Pression dans les fluides et principe de Pascal

Débutant

La pression indique avec quelle force un fluide pousse sur chaque morceau de surface. L'eau et l'air sont faits d'innombrables molécules minuscules qui ne cessent de bouger. Elles cognent contre tout ce qu'elles touchent : les parois d'un verre, votre peau, vos tympans. Chaque choc est une minuscule poussée ; tous ensemble, répartis sur une surface, ils forment la pression. Un fluide pousse donc sur toute surface, quelle que soit son orientation.

Étape 1 : la pression augmente avec la profondeur. Plus on descend dans un liquide au repos, plus il y a de liquide au-dessus, et son poids appuie sur tout ce qui se trouve dessous. Voilà pourquoi les oreilles font mal au fond d'une piscine, et pourquoi un barrage est bien plus épais en bas qu'en haut. Un liquide plus dense, comme l'eau de mer, pousse un peu plus fort à la même profondeur.

Étape 2 : seule la profondeur compte. Un tube fin et un vaste lac, remplis jusqu'au même niveau, ont la même pression à la même profondeur ; la quantité d'eau n'y change rien.

Testez-vous : dans l'animation, lequel des trois trous projette l'eau le plus vite, et pourquoi ? Réponse : celui du bas, car l'eau y est la plus profonde et pousse le plus fort.

Étape 3 : un liquide enfermé transmet une poussée. Appuyez dessus à un endroit, et le supplément de pression atteint de la même façon chaque point du liquide (principe de Pascal). Dans l'animation, une poussée sur le petit piston soulève une voiture posée sur le grand. Le grand piston a une surface quatre fois plus grande : il reçoit donc une force quatre fois plus grande.

Étape 4 : rien n'est gratuit. Le petit piston doit descendre quatre fois plus loin que la voiture ne monte.

Intermédiaire

Ce que mesure la pression

La pression est la force qu'un fluide exerce sur chaque mètre carré de la surface qu'il touche :
$p=\frac{F}{A}$
Son unité est le pascal, $1\mathrm{Pa}=1N/{\mathrm{m}}^2$. L'air qui nous entoure appuie avec environ 101 kPa, soit le poids d'une dizaine de tonnes sur chaque mètre carré, mais les fluides de notre corps repoussent avec autant de force.

La pression n'est pas une force et n'a pas de direction propre. En un point d'un fluide au repos, elle a la même valeur quelle que soit l'orientation d'une petite surface, et la force qu'elle produit, $F=pA$, est toujours perpendiculaire à cette surface. La pression absolue se compte à partir du vide, la pression relative à partir des 101 kPa de l'atmosphère : un manomètre de pneu qui indique 220 kPa correspond à environ 321 kPa en pression absolue.

Pourquoi la pression augmente avec la profondeur

Dans un liquide de masse volumique $\rho$ au repos, imaginez la colonne verticale de liquide située au-dessus d'une petite aire $A$, à la profondeur $h$. Son poids vaut $\rho Ahg$ ; comme la pression sur ses côtés est horizontale, seul le liquide situé en dessous peut le porter, et en divisant par l'aire on obtient la pression relative à la profondeur $h$ :
$p=\rho gh$
En ajoutant la pression $p_0$ qui s'exerce sur la surface libre, en général celle de l'atmosphère, on obtient la pression absolue :
$p=p_0+\rho gh$

Dans l'eau, la pression augmente de 9,81 kPa par mètre ; 10 m de plus ajoutent donc environ 98 kPa, presque une atmosphère : un plongeur à 10 m subit le double de la pression en surface. Le mercure est 13,6 fois plus dense : dans un baromètre, une colonne de seulement $101325/(13600\cdot 9,81)\approx 0,76\mathrm{m}$ équilibre l'atmosphère, alors qu'une colonne d'eau exigerait 10,3 m, la limite de toute pompe aspirante.

Seule la profondeur compte, pas la forme du récipient ni la quantité de liquide : un tube fin et un vaste lac remplis jusqu'au même niveau ont la même pression à la même profondeur. C'est le paradoxe hydrostatique. Tous les points d'un même niveau d'un liquide immobile et d'un seul tenant ont ainsi la même pression, et des vases communicants se remplissent jusqu'à la même hauteur.

Le principe de Pascal et la presse hydraulique

Le principe de Pascal affirme qu'une variation de pression appliquée à un liquide enfermé se transmet intégralement à chaque point du liquide et aux parois. Le poids du liquide ne fixe que les différences de pression, par l'intermédiaire de $\rho gh$ : une poussée exercée sur la frontière doit donc augmenter toutes les pressions de la même quantité.

Une presse hydraulique met cela à profit. Ses deux pistons, d'aires $A_1$ et $A_2$, étant à peu près à la même hauteur, les pressions sous eux sont égales, $F_1/A_1=F_2/A_2$, d'où
$F_2=\frac{F_1{A}_2}{A_1}$
Pour des pistons circulaires, l'aire varie comme le carré du diamètre : doubler le diamètre multiplie la force par quatre.

Le prix à payer est la distance. Un liquide se comprime à peine : le volume chassé du cylindre étroit doit donc entrer dans le cylindre large :
$A_1{d}_1=A_2{d}_2$
Combiné au rapport des forces, cela donne
$F_1{d}_1=F_2{d}_2$
Le travail fourni est égal au travail récupéré : comme un levier, la presse multiplie la force mais divise la distance, sans jamais créer d'énergie.

Exemple résolu : le réservoir et la presse de l'animation

Le réservoir est maintenu plein, avec des trous à 15, 35 et 55 cm sous la surface. Les étiquettes violettes donnent $\rho gh$ à chaque trou ; pour le plus bas,
$p=1000\cdot 9,81\cdot 0,55\approx 5400\mathrm{Pa}=5,4\mathrm{kPa}$
et de même 1,5 et 3,4 kPa pour les deux autres. Seule cette pression relative fait jaillir les jets, car l'atmosphère appuie aussi à l'extérieur de chaque trou. La poussée devient vitesse, $v=\sqrt{2gh}$ (voir Théorème de Bernoulli) : environ 1,7, 2,6 et 3,3 m/s, si bien que le jet du bas est le plus rapide.

À droite, le grand piston est deux fois plus large que le petit, donc $A_2=4A_1$. Pour soutenir la voiture de 1000 kg, il doit pousser avec $F_2=1000\cdot 9,81=9810\mathrm{N}$ ; la main n'a donc besoin que de
$F_1=\frac{F_2{A}_1}{A_2}=\frac{9810}{4}\approx 2450\mathrm{N}$
Ce sont les 2,45 kN et 9,81 kN de l'étiquette, et la flèche verte sous le grand piston est quatre fois plus longue que la rouge au-dessus de la poignée.

Quand la poignée descend, les valeurs affichées montrent $d_1$ qui atteint 48 cm alors que $d_2$ n'atteint que 12 cm, soit quatre fois moins. Les travaux concordent : $F_1{d}_1=2452,5\cdot 0,48\approx 1177\mathrm{J}$ et $F_2{d}_2=9810\cdot 0,12\approx 1177\mathrm{J}$, l'énergie qui élève la voiture de 12 cm.

Exemple résolu : la vitre avant d'un aquarium

Un aquarium est rempli sur 60 cm de profondeur, et sa vitre avant mesure 1,5 m de large. La pression relative sur la vitre croît de zéro à la surface jusqu'à $1000\cdot 9,81\cdot 0,60\approx 5890\mathrm{Pa}$ au fond ; sa moyenne $\bar{p}$ sur la vitre est donc la valeur à mi-profondeur, environ 2940 Pa. Avec une aire mouillée de $1,5\cdot 0,60=0,90{\mathrm{m}}^2$,
$F=\bar{p}A\approx 2943\cdot 0,90\approx 2650\mathrm{N}$
soit le poids d'une masse de 270 kg. L'atmosphère appuie sur les deux faces de la vitre et se compense.

La poussée ne dépend pas de la distance dont le bac s'étend derrière la vitre : un aquarium de seulement 5 cm d'avant en arrière pousse tout aussi fort. En doublant la hauteur d'eau, à 1,20 m, on double à la fois la pression moyenne et l'aire, donc la force est multipliée par quatre, à environ 10,6 kN. Comme l'essentiel s'exerce en bas, les réservoirs et les barrages sont construits plus solides à la base.

Lire un diagramme pression–profondeur

Tracée en fonction de la profondeur, la pression est une droite de pente $\rho g$ : 9,81 kPa par mètre dans l'eau, mais seulement 12 Pa par mètre dans l'air. La droite de la pression relative part de zéro ; celle de la pression absolue est la même droite relevée de $p_0\approx 101\mathrm{kPa}$.

Des flèches dessinées sur une paroi, une par profondeur et aussi longues que la pression en ce point, forment un triangle dont l'aire multipliée par la largeur de la paroi donne la force totale : d'où la moyenne de l'aquarium, égale à la moitié de la valeur au fond. Autour d'un objet immergé, les flèches sont plus longues dessous que dessus, et leur somme est la poussée d'Archimède, dirigée vers le haut.

Erreurs fréquentes

• Plus d'eau ne signifie pas plus de pression : un tube étroit et un lac, tous deux profonds de 10 m, donnent la même pression de 98 kPa au fond.
• La pression n'est pas une force : les 5,4 kPa du trou le plus bas poussent avec 0,54 N sur un bouchon de 1 cm², mais avec 5,4 N sur un bouchon de 10 cm².
• Ne confondez pas pression relative et pression absolue : à 20 m sous la surface d'un lac, l'eau ajoute 196 kPa, mais la pression absolue vaut 297 kPa.
• Utilisez le rapport des aires, non celui des diamètres : des pistons de 3 cm et de 12 cm de diamètre multiplient une force par $(12/3{)}^2=16$, et non par 4.

Où on la rencontre

Ponts élévateurs, crics, freins hydrauliques et pelleteuses fonctionnent grâce au principe de Pascal, en général avec de l'huile à plusieurs mégapascals. Les châteaux d'eau sont perchés haut parce que chaque mètre de hauteur ajoute 9,81 kPa aux robinets situés en dessous, et quand vous vous tenez debout, la pression du sang dans vos pieds dépasse d'environ 100 mmHg (13 kPa) celle de votre cœur. Ensuite, la leçon Poussée d'Archimède transforme le supplément de poussée venu d'en dessous en force qui fait flotter les navires, et la leçon Théorème de Bernoulli suit la pression dans les fluides en mouvement.

Avancé

Pourquoi la pression n'a pas de direction

Un fluide est un matériau qui ne peut pas résister à un cisaillement : poussez latéralement sur une couche d'eau, aussi doucement que vous voulez, et elle s'écoule. Un fluide visqueux comme le miel s'oppose à la vitesse de cisaillement, mais une fois au repos il ne porte plus aucune contrainte de cisaillement. Dans un fluide au repos, la force qui s'exerce à travers une petite surface quelconque est donc perpendiculaire à cette surface, et la force par unité d'aire s'appelle la pression. Cette partie montre que la pression en un point est un nombre unique, le même quelle que soit l'orientation de la surface ; tout le reste de la leçon repose sur ce fait.

Légende

$\hat{n}$	Vecteur unitaire perpendiculaire à la face oblique, dirigé vers l'extérieur du coin.
$p_x$	Pression sur la face normale à $x$.	$\mathrm{Pa}$
$p_z$	Pression sur la face normale à $z$.	$\mathrm{Pa}$
$p_n$	Pression sur la face oblique.	$\mathrm{Pa}$
$dA$	Aire de la face oblique.	${\mathrm{m}}^2$
$n_{x}dA$	Aire de la face normale à $x$ : la face oblique projetée sur elle, avec $n_x$ la composante de $\hat{n}$ selon $x$.	${\mathrm{m}}^2$
$n_{z}dA$	Aire de la face normale à $z$ : la face oblique projetée sur elle, avec $n_z$ la composante de $\hat{n}$ selon $z$.	${\mathrm{m}}^2$
$x$	Axe de coordonnée horizontal.	$\mathrm{m}$
$z$	Axe de coordonnée vertical, orienté vers le haut.	$\mathrm{m}$

La figure 1 montre un petit coin de fluide vu de côté. Regardez ses trois faces. La face de gauche est verticale, donc sa normale est dirigée selon $x$ ; la face du bas est horizontale, donc sa normale est dirigée selon $z$ ; la face oblique a l'aire $dA$ et une normale unitaire sortante $\hat{n}$ de composantes $n_x$ et $n_z$. Les faces de gauche et du bas sont les projections de la face oblique sur des plans perpendiculaires à $x$ et à $z$, d'où leurs aires $n_{x}dA$ et $n_{z}dA$. Sur le dessin, $n_x=0,6$ et $n_z=0,8$ : les trois faces ont des aires dans le rapport $0,6:0,8:1$ et portent 3, 4 et 5 flèches égales. Les deux extrémités triangulaires du coin, parallèles à la page, ne poussent que selon $y$ ; elles n'interviennent donc pas dans l'équilibre selon $x$ ou selon $z$.

Appelez $p_x$, $p_z$ et $p_n$ les pressions sur les trois faces, sans supposer qu'elles sont égales. Le fluide extérieur pousse chaque face vers l'intérieur. Selon $x$, la face de gauche est poussée vers $+x$ avec la force $p_x{n}_{x}dA$. La face oblique est poussée selon $-\hat{n}$ avec la force $p_{n}dA$, dont la composante selon $x$ vaut $p_n{n}_{x}dA$, vers $-x$. La face du bas ne pousse que selon $z$. Le coin est au repos, donc les forces selon $x$ se compensent :
$p_x{n}_{x}dA=p_n{n}_{x}dA$
et par conséquent $p_x=p_n$.

Selon $z$, le même décompte donne $p_z{n}_{z}dA$ vers le haut et $p_n{n}_{z}dA$ vers le bas, mais le poids du coin intervient aussi. Ce poids est proportionnel au volume du coin, qui diminue comme le cube de sa taille, tandis que les forces de surface ne diminuent que comme son carré. Divisez l'équilibre par $dA$ et faites tendre le coin vers un point : le terme de poids tend vers zéro, et $p_z=p_n$.

Ainsi $p_x=p_z=p_n$ et, comme l'inclinaison de la face était quelconque, la pression en un point est la même sur toute surface qui passe par ce point. La pression est un champ scalaire $p(\vec{r})$ : un nombre en chaque point, sans direction propre. La direction d'une force de pression vient de la surface. Sur un élément de surface d'aire $dA$ et de normale unitaire sortante $\hat{n}$, le fluide pousse avec $d\vec{F}=-p\hat{n}dA$, le signe moins signifiant « vers l'intérieur ».

L'équation de l'hydrostatique

La pression varie d'un point à l'autre, et c'est cette variation qui soutient un fluide contre son propre poids. Cette partie traduit l'idée en une seule équation, qui donne la pression partout dans un fluide au repos.

Légende

$dx$	Largeur du pavé selon $x$.	$\mathrm{m}$
$dz$	Hauteur du pavé.	$\mathrm{m}$
$p(z)$	Pression sur la face du bas, à la hauteur $z$ ; elle pousse vers le haut.	$\mathrm{Pa}$
$p(z+dz)$	Pression sur la face du haut, à la hauteur $z+dz$ ; elle pousse vers le bas et c'est la plus faible des deux.	$\mathrm{Pa}$
$p$	Pression sur chaque face latérale ; la même des deux côtés, car elles sont à la même hauteur.	$\mathrm{Pa}$
$\rho gdV$	Poids du pavé : la masse volumique $\rho$ fois $g$ fois son volume $dV=dxdydz$.	$\mathrm{N}$
$x$	Axe de coordonnée horizontal.	$\mathrm{m}$
$z$	Hauteur, mesurée vers le haut.	$\mathrm{m}$

La figure 2 montre un petit pavé de fluide au repos, de largeur $dx$, de hauteur $dz$ et de profondeur $dy$ dans la page ; son volume est donc $dV=dxdydz$. Comparez les flèches deux à deux, d'une face à la face opposée. Une pression uniforme comprime le pavé de la même façon sur deux faces opposées et ne donne aucune force résultante ; seule une différence entre faces opposées peut le pousser.

Commencez par les côtés. Les deux faces latérales sont à la même hauteur et subissent la même pression $p$ : leurs poussées sont égales et opposées, et elles se compensent.

Passez au haut et au bas. La face du bas, à la hauteur $z$, est poussée vers le haut avec $p(z)dxdy$ ; la face du haut, à la hauteur $z+dz$, est poussée vers le bas avec $p(z+dz)dxdy$. Sur la petite hauteur $dz$, la pression varie de $p(z+dz)-p(z)=(\partial p/\partial z)dz$, si bien que la poussée nette vers le haut vaut
$[p(z)-p(z+dz)]dxdy=-\frac{\partial p}{\partial z}dV$
La pression est plus forte en bas : la flèche $p(z)$ est plus longue que la flèche $p(z+dz)$, et la poussée nette est dirigée vers le haut. La flèche verte $\rho gdV$ est le poids du pavé, avec $\rho$ la masse volumique et $g$ l'accélération de la pesanteur. Au repos, la poussée nette et le poids doivent être égaux, et la figure dessine le poids exactement aussi long que la différence entre les deux flèches de pression.

Le même décompte vaut pour chaque paire de faces. Les faces normales à $x$ laissent une poussée nette $-(\partial p/\partial x)dV$ selon $x$, nulle pour les deux flèches latérales égales de la figure, et les faces normales à $y$ laissent $-(\partial p/\partial y)dV$. Les trois paires ensemble donnent une force de pression par unité de volume égale à $-\nabla p$. À l'équilibre, elle compense le poids par unité de volume, $\rho \vec{g}$, donc
$\nabla p=\rho \vec{g}$
C'est l'équation de l'hydrostatique. Avec l'énergie potentielle de pesanteur par unité de masse $\varphi =gz$, pour laquelle $\vec{g}=-\nabla \varphi$, elle s'écrit $\nabla p=-\rho \nabla \varphi$. Avec $z$ mesuré vers le haut, $\vec{g}$ n'a qu'une composante selon $z$, égale à $-g$, et la partie verticale de l'équation est
$\frac{dp}{dz}=-\rho g$
tandis que les parties horizontales, $\partial p/\partial x=\partial p/\partial y=0$, disent que la pression est la même tout le long d'un niveau.

Pour un liquide, la masse volumique est presque constante, et l'équation s'intègre aussitôt en $p+\rho gz=\mathrm{const}$. La frontière fixe la constante : à la surface libre, à une hauteur $h$ au-dessus du point considéré, la pression est la pression atmosphérique $p_0$, d'où
$p=p_0+\rho gh$
Ici, $h$ est la profondeur, mesurée vers le bas depuis la surface. La pression croît avec $h$ alors que $dp/dz$ est négatif ; les deux affirmations s'accordent, car $z$ est orienté vers le haut et $h$ vers le bas.

Dans la vue experte de l'animation, une sonde qui s'enfonce trace cette loi. Elle porte la pression relative $p-p_0$, ce dont la pression dépasse la pression atmosphérique, en fonction de la profondeur $h$ : une droite passant par l'origine, de pente $\rho g\approx 9,81kPa/m$, qui atteint environ 7,0 kPa au point le plus profond de la sonde, à 71 cm sous la surface. La pression absolue $p$ donnerait la même droite relevée de $p_0\approx 101\mathrm{kPa}$. Les deux droites ont la même pente, et seule la pente, le gradient de $p$, exerce une force nette sur le fluide.

Isobares, niveaux et convection

L'équation de l'hydrostatique dit plus que la façon dont la pression croît avec la profondeur. Elle fixe la forme des surfaces d'égale pression, et elle dit quand un fluide ne peut pas du tout rester au repos.

Puisque $\nabla p=-\rho \nabla \varphi$, le gradient de $p$ est parallèle au gradient de $\varphi$ en tout point. Un gradient est perpendiculaire aux surfaces sur lesquelles sa grandeur est constante ; les surfaces d'égale pression, les isobares, sont donc aussi des surfaces de $\varphi$ constant : les équipotentielles de la pesanteur. Dans un laboratoire, ce sont des plans horizontaux ; à l'échelle de la planète, elles suivent la forme courbe d'une mer calme. C'est pourquoi des vases communicants se remplissent jusqu'à un même niveau : la surface libre de chacun fait partie de la même isobare, $p=p_0$.

La même équation montre quand aucun état de repos n'est possible. Le rotationnel d'un gradient est toujours nul ; le rotationnel de $\nabla p$ s'annule donc, et celui de $\rho \nabla \varphi$ doit s'annuler aussi :
$\nabla \times (\rho \nabla \varphi )=\nabla \rho \times \nabla \varphi =0$
Un produit vectoriel n'est nul que si ses deux vecteurs sont parallèles ; le gradient de masse volumique doit donc être vertical : $\rho$ doit être la même tout le long de chaque niveau. Chauffez un côté d'une pièce, ou un côté d'une casserole d'eau, et la masse volumique varie le long d'un niveau. Aucun champ de pression ne peut alors équilibrer la pesanteur, et le fluide doit se mettre en mouvement. Ce mouvement est la convection ; elle entretient les brises de mer et répand dans une pièce la chaleur d'un radiateur.

Principe de Pascal et travail de la presse

Une presse hydraulique soulève une voiture sous la poussée d'une main. Deux courts raisonnements expliquent comment : l'un part du champ de pression, l'autre de l'énergie.

D'abord le champ. L'équation $\nabla p=\rho \vec{g}$ ne fait intervenir que le gradient de $p$ ; elle ne fixe donc la pression qu'à une constante additive près, que la frontière détermine. Augmentez de $\Delta p$ la pression à la frontière d'un liquide incompressible : tout le champ augmente de $\Delta p$, tandis que son gradient reste $\rho \vec{g}$. Chaque point du liquide subit la même augmentation : c'est le principe de Pascal. Dans un liquide réel, l'augmentation n'arrive pas partout à la fois. Elle se propage comme une onde de pression à la vitesse du son, environ 1480 m/s dans l'eau, et traverse donc la presse de 1,5 m de large de l'animation en une milliseconde environ.

Passez à l'énergie, qui donne le rapport des forces sans parler du tout de pression. Enfoncez le petit piston, d'aire $A_1$, d'une petite distance $\delta d_1$. Le liquide ne se comprime pas : le volume $A_1\delta d_1$ qui quitte le petit cylindre remplit le grand, d'aire $A_2$, dont le piston monte de $\delta d_2=(A_1/A_2)\delta d_1$. Dans une presse idéale, sans frottement, le travail fourni est égal au travail recueilli, $F_1\delta d_1=F_2\delta d_2$, et donc
$F_2=F_1\frac{A_2}{A_1}$
C'est le résultat que donne le principe de Pascal, avec $F_1=\Delta p{A}_1$ et $F_2=\Delta p{A}_2$. Ce raisonnement est le principe des travaux virtuels, celui-là même qui explique le levier : la presse échange de la distance contre de la force.

Sur toute une course, chaque piston balaie le même volume, $V=A_1{d}_1=A_2{d}_2$, donc les deux travaux valent $\Delta pV$. Dans l'animation, le petit piston a 26 cm de diamètre et il est poussé avec 2452,5 N ; la pression sous lui est donc $\Delta p=2452,5/(\pi \cdot 0,13^2)\approx 46,2\mathrm{kPa}$. Son aire est $0,0531{\mathrm{m}}^2$ et sa course 0,48 m ; il balaie donc $V\approx 0,0531\cdot 0,48\approx 0,0255{\mathrm{m}}^3$, et $W_1=W_2=\Delta pV\approx 1177\mathrm{J}$. C'est la plus grande valeur qu'atteignent les deux affichages de travail, en bas de la course.

Les gaz et l'atmosphère exponentielle

Dans un liquide, la masse volumique change à peine avec la pression ; dans un gaz, elle lui est presque proportionnelle. Pour voir ce que cela change à l'équation de l'hydrostatique, il faut d'abord exprimer la pression d'un gaz à partir de ses molécules.

La pression d'un gaz est la quantité de mouvement que les molécules transmettent à une paroi par unité de temps et par unité d'aire. Prenez une paroi perpendiculaire à $x$. Une molécule de masse $m$ qui la frappe avec la composante de vitesse $v_x$ repart avec $-v_x$ : elle cède la quantité de mouvement $2m{v}_x$. Les molécules d'une valeur donnée de $v_x$ qui frappent une aire $dA$ pendant une durée $dt$ sont celles qui se trouvent à moins de $v_{x}dt$ de la paroi, en nombre proportionnel à $v_x$ ; chaque groupe contribue donc proportionnellement à $v_x^2$. Seule la moitié des molécules, celles qui vont vers la paroi, l'atteignent, ce qui compense le facteur 2, et la moyenne sur toutes les molécules donne
$p=nm\overline{v_x^2}$
où $n$ est le nombre de molécules par unité de volume et $\overline{v_x^2}$ la moyenne de $v_x^2$. À l'équilibre thermique, chaque molécule a en moyenne l'énergie cinétique $\frac{1}{2}kT$ pour son mouvement selon $x$, avec $k$ la constante de Boltzmann et $T$ la température absolue. Donc $m\overline{v_x^2}=kT$, et
$p=nkT$
Pour l'air à 101 kPa et 288 K, cela donne $n\approx 2,55\times 10^{25}{\mathrm{m}}^{-3}$.

Passons à l'atmosphère, avec $m$ la masse moyenne d'une molécule d'air. La masse volumique est $\rho =nm$ ; à température uniforme, $\rho =mp/(kT)$ : elle est proportionnelle à la pression. L'équation de l'hydrostatique devient
$\frac{dp}{dz}=-\frac{mg}{kT}p$
La pression diminue à un rythme proportionnel à elle-même : elle décroît donc exponentiellement avec l'altitude. Avec $p_0$ désormais la pression au niveau de la mer, $z=0$ :
$p=p_0{e}^{-z/H},H=\frac{kT}{mg}\approx 8,4\mathrm{km}$
pour l'air à 288 K. $H$ est la hauteur d'échelle, la montée sur laquelle la pression est divisée par $e$. Le facteur $e^{-mgz/(kT)}$ est le facteur de Boltzmann, qui compare l'énergie potentielle $mgz$ d'une molécule à l'énergie thermique $kT$ ; il apparaît ici par la voie mécanique.

La loi tient bien. Au sommet de l'Everest, à 8,85 km d'altitude, elle prédit environ 35 kPa, proche des 34 kPa mesurés là-haut ; l'air réel est plus froid que 288 K, ce qui abaisse encore un peu la pression. En 1648, un baromètre à mercure monté au sommet du puy de Dôme à la demande de Pascal a montré une colonne qui baissait d'environ 8 cm, parce qu'il y avait moins d'air pour peser d'en haut.

Fluides accélérés et poussée d'Archimède

L'équation de l'hydrostatique vaut aussi dans un récipient qui accélère, à condition de travailler dans le référentiel du récipient. Elle explique alors pourquoi la surface de l'eau d'une citerne s'incline et, avec une étape de plus, d'où vient la poussée d'Archimède.

Légende

$\vec{a}$	Accélération du camion et de sa citerne ; aussi dessinée en sens inverse, comme $-\vec{a}$, pour construire $\vec{g}-\vec{a}$.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\vec{g}$	Accélération de la pesanteur, dirigée vers le bas.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\vec{g}-\vec{a}$	Pesanteur effective dans le référentiel de la citerne ; la pression croît le long de ce vecteur.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\theta$	Inclinaison de la surface libre sur l'horizontale, égale à l'angle entre $\vec{g}$ et $\vec{g}-\vec{a}$ ; $\tan \theta =a/g$.	$\mathrm{rad}$

Dans un référentiel qui accélère avec $\vec{a}$, chaque portion de fluide subit, en plus de son poids, une force d'inertie $-\rho \vec{a}$ par unité de volume, et l'équation devient
$\nabla p=\rho (\vec{g}-\vec{a})$
Le fluide se comporte comme si la pesanteur était $\vec{g}-\vec{a}$, la pesanteur effective. La figure 3 montre une citerne sur un camion qui accélère vers la droite avec $\vec{a}$. À droite de la figure, $\vec{g}-\vec{a}$ est construit en ajoutant $\vec{g}$, dirigé verticalement vers le bas, et $-\vec{a}$, dirigé vers l'arrière : le résultat pointe vers le bas et vers l'arrière. La pression croît le long de $\vec{g}-\vec{a}$, donc les isobares, en pointillés, lui sont perpendiculaires. La surface libre est l'une de ces isobares, $p=p_0$ ; elle s'incline donc avec elles, et l'eau s'accumule à l'arrière de la citerne.

Pour trouver l'inclinaison, regardez l'angle $\theta$ entre la surface et l'horizontale. La surface est perpendiculaire à $\vec{g}-\vec{a}$ et l'horizontale est perpendiculaire à $\vec{g}$ ; $\theta$ est donc aussi l'angle entre $\vec{g}$ et $\vec{g}-\vec{a}$. Dans le triangle de vecteurs de droite, le côté opposé à $\theta$ vaut $a$ et le côté adjacent vaut $g$, donc
$\tan \theta =a/g$
La figure utilise $a=g/2$ pour que l'inclinaison se voie bien. L'eau d'une citerne sur un camion qui accélère à 3 m/s² s'incline d'un angle $\theta$ tel que $\tan \theta =3/9,81\approx 0,31$, soit environ 17°.

La poussée d'Archimède vient du même champ. La force de pression totale sur un corps immergé est la somme de $-p\hat{n}dA$ sur sa surface fermée. Un théorème d'analyse vectorielle transforme cette intégrale de surface en l'intégrale de volume de $\nabla p$ sur l'espace qu'occupe le corps ; pour un fluide au repos,
$-\oint p\hat{n}dA=-\int \nabla pdV=-\rho \vec{g}V$
avec $V$ le volume du corps. Cette force est dirigée vers le haut et égale au poids du fluide que le corps déplace : c'est le principe d'Archimède. La pression sur la surface ne dépend pas de ce qui la remplit, donc le résultat vaut pour n'importe quel corps. Dans la citerne accélérée, la même intégrale donne $-\rho (\vec{g}-\vec{a})V$, qui a une composante vers l'avant ; c'est pourquoi un ballon gonflé à l'hélium, dans une voiture, penche vers l'avant quand la voiture accélère.

Problème résolu : le poids du liquide dans la presse

L'étude de la presse ci-dessus a négligé le poids du liquide lui-même. Ce problème le réintroduit, pour montrer l'importance de la correction et où passe l'énergie.

Légende

$A_1$	Aire du petit piston.	${\mathrm{m}}^2$
$A_2$	Aire du grand piston, quatre fois $A_1$.	${\mathrm{m}}^2$
$F_1$	Force que la main exerce sur le petit piston.	$\mathrm{N}$
$F_2$	Force du liquide sur le grand piston, égale au poids de la voiture.	$\mathrm{N}$
$p_1$	Pression du liquide sous le petit piston.	$\mathrm{Pa}$
$p_2$	Pression du liquide sous le grand piston, $F_2/A_2$.	$\mathrm{Pa}$
$z_1$	Hauteur du bas du petit piston.	$\mathrm{m}$
$z_2$	Hauteur du bas du grand piston.	$\mathrm{m}$
$z_1-z_2$	De combien le bas du petit piston est plus haut ; la pression sous lui est plus faible de $\rho g(z_1-z_2)$.	$\mathrm{m}$

La figure 4 montre la presse de l'animation remplie d'eau, au début de la course. Regardez d'abord le bas des deux pistons. Celui du petit piston, à la hauteur $z_1$, se trouve 40 cm au-dessus de celui du grand, à la hauteur $z_2$. Pendant la course, le petit piston descend de 48 cm et le grand monte de 12 cm : à la fin, le bas du petit piston est 20 cm sous celui du grand.

Le grand piston porte la voiture, donc le liquide doit le pousser vers le haut avec le poids de la voiture, $F_2$. Sur l'aire $A_2$, il faut pour cela la pression $p_2=F_2/A_2\approx 46,19\mathrm{kPa}$, pendant toute la course. La pression diminue avec la hauteur, comme le dit l'équation de l'hydrostatique ; sous le petit piston, plus haut de $z_1-z_2$, elle est donc plus faible :
$p_1=p_2-\rho g(z_1-z_2)$
C'est la flèche plus courte $p_1$ de la figure. La main doit alors pousser avec $F_1=p_1{A}_1$.

Au début, $\rho g(z_1-z_2)=9810\cdot 0,40\approx 3,92\mathrm{kPa}$ ; à la fin, la différence de hauteur est $-0,20\mathrm{m}$ et ce terme vaut $-1,96\mathrm{kPa}$. Avec $A_1=0,0531{\mathrm{m}}^2$, la main doit pousser avec
$F_1=(46,19-3,92)\mathrm{kPa}\cdot 0,0531{\mathrm{m}}^2\approx 2,24\mathrm{kN}$
au début, et avec
$F_1=(46,19+1,96)\mathrm{kPa}\cdot 0,0531{\mathrm{m}}^2\approx 2,56\mathrm{kN}$
à la fin, au lieu des 2,45 kN constants trouvés sans le poids du liquide.

La différence de hauteur varie linéairement au cours de la course, de $0,40$ à $-0,20\mathrm{m}$, et la pression sous le petit piston aussi. Le travail de la main est donc le volume balayé multiplié par la pression moyenne. La différence de hauteur moyenne est 0,10 m ; la main fournit donc
$W_1=V(p_2-\rho g\cdot 0,10\mathrm{m})=0,02548{\mathrm{m}}^3\cdot 45,21\mathrm{kPa}\approx 1152\mathrm{J}$

C'est 25 J de moins que les 1177 J que gagne la voiture, et la différence vient de l'eau elle-même. Les 25,5 kg d'eau poussés d'un cylindre à l'autre quittent une colonne en haut du petit cylindre, centrée 24 cm sous le niveau de départ du petit piston, et finissent en une couche sous le grand piston, centrée 6 cm au-dessus du niveau de départ de ce piston, qui était 40 cm plus bas. Leur centre de masse descend donc de $0,40-0,24-0,06=0,10\mathrm{m}$ et libère $25,5\cdot 9,81\cdot 0,10\approx 25\mathrm{J}$ : l'énergie est conservée dès que l'on compte le liquide. Ici, la correction atteint 8,5 % de la force ; les vrais crics travaillent à plusieurs mégapascals, où quelques kilopascals de $\rho g\Delta z$ sont négligeables.

Limites de validité

Chaque résultat ci-dessus repose sur quelques hypothèses, et chacune d'elles tombe en défaut quelque part.

La première est l'absence de cisaillement, qui ne vaut que pour un fluide au repos ou en mouvement d'ensemble comme un solide, à l'image de l'eau dans le camion. Dans un fluide en écoulement, la pression dépend aussi de la vitesse, et la viscosité fait réapparaître des contraintes de cisaillement.

La deuxième est une masse volumique constante. Elle convient très bien aux liquides : l'eau se comprime d'environ 0,005 % par atmosphère, et même au fond de la fosse océanique la plus profonde, à près de 11 km sous la surface et sous quelque 110 MPa, elle n'est que de quelques pour cent plus dense. Pour un gaz, elle ne vaut que sur des hauteurs petites devant la hauteur d'échelle $H$ : sur une pièce de 10 m de haut, la pression de l'air varie de 0,12 %, mais sur une chaîne de montagnes il faut la loi exponentielle.

La troisième est que les surfaces sont planes. Là où la surface d'un liquide est courbe, la tension superficielle ajoute un saut de pression à travers elle. Dans un tube de verre rempli d'eau, de rayon $r=0,5\mathrm{mm}$, la tension superficielle $\gamma \approx 0,072N/m$ abaisse la pression juste sous la surface courbe de $2\gamma /r$, soit environ 0,3 kPa, assez pour faire monter l'eau d'environ 3 cm dans le tube.

La dernière est le milieu continu lui-même. Un champ lisse $p(\vec{r})$ demande des éléments de fluide petits devant l'appareil, mais qui contiennent de nombreuses molécules. Au niveau de la mer, une molécule d'air parcourt environ 70 nm entre deux collisions, si bien que c'est facile ; au-dessus de 120 km environ, elle parcourt plus d'un mètre, et l'image d'un milieu continu cesse de tenir.

Ce qui vient ensuite

La pression dans un fluide au repos est le point de départ de plusieurs autres leçons. L'intégrer sur un corps immergé est le sujet de la leçon Poussée d'Archimède. La leçon Théorème de Bernoulli étend $p+\rho gz=\mathrm{const}$ aux fluides en mouvement en ajoutant $\frac{1}{2}\rho v^2$, ce qui explique la vitesse de jet $\sqrt{2gh}$, et la leçon Traînée et vitesse limite fait revenir le cisaillement qui manque à un fluide au repos. L'origine moléculaire de $p=nkT$ est détaillée dans la leçon Théorie cinétique des gaz, la convection revient dans la leçon Conduction, convection et rayonnement, et l'échange de force contre distance de la presse est celui de la leçon Machines simples : leviers, poulies et engrenages. Le son, enfin, est une petite ondulation rapide de la pression, objet de la leçon Le son et l'effet Doppler.