आँख, कैमरा और दूरदर्शी

शुरुआती

चरण 1, आँख एक कैमरा है। प्रकाश साफ़ कॉर्निया से होकर आता है, पुतली से गुज़रता है, वह छिद्र जिसे रंगीन परितारिका कैमरे के द्वारक की तरह चौड़ा या संकरा करती है, और फिर लेंस से। कॉर्निया और लेंस मिलकर किरणों को इस तरह मोड़ते हैं कि दृश्य के हर बिंदु का प्रकाश रेटिना पर, यानी पीछे की प्रकाश-संवेदी स्क्रीन पर, फिर से एक बिंदु पर मिले। वहाँ का चित्र उल्टा होता है; उसे दिमाग़ सीधा कर लेता है।

चरण 2, फ़ोकस करना। कैमरा अपना लेंस खिसकाकर फ़ोकस करता है। आँख ऐसा नहीं कर सकती, इसलिए वह लेंस का आकार बदलती है: पास की चीज़ के लिए छोटी पेशियाँ लेंस को और गोल होने देती हैं और उसे ज़्यादा मोड़ने देती हैं। इसे समंजन कहते हैं। एनिमेशन में देखें कि लैंप पास आने पर लेंस कैसे फूलता है। उम्र के साथ लेंस सख़्त हो जाता है, इसीलिए 45 वर्ष के बाद ज़्यादातर लोगों को पढ़ने के चश्मे की ज़रूरत होती है।

चरण 3, निकट और दूर दृष्टि। निकट-दृष्टि वाली आँख में नेत्रगोलक थोड़ा लंबा होता है, इसलिए दूर का प्रकाश रेटिना के सामने मिलता है और धुंधला फैलता है, जबकि पास की चीज़ें साफ़ रहती हैं। अपसारी लेंस, जो बीच में पतला होता है, प्रकाश को पहले थोड़ा फैलाता है और मिलन-बिंदु को रेटिना पर वापस ले आता है: धुंधली चकती को तेज़ बिंदु में सिकुड़ते देखें। दूर-दृष्टि वाली आँख का गोलक बहुत छोटा होता है, और अभिसारी लेंस मदद करता है।

चरण 4, उपकरण। सूक्ष्मदर्शी में दो लेंस होते हैं: पहला एक छोटी वस्तु का बढ़ा हुआ प्रतिबिंब बनाता है और दूसरा उस प्रतिबिंब को फिर बढ़ाता है, इसलिए दोनों आवर्धन गुणित होते हैं। दूरदर्शी का बड़ा सामने वाला लेंस दूर की मद्धम वस्तु से प्रकाश इकट्ठा करता है, और नेत्रिका उस बने प्रतिबिंब को बड़ा दिखाती है।

स्वयं जाँचें: एक निकट-दृष्टि वाली सहेली आपको अपना चश्मा उधार देती है। क्या उसके लेंस किनारों पर मोटे हैं या बीच में? (किनारों पर मोटे: वे अपसारी हैं।)

मध्यम

क्षमता डायोप्टर में, और आँख के आँकड़े

उपकरणों के साथ काम करना लेंस की फ़ोकस दूरी के बजाय उसकी क्षमता से आसान होता है। क्षमता $P=1/f$ है; जब $f$ मीटर में हो तो इकाई डायोप्टर (D) आती है, इसलिए $f=0.5\mathrm{m}$ से $P=2\mathrm{D}$ मिलता है। अभिसारी लेंस की क्षमता धनात्मक और अपसारी लेंस की ऋणात्मक होती है, और सटे हुए पतले लेंसों की क्षमताएँ सीधे जुड़ जाती हैं: $+3\mathrm{D}$ और $-1\mathrm{D}$ मिलकर $+2\mathrm{D}$ जैसा व्यवहार करते हैं।

यहाँ कॉर्निया और क्रिस्टलीय लेंस को एक पतला अभिसारी लेंस माना गया है, जिसे समानीत नेत्र (reduced eye) कहते हैं। वस्तु-दूरी $d_o$ और प्रतिबिंब-दूरी $d_i$ इसी से मापी जाती हैं। कैमरा लेंस खिसकाकर $d_i$ बदलता है; आँख ऐसा नहीं कर सकती, क्योंकि $d_i$ लेंस और रेटिना के बीच की दूरी है, जो इस मॉडल में $1/60\mathrm{m}\approx 1.67\mathrm{cm}$ है, इसलिए $1/d_i=60\mathrm{D}$।

क्षमता बदलकर फ़ोकस करना

क्षमताओं में लिखें तो आँख का पतला-लेंस समीकरण है
$P=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}\text{(eye}:d_i\approx 1.67\mathrm{cm},P\approx 60\mathrm{D}\text{)}$

स्थिर 60 D समांतर प्रकाश को रेटिना पर लाता है; दूरी $d_o$ पर स्थित बिंदु से आने वाला प्रकाश अधिक फैलता है और अतिरिक्त $1/d_o$ माँगता है। दूर की वस्तु के लिए $1/d_o\to 0$ है, इसलिए विश्रांत आँख को 60 D चाहिए। 25 cm पर रखी किताब के लिए $1/0.25+60=64\mathrm{D}$ चाहिए। यह अतिरिक्त क्षमता ही समंजन है: छल्ले के आकार की सिलियरी पेशी सिकुड़ती है, लेंस को थामने वाले तंतु ढीले पड़ते हैं, और लचीला लेंस फूल जाता है।

आँख जितनी अधिक क्षमता जोड़ सकती है, यानी उसका समंजन-परिसर, उम्र के साथ घटता है क्योंकि लेंस सख़्त होता है: बचपन में 10 D से अधिक, चालीस के मध्य में लगभग 4 D, और 60 तक 1 D। दूर बिंदु वह दूरतम दूरी है जो विश्रांत लेंस से साफ़ दिखती है, और निकट बिंदु वह निकटतम दूरी है जो पूर्ण समंजन से साफ़ दिखती है। सामान्य युवा आँख के लिए ये क्रमशः अनंत पर और 25 cm या उससे पास होते हैं; उपकरण 25 cm मानते हैं।

चश्मे दृष्टि को कैसे ठीक करते हैं

चश्मा आँख की मरम्मत नहीं करता; वह वस्तु को प्रकाशीय रूप से इस तरह खिसकाता है कि उसका आभासी प्रतिबिंब वहाँ बने जहाँ आँख फ़ोकस कर सके। चश्मे और आँख के बीच की दूरी उपेक्षित करने पर दो प्रमुख सूत्र मिलते हैं:

• $\text{Short sight}:P=-\frac{1}{d_{\mathrm{far}}}$
• $\text{Reading glasses}:P=\frac{1}{0.25\mathrm{m}}-\frac{1}{d_{\mathrm{near}}}$

निकट-दृष्टि (मायोपिया) में दूर बिंदु $d_{\mathrm{far}}$ परिमित दूरी पर होता है। फ़ोकस $f=-d_{\mathrm{far}}$ वाला अपसारी लेंस समांतर प्रकाश को ऐसे फैलाता है मानो वह दूर बिंदु से आ रहा हो। दूर-दृष्टि (हाइपरोपिया) में नेत्रगोलक बहुत छोटा होता है, और प्रेसबायोपिया, यानी उम्र के साथ लेंस के सख़्त होने से समंजन चुक जाता है; दोनों में निकट बिंदु दूर खिसक जाता है। तब अभिसारी लेंस 25 cm पर रखे पृष्ठ का आभासी प्रतिबिंब निकट बिंदु पर बनाता है: 25 cm के लिए माँगी गई 4 D में से वह $1/d_{\mathrm{near}}$ घटाया जाता है जो आँख अब भी दे सकती है।

उदाहरण: एनिमेशन की आँख

एनिमेशन एक सामान्य आँख से शुरू होता है, जिसका रेटिना लेंस के पीछे $d_i=1/60\mathrm{m}$ पर है: पाठ्यांक दिखाते हैं $d_o\to \infty$, रेटिना 1.667 cm पर, और आँख की क्षमता 60.0 D। फिर लैंप 25 cm तक आता है:
$P=\frac{1}{0.25\mathrm{m}}+60\mathrm{D}=4+60=64\mathrm{D}$

नीला लेंस फूलता है जब क्षमता-पाठ्यांक 64.0 D तक चढ़ता है, और सुनहरी किरणें अब भी रेटिना पर मिलती हैं।

फिर नेत्रगोलक लंबा होता है, और बैंगनी पाठ्यांक 1.667 से 1.724 cm तक खिसकता है, जो $1/58\mathrm{m}$ है। विश्रांत आँख अब भी 60 D रखती है, इसलिए समांतर प्रकाश $F^{\prime }$ पर मिलता है, जो नए रेटिना से 0.57 mm आगे है, और वहाँ एक धुंधली चकती के रूप में पहुँचता है। दूरी $d_o$ से आने वाला प्रकाश तभी तेज़ होता है जब $1/d_o+58=60$:
$\frac{1}{d_{\mathrm{far}}}=60-58=2\mathrm{D},d_{\mathrm{far}}=0.5\mathrm{m}$

यही बैंगनी लेबल पर 50 cm का दूर बिंदु है। चश्मे का पाठ्यांक फिर $-1/(0.5\mathrm{m})=-2\mathrm{D}$ तक बढ़ता है। चश्मा और आँख मिलकर $60-2=58\mathrm{D}$ देते हैं, जो ठीक उतना है जितना समांतर प्रकाश को लेंस के 1.724 cm पीछे मिलने के लिए चाहिए, और “आप क्या देखते हैं” पैनल में धुंधली चकती सिकुड़कर एक तेज़ बिंदु बन जाती है।

उदाहरण: पचास वर्ष की उम्र में पढ़ने का चश्मा

50 वर्ष की एक महिला अब भी 1.5 D समंजन जोड़ सकती है, इसलिए उसका निकट बिंदु $1/1.5\approx 0.67\mathrm{m}$ पर है। कौन-सा चश्मा उसे 25 cm पर पढ़ने देगा, और उसमें से वह क्या देखेगी?

चश्मे को पृष्ठ का प्रतिबिंब उसके निकट बिंदु पर बनाना होगा:
$P=\frac{1}{0.25\mathrm{m}}-1.5\mathrm{D}=4-1.5=+2.5\mathrm{D}$

उसकी आँख विश्रांत हो तो चश्मा अपनी 60 D में 2.5 D जोड़ता है, इसलिए वह $1/2.5=0.40\mathrm{m}$ पर साफ़ देखती है; पूर्ण समंजन के साथ वह $2.5+1.5=4\mathrm{D}$ जोड़ती है, और 25 cm पर साफ़ देखती है। इस चश्मे से वह केवल 25 से 40 cm के बीच साफ़ देख पाती है, और दूर की दीवार धुंधली है। इसीलिए पढ़ने का चश्मा ऊपर देखने के लिए उतारना पड़ता है, और इसीलिए बहु-फ़ोकसी लेंस ऊपर से नीचे तक अपनी क्षमता बदलते हैं।

कोण बढ़ाने वाले उपकरण

कोई चीज़ कितनी बड़ी दिखती है, यह उसके आँख पर बने कोण पर निर्भर है: बाँह की लंबाई पर रखा सिक्का चाँद को ढक सकता है। बिना सहायता के छोटी वस्तु के लिए सबसे अच्छा यह है कि उसे निकट बिंदु, यानी 25 cm, पर लाया जाए। उपकरण यही कोण बढ़ाते हैं, और कोणीय आवर्धन $M={\theta }^{\prime }/\theta$ उपकरण के साथ कोण ${\theta }^{\prime }$ की तुलना बिना उपकरण के कोण $\theta$ से करता है:

• $\text{Magnifier}:M=\frac{25\mathrm{cm}}{f}$
• $\text{Microscope}:M\approx \frac{L}{f_o}\cdot \frac{25\mathrm{cm}}{f_e}$
• $\text{Telescope}:M=\frac{{\theta }^{\prime }}{\theta }=\frac{f_o}{f_e}$

आवर्धक लेंस आपको वस्तु को 25 cm पर नहीं, बल्कि उसके फ़ोकस पर रखने देता है, इसलिए $f=5\mathrm{cm}$ से $M=5$ मिलता है। सूक्ष्मदर्शी का अभिदृश्यक प्रतिबिंब को $L/f_o$ गुना बड़ा बनाता है, जहाँ $L\approx 16\mathrm{cm}$ नली की लंबाई है, और नेत्रिका उस प्रतिबिंब को और बढ़ाती है: $f_o=4\mathrm{mm}$ और $f_e=25\mathrm{mm}$ से $40\cdot 10=400$ मिलता है। दूरदर्शी का अभिदृश्यक दूर की वस्तु का छोटा वास्तविक प्रतिबिंब अपने फ़ोकस तल में बनाता है, और नेत्रिका उसे पास से देखती है: $f_o=1.2\mathrm{m}$ और $f_e=20\mathrm{mm}$ से 60 मिलता है।

एनिमेशन का इनसेट $f_o=3f_e$ का दूरदर्शी है: जब तारा $\theta =3.5^{\circ }$ तक झूलता है, तो ${\theta }^{\prime }$ पाठ्यांक $10.4^{\circ }$ तक पहुँचता है, लगभग तीन गुना।

आम गलतियाँ

• निकट-दृष्टि वाली आँखें कमज़ोर नहीं होतीं, बल्कि अपनी लंबाई के हिसाब से ज़्यादा मज़बूत होती हैं: एनिमेशन की लंबी आँख की सामान्य 60 D है, पर उसे केवल 58 D चाहिए, इसलिए सुधारक लेंस की क्षमता ऋणात्मक, यानी $-2\mathrm{D}$ है।
• दूरी को मीटर में लेकर व्युत्क्रम लें: 25 cm के दूर बिंदु के लिए $-1/0.25=-4\mathrm{D}$ चाहिए, न कि $-0.25\mathrm{D}$ या $-0.04\mathrm{D}$।
• पढ़ने के चश्मे में निकट-बिंदु वाला पद घटाया जाता है। निकट बिंदु 1.0 m हो तो $P=4-1=+3\mathrm{D}$; दोनों पद जोड़ने पर +5 D आता है, जिससे पृष्ठ केवल 17 से 20 cm के बीच साफ़ रहता।
• आवर्धन कोणों को गुणा करता है, प्रतिबिंब के आकार को नहीं। ऊपर का 60 गुना दूरदर्शी चाँद का प्रतिबिंब केवल 11 mm चौड़ा बनाता है; जो बढ़ता है वह कोण है, 0.52° से लगभग 30° तक।
• अधिक आवर्धन अधिक विवरण नहीं दिखाता: वह अभिदृश्यक की चौड़ाई $D$ से सीमित है, ${\theta }_{\min }\approx 1.22\lambda /D$ के अनुसार, और एक बिंदु के बाद दूरदर्शी केवल धुंधलेपन को बढ़ाता है।

यह कहाँ दिखता है

चश्मे और कॉन्टैक्ट लेंस 0.25 D के चरणों में लिखे जाते हैं; दुनिया भर में लगभग एक-तिहाई लोग निकट-दृष्टि वाले हैं, और लगभग सभी को 50 की उम्र तक पढ़ने के चश्मे की ज़रूरत होती है। फ़ोन कैमरे एक छोटा लेंस खिसकाकर फ़ोकस करते हैं। 8×42 लिखी दूरबीन 8 गुना आवर्धन देती है, उसके अभिदृश्यक 42 mm के हैं, और वह $42/8=5.25\mathrm{mm}$ चौड़ा किरण-पुंज भेजती है, जो शाम को खुली पुतली से मेल खाता है। विवरण क्यों समाप्त होता है, यह ‘विवर्तन और द्वि-झिरी’ का विषय है, और सस्ते लेंसों के रंगीन किनारे ‘प्रिज़्म, विक्षेपण और रंग’ में बताए गए वर्ण-विक्षेपण से आते हैं।

उन्नत

अभिसरण (वर्जेंस): लेंसों की भाषा

इस पाठ का हर उपकरण, चश्मे से लेकर आँख तक और दूरदर्शी तक, लेंसों की एक पंक्ति है। ऐसी पंक्ति में से प्रकाश का अनुसरण करने का सबसे तेज़ तरीका एक ही संख्या पर नज़र रखना है: अभिसरण (वर्जेंस), यानी तरंगाग्रों की वक्रता, जिसे डायोप्टर (D, जो प्रति मीटर एक है) में मापा जाता है। इसके साथ हर लेंस एक सरल योग बन जाता है।

संकेत-सूची

$S$	प्रकाश का बिंदु स्रोत।
$S^{\prime }$	$S$ का प्रतिबिंब: वह बिंदु जहाँ प्रकाश अभिसरित होता है।
$d_o$	$S$ से लेंस की दूरी: आने वाले तरंगाग्रों की त्रिज्या।	$\mathrm{m}$
$d_i$	लेंस से $S^{\prime }$ की दूरी: निकलने वाले तरंगाग्रों की त्रिज्या।	$\mathrm{m}$
$V$	आने वाले प्रकाश का अभिसरण, $-1/d_o$: ऋणात्मक, क्योंकि तरंगाग्र फैल रहे हैं।	$\mathrm{D}$
$V^{\prime }$	निकलने वाले प्रकाश का अभिसरण, $+1/d_i$: धनात्मक, क्योंकि तरंगाग्र सिमट रहे हैं।	$\mathrm{D}$
$P$	लेंस की क्षमता: वह अभिसरण जो यह जोड़ता है, $V^{\prime }=V+P$।	$\mathrm{D}$

चित्र 1 दिखाता है कि बिंदु स्रोत $S$ से आने वाला प्रकाश लेंस से गुज़रकर प्रतिबिंब $S^{\prime }$ पर पहुँचता है। प्रकाश $S$ से गोलाकार तरंगाग्रों के रूप में फैलता है, बैंगनी चापों के रूप में, इसलिए लेंस तक पहुँचने वाले तरंगाग्र $S$ को केंद्र बनाकर त्रिज्या $d_o$ वाले चाप हैं। किरणें (नारंगी रेखाएँ) तरंगाग्रों को समकोण पर काटती हैं; इसी कारण दोनों किनारे की किरणें सीधे $S$ से लेंस के किनारे तक जाती हैं।

अभिसरण तरंगाग्रों की वक्रता है, यानी उनकी त्रिज्या का व्युत्क्रम, जिसका चिह्न बताता है कि वे किस ओर मुड़ रहे हैं। $S$ से आने वाले प्रकाश जैसा फैलता प्रकाश $V=-1/d_o$ रखता है, जो ऋणात्मक है। बहुत दूर के स्रोत से आने वाला समांतर प्रकाश $V=0$ रखता है। सामने की दूरी $d$ पर एक बिंदु पर अभिसरित होने वाला प्रकाश $V=+1/d$ रखता है, जो धनात्मक है।

एक पतला लेंस केवल एक काम करता है: वह अपनी क्षमता $P$ को अभिसरण में जोड़ देता है। चित्र 1 के दाईं ओर लेंस से निकलने वाले तरंगाग्र $S^{\prime }$ को केंद्र बनाकर त्रिज्या $d_i$ वाले चाप हैं, इसलिए उनका अभिसरण $V^{\prime }=+1/d_i$ है, और वास्तविक प्रतिबिंब वहाँ बनता है जहाँ वे एक बिंदु पर सिकुड़ जाते हैं:
$V^{\prime }=V+P,d_i=\frac{1}{V^{\prime }}$
$V=-1/d_o$ रखने पर यह परिचित पतला-लेंस समीकरण $1/d_o+1/d_i=P$ बनता है, जो एक योग के रूप में लिखा गया है।

विश्रांत सामान्य आँख लीजिए: 60 D का एक लेंस, जिसका रेटिना उसके 1/60 m पीछे है (यह एक समानीतदूरी है, जिसे अगले खंड में समझाया गया है)। 25 cm दूर का लैंप $V=-1/(0.25\mathrm{m})=-4\mathrm{D}$ अभिसरण वाला प्रकाश उसमें भेजता है। रेटिना पर मिलने के लिए प्रकाश को $V^{\prime }=60\mathrm{D}$ के साथ निकलना होगा, इसलिए आँख को अपनी क्षमता $P=V^{\prime }-V=64\mathrm{D}$ तक बढ़ानी होगी; वह अतिरिक्त 4 D उसका समंजन है।

दो लेंसों के बीच अभिसरण भी बदलता है, केवल इसलिए कि प्रकाश चलता है। $V_1$ अभिसरण वाला प्रकाश सामने $1/V_1$ दूरी पर एक बिंदु की ओर जा रहा होता है (या यदि $V_1$ ऋणात्मक हो तो पीछे से एक बिंदु से आ रहा होता है, यानी आभासी स्रोत)। अंतराल $t$ के बाद वह बिंदु $t$ जितना पास आ जाता है, यानी सामने $1/V_1-t$ पर, और नया अभिसरण इसी दूरी का व्युत्क्रम है:
$V_2=\frac{1}{1/V_1-t}=\frac{V_1}{1-t{V}_1}$

यह चश्मों के लिए महत्त्वपूर्ण है, जो कॉर्निया के सामने लगभग $t=12\mathrm{mm}$ पर रहते हैं। क्षमता $P$ वाले चश्मे से गुज़रता समांतर प्रकाश $P$ अभिसरण के साथ निकलता है और $P/(1-tP)$ के साथ आँख तक पहुँचता है, इसलिए चश्मा उतनी ही क्षमता वाले कॉन्टैक्ट लेंस की तरह काम करता है। $-8\mathrm{D}$ का चश्मा आँख पर $-8/(1+0.012\cdot 8)=-8/1.096=-7.3\mathrm{D}$ देता है। एनिमेशन के $-2\mathrm{D}$ के लिए अंतर केवल 0.05 D है, जो नुस्खे के 0.25 D चरणों से छोटा है; इसीलिए पाठ्यांक दूरी को अनदेखा करते हैं।

आँख की क्षमता कहाँ से आती है

आँख की 60 D कहाँ से आती है? दो पारदर्शी माध्यमों के बीच की वक्र सीमा बिना किसी लेंस के भी प्रकाश को मोड़ती है, और आँख की पहली सीमा, यानी कॉर्निया का सामने वाला भाग, अधिकांश काम करता है। यह खंड एक एकल वक्र सतह की क्षमता निकालता है और उसे आँख पर लागू करता है।

संकेत-सूची

$n$	सतह के सामने (वायु) का अपवर्तनांक।
$n^{\prime }$	सतह के पीछे (कॉर्निया-ऊतक) का अपवर्तनांक।
$R$	सतह की वक्रता-त्रिज्या।	$\mathrm{m}$
$C$	वक्रता-केंद्र: उस गोले का केंद्र जिसका एक भाग यह सतह है।
$F^{\prime }$	वह बिंदु जहाँ अक्ष के समांतर किरणें सतह के बाद मिलती हैं।
$f^{\prime }$	सतह से $F^{\prime }$ की दूरी: $f^{\prime }=n^{\prime }R/(n^{\prime }-n)=n^{\prime }/P$, जहाँ $P=(n^{\prime }-n)/R$ सतह की क्षमता है।	$\mathrm{m}$

चित्र 2 कॉर्निया का सामने वाला भाग पैमाने पर दिखाता है। सतह केंद्र $C$ और त्रिज्या $R$ वाले गोले का एक भाग है। उसके बाईं ओर अपवर्तनांक $n$ वाली वायु है; दाईं ओर अपवर्तनांक $n^{\prime }$ वाला कॉर्निया-ऊतक है। किरणों को देखें: वे अक्ष के समांतर आती हैं, सतह पर मुड़ती हैं, और सभी अक्ष पर एक बिंदु $F^{\prime }$ पर काटती हैं।

ऊँचाई $h$ पर एक किरण का अनुसरण करें। उस बिंदु पर अभिलंब $C$ से खींची गई त्रिज्या है, और छोटे कोणों के लिए वह अक्ष से $h/R$ झुकी होती है। किरण अक्ष के समांतर है, इसलिए $h/R$ उसका आपतन कोण $\theta$ भी है। छोटे कोणों के लिए स्नेल का नियम $n\theta =n^{\prime }{\theta }^{\prime }$ सतह के बाद का कोण ${\theta }^{\prime }=nh/(n^{\prime }R)$ देता है: अभिलंब के अधिक निकट, क्योंकि $n^{\prime }>n$। अतः किरण दोनों कोणों के अंतर जितनी अक्ष की ओर मुड़ गई है:
$\frac{h}{R}-\frac{nh}{n^{\prime }R}=\frac{h(n^{\prime }-n)}{n^{\prime }R}$

ऊँचाई $h$ पर अक्ष की ओर इस छोटे कोण पर झुकी किरण, $h$ को कोण से भाग देने पर मिलने वाली दूरी के बाद अक्ष को काटती है:
$f^{\prime }=\frac{n^{\prime }R}{n^{\prime }-n}$
$h$ निरस्त हो जाता है, इसलिए अक्ष के निकट की हर किरण एक ही बिंदु $F^{\prime }$ पर मिलती है: यही कारण है कि सतह प्रतिबिंब बना सकती है। सतह की क्षमता $P=(n^{\prime }-n)/R$ लिखने पर $f^{\prime }=n^{\prime }/P$ मिलता है, जो कहता है कि अपवर्तनांक $n^{\prime }$ वाले माध्यम में फ़ोकस दूरी वायु की तुलना में $n^{\prime }$ गुना लंबी होती है। पतला लेंस ऐसी दो पास-पास सतहें हैं, और उसकी क्षमता दोनों की क्षमताओं का योग है।

क्षमता वहाँ सबसे अधिक होती है जहाँ अपवर्तनांक सबसे अधिक बदलता है, और आँख में सबसे बड़ा बदलाव वायु से कॉर्निया तक है। $R\approx 7.8\mathrm{mm}$ और $n^{\prime }=1.376$ लेने पर सामने की सतह की $P=0.376/0.0078\mathrm{m}\approx 48\mathrm{D}$ और $f^{\prime }=1.376/48\mathrm{D}\approx 28.5\mathrm{mm}$ है, जो चित्र 2 में दर्शायी दूरी है। कॉर्निया की पिछली सतह 1.336 अपवर्तनांक वाले द्रव का सामना करती है, यानी अपवर्तनांक में गिरावट वाली सीमा है, इसलिए वह लगभग 6 D घटा देती है। इस प्रकार कॉर्निया लगभग 42 D देता है, जो आँख की 60 D के दो-तिहाई से अधिक है; शेष क्षमता क्रिस्टलीय लेंस जोड़ता है और वही समायोजन करता है।

पानी के नीचे, जिसका सामने का अपवर्तनांक $n=1.333$ है, सामने की सतह केवल $(1.376-1.333)/0.0078\mathrm{m}\approx 5.5\mathrm{D}$ बचाती है। आँख 40 D से अधिक खो देती है, जो किसी भी समंजन से कहीं अधिक है, और सब कुछ धुंधला हो जाता है। गोगल्स मदद करते हैं, क्योंकि वे कॉर्निया के सामने फिर से वायु की एक परत रख देते हैं।

वही सूत्र इस पाठ में प्रयुक्त एक परिपाटी को भी समझाता है। प्रतिबिंब 1.336 अपवर्तनांक वाले द्रव में बनता है, इसलिए लेंस से रेटिना तक की वास्तविक दूरी $n^{\prime }/P=1.336/60\mathrm{D}\approx 22\mathrm{mm}$ है। मॉडल की 1/60 m, लगभग 17 mm, समानीतदूरी है: वायु में वह दूरी जो वही अभिसरण देती है। समानीतदूरियों से हर सूत्र ऐसे लिखा जा सकता है मानो आँख वायु से भरी हो।

धुंधलेपन का ग्राफ़: यह V क्यों है

एनिमेशन का विशेषज्ञ ग्राफ़ दिखाता है कि निकट-दृष्टि वाली आँख को दूर का दृश्य कितना धुंधला दिखता है, और चश्मे की क्षमता के विरुद्ध। उसका V आकार एक ही युग्म समरूप त्रिभुजों से आता है, और वही परिणाम समझाता है कि आँखें सिकोड़ने से मदद क्यों मिलती है और नुस्खे चौथाई-डायोप्टर के चरणों में क्यों आते हैं।

संकेत-सूची

$A$	पुतली की चौड़ाई, वह छिद्र जो प्रकाश-शंकु को सीमित करता है।	$\mathrm{m}$
$d_i$	लेंस के पीछे वह दूरी जहाँ शंकु बंद होता है: $d_i=1/V^{\prime }$, जहाँ $V^{\prime }$ लेंस से निकलने वाला अभिसरण है (समानीत दूरी)।	$\mathrm{m}$
$L$	लेंस से रेटिना की दूरी (समानीत दूरी, यहाँ $1/58\mathrm{m}$)।	$\mathrm{m}$
$b$	रेटिना पर धुंधली चकती की चौड़ाई।	$\mathrm{m}$
$P$	चश्मे की क्षमता, ग्राफ़ के क्षैतिज अक्ष पर।	$\mathrm{D}$
$P_0$	वह क्षमता जो कोई धुंधलापन नहीं देती, $-1/d_{\mathrm{far}}$, जहाँ $d_{\mathrm{far}}$ दूर बिंदु है: तब शंकु ठीक रेटिना पर बंद होता है।	$\mathrm{D}$
$AL$	हर भुजा की ढलान: हर डायोप्टर त्रुटि से जुड़ा धुंधलापन।	${\mathrm{m}}^2$

चित्र 3 का बायाँ भाग दिखाता है कि धुंधलापन कहाँ से आता है। आँख पिछले खंड की समानीतआँख है, यानी 60 D का एक लेंस, पर यह नेत्रगोलक थोड़ा लंबा है: रेटिना $L=1/58\mathrm{m}$ पर है, 1/60 m पर नहीं। आँख निकट-दृष्टि वाली है। विश्रांत अवस्था में वह केवल अपने दूर बिंदु $d_{\mathrm{far}}=0.5\mathrm{m}$ तक साफ़ देखती है, क्योंकि वहाँ से फैलने वाला, $-2\mathrm{D}$ अभिसरण वाला प्रकाश लेंस से $60-2=58\mathrm{D}$ के साथ निकलता है और ठीक रेटिना पर मिलता है। इसलिए $1/d_{\mathrm{far}}=2\mathrm{D}$।

अब दूर के एक बिंदु से आने वाला समांतर प्रकाश क्षमता $P$ वाले चश्मे से गुज़रने दें। वह चश्मे से $P$ अभिसरण के साथ निकलता है (ऊपर की तरह दूरी उपेक्षित करते हुए), और आँख 60 D जोड़ती है, इसलिए लेंस के पीछे $V^{\prime }=60\mathrm{D}+P$। प्रकाश आँख में पुतली $A$ जितने चौड़े एक शंकु के रूप में प्रवेश करता है, और वह शंकु $d_i=1/V^{\prime }$ पर एक बिंदु में मिलता है, जो $L$ जैसी समानीतदूरी है।

$d_i$ और $L$ के बीच के अंतराल को देखें। चित्र में $d_i$, $L$ से छोटा है: शंकु रेटिना तक पहुँचने से पहले ही एक बिंदु पर मिल चुका है और फिर से खुल रहा है, और रेटिना पर चौड़ाई $b$ की चकती को रोशन करता है। दो समरूप त्रिभुज, एक का आधार $A$ और ऊँचाई $d_i$, दूसरे का आधार $b$ और ऊँचाई $L-d_i$, देते हैं
$b=A\frac{L-d_i}{d_i}=A|L{V}^{\prime }-1|=AL\left|P+\frac{1}{d_{\mathrm{far}}}\right|$
मध्य चरण $d_i=1/V^{\prime }$ का उपयोग करता है; अंतिम $L{V}^{\prime }-1=L(V^{\prime }-58\mathrm{D})=L(P+2\mathrm{D})$ का। यदि $d_i$, $L$ से लंबा होता, तो शंकु रेटिना पर अब भी सिकुड़ रहा होता, और वही सूत्र लागू होता: निरपेक्ष मान का यही उद्देश्य है।

मात्रा $\Delta V=P+1/d_{\mathrm{far}}$ अभिसरण-त्रुटि है: आँख में प्रवेश करने वाले प्रकाश का अभिसरण विश्रांत आँख को आवश्यक अभिसरण से कितना दूर है। चित्र 3 का दायाँ भाग $b$ को $P$ के विरुद्ध दिखाता है। चूँकि $b$ उस राशि के निरपेक्ष मान के समानुपाती है जो $P$ के साथ लगातार बढ़ती है, ग्राफ़ V है। उसका शिखर $P_0=-1/d_{\mathrm{far}}=-2\mathrm{D}$ पर है, जहाँ $d_i=L$ है, शंकु ठीक रेटिना पर मिलता है, और धुंधलापन शून्य हो जाता है। हर भुजा ढलान $AL$ की एक सीधी रेखा है: हर डायोप्टर त्रुटि $AL$ धुंधलापन जोड़ती है, जो बायीं भुजा पर चिह्नित ऊँचाई-वृद्धि है।

$b$ अक्ष $P=0$ पर खड़ा है, यानी बिना चश्मे के, इसलिए बिना सुधार वाली आँख (जिसका शंकु बायीं ओर दिखाया गया है) वह बिंदु है जहाँ यह अक्ष दाईं भुजा से मिलता है। एनिमेशन में नेत्रगोलक लंबा होते समय बिंदु पहले $P=0$ पर सीधा ऊपर चढ़ता है, फिर चश्मे की क्षमता के बढ़ते समय दाईं भुजा पर फिसलता है।

बिना चश्मे के, 4 mm की पुतली $b=0.004\cdot 0.01724\cdot 2\mathrm{m}\approx 0.14\mathrm{mm}$ देती है। लेंस से देखें तो यह चकती $b/L=A|\Delta V|=0.004\cdot 2=8\mathrm{mrad}$, लगभग 27′ का कोण घेरती है। एक तीक्ष्ण आँख 1′ विभेदित कर सकती है, इसलिए दूर के दृश्य का हर बिंदु उस बारीकी से लगभग 27 गुना धुंधला फैल जाता है जितना आँख अन्यथा देख पाती।

बायीं भुजा अति-सुधार है। $-3\mathrm{D}$ के चश्मे से प्रकाश रेटिना के पीछे मिलता है; युवा आँख अब भी फ़ोकस कर सकती है, पर केवल पूरे दिन 1 D समंजन करके। ढलान $AL$ पुतली के समानुपाती है, इसलिए 2 mm की पुतली 4 mm की आधी धुंध देती है: यही कारण है कि आँखें सिकोड़ने से मदद मिलती है।

शिखर के निकट थोड़ा धुंधलापन ध्यान में नहीं आता, और अभिसरण-त्रुटि की वह सीमा जिसे आँख सहती है, उसकी फ़ोकस-गहराई है। यदि 3′ का धुंधलापन, यानी 0.87 mrad, ध्यान में न आए, तो 3 mm की पुतली $0.87\times 10^{-3}/0.003\approx 0.3\mathrm{D}$ की त्रुटि सहन करती है, और इसीलिए नुस्खे 0.25 D के चरणों में आते हैं।

कोणीय आवर्धन की व्युत्पत्ति

दूरदर्शी कोई तारा बड़ा नहीं बनाता; वह आकाश में दिशाओं के बीच का कोण बढ़ाता है। यह खंड दिखाता है कि वह कोण दोनों फ़ोकस दूरियों के अनुपात में बढ़ता है, फिर इस विचार को सूक्ष्मदर्शी तक ले जाता है।

संकेत-सूची

$f_o$	अभिदृश्यक की फ़ोकस दूरी।	$\mathrm{m}$
$f_e$	नेत्रिका की फ़ोकस दूरी, जिसका फ़ोकस तल अभिदृश्यक का फ़ोकस तल है।	$\mathrm{m}$
$y$	साझा फ़ोकस तल में तारे के प्रतिबिंब की अक्ष के नीचे ऊँचाई: $y=f_o\tan \theta$।	$\mathrm{m}$
$\theta$	आने वाले प्रकाश और अक्ष के बीच का कोण: तारे की दिशा।	$\mathrm{rad}$
${\theta }^{\prime }$	निकलते प्रकाश और अक्ष के बीच का कोण: वह दिशा जिसमें आँख तारे को देखती है।	$\mathrm{rad}$

चित्र 4 दो मुख्य किरणों का अनुसरण करता है, यानी लेंस के केंद्र से गुज़रने वाली किरणें, जो लेंस से सीधे गुज़रती हैं; कोण बढ़ाकर दिखाए गए हैं। बाईं ओर, अक्ष से कोण $\theta$ पर स्थित तारे का प्रकाश फ़ोकस दूरी $f_o$ वाले अभिदृश्यक तक पहुँचता है। अभिदृश्यक तारे का प्रतिबिंब अपने फ़ोकस तल में बनाता है, और उसकी मुख्य किरण बताती है कि वह कहाँ है: अक्ष के नीचे ऊँचाई $y=f_o\tan \theta$ पर, यानी बैंगनी पट्टी।

फ़ोकस दूरी $f_e$ वाली नेत्रिका ऐसे रखी जाती है कि उसका फ़ोकस तल वही तल हो। अतः उस तल के किसी भी बिंदु से आने वाला प्रकाश नेत्रिका से समांतर पुंज बनकर निकलता है, और यह पुंज उस बिंदु से नेत्रिका के केंद्र से गुज़रने वाली मुख्य किरण की दिशा में चलता है। इसलिए तारे का प्रकाश कोण ${\theta }^{\prime }$ पर निकलता है, जहाँ $\tan {\theta }^{\prime }=y/f_e$।

पट्टी की ऊँचाई $y$ चित्र के दोनों समकोण त्रिभुजों की एक भुजा है, एक की भुजा $f_o$ है और दूसरे की $f_e$। दोनों समीकरणों को भाग देने पर वह निरस्त हो जाता है:
$\frac{\tan {\theta }^{\prime }}{\tan \theta }=\frac{f_o}{f_e}$
छोटे कोणों के लिए स्पर्शज्या कोण के बराबर होती है, और कोणीय आवर्धन $M={\theta }^{\prime }/\theta =f_o/f_e$ है। एनिमेशन के इनसेट में $f_o=3f_e$ है: जब $\theta$ चरम $3.5^{\circ }$ पर होता है, तो ${\theta }^{\prime }$ चरम $10.4^{\circ }$ पर होता है, $10.5^{\circ }$ पर नहीं, क्योंकि स्पर्शज्याएँ 3 गुना बढ़ती हैं। यह भी ध्यान दें कि बाहर जाने वाली किरण आने वाली किरण की उल्टी दिशा में झुकी है: दूरदर्शी से आकाश उल्टा दिखता है।

नेत्रिका हर पुंज को $f_e/f_o$ के अनुपात में भी सँकरा करती है। चौड़ाई $D$ वाले अभिदृश्यक को भरने वाला प्रकाश इसलिए $M$ गुना सँकरे, चौड़ाई $D/M$ वाले पुंज के रूप में निकलता है: यह निर्गत पुतली है, नेत्रिका के पीछे प्रकाश का वह धब्बा जहाँ आँख रखी जाती है।

सूक्ष्मदर्शी वही विचार पास की वस्तु पर लगाता है। वस्तु अभिदृश्यक के फ़ोकस से ठीक बाहर, दूरी $x_o$ पर होती है, और अभिदृश्यक अपने दूर वाले फ़ोकस से बाहर दूरी $x_i=f_o^2/x_o$ पर एक वास्तविक, बड़ा प्रतिबिंब बनाता है; यह फ़ोकस-बिंदुओं से मापा गया लेंस-समीकरण है, इसका न्यूटोनियन रूप। प्रतिबिंब वस्तु से $x_i/f_o$ गुना ऊँचा है। जब प्रतिबिंब मानक दूरी $x_i=\ell$ पर हो, जो प्रकाशिक नली की लंबाई है, तो यह $\ell /f_o$ होता है। तब नेत्रिका आवर्धक लेंस की तरह काम करती है: उसके फ़ोकस तल में ऊँचाई $y$ वाला प्रतिबिंब $y/f_e$ कोण पर दिखता है, न कि उस $y/(0.25\mathrm{m})$ कोण पर जो वह सामान्य पठन दूरी पर घेरता। मिलाकर,
$M=\frac{\ell }{f_o}\cdot \frac{0.25\mathrm{m}}{f_e}$

आवर्धन विभेदन नहीं है

अधिक आवर्धन और बारीक विवरण क्यों नहीं दिखा सकता? क्योंकि हर छिद्र एक बिंदु के प्रकाश को एक छोटे धब्बे में फैला देता है, जिसका कोण तरंगदैर्घ्य और छिद्र की चौड़ाई से तय होता है। तरंगों का समय-संबंध अकेले ही दिखाता है कि यह कोण कहाँ से आता है।

कल्पना करें कि एक आदर्श लेंस एक समय-मापी उपकरण है: वह बिंदु स्रोत के प्रकाश को उसके प्रतिबिंब बिंदु तक ऐसे पथों से पहुँचाता है जिन सब में समान समय लगता है, इसलिए तरंगें समान चरण में पहुँचकर जुड़ जाती हैं। अब पहले से एक छोटे कोण $\theta$ पर दूसरा बिंदु स्रोत लीजिए, और उसका प्रकाश उसी प्रतिबिंब बिंदु तक अनुसरण कीजिए। उसकी दो चरम किरणें, चौड़ाई $D$ वाले छिद्र के विपरीत किनारों से गुज़रती हैं, और उनके पथों में अंतर $D\sin \theta \approx D\theta$ है, इसलिए समय में अंतर $D\theta /c$ है।

इस विलंब की तुलना तरंग के एक आवर्त $\lambda /c$ से करें। यदि यह आवर्त से बहुत छोटा है, तो दूसरे स्रोत की तरंगें भी लगभग समान चरण में पहुँचती हैं: उसका प्रतिबिंब उसी स्थान पर पड़ता है, और दोनों स्रोत अलग नहीं किए जा सकते। एक बार विलंब लगभग एक आवर्त तक पहुँच जाए, तो छिद्र की हर पट्टी को आधे छिद्र दूर की एक दूसरी पट्टी से जोड़ा जा सकता है, जिसकी तरंगें आधे आवर्त बाद पहुँचती हैं, और जोड़े एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। तब दूसरा स्रोत पहले प्रतिबिंब बिंदु पर प्रकाश नहीं भेजता, और दोनों प्रतिबिंब अलग हो जाते हैं। अतः ${\theta }_{\min }\approx \lambda /D$। गोल छिद्र के किनारों पर वर्ग की तुलना में कम क्षेत्रफल होता है, इसलिए वह थोड़े सँकरे छिद्र की तरह व्यवहार करता है, और गुणांक 1.22 हो जाता है:
$\text{Resolution}:{\theta }_{\min }\approx \frac{1.22\lambda }{D}$

3 mm की पुतली और 550 nm के हरे प्रकाश के लिए यह $1.22\cdot 550\times 10^{-9}/0.003\approx 2.2\times 10^{-4}\mathrm{rad}$, यानी 0.8′ है। रेटिना इसके अनुरूप है: फ़ोवीआ के केंद्र के शंकु लगभग 2.5 μm दूर हैं, जो लेंस से 0.5′ है, इसलिए हर 1′ पर दोहराने वाली आकृति हर दोहराव में दो बार नमूनाकृत होती है, जो उसे दर्ज करने के लिए ठीक पर्याप्त है।

कीटों की संयुक्त आँखें उसी समझौते (trade-off) का एक और रूप दिखाती हैं। चौड़ाई $D$ वाला हर नेत्रक विवर्तन से लगभग $\lambda /D$ धुंधला होता है, जबकि त्रिज्या $r$ की आँख पर पड़ोसी नेत्रक $D/r$ दूर होते हैं। छोटे नेत्रक अधिक विवर्तित होते हैं; बड़े नेत्रक मोटे नमूने लेते हैं। दोनों कोण तब बराबर होते हैं जब $D=\sqrt{\lambda r}$, यानी सर्वोत्तम नेत्रक चौड़ाई: $r=1\mathrm{mm}$ के लिए लगभग 23 μm।

दूरदर्शी के आवर्धन को केवल उसके ${\theta }_{\min }$ को उस कोण तक उठाना है जिसे आँख देख सके, और निर्गत पुतली बताती है कि और अधिक आवर्धन मदद क्यों नहीं करता। आवर्धन $M$ पर आँख में प्रवेश करने वाला पुंज $D/M$ चौड़ा है, इसलिए आँख का अपना विवर्तन उसे $1.22\lambda /(D/M)=M\cdot 1.22\lambda /D$ से धुंधला करता है: ठीक दूरदर्शी की सीमा, $M$ गुना आवर्धित। चित्र और धुंधलापन साथ-साथ बढ़ते हैं। मिलीमीटर में अभिदृश्यक-चौड़ाई के लगभग दोगुने से अधिक आवर्धन पर निर्गत पुतली 0.5 mm से नीचे चली जाती है, और यह धुंधलापन लगभग 4.6′ से अधिक हो जाता है, जो साफ़ दिखता है: चित्र बड़ा होता है, पर कोई विवरण नहीं जुड़ता।

हल किया गया प्रश्न: निकट-दृष्टि वाली आँख के लिए दूरदर्शी

यह प्रश्न अभिसरण-नियम, धुंधलापन-ग्राफ़ और दूरदर्शी को जोड़ता है: जब एक निकट-दृष्टि वाला प्रेक्षक चश्मा उतारकर दूरदर्शी का उपयोग करता है, तो क्या होता है?

इनसेट के दूरदर्शी को $f_o=300\mathrm{mm}$ और $f_e=100\mathrm{mm}$ से बनाएँ, ताकि $M=3$ हो और नली की लंबाई, $f_o+f_e$, 400 mm हो। इसे एनिमेशन के $-2\mathrm{D}$ वाले प्रेक्षक को दें, जो चश्मा नहीं पहने है, और उसकी आँख नेत्रिका के पास है। उसकी विश्रांत आँख केवल उस अभिसरण के प्रकाश के लिए साफ़ है जो $-2\mathrm{D}$ है और उसके दूर बिंदु से फैलता है। इसलिए $+10\mathrm{D}$ की नेत्रिका को अभिदृश्यक के प्रतिबिंब से आने वाले प्रकाश को वह अभिसरण देना होगा; वह प्रतिबिंब नेत्रिका के सामने दूरी $s$ पर है:
$-\frac{1}{s}+10\mathrm{D}=-2\mathrm{D},s=\frac{1}{12}\mathrm{m}=83.3\mathrm{mm}$

वह नेत्रिका को 16.7 mm अंदर खिसकाती है, जिससे नली 400 mm से घटकर 383.3 mm हो जाती है। अभिदृश्यक के प्रतिबिंब की ऊँचाई अब भी $y=f_o\theta$ है, पर वह अब नेत्रिका से $s$ दूरी पर है, और उसके शीर्ष से नेत्रिका के केंद्र से गुज़रने वाली मुख्य किरण, जो सीधे उसकी आँख में जाती है, कोण ${\theta }^{\prime }=y/s$ बनाती है:
$M=\frac{f_o}{s}=f_o\left(\frac{1}{f_e}+\frac{1}{d_{\mathrm{far}}}\right)=0.3\cdot 12=3.6$

उसे 3 के बजाय 3.6 गुना मिलता है। वस्तुतः उसकी आँख की 2 D की अधिकता नेत्रिका की 10 D में जुड़ जाती है, जिससे 12 D की नेत्रिका बनती है, जिसकी फ़ोकस दूरी 83.3 mm है। दूर-दृष्टि वाला प्रेक्षक, जिसकी विश्रांत आँख को $+2\mathrm{D}$ चाहिए, उल्टा अनुभव करता है: प्रभावी 8 D की नेत्रिका, जो $s=125\mathrm{mm}$ तक खींची जाती है, और केवल $M=0.3\cdot 8=2.4$।

यदि निकट-दृष्टि वाली प्रेक्षक फिर से फ़ोकस नहीं करती, तो वह फिर उसी धुंधलापन-ग्राफ़ से मिलती है। उसकी 2 D त्रुटि और 4 mm की पुतली आँख पर 27′ धुंधलापन देती हैं, जैसा धुंधलापन-खंड में है, जो $M=3$ से विभाजित करने पर आकाश में लगभग 9′ है। यह मानता है कि निर्गत पुतली उसकी 4 mm पुतली को भरती है, जिसके लिए कम से कम 12 mm चौड़ा अभिदृश्यक चाहिए।

वैधता की सीमाएँ

इस पूरे खंड की सभी बातें अक्षीय-समीप पतले-लेंस की प्रकाशिकी हैं: अक्ष के निकट की किरणें, मोटाई-रहित लेंस, और एक ही तरंगदैर्घ्य का प्रकाश। वास्तविक आँखें और उपकरण तीन तरीकों से इससे भिन्न होते हैं, जो जानने योग्य हैं।

पहला, विपथन। वास्तविक आँख एक मोटी प्रणाली है, जिसमें किसी भी लेंस के दोष हैं। गोलीय विपथन, यानी अक्ष से दूर की किरणों का उन किरणों से अधिक समीप फ़ोकस होना जो अक्ष के पास हैं, पुतली के साथ तेज़ी से बढ़ता है और रात में, जब पुतली चौड़ी होती है, धुंधलापन जोड़ता है। वर्णी विपथन आँख को बैंगनी प्रकाश के लिए लाल की तुलना में लगभग 2 D अधिक शक्तिशाली बनाता है। यदि कॉर्निया एक दिशा में दूसरी से अधिक मुड़ा हो, तो दृष्टिवैषम्य होता है, जिसके लिए एक एकल संख्या $P$ नहीं, बल्कि एक बेलनाकार लेंस चाहिए।

दूसरा, विवर्तन। यह चित्र 3 के V के नीचे एक सीमा बनाता है: धुंधलापन $1.22\lambda /A$ के आसपास स्थिर हो जाता है, 3 mm की पुतली के लिए 0.8′; और लगभग 2 से 3 mm की पुतली से छोटी पुतली चीज़ों को बेहतर नहीं, बल्कि बदतर बनाती है।

तीसरा, वायुमंडल। ज़मीन के दूरदर्शियों के लिए वायु-विक्षोभ तारों को लगभग 1″ तक फैला देता है, जो $4.85\times 10^{-6}\mathrm{rad}$ है: केवल $1.22\cdot 550\times 10^{-9}/(4.85\times 10^{-6})\approx 0.14\mathrm{m}$ चौड़े छिद्र की विवर्तन-सीमा। बड़े दूरदर्शी फिर भी अधिक प्रकाश इकट्ठा करते हैं, पर बारीक विवरण के लिए अनुकूली प्रकाशिकी चाहिए, जो तरंगाग्र के आते ही उसे पुनः आकार देती है, या अंतरिक्ष में दूरदर्शी, जहाँ 2.4 m का हबल दूरदर्शी 0.06″ तक पहुँचता है।

आगे की दिशा

गुणांक 1.22 और तारा-प्रतिबिंबों के चारों ओर के अंधेरे वलय ‘विवर्तन और द्वि-झिरी’ में निकाले जाते हैं, और तरंगों के समान-चरण का तर्क ‘व्यतिकरण और अध्यारोपण’ का है। वर्णी विपथन और उसे निरस्त करने वाला अवर्णक द्वि-लेंस ‘प्रिज़्म, विक्षेपण और रंग’ से संबंधित है; सतह की क्षमता $(n^{\prime }-n)/R$ ‘परावर्तन और अपवर्तन’ पर टिकी है, और अभिसरण ‘लेंस और दर्पण’ पर। नियम ${\theta }_{\min }\approx 1.22\lambda /D$ हर तरंग पर लागू होता है: 21 cm पर 100 m का रेडियो डिश केवल लगभग 9′ विभेदित कर पाता है, जो नंगी आँख से भी मोटा है; जबकि इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी, जिसके इलेक्ट्रॉनों की तरंगदैर्घ्य कुछ पिकोमीटर है (‘तरंग-कण द्वैतता’ देखें), अकेले परमाणुओं का प्रतिबिंब बना सकते हैं। स्वयं प्रकाश की तरंग के रूप में चर्चा ‘विद्युत चुंबकीय तरंगें’ का विषय है।