घर में विद्युत शक्ति और ऊर्जा

शक्ति $P = V I$ बताती है कि कोई उपकरण कितनी तेज़ी से ऊर्जा लेता है, मीटर किलोवाट-घंटे में ऊर्जा $E = Pt$ जोड़ता है, और फ़्यूज़ तथा सर्किट ब्रेकर धारा $I$ को इतना कम रखते हैं कि तार ठंडे रहें।

230 V के परिपथ पर एक बल्ब, एक केतली और एक हीटर एक के बाद एक चालू किए जाते हैं: धारा बढ़ती है, ऊर्जा-मीटर तेज़ घूमता है, और अधिभार से सर्किट ब्रेकर खुल जाता है।

इस विषय से पहले: दिष्ट धारा परिपथ और ओम का नियम

शुरुआती

मुख्य विचार

शक्ति (वाट) बताती है कि उपकरण कितनी तेज़ी से ऊर्जा लेता है: 1 W = 1 जूल/सेकंड; 2000 W की केतली, 10 W के LED से 200 गुना तेज़।
ऊर्जा = शक्ति × समय, किलोवाट-घंटे में मापी जाती है: आप प्रयुक्त किलोवाट-घंटे × एक किलोवाट-घंटे का दाम चुकाते हैं।
हर चालू उपकरण आपूर्ति तारों में धारा बढ़ाता है; बहुत अधिक धारा से तार ज़्यादा गरम हो जाते हैं।
बहुत अधिक धारा होने पर फ़्यूज़ पिघलता है या सर्किट ब्रेकर खुलकर बिजली काट देता है।
LED वही प्रकाश देता है जो पुराना तंतु बल्ब, लगभग एक-छठी शक्ति में; कम ऊर्जा ऊष्मा बनकर नष्ट होती है।

हर उपकरण पर वाट (W) में एक शक्ति-रेटिंग लिखी होती है। शक्ति बताती है कि उपकरण कितनी तेज़ी से ऊर्जा लेता है: एक वाट यानी हर सेकंड एक जूल। LED लैंप लगभग 10 W, टेलीविज़न लगभग 100 W और केतली लगभग 2000 W लेती है, यानी 2 किलोवाट (kW)।

चरण 1: ऊर्जा = शक्ति × समय। यह ऊर्जा किलोवाट-घंटे (kWh) में गिनी जाती है: एक kWh वह ऊर्जा है जो 1 kW का उपकरण एक घंटे में लेता है, यानी 2 kW की केतली आधे घंटे में, या 10 W का LED लैंप 100 घंटे में।

चरण 2: बिल। मीटर kWh जोड़ता है, और आप शक्ति के लिए नहीं, ऊर्जा के लिए भुगतान करते हैं: kWh की संख्या × एक kWh का दाम। 2 kW का हीटर 3 घंटे चालू रहे तो $2 \times 3 = 6 kWh$ लगता है; €0.20 प्रति kWh पर यह €1.20 है।

चरण 3: धारा और सुरक्षा। जो भी उपकरण आप चालू करते हैं, वह उन्हीं आपूर्ति तारों में अधिक धारा खींचता है, और धारा तारों को गरम करती है। एक ही परिपथ पर बहुत शक्तिशाली उपकरण हों तो तार ज़्यादा गरम हो सकते हैं, इसलिए फ़्यूज़ (एक पतला तार जो पिघल जाता है) या सर्किट ब्रेकर (एक स्विच जो खुल जाता है) पहले बिजली काटता है।

एनिमेशन में बल्ब, केतली और हीटर एक के बाद एक चालू होते हैं। हर बार लाल धारा-पट्टी ऊपर उठती है और मीटर की डिस्क तेज़ घूमती है। हीटर केतली के साथ जुड़ता है तो पट्टी सीमा-रेखा पार कर जाती है और ब्रेकर खुल जाता है।

चरण 4: दक्षता। पुराना तंतु बल्ब अपनी अधिकतर ऊर्जा ऊष्मा में बदल देता है; LED उतनी ही रोशनी लगभग एक-छठी शक्ति में देता है।

स्वयं जाँचें: 100 W का लैंप 10 घंटे चालू हो या 2000 W की केतली 15 मिनट, कौन अधिक ऊर्जा लेता है? (उत्तर: लैंप, 1 kWh बनाम 0.5 kWh।)

मध्यम

मुख्य विचार

$P = V I$ ; ओम के नियम से $P = I^{2} R = V^{2} / R$ । $1 W = 1 J/s = 1 V A$ ।
उपकरण समांतर क्रम में जुड़े होते हैं: हर एक को पूरा मेन्स वोल्टता मिलता है, और आपूर्ति धारा $I = (P_{1} + P_{2} + \dots) / V$ है।
$E = Pt$ ; 1 kWh = 1 kW × 1 h = 3.6 MJ। kWh ऊर्जा का मात्रक है, शक्ति का नहीं।
230 V पर 2000 W की केतली 8.70 A लेती है; 10 A का परिपथ अधिकतम $V I_{m a x} = 2300 W$ दे सकता है।

शक्ति: प्रति सेकंड ऊर्जा

शक्ति वह दर है जिस पर ऊर्जा स्थानांतरित होती है, $P = E / t$ , वाट में: $1 W = 1 J/s$ । 2000 W की केतली मेन्स से हर सेकंड 2000 जूल लेती है, जबकि 10 W का LED लैंप केवल 10 जूल।

किसी उपकरण के दोनों सिरों के बीच की वोल्टता $V$ वह ऊर्जा है जो हर कूलॉम आवेश उसमें से गुज़रते समय देता है, $1 V = 1 J/C$ ; और धारा $I$ हर सेकंड गुज़रा आवेश है, $1 A = 1 C/s$ । इनका गुणनफल प्रति सेकंड जूल है:
$P = V I$

ओम का नियम, $V = I R$ , “दिष्ट धारा परिपथ और ओम का नियम” पाठ से, दो और रूप देता है:
$P = I^{2} R = \frac{V ^{2}}{R}$

मेन्स पर वोल्टता स्थिर रहती है, इसलिए $V^{2} / R$ के अनुसार छोटा प्रतिरोध अधिक शक्ति लेता है: केतली के तापन-तत्व का प्रतिरोध केवल $23 0^{2} /2000 \approx 26 Ω$ है, जबकि गरम 100 W लैंप के तंतु का 529 Ω। स्थिर धारा के लिए $I^{2} R$ कहता है कि बड़ा प्रतिरोध अधिक ऊष्मा देता है, इसीलिए आपूर्ति के तार मोटे होते हैं।

मेन्स पर समांतर क्रम में उपकरण

हर सॉकेट एक ही दो तारों (फ़ेज़ और न्यूट्रल) के बीच होता है, इसलिए घरेलू उपकरण समांतर क्रम में होते हैं। चाहे अन्य कुछ भी चालू हो, हर उपकरण को पूरा मेन्स वोल्टता मिलता है (यूरोप में 230 V, उत्तरी अमेरिका में 120 V), और शाखाओं की धाराएँ आपूर्ति-तार में जुड़ती हैं:
$I = \frac{P _{1} + P _{2} + \dots}{V}$

इसलिए $I_{m a x}$ पर सुरक्षित परिपथ अधिकतम $V I_{m a x}$ दे सकता है: 230 V पर 10 A के लिए 2300 W, 16 A के लिए 3680 W। इसी कारण रसोई में कई परिपथ होते हैं।

ऊर्जा, किलोवाट-घंटा और दक्षता

उपकरण जितनी ऊर्जा लेता है वह उसकी शक्ति को उसके चलने के समय से गुणा करने पर मिलती है:
$E = Pt$
जब $P$ वाट में और $t$ सेकंड में हो तो परिणाम जूल में आता है; आपूर्तिकर्ता बड़ी इकाई किलोवाट-घंटा गिनते हैं, यानी 1 kW की ऊर्जा एक घंटे के लिए:
$1 kWh = 3.6 MJ$
क्योंकि $1000 W \cdot 3600 s = 3.6 \times 1 0^{6} J$ । मीटर kWh जोड़ता है, और आप इस ऊर्जा का भुगतान करते हैं, शक्ति का नहीं: 2000 W की केतली 6 मिनट चलाई गई और 10 W का LED 20 घंटे चालू रहा, दोनों 0.2 kWh लेते हैं।

दक्षता उपयोगी निर्गत की निवेश से तुलना करती है:
$η = \frac{P _{useful}}{P _{in}}$
केतली अपनी 80 से 90 % ऊर्जा पानी में देती है, जबकि तंतु लैंप केवल लगभग 5 % दृश्य प्रकाश में; इसीलिए LED को उतनी ही रोशनी के लिए लगभग एक-छठी शक्ति चाहिए।

उदाहरण: एनिमेशन का परिपथ

एनिमेशन के 230 V परिपथ को 10 A का ब्रेकर सुरक्षित रखता है। 100 W का लैंप $100/230 = 0.43 A$ और 2000 W की केतली $2000/230 = 8.70 A$ लेती है, इसलिए दोनों मिलकर
$I = \frac{100 + 2000}{230} = 9.13 A$
सीमा से ठीक नीचे रहते हैं, और $2300 - 2100 = 200 W$ की गुंजाइश बचती है। फिर 2000 W का हीटर धारा को
$I = \frac{100 + 2000 + 2000}{230} = 17.83 A$
तक बढ़ा देता है, यानी रेटिंग का लगभग दोगुना।

ये $I$ रीडिंग के मान हैं, जबकि $P$ रीडिंग 100, 2100 और 4100 W तक बढ़ती है और आपूर्ति-तार पर लाल तीर $I$ लंबा होता है; शाखा-लेबल 0.43, 8.70 और 8.70 A दिखाते हैं। धारा-पट्टी का लाल स्तंभ केतली के साथ 10 A रेखा से ठीक नीचे रहता है और हीटर के साथ उसे पार कर जाता है। 1.2 सेकंड बाद ब्रेकर खुलता है: $P$ और $I$ शून्य हो जाते हैं, और $E$ बढ़ना रुक जाता है।

एनिमेशन के 1 सेकंड को 1 मिनट मानें तो तब तक लैंप 5.5 मिनट, केतली 3.5 मिनट और हीटर 1.2 मिनट चला होता है, अतः वॉट-घंटों में
$E = \frac{100 \cdot 5.5 + 2000 \cdot 3.5 + 2000 \cdot 1.2}{60} Wh = 165.8 Wh$
यानी $E$ रीडिंग का 0.166 kWh (मीटर की खिड़की में 166 Wh)। €0.25 प्रति kWh पर यह लगभग 4 सेंट है।

उदाहरण: एक्सटेंशन रील पर हीटर

1500 W का फ़ैन हीटर 1.0 mm² तांबे के तारों वाली 25 m की एक्सटेंशन रील पर चलता है। इसकी $1500/230 = 6.52 A$ धारा 50 m तांबे के तार में आती-जाती है, जिसकी प्रतिरोधकता $1.7 \times 1 0^{- 8} Ω \cdot m$ है। “विद्युत धारा और प्रतिरोध” पाठ के $R = ρ L / A$ से,
$R_{c} = \frac{ρ L}{A} = \frac{1.7 \times 1 0 ^{- 8} \cdot 50}{1.0 \times 1 0 ^{- 6}} = 0.85 Ω$
$P_{c} = I^{2} R_{c} = 6.5 2^{2} \cdot 0.85 \approx 36 W$

बिना लिपटी केबल पर फैलने पर 36 W हानिरहित है; पर ड्रम पर लिपटी होने पर वही ऊष्मा, लगभग एक छोटे सोल्डरिंग आयरन जितनी, फँस जाती है और इन्सुलेशन को गरम कर सकती है, इसीलिए लिपटी रील की रेटिंग कम होती है। रील वोल्टता भी घटाती है, $I R_{c} \approx 5.5 V$ : $P = V^{2} / R$ के अनुसार 2.4 % कम वोल्टता से लगभग 5 % शक्ति जाती है, यानी लगभग 1430 W बचता है।

पूरी रेटिंग पर, हर शाम 4 घंटे, 30 दिन तक $E = 1.5 \cdot 4 \cdot 30 = 180 kWh$ लगते हैं, €0.25 प्रति kWh पर €45; रील पर मीटर लगभग 176 kWh दिखाता है, जिनमें से 4 रील में ही मुक्त हुए।

फ़्यूज़, ब्रेकर और धारा-पट्टी

तार की रेटिंग वह अधिकतम धारा है जिस पर उसका जूल-तापन $I^{2} R$ इन्सुलेशन को सुरक्षित रखती है, PVC के लिए लगभग 70 °C। फ़ेज़ तार पर फ़्यूज़ (पिघलने वाला पतला तार) या सर्किट ब्रेकर (जिसे दोबारा चालू किया जा सकता है) उस रेटिंग से ऊपर की धारा काट देता है: वह तार की रक्षा करता है, उपकरण की नहीं।

ऊष्मा धारा के वर्ग के अनुपात में बढ़ती है, इसलिए मध्यम अधिभार तभी ख़तरनाक है जब वह देर तक चले; लघु-परिपथ तुरंत ख़तरनाक है। ब्रेकर की द्वि-धातु पट्टी तार की तरह गरम होती है और कुछ सेकंड से कुछ मिनट बाद खुलती है; जब लघु-परिपथ सैकड़ों एम्पियर तक धारा ले जाता है, तो उसका विद्युत-चुंबक लगभग 10 ms में खुल जाता है।

एनिमेशन में लाल पट्टी ब्रेकर से होकर बहने वाली धारा है और रेखा उसकी 10 A रेटिंग: उससे नीचे तार अनंत काल तक चल सकते हैं। हीटर के साथ 17.8 A अधिभार है, इसलिए ब्रेकर 1.2 सेकंड, यानी 1.2 मिनट, रुककर खुलता है।

आम गलतियाँ

उपकरण धारा नहीं खपाते: फ़ेज़ से केतली में जाने वाली 8.70 A न्यूट्रल से वापस लौट जाती है। जो खपता है वह ऊर्जा है, यानी हर सेकंड 2000 जूल।
kWh का अर्थ “किलोवाट प्रति घंटा” नहीं है, बल्कि शक्ति और समय का गुणनफल है, यानी 3.6 MJ की ऊर्जा: 3 kW का हीटर 20 मिनट में 1 kWh लेता है।
समांतर में और उपकरण जोड़ने पर कुल प्रतिरोध बढ़ता नहीं, घटता है: अकेले लैंप के लिए 529 Ω, लैंप और केतली के साथ 25.2 Ω, तीनों के साथ 12.9 Ω, इसीलिए धारा बढ़ती है।
अधिक प्रतिरोध का अर्थ हमेशा अधिक ऊष्मा नहीं: स्थिर वोल्टता पर $P = V^{2} / R$ के अनुसार 26 Ω के केतली-तत्व की शक्ति 2000 W और 529 Ω के तंतु की 100 W है। $I^{2} R$ बड़े प्रतिरोध को केवल समान धाराओं में (जैसे श्रेणी-क्रम में) अधिक ऊष्मा देता है।
बड़ा फ़्यूज़ अधिक सुरक्षित नहीं: 10 A के तार पर 30 A का फ़्यूज़ लगाने से तार अपनी रेटेड धारा का तीन गुना ले जा सकता है, $3^{2} = 9$ गुना तेज़ी से गरम होते हुए, और फ़्यूज़ नहीं पिघलेगा।

यह कहाँ दिखता है

हर बिजली का बिल इसी पाठ का हिस्सा है। औसतन 40 W लेने वाला फ़्रिज साल में लगभग 350 kWh लेता है, और स्टैंडबाई पर 1 W वाला उपकरण भी 8.76 kWh लेता है; 60 kWh की इलेक्ट्रिक कार की बैटरी 7.4 kW के घरेलू चार्जर पर लगभग 8 घंटे में भरती है; और 1 GW का बिजलीघर एक साथ उबलती लगभग पाँच लाख केतलियों के बराबर है।

हर धारा के चारों ओर का चुंबकीय क्षेत्र, जो ब्रेकर खोलता है, “चुंबकों और धाराओं के चुंबकीय क्षेत्र” का विषय है। “मोटर, जनित्र और ट्रांसफ़ॉर्मर” बताता है कि बिजली की लाइनें सैकड़ों किलोवोल्ट पर क्यों चलती हैं ताकि $I^{2} R$ हानि घटे; और “अर्धचालक, डायोड और एलईडी” बताता है कि LED फ़िलामेंट बल्ब से बेहतर क्यों है।

उन्नत

मुख्य विचार

$V$ से गिरता आवेश $d q$ $d W = V d q$ ऊर्जा देता है, इसलिए $P = V I$ ; प्रतिरोधक में यह सब ऊष्मा बन जाता है, $I^{2} R$ ।
ऊर्जा प्रतिरोधक की सतह से प्रवेश करती है: $S = ε_{0} c^{2} E \times B$ भीतर की ओर इंगित करता है और कुल $V I$ होता है।
AC में $p = v i$ मेन्स आवृत्ति के दोगुने पर स्पंदित होता है; इसका औसत $V_{rms} I_{rms} cos φ$ है।
मीटर $E = \int P d t$ की गणना करता है: $E (t)$ का ग्राफ़ ऐसे सीधे खंडों से बना है जिनकी ढलान शक्ति है।
तार का ऊष्मन $I^{2} t$ के अनुपात में होता है: अधिभार में ब्रेकर कुछ विलंब के बाद ऊष्मीय रूप से, और लघु-परिपथ में मिलीसेकंड में चुंबकीय रूप से खुलता है।

आवेश पर किया गया कार्य: शक्ति

हर उपकरण पर वाट में एक शक्ति-रेटिंग लिखी होती है, और यह पूरा पाठ एक सूत्र पर टिका है: $P = V I$ । यह खंड इस सूत्र को उस कार्य से निकालता है जो विद्युत क्षेत्र किसी घटक से गुज़रते आवेश पर करता है। इससे दिखता है कि यह हर प्रकार के उपकरण के लिए क्यों सही है।

चित्र 1 सबसे सरल घटक दिखाता है, लंबाई $L$ का एक एकसमान चालक। धारा $I$ बाएँ सिरे से प्रवेश करती है, जहाँ विभव $V_{a}$ है, और दाएँ सिरे से निकलती है, जहाँ विभव $V_{b}$ है। चालक के नीचे, उसी क्षैतिज पैमाने पर, विभव को ऊँचाई के रूप में दर्शाया गया है। तिरछी रेखा को देखें: विभव $V_{a}$ से $V_{b}$ तक समान रूप से गिरता है, और कुल गिरावट $V = V_{a} - V_{b}$ है। भीतर विद्युत क्षेत्र $E$ उस ढलान की दिशा में, यानी धारा की दिशा में नीचे की ओर है, और चूँकि गिरावट समान है, उसका परिमाण हर जगह एक ही है: $E = V / L$ ।

अब छायांकित पट्टी $d q$ देखें। यह वह आवेश है जो छोटे समय $d t$ में चालक की किसी एक अनुप्रस्थ काट से गुज़रता है। धारा प्रति इकाई समय का आवेश है, इसलिए $d q = I d t$ । उस समय में बाएँ से आवेश $d q$ प्रवेश करता है और दाएँ से उतना ही आवेश निकलता है, क्योंकि आवेश चालक के भीतर जमा नहीं होता। शुद्ध प्रभाव वैसा ही है मानो पट्टी $d q$ को विभव $V_{a}$ से $V_{b}$ तक पूरी दूरी ले जाया गया हो।

विभवांतर प्रति इकाई आवेश कार्य है: जब आवेश $q$ गिरावट $V$ से गुज़रता है, तो क्षेत्र उस पर $q V$ कार्य करता है। अतः समय $d t$ में क्षेत्र $d W = V d q = V I d t$ कार्य करता है, और शक्ति, जो प्रति इकाई समय का कार्य है, है
$P = \frac{d W}{d t} = V \frac{d q}{d t} = V I$

इस तर्क में केवल दोनों सिरों के विभव आए। सीधे तार से भिन्न घटक के भीतर विभव असमान रूप से गिर सकता है, या कुछ जगह बढ़ भी सकता है, फिर भी एक सिरे से दूसरे सिरे तक ले जाए गए आवेश पर कुल कार्य केवल सिरों के मानों पर निर्भर करता है। ऊर्जा का आगे क्या होता है, इससे भी तर्क नहीं बदलता: मोटर उसे यांत्रिक कार्य में, चार्ज होती बैटरी रासायनिक ऊर्जा में, और LED आंशिक रूप से प्रकाश में बदलता है।

चिह्न के लिए एक परिपाटी चाहिए। $V$ को उस विभव के रूप में लें जहाँ धारा प्रवेश करती है, उसमें से जहाँ वह निकलती है उसका विभव घटाकर। तब $P = V I > 0$ का अर्थ है कि घटक परिपथ से ऊर्जा अवशोषित करता है। स्रोत अपने धनात्मक टर्मिनल से धारा बाहर धकेलता है, इसलिए धारा निम्न विभव पर उसमें प्रवेश करती है, $V$ ऋणात्मक है और $P < 0$ : स्रोत परिपथ को ऊर्जा देता है।

प्रतिरोधक में पूरा कार्य ऊष्मा बन जाता है। दोनों सिरों पर धारा समान है, इसलिए आवेश जितनी तेज़ी से भीतर बहता है उतनी ही तेज़ी से बाहर निकलता है, और कुल मिलाकर गतिज ऊर्जा नहीं पाता। क्षेत्र जो ऊर्जा उन्हें देता है, वह टक्करों के ज़रिए धातु के कंपन करते परमाणुओं को पहुँचती है।

वही परिणाम धातु के भीतर बिंदु-दर-बिंदु भी मिलता है। मान लें प्रति इकाई आयतन में $n$ आवेश-वाहक हैं, हर एक का आवेश $q$ और अपवाह वेग $v$ है। क्षेत्र हर एक को बल $q E$ से धकेलता है, इसलिए वह उस पर $q E \cdot v$ की दर से कार्य करता है। प्रति इकाई आयतन यह $n q v \cdot E$ है, और $n q v$ धारा-घनत्व $j$ है, यानी प्रति इकाई अनुप्रस्थ क्षेत्रफल की धारा। अतः प्रति इकाई आयतन मुक्त होने वाली शक्ति $j \cdot E$ है। ओम के नियम का स्थानीय रूप $j = σ E$ , जहाँ $σ$ पदार्थ की चालकता है, इसे $j^{2} / σ$ बना देता है। लंबाई $L$ और अनुप्रस्थ काट $A$ वाले तार में धारा-घनत्व $j = I / A$ , आयतन $A L$ और प्रतिरोध $R = L / (σ A)$ है, इसलिए
$P = \frac{j ^{2}}{σ} A L = I^{2} \frac{L}{σ A} = I^{2} R$

$V = I R$ के साथ यह $P = V^{2} / R$ भी देता है, जो तब सुविधाजनक है जब वोल्टता स्थिर हो, जैसे सॉकेट पर।

ऊर्जा वास्तव में कहाँ बहती है

केतली सॉकेट से 2000 W लेती है। स्वाभाविक रूप से हम सोचते हैं कि यह ऊर्जा केबल के तांबे के भीतर इलेक्ट्रॉनों के साथ बहती है। ऐसा नहीं है, और यह देखने से कि ऊर्जा वास्तव में कहाँ बहती है, क्षेत्र का विचार ठोस बनता है। इलेक्ट्रॉन इतने धीमे हैं कि वे ऊर्जा नहीं ढो सकते। तांबे में प्रति घन मीटर लगभग $n = 8.5 \times 1 0^{28}$ मुक्त इलेक्ट्रॉन हैं, हर एक का आवेश $e = 1.6 \times 1 0^{- 19} C$ है, इसलिए 1.5 mm² के तार में केतली की 8.70 A धारा के लिए अपवाह चाल केवल $v = I / (n e A) \approx 0.43 mm/s$ चाहिए। प्रत्यावर्ती धारा में, जो प्रति सेकंड 100 बार दिशा बदलती है, वे केवल लगभग 2 µm आगे-पीछे खिसकते हैं। फिर भी स्विच बंद होते ही तत्व गरम होने लगता है। ऊर्जा तारों के चारों ओर के विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों में यात्रा करती है।

चित्र 2 केतली के तत्व को त्रिज्या $a$ और लंबाई $L$ के सादे बेलनाकार प्रतिरोधक के रूप में दर्शाता है, बाईं ओर पार्श्व दृश्य और दाईं ओर सिरे से देखा गया। इसमें तीन क्षेत्र दिखाए गए हैं। पहला विद्युत क्षेत्र $E$ है, जो अक्ष के अनुदिश उस धारा $I$ की दिशा में है जिसे वह चलाता है। भीतर इसका परिमाण $V / L$ है। विद्युत क्षेत्र का जो भाग किसी सतह के समांतर होता है, वह उसके दोनों ओर समान रहता है, इसलिए धातु के ठीक बाहर भी अक्ष के अनुदिश $V / L$ का क्षेत्र है।

दूसरा धारा का चुंबकीय क्षेत्र $B$ है, जो बेलन के चारों ओर घूमता है। सिरे वाले दृश्य में धारा आपकी ओर आती है (बिंदु), और $B$ वामावर्त जाता है: दाएँ हाथ का अंगूठा धारा की दिशा में रखें, तो उंगलियाँ $B$ की दिशा में मुड़ेंगी। सतह पर इसका परिमाण ऐम्पियर के नियम से आता है, $B \cdot 2 πa = I / (ε_{0} c^{2})$ , इसलिए $B = I / (2 π ε_{0} c^{2} a)$ । (यहाँ $ε_{0} c^{2} = 1/ μ_{0}$ है, इसलिए यह परिचित $B = μ_{0} I / (2 πa)$ ही है।)

तीसरा ऊर्जा-प्रवाह $S$ है, यानी प्रति इकाई क्षेत्रफल से गुज़रने वाली शक्ति, वाट प्रति वर्ग मीटर में। जहाँ विद्युत और चुंबकीय दोनों क्षेत्र हों, वहाँ ऊर्जा पॉइंटिंग सदिश की दर से बहती है, जिसका नाम जॉन हेनरी पॉइंटिंग के नाम पर है:
$S = ε_{0} c^{2} E \times B$

इसकी दिशा चित्र से मिलती है। $E$ अक्ष के अनुदिश है और $B$ उसके चारों ओर है, इसलिए दोनों एक-दूसरे के लंबवत हैं, और उनका सदिश गुणनफल, जो दोनों पर लंबवत है, एक त्रिज्या के अनुदिश है। दाएँ हाथ का नियम तय करता है कि यह भीतर की ओर है या बाहर की ओर। सिरे वाले दृश्य के शीर्ष पर $E$ आपकी ओर है और $B$ बाईं ओर, और “आपकी ओर” का “बाईं ओर” से सदिश गुणनफल नीचे की ओर है, यानी भीतर की ओर। चारों ओर यही सच है, इसलिए पार्श्व सतह के हर बिंदु पर $S$ प्रतिरोधक के भीतर की ओर इंगित करता है, जैसा दोनों दृश्यों में $S$ के तीर दिखाते हैं। सपाट सिरे वाली सतहों पर त्रिज्यीय $S$ सतह के साथ चलता है, इसलिए वहाँ से कोई ऊर्जा प्रवेश नहीं करती।

चूँकि $E$ और $B$ एक-दूसरे पर लंबवत हैं, $S$ का परिमाण बस उनके परिमाणों का गुणनफल है:
$S = ε_{0} c^{2} \cdot \frac{V}{L} \cdot \frac{I}{2 π ε _{0} c ^{2} a} = \frac{V I}{2 πa L}$
पार्श्व सतह के हर बिंदु पर यह समान है, और उसका क्षेत्रफल $2 πa L$ है, इसलिए भीतर बहती कुल शक्ति $S \cdot 2 πa L = V I$ है: ठीक वही दर जिस पर प्रतिरोधक ऊर्जा को ऊष्मा में बदलता है।

अतः ऊर्जा प्रतिरोधक के चारों ओर के स्थान से उसकी सतह के ज़रिए भीतर आती है। आपूर्ति केबल के साथ, विद्युत क्षेत्र फ़ेज़ और न्यूट्रल तारों के बीच की दूरी पार करता है और चुंबकीय क्षेत्र हर तार के चारों ओर घूमता है; वहाँ $S$ मुख्यतः तारों के समांतर चलता है, इन्सुलेशन और उनके बीच की हवा से होकर, सॉकेट से केतली की ओर। तांबे में केवल एक छोटा अंदर की ओर का भाग प्रवेश करता है, और वह केबल की अपनी $I^{2} R$ हानि है। जब धारा उलटती है, तो $E$ और $B$ दोनों उलट जाते हैं, और उनका सदिश गुणनफल अपनी दिशा बनाए रखता है, इसलिए ऊर्जा हमेशा भार की ओर बहती है। तार ऊर्जा को ढोते नहीं, बल्कि उसे दिशा देते हैं; और उसका संरक्षण स्थानीय है: किसी भी क्षेत्र में ऊर्जा केवल उसकी सतह से गुज़रने वाली ऊर्जा से बदलती है।

प्रत्यावर्ती धारा: वर्ग-माध्य-मूल मान

मेन्स आपूर्ति प्रत्यावर्ती है: वोल्टता और धारा लगातार बदलती रहती हैं। यह खंड बताता है कि लेबल पर लिखे 230 V और 2000 W का वास्तव में क्या अर्थ है।

वोल्टता ज्यावक्रीय है, $v = V_{0} sin ω t$ , जिसका आयाम $V_{0}$ है और यूरोप में $ω = 2 π \cdot 50 s^{- 1}$ है। प्रतिरोधक में धारा $i = v / R$ वोल्टता का ठीक अनुसरण करती है, $i = I_{0} sin ω t$ , जहाँ $I_{0} = V_{0} / R$ ; दोनों समान कला में हैं। तात्कालिक शक्ति $p = v i$ है, और $sin^{2} x = \frac{1}{2} (1 - cos 2 x)$ का उपयोग करने पर
$p (t) = V_{0} I_{0} sin^{2} ω t = \frac{1}{2} V_{0} I_{0} (1 - cos 2 ω t)$

इसे पद-दर-पद पढ़ें। शक्ति कभी ऋणात्मक नहीं होती: यह मेन्स आवृत्ति की दोगुनी, यानी 100 Hz पर, 0 और $V_{0} I_{0}$ के बीच स्पंदित होती है। कोज्या वाला पद हर चक्र में औसतन शून्य हो जाता है, इसलिए औसत शक्ति $P = \frac{1}{2} V_{0} I_{0}$ है।

एक स्थिर धारा $I$ उसी प्रतिरोधक को $I^{2} R$ की दर से गरम करेगी। प्रत्यावर्ती धारा से यह तब मेल खाती है जब $I^{2}$ , $i^{2}$ के औसत के बराबर हो, जो $\frac{1}{2} I_{0}^{2}$ है, क्योंकि $sin^{2}$ का औसत आधा होता है। वह स्थिर मान, यानी वर्गों के माध्य का वर्गमूल, वर्ग-माध्य-मूल धारा है: $I_{rms} = I_{0} / 2$ ; इसी प्रकार वर्ग-माध्य-मूल वोल्टता $V_{rms} = V_{0} / 2$ है। तब $\frac{1}{2} V_{0} I_{0} = V_{rms} I_{rms}$ होता है, और rms मान लेने पर सभी दिष्ट-धारा सूत्र, $P = V I = I^{2} R = V^{2} / R$ , औसत शक्ति के लिए लागू होते हैं। इसीलिए रेटिंग rms मानों में दी जाती हैं: एक rms धारा प्रतिरोधक को उतनी ही स्थिर धारा की तरह गरम करती है।

केतली के लिए लेबल पर 230 V rms है, इसलिए वोल्टता का शिखर $2302 \approx 325 V$ है। इसकी 8.70 A rms धारा का शिखर $8.70 2 \approx 12.3 A$ है, और इसकी शक्ति 0 और $V_{0} I_{0} = 4000 W$ के बीच झूलती है, औसत 2000 W।

कला और शक्ति गुणांक

केतली में धारा वोल्टता के साथ ही चढ़ती-उतरती है। पर कुंडली या संधारित्र वाले उपकरणों में, जैसे मोटर और ट्रांसफ़ॉर्मर, धारा वोल्टता से समय में खिसकी होती है, और तब $V_{rms} I_{rms}$ वास्तव में ली गई शक्ति से अधिक होता है। चित्र 3 दिखाता है कि वास्तविक शक्ति कैसे निकाली जाती है।

**चित्र 3.** एक भार की वोल्टता और धारा, लंबाई $V_{0}$ और $I_{0}$ के तीरों के रूप में, धारा कोण $φ$ से पीछे है। केवल वह भाग $I_{0} cos φ$ , जो वोल्टता के साथ चलता है, औसतन शक्ति लेता है; भाग $I_{0} sin φ$ केवल आपूर्ति के साथ ऊर्जा का आदान-प्रदान करता है।

धारा को $i = I_{0} sin (ω t - φ)$ लिखें, जहाँ $φ$ कला-कोण है। कुंडली धारा को वोल्टता के पीछे रखती है ( $φ > 0$ , जैसा चित्र में है); संधारित्र उसे आगे रखता है ( $φ < 0$ ); नीचे का परिणाम दोनों के लिए सही है। चित्र 3 हर राशि को एक तीर से दिखाता है, जिसकी लंबाई उसका आयाम है और दिशा उसकी कला। वोल्टता का तीर $V_{0}$ संदर्भ है और क्षैतिज खींचा गया है। धारा का तीर $I_{0}$ उससे कोण $φ$ पर, दक्षिणावर्त मुड़ा है, क्योंकि धारा पीछे रहती है। दोनों लंबाइयों की इकाइयाँ अलग हैं, वोल्ट और ऐम्पियर, इसलिए केवल दोनों तीरों के बीच का कोण ही अर्थपूर्ण है।

अब धारा के तीर को चित्र के अनुसार दो भागों में बाँटें: वोल्टता के अनुदिश भाग $I_{0} cos φ$ , और उस पर लंबवत भाग $I_{0} sin φ$ । सूत्र रूप में यह अंतर की ज्या की सर्वसमिका है:
$I_{0} sin (ω t - φ) = I_{0} cos φ sin ω t - I_{0} sin φ cos ω t$

पहला भाग वोल्टता के साथ ठीक उसी तरह चढ़ता-उतरता है। वह प्रतिरोधक की धारा जैसा व्यवहार करता है, इसलिए पिछले खंड के अनुसार वह औसत शक्ति $\frac{1}{2} V_{0} I_{0} cos φ$ देता है। दूसरा भाग $- cos ω t$ के अनुपात में है, जो वोल्टता से एक चौथाई चक्र पीछे है। इसका $v = V_{0} sin ω t$ के साथ गुणनफल $- V_{0} I_{0} sin φ sin ω t cos ω t = - \frac{1}{2} V_{0} I_{0} sin φ sin 2 ω t$ है। यह आधे समय धनात्मक और आधे समय ऋणात्मक रहता है, इसलिए औसत शून्य है। यह केवल ऊर्जा को आगे-पीछे करता है: एक चौथाई चक्र में उपकरण ऊर्जा को अपनी कुंडली के चुंबकीय क्षेत्र (या संधारित्र के विद्युत क्षेत्र) में संचित करता है, और अगले चौथाई चक्र में उसे आपूर्ति को लौटा देता है।

दोनों गुणनफलों को जोड़ने और $cos φ cos 2 ω t + sin φ sin 2 ω t = cos (2 ω t - φ)$ का उपयोग करने पर
$p (t) = \frac{1}{2} V_{0} I_{0} (cos φ - cos (2 ω t - φ))$
चक्र के कुछ भाग में यह ऋणात्मक है, जब उपकरण संचित ऊर्जा लौटा रहा होता है। इसका औसत स्थिर भाग है:
$P = V_{rms} I_{rms} cos φ$

गुणक $cos φ$ को शक्ति गुणांक कहते हैं, और गुणनफल $V_{rms} I_{rms}$ , जो वोल्ट-ऐम्पियर (V·A) में मापा जाता है, आभासी शक्ति। 230 V पर 5.0 A खींचने वाली मोटर, जिसका $cos φ = 0.8$ है, की आभासी शक्ति 1150 V·A है, पर वह केवल 920 W लेती है। 1 शक्ति-गुणांक वाला भार उसी 920 W के लिए केवल 4.0 A चाहेगा, फिर भी केबल और ब्रेकर मोटर की पूरी 5.0 A ढोते हैं और उसी के अनुसार $I^{2} R$ से गरम होते हैं। इसीलिए आपूर्तिकर्ता कम शक्ति-गुणांक के लिए औद्योगिक उपभोक्ताओं से अधिक शुल्क लेते हैं, और कारखाने अपनी मोटरों के पिछड़ाव को संतुलित करने के लिए संधारित्र लगाते हैं।

ऊर्जा का आलेख एक समाकल है

बिल ऊर्जा गिनता है, शक्ति नहीं। जब शक्ति समय के साथ बदलती है, तो ऊर्जा शक्ति-समय ग्राफ़ के नीचे का क्षेत्रफल होती है, यानी उसका समय-समाकल; और शक्ति ऊर्जा के ग्राफ़ की ढलान होती है:
$E = \int P d t$

उन्नत स्तर के एनिमेशन में $P (t)$ एक सीढ़ी है। बल्ब 0.5 s पर इसे 100 W तक ले जाता है, केतली 2.5 s पर 2100 W तक, और हीटर 4.8 s पर 4100 W तक। बिंदीदार रेखा $V I_{m a x} = 230 \cdot 10 = 2300 W$ दिखाती है, यानी ब्रेकर की रेटेड धारा $I_{m a x} = 10 A$ पर परिपथ अधिकतम जितनी शक्ति दे सकता है। हीटर का चरण इस रेखा को पार करता है, ब्रेकर 6.0 s पर खुलता है और शक्ति शून्य हो जाती है।

$E (t)$ सीढ़ी के नीचे का संचयी क्षेत्रफल है, जहाँ एनिमेशन का 1 s = 1 मिनट है। हर चरण अपनी ऊँचाई को चौड़ाई से गुणा करके जोड़ता है: 2.5 s तक $100 W \cdot 2 min = 200 W min \approx 3.3 Wh$ , फिर $2100 W \cdot 2.3 min = 80.5 Wh$ , जिससे 4.8 s पर 83.8 Wh हो जाते हैं, फिर $4100 W \cdot 1.2 min = 82 Wh$ , जिससे ब्रेकर खुलने तक 165.8 Wh हो जाते हैं। उसके बाद ग्राफ़ सपाट रहता है। अर्थात् 1.2 मिनट के अधिभार में उससे पहले के 2.3 मिनट से भी अधिक ऊर्जा जुड़ती है। $E (t)$ का हर सीधा खंड उस समय की शक्ति के बराबर ढलान से चढ़ता है, और हर मोड़ $P (t)$ के एक चरण को चिह्नित करता है; यदि शक्ति सुचारु रूप से बदलती, तो ग्राफ़ वक्र होता।

मीटर यही समाकल गिनता है। पुराना प्रेरण-मीटर एक एल्युमीनियम डिस्क को घुमाता है, जिस पर औसत $v i$ के, यानी $P$ के, समानुपाती बल-आघूर्ण लगता है, और डिस्क की चाल के समानुपाती चुंबकीय अवमंदन उसे रोकता है। जब चाल $P$ के समानुपाती होती है तो दोनों संतुलित हो जाते हैं, इसलिए घूर्णनों की संख्या $E$ गिनती है। इलेक्ट्रॉनिक मीटर हर सेकंड हज़ारों बार $v$ और $i$ का नमूना लेता है, हर जोड़े को गुणा करता है और गुणनफलों को जोड़ता है। दोनों तात्कालिक गुणनफल $v i$ के साथ काम करते हैं, इसलिए शक्ति गुणांक स्वतः शामिल होता है: वे वास्तविक शक्ति गिनते हैं, न कि $V_{rms} I_{rms}$ ।

स्विच-ऑन उछाल और विकृत धाराएँ

अब तक हर भार एक स्थिर प्रतिरोध रहा है। वास्तविक भार ऐसे नहीं होते, और दो सामान्य प्रभाव धारा को $P / V$ से अधिक बना देते हैं, जो फ़्यूज़ और केबल के लिए मायने रखता है।

टंगस्टन तंतु का प्रतिरोध कमरे के ताप से लगभग 2700 K तक गरम होने पर दस गुना या उससे अधिक बढ़ जाता है। 100 W के बल्ब का गरम अवस्था में $R = V^{2} / P = 23 0^{2} /100 = 529 Ω$ है, पर ठंडी अवस्था में लगभग केवल 50 Ω। इसलिए स्विच ऑन होते ही वह $230/50 \approx 4.6 A$ खींचता है, यानी 1 kW से अधिक, जब तक तंतु गरम नहीं होता, एक सेकंड के अंश भर। यही अचानक पड़ने वाला दबाव है जिससे ऐसे बल्ब प्रायः स्विच ऑन होते ही फुंक जाते हैं।

कई फ़ोन चार्जर केवल वोल्टता के शिखरों के पास छोटी स्पंदन-धाराएँ खींचते हैं, इसलिए उनकी धारा कोई ज्या-तरंग नहीं है। ऊष्मा $i^{2}$ के अनुपात में होती है, इसलिए ऊँचे और संकरे स्पंदनों का भार बहुत होता है, और बिना किसी कला-खिसकाव के भी उनका $I_{rms}$ , $P / V_{rms}$ से अधिक होता है।

केबल का ऊष्मन और सर्किट ब्रेकर

सर्किट ब्रेकर केबल की रक्षा करता है, जिसका इन्सुलेशन अधिक गरम होने पर क्षतिग्रस्त हो जाता है। इसलिए उसे कब खुलना चाहिए, यह इस पर निर्भर करता है कि केबल कैसे गरम होती है।

केबल को ऊष्मा-धारिता $C$ वाला एक पिंड मानें, जिसका तापमान अपने परिवेश से $Δ T$ ऊपर है। धारा इसे $I^{2} R$ की दर से गरम करती है, और यह अपने परिवेश को $k Δ T$ की दर से ऊष्मा खोती है, जो इस बात के अनुपात में है कि यह कितनी गरम है, जहाँ $k$ वाट प्रति केल्विन में एक ऊष्मा-हानि गुणांक है। इसकी संचित ऊष्मा के परिवर्तन की दर $C d Δ T / d t$ इन दोनों का अंतर है:
$C \frac{d Δ T}{d t} = I^{2} R - k Δ T$

आरंभ में $Δ T$ छोटा है, हानि नगण्य है, और तापमान $I^{2} R / C$ की दर से बढ़ता है। जैसे-जैसे यह बढ़ता है, हानि पकड़ती जाती है, जब तक कि लाभ और हानि अंतिम वृद्धि $Δ T = I^{2} R / k$ पर संतुलित नहीं हो जाते। यह हल $1 - e^{- t / τ}$ के रूप में इस मान तक पहुँचता है, जहाँ समय-स्थिरांक $τ = C / k$ है, और कुछ समय-स्थिरांकों के बाद लगभग वहीं पहुँच जाता है, घरेलू तारों के लिए आमतौर पर कुछ मिनट।

अंतिम वृद्धि $I^{2}$ के साथ बढ़ती है। केबल का आकार ऐसा चुना जाता है कि उसकी रेटेड धारा उसे इन्सुलेशन की सुरक्षित सीमा से नीचे रखे। एनिमेशन का अधिभार, $17.83/10 = 1.78$ गुना रेटिंग, उसकी तापवृद्धि को $1.7 8^{2} \approx 3.2$ गुना कर देता है, जो उस सीमा से कहीं अधिक है।

ब्रेकर का द्वि-धातु पट्टी उसी धारा से गरम होता है और उसकी अपनी ऊष्मा-धारिता और ऊष्मा-हानि होती है, इसलिए वह केबल का एक छोटा मॉडल है: जब उसका अपना तापमान एक निश्चित मान तक पहुँचता है तो वह मुड़कर ब्रेकर को खोल देता है। अधिभार जितना बड़ा होगा, उसका अंतिम तापमान उतना ऊँचा होगा और वह अपनी वृद्धि में उतनी ही जल्दी ट्रिप-बिंदु पार करेगा, इसलिए अधिभार बढ़ने पर उसका विलंब तेज़ी से घटता है। लघु-परिपथ में धारा 300 A तक जा सकती है, जो 10 A की तुलना में $(300/10)^{2} = 900$ गुना तेज़ी से गरम करती है। पट्टी के गरम होने का इंतज़ार करने के लिए यह बहुत तेज़ है, इसलिए एक चुंबकीय कुंडली, जिसे धारा स्वयं खींचती है, लगभग 10 ms में संपर्क खोल देती है, यानी मेन्स चक्र के आधे के बराबर।

उदाहरण: असली केबल में अधिभार

एनिमेशन हर सॉकेट पर पूरी 230 V मानता है, मानो केबल में कोई प्रतिरोध ही न हो। मान लें कि परिपथ की केबल 15 m जाती है और 15 m लौटती है, 1.5 mm² तांबे की। तीनों उपकरण चालू होने पर कितनी धारा बहती है, केबल कितनी शक्ति लेती है, और ब्रेकर खुलने से पहले के 1.2 मिनट में वह कितना गरम हो सकती है?

चित्र 4 स्थिति को श्रेणी-परिपथ के रूप में दिखाता है: आपूर्ति $V$ एक धारा $I$ को पूरे लूप में चलाती है, केबल से होकर, जिसके दोनों चालकों का कुल प्रतिरोध $R_{w}$ है (एक ही तार के रूप में खींचा गया), और तीन उपकरणों से होकर, जो मिलकर एक प्रतिरोध $R_{L}$ की तरह काम करते हैं। चूँकि दोनों से वही $I$ बहती है, इसलिए उनसे निकलने वाली ऊष्मा $P_{w} = I^{2} R_{w}$ और $P_{L} = I^{2} R_{L}$ उनके प्रतिरोधों के अनुपात में होती है। हर उपकरण को उसके रेटेड 230 V के मान के बराबर स्थिर प्रतिरोध मानें, जो तापन-तत्वों का अच्छा मॉडल है।

पहले दो प्रतिरोध। तांबे की प्रतिरोधकता $ρ = 1.7 \times 1 0^{- 8} Ω m$ है, केबल की कुल लंबाई 30 m है और अनुप्रस्थ काट $A = 1.5 \times 1 0^{- 6} m^{2}$ है, इसलिए $R_{w} = ρ L / A = 1.7 \times 1 0^{- 8} \cdot 30/ (1.5 \times 1 0^{- 6}) = 0.34 Ω$ । उपकरण 230 V पर मिलकर 4100 W लेते हैं, इसलिए $R_{L} = V^{2} / P = 23 0^{2} /4100 = 12.90 Ω$ ।

दोनों श्रेणी में हैं, इसलिए उनके प्रतिरोध जुड़ते हैं, और धारा तथा केबल की ऊष्मा हैं
$I = \frac{V}{R _{L} + R _{w}} = \frac{230}{12.90 + 0.34} = 17.37 A$
$P_{w} = I^{2} R_{w} = 17.3 7^{2} \cdot 0.34 \approx 103 W$

केबल वोल्टता का एक भाग ले लेती है, $17.37 \cdot 0.34 \approx 5.9 V$ , इसलिए सॉकेट को $230 - 5.9 = 224.1 V$ मिलते हैं और उपकरण $P_{L} = I^{2} R_{L} \approx 3890 W$ लेते हैं, 4100 W नहीं। केबल के 103 W का अर्थ है प्रति मीटर 3.4 W, जो रेटेड 10 A पर छोड़े गए 34 W का तीन गुना है, क्योंकि $(17.37/10)^{2} = 3.0$ ।

अब तापवृद्धि। ट्रिप से पहले के 72 s में केबल $103 \cdot 72 \approx 7.4 kJ$ छोड़ती है। उसके तांबे का आयतन $30 \cdot 1.5 \times 1 0^{- 6} = 4.5 \times 1 0^{- 5} m^{3}$ है; 8960 kg/m³ पर यह 0.40 kg द्रव्यमान है, और 385 J/(kg·K) पर ऊष्मा-धारिता 155 J/K। यदि कोई ऊष्मा न निकले, तो तांबा इतना गरम होगा
$Δ T = \frac{7400}{155} \approx 48 K$

वास्तव में इन्सुलेशन और दीवार ऊष्मा का कुछ भाग सोख लेते हैं, इसलिए वृद्धि कम होती है। दूसरी ओर, तांबे का प्रतिरोध हर केल्विन पर लगभग 0.4 % बढ़ता है, इसलिए 48 K की वृद्धि पर यह लगभग 19 % तक बढ़ सकता है, जिससे ऊष्मन थोड़ा बढ़ता है। मुख्य बात परिमाण की कोटि है: लगभग एक मिनट में दसियों केल्विन की वृद्धि, और वह अब भी बढ़ रही है, इसलिए इतना बड़ा अधिभार कुछ ही मिनटों में काटना पड़ता है।

वैधता की सीमाएँ

ऊपर का सब कुछ कुछ सरलीकरणों पर टिका है। यह खंड बताता है कि वे कहाँ मान्य हैं।

परिपथ सिद्धांत तारों को आदर्श कड़ियाँ मानता है, जो हर क्षण अपनी पूरी लंबाई पर एक ही धारा ले जाती हैं। इसके लिए ज़रूरी है कि एक सिरे पर हुआ परिवर्तन एक चक्र की तुलना में जल्दी दूसरे सिरे तक पहुँचे। एक मकान में ऐसा परिवर्तन लगभग एक माइक्रोसेकंड के दसवें भाग में पहुँचता है, जबकि 50 Hz पर अवधि 20 ms है; दूसरे शब्दों में, परिपथ तरंगदैर्ध्य $c / f$ से बहुत छोटा होना चाहिए, जो 50 Hz पर 6000 km है। रेडियो आवृत्तियों पर, जिनकी तरंगदैर्ध्य मीटरों में है, तार विकिरण करते हैं और क्षेत्र वाला चित्र पूरी तरह हावी हो जाता है।

50 Hz पर धारा चालक को समान रूप से नहीं भरती। प्रत्यावर्ती धारा चालक की सतह की ओर धकेली जाती है, एक परत के भीतर जिसे त्वचा-गहराई कहते हैं, और 50 Hz पर तांबे में यह गहराई 9.2 mm है, जो 1.5 mm² तार की 0.7 mm त्रिज्या से भी अधिक है। 1 MHz पर यह घटकर 65 µm रह जाती है, और तार का प्रतिरोध बढ़ जाता है।

आपूर्ति भी आदर्श नहीं है। यूरोपीय मेन्स 230 V से 10 % तक भटक सकता है, और $P = V^{2} / R$ के अनुसार 207 V पर केतली केवल $2000 \cdot 0. 9^{2} = 1620 W$ देती है। तंतुओं के लिए ओम का नियम विफल होता है, क्योंकि उनका प्रतिरोध तापमान पर निर्भर है, और LED तथा इलेक्ट्रॉनिक्स के लिए भी। तांबे का प्रतिरोध भी हर केल्विन पर लगभग 0.4 % बढ़ता है; और केवल अतिचालक केबल, जिन्हें द्रव नाइट्रोजन से 77 K तक ठंडा किया जाता है, दिष्ट धारा को बिना किसी प्रतिरोधी हानि के ले जाते हैं।

यह कहाँ ले जाता है

हर धारा के चारों ओर का चुंबकीय क्षेत्र “चुंबकों और धाराओं के चुंबकीय क्षेत्र” में विकसित होता है, और “विद्युत चुंबकीय प्रेरण” दिखाता है कि 50 Hz की वोल्टता कैसे उत्पन्न होती है। “मोटर, जनित्र और ट्रांसफ़ॉर्मर” बताता है कि बिजली 400 kV पर देशों के बीच क्यों भेजी जाती है: समान शक्ति के लिए, हज़ार गुना वोल्टता का अर्थ है हज़ारवाँ भाग धारा, और इस तरह $I^{2} R$ हानि का दस लाखवाँ भाग।

पॉइंटिंग सदिश “विद्युत चुंबकीय तरंगें” में फिर आता है, जो सूर्य के लगभग 1 kW/m² प्रकाश-प्रवाह को ढोता है। “कृष्णिका विकिरण और क्वांटम” समझाता है कि 2700 K का तंतु मुख्यतः अवरक्त क्यों विकिरित करता है, “अर्धचालक, डायोड और एलईडी” बताता है कि LED इतना बेहतर क्यों करता है, और “ऊष्मागतिकी का पहला नियम और ऊष्मा इंजन” बताता है कि ऊष्मा पंप प्रति किलोवाट-घंटा हीटर से तीन-चार गुना ऊष्मा क्यों देता है।

मुख्य सूत्र

विद्युत शक्ति

P = V I

वोल्टता प्रति कूलॉम दी गई ऊर्जा है और धारा प्रति सेकंड बहने वाले कूलॉम हैं, इसलिए इनका गुणनफल प्रति सेकंड ऊर्जा है। यह किसी भी घटक पर लागू होता है; ऊर्जा ऊष्मा, प्रकाश, गति या रासायनिक ऊर्जा में बदलती है, यह उपकरण पर निर्भर है। जब धारा उच्च विभव वाले सिरे से प्रवेश करती है, तब $P > 0$ का अर्थ है कि शक्ति अवशोषित हो रही है।

चिह्न
$P$	घटक द्वारा ली गई शक्ति	$W$
$V$	घटक के दोनों सिरों पर वोल्टता	$V$
$I$	घटक से बहने वाली धारा	$A$

कब लागू होता है: दिष्ट धारा के लिए सटीक, और प्रत्यावर्ती धारा के तात्कालिक मानों $p = v i$ के लिए। प्रत्यावर्ती धारा की औसत शक्ति के लिए $V_{rms} I_{rms} cos φ$ लें।

उदाहरण: एनिमेशन की केतली: $I = P / V = 2000/230 = 8.70 A$ ।

प्रतिरोध में शक्ति (जूल-तापन)

P = I^{2} R = \frac{V ^{2}}{R}

ओम के नियम $V = I R$ को $P = V I$ में रखने पर दो अन्य रूप मिलते हैं; प्रतिरोधक में यह सारी शक्ति ऊष्मा बन जाती है। स्थिर वोल्टता पर $V^{2} / R$ लें: प्रतिरोध जितना छोटा, शक्ति उतनी अधिक। स्थिर धारा पर $I^{2} R$ लें: प्रतिरोध जितना बड़ा, ऊष्मा उतनी अधिक।

चिह्न
$P$	ऊष्मा में बदली गई शक्ति	$W$
$I$	प्रतिरोध से बहने वाली धारा	$A$
$R$	कार्यशील तापमान पर प्रतिरोध	$Ω$
$V$	प्रतिरोध के दोनों सिरों पर वोल्टता	$V$

कब लागू होता है: केवल ओमीय प्रतिरोधों के लिए, और $R$ को कार्यशील तापमान पर लेकर: बल्ब के तंतु का ठंडा प्रतिरोध उसके गरम मान का लगभग दसवाँ भाग होता है। प्रत्यावर्ती धारा के साथ rms मान लें।

उदाहरण: केतली के तत्व का $R = 23 0^{2} /2000 \approx 26 Ω$ है; 0.85 Ω की एक्सटेंशन रील जिसमें 6.52 A बहती है, $6.5 2^{2} \cdot 0.85 \approx 36 W$ नष्ट करती है।

समांतर में जुड़े उपकरणों की आपूर्ति धारा

I = \frac{P _{1} + P _{2} + \dots}{V}

समांतर में हर उपकरण को समान वोल्टता $V$ मिलती है और वह अपनी धारा $P_{1} / V$ , $P_{2} / V$ आदि खींचता है। संधि-बिंदुओं पर शाखा-धाराएँ जुड़ती हैं, इसलिए आपूर्ति केबल कुल शक्ति को वोल्टता से भाग देकर मिलने वाली धारा ढोता है। चालू किया गया हर उपकरण, परिपथ में उसकी स्थिति चाहे जो हो, धारा बढ़ाता है।

चिह्न
$I$	आपूर्ति केबल में धारा	$A$
$P_{1}$	पहले उपकरण की शक्ति	$W$
$P_{2}$	दूसरे उपकरण की शक्ति	$W$
$V$	आपूर्ति वोल्टता, हर उपकरण के लिए समान	$V$

कब लागू होता है: समांतर उपकरणों के लिए, जब आपूर्ति अपनी वोल्टता बनाए रखे। प्रत्यावर्ती धारा में यह हीटर और लैंप जैसे प्रतिरोधी भारों के लिए मान्य है; मोटरें और इलेक्ट्रॉनिक उपकरण अपनी शक्ति को वोल्टता से भाग देने पर मिलने वाली धारा से अधिक धारा खींचते हैं।

उदाहरण: एनिमेशन के लैंप, केतली और हीटर: $I = (100 + 2000 + 2000) /230 = 17.83 A$ , जो 10 A की रेटिंग से कहीं अधिक है।

शक्ति और समय से ऊर्जा

E = Pt

स्थिर शक्ति पर प्रयुक्त ऊर्जा चलने के समय के अनुपात में बढ़ती है: शक्ति बताती है कि कितनी तेज़ी से, ऊर्जा बताती है कि कितनी। वाट और सेकंड में $P$ और $t$ हों तो $E$ जूल में आता है; किलोवाट और घंटों में यह किलोवाट-घंटा होता है, यानी बिल की इकाई।

चिह्न
$E$	प्रयुक्त ऊर्जा	$J$
$P$	शक्ति (स्थिर)	$W$
$t$	चलने का समय	$s$

कब लागू होता है: केवल तब तक, जब तक शक्ति स्थिर रहे; अन्यथा समाकलित करें, $E = \int P d t$ ।

उदाहरण: एनिमेशन की केतली ट्रिप से पहले 3.5 मिनट चलती है: $E = 2000 \cdot 210 = 4.2 \times 1 0^{5} J \approx 0.117 kWh$ ।

जूल में किलोवाट-घंटा

1 kWh = 3.6 MJ

एक किलोवाट-घंटा 3600 सेकंड तक बनाए रखे गए 1000 जूल प्रति सेकंड के बराबर है, इसलिए $1 kWh = 1000 \cdot 3600 J = 3.6 \times 1 0^{6} J$ । शक्ति और समय का गुणनफल होने के कारण यह ऊर्जा का मात्रक है, शक्ति का नहीं।

चिह्न
$kWh$	किलोवाट-घंटा, 1 kW की 1 h तक ऊर्जा	$J$
$MJ$	मेगाजूल, $1 0^{6}$ जूल	$J$

कब लागू होता है: ऊर्जा के दो मात्रकों के बीच सटीक रूपांतरण। एक वाट-घंटा (Wh) किलोवाट-घंटे का हज़ारवाँ भाग है, यानी 3600 J।

उदाहरण: एनिमेशन में ट्रिप से पहले प्रयुक्त 165.8 Wh, $0.1658 \cdot 3.6 \approx 0.60 MJ$ है।

शक्ति का समाकल के रूप में ऊर्जा

E = \int P d t

जब शक्ति बदलती है, तो हर छोटे अंतराल में $P d t$ जोड़ें: ऊर्जा $P (t)$ ग्राफ़ के नीचे का क्षेत्रफल है, और शक्ति $E (t)$ ग्राफ़ की ढलान। ऊर्जा-मीटर यही समाकल सटीक रूप से गिनता है।

चिह्न
$E$	आरंभ से दी गई ऊर्जा	$J$
$P$	हर क्षण की शक्ति	$W$
$t$	समय	$s$

कब लागू होता है: सदैव मान्य; स्थिर शक्ति के लिए यह $E = Pt$ हो जाता है। प्रत्यावर्ती धारा में तात्कालिक शक्ति $p = v i$ का समाकल करें, या पूर्ण चक्रों पर औसत शक्ति लें।

उदाहरण: एनिमेशन की सीढ़ी, समय मिनटों में: $E = (100 \cdot 5.5 + 2000 \cdot 3.5 + 2000 \cdot 1.2) /60 = 165.8 Wh$ ।

प्रत्यावर्ती धारा परिपथ में औसत शक्ति

P = V_{rms} I_{rms} cos φ

$v = V_{0} sin ω t$ और $i = I_{0} sin (ω t - φ)$ के साथ, गुणनफल $v i$ मेन्स आवृत्ति की दोगुनी दर पर स्पंदित होता है; एक चक्र पर इसका औसत $\frac{1}{2} V_{0} I_{0} cos φ$ है, जो यही सूत्र है क्योंकि $V_{rms} = V_{0} / 2$ और $I_{rms} = I_{0} / 2$ है। शक्ति गुणांक $cos φ$ हीटरों और तंतु लैंपों के लिए 1 है; कुंडलियाँ और संधारित्र हर चक्र में ऊर्जा संचित करके लौटाते हैं, जिससे यह घटता है।

चिह्न
$P$	एक चक्र पर औसत शक्ति	$W$
$V_{rms}$	rms वोल्टता	$V$
$I_{rms}$	rms धारा	$A$
$φ$	धारा और वोल्टता के बीच कला-कोण	$rad$

कब लागू होता है: समान आवृत्ति की ज्यावक्रीय वोल्टता और धारा के लिए। विकृत धाराओं, जैसे इलेक्ट्रॉनिक चार्जरों की धारा के लिए, तात्कालिक गुणनफल का औसत सीधे निकालना होगा।

उदाहरण: केतली: औसतन $230 \cdot 8.70 \cdot 1 \approx 2000 W$ , जबकि उसकी तात्कालिक शक्ति 0 और 4000 W के बीच झूलती है। 5.0 A खींचने वाली मोटर, जिसका $cos φ = 0.8$ है, 920 W लेती है।

दक्षता

η = \frac{P _{useful}}{P _{in}}

निवेश शक्ति का वह भाग जो वांछित रूप में निकलता है। ऊर्जा संरक्षित रहती है, इसलिए शेष $P_{in} - P_{useful}$ लुप्त नहीं होती, बल्कि आम तौर पर ऊष्मा बन जाती है, और $η$ कभी 1 से अधिक नहीं हो सकता।

चिह्न
$η$	दक्षता
$P_{useful}$	वांछित रूप में दी गई शक्ति	$W$
$P_{in}$	ली गई विद्युत शक्ति	$W$

कब लागू होता है: हर उपकरण के लिए परिभाषित है, पर क्या उपयोगी है यह उद्देश्य पर निर्भर है: विद्युत हीटर के लिए सारी ऊष्मा उपयोगी है और $η \approx 1$ है। ऊष्मा पंप का मूल्यांकन अलग तरह से होता है, क्योंकि वह ऊष्मा बनाता नहीं, बल्कि उसे स्थानांतरित करता है।

उदाहरण: $η = 0.9$ वाली 2000 W की केतली पानी में 1800 W देती है; 5 % दक्षता वाला 60 W का तंतु लैंप 3 W दृश्य प्रकाश देता है।

शब्दावली

विद्युत शक्ति: जिस दर पर विद्युत ऊर्जा किसी घटक को दी जाती है, $P = V I$ , वाट में। शक्ति बताती है कि ऊर्जा कितनी तेज़ी से प्रयुक्त होती है, कितनी नहीं: किसी उपकरण पर लिखी रेटिंग सामान्य आपूर्ति वोल्टता पर उसकी शक्ति है।
जूल-तापन: किसी चालक का उससे बहने वाली धारा से गरम होना, $I^{2} R$ की दर से: टक्करें क्षेत्र द्वारा किए गए कार्य को यादृच्छिक ऊष्मीय गति में बदल देती हैं। यही केतली के तत्व का उद्देश्य है और केबल में होने वाली हानि है।
समांतर संयोजन: घटक एक ही दो तारों के बीच जुड़े होते हैं, इसलिए हर एक को पूरी वोल्टता मिलती है और वह दूसरों से स्वतंत्र काम करता है। उनकी धाराएँ जुड़ती हैं, और हर चालू किया गया घटक कुल प्रतिरोध घटाता है।
किलोवाट-घंटा: 1 kW का 1 घंटे तक प्रयोग करने की ऊर्जा, $3.6 MJ$ : बिजली के बिल की इकाई। यह शक्ति और समय का गुणनफल है, यानी ऊर्जा, शक्ति नहीं और “किलोवाट प्रति घंटा” भी नहीं।
ऊर्जा-मीटर: वह उपकरण जो वोल्टता और धारा के गुणनफल का समय पर समाकलन करके घर को दी गई ऊर्जा किलोवाट-घंटों में जोड़ता है। पुराने मीटर घूमती डिस्क से यह करते हैं, नए मीटर $v$ और $i$ का इलेक्ट्रॉनिक नमूना लेकर।
दक्षता: ली गई ऊर्जा का कितना भाग वांछित रूप में निकलता है। शेष नष्ट नहीं होता, बल्कि अधिकतर ऊष्मा बन जाता है: LED वही प्रकाश देता है जो तंतु लैंप, लगभग छठे भाग की शक्ति में।
अधिभार: परिपथ की रेटिंग से ऊपर की धारा, जो एक साथ बहुत अधिक उपकरण चलने से होती है, जैसे हीटर के केतली से जुड़ने पर 10 A के परिपथ में 17.8 A बहती है। केबल लगातार गरम होती है, इसलिए ब्रेकर अधिभार को कुछ विलंब के बाद काटता है।
लघु-परिपथ: ऐसा दोष जिसमें फ़ेज़ और न्यूट्रल, या फ़ेज़ और अर्थ, लगभग बिना प्रतिरोध के छू जाते हैं, इसलिए धारा केवल वायरिंग से सीमित होती है और सैकड़ों ऐम्पियर तक पहुँच सकती है। इसे मिलीसेकंड में काटना ज़रूरी है।
फ़्यूज़: फ़्यूज़ होल्डर में लगा पतला तार, जो फ़ेज़ तार के श्रेणी-क्रम में होता है और जब धारा उसकी रेटिंग से ऊपर बनी रहती है तो पिघल जाता है, जिससे परिपथ खुल जाता है। एक बार उड़ने पर उसे बदलना पड़ता है।
सर्किट ब्रेकर: ऐसा स्विच जो अधिभार (द्वि-धातु पट्टी, विलंब के बाद) या लघु-परिपथ (विद्युत-चुंबक, तुरंत) पर अपने आप खुल जाता है और फिर दोबारा चालू किया जा सकता है। उसकी रेटिंग, जैसे 10 A, उस केबल के अनुरूप होनी चाहिए जिसकी वह रक्षा करता है।
वर्ग-माध्य-मूल मान: एक प्रत्यावर्ती राशि के वर्ग के माध्य का वर्गमूल; ज्यावक्रीय तरंग के लिए, शिखर को $2$ से भाग देने पर। एक rms धारा प्रतिरोधक को उतनी ही बड़ी स्थिर धारा की तरह गरम करती है, इसलिए मेन्स को 230 V rms बताया जाता है, हालाँकि उसका शिखर 325 V है।
पॉइंटिंग सदिश: विद्युत-चुंबकीय क्षेत्र का ऊर्जा-प्रवाह, $S = ε_{0} c^{2} E \times B$ , वाट प्रति वर्ग मीटर में। किसी परिपथ के चारों ओर यह दिखाता है कि ऊर्जा तारों के बाहर के क्षेत्र में बहती है और प्रतिरोधक में उसकी सतह से प्रवेश करती है।

राशियाँ
$P$	शक्ति	$W$	प्रति सेकंड स्थानांतरित ऊर्जा, $1 W = 1 J/s$ ; किसी उपकरण के लिए, सामान्य वोल्टता पर उसकी रेटिंग, जो अक्सर किलोवाट में दी जाती है (2000 W = 2 kW)।
$V$	वोल्टता	$V$	किसी घटक से गुज़रते हर कूलॉम आवेश द्वारा दी गई ऊर्जा, $1 V = 1 J/C$ । हर सॉकेट पर यह मेन्स वोल्टता है।
$I$	धारा	$A$	प्रति सेकंड बहने वाला आवेश, $1 A = 1 C/s$ । समांतर परिपथ में आपूर्ति धारा शाखा-धाराओं का योग होती है।
$R$	प्रतिरोध	$Ω$	वोल्टता को धारा से भाग देने पर, $R = V / I$ : केतली के तत्व के लिए लगभग 26 Ω, गरम 100 W लैंप के तंतु के लिए 529 Ω।
$E$	ऊर्जा	$J$	शक्ति और समय का गुणनफल; बिल इसे किलोवाट-घंटों में गिनता है, $1 kWh = 3.6 \times 1 0^{6} J$ । इसे विद्युत क्षेत्र $E$ से न मिलाएँ।
$t$	समय	$s$	उपकरण कितनी देर चलता है। $t$ सेकंड में हो तो $E = Pt$ जूल देता है; $P$ किलोवाट और $t$ घंटों में हो तो किलोवाट-घंटा।
$I_{m a x}$	परिपथ की रेटेड धारा	$A$	सबसे बड़ी धारा जो परिपथ जितने समय तक ज़रूरी हो, ले जा सकता है; यह उसके फ़्यूज़ या ब्रेकर से तय होती है। यह शक्ति को $V I_{m a x}$ तक सीमित करती है: 230 V पर 10 A के लिए 2300 W।
$V_{rms}$	rms वोल्टता	$V$	प्रत्यावर्ती वोल्टता का प्रभावी मान, ज्यावक्रीय तरंग के लिए $V_{0} / 2$ : वह स्थिर वोल्टता जो प्रतिरोधक को उतना ही गरम करे। मेन्स 230 V rms है, जिसका शिखर 325 V है। rms धारा $I_{rms} = I_{0} / 2$ की परिभाषा भी इसी तरह होती है।
$φ$	कला-कोण	$rad$	प्रत्यावर्ती परिपथ में धारा वोल्टता के पीछे (या आगे) कितनी रहती है। उसकी कोज्या $cos φ$ शक्ति गुणांक है: हीटर के लिए 1, मोटर के लिए कम।
$η$	दक्षता		उपयोगी निर्गत शक्ति को निवेश शक्ति से भाग देने पर मिलने वाली संख्या, जो 0 और 1 के बीच होती है और अक्सर प्रतिशत में दी जाती है।

क्विज़

शुरुआती घर का बिजली-मीटर क्या गिनता है?
1. प्रयुक्त ऊर्जा, किलोवाट-घंटों में
2. इस समय बहती धारा, ऐम्पियर में
3. आपूर्ति की वोल्टता, वोल्ट में
4. चालू उपकरणों की संख्या
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उत्तर: A. प्रयुक्त ऊर्जा, किलोवाट-घंटों में
मीटर ऊर्जा जोड़ता है, यानी शक्ति × समय, किलोवाट-घंटों में। बिल इसी कुल पर आधारित होता है; धारा और शक्ति हर पल बदलती रहती हैं।
शुरुआती 2000 W की केतली 3 मिनट चले, या 10 W का LED लैंप 10 घंटे चालू रहे: कौन अधिक ऊर्जा लेता है?
1. केतली, क्योंकि उसकी शक्ति कहीं अधिक है
2. LED लैंप, क्योंकि वह कहीं अधिक देर चालू रहता है
3. दोनों समान ऊर्जा लेते हैं
4. इनकी तुलना नहीं हो सकती, क्योंकि वाट और घंटे अलग मात्रक हैं
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उत्तर: C. दोनों समान ऊर्जा लेते हैं
ऊर्जा = शक्ति × समय। केतली: 2 kW × 0.05 h = 0.1 kWh। लैंप: 0.01 kW × 10 h = 0.1 kWh। बड़ी शक्ति का थोड़े समय तक प्रयोग और छोटी शक्ति का लंबे समय तक प्रयोग समान ऊर्जा ले सकते हैं।
शुरुआती घर की वायरिंग में फ़्यूज़ या सर्किट ब्रेकर क्यों लगे होते हैं?
1. आपूर्ति वोल्टता स्थिर रखने के लिए
2. प्रयुक्त ऊर्जा मापने के लिए
3. स्टैंडबाई पर होने पर ऊर्जा बचाने के लिए
4. बिजली काटने के लिए, जब धारा इतनी बड़ी हो जाए कि तार अधिक गरम हो सकते हों
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उत्तर: D. बिजली काटने के लिए, जब धारा इतनी बड़ी हो जाए कि तार अधिक गरम हो सकते हों
धारा बढ़ने पर तार अधिक गरम होते हैं। धारा बहुत अधिक होने पर फ़्यूज़ पिघलता है या सर्किट ब्रेकर खुल जाता है, इससे पहले कि केबल ज़्यादा गरम होकर आग लगाए।
मध्यम 230 V के मेन्स पर 2300 W की केतली लगी है। वह कितनी धारा लेती है?
1. 0.1 A
2. 10 A
3. 1 A
4. 100 A
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उत्तर: B. 10 A
P = V·I, इसलिए I = P/V = 2300 W ÷ 230 V = 10 A। वोल्टता को शक्ति से भाग देने पर 0.1 A आता।
मध्यम 1.5 kW का हीटर दिन में 2 घंटे, 30 दिन तक चलता है। वह कितनी ऊर्जा लेता है?
1. 90 kWh
2. 3 kWh
3. 60 kWh
4. 90 kW
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उत्तर: A. 90 kWh
E = P·t = 1.5 kW × (2 h × 30) = 1.5 × 60 = 90 kWh। 3 kWh केवल एक दिन है, 60 kWh में 1.5 kW छूट गया, और kW शक्ति का मात्रक है, ऊर्जा का नहीं।
मध्यम 230 V के परिपथ की रक्षा 10 A का ब्रेकर करता है। इनमें से कौन-सा संयोजन, एक साथ चालू होने पर, उसे ट्रिप करेगा?
1. 2000 W की केतली और 100 W का लैंप
2. 1000 W की इस्त्री और 1000 W का टोस्टर
3. 2000 W की केतली और 2000 W का हीटर
4. दस 100 W के लैंप
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उत्तर: C. 2000 W की केतली और 2000 W का हीटर
परिपथ अधिकतम V·I_max = 230 × 10 = 2300 W दे सकता है। केतली और हीटर मिलकर 4000 W लेते हैं, इसलिए I = 4000/230 ≈ 17.4 A, जो 10 A से कहीं अधिक है। बाकी संयोजन 2100 W या उससे कम रहते हैं।
उन्नत 230 V (rms) मेन्स पर एक हीटर 8.7 A (rms) लेता है। उसकी औसत शक्ति और तात्कालिक शक्ति का शिखर क्या है?
1. औसत 2000 W, शिखर 2000 W
2. औसत 1000 W, शिखर 2000 W
3. औसत 2830 W, शिखर 4000 W
4. औसत 2000 W, शिखर 4000 W
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उत्तर: D. औसत 2000 W, शिखर 4000 W
प्रतिरोधी भार के लिए P_avg = V_rms·I_rms = 230 × 8.7 ≈ 2000 W। तात्कालिक शक्ति V₀·I₀·sin²ωt का शिखर V₀·I₀ = 2·V_rms·I_rms ≈ 4000 W है, और यह हर चक्र में दो बार शून्य हो जाती है।
उन्नत 100 W, 230 V का तंतु लैंप गरम होने पर 529 Ω और ठंडा होने पर केवल लगभग 50 Ω का होता है। स्विच ऑन करते ही क्या होता है?
1. गरम होने तक वह सामान्य से कम धारा लेता है
2. वह कुछ क्षण के लिए सामान्य से लगभग दस गुना धारा लेता है
3. वोल्टता स्थिर होने से वह ठीक सामान्य धारा लेता है
4. गरम होने तक कोई धारा नहीं बहती
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उत्तर: B. वह कुछ क्षण के लिए सामान्य से लगभग दस गुना धारा लेता है
स्थिर वोल्टता पर I = V/R: ठंडी अवस्था में लगभग 230/50 ≈ 4.6 A, गरम अवस्था में 0.43 A, इसलिए P = V²/R कुछ क्षण के लिए 1 kW से अधिक हो जाती है। यह उछाल एक सेकंड से भी कम रहता है, और इसीलिए ऐसे बल्ब अक्सर स्विच ऑन होते ही फुंक जाते हैं।

$I$	अक्ष के अनुदिश धारा; सिरे वाले दृश्य में यह आपकी ओर आती है (बिंदु)।	$A$
$E$	अक्ष के अनुदिश विद्युत क्षेत्र, धातु के भीतर और ठीक बाहर $V / L$ परिमाण का।	$V/m$
$L$	बेलन की लंबाई।	$m$
$a$	बेलन की त्रिज्या।	$m$
$B$	धारा का चुंबकीय क्षेत्र, जो बेलन के चारों ओर घूमता है; सतह पर उसका परिमाण $I / (2 π ε_{0} c^{2} a)$ है।	$T$
$S$	क्षेत्र का ऊर्जा-प्रवाह, प्रति इकाई क्षेत्रफल शक्ति: यह बाहर से प्रतिरोधक के भीतर की ओर इंगित करता है।	$W/ m^{2}$

$I$	उच्च विभव वाले सिरे से प्रवेश करने वाली धारा।	$A$
$d q$	छोटे समय $d t$ में चालक की एक काट से गुज़रने वाला आवेश: $d q = I d t$ ।	$C$
$E$	चालक के भीतर विद्युत क्षेत्र, धारा की दिशा में; उसका परिमाण $V / L$ है।	$V/m$
$L$	चालक की लंबाई।	$m$
$V_{a}$	उस सिरे का विभव जहाँ धारा प्रवेश करती है।	$V$
$V_{b}$	उस सिरे का विभव जहाँ से धारा निकलती है।	$V$
$V$	चालक के साथ विभव में गिरावट, $V = V_{a} - V_{b}$ ।	$V$

$V_{0}$	वोल्टता का आयाम; उसका तीर संदर्भ दिशा है।	$V$
$I_{0}$	धारा का आयाम।	$A$
$φ$	कला-कोण जिसके द्वारा धारा वोल्टता के पीछे है।	$rad$
$I_{0} cos φ$	धारा का वह भाग जो वोल्टता के साथ चलता है: औसतन केवल यही शक्ति देता है।	$A$
$I_{0} sin φ$	धारा का वह भाग जो वोल्टता से एक चौथाई चक्र पीछे है: इसकी शक्ति का औसत शून्य है।	$A$

$V$	आपूर्ति की वोल्टता (rms)।	$V$
$I$	धारा, पूरे लूप में समान।	$A$
$R_{w}$	पूरी केबल का प्रतिरोध, दोनों चालक; एक तार के रूप में खींचा गया।	$Ω$
$R_{L}$	तीनों उपकरणों का संयुक्त प्रतिरोध।	$Ω$
$P_{w}$	केबल में ऊष्मा के रूप में मुक्त होने वाली शक्ति।	$W$
$P_{L}$	उपकरणों द्वारा ली गई शक्ति।	$W$