प्रिज़्म, विक्षेपण और रंग

हर रंग का अपना अपवर्तनांक $n (λ)$ होता है, इसलिए प्रिज़्म सफ़ेद प्रकाश को वर्णक्रम में फैला देता है और वर्षा-बूँदें लगभग 42° पर इंद्रधनुष का प्रकाश वापस भेजती हैं; रंगीन प्रकाश जुड़ते हैं, जबकि रंगद्रव्य घटाते हैं।

एक सफ़ेद किरण काँच के प्रिज़्म में प्रवेश करती है और वर्णक्रम में फैल जाती है; फिर सूरज की रोशनी एक वर्षा-बूँद में प्रवेश करती है, उसकी पिछली सतह से परावर्तित होती है और लगभग 42° पर रंगों में बँटकर निकलती है।

इस विषय से पहले: परावर्तन और अपवर्तन

शुरुआती

मुख्य विचार

सफ़ेद प्रकाश सभी रंगों का मिश्रण है; प्रिज़्म रंग नहीं बनाता, केवल उन्हें अलग करता है।
काँच बैंगनी प्रकाश को लाल से ज़्यादा धीमा करता है, इसलिए बैंगनी सबसे ज़्यादा और लाल सबसे कम मुड़ता है: रंगों का यही अलगाव विक्षेपण है।
हर वर्षा-बूँद सूरज की रोशनी को इसी तरह अलग करती है: सूरज आपके पीछे हो, तो सामने की बारिश में इंद्रधनुष दिखता है।
रंगीन प्रकाश जुड़ते हैं: लाल, हरा और नीला मिलकर सफ़ेद दिखते हैं, इसी तरह स्क्रीन हर रंग बनाती है।

चरण 1, सफ़ेद एक मिश्रण है। धूप बेरंग दिखती है, फिर भी उसमें इंद्रधनुष के सभी रंग एक साथ होते हैं। 1666 में आइज़ेक न्यूटन ने सूरज की किरण को काँच के प्रिज़्म से गुज़ारा और रंगों की एक पट्टी पाई, जो हमेशा एक ही क्रम में थी: लाल, नारंगी, पीला, हरा, नीला, बैंगनी। यही पट्टी वर्णक्रम है।

चरण 2, काँच में हर रंग की अपनी चाल होती है। निर्वात में सभी रंग एक ही चाल से चलते हैं, पर काँच बैंगनी को सबसे ज़्यादा और लाल को सबसे कम धीमा करता है। चूँकि मुड़ना धीमे होने से आता है, बैंगनी सबसे ज़्यादा मुड़ता है और लाल सबसे कम। अपवर्तन से रंगों का इस तरह अलग होना विक्षेपण कहलाता है। सपाट खिड़की के काँच में भी थोड़ा विक्षेपण होता है, पर उसकी दूसरी सतह पहली के समानांतर होती है और प्रभाव को निरस्त कर देती है; प्रिज़्म की झुकी हुई सतहें इसके विपरीत प्रभाव जोड़ती हैं, इसलिए रंगों का पंखा चौड़ा खुल जाता है।

एनिमेशन में टॉर्च सफ़ेद प्रकाश को प्रिज़्म पर डालती है: देखिए कि किरण काँच को पार करते हुए कैसे फैलती है और मेज़ पर वर्णक्रम बनाती है।

चरण 3, इंद्रधनुष। हर वर्षा-बूँद एक छोटे प्रिज़्म की तरह काम करती है, जिसके पीछे एक दर्पण हो: सूरज की रोशनी अंदर जाती है, बूँद के पिछले भाग से परावर्तित होती है और छँटे हुए रंगों में बाहर आती है, हर रंग लगभग 42° के अपने कोण पर। इसीलिए इंद्रधनुष तभी दिखता है जब सूरज आपके पीछे हो और बारिश सामने; इंद्रधनुष के बाहरी किनारे पर लाल रंग होता है।

चरण 4, चीज़ों के रंग। पका टमाटर लाल दिखता है, क्योंकि वह ज़्यादातर रंगों को सोख लेता है और मुख्य रूप से लाल लौटाता है। प्रकाश के रंग, इसके उलट, जुड़ते हैं: लाल, हरा और नीला मिलकर सफ़ेद दिखते हैं, और फ़ोन की स्क्रीन तीन तरह के छोटे बिंदुओं से हर रंग इसी तरह बनाती है।

खुद जाँचें: केवल नीली रोशनी में पका टमाटर किस रंग का दिखेगा? (लगभग काला: उसके पास लौटाने के लिए लाल प्रकाश नहीं है।)

मध्यम

मुख्य विचार

$n$ तरंगदैर्घ्य पर निर्भर है: $n_{violet} > n_{red}$ , इसलिए बैंगनी काँच में धीमा है ( $v = c / n$ ) और ज़्यादा मुड़ता है।
हर सतह पर स्नेल का नियम: $sin θ_{1} = n sin θ_{2}$ , फिर $θ_{3} = α - θ_{2}$ , फिर $sin θ_{4} = n sin θ_{3}$ ।
विचलन $δ = θ_{1} + θ_{4} - α$ ; पतले प्रिज़्म के लिए $δ \approx (n - 1) α$ , इसलिए रंगों का फैलाव लगभग $Δ n α$ है।
प्रकाश मिलाने पर जोड़ होता है (लाल + हरा = पीला); रंगद्रव्य मिलाने पर घटाव होता है (पीला + सायन = हरा)।

अपवर्तनांक, तरंगदैर्घ्य और विक्षेपण

प्रकाश निर्वात में $c = 3.00 \times 1 0^{8} m/s$ की चाल से चलता है, चाहे उसका रंग कुछ भी हो। किसी पारदर्शी पदार्थ में वह धीमा होता है, चाल $v$ से, और अपवर्तनांक बताता है कि वह कितने गुना धीमा है:
$n = \frac{c}{v}$

सतह पार करते समय प्रकाश अपनी आवृत्ति $f$ बनाए रखता है, क्योंकि दूसरी ओर का माध्यम आने वाली तरंग की दर से ही कंपित होता है; चूँकि $v = f λ$ , तरंगदैर्घ्य सिकुड़ता है, और उसका गुणक $n$ होता है। रंग आवृत्ति से जुड़ा है, इसलिए रंगों को निर्वात में उनके तरंगदैर्घ्य $λ$ से पहचाना जाता है: लाल के लिए लगभग 700 nm ( $f = 4.3 \times 1 0^{14} Hz$ ) और बैंगनी के लिए 400 nm।

हर रंग के लिए अपवर्तनांक थोड़ा अलग है, और यही अंतर विक्षेपण है। काँच और पानी में अपवर्तनांक छोटी तरंगदैर्घ्य की ओर बढ़ता है, एक प्रयोगसिद्ध नियम के अनुसार:
$n (λ) \approx A + \frac{B}{λ ^{2}} (Cauchy)$
एनिमेशन का प्रिज़्म एक सघन फ़्लिंट काँच है, जिसमें $A = 1.700$ और $B = 16000 n m^{2}$ है, इसलिए $n_{red} = 1.700 + 16 000/70 0^{2} = 1.733$ और $n_{violet} = 1.700 + 16 000/40 0^{2} = 1.800$ । पानी में विक्षेपण कम है: लाल के लिए 1.3305, बैंगनी के लिए 1.3435। ये छोटे अंतर, 0.067 और 0.013, ही रंगों को अलग करते हैं।

प्रिज़्म में दो बार अपवर्तन

हर सतह पर स्नेल का नियम लागू होता है, और हर कोण उस सतह के अभिलंब से मापा जाता है:
$n_{1} sin θ_{1} = n_{2} sin θ_{2}$
हवा में शीर्ष-कोण $α$ वाले प्रिज़्म के लिए किरण का पथ तीन चरणों में निकाला जा सकता है:

$sin θ_{1} = n sin θ_{2}$
$θ_{3} = α - θ_{2}$
$sin θ_{4} = n sin θ_{3}$

बीच वाला चरण ज्यामिति है: प्रिज़्म के अंदर की किरण और दो सतह-अभिलंब एक त्रिभुज बनाते हैं जिसका तीसरा कोण $18 0^{\circ} - α$ है, इसलिए $θ_{2} + θ_{3} = α$ । किरण पहली सतह पर $θ_{1} - θ_{2}$ और दूसरी सतह पर $θ_{4} - θ_{3}$ मुड़ती है, और दोनों बार आधार की ओर; इसलिए कुल विचलन है
$δ = θ_{1} + θ_{4} - α (prism of apex angle α)$

छोटे कोणों वाले पतले प्रिज़्म के लिए ज्याओं को कोणों से बदला जा सकता है: $θ_{1} + θ_{4} \approx n (θ_{2} + θ_{3}) = n α$ , और
$δ \approx (n - 1) α (thin prism)$
तब दो रंग लगभग $(n_{violet} - n_{red}) α$ से अलग होते हैं। खिड़की के काँच में $α = 0$ होता है: हर रंग आने वाली किरण के समानांतर निकलता है, और रंग फिर से एक-दूसरे पर आ जाते हैं।

हल किया उदाहरण: एनिमेशन का प्रिज़्म

सफ़ेद किरण पहली सतह से $θ_{1} = 5 5^{\circ}$ पर मिलती है, और $sin 5 5^{\circ} = 0.8192$ । लाल के लिए $sin θ_{2} = 0.8192/1.733 = 0.4727$ , इसलिए $θ_{2} = 28. 2^{\circ}$ ; बैंगनी के लिए $sin θ_{2} = 0.8192/1.800 = 0.4551$ और $θ_{2} = 27. 1^{\circ}$ । काँच के अंदर दोनों पथ केवल $1. 1^{\circ}$ दूर हैं, इसलिए एनिमेशन वहाँ एक ही सफ़ेद किरण दिखाता है।

दोनों किरणें दूसरी सतह पर $θ_{3} = 6 0^{\circ} - θ_{2}$ पर पहुँचती हैं: लाल के लिए $31. 8^{\circ}$ , बैंगनी के लिए $32. 9^{\circ}$ । बाहर निकलते समय, लाल के लिए $sin θ_{4} = 1.733 \cdot 0.5267 = 0.9128$ , इसलिए $θ_{4} = 65. 9^{\circ}$ , और बैंगनी के लिए $1.800 \cdot 0.5436 = 0.9785$ , जिससे $78. 1^{\circ}$ मिलता है। विचलन हैं $δ = 5 5^{\circ} + 65. 9^{\circ} - 6 0^{\circ} = 60. 9^{\circ}$ और $5 5^{\circ} + 78. 1^{\circ} - 6 0^{\circ} = 73. 1^{\circ}$ , जो $δ$ रीडआउट पर दिखाए गए मान हैं। अंदर का $1. 1^{\circ}$ का अंतर बढ़कर $12. 2^{\circ}$ हो गया है: बैंगनी किरण लगभग स्पर्शी दिशा में निकलती है, जहाँ $sin θ_{4}$ में छोटा बदलाव भी कोण में बड़ा बदलाव करता है।

चाल के रीडआउट हवा में $3.00 \times 1 0^{8} m/s$ से घटकर काँच के अंदर लाल के लिए $c / n = 2.998 \times 1 0^{8} /1.733 = 1.73 \times 1 0^{8} m/s$ और बैंगनी के लिए $1.67 \times 1 0^{8} m/s$ हो जाते हैं। $δ$ का चाप बिंदीदार सीधी दिशा और लाल किरण के बीच खुलता है, और रंग मेज़ पर क्रम से गिरते हैं, बैंगनी प्रिज़्म के सबसे पास।

हल किया उदाहरण: पतला काँच का प्रिज़्म

क्राउन-काँच का 10° शीर्ष-कोण वाला एक प्रिज़्म, यानी लेंसों का सामान्य काँच, जिसका लाल के लिए $n = 1.513$ और बैंगनी के लिए $1.531$ है। एक सँकरी सफ़ेद किरण उसे लगभग समकोण पर पार करती है और 2.0 m दूर की दीवार पर पड़ती है। वर्णक्रम कितना चौड़ा है?

पतले-प्रिज़्म नियम से,
$δ_{red} \approx 0.513 \cdot 1 0^{\circ} = 5.1 3^{\circ}, δ_{violet} \approx 0.531 \cdot 1 0^{\circ} = 5.3 1^{\circ}$
विस्तार $0.1 8^{\circ}$ है, या $0.18 \cdot π /180 = 3.1 \times 1 0^{- 3} rad$ , इसलिए दीवार पर वर्णक्रम लगभग $2.0 m \cdot 3.1 \times 1 0^{- 3} = 6.3 mm$ चौड़ा है, जबकि पूरा धब्बा लगभग $2.0 tan 5. 2^{\circ} \approx 0.18 m$ खिसकता है। $5^{\circ}$ आपतन पर स्नेल के नियम से सटीक अनुरेखण $5.1 6^{\circ}$ और $5.3 5^{\circ}$ देता है: यह नियम 1 % से बेहतर सटीक है।

एनिमेशन के फ़्लिंट काँच से वही प्रिज़्म लाल के लिए $0.733 \cdot 1 0^{\circ} = 7. 3^{\circ}$ और बैंगनी के लिए $8. 0^{\circ}$ देता है: विचलन 1.4 गुना है, पर विस्तार 3.7 गुना, यानी $0.6 7^{\circ}$ , जिससे 23 mm चौड़ा वर्णक्रम बनता है।

वर्षा-बूँदें और इंद्रधनुष का कोण

सूरज की रोशनी $θ$ आपतन-कोण पर गोलाकार वर्षा-बूँद में प्रवेश करती है, $sin θ = n sin θ^{'}$ के अनुसार $θ^{'}$ तक अपवर्तित होती है, एक बार भीतर की पिछली सतह से परावर्तित होती है और फिर बाहर निकलती है। चूँकि बूँद गोल है, हर बार वह भीतरी सतह से उसी $θ^{'}$ पर मिलती है। प्रवेश पर वह $θ - θ^{'}$ मुड़ती है, पीछे परावर्तन पर $18 0^{\circ} - 2 θ^{'}$ , और बाहर निकलने पर फिर $θ - θ^{'}$ ; कुल मिलाकर $18 0^{\circ} + 2 θ - 4 θ^{'}$ । इसलिए वह सूरज की विपरीत दिशा से इस कोण पर लौटती है:
$φ = 4 θ^{'} - 2 θ$

एनिमेशन में सफ़ेद किरण $θ = 59. 3^{\circ}$ ( $sin θ = 0.86$ ) पर प्रवेश करती है। लाल के लिए $sin θ^{'} = 0.86/1.3305 = 0.6464$ , इसलिए $θ^{'} = 40.2 7^{\circ}$ और $φ = 4 \cdot 40.2 7^{\circ} - 2 \cdot 59.3 2^{\circ} = 42. 4^{\circ}$ । बैंगनी, जिसका $n = 1.3435$ है, $θ^{'} = 39.8 0^{\circ}$ और $φ = 40. 6^{\circ}$ देता है: ये दोनों $φ$ रीडआउट हैं। ऊपर या नीचे से प्रवेश करने वाली किरणें छोटे कोणों पर लौटती हैं, इसलिए प्रकाश इसी सबसे बड़े कोण के पास जमा होता है।

जो बूँदें सूरज के विपरीत बिंदु से $42. 4^{\circ}$ पर हैं (आपके सिर की छाया), वे आपको लाल भेजती हैं, और $40. 6^{\circ}$ पर स्थित बूँदें बैंगनी: लाल इंद्रधनुष का बाहरी किनारा है। सूरज आपके पीछे होना चाहिए और क्षितिज से 42° से कम ऊँचा, वरना इंद्रधनुष क्षितिज के नीचे रहेगा।

रंग जुड़ते हैं, रंगद्रव्य घटाते हैं

आँख में तीन तरह के रंग-ग्राही (शंकु) होते हैं, जो लाल, हरे और नीले प्रकाश के प्रति सबसे संवेदनशील हैं। एक ही स्थान पर पड़ने वाला प्रकाश जुड़ता है: लाल और हरा मिलकर शंकुओं को लगभग उतना ही उत्तेजित करते हैं जितना 580 nm का वर्णक्रमीय पीला, इसलिए वह स्थान पीला दिखता है; लाल, हरा और नीला मिलकर सफ़ेद दिखते हैं। स्क्रीन इसी तरह छोटे लाल, हरे और नीले बिंदुओं से अपने रंग बनाती हैं।

रंगद्रव्य, स्याही और फ़िल्टर घटाते हैं: हर एक प्रकाश का कुछ हिस्सा सोखता है, और आँख वही पाती है जो बचता है। पीला रंगद्रव्य नीला सोखता है और सायन रंगद्रव्य लाल सोखता है, इसलिए उनका मिश्रण केवल हरा लौटाता है। वस्तु का रंग रोशनी पर भी निर्भर करता है: केवल नीली रोशनी में पके टमाटर के पास लौटाने के लिए लाल नहीं होता, और वह लगभग काला दिखता है।

आम गलतियाँ

प्रिज़्म रंग नहीं बनाता: वह सफ़ेद प्रकाश में पहले से मौजूद रंगों को अलग करता है, और उल्टी दिशा में रखा दूसरा प्रिज़्म उन्हें फिर से सफ़ेद में मिला देता है।
प्रकाश काँच में अपना रंग नहीं बदलता। लाल प्रकाश की आवृत्ति $4.3 \times 1 0^{14} Hz$ ही रहती है; उसका तरंगदैर्घ्य 700 nm से घटकर $700/1.733 = 404 nm$ हो जाता है, फिर भी वह लाल ही रहता है।
बड़ा अपवर्तनांक धीमे प्रकाश का अर्थ है, तेज़ का नहीं: $n = 1.800$ वाला बैंगनी $1.67 \times 1 0^{8} m/s$ पर काँच पार करता है, और लाल $1.73 \times 1 0^{8} m/s$ पर।
पतले-प्रिज़्म नियम के लिए प्रिज़्म का पतला होना ज़रूरी है। एनिमेशन के 60° के प्रिज़्म के लिए $(n - 1) α$ लाल के लिए $4 4^{\circ}$ देता है, न कि $60. 9^{\circ}$ ; और विस्तार $4. 0^{\circ}$ देता है, न कि $12. 2^{\circ}$ । और $n α$ किसी भी प्रिज़्म के लिए गलत है: प्रकाश केवल $n$ के 1 से अधिक हिस्से से मुड़ता है।
प्रकाश मिलाना रंगद्रव्य मिलाना नहीं है: लाल और हरा प्रकाश मिलकर पीला बनाते हैं, पर लाल और हरा रंगद्रव्य मिलकर मटमैला भूरा बनता है, क्योंकि हर रंगद्रव्य दूसरे द्वारा लौटाए गए अधिकांश प्रकाश को सोख लेता है।

आप इसे कहाँ पाते हैं

स्पेक्ट्रोमीटर तारों, लपटों और दीयों के प्रकाश को वर्णक्रमों में फैलाते हैं, जो बताते हैं कि स्रोत किससे बना है; और कटे हीरे रंगों से चमकते हैं, क्योंकि हीरे का अपवर्तनांक बड़ा (2.42) है और उसका विक्षेपण तेज़ है। लेंसों में विक्षेपण एक परेशानी है: एक साधारण लेंस बैंगनी को लाल से पास फ़ोकस करता है, और एक क्राउन लेंस को कमज़ोर अपसारी फ़्लिंट लेंस के साथ चिपकाने पर अधिकांश त्रुटि रद्द हो जाती है, जैसा कि “लेंस और दर्पण” और “आँख, कैमरा और दूरदर्शी” में दिखाया गया है। प्रकाशीय तंतुओं में यह छोटे स्पंदों को फैला देता है। ग्रेटिंग, “विवर्तन और द्वि-झिरी” में, व्यतिकरण से रंगों को अलग करती हैं और लाल को सबसे ज़्यादा मोड़ती हैं, जो प्रिज़्म से उलटा है।

उन्नत

मुख्य विचार

बद्ध इलेक्ट्रॉन पीछे रह जाने वाली तरंग फिर से उत्सर्जित करते हैं: $n = 1 + N q_{e}^{2} / (2 ε_{0} m (ω_{0}^{2} - ω^{2}))$ , जो पराबैंगनी अनुनाद की ओर बढ़ते हुए बढ़ता है।
संकेत समूह-वेग $c / n_{g}$ से चलते हैं, $n_{g} = n - λ d n / d λ > n$ : स्पंद फैलते हैं; X-किरणों के लिए $n < 1$ कुछ नहीं तोड़ता।
इंद्रधनुष: $φ = 4 θ^{'} - 2 θ$ जहाँ $cos^{2} θ = (n^{2} - 1) /3$ पर स्थिर है, इसलिए किरणें $42. 4^{\circ}$ (लाल) और $40. 6^{\circ}$ (बैंगनी) पर जमा होती हैं।
अणु $ω^{4}$ के अनुपात में बिखेरते हैं, इसलिए आकाश नीला है; रंग स्वयं आँख के तीन-शंकु द्वारा वर्णक्रम का सारांश है।

काँच में प्रकाश धीमा क्यों होता है

अपवर्तनांक $n$ बताता है कि प्रकाश किसी पदार्थ में निर्वात की तुलना में कितने गुना धीमा चलता है, और प्रिज़्म दिखाता है कि $n$ रंग पर निर्भर करता है। कारण समझने के लिए देखिए कि काँच किससे बना है: नाभिक और बद्ध इलेक्ट्रॉन, और उनके बीच खाली जगह, जिसमें हर विद्युत क्षेत्र ठीक $c$ की चाल से चलता है। इसलिए काँच में धीमी तरंग एक संयुक्त प्रभाव होना चाहिए। आती हुई तरंग इलेक्ट्रॉनों को हिलाती है, हिलते इलेक्ट्रॉन विकिरण करते हैं, और उनका विकिरण आती तरंग में जुड़ जाता है। यह खंड दोनों हिस्से तैयार करता है; अगला खंड उन्हें जोड़ता है।

लोरेंत्ज़ मॉडल में हर इलेक्ट्रॉन, जिसका आवेश $q_{e}$ और द्रव्यमान $m$ है, एक स्प्रिंग जैसे बल से अपनी जगह पर बँधा है, इसलिए अकेला छोड़ने पर वह अपनी प्राकृतिक आवृत्ति $ω_{0}$ पर दोलन करेगा। इलेक्ट्रॉन पर प्रकाश का विद्युत क्षेत्र $E_{0} e^{iω t}$ है, जहाँ $ω$ प्रकाश की कोणीय आवृत्ति है और भौतिक क्षेत्र उसका वास्तविक भाग है। न्यूटन का दूसरा नियम और उसका स्थिर-अवस्था हल है
$\overset{x}{¨} + ω_{0}^{2} x = \frac{q _{e}}{m} E_{0} e^{iω t} x = \frac{q _{e} E _{0}}{m ( ω _{0}^{2} - ω ^{2} )} e^{iω t}$
हल पाने के लिए $x \propto e^{iω t}$ मानिए, ताकि $\overset{x}{¨} = - ω^{2} x$ हो, और फिर आयाम हल कीजिए। इलेक्ट्रॉन अपनी आवृत्ति पर नहीं, बल्कि चालक आवृत्ति पर दोलन करता है। अनुनाद से नीचे, $ω < ω_{0}$ पर, गुणक $ω_{0}^{2} - ω^{2}$ धनात्मक है, इसलिए द्विध्रुव $q_{e} x$ क्षेत्र के साथ कला में चलता है, और $ω$ के $ω_{0}$ की ओर बढ़ने पर उसका आयाम बढ़ता है।

अब पदार्थ की एक पतली परत लीजिए, जिसकी मोटाई $Δ z$ है और जो किरण के आर-पार है, जिसमें प्रति इकाई आयतन $N$ इलेक्ट्रॉन हैं। किरण की दिशा में देखें तो यह एक सपाट चादर है, जिसका प्रति इकाई क्षेत्रफल आवेश $N q_{e} Δ z$ है, और सब मिलकर चादर के तल में दोलन करते हैं। ऐसी चादर दोनों ओर एक समतल तरंग विकिरित करती है, जिसका क्षेत्र उसके आवेशों के वेग के समानुपाती होता है (यह परिणाम “विद्युत चुंबकीय तरंगें” से है; $ε_{0}$ निर्वात की विद्युतशीलता है):
$E_{a} = - \frac{N q _{e} Δ z}{2 ε _{0} c} \overset{x}{˙}$
चूँकि परत पतली है, $E_{a}$ छोटा है। सबसे अहम उसका समय है: वह विस्थापन $x$ का नहीं, बल्कि वेग $\overset{x}{˙}$ का अनुसरण करता है, और इसलिए चौथाई चक्र पीछे रहता है।

एक पतली परत तरंग को विलंबित करती है

एक ही आवृत्ति की दो तरंगें तीरों की तरह जुड़ती हैं। चित्र 1 दिखाता है कि कैसे एक चौथाई चक्र पीछे रहने वाली छोटी तरंग पूरी तरंग के विलंब में बदल जाती है, और कम चाल का यही अर्थ है।

चित्र 1 में हर तरंग सम्मिश्र तल पर एक तीर है: उसकी लंबाई आयाम है और दिशा कला है, जिसमें उभयनिष्ठ गुणक $e^{iω t}$ छोड़ दिया गया है। परत के बाद दोनों तरंगें $c$ पर आगे बढ़ती हैं, इसलिए रास्ते में उन्हें मिलने वाला गुणक भी दोनों के लिए समान है और उसे भी छोड़ दिया गया है। आती हुई तरंग $E_{0}$ क्षैतिज तीर है। $E_{a}$ की दिशा ज्ञात करने के लिए इलेक्ट्रॉन की गति उसके सूत्र में रखिए। चूँकि $\overset{x}{˙} = iω x$ ,
$E_{a} = - i \frac{ω N q _{e}^{2} Δ z}{2 ε _{0} m c ( ω _{0}^{2} - ω ^{2} )} E_{0}$
अनुनाद से नीचे यह भिन्न धनात्मक है ( $q_{e}$ का चिह्न लुप्त हो जाता है, क्योंकि केवल $q_{e}^{2}$ आता है), इसलिए $E_{a}$ , $E_{0}$ और एक छोटी धनात्मक संख्या तथा $- i$ का गुणनफल है। $- i = e^{- iπ /2}$ से गुणा करने पर तीर समकोण पर दक्षिणावर्त घूम जाता है, और यह $t$ को $t - T /4$ से बदलने के समान है, जहाँ $T$ आवर्तकाल है: तरंग एक चौथाई चक्र देर से है। यही छोटा तीर $E_{a}$ है, जो सीधे नीचे की ओर इशारा करता है।

परत के बाद दोनों जुड़ते हैं, और उनका योग $E^{'}$ विकर्ण है। समकोण त्रिभुज को देखिए। चूँकि $E_{a}$ , $E_{0}$ के लंबवत और कहीं छोटा है, $E^{'}$ की लंबाई प्रथम कोटि तक $E_{0}$ जितनी ही है (लंबाई में परिवर्तन $∣ E_{a} ∣/∣ E_{0} ∣$ की द्वितीय कोटि का है), पर वह एक छोटे कोण $φ = ∣ E_{a} ∣/∣ E_{0} ∣$ से दक्षिणावर्त घूम जाता है। दक्षिणावर्त घूमना पीछे रहना है। चित्र में हिस्से दिखाई देने के लिए $φ$ को बड़ा बनाया गया है; पतली परत के लिए यह बहुत छोटा होता है।

अब तुलना कीजिए कि धीमी तरंग क्या करती। मान लीजिए प्रकाश सचमुच परत को $c / n$ की चाल से पार करता। उसे $n Δ z / c$ लगता, न कि $Δ z / c$ , इसलिए वह $(n - 1) Δ z / c$ देर से पहुँचता, और उसका तीर कला $φ = ω (n - 1) Δ z / c$ से पीछे मुड़ जाता। छोटे $φ$ के लिए परत के बाद की तरंग इस गुणक से गुणा हो जाती:
$e^{- i φ} \approx 1 - i φ = 1 - \frac{iω ( n - 1 ) Δ z}{c}$
यानी मूल तरंग प्लस एक छोटा टुकड़ा जो चौथाई चक्र पीछे है, जिसका सापेक्ष आकार $φ$ है: यह ठीक चित्र 1 में $E_{0} + E_{a}$ का आकार है। जब दोनों छोटे टुकड़े बराबर हों, तो दोनों वर्णन एक-दूसरे से मेल खाते हैं। $ω (n - 1) Δ z / c$ को ऊपर के $E_{a}$ के भिन्न के बराबर रखने पर $ω$ , $Δ z$ और $c$ कट जाते हैं और बचता है
$n = 1 + \frac{N q _{e}^{2}}{2 ε _{0} m ( ω _{0}^{2} - ω ^{2} )}$

यह विरल पदार्थ का अपवर्तनांक है। हर परत कला को थोड़ा पीछे खींचती है, और यह मात्रा इलेक्ट्रॉनों की प्रतिक्रिया की प्रबलता पर निर्भर करती है, जो $ω$ पर निर्भर है: विक्षेपण इसी तंत्र में अंतर्निहित है। परिमाण की जाँच के लिए मान लीजिए हवा में हर अणु के लिए एक प्रभावी इलेक्ट्रॉन है, $N = 2.5 \times 1 0^{25} m^{- 3}$ , और अनुनाद लगभग 100 nm पर है। सूत्र $n - 1 \approx 1 \times 1 0^{- 4}$ देता है, जो मापे गए $2.9 \times 1 0^{- 4}$ की सही कोटि है।

अनुनाद से नीचे: कॉशी का नियम और नीला आकाश

दृश्य प्रकाश इस सूत्र के निम्न-आवृत्ति सिरे पर है, और वहाँ इसका विस्तार वही सरल नियम देता है जो प्रिज़्मों में प्रयोग होता है। काँच और पानी के प्रबल अनुनाद पराबैंगनी में हैं, इसलिए दृश्य प्रकाश के लिए $ω$ , $ω_{0}$ से काफ़ी नीचे है (चित्र 3 पूरा वक्र बाद के एक खंड में दिखाता है)।

पहले निम्न-आवृत्ति सीमा का नाम लीजिए। $ω = 0$ पर सूत्र $n = A$ देता है, जहाँ $A - 1 = N q_{e}^{2} / (2 ε_{0} m ω_{0}^{2})$ , इसलिए किसी भी $ω$ के लिए
$n - 1 = \frac{A - 1}{1 - ω ^{2} / ω _{0}^{2}} \approx (A - 1) (1 + \frac{ω ^{2}}{ω _{0}^{2}})$
यहाँ छोटे $u$ के लिए $1/ (1 - u) \approx 1 + u$ का प्रयोग हुआ है। $ω = 2 π c / λ$ और अनुनाद तरंगदैर्घ्य $λ_{0} = 2 π c / ω_{0}$ लेने पर अनुपात $ω^{2} / ω_{0}^{2}$ , $λ_{0}^{2} / λ^{2}$ के बराबर होता है। परिणाम कॉशी का नियम है, $n \approx A + B / λ^{2}$ , जहाँ $B = (A - 1) λ_{0}^{2}$ । उलटे क्रम में, मापे गए $A$ और $B$ बताते हैं कि अनुनाद कहाँ है। एनिमेशन के फ़िट फ़्लिंट काँच के लिए $λ_{0} = 16 000/0.700 \approx 150 nm$ ( $A = 1.700$ , $B = 16000 n m^{2}$ ) और पानी के लिए $3090/0.3242 \approx 100 nm$ ( $A = 1.3242$ , $B = 3090 n m^{2}$ ) देते हैं, दोनों पराबैंगनी में, जैसी अपेक्षा थी।

कॉशी का नियम यह भी समझाता है कि प्रिज़्म वर्णक्रम के बैंगनी सिरे को लाल सिरे से ज़्यादा क्यों फैलाता है। एनिमेशन का पहला विशेषज्ञ ग्राफ़ 400 से 700 nm तक $n (λ)$ दिखाता है, हर किरण-रंग के लिए एक बिंदु के साथ। उसकी ढलान $d n / d λ = - 2 B / λ^{3}$ है, जो 700 nm पर $- 9.3 \times 1 0^{- 5} n m^{- 1}$ और 400 nm पर $- 5.0 \times 1 0^{- 4} n m^{- 1}$ है। घन के कारण वक्र बैंगनी सिरे पर लगभग $(7/4)^{3} \approx 5.4$ गुना तीखा है।

प्रिज़्म अब अपवर्तनांक के हर अंतर को कोण के अंतर में बदल देता है। मान लीजिए शीर्ष-कोण $α$ है (एनिमेशन में 60°)। किरण पहली सतह पर आपतन-कोण $θ_{1}$ (55°) पर आती है और $θ_{2}$ पर अपवर्तित होती है; दूसरी सतह पर वह $θ_{3}$ पर मिलती है और $θ_{4}$ पर निकलती है। दोनों सतहों पर स्नेल का नियम $sin θ_{1} = n sin θ_{2}$ और $sin θ_{4} = n sin θ_{3}$ देता है, और त्रिभुज $θ_{2} + θ_{3} = α$ देता है। अब $θ_{1}$ को स्थिर रखते हुए $n$ को थोड़ा बदलिए। पहला संबंध $n cos θ_{2} d θ_{2} = - sin θ_{2} d n$ देता है, और त्रिभुज $d θ_{3} = - d θ_{2}$ देता है। इन दोनों को दूसरे संबंध के अवकल $cos θ_{4} d θ_{4} = sin θ_{3} d n + n cos θ_{3} d θ_{3}$ में रखिए, और $sin θ_{3} cos θ_{2} + cos θ_{3} sin θ_{2} = sin α$ का प्रयोग कीजिए:
$\frac{d θ _{4}}{d n} = \frac{s i n α}{c o s θ _{2} c o s θ _{4}}$
लाल के लिए यह प्रति इकाई $n$ 2.4 rad है। बैंगनी के लिए, जिसकी निर्गत किरण लगभग स्पर्शी दिशा में निकलती है, इसलिए $cos θ_{4}$ छोटा हो, यह 4.7 है। दोनों प्रभाव बैंगनी सिरे के पक्ष में हैं। हर नैनोमीटर तरंगदैर्घ्य पर, निर्गत कोण 700 nm पर $2.4 \cdot 9.3 \times 1 0^{- 5} \approx 2.2 \times 1 0^{- 4}$ rad बदलता है, पर 400 nm पर $4.7 \cdot 5.0 \times 1 0^{- 4} \approx 2.4 \times 1 0^{- 3}$ rad, यानी लगभग दस गुना अधिक: पंखे का बैंगनी सिरा खिंच जाता है।

वही चालित इलेक्ट्रॉन पार्श्व में भी विकिरण करते हैं, और इसी से आकाश को रंग मिलता है। अनुनाद से बहुत नीचे आयाम $q_{e} E_{0} / (m (ω_{0}^{2} - ω^{2}))$ लगभग $ω$ पर निर्भर नहीं करता, क्योंकि $ω^{2}$ , $ω_{0}^{2}$ की तुलना में छोटा है। एक दोलनशील द्विध्रुव विकिरित शक्ति उसके त्वरण के वर्ग के अनुपात में देता है, और त्वरण $ω^{2} x$ है, इसलिए विकिरित शक्ति $ω^{4} x^{2}$ , यानी $ω^{4}$ के अनुपात में बढ़ती है। वायु के अणु इसलिए सूर्य के प्रकाश को $ω^{4}$ के अनुपात में बिखेरते हैं (रैले प्रकीर्णन): 450 nm पर यह 650 nm की तुलना में लगभग $(650/450)^{4} \approx 4.4$ गुना अधिक है। सूर्यप्रकाश की किरण से बिखरा नीला प्रकाश आकाश भर देता है, और वायु में लंबे पथ के बाद जो बचता है, जैसे सूर्यास्त के समय, वह लाल होता है।

कला-वेग और समूह-वेग

प्रिज़्म रंगों को स्थान में अलग करता है। काँच के एक लंबे टुकड़े में विक्षेपण उन्हें समय में भी अलग करता है, क्योंकि स्पंद उसके भीतर की तरंग-शिखाओं की चाल से नहीं चलता। चित्र 2 दोनों चालों को साथ-साथ दिखाता है।

चित्र 2 फ़्लिंट काँच में से गुज़रते बैंगनी प्रकाश के एक छोटे स्पंद को दो क्षणों $t_{1}$ और $t_{2}$ पर दिखाता है, जिनके बीच $Δ t$ का अंतर है। नीला वक्र विद्युत क्षेत्र $E$ है: एक चिकने लिफ़ाफ़े (छायांकित रूपरेखा) के नीचे शिखाओं की एक शृंखला। शिखाएँ कला-वेग $v = c / n$ से चलती हैं, यानी एक अनंत एक-आवृत्ति तरंग की शिखाओं की चाल से, इसलिए चिह्नित शिखा $v Δ t$ आगे बढ़ती है, जो लंबी नीली दूरी है। लिफ़ाफ़ा एक अलग चाल से चलता है, समूह-वेग $v_{g}$ से, और केवल $v_{g} Δ t$ आगे बढ़ता है, जो छोटी बैंगनी दूरी है। लिफ़ाफ़े की चोटी देखिए: $t_{1}$ पर चिह्नित शिखा ठीक उसके ऊपर है, और $t_{2}$ तक शिखा उससे आगे निकल चुकी है।

चित्र में 400 nm पर एनिमेशन के काँच का उपयोग हुआ है, जहाँ $n = 1.800$ है और नीचे गणना के अनुसार समूह-अपवर्तनांक $n_{g} = c / v_{g}$ 2.000 है। उसी समय में शिखाएँ पाँच तरंगदैर्घ्य पार करती हैं, और लिफ़ाफ़ा केवल $5 \cdot 1.800/2.000 = 4.5$ । इसलिए जो शिखा $t_{1}$ पर चोटी पर थी, वह $t_{2}$ तक चोटी से आधे तरंगदैर्घ्य आगे है, और चोटी अब एक द्रोणी पर है। स्पंद की पूँछ पर लगातार नई शिखाएँ उभरती हैं, स्पंद के भीतर से आगे दौड़ती हैं, और उसके अगले सिरे पर लुप्त हो जाती हैं।

लिफ़ाफ़े की अपनी चाल क्यों होती है? एक स्पंद, किसी भी संकेत की तरह, तरंग में एक परिवर्तन है, और परिवर्तनशील तरंग पड़ोसी आवृत्तियों का मिश्रण होती है। दो आवृत्तियाँ लीजिए, $ω \pm δ ω$ , जिनकी तरंग-संख्याएँ $k \pm δ k$ हैं। उनका योग $ω$ और $k$ की एक तरंग है, जिसका आयाम $cos (δ ω t - δ k z)$ के अनुसार बदलता है, और यह ढाँचा $δ ω / δ k$ से चलता है। आवृत्तियों के एक संकीर्ण पट्टे के लिए यह बन जाता है
$v_{g} = \frac{d ω}{d k}$

काँच में $k = nω / c$ है, और $n$ , $ω$ पर निर्भर है, इसलिए $d k / d ω = (n + ω d n / d ω) / c$ । चूँकि $λ = 2 π c / ω$ , एक छोटे परिवर्तन से $d λ / λ = - d ω / ω$ मिलता है, और इसलिए $ω d n / d ω = - λ d n / d λ$ । समूह-अपवर्तनांक तब होता है
$n_{g} = \frac{c}{v _{g}} = n + ω \frac{d n}{d ω} = n - λ \frac{d n}{d λ}$

सामान्य विक्षेपण में $n$ , $λ$ बढ़ने पर घटता है, $d n / d λ < 0$ , इसलिए $n_{g} > n$ : स्पंद अपने भीतर की शिखाओं से धीमे चलता है। कॉशी के नियम से $- λ d n / d λ = 2 B / λ^{2}$ और $n_{g} = A + 3 B / λ^{2}$ । एनिमेशन के काँच में यह लाल के लिए 1.798 और बैंगनी के लिए 2.000 है, जबकि कला-अपवर्तनांक क्रमशः 1.733 और 1.800 हैं।

अनुनाद के पास: अवशोषण और असामान्य विक्षेपण

कॉशी का नियम दोलक के अपवर्तनांक का केवल निम्न-आवृत्ति पुच्छ है, और $ω_{0}$ के पास ऊपर का सूत्र अनंत हो जाता है, जो कोई वास्तविक पदार्थ नहीं होता। वास्तविक इलेक्ट्रॉन टकरावों और अपने ही विकिरण से ऊर्जा भी खोते हैं। इस हानि को गति-समीकरण में घर्षण-पद $γ \overset{x}{˙}$ से दर्शाया जाता है, जहाँ $γ$ अवमंदन-दर है। तब गुणक $ω_{0}^{2} - ω^{2}$ बन जाता है $ω_{0}^{2} - ω^{2} + iγω$ , और अपवर्तनांक एक सम्मिश्र संख्या हो जाता है, जिसे $n = n^{'} - i n^{''}$ लिखा जाता है, जहाँ $n^{'}$ और $n^{''}$ वास्तविक हैं:
$n = 1 + \frac{N q _{e}^{2}}{2 ε _{0} m ( ω _{0}^{2} - ω ^{2} + iγω )}$

चित्र 3 $n^{'}$ और $n^{''}$ को $ω$ के विरुद्ध दिखाता है। बाईं ओर से शुरू कीजिए। $ω = 0$ पर वास्तविक भाग $n^{'}$ $A$ से शुरू होता है और धीरे-धीरे बढ़ता है, और बिंदीदार कॉशी रूप $A + B / λ^{2}$ उसका निकटता से अनुसरण करता है: यही वह हिस्सा है जहाँ प्रिज़्म और इंद्रधनुष रहते हैं। $ω_{0}$ के निकट बिंदीदार रूप विफल हो जाता है। वास्तविक भाग $n^{'}$ एक शिखर तक चढ़ता है, फिर अचानक गिरकर ठीक $ω = ω_{0}$ पर 1 को पार करता है, 1 से नीचे एक निम्नतम बिंदु तक पहुँचता है, और फिर नीचे से धीरे-धीरे 1 तक लौटता है। काल्पनिक भाग $n^{''}$ अनुनाद से दूर लगभग शून्य रहता है, और $ω_{0}$ पर केंद्रित एक शिखर बनाता है, जिसकी अर्ध-ऊँचाई पर चौड़ाई $γ$ है।

$n^{''}$ का अर्थ यह है: पदार्थ में दूरी $z$ तय करने के बाद तरंग में गुणक $e^{i (ω t - nω z / c)}$ होता है। $n = n^{'} - i n^{''}$ के साथ यह $e^{i (ω t - n^{'} ω z / c)}$ में बँट जाता है, एक ऐसी तरंग जिसकी शिखाएँ $c / n^{'}$ की चाल से चलती हैं, और उसका गुणनफल $e^{- ω n^{''} z / c}$ , एक ऐसा आयाम जो दूरी के साथ घटता है। इसलिए $n^{''}$ अवशोषण है। चित्र 3 दिखाता है कि यह केवल लगभग $γ$ की परास में, $ω_{0}$ के आसपास, प्रबल है: पदार्थ अपने अनुनाद के पास अपारदर्शी है और उससे दूर पारदर्शी।

अवशोषण-पट्टे के आर-पार $n^{'}$ आवृत्ति बढ़ने पर घटता है, चित्र 3 का तीखा हिस्सा। यही असामान्य विक्षेपण है: इस पट्टे के भीतर प्रिज़्म जो रंग-क्रम देता, वह उलट जाता है। अवशोषण और विक्षेपण का यह संबंध मॉडल की कोई विचित्रता नहीं है। क्रेमर्स–क्रोनिग संबंध, जो केवल कार्य-कारण (कोई प्रतिक्रिया अपने कारण से पहले नहीं) से निकलते हैं, इसे सटीक बना देते हैं: जिस पदार्थ का अपवर्तनांक 1 से भिन्न है, उसे वर्णक्रम में कहीं न कहीं अवशोषण करना ही होगा।

चित्र 3 के दाईं ओर, हर अनुनाद से ऊपर, $n$ का सुधार चिह्न बदल देता है और $n^{'}$ , 1 से नीचे होता है। X-किरणों के लिए हर इलेक्ट्रॉन लगभग मुक्त होता है, और काँच का 0.1 nm पर $n \approx 1 - 3 \times 1 0^{- 6}$ है, इसलिए शिखाएँ $c$ से तेज़ चलती हैं। पर कोई संकेत ऐसा नहीं करता। यहाँ $1 - n$ , $λ^{2}$ के समानुपाती है, इसलिए $- λ d n / d λ = 2 (1 - n)$ , और समूह-अपवर्तनांक सूत्र $n_{g} = 1 + 3 \times 1 0^{- 6}$ देता है। 1 से कम अपवर्तनांक का यह भी अर्थ है कि लगभग 0.15° से कम के तिरछे कोण पर किसी चिकनी सतह पर पड़ने वाली X-किरणें पूर्ण परावर्तित हो जाती हैं, और यही X-किरण दूरदर्शी के दर्पणों का सिद्धांत है।

वास्तविक पदार्थों में कई अनुनाद होते हैं। उनके योगदान जोड़ने पर सेलमेयर रूप मिलता है, $n^{2} = 1 + \sum_{k} B_{k} λ^{2} / (λ^{2} - λ_{k}^{2})$ , जहाँ हर $λ_{k}$ एक अनुनाद-तरंगदैर्घ्य है और $B_{k}$ उसकी प्रबलता। इलेक्ट्रॉनिक पद पराबैंगनी में होते हैं, और आयनों के कंपन वाले पद अवरक्त में। इनके बीच, सिलिका का समूह-अपवर्तनांक लगभग 1.3 µm पर एक न्यूनतम तक पहुँचता है, जहाँ थोड़े अलग तरंगदैर्घ्य वाले स्पंद एक ही चाल से चलते हैं: यह दूरसंचार तंतुओं की शून्य-विक्षेपण तरंगदैर्घ्य है।

प्लाज़्मा जैसे मुक्त इलेक्ट्रॉनों पर कोई प्रत्यानयन बल नहीं होता, इसलिए $ω_{0} = 0$ । पूर्ण उपचार से $n^{2} = 1 - ω_{p}^{2} / ω^{2}$ मिलता है, जहाँ प्लाज़्मा आवृत्ति $ω_{p}$ को $ω_{p}^{2} = N q_{e}^{2} / (ε_{0} m)$ से परिभाषित किया जाता है; $ω_{0} = 0$ के साथ विरल सूत्र इसका प्रथम-कोटि रूप देता है, $n \approx 1 - ω_{p}^{2} / (2 ω^{2})$ । $ω_{p}$ से नीचे $n^{2}$ ऋणात्मक है, और तरंग आगे नहीं जा सकती: वह परावर्तित हो जाती है। आयनमंडल के प्रति घन मीटर $1 0^{12}$ इलेक्ट्रॉनों के लिए $ω_{p} /2 π \approx 9 MHz$ है, इसलिए सीधे ऊपर भेजी गई कम-आवृत्ति की रेडियो तरंगें नीचे लौट आती हैं।

इंद्रधनुष एक स्थिर कोण के रूप में

दृश्य वर्णक्रम में पानी का अपवर्तनांक केवल लगभग 1% बदलता है, 700 nm पर लाल के लिए 1.3305 से 400 nm पर बैंगनी के लिए 1.3435 तक, फिर भी इंद्रधनुष रंगों को साफ़ अलग कर देता है। कारण ज्यामितीय है: बूँद के भीतर एक बार परावर्तित प्रकाश अधिकतर एक ही दिशा में निकलता है, और वह दिशा $n$ पर निर्भर करती है। चित्र 4 दिखाता है कि यह अधिमान्य दिशा कहाँ से आती है।

चित्र 4 लाल प्रकाश के लिए है, और उन किरणों के लिए जो एक गोलाकार बूँद में प्रवेश करती हैं, भीतर एक बार परावर्तित होती हैं और बाहर निकलती हैं। सूर्य का प्रकाश बूँद की सतह पर समान रूप से पड़ता है। हर किरण को उसके संघट्ट प्राचल $b$ से चिह्नित कीजिए: बूँद के केंद्र से होकर सूर्य के प्रकाश के समानांतर अक्ष से उसकी दूरी, बूँद की त्रिज्या की इकाइयों में। जो किरण आपतन-कोण $θ$ पर सतह से मिलती है, उसके लिए $b = sin θ$ है, और वह $θ^{'}$ पर बूँद में अपवर्तित होती है, जहाँ $sin θ = n sin θ^{'}$ । दोनों अपवर्तनों में से हर एक किरण को $θ - θ^{'}$ मोड़ता है, और परावर्तन उसे $18 0^{\circ} - 2 θ^{'}$ मोड़ता है, इसलिए कुल मिलाकर वह $18 0^{\circ} + 2 θ - 4 θ^{'}$ मुड़ती है। ऊर्ध्वाधर अक्ष निर्गत किरण और प्रतिसूर्य दिशा (सूर्य से सीधे दूर की दिशा) के बीच का कोण $φ$ है; यह $18 0^{\circ}$ में से कुल मोड़ घटाने पर बचता है:
$φ (b) = 4 θ^{'} - 2 θ$

अब वक्र का अनुसरण कीजिए। $b = 0$ पर, केंद्र में, कोण शून्य से उठता है, क्योंकि किरण सीधी अंदर जाती है और सीधी वापस आती है। यह एक चपटे उच्चिष्ठ $φ_{m a x}$ तक पहुँचता है, फिर किनारे $b = 1$ पर लगभग 15° तक गिरता है, जहाँ स्पर्शरेखा ऊर्ध्वाधर हो जाती है। एनिमेशन का दूसरा विशेषज्ञ ग्राफ़ इस वक्र का शीर्ष दिखाता है, $b$ के 0.5 से 1 तक के लिए।

दोनों छायांकित पट्टियों की ऊँचाई समान है, $Δ φ$ : एक ढलान पर, एक शिखर पर। हर पट्टी से नीचे $b$ अक्ष तक जाइए, यह देखने के लिए कि कौन सी किरणें उसमें आती हैं। खड़ी ढलान पर पट्टी में केवल एक संकीर्ण परास $Δ b_{2}$ की किरणें आती हैं, साथ ही किनारे की किरणों का एक पतला टुकड़ा, $b = 1$ के पास, जहाँ वक्र फिर नीचे गिरकर पट्टी को पार करता है। चपटे शिखर पर लगभग तीन गुना चौड़ी परास $Δ b_{1}$ उसमें आती है। किरणों को क्षेत्रफल के हिसाब से भी गिनना होगा: जिन किरणों का संघट्ट प्राचल $b$ और $b + d b$ के बीच है, वे बूँद की सतह के एक ऐसे वलय पर पड़ती हैं जिसका क्षेत्रफल $b d b$ के समानुपाती है, इसलिए केंद्र से दूर की किरणें अधिक गिनी जाती हैं। इस भार के साथ ऊपर की पट्टी सभी एक-बार-परावर्तित लाल किरणों का लगभग 40% इकट्ठा करती है, और नीचे की पट्टी केवल लगभग 9%। पूरा प्रभाव इतना ही है: जहाँ $φ$ स्थिर होता है, वहाँ कई किरणें लगभग एक ही दिशा में निकलती हैं, और वह दिशा चमकदार दिखती है।

शिखर खोजने के लिए $d φ / d θ = 0$ रखिए। $φ = 4 θ^{'} - 2 θ$ से इसके लिए $d θ^{'} / d θ = \frac{1}{2}$ चाहिए। स्नेल के नियम का अवकलन करने पर $cos θ d θ = n cos θ^{'} d θ^{'}$ मिलता है, इसलिए शिखर पर $2 cos θ = n cos θ^{'}$ । दोनों ओर वर्ग कीजिए और $n^{2} cos^{2} θ^{'} = n^{2} - n^{2} sin^{2} θ^{'} = n^{2} - sin^{2} θ$ रखिए। तब $4 cos^{2} θ = n^{2} - sin^{2} θ = n^{2} - 1 + cos^{2} θ$ , और परिणाम है
$φ = 4 θ^{'} - 2 θ, cos^{2} θ = \frac{n ^{2} - 1}{3} (rainbow)$

लाल के लिए, $cos^{2} θ = (1.330 5^{2} - 1) /3 = 0.2567$ , इसलिए $θ = 59. 6^{\circ}$ ( $b = 0.862$ ), $θ^{'} = 40. 4^{\circ}$ और $φ_{m a x} = 42. 4^{\circ}$ । बैंगनी के लिए $n = 1.3435$ से $b = 0.855$ और $φ_{m a x} = 40. 6^{\circ}$ मिलता है। अतः लाल प्रकाश प्रतिसूर्य बिंदु से अधिकतम 42.4° पर लौटता है, और बैंगनी केवल 40.6° तक, इसलिए लाल इंद्रधनुष के बाहर है। एनिमेशन की किरण, $b = 0.86$ पर, लगभग ठीक दोनों शिखरों पर बैठती है, जिन्हें उसकी बिंदीदार रेखाएँ चिह्नित करती हैं।

इंद्रधनुष का किनारा कितना तीखा है? उसके शिखर के पास $φ_{m a x} - φ$ , $b$ अक्ष पर शिखर से दूरी के वर्ग के साथ बढ़ता है। उलटकर देखें, तो शिखर के $δ$ कोण के भीतर आने वाली $b$ की परास केवल $δ$ के अनुसार बढ़ती है, इसलिए जब $φ$ , $φ_{m a x}$ की ओर जाता है, तो प्रति इकाई कोण किरणों की संख्या $1/ φ_{m a x} - φ$ के अनुसार बढ़ती है। संख्याओं में, एक-बार-परावर्तित लाल किरणों का लगभग पाँचवाँ हिस्सा अधिकतम से 1° के भीतर निकलता है, जो 20° के आसपास की 1° चौड़ी पट्टी से लगभग पंद्रह गुना अधिक है। $φ_{m a x}$ से आगे कोई किरण नहीं पहुँचती, इसलिए इंद्रधनुष के भीतर का आकाश उसके बाहर से अधिक चमकीला होता है।

बूँद के भीतर दो बार परावर्तित किरणें दूसरा इंद्रधनुष बनाती हैं। उनके लिए $φ_{2} = 18 0^{\circ} + 2 θ - 6 θ^{'}$ है, जो स्थिर है, अब एक निम्नतम बिंदु पर, जहाँ $cos^{2} θ = (n^{2} - 1) /8$ : लाल के लिए 50.2° और बैंगनी के लिए 53.6° पर। यह दूसरा इंद्रधनुष फीका है, क्योंकि हर परावर्तन पर प्रकाश का कुछ हिस्सा खो जाता है, और इसके रंग उलटे होते हैं, लाल भीतर की ओर। 42.4° और 50.2° के बीच दोनों प्रकार की किरणें नहीं पहुँचतीं, इसलिए दोनों इंद्रधनुषों के बीच आकाश की पट्टी अंधेरी रहती है।

हल किया उदाहरण: फ़्लिंट काँच में एक फ़्लैश

मान लीजिए प्रिज़्म का फ़्लिंट काँच ( $A = 1.700$ , $B = 16000 n m^{2}$ ) 1.00 km लंबे तंतु में खींचा गया है, और उसमें प्रकाश का एक छोटा सफ़ेद फ़्लैश भेजा गया है। उसके लाल (700 nm) और बैंगनी (400 nm) हिस्से कितने समय के अंतर से पहुँचते हैं, और साधारण कला-अपवर्तनांक क्या भविष्यवाणी करते?

हर रंग एक स्पंद के रूप में चलता है, इसलिए वह अपने समूह-वेग से चलता है, और यहाँ समूह-अपवर्तनांक का प्रयोग करना चाहिए। कॉशी के नियम से $d n / d λ = - 2 B / λ^{3}$ , इसलिए
$n_{g} = n - λ \frac{d n}{d λ} = A + \frac{3 B}{λ ^{2}}$
यहाँ $B / λ^{2}$ लाल के लिए $16 000/70 0^{2} = 0.03265$ और बैंगनी के लिए $16 000/40 0^{2} = 0.1000$ है, जिससे $n_{g, red} = 1.700 + 3 \cdot 0.03265 = 1.798$ और $n_{g, violet} = 1.700 + 3 \cdot 0.1000 = 2.000$ मिलते हैं। हर भाग को $t = L n_{g} / c$ समय लगता है: लाल के लिए $5.997 μ s$ , बैंगनी के लिए $6.671 μ s$ । दोनों के बीच का विलंब है
$Δ t = \frac{L ( n _{g, violet} - n _{g, red} )}{c} (n_{g} = n - λ \frac{d n}{d λ})$
$Δ t = \frac{1000 \cdot 0.202}{2.998 \times 1 0 ^{8}} = 674 ns$

कला-अपवर्तनांक से इसके बजाय $n_{violet} - n_{red} = 0.1000 - 0.03265 = 0.06735$ और $1000 \cdot 0.06735/ (2.998 \times 1 0^{8}) = 225 ns$ मिलता, यानी तीन गुना कम। स्पंद को जो फैलाता है, वह यह है कि $n$ रंग के साथ कितनी तेज़ी से बदलता है, $n$ का अपना परिमाण नहीं। इसलिए 1 ns का सफ़ेद फ़्लैश तंतु से लगभग 0.67 µs लंबी एक लकीर बनकर निकलता है, लाल पहले। दूरसंचार लिंक 1.55 µm के पास सिलिका में केवल 0.1 nm चौड़ा लेज़र प्रकाश भेजकर इससे बचते हैं, जहाँ फैलाव लगभग 17 ps प्रति किलोमीटर प्रति नैनोमीटर बैंडविड्थ है: यानी प्रति किलोमीटर 2 ps से कम।

वैधता की सीमाएँ

दोलक मॉडल शास्त्रीय है। क्वांटम यांत्रिकी उसका रूप बनाए रखती है, पर उसका अर्थ बदल देती है: हर अनुनाद मूल अवस्था (ऊर्जा $E_{g}$ ) से एक उत्तेजित अवस्था (ऊर्जा $E_{k}$ ) तक का एक परमाणु संक्रमण है, जिसमें $ℏ ω_{k} = E_{k} - E_{g}$ है, और हर संक्रमण दोलक सामर्थ्य नामक भारांक के साथ आता है। विरल परिणाम पड़ोसी द्विध्रुवों के क्षेत्र की भी उपेक्षा करता है। घने ठोसों में यह स्थानीय क्षेत्र परिणाम को $(n^{2} - 1) / (n^{2} + 2) = N q_{e}^{2} / (3 ε_{0} m (ω_{0}^{2} - ω^{2}))$ में बदल देता है, जो $n$ के 1 के निकट होने पर हमारे परिणाम में बदल जाता है। अवशोषण-पट्टी के भीतर समूह-वेग $c$ से अधिक हो सकता है, या यहाँ तक कि ऋणात्मक भी। तब स्पंद का आकार बहुत बदल जाता है, उसका शिखर अब किसी संकेत को चिह्नित नहीं करता, और किसी भी संकेत का अग्र भाग फिर भी कभी $c$ से आगे नहीं जाता।

इंद्रधनुष का किरण-चित्र यह मानता है कि बूँदें तरंगदैर्घ्य से काफ़ी बड़ी हैं। छोटी बूँदों में वे किरणें जो एक ही कोण पर अलग-अलग पथों से निकलती हैं, व्यतिकरण करती हैं और बैंगनी के भीतरी किनारे पर कुछ मंद अतिरिक्त पट्टियाँ जोड़ती हैं। कोहरे में लगभग $d = 10$ µm व्यास वाली बूँदें हर रंग को लगभग $λ / d \approx 3^{\circ}$ धुँधला कर देती हैं, जो लाल और बैंगनी के बीच के लगभग 2° से अधिक है, इसलिए कोहरे का इंद्रधनुष लगभग सफ़ेद होता है।

अंत में, रंग तरंगदैर्घ्य नहीं है। आँख किसी भी वर्णक्रम को तीन शंकु-संकेतों में समेट देती है, इसलिए लाल और हरे प्रकाश का मिश्रण वर्णक्रमीय पीले से ठीक मेल खा सकता है, और तीन प्राथमिक रंगों वाली कोई स्क्रीन हर वर्णक्रमीय रंग नहीं दिखा सकती।

यह कहाँ ले जाता है

प्रणोदित दोलक वही है जो “अवमंदन और अनुनाद” में है, अब प्रकाशीय आवृत्तियों पर; और आवेश की विकिरण करती परत “विद्युत चुंबकीय तरंगें” से संबंधित है। इंद्रधनुष का स्थिर कोण “परावर्तन और अपवर्तन” के फ़र्मा के सिद्धांत की याद दिलाता है: वहाँ यात्रा-समय स्थिर है, यहाँ निर्गत कोण, और दोनों ही स्थितियों में पड़ोसी किरणें एक-दूसरे को प्रबल करती हैं। लेंसों की रंग-त्रुटियाँ और उनका उपचार “लेंस और दर्पण” और “आँख, कैमरा और दूरदर्शी” में फिर आते हैं; व्यतिकरण से रंग अलग करने वाली ग्रेटिंग “विवर्तन और द्वि-झिरी” में; और नीले आकाश का आंशिक ध्रुवण “प्रकाश का ध्रुवण” में। अनुनाद की आवृत्तियाँ स्वयं परमाणु ऊर्जा-स्तरों से आती हैं, जिन्हें “परमाणु मॉडल: बोर परमाणु” समझाना शुरू करता है।

मुख्य सूत्र

अपवर्तनांक

n = \frac{c}{v}

अपवर्तनांक निर्वात और किसी पदार्थ में प्रकाश की चाल की तुलना करता है: $n = 1.5$ का अर्थ है कि तरंग-शिखाएँ निर्वात की तुलना में 1.5 गुना धीमी चलती हैं। यह धीमापन पदार्थ के इलेक्ट्रॉनों से आता है, जो तरंग से हिलते हैं और उससे पीछे रहने वाली तरंग विकिरित करते हैं। उनकी प्रतिक्रिया आवृत्ति पर निर्भर करती है, इसलिए हर रंग के लिए $n$ थोड़ा अलग होता है।

चिह्न
$n$	विचाराधीन रंग के लिए पदार्थ का अपवर्तनांक
$c$	निर्वात में प्रकाश की चाल	$m/s$
$v$	पदार्थ में तरंग-शिखाओं की चाल (कला-वेग)	$m/s$

कब लागू होता है: यह शिखाओं की चाल देता है। स्पंद समूह-वेग $c / n_{g}$ से चलता है, जो काँच में कम है; X-किरणों के लिए $n$ 1 से थोड़ा कम है, पर कोई संकेत $c$ से तेज़ नहीं जाता।

उदाहरण: एनिमेशन के फ़्लिंट काँच में लाल प्रकाश: $v = 2.998 \times 1 0^{8} /1.733 = 1.73 \times 1 0^{8} m/s$ ; बैंगनी, $n = 1.800$ के साथ, केवल $1.67 \times 1 0^{8} m/s$ ।

कॉशी का विक्षेपण नियम

n (λ) \approx A + \frac{B}{λ ^{2}} (Cauchy)

पारदर्शी पदार्थ के अपवर्तनांक का छोटी तरंगदैर्घ्य की ओर बढ़ने का एक प्रयोगसिद्ध सूत्र। यह अनुनाद-सूत्र का आरंभिक पद है, जो पदार्थ के पराबैंगनी अनुनादों से काफ़ी नीचे की आवृत्तियों के लिए है: $A$ बहुत लंबी तरंगदैर्घ्य पर अपवर्तनांक है और $B$ विक्षेपण का माप।

चिह्न
$n$	तरंगदैर्घ्य $λ$ पर अपवर्तनांक
$λ$	निर्वात में तरंगदैर्घ्य	$nm$
$A$	बहुत लंबी तरंगदैर्घ्य की सीमा में अपवर्तनांक
$B$	विक्षेपण गुणांक	$n m^{2}$

कब लागू होता है: दृश्य प्रकाश में काँच और पानी के लिए अच्छा। अवशोषण-पट्टियों के निकट, यानी पराबैंगनी और अवरक्त में, यह विफल होता है; वहाँ पूर्ण अनुनाद (सेलमेयर) रूप चाहिए।

उदाहरण: फ़्लिंट काँच, $A = 1.700$ और $B = 16000 n m^{2}$ : 700 nm पर $n = 1.733$ , 580 nm पर 1.748, और 400 nm पर 1.800।

स्नेल का अपवर्तन नियम

n_{1} sin θ_{1} = n_{2} sin θ_{2}

किसी सीमा के दोनों ओर तरंग-शिखाएँ उसके साथ मिलनी चाहिए, और दोनों ओर आवृत्ति एक ही है, इसलिए किरण तब तक मुड़ती है जब तक दोनों ओर $n sin θ$ समान न हो जाए। सघन माध्यम में प्रवेश करते समय किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। हवा में एक प्रिज़्म के लिए इसे दो बार लगाइए: प्रवेश पर $sin θ_{1} = n sin θ_{2}$ और निर्गम पर $sin θ_{4} = n sin θ_{3}$ ।

चिह्न
$n_{1}$	पहले माध्यम का अपवर्तनांक
$θ_{1}$	आपतन कोण, अभिलंब से	$rad$
$n_{2}$	दूसरे माध्यम का अपवर्तनांक
$θ_{2}$	अपवर्तन कोण, अभिलंब से	$rad$

कब लागू होता है: समदैशिक माध्यमों की किसी भी चिकनी सीमा पर लागू; हर रंग के लिए उसका अपना अपवर्तनांक लिया जाता है। सघन माध्यम से निकलते समय क्रांतिक कोण से आगे कोई हल नहीं होता: प्रकाश पूर्ण परावर्तित हो जाता है।

उदाहरण: फ़्लिंट प्रिज़्म में $5 5^{\circ}$ पर प्रवेश करता लाल प्रकाश: $sin θ_{2} = 0.8192/1.733 = 0.4727$ , इसलिए $θ_{2} = 28. 2^{\circ}$ ; बैंगनी $27. 1^{\circ}$ की ओर मुड़ता है।

प्रिज़्म द्वारा विचलन

δ = θ_{1} + θ_{4} - α (prism of apex angle α)

किरण पहली सतह पर $θ_{1} - θ_{2}$ और दूसरी पर $θ_{4} - θ_{3}$ मुड़ती है, दोनों बार आधार की ओर। दोनों आंतरिक कोण मिलकर शीर्ष-कोण देते हैं, $θ_{2} + θ_{3} = α$ , क्योंकि वे दो सतह-अभिलंबों के साथ एक त्रिभुज में हैं, इसलिए कुल मोड़ $θ_{1} + θ_{4} - α$ है।

चिह्न
$δ$	विचलन कोण, आने और जाने की दिशाओं के बीच	$rad$
$θ_{1}$	पहली सतह पर आपतन कोण	$rad$
$θ_{4}$	दूसरी सतह के अभिलंब से निकलती किरण का कोण	$rad$
$α$	प्रिज़्म का शीर्ष-कोण	$rad$

कब लागू होता है: दो समतल सतहों को प्रिज़्म के तल में पार करने वाली, आंतरिक परावर्तन रहित किरण के लिए सटीक; हर रंग को अलग से अनुरेखित किया जाता है। किसी रंग के लिए विचलन न्यूनतम तब होता है जब किरण प्रिज़्म को सममित रूप से पार करती है।

उदाहरण: एनिमेशन में लाल किरण $65. 9^{\circ}$ पर निकलती है: $δ = 5 5^{\circ} + 65. 9^{\circ} - 6 0^{\circ} = 60. 9^{\circ}$ ; बैंगनी, $78. 1^{\circ}$ पर निकलकर, $73. 1^{\circ}$ विचलित होती है।

पतले प्रिज़्म द्वारा विचलन

δ \approx (n - 1) α (thin prism)

छोटे कोणों के लिए स्नेल के नियम में ज्याओं की जगह कोण रखे जा सकते हैं, इसलिए $θ_{1} + θ_{4} \approx n (θ_{2} + θ_{3}) = n α$ । केवल $n$ का 1 से आधिक्य प्रकाश को मोड़ता है: $n = 1$ वाला प्रिज़्म प्रकाश को बिल्कुल नहीं मोड़ेगा। दो रंग लगभग $(n_{violet} - n_{red}) α$ से अलग होते हैं।

चिह्न
$δ$	विचलन कोण	$rad$
$n$	उस रंग के लिए प्रिज़्म का अपवर्तनांक
$α$	शीर्ष-कोण (छोटा)	$rad$

कब लागू होता है: 10–15° तक के शीर्ष-कोणों और आपतन कोणों के लिए; $δ$ और $α$ दोनों डिग्री में हो सकते हैं, बशर्ते दोनों एक ही इकाई में हों। एनिमेशन के 60° प्रिज़्म के लिए यह लाल के लिए $4 4^{\circ}$ देता है, न कि $60. 9^{\circ}$ ।

उदाहरण: 10° का क्राउन-काँच प्रिज़्म, लाल के लिए $n = 1.513$ : $δ \approx 0.513 \cdot 1 0^{\circ} = 5.1 3^{\circ}$ , और बैंगनी के लिए $5.3 1^{\circ}$ ।

दो रंगों के बीच आगमन-विलंब (समूह-अपवर्तनांक)

Δ t = \frac{L ( n _{g, violet} - n _{g, red} )}{c} (n_{g} = n - λ \frac{d n}{d λ})

स्पंद समूह-वेग $c / n_{g}$ से चलता है, इसलिए लंबाई $L$ पार करने में $L n_{g} / c$ समय लगता है, और दो रंग $L Δ n_{g} / c$ के अंतर से पहुँचते हैं। समूह-अपवर्तनांक सामान्य अपवर्तनांक से $- λ d n / d λ$ अधिक होता है: स्पंद पास-पास की तरंगदैर्घ्यों का समूह है, और उसका लिफ़ाफ़ा वहाँ चलता है जहाँ वे साथ रहती हैं, जो इस पर निर्भर है कि $n$ तरंगदैर्घ्य के साथ कितनी तेज़ी से बदलता है।

चिह्न
$Δ t$	दोनों आगमनों के बीच विलंब	$s$
$L$	पदार्थ में पथ की लंबाई	$m$
$n_{g, violet}$	बैंगनी प्रकाश के लिए समूह-अपवर्तनांक
$n_{g, red}$	लाल प्रकाश के लिए समूह-अपवर्तनांक
$c$	निर्वात में प्रकाश की चाल	$m/s$
$n_{g}$	समूह-अपवर्तनांक
$n$	अपवर्तनांक (कला-अपवर्तनांक)
$λ$	निर्वात में तरंगदैर्घ्य	$nm$
$\frac{d n}{d λ}$	तरंगदैर्घ्य के सापेक्ष अपवर्तनांक की ढलान; सामान्य विक्षेपण में ऋणात्मक	$n m^{- 1}$

कब लागू होता है: अवशोषण-पट्टियों से दूर लागू होता है, जहाँ इस फैलाव के अलावा स्पंद अपना आकार रखता है। अनुनाद के निकट समूह-वेग संकेत की चाल नहीं देता।

उदाहरण: एनिमेशन के फ़्लिंट काँच में 1.00 km: लाल के लिए $n_{g} = 1.798$ और बैंगनी के लिए 2.000, इसलिए $Δ t = 1000 \cdot 0.202/ (2.998 \times 1 0^{8}) = 674 ns$ ।

इंद्रधनुष का कोण और इंद्रधनुषी किरण

φ = 4 θ^{'} - 2 θ, cos^{2} θ = \frac{n ^{2} - 1}{3} (rainbow)

किरण बूँद में प्रवेश पर $θ - θ^{'}$ , पिछली सतह पर $18 0^{\circ} - 2 θ^{'}$ , और निकलते समय फिर $θ - θ^{'}$ मुड़ती है, कुल $18 0^{\circ} + 2 θ - 4 θ^{'}$ ; इसलिए वह सूर्य की विपरीत दिशा से $φ = 4 θ^{'} - 2 θ$ पर लौटती है। प्रवेश-बिंदु बाहर की ओर खिसकने पर $φ$ एक अधिकतम तक बढ़ता है और फिर घटता है; उस अधिकतम पर $d φ / d θ = 0$ है, और स्नेल के नियम से $cos^{2} θ = (n^{2} - 1) /3$ मिलता है। उस कोण के निकट की किरणें लगभग एक साथ निकलती हैं, इसलिए प्रकाश इंद्रधनुष में जमा हो जाता है।

चिह्न
$φ$	लौटती किरण और सूर्य की विपरीत दिशा के बीच का कोण	$rad$
$θ^{'}$	बूँद के भीतर अपवर्तन कोण	$rad$
$θ$	बूँद पर आपतन कोण	$rad$
$n$	उस रंग के लिए पानी का अपवर्तनांक

कब लागू होता है: किरण-प्रकाशिकी, एक आंतरिक परावर्तन, और तरंगदैर्घ्य से कहीं बड़ी गोलाकार बूँदें; छोटी बूँदें व्यतिकरण-पट्टियाँ जोड़ती हैं और कोहरे की बूँदें इंद्रधनुष को लगभग सफ़ेद धुँधला कर देती हैं। दो परावर्तन द्वितीयक इंद्रधनुष देते हैं, जो $cos^{2} θ = (n^{2} - 1) /8$ पर स्थिर होता है।

उदाहरण: लाल, $n = 1.3305$ : $cos^{2} θ = 0.2567$ , $θ = 59. 6^{\circ}$ , $θ^{'} = 40. 4^{\circ}$ , इसलिए $φ = 4 \cdot 40.3 9^{\circ} - 2 \cdot 59.5 6^{\circ} = 42. 4^{\circ}$ ।

शब्दावली

अपवर्तनांक: अनुपात $n = c / v$ , यानी निर्वात में प्रकाश की चाल और किसी पदार्थ में उसकी चाल का अनुपात: पानी के लिए लगभग 1.33 और काँच के लिए 1.5–1.8। यह रंग-रंग में थोड़ा बदलता है।
विक्षेपण: तरंग की चाल, और इसलिए अपवर्तनांक, की तरंगदैर्घ्य पर निर्भरता। इससे प्रिज़्म या बूँद हर रंग को अपने कोण पर भेजते हैं, और तंतु में लघु स्पंद फैल जाते हैं।
सामान्य विक्षेपण: पारदर्शी पदार्थों की सामान्य स्थिति: तरंगदैर्घ्य घटने पर $n$ बढ़ता है ( $d n / d λ < 0$ ), इसलिए बैंगनी धीमा होकर लाल से अधिक मुड़ता है।
असामान्य विक्षेपण: अवशोषण-पट्टी के भीतर उलटा व्यवहार, जहाँ आवृत्ति बढ़ने पर अपवर्तनांक घटता है। यह केवल इतिहास के कारण असामान्य कहलाता है: वही अनुनाद दोनों प्रकार का विक्षेपण पैदा करता है।
वर्णक्रम: प्रकाश को तरंगदैर्घ्य से छाँटने पर मिलने वाली रंगों की पट्टी: लाल (लगभग 700 nm) से नारंगी, पीला, हरा और नीला होते हुए बैंगनी (लगभग 400 nm) तक।
विचलन कोण: प्रिज़्म से पहले की किरण की दिशा और उसके निकलने की दिशा के बीच कोण $δ$ । यह अपवर्तन कोण नहीं है, जो एक सतह पर अभिलंब से मापा जाता है।
पतला प्रिज़्म: छोटे शीर्ष-कोण वाला प्रिज़्म, जिसके लिए किसी भी छोटे आपतन कोण पर विचलन लगभग $(n - 1) α$ होता है। 10° का क्राउन-काँच प्रिज़्म प्रकाश को लगभग 5° विचलित करता है।
प्राथमिक इंद्रधनुष: वर्षा-बूँदों में अपवर्तित सूर्य-प्रकाश, जो भीतर एक बार परावर्तित होकर बाहर निकलता है, सूर्य की विपरीत दिशा के चारों ओर लगभग 42° के शंकु पर केंद्रित होता है: बाहर लाल, भीतर बैंगनी। दो परावर्तनों से बना फीका द्वितीयक इंद्रधनुष 50–54° पर होता है, जिसके रंग उलटे होते हैं।
समूह-वेग: स्पंद या किसी भी अन्य मॉडुलन की चाल $c / n_{g}$ , जो संकेत और ऊर्जा ले जाती है। सामान्य विक्षेपण में यह तरंग-शिखाओं के कला-वेग $c / n$ से कम होता है।
योगात्मक रंग मिश्रण: प्रकाशों का मिश्रण: उनके आँख के तीन प्रकार के शंकुओं पर प्रभाव जुड़ते हैं। लाल और हरा प्रकाश पीला बनाते हैं, और लाल, हरा और नीला मिलकर सफ़ेद, जैसा स्क्रीन पर होता है।
व्यवकलनात्मक रंग मिश्रण: रंगद्रव्यों, स्याहियों या फ़िल्टरों का मिश्रण: हर एक प्रकाश का कुछ हिस्सा सोखता है, और केवल वह बचता है जो सभी लौटाते हैं। पीला और सायन रंगद्रव्य मिलकर हरा बनाते हैं।
रैले प्रकीर्णन: तरंगदैर्घ्य से बहुत छोटे कणों, जैसे वायु के अणुओं, द्वारा प्रकाश का प्रकीर्णन, जो $ω^{4}$ के अनुपात में होता है, यानी $1/ λ^{4}$ । इससे आकाश नीला और अस्त होता सूर्य लाल दिखता है।

राशियाँ
$n$	अपवर्तनांक		निर्वात में प्रकाश की चाल को पदार्थ में उसकी चाल से भाग देने पर मिलने वाली संख्या; यहाँ यह तरंगदैर्घ्य पर निर्भर है, $n (λ)$ ।
$c$	निर्वात में प्रकाश की चाल	$m/s$	$c = 2.998 \times 1 0^{8} m/s$ , जो हर रंग के लिए एक ही है।
$v$	पदार्थ में प्रकाश की चाल	$m/s$	तरंग-शिखाओं की चाल (कला-वेग), $c / n$ : एनिमेशन के फ़्लिंट काँच में लाल के लिए $1.73 \times 1 0^{8} m/s$ और बैंगनी के लिए $1.67 \times 1 0^{8} m/s$ ।
$λ$	निर्वात में तरंगदैर्घ्य	$nm$	रंग को पहचानता है: लाल के लिए लगभग 700 nm, बैंगनी के लिए 400 nm। पदार्थ के भीतर तरंगदैर्घ्य $λ / n$ होता है ( $λ_{0}$ और $λ_{0} / n$ के रूप में “परावर्तन और अपवर्तन” में), जबकि आवृत्ति वही रहती है।
$B$	कॉशी गुणांक	$n m^{2}$	$n \approx A + B / λ^{2}$ में छोटी तरंगदैर्घ्य की ओर $n$ कितनी तेज़ी से बढ़ता है, यह तय करता है; विमाहीन $A$ लंबी तरंगदैर्घ्य पर अपवर्तनांक है। एनिमेशन के फ़्लिंट काँच में $A = 1.700$ और $B = 16000 n m^{2}$ है।
$θ_{1}$	आपतन कोण	$rad$	आने वाली किरण और पहली सतह के अभिलंब के बीच का कोण, एनिमेशन में $5 5^{\circ}$ ; स्नेल के नियम में हर कोण अभिलंब से मापा जाता है। $θ_{2}$ और $θ_{3}$ काँच के भीतर के कोण हैं और $θ_{4}$ निकलती किरण का कोण है, सब अभिलंब से मापे गए; $n_{1}$ और $n_{2}$ किसी सतह के दोनों ओर के अपवर्तनांक हैं।
$α$	शीर्ष-कोण	$rad$	उन दो सतहों के बीच का कोण जिन्हें प्रकाश पार करता है: एनिमेशन के प्रिज़्म के लिए $6 0^{\circ}$ , और पतले प्रिज़्म के उदाहरण के लिए $1 0^{\circ}$ ।
$δ$	विचलन कोण	$rad$	आने की दिशा से जाने की दिशा तक किरण का कुल मोड़: एनिमेशन में लाल के लिए $60. 9^{\circ}$ और बैंगनी के लिए $73. 1^{\circ}$ ।
$φ$	इंद्रधनुष कोण	$rad$	बूँद से लौटती किरण और सूर्य की विपरीत दिशा के बीच का कोण; इसका अधिकतम मान, लाल के लिए $42. 4^{\circ}$ और बैंगनी के लिए $40. 6^{\circ}$ , वही स्थान है जहाँ इंद्रधनुष दिखता है। $φ = 4 θ^{'} - 2 θ$ में $θ$ बूँद पर आपतन कोण है और $θ^{'}$ बूँद के भीतर अपवर्तन कोण।
$n_{g}$	समूह-अपवर्तनांक		$n_{g} = n - λ d n / d λ$ , यानी निर्वात में प्रकाश की चाल को स्पंद की चाल से भाग देने पर मिलने वाली संख्या: एनिमेशन के काँच में लाल के लिए 1.798 और बैंगनी के लिए 2.000। लंबाई $L$ पर, जिन दो रंगों के समूह-अपवर्तनांक में $Δ n_{g}$ का अंतर है, वे $Δ t = L Δ n_{g} / c$ के अंतर से पहुँचते हैं।

क्विज़

शुरुआती सफ़ेद प्रकाश की एक किरण काँच के प्रिज़्म से गुज़रती है। कौन सा रंग सबसे ज़्यादा मुड़ता है?
1. लाल
2. हरा
3. बैंगनी
4. सभी रंग समान रूप से मुड़ते हैं
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: C. बैंगनी
काँच बैंगनी प्रकाश को सबसे ज़्यादा धीमा करता है, इसलिए उसका अपवर्तनांक सबसे बड़ा होता है और वह सबसे ज़्यादा मुड़ता है; लाल सबसे कम मुड़ता है।
शुरुआती प्रिज़्म से निकलने वाले रंग कहाँ से आते हैं?
1. वे सफ़ेद प्रकाश में पहले से मिले हुए थे
2. काँच प्रकाश को रंग देता है
3. काँच प्रकाश को इतना गर्म करता है कि वह रंगों में चमकने लगता है
4. वे कमरे की रंगीन वस्तुओं के परावर्तन हैं
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: A. वे सफ़ेद प्रकाश में पहले से मिले हुए थे
सफ़ेद प्रकाश सभी रंगों का मिश्रण है। प्रिज़्म केवल उन्हें अलग करता है; उल्टी दिशा में रखा दूसरा प्रिज़्म उन्हें फिर से सफ़ेद में मिला सकता है।
शुरुआती बारिश में इंद्रधनुष देखने के लिए सूर्य कहाँ होना चाहिए?
1. आपके पीछे
2. आपके सामने, बारिश के पीछे
3. ठीक सिर के ऊपर
4. कहीं भी, बस बारिश हो रही हो
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: A. आपके पीछे
वर्षा-बूँदें रंगीन प्रकाश को सूर्य की ओर लगभग 42° पर, सूर्य की विपरीत दिशा से, वापस भेजती हैं। इसलिए सूर्य आपके पीछे और बारिश आपके सामने होनी चाहिए।
मध्यम उसी काँच में लाल प्रकाश का n = 1.51 और बैंगनी प्रकाश का n = 1.53 है। कौन सा कथन सही है?
1. बैंगनी प्रकाश काँच में तेज़ चलता है
2. दोनों c = 3.00·10⁸ m/s से चलते हैं
3. दोनों की चाल समान है, पर बैंगनी की आवृत्ति वहाँ अधिक है
4. लाल प्रकाश काँच में तेज़ चलता है
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: D. लाल प्रकाश काँच में तेज़ चलता है
v = c/n, इसलिए लाल के छोटे अपवर्तनांक का अर्थ है अधिक चाल: लाल के लिए लगभग 1.99·10⁸ m/s, और बैंगनी के लिए 1.96·10⁸ m/s।
मध्यम एक पतले काँच के प्रिज़्म का शीर्ष-कोण 6° है और पीले प्रकाश के लिए n = 1.50 है। यह पीली किरण को लगभग कितना विचलित करता है?
1. 9°
2. 3°
3. 6°
4. 1.5°
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: B. 3°
पतले प्रिज़्म के लिए δ ≈ (n − 1)·α = 0.50 × 6° = 3°। यदि (n − 1)·α के बजाय n·α लिया जाए, तो 9° मिलता है।
मध्यम एक लाल स्पॉटलाइट और एक हरी स्पॉटलाइट सफ़ेद दीवार के एक ही स्थान को रोशन करती हैं। वह स्थान किस रंग का दिखता है?
1. भूरा
2. पीला
3. सफ़ेद
4. गहरा धूसर
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: B. पीला
प्रकाश जुड़ते हैं: लाल और हरा प्रकाश मिलकर आँख के लाल- और हरे-संवेदी शंकुओं को एक साथ उत्तेजित करते हैं, जिसे हम पीला देखते हैं। लाल और हरे रंगद्रव्य मिलाने पर इसके बजाय मटमैला भूरा बनता है, क्योंकि हर रंगद्रव्य प्रकाश का कुछ हिस्सा सोखता है।
उन्नत सामान्य विक्षेपण (dn/dλ < 0) में, समूह-अपवर्तनांक n_g = n − λ·dn/dλ, सामान्य अपवर्तनांक n की तुलना में कैसा है?
1. n_g < n, इसलिए स्पंद कला-वेग से आगे निकल जाते हैं
2. n_g = n बिल्कुल
3. n_g > n, इसलिए स्पंद c/n से धीमे चलते हैं
4. n_g > n, इसलिए स्पंद c/n से तेज़ चलते हैं
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: C. n_g > n, इसलिए स्पंद c/n से धीमे चलते हैं
dn/dλ < 0 के साथ पद −λ·dn/dλ धनात्मक होता है, इसलिए n_g > n और समूह-वेग c/n_g, कला-वेग c/n से कम है: अधिक अपवर्तनांक का सदा अर्थ है कम चाल।
उन्नत प्राथमिक इंद्रधनुष लगभग 42° के तीखे कोण पर क्यों दिखता है, न कि एक समान चमक के रूप में?
1. बूँद के भीतर पूर्ण आंतरिक परावर्तन केवल 42° पर होता है
2. वर्षा-बूँदें प्रकाश को केवल 42° पर बाहर आने देती हैं
3. हर दूसरे कोण पर प्रकाश विनाशी व्यतिकरण करता है
4. निर्गत कोण φ(b) का 42° के आसपास एक चपटा उच्चिष्ठ है, इसलिए कई किरणें लगभग एक ही कोण पर निकलती हैं
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: D. निर्गत कोण φ(b) का 42° के आसपास एक चपटा उच्चिष्ठ है, इसलिए कई किरणें लगभग एक ही कोण पर निकलती हैं
φ = 4θ′ − 2θ संघट्ट प्राचल के साथ बढ़ता है, cos²θ = (n² − 1)/3 पर चपटा होता है और फिर घटता है। इस स्थिर बिंदु के निकट कई किरणें लगभग एक ही कोण पर निकलती हैं, इसलिए प्रकाश वहाँ जमा हो जाता है (यानी कौस्टिक)। गोलाकार बूँद में कोई पूर्ण आंतरिक परावर्तन नहीं होता, और प्रकाश कई कोणों पर निकलता है।

$E_{0}$	परत पर आती तरंग, एक तीर के रूप में: लंबाई आयाम और दिशा कला।	$V/m$
$E_{a}$	परत के इलेक्ट्रॉनों द्वारा विकिरित तरंग: छोटी, और $E_{0}$ से एक चौथाई चक्र पीछे, इसलिए समकोण पर दक्षिणावर्त खींची गई।	$V/m$
$E^{'}$	परत के आगे की तरंग: $E_{0}$ और $E_{a}$ का योग।	$V/m$
$φ$	$E_{0}$ से $E^{'}$ तक का कोण: परत द्वारा जुड़ा कला-विलंब $ω (n - 1) Δ z / c$ , जो $∣ E_{a} ∣/∣ E_{0} ∣$ के बराबर है।	$rad$

$n$	अपवर्तनांक, यहाँ सम्मिश्र संख्या $n = n^{'} - i n^{''}$ ; दोनों वक्र उसके भाग हैं।
$n^{'}$	अपवर्तनांक का वास्तविक भाग: तरंग-शिखाएँ $c / n^{'}$ से चलती हैं।
$n^{''}$	अपवर्तनांक का काल्पनिक भाग: यह तय करता है कि तरंग कितनी तेज़ी से अवशोषित होती है।
$ω$	प्रकाश की कोणीय आवृत्ति।	$rad/s$
$ω_{0}$	इलेक्ट्रॉनों की प्राकृतिक आवृत्ति: अनुनाद।	$rad/s$
$γ$	अवमंदन-दर; यह अवशोषण-शिखर की अर्ध-ऊँचाई पर चौड़ाई भी है।	$rad/s$
$A$	बहुत कम आवृत्ति पर अपवर्तनांक, जहाँ से $n^{'}$ शुरू होता है: कॉशी रूप का अचर पद।
$A + \frac{B}{λ ^{2}}$	कॉशी रूप (बिंदीदार): अनुनाद से काफ़ी नीचे $n^{'}$ का निकट अनुसरण करता है, और उसके निकट विफल होता है।

$t_{1}$	पहला क्षण।	$s$
$t_{2}$	बाद का क्षण; $Δ t = t_{2} - t_{1}$ ।	$s$
$E$	स्पंद का विद्युत क्षेत्र: नीला वक्र, जिसकी शिखाएँ कला-वेग से चलती हैं, एक छायांकित लिफ़ाफ़े के नीचे।	$V/m$
$v Δ t$	$t_{1}$ और $t_{2}$ के बीच एक शिखा द्वारा तय दूरी: कला-वेग $v = c / n$ गुणा $Δ t$ ।	$m$
$v_{g} Δ t$	उसी समय में लिफ़ाफ़े के शिखर द्वारा तय दूरी: समूह-वेग $v_{g} = c / n_{g}$ गुणा $Δ t$ ।	$m$

$b$	किरण का संघट्ट प्राचल: बूँद की अक्ष से उसकी दूरी, त्रिज्या की इकाइयों में, $b = sin θ$ , जहाँ $θ$ आपतन कोण है।
$φ$	निर्गत किरण और प्रतिसूर्य दिशा (सूर्य से सीधे दूर) के बीच का कोण, $φ = 4 θ^{'} - 2 θ$ , जहाँ $θ^{'}$ अपवर्तन कोण है।	$rad$
$φ_{m a x}$	सबसे बड़ा निर्गत कोण, वक्र के चपटे शिखर पर: इंद्रधनुष कोण।	$rad$
$Δ φ$	हर छायांकित पट्टी की ऊँचाई: दोनों में निर्गत कोणों की वही छोटी परास।	$rad$
$Δ b_{1}$	ऊपर की पट्टी में निकलने वाली किरणों की $b$ परास: चौड़ी, क्योंकि वहाँ वक्र चपटा है।
$Δ b_{2}$	ढलान पर नीचे की पट्टी में निकलने वाली किरणों की $b$ परास: संकरी, क्योंकि वहाँ वक्र खड़ा है।