अवमंदन और अनुनाद

वास्तविक दोलन क्यों शांत होते हैं, $A = A_{0} e^{- βt}$ ; अवमंदन लघु से क्रांतिक $b_{c} = 2 km$ होते हुए गुरु तक कैसे बदलता है; और लय में दिए गए छोटे धक्के आयाम $Q F_{0} / k$ वाला अनुनाद कैसे बनाते हैं।

तीन समान स्प्रिंग-ब्लॉक तंत्र, जिनमें लघु, क्रांतिक और गुरु अवमंदन है, नीचे खींचकर छोड़े जाते हैं; एक चौथे स्प्रिंग को उसकी प्राकृत आवृत्ति पर धीरे-धीरे हिलाया जाता है और उसकी उछालें बढ़ती जाती हैं।

इस विषय से पहले: सरल आवर्त गति

शुरुआती

मुख्य विचार

हर झूलने या उछलने वाली वस्तु की एक प्राकृत आवृत्ति होती है, अपनी लय; छोटा पेंडुलम या कड़ा स्प्रिंग तेज़ झूलता है।
घर्षण और हवा का प्रतिरोध हर झूले में थोड़ी ऊर्जा लेकर उसे ऊष्मा में बदलते हैं, इसलिए झूले छोटे होते जाते हैं: यह अवमंदन है।
लघु अवमंदन में कई छोटी होती उछालें बनती हैं; गुरु अवमंदन में कोई उछाल नहीं होती, बस धीरे-धीरे लौटना।
क्रांतिक अवमंदन ठीक उछाल रोकने भर का होता है, इसलिए वस्तु सबसे जल्दी विराम पर आती है, जैसे अच्छा दरवाज़ा-बंद करने वाला उपकरण।
प्राकृत लय के अनुरूप हल्के धक्के मिलकर बड़ी गति बनाते हैं: यही अनुनाद है।

हर चीज़ जो झूल सकती है या उछल सकती है, उसकी एक प्राकृत आवृत्ति होती है: उसकी अपनी लय, यानी अकेला छोड़ने पर हर सेकंड में आगे-पीछे के कितने चक्कर वह लगाती है। छोटा पेंडुलम लंबे से तेज़ झूलता है, और कड़े स्प्रिंग पर लगा ब्लॉक नरम स्प्रिंग पर लगे ब्लॉक से तेज़ उछलता है।

चरण 1: अवमंदन। एक झूला झुलाइए और दूर चले जाइए: हर चक्कर पिछले से थोड़ा छोटा होता है। हवा का प्रतिरोध और घर्षण हर चक्कर में कुछ ऊर्जा लेकर उसे ऊष्मा में बदल देते हैं, और वस्तु जितनी तेज़ चलती है, वे उतना ही अधिक विरोध करते हैं। इस धीरे-धीरे होने वाले क्षय को अवमंदन कहते हैं।

चरण 2: कितना अवमंदन? एनीमेशन में तीन समान ब्लॉक समान स्प्रिंगों से लटके हैं, और तीनों को एक साथ नीचे खींचकर छोड़ा जाता है। बायाँ ब्लॉक हवा में चलता है (लघु अवमंदन) और कई बार उछलता है, हर उछाल छोटी होती जाती है। दायाँ ब्लॉक गाढ़े शीरे में है (गुरु अवमंदन): वह कभी आगे नहीं जाता, पर बहुत धीरे लौटता है। बीच वाला ब्लॉक पतले द्रव में है, जहाँ अवमंदन ठीक इतना है कि उछलना रुक जाए। यही क्रांतिक अवमंदन है, और इसका “स्थिर” लेबल सबसे पहले दिखता है। कार के शॉक अब्ज़ॉर्बर और दरवाज़ा-बंद करने वाले उपकरण इसी के आसपास सेट किए जाते हैं।

चरण 3: अनुनाद। प्राकृत लय के अनुरूप दिए गए छोटे धक्के सही समय पर ऊर्जा जोड़ते हैं, इसलिए गति बढ़ती जाती है। दाईं ओर स्प्रिंग के सिरे को ब्लॉक की अपनी लय में धीरे से हिलाया जाता है, और जल्द ही ब्लॉक हिलाने वाले से कहीं अधिक उछलता है। अवमंदन ही इस बढ़त को रोकता है।

स्वयं जाँचें: वॉशिंग मशीन अक्सर कुछ सेकंड तक ज़ोर से काँपती है, जब उसका ड्रम तेज़ होता है, और फिर पूरी गति पर शांत हो जाती है। ऐसा क्यों?
उत्तर: तेज़ होते समय ड्रम की घूर्णन दर मशीन की प्राकृत आवृत्ति से गुज़रती है, इसलिए एक क्षण के लिए वह लय में हिलती है: अनुनाद।

मध्यम

मुख्य विचार

अवमंदन बल $F = - b v$ गति का विरोध करता है; लघु अवमंदन में आयाम $A = A_{0} e^{- βt}$ के अनुसार घटता है, जहाँ $β = b / (2 m)$ ।
क्रांतिक अवमंदन $b_{c} = 2 km$ पर: इससे कम पर तंत्र दोलन करता है, इससे अधिक पर बिना दोलन के धीरे लौटता है।
$Q = ω_{0} / (2 β) = m ω_{0} / b$ : लगभग $Q$ चक्रों के बाद मुक्त रूप से बजता दोलित्र अपने आयाम के लगभग 4% तक रह जाता है।
$f_{0}$ पर नोदन से स्थायी आयाम $A = F_{0} / (b ω_{0}) = Q F_{0} / k$ होता है: कमज़ोर अवमंदन छोटे धक्कों को बड़ी गति में बदल देता है।

दो बल: स्प्रिंग और अवमंदक

खींचकर छोड़े गए स्प्रिंग के ब्लॉक पर दो बल लगते हैं: स्प्रिंग का प्रत्यानयन बल $- k x$ , जो उसे साम्यावस्था की ओर लौटाता है; और एक अवमंदन बल जो गति का विरोध करता है, जैसे द्रव का खिंचाव या शॉक अब्ज़ॉर्बर के तेल का प्रतिरोध। द्रव में धीमी गति के लिए अवमंदन बल लगभग वेग के समानुपाती होता है, इसलिए परिणामी बल
$F = - k x - b v$
है।

अवमंदन स्थिरांक $b$ की इकाई किलोग्राम प्रति सेकंड (kg/s, जो N·s/m के बराबर है) है। दोनों बल अलग-अलग क्षणों पर अधिकतम होते हैं: स्प्रिंग बल उन मोड़-बिंदुओं पर अधिकतम होता है जहाँ ब्लॉक एक क्षण के लिए रुकता है, और अवमंदन बल तब अधिकतम होता है जब ब्लॉक सबसे तेज़ चलता है, जो लघु अवमंदन में साम्यावस्था के लगभग पास होता है।

एनीमेशन में सुनहरे तीर $- b v$ दिखाते हैं; हर बार ब्लॉक मुड़ने पर वे उलट जाते हैं। दाएँ वाले ब्लॉक का $b = 30 kg/s$ है और वह गाढ़े शीरे में है; उसका तीर सबसे लंबा है, हालाँकि वह सबसे धीरे चलता है: अपनी अधिकतम गति 0.077 m/s पर अवमंदन बल $30 \cdot 0.077 \approx 2.3 N$ स्प्रिंग के खिंचाव को ठीक संतुलित करता है।

लघु अवमंदन: घातांकीय क्षय

लघु अवमंदन में ब्लॉक अपनी प्राकृत लय लगभग बनाए रखता है, पर हर झूला पिछले से उसी अनुपात में छोटा होता है, क्योंकि गति के साथ बढ़ने वाला अवमंदन बल हर चक्र में बची हुई ऊर्जा का एक निश्चित भाग ले लेता है। यह घातांकीय क्षय है, $A = A_{0} e^{- βt}$ , जिसमें
$β = \frac{b}{2 m}, ω_{0} = \frac{k}{m}$
अवमंदन दर $β$ की इकाई s⁻¹ है: समय $1/ β$ के बाद आयाम घटकर $1/ e$ , यानी लगभग 37% रह जाता है, और हर $ln 2/ β$ समय में वह आधा होता है। यहाँ $ω_{0}$ प्राकृत कोणीय आवृत्ति है। पूरी गति घटते लिफ़ाफ़े के भीतर एक कोज्या फलन है:
$x = A_{0} e^{- βt} cos (ω_{d} t + φ), ω_{d} = ω_{0}^{2} - β^{2}$

अवमंदक ब्लॉक को थोड़ा पीछे रोकता है, इसलिए अवमंदित कोणीय आवृत्ति $ω_{d}$ $ω_{0}$ से थोड़ी कम है। गुणवत्ता गुणांक बताता है कि अवमंदन कितना हल्का है:
$Q = \frac{ω _{0}}{2 β} = \frac{m ω _{0}}{b}$
हर चक्र में आयाम लगभग $e^{- π / Q}$ गुना हो जाता है, इसलिए $Q$ चक्रों के बाद केवल $e^{- π}$ , यानी लगभग 4%, बचता है। हज़ारों के $Q$ वाला ट्यूनिंग फ़ोर्क एक बार थपथपाने के बाद कई सेकंड तक गूँजता है।

लघु, क्रांतिक और गुरु अवमंदन

$b$ बढ़ने पर क्षय तेज़ होता जाता है, जब तक एक क्रांतिक मान पर ब्लॉक आगे नहीं जाता:
$b_{c} = 2 km = 2 m ω_{0}$
वहाँ $β = ω_{0}$ और $ω_{d}$ शून्य हो जाता है। $b$ की $b_{c}$ से तुलना करने पर गति के तीन प्रकार मिलते हैं:

$b < b_{c}$ , लघु अवमंदन: ब्लॉक बार-बार आगे निकलता है, और उसके झूले घातांकीय रूप से घटते हैं।
$b = b_{c}$ , क्रांतिक अवमंदन: बिना किसी आगे जाने के, संभव सबसे तेज़ वापसी।
$b > b_{c}$ , गुरु अवमंदन: यहाँ भी आगे नहीं जाता, पर अवमंदक इतना प्रबल विरोध करता है कि ब्लॉक धीरे-धीरे रेंगकर लौटता है।

अधिक अवमंदन भी धीमा होता है, उसी कारण से जिससे शहद में चम्मच धीमा चलता है: अवमंदन बल जल्दी ही स्प्रिंग के खिंचाव के बराबर हो जाता है, जिससे गति लगभग $k x / b$ तक सीमित हो जाती है। $b$ को तीन गुना करें, तो ब्लॉक की वापसी की गति एक-तिहाई हो जाती है।

उदाहरण: एनीमेशन के तीन ब्लॉक

तीनों ब्लॉकों का $m = 1 kg$ और $k = 25 N/m$ है, और हर एक को 10 cm नीचे खींचकर विराम से छोड़ा जाता है:
$ω_{0} = 25/1 = 5 rad/s, b_{c} = 2 25 \cdot 1 = 10 kg/s$
अतः $f_{0} \approx 0.80 Hz$ , यानी हर 1.26 s में एक चक्र। बीच वाला ब्लॉक ठीक क्रांतिक है; दाएँ वाले का अवमंदन $b_{c}$ का तीन गुना है, बाएँ वाले का उसका दसवाँ भाग। बाएँ ब्लॉक के लिए
$β = \frac{1}{2 \cdot 1} = 0.5 s^{- 1}, Q = \frac{5}{2 \cdot 0.5} = 5$

3 s बाद उसका आयाम $10 cm \cdot e^{- 0.5 \cdot 3} \approx 2.2 cm$ है, यानी वह मान जो नीले $A$ रीडिंग पर दिखता है जब $t$ रीडिंग, जो छोड़ने के क्षण से शुरू होती है, 3 s दिखाती है। आयाम हर $ln 2/0.5 \approx 1.4 s$ में आधा होता है, हर चक्र में वह $e^{- π /5} \approx 0.53$ गुना होता है, और 5 चक्रों के बाद, लगभग 6.3 s पर, केवल 4% बचता है। हर ब्लॉक लगभग 1.0 s (क्रांतिक), 3.8 s (गुरु) और 6.4 s (लघु) के बाद अपनी बिंदुकित साम्य रेखा के 4 mm के भीतर आ जाता है।

अनुनाद: गति के साथ लयबद्ध धक्के

अब दोलित्र को आवर्ती बल $F_{0} cos ω t$ से चलाइए। आरंभिक चरण के बाद वह नोदन आवृत्ति पर स्थिर रूप से दोलन करता है, और आयाम है
$A (ω) = \frac{F _{0} / m}{( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) ^{2} + ( 2 β ω ) ^{2}}$
$ω_{0}$ से दूर प्रतिक्रिया छोटी रहती है; उसके निकट आयाम तेज़ी से बढ़ता है: यही अनुनाद है। $ω_{0}$ पर स्प्रिंग बल और जड़त्व एक-दूसरे को निरस्त करते हैं, और नोदन को केवल अवमंदन की पूर्ति करनी होती है:
$A (ω_{0}) = \frac{F _{0}}{b ω _{0}} = \frac{Q F _{0}}{k}$
स्थिर बल स्प्रिंग को $F_{0} / k$ तक खींचेगा; लयबद्ध रूप से लगाया जाए, तो वह ब्लॉक को उससे $Q$ गुना दूर ले जाता है। अनुनाद पर ब्लॉक धक्के से एक चौथाई चक्र पीछे रहता है, इसलिए धक्का सबसे प्रबल होने पर वह सबसे तेज़ चलता है, और हर धक्का धनात्मक कार्य करता है।

एनीमेशन के दाईं ओर, एक वैसा ही लघु अवमंदन वाला स्प्रिंग का सिरा ठीक $f_{0} = 0.80 Hz$ पर $Y = 2 cm$ से हिलाया जाता है। स्प्रिंग के सिरे को $y$ हिलाने से उसका खिंचाव $k y$ बदलता है, इसलिए यह हिलाना $F_{0} = kY = 25 \cdot 0.02 = 0.5 N$ बल जैसा है, और
$A = \frac{F _{0}}{b ω _{0}} = \frac{0.5}{1 \cdot 5} = 0.10 m$
जो $Q Y = 10 cm$ है। नोदित ब्लॉक की $A$ रीडिंग वहाँ धीरे बढ़ती है, लगभग $Q Y (1 - e^{- βt})$ के अनुसार: 2 s हिलाने के बाद लगभग 6 cm, 4.6 s बाद 9 cm, और लूप के अंत में 9.9 cm।

उदाहरण: घिसे शॉक अब्ज़ॉर्बर वाली कार

कार के एक कोने का लगभग 400 kg द्रव्यमान एक निलंबन स्प्रिंग पर टिका है, जिसका $k = 40000 N/m$ है:
$ω_{0} = 40 000/400 = 10 rad/s, b_{c} = 2 40000 \cdot 400 = 8000 kg/s$
अतः कार की बॉडी लगभग 1.6 Hz पर उछलती है। एक ठीक अब्ज़ॉर्बर, जो $b_{c}$ से कुछ कम सेट है, झटके के बाद बॉडी को एक बार आगे जाने देता है। घिसा हुआ अब्ज़ॉर्बर, जिसका $b = 800 kg/s$ है, देता है $β = 800/ (2 \cdot 400) = 1.0 s^{- 1}$ और $Q = 10/ (2 \cdot 1.0) = 5$ , जो एनीमेशन के बाएँ ब्लॉक जैसा है। 4 cm की उछाल फिर हर 0.7 s में आधी होती है और 2 s बाद, यानी तीन उछालों बाद, भी $4 \cdot e^{- 2} \approx 0.5 cm$ रहती है।

सड़क भी कार को नोदित कर सकती है। $d = 10 m$ की दूरी पर बने उभार हर सेकंड पहिये को $v / d$ बार हिलाते हैं, जो लगभग $v \approx 16 m/s$ (लगभग 57 km/h) पर प्राकृत 1.59 Hz से मेल खाते हैं। उस गति पर घिसी हुई कार की बॉडी उभारों से लगभग $Q = 5$ गुना ऊँची उछलती है और तैरती सी लगती है।

सामान्य गलतियाँ

अधिक अवमंदन हमेशा तेज़ नहीं होता: दाएँ वाला ब्लॉक, जिसका अवमंदन $b_{c}$ का तीन गुना है, स्थिर होने में लगभग 3.8 s लेता है, जबकि क्रांतिक वाला केवल 1.0 s।
लघु अवमंदन आयाम बदलता है, लय नहीं: $Q = 5$ पर आवर्तकाल केवल 1.257 s से बढ़कर 1.263 s होता है।
समय $1/ β$ अर्ध-आयु नहीं है: $β = 0.5 s^{- 1}$ पर आयाम 2 s में 37% रह जाता है और 1.4 s में आधा होता है; ऊर्जा, जो $A^{2}$ के अनुपात में है, 0.7 s में आधी होती है।
अनुनाद अनंत नहीं है: अवमंदन आयाम को $Q F_{0} / k$ पर सीमित करता है, हिलाए गए स्प्रिंग के लिए 10 cm, जहाँ नोदक की 0.125 W शक्ति अवमंदक की हानियों के बराबर है।
क्रांतिक मान $2 km$ है, $km$ नहीं: 2 भूल जाने पर ब्लॉकों के लिए 10 kg/s की जगह 5 kg/s मिलता है।

यह कहाँ दिखता है

लगभग-क्रांतिक अवमंदन दरवाज़ा-बंद करने वाले उपकरणों, यंत्रों की सुइयों और कार के निलंबन में बना होता है; ताइपेई 101 की मीनार के शीर्ष के पास लगभग 660 टन का एक इस्पात का लोलक भवन के डोलन के विरुद्ध झूलता है। अनुनाद क्वार्ट्ज़ घड़ियों में काम में लाया जाता है, जिनका क्रिस्टल 32 768 Hz पर गूँजता है, संगीत वाद्यों में और रेडियो ट्यूनिंग में। संरचनाओं में इससे बचना होता है: लंदन का मिलेनियम ब्रिज 2000 में खुलने के पहले ही दिनों में बग़ल में डोलने लगा, क्योंकि पैदल चलने वाले अनजाने में उसकी लय में चलने लगे। वही समीकरण उन परिपथों पर लागू होता है जिनमें “संधारित्र” और “विद्युत चुंबकीय प्रेरण” के भाग हैं, और “अप्रगामी तरंगें” की हर विधा पर भी।

उन्नत

मुख्य विचार

$x = Re (\overset{x}{^} e^{iω t})$ लिखें: हर $d / d t$ एक गुणक $iω$ बन जाता है, यानी चौथाई चक्कर, जिससे रैखिक समीकरण बीजगणित बन जाता है।
मुक्त गति: $s = - β \pm β^{2} - ω_{0}^{2}$ ; सम्मिश्र मूल ( $ζ < 1$ ) दोलन करते हैं, द्विगुण मूल ( $ζ = 1$ ) क्रांतिक है, वास्तविक मूल धीरे लौटते हैं।
$Q$ = संचित ऊर्जा ÷ प्रति रेडियन खोई ऊर्जा: $d E / d t = - ω_{0} E / Q$ , अतः $E \propto e^{- 2 βt}$ , और आयाम की क्षय-दर ऊर्जा की आधी होती है।
$A = ∣ \overset{x}{^} ∣$ का शिखर $ω_{0}$ पर होता है, जिसका मान $Q F_{0} / k$ है, और यह बल से 90° पीछे रहता है; अर्ध-शक्ति चौड़ाई $Δ ω \approx ω_{0} / Q$ है।
वही समीकरण अन्य तंत्रों में भी है: $R L C$ परिपथ ( $L$ , $R$ , $1/ C$ क्रमशः $m$ , $b$ , $k$ की जगह; $Q = ω_{0} L / R$ ), वायुमंडलीय ज्वार, और अवरक्त को सोखने वाले आयन।

स्वतंत्र गति का समीकरण

अवमंदन वह कोई भी बल है जो कंपन की ऊर्जा को सोख लेता है: हवा, तेल, या धातु की प्लेट पर लगा चुंबक जो उसे रोकता है। यह भाग अवमंदित स्प्रिंग-ब्लॉक की हर संभव स्वतंत्र गति निकालता है। इसके दो कारण हैं: ये गतियाँ ही किसी विक्षुब्ध तंत्र के शांत होने का तरीका हैं, और हर नोदित दोलित्र को अपनी स्थायी अवस्था तक पहुँचने से पहले इन्हीं क्षणिक गतियों को समाप्त करना होता है।

मान लीजिए द्रव्यमान $m$ का एक ब्लॉक कठोरता $k$ के स्प्रिंग पर है, और एक अवमंदक है जो वेग के विपरीत $- b \overset{x}{˙}$ बल लगाता है। यहाँ $x$ साम्यावस्था से विस्थापन है और $b$ अवमंदन गुणांक है। न्यूटन का दूसरा नियम देता है $m \overset{x}{¨} = - k x - b \overset{x}{˙}$ । दोनों पक्षों को $m$ से भाग दें और दो अनुपात परिभाषित करें: अवमंदन दर $β = b / (2 m)$ और प्राकृत कोणीय आवृत्ति $ω_{0} = k / m$ । समीकरण मानक रूप ले लेता है
$\overset{x}{¨} + 2 β \overset{x}{˙} + ω_{0}^{2} x = 0$
गुणांक 2 एक परंपरा है, जो नीचे के मूलों में आधे भिन्न से बचाती है।

यह समीकरण रैखिक है, और इसके गुणांक समय के साथ नहीं बदलते। घातांकीय फलन वह अकेला फलन है जिसका अवकलज स्वयं का एक अचर गुणज होता है, इसलिए $x = e^{s t}$ आज़माइए, जहाँ अचर $s$ सम्मिश्र भी हो सकता है। तब समय का हर अवकलज केवल $s$ से गुणा हो जाता है। हर पद में एक ही गुणक $e^{s t}$ होता है, और उसे हटाने पर अभिलक्षणिक समीकरण $s^{2} + 2 β s + ω_{0}^{2} = 0$ बचता है। द्विघात सूत्र से इसके दो मूल मिलते हैं:
$s_{1} = - β + β^{2} - ω_{0}^{2}, s_{2} = - β - β^{2} - ω_{0}^{2}$
चूँकि समीकरण रैखिक है, कोई भी योग $c_{1} e^{s_{1} t} + c_{2} e^{s_{2} t}$ भी हल है, और दोनों अचर प्रारंभिक स्थिति और प्रारंभिक वेग से तय होते हैं। अतः स्वतंत्र गति के बारे में सब कुछ इस पर निर्भर है कि दोनों मूल कहाँ स्थित हैं।

एनीमेशन $m = 1 kg$ और $k = 25 N/m$ लेता है, अतः $ω_{0} = 5 rad/s$ (0.80 Hz) है, और तीन अवमंदक हैं, $b = 1$ , 10 और $30 kg/s$ , यानी $β = 0.5$ , 5 और $15 s^{- 1}$ ।

स्वतंत्र गति के तीन प्रकार

छोड़ा गया ब्लॉक आगे-पीछे झूलेगा या केवल धीरे लौटेगा, यह वर्गमूल के भीतर $β^{2} - ω_{0}^{2}$ के चिह्न पर ही निर्भर करता है। मूलों का एक मानचित्र तीनों स्थितियाँ एक साथ दिखाता है, और यह भी कि कौन-सा अवमंदन ब्लॉक को सबसे जल्दी वापस लाता है।

चित्र 1, $s$ का सम्मिश्र तल है: क्षैतिज अक्ष पर वास्तविक भाग, ऊर्ध्वाधर अक्ष पर काल्पनिक भाग। एक संख्या इन स्थितियों को अलग करती है, अवमंदन अनुपात $ζ = β / ω_{0}$ । यह $b / b_{c}$ के बराबर है, जहाँ $b_{c} = 2 km$ क्रांतिक अवमंदन गुणांक है, यानी वह $b$ मान जिस पर $β = ω_{0}$ हो। एनीमेशन में $b_{c} = 10 kg/s$ है, अतः तीनों ब्लॉकों के $ζ = 0.1$ , 1 और 3 हैं।

लघु अवमंदन, $ζ < 1$ । वर्गमूल के भीतर की संख्या ऋणात्मक है, इसलिए मूल सम्मिश्र युग्म $- β \pm i ω_{d}$ हैं, जो चित्र में दो नीले बिंदु हैं, जहाँ अवमंदित कोणीय आवृत्ति $ω_{d} = ω_{0}^{2} - β^{2}$ है। चूँकि $e^{(- β \pm i ω_{d}) t} = e^{- βt} e^{\pm i ω_{d} t}$ , वास्तविक भाग $- β$ क्षय तय करता है और काल्पनिक भाग $\pm ω_{d}$ दोलन तय करता है। दोनों घातांकों को इस प्रकार मिलाने पर कि $x$ वास्तविक हो, मिलता है
$x = C e^{- βt} cos (ω_{d} t + φ)$
यानी एक ऐसा दोलन जो $e^{- βt}$ से घटते लिफ़ाफ़े के भीतर है; अचर $C$ और $φ$ प्रारंभिक स्थिति और प्रारंभिक वेग से आते हैं। अब $ζ = 0.6$ के लिए बना समकोण त्रिभुज देखिए। उसकी क्षैतिज भुजा $β$ है, ऊर्ध्वाधर भुजा $ω_{d}$ है, और कर्ण $β^{2} + ω_{d}^{2} = ω_{0}$ है। अतः सम्मिश्र मूल सदैव मूल बिंदु से $ω_{0}$ दूरी पर होता है। जैसे-जैसे $b$ बढ़ता है, यह युग्म त्रिज्या $ω_{0}$ के नीले चाप पर चलता है: ऊपर वाला मूल नीचे, और नीचे वाला ऊपर, वास्तविक अक्ष की ओर।

क्रांतिक अवमंदन, $ζ = 1$ । दोनों मूल $- ω_{0}$ पर मिल जाते हैं। द्विगुण मूल केवल एक घातांक $e^{- ω_{0} t}$ देता है; दूसरा स्वतंत्र हल $t e^{- ω_{0} t}$ है, जिसे समीकरण में रखकर जाँचा जा सकता है।

गुरु अवमंदन, $ζ > 1$ । अब वर्गमूल वास्तविक है और $β$ से छोटा है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक और ऋणात्मक हैं। जैसे-जैसे $b$ बढ़ता है, $s_{1}$ मुड़कर 0 की ओर लौटता है, और $s_{2}$ बाईं ओर दूर भागता है। कुछ भी नहीं दोलता: ब्लॉक केवल धीरे लौटता है।

एनीमेशन के विशेषज्ञ $x (t)$ ग्राफ़ में चित्र 1 के नीले, हरे और बैंगनी रंग इस्तेमाल होते हैं, और तीनों ब्लॉक $- 10 cm$ से विराम से छोड़े गए दिखाए जाते हैं; इस छोड़ने की दूरी को $A_{0} = 10 cm$ कहिए। नीला ( $ζ = 0.1$ , $s = - 0.5 \pm 4.97 i s^{- 1}$ ) छोड़ने के आधे आवर्तकाल, यानी 0.63 s पर, $+ 7.3 cm$ तक आगे निकल जाता है। हरा ( $ζ = 1$ ) $x = - A_{0} (1 + ω_{0} t) e^{- ω_{0} t}$ का पालन करता है और लगभग 1.0 s बाद शून्य के 4 mm के भीतर आ जाता है। बैंगनी ( $ζ = 3$ ) के मूल $- 0.86$ और $- 29.1 s^{- 1}$ हैं। इसका तेज़ पद $e^{- 29.1 t}$ सेकंड के दसवें भाग में ही समाप्त हो जाता है। धीमा मूल, जब अवमंदन प्रबल होता है, $- ω_{0}^{2} / (2 β)$ के निकट होता है, और 1.2 s के समय-स्थिरांक वाला धीमा रेंगना छोड़ता है।

कौन-सा अवमंदन ब्लॉक को सबसे जल्दी घर लाता है? घातांकों के योग का क्षय केवल उसके सबसे धीमे पद जितना ही तेज़ होता है, यानी वह पद जिसका मूल चित्र 1 में ऊर्ध्वाधर अक्ष के सबसे निकट है। क्रांतिक से कम अवमंदन पर यह दूरी $β$ है, जो $b$ के साथ बढ़ती है, क्योंकि युग्म चाप पर बाईं ओर खिसकता है। क्रांतिक से अधिक अवमंदन पर यह दूरी $∣ s_{1} ∣$ है, जो $b$ के साथ घटती है, क्योंकि $s_{1}$ 0 की ओर बहता है। दोनों प्रवृत्तियाँ $ζ = 1$ पर मिलती हैं: वहाँ निकटतम मूल जितना बाईं ओर हो सकता है उतना है, और क्षय दर अपने अधिकतम मान $ω_{0}$ पर होती है। यदि थोड़ा आगे निकलना स्वीकार्य हो, तो थोड़ा कम अवमंदन और भी तेज़ होता है। $ζ = 0.75$ पर ब्लॉक 0.64 s बाद शून्य के 4 mm के भीतर रहता है, इसीलिए यंत्रों की सुइयाँ अक्सर क्रांतिक से थोड़ी कम पर सेट की जाती हैं।

ऊर्जा और Q का अर्थ

मूल बताते हैं कि गति कितनी तेज़ी से क्षीण होती है; ऊर्जा बताती है कि ऐसा क्यों होता है। यह वह एक संख्या भी देती है जिसे इंजीनियर किसी भी दोलित्र के लिए उद्धृत करते हैं, यानी गुणवत्ता गुणांक $Q$ ।

चित्र 2 एनीमेशन के लघु-अवमंदन ब्लॉक ( $ζ = 0.1$ ) का अनुसरण करता है, जो $x = - A_{0}$ से विराम से छोड़ा गया है: ऊपर उसकी स्थिति $x (t)$ , और नीचे उसकी संचित ऊर्जा $E$ , दोनों एक ही समय-अक्ष पर। नीचे के ग्राफ़ को पढ़ने के लिए पहले यह जानिए कि $E$ कितनी तेज़ी से बदलती है। गति के समीकरण $m \overset{x}{¨} + b \overset{x}{˙} + k x = 0$ को $\overset{x}{˙}$ से गुणा कीजिए। गुणनफल $m \overset{x}{¨} \overset{x}{˙}$ , $\frac{1}{2} m \overset{x}{˙}^{2}$ का समय-अवकलज है, और $k x \overset{x}{˙}$ , $\frac{1}{2} k x^{2}$ का। तो जड़त्व और स्प्रिंग के पद मिलकर $E = \frac{1}{2} m \overset{x}{˙}^{2} + \frac{1}{2} k x^{2}$ का अवकलज बनाते हैं, और जो शेष बचता है वह है
$\frac{d E}{d t} = - b \overset{x}{˙}^{2}$
अवमंदक $b \overset{x}{˙}^{2}$ की दर से ऊर्जा हटाता है। यह दर कभी ऋणात्मक नहीं होती, और जब ब्लॉक एक क्षण के लिए रुकता है तो यह शून्य होती है।

अब नीचे का ग्राफ़ देखिए। ऊर्जा केवल ब्लॉक के चलते समय ही घटती है, इसलिए $E$ सीढ़ियों में घटती है। हर बिंदु एक मोड़-बिंदु चिह्नित करता है, जहाँ $\overset{x}{˙} = 0$ है और सारी ऊर्जा स्प्रिंग में है; वहाँ $E$ की ढलान शून्य है और वक्र समतल है। $d E / d t$ चिह्नित स्पर्श-रेखा पहली गिरावट के सबसे तीखे भाग को छूती है, जहाँ ब्लॉक सबसे तेज़ चलता है, साम्यावस्था पार करने से ठीक पहले। मोड़-बिंदु पर $∣ x ∣ = A_{0} e^{- βt}$ है, इसलिए वहाँ ऊर्जा $\frac{1}{2} k A_{0}^{2} e^{- 2 βt}$ है। अतः समतल भाग ठीक बिंदुकित वक्र $E_{0} e^{- 2 βt}$ पर स्थित हैं, जहाँ $E_{0} = \frac{1}{2} k A_{0}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 0.1 0^{2} = 0.125 J$ है। दो मोड़-बिंदुओं के बीच $E$ उस वक्र से लगभग 10% ऊपर और नीचे डोलता है। एक मोड़-बिंदु से अगले तक, यानी आधे अवमंदित आवर्तकाल $T_{d} /2$ में, ऊर्जा $e^{- β T_{d}} \approx 0.53$ गुना हो जाती है।

सीढ़ियों को चिकना करने पर एक सरल नियम मिलता है। लघु अवमंदन में एक चक्र के दौरान गति लगभग $A cos ω_{0} t$ है, जिसका आयाम $A$ धीरे-धीरे घटता है। चक्र पर $\overset{x}{˙}^{2}$ का औसत $\frac{1}{2} ω_{0}^{2} A^{2}$ है, जबकि $E = \frac{1}{2} m ω_{0}^{2} A^{2}$ है। अतः $b \overset{x}{˙}^{2}$ का औसत $(b / m) E = 2 βE$ है, और
$\frac{d E}{d t} = - 2 βE$
ऊर्जा $e^{- 2 βt}$ के अनुसार घटती है। ऊर्जा आयाम के वर्ग के अनुपात में होती है, इसलिए आयाम $e^{- βt}$ के अनुसार घटता है, यानी ऊर्जा की दर का आधा, जैसा मूलों ने बताया था।

गुणवत्ता गुणांक को $Q = ω_{0} / (2 β)$ से परिभाषित किया जाता है। इसके साथ नियम होता है $d E / d t = - ω_{0} E / Q$ । ब्लॉक एक रेडियन कला से $1/ ω_{0}$ समय में गुज़रता है, और उस समय में वह अपनी ऊर्जा का $1/ Q$ भाग खो देता है: $Q$ संचित ऊर्जा को प्रति रेडियन खोई ऊर्जा से भाग देने पर मिलता है। उच्च- $Q$ वाला दोलित्र कई चक्रों तक बजता है; हल्के ब्लॉक का $Q = 5$ ही है। एक परिचित नियम कहता है कि हर चक्र में खोया भाग $2 π / Q$ होता है। यहाँ यह 126% होगा, जो असंभव है: यह नियम सटीक व्यंजक $1 - e^{- 2 π / Q}$ का केवल पहला पद है, जो केवल बड़े $Q$ के लिए ठीक है। घातांकीय नियम स्वयं एक चक्र से अगले चक्र तक ठीक-ठीक लागू होता है। एक अवमंदित आवर्तकाल $T_{d} = 2 π / ω_{d} = 1.263 s$ में, जो चित्र 2 का हरा खंड है, ऊर्जा $e^{- 2 β T_{d}} \approx 0.28$ भाग बचाए रखती है, इसलिए पहले चक्र में 72% चला जाता है।

नोदित दोलित्र

अब ब्लॉक को आवर्ती बल $F_{0} cos ω t$ से धकेलिए। यह स्थिति लाउडस्पीकर के शंकु, झोंकों वाली हवा में पुल, या प्रकाश तरंग में इलेक्ट्रॉन जैसी है, और प्रश्न यह है कि प्रतिक्रिया कितनी बड़ी है और कितनी पीछे रहती है। गति के समीकरण में दाईं ओर एक पद जुड़ जाता है:
$\overset{x}{¨} + 2 β \overset{x}{˙} + ω_{0}^{2} x = (F_{0} / m) cos ω t$
चूँकि समीकरण रैखिक है, इसका व्यापक हल किसी एक विशेष हल और ऊपर मिली स्वतंत्र गति का योग होता है। स्वतंत्र भाग क्षीण होता रहता है; लघु अवमंदन में यह $e^{- βt}$ से घटता है, और इसे क्षणिक कहते हैं। जो शेष बचता है वह स्थायी अवस्था है, जो नोदन आवृत्ति $ω$ पर दोलन करती है, न कि $ω_{0}$ पर।

सम्मिश्र संख्याएँ स्थायी अवस्था को शीघ्रता से निकाल देती हैं। बल को $F_{0} e^{iω t}$ का वास्तविक भाग लिखिए, और $x$ को $\overset{x}{^} e^{iω t}$ का वास्तविक भाग मानिए, जहाँ सम्मिश्र आयाम $\overset{x}{^}$ एक अचर है जिसे ज्ञात करना है। वास्तविक भाग लेना जोड़, अवकलन और वास्तविक संख्या से गुणा के साथ क्रम बदल सकता है, इसलिए सम्मिश्र समीकरण हल करके अंत में वास्तविक भाग लिया जा सकता है। हर $d / d t$ जब $e^{iω t}$ पर कार्य करता है, तो वह गुणक $iω$ बन जाता है। $i$ से गुणा करना सम्मिश्र तल में चौथाई चक्कर है, इसलिए वेग विस्थापन से 90° आगे रहता है। अवकल समीकरण बीजगणित बन जाता है:
$(ω_{0}^{2} - ω^{2} + 2 i β ω) \overset{x}{^} = F_{0} / m$
इस चाल के लिए रैखिकता चाहिए: $x^{2}$ वाला पद वास्तविक और काल्पनिक भागों को मिला देगा, और सम्मिश्र उत्तर का वास्तविक भाग वास्तविक समीकरण को संतुष्ट नहीं करेगा। रैखिकता अध्यारोपण भी देती है, इसलिए अनेक आवृत्तियों से बना बल अलग-अलग प्रतिक्रियाओं का योग उत्पन्न करता है।

फ़ेज़र त्रिभुज: आयाम और कला-पश्चता

सम्मिश्र समीकरण कहता है कि दो तीर जोड़ने पर तीसरा तीर मिलता है। उन्हें बनाने पर आयाम और कला-पश्चता सीधी ज्यामिति बन जाते हैं।

चित्र 3 इस समीकरण को सम्मिश्र तल में बनाता है, $ω = 0.75 ω_{0}$ और $β = 0.25 ω_{0}$ के लिए। नोदन $F_{0} / m$ वास्तविक अक्ष के अनुदिश है। सुनहरा तीर $\overset{x}{^}$ है, जो अपने ही पैमाने पर खींचा गया है। स्प्रिंग पद $ω_{0}^{2} \overset{x}{^}$ और जड़त्व पद $- ω^{2} \overset{x}{^}$ दोनों $\overset{x}{^}$ के वास्तविक गुणज हैं, इसलिए वे मिलकर हरा तीर $(ω_{0}^{2} - ω^{2}) \overset{x}{^}$ बनाते हैं, जो $\overset{x}{^}$ की दिशा में है। अवमंदन पद $2 β ω i \overset{x}{^}$ में अतिरिक्त गुणक $i$ है, इसलिए नारंगी तीर हरे तीर से समकोण पर है। हरा और नारंगी मिलकर नोदन के बराबर होने चाहिए। अतः नोदन एक समकोण त्रिभुज का कर्ण है, और $\overset{x}{^}$ , जो हरी भुजा के अनुदिश है, नोदन से उस भुजा और कर्ण के बीच के कोण $δ$ जितना पीछे है।

समीकरण को $\overset{x}{^}$ के लिए हल करने पर
$\overset{x}{^} = \frac{F _{0} / m}{ω _{0}^{2} - ω ^{2} + 2 i β ω}$
मिलता है, जिसका मापांक आयाम $A$ है, और जिसका कोण $- δ$ है, जहाँ $δ$ बल के सापेक्ष विस्थापन की कला-पश्चता है। त्रिभुज बिना और बीजगणित के दोनों दे देता है। इसकी भुजाएँ $(ω_{0}^{2} - ω^{2}) A$ और $2 β ω A$ मापती हैं और कर्ण $F_{0} / m$ है, इसलिए पाइथागोरस से आयाम मिलता है और भुजाओं का अनुपात कला-पश्चता देता है:
$A (ω) = \frac{F _{0} / m}{( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) ^{2} + ( 2 β ω ) ^{2}}$
$tan δ = \frac{2 β ω}{ω _{0}^{2} - ω ^{2}}$
जैसे-जैसे $ω$ , $ω_{0}$ को पार करता है, $δ$ 0 से $18 0^{\circ}$ तक बढ़ता है। चित्र 3 अनुनाद से नीचे की स्थिति दिखाता है, जहाँ हरी भुजा धनात्मक है और $δ$ $9 0^{\circ}$ से कम है। $ω_{0}$ से ऊपर गुणक $ω_{0}^{2} - ω^{2}$ ऋणात्मक हो जाता है, हरा तीर $\overset{x}{^}$ के विपरीत दिशा में होता है, और $δ$ , $9 0^{\circ}$ से आगे निकल जाता है।

अनुनाद वक्र पढ़ना

ऊपर के दो सूत्र पूरी स्थायी प्रतिक्रिया समाहित करते हैं। उन्हें नोदन आवृत्ति के विरुद्ध आलेखित करने पर दिखता है कि दोलित्र कहाँ तीव्र प्रतिक्रिया देता है, वह प्रतिक्रिया कितनी तीखी है, और उस प्रक्रिया में कला कैसे बदलती है।

चित्र 4 $Q = 3$ वाले ब्लॉक की स्थायी प्रतिक्रिया का रेखाचित्र है: ऊपर आयाम $A (ω)$ , और नीचे कला-पश्चता $δ (ω)$ , दोनों एक ही आवृत्ति अक्ष पर। एनीमेशन का अनुनाद पैनल हिलाए गए स्प्रिंग के लिए $A (ω)$ आलेखित करता है, जिसमें $Q = 5$ और $Q = 1$ हैं। वहाँ स्प्रिंग का सिरा $Y = 2 cm$ हिलाया जाता है, जो ब्लॉक पर ऐसे बल की तरह काम करता है जिसके लिए $F_{0} / m = ω_{0}^{2} Y$ है, इसलिए $F_{0} / k = Y$ ।

वक्रों को बाएँ से दाएँ पढ़िए। $ω_{0}$ से बहुत नीचे स्प्रिंग पद हावी होता है: $A \approx F_{0} / k$ , यानी स्थैतिक खिंचाव (एनीमेशन में 2 cm), $δ \approx 0$ , और ब्लॉक हिलाने वाले का अनुसरण करता है। $ω_{0}$ से बहुत ऊपर जड़त्व हावी होता है: $A \approx F_{0} / (m ω^{2})$ बिंदुकित $F_{0} / k$ स्तर से नीचे गिर जाता है, $δ$ , $π$ की ओर जाता है, और ब्लॉक नोदन के विपरीत चलता है। $ω_{0}$ पर, शिखर के दाईं ओर, स्प्रिंग बल और जड़त्व एक-दूसरे को निरस्त करते हैं, और केवल अवमंदन नोदन को संतुलित करता है: $A = Q F_{0} / k$ और $δ = π /2$ । तब वेग बल के साथ समान कला में होता है, इसलिए नोदन पूरे चक्र में धनात्मक कार्य करता है। एनीमेशन में ऊँचा $Q = 5$ वक्र शिखर पर 10 cm तक पहुँचता है, जबकि नीचे का धूसर $Q = 1$ वक्र $ω_{0}$ पर केवल 2 cm देता है।

शिखर की चौड़ाई शक्ति से मापी जाती है। स्थायी अवस्था में नोदन से ली गई औसत शक्ति अवमंदक द्वारा क्षयित औसत शक्ति के बराबर होती है, यानी $P = \frac{1}{2} b ω^{2} A^{2}$ , जो $Q = 5$ के लिए अनुनाद पर 0.125 W है। $ω^{2} A^{2} = (F_{0} / m)^{2} / [(ω_{0}^{2} - ω^{2})^{2} / ω^{2} + 4 β^{2}]$ लिखने पर दिखता है कि $P$ ठीक $ω_{0}$ पर शिखर पर होता है और जहाँ $∣ ω_{0}^{2} - ω^{2} ∣ = 2 β ω$ है वहाँ आधा रह जाता है। ये चित्र की आवृत्तियाँ $ω_{1}$ और $ω_{2}$ हैं; $Q = 5$ के लिए ये 4.52 और 5.52 rad/s (0.72 और 0.88 Hz) हैं। वहाँ चित्र 3 के त्रिभुज की दोनों भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए $tan δ = \pm 1$ : कला-वक्र $ω_{1}$ पर $π /4$ से और $ω_{2}$ पर $3 π /4$ से गुज़रता है। पूर्ण चौड़ाई है
$Δ ω = ω_{2} - ω_{1} = 2 β = \frac{ω _{0}}{Q}$
अतः $Q$ शिखर की तीक्ष्णता भी मापता है, यानी $ω_{0} /Δ ω$ । आयाम का शिखर स्वयं $ω_{0}$ से थोड़ा नीचे है, $ω_{0}^{2} - 2 β^{2} \approx 4.95 rad/s$ पर, जहाँ वह 10 cm नहीं बल्कि 10.05 cm तक पहुँचता है।

एनीमेशन के वक्र पर बिंदु आरंभ को दिखाता है। हिलाने वाला अपने केंद्र से शुरू होता है और $Y sin ω_{0} t$ के अनुसार चलता है, जबकि ब्लॉक विराम से शुरू होता है। स्थायी विस्थापन नोदन से एक चौथाई चक्कर पीछे रहता है, जिससे वह $- Q Y cos ω_{0} t$ होता है, और आरंभ में क्षणिक भाग उसे निरस्त करता है, इसलिए $x \approx - Q Y (1 - e^{- βt}) cos ω_{0} t$ । आयाम $1/ β = 2 s$ के समय-पैमाने पर उठता है और शिखर का 90% केवल $ln 10/ β \approx 4.6 s$ बाद पहुँचता है। संकीर्ण शिखर और लंबा क्षय एक ही तथ्य के दो रूप हैं: चौड़ाई $2 β$ को क्षय-समय $1/ β$ से गुणा करने पर सदा 2 मिलता है, इसलिए तीव्र ट्यून किया गया दोलित्र धीरे प्रतिक्रिया देता है।

उदाहरण: गलत लय पर हिलाना

उसी स्प्रिंग को ( $F_{0} / m = 0.5 m/ s^{2}$ , $β = 0.5 s^{- 1}$ , $ω_{0}^{2} = 25 s^{- 2}$ , $b = 1 kg/s$ ) 0.50 Hz और 1.00 Hz पर हिलाइए, जो उसकी प्राकृत 0.80 Hz के दोनों ओर हैं। हर स्थिति के लिए स्थायी आयाम, कला-पश्चता और औसत शक्ति ज्ञात कीजिए।

अनुनाद से नीचे, 0.50 Hz: $ω = 2 π f = π \approx 3.14 rad/s$ , अतः $ω_{0}^{2} - ω^{2} = 25 - 9.87 = 15.13 s^{- 2}$ और $2 β ω = 3.14 s^{- 2}$ । तब
$A = \frac{0.5}{15.1 3 ^{2} + 3.1 4 ^{2}} = 0.032 m, tan δ = \frac{3.14}{15.13}, δ \approx 1 2^{\circ}$
अनुनाद से ऊपर, 1.00 Hz: $ω = 2 π \approx 6.28 rad/s$ , अतः $ω_{0}^{2} - ω^{2} = 25 - 39.48 = - 14.48 s^{- 2}$ और $2 β ω = 6.28 s^{- 2}$ । ऋणात्मक हर $δ$ को $9 0^{\circ}$ और $18 0^{\circ}$ के बीच रख देता है:
$A = \frac{0.5}{14.4 8 ^{2} + 6.2 8 ^{2}} = 0.032 m, tan δ = \frac{6.28}{- 14.48}, δ \approx 15 7^{\circ}$

दोनों आयाम लगभग 3.2 cm हैं, जो अनुनादी 10 cm का एक-तिहाई है। अंतर कला में है: 0.50 Hz पर ब्लॉक हिलाने वाले के साथ चलता है, जबकि 1.00 Hz पर वह लगभग उसके विपरीत चलता है। औसत शक्ति $\frac{1}{2} b ω^{2} A^{2}$ भी अलग है: 0.50 Hz पर लगभग 5 mW, 1.00 Hz पर लगभग 20 mW, और अनुनाद पर 125 mW। आयाम बराबर हैं, पर आवृत्ति दोगुनी है, इसलिए 1.00 Hz पर वेग आयाम $ω A$ दोगुना है और शक्ति चार गुनी।

आरंभ भी मायने रखता है। विराम से शुरू करने पर $ω_{d} = 4.97 rad/s$ पर मुक्त दोलन स्थायी गति में जुड़ जाता है और $2 π /∣ ω - ω_{d} ∣$ आवर्तकाल के साथ विस्पंदन बनाता है, जो यहाँ 3.4 s और 4.8 s है। जब हिलाने वाला एनीमेशन की तरह केंद्र से शुरू करता है, तो शुरुआती झूले 4.1 cm और 4.5 cm तक पहुँचते हैं, जो स्थायी 3.2 cm से अधिक है। $3/ β = 6 s$ बाद क्षणिक भाग $e^{- 3}$ तक, लगभग 5% रह जाता है।

रैखिक अवमंदन से परे

अब तक की सारी गणना इस मान्यता पर आधारित थी कि अवमंदन बल वेग के समानुपाती है। वास्तविक घर्षण अक्सर ऐसा नहीं होता, और क्षय का आकार बताता है कि कौन-सा नियम काम कर रहा है।

शुष्क घर्षण गति के विपरीत एक स्थिर बल $μ N$ है, जहाँ $μ$ घर्षण गुणांक है और $N$ अभिलंब बल। यह आवर्तकाल $2 π / ω_{0}$ को नहीं बदलता, पर हर अर्ध-दोलन पर आयाम को उतना ही, $2 μ N / k$ , घटा देता है। कारण यह है: $A_{1}$ से $A_{2}$ तक के अर्ध-दोलन में खोई स्प्रिंग ऊर्जा $\frac{1}{2} k (A_{1}^{2} - A_{2}^{2})$ घर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य $μ N (A_{1} + A_{2})$ के बराबर होती है। लिफ़ाफ़ा एक सीधी रेखा है, और जब स्प्रिंग बल घर्षण को पार नहीं कर पाता, तब ब्लॉक एक सीमित समय के बाद पूरी तरह रुक जाता है। यदि एनीमेशन के ब्लॉक पर 0.1 N का घर्षण लगे, तो वह हर अर्ध-दोलन में 8 mm खोएगा और 12 अर्ध-दोलनों के बाद, लगभग 7.5 s पर, रुक जाएगा। यदि अवमंदन बल $v^{2}$ के साथ बढ़ता है, तो बड़े झूले तेज़ी से घटते हैं और छोटे झूले देर तक चलते हैं, इसलिए आयाम लगभग $1/ (1 + t / t_{1})$ से घटता है, जिसमें समय $t_{1}$ प्रारंभिक आयाम से तय होता है। एक व्यावहारिक जाँच: आयाम के लघुगणक को समय के विरुद्ध आलेखित कीजिए। केवल रैखिक अवमंदन ही सीधी रेखा देता है।

स्प्रिंग भी अरेखीय हो सकता है। जो स्प्रिंग बड़े आयाम पर तेज़ दोलन करता है, उसका अनुनाद वक्र उच्च आवृत्तियों की ओर झुकता है, और नोदन आवृत्ति को बढ़ाते समय आयाम दो स्थिर मानों के बीच उछल सकता है। बिना आवर्ती बल के भी ऊर्जा प्रवेश कर सकती है। हर चक्र में दो बार खड़े होने और बैठने से झूला झूलाया जा सकता है, जो दोलित्र के किसी गुण, यानी उसकी प्रभावी लंबाई, को बदलता है, न कि उसे सीधे धक्का देता है: इसे प्राचलिक अनुनाद कहते हैं। गज से बजाया गया तार या घड़ी का पलायन-तंत्र गति के साथ ही तालमेल में ऊर्जा देता है। यह ऋणात्मक अवमंदन जैसा है, जो झूले को तब तक बढ़ाता है जब तक अरेखीयता उसे सीमित न कर दे। 1940 में ध्वस्त हुआ टैकोमा नैरोज़ ब्रिज, एकसमान हवा में ऐसे ही स्व-उत्तेजित फ़्लटर से विफल हुआ था, सरल आवर्ती बल वाले अनुनाद से नहीं।

वैधता की सीमाएँ

रैखिक अवमंदक विद्युत प्रतिरोधक के लिए सटीक है, एडी-धारा ब्रेक के लिए लगभग सटीक है, और श्यान द्रव में धीमी गति के लिए अच्छा है (देखें “कर्षण और सीमांत वेग”)। वास्तविक स्प्रिंग केवल छोटे खिंचाव के लिए रैखिक होता है (देखें “प्रत्यास्थता: हुक का नियम, प्रतिबल और विकृति”)। अनुनादी आयाम बनने में भी समय लगता है: नोदन को $1/ β = 2 Q / ω_{0}$ के कई गुना समय तक चलना होता है, जो 440 Hz पर $Q \approx 2000$ वाले ट्यूनिंग फ़ोर्क के लिए 1.4 s है।

अवमंदन कभी अकेला नहीं आता। ऊर्जा सोखने वाली आणविक टक्करें ब्लॉक को यादृच्छिक रूप से धक्का भी देती हैं, इसलिए तापमान $T$ पर साम्यावस्था में रहने वाले दोलित्र की औसत ऊर्जा $k_{B} T$ बनी रहती है, जहाँ $k_{B}$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है। इसका आधा भाग स्प्रिंग में होता है, इसलिए $\frac{1}{2} k x^{2}$ का माध्य $\frac{1}{2} k_{B} T$ है, और ब्लॉक $k_{B} T / k$ (वर्ग-माध्य-मूल) जितना काँपता है। 300 K पर 25 N/m के स्प्रिंग के लिए यह $1.3 \times 1 0^{- 11} m$ है, जो किसी भी दृश्य परिमाण से बहुत नीचे है। $k = 0.1 N/m$ वाले परमाणु-बल सूक्ष्मदर्शी के कैंटिलीवर के लिए यह 0.2 nm है, जो उस उपकरण की संवेदन सीमा है। अपव्यय और यादृच्छिक बल के बीच का यह संबंध उच्चावच-अपव्यय प्रमेय है। क्वांटम प्रभाव $ℏ ω_{0} \approx 5 \times 1 0^{- 34} J$ के पैकेटों (क्वांटा) में आते हैं; ब्लॉक के 0.125 J के सामने ये पूरी तरह नगण्य हैं, और ये केवल अणुओं, परमाणुओं और बहुत ठंडे सूक्ष्म अनुनादकों के लिए मायने रखते हैं।

यह कहाँ ले जाता है

$x$ की जगह आवेश $q$ रखें, तो वही समीकरण एक श्रेणी परिपथ का वर्णन करता है: $L \overset{q}{¨} + R \overset{q}{˙} + q / C = V_{0} cos ω t$ । प्रेरकत्व $L$ , प्रतिरोध $R$ और $1/ C$ क्रमशः $m$ , $b$ और $k$ की भूमिका निभाते हैं, इसलिए $ω_{0} = 1/ L C$ और $Q = ω_{0} L / R$ । 1 MHz के पास 10 kHz के अंतर पर स्थित मध्यम-तरंग स्टेशनों को अलग करने वाले रेडियो की चौड़ाई $ω_{0} / Q$ इस अंतर से अधिक नहीं होनी चाहिए, इसलिए $Q$ लगभग 100 होना चाहिए। देखें “संधारित्र”, “विद्युत चुंबकीय प्रेरण” और “विद्युत चुंबकीय तरंगें”।

प्रकाश परमाणुओं में बंधे इलेक्ट्रॉनों को उसी तरह चलाता है। उनके पराबैंगनी अनुनादों के नीचे प्रतिक्रिया आवृत्ति के साथ बढ़ती है, और इसी कारण काँच बैंगनी को लाल से अधिक मोड़ता है (देखें “प्रिज़्म, विक्षेपण और रंग”); अनुनाद पर ऊर्जा सोखी जाती है, जैसे किसी नमक के क्रिस्टल के आयन अवरक्त में। वही वक्र, हर बार अपने $ω_{0}$ और $Q$ के साथ, वायुमंडलीय ज्वार, “अप्रगामी तरंगें” की विधाएँ, और MRI स्कैनर के नाभिक, सबको फ़िट करता है। क्वांटम भौतिकी में चौड़ाई और क्षय-समय का गुणनफल उस संबंध के रूप में लौटता है जो वर्णक्रमीय रेखा की चौड़ाई को उस अवस्था के जीवनकाल से जोड़ता है जो उसे उत्सर्जित करती है।

मुख्य सूत्र

अवमंदित दोलित्र पर परिणामी बल

F = - k x - b v

स्प्रिंग ब्लॉक को $- k x$ से साम्यावस्था की ओर खींचता है, और अवमंदक $- b v$ से उसकी गति का विरोध करता है। दोनों बल अलग-अलग क्षणों पर अधिकतम होते हैं: स्प्रिंग बल मोड़-बिंदुओं पर, और अवमंदन बल तब जब ब्लॉक सबसे तेज़ चलता है, जो लघु अवमंदन में साम्यावस्था के लगभग पास होता है। दोनों गति में रैखिक हैं, और इसी से समीकरण ठीक-ठीक हल होता है।

चिह्न
$F$	ब्लॉक पर परिणामी बल	$N$
$k$	स्प्रिंग स्थिरांक	$N/m$
$x$	साम्यावस्था से विस्थापन	$m$
$b$	अवमंदन स्थिरांक	$kg/s$
$v$	ब्लॉक का वेग	$m/s$

कब लागू होता है: स्प्रिंग के लिए हुक का नियम और ऐसे अवमंदन बल की ज़रूरत है जो वेग के समानुपाती हो। यह द्रव में धीमी गति, तेल वाले अवमंदक और एडी-धारा ब्रेक के लिए ठीक है। शुष्क घर्षण (जिसका परिमाण स्थिर है) और तेज़ वायु-प्रतिरोध (लगभग $v^{2}$ के अनुपात में) इस रूप में फ़िट नहीं होते।

उदाहरण: अपनी अधिकतम गति 0.077 m/s पर, भारी ब्लॉक ( $b = 30 kg/s$ ) पर $30 \cdot 0.077 \approx 2.3 N$ का अवमंदन बल लगता है, जो स्प्रिंग के खिंचाव को ठीक संतुलित करता है, जबकि ब्लॉक अभी भी साम्यावस्था से 9.2 cm दूर है।

अवमंदन दर और प्राकृत कोणीय आवृत्ति

β = \frac{b}{2 m}, ω_{0} = \frac{k}{m}

ये दो दरें स्वतंत्र गति की सारी भौतिकी समाहित करती हैं। $ω_{0}$ बताता है कि बिना अवमंदन का दोलित्र कितनी तेज़ी से झूलेगा, यानी कठोरता बनाम जड़त्व; $β$ बताता है कि अवमंदक उसकी ऊर्जा कितनी तेज़ी से सोखता है, यानी अवमंदन बनाम जड़त्व। उनका अनुपात $ζ = β / ω_{0}$ तय करता है कि तंत्र दोलन करेगा या नहीं।

चिह्न
$β$	अवमंदन दर	$s^{- 1}$
$b$	अवमंदन स्थिरांक	$kg/s$
$m$	ब्लॉक का द्रव्यमान	$kg$
$ω_{0}$	प्राकृत कोणीय आवृत्ति	$rad/s$
$k$	स्प्रिंग स्थिरांक	$N/m$

कब लागू होता है: किसी भी रैखिक स्प्रिंग और अवमंदक के लिए। $ω_{0}$ केवल बिना अवमंदन के वास्तविक दोलन आवृत्ति है; अवमंदित तंत्र $ω_{0}^{2} - β^{2}$ पर दोलन करता है।

उदाहरण: एनीमेशन के ब्लॉक: $ω_{0} = 25/1 = 5 rad/s$ , और 1, 10 और 30 kg/s के अवमंदन स्थिरांकों के लिए $β$ 0.5, 5 और 15 s⁻¹ है।

लघु अवमंदित स्वतंत्र दोलन

x = A_{0} e^{- βt} cos (ω_{d} t + φ), ω_{d} = ω_{0}^{2} - β^{2}

क्रांतिक अवमंदन से कम पर भी ब्लॉक दोलन करता है, पर एक लिफ़ाफ़े $A_{0} e^{- βt}$ के भीतर, जो हर चक्र में उसी अनुपात में घटता है। दोलन $ω_{d}$ पर होता है, जो $ω_{0}$ से थोड़ा धीमा है, क्योंकि अवमंदक ब्लॉक को थोड़ा पीछे रोकता है। अचर $A_{0}$ और $φ$ प्रारंभिक स्थिति और प्रारंभिक वेग से तय होते हैं।

चिह्न
$x$	समय $t$ पर साम्यावस्था से विस्थापन	$m$
$A_{0}$	$t = 0$ पर लिफ़ाफ़े का आयाम	$m$
$β$	अवमंदन दर	$s^{- 1}$
$t$	छोड़े जाने के बाद का समय	$s$
$ω_{d}$	अवमंदित कोणीय आवृत्ति	$rad/s$
$φ$	कला स्थिरांक	$rad$
$ω_{0}$	प्राकृत कोणीय आवृत्ति	$rad/s$

कब लागू होता है: केवल लघु अवमंदन के लिए, $β < ω_{0}$ । $β = ω_{0}$ पर आवृत्ति $ω_{d}$ शून्य हो जाती है और गति बिना दोलन की वापसी बन जाती है।

उदाहरण: लघु अवमंदन वाला ब्लॉक: $ω_{d} = 25 - 0.25 \approx 4.97 rad/s$ , और 3 s बाद लिफ़ाफ़ा $10 cm \cdot e^{- 1.5} \approx 2.2 cm$ है।

क्रांतिक अवमंदन गुणांक

b_{c} = 2 km = 2 m ω_{0}

क्रांतिक अवमंदन तब पहुँचता है जब अवमंदन दर $b / (2 m)$ प्राकृत कोणीय आवृत्ति $k / m$ के बराबर हो, ताकि अवमंदित आवृत्ति शून्य हो जाए। $b$ के लिए हल करने पर $2 km$ मिलता है। इस मान पर विस्थापित तंत्र बिना आगे निकले यथासंभव तेज़ी से साम्यावस्था में लौटता है।

चिह्न
$b_{c}$	क्रांतिक अवमंदन स्थिरांक	$kg/s$
$k$	स्प्रिंग स्थिरांक	$N/m$
$m$	द्रव्यमान	$kg$
$ω_{0}$	प्राकृत कोणीय आवृत्ति	$rad/s$

कब लागू होता है: रैखिक स्प्रिंग और रैखिक अवमंदक के लिए। $b_{c}$ से नीचे तंत्र दोलन करता है, उससे ऊपर हो तो धीरे लौटता है; यदि थोड़ा आगे निकलना स्वीकार्य हो, तो थोड़ा कम अवमंदन (अवमंदन अनुपात लगभग 0.75) कुछ प्रतिशत के भीतर और भी जल्दी स्थिर हो जाता है।

उदाहरण: $m = 1 kg$ और $k = 25 N/m$ : $b_{c} = 2 25 \cdot 1 = 10 kg/s$ , यानी बीच वाले ब्लॉक का अवमंदन स्थिरांक।

गुणवत्ता गुणांक

Q = \frac{ω _{0}}{2 β} = \frac{m ω _{0}}{b}

$Q$ प्राकृत दर $ω_{0}$ की ऊर्जा क्षय दर $2 β$ से तुलना करता है: यह संचित ऊर्जा को गति के प्रति रेडियन खोई ऊर्जा से भाग देने पर मिलता है। उच्च $Q$ का अर्थ है कमज़ोर अवमंदन, थपथपाने के बाद लंबी गूँज, और ऊँचा, तीखा अनुनाद शिखर। मुक्त रूप से बजता दोलित्र हर चक्र से अगले चक्र तक अपने आयाम का लगभग $e^{- π / Q}$ भाग बनाए रखता है।

चिह्न
$Q$	गुणवत्ता गुणांक
$ω_{0}$	प्राकृत कोणीय आवृत्ति	$rad/s$
$β$	अवमंदन दर	$s^{- 1}$
$m$	द्रव्यमान	$kg$
$b$	अवमंदन स्थिरांक	$kg/s$

कब लागू होता है: लघु अवमंदन के लिए उपयोगी। ऐसे अनुभवजन्य नियम जैसे हर चक्र में खोई ऊर्जा का अंश $2 π / Q$ मानने के लिए $Q$ का बड़ा होना ज़रूरी है; क्रांतिक अवमंदन $Q = 1/2$ से मेल खाता है।

उदाहरण: लघु अवमंदन वाला ब्लॉक: $Q = 5/ (2 \cdot 0.5) = 5$ , इसलिए 5 चक्रों के बाद आयाम का केवल $e^{- π}$ , यानी लगभग 4%, बचता है।

नोदित दोलित्र का स्थायी आयाम

A (ω) = \frac{F _{0} / m}{( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) ^{2} + ( 2 β ω ) ^{2}}

क्षणिक भाग के समाप्त होने के बाद $F_{0} cos ω t$ से चलाया गया अवमंदित दोलित्र नोदन आवृत्ति पर इस आयाम से गति करता है। पद $ω_{0}^{2} - ω^{2}$ स्प्रिंग और जड़त्व के बीच का बेमेल है, और $2 β ω$ अवमंदन है। $ω_{0}$ से बहुत नीचे आयाम स्थैतिक खिंचाव $F_{0} / k$ की ओर जाता है, उससे बहुत ऊपर वह $1/ ω^{2}$ के अनुसार घटता है, और $ω_{0}$ के निकट केवल अवमंदन पद उसे सीमित करता है।

चिह्न
$A (ω)$	नोदन आवृत्ति $ω$ पर स्थायी आयाम	$m$
$ω$	नोदन कोणीय आवृत्ति	$rad/s$
$F_{0}$	नोदन बल का आयाम	$N$
$m$	द्रव्यमान	$kg$
$ω_{0}$	प्राकृत कोणीय आवृत्ति	$rad/s$
$β$	अवमंदन दर	$s^{- 1}$

कब लागू होता है: केवल स्थायी अवस्था में, नोदन शुरू होने के कुछ गुना $1/ β$ बाद, और केवल ज्या-आकार बल से चलाए गए रैखिक स्प्रिंग और अवमंदक के लिए।

उदाहरण: हिलाया गया स्प्रिंग ( $F_{0} / m = 0.5 m/ s^{2}$ ) 1.00 Hz पर चलाया गया: $A = 0.5/ 14.4 8^{2} + 6.2 8^{2} \approx 0.032 m$ , जो अनुनाद पर 10 cm का एक-तिहाई है।

अनुनाद पर आयाम

A (ω_{0}) = \frac{F _{0}}{b ω _{0}} = \frac{Q F _{0}}{k}

$ω = ω_{0}$ पर स्प्रिंग बल और जड़त्व एक-दूसरे को निरस्त करते हैं, इसलिए नोदन को केवल अवमंदन बल संतुलित करना होता है: $F_{0} = b ω_{0} A$ । तब आयाम स्थैतिक खिंचाव $F_{0} / k$ का $Q$ गुना होता है। कमज़ोर अवमंदन एक छोटे बल को बड़ी गति में बदल देता है, और विस्थापन बल से ठीक एक चौथाई चक्र पीछे रहता है।

चिह्न
$A (ω_{0})$	$ω_{0}$ पर नोदित होने पर स्थायी आयाम	$m$
$F_{0}$	नोदन बल का आयाम	$N$
$b$	अवमंदन स्थिरांक	$kg/s$
$ω_{0}$	प्राकृत कोणीय आवृत्ति	$rad/s$
$Q$	गुणवत्ता गुणांक
$k$	स्प्रिंग स्थिरांक	$N/m$

कब लागू होता है: रैखिक दोलित्र की स्थायी अवस्था के लिए। सख़्ती से कहें तो आयाम का शिखर $ω_{0}$ से थोड़ा नीचे, $ω_{0}^{2} - 2 β^{2}$ पर होता है, पर जब तक $Q$ छोटा न हो, अंतर नगण्य है; बहुत बड़े आयाम पर वास्तविक स्प्रिंग अरेखीय हो जाते हैं।

उदाहरण: एनीमेशन में हिलाया गया स्प्रिंग: $F_{0} = kY = 0.5 N$ , इसलिए $A = 0.5/ (1 \cdot 5) = 0.10 m$ , यानी $Q Y = 10 cm$ ।

शब्दावली

प्राकृत आवृत्ति: वह आवृत्ति जिस पर तंत्र विक्षुब्ध होने और अकेला छोड़े जाने पर, बिना अवमंदन के, दोलन करता है: स्प्रिंग पर ब्लॉक के लिए $ω_{0} = k / m$ , या हर्ट्ज़ में $f_{0} = ω_{0} / (2 π)$ । एनीमेशन के ब्लॉकों के लिए यह 5 rad/s, यानी 0.80 Hz है।
अवमंदन: दोलन की ऊर्जा का धीरे-धीरे क्षय, आम तौर पर ऊष्मा में, घर्षण, कर्षण या विद्युत प्रतिरोध के माध्यम से। लघु अवमंदन आयाम घटाता है, जबकि लय लगभग अपरिवर्तित रहती है।
श्यान अवमंदन: ऐसे बल द्वारा अवमंदन जो वेग के समानुपाती और विपरीत है, $F = - b v$ , जैसे द्रव में धीमी गति या कार के शॉक अब्ज़ॉर्बर में। यह घातांकीय क्षय देता है; शुष्क घर्षण, जिसका परिमाण स्थिर होता है, इसके बजाय रैखिक क्षय देता है।
लघु अवमंदन: क्रांतिक मान से कम अवमंदन, $b < b_{c}$ , जिसे अल्प-अवमंदन भी कहते हैं। तंत्र बार-बार साम्यावस्था को पार करता है, और उसके झूले हर चक्र में उसी अनुपात में घटते हैं।
क्रांतिक अवमंदन: अवमंदन $b_{c} = 2 km$ , जो किसी भी उछाल को रोकने के लिए ठीक पर्याप्त है। विस्थापित तंत्र तब बिना साम्यावस्था को पार किए संभव न्यूनतम समय में वहाँ लौटता है, और दरवाज़ा-बंद करने वाले उपकरण इसी का लक्ष्य रखते हैं।
गुरु अवमंदन: क्रांतिक मान से अधिक अवमंदन, $b > b_{c}$ , जिसे अति-अवमंदन भी कहते हैं। कोई दोलन नहीं होता, केवल साम्यावस्था की ओर धीमी वापसी होती है, और $b$ जितना बड़ा, वापसी उतनी धीमी।
नोदित दोलन: किसी आवर्ती बाहरी बल, जैसे $F_{0} cos ω t$ , द्वारा धकेले गए दोलित्र की गति, जिसे बलपूर्वक दोलन भी कहते हैं। आरंभिक चरण समाप्त होने के बाद यह नोदन आवृत्ति $ω$ पर चलता है, अपनी आवृत्ति पर नहीं।
क्षणिक भाग: नोदित दोलित्र की गति का वह हिस्सा जो उसकी अपनी मुक्त गूँज से आता है। यह $e^{- βt}$ से क्षीण होता है और कुछ गुना $1/ β$ समय बाद समाप्त हो जाता है, केवल स्थायी अवस्था छोड़कर।
स्थायी अवस्था: क्षणिक भाग समाप्त होने के बाद नोदित दोलित्र की निरंतर गति: नोदन आवृत्ति पर दोलन, स्थिर आयाम $A (ω)$ और बल के सापेक्ष स्थिर कला-पश्चता के साथ।
अनुनाद: प्राकृत आवृत्ति के निकट नोदित दोलित्र की बड़ी प्रतिक्रिया, जहाँ हर धक्का ऊर्जा जोड़ता है। अवमंदन बल $- b v$ के साथ अनुनाद पर स्थायी आयाम $Q F_{0} / k$ होता है, यानी वह खिंचाव जो वही बल स्थिर रूप से लगाए जाने पर पैदा करता, उसका $Q$ गुना।
अनुनाद वक्र: स्थायी आयाम, या अवशोषित शक्ति, का नोदन आवृत्ति के विरुद्ध आलेख। यह $ω_{0}$ के निकट शिखर पर होता है, जिसकी ऊँचाई $Q$ के समानुपाती है और अर्ध-शक्ति पर पूर्ण चौड़ाई $ω_{0} / Q$ है।
कला-पश्चता: विस्थापन नोदन बल से कितना पीछे रहता है, इसका कोण $δ$ के रूप में मान, जहाँ एक पूरा चक्र $36 0^{\circ}$ गिना जाता है। अनुनाद से बहुत नीचे यह लगभग 0 होता है, $ω_{0}$ पर ठीक $9 0^{\circ}$ और उससे बहुत ऊपर लगभग $18 0^{\circ}$ ।

राशियाँ
$b$	अवमंदन स्थिरांक	$kg/s$	प्रति इकाई वेग अवमंदन बल; 1 kg/s, 1 N·s/m के बराबर है। एनीमेशन के तीन ब्लॉकों के अवमंदन स्थिरांक 1, 10 और 30 kg/s हैं।
$β$	अवमंदन दर	$s^{- 1}$	प्रति इकाई द्रव्यमान अवमंदन स्थिरांक का आधा, $b / (2 m)$ : समय $1/ β$ में आयाम $e$ गुना घट जाता है। लघु अवमंदन वाले ब्लॉक के लिए, $0.5 s^{- 1}$ ।
$ω_{0}$	प्राकृत कोणीय आवृत्ति	$rad/s$	$k / m$ , बिना अवमंदन दोलित्र की कोणीय आवृत्ति: हर्ट्ज़ में प्राकृत आवृत्ति $f_{0}$ का $2 π$ गुना।
$ω_{d}$	अवमंदित कोणीय आवृत्ति	$rad/s$	लघु अवमंदन वाले मुक्त दोलन की कोणीय आवृत्ति, $ω_{0}^{2} - β^{2}$ , जो $ω_{0}$ से थोड़ी कम है: लघु अवमंदन वाले ब्लॉक के लिए 5 rad/s के बजाय 4.97 rad/s।
$b_{c}$	क्रांतिक अवमंदन स्थिरांक	$kg/s$	वह अवमंदन स्थिरांक जिस पर $β = ω_{0}$ , और जो $2 km$ के बराबर है: दोलन और धीमी वापसी के बीच की सीमा। एनीमेशन के ब्लॉकों के लिए यह 10 kg/s है।
$ζ$	अवमंदन अनुपात		$β / ω_{0} = b / b_{c}$ : 1 से कम हो तो तंत्र दोलन करता है, 1 पर क्रांतिक अवमंदित होता है, 1 से अधिक पर धीरे लौटता है। एनीमेशन के ब्लॉकों के लिए 0.1, 1 और 3।
$Q$	गुणवत्ता गुणांक		$ω_{0} / (2 β)$ , यानी संचित ऊर्जा को प्रति रेडियन खोई ऊर्जा से भाग देने पर मिलने वाला मान। मुक्त दोलन लगभग $Q$ चक्रों तक गूँजता है, और अनुनाद शिखर स्थैतिक प्रतिक्रिया का $Q$ गुना होता है।
$ω$	नोदन कोणीय आवृत्ति	$rad/s$	आवर्ती बल की कोणीय आवृत्ति, जो प्रति सेकंड धक्कों की संख्या का $2 π$ गुना है। स्थायी अवस्था में दोलित्र इसी आवृत्ति पर चलता है।
$F_{0}$	नोदन बल का आयाम	$N$	आवर्ती बल $F_{0} cos ω t$ का अधिकतम मान। स्प्रिंग के सिरे को $Y$ हिलाना $F_{0} = kY$ के समतुल्य है, जो एनीमेशन में 0.5 N है।
$A$	आयाम	$m$	एक चक्र में अधिकतम विस्थापन। मुक्त क्षय में यह प्रारंभिक मान $A_{0}$ से $A_{0} e^{- βt}$ के अनुसार घटता है; नोदन के अधीन यह स्थायी मान $A (ω)$ पर स्थिर होता है।

क्विज़

शुरुआती तीन समान ब्लॉक समान स्प्रिंगों से लटके हैं और एक साथ नीचे खींचकर छोड़े जाते हैं: एक लघु अवमंदित, एक क्रांतिक अवमंदित, और एक गुरु अवमंदित। कौन-सा सबसे पहले स्थिर होगा?
1. लघु अवमंदित वाला
2. क्रांतिक अवमंदित वाला
3. गुरु अवमंदित वाला
4. तीनों एक ही क्षण पर
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: B. क्रांतिक अवमंदित वाला
क्रांतिक अवमंदन ठीक उतना है कि आगे निकलना रुक जाए। कम अवमंदन पर ब्लॉक उछलता रहता है; अधिक अवमंदन पर अवमंदक वापसी को इतना धीमा कर देता है कि ब्लॉक केवल धीरे-धीरे रेंगकर लौटता है।
शुरुआती एक झूले को एक बार धक्का देकर अकेला छोड़ दिया जाए, तो वह धीरे-धीरे रुक जाता है। क्यों?
1. गुरुत्वाकर्षण उसे अंततः खींचना बंद कर देता है
2. उसकी ऊर्जा हर झूले में थोड़ी नष्ट हो जाती है
3. घर्षण और हवा का प्रतिरोध उसकी ऊर्जा को ऊष्मा में बदल देते हैं
4. उसकी प्राकृत लय तब तक धीमी होती है जब तक वह रुक न जाए
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उत्तर: C. घर्षण और हवा का प्रतिरोध उसकी ऊर्जा को ऊष्मा में बदल देते हैं
ऊर्जा कभी नष्ट नहीं होती: धुरी पर घर्षण और हवा का प्रतिरोध झूले की ऊर्जा को ऊष्मा में बदलते हैं, हर झूले में थोड़ी-थोड़ी। यही हानि अवमंदन है। लय लगभग वही रहती है, जबकि झूले छोटे होते जाते हैं।
शुरुआती आप केवल छोटे धक्कों से झूले को और ऊँचा ले जाना चाहते हैं। आपको कैसे धक्का देना चाहिए?
1. हर झूले में एक बार, उसकी लय के अनुसार, जब वह आपसे दूर जा रहा हो
2. जितनी बार और जितना तेज़ हो सके
3. यादृच्छिक क्षणों पर, ताकि धक्के आपस में औसत हो जाएँ
4. केवल तब जब वह सबसे निचले बिंदु से गुज़रे और आपकी ओर बढ़े
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उत्तर: A. हर झूले में एक बार, उसकी लय के अनुसार, जब वह आपसे दूर जा रहा हो
हर झूले में एक बार, और हर बार जब झूला आपसे दूर जा रहा हो, धक्का देने से हर बार ऊर्जा जुड़ती है, इसलिए छोटे धक्के बड़ा झूला बना देते हैं: यही अनुनाद है। वही धक्का जब झूला आपकी ओर बढ़ रहा हो, तब ऊर्जा निकाल लेता है।
मध्यम 1 kg का एक ब्लॉक k = 25 N/m के स्प्रिंग से लटका है। कौन-सा अवमंदन स्थिरांक b उसे क्रांतिक अवमंदित करेगा?
1. 5 kg/s
2. 25 kg/s
3. 10 kg/s
4. 50 kg/s
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: C. 10 kg/s
b_c = 2√(k·m) = 2 × √(25 × 1) = 10 kg/s। गुणांक 2 भूल जाने पर 5 kg/s मिलता है; वर्गमूल हटाने पर 2 × 25 = 50 kg/s; और दोनों हटाने पर 25 kg/s।
मध्यम एक लघु अवमंदित दोलित्र का β = b/(2m) = 0.5 s⁻¹ है और t = 0 पर उसका आयाम 10 cm है। t = 2 s पर उसका आयाम क्या है?
1. 6.1 cm
2. 1.4 cm
3. 5.0 cm
4. 3.7 cm
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: D. 3.7 cm
A = A₀·e^(−βt) = 10 cm × e^(−1) ≈ 3.7 cm। 1/β = 2 s वह समय है जिसमें आयाम घटकर 1/e ≈ 37% रह जाता है, आधा नहीं; इसे अर्ध-आयु मानने पर 5 cm मिलता। ऊर्जा, जो A² के अनुपात में है, e^(−2βt) से घटती है: उस घातांक से 1.4 cm मिलता है, और e^(−βt/2) से 6.1 cm।
मध्यम एक घर्षण वाले झूले को उसकी प्राकृत आवृत्ति पर, हर बार एक समान छोटे धक्के से चलाया जाता है। उसके आयाम का क्या होता है?
1. वह अनंत तक बढ़ता है
2. वह बढ़ता है, फिर स्थिर हो जाता है जब हर झूले में खोई ऊर्जा दी गई ऊर्जा के बराबर हो जाती है
3. वह पहले झूले के आयाम जितना ही रहता है
4. वह बढ़ता है, फिर घटकर शून्य हो जाता है
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: B. वह बढ़ता है, फिर स्थिर हो जाता है जब हर झूले में खोई ऊर्जा दी गई ऊर्जा के बराबर हो जाती है
अवमंदन की हानियाँ आयाम के साथ बढ़ती हैं, इसलिए झूला तब तक बढ़ता है जब तक हानियाँ दी जा रही ऊर्जा के बराबर न हो जाएँ। अवमंदन बल −b·v के लिए स्थायी आयाम A = F₀/(b·ω₀) = Q·F₀/k है: बड़ा, पर सीमित।
उन्नत एक लघु अवमंदित दोलित्र को उसके प्राकृत कोणीय आवृत्ति ω₀ पर ठीक नोदित किया जाता है। स्थायी अवस्था में उसका विस्थापन नोदन बल की तुलना में कैसा होता है?
1. बल के साथ समान कला में
2. आधा चक्र (180°) पीछे
3. एक चौथाई चक्र (90°) आगे
4. एक चौथाई चक्र (90°) पीछे
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: D. एक चौथाई चक्र (90°) पीछे
tan δ = 2βω/(ω₀² − ω²) ω₀ पर अनंत हो जाता है, इसलिए δ = 90°: विस्थापन एक चौथाई चक्र पीछे रहता है और वेग बल के साथ समान कला में होता है, इसलिए नोदन पूरे चक्र में धनात्मक कार्य करता है।
उन्नत दो दोलित्रों का द्रव्यमान और स्प्रिंग समान हैं, और केवल उनका अवमंदन अलग है: एक का Q = 50 है, दूसरे का Q = 5। एक ही बल से नोदित करने पर Q = 50 दोलित्र का अनुनाद शिखर दूसरे की तुलना में कैसा होगा?
1. लगभग 10 गुना ऊँचा और 10 गुना संकीर्ण
2. लगभग 10 गुना ऊँचा और उतना ही चौड़ा
3. उतना ही ऊँचा, पर 10 गुना संकीर्ण
4. लगभग 100 गुना ऊँचा और 10 गुना संकीर्ण
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: A. लगभग 10 गुना ऊँचा और 10 गुना संकीर्ण
अनुनाद पर A = Q·F₀/k, इसलिए शिखर की ऊँचाई Q के अनुपात में बढ़ती है, जबकि चौड़ाई Δω ≈ ω₀/Q, यानी 1/Q के अनुपात में घटती है।

$x$	साम्यावस्था से ब्लॉक का विस्थापन।	$m$
$t$	छोड़े जाने के बाद का समय।	$s$
$E$	संचित ऊर्जा, गतिज और स्प्रिंग की: $\frac{1}{2} m \overset{x}{˙}^{2} + \frac{1}{2} k x^{2}$ ।	$J$
$E_{0}$	छोड़ते समय की ऊर्जा, पूरी स्प्रिंग में: $\frac{1}{2} k A_{0}^{2}$ ।	$J$
$e^{- 2 βt}$	बिंदुकित वक्र $E_{0} e^{- 2 βt}$ का क्षय गुणक, जिसे ऊर्जा हर मोड़-बिंदु पर छूती है।
$d E / d t$	ऊर्जा की परिवर्तन दर, $- b \overset{x}{˙}^{2}$ : जहाँ ब्लॉक सबसे तेज़ चलता है वहाँ परिमाण में सबसे बड़ी, मोड़-बिंदु पर शून्य।	$W$
$T_{d}$	अवमंदित आवर्तकाल $2 π / ω_{d}$ : एक पूरा चक्र, यानी हरा खंड।	$s$

$F_{0} / m$	नोदन, यानी प्रति इकाई द्रव्यमान बल, वास्तविक अक्ष के अनुदिश।	$m/ s^{2}$
$\overset{x}{^}$	विस्थापन का सम्मिश्र आयाम, नोदन से $- δ$ कोण पर; अपने पैमाने पर खींचा गया।	$m$
$(ω_{0}^{2} - ω^{2}) \overset{x}{^}$	स्प्रिंग और जड़त्व पद मिलकर: $\overset{x}{^}$ का वास्तविक गुणज, इसलिए यह $\overset{x}{^}$ की दिशा में है।	$m/ s^{2}$
$(2 β ω) i \overset{x}{^}$	अवमंदन पद: गुणक $i$ से $\overset{x}{^}$ एक चौथाई चक्कर आगे घुमाया गया और $2 β ω$ से गुणा किया गया।	$m/ s^{2}$
$δ$	नोदन के सापेक्ष विस्थापन की कला-पश्चता: $\overset{x}{^}$ और $F_{0} / m$ के बीच का कोण।	$rad$

$s_{1}$	धन चिह्न वाला मूल: पहले ऊपर का नीला बिंदु, फिर वास्तविक अक्ष पर, 0 की ओर लौटता हुआ।	$s^{- 1}$
$s_{2}$	ऋण चिह्न वाला मूल: पहले नीचे का नीला बिंदु, फिर वास्तविक अक्ष पर, 0 से दूर जाता हुआ।	$s^{- 1}$
$β$	अवमंदन दर $b / (2 m)$ : युग्म के वास्तविक भाग का ऋणात्मक, यानी ऊर्ध्वाधर अक्ष से बाईं ओर उसकी दूरी।	$s^{- 1}$
$ω_{d}$	अवमंदित कोणीय आवृत्ति $ω_{0}^{2} - β^{2}$ : $s_{1}$ का काल्पनिक भाग, यानी ऊपरी बिंदु की ऊँचाई।	$rad/s$
$ω_{0}$	प्राकृत कोणीय आवृत्ति $k / m$ : चाप की त्रिज्या, और $- ω_{0}$ वह स्थान है जहाँ दोनों मूल मिलते हैं।	$rad/s$

$A$	विस्थापन का स्थायी आयाम।	$m$
$δ$	नोदन के सापेक्ष विस्थापन की कला-पश्चता।	$rad$
$ω$	नोदन की कोणीय आवृत्ति।	$rad/s$
$ω_{0}$	प्राकृत कोणीय आवृत्ति: आयाम शिखर के दाईं ओर, जहाँ $δ = π /2$ ।	$rad/s$
$ω_{1}$	निचली अर्ध-शक्ति आवृत्ति, जहाँ $δ = π /4$ ।	$rad/s$
$ω_{2}$	ऊपरी अर्ध-शक्ति आवृत्ति, जहाँ $δ = 3 π /4$ ।	$rad/s$
$Δ ω$	अर्ध-शक्ति पर पूर्ण चौड़ाई: $ω_{2} - ω_{1} = 2 β = ω_{0} / Q$ ।	$rad/s$
$F_{0} / k$	स्थैतिक खिंचाव: बहुत धीरे बदलते नोदन के लिए आयाम।	$m$
$Q F_{0} / k$	$ω_{0}$ पर आयाम: स्थैतिक खिंचाव का $Q$ गुना।	$m$
$π /2$	चौथाई चक्कर: $ω_{0}$ पर कला-पश्चता।	$rad$
$π$	आधा चक्कर: $ω_{0}$ से बहुत ऊपर की कला-पश्चता, जहाँ ब्लॉक नोदन के विपरीत चलता है।	$rad$