घूर्णी गतिकी और बल-आघूर्ण

बल चीज़ों को कैसे घुमाते हैं: बल-आघूर्ण (torque) $τ$ , जड़त्व-आघूर्ण $I$ और घूर्णन के लिए न्यूटन का दूसरा नियम, $τ = I α$ ।

एक गिरता हुआ भार एक भारी पहिये की नाभि से डोरी खोलता है और उसे घुमाने लगता है; भार नीचे पहुँचने के बाद पहिया स्थिर गति से घूमता रहता है।

इस विषय से पहले: वृत्तीय गति

शुरुआती

मुख्य विचार

बल-आघूर्ण बल का घुमाने वाला प्रभाव है: वही धक्का धुरी से जितनी दूर लगे, उतना ही अधिक घुमाता है।
लगातार लगने वाला मरोड़ पहिये को तेज़ और तेज़ घुमाता है, जैसे लगातार धक्का गाड़ी की चाल बढ़ाता है।
धुरी से दूर लगा द्रव्यमान पहिये को तेज़ घुमाना और रोकना दोनों कठिन बना देता है।
कोई मरोड़ न हो तो घूमता पहिया स्थिर दर से घूमता रहता है।

किवाड़ को उसके कब्ज़ों के बिल्कुल पास धकेलें तो वह मुश्किल से हिलता है; उतनी ही ताकत से हैंडल पर धकेलें तो वह खुल जाता है। घुमाव के नियम सीधी-रेखा गति के लिए न्यूटन के नियमों से काफ़ी मिलते-जुलते हैं।

चरण 1. बल के घुमाने वाले प्रभाव को बल-आघूर्ण कहते हैं। यह इस पर निर्भर करता है कि आप कितनी ज़ोर से धकेलते हैं और धुरी से कितनी दूर धकेलते हैं: वही बल दोगुनी दूरी पर लगे तो घुमाने वाला प्रभाव दोगुना होता है। इसीलिए पाना (स्पैनर) के हैंडल लंबे होते हैं। कब्ज़ों की सीध में धकेला गया धक्का किवाड़ को बिल्कुल नहीं घुमाता।

चरण 2. लगातार धक्का गाड़ी की चाल बढ़ाता है; उसी प्रकार लगातार बल-आघूर्ण पहिये को तेज़ और तेज़ घुमाता है। एनिमेशन में एक भारी पहिये की नाभि पर लिपटी डोरी से एक भार लटका है। जैसे-जैसे वह गिरता है, डोरी पहिये को लगातार मरोड़ती रहती है, और नीली पट्टी घूर्णन-गति का लगातार बढ़ना दिखाती है।

चरण 3. द्रव्यमान गति में बदलाव का विरोध करता है, और घुमाव के लिए मायने रखता है कि द्रव्यमान कहाँ स्थित है। धुरी से दूर द्रव्यमान पहिये को तेज़ घुमाना और रोकना दोनों बहुत कठिन बना देता है। इसीलिए एनिमेशन का भार इतनी धीमी गति से गिरता है, और इसीलिए फ़्लाईव्हील का भार किनारे पर रखा जाता है।

चरण 4. भार नीचे पहुँचने पर डोरी ढीली हो जाती है और मरोड़ रुक जाती है। पहिया नहीं रुकता: वह स्थिर दर से घूमता रहता है, जैसे कोई गतिशील वस्तु बिना किसी बल के चलती रहती है। किसी वास्तविक मशीन में धुरी का घर्षण इसे धीरे-धीरे रोक देता है।

स्वयं जाँचें: दो बच्चे एक घूमने वाले झूले को बराबर ज़ोर से धकेलते हैं, एक किनारे पर और दूसरा केंद्र और किनारे के बीच में। किसका घुमाने वाला प्रभाव बड़ा होगा? (किनारे वाले का: वही धक्का धुरी से दोगुनी दूरी पर लगता है।)

मध्यम

मुख्य विचार

$τ = r F sin θ$ (N·m): बल का केवल वह भाग घुमाता है जो त्रिज्या के लंबवत है।
घूर्णन के लिए न्यूटन का दूसरा नियम: $τ = I α$ , जहाँ जड़त्व-आघूर्ण $I$ (kg·m²) द्रव्यमान की भूमिका निभाता है।
$I$ इस पर निर्भर है कि द्रव्यमान कहाँ है: एकसमान चकती के लिए $\frac{1}{2} M R^{2}$ , पतले छल्ले के लिए $M R^{2}$ ।
डोरी से लटके भार के लिए तनाव $F = m (g - a)$ है, जो $m g$ से कम है, और $a = α r$ होता है।

घूर्णन का वर्णन

किसी स्थिर धुरी पर घूमने वाले दृढ़ पिंड की स्थिति बताने के लिए एक संख्या चाहिए: वह कोण $θ$ जितना वह घूम चुका है, जिसे रेडियन में मापा जाता है (एक पूरा चक्कर $2 π \approx 6.28 rad$ है)। कोणीय वेग $ω$ उस कोण के परिवर्तन की दर है, rad/s में, और कोणीय त्वरण $α$ $ω$ के परिवर्तन की दर है, rad/s² में। एनिमेशन में पहिया हरे वक्र तीर की दिशा में दक्षिणावर्त घूमता है; इस दिशा को धनात्मक माना गया है।

पिंड के हर बिंदु का $ω$ और $α$ समान होता है, लेकिन धुरी से $r$ दूरी वाला बिंदु $v = ω r$ की चाल से चलता है, और उसका स्पर्शरेखीय त्वरण $a = α r$ होता है। इसलिए जो भार ऐसी डोरी से लटका है जो बिना फिसले नाभि से खुलती है, वह ठीक उतनी ही तेज़ी से चलता है जितनी तेज़ नाभि की परिधि।

बल-आघूर्ण: बल गुणा बाहु

दरवाज़े के हैंडल पर, कब्ज़ों से 0.80 m दूर, दरवाज़े के लंबवत 20 N का धक्का दें: घुमाव-प्रभाव, यानी बल-आघूर्ण, $τ = 0.80 \cdot 20 = 16 N \cdot m$ है। वही धक्का कब्ज़ों से 0.10 m पर लगे तो केवल $2 N \cdot m$ होता है। सामान्यतः, धुरी से $r$ दूरी पर लगे बल $F$ के लिए
$τ = r F sin θ$
जहाँ $θ$ बल और उस बिंदु की त्रिज्या के बीच का कोण है जहाँ बल लगता है (न कि वह कोण जितना पिंड घूमा है)।

इसे दो समतुल्य तरीकों से समझा जा सकता है: बल का केवल वह भाग $F sin θ$ , जो त्रिज्या के लंबवत है, पिंड को घुमाता है; या पूरा बल बाहु $d = r sin θ$ के साथ लगता है, जो धुरी से बल की क्रिया-रेखा की लंबवत दूरी है। यदि हैंडल को दरवाज़े से 30° पर धकेलें, तो $τ = 16 \cdot sin 3 0^{\circ} = 8 N \cdot m$ होगा; सीधे कब्ज़ों की ओर धकेलने पर कुछ नहीं घूमता।

बल-आघूर्ण को न्यूटन-मीटर में मापा जाता है, कभी जूल में नहीं: यह ऊर्जा नहीं है। विपरीत दिशाओं में घुमाने वाले बल-आघूर्णों के चिह्न विपरीत होते हैं।

घूर्णन के लिए न्यूटन का दूसरा नियम

जैसे नेट बल त्वरण उत्पन्न करता है, वैसे ही नेट बल-आघूर्ण कोणीय त्वरण उत्पन्न करता है:
$τ = I α$

जड़त्व-आघूर्ण $I$ , kg·m² में, द्रव्यमान की भूमिका निभाता है। धुरी से $s$ दूरी पर स्थित द्रव्यमान $m$ के एक छोटे टुकड़े का स्पर्शरेखीय त्वरण $α s$ होता है, जिसके लिए बल $m s α$ और इसलिए बल-आघूर्ण $m s^{2} α$ चाहिए। सभी टुकड़ों को जोड़ने पर $τ = (\sum m s^{2}) α$ मिलता है, अतः $I = \sum m s^{2}$ । हर किलोग्राम अपनी दूरी के वर्ग के अनुपात में गिना जाता है: दोगुनी दूरी पर, चार गुना प्रतिरोध।

$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले पतले छल्ले का सारा द्रव्यमान किनारे पर होता है, इसलिए $I = M R^{2}$ ; ठोस गोले के लिए यह $\frac{2}{5} M R^{2}$ है। एनिमेशन का पहिया एकसमान चकती है:
$I = \frac{1}{2} M R^{2} (uniform disc)$
$M = 10 kg$ और $R = 0.40 m$ लेने पर $I = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 0.4 0^{2} = 0.80 kg \cdot m^{2}$ , यानी उसी द्रव्यमान और आकार के पतले छल्ले का आधा।

स्थिर नेट बल-आघूर्ण पर $α$ भी स्थिर रहता है, और सीधी-रेखा गति के समीकरण $x$ , $v$ , $a$ की जगह $θ$ , $ω$ , $α$ रखकर लागू होते हैं:

$ω = ω_{0} + α t$
$θ = θ_{0} + ω_{0} t + \frac{1}{2} α t^{2}$
$ω^{2} = ω_{0}^{2} + 2 α Δ θ$

सभी टुकड़ों के $\frac{1}{2} m v^{2}$ (जहाँ $v = ω s$ ) को जोड़ने पर घूर्णन में संचित ऊर्जा मिलती है, जिसे घूर्णी गतिज ऊर्जा कहते हैं
$K = \frac{1}{2} I ω^{2}$

उदाहरण: एनिमेशन का पहिया

नाभि पर लिपटी डोरी की त्रिज्या $r = 0.12 m$ है और उससे $m = 1 kg$ का भार लटका है। तनाव $F$ अज्ञात है, इसलिए भार के लिए (नीचे की ओर धनात्मक), पहिये के लिए और उस डोरी के लिए एक-एक समीकरण लिखें जो फिसलती नहीं:
$m g - F = ma, F r = I α, a = α r$
$F = I α / r$ और $a = α r$ को पहले समीकरण में रखने पर
$α = \frac{m g r}{I + m r ^{2}} = \frac{1 \cdot 9.81 \cdot 0.12}{0.80 + 1 \cdot 0.1 2 ^{2}} = \frac{1.177}{0.814} \approx 1.45 rad/ s^{2}$

अतः भार केवल $a = α r \approx 0.173 m/ s^{2}$ से गिरता है, तनाव $F = m (g - a) \approx 9.64 N$ है, जो भार के 9.81 N से थोड़ा कम है, और बल-आघूर्ण $τ = r F \approx 1.16 N \cdot m$ है। यही लाल $τ$ रीडिंग पर स्थिर मान है; नाभि की परिधि पर लाल तीर $F$ और लाल रेखा $r$ दिखाते हैं कि यह कहाँ से आता है।

भार $h = 0.88 m$ नीचे गिरने में $t = 2 h / a = 2 \cdot 0.88/0.173 \approx 3.19 s$ लेता है। इसी बीच नीली $ω$ रीडिंग हर सेकंड 1.45 rad/s बढ़ती है, $ω = α t \approx 4.60 rad/s$ तक; और पहिया $0.88/0.12 \approx 7.33 rad$ घूमता है, यानी लगभग एक चक्कर से कुछ अधिक। फिर डोरी ढीली हो जाती है: तीर $F$ गायब हो जाता है, $τ$ रीडिंग शून्य हो जाती है, $α = 0$ , और $ω$ 4.60 rad/s पर बना रहता है, जैसा हरा लेबल बताता है।

उदाहरण: फ़्लाईव्हील को रोकना

एक व्यायाम साइकिल का फ़्लाईव्हील 8.0 kg द्रव्यमान और 0.20 m त्रिज्या की एकसमान चकती है। सवार पैडल चलाना बंद करता है, तब वह 30 rad/s (लगभग 287 rpm) पर घूम रहा होता है, और एक नमदे का पैड उसकी परिधि को 4.0 N घर्षण बल से रगड़ता है। वह कितनी देर में रुकेगा, और कितने चक्कर लगाएगा?

घर्षण परिधि के अनुदिश लगता है, इसलिए उसकी बाहु पूरी त्रिज्या है:
$I = \frac{1}{2} \cdot 8.0 \cdot 0.2 0^{2} = 0.16 kg \cdot m^{2}, τ = 0.20 \cdot 4.0 = 0.80 N \cdot m$
अतः $α = - 0.80/0.16 = - 5.0 rad/ s^{2}$ ; ऋण चिह्न इसलिए, क्योंकि बल-आघूर्ण घूर्णन के विरुद्ध है। पहिया $30/5.0 = 6.0 s$ में रुकता है, और $ω^{2} = ω_{0}^{2} + 2 α Δ θ$ से $Δ θ = 3 0^{2} / (2 \cdot 5.0) = 90 rad$ , यानी लगभग 14.3 चक्कर।

ऊर्जा से भी यही पुष्टि होती है: पहिये की आरंभिक $K = \frac{1}{2} \cdot 0.16 \cdot 3 0^{2} = 72 J$ है, और घर्षण घूर्णन के विरुद्ध $τ Δ θ = 0.80 \cdot 90 = 72 J$ कार्य करता है, जिससे पैड और परिधि गर्म होते हैं। उसी द्रव्यमान और त्रिज्या का छल्ला 144 J संचित करता और 12 s में रुकता।

पहिये का मुक्त-पिंड आरेख

पहिये पर तीन बल लगते हैं: केंद्र पर उसका भार $M g = 98.1 N$ , नाभि की परिधि पर 9.64 N का तनाव, और धुरी का ऊपर की ओर धक्का, जो $98.1 + 9.64 \approx 107.7 N$ होना चाहिए, क्योंकि केंद्र स्थिर रहता है। नेट बल शून्य है, फिर भी नेट बल-आघूर्ण शून्य नहीं है: भार और धुरी का बल दोनों धुरी से होकर गुज़रते हैं और उनकी कोई बाहु नहीं है, इसलिए केवल तनाव पहिये को घुमाता है।

उलटा भी होता है। स्टीयरिंग व्हील को एक ओर 10 N से ऊपर और दूसरी ओर 10 N से नीचे खींचें, दोनों केंद्र से 0.18 m पर: बल एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं, पर बल-आघूर्ण जुड़ जाते हैं, $2 \cdot 10 \cdot 0.18 = 3.6 N \cdot m$ । बलों के ऐसे जोड़े को बल-युग्म (couple) कहते हैं।

एक $ω$ के लिए कई चालें होती हैं: भार के नीचे पहुँचते समय पहिये की परिधि $ω R \approx 1.84 m/s$ से चलती है, जबकि भार केवल $ω r \approx 0.55 m/s$ से।

सामान्य गलतियाँ

पहिये की त्रिज्या को बाहु मानना। डोरी नाभि को खींचती है, इसलिए बाहु $r = 0.12 m$ है; $R = 0.40 m$ लेने पर 3.85 N·m मिलता है, जो असली बल-आघूर्ण से तीन गुने से भी अधिक है।
तनाव को भार $m g$ के बराबर मानना। तब भार त्वरित नहीं हो सकता; तनाव 9.64 N है, और कमी के 0.17 N ठीक $ma$ हैं।
सोचना कि केवल द्रव्यमान मायने रखता है। पहिये के 10 kg को परिधि पर ले जाने से $I$ दोगुना होकर $1.60 kg \cdot m^{2}$ हो जाता है और कोणीय त्वरण 1.45 से घटकर लगभग 0.73 rad/s² रह जाता है।
$v = ω r$ या $K = \frac{1}{2} I ω^{2}$ में प्रति मिनट चक्कर या अंश का प्रयोग करना। इनमें रेडियन चाहिए: 4.60 rad/s, प्रति मिनट 44 चक्कर के बराबर है, और 44 को $K$ में रखने पर लगभग 770 J मिलता है, जबकि सही मान 8.5 J है।

यह कहाँ दिखता है

पाना, दरवाज़े के हैंडल और साइकिल के पैडल लंबी बाहु देते हैं। इंजन और विद्युत मोटरों की रेटिंग उनके शाफ़्ट पर बल-आघूर्ण से दी जाती है; कार के इंजन के लिए यह कुछ सौ न्यूटन-मीटर होता है, और गियर कोणीय चाल के बदले बल-आघूर्ण देते हैं। इंजनों के फ़्लाईव्हील और कुम्हार के चाक अपना द्रव्यमान भारी परिधि में रखते हैं, ताकि असमान चालन को सुचारु बनाया जा सके।

यह पाठ वृत्तीय गति पर आधारित है। नेट बल-आघूर्ण शून्य रखें, तो आप स्थैतिक संतुलन और उत्तोलक तक पहुँचते हैं; $L = I ω$ का अनुसरण करें, तो कोणीय संवेग और उसका संरक्षण। सरल मशीनें: उत्तोलक, घिरनी और गियर इन्हीं बल-आघूर्णों का व्यावहारिक उपयोग दिखाती हैं।

उन्नत

मुख्य विचार

बल-आघूर्ण कार्य से परिभाषित होता है: $d W = τ d θ$ , इसलिए $τ = x F_{y} - y F_{x}$ ; पूरे पिंड पर जोड़ने पर $τ = I α$ , जहाँ $I = \int s^{2} d m$ ।
$τ_{ext} = d L / d t$ , जहाँ $L = I ω$ : भार नीचे पहुँचने पर $τ = 0$ और $ω (t)$ का ग्राफ़ समतल हो जाता है।
घर्षण-रहित ऊर्जा-जाँच: $m g h = \frac{1}{2} I ω^{2} + \frac{1}{2} m v^{2}$ ; पहिया एक अतिरिक्त द्रव्यमान $I / r^{2}$ की तरह व्यवहार करता है।
$τ = I α$ के लिए स्थिर धुरी चाहिए; त्रि-आयामी (3-D) स्थिति में असमतोल पिंड का $L$ $ω$ के समांतर नहीं होता, और स्थिर घूर्णन के लिए भी बल-आघूर्ण चाहिए।

कार्य के रूप में परिभाषित बल-आघूर्ण

कोई बल पहिये को ज़ोर से धकेल सकता है और फिर भी उसे नहीं घुमा पाता, यदि वह सीधे धुरी की ओर लगा हो। घुमाव का वर्णन करने के लिए हमें ऐसी राशि चाहिए जो केवल यह न बताए कि बल कितना खींचता है, बल्कि यह भी बताए कि वह कहाँ और किस दिशा में लगता है। इसे खोजने का सबसे सीधा तरीका यह पूछना है कि जब पिंड घूमता है तो बल कितना कार्य करता है। आगे की सभी संख्याएँ एनिमेशन से ली गई हैं: 10 kg द्रव्यमान और 0.40 m त्रिज्या की एक एकसमान चकती एक स्थिर, घर्षण-रहित धुरी पर घूमती है; उसे 0.12 m त्रिज्या के हल्के नाभि-भाग पर लिपटी डोरी चलाती है, और डोरी के सिरे पर 1 kg का भार लटका है, जो 0.88 m नीचे गिरता है।

चित्र 1 एक ऐसा पिंड दिखाता है जो केवल एक स्थिर धुरी के चारों ओर घूम सकता है; इसे सिरे से देखा गया है, धुरी $O$ पर है और पन्ने से बाहर की ओर इंगित करती है। उसकी स्थिति एक ही संख्या से बताई जा सकती है, वह कोण $θ$ जितना वह घूम चुका है। धुरी से $r$ दूरी पर स्थित एक बिंदु पर बल $F$ लगता है। मान लीजिए पिंड एक छोटा कोण $d θ$ घूमता है। तब बिंदु अपने वृत्त पर एक छोटा कदम $d l$ चलता है। चूँकि घूर्णन छोटा है, यह कदम स्पर्शरेखा के अनुदिश है, त्रिज्या $r$ के लंबवत, और उसकी लंबाई वृत्त के एक छोटे चाप के बराबर है: $d l = r d θ$ , जहाँ $d θ$ रेडियन में है।

अब बिंदु से सिर-से-पूँछ जोड़कर खींचे गए दो तीरों को देखें। वे $F$ को दो भागों में बाँटते हैं: त्रिज्या के अनुदिश भाग $F_{∥}$ और कदम के अनुदिश भाग $F_{⊥}$ । $F_{∥}$ कदम के लंबवत है, इसलिए वह कोई कार्य नहीं करता; $F_{⊥}$ कदम के अनुदिश है और पूरा कार्य वही करता है:
$d W = F \cdot d l = F_{⊥} r d θ$

$d θ$ के सामने वाला गुणक ही वह राशि है जिसकी हमें तलाश थी। धुरी के परितः बल-आघूर्ण को हम इस प्रकार परिभाषित करते हैं
$τ = r F_{⊥}$
तब एक छोटे घुमाव में किया गया कार्य $d W = τ d θ$ होता है: जैसे बल गुणा दूरी कार्य है, वैसे ही बल-आघूर्ण गुणा कोण कार्य है। यही गुणनफल एक और तरह से भी पढ़ा जा सकता है। यदि $φ$ त्रिज्या और बल के बीच का कोण है, तो $F_{⊥} = F sin φ$ है, और $r sin φ$ बाहु है, यानी धुरी से उस रेखा की लंबवत दूरी जिस पर बल लगता है। अतः बल-आघूर्ण को पूरे बल गुणा उसकी बाहु के रूप में भी देखा जा सकता है। जो बल सीधा धुरी की ओर हो, उसका $F_{⊥} = 0$ होता है और कोई बाहु नहीं होती, इसलिए उसका बल-आघूर्ण भी शून्य होता है: यही वह पहिया है जो घूमने से इनकार करता था।

निर्देशांकों से भी वही परिणाम मिलता है, और यह सूत्र उपयोग में आसान है। धुरी को मूल-बिंदु से होकर $z$ के अनुदिश रखिए। जब पिंड $d θ$ वामावर्त घूमता है, तो $(x, y)$ पर स्थित बिंदु $d x = - y d θ$ और $d y = x d θ$ चलता है। यह चित्र 1 के कदम $d l$ का घटकों में लिखा रूप है: वह त्रिज्या के लंबवत है और उसकी लंबाई $r d θ$ है। वहाँ लगने वाला बल $(F_{x}, F_{y})$ यह कार्य करता है
$d W = F_{x} d x + F_{y} d y = (x F_{y} - y F_{x}) d θ$
अतः $τ = x F_{y} - y F_{x}$ । यह सदिश गुणनफल $r \times F$ का $z$ -घटक है, जो तब धनात्मक होता है जब बल पिंड को $+ z$ की ओर से देखने पर वामावर्त घुमाने की प्रवृत्ति रखता है। चूँकि $r$ , $x$ और $y$ सभी धुरी से मापे जाते हैं, बल-आघूर्ण का मान चुनी गई धुरी पर निर्भर करता है; इसलिए हमेशा बताना चाहिए कि बल-आघूर्ण किस धुरी के परितः है।

$d W = τ d θ$ को घुमाव में लगे समय $d t$ से भाग देने पर घूमते पिंड को दी गई शक्ति मिलती है। कोणीय वेग $ω = d θ / d t$ लेने पर
$P = τ ω$
यह $P = F v$ का घूर्णी समरूप है।

एनिमेशन की संख्याएँ इसकी पुष्टि करती हैं। भार नीचे पहुँचने से ठीक पहले डोरी में तनाव $T \approx 9.64 N$ है। नाभि पर, 0.12 m की बाहु पर, यह बल-आघूर्ण $τ = 9.64 \cdot 0.12 \approx 1.16 N \cdot m$ है, और पहिया 4.60 rad/s से घूमता है, इसलिए डोरी पहिये को $τ ω \approx 1.16 \cdot 4.60 \approx 5.3 W$ देती है। डोरी के दूसरे सिरे पर वह भार को ऊपर खींचती है, और भार 0.553 m/s से नीचे गिरता है, इसलिए वह भार से $T v \approx 9.64 \cdot 0.553 \approx 5.3 W$ की दर से ऊर्जा लेती है। दोनों दरें मेल खाती हैं: हल्की डोरी ऊर्जा संचित नहीं करती, केवल उसे आगे पहुँचाती है।

घूमते पिंड के लिए न्यूटन का दूसरा नियम

बल-आघूर्ण बताता है कि पिंड को कितनी ज़ोर से घुमाया जा रहा है। हमें वह नियम भी चाहिए जो बताए कि पिंड कितनी तेज़ी से प्रतिक्रिया देता है, यानी $F = ma$ का घूर्णी रूप। इसे हम पिंड के हर भाग पर न्यूटन का दूसरा नियम लगाकर और परिणामों को जोड़कर प्राप्त करते हैं।

चित्र 2 में ये भाग दिखाए गए हैं। धुरी से एक ही दूरी $s$ पर स्थित पदार्थ को एक साथ समूहित कीजिए: चकती में यह एक पतला छल्ला है, जैसा सुनहरा छल्ला, चौड़ाई $d s$ और द्रव्यमान $d m$ वाला। छल्ले का हर कण $s$ त्रिज्या के वृत्त पर घूमता है, जिसका कोणीय वेग $ω$ और कोणीय त्वरण $α = d ω / d t$ पूरे पिंड के समान हैं। अतः उसके त्वरण के दो भाग होते हैं, दोनों छल्ले के शीर्ष पर दिखाए गए हैं: एक अभिकेंद्रीय भाग $ω^{2} s$ , जो धुरी $O$ की ओर है और कण को उसके वृत्त पर बनाए रखता है; और एक स्पर्शरेखीय भाग $α s$ , वृत्त के अनुदिश, जो कण की चाल बढ़ाता है।

न्यूटन के दूसरे नियम से छल्ले पर नेट बल के भी ये ही दो भाग होते हैं: द्रव्यमान गुणा प्रत्येक त्वरण। अभिकेंद्रीय बल धुरी की ओर इंगित करता है, इसलिए उसकी कोई बाहु नहीं और कोई बल-आघूर्ण नहीं। केवल स्पर्शरेखीय बल $α s d m$ का बल-आघूर्ण होता है, जिसकी बाहु $s$ है:
$d τ = s \cdot (α s d m) = s^{2} α d m$

अब इन बल-आघूर्णों को पूरे पिंड पर जोड़िए। हर कण पर नेट बल बाहरी बलों और अन्य कणों के आंतरिक बलों से मिलकर बना होता है। आंतरिक बल जोड़ों में निरस्त हो जाते हैं: दो कण आपस में उनकी मिलाने वाली रेखा के अनुदिश बराबर और विपरीत बल लगाते हैं, इन दोनों बलों की बाहु समान होती है और वे विपरीत दिशाओं में घुमाते हैं। केवल बाहरी बल-आघूर्ण बचते हैं; और चूँकि हर कण का $α$ समान है, वह योग के बाहर निकल आता है:
$τ_{ext} = (\int s^{2} d m) α = I α$
समाकलन $I = \int s^{2} d m$ जड़त्व-आघूर्ण है। यह $F = ma$ में द्रव्यमान की भूमिका निभाता है, परंतु यह केवल द्रव्यमान की मात्रा पर नहीं, बल्कि इस पर भी निर्भर करता है कि द्रव्यमान कहाँ स्थित है: हर भाग धुरी से अपनी दूरी के वर्ग के अनुपात में गिना जाता है।

चित्र 2 की एकसमान चकती के लिए, जिसकी त्रिज्या $R$ और द्रव्यमान $M$ है, समाकलन छल्लों पर एक योग है। सुनहरे छल्ले को काटकर सीधा कीजिए, जैसा नीचे दिखाया गया है: वह लंबाई $ℓ = 2 π s$ और चौड़ाई $d s$ की एक पट्टी बन जाता है, जिसका क्षेत्रफल $2 π s d s$ है। चकती का द्रव्यमान उसके क्षेत्रफल $π R^{2}$ पर समान रूप से फैला है, इसलिए प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान $M / (π R^{2})$ है और छल्ले का द्रव्यमान
$d m = \frac{M}{π R ^{2}} \cdot 2 π s d s = \frac{2 M}{R ^{2}} s d s$
केंद्र से किनारे तक छल्लों का योग करने पर
$I = \int_{0}^{R} s^{2} \frac{2 M}{R ^{2}} s d s = \frac{2 M}{R ^{2}} \cdot \frac{R ^{4}}{4} = \frac{1}{2} M R^{2}$
यह उसी द्रव्यमान और त्रिज्या की पतले छल्ले के मान $M R^{2}$ का आधा है, क्योंकि चकती का अधिकांश द्रव्यमान धुरी के पास स्थित है। एनिमेशन की चकती के लिए $I = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 0.4 0^{2} = 0.80 kg \cdot m^{2}$ ।

जड़त्व-आघूर्ण इस पर भी निर्भर करता है कि कौन-सी धुरी ली गई है। द्रव्यमान केंद्र से गुज़रने वाली धुरी के समांतर, उससे $d$ दूरी पर स्थित धुरी के लिए, समांतर-अक्ष प्रमेय देता है
$I = I_{cm} + M d^{2}$
इसका कारण यह है: हर भाग का नई धुरी से दूरी का वर्ग, पुरानी धुरी से दूरी के वर्ग, $d^{2}$ और एक तिर्यक पद के योग के रूप में लिखा जा सकता है। पूरे पिंड पर जोड़ने पर तिर्यक पद उस द्रव्यमान-भारित औसत स्थिति के समानुपाती होता है जो द्रव्यमान केंद्र से मापी जाती है, और द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा से यह औसत शून्य है। एनिमेशन की चकती को उसकी परिधि पर लगी कील से लटकाएँ, तो $d = 0.40 m$ और $I = 0.80 + 10 \cdot 0.4 0^{2} = 2.40 kg \cdot m^{2}$ होता है, जो केंद्र के परितः मान का तीन गुना है।

कोणीय संवेग और घूर्णी शब्दकोश

सीधी-रेखा गति में न्यूटन का नियम सबसे सामान्य रूप में $F = d p / d t$ है। कोणीय संवेग परिभाषित होने पर घूर्णन में भी यही रूप आता है, और उसके साथ एक-आयामी गतिकी का हर परिणाम लागू होता है।

चित्र 2 के छल्ले का हर कण $ω s$ की चाल से चलता है, इसलिए उसका संवेग वृत्त के अनुदिश $ω s d m$ है। धुरी के परितः उसका कोणीय संवेग, उस संवेग गुणा उसकी बाहु $s$ , अर्थात $s \cdot (ω s) d m$ है। पूरे पिंड पर जोड़ने से कुल कोणीय संवेग $L = I ω$ मिलता है। दृढ़ पिंड के लिए $I$ नहीं बदलता, इसलिए $I α = d (I ω) / d t$ और घूर्णन का नियम इस रूप में आता है
$L = I ω, τ = \frac{d L}{d t}$
यह $F = d p / d t$ का समरूप है: बल-आघूर्ण कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर है।

गतिज ऊर्जा इसी तरह बनती है। $ω s$ से चलता कोई कण $\frac{1}{2} (ω s)^{2} d m$ ऊर्जा रखता है, और जोड़ने पर
$K = \frac{1}{2} I ω^{2}$
मिलता है। बल-आघूर्ण द्वारा किया गया कार्य, $\int τ d θ$ , $K$ में परिवर्तन के बराबर होता है, जैसे $\int F d x$ $\frac{1}{2} m v^{2}$ में परिवर्तन के बराबर होता है।

सीधी-रेखा गति और घूर्णन के बीच का शब्दकोश अब पूरा है: $x \leftrightarrow θ$ , $v \leftrightarrow ω$ , $a \leftrightarrow α$ , $m \leftrightarrow I$ , $F \leftrightarrow τ$ , $p \leftrightarrow L$ , $\frac{1}{2} m v^{2} \leftrightarrow \frac{1}{2} I ω^{2}$ और $F v \leftrightarrow τ ω$ । एनिमेशन की विशेषज्ञ परत इनमें से चार जोड़े सूचीबद्ध करती है। एक-आयामी गतिकी का हर परिणाम, स्थिर-त्वरण वाले समीकरणों समेत, लागू होता है।

एक प्रविष्टि का यथार्थ समरूप नहीं है। पिंड का द्रव्यमान स्थिर रहता है, परंतु जब भी पिंड की आकृति बदलती है, उसका जड़त्व-आघूर्ण बदल जाता है, क्योंकि $I$ इस पर निर्भर करता है कि द्रव्यमान कहाँ है। तब भी $τ = d L / d t$ लागू रहता है, परंतु $τ = I α$ नहीं। एक स्केटर जब अपनी भुजाएँ भीतर खींचती है तो वह तेज़ घूमने लगती है, हालाँकि उस पर कोई बल-आघूर्ण नहीं लगता: $L = I ω$ स्थिर रहता है, $I$ घटता है, इसलिए $ω$ बढ़ता है।

कोणीय-वेग ग्राफ़ पढ़ना

समय के विरुद्ध कोणीय वेग का ग्राफ़ पहिये की पूरी गति एक नज़र में दिखा देता है। इसे वेग-समय ग्राफ़ की तरह ही पढ़ा जाता है: ढाल कोणीय त्वरण है और नीचे का क्षेत्रफल घुमाए गए कोण के बराबर है।

चित्र 3 वह ग्राफ़ है जिसे एनिमेशन की विशेषज्ञ परत बनाती है: भार छोड़े जाने के बाद के समय $t$ के विरुद्ध $ω$ । जब तक डोरी खींचती है, उसका बल-आघूर्ण $τ$ स्थिर है, इसलिए $τ = I α$ के अनुसार कोणीय त्वरण भी स्थिर है, और ग्राफ़ एक सीधी रेखा है। छोटे ढाल-त्रिभुज को देखिए: किसी भी समय-अंतराल $Δ t$ में $ω$ $α Δ t$ बढ़ता है, इसलिए रेखा की ढाल है
$α = τ / I = 1.16/0.80 \approx 1.45 rad/ s^{2}$

अब छायांकित त्रिभुज को देखिए। हर छोटा अंतराल $d t$ घुमाए गए कोण में $ω d t$ जोड़ता है, इसलिए रेखा के नीचे का क्षेत्रफल कोण $θ$ है। भार $t_{1} = 3.19 s$ पर नीचे पहुँचता है, जब पहिया $ω_{1} = 4.60 rad/s$ तक पहुँच चुका होता है, इसलिए
$θ = \frac{1}{2} \cdot 3.19 s \cdot 4.60 rad/s \approx 7.3 rad$
डोरी एक स्वतंत्र जाँच भी देती है। वह नाभि से बिना फिसले खुलती है, इसलिए 0.12 m त्रिज्या की नाभि से 0.88 m डोरी खुलने का अर्थ है $θ = 0.88/0.12 \approx 7.33 rad$ , वही कोण। एनिमेशन का $L$ रीडिंग केवल इस ग्राफ़ का $I$ गुणा है: यह हर सेकंड 1.16 kg·m²/s बढ़ता है, क्योंकि $L (t)$ की ढाल ही बल-आघूर्ण है।

$t_{1}$ पर भार नीचे पहुँचता है, डोरी खिंचना बंद करती है, और $τ = 0$ हो जाता है, जैसा ग्राफ़ के समतल भाग पर चिह्नित है। तब $d L / d t = 0$ : रेखा समतल हो जाती है, और $L$ $0.80 \cdot 4.60 \approx 3.68 kg \cdot m^{2} /s$ पर स्थिर रहता है, क्योंकि पहिये को धीमा करने के लिए कोई घर्षण नहीं है। ग्राफ़ के नीचे का क्षेत्रफल अब भी बढ़ता रहता है, पर अब हर सेकंड 4.60 rad की दर से। मोड़ पर ढाल 1.45 rad/s² से अचानक शून्य हो जाती है, परंतु $ω$ स्वयं नहीं उछलता: $ω$ में कोई उछाल शून्य समय में $L$ को एक परिमित मात्रा से बदल देता, और उसके लिए अनंत बल-आघूर्ण चाहिए।

ऊर्जा और प्रभावी द्रव्यमान

ऊर्जा-संरक्षण पूरी गणना की स्वतंत्र जाँच करता है। यह पहिये को समझने का एक उपयोगी तरीका भी देता है: इसे एक अतिरिक्त द्रव्यमान की तरह देखा जा सकता है, जिसे गिरते भार को अपने साथ खींचना पड़ता है।

$h = 0.88 m$ गिरने के बाद, $m = 1 kg$ द्रव्यमान के भार ने $m g h \approx 8.63 J$ ऊर्जा मुक्त कर दी है। अब पहिये में $\frac{1}{2} I ω^{2} \approx 8.48 J$ है और भार में $\frac{1}{2} m v^{2} \approx 0.15 J$ , अतः 98 % ऊर्जा घूर्णन में जा चुकी है। चूँकि डोरी नहीं फिसलती, भार उसी चाल से चलता है जिस चाल से नाभि की परिधि चलती है, $v = ω r$ , जहाँ $r = 0.12 m$ नाभि की त्रिज्या है। $ω = v / r$ लिखने पर ऊर्जा-संतुलन यह हो जाता है
$m g h = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} I ω^{2} = \frac{1}{2} (m + \frac{I}{r ^{2}}) v^{2}$

डोरी की ओर से देखें तो पहिया एक अतिरिक्त द्रव्यमान $I / r^{2} = 0.80/0.1 2^{2} \approx 55.6 kg$ की तरह व्यवहार करता है, जिसे भार को अपने साथ खींचना पड़ता है। समय के सापेक्ष अवकलन करने पर ( $h$ की परिवर्तन-दर $v$ है और $v$ की $a$ ) हमें $m gv = (m + I / r^{2}) v a$ मिलता है, अतः
$a = \frac{m g}{m + I / r ^{2}}$
यह 1 kg का भार 56.6 kg के प्रभावी द्रव्यमान को त्वरित करता है, इसीलिए यह केवल 0.17 m/s² से धीरे-धीरे नीचे खिसकता है।

नाभि की त्रिज्या एक डिज़ाइन का चुनाव है। इसे 0.06 m तक आधा कर दें, तो $I / r^{2}$ चार गुना होकर 222 kg हो जाता है, इसलिए भार का त्वरण लगभग चार गुना धीमा हो जाता है। पहिये का कोणीय त्वरण $α = a / r$ उतना नहीं गिरता, क्योंकि छोटी नाभि डोरी के हर मीटर पर पहिये को अधिक कोण तक घुमाती है, फिर भी वह आधा होकर लगभग 0.73 rad/s² रह जाता है। सामान्यतः
$α = \frac{m g r}{I + m r ^{2}}$
यह तब तक $r$ के साथ बढ़ता है जब तक $m r^{2} < I$ है, यानी $r = I / m \approx 0.89 m$ तक। यह पहिये की अपनी 0.40 m त्रिज्या से भी अधिक है, इसलिए इस पहिये के लिए चौड़ी नाभि हमेशा उसे तेज़ी से घुमाती है: लंबी बाहु, भार के जड़त्व में बढ़ते हिस्से $m r^{2}$ पर भारी पड़ती है।

उदाहरण: पहिये को योयो की तरह

अब तक धुरी स्थिर थी। योयो दिखाता है कि जब धुरी स्वयं चलती है, तब भी वही नियम काम करते हैं। डोरी का मुक्त सिरा छत से बाँधिए और पहिये को नीचे गिरने दीजिए; वह बड़े योयो की तरह अपनी नाभि से डोरी खोलेगा, जहाँ $M = 10 kg$ , $I = 0.80 kg \cdot m^{2}$ और नाभि की त्रिज्या $r = 0.12 m$ है। यह कितनी तेज़ी से त्वरित होगा, डोरी कितने बल से खींचेगी, और 0.88 m गिरने के बाद ऊर्जा कैसे बँटेगी?

चित्र 4 पहिये पर लगने वाले दो बलों को पैमाने पर दिखाता है। उसका भार $M g$ केंद्र पर लगता है। डोरी का खिंचाव $T$ नाभि के दाएँ किनारे पर ऊपर की ओर लगता है, केंद्र से $r$ दूरी पर, और वह $M g$ से थोड़ा छोटा है। उनका अंतर $M g - T$ केंद्र को $a$ से नीचे की ओर त्वरित करता है, जो बाईं ओर का सीधा तीर है। केंद्र के परितः भार की कोई बाहु नहीं है, इसलिए केवल $T$ पहिये को घुमाता है। चूँकि वह केंद्र के दाईं ओर ऊपर खींचता है, वह पहिये को वामावर्त घुमाता है, जिसका कोणीय त्वरण $α$ वक्र तीर से दिखाया गया है।

क्या धुरी के गिरते समय भी $τ = I α$ लगाया जा सकता है? हाँ, यदि धुरी द्रव्यमान केंद्र से होकर गुज़रे और अपनी दिशा बनाए रखे। केंद्र के साथ गिरते फ़्रेम में पहिया केवल एक स्थिर धुरी के परितः घूमता है, और उस फ़्रेम में एकमात्र अतिरिक्त बल, जड़त्वीय बल $- M a$ , द्रव्यमान केंद्र पर लगता है, जहाँ उसकी कोई बाहु नहीं है।

दोनों गतियाँ आपस में जुड़ी हैं। डोरी छत से बँधी है, इसलिए नाभि पर वह बिंदु जहाँ से डोरी निकलती है, क्षण-भर के लिए स्थिर है। पहिया उसी बिंदु के परितः घूमता है, इसलिए केंद्र, जो $r$ दूरी पर है, हर रेडियन घूमने पर $r$ नीचे आता है: $a = α r$ ।

स्थानांतरीय गति, केंद्र के परितः घूर्णन और यह लोटन-प्रतिबंध, $a$ , $T$ और $α$ के लिए तीन समीकरण देते हैं:
$M g - T = M a, T r = I α, a = α r$
दूसरे समीकरण में $α = a / r$ रखने पर $T = I a / r^{2}$ मिलता है, और उसे पहले में रखने पर:
$a = \frac{g}{1 + I / ( M r ^{2} )} = \frac{9.81}{1 + 5.56} \approx 1.50 m/ s^{2}, T = M (g - a) \approx 83.1 N$
और $α = a / r \approx 12.5 rad/ s^{2}$ । यह फिर से प्रभावी-द्रव्यमान का परिणाम है: घूर्णन, गुरुत्व द्वारा खींचे जाने वाले 10 kg में $I / r^{2} \approx 55.6 kg$ जोड़ देता है। 0.88 m गिरने के बाद $v = 2 ah \approx 1.62 m/s$ और $ω = v / r \approx 13.5 rad/s$ है, जो एनिमेशन में पहुँचे 4.60 rad/s का लगभग तीन गुना है, क्योंकि अब पहिये को केवल 1 kg का भार नहीं, बल्कि उसका अपना पूरा भार चला रहा है।

मुक्त हुई ऊर्जा $M g h \approx 86.3 J$ दो भागों में बँटती है: स्थानांतरीय $\frac{1}{2} M v^{2} \approx 13.2 J$ और घूर्णी $\frac{1}{2} I ω^{2} \approx 73.2 J$ । उनका अनुपात ऊँचाई से स्वतंत्र, $I / (M r^{2}) \approx 5.56$ पर स्थिर रहता है, क्योंकि हर क्षण $ω = v / r$ होता है। डोरी 98.1 N के पूरे भार के बजाय 83.1 N से खिंचती है, इसलिए डोरी थामे स्प्रिंग-तुला पर योयो के गिरते समय उसके भार से कम पाठ्यांक दिखता है। और नीचे, जब डोरी पूरी तरह खुल चुकी होती है, तब भी पहिया घूम रहा होता है, इसलिए वह डोरी को फिर से लपेटने लगता है: योयो इसी तरह वापस ऊपर आता है।

वैधता की सीमाएँ

मॉडल मानता है कि पहिया दृढ़ है, डोरी हल्की है और न खिंचती है न फिसलती है, और धुरी घर्षण-रहित है। घर्षण पहिये को घुमाने की तुलना में उसके अपने-आप घूमते रहने (कोस्टिंग) में अधिक मायने रखता है। 0.02 N·m का बेयरिंग-बल-आघूर्ण डोरी के 1.16 N·m के 2 % से भी कम है, इसलिए यह $α$ को 2 % से भी कम घटाएगा। परंतु भार नीचे पहुँचने के बाद यही एकमात्र बल-आघूर्ण रह जाता है, और यह घूमते रहते पहिये को $I ω / τ = 0.80 \cdot 4.60/0.02 \approx 184 s$ , यानी लगभग तीन मिनट में रोक देगा।

तेज़ चक्रण पर दृढ़ता विफल हो जाती है। पतले घूमते किनारे में प्रतिबल लगभग $ρ v^{2}$ होता है, जहाँ $ρ$ घनत्व और $v$ किनारे की चाल है, इसलिए जब $ρ v^{2}$ पदार्थ की मज़बूती के बराबर हो जाता है, तो किनारा फट जाता है। इस्पात के किनारे (घनत्व 7800 kg/m³, मज़बूती लगभग $1 0^{9} Pa$ ) लगभग 360 m/s पर फटते हैं। एनिमेशन के किनारे की चाल $4.60 \cdot 0.40 \approx 1.84 m/s$ है।

अदिश नियम $τ = I α$ के लिए स्थिर धुरी चाहिए, या द्रव्यमान केंद्र से होकर जाने वाली ऐसी धुरी जो अपनी दिशा बनाए रखे। त्रि-आयामी स्थिति में बल-आघूर्ण एक सदिश है, $τ = r \times F$ , और $L$ का $ω$ से संबंध एक अदिश संख्या से नहीं, बल्कि जड़त्व-टेंसर से तय होता है, यानी नौ संख्याओं का एक समुच्चय, जो $I$ का स्थान लेता है। किसी सममिति-अक्ष के परितः घुमाए गए पहिये में $L$ और $ω$ समांतर होते हैं। असमतोल पहिये में $L$ धुरी से हटकर झुका होता है, इसलिए पहिये के घूमने पर $L$ एक शंकु बनाता है, और स्थिर चाल पर भी बेयरिंग को $d L / d t$ जितना बल-आघूर्ण देना पड़ता है। इसीलिए कार के पहिये संतुलित किए जाते हैं, और यहीं से जाइरोस्कोप और पुरस्सरण (प्रिसेशन) शुरू होते हैं।

आपेक्षिक सुधार, जो पहिये के किनारे के लिए लगभग $v^{2} / c^{2} \approx 4 \times 1 0^{- 17}$ हैं, यहाँ कोई भूमिका नहीं निभाते। क्वांटम यांत्रिकी में कोणीय संवेग $ℏ \approx 1.05 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ की कोटि के चरणों में आता है। पहिये का $3.68 kg \cdot m^{2} /s$ ऐसे लगभग $3.5 \times 1 0^{34}$ चरणों के बराबर है, इसलिए उसका चक्रण पूरी तरह सतत दिखता है; परंतु अणु का घूर्णन असतत स्तरों में होता है, जो माइक्रोवेव स्पेक्ट्रम में दिखते हैं।

आगे की दिशा

कुल बल-आघूर्ण और कुल बल को शून्य रखें, तो आप स्थैतिक संतुलन और उत्तोलक तक पहुँचते हैं। जड़त्व-आघूर्ण बदलने दें, या धुरी को झुकाएँ, तो आप कोणीय संवेग और उसके संरक्षण तक पहुँचते हैं, जिसमें स्केटर, केप्लर का समान-क्षेत्रफल नियम और पुरस्सरण करता जाइरोस्कोप शामिल हैं। किसी बिंदु से लटका पिंड गुरुत्व से प्रत्यानयन बल-आघूर्ण पाता है और भौतिक लोलक की तरह दोलन करता है, छोटे दोलनों के लिए जिसका आवर्तकाल $2 π I / (M g d)$ है, जहाँ $d$ धुरी से द्रव्यमान केंद्र की दूरी है। $I = 2.40 kg \cdot m^{2}$ और $d = 0.40 m$ वाली, किनारे से लटकी चकती लगभग 1.55 s के आवर्तकाल से दोलन करती है; सरल आवर्त गति इसी को विकसित करती है। चुंबकीय क्षेत्र का किसी धारा-लूप पर बल-आघूर्ण हर विद्युत मोटर को चलाता है, जो मोटर, जनित्र और ट्रांसफ़ॉर्मर का विषय है, और शक्ति का सूत्र $P = τ ω$ इस पाठ को कार्य, ऊर्जा और शक्ति से जोड़ता है।

मुख्य सूत्र

बल का बल-आघूर्ण

τ = r F sin θ

बल-आघूर्ण यह मापता है कि कोई बल किसी पिंड को किसी अक्ष के परितः कितनी प्रबलता से घुमाता है। केवल बल का त्रिज्या के लंबवत घटक $F sin θ$ घुमाने का काम करता है, और वह पूरी त्रिज्या $r$ के साथ कार्य करता है; समतुल्य रूप से, पूरा बल बाहु $r sin θ$ के साथ लगता है। जिस बल की क्रिया-रेखा अक्ष से होकर गुज़रे ( $θ = 0$ या 180°), उसका बल-आघूर्ण शून्य होता है। घूर्णन की एक धनात्मक दिशा चुनिए और विपरीत बल-आघूर्णों को विपरीत चिह्न दीजिए।

चिह्न
$τ$	अक्ष के परितः बल-आघूर्ण	$N \cdot m$
$r$	अक्ष से उस बिंदु की दूरी जहाँ बल लगता है	$m$
$F$	बल का परिमाण	$N$
$θ$	त्रिज्या और बल के बीच का कोण	$rad$

कब लागू होता है: अक्ष के लंबवत तल में लगने वाले बल के लिए। त्रि-आयामी (3-D) स्थिति में बल-आघूर्ण सदिश $τ = r \times F$ है, और स्थिर धुरी पर घूमने वाले पिंड को केवल उसका अक्ष के अनुदिश घटक ही घुमाता है।

उदाहरण: कब्ज़ों से 0.80 m दूर दरवाज़े के हैंडल पर, 30° पर लगाया गया 20 N का धक्का: $τ = 0.80 \cdot 20 \cdot sin 3 0^{\circ} = 8 N \cdot m$ ।

घूर्णन के लिए न्यूटन का दूसरा नियम

τ = I α

जैसे नेट बल त्वरण उत्पन्न करता है, वैसे ही नेट बल-आघूर्ण कोणीय त्वरण उत्पन्न करता है। जड़त्व-आघूर्ण $I$ द्रव्यमान की भूमिका निभाता है: वह जितना बड़ा होगा, उतना ही कम कोणीय त्वरण एक दिए गए बल-आघूर्ण से उत्पन्न होगा। यह नियम पिंड के हर भाग पर न्यूटन के दूसरे नियम को लगाने से निकलता है, जिसमें आंतरिक बल-आघूर्ण जोड़ों में निरस्त हो जाते हैं।

चिह्न
$τ$	अक्ष के परितः नेट बाह्य बल-आघूर्ण	$N \cdot m$
$I$	उसी अक्ष के परितः जड़त्व-आघूर्ण	$kg \cdot m^{2}$
$α$	कोणीय त्वरण	$rad/ s^{2}$

कब लागू होता है: स्थिर अक्ष पर घूमने वाले दृढ़ पिंड के लिए, या द्रव्यमान केंद्र से होकर जाने वाले उस अक्ष के लिए जो अपनी दिशा बनाए रखता है। बल-आघूर्ण और जड़त्व-आघूर्ण एक ही अक्ष के लिए होने चाहिए; यदि पिंड का आकार बदलता है, तो इसके बजाय $τ = d L / d t$ का प्रयोग कीजिए।

उदाहरण: एनिमेशन का पहिया: $α = 1.16/0.80 \approx 1.45 rad/ s^{2}$ ।

एकसमान चकती का जड़त्व-आघूर्ण

I = \frac{1}{2} M R^{2} (uniform disc)

द्रव्यमान का हर टुकड़ा अक्ष से अपनी दूरी के वर्ग के अनुपात में गिना जाता है, $I = \int s^{2} d m$ । पतले छल्ले का सारा द्रव्यमान दूरी $R$ पर होता है, इसलिए $I = M R^{2}$ ; चकती का अधिकांश द्रव्यमान भीतर की ओर होता है, जिससे मान आधा हो जाता है। मोटाई मायने नहीं रखती: अपने अक्ष के परितः घूमने वाला ठोस बेलन भी $\frac{1}{2} M R^{2}$ रखता है।

चिह्न
$I$	चकती की अक्ष के परितः जड़त्व-आघूर्ण	$kg \cdot m^{2}$
$M$	चकती का द्रव्यमान	$kg$
$R$	चकती की त्रिज्या	$m$

कब लागू होता है: केवल एकसमान चकती या ठोस बेलन के लिए जो अपने सममिति-अक्ष के परितः घूमते हों। दूरी $d$ पर स्थित समांतर अक्ष के लिए $I = I_{cm} + M d^{2}$ प्रयोग कीजिए; नाभि, तीलियाँ या भारी किनारा मान बदल देते हैं।

उदाहरण: एनिमेशन का पहिया: $I = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 0.4 0^{2} = 0.80 kg \cdot m^{2}$ ।

स्थिर कोणीय त्वरण पर कोणीय वेग

ω = ω_{0} + α t

स्थिर कोणीय त्वरण में कोणीय वेग हर सेकंड $α$ बदलता है, इसलिए समय $t$ के बाद वह $α t$ बदल चुका होता है। यह $v = v_{0} + a t$ का घूर्णी समरूप है, और $ω$ बनाम $t$ का ग्राफ़ ढाल $α$ वाली सीधी रेखा है। घूर्णन के विरुद्ध लगने वाला बल-आघूर्ण $α$ को ऋणात्मक बनाता है।

चिह्न
$ω$	समय $t$ पर कोणीय वेग	$rad/s$
$ω_{0}$	प्रारंभिक कोणीय वेग, $t = 0$ पर	$rad/s$
$α$	कोणीय त्वरण (स्थिर)	$rad/ s^{2}$
$t$	आरंभ से समय	$s$

कब लागू होता है: केवल तब तक जब नेट बल-आघूर्ण, और इसलिए $α$ , स्थिर रहता है: एनिमेशन में, भार के ज़मीन पर पहुँचने तक।

उदाहरण: एनिमेशन का पहिया, विराम से: भार के ज़मीन पर पहुँचने पर $ω = 1.445 \cdot 3.185 \approx 4.60 rad/s$ ।

कोणीय संवेग और उसकी परिवर्तन-दर

L = I ω, τ = \frac{d L}{d t}

कोणीय संवेग $L = I ω$ संवेग $p = m v$ का घूर्णी समकक्ष है। नेट बाह्य बल-आघूर्ण इसकी परिवर्तन-दर है, जैसे बल संवेग की परिवर्तन-दर है। बाह्य बल-आघूर्ण न हो तो $L$ स्थिर रहता है: यही कोणीय संवेग का संरक्षण है।

चिह्न
$L$	अक्ष के परितः कोणीय संवेग	$kg \cdot m^{2} /s$
$I$	जड़त्व-आघूर्ण	$kg \cdot m^{2}$
$ω$	कोणीय वेग	$rad/s$
$τ$	अक्ष के परितः नेट बाह्य बल-आघूर्ण	$N \cdot m$
$t$	समय	$s$

कब लागू होता है: $L = I ω$ स्थिर धुरी या सममिति-अक्ष पर घूर्णन के लिए मान्य है। $τ = d L / d t$ तब भी मान्य है जब $I$ बदलता है, जैसे स्केटर के लिए; त्रि-आयामी (3-D) स्थिति में दोनों सदिश हैं, और $L$ का $ω$ के समांतर होना आवश्यक नहीं।

उदाहरण: भार के ज़मीन पर पहुँचने के बाद $L = 0.80 \cdot 4.60 \approx 3.68 kg \cdot m^{2} /s$ है और स्थिर रहता है, क्योंकि $τ = 0$ है।

घूर्णी गतिज ऊर्जा

K = \frac{1}{2} I ω^{2}

घूमते पिंड का हर भाग $v = ω s$ से चलता है; सभी भागों के $\frac{1}{2} m v^{2}$ जोड़ने पर $\frac{1}{2} I ω^{2}$ मिलता है, जो $\frac{1}{2} m v^{2}$ का समरूप है जिसमें $m$ की जगह $I$ और $v$ की जगह $ω$ है। किसी कोण तक घुमाने वाला बल-आघूर्ण इसे बदलता है: $τ Δ θ = Δ K$ ।

चिह्न
$K$	घूर्णी गतिज ऊर्जा	$J$
$I$	अक्ष के परितः जड़त्व-आघूर्ण	$kg \cdot m^{2}$
$ω$	कोणीय वेग	$rad/s$

कब लागू होता है: स्थिर अक्ष पर घूर्णन के लिए, $ω$ rad/s में। जो पिंड साथ-साथ आगे भी बढ़ता है, जैसे लुढ़कता पहिया, उसकी स्थानांतरीय ऊर्जा $\frac{1}{2} M v_{cm}^{2}$ भी होती है, और तब $I$ द्रव्यमान केंद्र के परितः लिया जाता है।

उदाहरण: 4.60 rad/s पर एनिमेशन का पहिया: $K = \frac{1}{2} \cdot 0.80 \cdot 4.60 4^{2} \approx 8.48 J$ , जो गिरते भार द्वारा मुक्त 8.63 J में से है।

शब्दावली

बल-आघूर्ण: किसी अक्ष के परितः बल का घुमाने वाला प्रभाव, $τ = r F sin θ$ ; इसे बल का आघूर्ण भी कहते हैं। यह बल और अक्ष से उसकी दूरी दोनों के साथ बढ़ता है, और अक्ष की ओर लगने वाले बल का बल-आघूर्ण शून्य होता है। इसे न्यूटन-मीटर में मापा जाता है, परंतु यह ऊर्जा नहीं है।
बाहु: अक्ष से बल की क्रिया-रेखा की लंबवत दूरी, $d = r sin θ$ । बल-आघूर्ण बल गुणा बाहु है: कब्ज़ों से 0.80 m दूर दरवाज़े के हैंडल पर लगा धक्का, 0.10 m पर लगे उसी धक्के से आठ गुना बल-आघूर्ण देता है।
क्रिया-रेखा: वह सीधी रेखा जिसके अनुदिश बल लगता है, जो दोनों दिशाओं में बढ़ाई गई हो। बल को इस रेखा के अनुदिश खिसकाने से न उसका बल-आघूर्ण बदलता है, न दृढ़ पिंड पर उसका प्रभाव।
बल-युग्म: दो बराबर और विपरीत बल, जो एक ही रेखा पर न हों। उनका नेट बल शून्य होता है, परंतु बल-आघूर्ण नहीं: वह किसी भी बिंदु के परितः एक बल गुणा दोनों रेखाओं के बीच की दूरी के बराबर होता है।
दृढ़ पिंड: एक आदर्श पिंड जिसके भागों के बीच की दूरियाँ स्थिर रहती हैं। स्थिर अक्ष पर घूमते समय उसकी स्थिति एक ही कोण से बताई जाती है, और सभी बिंदुओं का कोणीय वेग समान होता है।
रेडियन: वह कोण जिस पर चाप की लंबाई त्रिज्या के बराबर हो; एक पूरा चक्कर $2 π$ rad, यानी लगभग 6.28 rad होता है। संबंध $v = ω r$ और $K = \frac{1}{2} I ω^{2}$ केवल कोणों के रेडियन में होने पर लागू होते हैं।
जड़त्व-आघूर्ण: किसी पिंड की अपने घूर्णन में परिवर्तन के प्रति प्रतिरोध-क्षमता, $I = \sum m s^{2}$ , जो द्रव्यमान का घूर्णी समकक्ष है। यह अक्ष पर और द्रव्यमान कहाँ स्थित है, इस पर निर्भर करता है: समान द्रव्यमान और त्रिज्या की पतले छल्ले का जड़त्व-आघूर्ण, उसी द्रव्यमान और त्रिज्या की एकसमान चकती के जड़त्व-आघूर्ण का दोगुना होता है।
घूर्णन के लिए न्यूटन का दूसरा नियम: किसी अक्ष के परितः नेट बाह्य बल-आघूर्ण, जड़त्व-आघूर्ण और कोणीय त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, $τ = I α$ । आंतरिक बल जोड़ों में निरस्त होते हैं और कोई बल-आघूर्ण नहीं जोड़ते।
समांतर-अक्ष प्रमेय: किसी भी अक्ष के परितः जड़त्व-आघूर्ण, द्रव्यमान केंद्र से गुज़रने वाले समांतर अक्ष के परितः जड़त्व-आघूर्ण में $M d^{2}$ जोड़ने पर मिलने वाले मान के बराबर होता है, जहाँ $d$ दोनों अक्षों के बीच की दूरी है। एनिमेशन की चकती, जो अपनी परिधि पर लटकाई गई है, का मान $0.80 + 10 \cdot 0.4 0^{2} = 2.40 kg \cdot m^{2}$ है।
घूर्णी गतिज ऊर्जा: घूमते पिंड की ऊर्जा, $K = \frac{1}{2} I ω^{2}$ , जो उसके सभी भागों के $\frac{1}{2} m v^{2}$ का योग है। एनिमेशन में पहिया गिरते भार द्वारा मुक्त 8.63 J में से अंततः 8.48 J प्राप्त करता है।
कोणीय संवेग: संवेग का घूर्णी समकक्ष, स्थिर अक्ष पर पिंड के लिए $L = I ω$ । नेट बाह्य बल-आघूर्ण इसकी परिवर्तन-दर है, इसलिए बल-आघूर्ण न होने पर यह स्थिर रहता है।
फ़्लाईव्हील: एक भारी पहिया, जिसका अधिकांश द्रव्यमान आमतौर पर किनारे पर होता है; इसका बड़ा जड़त्व-आघूर्ण घूर्णी ऊर्जा संचित करता है और इंजनों और मशीनों में असमान चालक बल-आघूर्ण को सुचारु बनाता है।

राशियाँ
$τ$	बल-आघूर्ण	$N \cdot m$	अक्ष के परितः बल का घुमाने वाला प्रभाव; इसका चिह्न बताता है कि वह किस दिशा में घुमाने की प्रवृत्ति रखता है। एनिमेशन में, जब डोरी खिंचती है, इसका मान 1.16 N·m है।
$r$	अक्ष से दूरी	$m$	अक्ष से उस बिंदु की दूरी जहाँ बल लगता है। एनिमेशन में यह नाभि की त्रिज्या है, 0.12 m, जहाँ डोरी खिंचती है।
$F$	बल	$N$	लगाया गया बल; एनिमेशन में, डोरी का 9.64 N का तनाव।
$θ$	त्रिज्या और बल के बीच का कोण	$rad$	$τ = r F sin θ$ में त्रिज्या और बल के बीच का कोण; $θ = 9 0^{\circ}$ पर बल-आघूर्ण सबसे अधिक होता है। यही अक्षर उस कोण को भी दर्शाता है जितना पिंड घूमा है।
$I$	जड़त्व-आघूर्ण	$kg \cdot m^{2}$	किसी दिए गए अक्ष के परितः कोणीय त्वरण का प्रतिरोध; एनिमेशन के पहिये के लिए 0.80 kg·m²।
$M$	चकती का द्रव्यमान	$kg$	घूमती चकती या छल्ले का द्रव्यमान; एनिमेशन के पहिये के लिए 10 kg। किसी दिए गए $M$ के लिए, अक्ष से दूर रखा द्रव्यमान बड़ा $I$ देता है।
$R$	चकती की त्रिज्या	$m$	चकती या छल्ले की बाहरी त्रिज्या, एनिमेशन में 0.40 m; इसे नाभि की त्रिज्या $r$ , 0.12 m, से न मिलाएँ, जिस पर डोरी खिंचती है।
$ω$	कोणीय वेग	$rad/s$	घुमाए गए कोण के परिवर्तन की दर; प्रति सेकंड एक चक्कर 6.28 rad/s है।
$ω_{0}$	प्रारंभिक कोणीय वेग	$rad/s$	$t = 0$ पर कोणीय वेग; एनिमेशन के पहिये के लिए शून्य, क्योंकि वह विराम से शुरू होता है।
$α$	कोणीय त्वरण	$rad/ s^{2}$	कोणीय वेग के परिवर्तन की दर; डोरी खिंचने के दौरान पहिये के लिए 1.45 rad/s²।
$L$	कोणीय संवेग	$kg \cdot m^{2} /s$	गुणनफल $I ω$ ; इसकी परिवर्तन-दर नेट बाह्य बल-आघूर्ण है।
$K$	घूर्णी गतिज ऊर्जा	$J$	चक्रण में संचित ऊर्जा, $\frac{1}{2} I ω^{2}$ ।
$t$	समय	$s$	आरंभ से समय; एनिमेशन में भार लगभग 3.19 s पर नीचे पहुँचता है।

क्विज़

शुरुआती दरवाज़े का हैंडल कब्ज़ों से दूर क्यों लगाया जाता है?
1. ताकि वही धक्का अधिक घुमाने वाला प्रभाव दे
2. ताकि दरवाज़ा हल्का लगे
3. ताकि दरवाज़ा अपने-आप बंद हो जाए
4. इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता; यह केवल परंपरा है
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उत्तर: A. ताकि वही धक्का अधिक घुमाने वाला प्रभाव दे
बल-आघूर्ण बल गुणा बाहु है। आप कब्ज़ों से जितनी दूर धकेलते हैं, उसी बल का घुमाने वाला प्रभाव उतना ही बड़ा होता है।
शुरुआती एक भारी पहिये को एक गिरते भार से घुमाया जाता है, और फिर भार फ़र्श से टकराता है। पहिया क्या करता है?
1. तुरंत रुक जाता है
2. स्थिर दर से घूमता रहता है, केवल घर्षण से धीमा होता है
3. लगातार तेज़ होता रहता है
4. उल्टी दिशा में घूमने लगता है
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उत्तर: B. स्थिर दर से घूमता रहता है, केवल घर्षण से धीमा होता है
डोरी ढीली होते ही कोई बल-आघूर्ण नहीं रहता, इसलिए घूर्णन की दर बदलना बंद हो जाती है। घूमता पहिया तब तक घूमता रहता है जब तक उसे कोई न मरोड़े।
शुरुआती दो पहियों का द्रव्यमान समान है। एक का द्रव्यमान किनारे पर है, दूसरे का द्रव्यमान धुरी के पास। किसे तेज़ी से घुमाना अधिक कठिन है?
1. जिसका द्रव्यमान धुरी के पास है
2. दोनों समान रूप से कठिन हैं
3. जिसका द्रव्यमान किनारे पर है
4. यह केवल इस पर निर्भर करता है कि आप उसे कितनी तेज़ी से घुमाना चाहते हैं
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उत्तर: C. जिसका द्रव्यमान किनारे पर है
एक ही घूर्णन-दर पर धुरी से दूर का द्रव्यमान अधिक तेज़ी से चलता है, इसलिए वह घूर्णन की अवस्था में बदलाव का अधिक विरोध करता है: उसका जड़त्व-आघूर्ण बड़ा होता है।
मध्यम 0.25 m लंबे पाने के सिरे पर उसके लंबवत 40 N का बल लगाया गया है। यह कितना बल-आघूर्ण उत्पन्न करता है?
1. 160 N·m
2. 40 N·m
3. 1000 N·m
4. 10 N·m
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उत्तर: D. 10 N·m
τ = r·F = 0.25 × 40 = 10 N·m। 160 N·m F को r से भाग देने से आता है, 40 N·m बाहु को नज़रअंदाज़ करता है, और 1000 N·m 0.25 m की जगह 25 (सेंटीमीटर में लंबाई) का प्रयोग करता है।
मध्यम एक एकसमान चकती का द्रव्यमान 4 kg और त्रिज्या 0.5 m है। उसके अक्ष के परितः जड़त्व-आघूर्ण कितना है?
1. 0.5 kg·m²
2. 1 kg·m²
3. 2 kg·m²
4. 4 kg·m²
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उत्तर: A. 0.5 kg·m²
I = ½·M·R² = ½ × 4 × 0.25 = 0.5 kg·m²। ½ भूल जाने पर 1 kg·m² मिलता है, जो पतले छल्ले का मान होता।
मध्यम एनिमेशन में 1 kg का भार लगभग 0.17 m/s² से नीचे की ओर त्वरित होता है। डोरी का तनाव है:
1. ठीक 9.81 N, जो m·g के बराबर है
2. 9.81 N से थोड़ा कम
3. 9.81 N से थोड़ा अधिक
4. शून्य, क्योंकि भार गिर रहा है
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उत्तर: B. 9.81 N से थोड़ा कम
भार के लिए न्यूटन का दूसरा नियम: m·g − F = m·a, जहाँ a > 0 है, इसलिए F = m·(g − a) ≈ 9.64 N। यदि F, m·g के बराबर होता, तो भार त्वरित नहीं होता।
उन्नत बिना बाहरी बल-आघूर्ण के एक घूमती स्केटर अपनी भुजाएँ भीतर खींचती है और उसका जड़त्व-आघूर्ण आधा हो जाता है। उसकी कोणीय चाल:
1. आधी हो जाती है
2. वही रहती है
3. दोगुनी हो जाती है
4. चार गुनी हो जाती है
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उत्तर: C. दोगुनी हो जाती है
L = I·ω संरक्षित रहता है, इसलिए I आधा होने पर ω दोगुना होता है। उसकी घूर्णी गतिज ऊर्जा ½·I·ω² भी दोगुनी होती है, जो उसकी भुजाओं द्वारा किए गए कार्य से आती है।
उन्नत एनिमेशन में, भार के ज़मीन पर पहुँचते ही ω(t) ग्राफ़ क्षैतिज हो जाता है। यह क्या दर्शाता है?
1. तनाव अब m·g के बराबर है
2. τ = dL/dt = 0, इसलिए L = I·ω संरक्षित है
3. गतिज ऊर्जा अब नष्ट हो रही है
4. कोणीय त्वरण अब अधिकतम है
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उत्तर: B. τ = dL/dt = 0, इसलिए L = I·ω संरक्षित है
डोरी ढीली होने पर बल-आघूर्ण शून्य हो जाता है, इसलिए dL/dt = 0 होता है और कोणीय संवेग, और इसलिए ω, स्थिर रहता है।

$O$	स्थिर धुरी, सिरे से देखी गई: पन्ने से बाहर की ओर इंगित।
$r$	धुरी से उस बिंदु की दूरी जहाँ बल लगता है।	$m$
$d θ$	पिंड द्वारा घूमा गया छोटा कोण।	$rad$
$d l$	बिंदु का कदम: स्पर्शरेखा के अनुदिश, त्रिज्या के लंबवत, लंबाई $d l = r d θ$ ।	$m$
$F$	उस बिंदु पर लगने वाला बल।	$N$
$F_{⊥}$	$F$ का वह भाग जो कदम के अनुदिश है, त्रिज्या के लंबवत: केवल यही कार्य करता है।	$N$
$F_{∥}$	$F$ का वह भाग जो त्रिज्या के अनुदिश है, कदम के लंबवत: यह कोई कार्य नहीं करता।	$N$

$O$	केंद्र से गुज़रने वाली धुरी, सिरे से देखी गई।
$R$	चकती की त्रिज्या।	$m$
$s$	सुनहरे छल्ले की धुरी से दूरी।	$m$
$d s$	छल्ले की चौड़ाई।	$m$
$ℓ$	छल्ले को काटकर सीधा करने पर उसकी लंबाई: उसकी परिधि $2 π s$ ।	$m$
$d m$	छल्ले का द्रव्यमान: उसका क्षेत्रफल $2 π s d s$ गुणा प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान $M / (π R^{2})$ ।	$kg$
$ω^{2} s$	छल्ले के हर भाग का अभिकेंद्रीय त्वरण, धुरी की ओर।	$m/ s^{2}$
$α s$	छल्ले के हर भाग का स्पर्शरेखीय त्वरण, वृत्त के अनुदिश।	$m/ s^{2}$

$t$	भार छोड़े जाने के बाद का समय।	$s$
$ω$	पहिये का कोणीय वेग, $d θ / d t$ ।	$rad/s$
$t_{1}$	वह समय जब भार नीचे पहुँचता है।	$s$
$ω_{1}$	भूमि पर पहुँचते समय का कोणीय वेग, जो सबसे बड़ा मान है।	$rad/s$
$Δ t$	एक समय-अंतराल: ढाल-त्रिभुज का आधार।	$s$
$α Δ t$	समय $Δ t$ में $ω$ की वृद्धि: ढाल $α$ गुणा $Δ t$ ।	$rad/s$
$τ$	डोरी का पहिये पर बल-आघूर्ण: डोरी खिंचने के दौरान स्थिर, भूमि पर पहुँचने के बाद शून्य।	$N \cdot m$
$θ$	छोड़े जाने से भूमि पर पहुँचने तक घुमाया गया कोण: रेखा के नीचे का छायांकित क्षेत्र।	$rad$

$M g$	पहिये का भार, जो उसके केंद्र पर लगता है।	$N$
$T$	डोरी का खिंचाव, नाभि की परिधि पर ऊपर की ओर लगता है।	$N$
$r$	नाभि की त्रिज्या: केंद्र के परितः $T$ की बाहु।	$m$
$a$	केंद्र का त्वरण, नीचे की ओर।	$m/ s^{2}$
$α$	पहिये का कोणीय त्वरण, वामावर्त, क्योंकि डोरी केंद्र के दाईं ओर ऊपर खींचती है।	$rad/ s^{2}$