$ होता है, चाहे सीढ़ी का भार कितना भी हो या उसकी लंबाई कितनी भी हो। अतः सीढ़ी तभी खड़ी रहती है जब फ़र्श पर स्थैतिक घर्षण-गुणांक कम से कम 0.29 हो। सीढ़ी जितनी खड़ी होगी, उतना कम घर्षण चाहिए।

गुरुत्व द्रव्यमान-केंद्र पर कार्य करता है

लगभग हर स्थैतिकी प्रश्न किसी वस्तु के भार को उसके द्रव्यमान-केंद्र पर लगे एक बल से बदल देता है। यह समान गुरुत्वीय क्षेत्र में क्यों सटीक है, और इससे एनिमेशन की तुला के बारे में क्या अनुमान लगता है, यह यहाँ देखिए।

किसी वस्तु का हर भाग $i$, जिसका द्रव्यमान $m_i$ और किसी धुरी से स्थिति ${\vec{r}}_i$ है, भार $m_i\vec{g}$ अनुभव करता है। क्योंकि $\vec{g}$ हर भाग के लिए समान है, वह योग से बाहर निकल आता है: $\sum {\vec{r}}_i\times m_i\vec{g}=(\sum m_i{\vec{r}}_i)\times \vec{g}=M{\vec{r}}_{\mathrm{CM}}\times \vec{g}$, जहाँ $M$ कुल द्रव्यमान है और ${\vec{r}}_{\mathrm{CM}}=\sum m_i{\vec{r}}_i/M$। पूरा भार द्रव्यमान-केंद्र पर कार्य करता है। $x$ को धुरी से क्षैतिज रूप से मापें, और वामावर्त बल-आघूर्ण धनात्मक हों, तो
$x_{\mathrm{CM}}=\frac{\sum m_i{x}_i}{\sum m_i}$
$\sum {\tau }_{\mathrm{gravity}}=-Mg{x}_{\mathrm{CM}}$
ऋण चिह्न बताता है कि धुरी के दाईं ओर स्थित द्रव्यमान-केंद्र वस्तु को दक्षिणावर्त घुमाता है। इससे दो परिणाम निकलते हैं। कील से लटकी वस्तु का द्रव्यमान-केंद्र कील के ठीक नीचे ठहरता है, जहाँ गुरुत्व का बल-आघूर्ण नहीं होता। और दो अलग-अलग लटकाव-बिंदुओं से गिरी साहुल रेखाएँ द्रव्यमान-केंद्र पर मिलती हैं; व्यवहार में इसी तरह उसे खोजा जाता है।

यह तर्क दोनों डिब्बों पर ही लागू कीजिए। ${\tau }_1$ को भारी डिब्बे का वामावर्त बल-आघूर्ण, ${\tau }_2$ को हल्के डिब्बे का दक्षिणावर्त बल-आघूर्ण, और $x_{\mathrm{CM}}$ को दोनों डिब्बों का द्रव्यमान-केंद्र मानिए; तब ${\tau }_1-{\tau }_2=-(m_1+m_2)g{x}_{\mathrm{CM}}$। एनिमेशन का विशेषज्ञ-स्तर का ग्राफ़ इसे भारी डिब्बे की स्थिति $x_1$ के विरुद्ध दर्शाता है: $x_1=-0.42\mathrm{m}$ पर 4.51 N·m, $x_1=-m_2{r}_2/m_1=-0.20\mathrm{m}$ पर शून्य, और $x_1=-0.10\mathrm{m}$ पर $-2.07\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$। रेखा लगभग सीधी है, और उसकी ढाल लगभग $-m_{1}g=-19.6\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ प्रति मीटर के बराबर है: डिब्बा हर सेंटीमीटर अंदर खिसकने पर लगभग 0.20 N·m घटता है। दर्शाई गई ढाल इससे लगभग 5% अधिक तीखी है। दोनों डिब्बों के केंद्र पिन-रेखा से लगभग 5 cm ऊपर हैं, इसलिए डिब्बे के हर विस्थापन के साथ आने वाला झुकाव-परिवर्तन उन्हें थोड़ा पार्श्व में भी खिसकाता है।

यह शहतीर पर कुल बल-आघूर्ण नहीं है। सूचक पर लटका 14 kg का गोला विपरीत बल-आघूर्ण देता है और कुल को शून्य रखता है; इसी कारण शहतीर केवल आंशिक रूप से झुकता है (जिसे नीचे विस्तार से निकाला गया है)। एनिमेशन की सुनहरी साहुल रेखा वही बात ज्यामितीय रूप से दिखाती है: शहतीर उस ओर झुकता है जिस ओर दोनों डिब्बों का द्रव्यमान-केंद्र स्थित है।

स्थायित्व और स्थितिज ऊर्जा

कोई संतुलन कटोरे की तली जैसा हो सकता है, जिस पर वस्तु लौट आती है, या पहाड़ी की चोटी जैसा, जिससे वह गिर जाती है। स्थितिज ऊर्जा इन दोनों में भेद बताती है।

कील पर घूमने वाली वस्तु के लिए स्थितिज ऊर्जा $U(\theta )=Mg{y}_{\mathrm{CM}}$ है, जहाँ $y_{\mathrm{CM}}$ द्रव्यमान-केंद्र की ऊँचाई है। जब वस्तु $d\theta$ घूमती है, तो गुरुत्व का बल-आघूर्ण $\tau d\theta$ कार्य करता है, जो $U$ से लिया जाता है, इसलिए $dU=-\tau d\theta$। अतः संतुलन, यानी शून्य बल-आघूर्ण, का अर्थ है $dU/d\theta =0$। यदि $d^{2}U/d{\theta }^2>0$ हो तो संतुलन स्थायी है: तब हल्का झुकाव द्रव्यमान-केंद्र को ऊपर उठाता है, और उत्पन्न बल-आघूर्ण वस्तु को वापस धकेलता है। यदि $d^{2}U/d{\theta }^2<0$ हो तो यह अस्थायी है, और यदि $U$ स्थिर रहे, जैसे अपनी धुरी पर एकसमान पहिये के लिए, तो उदासीन।

द्रव्यमान-केंद्र को कील से दूरी $\ell$ पर और सीधे नीचे से कोण $\psi$ पर रखें। कील के सापेक्ष उसकी ऊँचाई $-\ell \cos \psi$ है, इसलिए $U=-Mg\ell \cos \psi$ और $d^{2}U/d{\psi }^2=Mg\ell \cos \psi$। यह $\psi =0$ पर धनात्मक है, इसलिए कील के नीचे लटकना स्थायी है, और $\psi =180^{\circ }$ पर ऋणात्मक है, इसलिए कील के ऊपर संतुलन अस्थायी है। सवारियों वाले सीसॉ का द्रव्यमान-केंद्र धुरी के ऊपर होता है: वह समतल नहीं रहता, बल्कि एक सिरे पर आकर टिकता है, जिसे ज़मीन थामे रखती है। एनिमेशन की तुला कील से 0.19 m नीचे 14 kg का गोला इसी से बचने के लिए लटकाती है।

उदाहरण: तुला कितनी झुकती है

डिब्बा केंद्र से हटा हो तो एनिमेशन की तुला एक सिरे पर नहीं गिरती: वह एक निश्चित झुकाव पर ठहर जाती है। यह भाग पहले ज्यामिति से, फिर ऊर्जा से वह कोण निकालता है।

संकेत-सूची

$O$	वह कील जिसके चारों ओर शहतीर घूमता है।
$G$	पूरी तुला का द्रव्यमान-केंद्र: डिब्बे, शहतीर, सूचक और गोला।
$Mg$	पूरी तुला का भार, कुल द्रव्यमान $M$, जो $G$ पर कार्य करता है।	$\mathrm{N}$
$u_G$	शहतीर के अनुदिश, कील के सापेक्ष $G$ की स्थिति, दाईं ओर धनात्मक; यहाँ ऋणात्मक।	$\mathrm{m}$
$w_G$	शहतीर के पार $G$ की स्थिति, ऊपर की ओर धनात्मक; यहाँ ऋणात्मक, क्योंकि $G$ शहतीर के नीचे है।	$\mathrm{m}$
$\theta$	क्षैतिज से शहतीर का झुकाव, वामावर्त धनात्मक। वही कोण त्रिभुज में $G$ पर भी है।	$\mathrm{rad}$

चित्र 3 अनुपात बढ़ाकर तुला का खाका दिखाता है। शहतीर पर स्थिर निर्देशांक-तंत्र लीजिए, जिसका मूल बिंदु कील $O$ है: शहतीर के अनुदिश $u_i$ (दाईं ओर धनात्मक) और उसके पार $w_i$ (ऊपर की ओर धनात्मक)। द्रव्यमान $m_i$ वाले सभी भाग मिलकर उसी तरह भारित होते हैं जैसे द्रव्यमान $M=\sum m_i$ वाली एक वस्तु उनके द्रव्यमान-केंद्र $G$ पर हो, जिसके निर्देशांक $u_G=A/M$ और $w_G=B/M$ हैं, जहाँ
$A=\sum m_i{u}_i,B=\sum m_i{w}_i$
क्षैतिज से शहतीर का झुकाव $\theta$ वामावर्त गिना जाता है।

तुला तब स्थिर होती है जब $G$, $O$ के ठीक नीचे लटके, क्योंकि तब भार $Mg$ कील से होकर गुज़रता है और उसका बल-आघूर्ण नहीं होता। ($O$ के ठीक ऊपर भी संतुलन है, पर वह अस्थायी है।) चित्र 3 में $O$ से शहतीर के अनुदिश $u_G$ और फिर उसके लंबवत $w_G$ चलें, तो आप $G$ पर पहुँचते हैं; $G$ से $O$ तक वापस ऊर्ध्वाधर रेखा एक समकोण त्रिभुज बनाती है, जिसका समकोण वहाँ है जहाँ $u_G$ और $w_G$ मिलते हैं। $G$ पर का कोण झुकाव $\theta$ के बराबर है। जो दो रेखाएँ दो अन्य रेखाओं के लंबवत हों, वे उन्हीं के समान कोण पर मिलती हैं; शहतीर और क्षैतिज $\theta$ पर मिलते हैं, इसलिए शहतीर के लंबवत भुजा $w_G$ और क्षैतिज के लंबवत ऊर्ध्वाधर रेखा भी $\theta$ पर मिलती हैं। $G$ से देखने पर $u_G$ सम्मुख भुजा है और $w_G$ संलग्न भुजा, अतः
$\tan \theta =\frac{u_G}{w_G}=\frac{A}{B}$
चित्र में $u_G$ और $w_G$ दोनों ऋणात्मक हैं, इसलिए $\tan \theta >0$: शहतीर वामावर्त घूमा है, बायाँ सिरा नीचे।

स्थितिज ऊर्जा भी वही परिणाम देती है, और स्थायित्व भी तय करती है। $\theta$ वामावर्त घूमने पर भाग $i$ कील से $u_i\sin \theta +w_i\cos \theta$ ऊँचाई पर होता है, अतः
$U(\theta )=g(A\sin \theta +B\cos \theta )$
$dU/d\theta =g(A\cos \theta -B\sin \theta )$ को शून्य रखने पर फिर से $\tan \theta =A/B$ मिलता है।

अब संख्याएँ। डिब्बों के केंद्र पिन-रेखा से 0.053 m और 0.043 m ऊपर हैं, और गोला उसके 0.19 m नीचे है, इसलिए $B=2.0\cdot 0.053+1.0\cdot 0.043-14\cdot 0.19\approx -2.51\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}$; शहतीर का अपना भार कील पर कार्य करता है और कुछ नहीं जोड़ता। आरंभ में भारी डिब्बा शहतीर के अनुदिश $x_1=-0.42\mathrm{m}$ पर है और हल्का 0.40 m पर, अतः $A=2.0\cdot (-0.42)+1.0\cdot 0.40=-0.44\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}$। तब $\tan \theta =0.175$ और $\theta =9.9^{\circ }$, भारी ओर नीचे, जैसा चित्र 3 में है। $x_1=-0.10\mathrm{m}$ पर $A=+0.20\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}$ और $\theta =-4.6^{\circ }$, दूसरी ओर नीचे; $x_1=-0.20\mathrm{m}$ पर $A=0$ और शहतीर समतल है। जाँच के लिए: आरंभ में गोले का दक्षिणावर्त बल-आघूर्ण, $14\cdot 9.81\cdot 0.19\sin \theta \approx 4.51\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$, ग्राफ़ के आरंभ पर दोनों डिब्बों के बल-आघूर्ण को ठीक निरस्त करता है।

क्या यह विश्राम-स्थिति स्थायी है? दूसरा अवकलज $d^{2}U/d{\theta }^2=-g(A\sin \theta +B\cos \theta )$ है, और $G$ के $O$ के नीचे होने वाले संतुलन पर (यहाँ $B<0$) उसका मान $g\sqrt{A^2+B^2}$ आता है। यह प्रति रेडियन कभी $g|B|=9.81\cdot 2.51=24.6\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ से कम नहीं होता, इसलिए डिब्बा कहीं भी हो, तुला स्थायी रहती है। लगभग समतल $\theta \approx A/B$ के पास: डिब्बे को 1 cm खिसकाने पर $A$ 0.020 kg·m बदलता है और शहतीर $0.020/2.51\approx 0.008\mathrm{rad}$, लगभग 0.46°, झुकता है। यही तुला की संवेदनशीलता है। हल्का गोला या छोटा सूचक $|B|$ को छोटा करता है, जिससे संवेदनशीलता बढ़ती है, पर लगभग समतल स्थिति के पास प्रति रेडियन पुनर्स्थापन बल-आघूर्ण $g|B|$ कमज़ोर हो जाता है। गोले के बिना $B=+0.15\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}$ होगा: $G$ कील के ऊपर होगा, समतल स्थिति पर दूसरा अवकलज ऋणात्मक होगा, और सबसे छोटा असंतुलन भी शहतीर को पूरी तरह उलट देगा, सीसॉ की तरह।

पलटना और फिसलना

ढलान पर खड़ी वस्तु दो तरह से विफल हो सकती है: वह नीचे फिसल सकती है, या अपने निचले किनारे पर पलट सकती है। कौन-सी घटना पहले होगी, यह केवल उसके आकार और घर्षण पर निर्भर करता है।

संकेत-सूची

$w$	बक्से के आधार की चौड़ाई, ढलान के अनुदिश।	$\mathrm{m}$
$h$	बक्से की ऊँचाई।	$\mathrm{m}$
$\theta$	ढलान का कोण। वही कोण $R$ और ढलान के अभिलंब के बीच भी है।	$\mathrm{rad}$
$mg$	बक्से का भार, जो उसके केंद्र पर कार्य करता है।	$\mathrm{N}$
$R$	ढलान का बक्से पर संपर्क-बल (अभिलंब बल और घर्षण का योग): भार के बराबर और विपरीत, इसलिए ऊर्ध्वाधर।	$\mathrm{N}$
$d$	आधार के निचले किनारे से वह बिंदु जहाँ $R$ लगता है: $d=w/2-(h/2)\tan \theta$।	$\mathrm{m}$

चित्र 4 में आधार $w$ और ऊँचाई $h$ वाला एक एकसमान बक्सा कोण $\theta$ वाली ढलान पर है। उस पर केवल दो बल कार्य करते हैं: केंद्र पर उसका भार $mg$, और ढलान का संपर्क-बल $R$, यानी पूरे आधार पर अभिलंब बल और घर्षण को जोड़कर बना एक बल। दो बल तभी संतुलित होते हैं जब वे बराबर, विपरीत और एक ही रेखा पर हों, इसलिए $R$ केंद्र से गुज़रने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा के अनुदिश सीधे ऊपर है, और वहाँ लगता है जहाँ वह ऊर्ध्वाधर रेखा आधार को काटती है।

वह बिंदु खोजने के लिए केंद्र से शुरू करें, जो निचले किनारे से आधार के अनुदिश $w/2$ पर और आधार के $h/2$ ऊपर है। केंद्र से गुज़रने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा अभिलंब से $\theta$ कोण पर झुकी है, इसलिए ऊँचाई $h/2$ तक नीचे उतरते हुए वह ढलान की ओर $(h/2)\tan \theta$ खिसक जाती है। अतः वह आधार को उसके मध्य-बिंदु से ढलान की ओर $(h/2)\tan \theta$ पर काटती है, और निचले किनारे से
$d=\frac{w}{2}-\frac{h}{2}\tan \theta$
दूरी पर, जो चित्र 4 में $d$ से दर्शाई गई है। ढलान जितनी तीखी होगी, $d$ उतना घटेगा। संपर्क-बल आधार के बाहर कार्य नहीं कर सकता, इसलिए जब $d$ शून्य होता है, तो वह केंद्र के नीचे नहीं टिक सकता, और बक्सा अपने निचले किनारे पर पलट जाता है:
$\tan \theta =\frac{w}{h}\text{(tipping of a uniform crate on a ramp)}$

फिसलने का हाल उसी चित्र से पढ़ा जाता है। $R$ ऊर्ध्वाधर है, और अभिलंब ऊर्ध्वाधर से $\theta$ पर झुका है, इसलिए $R$ अभिलंब से $\theta$ पर झुका है: चित्र 4 में $R$ और डैश वाले अभिलंब के बीच अंकित कोण। इसलिए उसके घर्षण भाग और अभिलंब भाग का अनुपात $\tan \theta$ है, और स्थैतिक घर्षण यह तभी दे सकता है जब $\mu \ge \tan \theta$ हो, जहाँ $\mu$ स्थैतिक घर्षण-गुणांक है। दोनों सीमाओं की तुलना करें: यदि $w/h<\mu$ है, तो बक्सा पहले पलटेगा; और यदि $\mu <w/h$ है, तो पहले फिसलेगा।

0.45 m चौड़ी और 1.30 m ऊँची फ़ाइलिंग कैबिनेट के लिए $w/h\approx 0.35$ है। रबर पर, $\mu \approx 0.8$ के साथ, यह 19.1° पर पलटती है; गीली प्लास्टिक ढलान पर, $\mu =0.20$ के साथ, यह पहले फिसलती है, 11.3° पर। असमान वस्तु के लिए $w/2$ और $h/2$ के स्थान पर उसके द्रव्यमान-केंद्र की निचले किनारे और ढलान से वास्तविक दूरियाँ लीजिए। नीचा द्रव्यमान-केंद्र $d$ को धीरे-धीरे घटाता है, इसीलिए भारी सामान नीचे लादा जाता है।

वैधता की सीमाएँ

यहाँ सब कुछ दृढ़ पिंडों की कल्पना पर आधारित है। असली शहतीर मुड़ते हैं, और स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य संरचना में हुक के नियम के ज़रिए विरूपण ही बलों को तय करते हैं। स्थैतिक घर्षण एक असमिका है, $f\le \mu N$: समीकरण वस्तु को आवश्यक घर्षण देते हैं, और असमिका केवल बताती है कि सतहें उसे दे सकती हैं या नहीं।

भार को द्रव्यमान-केंद्र पर रखने के लिए भी एकसमान क्षेत्र चाहिए। गुरुत्व ऊँचाई $y$ के साथ लगभग $2y/R_{\mathrm{E}}$ के अंश से कमज़ोर होता है, जहाँ $R_{\mathrm{E}}$ पृथ्वी की त्रिज्या है। $H=800\mathrm{m}$ ऊँचे एकसमान स्तंभ में गुरुत्व-केंद्र, यानी वह बिंदु जहाँ भार प्रभावी रूप से कार्य करता है, द्रव्यमान-केंद्र से $H^2/(6R_{\mathrm{E}})\approx 1.7\mathrm{cm}$ नीचे होता है: इमारतों के लिए यह नगण्य है। कक्षा में वही प्रवणता एक लंबे उपग्रह को पृथ्वी की ओर इंगित करने के लिए घुमा देती है, और ज्वारीय बल-आघूर्णों ने चंद्रमा को उसका एक ही पृष्ठ हमारी ओर रखने के लिए घुमा दिया है।

अंत में, स्थैतिकी धीमे परिवर्तन की सीमा है। डिब्बे को अचानक खिसकाएँ, तो शहतीर आगे निकल जाता है और झूलता है; तब “घूर्णी गतिकी और बल-आघूर्ण” का $\tau =I\alpha$ आगे का काम संभालता है।

इसके आगे

आभासी कार्य “सरल मशीनें: उत्तोलक, घिरनी और गियर” की हर आदर्श मशीन को चलाता है, और झुकते शहतीर “प्रत्यास्थता: हुक का नियम, प्रतिबल और विकृति” तक ले जाते हैं। स्थायी संतुलन वही है जहाँ “सरल आवर्त गति” शुरू होती है: थोड़ा विस्थापित होने पर वस्तु उसके चारों ओर ${\omega }^2=(d^{2}U/d{\theta }^2)/I$ के साथ दोलन करती है, जहाँ $I$ कील के सापेक्ष उसका जड़त्व-आघूर्ण है। द्रव भी स्थैतिकी का पालन करते हैं: “उत्प्लावन और आर्किमिडीज़ का सिद्धांत” में जब जहाज़ झुकता है, तो उसका भार और उत्प्लावन बल मिलकर एक प्रत्यानयन-युग्म बनाते हैं, जिससे जहाज़ सीधा रहता है। जब बल-आघूर्ण निरस्त नहीं होते, तब वस्तु घूमने लगती है, जो “कोणीय संवेग और उसका संरक्षण” का विषय है। आवेशों की भी अपनी स्थैतिकी है, “विद्युत क्षेत्र और विभव” में, जिसमें एक मोड़ है: अकेले स्थिरविद्युत बल कभी किसी आवेश को स्थायी संतुलन में नहीं रख सकते (अर्नशॉ प्रमेय)।