Machines simples : leviers, poulies et engrenages

Débutant

Comment une seule personne peut-elle soulever une voiture avec un cric, ou arracher un clou avec un marteau arrache-clou ? Grâce aux machines simples : leviers, poulies, plans inclinés, treuils, vis et engrenages. Voyons pas à pas ce qu'elles font.

Étape 1. Une machine change la force nécessaire. Un pied-de-biche permet à votre main d'appuyer doucement sur le long bras pendant que le bras court soulève une lourde pierre.

Étape 2. Rien n'est gratuit. Les physiciens mesurent le travail par force × distance, et une machine ne peut pas rendre plus de travail qu'on ne lui en fournit. Si elle réduit la force, elle allonge donc la distance : poussez avec quatre fois moins de force, et vous devrez pousser sur une distance quatre fois plus grande.

Étape 3. Les poulies le montrent très bien. Dans l'animation, une même corde fait des allers-retours entre une moufle fixe en haut et une moufle mobile qui porte la caisse. Quatre brins, numérotés de 1 à 4, tiennent la moufle mobile : ils se partagent le poids de la caisse, et votre main ne tire qu'avec le quart de ce poids. Comparez la courte barre rouge « votre traction » à la barre violette du poids. Mais pour monter la caisse de 1 m, chaque brin doit raccourcir de 1 m : 4 m de corde passent dans votre main, et la barre dorée grandit quatre fois plus vite que la verte.

Étape 4. Un plan incliné, c'est la même astuce : pousser une caisse sur une pente longue et douce demande moins de force que la soulever à la verticale, mais sur un trajet plus long.

Testez-vous : une rampe lisse de 4 m de long monte de 1 m. Quelle poussée fait monter une caisse de 400 N ? (100 N : quatre fois la distance, un quart de la force.)

Les vraies machines font un peu moins bien que cet idéal : les frottements dans les poulies et les axes changent une partie de votre effort en chaleur, et il faut toujours tirer un peu plus fort.

Intermédiaire

Ce qu'une machine change, et ce qu'elle ne change pas

Une machine simple reçoit la force que vous exercez, l'effort $F_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}$, dont le point d'application parcourt une distance $d_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}$, et elle agit sur une charge avec une force $F_{\mathrm{sortie}}$ sur une distance $d_{\mathrm{sortie}}$ ; pour un levage régulier, $F_{\mathrm{sortie}}$ est le poids de la charge, $mg$. Deux nombres sans dimension la décrivent : l'avantage mécanique, mesuré sur la machine réelle, et l'avantage mécanique idéal, que fixe la seule géométrie.

• $\mathrm{AM}=\frac{F_{\mathrm{sortie}}}{F_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}}$
• $\mathrm{AMI}=\frac{d_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}}{d_{\mathrm{sortie}}}$

Une machine n'a aucune source d'énergie propre. Sans frottements, le travail fourni est égal au travail restitué, $W_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}=W_{\mathrm{sortie}}$, donc $F_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}{d}_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}=F_{\mathrm{sortie}}{d}_{\mathrm{sortie}}$ et $\mathrm{AM}=\mathrm{AMI}$ : la force est multipliée exactement autant que la distance est divisée. Avec des frottements, une partie du travail fourni se change en chaleur $Q$, donc $W_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}=W_{\mathrm{sortie}}+Q$, et le rendement
$\eta =\frac{W_{\mathrm{sortie}}}{W_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}}=\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AMI}}$
est inférieur à 1. Les frottements modifient les forces mais pas les distances : le rapport des travaux est donc le rapport de $\mathrm{AM}$ à $\mathrm{AMI}$.

Les poulies : comptez les brins porteurs

Une poulie est une roue à gorge, le réa, qui tourne librement sur son axe : la tension $T$ de la corde est donc la même de part et d'autre. Une poulie fixe seule ne fait que renvoyer la traction, avec $\mathrm{AM}=1$, bien qu'il soit plus facile de tirer vers le bas, aidé par votre propre poids.

Un palan fait aller et venir une même corde entre une moufle fixe, en haut, et une moufle mobile qui porte la charge. Si $n$ brins soutiennent la moufle mobile, ils se partagent la charge, $nT=mg$, et la traction sur le brin libre vaut $F=T=mg/n$. La géométrie le confirme : quand la moufle inférieure monte de $h$, chaque brin raccourcit de $h$, et la corde en trop, $d=nh$, ressort par votre main. Ne comptez que les brins attachés à la moufle mobile. Les frottements augmentent la traction du facteur $1/\eta$ :
$\text{Palan}:d=nh,F=\frac{mg}{n\eta }$

Exemple résolu : le palan de l'animation

La caisse de 40 kg pèse $mg=40\cdot 9,81=392,4\mathrm{N}$, et les quatre brins numérotés dans la vue débutant portent la moufle inférieure : $n=4$ et, dans la machine idéale de ce niveau,
$T=F=\frac{mg}{n}=\frac{392,4}{4}=98,1\mathrm{N}$

Chaque flèche bleue $T$ sur les brins a cette longueur, tout comme la flèche rouge $F$ à la main. La caisse monte de $h=1,00\mathrm{m}$ à 0,25 m/s tandis que la main tire $d=4\cdot 1,00=4,00\mathrm{m}$ de corde à 1 m/s, le long de la ligne dorée en pointillés. Les deux travaux valent
$W_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}=Fd=98,1\cdot 4,00=392,4\mathrm{J}$
$W_{\mathrm{sortie}}=mgh=392,4\cdot 1,00=392,4\mathrm{J}$

Ce sont les valeurs finales des deux affichages, qui montent ensemble. La première ligne du panneau, $\mathrm{AM}=mg/F=d/h=4$, résume tout : un quart de la force, quatre fois la distance, le même travail.

Lire le montage : flèches, barres et plafond

La barre rouge de la traction vaut le quart de la barre violette du poids, tandis que la barre dorée de la corde grandit quatre fois plus vite que la barre verte de la hauteur. Voyez chaque travail comme l'aire d'un rectangle, force fois distance : bas et large pour la main, haut et étroit pour la caisse, avec la même aire.

Les flèches forment un diagramme des forces de la moufle inférieure : quatre flèches $T$ la tirent vers le haut et le poids la tire vers le bas, donc $4T=mg$. La moufle supérieure est tirée vers le bas par les quatre brins et aussi par le brin libre, puisque vous tirez vers le bas : le plafond doit supporter $5T=490,5\mathrm{N}$, soit $mg+F$, plus que la caisse seule.

Leviers, engrenages et plans inclinés

Un levier est une barre rigide qui tourne autour d'un point fixe, l'appui. Pour une petite rotation, chaque point se déplace proportionnellement à sa distance à l'appui ; les bras $L_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}$ et $L_{\mathrm{sortie}}$, tous deux mesurés depuis l'appui, donnent donc $\mathrm{AMI}=L_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}/L_{\mathrm{sortie}}$, et les moments des forces se compensent :
$\text{Levier}:F_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}{L}_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}=F_{\mathrm{sortie}}{L}_{\mathrm{sortie}}$

Ce qui se trouve au milieu détermine le genre : l'appui au premier genre (pied-de-biche, ciseaux), la charge au deuxième (brouette, casse-noix ; toujours $\mathrm{AM}>1$), l'effort au troisième (pince à épiler, votre avant-bras ; toujours $\mathrm{AM}<1$, on échange de la force contre de la vitesse et de la portée). Un treuil (roue et axe) est un levier qui ne cesse de tourner : une manivelle de rayon $R$ sur un tambour de rayon $r$ a $\mathrm{AMI}=R/r$.

Les engrenages sont des roues dentées dont toutes les dents ont la même taille : le nombre de dents $N$ est donc proportionnel au rayon :
$\text{Engrenages}:\frac{{\tau }_{\mathrm{sortie}}}{{\tau }_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}}=\frac{{\omega }_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}}{{\omega }_{\mathrm{sortie}}}=\frac{N_{\mathrm{sortie}}}{N_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}}$
Ici, $\tau$ est le couple, en N·m, et $\omega$ la vitesse de rotation. Dans l'encadré de la vue experte, un pignon de 8 dents entraîne une roue de 24 dents : un tiers de la vitesse, trois fois le couple.

Un plan incliné lisse de longueur $s$ qui s'élève de $h$ ne demande, le long de la pente, qu'une poussée $mgh/s$, donc $\mathrm{AMI}=s/h$ : une rampe de 4 m qui monte de 1 m, c'est le palan de l'animation sous une autre forme.

Exemple résolu : un treuil à main à engrenages

Un treuil de chantier soulève une palette de carreaux de 150 kg. Sa manivelle de 0,25 m fait tourner un pignon de 10 dents, qui entraîne une roue de 40 dents calée sur l'arbre d'un tambour de rayon 0,050 m. Le rendement est de 75 %. Quelle force devez-vous exercer sur la poignée ?

La manivelle et le tambour forment un treuil de facteur $0,25/0,050=5$, et les engrenages ajoutent $40/10=4$. Les rapports se multiplient le long d'une chaîne de machines : $\mathrm{AMI}=5\cdot 4=20$, et
$\mathrm{AM}=\eta \mathrm{AMI}=0,75\cdot 20=15$
$F_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}=\frac{mg}{\mathrm{AM}}=\frac{150\cdot 9,81}{15}=\frac{1471,5}{15}=98,1\mathrm{N}$

Vérifiez avec les distances : un tour de tambour enroule $2\pi \cdot 0,050=0,314\mathrm{m}$ de corde et demande quatre tours de manivelle, soit $4\cdot 2\pi \cdot 0,25=6,28\mathrm{m}$ de course de la main, vingt fois plus. Un levage de 1 m coûte $98,1\cdot 20=1962\mathrm{J}$ pour 1471,5 J restitués ; les 490,5 J restants échauffent les engrenages et les paliers.

Erreurs fréquentes

• Compter toutes les longueurs de corde. Le cinquième brin vertical de l'animation va de la moufle supérieure à votre main et ne soutient rien : $n=4$, et diviser par 5 donnerait 78,5 N.
• Croire qu'une machine économise du travail. Elle économise de la force, jamais du travail : le palan réel de la vue experte demande 490,5 J pour en restituer 392,4.
• Mesurer les bras de levier depuis la charge. Un pied-de-biche de 1,5 m dont l'appui est à 0,10 m de la pointe a des bras de 1,40 m et de 0,10 m, donc $\mathrm{AM}=14$, et non 15.
• Prendre les pertes pour une part du travail utile. Avec $\eta =0,80$, le palan demande $392,4/0,80=490,5\mathrm{J}$ : la chaleur, 98,1 J, vaut un cinquième du travail fourni, et non 20 % du travail utile.
• Juger inutile une machine telle que $\mathrm{AM}\le 1$. Une poulie fixe change la direction de la traction, et une pince à épiler échange de la force contre la finesse du mouvement.

Où on le rencontre

Sur un vélo, un plateau de 48 dents qui entraîne un pignon de 16 dents fait tourner la roue trois fois par tour de pédalier : ce sont des engrenages utilisés dans l'autre sens, pour gagner en vitesse. Votre avant-bras est un levier du troisième genre : le biceps tire à environ 4 cm du coude et la main se trouve à 35 cm, si bien que tenir un poids de 50 N demande environ 440 N de force musculaire.

La presse hydraulique, étudiée dans Pression dans les fluides et principe de Pascal, est une machine dont l'avantage est un rapport d'aires de pistons ; les transformateurs, vus dans Moteurs, générateurs et transformateurs, échangent de la tension contre du courant comme les engrenages échangent du couple contre de la vitesse ; et le rendement revient, avec une limite plus stricte, dans Premier principe de la thermodynamique et moteurs thermiques.

Avancé

Pourquoi toute machine idéale obéit à la même règle

Leviers, poulies, engrenages et plans inclinés ne se ressemblent en rien, et pourtant tous échangent de la force contre de la distance dans la même proportion. Cette section montre pourquoi, par un raisonnement qui n'utilise aucune force, seulement le fait que le mouvement perpétuel est impossible.

Appelons réversible une machine qui, sans frottements, fonctionne à l'envers aussi facilement qu'à l'endroit : tout ce qu'elle fait dans un sens, elle peut le défaire dans l'autre. Prenons maintenant deux machines réversibles. Chacune est actionnée par la descente d'un même poids de 100 N sur 1 m et s'en sert pour soulever une même charge. La première la soulève de $x_1$, la seconde de $x_2$, et supposons que $x_2>x_1$.

Faites fonctionner la seconde machine à l'endroit : le poids descend de 1 m et la charge monte de $x_2$. Puis faites fonctionner la première à l'envers : elle fait redescendre la charge de $x_1$ et, ce faisant, remonte de 1 m le poids de 100 N. Le poids est revenu à son point de départ et les deux machines sont dans leur état initial, mais la charge se trouve $x_2-x_1$ plus haut qu'avant. Répétez le cycle et vous soulevez la charge pour rien, autant de fois que vous le voulez.

Un tel mouvement perpétuel n'est jamais observé, donc l'hypothèse était fausse : $x_2\le x_1$. Le raisonnement marche tout aussi bien en échangeant les deux machines, ce qui donne $x_1\le x_2$. Ainsi $x_1=x_2$ : toutes les machines réversibles soulèvent une charge donnée à la même hauteur.

Une seule machine réversible suffit donc pour trouver la règle de toutes, et la plus simple est un levier en équilibre. Inclinez-le légèrement : le poids qui descend d'un côté, multiplié par la hauteur dont il descend, est égal au poids soulevé de l'autre côté, multiplié par la hauteur dont il monte. Une force multipliée par la distance parcourue dans sa direction est le travail $W$ ; pour toute machine réversible, le travail fourni est donc égal au travail restitué, $W_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}=W_{\mathrm{sortie}}$.

Une machine avec frottements n'est pas réversible, et le même raisonnement la limite. Si elle soulevait la charge plus haut qu'une machine réversible, faire tourner la machine réversible à l'envers donnerait de nouveau quelque chose pour rien. Donc $W_{\mathrm{sortie}}\le W_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}$, et le rendement $\eta =W_{\mathrm{sortie}}/W_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}$ vaut au plus 1. Sadi Carnot a employé le même raisonnement en 1824 pour montrer qu'aucun moteur thermique ne fait mieux qu'un moteur réversible fonctionnant entre les deux mêmes températures.

Travaux virtuels : l'avantage tiré de la géométrie

Légende

$F_1$	Effort qui appuie vers le bas au bout du grand bras : la force d'entrée.	$\mathrm{N}$
$F_2$	Charge qui appuie vers le bas au bout du petit bras : la force de sortie.	$\mathrm{N}$
$L_1$	Longueur du bras de l'effort, de l'appui jusqu'à l'effort.	$\mathrm{m}$
$L_2$	Longueur du bras de la charge, de l'appui jusqu'à la charge.	$\mathrm{m}$
$\delta \theta$	Angle minuscule dont le levier bascule, dessiné en grand.	$\mathrm{rad}$
$\delta x_1$	Distance dont descend le bout côté effort : $L_1\delta \theta$.	$\mathrm{m}$
$\delta x_2$	Distance dont monte le bout côté charge : $L_2\delta \theta$.	$\mathrm{m}$

La règle $W_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}=W_{\mathrm{sortie}}$ transforme une question sur les forces d'une machine en une question sur sa géométrie : de combien se déplace chaque extrémité. La figure 1 le montre pour un levier en équilibre. L'effort $F_1$ appuie vers le bas au bout du grand bras $L_1$, et la charge $F_2$ appuie vers le bas au bout du petit bras $L_2$ ; les indices 1 et 2 désignent l'entrée et la sortie.

Imaginez maintenant que le levier bascule d'un angle minuscule $\delta \theta$, dessiné en grand sur la figure pour qu'on le voie. Un point situé à la distance $L$ de l'appui parcourt un arc de longueur $L\delta \theta$ et, pour un angle minuscule, cet arc est un petit pas tout droit vers le haut ou vers le bas. Regardez les deux flèches aux extrémités du levier : le bout côté effort descend de $\delta x_1=L_1\delta \theta$ et le bout côté charge monte de $\delta x_2=L_2\delta \theta$. Leur rapport, $\delta x_1/\delta x_2=L_1/L_2$, vaut 2 sur le dessin et ne dépend que des longueurs des bras.

Appliquons maintenant la règle du travail. Comme le levier est en équilibre, on peut rendre le mouvement aussi lent que l'on veut, si bien qu'il ne lui donne aucune énergie cinétique ; comme le levier est réversible, aucune partie du travail ne se change en chaleur. Tout le travail de l'effort sert donc à soulever la charge :
$F_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}\delta x_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}=F_{\mathrm{sortie}}\delta x_{\mathrm{sortie}}$

Les $\delta x$ sont des déplacements virtuels : imaginés plutôt qu'effectués, et si petits que les forces ne changent pas pendant qu'ils se produisent. Seul leur rapport compte, et ce sont les liaisons de la machine qui le fixent, ici le levier rigide qui tourne autour de son appui. Pour le levier, le bilan s'écrit $F_1\delta x_1=F_2\delta x_2$. Remplacez-y les deux déplacements : $\delta \theta$ se simplifie, et il reste l'équilibre des moments bien connu, $F_1{L}_1=F_2{L}_2$.

C'est le principe des travaux virtuels, et il donne l'avantage d'une machine sans le moindre diagramme des forces. Deux rapports décrivent toute machine : l'avantage mécanique $\mathrm{AM}=F_{\mathrm{sortie}}/F_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}$, le facteur par lequel elle multiplie la force, et l'avantage mécanique idéal $\mathrm{AMI}=\delta x_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}/\delta x_{\mathrm{sortie}}$, le rapport des distances parcourues. D'après les travaux virtuels, les deux sont égaux pour une machine réversible ; pour le levier, tous deux valent $L_1/L_2$. Avec frottements, $\eta =W_{\mathrm{sortie}}/W_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}=\mathrm{AM}/\mathrm{AMI}$.

Le palan : une corde de longueur fixe

Légende

$y$	Distance de la moufle supérieure à l'inférieure : la longueur de chaque brin porteur.	$\mathrm{m}$
$\ell$	Longueur de corde entre la moufle supérieure et la main.	$\mathrm{m}$
$n$	Nombre de brins qui soutiennent la moufle inférieure, ici 4.
$\delta h$	Hauteur dont la charge est soulevée.	$\mathrm{m}$
$n\delta h$	Distance dont la main descend : $n$ fois $\delta h$.	$\mathrm{m}$

Un palan, l'appareil de levage de l'animation, garde sa géométrie dans sa corde. La corde ne s'allonge pas, et ce seul fait fixe la longueur que la main doit tirer. Sur la figure 2, la moufle inférieure, qui porte la caisse, pend à la distance $y$ sous la moufle supérieure, suspendue à $n=4$ brins de longueur $y$ chacun, et $\ell$ est la longueur de corde entre la moufle supérieure et la main.

La corde des $n$ brins plus celle du brin libre forment toute la corde, dont la longueur ne change donc pas :
$ny+\ell =\mathrm{const},\delta \ell =-n\delta y$

Soulevez maintenant la charge de $\delta h$ : la moufle inférieure remonte et $\delta y=-\delta h$ ; les cadres en pointillés montrent où se trouvaient la caisse et la main auparavant. Chacun des $n$ brins est désormais plus court de $\delta h$. La corde qu'ils libèrent, $n\delta h$ en tout, passe dans le brin libre, $\delta \ell =n\delta h$, si bien que la main descend de $n\delta h$, la longue flèche de droite.

Les travaux virtuels donnent alors la traction. La force $F$ de la main agit sur $n\delta h$ tandis que le poids $mg$ monte de $\delta h$, donc $Fn\delta h=mg\delta h$ et $F=mg/n$ : l'$\mathrm{AMI}$ vaut $n$, le nombre de brins qui soutiennent la moufle inférieure. En divisant les deux distances par la durée, on obtient les vitesses, $v_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}=n{v}_{\mathrm{sortie}}$ : dans l'animation, 1 m/s à la main et 0,25 m/s à la caisse.

Engrenages et plan incliné, même règle

Le même raisonnement s'applique aux machines qui tournent ou qui glissent. Deux engrenages en prise ont des dents qui se touchent et avancent ensemble, si bien que leurs pourtours défilent à la même vitesse : ${\omega }_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}{r}_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}={\omega }_{\mathrm{sortie}}{r}_{\mathrm{sortie}}$, où $\omega$ est la vitesse angulaire et $r$ le rayon. Les dents ont le même espacement sur les deux roues, donc chaque rayon est proportionnel à son nombre de dents, et les vitesses angulaires sont dans le rapport inverse des nombres de dents.

Pour un plan incliné, prenez un bloc de masse $M$ sur une pente sans frottements de longueur $s$ et de hauteur $h$, relié par une corde passant sur une poulie au sommet à une masse suspendue $M^{\prime }$. Quand $M^{\prime }$ descend de $s$, elle tire le bloc sur toute la longueur de la pente et le soulève donc de $h$. Le bilan de travail $M^{\prime }gs=Mgh$ indique que les deux s'équilibrent quand $M^{\prime }s=Mh$ : pour une pente de 4 m qui s'élève de 1 m, un quart de $M$ suffit. Simon Stevin a obtenu de tels résultats en 1586 d'une autre façon : une boucle fermée de chaîne posée sur un bloc triangulaire ne se met jamais à tourner d'elle-même, ce qui est encore l'impossibilité du mouvement perpétuel.

Les pertes, réa par réa

Légende

$F$	Traction de la main sur le brin libre de la corde.	$\mathrm{N}$
$T_4$	Tension du brin voisin de la main : ${\eta }_{s}F$.	$\mathrm{N}$
$T_3$	Tension du deuxième brin à partir de la main : ${\eta }_s^{2}F$.	$\mathrm{N}$
$T_2$	Tension du troisième brin à partir de la main : ${\eta }_s^{3}F$.	$\mathrm{N}$
$T_1$	Tension du quatrième brin, attaché à la moufle supérieure : ${\eta }_s^{4}F$.	$\mathrm{N}$
${\eta }_s$	Fraction de la tension reçue qu'un réa transmet ; inférieure à 1 à cause des frottements.
$mg$	Poids de la charge, soutenu par les quatre brins ensemble.	$\mathrm{N}$

Jusqu'ici, toutes les machines étaient réversibles. Les vraies poulies ont des frottements dans leurs paliers, et cette section calcule ce qu'ils coûtent et où ce coût apparaît. La figure 3 étale en ligne droite la corde du palan de l'animation et dessine toutes les tensions à la même échelle : la traction $F$ de la main en haut, puis les quatre brins, de $T_4$, à côté de la main, jusqu'à $T_1$, le brin attaché à la moufle supérieure.

Le modèle est simple. Chaque réa, la roue à gorge d'une poulie, ne transmet qu'une fraction ${\eta }_s$ de la tension qu'il reçoit, un peu inférieure à 1, et le travail perdu échauffe son palier. Chaque flèche de la figure vaut donc ${\eta }_s$ fois celle du dessus, comme l'indiquent les étiquettes ${\eta }_s$ placées entre elles.

Remontez la corde depuis la main. Elle passe sur un réa avant le premier brin, qui porte donc $T_4={\eta }_{s}F$. Un réa de plus donne $T_3={\eta }_s^{2}F$, et ainsi de suite jusqu'au brin attaché, avec $T_1={\eta }_s^{n}F$. Ensemble, les brins soutiennent la charge, ce que montre la barre du bas en mettant les quatre flèches bout à bout face à $mg$. Leur somme est une série géométrique :
$mg=F\left({\eta }_s+{\eta }_s^2+\dots +{\eta }_s^n\right)=F\frac{{\eta }_s(1-{\eta }_s^n)}{1-{\eta }_s}$

Faites maintenant intervenir le rendement $\eta$ du palan entier. Son $\mathrm{AMI}$ vaut toujours $n$, donc $\mathrm{AM}=n\eta$ et $F=mg/(n\eta )$. Reportez cela dans la somme, et la charge se simplifie :
$n\eta =\frac{{\eta }_s(1-{\eta }_s^n)}{1-{\eta }_s}$

Pour l'animation, $\eta =0,80$ et $n=4$ imposent ${\eta }_s+{\eta }_s^2+{\eta }_s^3+{\eta }_s^4=3,2$, d'où ${\eta }_s\approx 0,913$. La caisse de 40 kg pèse 392,4 N, donc la traction vaut $F=392,4/3,2=122,6\mathrm{N}$. Les tensions des brins, de $T_1$ à $T_4$, valent 85,1 ; 93,2 ; 102,2 et 111,9 N, et leur somme fait exactement 392,4 N : sur la figure, les flèches bleues s'allongent vers la main, et la flèche rouge $F$ est la plus longue de toutes. L'$\mathrm{AM}$ réel vaut $n\eta =3,2$ alors que l'$\mathrm{AMI}$ vaut toujours 4, car les frottements changent les forces mais pas la géométrie.

Lire le graphe d'énergie

Légende

$t$	Temps écoulé depuis le début.	$\mathrm{s}$
$W$	Travail effectué jusque-là.	$\mathrm{J}$
$W_1$	Travail fourni : la traction de la main multipliée par la longueur de corde tirée, $Fd$.	$\mathrm{J}$
$W_2$	Travail restitué : l'énergie potentielle gagnée par la charge, $mgh$.	$\mathrm{J}$
$Fd$	Travail fourni à la fin du levage.	$\mathrm{J}$
$mgh$	Travail restitué à la fin du levage.	$\mathrm{J}$
$t_1$	Instant où la caisse commence à monter.	$\mathrm{s}$
$t_2$	Instant où la caisse cesse de monter.	$\mathrm{s}$
$\Delta t$	Un court intervalle de temps.	$\mathrm{s}$
$\Delta W_1$	Travail fourni pendant $\Delta t$.	$\mathrm{J}$
$\Delta W_2$	Travail restitué pendant $\Delta t$.	$\mathrm{J}$
$Q$	Chaleur produite par les frottements dans les réas : l'écart final entre les deux travaux.	$\mathrm{J}$

On peut aussi regarder le bilan de travail se réaliser. La figure 4 trace les deux travaux en fonction du temps pendant le levage, les indices 1 et 2 désignant de nouveau l'entrée et la sortie. Le travail fourni est $W_1=W_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}(t)=Fd(t)$, où $d$ est la longueur de corde que la main a déjà tirée, et le travail restitué est $W_2=W_{\mathrm{sortie}}(t)=mgh(t)$, où $h$ est la hauteur dont la caisse est montée.

Lisez le graphe de gauche à droite. Rien ne se passe avant $t_1=0,4$ s. Ensuite, la caisse monte à vitesse constante, et les deux travaux croissent donc selon des droites. À $t_2=4,4$ s, le levage s'arrête : la main a tiré 4 m de corde et la caisse est 1 m plus haut. Les droites deviennent horizontales à $Fd=490,5\mathrm{J}$ et $mgh=392,4\mathrm{J}$.

Chaque pente est une puissance, le rythme auquel le travail est fourni. Regardez les deux petits triangles : sur le même intervalle $\Delta t$, la droite d'entrée monte de $\Delta W_1$ et celle de sortie de $\Delta W_2$. La main tire avec 122,6 N à 1 m/s, une puissance d'entrée de 122,6 W, tandis que la caisse gagne de l'énergie potentielle au rythme de $392,4\cdot 0,25=98,1\mathrm{W}$. Le rapport des pentes vaut 0,80 à chaque instant, $\Delta W_2/\Delta W_1=\eta$ : le rendement est donc aussi le rapport de la puissance de sortie à la puissance d'entrée.

L'écart ombré entre les droites est le travail perdu en frottements jusque-là. Il s'élargit au rythme de $122,6-98,1=24,5\mathrm{W}$ et finit à $Q=490,5-392,4=98,1\mathrm{J}$, l'accolade à droite de la figure et la valeur affichée pour la chaleur dans l'animation. Après $t_2$, les deux droites sont horizontales, car une machine arrêtée ne fournit aucun travail, aussi fort qu'on la retienne.

Plus de brins, trains d'engrenages et autoblocage

Le modèle des pertes répond à trois questions pratiques : si ajouter des brins aide toujours, comment les pertes s'accumulent le long d'un train d'engrenages, et pourquoi certaines machines retiennent leur charge d'elles-mêmes.

Ajouter des brins n'aide pas sans limite. Quand $n$ augmente, ${\eta }_s^n\to 0$, donc l'$\mathrm{AM}$ réel, $\mathrm{AM}={\eta }_s(1-{\eta }_s^n)/(1-{\eta }_s)$, plafonne à ${\eta }_s/(1-{\eta }_s)\approx 10,5$. Passer de 4 à 8 brins ne le fait monter que de 3,2 à 5,4, tandis que $\eta$ tombe de 0,80 à 0,68. La figure 3 en montre la raison : chaque brin supplémentaire est plus loin de la main et porte moins de tension que le précédent.

Des engrenages idéaux transmettent la puissance sans la changer, ${\tau }_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}{\omega }_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}={\tau }_{\mathrm{sortie}}{\omega }_{\mathrm{sortie}}$, où $\tau$ est le moment de force : une roue qui tourne trois fois plus lentement tourne avec un moment trois fois plus grand. Dans l'encadré de l'animation, un pignon de 8 dents entraîne une roue de 24 dents ; le pignon tourne de 270° pendant que la roue tourne de 90°, et ${\tau }_2=3{\tau }_1$, l'indice 1 désignant le pignon et 2 la roue. Le long d'un train d'engrenages, les rapports des étages se multiplient, deux étages de 1 : 3 donnant 1 : 9, et les rendements aussi. Un bon étage ne perd que quelques pour cent, si bien que deux étages à 0,98 transmettent encore 96 %.

Un cric à vis ou une vis sans fin doit retenir sa charge quand vous lâchez ; on dit qu'une telle machine est autobloquante. Pour voir quand cela se produit, supposez que les frottements coûtent la même chaleur $Q$ quel que soit le sens de marche. Le levage demande alors $W_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}=W_{\mathrm{sortie}}+Q$. Si la charge essayait d'entraîner la machine à l'envers, en descendant elle ne fournirait que $W_{\mathrm{sortie}}$ mais devrait quand même payer $Q$ ; elle ne le peut pas, et reste donc en place, si $W_{\mathrm{sortie}}\le Q$. En termes de rendement au levage, cela s'écrit $\eta =W_{\mathrm{sortie}}/(W_{\mathrm{sortie}}+Q)\le 0,5$.

Un cric de voiture donne des chiffres. Avec une manivelle de 0,20 m, un tour fait parcourir à la main un cercle de $2\pi \cdot 0,20=1,26\mathrm{m}$, tandis qu'une vis qui avance de 2,0 mm par tour soulève la voiture de 0,0020 m, donc $\mathrm{AMI}=2\pi \cdot 0,20/0,0020\approx 630$. Avec $\eta =0,30$, l'$\mathrm{AM}$ réel vaut environ 190, et environ 21 N sur la manivelle soulèvent 4000 N. Comme 0,30 est inférieur à un demi, la voiture reste en l'air quand vous lâchez.

Problème résolu : la descente de la caisse

Faites fonctionner le palan de l'animation à l'envers : descendez la caisse de 40 kg de 1 m à vitesse constante, avec ${\eta }_s=0,9127$ à chaque réa. Avec quelle force la main doit-elle retenir la corde, et où va l'énergie ?

D'abord, dans quel sens agissent les frottements ? La corde va maintenant de la main vers le palan, et à chaque réa les frottements s'opposent toujours à son mouvement. À chaque réa, la tension du côté vers lequel la corde avance doit donc être la plus grande : elle vaut $1/{\eta }_s$ fois la tension du côté de la main. Le brin voisin de la main porte $F/{\eta }_s$, le suivant $F/{\eta }_s^2$, et ainsi de suite jusqu'à $F/{\eta }_s^4$ dans le brin attaché. Ensemble, ils soutiennent toujours la charge :
$mg=F\left(\frac{1}{{\eta }_s}+\frac{1}{{\eta }_s^2}+\frac{1}{{\eta }_s^3}+\frac{1}{{\eta }_s^4}\right)=5,052F$
$F=\frac{392,4}{5,052}=77,67\mathrm{N}$

Ces tensions sont les quatre valeurs du levage dans l'ordre inverse, de 111,9 N dans le brin attaché à 85,1 N à côté de la main. La force de retenue vaut ${\eta }_s^5$ fois la force de levage, environ 63 % de celle-ci : les frottements aident maintenant la main au lieu de la contrarier.

Passons à l'énergie. La caisse qui descend libère $mgh=392,4\mathrm{J}$. La main laisse filer 4 m de corde en résistant avec 77,67 N : elle absorbe donc $77,67\cdot 4,00=310,7\mathrm{J}$, et les réas transforment les $392,4-310,7=81,7\mathrm{J}$ restants en chaleur.

Si les paliers accrochent à peu près autant au repos qu'en mouvement, toute traction comprise entre 77,7 N et 122,6 N maintient la caisse immobile : en dessous, elle descend ; au-dessus, elle monte. Mais la force de retenue n'atteint jamais zéro. Avec un rendement au levage de 0,80, bien supérieur à un demi, le palan n'est pas autobloquant, et si vous lâchez, la caisse dévale.

Limites de validité

Tous les résultats ci-dessus reposent sur des idéalisations : une corde sans masse et inextensible, des réas sans poids, des leviers rigides, et un mouvement lent et régulier. Chacune peut être levée, et le bilan de travail montre ce qui change alors.

Une moufle inférieure de 2,0 kg est soulevée avec la caisse : elle ajoute 19,6 N à la charge et fait passer la traction idéale de 98,1 N à 103,0 N. Accélérer la caisse vers le haut à 0,5 m/s² exige une force nette vers le haut, $nT=m(g+a)$, soit 103,1 N par brin, et le travail supplémentaire devient de l'énergie cinétique plutôt que de la hauteur. Une vraie corde s'allonge aussi, et les paliers ont une perte qui ne croît pas avec la charge, si bien qu'un palan peu chargé fait moins bien que ne le prévoit un ${\eta }_s$ constant.

Le bilan de travail lui-même est la conservation de l'énergie, et on ne l'a jamais vu en défaut. Ce qui change aux très petites échelles, c'est la régularité de la marche. Une protéine motrice, la kinésine, avance le long d'un filament à l'intérieur d'une cellule par pas de 8 nm et cale face à une charge d'environ 6 pN. Elle fournit donc au plus $(6\times 10^{-12}\mathrm{N})(8\times 10^{-9}\mathrm{m})\approx 4,8\times 10^{-20}\mathrm{J}$ de travail par pas, seulement environ 11 fois l'énergie thermique $kT\approx 4,3\times 10^{-21}\mathrm{J}$ à la température du corps, où $k$ est la constante de Boltzmann et $T$, ici, la température absolue. Chaque pas consomme une molécule d'ATP, qui vaut environ le double de ce travail, et les chocs thermiques aléatoires forment une grande part du mouvement. À cette échelle, le bilan n'est vrai qu'en moyenne, et c'est le second principe qui décide dans quel sens la machine peut fonctionner.

Ce qui vient ensuite

Les travaux virtuels sont un raccourci vers les équilibres de moments de la leçon Équilibre statique et leviers, et la leçon Dynamique de rotation et moment de force fournit le moment de force et la puissance $P=\tau \omega$ que transmet une paire d'engrenages. La presse hydraulique de la leçon Pression dans les fluides et principe de Pascal a un avantage idéal égal à un rapport d'aires : 100 pour des pistons de 2 cm et de 20 cm de diamètre. Les transformateurs, dans Moteurs, générateurs et transformateurs, multiplient la tension par leur rapport des nombres de spires et divisent le courant par ce même rapport, en transmettant la puissance comme le font les engrenages. L'allongement de la corde relève de la leçon Élasticité : loi de Hooke, contrainte et déformation. Le raisonnement des machines réversibles revient dans Premier principe de la thermodynamique et moteurs thermiques et dans Le second principe de la thermodynamique et l'entropie, où il plafonne le rendement de tout moteur thermique.