रेडियोऐक्टिवता और अर्ध-आयु

अस्थायी नाभिक यादृच्छिक क्षणों पर क्षय होते हैं, फिर भी एक बड़े नमूने में अविघटित नाभिकों की संख्या $N$ एक निश्चित समय, अर्ध-आयु $T_{1/2}$ , में आधी हो जाती है: $N = N_{0} (1/2)^{t / T_{1/2}}$ ।

100 रेडियोधर्मी नाभिकों का एक ग्रिड: प्रत्येक नाभिक एक अनिश्चित क्षण पर धूसर हो जाता है और एक कण उत्सर्जित करता है, फिर भी हर अर्ध-आयु में शेष नाभिकों में से आधे क्षय हो जाते हैं।

इस विषय से पहले: परमाणु मॉडल: बोर परमाणु

शुरुआती

मुख्य विचार

नाभिक प्रोटॉनों और न्यूट्रॉनों का कसा हुआ समूह है; प्रोटॉनों की संख्या तय करती है कि परमाणु कौन-सा तत्व है।
अस्थायी नाभिक एक कण या ऊर्जा की चमक छोड़ता है और दूसरा नाभिक बन जाता है: इसे रेडियोधर्मी क्षय कहते हैं।
हर क्षय यादृच्छिक क्षण पर होता है, और नाभिक बूढ़े नहीं होते: पुराने नाभिक के क्षय होने की संभावना नए से अधिक नहीं होती।
हर अर्ध-आयु में बचे नाभिकों में से आधे क्षय होते हैं: 100, 50, 25, 12… इसलिए नमूना घटता है, पर अचानक समाप्त नहीं होता।
अर्ध-आयु सेकंड के अंश से लेकर अरबों वर्ष तक होती है; कार्बन-14 (लगभग 5,700 वर्ष) पुरानी लकड़ी और हड्डी की आयु बताने में काम आता है।

परमाणु की उस छवि से शुरू करें जो आप पहले से जानते हैं: बीच में एक बहुत छोटा नाभिक है, जो प्रोटॉन और न्यूट्रॉन से बना है, और उसके चारों ओर इलेक्ट्रॉन घूमते हैं। प्रोटॉनों की संख्या परमाणु की पहचान है। छह प्रोटॉन हमेशा कार्बन होता है; 92 हमेशा यूरेनियम। रासायनिक अभिक्रियाएँ केवल बाहरी इलेक्ट्रॉनों को पुनर्व्यवस्थित करती हैं, इसलिए वे यह संख्या कभी नहीं बदल सकतीं। यह केवल नाभिक के भीतर का परिवर्तन ही कर सकता है।

कुछ नाभिक अस्थायी होते हैं: उनमें बहुत अधिक ऊर्जा होती है, या प्रोटॉन और न्यूट्रॉन का मेल असंतुलित होता है। ऐसा नाभिक देर-सवेर एक छोटा कण या बहुत ऊर्जावान प्रकाश का झोंका फेंकता है, और एक भिन्न नाभिक बन जाता है, प्रायः किसी दूसरे तत्व का। इसे रेडियोधर्मी क्षय कहते हैं।

यह कब होता है? विशुद्ध संयोग से। बेडरूम की छत पर लगे अँधेरे में चमकने वाले तारों की सोचिए: बत्ती बुझने के बाद उनके परमाणु संचित प्रकाश एक-एक करके, अप्रत्याशित क्षणों पर लौटाते हैं, इसलिए चमक धीरे-धीरे कम होती है। रेडियोधर्मी नाभिक भी ऐसे ही व्यवहार करते हैं, पर एक आश्चर्य के साथ: वे बूढ़े नहीं होते। जो नाभिक दस लाख वर्ष से प्रतीक्षा कर रहा है, वह एक नए नाभिक की तुलना में क्षय के अधिक निकट नहीं है।

एनिमेशन में हर सुनहरी डिस्क एक नाभिक है। वे एक-एक करके धूसर होते हैं, हर एक लाल कण छोड़ता है, और आप अनुमान नहीं लगा सकते कि अगला कौन होगा। फिर भी समूह पूर्वानुमान योग्य है: घड़ी की सुई जितनी बार पूरा चक्कर लगाती है, उतनी बार बचे सुनहरे नाभिकों में से आधे क्षय हो जाते हैं। एक चक्कर पर 50 बचते हैं; दो पर 25; तीन पर लगभग 12। घड़ी का एक चक्कर ही अर्ध-आयु है।

स्वयं जाँचें: एक नमूने में 800 रेडियोधर्मी नाभिक हैं। तीन अर्ध-आयु बाद कितने बचेंगे? उत्तर: $800 \to 400 \to 200 \to 100$ , यानी 100, शून्य नहीं।

अर्ध-आयु एक सेकंड के अंश से लेकर अरबों वर्षों तक होती है। कार्बन-14 की अर्ध-आयु लगभग 5,700 वर्ष है, जिससे वैज्ञानिक पुरानी लकड़ी और हड्डी की आयु निकाल पाते हैं।

मध्यम

मुख्य विचार

$N = N_{0} (1/2)^{t / T_{1/2}}$ किसी भी $t$ के लिए मान्य है, केवल पूर्ण अर्ध-आयुओं के लिए नहीं: 2.5 अर्ध-आयु बाद $0. 5^{2.5} \approx 0.177$ (17.7 %) शेष रहता है।
$α$ : $A - 4$ , $Z - 2$ , एक कागज़ से रुक जाता है। $β^{-}$ : एक न्यूट्रॉन प्रोटॉन बन जाता है, $Z + 1$ । $γ$ : $A$ और $Z$ अपरिवर्तित, मोटे सीसे की आवश्यकता होती है।
अर्ध-आयु सब कुछ के क्षय होने में लगने वाले समय की आधी नहीं है: दो अर्ध-आयु बाद एक-चौथाई शेष रहता है, शून्य नहीं।
100 नाभिकों का नमूना एक अर्ध-आयु बाद आम तौर पर नियम से लगभग ±5 विचलित होता है; एक ग्राम पदार्थ लगभग पूरी तरह नियम का पालन करता है।

क्या क्षय होता है और हम क्या गिनते हैं

हर नाभिक दो पूर्ण संख्याओं से पहचाना जाता है। परमाणु क्रमांक $Z$ प्रोटॉनों की गिनती करता है और तत्व तय करता है: $Z = 6$ कार्बन है, $Z = 92$ यूरेनियम। द्रव्यमान संख्या $A$ सभी न्यूक्लिऑनों की गिनती करती है, यानी प्रोटॉन और न्यूट्रॉन, इसलिए कार्बन-14 $_{6}^{14} C$ में 6 प्रोटॉन और 8 न्यूट्रॉन हैं। समान $Z$ पर भिन्न $A$ वाले नाभिक एक ही तत्व के समस्थानिक हैं: कार्बन-12 स्थायी है, कार्बन-14 रेडियोधर्मी।

नमूने में हम $N$ को गिनते हैं, यानी वे नाभिक जो अभी तक क्षय नहीं हुए, और ये $t = 0$ पर $N_{0}$ से शुरू होते हैं। एक डिटेक्टर क्षयों को दर्ज करता है, और प्रति सेकंड क्षयों की संख्या सक्रियता कहलाती है, जिसे बेकरेल में मापा जाता है (1 Bq का अर्थ है प्रति सेकंड एक क्षय)। अक्षर $A$ द्रव्यमान संख्या और सक्रियता दोनों के लिए प्रयुक्त होता है, इसलिए संदर्भ देखें; $N$ सदैव अविघटित नाभिकों की संख्या को दर्शाता है।

समान अंतरालों में आधा होना

रेडियोधर्मी नाभिक घिसता नहीं: उसकी आयु जो भी हो, अगली अर्ध-आयु $T_{1/2}$ में जीवित रहने की संभावना ठीक आधी होती है। इसलिए बड़े नमूने में एक अर्ध-आयु बाद आधे नाभिक बचते हैं, फिर उनमें से आधे अगली अर्ध-आयु बाद, और इसी प्रकार। $n = t / T_{1/2}$ अर्ध-आयु बाद, चाहे $n$ पूर्णांक हो या न हो,
$N = N_{0} (\frac{1}{2})^{t / T_{1/2}}$

प्रति सेकंड क्षय की संभावना क्षय-स्थिरांक $λ$ है, और सक्रियता वह संभावना गुणा उपस्थित नाभिकों की संख्या है:

$λ = \frac{l n 2}{T _{1/2}}$
$A = λ N$

अतः सक्रियता भी हर अर्ध-आयु में आधी होती है। मापे गए अंश को समय में बदलने के लिए आधे होने की गिनती करें: $n = lo g_{2} (N_{0} / N)$ , इसलिए जो नमूना अपने आरंभिक मान के 1/16 तक घट गया है, वह चार अर्ध-आयु पुराना है। यदि $T_{1/2}$ सेकंड में है, तो $λ$ $s^{- 1}$ में आएगा और $A$ बेकरेल में।

क्षय के तीन तरीके

एनिमेशन के लेजेंड में तीन प्रकार के विकिरण दिए गए हैं:

$α$ क्षय में नाभिक एक हीलियम-4 नाभिक उत्सर्जित करता है, जिसमें 2 प्रोटॉन और 2 न्यूट्रॉन होते हैं, इसलिए $A$ 4 घटता है और $Z$ 2। एक कागज़ की शीट इन भारी, दोहरे आवेश वाले कणों को रोक देती है।
$β^{-}$ क्षय में एक न्यूट्रॉन प्रोटॉन बन जाता है और नाभिक एक इलेक्ट्रॉन तथा एक प्रति-न्यूट्रिनो उत्सर्जित करता है, इसलिए समान $A$ पर $Z$ 1 बढ़ता है; $β^{+}$ क्षय में एक प्रोटॉन न्यूट्रॉन बनता है और पॉज़िट्रॉन उत्सर्जित होता है, इसलिए $Z$ 1 घटता है। एल्युमीनियम की कुछ मिलीमीटर मोटी परत $β$ कणों को रोक देती है।
$γ$ उत्सर्जन में एक उत्तेजित नाभिक, जो अक्सर अभी-अभी $α$ या $β$ क्षय से बना होता है, एक उच्च-ऊर्जा फ़ोटॉन छोड़ता है, और $A$ व $Z$ अपरिवर्तित रहते हैं। सीसा $γ$ किरणों को पूरी तरह कभी नहीं रोकता: एक सेंटीमीटर सीसा 1 MeV फ़ोटॉनों की किरण को आधा कर देता है।

$α$ क्षय के लिए, नाभिकीय कणों और आवेशों की गिनती करने पर
$X (A, Z) \to Y (A - 4, Z - 2) +^{4} He$
मिलता है, इसलिए यूरेनियम-238 ( $Z = 92$ ) थोरियम-234 ( $Z = 90$ ) बन जाता है। एनिमेशन का नमूना एक $α$ उत्सर्जक है: हर धूसर होने वाला सुनहरा मूल नाभिक $X$ एक पुत्री नाभिक $Y$ बन गया है, और उड़ने वाला लाल बिंदु उसका $α$ कण है।

हल किया गया उदाहरण: एनिमेशन का नमूना

एनिमेशन $N_{0} = 100$ नाभिकों और $T_{1/2} = 2.5 s$ से शुरू होता है, और घड़ी की सुई हर अर्ध-आयु में एक चक्कर लगाती है। एक, दो, तीन और चार चक्करों पर, यानी 2.5, 5, 7.5 और 10 s पर, नियम 50, 25, 12.5 और 6.25 नाभिक देता है। $N$ पाठ्यांक 50, 25, 12 और 6 दिखाता है, क्योंकि गिनती पूर्ण संख्या होती है; $N / N_{0}$ पाठ्यांक वही संख्याएँ प्रतिशत में दिखाता है।

सूत्र चक्करों के बीच भी काम करता है। $t = 4.0 s$ पर,
$t / T_{1/2} = 4.0/2.5 = 1.6, N = 100 \cdot 0. 5^{1.6} = 33.0$
और पाठ्यांक 33 दिखाता है। उल्टा हल करने पर नियम वह समय देता है जब 10 नाभिक बचे हों: $n = lo g_{2} 10 = 3.32$ अर्ध-आयु, अर्थात $t = 8.3 s$ ।

पहले चक्कर में 50 नाभिक क्षय होते हैं, दूसरे में 25, और तीसरे में 13: क्षय कम होते जाते हैं क्योंकि शेष नाभिक कम हैं, इसलिए नहीं कि बचे नाभिक अधिक स्थायी हो गए हैं। एनिमेशन के क्षय समय नियम का पालन करने के लिए चुने गए हैं। 100 नाभिकों का वास्तव में यादृच्छिक नमूना एक अर्ध-आयु बाद आम तौर पर 50 से लगभग 5 विचलित होगा, जबकि एक ग्राम पदार्थ, जिसमें लगभग $1 0^{21}$ नाभिक हैं, नियम का लगभग ठीक पालन करता है।

हल किया गया उदाहरण: चिकित्सा में आयोडीन-131

आयोडीन-131 का उपयोग थायरॉयड ग्रंथि के उपचार में होता है; इसकी अर्ध-आयु 8.0 दिन है। एक फ़ार्मेसी 400 MBq का कैप्सूल तैयार करती है, जिसे मरीज़ 3.0 दिन बाद लेता है। तब कितनी सक्रियता शेष होगी, और एक संग्रहीत कैप्सूल अपनी आरंभिक सक्रियता के 1% से कब नीचे गिरेगा?

सक्रियता $N$ के समानुपाती है, इसलिए वह भी उसी नियम का पालन करती है:
$A = 400 \cdot 0. 5^{3.0/8.0} = 400 \cdot 0.771 = 308 MBq$
अतः फ़ार्मेसी को लगभग 30% अधिक तैयार करना होगा, उस खुराक से जो वह देना चाहती है। 1% के चिह्न के लिए, $n = lo g_{2} 100 = 6.64$ अर्ध-आयु, यानी 53 दिन। 24 दिन (तीन अर्ध-आयु) बाद $(1/2)^{3} = 12.5$ % शेष रहता है, और 20 दिन (2.5 अर्ध-आयु) बाद $0. 5^{2.5} = 17.7$ %।

$λ = ln 2/ (8.0 \cdot 86400 s) = 1.00 \times 1 0^{- 6} s^{- 1}$ से, ताज़ा कैप्सूल, $4.0 \times 1 0^{8} Bq$ , में $N = A / λ = 4.0 \times 1 0^{14}$ नाभिक हैं, जो एक माइक्रोग्राम के दसवें हिस्से से भी कम है: तौलने के लिए बहुत कम, फिर भी पता लगाने में आसान, इसीलिए रेडियोधर्मी अनुरेखक इतने उपयोगी हैं।

क्षय वक्र को पढ़ना

पाठ्यांकों $N$ बनाम $t$ का आलेख बनाएँ, तो वक्र आरंभ में तीव्र गिरता है, फिर समतल होता है और शून्य के पास पहुँचता है पर कभी छूता नहीं। $t = 0$ पर 100 नाभिकों से $t = 2 T_{1/2}$ पर शून्य तक की सीधी रेखा एक क्लासिक गलत चित्र है; उस समय वास्तविक वक्र में अब भी एक-चौथाई बचा होता है।

वक्र की ढलान क्षय-दर है, इसलिए सक्रियता उसकी प्रवणता से पढ़ी जा सकती है: एनिमेशन के लिए शुरू में लगभग 28 नाभिक प्रति सेकंड, 2.5 s पर 14, और 5 s पर 7। वास्तविक गिनतियाँ सुचारु वक्र के आसपास विचलित होती हैं, और संख्याएँ छोटी होने पर सापेक्ष विचलन अधिक होता है।

आम गलतियाँ

अर्ध-आयु वह समय नहीं है जो सब कुछ के क्षय होने में लगता है। हर अर्ध-आयु शेष का आधा हटाती है, इसलिए 6400 नाभिक चार अर्ध-आयु में 3200, 1600, 800 और 400 हो जाते हैं और अचानक कभी समाप्त नहीं होते।
क्षय प्रति घंटा एक निश्चित हानि नहीं है। जो नमूना पहले घंटे में 10% खोता है, वह हर घंटे अपने शेष का 10% खोता है, इसलिए 10 घंटे बाद $0. 9^{10} = 0.35$ , यानी 35%, बचता है।
पुराने नाभिक "देर" नहीं होते। जो नाभिक दस अर्ध-आयु तक बचा है, उसके अगली अर्ध-आयु में भी बचने की संभावना ठीक 50% है।
ऊष्मा, दाब और रसायन अर्ध-आयु नहीं बदलते। रासायनिक बंधनों में कुछ इलेक्ट्रॉन-वोल्ट ऊर्जा होती है, जबकि नाभिकीय परिवर्तनों में मेगा-इलेक्ट्रॉन-वोल्ट (MeV) की कोटि की, इसलिए रेडियोधर्मी पदार्थ को जलाने या घोलने से उसका $T_{1/2}$ लगभग अपरिवर्तित रहता है।

यह कहाँ दिखता है

रेडियोकार्बन डेटिंग कार्बन-14 का उपयोग करती है, जिसकी अर्ध-आयु 5,730 वर्ष है। ब्रह्मांडीय किरणें इसे लगातार बनाती रहती हैं, और जीव मरने तक इसे अवशोषित करते हैं, इसलिए जिस लकड़ी में जीवित पेड़ के कार्बन-14 का एक-चौथाई है, वह लगभग 11,500 वर्ष पुरानी है। यूरेनियम-238, जिसकी अर्ध-आयु 4.5 अरब वर्ष है, एक श्रृंखला में क्षय होकर सीसा-206 बनता है और सबसे पुरानी चट्टानों की आयु बताता है। चिकित्सा छोटी अर्ध-आयु वाले नाभिक चुनती है: इमेजिंग के लिए टेक्नीशियम-99m (6.0 घंटे), और PET स्कैन के लिए फ्लोरीन-18 (110 मिनट)।

धूम्र-संसूचकों में अमेरिशियम-241 होता है, एक $α$ उत्सर्जक जिसकी अर्ध-आयु 432 वर्ष है, और रेडॉन-222 (3.8 दिन) अधिकांश लोगों को उनकी सबसे बड़ी प्राकृतिक खुराक देता है। अगला पाठ, विखंडन, संलयन और E = mc², बताता है कि नाभिकीय ऊर्जा कहाँ से आती है, और यहाँ का विशेषज्ञ स्तर दिखाता है कि $α$ अर्ध-आयु माइक्रोसेकंड से अरबों वर्ष तक क्यों फैली है।

उन्नत

मुख्य विचार

स्मृति नहीं: प्रति इकाई समय स्थिर क्षय-संभावना $λ$ से $d N / d t = - λ N$ , अतः $N = N_{0} e^{- λ t}$ और $T_{1/2} = ln 2/ λ$ ।
काउंटर सक्रियता $A = λ N$ (Bq) मापता है, जो उसी घातांक के साथ घटती है; औसत आयु $τ = 1/ λ = T_{1/2} / ln 2$ है।
स्वतंत्र क्षयों से पॉइसन गणना मिलती है: माध्य $\overset{n}{ˉ}$ के आसपास लगभग $\overset{n}{ˉ}$ का प्रकीर्णन होता है, इसलिए सापेक्ष प्रकीर्णन $1/ \overset{n}{ˉ}$ के अनुसार घटता है।
आवेश, न्यूक्लिऑन और लेप्टॉन संख्याएँ संतुलित रहती हैं: $n \to p + e^{-} + \overset{ν}{ˉ}_{e}$ ; तीन कण $Q$ बाँटते हैं, इसलिए $β$ स्पेक्ट्रम सतत होता है।
$α$ क्षय कूलॉम अवरोध के आर-पार सुरंगन है: घातांकीय रूप से छोटा रिसाव अर्ध-आयु को माइक्रोसेकंड से $1 0^{10}$ वर्ष तक फैला देता है।

प्रति इकाई समय स्थिर संभावना

रेडियोधर्मी क्षय एक मूल धारणा पर टिका है: नाभिक की कोई स्मृति नहीं होती। उसकी आयु जो भी हो, अगले छोटे अंतराल $d t$ में उसके क्षय होने की संभावना $λ d t$ है, जहाँ क्षय-स्थिरांक $λ$ उस प्रकार के नाभिक के लिए प्रति इकाई समय एक निश्चित संभावना है। अभी-अभी बना नाभिक और एक अरब वर्षों से प्रतीक्षा कर रहा नाभिक, दोनों के लिए संभावना बिल्कुल एक-सी है। एनिमेशन का नमूना $N_{0} = 100$ नाभिकों से शुरू होता है और उसका $λ = 0.277 s^{- 1}$ है, इसलिए हर नाभिक के अगले सौवें सेकंड में क्षय होने की संभावना 0.28% है।

इसी एक नियम से उस संभावना $P (t)$ का मान निकलता है कि कोई नाभिक पूरे समय $t$ तक जीवित रहे। $t$ को $m$ बराबर भागों में बाँटें, जिनमें से हर एक की लंबाई $t / m$ है। हर भाग में नाभिक के क्षय की संभावना $λ t / m$ है, इसलिए उस भाग में उसके जीवित रहने की संभावना $1 - λ t / m$ है। भाग स्वतंत्र हैं, इसलिए सभी भागों में जीवित रहने की संभावनाएँ गुणा होती हैं। भागों को लगातार छोटा करने पर मिलता है
$P (t) = lim_{m \to \infty} (1 - \frac{λ t}{m})^{m} = e^{- λ t}$

घातांकीय फलन ही स्मृति-रहित एकमात्र सतत उत्तरजीविता नियम है। जाँच करें: एक नाभिक जो पहले ही समय $s$ तक जीवित रह चुका है, उसके आगे समय $t$ तक जीवित रहने की संभावना $P (s + t) / P (s) = e^{- λ (s + t)} / e^{- λ s} = e^{- λ t} = P (t)$ है, ठीक वैसे ही जैसे कोई नया नाभिक हो।

दो स्तरों के वर्णन अलग रखें। क्षय-स्थिरांक $λ$ एक अकेले नाभिक का है और केवल बताता है कि वह कितनी संभावना से क्षय हो सकता है। सुचारु क्षय-वक्र नाभिकों के एक बड़े समूह का है, और वह केवल इसलिए सुचारु है क्योंकि समूह बड़ा है।

क्षय नियम का हल

अब $N$ समान नाभिकों का एक नमूना लें। उनमें से हर एक अगले $d t$ में क्षय की संभावना $λ d t$ रखता है, इसलिए क्षयों की अपेक्षित संख्या $λ N d t$ है। हर क्षय एक नाभिक हटाता है, इसलिए $N$ में परिवर्तन $d N = - λ N d t$ है, अर्थात
$\frac{d N}{d t} = - λ N$

हानि की दर शेष मात्रा के समानुपाती है। इस समीकरण को हल करने के लिए $N$ को एक ओर लाएँ: $d N / N = - λ d t$ । बाईं ओर आरंभिक संख्या $N_{0}$ से $N$ तक और दाईं ओर $0$ से $t$ तक समाकलित करें: $ln (N / N_{0}) = - λ t$ । दोनों पक्षों का घातांक लेने पर
$N = N_{0} e^{- λ t}$

यह एक नाभिक की उत्तरजीविता संभावना $P (t)$ का $N_{0}$ गुना है, जैसा होना ही चाहिए: औसतन समूह का $P (t)$ भाग जीवित रहता है। घातांक किन्हीं भी दो बराबर-लंबाई के अंतरालों में समान भाग खोता है, चाहे वे कहीं से भी शुरू हों, और यही रेडियोधर्मी नमूने को घड़ी बना देता है।

अर्ध-आयु और औसत आयु

अर्ध-आयु $T_{1/2}$ वह समय है जिसमें $N$ अपने मान के आधे तक गिर जाता है। $N = N_{0} /2$ रखने पर $e^{- λ T_{1/2}} = 1/2$ मिलता है; लघुगणक लेने पर $λ T_{1/2} = ln 2$ , इसलिए
$λ = \frac{l n 2}{T _{1/2}}$

वापस रखने पर, $e^{- λ t} = e^{- (l n 2) t / T_{1/2}} = (1/2)^{t / T_{1/2}}$ : अर्धीकरण नियम और घातांकीय फलन एक ही फलन को दो तरीकों से लिखे रूप हैं। एनिमेशन के लिए $T_{1/2} = 0.693/0.277 = 2.50 s$ ।

औसत आयु $τ$ किसी नाभिक की औसत जीवन-अवधि है। कोई नाभिक $t$ और $t + d t$ के बीच क्षय होता है यदि वह पहले $t$ तक जीवित रहा (संभावना $e^{- λ t}$ ), और फिर $d t$ के भीतर क्षय हुआ (संभावना $λ d t$ )। हर जीवन-अवधि $t$ को इस संभावना से भारित करके और खंडशः समाकलन करने पर
$τ = \int_{0}^{\infty} t λ e^{- λ t} d t = \frac{1}{λ} = \frac{T _{1/2}}{l n 2} \approx 1.44 T_{1/2}$

एक औसत आयु बाद नाभिकों का $1/ e$ भाग शेष रहता है। एनिमेशन के लिए $τ = 3.61 s$ है, जब $N_{0} / e = 36.8$ नाभिक शेष होने चाहिए; $N$ पाठ्यांक 37 दिखाता है। $τ$ , $T_{1/2}$ से लंबा क्यों है? अर्ध-आयु जीवन-अवधि की माध्यिका है: आधे नाभिक उससे पहले क्षय हो जाते हैं। शेष आधे में बाद तक टिकने वालों की एक लंबी पूँछ है, जिनमें से कुछ कई अर्ध-आयु तक जीते हैं, और वे औसत को $τ$ तक खींच देते हैं।

सक्रियता

डिटेक्टर बचे नाभिकों को नहीं गिनता; वह क्षयों को गिनता है। वह क्षय-दर $- d N / d t$ मापता है, जिसे सक्रियता $A$ कहते हैं और जो बेकरेल में मापी जाती है (1 Bq का अर्थ है प्रति सेकंड एक क्षय)। क्षय नियम से,
$A = λ N$

चूँकि $A$ , $N$ के समानुपाती है, वह उसी घातांक के साथ घटती है, $A = A_{0} e^{- λ t}$ जहाँ $A_{0} = λ N_{0}$ , और इसलिए वह भी एक घड़ी है। जब तक पेड़ जीवित है, वह हवा के साथ कार्बन का आदान-प्रदान करता रहता है, इसलिए उसमें कार्बन-14 का अनुपात स्थिर रहता है; मरने के बाद उसका कार्बन-14 क्षय होता है और उसकी पूर्ति नहीं होती। पुरानी लकड़ी में प्रति ग्राम कार्बन की सक्रियता की तुलना जीवित लकड़ी से करने पर $A / A_{0}$ मिलता है, और $(1/2)^{t / T_{1/2}} = A / A_{0}$ को $t$ के लिए हल करने पर लकड़ी की आयु मिलती है। एनिमेशन की विशेषज्ञ परत का $A$ पाठ्यांक $A_{0} = 27.7 Bq$ से शुरू होता है और 2.5 s पर, यानी एक अर्ध-आयु बाद, 13.9 Bq दिखाता है।

सक्रियता दो बातों पर निर्भर करती है: नाभिक कितने हैं, और हर नाभिक कितना अस्थायी है। एक ग्राम रेडियम-226, $1/226$ मोल है, इसलिए इसमें $N = 6.02 \times 1 0^{23} /226 = 2.66 \times 1 0^{21}$ नाभिक हैं। $T_{1/2} = 1600$ वर्ष के साथ $λ = ln 2/ T_{1/2} = 1.37 \times 1 0^{- 11} s^{- 1}$ और $A = λ N = 3.7 \times 1 0^{10} Bq$ , यही वह सक्रियता है जिसने कभी क्यूरी को परिभाषित किया था। एक ग्राम यूरेनियम-238 में लगभग उतने ही नाभिक हैं, पर उसकी अर्ध-आयु 4.5 अरब वर्ष है, जो लगभग तीस लाख गुना लंबी है, इसलिए वह लगभग तीस लाख गुना कम सक्रिय है।

क्षय वक्र को पढ़ना

$N$ बनाम $t$ का आलेख अर्ध-आयु, औसत आयु और सक्रियता एक नज़र में दिखा देता है। चित्र 1 समय को अर्ध-आयुओं में गिनकर दिखाता है, इसलिए वही चित्र हर न्यूक्लाइड के लिए काम आता है, माइक्रोसेकंड से अरबों वर्ष तक।

पहले तीन बिंदुओं को देखें। वे $T_{1/2}$ , $2 T_{1/2}$ और $3 T_{1/2}$ पर हैं, समय-अक्ष पर समान दूरी पर, और उनकी ऊँचाइयाँ $N_{0} /2$ , $N_{0} /4$ और $N_{0} /8$ हर चरण में उसी गुणनखंड, यानी दो, से घटती हैं। यही अर्धीकरण नियम है जो ग्राफ़ से पढ़ा जाता है: समान समय, समान भिन्नांश।

अब $- A_{0}$ चिह्नित सीधी रेखा देखें, जो $t = 0$ पर वक्र की स्पर्श-रेखा है। उसकी प्रवणता आरंभिक परिवर्तन-दर है, $d N / d t = - λ N_{0} = - A_{0}$ । जो रेखा ऊँचाई $N_{0}$ से शुरू होकर दर $A_{0}$ से गिरती है, वह $N_{0} / A_{0} = 1/ λ = τ$ के बाद समय-अक्ष तक पहुँचती है। अतः स्पर्श-रेखा औसत आयु $τ$ पर समय-अक्ष को छूती है, पहले बिंदु से थोड़ा आगे, क्योंकि $τ \approx 1.44 T_{1/2}$ । दूसरे शब्दों में: यदि नमूना अपनी आरंभिक दर से क्षय होता रहे, तो एक औसत आयु बाद वह खाली हो जाएगा। वक्र पर किसी भी बिंदु पर यही निर्माण संभव है: समय $t$ पर स्पर्श-रेखा की प्रवणता $- λ N = - A$ है और वह समय-अक्ष को $t + τ$ पर काटती है, यानी एक औसत आयु बाद। एनिमेशन के लिए $t = 0$ की स्पर्श-रेखा समय-अक्ष को 3.6 s पर काटती है।

एनिमेशन का विशेषज्ञ आलेख भी यही विशेषताएँ दिखाता है: नीली गिनती बिंदीदार वक्र $N_{0} e^{- λ t}$ का अनुसरण करती है, और चिह्न $T_{1/2}$ , $2 T_{1/2}$ , $3 T_{1/2}$ और $4 T_{1/2}$ पर हैं, चित्र 1 की तरह समान दूरी पर। प्रयोगशाला में अर्ध-आयु एक अलग आलेख से पढ़ी जाती है। क्षय नियम का लघुगणक लेने पर $ln N = ln N_{0} - λ t$ मिलता है, इसलिए $ln N$ बनाम $t$ का आलेख (या $ln A$ , जो केवल स्थिरांक $ln λ$ से भिन्न है) प्रवणता $- λ$ की सीधी रेखा है।

उतार-चढ़ाव: संयोग से एक तीखा नियम

क्षय नियम बचे नाभिकों की अपेक्षित संख्या देता है। वास्तविक नमूना स्वतंत्र यादृच्छिक घटनाओं का समूह है, इसलिए उसकी गिनती उस अपेक्षित मान के आसपास विचलित होती है। यह विचलन कितना बड़ा है, और बड़े नमूने के लिए नियम फिर भी सटीक क्यों दिखता है?

**चित्र 2.** 100 नाभिकों को एक अर्ध-आयु तक देखने पर $N$ नाभिक बचे होने की संभावना। नमूने माध्य $N_{0} p = 50$ के आसपास फैलते हैं, प्रसार $σ = 5$ ; हरे स्तंभ, जो माध्य से एक $σ$ के भीतर हैं, जिनमें लगभग चार में से तीन नमूने आते हैं।

$N_{0}$ नाभिकों में से हर एक $t$ समय तक समान संभावना $p = e^{- λ t}$ से स्वतंत्र रूप से जीवित रहता है, जैसे किसी पक्षपाती सिक्के को $N_{0}$ बार उछालना। अतः शेष संख्या द्विपद बंटन का पालन करती है, जिसका माध्य $N_{0} p$ और मानक विचलन $σ = N_{0} p (1 - p)$ है। चित्र 2 $N_{0} = 100$ नाभिकों को एक अर्ध-आयु तक देखने की सटीक संभावनाएँ दिखाता है, जहाँ $p = 1/2$ । हर स्तंभ उस संभावना $P$ को दर्शाता है कि नमूने में ठीक $N$ नाभिक शेष हों।

स्तंभ माध्य $N_{0} p = 50$ पर बिंदीदार रेखा के चारों ओर केंद्रित हैं। $2 σ$ चिह्नित कोष्ठक 45 से 55 तक जाता है, यानी माध्य के दोनों ओर एक-एक मानक विचलन, क्योंकि $σ = 100 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 5$ । उसके भीतर के हरे स्तंभ मिलकर 73% हैं। अतः 100 नाभिकों का वास्तविक नमूना एक अर्ध-आयु बाद $50 \pm 5$ रखता है, और लगभग चार में से एक नमूना 45 से 55 की सीमा के बाहर आता है।

एनिमेशन आदर्श, शोर-रहित स्थिति दिखाता है: इसका $k$ -वाँ क्षय तब आता है जब अपेक्षित क्षयों की संख्या $k - \frac{1}{2}$ तक पहुँचती है, इसलिए इसकी सीढ़ी-आकार रेखा पूर्ण नाभिकों तक पूर्णांकित सुचारु नियम है।

गिनती-प्रयोग जीवित बचे नाभिकों के बजाय क्षयों से संबंधित होते हैं। एक छोटे अंतराल में नाभिकों का केवल एक छोटा भाग $q$ क्षय होता है। तब गिनती $q ≪ 1$ के साथ द्विपद होती है, इसलिए उसका प्रसरण $N_{0} q (1 - q)$ उसके माध्य $\overset{n}{ˉ} = N_{0} q$ के लगभग बराबर है। यह सीमा पॉइसन बंटन है, जिसका प्रसार $\overset{n}{ˉ}$ है। सापेक्ष अनिश्चितता $\overset{n}{ˉ} / \overset{n}{ˉ} = 1/ \overset{n}{ˉ}$ है, इसलिए 400 गिनतियों में 5% अनिश्चितता है, और 1% के लिए 10,000 गिनतियाँ चाहिए।

वही वर्गमूल बताता है कि क्षय नियम सटीक क्यों दिखता है। बचे नाभिकों का सापेक्ष प्रकीर्णन $1/ N_{0}$ के अनुसार घटता है, और $1 0^{21}$ नाभिकों के लिए यह लगभग $3 \times 1 0^{- 11}$ है। एक तीखा नियम शुद्ध संयोग से उभरता है, ठीक वैसे ही जैसे गैस का स्थिर दाब यादृच्छिक अणु-टकरावों से उभरता है।

संरक्षण नियम तय करते हैं कि क्या हो सकता है

यह पूछने से पहले कि नाभिक कितनी तेज़ी से क्षय होता है, पूछें कि क्या वह क्षय हो भी सकता है। आवेश, न्यूक्लिऑन संख्या और लेप्टॉन संख्या में से हर एक क्षय से पहले और बाद में समान होनी चाहिए। और क्षय में ऊर्जा निकलनी चाहिए, जिसका भुगतान द्रव्यमान से होता है: उत्पादों का कुल द्रव्यमान मूल नाभिक से कम होना चाहिए। निकली ऊर्जा, जिसे Q-मान कहते हैं, है
$Q = (m_{parent} - \sum m_{products}) c^{2} > 0$

$α$ क्षय $_{92}^{238} U \to_{90}^{234} Th +_{2}^{4} He$ के लिए आवेश संतुलित है ( $92 = 90 + 2$ ), और न्यूक्लिऑन संख्या भी ( $238 = 234 + 4$ )। परमाण्वीय द्रव्यमानों से $Q = 4.27 MeV$ मिलता है, जो एक रासायनिक बंध की ऊर्जा का लगभग दस लाख गुना है। केवल दो उत्पादों के होने से संवेग-संरक्षण तय करता है कि $Q$ कैसे बँटता है। मूल नाभिक विरामावस्था में था, इसलिए दोनों उत्पाद बराबर परिमाण और विपरीत दिशा के संवेगों के साथ दूर जाते हैं। गतिज ऊर्जा संवेग के वर्ग को दो गुना द्रव्यमान से भाग देने पर मिलती है, अतः समान संवेगों के लिए हल्का कण बड़ा हिस्सा लेता है, और यह हिस्सा द्रव्यमानों के व्युत्क्रमानुपाती होता है। इसलिए $α$ कण का हिस्सा $234/238$ गुना $Q$ है, यानी 4.20 MeV। इस क्षय के हर $α$ कण की ऊर्जा समान होती है, इसलिए $α$ स्पेक्ट्रम तीखी रेखाएँ हैं।

$β^{-}$ क्षय में, $n \to p + e^{-} + \overset{ν}{ˉ}_{e}$ , एक न्यूट्रॉन प्रोटॉन बन जाता है। आवेश संतुलित है ( $0 = + 1 - 1 + 0$ ), और लेप्टॉन संख्या प्रति-न्यूट्रिनो की माँग करती है: इलेक्ट्रॉन $+ 1$ गिना जाता है और प्रति-न्यूट्रिनो $- 1$ , इसलिए कुल 0 ही रहता है। अब तीन कण $Q$ बाँटते हैं, और वे ऐसा अनगिनत तरीकों से कर सकते हैं। इसलिए इलेक्ट्रॉनों का स्पेक्ट्रम सतत है, शून्य से लेकर $Q$ तक (मुक्त न्यूट्रॉन के लिए $0.78 MeV$ )। यह सतत स्पेक्ट्रम पहले ऊर्जा-संरक्षण को भंग करता प्रतीत हुआ, और इसी ने पाउली को 1930 में न्यूट्रिनो का प्रस्ताव देने के लिए प्रेरित किया। अंत में, $γ$ किरणें नाभिक के ऊर्जा-स्तरों के बीच की छलांगों से आती हैं, इसलिए, $α$ कणों की तरह, वे तीखी रेखाएँ बनाती हैं।

सुरंगन तय करता है कि क्षय कितनी तेज़ होगा

संरक्षण नियम केवल यह बताते हैं कि क्षय संभव है या नहीं। वह कितनी तेज़ होगा, यह किसी और बात पर निर्भर है: क्या $α$ कण नाभिक से बाहर निकल सकता है। शास्त्रीय रूप से वह नहीं निकल सकता; क्वांटम यांत्रिकी में वह बहुत धीरे-धीरे रिसता है, और उस रिसाव की दर ही अर्ध-आयु तय करती है।

चित्र 3 $α$ कण की स्थितिज ऊर्जा $U$ को नाभिक के केंद्र से उसकी दूरी $r$ के सापेक्ष दर्शाता है। नाभिक त्रिज्या $R$ के भीतर, लघु-परास नाभिकीय आकर्षण कण को एक गहरे गर्त में बाँधे रखता है। $R$ के बाहर केवल पुत्री नाभिक का वैद्युत प्रतिकर्षण कार्य करता है, $U = C / r$ , जहाँ $C$ एक धनात्मक स्थिरांक है। अतः अवरोध $r = R$ पर सबसे ऊँचा होता है, जहाँ वह $U_{m a x}$ तक पहुँचता है, और दूरी के साथ नीचे गिरता है।

अब $α$ कण की ऊर्जा को दर्शाने वाली ऊँचाई $E$ की क्षैतिज रेखा देखें। ऊर्जा संरक्षित रहती है, इसलिए $E$ हर जगह एक-सा है; दूर, जहाँ $U$ शून्य तक गिर चुका है, पूरी ऊर्जा गतिज ऊर्जा है। यह रेखा निर्गम बिंदु $r_{2}$ पर अवरोध को काटती है, जहाँ $C / r_{2} = E$ । चूँकि $C = R U_{m a x}$ , इसलिए $r_{2} = R U_{m a x} / E$ । $R$ और $r_{2}$ के बीच गतिज ऊर्जा $E - U$ ऋणात्मक होती, जिसकी कोई शास्त्रीय गति अनुमति नहीं देती: एक शास्त्रीय कण गर्त के भीतर सदा के लिए काँपता रहता।

तरंग फलन $ψ$ दीवार पर नहीं रुकता। चित्र 3 में इसे बाएँ से दाएँ अनुसरण करें। यह गर्त के भीतर दोलन करता है, $R$ और $r_{2}$ के बीच निषिद्ध क्षेत्र में घातांकीय रूप से क्षीण होता है, और $r_{2}$ के आगे फिर दोलन करता है, पर छोटे आयाम के साथ। अवरोध के आर-पार यह स्थानीय रूप से $e^{- κ r}$ की तरह क्षीण होता है, जहाँ $κ = 2 m_{α} (U - E) /ℏ$ , $m_{α}$ $α$ कण का द्रव्यमान है और $ℏ$ घटा हुआ प्लांक स्थिरांक: अवरोध जितना ऊँचा और चौड़ा होगा, उतनी ही अधिक क्षीणता होगी। हर प्रयास में बच निकलने की संभावना बाहर के आयाम और भीतर के आयाम के अनुपात का वर्ग है। चित्र में आयाम केवल मामूली गुणक से घटता है, ताकि बाहर की लहरें दिखाई दें; वास्तविक नाभिक में यह कहीं अधिक घटता है।

यहाँ यूरेनियम-238 के वास्तविक आँकड़े हैं। $α$ कण की ऊर्जा $E$ केवल लगभग 4.2 MeV है, जो कूलॉम अवरोध के शिखर $U_{m a x} \approx 28 MeV$ से बहुत कम है, इसलिए शास्त्रीय रूप से वह कभी बाहर नहीं निकल सकता। निर्गम बिंदु केंद्र से पृष्ठ की तुलना में $r_{2} / R = 28/4.2 \approx 6.7$ गुना दूर है (चित्र 3, जो पैमाने के अनुसार नहीं बना है, 4 दिखाता है)। भीतर इधर-उधर उछलता कण प्रति सेकंड लगभग $1 0^{21}$ बार अवरोध से टकराता है। फिर भी यूरेनियम-238 की औसत आयु $2.0 \times 1 0^{17} s$ है, इसलिए उसका क्षय-स्थिरांक $λ = 1/ τ = 5 \times 1 0^{- 18} s^{- 1}$ है। प्रति सेकंड प्रयासों से भाग देने पर, हर प्रयास की सफलता की संभावना लगभग $5 \times 1 0^{- 39}$ है, जो लगभग $e^{- 88}$ के बराबर है: यह उस तरंग के आयाम का वर्ग है जो $e^{- 44}$ के रूप में रिसती है।

चूँकि बच निकलने की संभावना घातांकीय है, अवरोध में छोटे परिवर्तन भी अर्ध-आयु में बड़े परिवर्तन ला देते हैं। घातांक पर विचार करने से पता चलता है कि यह मोटे तौर पर $Z / E$ के अनुपात में बढ़ता है, जहाँ $Z$ पुत्री नाभिक की आवेश-संख्या है: बड़ा आवेश अवरोध को ऊँचा बनाता है, और बड़ी ऊर्जा निषिद्ध क्षेत्र को छोटा करती है। इसलिए 8.8 MeV $α$ कण उत्सर्जित करने वाले पोलोनियम-212 की अर्ध-आयु 0.3 µs है, जबकि 4.0 MeV वाले थोरियम-232 की $1.4 \times 1 0^{10}$ वर्ष है: ऊर्जा को लगभग आधा करने से अर्ध-आयु लगभग $1 0^{24}$ गुना बढ़ जाती है।

क्षय शृंखलाएँ

प्रायः किसी क्षय की पुत्री स्वयं रेडियोधर्मी होती है, और एक क्षय-शृंखला बन जाती है। तब पुत्री नाभिकों की संख्या बढ़ती और घटती है, और काउंटर दोनों के क्षय दर्ज करता है। चित्र 4 सबसे सरल शृंखला दिखाता है: मूल नाभिक $N_{1}$ (क्षय-स्थिरांक $λ_{1}$ ) रेडियोधर्मी पुत्री नाभिक $N_{2}$ (क्षय-स्थिरांक $λ_{2}$ ) में बदलते हैं, जो बदले में स्थायी नाभिक $N_{3}$ में क्षय होते हैं।

पुत्री नाभिकों का एक स्रोत और एक निकास होता है। वे मूल नाभिकों के क्षय से दर $λ_{1} N_{1}$ पर बनते हैं, और अपने ही क्षय से दर $λ_{2} N_{2}$ पर खोते हैं:
$\frac{d N _{2}}{d t} = λ_{1} N_{1} - λ_{2} N_{2}$

इस समीकरण को ध्यान में रखते हुए चित्र 4 के वक्र पढ़ें। $t = 0$ पर कोई पुत्री नाभिक नहीं है, इसलिए निकास शून्य है और पुत्री नाभिक उतनी ही तेज़ी से बढ़ते हैं जितनी तेज़ी से मूल नाभिक घटते हैं। जैसे-जैसे पुत्री नाभिक जमा होते हैं, उनकी अपनी क्षय-दर $λ_{2} N_{2}$ बढ़ती है, जबकि आपूर्ति $λ_{1} N_{1}$ मूल नाभिकों के साथ घटती है। जहाँ दोनों बराबर हों, वहाँ $d N_{2} / d t = 0$ : $N_{2}$ का वक्र समय $t_{m}$ पर मुड़ता है और फिर घटता है। स्थायी नाभिक $N_{3}$ धीरे शुरू होते हैं, क्योंकि आरंभ में क्षय होने के लिए लगभग कोई पुत्री नाभिक नहीं होते, और तब तक बढ़ते हैं जब तक हर नाभिक वहाँ न पहुँच जाए। रास्ते में कोई नाभिक नहीं खोता, इसलिए तीनों संख्याओं का योग हमेशा आरंभिक संख्या $N_{0}$ के बराबर रहता है। चित्र उस शृंखला के लिए बनाया गया है जो नीचे के उदाहरण में है: 100 मूल नाभिक, और ऐसी पुत्री जिसकी अर्ध-आयु मूल की दोगुनी है। $t_{m}$ पर $N_{1}$ और $N_{3}$ के वक्र 25 पर मिलते हैं।

उदाहरण: रेडियोधर्मी पुत्री नाभिक

मान लें कि एनिमेशन के धूसर पुत्री नाभिक एक स्थायी नाभिक में क्षय होते हैं, जिसका $T_{1/2} = 5.0 s$ है, इसलिए $λ_{2} = 0.693/5.0 = 0.139 s^{- 1} = λ_{1} /2$ । 100 मूल नाभिकों से शुरू करें और बिना किसी पुत्री नाभिक के: पुत्री नाभिक कब सबसे अधिक होते हैं, उनकी संख्या कितनी है, और तब दोनों क्षय दर्ज करने वाला काउंटर क्या पाठ्यांक देता है?

चरण 1: $N_{2}$ के लिए हल करें। $N_{1} = N_{0} e^{- λ_{1} t}$ रखें और $λ_{2} N_{2}$ को बाईं ओर ले जाएँ: $d N_{2} / d t + λ_{2} N_{2} = λ_{1} N_{0} e^{- λ_{1} t}$ । दोनों ओर $e^{λ_{2} t}$ से गुणा करने पर, गुणन नियम से बायाँ पक्ष एक ही अवकलज $d (N_{2} e^{λ_{2} t}) / d t$ बन जाता है। दायाँ पक्ष $λ_{1} N_{0} e^{(λ_{2} - λ_{1}) t}$ बन जाता है, जिसका सीधे समाकलन होता है। $N_{2} (0) = 0$ लेकर,
$N_{2} = \frac{λ _{1} N _{0}}{λ _{1} - λ _{2}} (e^{- λ_{2} t} - e^{- λ_{1} t})$

चरण 2: $λ_{1} = 2 λ_{2}$ का उपयोग करें। तब गुणांक $λ_{1} / (λ_{1} - λ_{2})$ 2 होता है, और $x = e^{- λ_{2} t}$ लेने पर दूसरा घातांक $e^{- λ_{1} t} = x^{2}$ है। अतः
$N_{2} = 2 N_{0} (x - x^{2}), x = e^{- λ_{2} t}$

चरण 3: अधिकतम ज्ञात करें। जब $t$ 0 से अनंत तक जाता है, $x$ 1 से 0 तक गिरता है, और $x - x^{2}$ वहाँ सबसे बड़ा है जहाँ उसका अवकलज $1 - 2 x$ शून्य हो, अर्थात $x = \frac{1}{2}$ । यह पुत्री की एक अर्ध-आयु पर होता है, यानी $t_{m} = 5.0 s$ पर, जब $N_{2} = 2 \cdot 100 \cdot \frac{1}{4} = 50$ ।

चरण 4: अन्य दो नाभिक-संख्याएँ। मूल नाभिक $N_{1} = N_{0} e^{- λ_{1} t} = N_{0} x^{2}$ हैं, और स्थायी नाभिक $N_{3} = N_{0} - N_{1} - N_{2} = N_{0} (1 - x)^{2}$ हैं। अतः चित्र 4 के तीन वक्र $N_{0}$ गुना $x^{2}$ , $2 (x - x^{2})$ और $(1 - x)^{2}$ हैं, और $x = \frac{1}{2}$ पर वे 25, 50 और 25 नाभिकों पर हैं। एनिमेशन का $N$ पाठ्यांक, जो मूल नाभिक गिनता है, उस क्षण 25 दिखाता है, इसलिए 25 स्थायी पौत्री नाभिक बन चुके हैं।

चरण 5: काउंटर। शिखर पर $d N_{2} / d t = 0$ होता है, इसलिए दोनों सक्रियताएँ बराबर हैं: $λ_{1} N_{1} = 0.277 \cdot 25$ और $λ_{2} N_{2} = 0.139 \cdot 50$ दोनों लगभग 6.93 Bq हैं। दोनों क्षयों को दर्ज करने वाला काउंटर उनका योग, 13.9 Bq, पढ़ता है, जो केवल मूल नाभिक दिखाने वाले $A$ पाठ्यांक का दोगुना है।

बाद में मूल नाभिक समाप्त हो जाते हैं ( $x^{2}$ , $x$ के आगे नगण्य हो जाता है), और $N_{2} \approx 2 N_{0} e^{- λ_{2} t}$ : मिश्रित नमूना पुत्री की 5.0 s अर्ध-आयु के साथ क्षीण होता है। माप के लिए सीख यह है कि क्षय-वक्र की पूँछ शृंखला के सबसे दीर्घायु सदस्य की होती है।

दीर्घायु मूल नाभिक: दीर्घकालिक साम्य

जब मूल नाभिक पुत्री से कहीं अधिक समय तक जीता है, अर्थात $λ_{1} ≪ λ_{2}$ , तो पुत्री के बढ़ने के दौरान मूल लगभग नहीं बदलता। पुत्री की कुछ अर्ध-आयुओं के बाद पुत्री की क्षय-दर अपनी आपूर्ति तक पहुँच जाती है और फिर उससे मेल खाती रहती है: $d N_{2} / d t \approx 0$ , इसलिए $λ_{2} N_{2} = λ_{1} N_{1}$ । यही दीर्घकालिक साम्य (secular equilibrium) है: पुत्री उतनी ही सक्रिय होती है जितना मूल, चाहे उसके कितने ही कम नाभिक क्यों न हों। रेडियम-226 (1600 वर्ष) से बढ़ता रेडॉन-222 (अर्ध-आयु 3.8 दिन) रेडियम परमाणुओं का केवल $N_{2} / N_{1} = λ_{1} / λ_{2} = 6.5 \times 1 0^{- 6}$ भाग है, फिर भी उतना ही सक्रिय है।

सीमाएँ

$λ$ की स्थिरता अत्यंत अच्छी तरह परखी गई है, पर पूर्ण नहीं है। सभी अपवाद परमाणु के इलेक्ट्रॉनों से जुड़े हैं, जो परमाणु का वह भाग है जिसे रसायन छू सकता है। इलेक्ट्रॉन-ग्रहण में नाभिक परमाणु के अपने ही एक आंतरिक इलेक्ट्रॉन को अवशोषित करता है, इसलिए क्षय-दर इन इलेक्ट्रॉनों की व्यवस्था पर थोड़ी निर्भर करती है: बेरिलियम-7 की अर्ध-आयु विभिन्न रासायनिक परिवेशों में लगभग 1% तक भिन्न हो सकती है। सभी इलेक्ट्रॉन हटा देने पर कोई क्षय बदल सकता है। उदासीन रेनियम-187 की अर्ध-आयु लगभग $4 \times 1 0^{10}$ वर्ष है, जबकि नग्न नाभिक की 33 वर्ष, क्योंकि तब उसका $β$ इलेक्ट्रॉन सीधे एक खाली आंतरिक कक्षा में बन सकता है। इसके अलावा तापमान, दाब और रसायन कोई मापने योग्य परिवर्तन नहीं लाते।

क्वांटम यांत्रिकी अत्यंत लघु और अत्यंत दीर्घ समयों पर घातांकीय नियम से सूक्ष्म विचलन की भविष्यवाणी करती है, पर नाभिकीय क्षय में ऐसा कोई विचलन अभी तक नहीं देखा गया है। अंत में, $λ$ क्षय होते कण के विराम-निर्देश तंत्र में लागू होता है। प्रयोगशाला से देखने पर, तेज़ गति वाले कण की घड़ी विशेष आपेक्षिकता के गुणक $γ$ से धीमी चलती है: विराम पर 2.2 µs की औसत आयु वाला म्यूऑन, $γ = 10$ पर प्रयोगशाला में 22 µs जीता है। इसी कारण ऊँचे वायुमंडल में बने ब्रह्मांडीय-किरण म्यूऑन ज़मीन तक पहुँच पाते हैं।

इससे आगे

$α$ अर्ध-आयु तय करने वाला सुरंगन “श्रोडिंगर समीकरण और सुरंगन” में हल किया गया है, और लेखा $Q = Δ m c^{2}$ “विखंडन, संलयन और E = mc²” को चलाता है। $β$ क्षय के पीछे की दुर्बल अन्योन्यक्रिया “कण और बल: मानक मॉडल” से संबंधित है, और तेज़ कणों की विस्तारित आयु “विशिष्ट आपेक्षिकता” से। तीव्र $γ$ रेखाएँ “परमाणु मॉडल: बोर परमाणु” की स्पेक्ट्रमी रेखाओं का नाभिकीय प्रतिरूप हैं। स्थिर भिन्नात्मक दरें उस संधारित्र में दिखती हैं जो प्रतिरोधक से होकर विसर्जित होता है, “संधारित्र” में; और यादृच्छिक घटनाओं से बना एक तीखा नियम “गैसों का अणुगति सिद्धांत” का मूल है।

मुख्य सूत्र

अर्धीकरण नियम

N = N_{0} (\frac{1}{2})^{t / T_{1/2}}

हर अर्ध-आयु में उसके आरंभ में मौजूद नाभिकों का आधा बचता है, इसलिए $n$ अर्ध-आयु बाद $(1/2)^{n}$ बचता है। $n = t / T_{1/2}$ लिखने से नियम किसी भी समय पर काम करता है, केवल पूर्ण अर्ध-आयुओं पर नहीं। यह इस तथ्य से आता है कि हर नाभिक की, उसकी आयु चाहे जो हो, हर अर्ध-आयु में बचने की समान 50% संभावना होती है।

चिह्न
$N$	समय $t$ पर अविघटित नाभिकों की संख्या
$N_{0}$	$t = 0$ पर अविघटित नाभिकों की संख्या
$t$	बीता हुआ समय	$s$
$T_{1/2}$	अर्ध-आयु	$s$

कब लागू होता है: किसी ऐसे रेडियोधर्मी न्यूक्लाइड के नमूने पर औसतन लागू होता है जिसकी आपूर्ति नहीं हो रही; $t$ और $T_{1/2}$ एक ही इकाई में होने चाहिए। छोटा नमूना इसके आसपास विचलित होता है: एक अर्ध-आयु बाद 100 नाभिकों के लिए लगभग $\pm 5$ ।

उदाहरण: एनिमेशन में, $T_{1/2} = 2.5 s$ : $t = 4.0 s$ पर, $N = 100 \cdot 0. 5^{1.6} = 33.0$ , और पाठ्यांक 33 दिखाता है।

घातांकीय क्षय नियम

N = N_{0} e^{- λ t}

यह $d N / d t = - λ N$ का हल है, यानी प्रति इकाई समय क्षय की स्थिर संभावना का नियम। यह वही वक्र है जो अर्धीकरण नियम देता है, क्योंकि $e^{- λ T_{1/2}} = 1/2$ ; कलन के लिए आधार $e$ बस अधिक सुविधाजनक है। गुणक $e^{- λ t}$ किसी एक दिए गए नाभिक के $t$ तक जीवित रहने की संभावना भी है।

चिह्न
$N$	समय $t$ पर अविघटित नाभिकों की संख्या
$N_{0}$	$t = 0$ पर अविघटित नाभिकों की संख्या
$λ$	क्षय-स्थिरांक	$s^{- 1}$
$t$	बीता हुआ समय	$s$

कब लागू होता है: स्थिर $λ$ और नए नाभिकों की आपूर्ति न होना आवश्यक है। घातांक $λ t$ एक शुद्ध संख्या है, इसलिए $λ$ और $t$ की समय-इकाई एक ही होनी चाहिए।

उदाहरण: एक औसत आयु के बाद, एनिमेशन में $t = 1/ λ = 3.61 s$ , और $N = 100/ e = 36.8$ ; पाठ्यांक 37 दिखाता है।

अर्ध-आयु से क्षय-स्थिरांक

λ = \frac{ln 2}{T _{1/2}}

$N = N_{0} e^{- λ t}$ में $N = N_{0} /2$ रखने पर $e^{- λ T_{1/2}} = 1/2$ मिलता है, अतः $λ T_{1/2} = ln 2 \approx 0.693$ । छोटी अर्ध-आयु का अर्थ है प्रति सेकंड क्षय की बड़ी संभावना। $λ$ का व्युत्क्रम औसत आयु $τ$ है, जो अर्ध-आयु से $1/ ln 2 \approx 1.44$ गुना लंबी है।

चिह्न
$λ$	क्षय-स्थिरांक: प्रति इकाई समय क्षय की संभावना	$s^{- 1}$
$T_{1/2}$	अर्ध-आयु	$s$

कब लागू होता है: घातांकीय क्षय के लिए सटीक। $λ$ को $s^{- 1}$ में और सक्रियता को बेकरेल में पाने के लिए, पहले अर्ध-आयु को सेकंड में बदलें।

उदाहरण: एनिमेशन: $λ = 0.693/2.5 = 0.277 s^{- 1}$ । आयोडीन-131: $λ = 0.693/ (8.0 \cdot 86400 s) = 1.00 \times 1 0^{- 6} s^{- 1}$ ।

सक्रियता

A = λ N

$N$ नाभिकों में से हर एक प्रति सेकंड $λ$ संभावना से क्षय होता है, इसलिए औसतन हर सेकंड $λ N$ क्षय होते हैं। बेकरेल में मापी गई यही दर डिटेक्टर दर्ज करता है। यह $N$ के समानुपाती है, इसलिए वह भी उसी अर्ध-आयु से घटती है; और छोटी अर्ध-आयु वाले नाभिक, समान संख्या होने पर भी, कहीं अधिक सक्रिय होते हैं।

चिह्न
$A$	सक्रियता: प्रति सेकंड क्षय	$Bq$
$λ$	क्षय-स्थिरांक	$s^{- 1}$
$N$	अविघटित नाभिकों की संख्या

कब लागू होता है: अपेक्षित दर देता है; किसी अंतराल में गिनती अपनी संख्या के वर्गमूल के आसपास विचलित होती है। $A$ के बेकरेल में आने के लिए $λ$ $s^{- 1}$ में होना चाहिए।

उदाहरण: 1 ग्राम रेडियम-226: $N = 2.66 \times 1 0^{21}$ और $λ = 1.37 \times 1 0^{- 11} s^{- 1}$ , इसलिए $A = 3.7 \times 1 0^{10} Bq$ , वही मात्रा जिसने पुरानी इकाई क्यूरी को परिभाषित किया था।

क्षय का अवकल नियम

\frac{d N}{d t} = - λ N

एक छोटे समय $d t$ में हर नाभिक के क्षय की संभावना $λ d t$ है, इसलिए $N$ में अपेक्षित परिवर्तन $d N = - λ N d t$ है। ऋण चिह्न बताता है कि $N$ घटता है, और $- d N / d t$ सक्रियता है। दर शेष मात्रा के समानुपाती है, यही घातांकीय क्षय की परिभाषित विशेषता है।

चिह्न
$\frac{d N}{d t}$	अविघटित नाभिकों की संख्या के परिवर्तन की दर	$s^{- 1}$
$λ$	क्षय-स्थिरांक	$s^{- 1}$
$N$	अविघटित नाभिकों की संख्या
$t$	समय	$s$

कब लागू होता है: $N$ को एक सुचारु राशि मानता है, जो बड़े नमूनों के लिए ठीक है। यदि वह न्यूक्लाइड साथ-साथ बन भी रहा हो, जैसे किसी शृंखला में पुत्री के रूप में, तो उत्पादन-दर जोड़ें: $d N_{2} / d t = λ_{1} N_{1} - λ_{2} N_{2}$ ।

उदाहरण: एनिमेशन की शुरुआत में, $d N / d t = - 0.277 \cdot 100 = - 27.7$ नाभिक प्रति सेकंड; $t = 2.5 s$ पर यह उसका आधा है, $- 13.9$ ।

α क्षय

X (A, Z) \to Y (A - 4, Z - 2) +^{4} He

मूल नाभिक $X$ एक $α$ कण, यानी 2 प्रोटॉन और 2 न्यूट्रॉन वाला हीलियम-4 नाभिक, उत्सर्जित करता है और किसी अन्य तत्व की पुत्री $Y$ बन जाता है। न्यूक्लिऑन संख्या और आवेश संरक्षित रहते हैं, इसलिए पुत्री की द्रव्यमान संख्या 4 कम और परमाणु क्रमांक 2 कम होता है। मुक्त ऊर्जा $Q$ मूल और दो उत्पादों के द्रव्यमान-अंतर से आती है।

चिह्न
$X$	मूल न्यूक्लाइड
$Y$	पुत्री न्यूक्लाइड, आवर्त सारणी में दो स्थान पीछे
$A$	मूल की द्रव्यमान संख्या
$Z$	मूल का परमाणु क्रमांक
$^{4} He$	$α$ कण, यानी हीलियम-4 नाभिक

कब लागू होता है: केवल $α$ क्षय के लिए, जो सीसे से भारी नाभिकों में आम है। $β^{-}$ क्षय $A$ को रखता है और $Z$ 1 बढ़ाता है, $β^{+}$ क्षय $Z$ 1 घटाता है, और $γ$ उत्सर्जन दोनों नहीं बदलता।

उदाहरण: $_{92}^{238} U \to_{90}^{234} Th +_{2}^{4} He$ $Q = 4.27 MeV$ मुक्त करता है, जिसमें से $α$ कण 4.20 MeV ले जाता है।

शब्दावली

रेडियोधर्मी क्षय: एक अस्थायी नाभिक का स्वतःस्फूर्त दूसरे नाभिक में बदलना, जिसमें $α$ कण, $β$ कण या $γ$ फ़ोटॉन उत्सर्जित होता है। इसका क्षण यादृच्छिक होता है, और ऊष्मा या रसायन इसे उल्लेखनीय रूप से प्रभावित नहीं करते।
न्यूक्लाइड और समस्थानिक: न्यूक्लाइड एक प्रकार का नाभिक है, जो उसके परमाणु क्रमांक $Z$ और द्रव्यमान संख्या $A$ से तय होता है, जैसे कार्बन-14 $_{6}^{14} C$ । समस्थानिक एक ही तत्व के न्यूक्लाइड हैं, जिनका $Z$ समान और $A$ भिन्न है: रासायनिक रूप से लगभग एक-से, फिर भी कार्बन-12 स्थायी है और कार्बन-14 नहीं।
मूल और पुत्री नाभिक: मूल वह नाभिक है जो क्षय होता है और पुत्री वह जिसमें वह बदलता है; एनिमेशन में सुनहरे मूल $X$ धूसर पुत्री $Y$ बन जाते हैं। पुत्री स्वयं रेडियोधर्मी हो सकती है और क्षय-शृंखला आगे बढ़ा सकती है।
α क्षय: एक $α$ कण का उत्सर्जन, यानी दो प्रोटॉन और दो न्यूट्रॉन वाला हीलियम-4 नाभिक, जिससे $A$ 4 घटता है और $Z$ 2। कण एक निश्चित ऊर्जा के साथ निकलते हैं, आम तौर पर 4 से 9 MeV, और एक कागज़ की शीट उन्हें रोक देती है।
β क्षय: एक न्यूट्रॉन प्रोटॉन में बदलता है और एक इलेक्ट्रॉन व एक प्रति-न्यूट्रिनो उत्सर्जित करता है ( $β^{-}$ ), या एक प्रोटॉन न्यूट्रॉन में, और एक पॉज़िट्रॉन व एक न्यूट्रिनो उत्सर्जित करता है ( $β^{+}$ )। $A$ समान रहता है और $Z$ एक से बदलता है; इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा का परिसर सतत होता है, और कुछ मिलीमीटर एल्युमीनियम उन्हें रोक देता है।
γ उत्सर्जन: एक उत्तेजित नाभिक, जो अक्सर अभी-अभी $α$ या $β$ क्षय से बना होता है, एक उच्च-ऊर्जा फ़ोटॉन उत्सर्जित करके निचले ऊर्जा-स्तर पर आ जाता है। $A$ और $Z$ नहीं बदलते; लगभग एक सेंटीमीटर सीसा 1 MeV $γ$ किरणों की धारा को आधा करता है, पर उसे पूरी तरह कभी नहीं रोकता।
आयनकारी विकिरण: इतना ऊर्जावान विकिरण कि परमाणुओं से इलेक्ट्रॉन बाहर निकाल सके; इसी से यह जीवित कोशिकाओं को क्षति पहुँचाता है और डिटेक्टर इसे दर्ज करते हैं। कण जितना घना आयनन करता है, उतनी ही जल्दी अपनी ऊर्जा खोता है: $α$ कण हवा में केवल कुछ सेंटीमीटर चलते हैं।
अर्ध-आयु: वह समय जिसमें नमूने के औसतन आधे नाभिक क्षय हो जाते हैं, चाहे गिनती किसी भी क्षण से शुरू करें। एक अकेले नाभिक के लिए, यह वह समय है जिसके बाद उसके अब तक अक्षय रहने की संभावना 50% तक गिर जाती है; यह सब कुछ के क्षय होने में लगने वाले समय का आधा नहीं है।
घातांकीय क्षय: ऐसी कमी जिसकी दर मौजूद मात्रा के समानुपाती है, $d N / d t = - λ N$ , इसलिए समान समयों में समान भिन्नांश घट जाता है: $N = N_{0} e^{- λ t}$ । वही नियम संधारित्र के विसर्जन और सीसे में $γ$ किरणों के क्षीण होने का वर्णन करता है।
क्षय-शृंखला: क्षयों का एक क्रम, जिसमें हर पुत्री आगे स्वयं भी रेडियोधर्मी होती है; उदाहरण के लिए, यूरेनियम-238 8 $α$ और 6 $β^{-}$ क्षयों के बाद स्थायी सीसा-206 तक पहुँचता है। जब पहला मूल नाभिक अपनी संतानों से कहीं अधिक समय जीता है, तो सभी सदस्य एक ही सक्रियता पर स्थिर हो जाते हैं (दीर्घकालिक साम्य)।
रेडियोमीट्रिक डेटिंग: बचे हुए रेडियोधर्मी न्यूक्लाइड की मात्रा से आयु निकालना, $(1/2)^{t / T_{1/2}} = N / N_{0}$ हल करके। कार्बन-14 (5,730 वर्ष) लगभग 50,000 वर्ष पुराने कार्बनिक अवशेषों की आयु बताता है; यूरेनियम–सीसा डेटिंग अरबों वर्षों तक पहुँचती है।
क्वांटम सुरंगन: किसी कण का एक ऊर्जा-अवरोध के आर-पार निकल जाना, जिसे वह शास्त्रीय रूप से पार नहीं कर सकता। इसी से $α$ कण नाभिकों से बाहर निकल पाते हैं, और ऊर्जा पर इसकी तीखी निर्भरता $α$ अर्ध-आयु को माइक्रोसेकंड से $1 0^{10}$ वर्ष तक फैला देती है।

राशियाँ
$Z$	परमाणु क्रमांक		नाभिक में प्रोटॉनों की संख्या, जो तत्व तय करती है: $Z = 92$ यूरेनियम है। यह $α$ क्षय में 2 घटती है और $β$ क्षय में एक से बदलती है।
$A$	द्रव्यमान संख्या		न्यूक्लिऑनों की संख्या, यानी प्रोटॉन और न्यूट्रॉन का योग: यूरेनियम-238 के लिए 238। यह $α$ क्षय में 4 घटती है और $β$ क्षय व $γ$ उत्सर्जन में अपरिवर्तित रहती है। इसे नीचे की सक्रियता $A$ से न मिलाएँ।
$N$	अविघटित नाभिकों की संख्या		समय $t$ पर उस रेडियोधर्मी प्रकार के कितने नाभिक अभी मौजूद हैं; इसे न्यूट्रॉन-संख्या $A - Z$ से न मिलाएँ।
$N_{0}$	आरंभिक नाभिक संख्या		$t = 0$ पर अविघटित नाभिकों की संख्या: एनिमेशन में 100।
$t$	समय	$s$	गिनती शुरू होने के बाद बीता समय। अक्सर दिन या वर्ष प्रयोग होते हैं, पर उसी इकाई में जो $T_{1/2}$ की है।
$T_{1/2}$	अर्ध-आयु	$s$	वह समय जिसमें अविघटित नाभिकों की संख्या आधी हो जाती है: एनिमेशन में 2.5 s, आयोडीन-131 के लिए 8.0 दिन, यूरेनियम-238 के लिए 4.5 अरब वर्ष।
$λ$	क्षय-स्थिरांक	$s^{- 1}$	प्रति इकाई समय एक नाभिक के क्षय की संभावना, $λ = ln 2/ T_{1/2}$ : एनिमेशन में $0.277 s^{- 1}$ ।
$τ$	औसत आयु	$s$	एक नाभिक की औसत जीवन-अवधि, $τ = 1/ λ = T_{1/2} / ln 2 \approx 1.44 T_{1/2}$ : एनिमेशन में 3.61 s।
$A$	सक्रियता	$Bq$	प्रति सेकंड क्षयों की संख्या, $A = λ N$ ; एक बेकरेल का अर्थ है प्रति सेकंड एक क्षय। यह $N$ के समान अर्ध-आयु से घटती है। इसे द्रव्यमान संख्या $A$ से न मिलाएँ।
$Q$	क्षय-ऊर्जा (Q-मान)	$J$	एक क्षय में मुक्त ऊर्जा, यानी द्रव्यमान-हानि गुणा $c^{2}$ । आम तौर पर MeV में दी जाती है ( $1 MeV = 1.602 \times 1 0^{- 13} J$ ): यूरेनियम-238 के $α$ क्षय के लिए 4.27 MeV।

क्विज़

शुरुआती एक नमूने में 1000 रेडियोधर्मी नाभिक हैं, जिनकी अर्ध-आयु 1 घंटा है। 2 घंटे बाद लगभग कितने अविघटित नाभिक बचेंगे?
1. 0
2. 500
3. 250
4. 125
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उत्तर: C. 250
1 घंटे बाद आधे बचते हैं (500); एक और घंटे बाद उनमें से आधे (250)। मात्रा हर बार आधी होती है; दो अर्ध-आयु बाद वह समाप्त नहीं होती।
शुरुआती क्या आप बता सकते हैं कि कोई एक विशेष रेडियोधर्मी नाभिक कब क्षय होगा?
1. हाँ, अगर उसकी आयु पता हो
2. नहीं, केवल क्षय की संभावना ज्ञात है
3. हाँ, सबसे पुराने नाभिक हमेशा पहले क्षय होते हैं
4. केवल उसे गर्म करके देखने से
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उत्तर: B. नहीं, केवल क्षय की संभावना ज्ञात है
क्षय यादृच्छिक है: एक दिए गए प्रकार के हर नाभिक की, उसकी आयु चाहे जो हो, प्रति सेकंड समान संभावना होती है। केवल बड़ी संख्या का व्यवहार पूर्वानुमेय है।
शुरुआती क्षय होने पर नाभिक का क्या होता है?
1. वह पूरी तरह गायब हो जाता है, कुछ भी नहीं छोड़ता
2. वह हमेशा दो बराबर भागों में टूट जाता है
3. वह बड़ा और भारी हो जाता है
4. वह कोई कण या विकिरण छोड़ता है और दूसरा नाभिक बन जाता है
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उत्तर: D. वह कोई कण या विकिरण छोड़ता है और दूसरा नाभिक बन जाता है
नाभिक एक कण (α या β) या एक फ़ोटॉन (γ) छोड़ता है और, α व β क्षय में, किसी दूसरे तत्व का नाभिक बन जाता है।
मध्यम कार्बन-14 की अर्ध-आयु लगभग 5730 वर्ष है। 17190 वर्ष बाद मूल कार्बन-14 का कितना भाग बचेगा?
1. 1/8
2. 1/3
3. 1/6
4. 1/9
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उत्तर: A. 1/8
17190 ÷ 5730 = 3 अर्ध-आयु, इसलिए (½)³ = 1/8 बचता है। 1/3 उत्तर अर्ध-आयुओं की संख्या से भाग देने से आता है; पर हर अर्ध-आयु बचे हुए भाग को आधा करती है।
मध्यम α क्षय में नाभिक की द्रव्यमान संख्या A और परमाणु क्रमांक Z कैसे बदलते हैं?
1. A 2 घटता है, Z 4 घटता है
2. A 4 घटता है, Z 2 घटता है
3. A वही रहता है, Z 1 बढ़ता है
4. A 4 घटता है, Z वही रहता है
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उत्तर: B. A 4 घटता है, Z 2 घटता है
α कण एक हीलियम-4 नाभिक है: 2 प्रोटॉन और 2 न्यूट्रॉन। उसके निकलने से A 4 घटता है और Z 2। A वही रहकर Z 1 बढ़ना β⁻ क्षय का वर्णन है।
मध्यम एक कागज़ की शीट किस प्रकार के विकिरण को रोक देती है?
1. γ किरणें
2. β कण
3. α कण
4. तीनों
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उत्तर: C. α कण
α कण भारी और दोहरे आवेश वाले होते हैं, इसलिए वे बहुत जल्दी ऊर्जा खोते हैं; कागज़ या त्वचा उन्हें रोक देती है। β को कुछ मिलीमीटर एल्युमीनियम चाहिए, γ को मोटा सीसा या कंक्रीट।
उन्नत एक न्यूक्लाइड का क्षय-स्थिरांक λ = 0.0231 s⁻¹ है। उसकी अर्ध-आयु क्या है?
1. 43 s
2. 0.016 s
3. 15 s
4. 30 s
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उत्तर: D. 30 s
T½ = ln 2 / λ = 0.693 / 0.0231 s⁻¹ = 30 s। 1/λ = 43 s औसत आयु τ है, जो अर्ध-आयु से 1/ln 2 गुना लंबी है।
उन्नत एक नमूने में 6.0 h अर्ध-आयु वाले एक समस्थानिक के 2.0 × 10¹² नाभिक हैं। उसकी सक्रियता क्या है?
1. 6.4 × 10⁷ Bq
2. 9.3 × 10⁷ Bq
3. 2.3 × 10¹¹ Bq
4. 3.3 × 10¹¹ Bq
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उत्तर: A. 6.4 × 10⁷ Bq
λ = ln 2 / (6.0 × 3600 s) = 3.21 × 10⁻⁵ s⁻¹, इसलिए A = λ·N = 6.4 × 10⁷ Bq। ln 2 भूलने पर 9.3 × 10⁷ मिलता; λ को h⁻¹ में रखने पर प्रति घंटे 2.3 × 10¹¹ क्षय मिलते, प्रति सेकंड नहीं।

$N$	समय $t$ पर अविघटित नाभिकों की संख्या।
$N_{0}$	$t = 0$ पर अविघटित नाभिकों की संख्या।
$N_{0} /2$	आरंभिक संख्या का आधा, एक अर्ध-आयु के बाद।
$N_{0} /4$	आरंभिक संख्या का एक-चौथाई, दो अर्ध-आयु के बाद।
$t$	गिनती शुरू होने के बाद का समय।	$s$
$T_{1/2}$	अर्ध-आयु: इस लंबाई के हर चरण में $N$ आधा होता है।	$s$
$τ$	औसत आयु $1/ λ$ , लगभग $1.44 T_{1/2}$ : $t = 0$ की स्पर्श-रेखा जहाँ समय-अक्ष को काटती है।	$s$
$A_{0}$	$t = 0$ पर सक्रियता, $A_{0} = λ N_{0}$ ; वहाँ स्पर्श-रेखा की प्रवणता $- A_{0}$ है।	$Bq$

$N$	एक नमूने में अब भी अविघटित नाभिकों की संख्या।
$P$	नमूने में ठीक इतने नाभिक बचे होने की संभावना।
$N_{0} p$	$N$ का माध्य: आरंभिक संख्या $N_{0}$ गुना एक नाभिक की उत्तरजीविता-संभावना $p$ , यहाँ $p = 1/2$ , अतः 50।
$σ$	$N$ का मानक विचलन, $σ = N_{0} p (1 - p)$ , यहाँ 5: कोष्ठक की चौड़ाई $2 σ$ है।

$U$	$α$ कण की स्थितिज ऊर्जा, नाभिक के केंद्र से दूरी $r$ पर।	$J$
$r$	नाभिक के केंद्र से दूरी।	$m$
$R$	नाभिक की त्रिज्या: नाभिकीय गर्त उसके भीतर है, कूलॉम अवरोध वहीं से शुरू होता है।	$m$
$r_{2}$	निर्गम बिंदु $r_{2} = R U_{m a x} / E$ , जहाँ अवरोध ऊर्जा $E$ तक गिर गया है।	$m$
$U_{m a x}$	$r = R$ पर अवरोध की ऊँचाई।	$J$
$E$	$α$ कण की ऊर्जा, जिसे वह दूर पहुँचकर गतिज ऊर्जा के रूप में ले जाता है।	$J$
$ψ$	त्रिज्या के अनुदिश $α$ कण का तरंग फलन: वह भीतर दोलन करता है, अवरोध के आर-पार क्षीण होता है, और $r_{2}$ के आगे छोटे आयाम में फिर प्रकट होता है।	$m^{- 3/2}$

$N$	समय $t$ पर हर प्रकार के नाभिकों की उपस्थित संख्या।
$N_{1}$	अब भी अविघटित मूल नाभिक।
$N_{2}$	उपस्थित रेडियोधर्मी पुत्री नाभिक।
$N_{3}$	पुत्री नाभिकों से बने स्थायी नाभिक, $N_{3} = N_{0} - N_{1} - N_{2}$ ।
$t$	आरंभ से समय, जब केवल मूल नाभिक मौजूद थे।	$s$
$t_{m}$	वह समय जब पुत्री नाभिक सबसे अधिक होते हैं।	$s$