घर्षण और आनत तल

शुरुआती

घर्षण वह बल है जो एक सतह को दूसरी सतह पर फिसलने से रोकता है। यह सतहों के साथ-साथ कार्य करता है, फिसलने के विरुद्ध, या उस फिसलन के विरुद्ध जो कोई वस्तु होने वाली है।

एक भारी सोफ़े को धीरे से धकेलें तो वह नहीं हिलता: फ़र्श स्थैतिक घर्षण के ज़रिए उतनी ही ज़ोर से पीछे धकेलता है। धक्का बढ़ाते जाएँ, और एक बिंदु पर स्थैतिक घर्षण अपनी सीमा तक पहुँच जाता है और सोफ़ा फिसलने लगता है। एक बार चलने पर गतिज घर्षण उसकी जगह ले लेता है; वह आम तौर पर थोड़ा कम होता है, इसीलिए सोफ़े को शुरू करना उसे चलाते रहने से कठिन होता है।

त्वरित जाँच: आप एक डिब्बे को इस तरह धकेलते हैं कि वह स्थिर चाल से फिसले। आपका धक्का घर्षण की तुलना में कैसा है? (दोनों बराबर हैं: स्थिर चाल का अर्थ है कोई शुद्ध बल नहीं।)

घर्षण कितना प्रबल है? यह इस पर निर्भर करता है कि सतहें एक-दूसरे पर कितनी ज़ोर से दबी हैं, यानी अभिलंब बल $N$ पर, और पदार्थों पर भी, जो घर्षण गुणांक $\mu$ नामक संख्या से व्यक्त होता है। फिसलने के लिए, $f=\mu N$। $\mu =0.3$ वाले फ़र्श पर फिसलते 10 kg के डिब्बे (भार लगभग 98 N) पर लगभग 29 N घर्षण लगता है; उस पर दूसरा डिब्बा रख दें तो घर्षण दोगुना हो जाता है।

त्वरित जाँच: सूखी सड़क पर रबर का $\mu$ लगभग 0.8 होता है, बर्फ़ पर स्टील की स्केट का लगभग 0.02। रुकने के लिए किसे अधिक दूरी चाहिए? (स्केट को।)

ढलान पर भार का एक भाग वस्तु को नीचे की ओर खींचता है। एनिमेशन में एक गुटका 30° ढलान पर नीचे फिसलता है और तेज़ होता जाता है। भार का तीर सीधे नीचे की ओर है, सहारा देने वाला तीर (अभिलंब बल) सतह से बाहर की ओर है, और घर्षण का छोटा तीर ढलान के ऊपर की ओर इशारा करता है। घर्षण गुटके को रोकता है, पर इतनी तीखी ढलान पर वह उसे रोक नहीं सकता।

मध्यम

अभिलंब बल और दो घर्षण नियम

जब दो सतहें छूती हैं, तो उनके बीच के बल के दो भाग होते हैं। अभिलंब बल $N$ सतह के लंबवत होता है और उतना ही होता है जितना वस्तु को धँसने से रोकने के लिए चाहिए। घर्षण $f$ सतह के अनुदिश कार्य करता है और फिसलने का विरोध करता है। दोनों का मापन न्यूटन में होता है। किसी दिए गए अभिलंब बल से कितना घर्षण उत्पन्न हो सकता है, यह घर्षण गुणांक $\mu$ से तय होता है, जो एक शुद्ध संख्या है और दोनों पदार्थों पर निर्भर करती है।

जब तक सतहें नहीं खिसकतीं, घर्षण स्थैतिक होता है: वह फिसलने को रोकने के लिए जितना आकार और दिशा चाहिए उतना ले लेता है, परंतु एक सीमा तक:
$f_s\le {\mu }_{s}N$
समतल फ़र्श पर रखा, बिना धकेला डिब्बा कोई घर्षण महसूस नहीं करता। उसे 50 N से धकेलें तो घर्षण भी 50 N से जवाब देता है; केवल सीमा से ऊपर का धक्का उसे मुक्त करता है।

सतहें फिसलने लगें तो घर्षण गतिज होता है। वह फिसलने की विपरीत दिशा में लगता है और उसका निश्चित परिमाण होता है:
$f_k={\mu }_{k}N$
आम तौर पर ${\mu }_k$, ${\mu }_s$ से थोड़ा नीचे होता है, इसीलिए सोफ़े को शुरू करना उसे चलाते रहने से कठिन होता है। सामान्य मान हैं: सूखी सड़क पर रबर के लिए 0.8, लकड़ी पर लकड़ी के लिए 0.3, और बर्फ़ पर स्केट के लिए 0.02। दोनों नियम संपर्क क्षेत्रफल या गति पर अधिक निर्भर नहीं करते।

ढलान पर भार का विभाजन

कोण $\theta$ वाले आनत तल पर एक अक्ष ढलान के अनुदिश लें (नीचे की ओर धनात्मक), और एक उसके लंबवत। तब $N$ और $f$ अक्षों के अनुदिश होते हैं, और केवल भार $mg$ को बाँटना होता है। सतह को $\theta$ से झुकाने पर उसका लंबवत भी उतना ही झुकता है, इसलिए भार उससे कोण $\theta$ बनाता है। ढलान के अनुदिश वाला भाग गुटके को नीचे खींचता है; लंबवत वाला भाग उसे सतह में दबाता है और अभिलंब बल से संतुलित होता है:

• $F_{\parallel }=mg\sin \theta$
• $N=mg\cos \theta$

चरम स्थितियों से जाँचें: समतल ज़मीन पर, $\theta =0$, सतह के अनुदिश कुछ नहीं खींचता; ऊर्ध्वाधर दीवार पर, $\theta =90^{\circ }$, उस पर कुछ नहीं दबता। एनिमेशन के 30° ढलान पर, $\sin 30^{\circ }=0.5$ और $\cos 30^{\circ }\approx 0.866$: भार का आधा ढलान के अनुदिश नीचे खींचता है, और $N$ भार का 87% है, पूरा नहीं।

ढलान के अनुदिश न्यूटन का दूसरा नियम

नीचे फिसलते गुटके के लिए गतिज घर्षण ${\mu }_{k}mg\cos \theta$ ढलान के ऊपर की ओर लगता है। ढलान के अनुदिश न्यूटन का दूसरा नियम, $ma=mg\sin \theta -{\mu }_{k}mg\cos \theta$, में हर पद में द्रव्यमान है, इसलिए वह कट जाता है:
$a=g(\sin \theta -{\mu }_k\cos \theta )$
अतः एक ही पदार्थ का भारी और हल्का गुटका साथ-साथ नीचे फिसलते हैं। ऊपर की ओर फिसलते गुटके के लिए घर्षण ढलान के नीचे की ओर होता है, और गुटका $g(\sin \theta +{\mu }_k\cos \theta )$ के साथ धीमा होता है।

विराम में रखा गुटका तब फिसलने लगता है जब नीचे खींचने वाला बल $mg\sin \theta$, स्थैतिक घर्षण के अधिकतम मान ${\mu }_{s}mg\cos \theta$ से अधिक हो जाए। दोनों को $mg\cos \theta$ से भाग देने पर मिलता है
$\tan \theta >{\mu }_s$
द्रव्यमान फिर से कट जाता है। सीमांत कोण, जहाँ $\tan {\theta }_0={\mu }_s$, विराम कोण (angle of repose) है।

हल किया हुआ उदाहरण: एनिमेशन का गुटका

गुटका विराम से 30° ढलान पर नीचे फिसलता है, जिसमें ${\mu }_k=0.2$ है। द्रव्यमान की आवश्यकता नहीं, पर न्यूटन में बल देखने के लिए $m=2\mathrm{kg}$ लें। भार $mg=2\cdot 9.81=19.62\mathrm{N}$ है, इसलिए
$F_{\parallel }=19.62\cdot 0.5=9.81\mathrm{N},N=19.62\cdot 0.866\approx 16.99\mathrm{N}$
$f_k=0.2\cdot 16.99\approx 3.40\mathrm{N},a=\frac{9.81-3.40}{2}\approx 3.21m/{\mathrm{s}}^2$
द्रव्यमान के बिना सूत्र भी वही देता है: $a=9.81(0.5-0.2\cdot 0.866)\approx 3.21m/{\mathrm{s}}^2$, जो एनिमेशन में उसके नीचे छपा मान है। घर्षण के बिना यह $g\sin 30^{\circ }\approx 4.91m/{\mathrm{s}}^2$ होता।

जब $a$ स्थिर है, तो सीधी-रेखा की गतिकी लागू होती है। 1 s के बाद गुटका 3.21 m/s से चलता है और $\frac{1}{2}\cdot 3.21\cdot 1^2\approx 1.60\mathrm{m}$ फिसल चुका है; 2 s के बाद वह 6.41 m/s से चलता है और 6.41 m फिसल चुका है। ये स्लेटी रूपरेखाएँ हैं। फिसलन 7.8 m लंबी है और लगभग 2.2 s चलती है, और रीडिंग लगभग $v=7.1m/s$ और $s=7.8\mathrm{m}$ पर समाप्त होती हैं, जैसा $v^2=2as$ बताता है। घर्षण के बिना गुटका उसी ढलान को 8.7 m/s पर छोड़ता।

हल किया हुआ उदाहरण: लदान की ढलान पर बक्सा

30 kg का एक बक्सा 20° झुकी ढलान पर टिका है, जिसमें ${\mu }_s=0.5$ और ${\mu }_k=0.4$ है। क्या वह अपनी जगह पर रहेगा, और ढलान के अनुदिश कितना धक्का उसे स्थिर चाल से ऊपर ले जाएगा?

उसका भार $30\cdot 9.81=294.3\mathrm{N}$ है, इसलिए $F_{\parallel }=294.3\cdot \sin 20^{\circ }\approx 100.7\mathrm{N}$ और $N=294.3\cdot \cos 20^{\circ }\approx 276.6\mathrm{N}$। चूँकि $\tan 20^{\circ }\approx 0.36$ है, जो 0.5 से कम है, बक्सा अपनी जगह रहता है, और स्थैतिक घर्षण नीचे की ओर खिंचाव के बराबर होता है: ढलान के ऊपर 100.7 N, न कि सीमा ${\mu }_{s}N\approx 138.3\mathrm{N}$।

ढलान पर स्थिर चाल से ऊपर चलते समय शुद्ध बल शून्य है। अब घर्षण ऊपर फिसलने का विरोध करता है, इसलिए वह ढलान के नीचे की ओर है, नीचे खींचने वाले बल के साथ:
$F=mg(\sin \theta +{\mu }_k\cos \theta )=100.7+0.4\cdot 276.6\approx 211.3\mathrm{N}$
बक्से को सीधे ऊपर उठाने में उसका पूरा 294 N भार लगेगा; बिना घर्षण वाली ढलान पर यह केवल 100.7 N होता, और घर्षण इसे 211 N तक बढ़ा देता है।

बल-आरेख पढ़ना

एनिमेशन के हर बल-तीर का पैमाना एक ही है, इसलिए आरेख को संख्याओं में पढ़ा जा सकता है। हरा $mg$ तीर एक आयत का विकर्ण है, जिसकी दो भुजाएँ उसके दो पतले हरे घटक हैं: ढलान के अनुदिश वाला घटक ठीक $mg$ का आधा है, और ढलान में दबाने वाला घटक उसका 87% है, जिसे नीला $N$ तीर काटता है। छोटा सुनहरा $f$ तीर $N$ का पाँचवाँ भाग है, जो नीचे खींचने वाले बल के लगभग एक-तिहाई को काटता है, और शुद्ध बल $0.5mg-0.173mg\approx 0.327mg$ बचता है।

मिलाकर $N$ और $f$ गुटके पर ढलान का कुल बल देते हैं। विराम में पड़े गुटके के लिए इस बल का सीधे ऊपर होना ज़रूरी है ताकि वह भार को काट दे; फिसलते गुटके के लिए घर्षण कम पड़ता है, और बचा हुआ बल नीचे की ओर इशारा करता है। इसका परिणाम रीडिंग में दिखता है:$v$ हर सेकंड 3.21 m/s बढ़ता है, जबकि $s$ पहले सेकंड में 1.60 m और अगले सेकंड में 4.81 m बढ़ता है।

आम गलतियाँ

• अभिलंब बल हमेशा भार नहीं होता: 30° ढलान पर 2 kg के गुटके का $N\approx 16.99\mathrm{N}$ है, 19.62 N नहीं।
• स्थैतिक घर्षण हमेशा ${\mu }_{s}N$ नहीं होता: 20° ढलान पर टिका बक्सा 100.7 N घर्षण महसूस करता है, 138.3 N अधिकतम नहीं; और बिना धकेले समतल फ़र्श पर रखा डिब्बा कोई घर्षण महसूस नहीं करता।
• घर्षण हमेशा ढलान के ऊपर की ओर नहीं होता। वह फिसलने या होने वाली फिसलन का विरोध करता है: ढलान पर ऊपर धकेले गए बक्से के लिए वह नीचे की ओर है, इसलिए धक्के को 211.3 N चाहिए।
• भारी गुटके तेज़ नहीं फिसलते: द्रव्यमान कट जाता है, इसलिए एनिमेशन की ढलान पर उसी पदार्थ का 20 kg का गुटका भी 3.21 m/s² से त्वरित होता है।
• नीचे फिसलते गुटके के लिए नीचे खींचने वाले बल में घर्षण जोड़ने पर $9.81(0.5+0.2\cdot 0.866)\approx 6.60m/{\mathrm{s}}^2$ आता है, जो ऊपर फिसलते गुटके के धीमे होने की दर है। $\theta =0$ पर साइन और कोसाइन जाँचें: समतल ज़मीन पर सतह के अनुदिश कुछ नहीं खींचता।

यह कहाँ मिलता है

लुढ़कता टायर स्थैतिक घर्षण से पकड़ बनाता है, क्योंकि उसका संपर्क-क्षेत्र सड़क पर नहीं फिसलता; एंटी-लॉक ब्रेक पहियों को घूमते रखते हैं ताकि कमज़ोर गतिज घर्षण कभी हावी न हो। व्हीलचेयर रैंप की ढलान लगभग 1 में 12, यानी 5° से कम रखी जाती है, ताकि आवश्यक धक्का छोटा रहे। रेत या बजरी के ढेर अपने विराम कोण, लगभग 30–40° पर टिके रहते हैं, और अधिकांश हिमस्खलन 30–45° की ढलानों पर शुरू होते हैं। आगे, “कार्य, ऊर्जा और शक्ति” दिखाता है कि घर्षण द्वारा ली गई ऊर्जा कहाँ जाती है, “वृत्तीय गति” दिखाता है कि घर्षण मोड़ पर कार को कैसे थामता है, और “सरल मशीनें: उत्तोलक, घिरनी और गियर” रैंप, पच्चर और पेच को मशीनों के रूप में देखता है।

उन्नत

चिकनी ढलान

घर्षण के बिना शुरू करें, क्योंकि चिकनी ढलान उन दो भागों को तय करती है जिन्हें आगे के हर समीकरण में इस्तेमाल होना है। कोण $\theta$ पर झुके तल पर द्रव्यमान $m$ का गुटका रखा है। उसका भार $m\vec{g}$ सीधे नीचे की ओर है। इसे ढलान के अनुदिश और उसके आर-पार, अभिलंब (सतह के लंबवत रेखा) के अनुदिश, दो भागों में बाँटें। भार अभिलंब से कोण $\theta$ बनाता है, इसलिए ढलान के अनुदिश भाग $mg\sin \theta$ है और सतह में दबाने वाला भाग $mg\cos \theta$ है। गुटका न सतह में धँसता है न उससे उठता है, इसलिए ढलान अभिलंब बल $N=mg\cos \theta$ से प्रतिक्रिया देता है।

ढलान के अनुदिश वाला भाग केवल ऊर्जा से भी निकलता है। लंबाई $L$ और ऊँचाई $h$ वाली चिकनी ढलान पर भार $W$ को धीरे-धीरे ऊपर धकेलें। धक्का $F$ कार्य $FL$ करता है, और यह पूरा कार्य स्थितिज ऊर्जा $Wh$ बन जाता है, इसलिए $F=Wh/L=W\sin \theta$।

साइमन स्टीविन ने 1586 में एक विचार-प्रयोग से यही परिणाम पाया: मनकों की एक बंद माला त्रिकोणीय पच्चर पर डाली गई और नीचे मुक्त रूप से लटकाई गई। यह माला अपने आप नहीं घूमती, क्योंकि ऐसा होने पर सतत गति की मशीन बन जाती; और उसका लटकता भाग सममित है तथा स्वयं संतुलित है। अतः लंबी, मंद ढलान वाली सतह के अनेक मनके उतने ही ज़ोर से अपनी सतह के अनुदिश खींचते होंगे जितने छोटी, तीखी सतह के कुछ मनके। किसी सतह के मनकों की संख्या उसकी लंबाई $L$ के समानुपाती है, इसलिए एक मनके का खिंचाव $1/L$ के समानुपाती है। दोनों सतहें समान ऊँचाई $h$ तक चढ़ती हैं, इसलिए वह खिंचाव $h/L$ के समानुपाती है, जो $\sin \theta$ है।

दो प्रकार के घर्षण

अब सतहों को खुरदरा करें। घर्षण संपर्क बल का वह भाग है जो सतह के अनुदिश होता है, और इसके दो प्रकार हैं जो अलग-अलग नियम मानते हैं। इन दोनों को पहचानना नीचे की हर समस्या का निर्णय करता है।

जब सतहें एक-दूसरे पर फिसलती हैं, तब गतिज घर्षण एक निश्चित बल होता है। उसका परिमाण ${\mu }_{k}N$ है, जहाँ गतिज गुणांक ${\mu }_k$ दोनों पदार्थों के युग्म के लिए एक शुद्ध संख्या है, और प्रथम सन्निकटन में यह फिसलने की चाल पर निर्भर नहीं करता। यह एक सतह के दूसरी सतह के सापेक्ष वेग $\vec{v}$ की विपरीत दिशा में लगता है। $\vec{v}$ को उसकी लंबाई $|\vec{v}|$ से भाग देने पर गति की दिशा में एकांक सदिश मिलता है, अतः
${\vec{f}}_k=-{\mu }_{k}N\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$

जब सतहें नहीं फिसलतीं, तब स्थैतिक घर्षण एक बंधन-बल होता है, जो अभिलंब बल जैसा है। संपर्क तल में उसका परिमाण और दिशा वही होते हैं जो सतहों को फिसलने से रोकते हैं। एकमात्र नियम एक सीमा है, जो स्थैतिक गुणांक ${\mu }_s$ से तय होती है:
$|{\vec{f}}_s|\le {\mu }_{s}N$

अधिकांश युग्मों के लिए ${\mu }_s>{\mu }_k$ है। अतः घर्षण वेग का फलन नहीं है: $v=0$ पर यह ${\mu }_{s}N$ तक कोई भी मान ले सकता है, और फिसलना शुरू होते ही यह ${\mu }_{k}N$ पर कूद जाता है।

ढलान पर, $x$ को ढलान के नीचे की ओर मापें, ताकि $\ddot{x}$ नीचे की ओर का त्वरण हो। नीचे फिसलते गुटके पर ढलान के ऊपर की ओर घर्षण लगता है; ढलान के अनुदिश न्यूटन का दूसरा नियम, $m$ से भाग देने पर, देता है
$\ddot{x}=g(\sin \theta -{\mu }_k\cos \theta )$
ऊपर फिसलते गुटके पर ढलान के नीचे की ओर घर्षण लगता है, जो गुरुत्व में जुड़ता है:
$\ddot{x}=g(\sin \theta +{\mu }_k\cos \theta )$
जब वेग $\dot{x}$ ऋणात्मक है, तब यह $\ddot{x}$ धनात्मक है, इसलिए यह गुटके को धीमा करता है। विराम में गुटके को ढलान के ऊपर की ओर स्थैतिक घर्षण $mg\sin \theta$ चाहिए, जो सीमा ${\mu }_{s}mg\cos \theta$ के भीतर तभी रहता है जब $\tan \theta \le {\mu }_s$ हो; तब गुटका विराम में रहता है।

एक परिणाम आसानी से छूट जाता है: यदि $\tan \theta <{\mu }_k$ हो, तो पहले समीकरण से $\ddot{x}$ ऋणात्मक आता है, इसलिए नीचे की ओर प्रक्षेपित गुटका धीमा होकर रुक जाता है। फिर उसे स्थैतिक घर्षण रोके रखता है: घर्षण गति रोक सकता है, पर वह गुटके को कभी ऊपर की ओर नहीं धकेलता।

बल के अनुसार स्थैतिक घर्षण का समायोजन

संकेत-सूची

$f$	ढलान के अनुदिश घर्षण, ढलान के ऊपर की ओर धनात्मक।	$\mathrm{N}$
$F$	ढलान के अनुदिश खिंचाव, ढलान के ऊपर की ओर धनात्मक; ऋणात्मक मान ढलान के नीचे खींचता है।	$\mathrm{N}$
${\mu }_{s}N$	अधिकतम संभव स्थैतिक घर्षण: वह बिंदीदार ऊपरी सीमा जिसे रेखा पार नहीं कर सकती।	$\mathrm{N}$
${\mu }_{k}N$	गुटके के फिसलने पर गतिज घर्षण का परिमाण।	$\mathrm{N}$
$mg\sin \theta$	ढलान के अनुदिश भार का घटक: वह खिंचाव जिस पर घर्षण शून्य होता है।	$\mathrm{N}$
$F_1$	न्यूनतम खिंचाव जिस पर गुटका विराम में रहता है, $mg(\sin \theta -{\mu }_s\cos \theta )$; यहाँ ऋणात्मक।	$\mathrm{N}$
$F_2$	अधिकतम खिंचाव जिस पर गुटका विराम में रहता है, $mg(\sin \theta +{\mu }_s\cos \theta )$।	$\mathrm{N}$
$f_s$	स्थैतिक घर्षण: अन्य बलों को संतुलित करने वाला मान, $mg\sin \theta -F$।	$\mathrm{N}$
$f_k$	गतिज घर्षण, जो सदा फिसलन के विपरीत होता है: यहाँ $-{\mu }_{k}N$, जहाँ गुटका ढलान के ऊपर फिसलता है।	$\mathrm{N}$

यह भाग स्थैतिक नियम को कार्य करते दिखाता है: स्थैतिक घर्षण का परिमाण और दिशा अन्य बलों द्वारा तय होते हैं, उसके अपने किसी सूत्र से नहीं। चित्र 1 एक ऐसे गुटके का घर्षण $f$ दिखाता है जो एक हल्की ढलान पर अपने-आप विराम में है, जहाँ $\tan \theta <{\mu }_s$ है, जबकि ढलान के अनुदिश खिंचाव $F$ धीरे-धीरे बढ़ाया जाता है। $F$ और $f$ दोनों ढलान के ऊपर की ओर धनात्मक गिने जाते हैं।

जब तक गुटका विराम में है, $\ddot{x}=0$ है, इसलिए ढलान के अनुदिश बल संतुलित रहते हैं: ऊपर की ओर के बल $f+F$ नीचे की ओर के घटक $mg\sin \theta$ के बराबर होते हैं। अतः गुटके को जितना घर्षण चाहिए वह है
$f=mg\sin \theta -F$
यह चित्र 1 में घटती रेखा $f_s$ है। बाएँ से दाएँ पढ़ें। $F=0$ पर घर्षण पूरा घटक $mg\sin \theta$ उठाता है और ढलान के ऊपर की ओर होता है। जैसे-जैसे खिंचाव यह काम सँभालता है, घर्षण घटता है; जहाँ रेखा $F=mg\sin \theta$ (हरा बिंदु) पर अक्ष को काटती है वहाँ वह शून्य है, और उससे आगे वह ऋणात्मक है: अब घर्षण ढलान के नीचे की ओर है और खिंचाव के विरुद्ध गुटके को रोकता है।

रेखा केवल बिंदीदार स्तरों $+{\mu }_{s}N$ और $-{\mu }_{s}N$ के बीच अनुमत है। $f=+{\mu }_{s}N$ और $f=-{\mu }_{s}N$ रखें, जहाँ $N=mg\cos \theta$ है, तो अनुमत पट्टी के दो सिरे मिलते हैं:
$F_1=mg(\sin \theta -{\mu }_s\cos \theta )$
$F_2=mg(\sin \theta +{\mu }_s\cos \theta )$
$F_1$ से $F_2$ तक हर खिंचाव के लिए गुटका विराम में रहता है, यही छायांकित परिसर है। यहाँ $F_1$ ऋणात्मक है: नीचे की ओर का खिंचाव भी तब तक विरोध झेलता है जब तक उसका परिमाण $|F_1|$ से अधिक न हो। (अधिक तीखी ढलान पर, जहाँ $\tan \theta >{\mu }_s$ है, $F_1$ धनात्मक होगा: गुटके को रोके रखने के लिए कम से कम इतना खिंचाव ऊपर की ओर चाहिए।)

छायांकित परिसर के बाहर गुटका फिसलता है, और घर्षण ${\mu }_{s}N$ से ${\mu }_{k}N$ पर गिर जाता है, खुले वृत्तों पर। $F_1$ से कम खिंचाव पर गुटका नीचे फिसलता है, इसलिए घर्षण $+{\mu }_{k}N$ ढलान के ऊपर की ओर है। $F_2$ से अधिक खिंचाव पर गुटका ऊपर फिसलता है, इसलिए घर्षण $f_k=-{\mu }_{k}N$ ढलान के नीचे की ओर है। सवालों का नियम यह है: समीकरणों में घर्षण की दिशा लिखने से पहले तय करें कि गुटका किस ओर चल रहा है, या चलने वाला है।

एनिमेशन में फिसलन

यह भाग फिसलन के समीकरण में संख्याएँ रखता है, एनिमेशन का उपयोग करते हुए: 30° ढलान पर विराम से छोड़ा गया गुटका, जिसमें ${\mu }_k=0.2$ है। उसका नीचे की ओर त्वरण है
$a=g(\sin \theta -{\mu }_k\cos \theta )=9.81(0.5-0.2\cdot 0.866)\approx 3.21m/{\mathrm{s}}^2$
एनिमेशन के विशेषज्ञ ग्राफ़ पर $v(t)$ इसलिए 3.21 m/s² ढाल की एक ठोस सीधी रेखा है। उसके ऊपर घर्षणरहित ढलान की बिंदीदार रेखा है, जिसकी ढाल $g\sin \theta \approx 4.91m/{\mathrm{s}}^2$ है। दोनों रेखाएँ घर्षण पद से अलग होती हैं, यानी हर सेकंड $g{\mu }_k\cos \theta \approx 1.70m/s$ का अंतर। फिसलन 2.2 s चलती है, इसलिए गुटका 10.8 m/s के बजाय 7.1 m/s पर समाप्त होता है। ठोस रेखा के नीचे का क्षेत्रफल तय की गई दूरी है, $\frac{1}{2}\cdot 2.2\cdot 7.06\approx 7.8\mathrm{m}$: यानी फिसलन की लंबाई।

ऊर्जा कहाँ जाती है

संकेत-सूची

$s$	गुटके द्वारा ढलान के अनुदिश तय की गई दूरी।	$\mathrm{m}$
$h$	गुटके के नीचे गिरने की ऊँचाई: $h=s\sin \theta$।	$\mathrm{m}$
$\theta$	ढलान का क्षैतिज से कोण।	$\mathrm{rad}$
$W_g$	गुरुत्व द्वारा किया गया कार्य $mgh=mgs\sin \theta$: मुक्त हुई ऊर्जा।	$\mathrm{J}$
$Q$	घर्षण से उत्पन्न ऊष्मा $f_{k}s={\mu }_{k}mgs\cos \theta$।	$\mathrm{J}$
$K$	प्राप्त गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}m{v}^2=W_g-Q$।	$\mathrm{J}$

उसी फिसलन को बलों के बजाय ऊर्जा से भी समझा जा सकता है। यह दिखाता है कि गुरुत्व द्वारा मुक्त ऊर्जा अंततः कहाँ जाती है, और इसमें समय की आवश्यकता के बिना अंतिम चाल मिल जाती है।

चित्र 2 में गुटका हल्के रंग की स्थिति से विराम से शुरू होता है और दूरी $s$ तक फिसलकर ठोस स्थिति पर पहुँचता है। बाईं ओर की गिरावट पढ़ें: $h=s\sin \theta$। गुरुत्व $W_g=mgh=mgs\sin \theta$ कार्य करता है, यह हरी पट्टी है, जो $h$ के समान ऊँचाई-पैमाने पर बनी है ताकि दोनों मेल खाएँ। घर्षण उसी दूरी $s$ पर स्थिर परिमाण $f_k={\mu }_{k}N={\mu }_{k}mg\cos \theta$ के साथ कार्य करता है, इसलिए वह ऊर्जा $Q=f_{k}s={\mu }_{k}mgs\cos \theta$ को ऊष्मा में बदल देता है: दूसरी पट्टी का सुनहरा भाग। शेष, बैंगनी भाग, गतिज ऊर्जा $K=\frac{1}{2}m{v}^2$ है। यह कार्य-ऊर्जा प्रमेय है, $K=W_g-Q$:
$\frac{1}{2}m{v}^2=mgs(\sin \theta -{\mu }_k\cos \theta )$

$Q$ को $W_g$ से भाग देने पर $m$, $g$ और $s$ कट जाते हैं: घर्षण मुक्त ऊर्जा का हिस्सा $Q/W_g={\mu }_k\cos \theta /\sin \theta ={\mu }_k\cot \theta$ लेता है। यहाँ यह $0.2\cdot 1.732\approx 0.35$ है, यानी दूसरी पट्टी का सुनहरा एक-तिहाई। एनिमेशन की 7.78 m फिसलन के लिए, प्रति किलोग्राम गुटका, गुरुत्व $9.81\cdot 0.5\cdot 7.78\approx 38.2\mathrm{J}$ मुक्त करता है; 13.2 J ऊष्मा बनते हैं और 24.9 J गतिज ऊर्जा, इसलिए $v=\sqrt{2\cdot 24.9}\approx 7.06m/s$, वही चाल जो वेग-ग्राफ़ ने दी थी।

ऊष्मा पथ की लंबाई के साथ बढ़ती है, केवल इस पर निर्भर नहीं कि पथ कहाँ से शुरू और कहाँ खत्म होता है। इसीलिए घर्षण के लिए स्थितिज ऊर्जा परिभाषित नहीं की जा सकती।

घर्षण शंकु

संकेत-सूची

$\vec{R}$	ढलान का गुटके पर संपर्क बल: $\vec{N}+\vec{f}$।	$\mathrm{N}$
$\vec{N}$	अभिलंब बल: $\vec{R}$ का ढलान के लंबवत भाग।	$\mathrm{N}$
$\vec{f}$	घर्षण: $\vec{R}$ का ढलान के अनुदिश भाग, यहाँ ढलान के ऊपर की ओर।	$\mathrm{N}$
$m\vec{g}$	भार, जिसे विराम में $\vec{R}$ निरस्त करता है।	$\mathrm{N}$
$\theta$	ढलान का कोण, जो $\vec{R}$ और अभिलंब के बीच का कोण भी है।	$\mathrm{rad}$
${\phi }_s$	स्थैतिक घर्षण शंकु का अर्धकोण: $\tan {\phi }_s={\mu }_s$।	$\mathrm{rad}$
${\phi }_k$	गतिज घर्षण शंकु का अर्धकोण: $\tan {\phi }_k={\mu }_k$।	$\mathrm{rad}$

दो घर्षण नियमों का एक ज्यामितीय रूप है जो फिसलने को कोणों की तुलना में बदल देता है। $N$ और $f$ को अलग-अलग लेने के बजाय, चित्र 3 विराम में गुटके पर ढलान के कुल बल को एक सदिश के रूप में दिखाता है, यानी संपर्क बल $\vec{R}=\vec{N}+\vec{f}$। ढलान के लंबवत उसका भाग अभिलंब बल $\vec{N}$ है, और ढलान के अनुदिश का भाग घर्षण $\vec{f}$ है; बिंदीदार रेखाएँ योग पूरा करती हैं। वह कोण $\phi$, जिससे $\vec{R}$ अभिलंब से दूर झुकता है, $\tan \phi =f/N$ रखता है।

अतः स्थैतिक नियम $f\le {\mu }_{s}N$ को $\tan \phi \le {\mu }_s$ पढ़ा जाता है: $\vec{R}$ घर्षण शंकु के भीतर होना चाहिए, जिसका अर्धकोण ${\phi }_s$ है और $\tan {\phi }_s={\mu }_s$ है, अर्थात अभिलंब के चारों ओर का चौड़ा छायांकित क्षेत्र। अब विराम में गुटके को देखें। उस पर केवल दो बल कार्य करते हैं, $\vec{R}$ और भार $m\vec{g}$, इसलिए $\vec{R}$ सीधे ऊपर होना चाहिए। $\theta$ कोण वाली ढलान पर ऊर्ध्वाधर रेखा अभिलंब से कोण $\theta$ बनाती है, जो $\vec{N}$ और $\vec{R}$ के बीच चिह्नित कोण है। अतः गुटका तभी विराम में रह सकता है जब $\theta \le {\phi }_s$ हो।

वह सबसे तीखी ढलान जो गुटके को टिकाए रखती है, यानी विराम कोण ${\theta }_0$, ठीक घर्षण कोण है: $\tan {\theta }_0={\mu }_s$। ${\mu }_s=0.5$ के लिए यह 26.6° है। इससे ${\mu }_s$ मापने का एक सरल तरीका मिलता है: किसी तख़्ते को तब तक झुकाएँ जब तक उस पर रखा गुटका फिसलने न लगे। द्रव्यमान उसमें नहीं आता, इसलिए भारी गुटका भी उसी कोण पर फिसलता है।

एक बार गुटका फिसलने लगे, तो $f={\mu }_{k}N$ ठीक-ठीक लागू होता है, इसलिए $\vec{R}$ संकरे गतिज शंकु के किनारे पर होता है, जिसका अर्धकोण ${\phi }_k$ है और $\tan {\phi }_k={\mu }_k$ है, वह गहरा छायांकित क्षेत्र जो पहले के भीतर है। चित्र 3 में ढलान का कोण दोनों के बीच है: ${\phi }_k<\theta <{\phi }_s$। ऊर्ध्वाधर $\vec{R}$ स्थैतिक शंकु के भीतर गिरता है, इसलिए विराम में गुटका विराम में रहता है। वह गतिज शंकु के बाहर गिरता है, इसलिए फिसलते गुटके पर संपर्क बल ऊर्ध्वाधर नहीं हो सकता और भार को संतुलित नहीं कर सकता: वह गुटका तेज़ होता है। $\theta <{\phi }_k$ वाली ढलान पर उल्टा होता है: घर्षण ढलान के अनुदिश गुरुत्वीय खिंचाव से अधिक होता है, और फिसलता गुटका रुकने तक धीमा हो जाता है।

खींचने का सर्वोत्तम कोण

संकेत-सूची

$\vec{F}$	रस्सी का खिंचाव; चित्र में दिखाया गया सबसे छोटा खिंचाव जो अन्य दो बलों को संतुलित करता है।	$\mathrm{N}$
$m\vec{g}$	बक्से का भार।	$\mathrm{N}$
$\vec{R}$	फ़र्श का बक्से पर बल: अभिलंब बल और घर्षण का योग।	$\mathrm{N}$
$\phi$	$\vec{R}$ और ऊर्ध्वाधर के बीच घर्षण कोण: $\tan \phi ={\mu }_k$।	$\mathrm{rad}$
$\alpha$	रस्सी का क्षैतिज से ऊपर कोण।	$\mathrm{rad}$

घर्षण कोण एक व्यावहारिक प्रश्न का भी उत्तर देता है: भारी बक्से को सबसे कम बल से खींचने के लिए रस्सी किस कोण पर खींचनी चाहिए? चित्र 4 के बाएँ भाग में 30 kg का एक बक्सा समतल फ़र्श पर ${\mu }_k=0.4$ के साथ स्थिर चाल से फिसलता है, जिसे रस्सी क्षैतिज से कोण $\alpha$ पर ऊपर की ओर खींच रही है।

स्थिर फिसलन का अर्थ है शून्य शुद्ध बल। इस पर तीन बल कार्य करते हैं: खिंचाव $\vec{F}$, भार $m\vec{g}$, और फ़र्श का बल $\vec{R}=\vec{N}+\vec{f}$। उनका योग शून्य है, $\vec{F}+\vec{R}+m\vec{g}=0$, इसलिए उन्हें शीर्ष-से-पुच्छ क्रम में खींचने पर वे एक त्रिभुज बनाते हैं, जो चित्र 4 के दाएँ भाग में है।

त्रिभुज की दो भुजाएँ पहले से तय हैं। भार $m\vec{g}$ का परिमाण और दिशा दोनों स्थिर हैं। $\vec{R}$ की दिशा भी तय है: बक्सा फिसल रहा है, इसलिए $f={\mu }_{k}N$, और $\vec{R}$ ऊर्ध्वाधर से गति के विपरीत पीछे की ओर घर्षण कोण $\phi$ जितना झुका है, जहाँ $\tan \phi ={\mu }_k$ है। केवल $\vec{F}$ स्वतंत्र है: उसे $\vec{R}$ की रेखा से शुरू होना चाहिए और $m\vec{g}$ के पुच्छ पर खत्म होना चाहिए। चित्र में बिंदीदार रेखाएँ कुछ अन्य खिंचाव हैं जो भी संतुलन बनाते हैं, प्रत्येक अपने $\alpha$ पर। किसी बिंदु से सीधी रेखा तक की सबसे छोटी दूरी उस रेखा से समकोण पर मिलती है, इसलिए सबसे कम खिंचाव $\vec{R}$ के लंबवत है। चूँकि $\vec{R}$ ऊर्ध्वाधर से $\phi$ पर है, वह खिंचाव क्षैतिज से $\phi$ पर है: सर्वोत्तम रस्सी कोण $\alpha =\phi$ है, और तब $F=mg\sin \phi$।

बीजगणित भी यही कहता है। रस्सी भार का कुछ भाग उठाती है, इसलिए फ़र्श केवल $N=mg-F\sin \alpha$ के बल से ऊपर धकेलता है। स्थिर फिसलन के लिए खिंचाव का क्षैतिज घटक घर्षण के बराबर होना चाहिए, यानी $F\cos \alpha ={\mu }_k(mg-F\sin \alpha )$, जिससे
$F=\frac{{\mu }_{k}mg}{\cos \alpha +{\mu }_k\sin \alpha }$
मिलता है। खिंचाव सबसे कम तब होता है जब हर का मान सबसे बड़ा हो, जहाँ उसका अवकलज $-\sin \alpha +{\mu }_k\cos \alpha$ शून्य है, यानी $\tan \alpha ={\mu }_k$ पर, यहाँ $\alpha =21.8^{\circ }$। तब $F=109.3\mathrm{N}$ है, जबकि क्षैतिज खिंचाव के लिए 117.7 N चाहिए था; और त्रिभुज वही देता है, $mg\sin \phi =294.3\cdot \sin 21.8^{\circ }\approx 109.3\mathrm{N}$। घर्षण कोण ही सर्वोत्तम खींचने का कोण तय करता है।

घर्षण भार के अनुपात में क्यों होता है

घर्षण के नियम अनुभवजन्य नियम हैं, गुरुत्वाकर्षण जैसे मूल नियम नहीं। यह भाग बताता है कि वे कहाँ से आते हैं। लगभग 1500 ईस्वी में लियोनार्डो दा विंची ने देखा कि घर्षण संपर्क क्षेत्रफल पर निर्भर नहीं करता; गिलोम ऐमॉन्टन ने 1699 में उसका भार के समानुपाती होना बताया, और शार्ल-ऑगस्टें दे कूलॉम ने 1781 में जोड़ा कि गतिज घर्षण गति पर लगभग निर्भर नहीं करता।

मूल तथ्य यह है कि चिकनी सतहें भी केवल अपने सबसे ऊँचे उभारों की नोकों पर छूती हैं। ये नोकें तब तक दबती हैं जब तक मिलकर वे भार नहीं उठा लेतीं, और दबी हुई नोक पर दाब लगभग नरम पदार्थ की कठोरता $H$ जितना होता है। अतः वास्तविक संपर्क क्षेत्रफल लगभग $A_{\mathrm{real}}\approx N/H$ है। 2 kg के स्टील के गुटके का स्टील पर, जहाँ $N\approx 20\mathrm{N}$ और $H\approx 2\times 10^9\mathrm{Pa}$ है, केवल लगभग $10^{-8}{\mathrm{m}}^2$ पर संपर्क होता है, जो 10 cm × 10 cm सतह का लगभग दस लाखवाँ भाग है। इसीलिए दिखने वाला क्षेत्रफल मायने नहीं रखता: बड़ी सतह पर हर नोक पर कम दबाव पड़ता है, पर कुल वास्तविक क्षेत्रफल फिर भी $N$ से तय होता है।

नोकों पर दोनों सतहों के परमाणु जुड़ जाते हैं। फिसलने के लिए इन जोड़ों को काटना होता है, जिसके लिए $\tau A_{\mathrm{real}}$ बल चाहिए, जहाँ $\tau$ नरम पदार्थ की अपरूपण सामर्थ्य है। दोनों चरणों को मिलाने पर
$f\approx \tau A_{\mathrm{real}}\approx \frac{\tau }{H}N$
यानी $\mu \approx \tau /H$ वाला घर्षण नियम। धातुओं के लिए $\tau /H$ लगभग 1/6, यानी लगभग 0.2 है। मापे गए मान लगभग 0.1 से 1 तक होते हैं, क्योंकि कटने पर जोड़ बढ़ते हैं और कठोर उभार नरम सतह में खाँचे खोद देते हैं। किया गया कार्य अंततः जाली में परमाणुओं के कंपन, यानी ऊष्मा बन जाता है। उभारों के ऊपर से गुटके को उठाना कारण नहीं हो सकता, क्योंकि किसी उभार पर चढ़ने में खर्च ऊर्जा उसकी दूसरी ओर उतरते समय वापस मिल जाती।

स्टिक-स्लिप और लोटना

दो रोज़मर्रा के प्रभाव इनसे निकलते हैं: एक दोनों गुणांकों के अंतर से, और दूसरा पूरी तरह फिसलन से बचने से।

चूँकि ${\mu }_s>{\mu }_k$ है, किसी लचीली चीज़ से खींचा गया स्लाइडर झटकों में चलता है। वह तब तक चिपका रहता है जब तक स्प्रिंग का खिंचाव ${\mu }_{s}N$ तक नहीं बनता। फिर वह फिसलता है, घर्षण ${\mu }_{k}N$ तक गिरता है, और स्लाइडर आगे उछलता है, स्प्रिंग को ढीला करता है, जब तक वह फिर से न चिपक जाए। यह स्टिक-स्लिप गति दरवाज़ों को चरमराहट देती है, झुकाए गए वायलिन के तार को कंपन में रखती है, और पृथ्वी की पपड़ी की दरारों को सदियों तक जकड़े रखती है, फिर भूकंपों में खिसकने देती है।

लुढ़कता पहिया फिसलने से बचता है। उसका संपर्क-बिंदु ज़मीन पर क्षण भर के लिए विराम में रहता है, इसलिए वहाँ स्थैतिक घर्षण लगता है पर कार्य नहीं करता। केवल लोटन-प्रतिरोध बचता है, जिसके गुणांक रेल के पहिए के लिए लगभग 0.001 और कार के टायर के लिए लगभग 0.01 हैं।

हल किया हुआ प्रश्न: ऊपर लौटाया गया गुटका

एनिमेशन की ढलान के आधार पर गुटका 7.06 m/s से चल रहा है। वहाँ एक स्प्रिंग बम्पर उसे उसी चाल से ऊपर लौटा देता है; ${\mu }_k=0.2$ और ${\mu }_s=0.3$ लें। वह कितना ऊपर जाएगा, और किस चाल से लौटेगा?

ऊपर जाते समय गुरुत्व और घर्षण दोनों ढलान के नीचे की ओर हैं, इसलिए गुटका
$g(\sin \theta +{\mu }_k\cos \theta )=9.81(0.5+0.2\cdot 0.866)\approx 6.60m/{\mathrm{s}}^2$
के साथ धीमा होता है। स्थिर मंदन पर चाल $t=v/a=7.06/6.60\approx 1.07\mathrm{s}$ में शून्य हो जाती है; और $v^2=2ad$ से गुटका ढलान पर $d=7.06^2/(2\cdot 6.60)\approx 3.78\mathrm{m}$ ऊपर चढ़ता है।

वह वहाँ नहीं रह सकता: $\tan 30^{\circ }\approx 0.577$, जो ${\mu }_s$ से अधिक है, इसलिए स्थैतिक घर्षण उसे नहीं रोक सकता। वह एनिमेशन के 3.21 m/s² से वापस फिसलता है और $\sqrt{2\cdot 3.78/3.21}\approx 1.53\mathrm{s}$ में बम्पर पर पहुँचता है, $\sqrt{2\cdot 3.21\cdot 3.78}\approx 4.9m/s$ की चाल से।

उतरना चढ़ने से अधिक समय लेता है, क्योंकि उसका त्वरण छोटा है। दोनों चरण एक ही $d$ तय करते हैं, इसलिए $v^2=2ad$ के अनुसार लौटती चाल प्रारंभिक चाल का $\sqrt{3.21/6.60}\approx 0.70$ गुना है, और गतिज ऊर्जा 0.49 गुना। शेष ऊर्जा 7.55 m की यात्रा में ऊष्मा बनी: प्रति किलोग्राम, घर्षण $g{\mu }_k\cos \theta \approx 1.70\mathrm{N}$ का 7.55 m पर कार्य 12.8 J है, जो खोई गतिज ऊर्जा से मेल खाता है।

नीचे की ओर धनात्मक लेकर $v(t)$ दो सीधी रेखाएँ हैं जो $v=0$ पर मिलती हैं, जिनकी ढाल 6.60 और 3.21 m/s² है। वेग सतत है, पर त्वरण कूदता है, क्योंकि गति की दिशा बदलने पर घर्षण भी उलट जाता है। हर बार लौटने पर गुणक 0.70 दोहराया जाता है, और यात्रा के हर भाग का समय उसकी प्रारंभिक चाल के समानुपाती है, इसलिए हर चक्कर पिछले का 0.70 गुना समय लेता है। पहला चक्कर $1.07+1.53=2.60\mathrm{s}$ लेता है, इसलिए लगातार छोटे होते चक्करों की एक गुणोत्तर श्रेणी बनती है, जिसका कुल समय $2.60/(1-0.697)\approx 8.6\mathrm{s}$ है।

वैधता की सीमाएँ

न्यूटन की यांत्रिकी प्रकाश की गति के निकट या परमाणु पैमाने पर विफल होती है। घर्षण नियम की ऐसी कोई एक सीमा नहीं है: वह तब विफल होता है जब सतहें औसत शुष्क युग्म की तरह व्यवहार करना बंद कर दें। निर्वात में साफ़ धातुएँ, जिनके बीच कोई ऑक्साइड परत नहीं होती, एक टुकड़े की तरह जुड़ जाती हैं: $\mu$ 1 से ऊपर चला जाता है, और पुर्ज़े ठंडे ही आपस में जुड़ (वेल्ड हो) सकते हैं, जो अंतरिक्षयानों के लिए वास्तविक चिंता है। स्टील-पर-स्टील के लिए $\mu$ की सारणियाँ वास्तव में ऑक्साइड फ़िल्म और ग्रीस का वर्णन करती हैं।

रबर सड़क के खुरदरेपन में बह जाता है, इसलिए उसकी पकड़ क्षेत्रफल, गति और तापमान पर निर्भर करती है, और रेसिंग टायर $\mu =1$ से अधिक हो सकते हैं। बहुत समतल सतहें, जैसे पॉलिश किया हुआ काँच, बिना भार के भी आसंजन से चिपक जाती हैं। बर्फ़ पर स्केट का ${\mu }_k\approx 0.02$ इसलिए है क्योंकि एक पतली द्रव-जैसी परत उसे चिकना रखती है। फिसलने की उच्च चाल पर संपर्क-नोकें सैकड़ों डिग्री तक गर्म हो जाती हैं, और $\mu$ गिर जाता है।

बिंदु-मॉडल की अपनी एक सीमा भी है: असली गुटका फिसलने के बजाय पलट भी सकता है। ढलान पर वह निचले किनारे पर पलटता है जब $\tan \theta$ उसकी ढलान के अनुदिश लंबाई को उसकी ऊँचाई से भाग देने पर मिले मान से अधिक हो जाता है, और फिसलता है जब $\tan \theta$, ${\mu }_s$ से अधिक हो जाता है। अतः जो गुटका अपनी लंबाई से $1/{\mu }_s$ गुना से अधिक ऊँचा है, यानी ${\mu }_s=0.5$ के लिए दोगुना, वह फिसलने से पहले पलट जाएगा।

इससे आगे

कार्य, ऊर्जा और शक्ति में गतिज घर्षण मानक असंरक्षी बल है, जिसका कार्य $-{\mu }_{k}Ns$ ऊष्मा बन जाता है। वृत्तीय गति में स्थैतिक घर्षण समतल मोड़ पर कार को $v=\sqrt{{\mu }_{s}gr}$ तक थामे रखता है, और बैंकित मोड़ इस पाठ के घटकों का पुनः उपयोग करती हैं। घूर्णी गतिकी और बल-आघूर्ण लुढ़कने को समझाता है: एक ठोस गेंद 30° ढलान पर $\frac{5}{7}g\sin \theta \approx 3.50m/{\mathrm{s}}^2$ से लुढ़कती है, जो फिसलते गुटके से तेज़ है, क्योंकि उसे घर्षण से कोई ऊर्जा नहीं खोनी पड़ती। स्थैतिक संतुलन और उत्तोलक सीढ़ियों और पलटने की समस्याएँ सँभालते हैं। सरल मशीनें: उत्तोलक, घिरनी और गियर रैंप को पच्चर और पेच में बदलते हैं, और पेच अपना भार इसलिए थामता है क्योंकि उसका चूड़ी-कोण घर्षण कोण से छोटा है। कर्षण और सीमांत वेग में द्रव का घर्षण है, जो गति के साथ बढ़ता है।