संधारित्र

दो प्लेटें जो पृथक्कृत आवेश, $Q = C V$ , और ऊर्जा, $W = \frac{1}{2} C V^{2}$ , संचित करती हैं; प्रतिरोधक से आवेशित होने पर ये पहले तेज़ी से भरती हैं और फिर धीरे-धीरे, $τ = RC$ द्वारा तय गति से।

इस विषय से पहले: विद्युत क्षेत्र और विभव

शुरुआती

मुख्य विचार

संधारित्र दो धातु की प्लेटें हैं जो एक पतले विद्युतरोधी अंतराल से अलग होती हैं; यह पृथक्कृत आवेश और उसके साथ ऊर्जा संचित करता है।
बैटरी तारों के माध्यम से इलेक्ट्रॉनों को एक प्लेट से दूसरी प्लेट तक ले जाती है, जिससे प्लेटों पर बराबर और विपरीत आवेश आ जाते हैं।
आवेश अंतराल को पार नहीं करता: + और − प्लेटें उसके माध्यम से एक-दूसरे को आकर्षित करती हैं, और उसमें विद्युत क्षेत्र भर जाता है।
आवेशन आरंभ में तेज़ होता है, फिर धीमा हो जाता है, और संधारित्र की वोल्टता बैटरी के बराबर होने पर रुक जाता है।
बड़ी प्लेटें या संकरा अंतराल उसी बैटरी से अधिक आवेश संचित करने देते हैं।

संधारित्र सबसे सरल विद्युत पुर्ज़ों में से एक है: हवा या प्लास्टिक की एक पतली परत के आर-पार आमने-सामने रखी दो धातु की प्लेटें। यह पृथक्कृत विद्युत आवेश संचित करता है, और उसके साथ ऊर्जा भी, जिसे यह पल भर में लौटा सकता है। कैमरे का फ़्लैश, हृदय के डीफ़िब्रिलेटर और आपके फ़ोन के परिपथ, सभी संधारित्रों पर निर्भर हैं।

चरण 1: इलेक्ट्रॉनों का चलना। धातुओं में ऐसे इलेक्ट्रॉन होते हैं जो स्वतंत्र रूप से चल सकते हैं। प्लेटों को बैटरी से जोड़िए तो वह एक प्लेट से इलेक्ट्रॉन खींचती है और तारों के माध्यम से उन्हें दूसरी प्लेट पर धकेलती है। एक प्लेट धनात्मक रह जाती है, दूसरी ऋणात्मक हो जाती है। न कोई इलेक्ट्रॉन बनता है, न नष्ट होता है: जो इलेक्ट्रॉन एक प्लेट पर पहुँचता है, वह दूसरी से ही लिया गया होता है, इसलिए दोनों आवेश सदा बराबर और विपरीत होते हैं।

चरण 2: अंतराल के पार कुछ नहीं जाता। अंतराल एक विद्युतरोधी है, इसलिए आवेश उसके पार नहीं कूद सकता। इसके बजाय + प्लेट और − प्लेट उसके माध्यम से एक-दूसरे को आकर्षित करती हैं, और उनके बीच की जगह में विद्युत क्षेत्र भर जाता है।

चरण 3: धीरे-धीरे भरना। प्लेटों पर जितना अधिक आवेश पहले से होगा, वे बैटरी के विरुद्ध उतना ही अधिक धक्का देंगी। इसलिए आवेशन आरंभ में तेज़ होता है, फिर धीमा होता है, और जब संधारित्र की वोल्टता बैटरी की वोल्टता के बराबर हो जाती है तब रुक जाता है, ठीक वैसे ही जैसे पानी की टंकी से जुड़ा पात्र दोनों स्तर एक होते ही भरना बंद कर देता है।

चरण 4: आकार मायने रखता है। बड़ी प्लेटें या संकरा अंतराल उसी बैटरी से अधिक आवेश संचित करने देते हैं।

एनीमेशन में नीले इलेक्ट्रॉन पहले तारों में तेज़ी से दौड़ते हैं, फिर धीमे होकर रुक जाते हैं, जबकि प्लेटों पर आवेश जमा होता है और मापक धीरे-धीरे भरता है।

स्वयं जाँचें: आवेशित संधारित्र की एक प्लेट पर +5 इकाई आवेश है। दूसरी पर कितना है? (उत्तर: −5 इकाई; कुल आवेश अब भी शून्य है।)

मध्यम

मुख्य विचार

$Q = C V$ : धारिता $C$ , फ़ैरड में ( $1 F = 1 C/V$ ), प्रति वोल्ट संचित आवेश है।
समानांतर प्लेटें: $C = ε_{0} ε_{r} A / d$ , इसलिए बड़ा क्षेत्रफल, छोटा अंतराल या परावैद्युत $C$ बढ़ाते हैं।
प्रतिरोधक के माध्यम से, $I = (V_{0} - V_{C}) / R$ : आरंभ में सबसे अधिक ( $V_{0} / R$ ), और $V_{C}$ बढ़ने के साथ घटती है।
संचित ऊर्जा $W = \frac{1}{2} C V^{2} = \frac{1}{2} Q V$ है, $Q V$ नहीं, क्योंकि आवेश स्थानांतरित होते समय $V$ 0 से बढ़ता है।

आवेश, वोल्टता और धारिता

संधारित्र चालकों का कोई भी ऐसा युग्म है जो विद्युतरोधी से अलग हो; सबसे सरल रूप में, पतले अंतराल के आर-पार रखी दो धातु की प्लेटें। बैटरी तारों के माध्यम से आवेश को एक प्लेट से दूसरी तक ले जाती है, जिससे एक पर $+ Q$ और दूसरी पर $- Q$ आ जाता है, इसलिए संधारित्र समग्र रूप से उदासीन रहता है और उसके आवेश से आशय $Q$ है। इसकी वोल्टता $V$ प्लेटों के बीच का विभवांतर है, यानी ऋणात्मक प्लेट से धनात्मक प्लेट तक एक कूलॉम आवेश ले जाने में लगा कार्य।

आवेश दोगुना करें तो प्लेटों के बीच का क्षेत्र हर जगह दोगुना हो जाता है, और प्रति कूलॉम कार्य भी दोगुना। इसलिए आवेश और वोल्टता समानुपाती हैं:
$Q = C V$

स्थिरांक $C$ धारिता है, यानी प्रति वोल्ट संचित आवेश, जिसे फ़ैरड में मापा जाता है: $1 F = 1 C/V$ । एक फ़ैरड बहुत बड़ी इकाई है, इसलिए अधिकांश संधारित्र पिकोफ़ैरड ( $1 0^{- 12} F$ ), नैनोफ़ैरड या माइक्रोफ़ैरड (µF, $1 0^{- 6} F$ ) में अंकित होते हैं।

धारिता किससे तय होती है

क्षेत्रफल $A$ की दो समतल समांतर प्लेटों के लिए, जो $d$ दूरी पर हैं, उनके बीच का क्षेत्र एकसमान है, $E = V / d$ , और बाहर लगभग शून्य। धारिता केवल इस ज्यामिति और विद्युतरोधी पर निर्भर करती है:
$C = \frac{ε _{0} ε _{r} A}{d}$

यहाँ $ε_{0} \approx 8.85 \times 1 0^{- 12} F/m$ निर्वात की विद्युतशीलता है, और $ε_{r}$ विद्युतरोधी की आपेक्षिक विद्युतशीलता, यानी परावैद्युतांक है: हवा के लिए 1.0006, पॉलीप्रोपाइलीन के लिए लगभग 2.2, पानी के लिए 80।

प्रति वर्ग मीटर आवेश विद्युत क्षेत्र तय करता है, $E = Q / (ε_{0} ε_{r} A)$ , इसलिए बड़ी प्लेटें समान आवेश को पतला फैला देती हैं, और क्षेत्र तथा वोल्टता $V = E d$ छोटे हो जाते हैं। संकरा अंतराल उसी आवेश के लिए क्षेत्र को बनाए रखता है, परंतु उसके आर-पार का पथ छोटा कर देता है। परावैद्युत में अणु ध्रुवित होते हैं, उनके ऋणात्मक सिरे धनात्मक प्लेट की ओर मुड़ते हैं, और क्षेत्र का कुछ भाग निरस्त कर देते हैं। प्रति कूलॉम वोल्टता जितनी घटती है, वही बैटरी उतना अधिक आवेश धकेल पाती है।

1 cm² की दो प्लेटें, 0.5 mm की हवा की परत के साथ: $C = 8.85 \times 1 0^{- 12} \cdot 1 0^{- 4} / (5 \times 1 0^{- 4}) \approx 1.77 pF$ ; 0.3 mm तक दबाने पर, जैसे धारिता-आधारित कुंजी में, ये 2.95 pF तक पहुँचती हैं। 1 mm हवा के अंतराल के साथ एक फ़ैरड के लिए 113 km² प्लेट क्षेत्रफल चाहिए।

प्रतिरोधक के माध्यम से आवेशन

एनीमेशन में वोल्टता $V_{0}$ की बैटरी प्रतिरोधक $R$ के माध्यम से संधारित्र को आवेशित करती है। बैटरी की वोल्टता दोनों में बँटती है, $V_{0} = R I + V_{C}$ , इसलिए प्रतिरोधक को जो वोल्टता शेष बचती है, केवल वही धारा चलाती है:
$I = \frac{V _{0} - V _{C}}{R}$

आरंभ में संधारित्र खाली है, $V_{C} = 0$ , और धारा अपने सबसे अधिक मान $V_{0} / R$ पर होती है, मानो संधारित्र केवल एक साधारण तार हो। आने वाला हर आवेश $V_{C}$ बढ़ाता है, प्रतिरोधक के लिए कम वोल्टता छोड़ता है, और धारा को धीमा करता है: संधारित्र जितना अधिक भरा होगा, उसे भरने वाला धक्का उतना ही कमज़ोर होगा।

गति समय-नियतांक $τ = RC$ द्वारा तय होती है; ओम गुणा फ़ैरड सेकंड देता है। एक समय-नियतांक के बाद संधारित्र अपनी अंतिम वोल्टता का 63 % प्राप्त कर लेता है, और $5 τ$ के बाद 99 % से अधिक। उन्नत स्तर पर व्युत्पन्न सटीक नियम घातांकीय हैं:

$τ = RC$
$V_{C} = V_{0} (1 - e^{- t / RC})$
$I = (\frac{V _{0}}{R}) e^{- t / RC}$

संचित ऊर्जा और वोल्टता-आवेश ग्राफ़

आवेशन में कार्य लगता है: हर आवेश को पहले से बनी वोल्टता के विरुद्ध ले जाना होता है, पहले आवेश के लिए लगभग शून्य और अंतिम आवेश के लिए पूरी $V$ के विरुद्ध। वोल्टता बनाम आवेश के ग्राफ़ पर $V = Q / C$ मूल बिंदु से गुज़रने वाली सीधी रेखा है, और किया गया कार्य इस रेखा के नीचे का क्षेत्रफल है, यानी आधार $Q$ और ऊँचाई $V$ का त्रिभुज:
$W = \frac{1}{2} C V^{2} = \frac{1}{2} Q V$

½ इसलिए आता है क्योंकि आवेशन के दौरान औसत वोल्टता अंतिम वोल्टता की आधी होती है। आवेश बनाम वोल्टता के रूप में खींचने पर उसी रेखा की प्रवणता $C$ होती है, इसलिए बड़ी धारिता पर रेखा अधिक खड़ी होती है। चूँकि $W$ वोल्टता के वर्ग के साथ बढ़ती है, वोल्टता दोगुनी करने पर संचित ऊर्जा चार गुना हो जाती है, और यह प्लेटों के बीच के क्षेत्र में रहती है।

उदाहरण: एनीमेशन वाला परिपथ

एनीमेशन के $V_{0} = 12 V$ , $R = 10 kΩ$ और $C = 100 μ F$ के साथ, प्रारंभिक धारा, समय-नियतांक, अंतिम आवेश और ऊर्जा हैं
$I_{0} = \frac{V _{0}}{R} = \frac{12 V}{1 0 ^{4} Ω} = 1.2 mA$
$τ = RC = 1 0^{4} Ω \cdot 1 0^{- 4} F = 1 s$
$Q = C V_{0} = 1 0^{- 4} F \cdot 12 V = 1.2 mC$
$W = \frac{1}{2} C V_{0}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 4} \cdot 1 2^{2} = 7.2 mJ$

ये पाठ्यांकों के अंतिम बिंदु हैं: $I$ 1.20 mA से शुरू होता है, और आवेशन पूरा होने पर $V_{C}$ 12.0 V, $Q$ 1.20 mC और $I$ 0.00 mA दिखाता है। $t = τ = 1 s$ पर वे $V_{C} = 7.6 V$ (63 %), $Q = 0.76 mC$ और $I = 0.44 mA$ दिखाते हैं, जैसा लूप नियम की पुष्टि करता है: $(12 - 7.6) V /10 kΩ = 0.44 mA$ ।

नीले बिंदु इलेक्ट्रॉन हैं। वे ऊपरी प्लेट से बैटरी के धनात्मक सिरे की ओर जाते हैं, और उतने ही इलेक्ट्रॉन बैटरी के ऋणात्मक सिरे से निचली प्लेट पर धकेले जाते हैं, इसलिए ऊपरी प्लेट $+ Q$ (लाल-नारंगी बिंदु) और निचली प्लेट $- Q$ (नीले बिंदु) बन जाती है। सुनहरा तीर $I$ , परंपरागत धारा, इलेक्ट्रॉनों के प्रवाह की विपरीत दिशा में इंगित करता है और धारा घटने के साथ छोटा होता जाता है। प्लेटों के बीच के बैंगनी तीर $E$ , $Q$ के अनुपात में बढ़ते हैं, और कोई भी बिंदु अंतराल को पार नहीं करता।

उदाहरण: कैमरा फ़्लैश

कैमरा फ़्लैश अपनी ऊर्जा, मान लीजिए, 150 µF के संधारित्र में संचित करता है, जिसे 300 V तक आवेशित किया गया है। उसमें होता है
$Q = C V = 150 \times 1 0^{- 6} \cdot 300 = 0.045 C$
$W = \frac{1}{2} C V^{2} = \frac{1}{2} \cdot 150 \times 1 0^{- 6} \cdot 30 0^{2} = 6.75 J$

मान लीजिए चार्जर 8 kΩ प्रतिरोध के श्रेणीक्रम में लगे 300 V स्रोत जैसा व्यवहार करता है। तब $τ = 8000 \cdot 150 \times 1 0^{- 6} = 1.2 s$ और धारा $300/8000 = 37.5 mA$ से शुरू होती है। $2 τ = 2.4 s$ के बाद वोल्टता $300 (1 - e^{- 2}) \approx 259 V$ , यानी 86 %, है; परंतु ऊर्जा, जो $V^{2}$ के साथ चलती है, अधिकतम का केवल $0.86 5^{2} \approx 0.75$ है, लगभग 5.0 J।

इसके बाद फ़्लैश-नली लगभग एक मिलीसेकंड में पूरी तरह आवेशित संधारित्र को खाली कर देती है, इसलिए फ़्लैश की औसत शक्ति $6.75 J /1 0^{- 3} s \approx 7 kW$ है। 1 ms का निरावेशन समय-नियतांक केवल $1 0^{- 3} / (150 \times 1 0^{- 6}) \approx 7 Ω$ प्रतिरोध माँगता है। वही संधारित्र धीरे भरता है और तेज़ी से खाली होता है: उसके पथ का प्रतिरोध गति तय करता है।

सामान्य गलतियाँ

धारा अंतराल से होकर नहीं बहती: एक प्लेट पर जितना आवेश आता है, दूसरी से उतना ही निकल जाता है, इसलिए दोनों तारों में समान धारा बहती है। एनीमेशन में यह आरंभ में 1.2 mA है, और संधारित्र भर जाने पर शून्य। संधारित्र स्थिर धारा को रोकता है।
आवेशित संधारित्र पर शुद्ध आवेश नहीं होता: एनीमेशन में प्लेटें अंत में $+ 1.2 mC$ और $- 1.2 mC$ पर होती हैं।
संचित ऊर्जा $\frac{1}{2} Q V$ है, $Q V$ नहीं: एनीमेशन में 7.2 mJ, न कि 14.4 mJ, क्योंकि आवेश स्थानांतरित होते समय वोल्टता शून्य से बढ़ी थी।
एक समय-नियतांक संधारित्र को नहीं भरता: यह अंतिम वोल्टता का केवल 63 % और अंतिम ऊर्जा का 40 % देता है। लगभग $5 τ$ का समय दें।
किलो-ओम गुणा माइक्रोफ़ैरड मिलीसेकंड देता है: 2.2 kΩ और 47 µF से $τ \approx 0.10 s$ मिलता है, 103 s नहीं।

कहाँ दिखता है

कैमरा फ़्लैश और डीफ़िब्रिलेटर धीरे-धीरे ऊर्जा जुटाते हैं और उसे मिलीसेकंड में छोड़ते हैं। विद्युत आपूर्ति के फ़िल्टर संधारित्र प्रत्यावर्ती वोल्टता के शिखरों पर भरते हैं और उनके बीच धारा देते हैं। टचस्क्रीन उँगली के पास आने पर धारिता में होने वाले परिवर्तन को महसूस करती हैं, और कंप्यूटर की मुख्य मेमोरी का हर बिट एक छोटा संधारित्र है, जो आवेशित या खाली होता है।

प्रतिरोधक और लूप नियम “विद्युत धारा और प्रतिरोध” तथा “दिष्ट धारा परिपथ और ओम का नियम” में विकसित किए गए हैं। कुंडली (“विद्युत चुंबकीय प्रेरण”) से जुड़कर संधारित्र ऐसा परिपथ बनाता है जिसका आवेश “सरल आवर्त गति” की तरह दोलन करता है, और प्रतिरोध इसे “अवमंदन और अनुनाद” का एक उदाहरण बना देता है। आवेशित संधारित्र के अंतराल में बदलता विद्युत क्षेत्र विस्थापन धारा है, जो क्षेत्र समीकरणों को पूरा करती है और “विद्युत चुंबकीय तरंगें” का पूर्वानुमान करती है।

उन्नत

मुख्य विचार

$R d q / d t + q / C = V_{0}$ से $V_{C} = V_{0} (1 - e^{- t / τ})$ और $I = (V_{0} / R) e^{- t / τ}$ प्राप्त होते हैं, जहाँ $τ = RC$ ।
खाली अवस्था से आवेशन में बैटरी $C V_{0}^{2}$ देती है: आधी ऊर्जा संचित होती है, आधी $R$ में ऊष्मा बनती है, $R$ चाहे जो हो।
आभासी कार्य: स्थिर $Q$ पर $F d z = d (Q^{2} /2 C)$ , अतः प्लेटें $F = Q^{2} / (2 ε_{0} A)$ बल से आकर्षित होती हैं।
ऊर्जा क्षेत्र में रहती है, $u = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2}$ , और आवेशन के समय यह अंतराल के किनारों से होकर प्रवेश करती है।
परावैद्युत का ध्रुवण किसी दिए गए आवेश पर क्षेत्र को कमज़ोर करता है: भंजन तक $C$ , $ε_{r}$ गुना बढ़ जाता है।

आवेश और वोल्टता समानुपाती क्यों हैं

नीचे के सभी परिणाम एक तथ्य पर टिके हैं: किन्हीं भी दो चालकों के लिए, आवेश वोल्टता के समानुपाती होता है। इसका उपयोग करने से पहले यह देखना उपयोगी है कि ऐसा क्यों है।

एक चालक पर $+ Q$ और दूसरे पर $- Q$ रखिए, पास में कोई अन्य आवेश न हो। उनके द्वारा बना क्षेत्र रैखिक समीकरणों का पालन करता है: कई आवेशों का क्षेत्र उनके अलग-अलग क्षेत्रों का योग होता है। हर आवेश को एक ही गुणक से गुणा करें, तो हर बिंदु पर क्षेत्र भी उसी गुणक से बढ़ जाता है। बढ़ाई गई व्यवस्था में धातु के भीतर क्षेत्र अब भी शून्य रहता है और हर चालक अब भी एक ही विभव पर रहता है, इसलिए बड़े आवेश के लिए यही सही व्यवस्था है। वोल्टता, धनात्मक चालक से ऋणात्मक चालक तक क्षेत्र का रेखा-समाकल है, $V = \int E \cdot d l$ , इसलिए वह भी उसी गुणक से बढ़ती है।

अतः आवेश और वोल्टता एक निश्चित अनुपात में साथ-साथ बढ़ते हैं, $Q = C V$ । धारिता $C$ चालकों के आकार और दूरी तथा उनके बीच के विद्युतरोधी से तय होती है, $Q$ या $V$ से कभी नहीं। इसे ज्ञात करने की विधि सीधी है: मान लीजिए आवेश $Q$ है, क्षेत्र ज्ञात कीजिए, उसका समाकलन करके $V$ प्राप्त कीजिए, और भाग दे दीजिए।

गाउस के नियम से समांतर प्लेटों का क्षेत्र

सबसे सरल स्थिति क्षेत्रफल $A$ की दो समतल प्लेटें हैं, जो थोड़ी दूरी $d$ पर हैं। गाउस का नियम एक ही चरण में उनके बीच का क्षेत्र दे देता है, और चित्र 1 दिखाता है कि यह कैसे होता है।

चित्र 1 प्लेटों को किनारे से दिखाता है: बाईं प्लेट पर $+ Q$ , दाईं पर $- Q$ , और उनके बीच दूरी $d$ है। धनात्मक आवेश अपनी प्लेट की भीतरी सतह पर होता है, यानी उस तरफ़ जो ऋणात्मक प्लेट की ओर है, और प्रति वर्ग मीटर उस पर आवेश $σ$ है; क्षेत्रफल $A$ की प्लेटों के लिए $σ = Q / A$ । उस सतह के आर-पार खींचा गया छोटा बक्सा गाउस बक्सा है: एक काल्पनिक बंद सतह, जिस पर गाउस का नियम लगाया जाता है।

बक्से के दो बड़े फलकों को देखिए। बाईं ओर का फलक धातु के भीतर है, जिसे $E = 0$ लिखा है। स्थिर चालक में क्षेत्र शून्य होना चाहिए, वरना उसके मुक्त आवेश अब भी चल रहे होते। दाईं ओर का फलक क्षेत्रफल $d A$ का एक टुकड़ा है, जो अंतराल में है, और क्षेत्र $E$ उसे समकोण पर काटता है। बाकी फलक या तो क्षेत्र के समांतर हैं या धातु के भीतर हैं, इसलिए उनसे कुछ भी नहीं गुज़रता। अतः बक्से से निकलने वाला फ़्लक्स $E d A$ है, और उसके भीतर का आवेश $σ d A$ ।

गाउस का नियम कहता है कि किसी बंद सतह से निकलने वाला फ़्लक्स, भीतर के आवेश को $ε_{0}$ से भाग देने के बराबर होता है:
$E d A = \frac{σ d A}{ε _{0}}$
क्षेत्रफल $d A$ निरस्त हो जाता है, इसलिए बक्से का आकार मायने नहीं रखता, और अंतराल में क्षेत्र है
$E = \frac{σ}{ε _{0}} = \frac{Q}{ε _{0} A}$

चूँकि किसी बड़ी प्लेट पर $σ$ हर जगह समान है, इसलिए यह क्षेत्र अंतराल में हर जगह एक ही मान रखता है, जैसा चित्र की समान दूरी वाली क्षेत्र-रेखाएँ दिखाती हैं। इस जोड़े के बाहर, दोनों प्लेटों के क्षेत्र एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।

अब वोल्टता। चित्र में तीर $V$ धनात्मक प्लेट से ऋणात्मक प्लेट तक अंतराल के आर-पार जाता है। उसके अनुदिश क्षेत्र हर कदम पर समान मान $E$ रखता है, इसलिए रेखा-समाकल केवल $E$ गुणा लंबाई $d$ है:
$V = E d = \frac{Q d}{ε _{0} A}, C = \frac{Q}{V} = \frac{ε _{0} A}{d}$
जैसा कहा था, $Q$ बाहर हो गया। बड़ा क्षेत्रफल प्रति वोल्ट अधिक आवेश रखता है; चौड़ा अंतराल कम रखता है। अंतराल को सापेक्ष विद्युतशीलता $ε_{r}$ वाले विद्युतरोधी से भरने पर $C$ गुणक $ε_{r}$ से बढ़ जाता है, जैसा परावैद्युत वाले भाग में समझाया गया है।

यही विधि अन्य आकारों पर भी लागू होती है। त्रिज्या $a$ के एकाकी गोले के बाहर क्षेत्र एक बिंदु-आवेश जैसा होता है, और पृष्ठ से अनंत तक समाकलन करने पर $V = Q / (4 π ε_{0} a)$ मिलता है। आंतरिक त्रिज्या $a$ और बाहरी त्रिज्या $b$ वाली समाक्षीय केबल में चालकों के बीच का क्षेत्र $1/ r$ के अनुसार घटता है, इसलिए $a$ से $b$ तक समाकलन एक लघुगणक देता है। गोले के लिए, और लंबाई $ℓ$ तथा सापेक्ष विद्युतशीलता $ε_{r}$ वाले विद्युतरोधन की केबल के लिए:
$C = 4 π ε_{0} a, \frac{C}{ℓ} = \frac{2 π ε _{0} ε _{r}}{l n ( b / a )}$
ये संख्याएँ रोचक हैं। पूरी पृथ्वी, एक गोले के रूप में, की धारिता केवल लगभग 0.71 mF है, जो एक साधारण 1000 µF के विद्युत-अपघट्य संधारित्र से भी कम है। पॉलीएथिलीन विद्युतरोधन ( $ε_{r} = 2.3$ ) और $b / a = 3.5$ वाली केबल की धारिता लगभग 100 pF प्रति मीटर है।

आवेशन समीकरण और उसका हल

संधारित्र कभी भी तुरंत आवेशित नहीं होता: परिपथ का कुछ प्रतिरोध हमेशा धारा को सीमित रखता है। यह भाग बताता है कि समय के साथ आवेश कैसे बढ़ता है, वह नियम जो प्रतिरोधक और संधारित्र से बने हर समय-निर्धारक परिपथ के पीछे है।

चित्र 2 वह लूप दिखाता है: वोल्टता $V_{0}$ की बैटरी, प्रतिरोधक $R$ और संधारित्र $C$ श्रेणी में जुड़े हैं। केवल एक ही पथ है, इसलिए हर भाग में एक ही धारा $I$ बहती है। चित्र में दिखाए गए क्षण पर संधारित्र की ऊपरी प्लेट पर $+ q$ और निचली प्लेट पर $- q$ है; धारा के आवेश लाने के साथ $q$ शून्य से बढ़ता है।

$I$ की दिशा में लूप के चारों ओर विभव का अनुसरण कीजिए। बैटरी विभव को $V_{0}$ बढ़ाती है। प्रतिरोधक उसे $V_{R} = R I$ (ओम का नियम) घटाता है, और संधारित्र उसे $V_{C} = q / C$ घटाता है। आरंभिक बिंदु पर लौटने पर विभव अपने मूल मान पर होना चाहिए, इसलिए वृद्धि दोनों घटावों के योग के बराबर होती है:
$V_{0} = V_{R} + V_{C}$

धारा वह दर है जिस पर आवेश ऊपरी प्लेट तक पहुँचता है, $I = d q / d t$ । $V_{R} = R d q / d t$ और $V_{C} = q / C$ लिखने पर लूप नियम केवल आवेश के लिए एक समीकरण बन जाता है:
$R \frac{d q}{d t} + \frac{q}{C} = V_{0}$
यह प्रथम कोटि का है, क्योंकि केवल पहला अवकलज आता है, और रैखिक है, क्योंकि $q$ केवल पहली घात में आता है।

हल करने के लिए $C$ से गुणा करके व्यवस्थित कीजिए: $RC d q / d t = C V_{0} - q$ । दाईं ओर वह आवेश है जो अंतिम मान $C V_{0}$ से अब भी कम है। दोनों ओर उससे भाग देने पर $q$ वाले सभी पद एक ओर और $t$ वाले सभी पद दूसरी ओर आ जाते हैं:
$\frac{d q}{C V _{0} - q} = \frac{d t}{RC}$
खाली संधारित्र से समाकलन कीजिए, जहाँ स्विच $t = 0$ पर बंद होने पर $q = 0$ है, और समय $t$ पर आवेश $q$ तक समाकलन कीजिए:
$- ln (1 - \frac{q}{C V _{0}}) = \frac{t}{RC}$

लघुगणक हटाने पर $q = C V_{0} (1 - e^{- t / RC})$ मिलता है। $C$ से भाग देने पर संधारित्र की वोल्टता मिलती है, और $q$ का अवकलज लेने पर धारा:
$V_{C} = V_{0} (1 - e^{- t / RC})$
$I = \frac{V _{0}}{R} e^{- t / RC}$
गुणनफल $τ = RC$ की इकाई समय है, क्योंकि $Ω \cdot F = s$ । इसे समय-नियतांक कहते हैं, और यह आगे के हर घटनाक्रम की गति तय करता है।

प्रथम कोटि के समीकरण को एक प्रारंभिक प्रतिबंध चाहिए, यहाँ $q (0) = 0$ । ध्यान दीजिए कि स्विच बंद होने पर क्या अचानक बदल सकता है और क्या नहीं। धारा तुरंत शून्य से $V_{0} / R$ पर कूद जाती है। आवेश नहीं कूद सकता, क्योंकि उसे शून्य समय में बदलने के लिए अनंत धारा चाहिए; इसलिए संधारित्र की वोल्टता सदा सतत रहती है। वोल्टता $V_{1}$ से $R$ के माध्यम से निरावेशन उसी समीकरण का $V_{0} = 0$ वाला रूप है, और $V_{C} = V_{1} e^{- t / RC}$ देता है।

ऐसे परिपथ में हर राशि, आवेश, वोल्टताएँ और धारा, एक ही प्रारूप का पालन करती है। मान लीजिए राशि $x$ का आरंभिक मान $x_{0}$ है और वह अपने अंतिम मान $x_{\infty}$ की ओर बढ़ती है:
$x (t) = x_{\infty} + (x_{0} - x_{\infty}) e^{- t / τ}$
कारण यह है कि उसकी परिवर्तन-दर शेष बची दूरी के समानुपाती है, $d x / d t = (x_{\infty} - x) / τ$ । परिणामस्वरूप, समान समय-अंतराल उस दूरी को समान गुणकों से घटाते हैं: हर समय-नियतांक में $e^{- 1} \approx 0.37$ गुणा, और हर $τ ln 2 \approx 0.69 τ$ में आधा।

घातांकीय ग्राफ़ पढ़ना

हल को ग्राफ़ के रूप में समझना सबसे आसान है। एनीमेशन के परिपथ के लिए इन्हें यहाँ खींचा गया है: $V_{0} = 12 V$ , $R = 10 kΩ$ और $C = 100 μ F$ , जिससे $τ = RC = 1 s$ और आरंभिक धारा $I_{0} = V_{0} / R = 1.2 mA$ ।

चित्र 3 एक ही समय-अक्ष $t$ पर दोनों हल खींचता है। ऊपरी ग्राफ़ संधारित्र की वोल्टता $V_{C}$ है, जो शून्य से बैटरी वोल्टता $V_{0}$ की ओर चढ़ती है। निचला ग्राफ़ धारा $I$ है, जो $I_{0}$ से शून्य की ओर गिरती है। दोनों में बिंदीदार ऊर्ध्वाधर रेखा एक समय-नियतांक $t = τ$ को चिह्नित करती है। एनीमेशन की विशेषज्ञ परत उन्हीं वक्रों को उनके अधिकतम मान के अंश के रूप में दिखाती है: $V_{C}$ नीले रंग में और $I$ सुनहरे रंग में।

पहले $t = τ$ पर बिंदुओं को देखिए। ऊपरी वक्र पर वोल्टता $V_{0}$ के 63 % तक पहुँच गई है; निचले वक्र पर धारा $I_{0}$ के 37 % तक गिर गई है। ये जोड़ने पर 100 % होते हैं, और हर क्षण ऐसा ही होना चाहिए, क्योंकि $V_{C} + R I = V_{0}$ : संधारित्र ने जितनी वोल्टता अभी तक नहीं ली है, उसे प्रतिरोधक अब भी वहन करता है। भिन्नों के रूप में दोनों वक्र एक-दूसरे के दर्पण-प्रतिबिंब हैं, और $t = τ ln 2 \approx 0.69 s$ पर 50 % पर एक-दूसरे को काटते हैं।

अब ऊपरी ग्राफ़ की तिरछी बिंदीदार रेखा। यह $t = 0$ पर $V_{C}$ की स्पर्श-रेखा है, जिसकी प्रवणता $V_{0} / τ = 12 V/s$ है, और यह दिखाती है कि यदि धारा अपना आरंभिक मान $I_{0}$ बनाए रखती, तो क्या होता: संधारित्र ठीक एक समय-नियतांक के बाद पूरी तरह भर जाता। यह स्पर्श-रेखा वास्तव में $t = τ$ पर स्तर $V_{0}$ तक पहुँचती है। यह वक्र के किसी भी बिंदु के लिए सही है, केवल आरंभ के लिए नहीं: स्पर्श-रेखा हमेशा एक $τ$ बाद $V_{0}$ तक पहुँचती है। वास्तविक वक्र धीमा होता जाता है, क्योंकि भरने को शेष अंतर हर समय-नियतांक में $e$ के गुणक से घट जाता है, यहाँ हर सेकंड: $t$ = 0, 1, 2, 3, 4 और 5 s पर 12, 4.4, 1.6, 0.60, 0.22 और 0.08 V। लगभग $5 τ$ के बाद व्यावहारिक रूप से संधारित्र भर चुका होता है।

दोनों ग्राफ़ $I = C d V_{C} / d t$ से जुड़े हैं: निचला वक्र ऊपरी वक्र की प्रवणता का $C$ गुणा है। जहाँ वोल्टता तीव्र गति से चढ़ती है, यानी आरंभ में, वहाँ धारा बड़ी होती है; जहाँ वह समतल होती है, वहाँ धारा क्षीण हो जाती है।

अंत में, $I (t)$ के नीचे छायांकित क्षेत्रफल। धारा प्रति सेकंड आवेश है, इसलिए धारा वक्र के नीचे का क्षेत्रफल कुल दिया गया आवेश है:
$Q = \int_{0}^{\infty} I_{0} e^{- t / τ} d t = I_{0} τ = 1.2 mA \cdot 1 s = 1.2 mC$
यह एनीमेशन का अंतिम $Q$ पाठ्यांक है, और यह $C V_{0}$ के बराबर है, जैसा होना ही चाहिए। यह ऊँचाई $I_{0}$ और चौड़ाई $τ$ वाले बिंदीदार आयत का क्षेत्रफल भी है: लंबी घातांकीय पूँछ में ठीक वही आवेश है जो आयत से छूट जाता है।

संचित ऊर्जा $W = \frac{1}{2} C V_{C}^{2}$ वोल्टता के पीछे रहती है, क्योंकि यह $V_{C}$ के वर्ग के साथ चलती है। $t = τ$ पर वोल्टता 63 % है, परंतु ऊर्जा का पाठ्यांक केवल 2.88 mJ दिखाता है, जो अंतिम 7.2 mJ का केवल 40 % (यानी $0.6 3^{2}$ ) है।

ऊर्जा कहाँ जाती है

बैटरी से संधारित्र को आवेशित करते समय हमेशा कुछ ऊर्जा नष्ट होती है, और हमेशा उसका एक ही अंश। यह समझने के लिए तुलना कीजिए कि संधारित्र कितनी ऊर्जा संचित करता है और बैटरी कितनी देती है।

पहले संचित ऊर्जा। एक छोटे आवेश $d q$ को ऋणात्मक प्लेट से धनात्मक प्लेट तक, वहाँ पहले से मौजूद वोल्टता $q / C$ के विरुद्ध, ले जाने में कार्य $d W = (q / C) d q$ लगता है। खाली अवस्था से अंतिम आवेश $Q$ तक इन्हें जोड़ने पर
$W = \frac{Q ^{2}}{2 C} = \frac{1}{2} C V^{2}$
मिलता है। ½ इसलिए है क्योंकि आरंभिक आवेश छोटी वोल्टता के विरुद्ध जाता है, और केवल अंतिम आवेश को पूरी $V$ के विरुद्ध जाना पड़ता है।

इसके विपरीत, बैटरी शुरू से ही पूरे आवेश $Q = C V_{0}$ को अपनी पूरी वोल्टता $V_{0}$ से धकेलती है, इसलिए वह $Q V_{0} = C V_{0}^{2}$ देती है। एनीमेशन में यह 14.4 mJ है, जो संचित 7.2 mJ का दोगुना है। अंतर प्रतिरोधक में ऊष्मा बन जाता है, जैसा कि उसकी शक्ति $I^{2} R$ के समाकलन से पुष्ट होता है:
$\int_{0}^{\infty} I^{2} R d t = \frac{V _{0}^{2}}{R} \int_{0}^{\infty} e^{- 2 t / RC} d t = \frac{1}{2} C V_{0}^{2}$

ठीक आधी ऊर्जा नष्ट होती है, यानी 7.2 mJ, $R$ का मान चाहे जो हो। कम प्रतिरोध से कम समय के लिए अधिक धारा बहती है, और ये दोनों प्रभाव एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। अधिकांश ऊष्मा आरंभ में बनती है, जब धारा बड़ी होती है: $t = τ$ तक प्रतिरोधक 6.2 mJ ऊर्जा ऊष्मा में बदल चुका होता है। नीचे का हल किया गया प्रश्न दिखाता है कि कम हानि कैसे हो।

क्षेत्र का ऊर्जा घनत्व

संधारित्र में संचित ऊर्जा कहाँ रहती है? समांतर-प्लेट के सूत्र एक उत्तर सुझाते हैं। $C = ε_{0} ε_{r} A / d$ और $V = E d$ को $\frac{1}{2} C V^{2}$ में रखिए:
$\frac{1}{2} C V^{2} = \frac{1}{2} ε_{0} ε_{r} E^{2} \cdot A d$
गुणनफल $A d$ अंतराल का आयतन है, ठीक वही क्षेत्र जिसे विद्युत क्षेत्र भरता है। अतः ऊर्जा को क्षेत्र में फैली हुई माना जा सकता है, जिसका ऊर्जा घनत्व, यानी प्रति घन मीटर ऊर्जा, है
$u = \frac{1}{2} ε_{0} ε_{r} E^{2}$
यह किसी भी विद्युत क्षेत्र के लिए लागू होता है, केवल प्लेटों के बीच नहीं। और इसे गंभीरता से लेने पर एक आश्चर्यजनक निष्कर्ष निकलता है।

ऊर्जा अंतराल में कैसे प्रवेश करती है

यदि ऊर्जा प्लेटों के बीच के क्षेत्र में संचित है, तो आवेशन के समय उसे वहाँ तक पहुँचना होगा। सीधा अनुमान यह है कि ऊर्जा तारों के साथ बहती है, पर यह गलत निकलता है।

चित्र 4 आवेशन के समय वृत्ताकार प्लेटों वाला एक वायु-संधारित्र दिखाता है। लीड में धारा $I$ ऊपरी प्लेट पर नीचे की ओर बहती है, इसलिए प्लेटों पर आवेश बढ़ता है और अंतराल में नीचे इंगित करने वाला क्षेत्र $E$ बढ़ता है।

बदलता विद्युत क्षेत्र भी धारा की तरह चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है। मैक्सवेल ने पद $ε_{0} d Φ_{E} / d t$ को विस्थापन धारा कहा, जहाँ $Φ_{E}$ अंतराल से गुज़रने वाला विद्युत फ़्लक्स है। प्लेटों के बीच यह ठीक तारों की धारा $I$ के बराबर है, क्योंकि $ε_{0} A d E / d t = d Q / d t$ । इसलिए अंतराल के भीतर एक चुंबकीय क्षेत्र $B$ अक्ष के चारों ओर घूमता है, उसी दिशा में जिसमें वह लीड के चारों ओर घूमता है: ऊपर से देखने पर घड़ी की सुई की दिशा में, नीचे बहती धारा के लिए दाएँ हाथ के नियम के अनुसार।

अब अंतराल के किनारे को देखिए। वहाँ $E$ नीचे की ओर है और $B$ वृत्त के अनुदिश है। ऊर्जा-फ़्लक्स, या पॉइंटिंग सदिश, $S = E \times B / μ_{0}$ , दोनों के लंबवत है, और दाएँ हाथ के नियम से वह किनारे के हर बिंदु पर त्रिज्यीय रूप से भीतर की ओर इंगित करता है। क्षेत्र की ऊर्जा आसपास के स्थान से अंतराल के खुले पार्श्वों से होकर प्रवेश करती है, तारों से होकर नहीं। पूरे किनारे पर $S$ का योग ठीक उस दर के बराबर है जिससे भीतर प्रति घन मीटर ऊर्जा $\frac{1}{2} ε_{0} E^{2}$ बढ़ती है।

ऊर्जा से बल

ऊर्जा से प्लेटों के बीच का बल भी मिल जाता है, इसके लिए यह जानना ज़रूरी नहीं कि आवेश प्लेटों पर कैसे फैला है। इस विधि को आभासी कार्य कहते हैं: यह एक सूक्ष्म विस्थापन की कल्पना करती है और पूछती है कि ऊर्जा कैसे बदलती है।

आवेशित संधारित्र को स्रोत से अलग कर दीजिए, ताकि $Q$ न बदले, और एक प्लेट को $d z$ दूरी तक थोड़ा हटाइए। आपने जो कार्य $F d z$ किया, वह संचित ऊर्जा $Q^{2} / (2 C)$ में हुई वृद्धि के बराबर होना चाहिए। अंतराल $z$ के लिए $1/ C = z / (ε_{0} A)$ , इसलिए संचित ऊर्जा $Q^{2} z / (2 ε_{0} A)$ है, जो $z$ के समानुपाती बढ़ती है। $z$ के सापेक्ष इसकी परिवर्तन-दर ही बल है:
$F = \frac{Q ^{2}}{2 ε _{0} A} = \frac{1}{2} QE$
½ क्यों, सीधे $QE$ क्यों नहीं? क्योंकि हर प्लेट अंतराल के क्षेत्र का केवल आधा उत्पन्न करती है, और किसी प्लेट को केवल दूसरी प्लेट के आधे क्षेत्र से धक्का मिलता है। जब $C$ का मान स्थिति के फलन के रूप में ज्ञात हो, तो यह विधि किसी भी आकार पर लागू होती है।

एक संख्या बताती है कि यह बल कितना कमज़ोर है। 1 mm अंतराल वाले वायु-संधारित्र के रूप में एनीमेशन के 100 µF को बनाने के लिए प्लेट क्षेत्रफल $A = C d / ε_{0} \approx 1.1 \times 1 0^{4} m^{2}$ चाहिए, यानी लगभग डेढ़ फ़ुटबॉल मैदान। 12 V पर प्लेटें $F = W / d = 7.2 N$ के बल से एक-दूसरे को आकर्षित करतीं, दाब केवल $6.4 \times 1 0^{- 4} Pa$ होता। यह दाब क्षेत्र के ऊर्जा घनत्व $u$ के बराबर है: प्रति वर्ग मीटर बल और प्रति घन मीटर ऊर्जा की इकाइयाँ एक ही हैं, और यहाँ मान भी वही है।

परावैद्युत

अंतराल में रखा विद्युतरोधी धारिता को उसकी सापेक्ष विद्युतशीलता $ε_{r}$ गुना बढ़ा देता है। कारण ध्रुवण है। क्षेत्र में विद्युतरोधी के अणु खिंचते या घूमते हैं, ताकि उनके धनात्मक और ऋणात्मक आवेश थोड़े अलग हो जाएँ। पदार्थ के भीतर ये विस्थापन निरस्त हो जाते हैं, परंतु उसकी दो सतहों पर बद्ध आवेश छोड़ जाते हैं: धनात्मक प्लेट के पास ऋणात्मक और ऋणात्मक प्लेट के पास धनात्मक। ये बद्ध आवेश प्लेटों के मुक्त आवेश के क्षेत्र के विपरीत क्षेत्र बनाते हैं और उसका कुछ भाग निरस्त कर देते हैं।

नियत आवेश $Q$ पर, अंतराल का क्षेत्र, और उसके साथ वोल्टता, $ε_{r}$ गुणक से घटती है, इसलिए $C = Q / V$ , $ε_{r}$ गुना बढ़ जाता है। नियत वोल्टता पर, प्लेटों पर $ε_{r}$ गुना अधिक आवेश बहता है। दोनों ही स्थितियों में, $C = ε_{0} ε_{r} A / d$ ।

उदाहरण: दो चरणों में आवेशन

स्थिर वोल्टता से आवेशित करने पर आधी ऊर्जा खोना एक कीमत है, प्रकृति का नियम नहीं। एनीमेशन के संधारित्र और प्रतिरोधक लीजिए, $C = 100 μ F$ और $R = 10 kΩ$ , इसलिए $τ = 1 s$ , और इसे दो चरणों में 12 V तक आवेशित कीजिए: पहले 6 V के स्रोत से पूरा भरकर, फिर 12 V की बैटरी से। कुल कितनी ऊष्मा उत्पन्न होगी?

पहला चरण आधी वोल्टता पर एनीमेशन ही है। स्रोत $C \cdot 6 V = 0.6 mC$ आवेश को 6 V की वोल्टता से होकर ले जाता है और 3.6 mJ ऊर्जा देता है। इसमें से $\frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 4} \cdot 6^{2} = 1.8 mJ$ संचित होती है और शेष 1.8 mJ ऊष्मा बनती है: पहले की तरह आधी।

दूसरा चरण $V_{C} = 6 V$ से शुरू होता है, इसलिए प्रतिरोधक से धारा केवल 6 V के अंतर से बहती है। शिथिलन-नियम में $x_{0} = 6$ और $x_{\infty} = 12$ रखें, वोल्टता वोल्ट में और धारा मिलीऐम्पियर में, तो
$V_{C} = 12 - 6 e^{- t / τ}, I = 0.6 e^{- t / τ}$
धारा आरंभ में केवल 0.6 mA है, और उत्पन्न ऊष्मा है
$\int_{0}^{\infty} I^{2} R d t = \frac{( 6 V ) ^{2}}{R} \cdot \frac{τ}{2} = \frac{36}{1 0 ^{4}} \cdot 0.5 J = 1.8 mJ$

ऊर्जा का हिसाब भी मेल खाता है। इस चरण में बैटरी 12 V पर एक और 0.6 mC आवेश ले जाती है और 7.2 mJ ऊर्जा देती है, जबकि संचित ऊर्जा 1.8 mJ से बढ़कर 7.2 mJ हो जाती है, यानी 5.4 mJ की वृद्धि। अंतर फिर 1.8 mJ ऊष्मा है।

कुल मिलाकर 7.2 mJ के बजाय 3.6 mJ खोया। सामान्य नियम यह है कि हर $Δ V$ आकार का चरण, चाहे वह किसी भी वोल्टता से शुरू हो, $\frac{1}{2} C (Δ V)^{2}$ को ऊष्मा में बदलता है, इसलिए $N$ समान चरण $\frac{1}{2} C V_{0}^{2} / N$ खोते हैं: बारह 1 V के चरणों में केवल 0.6 mJ। यदि स्रोत की वोल्टता $τ$ की तुलना में धीरे बढ़ाई जाए, तो हानि लगभग शून्य होती है, कम-शक्ति इलेक्ट्रॉनिकी में रुद्धोष्म आवेशन का यही विचार है। इसकी कीमत समय है, क्योंकि हर चरण को पूरा होने में लगभग $5 τ$ लगता है।

सरल मॉडल की सीमाएँ

सूत्र $C = ε_{0} ε_{r} A / d$ एक एकसमान क्षेत्र मानता है, जो प्लेटों के किनारों पर अचानक समाप्त हो जाता है। वास्तव में किनारों पर क्षेत्र बाहर की ओर फूलता है, और यह किनारे का क्षेत्र धारिता बढ़ाता है: 10 cm व्यास और 1 mm दूरी वाली डिस्कों के लिए लगभग 4 %, और 0.1 mm पर 0.6 %।

वास्तविक विद्युतरोधी थोड़ी धारा भी रिसने देते हैं, और हर एक ऐसे क्षेत्र-मान से ऊपर, जिसे उसका परावैद्युत सामर्थ्य कहते हैं, अचानक चालक बनकर चिंगारी के साथ भंग हो जाता है। शुष्क वायु के लिए यह लगभग 3 MV/m है, जो वायु-अंतराल के ऊर्जा घनत्व को $\frac{1}{2} ε_{0} E^{2} \approx 40 J/ m^{3}$ तक सीमित कर देता है। बहुलक फ़िल्में सैकड़ों मेगावोल्ट प्रति मीटर झेलती हैं और कुछ MJ/m³ संचित करती हैं, फिर भी लिथियम-आयन बैटरी से सैकड़ों गुना कम। संधारित्र गति में जीतते हैं, संचयन में नहीं।

परिपथ-मॉडल यह भी मानता है कि परिवर्तन अर्ध-स्थिर है: इतना धीमा कि हर जगह का क्षेत्र आवेश के साथ चल सके। उच्च आवृत्ति पर दो प्रभाव इसे तोड़ देते हैं। पहला, वास्तविक अवयवों में प्रेरकत्व होता है: एक छोटे सिरेमिक संधारित्र की लीड और प्लेटों में लगभग एक नैनोहेनरी होता है, इसलिए 100 nF का अवयव लगभग 16 MHz पर अनुनाद करता है और उससे ऊपर कुंडली की तरह व्यवहार करता है। दूसरा, आदर्श प्लेटें भी विफल होती हैं, क्योंकि चित्र 4 का बदलता चुंबकीय क्षेत्र अपना एक विद्युत क्षेत्र प्रेरित करता है, जो अंतराल में $E$ को बदल देता है। 1 GHz पर 1 cm त्रिज्या वाली प्लेटों के किनारे पर क्षेत्र केंद्र की तुलना में लगभग 1 % कमज़ोर है, और लगभग 11 GHz पर ऐसी प्लेटें एक अनुनादी गुहिका बन जाती हैं।

अंत में, आवेश अनंत रूप से विभाज्य नहीं है। 1 fF के संधारित्र में एक अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन वोल्टता को केवल 0.16 mV बढ़ाता है। किंतु धारिता घटने के साथ एक इलेक्ट्रॉन जोड़ने के लिए आवश्यक ऊर्जा बढ़ती जाती है, और कुछ एटोफ़ैरड से नीचे यह कक्ष-ताप की ऊष्मीय ऊर्जा, लगभग 0.026 eV, से अधिक हो जाती है। तब इलेक्ट्रॉन केवल एक-एक करके प्रवेश कर सकते हैं, इस प्रभाव को कूलॉम अवरोध कहते हैं, जिसका उपयोग एकल-इलेक्ट्रॉन ट्रांज़िस्टर करते हैं।

आगे की कड़ियाँ

“विद्युत धारा और प्रतिरोध” उस प्रतिरोधक को समझाता है जो $τ$ तय करता है, और “दिष्ट धारा परिपथ और ओम का नियम” आवेशन नियम के पीछे का लूप नियम। “घर में विद्युत शक्ति और ऊर्जा” में प्रत्यावर्ती वोल्टता पर संधारित्र हर चक्र में ऊर्जा संचित और वापस करते हैं। “विद्युत चुंबकीय प्रेरण” प्रेरक जोड़ता है: संधारित्र के साथ मिलकर वह $L \overset{q}{¨} + q / C = 0$ का पालन करता है, जो “सरल आवर्त गति” का समीकरण है, जिसमें $ω = 1/ L C$ ; और प्रतिरोध इसे “अवमंदन और अनुनाद” का एक उदाहरण बना देता है। अंतराल में विस्थापन धारा वह पद है जो क्षेत्र समीकरणों को पूरा करता है और “विद्युत चुंबकीय तरंगें” का पूर्वानुमान करता है, तथा समय-नियतांक वाला घातांकीय नियम “रेडियोऐक्टिवता और अर्ध-आयु” में फिर से आता है।

मुख्य सूत्र

संधारित्र का आवेश और वोल्टता

Q = C V

प्रत्येक प्लेट का आवेश उनके बीच की वोल्टता के समानुपाती है, क्योंकि आवेश दोगुना करने पर क्षेत्र दोगुना होता है और इसलिए प्रति कूलॉम कार्य भी। समानुपाती स्थिरांक, धारिता $C$ , प्रति वोल्ट संचित आवेश है और केवल ज्यामिति व विद्युतरोधी पर निर्भर करता है। $Q$ एक प्लेट का आवेश है, कुल आवेश नहीं, जो शून्य है।

चिह्न
$Q$	धनात्मक प्लेट पर आवेश (दूसरी पर $- Q$ है)	$C$
$C$	धारिता	$F$
$V$	प्लेटों के बीच की वोल्टता	$V$

कब लागू होता है: किन्हीं भी दो चालकों पर लागू होता है जिनके बीच निर्वात या सामान्य विद्युतरोधी हो। लौहविद्युत पदार्थों के लिए विफल होता है, जिनकी विद्युतशीलता क्षेत्र पर निर्भर करती है, और भंजन वोल्टता से ऊपर भी।

उदाहरण: एनीमेशन का 100 µF का संधारित्र 12 V पर: $Q = 1 0^{- 4} \cdot 12 = 1.2 \times 1 0^{- 3} C = 1.2 mC$ ।

समांतर-प्लेट संधारित्र की धारिता

C = \frac{ε _{0} ε _{r} A}{d}

गाउस का नियम प्लेटों के बीच का क्षेत्र $E = Q / (ε_{0} ε_{r} A)$ देता है, और वोल्टता $V = E d$ है; $Q$ को $V$ से भाग देने पर सूत्र मिलता है। बड़ी प्लेटें आवेश को पतला फैलाती हैं, संकरा अंतराल आर-पार का पथ छोटा करता है, और परावैद्युत का ध्रुवण क्षेत्र का कुछ भाग निरस्त करता है। ये तीनों प्रति कूलॉम वोल्टता घटाते हैं और इसलिए $C$ बढ़ाते हैं।

चिह्न
$C$	धारिता	$F$
$ε_{0}$	निर्वात की विद्युतशीलता, लगभग $8.85 \times 1 0^{- 12} F/m$	$F/m$
$ε_{r}$	विद्युतरोधी की आपेक्षिक विद्युतशीलता (निर्वात के लिए 1)
$A$	हर प्लेट का वह क्षेत्रफल जो दूसरी के सामने है	$m^{2}$
$d$	प्लेटों के बीच की दूरी	$m$

कब लागू होता है: एकसमान क्षेत्र मानता है, इसलिए अंतराल प्लेटों के आकार की तुलना में बहुत छोटा होना चाहिए। किनारों पर बाहर फूलता क्षेत्र एक सुधार जोड़ता है जो अंतराल के साथ बढ़ता है: 10 cm व्यास और 1 mm दूरी वाली डिस्कों के लिए लगभग 4 %।

उदाहरण: 1 cm² की प्लेटें, 0.5 mm का वायु-अंतराल: $C = 8.85 \times 1 0^{- 12} \cdot 1 0^{- 4} / (5 \times 1 0^{- 4}) \approx 1.77 pF$ ।

संधारित्र में संचित ऊर्जा

W = \frac{1}{2} C V^{2} = \frac{1}{2} Q V

आवेशन का अर्थ है आवेश को ऐसी वोल्टता के विरुद्ध ले जाना जो उसके अनुपात में शून्य से $V$ तक बढ़ती है, इसलिए कार्य वोल्टता-आवेश रेखा के नीचे के त्रिभुज का क्षेत्रफल है, यानी $Q V$ का आधा। $Q = C V$ का उपयोग करने पर वही ऊर्जा $\frac{1}{2} C V^{2}$ या $Q^{2} / (2 C)$ होती है। यह दोनों प्लेटों के बीच के विद्युत क्षेत्र में संचित रहती है और निरावेशन के समय लौट आती है।

चिह्न
$W$	संचित ऊर्जा	$J$
$C$	धारिता	$F$
$V$	प्लेटों के बीच की वोल्टता	$V$
$Q$	धनात्मक प्लेट पर आवेश	$C$

कब लागू होता है: किसी भी ऐसे संधारित्र पर लागू होता है जिसकी धारिता आवेश पर निर्भर नहीं करती। यह संचित ऊर्जा है, स्रोत द्वारा दी गई ऊर्जा नहीं: यदि प्रतिरोधक के माध्यम से नियत वोल्टता से आवेशित करें, तो स्रोत $Q V$ देता है और शेष आधी ऊर्जा ऊष्मा बनकर नष्ट होती है।

उदाहरण: एनीमेशन का संधारित्र 12 V पर: $W = \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 4} \cdot 1 2^{2} = 7.2 mJ$ , जो $\frac{1}{2} \cdot 1.2 mC \cdot 12 V$ के बराबर है।

RC परिपथ का समय-नियतांक

τ = RC

अधिक प्रतिरोध आवेश को धीरे प्रवाहित होने देता है, और अधिक धारिता को प्रति वोल्ट अधिक आवेश चाहिए, इसलिए दोनों आवेशन को लंबा करते हैं। उनका गुणनफल एक समय है: ओम गुणा फ़ैरड $(V/A) (C/V) = C/A = s$ होता है। एक समय-नियतांक के बाद संधारित्र अपनी अंतिम वोल्टता का 63 % और धारा अपने आरंभिक मान का 37 % रह जाती है।

चिह्न
$τ$	समय-नियतांक	$s$
$R$	संधारित्र के साथ श्रेणी में प्रतिरोध	$Ω$
$C$	धारिता	$F$

कब लागू होता है: एक प्रतिरोधक और एक संधारित्र श्रेणी में, स्थिर मानों के साथ; बड़े परिपथ में $R$ वह प्रतिरोध है जो संधारित्र को दिखाई देता है। किलो-ओम गुणा माइक्रोफ़ैरड मिलीसेकंड देता है।

उदाहरण: एनीमेशन में $τ = 1 0^{4} Ω \cdot 1 0^{- 4} F = 1 s$ ; 2.2 kΩ और 47 µF से लगभग 0.10 s।

आवेशन के समय संधारित्र की वोल्टता

V_{C} = V_{0} (1 - e^{- t / RC})

यह उस लूप समीकरण $R d q / d t + q / C = V_{0}$ का हल है जिसमें संधारित्र $t = 0$ पर खाली है। वोल्टता के बढ़ने की दर उस अंतर के समानुपाती है जो अभी भरना बाकी है, $V_{0} - V_{C}$ , इसलिए हर समय-नियतांक में अंतर उसी गुणक $e$ से घटता है: आरंभ में तेज़, फिर धीमा। वोल्टता कूद नहीं सकती, क्योंकि कूदने के लिए अनंत धारा चाहिए।

चिह्न
$V_{C}$	समय $t$ पर संधारित्र के सिरों की वोल्टता	$V$
$V_{0}$	बैटरी की वोल्टता, यानी $V_{C}$ का अंतिम मान	$V$
$e$	यूलर संख्या, लगभग 2.718, प्राकृतिक लघुगणक का आधार
$t$	स्विच बंद होने के बाद बीता समय	$s$
$R$	श्रेणी प्रतिरोध	$Ω$
$C$	धारिता	$F$

कब लागू होता है: उस संधारित्र के लिए जो खाली शुरू होता है और स्थिर प्रतिरोध के माध्यम से स्थिर वोल्टता से आवेशित होता है। यदि $V_{1}$ से शुरू करें, तो $V_{C} = V_{0} - (V_{0} - V_{1}) e^{- t / RC}$ ; $V_{1}$ से निरावेशन में $V_{C} = V_{1} e^{- t / RC}$ ।

उदाहरण: एनीमेशन में, $t = τ = 1 s$ पर $V_{C} = 12 (1 - e^{- 1}) \approx 7.6 V$ ; 2 s पर $12 (1 - e^{- 2}) \approx 10.4 V$ ।

आवेशन धारा

I = (\frac{V _{0}}{R}) e^{- t / RC}

धारा प्रतिरोधक के सिरों पर शेष बची वोल्टता $V_{0} - V_{C}$ को $R$ से भाग देने पर मिलती है। यह अपने सबसे बड़े मान $V_{0} / R$ से शुरू होती है, मानो खाली संधारित्र केवल एक तार हो, और संधारित्र भरने के साथ घातांकीय रूप से घटती है। चूँकि $I = C d V_{C} / d t$ , यह वोल्टता वक्र की प्रवणता का अनुसरण करती है, और समय के साथ इसका क्षेत्रफल संचित आवेश है।

चिह्न
$I$	समय $t$ पर परिपथ में धारा	$A$
$V_{0}$	बैटरी की वोल्टता	$V$
$R$	श्रेणी प्रतिरोध	$Ω$
$e$	यूलर संख्या, लगभग 2.718
$t$	स्विच बंद होने के बाद बीता समय	$s$
$C$	धारिता	$F$

कब लागू होता है: खाली अवस्था से स्थिर प्रतिरोध के माध्यम से आवेशन के लिए; निरावेशन उसी नियम का पालन करता है, केवल धारा की दिशा उलटी होती है। वास्तविक परिपथ में थोड़ा प्रेरकत्व आरंभ की छलाँग को गोल कर देता है।

उदाहरण: एनीमेशन में, $I_{0} = 12/1 0^{4} A = 1.2 mA$ , और $t = τ$ पर $I = 1.2 e^{- 1} \approx 0.44 mA$ ।

विद्युत क्षेत्र का ऊर्जा घनत्व

u = \frac{1}{2} ε_{0} ε_{r} E^{2}

$\frac{1}{2} C V^{2}$ में $C = ε_{0} ε_{r} A / d$ और $V = E d$ रखने पर मिलता है $\frac{1}{2} ε_{0} ε_{r} E^{2}$ गुणा अंतराल का आयतन $A d$ । अतः ऊर्जा को क्षेत्र में फैली हुई गिना जा सकता है, हर घन मीटर में एक मात्रा $u$ । यह परिणाम सामान्य है: यह किसी भी विद्युत क्षेत्र के लिए लागू होता है, केवल प्लेटों के बीच नहीं।

चिह्न
$u$	क्षेत्र की प्रति इकाई आयतन ऊर्जा	$J/ m^{3}$
$ε_{0}$	निर्वात की विद्युतशीलता	$F/m$
$ε_{r}$	माध्यम की आपेक्षिक विद्युतशीलता
$E$	विद्युत क्षेत्र की प्रबलता	$V/m$

कब लागू होता है: निर्वात ( $ε_{r} = 1$ ) में किसी भी क्षेत्र के लिए लागू होता है, यहाँ तक कि तेज़ी से बदलते क्षेत्र के लिए भी; रैखिक परावैद्युत में, स्थिर या धीरे बदलते क्षेत्र के लिए। भंजन एक सीमा तय करता है: शुष्क वायु में, लगभग 3 MV/m पर, $u$ लगभग $40 J/ m^{3}$ से अधिक नहीं हो सकता।

उदाहरण: 1 mm वायु-अंतराल के आर-पार 12 V से $E = 1.2 \times 1 0^{4} V/m$ और $u = \frac{1}{2} \cdot 8.85 \times 1 0^{- 12} \cdot (1.2 \times 1 0^{4})^{2} \approx 6.4 \times 1 0^{- 4} J/ m^{3}$ ।

शब्दावली

संधारित्र: विद्युतरोधी द्वारा अलग किए गए दो चालक, जो पृथक्कृत आवेश और उसके साथ ऊर्जा संचित करने के लिए उपयोग होते हैं। आवेशित होने पर एक चालक पर $+ Q$ और दूसरे पर $- Q$ होता है, इसलिए पूरी युक्ति उदासीन रहती है।
धारिता: प्रति वोल्ट संचित आवेश, $C = Q / V$ , जिसे फ़ैरड में मापा जाता है। यह केवल चालकों के आकार, आकृति और दूरी तथा उनके बीच के विद्युतरोधी पर निर्भर करता है, न कि उन पर कितना आवेश है उस पर।
समांतर-प्लेट संधारित्र: क्षेत्रफल $A$ की दो समतल प्लेटें जो $d$ दूरी पर हैं। उनके बीच का क्षेत्र लगभग एकसमान है, $E = V / d$ , और धारिता $C = ε_{0} ε_{r} A / d$ है, जो तब सटीक है जब अंतराल प्लेटों की तुलना में बहुत छोटा हो।
परावैद्युत: अंतराल में रखा विद्युतरोधी। यह धारिता को उसकी आपेक्षिक विद्युतशीलता $ε_{r}$ गुना बढ़ा देता है (पॉलीप्रोपाइलीन के लिए लगभग 2.2, पानी के लिए लगभग 80) और आम तौर पर वायु से अधिक प्रबल क्षेत्र सह लेता है।
परावैद्युत ध्रुवण: क्षेत्र में रखे परावैद्युत के अणुओं के भीतर आवेशों का हल्का विस्थापन। यह परावैद्युत की सतहों पर बद्ध आवेश छोड़ता है, जिनकी प्रकृति पास की प्लेटों के आवेश के विपरीत होती है, और ये क्षेत्र का कुछ भाग निरस्त कर देते हैं।
परावैद्युत भंजन: जब क्षेत्र विद्युतरोधी के परावैद्युत सामर्थ्य से अधिक हो जाता है, तो उसका अचानक चालक हो जाना। शुष्क वायु में यह लगभग 3 MV/m (प्रति मिलीमीटर 3 kV) है। यह संधारित्र द्वारा सह सकने वाली अधिकतम वोल्टता तय करता है।
RC परिपथ: श्रेणी में जुड़े एक प्रतिरोधक और एक संधारित्र। इसके माध्यम से संधारित्र घातांकीय रूप से आवेशित या निरावेशित होता है, जिसकी गति गुणनफल $RC$ से तय होती है।
समय-नियतांक: समय $τ = RC$ , जो आवेशन और निरावेशन की गति तय करता है। $τ$ के बाद आवेशित होता संधारित्र अपनी अंतिम वोल्टता का 63 % प्राप्त करता है, और $5 τ$ के बाद 99 % से अधिक।
घातांकीय क्षय: ऐसा परिवर्तन जिसकी दर शेष मात्रा के समानुपाती है, इसलिए समान समय-अंतराल उसे समान गुणकों से घटाते हैं: हर समय-नियतांक में $e^{- 1} \approx 0.37$ गुणा, और हर $τ ln 2$ में आधा। आवेशन धारा और निरावेशित संधारित्र की वोल्टता, दोनों इसी नियम का पालन करते हैं।
क्षेत्र ऊर्जा: आवेशित संधारित्र की ऊर्जा, जिसे दोनों प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र में घनत्व $u = \frac{1}{2} ε_{0} ε_{r} E^{2}$ के साथ संचित माना जाता है। अंतराल के आयतन पर समाकलन करने पर यह $\frac{1}{2} C V^{2}$ देती है।
विस्थापन धारा: राशि $ε_{0} d Φ_{E} / d t$ , यानी $ε_{0}$ गुणा विद्युत फ़्लक्स $Φ_{E}$ की परिवर्तन-दर, जो चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करने में धारा की तरह काम करती है। आवेशित संधारित्र के अंतराल में यह तारों की धारा के बराबर होती है, यद्यपि कोई आवेश उसे पार नहीं करता।

राशियाँ
$Q$	आवेश	$C$	धनात्मक प्लेट पर आवेश; दूसरी प्लेट पर $- Q$ होता है। एनीमेशन में यह $C V_{0} = 1.2 mC$ तक पहुँचता है।
$V$	वोल्टता	$V$	प्लेटों के बीच का विभवांतर, यानी ऋणात्मक प्लेट से धनात्मक प्लेट तक एक कूलॉम आवेश ले जाने में लगा कार्य। परिपथ में $V_{C}$ संधारित्र की और $V_{0}$ बैटरी की वोल्टता है।
$C$	धारिता	$F$	प्रति वोल्ट संचित आवेश, $Q / V$ । चूँकि $1 F = 1 C/V$ बहुत बड़ा है, व्यावहारिक मान µF, nF और pF में दिए जाते हैं। क्षेत्रफल $A$ (m² में) और दूरी $d$ (m में) वाली समांतर प्लेटों के लिए $C = ε_{0} ε_{r} A / d$ ।
$ε_{0}$	निर्वात विद्युतशीलता	$F/m$	SI इकाइयों में स्थिरवैद्युतिकी का स्थिरांक, लगभग $8.85 \times 1 0^{- 12} F/m$ । यह निर्वात से भरे अंतराल की धारिता तय करता है।
$ε_{r}$	आपेक्षिक विद्युतशीलता		वह गुणक जिससे विद्युतरोधी निर्वात की तुलना में धारिता बढ़ाता है, जिसे परावैद्युतांक भी कहते हैं: निर्वात के लिए 1, वायु के लिए 1.0006, पानी के लिए लगभग 80।
$E$	विद्युत क्षेत्र	$V/m$	एक छोटे परीक्षण आवेश पर प्रति इकाई आवेश लगने वाला बल (1 V/m = 1 N/C)। समांतर प्लेटों के बीच यह एकसमान है, $E = V / d$ , और $Q$ के समानुपाती है, जैसे एनीमेशन के बैंगनी तीर। इसका ऊर्जा घनत्व $u = \frac{1}{2} ε_{0} ε_{r} E^{2}$ है (J/m³ में)।
$W$	संचित ऊर्जा	$J$	आवेशों को अलग करने में किया गया कार्य, $\frac{1}{2} C V^{2}$ , जो निरावेशन पर लौट आता है; एनीमेशन के पूरी तरह आवेशित संधारित्र के लिए 7.2 mJ।
$I$	धारा	$A$	प्रति सेकंड बहता आवेश, $d q / d t$ , जो दोनों तारों में समान है। आवेशन के समय, $I = (V_{0} - V_{C}) / R$ ।
$R$	प्रतिरोध	$Ω$	संधारित्र के साथ श्रेणी में प्रतिरोध, जो धारा को सीमित करता है और इस प्रकार आवेशन की गति तय करता है; एनीमेशन में 10 kΩ।
$τ$	समय-नियतांक	$s$	गुणनफल $RC$ : वह समय जिसमें आवेशन धारा अपने आरंभिक मान के 37 % तक गिर जाती है, एनीमेशन में 1 s। आवेशन नियमों में $t$ (s में) स्विच बंद होने के बाद का समय है।

क्विज़

शुरुआती परिपथ में संधारित्र क्या करता है?
1. बैटरी की तरह ऊर्जा उत्पन्न करता है
2. किसी स्थिर धारा को हमेशा बहने देता है
3. आवेश नष्ट कर देता है
4. पृथक्कृत आवेश और उसके साथ ऊर्जा संचित करता है
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उत्तर: D. पृथक्कृत आवेश और उसके साथ ऊर्जा संचित करता है
संधारित्र अपनी प्लेटों पर बराबर और विपरीत आवेश तथा दोनों प्लेटों के बीच के क्षेत्र की ऊर्जा संचित करता है। वह ऊर्जा उत्पन्न नहीं करता; वह केवल वही संचित करता है जो परिपथ उसे देता है।
शुरुआती एक खाली संधारित्र प्रतिरोधक के माध्यम से बैटरी से जुड़ा है। धारा कैसे बदलती है?
1. संधारित्र भरने तक वही रहती है
2. आरंभ में सबसे अधिक होती है और फिर घटती है
3. आरंभ में शून्य होती है और बढ़ती है
4. लगातार दिशा बदलती रहती है
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उत्तर: B. आरंभ में सबसे अधिक होती है और फिर घटती है
जैसे नीचे से भरी जा रही टंकी में पानी का बहाव सबसे तेज़ तब होता है जब टंकी खाली हो। जैसे-जैसे संधारित्र भरता है, उसका आवेश बैटरी के विरुद्ध धक्का देता है और धारा क्षीण हो जाती है।
शुरुआती जब बैटरी ने संधारित्र को आवेशित किया है, तो उसकी दोनों प्लेटों पर क्या है?
1. धनात्मक और ऋणात्मक आवेश की बराबर मात्राएँ
2. दोनों प्लेटों पर धनात्मक आवेश
3. दोनों प्लेटों पर ऋणात्मक आवेश
4. बिल्कुल कोई आवेश नहीं
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उत्तर: A. धनात्मक और ऋणात्मक आवेश की बराबर मात्राएँ
इलेक्ट्रॉन एक प्लेट से दूसरी प्लेट पर ले जाए जाते हैं, जिससे एक प्लेट पर +Q और दूसरी पर −Q रह जाता है।
मध्यम 10 V से जुड़े 47 µF के संधारित्र पर कितना आवेश संचित होता है?
1. 4.7 µC
2. 47 µC
3. 470 µC
4. 4.7 mC
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उत्तर: C. 470 µC
Q = C·V = 47 × 10⁻⁶ F × 10 V = 4.7 × 10⁻⁴ C = 470 µC।
मध्यम समांतर-प्लेट संधारित्र के अंतराल को दोगुना कर दिया गया है, जबकि प्लेट का क्षेत्रफल वही है। धारिता का क्या होता है?
1. आधी हो जाती है
2. दोगुनी हो जाती है
3. चार गुनी हो जाती है
4. बदलती नहीं
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उत्तर: A. आधी हो जाती है
C = ε₀·A / d, d के व्युत्क्रमानुपाती है, इसलिए अंतराल दोगुना करने पर धारिता आधी हो जाती है।
मध्यम R = 2 kΩ और C = 500 µF वाले परिपथ का समय-नियतांक क्या है?
1. 0.25 s
2. 1 s
3. 4 s
4. 1000 s
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उत्तर: B. 1 s
τ = R·C = 2000 Ω × 500 × 10⁻⁶ F = 1 s। ओम गुणा फ़ैरड सेकंड देता है।
उन्नत एक संधारित्र प्रतिरोधक के माध्यम से शून्य से आवेशित होता है। 3τ के बाद वह अपनी अंतिम वोल्टता के कितने प्रतिशत तक पहुँच चुका होता है?
1. 63 %
2. 86 %
3. 37 %
4. 95 %
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: D. 95 %
V_C / V₀ = 1 − e⁻³ ≈ 1 − 0.050 = 0.95। τ पर यह 63 % है, 2τ पर लगभग 86 %।
उन्नत बैटरी V₀ प्रतिरोधक R के माध्यम से संधारित्र को शून्य से V₀ तक आवेशित करती है। बैटरी द्वारा दी गई ऊर्जा का कितना भाग अंततः संधारित्र में संचित होता है?
1. पूरा
2. R पर निर्भर करता है
3. ठीक आधा
4. लगभग 63 %
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उत्तर: C. ठीक आधा
बैटरी Q·V₀ = C·V₀² देती है, संधारित्र ½·C·V₀² संचित करता है, और शेष आधी ऊर्जा प्रतिरोधक में नष्ट होती है, R का मान चाहे जो हो।

$I$	लीड में धारा, ऊपरी प्लेट पर नीचे की ओर बहती हुई।	$A$
$E$	अंतराल में विद्युत क्षेत्र, नीचे की ओर, प्लेटों के आवेशित होने के साथ बढ़ता हुआ।	$N/C$
$B$	बढ़ते $E$ द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र, ऊपर से देखने पर अक्ष के चारों ओर घड़ी की सुई की दिशा में।	$T$
$S$	ऊर्जा-फ़्लक्स (पॉइंटिंग सदिश), $E \times B / μ_{0}$ : प्रति सेकंड प्रति वर्ग मीटर ऊर्जा, किनारे के चारों ओर भीतर की ओर।	$W/ m^{2}$

$Q$	हर प्लेट पर आवेश: बाईं प्लेट पर $+ Q$ , दाईं पर $- Q$ ।	$C$
$σ$	धनात्मक प्लेट की भीतरी सतह पर प्रति वर्ग मीटर आवेश, क्षेत्रफल $A$ की प्लेटों के लिए $σ = Q / A$ ।	$C/ m^{2}$
$d A$	गाउस बक्से के दाएँ फलक का क्षेत्रफल, वही एक फलक जिसे क्षेत्र काटता है।	$m^{2}$
$E$	अंतराल में विद्युत क्षेत्र: एकसमान, धनात्मक प्लेट से ऋणात्मक प्लेट की ओर; धातु के भीतर शून्य।	$N/C$
$d$	प्लेटों के बीच अंतराल की चौड़ाई।	$m$
$V$	प्लेटों के बीच वोल्टता: धनात्मक से ऋणात्मक प्लेट तक क्षेत्र का रेखा-समाकल, $V = E d$ ।	$V$

$V_{0}$	बैटरी वोल्टता: बैटरी के आर-पार विभव में वृद्धि।	$V$
$R$	प्रतिरोधक का प्रतिरोध।	$Ω$
$C$	संधारित्र की धारिता।	$F$
$I$	धारा, लूप में हर जगह समान: वह दर जिस पर आवेश ऊपरी प्लेट तक पहुँचता है, $I = d q / d t$ ।	$A$
$q$	दर्शाए गए क्षण पर संधारित्र का आवेश: ऊपरी प्लेट पर $+ q$ , निचली पर $- q$ ।	$C$
$V_{R}$	प्रतिरोधक के आर-पार विभव में कमी, $V_{R} = R I$ ।	$V$
$V_{C}$	संधारित्र के आर-पार विभव में कमी, $V_{C} = q / C$ ।	$V$

$t$	स्विच बंद होने के बाद बीता समय।	$s$
$τ$	समय-नियतांक, $τ = RC$ : 63 % परिवर्तन पूरा होने में लगा समय।	$s$
$V_{C}$	संधारित्र की वोल्टता, शून्य से $V_{0}$ की ओर बढ़ती हुई।	$V$
$V_{0}$	बैटरी वोल्टता, $V_{C}$ का अंतिम मान।	$V$
$I$	लूप में धारा, $I_{0}$ से शून्य की ओर गिरती हुई; $I = C d V_{C} / d t$ ।	$A$
$I_{0}$	आरंभिक धारा, $I_{0} = V_{0} / R$ ।	$A$
$Q$	दिया गया कुल आवेश: $I (t)$ के नीचे का छायांकित क्षेत्रफल, जो $I_{0} τ = C V_{0}$ के बराबर है।	$C$