प्रक्षेप्य गति

फेंकना, लात मारना और कूदना: एक वक्र पथ को दो सरल-रेखीय गतियों में बाँटा जाता है, क्षैतिज दिशा में स्थिर गति $v_{x} = v_{0} cos θ$ और मुक्त पतन $v_{y} = v_{0} sin θ - g t$ ।

50° पर प्रक्षेपित एक गेंद, जिसके पीछे बिंदुदार रेखा बनती है। उसके वेग-तीर का क्षैतिज घटक एक-सा रहता है, जबकि ऊर्ध्वाधर घटक घटता है, शीर्ष पर उलट जाता है और नीचे आते समय बढ़ता है।

इस विषय से पहले: मुक्त पतन

शुरुआती

मुख्य विचार

फेंके जाने के बाद गेंद की क्षैतिज चाल स्थिर रहती है, जबकि गुरुत्व उसे पूरे समय नीचे खींचता है।
क्षैतिज गति और ऊपर-नीचे की गति एक-दूसरे से स्वतंत्र होती हैं।
मेज़ से लुढ़काई गई गेंद और उसी ऊँचाई से गिराई गई गेंद एक ही क्षण में ज़मीन पर पहुँचती हैं।
समतल ज़मीन पर, वायु को अनदेखा करने पर, 45° का फेंक सबसे दूर जाता है; 30° और 60° एक ही स्थान पर गिरते हैं।
इतनी तेज़ फेंको कि गोल पृथ्वी उतनी ही तेज़ी से मुड़ जाए जितनी तेज़ी से गेंद गिरती है: तब वह कक्षा में होती है।

प्रक्षेप्य वह वस्तु है जिसे फेंका, लात मारी या दागा गया हो और जो उसके बाद केवल गुरुत्व के अधीन चलती है: बास्केटबॉल, लंबी कूद लगाने वाला खिलाड़ी, बगीचे की नली से निकला पानी। उसका पथ परवलय कहलाने वाला एक वक्र है।

चाल यह है कि गति को दो भागों में बाँटा जाए। क्षैतिज दिशा में, हाथ छोड़ने के बाद (यदि वायु को अनदेखा करें) गेंद को कुछ नहीं धकेलता या खींचता, इसलिए उसकी क्षैतिज चाल वही रहती है। ऊपर-नीचे, गुरुत्व ठीक वैसे ही काम करता है जैसे गिराई गई गेंद पर: हर सेकंड यह नीचे की चाल में 9.81 m/s जोड़ता है।

किसी चट्टान की चोटी से 10 m/s की चाल से पत्थर क्षैतिज फेंकिए। 1 s बाद वह 10 m दूर होता है और लगभग 4.9 m नीचे गिरा होता है; 2 s बाद वह 20 m दूर होता है और लगभग 19.6 m नीचे।

त्वरित जाँच: 2 s बाद वह आगे की ओर कितनी तेज़ी से चल रहा है, और नीचे की ओर कितनी तेज़ी से? (आगे अब भी 10 m/s; नीचे लगभग 20 m/s।)

क्योंकि दोनों गतियाँ एक-दूसरे को प्रभावित नहीं करतीं, मेज़ से उछाला गया सिक्का और उसी किनारे से गिराया गया सिक्का फ़र्श पर एक साथ पहुँचते हैं।

प्रक्षेप कोण मायने रखता है। बहुत सपाट फेंकी गई गेंद जल्दी गिर जाती है; बहुत खड़ी फेंकी गई गेंद ऊँचा तो जाती है, पर दूर नहीं। समतल ज़मीन पर और बिना वायु के, 45° सबसे लंबा फेंक देता है, और 30° तथा 60° एक ही स्थान पर गिरते हैं।

न्यूटन ने पहाड़ पर रखी एक तोप की कल्पना की जो उत्तरोत्तर तेज़ गोले दागती है: हर गोला पहले से दूर गिरता है, जब तक कि कोई गोला ठीक उतनी ही तेज़ी से गिरता है जितनी तेज़ी से गोल पृथ्वी उसके नीचे मुड़ती है, और वह कभी ज़मीन पर नहीं पहुँचता। यही कक्षा है।

ऐनिमेशन में स्लेटी बिंदुओं को देखिए, हर आधे सेकंड पर एक: क्षैतिज रूप से वे सदा समान दूरी पर होते हैं; ऊर्ध्वाधर रूप से ऊपर जाते समय अंतराल घटते हैं और नीचे आते समय बढ़ते हैं।

मध्यम

मुख्य विचार

$v_{0}$ को बाँटें: $v_{x} = v_{0} cos θ$ स्थिर रहता है, $v_{y} = v_{0} sin θ - g t$ हर सेकंड 9.81 m/s बदलता है।
शीर्ष पर $v_{y} = 0$ है पर $v_{x}$ नहीं, इसलिए वहाँ चाल $v_{0} cos θ$ है; त्वरण फिर भी नीचे की ओर $g$ है।
उड़ान काल $T = 2 v_{0} sin θ / g$ ; अधिकतम ऊँचाई $H = (v_{0} sin θ)^{2} / (2 g)$ ।
समतल ज़मीन पर परास $R = v_{0}^{2} sin 2 θ / g$ है, जो $θ = 4 5^{\circ}$ पर अधिकतम ( $R_{m a x} = v_{0}^{2} / g$ ) होता है।

अक्ष, घटक और चिह्न

प्रक्षेपण बिंदु को मूल बिंदु पर रखिए, $x$ अक्ष क्षैतिज और फेंकने की दिशा में, और $y$ अक्ष सीधे ऊपर। चाल $v_{0}$ से और क्षैतिज से $θ$ ऊपर प्रक्षेपित गेंद का वेग एक समकोण त्रिभुज का कर्ण है, जिसकी भुजाएँ घटक हैं
$v_{x} = v_{0} cos θ$
$v_{y 0} = v_{0} sin θ$

दोनों चिह्न-सहित हैं, मीटर प्रति सेकंड में: $v_{y} > 0$ का अर्थ है ऊपर उठना, $v_{y} < 0$ का अर्थ है गिरना। इसके विपरीत, चाल $v = v_{x}^{2} + v_{y}^{2}$ है। ऊपर को धनात्मक मानें तो ऊर्ध्वाधर त्वरण $- g$ है, जहाँ $g = 9.81 m/ s^{2}$ मुक्त-पतन त्वरण का परिमाण है। देखिए कि कोण कैसे दिया गया है: यदि वह ऊर्ध्वाधर से मापा गया हो, तो ज्या और कोज्या की जगह बदल जाती हैं।

दो स्वतंत्र सरल-रेखीय गतियाँ

हाथ छोड़ने के बाद, वायु को अनदेखा करें तो गेंद पर लगने वाला एकमात्र बल उसका भार है, जो सीधे नीचे है। क्षैतिज दिशा में उसे कुछ नहीं धकेलता, इसलिए उसका क्षैतिज वेग कभी नहीं बदलता: क्षैतिज गति एकसमान है। ऊर्ध्वाधर दिशा में गेंद ठीक वैसे चलती है जैसे $v_{0} sin θ$ से सीधे ऊपर फेंकी गई गेंद, वही स्थिति जो मुक्त पतन में देखी गई थी। दोनों गतियाँ केवल समय साझा करती हैं।

अतः समय $t$ के बाद,
$x = v_{0} cos θ t$
$v_{y} = v_{0} sin θ - g t$
$y = v_{0} sin θ t - \frac{1}{2} g t^{2}$

इस स्वतंत्रता की एक सरल परख: मेज़ के किनारे से एक सिक्का क्षैतिज उछालिए और उसी किनारे से दूसरा सिक्का गिराइए। दोनों की प्रारंभिक $v_{y} = 0$ है और दोनों एक ही ऊँचाई से गिरते हैं, इसलिए वे एक साथ फ़र्श पर पहुँचते हैं; उछाला गया सिक्का बस अधिक दूर जाकर गिरता है।

उड़ान काल, ऊँचाई और परास

समतल ज़मीन पर हवा में बिताया समय, ऊँचाई और परास, सभी ऊर्ध्वाधर गति और एक गुणा से निकलते हैं। गेंद $v_{y} = 0$ होने तक, यानी $t = v_{0} sin θ / g$ पर, ऊपर उठती है, और उतरना चढ़ने का दर्पण-प्रतिबिंब है, इसलिए वह उसके दोगुने समय में ज़मीन छूती है। $y (t)$ में चढ़ाई का समय रखने पर अधिकतम ऊँचाई मिलती है, और क्षैतिज चाल को उड़ान काल से गुणा करने पर परास:

$T = \frac{2 v _{0} s i n θ}{g}$
$H = \frac{( v _{0} s i n θ ) ^{2}}{2 g}$
$R = \frac{v _{0}^{2} s i n 2 θ}{g}$

उड़ान काल और ऊँचाई केवल ऊर्ध्वाधर घटक $v_{0} sin θ$ पर निर्भर करते हैं। परास को दोनों घटक चाहिए: $R = v_{0} cos θ \cdot 2 v_{0} sin θ / g$ , और सर्वसमिका $2 sin θ cos θ = sin 2 θ$ इसे सरल कर देती है।

कौन-सा कोण सबसे दूर फेंकता है? खड़ा प्रक्षेप देर तक ऊपर रहता है, पर क्षैतिज में धीमा चलता है; सपाट प्रक्षेप क्षैतिज में तेज़ है, पर लगभग तुरंत गिर जाता है। परास इन दोनों का गुणनफल है, और वह बीच में कहीं सबसे बड़ा होता है: $sin 2 θ$ अधिकतम मान 1 तब लेता है जब $2 θ = 9 0^{\circ}$ , इसलिए समतल ज़मीन पर $θ = 4 5^{\circ}$ सबसे अच्छा है, जिसका $R_{m a x} = v_{0}^{2} / g$ है। 45° से बराबर दूरी पर ऊपर और नीचे के कोण समान परास देते हैं, क्योंकि $sin 2 θ = sin (18 0^{\circ} - 2 θ)$ : 30° और 60° एक ही स्थान पर गिरते हैं, और 40° तथा 50° भी।

उदाहरण: ऐनिमेशन वाला फेंक

गेंद $v_{0} = 20 m/s$ और $θ = 5 0^{\circ}$ पर ज़मीन से निकलती है। इसके घटक हैं
$v_{x} = 20 cos 5 0^{\circ} \approx 12.9 m/s$
$v_{y 0} = 20 sin 5 0^{\circ} \approx 15.3 m/s$

प्रक्षेपण के समय $v_{x}$ और $v_{y}$ रीडआउट पर यही मान होते हैं। गेंद $t = 15.3/9.81 \approx 1.56 s$ पर शीर्ष पर पहुँचती है और उसके दोगुने समय के बाद गिरती है: $T \approx 3.12 s$ । तब
$H = \frac{15.3 2 ^{2}}{2 \cdot 9.81} \approx 12.0 m$
$R = \frac{2 0 ^{2} s i n 10 0 ^{\circ}}{9.81} \approx 40.2 m$
और जाँच के लिए, $v_{x} T = 12.9 \cdot 3.12 \approx 40.2 m$ ।

उड़ान के दौरान सुनहरा $v_{x}$ रीडआउट 12.9 m/s पर रहता है। हरा $v_{y}$ रीडआउट हर सेकंड 9.81 m/s घटता है, 1.56 s पर शून्य पार करता है, जब गेंद उस बिंदुदार रेखा के शीर्ष पर होती है जिस पर $H$ लिखा है, और गेंद के ज़मीन छूते समय $- 15.3 m/s$ तक पहुँच जाता है। गेंद 40.2 m दूर 20 m/s की चाल से, क्षैतिज से 50° नीचे गिरती है: उतरना चढ़ाई का उलटा चलचित्र है।

40° पर वही चाल उसी 40.2 m तक पहुँचाती है, पर गेंद केवल 8.4 m ऊपर उठती है और 2.62 s बाद गिरती है। 45° पर वह 40.8 m पर गिरती है, 50° से केवल 1.5 % दूर: सर्वोत्तम कोण के आसपास परास क्षमाशील है।

उदाहरण: गोला फेंकना

एक खिलाड़ी ज़मीन से 2.0 m ऊपर से 13 m/s पर और क्षैतिज से 40° ऊपर गोला छोड़ता है। गोला क्षैतिज रूप से कितनी दूर गिरेगा? समतल-ज़मीन वाले सूत्र यहाँ लागू नहीं होते, क्योंकि गोला अपनी प्रारंभिक ऊँचाई से 2.0 m नीचे गिरता है।

घटक हैं $v_{x} = 13 cos 4 0^{\circ} \approx 9.96 m/s$ और $v_{y 0} = 13 sin 4 0^{\circ} \approx 8.36 m/s$ । गोला तब गिरता है जब $y = - 2.0 m$ हो, यानी जब $4.905 t^{2} - 8.36 t - 2.0 = 0$ , जहाँ $4.905$ $\frac{1}{2} g$ है। धनात्मक मूल है
$t = \frac{8.36 + 8.3 6 ^{2} + 4 \cdot 4.905 \cdot 2.0}{2 \cdot 4.905} \approx 1.92 s$
अतः गोला $x = 9.96 \cdot 1.92 \approx 19.1 m$ दूर गिरता है।

समतल-ज़मीन वाला सूत्र $1 3^{2} sin 8 0^{\circ} /9.81 \approx 17.0 m$ देता: प्रक्षेपण की ऊँचाई 2.1 m दूरी जोड़ती है। गोला हाथ से $8.3 6^{2} / (2 \cdot 9.81) \approx 3.6 m$ ऊपर उठता है और 14.4 m/s पर गिरता है, जो छोड़ते समय से तेज़ है, क्योंकि वह नीचे गिरता है। जब गिरने का बिंदु प्रक्षेपण से नीचे हो, तो सर्वोत्तम कोण 45° से थोड़ा कम होता है, यहाँ लगभग 42°; खिलाड़ी फिर भी और सपाट छोड़ते हैं, क्योंकि सपाट कोणों पर उनकी बाँहें गोले को तेज़ धकेलती हैं।

स्ट्रोब बिंदु और तीर पढ़ना

स्लेटी बिंदु गेंद को हर 0.5 s पर दर्शाते हैं। क्षैतिज रूप से वे सदा $12.9 \cdot 0.5 \approx 6.4 m$ दूर होते हैं: समान समय में समान दूरी, एकसमान गति का लक्षण। ऊर्ध्वाधर रूप से, प्रक्षेपण बिंदु से गिनें तो गेंद एक आधे-सेकंड चिह्न से अगले तक 6.4 m, 4.0 m और 1.5 m ऊपर चढ़ती है, फिर 0.9 m, 3.4 m और 5.8 m नीचे गिरती है। हर कदम पिछले से 2.45 m कम ऊपर या अधिक नीचे है, क्योंकि $g (0.5 s)^{2} = 2.45 m$ : यह उस गिरती वस्तु का पैटर्न है जिसे ऊपर की ओर धक्का देकर शुरू किया गया हो।

तीर भी यही कहानी बताते हैं। नीला $v$ तीर हमेशा बिंदुदार पथ को स्पर्श करता है। सुनहरा $v_{x}$ तीर प्रक्षेपण से भूमि-स्पर्श तक अपनी लंबाई रखता है, जबकि हरा $v_{y}$ तीर सिकुड़ता है, शीर्ष पर लुप्त होता है और फिर नीचे की ओर इंगित करते हुए बढ़ता है। इसलिए नीला तीर शीर्ष पर सबसे छोटा होता है, जहाँ चाल $v_{x}$ , यानी 12.9 m/s, के बराबर है; और भूमि पर उसकी लंबाई प्रक्षेपण के समय जितनी ही होती है।

सामान्य गलतियाँ

शीर्ष पर वेग शून्य नहीं है। केवल $v_{y}$ शून्य है; गेंद अब भी 12.9 m/s से क्षैतिज चलती है, जो पूरी उड़ान की न्यूनतम चाल है।
शीर्ष पर त्वरण भी शून्य नहीं है। वह अब भी 9.81 m/s² नीचे की ओर है, इसलिए शीर्ष के 0.1 s बाद $v_{y}$ पहले ही $- 0.98 m/s$ है।
तेज़ क्षैतिज फेंक से गेंद अधिक देर हवा में नहीं रहती। 1.0 m ऊँची मेज़ से 2 m/s या 4 m/s पर लुढ़काई गई गेंद दोनों ही हालतों में 0.45 s बाद गिरती है, क्रमशः 0.9 m या 1.8 m दूर।
परास में $sin 2 θ$ चाहिए, न कि $sin θ$ । यदि $sin 10 0^{\circ}$ के स्थान पर $sin 5 0^{\circ}$ लें, तो ऐनिमेशन का फेंक 40.2 m के बजाय 31.2 m पर गिरता हुआ लगेगा।
परास सूत्र मानता है कि गेंद प्रक्षेपण ऊँचाई पर गिरेगी। गोला फेंकने के लिए यह 19.1 m के बजाय 17.0 m देता है।

यह कहाँ दिखता है

गेंद के खेल, लंबी कूद, नली या फव्वारे की धार (हर बूँद अपना परवलय बनाती है), स्प्रिंगबोर्ड से गोता और आतिशबाज़ी, सभी इन समीकरणों का पालन करते हैं, जब तक हवा का असर कम हो। भारी गोले के लिए यह बहुत अच्छा है, फ़ुटबॉल के लिए कम अच्छा, और शटलकॉक के लिए बिल्कुल नहीं, जिसके लिए कर्षण और सीमांत वेग देखना होगा।

गैलीलियो ने 1638 में दिखाया कि प्रक्षेप्य का पथ परवलय है, क्योंकि उन्होंने एकसमान क्षैतिज गति को एकसमान त्वरित पतन के साथ जोड़ा। न्यूटन के गति के नियम बताते हैं कि दोनों गतियाँ स्वतंत्र क्यों हैं। इसी तर्क को आगे बढ़ाने पर कक्षाएँ मिलती हैं: लगभग 7.9 km/s पर क्षैतिज प्रक्षेपित पिंड पृथ्वी के चारों ओर उतनी ही तेज़ी से गिरता है जितनी तेज़ी से ज़मीन मुड़ती है। यह गुरुत्वाकर्षण और कक्षाएँ का विषय है।

उन्नत

मुख्य विचार

घटकवार: $m \overset{x}{¨} = 0$ और $m \overset{y}{¨} = - m g$ : एकसमान गति और मुक्त पतन, जो एक-दूसरे को प्रभावित नहीं करते।
$t$ हटाने पर: $y = x tan θ - g x^{2} / (2 v_{0}^{2} cos^{2} θ)$ ; $tan θ$ में द्विघात के रूप में यह एक ही लक्ष्य पर निम्न और उच्च, दो प्रक्षेप देता है।
वायु कर्षण $∣ v ∣$ के माध्यम से $x$ और $y$ को जोड़ता है: संख्यात्मक रूप से चरण-दर-चरण हल करें, $v \to v + a ε$ , $r \to r + v ε$ ; चाप असममित हो जाता है।
परवलय समतल ज़मीन और एकसमान $g$ मानता है; लंबी दूरी पर पथ पृथ्वी के केंद्र पर नाभि वाले दीर्घवृत्त का चाप होता है।

न्यूटन का नियम, एक-एक घटक करके

इस पाठ की हर बात एक चाल पर टिकी है: समतल में गति को दो सरल-रेखीय गतियों में बाँटना। प्रक्षेपण बिंदु को मूल बिंदु पर रखें, $x$ क्षैतिज और $y$ ऊपर की ओर। गेंद $v_{0}$ चाल से और क्षैतिज से $θ$ कोण पर निकलती है, इसलिए उसके प्रारंभिक वेग $v_{0}$ के घटक $v_{0} cos θ$ और $v_{0} sin θ$ हैं। $g = 9.81 m/ s^{2}$ को मुक्त-पतन त्वरण का परिमाण लिखें, ताकि $g = (0, - g)$ सीधे नीचे इंगित करे।

उड़ान में, और वायु-प्रतिरोध को अनदेखा करते हुए, गेंद पर लगने वाला एकमात्र बल उसका भार $m g$ है। न्यूटन का दूसरा नियम कहता है $m a = m g$ । दो सदिश तभी बराबर होते हैं जब उनके घटक बराबर हों, इसलिए यह एक समीकरण दो में बँट जाता है, जहाँ बिंदु समय के सापेक्ष अवकलज दर्शाता है:
$m \overset{x}{¨} = 0, m \overset{y}{¨} = - m g$

इससे दो बातें तुरंत निकलती हैं। समीकरण आपस में नहीं मिलते: $y$ पहले में नहीं आता और $x$ दूसरे में नहीं आता, इसलिए हर एक अपने आप में सरल-रेखा की समस्या है। और द्रव्यमान रद्द हो जाता है, इसलिए समान वेग से फेंके गए कंचे और तोप के गोले का पथ एक ही होता है। क्षैतिज रूप से गेंद स्थिर वेग से चलती है; ऊर्ध्वाधर रूप से वह मुक्त पतन में है।

हर समीकरण को एक बार समाकलित करके वेग और फिर दोबारा करके स्थिति मिलती है। हर समाकलन एक स्थिरांक लाता है, जो $t = 0$ की अवस्था से तय होता है: गेंद मूल बिंदु से ऊपर बताए वेग घटकों के साथ शुरू होती है। परिणाम है
$\overset{x}{˙} = v_{0} cos θ, x = v_{0} cos θ t$
$\overset{y}{˙} = v_{0} sin θ - g t, y = v_{0} sin θ t - \frac{1}{2} g t^{2}$

चार स्थिरांक चाहिए थे: दो प्रारंभिक निर्देशांक और दो प्रारंभिक वेग घटक। समतल में गति को हमेशा चार प्रारंभिक संख्याएँ चाहिए, जो रेखा पर गति से दोगुनी हैं।

नीचे की संख्याएँ ऐनिमेशन वाले फेंक के लिए हैं: $v_{0} = 20 m/s$ , $θ = 5 0^{\circ}$ । इसका क्षैतिज घटक $v_{x} = 20 cos 5 0^{\circ} \approx 12.9 m/s$ और प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर घटक $20 sin 5 0^{\circ} \approx 15.3 m/s$ है।

स्थिति का सदिश योग

दोनों घटक-परिणामों को एक सदिश समीकरण में फिर से जोड़ा जा सकता है। यह करना उपयोगी है, क्योंकि सदिश रूप एक नज़र में दिखा देता है कि गुरुत्व गेंद को लक्ष्य-रेखा से कैसे दूर खींचता है।

चित्र 1 समीकरण
$r (t) = v_{0} t + \frac{1}{2} g t^{2}$
को दर्शाता है। इसे सिरे से सिरा जोड़े गए दो तीरों की तरह पढ़ें। तीर $v_{0} t$ प्रक्षेपण बिंदु से शुरू होकर लक्ष्य-रेखा के अनुदिश चलता है, जो क्षैतिज से $θ$ ऊपर है। उसका सिरा वह स्थान है जहाँ समय $t$ पर गेंद होती यदि गुरुत्व न होता। उस सिरे से तीर $\frac{1}{2} g t^{2}$ सीधे नीचे इंगित करता है: यह बताता है कि गेंद लक्ष्य-रेखा से कितनी नीचे गिर गई। स्थिति सदिश $r$ , जो प्रक्षेपण बिंदु से गेंद तक जाता है, इन दोनों का योग है, और लाल वक्र अब तक का पथ है।

पहला तीर $t$ के अनुपात में बढ़ता है, दूसरा $t^{2}$ के अनुपात में। उड़ान के आरंभ में गिरावट लक्ष्य-रेखा की दूरी की तुलना में बहुत छोटी होती है; बाद में वह हावी हो जाती है, इसलिए गेंद उस रेखा के नीचे अधिकाधिक तेज़ी से गिरती है।

यह एक प्रसिद्ध पहेली सुलझाता है। एक बंदर शाखा से लटका है, लक्ष्य-रेखा पर बिंदु $M$ पर, और गेंद दागने के ठीक उसी क्षण बंदर हाथ छोड़ देता है। क्या गेंद गिरते बंदर के ऊपर से निकलेगी? नहीं। चित्र 1 उस क्षण को दिखाता है जब $v_{0} t$ ने $M$ तक पहुँचा है। तब गेंद लक्ष्य-रेखा के नीचे $\frac{1}{2} g t^{2}$ दूरी पर, ठीक $M$ के नीचे होती है। बंदर, जो उसी समय $t$ तक स्थिर से गिरा है, उतनी ही दूरी नीचे गिर चुका है। अतः प्रक्षेप-चाल चाहे जो हो, गेंद बंदर से टकराती है, बशर्ते दोनों ज़मीन पर पहुँचने से पहले वहाँ पहुँच जाए: गुरुत्व दोनों को समान मात्रा में नीचे लाता है, इसलिए सीधे बंदर पर निशाना लगाना बिल्कुल सही है।

वेग की संरचना भी यही है: $v (t) = v_{0} + g t$ । इसका क्षैतिज भाग कभी नहीं बदलता, और ऊर्ध्वाधर भाग हर सेकंड 9.81 m/s घटता है। क्रमिक क्षणों के वेग-तीरों को एक ही उभयनिष्ठ बिंदु से खींचिए: उनके सिरे एक ऊर्ध्वाधर रेखा पर सीधे नीचे चलते हैं, हर आधे सेकंड में 4.9 m/s।

समय हटाना: परवलय

अब तक के समीकरण बताते हैं कि हर क्षण गेंद कहाँ है। पथ का आकार देखने के लिए समय हटाना होगा।

चूँकि $x$ स्थिर दर $v_{0} cos θ$ से बढ़ता है, गेंद किसी दिए गए $x$ तक $t = x / (v_{0} cos θ)$ पर पहुँचती है। इसे $y (t)$ में रखने पर क्षैतिज दूरी का फलन मिलता है:
$y = x tan θ - \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2} c o s ^{2} θ}$

पद-दर-पद पढ़िए। पहला पद $x tan θ$ लक्ष्य-रेखा है। दूसरा चित्र 1 की गिरावट $\frac{1}{2} g t^{2}$ है, अब $x$ में लिखी गई। चूँकि गिरावट $x^{2}$ के अनुपात में बढ़ती है, पथ नीचे खुलने वाला परवलय है।

दो चिह्न-बिंदु निकलते हैं। गेंद $y = 0$ पर, यानी प्रक्षेपण ऊँचाई पर लौटती है: $x = 0$ पर, और परास
$R = \frac{v _{0}^{2} s i n 2 θ}{g}$
पर, जहाँ सर्वसमिका $2 sin θ cos θ = sin 2 θ$ का प्रयोग हुआ है। चाप का शीर्ष वह बिंदु है जहाँ पथ समतल है। ढलान $d y / d x = tan θ - gx / (v_{0}^{2} cos^{2} θ)$ है, जो $x = v_{0}^{2} sin θ cos θ / g = R /2$ पर शून्य होता है। अतः शीर्ष ठीक बीच में है, जैसा परवलय की समरूपता माँगती है, और ऊँचाई $H = v_{0}^{2} sin^{2} θ / (2 g)$ है।

ऐनिमेशन वाले फेंक के लिए पथ $y = 1.192 x - 0.02968 x^{2}$ है, जहाँ $x$ और $y$ मीटर में हैं। यह 40.2 m पर ज़मीन पर लौटता है और $x = 20.1 m$ पर 12.0 m तक उठता है।

लक्ष्य पर निशाना: दो कोण और पहुँच की सीमा

अब तक प्रक्षेप दिया गया था और पूछा गया कि गेंद कहाँ जाती है। फेंकने वाले के सामने उलटा प्रश्न है: स्थिर चाल पर गेंद किस कोण से छोड़ी जाए कि वह दिए गए लक्ष्य को लगे? वही प्रक्षेप-समीकरण इसका उत्तर देता है।

चित्र 2 में गेंद प्रक्षेपण बिंदु से चाल $v_{0}$ से निकलती है और लक्ष्य $T$ को लगनी चाहिए, जो क्षैतिज दूरी $x$ पर और प्रक्षेपण बिंदु से ऊँचाई $y$ पर है। दो पथ यह करते हैं: कोण $θ_{1}$ वाला सपाट फेंक और कोण $θ_{2}$ वाला ऊँचा फेंक; वे $T$ पर मिलते हैं।

इन कोणों को निकालने के लिए $θ$ को अज्ञात मानिए। प्रक्षेप-समीकरण में $tan θ$ और $1/ cos^{2} θ$ दोनों हैं। सर्वसमिका $1/ cos^{2} θ = 1 + tan^{2} θ$ इसे केवल $u = tan θ$ वाले समीकरण में बदल देती है:
$y = x u - \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2}} (1 + u^{2})$
राशि $D = g x^{2} / (2 v_{0}^{2})$ एक लंबाई है: चाल $v_{0}$ से क्षैतिज फेंकी गई गेंद की दूरी $x$ में गिरावट। इससे $u$ की घातें एकत्र करने पर एक द्विघात मिलता है, जो निशाना-समीकरण है:
$D u^{2} - x u + (y + D) = 0$

द्विघात के दो, एक या कोई वास्तविक मूल नहीं हो सकते, और हर स्थिति का अर्थ है। दो मूल: सपाट और ऊँचा दोनों फेंक लक्ष्य को लगते हैं, चित्र 2 के दो पथ। द्विमूल: लक्ष्य ठीक पहुँच की सीमा पर है, और केवल एक कोण वहाँ पहुँचता है। कोई वास्तविक मूल नहीं: इस चाल पर लक्ष्य परास से बाहर है।

दोनों मूलों का गुणनफल एक सुंदर परिणाम देता है। किसी भी द्विघात में यह अचर पद को $u^{2}$ के गुणांक से भाग देने पर मिलता है, यहाँ $1 + y / D$ । समतल ज़मीन पर $y = 0$ है, गुणनफल 1 है, अतः $tan θ_{1} tan θ_{2} = 1$ और $θ_{2} = 9 0^{\circ} - θ_{1}$ : दोनों कोण पूरक हैं, और 30° तथा 60° के फेंक एक ही स्थान पर गिरते हैं। प्रक्षेपण बिंदु से ऊपर के लक्ष्य के लिए, जैसा चित्र 2 में है, गुणनफल 1 से बड़ा है। तब $tan (θ_{1} + θ_{2}) = (tan θ_{1} + tan θ_{2}) / (1 - tan θ_{1} tan θ_{2})$ ऋणात्मक होता है, इसलिए दोनों कोणों का योग $9 0^{\circ}$ से अधिक होता है।

द्विमूल ठीक पहुँच की सीमा को दिखाता है। यह तब होता है जब विविक्तकर शून्य हो, $x^{2} = 4 D (y + D)$ । $y$ के लिए हल करने और $D = g x^{2} / (2 v_{0}^{2})$ वापस रखने पर पहुँच की सीमा मिलती है:
$y = \frac{v _{0}^{2}}{2 g} - \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2}}$

इस वक्र को प्रायः सुरक्षा-परवलय कहते हैं, जो चित्र 2 में बिंदुदार वक्र है। चाल $v_{0}$ से प्रक्षेपित हर पथ इसे एक बिंदु पर छूता है और इसके भीतर रहता है, इसलिए यह गेंद के पहुँचने योग्य सभी बिंदुओं को घेरता है। यह प्रक्षेपण बिंदु से $v_{0}^{2} / (2 g)$ ऊपर है, यानी सीधे ऊपर फेंकी गई गेंद की ऊँचाई, और ज़मीन पर $v_{0}^{2} / g$ पर मिलता है। समतल ज़मीन पर यही अधिकतम परास है, जो 45° पर प्राप्त होता है, जहाँ $sin 2 θ = 1$ । 20 m/s पर ये लंबाइयाँ 20.4 m और 40.8 m हैं। 45° से ऊपर प्रक्षेपित पथ उड़ान के दौरान इस वक्र को छूते हैं, जैसे चित्र 2 का ऊँचा पथ अपने शीर्ष के ठीक बाद; सपाट पथ इसे तभी छूते हैं जब उन्हें ज़मीन के नीचे तक बढ़ाया जाए।

वेग-आलेख, और चाल बनाम ऊँचाई

उड़ान का वर्णन करने के दो और उपकरण हैं, जिनमें कुछ नया हल नहीं करना पड़ता: ऊर्ध्वाधर वेग का आलेख, और चाल व ऊँचाई के बीच एक संबंध जिसमें समय नहीं आता।

ऐनिमेशन का विशेषज्ञ स्तर $v_{y} (t)$ का आलेख दिखाता है। चूँकि $\overset{v}{˙}_{y} = - g$ स्थिर है, आलेख ढलान $- g = - 9.81 m/ s^{2}$ की सीधी रेखा है, यहाँ 15.3 m/s से $- 15.3 m/s$ तक। यह $t = 15.3/9.81 \approx 1.56 s$ पर शून्य को काटती है, यानी शीर्ष के क्षण पर। वेग-आलेख के नीचे का क्षेत्रफल विस्थापन है, इसलिए अक्ष के ऊपर का त्रिभुज $\frac{1}{2} \cdot 1.562 \cdot 15.32 \approx 12.0 m$ ऊँचाई $H$ है। अक्ष के नीचे का समान त्रिभुज वापसी का मार्ग है, और गेंद 3.12 s पर फिर $y = 0$ पर होती है।

चाल और ऊँचाई समय के बिना भी जुड़े हैं। $\overset{v}{˙}_{y} = - g$ से शुरू करें और दोनों पक्षों को $v_{y} = \overset{y}{˙}$ से गुणा करें। बायाँ पक्ष $\frac{1}{2} d (v_{y}^{2}) / d t$ बन जाता है और दायाँ $- g d y / d t$ । अब दोनों पक्ष समय के अवकलज हैं, इसलिए प्रक्षेपण से समाकलन करने पर $v_{y}^{2} = v_{0}^{2} sin^{2} θ - 2 g y$ मिलता है। क्षैतिज घटक कभी नहीं बदलता, इसलिए दोनों पक्षों में $v_{x}^{2} = v_{0}^{2} cos^{2} θ$ जोड़ने पर
$v^{2} = v_{0}^{2} - 2 g y$
मिलता है।

चाल केवल ऊँचाई पर निर्भर करती है, समय या गति की दिशा पर नहीं। गेंद हर स्तर को ऊपर जाते और नीचे आते समय समान चाल से पार करती है, और वह अपनी प्रक्षेपण-चाल 20 m/s पर ज़मीन पर लौटती है। शीर्ष पर $v^{2} = 400 - 2 \cdot 9.81 \cdot 12.0 \approx 165 m^{2} / s^{2}$ है, जो ठीक $v_{x}^{2}$ है, जैसा गेंद के क्षैतिज चलते समय होना चाहिए। $m /2$ से गुणा करने पर संबंध यह बनता है: $\frac{1}{2} m v^{2} + m g y = \frac{1}{2} m v_{0}^{2}$ : गतिज और स्थितिज ऊर्जा का योग स्थिर रहता है।

वक्रता

परवलय वृत्त नहीं है, पर पथ के हर बिंदु पर एक वृत्त उससे सबसे अच्छा मेल खाता है, और उस वृत्त की त्रिज्या बताती है कि वहाँ पथ कितना तीखा मुड़ता है। इसे खोजने से गुरुत्व के दो अलग काम दिखते हैं: वह गेंद को मोड़ता है और उसकी चाल भी बदलता है।

चित्र 3 में गेंद बिंदु $P$ पर है, पथ के अनुदिश वेग $v$ से चलती हुई, जो क्षैतिज से $α$ कोण पर है। $g$ को पथ के अनुदिश और $v$ के लंबवत भागों में बाँटिए; $P$ पर छोटा वर्ग यह समकोण दर्शाता है। अनुदिश और लंबवत दिशाएँ वास्तव में क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दिशाएँ हैं, जो $α$ से घूम गई हैं। चूँकि $g$ ऊर्ध्वाधर नीचे है, वह लंबवत दिशा से भी $α$ कोण बनाता है, जैसा $g$ और $g cos α$ के बीच के चाप से दिखता है। अतः पथ के अनुदिश भाग $g sin α$ है, जो गेंद के ऊपर जाते समय $v$ के विपरीत होता है; और लंबवत भाग $g cos α$ है।

दोनों भाग अलग-अलग काम करते हैं। वेग के अनुदिश त्वरण केवल चाल बदलता है; वेग के लंबवत त्वरण केवल दिशा बदलता है। अतः केवल $g cos α$ पथ को मोड़ता है। वह उस वृत्त के केंद्र $C$ की ओर इंगित करता है जो $P$ पर पथ से मेल खाता है, और $ρ$ दूरी पर है। त्रिज्या $ρ$ वाले वृत्त पर चाल $v$ से चलने वाले पिंड को केंद्र की ओर $v^{2} / ρ$ त्वरण चाहिए, इसलिए $g cos α = v^{2} / ρ$ । $cos α = v_{x} / v$ रखने पर वक्रता-त्रिज्या
$ρ = \frac{v ^{2}}{g c o s α} = \frac{v ^{3}}{g v _{x}}$
है।

चूँकि $v_{x}$ कभी नहीं बदलता, $ρ$ वहाँ सबसे छोटा है जहाँ चाल सबसे कम है: यानी शीर्ष पर। वहाँ $α = 0$ , गुरुत्व पूरी तरह पथ के लंबवत है, और $ρ = v_{x}^{2} / g = 12. 9^{2} /9.81 \approx 17 m$ । प्रक्षेपण पर $ρ = 2 0^{3} / (9.81 \cdot 12.9) \approx 63 m$ । चाप शीर्ष पर सबसे तीखा है।

दूसरा भाग $g sin α$ चाल बदलता है। गेंद के ऊपर जाते समय यह $v$ के विपरीत होता है और गेंद को धीमा करता है। नीचे आते समय $v$ क्षैतिज से नीचे इंगित करता है, पथ के अनुदिश भाग की दिशा $v$ के समान होती है, और गेंद तेज़ होती है।

वायु-प्रतिरोध और संख्यात्मक चरण

असली गेंदें हवा में उड़ती हैं। कर्षण ऊपर के सरल सूत्रों को बिगाड़ देता है, परंतु कंप्यूटर फिर भी गति को चरण-दर-चरण अनुसरण कर सकता है, और यह तरीका किसी भी बल के लिए काम करता है।

चित्र 4 ऐनिमेशन के फेंक को हवा में (लाल) और उसके बिना (बिंदुदार) साथ-साथ रखता है। कर्षण सदा वेग के विरुद्ध होता है, और सामान्य चालों पर गेंद के लिए यह लगभग चाल के वर्ग के अनुपात में बढ़ता है। $v_{t}$ को सीमांत चाल मानिए: वह चाल जिस पर कर्षण भार के बराबर हो जाए, जो बहुत ऊँचाई से गिराई गई गेंद प्राप्त करती है। तब कर्षण-त्वरण का परिमाण $g (v / v_{t})^{2}$ है और वह $v$ के विपरीत है; सदिश रूप में यह $- k v v$ है, जहाँ $k = g / v_{t}^{2}$ । चित्र 4 में हर तीर $a_{d}$ पथ के अनुदिश पीछे की ओर, यानी $v$ के विपरीत, इंगित करता है, और भूमि पर वाला तीर छोटा है, क्योंकि गेंद फेंके जाने की तुलना में धीमी होकर गिरती है।

गुरुत्व जोड़ने पर गति के समीकरण बनते हैं
$\overset{x}{¨} = - k v \overset{x}{˙}, \overset{y}{¨} = - g - k v \overset{y}{˙}$
जहाँ $v = \overset{x}{˙}^{2} + \overset{y}{˙}^{2}$ । चाल में दोनों वेग घटक आते हैं, इसलिए हर समीकरण दूसरे की गति पर निर्भर करता है: क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर गतियाँ आपस में जुड़ जाती हैं, और कोई सूत्र पथ नहीं देता।

फिर भी इसे चरण-दर-चरण अनुसरण किया जा सकता है। एक छोटा समय-चरण $ε$ चुनिए। वर्तमान स्थिति और वेग से त्वरण $a$ निकालिए, फिर एक चरण आगे बढ़िए,
$v \to v + a ε, r \to r + v ε$
जब तक गेंद ज़मीन पर न पहुँच जाए। एक छोटे चरण में त्वरण और वेग बहुत कम बदलते हैं, इसलिए उन्हें स्थिर मानने से त्रुटि बहुत छोटी होती है। इस सरलतम विधि, यूलर विधि, में कुल त्रुटि $ε$ के अनुपात में घटती है: चरण आधा करने पर त्रुटि भी आधी होती है। 0.01 s के चरण लेने पर नीचे का परास लगभग 0.2 m की सीमा में मिल जाता है। विधि किसी बल के रूप पर निर्भर नहीं करती, इसलिए यह किसी भी बल-नियम के लिए काम करती है।

चित्र 4 का लाल पथ ऐसी ही गणना है, उस गेंद के लिए जिसकी सीमांत चाल 30 m/s है। कर्षण आरंभ में भार का $(20/30)^{2} \approx 0.44$ है और भूमि पर पहुँचते समय $(15.6/30)^{2} \approx 0.27$ रह जाता है। परास $R$ , $R_{0} = 40.2 m$ से घटकर 30.0 m और अधिकतम ऊँचाई 12.0 m से घटकर 10.1 m हो जाती है।

पथ अब सममित नहीं है। ऊपर जाते समय कर्षण गुरुत्व के साथ मिलकर चढ़ाई को धीमा करता है; नीचे आते समय वह गिरने का विरोध करता है। इसलिए चढ़ाई में 1.39 s और उतराई में 1.48 s लगते हैं। कर्षण क्षैतिज चाल को भी लगातार खाता है, इसलिए गेंद ऊपर चढ़ते समय नीचे गिरने की तुलना में अधिक ज़मीन तय करती है: शीर्ष 15.9 m दूर है, मध्य से आगे। गेंद 15.6 m/s पर, क्षैतिज से 57° नीचे, ज़मीन पर लौटती है, जो उसके 50° प्रक्षेपण-कोण से अधिक खड़ी है। अधिकतम परास देने वाला कोण लगभग 43° तक गिर जाता है, क्योंकि ऊँचा फेंका गया पिंड अधिक देर हवा में रहता है और कर्षण से अधिक हानि उठाता है। प्रक्षेपण-चाल की $v_{t}$ से तुलना जितनी अधिक होगी, सर्वोत्तम कोण उतना ही कम होगा।

उदाहरण: लक्ष्य को दो तरीकों से मारना

चित्र 2 के लक्ष्य पर निशाना-समीकरण लगाइए, ऐनिमेशन की प्रक्षेपण-चाल 20 m/s के साथ। 30 m दूर और प्रक्षेपण बिंदु से 5.0 m ऊँचे लक्ष्य को मारने के लिए किन कोणों से फेंकना होगा?

पहले गिरावट: $D = g x^{2} / (2 v_{0}^{2}) = 9.81 \cdot 900/800 \approx 11.04 m$ , इसलिए $y + D \approx 16.04 m$ । $x = 30 m$ पर निशाना-समीकरण है
$11.04 u^{2} - 30 u + 16.04 = 0$
और द्विघात सूत्र देता है
$u = \frac{30 \pm 900 - 4 \cdot 11.04 \cdot 16.04}{2 \cdot 11.04} = \frac{30 \pm 13.84}{22.08}$
अतः $u \approx 0.732$ या $u \approx 1.986$ , यानी $θ \approx 36. 2^{\circ}$ या $θ \approx 63. 3^{\circ}$ । ये चित्र 2 के $θ_{1}$ और $θ_{2}$ हैं। इनका योग 99.5° है, जो $9 0^{\circ}$ से अधिक है, जैसा लक्ष्य के प्रक्षेपण बिंदु से ऊपर होने पर अपेक्षित है।

उड़ान काल $t = x / (v_{0} cos θ)$ से निकलते हैं: सपाट फेंक के लिए $30/ (20 cos 36. 2^{\circ}) \approx 1.86 s$ और ऊँचे फेंक के लिए $30/ (20 cos 63. 3^{\circ}) \approx 3.34 s$ । दोनों समान चाल $400 - 2 \cdot 9.81 \cdot 5.0 \approx 17.4 m/s$ से पहुँचते हैं, क्योंकि चाल केवल ऊँचाई पर निर्भर करती है। फिर भी वे अलग दिशाओं से आते हैं। सपाट फेंक 7.1 m के शीर्ष को पार कर चुका होता है और क्षैतिज से 22° नीचे आता है; ऊँचा फेंक 16.3 m ऊँचे शीर्ष से 59° पर गिरता है। इसीलिए बास्केटबॉल खिलाड़ी खड़े प्रक्षेप पसंद करते हैं: सीधे गिरती गेंद के लिए टोकरी बड़ा मुँह दिखाती है।

क्या उसी फेंक से उस दूरी पर 10 m ऊँचे लक्ष्य तक पहुँचा जा सकता है? $x = 30 m$ पर पहुँच की सीमा $20.39 - 11.04 \approx 9.35 m$ पर है। लक्ष्य उससे ऊपर है, निशाना-समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है, और कोई कोण काम नहीं करता। ठीक 9.35 m ऊँचे लक्ष्य को एक ही प्रक्षेप मारता है। द्विमूल $u = x / (2 D)$ है, जो यहाँ $tan θ = v_{0}^{2} / (gx) \approx 1.36$ है, यानी $θ \approx 53. 7^{\circ}$ : सपाट और ऊँचे दोनों हल यहाँ एक हो जाते हैं।

वैधता की सीमाएँ

ऊपर की हर बात तीन आदर्शीकरणों पर टिकी है: गेंद एक ऐसे बिंदु की तरह बर्ताव करती है जिसमें घूर्णन नहीं है, ज़मीन समतल है, और गुरुत्व का खिंचाव एकसमान है। फेंकी गई गेंदों के लिए ये तीनों अच्छी तरह लागू होते हैं, और हर एक की विफलता का ज्ञात तरीका है।

मॉडल गेंद को घूर्णन-रहित बिंदु मानता है। घूमती गेंद पर वेग के लंबवत एक उत्थापन बल भी लगता है, जिसे मैग्नस प्रभाव कहते हैं; यह फ्री-किक को मोड़ता है और बैकस्पिन वाली गोल्फ़ गेंद को हवा में बनाए रखता है। कर्षण तब महत्वपूर्ण होता है जब चाल सीमांत चाल के बड़े अंश के बराबर हो, क्योंकि कर्षण और भार का अनुपात $(v / v_{t})^{2}$ है। 7.26 kg के गोले की सीमांत चाल लगभग 150 m/s है, इसलिए 13 m/s पर उसका कर्षण भार के 1 % से कम है और परवलय बहुत सटीक है।

समतल ज़मीन और एकसमान $g$ भी केवल सन्निकटन हैं। पृथ्वी की त्रिज्या $R_{E} \approx 6371 km$ लेने पर, ऐनिमेशन की 40 m लंबाई में ज़मीन केवल $x^{2} / (2 R_{E}) \approx 0.1 mm$ नीचे झुकती है। गुरुत्व पृथ्वी के केंद्र से दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती घटता है, इसलिए 12 m के शीर्ष पर $g$ का अंश $2 H / R_{E} \approx 4 \times 1 0^{- 6}$ से कम होता है। ये प्रभाव परास के साथ बढ़ते हैं। 1 km/s और 45° पर फेंका गया प्रक्षेप्य, जिसका निर्वात-परास 102 km है, वहाँ गिरेगा जहाँ ज़मीन 0.8 km नीचे जा चुकी है, हालाँकि उससे पहले ही वायु हावी हो जाती है। पृथ्वी का घूर्णन 3.1 s के फेंक का गिरने का बिंदु एक सेंटीमीटर से भी कम खिसकाता है, पर एक मिनट उड़ने वाले गोले का दर्जनों मीटर।

कठोरता से कहें तो गुरुत्व एक तय दिशा में नहीं, बल्कि पृथ्वी के केंद्र की ओर इंगित करता है, और पथ पृथ्वी के केंद्र पर एक नाभि वाले दीर्घवृत्त का चाप है। छोटे भाग में, जहाँ केंद्र की ओर की दिशाएँ लगभग समानांतर हैं, दीर्घवृत्त को परवलय से अलग नहीं किया जा सकता। $g R_{E} \approx 7.9 km/s$ पर क्षैतिज फेंका गया पिंड, और हवा को अनदेखा करने पर, पृथ्वी के चारों ओर ठीक उतनी ही तेज़ी से गिरता है जितनी तेज़ी से ज़मीन उसके नीचे मुड़ती है: प्रक्षेप्य उपग्रह बन जाता है, और फेंकी गई गेंद तथा चंद्रमा एक ही नियम मानते हैं।

आगे का संबंध

न्यूटन के गति के नियम घटक-समीकरण देते हैं। संबंध $v^{2} = v_{0}^{2} - 2 g y$ ऊर्जा-संरक्षण ही है, जिसे कार्य, ऊर्जा और शक्ति में विकसित किया गया है। शीर्ष पर गुरुत्व वृत्तीय गति के अभिकेन्द्र त्वरण की भूमिका निभाता है, $g = v_{x}^{2} / ρ$ । युग्मित कर्षण-समीकरण कर्षण और सीमांत वेग का विषय हैं, और न्यूटन की तोप तथा दीर्घवृत्त गुरुत्वाकर्षण और कक्षाएँ से जुड़े हैं।

एक स्थिर गति से चलती रेलगाड़ी की खिड़की से गिराई गई गेंद यात्री को सीधी नीचे गिरती दिखती है, पर प्लेटफ़ॉर्म पर खड़े व्यक्ति को वह परवलय बनाती है: एक ही गति, दो निर्देश-तंत्र, जैसा सदिश और आपेक्षिक गति में है। और दो आवेशित प्लेटों के बीच एकसमान विद्युत क्षेत्र में चलता आवेशित कण उसी परवलय पर चलता है, बस $g$ की जगह $qE / m$ होता है; ऑसिलोस्कोप की नलियाँ और कुछ इंकजेट प्रिंटर इसी तरह इलेक्ट्रॉन और स्याही की बूँदों को दिशा देते हैं (विद्युत क्षेत्र और विभव)।

मुख्य सूत्र

क्षैतिज वेग घटक

v_{x} = v_{0} cos θ

प्रक्षेपण-वेग एक समकोण त्रिभुज का कर्ण है, जिसकी क्षैतिज भुजा $v_{0} cos θ$ है। हाथ छोड़ने के बाद (वायु को अनदेखा करने पर) उस पर कोई क्षैतिज बल नहीं लगता, इसलिए यह घटक कभी नहीं बदलता: क्षैतिज गति एकसमान है, और $x = v_{x} t$ ।

चिह्न
$v_{x}$	वेग का क्षैतिज घटक	$m/s$
$v_{0}$	प्रक्षेपण चाल	$m/s$
$θ$	क्षैतिज से ऊपर प्रक्षेपण कोण	$rad$

कब लागू होता है: पूरी उड़ान में केवल तब मान्य जब वायु प्रतिरोध न हो; कर्षण से $v_{x}$ घटता है। यदि कोण ऊर्ध्वाधर से मापा गया हो, तो कोज्या की जगह ज्या लें।

उदाहरण: ऐनिमेशन: प्रक्षेपण से भूमि-स्पर्श तक $v_{x} = 20 cos 5 0^{\circ} \approx 12.9 m/s$ ।

ऊर्ध्वाधर वेग घटक

v_{y} = v_{0} sin θ - g t

ऊर्ध्वाधर गति एक मुक्त पतन है, जो $v_{0} sin θ$ ऊपर की प्रारंभिक चाल से शुरू होता है। गुरुत्व इसे हर सेकंड नीचे की ओर $g$ से बदलता है: गेंद के ऊपर जाते समय $v_{y}$ धनात्मक है, $t = v_{0} sin θ / g$ पर शीर्ष पर शून्य है, और नीचे आते समय ऋणात्मक। ऋण चिह्न ऊपर को धनात्मक मानने से आता है।

चिह्न
$v_{y}$	समय $t$ पर वेग का ऊर्ध्वाधर घटक	$m/s$
$v_{0}$	प्रक्षेपण चाल	$m/s$
$θ$	क्षैतिज से ऊपर प्रक्षेपण कोण	$rad$
$g$	मुक्त-पतन त्वरण	$m/ s^{2}$
$t$	प्रक्षेपण से बीता समय	$s$

कब लागू होता है: वायु प्रतिरोध के बिना, और पृथ्वी की सतह के निकट जहाँ $g$ एकसमान है, $t$ प्रक्षेपण से गिना गया।

उदाहरण: ऐनिमेशन: $v_{y} = 15.3 - 9.81 t$ (m/s में) 1.56 s पर शून्य है और भूमि पर $- 15.3 m/s$ तक पहुँचता है, प्रक्षेपण के 3.12 s बाद।

समतल ज़मीन पर उड़ान काल

T = \frac{2 v _{0} sin θ}{g}

ऊँचाई $y = v_{0} sin θ t - \frac{1}{2} g t^{2}$ को शून्य रखने पर दो क्षण मिलते हैं: प्रक्षेपण $t = 0$ और भूमि-स्पर्श। चढ़ाई और उतराई में समान समय लगते हैं, इसलिए $T$ शीर्ष तक के समय का दोगुना है। केवल प्रक्षेपण-वेग का ऊर्ध्वाधर घटक गिना जाता है।

चिह्न
$T$	उड़ान काल, प्रक्षेपण से भूमि-स्पर्श तक	$s$
$v_{0}$	प्रक्षेपण चाल	$m/s$
$θ$	क्षैतिज से ऊपर प्रक्षेपण कोण	$rad$
$g$	मुक्त-पतन त्वरण	$m/ s^{2}$

कब लागू होता है: केवल तब जब गेंद प्रक्षेपण ऊँचाई पर गिरे और वायु प्रतिरोध न हो। यदि भूमि प्रक्षेपण से $h$ नीचे हो, तो $y (t) = - h$ का धनात्मक मूल लें।

उदाहरण: ऐनिमेशन: $T = 2 \cdot 15.3/9.81 \approx 3.12 s$ ।

समतल ज़मीन पर परास

R = \frac{v _{0}^{2} sin 2 θ}{g}

परास स्थिर क्षैतिज चाल गुणा उड़ान काल है, अर्थात $v_{0} cos θ \cdot 2 v_{0} sin θ / g$ , और $2 sin θ cos θ = sin 2 θ$ । चूँकि $sin 2 θ$ अधिकतम 1 है, जो $θ = 4 5^{\circ}$ पर प्राप्त होता है, समतल ज़मीन पर सबसे लंबा फेंक $v_{0}^{2} / g$ है। पूरक कोण, जैसे 30° और 60°, समान परास देते हैं।

चिह्न
$R$	परास: प्रक्षेपण से भूमि-स्पर्श तक की क्षैतिज दूरी	$m$
$v_{0}$	प्रक्षेपण चाल	$m/s$
$θ$	क्षैतिज से ऊपर प्रक्षेपण कोण	$rad$
$g$	मुक्त-पतन त्वरण	$m/ s^{2}$

कब लागू होता है: समतल ज़मीन (प्रक्षेपण ऊँचाई पर भूमि-स्पर्श) और वायु प्रतिरोध न हो। प्रक्षेपण ऊपर से हो तो परास अधिक होता है; कर्षण परास घटाता है और सर्वोत्तम कोण नीचे लाता है।

उदाहरण: ऐनिमेशन: $R = 2 0^{2} sin 10 0^{\circ} /9.81 \approx 40.2 m$ ; 45° पर यह 40.8 m होता।

अधिकतम ऊँचाई

H = \frac{( v _{0} sin θ ) ^{2}}{2 g}

शीर्ष पर $v_{y} = 0$ । केवल ऊर्ध्वाधर गति पर $v_{y}^{2} = (v_{0} sin θ)^{2} - 2 g y$ लगाने पर ऊँचाई मिलती है। क्षैतिज घटक की कोई भूमिका नहीं: $v_{0} sin θ$ से सीधे ऊपर फेंकी गई गेंद भी यही ऊँचाई पाएगी।

चिह्न
$H$	प्रक्षेपण बिंदु से अधिकतम ऊँचाई	$m$
$v_{0}$	प्रक्षेपण चाल	$m/s$
$θ$	क्षैतिज से ऊपर प्रक्षेपण कोण	$rad$
$g$	मुक्त-पतन त्वरण	$m/ s^{2}$

कब लागू होता है: वायु प्रतिरोध के बिना। ऊँचाई प्रक्षेपण बिंदु से मापी जाती है, नीचे की ज़मीन से नहीं, जब दोनों भिन्न हों।

उदाहरण: ऐनिमेशन: $H = 15.3 2^{2} / (2 \cdot 9.81) \approx 12.0 m$ , 1.56 s पर पहुँचती है।

प्रक्षेप-पथ समीकरण

y = x tan θ - \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2} cos ^{2} θ}

$t = x / (v_{0} cos θ)$ रखकर $x = v_{0} cos θ t$ और $y = v_{0} sin θ t - \frac{1}{2} g t^{2}$ से समय हटाया जाता है। परिणाम नीचे खुलने वाला परवलय है: लक्ष्य-रेखा $y = x tan θ$ में से $x^{2}$ के अनुपात में बढ़ती गिरावट घटाई गई। $1/ cos^{2} θ = 1 + tan^{2} θ$ से लिखने पर यह $tan θ$ में द्विघात है, जो किसी दिए गए लक्ष्य के दो कोण देता है।

चिह्न
$y$	क्षैतिज दूरी $x$ पर प्रक्षेपण बिंदु से ऊँचाई	$m$
$x$	प्रक्षेपण बिंदु से क्षैतिज दूरी	$m$
$θ$	क्षैतिज से ऊपर प्रक्षेपण कोण	$rad$
$g$	मुक्त-पतन त्वरण	$m/ s^{2}$
$v_{0}$	प्रक्षेपण चाल	$m/s$

कब लागू होता है: एकसमान गुरुत्व, वायु नहीं, मूल बिंदु से प्रक्षेपण। सैकड़ों किलोमीटर पर पृथ्वी की वक्रता और $g$ का घटना पथ को दीर्घवृत्त का चाप बना देते हैं।

उदाहरण: ऐनिमेशन: $y = 1.192 x - 0.02968 x^{2}$ (मीटर में) $x = 40.2 m$ पर शून्य होता है और $x = 20.1 m$ पर 12.0 m का शीर्ष।

शब्दावली

प्रक्षेप्य: प्रक्षेपित होने के बाद केवल गुरुत्व के अधीन चलने वाला पिंड, वायु प्रतिरोध को अनदेखा करते हुए: फेंकी गई गेंद, लंबी कूद लगाने वाला खिलाड़ी, नली से निकली पानी की बूँद। उड़ान के हर बिंदु पर इसका त्वरण सीधे नीचे $g$ है।
प्रक्षेप-पथ: किसी पिंड द्वारा अंतरिक्ष में तय किया गया मार्ग। एकसमान गुरुत्व में, बिना वायु के, प्रक्षेप्य के लिए यह नीचे खुलने वाला परवलय है, जो अपने उच्चतम बिंदु के सापेक्ष सममित है।
प्रक्षेप कोण: प्रारंभिक वेग और क्षैतिज के बीच का कोण $θ$ । यह तय करता है कि प्रक्षेपण-चाल कैसे बँटती है: क्षैतिज में $v_{0} cos θ$ और ऊपर की ओर $v_{0} sin θ$ । यदि कोण ऊर्ध्वाधर से मापा गया हो, तो ज्या और कोज्या बदल जाती हैं।
वेग के घटक: वेग के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर भाग $v_{x}$ और $v_{y}$ , जैसे फ़र्श और दीवार पर पड़ने वाली गेंद की छाया की गतियाँ। ये चिह्न-सहित संख्याएँ हैं, और चाल $v_{x}^{2} + v_{y}^{2}$ है।
गतियों की स्वतंत्रता: गुरुत्व केवल ऊर्ध्वाधर कार्य करता है, इसलिए क्षैतिज गति (एकसमान) और ऊर्ध्वाधर गति (मुक्त पतन) मानो एक-दूसरे का अस्तित्व ही न हो, वैसे चलती हैं। मेज़ से लुढ़काई गई गेंद और उसी किनारे से गिराई गई गेंद एक साथ भूमि पर पहुँचती हैं।
शीर्ष: पथ का उच्चतम बिंदु, जहाँ $v_{y} = 0$ है। वहाँ भी गेंद $v_{x}$ से क्षैतिज चलती है, जो पूरी उड़ान की न्यूनतम चाल है, और त्वरण अब भी नीचे की ओर $g$ है।
उड़ान काल: प्रक्षेप्य कितनी देर हवा में रहता है। यह केवल ऊर्ध्वाधर गति से तय होता है: समतल ज़मीन पर $T = 2 v_{0} sin θ / g$ , जो ऐनिमेशन के फेंक के लिए 3.12 s है।
परास: प्रक्षेपण से भूमि-स्पर्श तक की क्षैतिज दूरी, मीटर में। समतल ज़मीन पर $R = v_{0}^{2} sin 2 θ / g$ , जो 45° पर अधिकतम है; प्रक्षेपण-बिंदु से नीचे गिरने वाला प्रक्षेप्य अधिक दूर जाता है।
पूरक कोण: दो प्रक्षेप कोण जिनका योग 90° है, जैसे 30° और 60°। समतल ज़मीन पर वे समान परास देते हैं, क्योंकि $sin 2 θ = sin (18 0^{\circ} - 2 θ)$ , पर खड़ा फेंक अधिक ऊँचा और लंबा होता है।
प्रक्षेप-पथों का परिबंध: दी गई प्रक्षेपण-चाल पर सभी पहुँच-योग्य बिंदुओं की सीमा, $y = v_{0}^{2} / (2 g) - g x^{2} / (2 v_{0}^{2})$ , जिसे सुरक्षा-परवलय भी कहते हैं। इसके भीतर का लक्ष्य दो कोणों से, इस पर का एक कोण से, और इसके बाहर का किसी कोण से नहीं मारा जा सकता।
वायु प्रतिरोध (कर्षण): हवा का कर्षण बल, जो वेग के विपरीत होता है और लगभग चाल के वर्ग के अनुपात में बढ़ता है। यह परास घटाता है, उतराई को चढ़ाई से अधिक खड़ा बनाता है, और सर्वोत्तम प्रक्षेप-कोण को 45° से नीचे कर देता है।
न्यूटन की तोप: एक विचार-प्रयोग: बहुत ऊँचे पहाड़ पर रखी तोप क्षैतिज रूप से उत्तरोत्तर तेज़ गोले दागती है। लगभग 7.9 km/s पर गोला मुड़ी हुई पृथ्वी के चारों ओर उतनी ही तेज़ी से गिरता है जितनी तेज़ी से ज़मीन दूर हटती है, और कभी नहीं गिरता: वह कक्षा में है।

राशियाँ
$x$	क्षैतिज स्थिति	$m$	प्रक्षेपण बिंदु से क्षैतिज दूरी, $x = v_{0} cos θ t$ ; बिना वायु के यह स्थिर दर से बढ़ती है।
$y$	ऊँचाई	$m$	प्रक्षेपण बिंदु से ऊँचाई: उसके ऊपर धनात्मक, नीचे ऋणात्मक, जैसे वह गोला जो प्रक्षेपण बिंदु से नीचे गिरता है।
$t$	समय	$s$	प्रक्षेपण से बीता समय।
$v_{0}$	प्रक्षेपण चाल	$m/s$	प्रक्षेपण के क्षण पर वेग का परिमाण; ऐनिमेशन में 20 m/s।
$θ$	प्रक्षेप कोण	$rad$	क्षैतिज से ऊपर प्रक्षेप-वेग का कोण, सामान्यतः अंशों में व्यक्त: ऐनिमेशन का 50° $0.873 rad$ है।
$v_{x}$	क्षैतिज वेग	$m/s$	वेग का क्षैतिज घटक $v_{0} cos θ$ , वायु न होने पर उड़ान में स्थिर: ऐनिमेशन में 12.9 m/s।
$v_{y}$	ऊर्ध्वाधर वेग	$m/s$	वेग का ऊर्ध्वाधर घटक: पिंड के ऊपर जाते समय धनात्मक, शीर्ष पर शून्य, गिरते समय ऋणात्मक। यह हर सेकंड 9.81 m/s बदलता है।
$g$	मुक्त-पतन त्वरण	$m/ s^{2}$	पृथ्वी की सतह के निकट गुरुत्वीय त्वरण का परिमाण, लगभग $9.81 m/ s^{2}$ ; ऊपर को धनात्मक मानने पर ऊर्ध्वाधर त्वरण $- g$ है।
$T$	उड़ान काल	$s$	प्रक्षेपण से भूमि-स्पर्श तक का समय; समतल ज़मीन पर $2 v_{0} sin θ / g$ , जो शीर्ष तक के समय का दोगुना है।
$H$	अधिकतम ऊँचाई	$m$	शीर्ष की प्रक्षेपण बिंदु से ऊँचाई, $(v_{0} sin θ)^{2} / (2 g)$ ; केवल प्रक्षेपण-वेग का ऊर्ध्वाधर घटक गिना जाता है।

क्विज़

शुरुआती एक गेंद मेज़ से लुढ़कती है, और उसी समय उसी ऊँचाई से एक जैसी गेंद गिराई जाती है। वायु प्रतिरोध को अनदेखा करें, तो कौन-सी पहले ज़मीन छुएगी?
1. दोनों एक ही समय पर
2. गिराई गई गेंद
3. लुढ़कने वाली गेंद
4. यह इस पर निर्भर करता है कि गेंद कितनी तेज़ लुढ़कती है
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उत्तर: A. दोनों एक ही समय पर
क्षैतिज गति ऊर्ध्वाधर गति को प्रभावित नहीं करती: दोनों गेंदों की प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर चाल शून्य है और वे एक ही ऊँचाई से गिरती हैं, इसलिए वे एक साथ पहुँचती हैं।
शुरुआती प्रक्षेप्य की उड़ान के दौरान (वायु प्रतिरोध को अनदेखा करते हुए) उसकी क्षैतिज चाल का क्या होता है?
1. स्थिर रहती है
2. लगातार घटती है
3. लगातार बढ़ती है
4. सर्वोच्च बिंदु पर शून्य हो जाती है
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उत्तर: A. स्थिर रहती है
प्रक्षेपण के बाद कोई क्षैतिज बल नहीं लगता, इसलिए क्षैतिज चाल नहीं बदलती।
मध्यम प्रक्षेप्य के पथ के सर्वोच्च बिंदु पर उसका त्वरण क्या है (वायु प्रतिरोध नहीं)?
1. शून्य, क्योंकि गेंद ऊपर जाना बंद कर देती है
2. 9.81 m/s², सीधे नीचे, पथ के बाकी हर बिंदु जैसा
3. 9.81 m/s², क्षैतिज, गति की दिशा में
4. 9.81 m/s² से कम, क्योंकि केवल क्षैतिज वेग बचता है
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उत्तर: B. 9.81 m/s², सीधे नीचे, पथ के बाकी हर बिंदु जैसा
पूरी उड़ान में गुरुत्व ही एकमात्र बल है, इसलिए शीर्ष सहित हर बिंदु पर a = g = 9.81 m/s² नीचे की ओर है। वहाँ vy एक क्षण के लिए शून्य है, पर वह हर सेकंड 9.81 m/s बदलता रहता है, इसीलिए गेंद गिरने लगती है।
मध्यम प्रक्षेप्य का सर्वोच्च बिंदु पर वेग क्या है?
1. क्षैतिज, मान v₀·cos θ के बराबर
2. शून्य
3. ऊर्ध्वाधर, नीचे की ओर
4. प्रक्षेपण चाल v₀ के बराबर
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उत्तर: A. क्षैतिज, मान v₀·cos θ के बराबर
शीर्ष पर ऊर्ध्वाधर घटक शून्य है, परंतु क्षैतिज घटक v₀·cos θ नहीं बदलता, इसलिए वेग क्षैतिज है।
मध्यम एक गेंद 20 m/s की चाल से समतल ज़मीन पर 45° पर फेंकी गई है। वायु प्रतिरोध को अनदेखा करें, तो उसका परास क्या है? (g = 9.81 m/s²)
1. 40.8 m
2. 20.4 m
3. 28.8 m
4. 81.5 m
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उत्तर: A. 40.8 m
R = v₀²·sin 2θ / g = 400 × sin 90° ÷ 9.81 = 400 ÷ 9.81 ≈ 40.8 m। sin 90° के स्थान पर sin 45° लेने पर 28.8 m आता।
उन्नत समतल ज़मीन पर 30° पर फेंकने से परास 50 m है। उसी चाल पर कौन-सा अन्य कोण वही परास देगा?
1. 60°
2. 45°
3. 15°
4. 90°
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उत्तर: A. 60°
R, sin 2θ पर निर्भर है, और sin 60° = sin 120° है, इसलिए θ = 30° और θ = 60° समान परास देते हैं। पूरक कोण सदा ऐसा करते हैं।
उन्नत एक डार्ट गन को शाखा से लटके बंदर पर सीधा निशाना बनाया गया है। डार्ट चलाने के उसी क्षण बंदर हाथ छोड़ देता है। वायु प्रतिरोध को अनदेखा करें, और मान लें कि डार्ट दोनों में से किसी के ज़मीन पर पहुँचने से पहले बंदर तक की क्षैतिज दूरी तय कर लेता है, तो क्या होगा?
1. डार्ट गिरते बंदर के ऊपर से निकल जाता है
2. जब तक बहुत तेज़ न चलाया जाए, डार्ट बंदर के नीचे से निकल जाता है
3. डार्ट बंदर को लगता है, चाहे प्रक्षेप चाल कुछ भी हो
4. डार्ट तभी लगता है जब बंदूक बंदर के ऊपर निशाना बनाए
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उत्तर: C. डार्ट बंदर को लगता है, चाहे प्रक्षेप चाल कुछ भी हो
गुरुत्व के बिना डार्ट सीधे बंदर की प्रारंभिक स्थिति तक जाता। गुरुत्व के साथ डार्ट और बंदर दोनों हर क्षण अपनी बिना-गुरुत्व स्थिति से ½·g·t² नीचे गिरते हैं, इसलिए प्रक्षेप चाल चाहे जो हो, वे मिलते हैं।
उन्नत वायु प्रतिरोध के साथ, समतल ज़मीन पर अधिकतम परास देने वाला प्रक्षेप कोण कैसे बदलता है?
1. 45° से छोटा हो जाता है
2. ठीक 45° ही रहता है
3. 45° से बड़ा हो जाता है
4. 90° हो जाता है
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उत्तर: A. 45° से छोटा हो जाता है
कर्षण लंबी उड़ान में अधिक हानि पहुँचाता है, इसलिए अधिक सपाट और तेज़ पथ बेहतर होता है: सर्वोत्तम कोण 45° से नीचे चला जाता है।

$θ$	लक्ष्य-रेखा का क्षैतिज से ऊपर का कोण।	$rad$
$v_{0} t$	गुरुत्व न होने पर गेंद की स्थिति: प्रक्षेप-वेग गुणा समय, लक्ष्य-रेखा के अनुदिश।	$m$
$\frac{1}{2} g t^{2}$	गुरुत्व से गिरावट: सीधे नीचे, $t^{2}$ के अनुपात में बढ़ती।	$m$
$r$	गेंद की स्थिति: प्रक्षेपण बिंदु से गेंद तक का तीर।	$m$
$M$	लक्ष्य-रेखा पर वह बिंदु जहाँ प्रक्षेपण के क्षण पर बंदर लटका है।

$v_{0}$	प्रक्षेपण चाल, दोनों फेंकों और बिंदुदार परवलय के लिए समान।	$m/s$
$θ_{1}$	सपाट फेंक का प्रक्षेपण कोण।	$rad$
$θ_{2}$	ऊँचे फेंक का प्रक्षेपण कोण।	$rad$
$T$	लक्ष्य।
$x$	प्रक्षेपण बिंदु से लक्ष्य की क्षैतिज दूरी।	$m$
$y$	प्रक्षेपण बिंदु से लक्ष्य की ऊँचाई।	$m$
$v_{0}^{2} / (2 g)$	चाल $v_{0}$ से प्राप्त अधिकतम ऊँचाई, सीधे ऊपर फेंकने से: बिंदुदार परवलय का शीर्ष।	$m$
$v_{0}^{2} / g$	समतल ज़मीन पर अधिकतम परास, $4 5^{\circ}$ पर: जहाँ बिंदुदार परवलय ज़मीन को छूता है।	$m$

$P$	पथ का वह बिंदु जहाँ वेग क्षैतिज से $α$ कोण बनाता है।
$v$	$P$ पर वेग, पथ के अनुदिश।	$m/s$
$α$	$v$ और क्षैतिज के बीच का कोण; $g$ और पथ के लंबवत दिशा के बीच भी यही कोण है।	$rad$
$g$	गुरुत्वीय त्वरण, सीधे नीचे।	$m/ s^{2}$
$g sin α$	$g$ का पथ के अनुदिश भाग: ऊपर जाते समय $v$ के विपरीत, केवल चाल बदलता है।	$m/ s^{2}$
$g cos α$	$g$ का पथ के लंबवत भाग, $C$ की ओर: केवल दिशा बदलता है।	$m/ s^{2}$
$ρ$	$P$ पर वक्रता-त्रिज्या: $P$ से $C$ की दूरी।	$m$
$C$	$P$ पर पथ से मेल खाते वृत्त का केंद्र।

$R$	वायु के साथ परास: प्रक्षेपण बिंदु से भूमि-स्पर्श बिंदु तक की दूरी।	$m$
$R_{0}$	वायु के बिना परास: बिंदुदार पथ जहाँ गिरता है।	$m$
$v$	गेंद का वेग, प्रक्षेपण और भूमि-स्पर्श पर दर्शाया गया।	$m/s$
$a_{d}$	कर्षण से त्वरण: पथ के अनुदिश, $v$ के विपरीत, परिमाण $g (v / v_{t})^{2}$ ।	$m/ s^{2}$