Presión en fluidos y principio de Pascal

Principiante

La presión indica con cuánta fuerza empuja un fluido sobre cada trocito de superficie. El agua y el aire están hechos de innumerables moléculas diminutas que nunca dejan de moverse. Chocan contra todo lo que tocan: las paredes de un vaso, tu piel, tus tímpanos. Cada choque es un empujoncito, y todos juntos, repartidos sobre una superficie, forman la presión. Por eso un fluido empuja sobre una superficie esté orientada como esté.

Paso 1: la presión aumenta con la profundidad. Cuanto más bajas en un líquido en reposo, más líquido tienes encima, y su peso aprieta todo lo que hay debajo. Por eso duelen los oídos en el fondo de una piscina, y por eso una presa es mucho más gruesa en la base que arriba. Un líquido más denso, como el agua de mar, empuja algo más fuerte a la misma profundidad.

Paso 2: solo cuenta la profundidad. Un tubo fino y un lago enorme, llenos hasta el mismo nivel, tienen la misma presión a la misma profundidad; la cantidad de agua no importa.

Ponte a prueba: en la animación, ¿por cuál de los tres agujeros sale el agua más rápido, y por qué? Respuesta: por el de abajo, porque allí el agua es más profunda y empuja con más fuerza.

Paso 3: un líquido encerrado transmite un empuje. Si lo aprietas en un punto, la presión extra llega por igual a todos los puntos del líquido (principio de Pascal). En la animación, un empujón en el pistón fino levanta un coche apoyado en el pistón ancho. El pistón ancho tiene cuatro veces más superficie, así que recibe cuatro veces más fuerza.

Paso 4: nada sale gratis. Para levantar el coche, el pistón fino tiene que bajar cuatro veces más de lo que sube el coche.

Intermedio

Qué mide la presión

La presión es la fuerza que ejerce un fluido sobre cada metro cuadrado de la superficie que toca:
$p=\frac{F}{A}$
Su unidad es el pascal, $1\mathrm{Pa}=1N/{\mathrm{m}}^2$. El aire que nos rodea presiona con unos 101 kPa, el peso de unas 10 toneladas sobre cada metro cuadrado, pero los fluidos que hay dentro de nuestro cuerpo empujan hacia fuera con la misma fuerza.

La presión no es una fuerza y no tiene dirección propia. En un punto de un fluido en reposo vale lo mismo sea cual sea la orientación de una superficie pequeña, y la fuerza que produce, $F=pA$, es siempre perpendicular a esa superficie. La presión absoluta se cuenta desde el vacío y la manométrica, desde los 101 kPa de la atmósfera: un manómetro de neumáticos que marca 220 kPa indica unos 321 kPa absolutos.

Por qué la presión crece con la profundidad

Dentro de un líquido de densidad $\rho$ en reposo, imagina la columna vertical de líquido que hay sobre una pequeña área $A$ a la profundidad $h$. Su peso es $\rho Ahg$ y, como la presión sobre sus costados es horizontal, solo el líquido de debajo puede sostenerla; al dividir entre el área se obtiene la presión manométrica a la profundidad $h$:
$p=\rho gh$
Si se suma la presión $p_0$ de la superficie libre, normalmente la de la atmósfera, resulta la presión absoluta:
$p=p_0+\rho gh$

En el agua la presión sube 9,81 kPa por metro, así que 10 m añaden unos 98 kPa, casi una atmósfera: un buceador a 10 m soporta el doble de la presión de la superficie. El mercurio es 13,6 veces más denso, de modo que en un barómetro basta una columna de solo $101325/(13600\cdot 9,81)\approx 0,76\mathrm{m}$ para equilibrar la atmósfera; una columna de agua necesitaría 10,3 m, el límite de cualquier bomba aspirante.

Solo cuenta la profundidad, no la forma del recipiente ni la cantidad de líquido: un tubo fino y un lago ancho llenos hasta el mismo nivel tienen la misma presión a la misma profundidad. Es la paradoja hidrostática. Todos los puntos de un mismo nivel de un líquido conectado y en reposo comparten, por tanto, una sola presión, y los vasos comunicantes se llenan hasta la misma altura.

El principio de Pascal y la prensa hidráulica

El principio de Pascal establece que un cambio de presión aplicado a un líquido encerrado se transmite íntegramente a todos los puntos del líquido y a las paredes. El peso del líquido solo fija las diferencias de presión, a través de $\rho gh$, así que un empujón en la frontera tiene que aumentar todas las presiones en la misma cantidad.

Una prensa hidráulica aprovecha esto. Con sus dos pistones, de áreas $A_1$ y $A_2$, a más o menos la misma altura, las presiones bajo ellos son iguales, $F_1/A_1=F_2/A_2$, y por tanto
$F_2=\frac{F_1{A}_2}{A_1}$
En pistones circulares el área es proporcional al cuadrado del diámetro: duplicar el diámetro cuadruplica la fuerza.

El precio es la distancia. Un líquido apenas se comprime, así que el volumen que sale del cilindro estrecho tiene que entrar en el ancho:
$A_1{d}_1=A_2{d}_2$
Combinado con la razón de las fuerzas, esto da
$F_1{d}_1=F_2{d}_2$
El trabajo que se aplica es igual al que se obtiene: como una palanca, la prensa multiplica la fuerza pero divide la distancia, y nunca crea energía.

Ejemplo resuelto: el depósito y la prensa de la animación

El depósito se mantiene lleno, con agujeros a 15, 35 y 55 cm bajo la superficie. Las etiquetas moradas dan $\rho gh$ en cada agujero; para el más bajo
$p=1000\cdot 9,81\cdot 0,55\approx 5400\mathrm{Pa}=5,4\mathrm{kPa}$
y análogamente 1,5 y 3,4 kPa para los dos de arriba. Solo esta parte manométrica impulsa los chorros, porque la atmósfera también presiona por fuera de cada agujero. El empujón se convierte en rapidez, $v=\sqrt{2gh}$ (véase Principio de Bernoulli): unos 1,7, 2,6 y 3,3 m/s, de modo que el chorro más bajo es el más rápido.

A la derecha, el pistón ancho tiene el doble de anchura que el fino, así que $A_2=4A_1$. Para sostener el coche de 1000 kg tiene que empujar con $F_2=1000\cdot 9,81=9810\mathrm{N}$, de modo que la mano solo necesita
$F_1=\frac{F_2{A}_1}{A_2}=\frac{9810}{4}\approx 2450\mathrm{N}$
Son los 2,45 kN y 9,81 kN de la etiqueta, y la flecha verde bajo el pistón ancho es cuatro veces más larga que la roja sobre el mango.

Al bajar el mango, las lecturas muestran que $d_1$ llega a 48 cm mientras que $d_2$ solo llega a 12 cm, la cuarta parte. Los trabajos coinciden: $F_1{d}_1=2452,5\cdot 0,48\approx 1177\mathrm{J}$ y $F_2{d}_2=9810\cdot 0,12\approx 1177\mathrm{J}$, la energía que eleva el coche 12 cm.

Ejemplo resuelto: el cristal frontal de un acuario

Un acuario está lleno hasta 60 cm de profundidad y su cristal frontal mide 1,5 m de ancho. La presión manométrica sobre el cristal crece desde cero en la superficie hasta $1000\cdot 9,81\cdot 0,60\approx 5890\mathrm{Pa}$ en el fondo, así que su valor medio $\bar{p}$ en el cristal es el de la mitad de la profundidad, unos 2940 Pa. Con un área mojada de $1,5\cdot 0,60=0,90{\mathrm{m}}^2$,
$F=\bar{p}A\approx 2943\cdot 0,90\approx 2650\mathrm{N}$
el peso de una masa de 270 kg. La atmósfera presiona sobre las dos caras del cristal y se cancela.

La fuerza no depende de lo que se extienda el acuario por detrás del cristal: uno de solo 5 cm de delante a atrás empuja igual de fuerte. Si la profundidad se duplica hasta 1,20 m, se duplican tanto la presión media como el área, así que la fuerza se cuadruplica, hasta unos 10,6 kN. Como la mayor parte actúa abajo, los acuarios y las presas se construyen más resistentes en el fondo.

Cómo leer un diagrama presión–profundidad

Representada frente a la profundidad, la presión es una recta de pendiente $\rho g$: 9,81 kPa por metro en el agua, pero solo 12 Pa por metro en el aire. La recta de la presión manométrica parte de cero; la de la presión absoluta es la misma recta desplazada hacia arriba $p_0\approx 101\mathrm{kPa}$.

Si se dibujan flechas sobre una pared, una por cada profundidad y tan largas como la presión que hay allí, forman un triángulo cuya área multiplicada por la anchura de la pared es la fuerza total: de ahí que la media en el acuario sea la mitad del valor del fondo. Alrededor de un objeto sumergido, las flechas son más largas por debajo que por encima, y su suma es la fuerza de flotación, dirigida hacia arriba.

Errores frecuentes

• Más agua no significa más presión: un tubo estrecho y un lago, ambos de 10 m de profundidad, dan los mismos 98 kPa en el fondo.
• La presión no es una fuerza: los 5,4 kPa del agujero más bajo empujan con 0,54 N sobre un tapón de 1 cm², pero con 5,4 N sobre uno de 10 cm².
• No confundas la presión manométrica con la absoluta: a 20 m de profundidad en un lago el agua añade 196 kPa, pero la presión absoluta es de 297 kPa.
• Usa la razón de áreas, no la de diámetros: pistones de 3 cm y de 12 cm de diámetro multiplican la fuerza por $(12/3{)}^2=16$, no por 4.

Dónde aparece

Los elevadores de coches, los gatos, los frenos hidráulicos y las excavadoras funcionan con el principio de Pascal, normalmente con aceite a varios megapascales. Los depósitos de agua se colocan en lo alto porque cada metro de altura añade 9,81 kPa en los grifos de abajo, y cuando estás de pie, la presión de la sangre en tus pies es unos 100 mmHg (13 kPa) mayor que en el corazón. A continuación, la lección Flotación y principio de Arquímedes convierte el empuje extra desde abajo en la fuerza que mantiene a flote los barcos, y la lección Principio de Bernoulli sigue la presión dentro de los fluidos en movimiento.

Avanzado

Por qué la presión no tiene dirección

Un fluido es un material que no puede resistir una cizalladura: si empujas de lado una capa de agua, por suave que sea el empujón, fluye. Un fluido viscoso como la miel se opone al ritmo de la cizalladura, pero una vez en reposo no soporta ningún esfuerzo cortante. Por tanto, dentro de un fluido en reposo la fuerza a través de cualquier superficie pequeña es perpendicular a esa superficie, y la fuerza por unidad de área se llama presión. Esta sección muestra que la presión en un punto es un único número, el mismo sea cual sea la orientación de la superficie; todo lo que viene después en la lección descansa en ese hecho.

Leyenda

$\hat{n}$	Vector unitario perpendicular a la cara inclinada, que apunta hacia fuera de la cuña.
$p_x$	Presión sobre la cara normal a $x$.	$\mathrm{Pa}$
$p_z$	Presión sobre la cara normal a $z$.	$\mathrm{Pa}$
$p_n$	Presión sobre la cara inclinada.	$\mathrm{Pa}$
$dA$	Área de la cara inclinada.	${\mathrm{m}}^2$
$n_{x}dA$	Área de la cara normal a $x$: la cara inclinada proyectada sobre ella, con $n_x$ la componente $x$ de $\hat{n}$.	${\mathrm{m}}^2$
$n_{z}dA$	Área de la cara normal a $z$: la cara inclinada proyectada sobre ella, con $n_z$ la componente $z$ de $\hat{n}$.	${\mathrm{m}}^2$
$x$	Eje de coordenadas horizontal.	$\mathrm{m}$
$z$	Eje de coordenadas vertical, hacia arriba.	$\mathrm{m}$

La figura 1 muestra una pequeña cuña de fluido vista de lado. Fíjate en sus tres caras. La cara izquierda es vertical, así que su normal apunta según $x$; la cara inferior es horizontal, así que su normal apunta según $z$; la cara inclinada tiene área $dA$ y una normal unitaria saliente $\hat{n}$ de componentes $n_x$ y $n_z$. Las caras izquierda e inferior son la cara inclinada proyectada sobre planos perpendiculares a $x$ y a $z$, así que sus áreas son $n_{x}dA$ y $n_{z}dA$. En el dibujo, $n_x=0,6$ y $n_z=0,8$, de modo que las tres caras tienen áreas en la proporción $0,6:0,8:1$ y llevan 3, 4 y 5 flechas iguales. Los dos extremos triangulares de la cuña, paralelos a la página, solo empujan según $y$, así que no intervienen en el balance según $x$ ni según $z$.

Llama $p_x$, $p_z$ y $p_n$ a las presiones sobre las tres caras, sin suponer que sean iguales. El fluido de fuera empuja cada cara hacia dentro. Según $x$, la cara izquierda es empujada hacia $+x$ con la fuerza $p_x{n}_{x}dA$. La cara inclinada es empujada según $-\hat{n}$ con la fuerza $p_{n}dA$, y la parte de ese empuje según $x$ es $p_n{n}_{x}dA$, hacia $-x$. La cara inferior solo empuja según $z$. La cuña está en reposo, así que las fuerzas según $x$ se anulan:
$p_x{n}_{x}dA=p_n{n}_{x}dA$
y por tanto $p_x=p_n$.

Según $z$, la misma cuenta da $p_z{n}_{z}dA$ hacia arriba y $p_n{n}_{z}dA$ hacia abajo, pero además entra el peso de la cuña. El peso es proporcional al volumen de la cuña, que se reduce como el cubo de su tamaño, mientras que las fuerzas de superficie solo se reducen como el cuadrado. Divide el balance entre $dA$ y haz que la cuña se encoja hasta un punto: el término del peso tiende a cero, y $p_z=p_n$.

Así pues, $p_x=p_z=p_n$ y, como la inclinación de la cara era arbitraria, la presión en un punto es la misma sobre cualquier superficie que pase por él. La presión es un campo escalar $p(\vec{r})$: un número en cada punto, sin dirección propia. La dirección de una fuerza de presión la pone la superficie. Sobre un elemento de superficie de área $dA$ con normal unitaria saliente $\hat{n}$, el fluido empuja con $d\vec{F}=-p\hat{n}dA$; el signo menos indica que empuja hacia dentro.

La ecuación de la hidrostática

La presión cambia de un punto a otro, y ese cambio es lo que sostiene a un fluido frente a su propio peso. Esta sección convierte la idea en una sola ecuación que da la presión en todos los puntos de un fluido en reposo.

Leyenda

$dx$	Anchura del bloque según $x$.	$\mathrm{m}$
$dz$	Altura del bloque.	$\mathrm{m}$
$p(z)$	Presión sobre la cara inferior, a la altura $z$; empuja hacia arriba.	$\mathrm{Pa}$
$p(z+dz)$	Presión sobre la cara superior, a la altura $z+dz$; empuja hacia abajo y es la menor de las dos.	$\mathrm{Pa}$
$p$	Presión sobre cada cara lateral; la misma en ambas, porque están a la misma altura.	$\mathrm{Pa}$
$\rho gdV$	Peso del bloque: la densidad $\rho$ por $g$ por su volumen $dV=dxdydz$.	$\mathrm{N}$
$x$	Eje de coordenadas horizontal.	$\mathrm{m}$
$z$	Altura, medida hacia arriba.	$\mathrm{m}$

La figura 2 muestra un pequeño bloque de fluido en reposo, de anchura $dx$, altura $dz$ y profundidad $dy$ hacia dentro de la página, así que su volumen es $dV=dxdydz$. Compara las flechas por parejas, cara con cara opuesta. Una presión uniforme comprime el bloque por igual desde lados opuestos y no da fuerza neta; solo una diferencia entre caras opuestas puede empujarlo.

Empieza por los lados. Las dos caras laterales están a la misma altura y soportan la misma presión $p$, así que sus empujes son iguales y opuestos, y se anulan.

Ahora, arriba y abajo. La cara inferior, a la altura $z$, es empujada hacia arriba con $p(z)dxdy$; la superior, a la altura $z+dz$, es empujada hacia abajo con $p(z+dz)dxdy$. En la pequeña altura $dz$, la presión cambia en $p(z+dz)-p(z)=(\partial p/\partial z)dz$, así que el empuje neto hacia arriba es
$[p(z)-p(z+dz)]dxdy=-\frac{\partial p}{\partial z}dV$
La presión es mayor abajo, así que la flecha $p(z)$ es más larga que la flecha $p(z+dz)$ y el empuje neto apunta hacia arriba. La flecha verde $\rho gdV$ es el peso del bloque, con $\rho$ la densidad y $g$ la aceleración de la gravedad. En reposo, el empuje neto y el peso tienen que ser iguales, y la figura dibuja el peso exactamente tan largo como la diferencia entre las dos flechas de presión.

La misma cuenta vale para cada par de caras. Las caras normales a $x$ dejan un empuje neto $-(\partial p/\partial x)dV$ según $x$, que es nulo para las dos flechas laterales iguales de la figura, y las caras normales a $y$ dejan $-(\partial p/\partial y)dV$. Los tres pares juntos dan una fuerza de presión por unidad de volumen igual a $-\nabla p$. En equilibrio, esta compensa el peso por unidad de volumen, $\rho \vec{g}$, así que
$\nabla p=\rho \vec{g}$
Esta es la ecuación de la hidrostática. Con la energía potencial gravitatoria por unidad de masa $\varphi =gz$, para la que $\vec{g}=-\nabla \varphi$, se escribe $\nabla p=-\rho \nabla \varphi$. Con $z$ medida hacia arriba, $\vec{g}$ solo tiene componente $z$, igual a $-g$, así que la parte vertical de la ecuación es
$\frac{dp}{dz}=-\rho g$
y las partes horizontales, $\partial p/\partial x=\partial p/\partial y=0$, dicen que la presión es la misma a lo largo de todo un nivel.

En un líquido, la densidad es casi constante, y la ecuación se integra de inmediato: $p+\rho gz=\mathrm{const}$. El contorno fija la constante: en la superficie libre, a una altura $h$ sobre el punto considerado, la presión es la presión atmosférica $p_0$, de modo que
$p=p_0+\rho gh$
Aquí $h$ es la profundidad, medida hacia abajo desde la superficie. La presión crece con $h$ aunque $dp/dz$ sea negativa; las dos afirmaciones concuerdan, porque $z$ apunta hacia arriba y $h$ hacia abajo.

En la vista experta de la animación, una sonda que se hunde dibuja esta ley. Representa la presión manométrica $p-p_0$, lo que la presión supera a la atmosférica, frente a la profundidad $h$: una recta que pasa por el origen con pendiente $\rho g\approx 9,81kPa/m$ y llega a unos 7,0 kPa en el punto más profundo de la sonda, a 71 cm bajo la superficie. La presión absoluta $p$ daría la misma recta desplazada hacia arriba $p_0\approx 101\mathrm{kPa}$. Las dos rectas tienen la misma pendiente, y solo la pendiente, el gradiente de $p$, ejerce una fuerza neta sobre el fluido.

Isobaras, niveles y convección

La ecuación hidrostática dice más que cómo crece la presión con la profundidad. Fija la forma de las superficies de igual presión e indica cuándo un fluido no puede quedarse en reposo en absoluto.

Como $\nabla p=-\rho \nabla \varphi$, el gradiente de $p$ es paralelo al gradiente de $\varphi$ en cada punto. Un gradiente es perpendicular a las superficies en las que su magnitud es constante, así que las superficies de igual presión, las isobaras, son también superficies de $\varphi$ constante: las equipotenciales de la gravedad. En un laboratorio son planos horizontales; a escala del planeta siguen la forma curva de un mar en calma. Por eso los vasos comunicantes se llenan hasta un mismo nivel: la superficie libre de cada uno forma parte de la misma isobara, $p=p_0$.

La misma ecuación muestra cuándo es imposible el reposo. El rotacional de un gradiente siempre es cero, así que el rotacional de $\nabla p$ se anula, y también tiene que anularse el de $\rho \nabla \varphi$:
$\nabla \times (\rho \nabla \varphi )=\nabla \rho \times \nabla \varphi =0$
Un producto vectorial solo se anula cuando sus dos vectores son paralelos, así que el gradiente de la densidad tiene que ser vertical: $\rho$ ha de ser la misma a lo largo de cada nivel. Si calientas un lado de una habitación, o un lado de una cacerola con agua, la densidad cambia a lo largo de un nivel. Entonces ningún campo de presión puede equilibrar la gravedad, y el fluido tiene que moverse. Ese movimiento es la convección; origina las brisas marinas y reparte por la habitación el calor de un radiador.

El principio de Pascal y el trabajo de la prensa

Una prensa hidráulica levanta un coche con el empuje de una mano. Dos argumentos breves explican cómo: uno parte del campo de presión y el otro de la energía.

Primero, el campo. La ecuación $\nabla p=\rho \vec{g}$ solo contiene el gradiente de $p$, así que fija la presión salvo una constante aditiva, que impone el contorno. Si elevas $\Delta p$ la presión en el contorno de un líquido incompresible, todo el campo sube $\Delta p$, mientras que su gradiente sigue siendo $\rho \vec{g}$. Todos los puntos del líquido notan el mismo aumento: ese es el principio de Pascal. En un líquido real, el aumento no llega a todas partes a la vez. Se propaga como una onda de presión a la velocidad del sonido, unos 1480 m/s en el agua, así que recorre los 1,5 m de ancho de la prensa de la animación en aproximadamente un milisegundo.

Ahora, la energía, que da la razón de fuerzas sin mencionar la presión. Empuja hacia abajo el pistón pequeño, de área $A_1$, una distancia pequeña $\delta d_1$. El líquido no se comprime, así que el volumen $A_1\delta d_1$ que sale del cilindro pequeño llena el grande, de área $A_2$, cuyo pistón sube $\delta d_2=(A_1/A_2)\delta d_1$. En una prensa ideal, sin rozamiento, el trabajo aportado es igual al trabajo obtenido, $F_1\delta d_1=F_2\delta d_2$, y por tanto
$F_2=F_1\frac{A_2}{A_1}$
Es el resultado que da el principio de Pascal, con $F_1=\Delta p{A}_1$ y $F_2=\Delta p{A}_2$. El argumento es el principio de los trabajos virtuales, el mismo que explica la palanca: la prensa cambia distancia por fuerza.

En una carrera completa, cada pistón barre el mismo volumen, $V=A_1{d}_1=A_2{d}_2$, así que ambos trabajos valen $\Delta pV$. En la animación, el pistón pequeño mide 26 cm de diámetro y se empuja con 2452,5 N, así que la presión bajo él es $\Delta p=2452,5/(\pi \cdot 0,13^2)\approx 46,2\mathrm{kPa}$. Su área es $0,0531{\mathrm{m}}^2$ y su carrera 0,48 m, así que barre $V\approx 0,0531\cdot 0,48\approx 0,0255{\mathrm{m}}^3$, y $W_1=W_2=\Delta pV\approx 1177\mathrm{J}$. Es el valor máximo que alcanzan las dos lecturas de trabajo, al final de la bajada.

Los gases y la atmósfera exponencial

En un líquido, la densidad apenas cambia con la presión; en un gas, es casi proporcional a ella. Para ver qué supone eso para la ecuación hidrostática, primero hace falta expresar la presión de un gas en función de sus moléculas.

La presión de un gas es la cantidad de movimiento que las moléculas entregan a una pared por unidad de tiempo y de área. Toma una pared perpendicular a $x$. Una molécula de masa $m$ que choca con ella con componente de velocidad $v_x$ rebota con $-v_x$, así que le cede la cantidad de movimiento $2m{v}_x$. Las moléculas con un $v_x$ dado que golpean un área $dA$ en un tiempo $dt$ son las que están a menos de $v_{x}dt$ de ella, en número proporcional a $v_x$, así que cada grupo contribuye en proporción a $v_x^2$. Solo llega la mitad de las moléculas, la que se mueve hacia la pared, lo que cancela el factor 2, y al promediar sobre todas las moléculas resulta
$p=nm\overline{v_x^2}$
donde $n$ es el número de moléculas por unidad de volumen y $\overline{v_x^2}$ es la media de $v_x^2$. En equilibrio térmico, cada molécula tiene en promedio la energía cinética $\frac{1}{2}kT$ en su movimiento según $x$, con $k$ la constante de Boltzmann y $T$ la temperatura absoluta. Así que $m\overline{v_x^2}=kT$, y
$p=nkT$
Para el aire a 101 kPa y 288 K, esto da $n\approx 2,55\times 10^{25}{\mathrm{m}}^{-3}$.

Pasemos a la atmósfera, con $m$ la masa media de una molécula de aire. La densidad es $\rho =nm$, así que a temperatura uniforme $\rho =mp/(kT)$: proporcional a la presión. La ecuación hidrostática se convierte en
$\frac{dp}{dz}=-\frac{mg}{kT}p$
La presión disminuye a un ritmo proporcional a sí misma, así que cae exponencialmente con la altura. Con $p_0$ ahora la presión al nivel del mar, $z=0$:
$p=p_0{e}^{-z/H},H=\frac{kT}{mg}\approx 8,4\mathrm{km}$
para el aire a 288 K. $H$ es la altura de escala, la subida en la que la presión se divide por $e$. El factor $e^{-mgz/(kT)}$ es el factor de Boltzmann, que compara la energía potencial $mgz$ de una molécula con la energía térmica $kT$; aquí aparece por el lado mecánico.

La ley funciona bien. En la cima del Everest, a 8,85 km de altura, predice unos 35 kPa, cerca de los 34 kPa medidos allí; el aire real está más frío que 288 K, lo que baja la presión un poco más. En 1648, un barómetro de mercurio subido al Puy de Dôme a petición de Pascal mostró que la columna bajaba unos 8 cm, porque había menos aire presionando desde arriba.

Fluidos acelerados y empuje

La ecuación hidrostática vale también en un recipiente que acelera, siempre que trabajemos en el sistema de referencia del propio recipiente. Entonces explica por qué se inclina la superficie del agua en un depósito y, con un paso más, de dónde sale el empuje.

Leyenda

$\vec{a}$	Aceleración del camión y de su depósito; también se dibuja invertida, como $-\vec{a}$, para construir $\vec{g}-\vec{a}$.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\vec{g}$	Aceleración de la gravedad, hacia abajo.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\vec{g}-\vec{a}$	Gravedad efectiva en el sistema del depósito; la presión crece a lo largo de ella.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\theta$	Inclinación de la superficie libre respecto a la horizontal, igual al ángulo entre $\vec{g}$ y $\vec{g}-\vec{a}$; $\tan \theta =a/g$.	$\mathrm{rad}$

En un sistema de referencia que acelera con $\vec{a}$, cada porción de fluido nota, además de su peso, una fuerza de inercia $-\rho \vec{a}$ por unidad de volumen, y la ecuación se convierte en
$\nabla p=\rho (\vec{g}-\vec{a})$
El fluido se comporta como si la gravedad fuera $\vec{g}-\vec{a}$, la gravedad efectiva. La figura 3 muestra un depósito sobre un camión que acelera hacia la derecha con $\vec{a}$. A la derecha de la figura, $\vec{g}-\vec{a}$ se construye sumando $\vec{g}$, vertical hacia abajo, y $-\vec{a}$, que apunta hacia atrás: el resultado apunta hacia abajo y hacia atrás. La presión crece a lo largo de $\vec{g}-\vec{a}$, así que las isobaras, dibujadas a trazos, son perpendiculares a este vector. La superficie libre es una de esas isobaras, $p=p_0$, así que se inclina con ellas, y el agua se acumula en la parte trasera del depósito.

Para hallar la inclinación, fíjate en el ángulo $\theta$ entre la superficie y la horizontal. La superficie es perpendicular a $\vec{g}-\vec{a}$ y la horizontal es perpendicular a $\vec{g}$, así que $\theta$ es también el ángulo entre $\vec{g}$ y $\vec{g}-\vec{a}$. En el triángulo de vectores de la derecha, el lado opuesto a $\theta$ es $a$ y el contiguo es $g$, así que
$\tan \theta =a/g$
La figura usa $a=g/2$ para que la inclinación se vea bien. El agua de un depósito sobre un camión que acelera a 3 m/s² se inclina un ángulo $\theta$ con $\tan \theta =3/9,81\approx 0,31$, unos 17°.

El empuje sale del mismo campo. La fuerza de presión total sobre un cuerpo sumergido es la suma de $-p\hat{n}dA$ sobre su superficie cerrada. Un teorema del cálculo vectorial convierte esta integral de superficie en la integral de volumen de $\nabla p$ sobre el espacio que ocupa el cuerpo, así que, para un fluido en reposo,
$-\oint p\hat{n}dA=-\int \nabla pdV=-\rho \vec{g}V$
con $V$ el volumen del cuerpo. Esta fuerza apunta hacia arriba y es igual al peso del fluido que desaloja el cuerpo: el principio de Arquímedes. La presión sobre la superficie no depende de lo que haya dentro, así que el resultado vale para cualquier cuerpo. En el depósito acelerado, la misma integral da $-\rho (\vec{g}-\vec{a})V$, que tiene una parte hacia delante; por eso un globo de helio dentro de un coche se inclina hacia delante cuando el coche acelera.

Problema resuelto: el peso del líquido en la prensa

El análisis de la prensa de arriba no tuvo en cuenta el peso del propio líquido. Este problema lo incluye, para mostrar lo grande que es la corrección y adónde va la energía.

Leyenda

$A_1$	Área del pistón pequeño.	${\mathrm{m}}^2$
$A_2$	Área del pistón grande, cuatro veces $A_1$.	${\mathrm{m}}^2$
$F_1$	Fuerza que la mano ejerce sobre el pistón pequeño.	$\mathrm{N}$
$F_2$	Fuerza del líquido sobre el pistón grande, igual al peso del coche.	$\mathrm{N}$
$p_1$	Presión del líquido bajo el pistón pequeño.	$\mathrm{Pa}$
$p_2$	Presión del líquido bajo el pistón grande, $F_2/A_2$.	$\mathrm{Pa}$
$z_1$	Altura de la cara inferior del pistón pequeño.	$\mathrm{m}$
$z_2$	Altura de la cara inferior del pistón grande.	$\mathrm{m}$
$z_1-z_2$	Cuánto más alta está la cara inferior del pistón pequeño; la presión bajo ella es menor en $\rho g(z_1-z_2)$.	$\mathrm{m}$

La figura 4 muestra la prensa de la animación llena de agua, al empezar la carrera. Fíjate primero en las caras inferiores de los dos pistones. La del pistón pequeño, a la altura $z_1$, está 40 cm por encima de la del grande, a la altura $z_2$. Durante la carrera, el pistón pequeño baja 48 cm y el grande sube 12 cm, así que al final la cara inferior del pequeño queda 20 cm por debajo de la del grande.

El pistón grande sostiene el coche, así que el líquido tiene que empujarlo hacia arriba con el peso del coche, $F_2$. Sobre el área $A_2$, eso requiere la presión $p_2=F_2/A_2\approx 46,19\mathrm{kPa}$ durante toda la carrera. La presión disminuye con la altura, como dice la ecuación hidrostática, así que bajo el pistón pequeño, que está más alto en $z_1-z_2$, es menor:
$p_1=p_2-\rho g(z_1-z_2)$
Es la flecha más corta $p_1$ de la figura. La mano tiene que empujar entonces con $F_1=p_1{A}_1$.

Al empezar, $\rho g(z_1-z_2)=9810\cdot 0,40\approx 3,92\mathrm{kPa}$; al final, la diferencia de alturas es $-0,20\mathrm{m}$ y el término vale $-1,96\mathrm{kPa}$. Con $A_1=0,0531{\mathrm{m}}^2$, la mano tiene que empujar con
$F_1=(46,19-3,92)\mathrm{kPa}\cdot 0,0531{\mathrm{m}}^2\approx 2,24\mathrm{kN}$
al empezar y con
$F_1=(46,19+1,96)\mathrm{kPa}\cdot 0,0531{\mathrm{m}}^2\approx 2,56\mathrm{kN}$
al final, en lugar de los 2,45 kN constantes que salen sin el peso del líquido.

La diferencia de alturas cambia linealmente a lo largo de la carrera, de $0,40$ a $-0,20\mathrm{m}$, y lo mismo hace la presión bajo el pistón pequeño. Por eso el trabajo de la mano es el volumen barrido por la presión media. La diferencia de alturas media es 0,10 m, así que la mano realiza
$W_1=V(p_2-\rho g\cdot 0,10\mathrm{m})=0,02548{\mathrm{m}}^3\cdot 45,21\mathrm{kPa}\approx 1152\mathrm{J}$

Son 25 J menos que los 1177 J que gana el coche, y la diferencia viene de la propia agua. Los 25,5 kg de agua que pasan de un cilindro al otro dejan una columna en lo alto del cilindro pequeño, centrada 24 cm por debajo del nivel inicial del pistón pequeño, y terminan como una capa bajo el pistón grande, centrada 6 cm por encima del nivel inicial de ese pistón, que estaba 40 cm más abajo. Su centro de masas desciende, por tanto, $0,40-0,24-0,06=0,10\mathrm{m}$ y libera $25,5\cdot 9,81\cdot 0,10\approx 25\mathrm{J}$: la energía se conserva en cuanto se cuenta el líquido. Aquí la corrección llega al 8,5 % de la fuerza; los gatos reales trabajan a megapascales, donde unos pocos kilopascales de $\rho g\Delta z$ son despreciables.

Límites de validez

Cada resultado anterior descansa en unas pocas hipótesis, y cada una de ellas falla en algún sitio.

La primera es la ausencia de cizalladura, que solo se da en un fluido en reposo o que se mueve como un sólido rígido, como el agua del camión. En un fluido que fluye, la presión depende además de la rapidez, y la viscosidad devuelve los esfuerzos cortantes.

La segunda es la densidad constante. Les va muy bien a los líquidos: el agua se comprime un 0,005 % por atmósfera y, incluso en el fondo de la fosa oceánica más profunda, a casi 11 km bajo la superficie y unos 110 MPa, su densidad solo aumenta unos pocos por ciento. En un gas vale únicamente para alturas pequeñas frente a la altura de escala $H$: en una sala de 10 m de altura la presión del aire cambia un 0,12 %, pero en una cordillera hace falta la ley exponencial.

La tercera es que las superficies son planas. Donde la superficie de un líquido está curvada, la tensión superficial añade un salto de presión a través de ella. En un tubo de vidrio lleno de agua de radio $r=0,5\mathrm{mm}$, la tensión superficial $\gamma \approx 0,072N/m$ reduce la presión justo bajo la superficie curva en $2\gamma /r$, unos 0,3 kPa, lo bastante para hacer subir el agua unos 3 cm por el tubo.

La última es el propio medio continuo. Un campo suave $p(\vec{r})$ necesita elementos de fluido pequeños frente al aparato pero que contengan muchas moléculas. Una molécula de aire a nivel del mar recorre unos 70 nm entre colisiones, así que allí es fácil; por encima de unos 120 km recorre más de un metro, y la imagen del medio continuo deja de valer.

Lo que viene después

La presión en un fluido en reposo es el punto de partida de varias lecciones más. Integrarla sobre un cuerpo sumergido es el tema de Flotación y principio de Arquímedes. La lección Principio de Bernoulli extiende $p+\rho gz=\mathrm{const}$ a los fluidos en movimiento añadiendo $\frac{1}{2}\rho v^2$, de donde sale la rapidez del chorro $\sqrt{2gh}$, y la lección Fuerza de arrastre y velocidad terminal devuelve la cizalladura que le falta a un fluido en reposo. El origen molecular de $p=nkT$ se desarrolla en Teoría cinética de los gases, la convección reaparece en Conducción, convección y radiación, y el intercambio de fuerza por distancia de la prensa es el mismo que se encuentra en Máquinas simples: palancas, poleas y engranajes. Por último, el sonido es una ondulación pequeña y rápida de la presión, el tema de El sonido y el efecto Doppler.