दिष्ट धारा परिपथ और ओम का नियम

बैटरी का विद्युत वाहक बल $ε$ प्रतिरोधकों से होकर एक स्थिर धारा $I$ कैसे प्रवाहित कराता है, और वोल्टता, धारा तथा प्रतिरोध ओम के नियम $V = I R$ से कैसे जुड़े हैं।

बैटरी आवेशों को एक लूप में परिवर्ती प्रतिरोधक और बल्ब से होकर चलाती है; प्रतिरोध बढ़ने पर प्रवाह धीमा होता है और बल्ब मद्धम हो जाता है।

इस विषय से पहले: विद्युत धारा और प्रतिरोध

शुरुआती

मुख्य विचार

परिपथ एक बंद लूप है: बैटरी, तार और उपकरण। लूप में कहीं भी खुलने पर पूरे परिपथ में धारा रुक जाती है।
बैटरी तारों में पहले से मौजूद आवेशों को धकेलती है; उसकी वोल्टता प्रति कूलॉम ऊर्जा है: 9 V हर कूलॉम को 9 जूल देता है।
धारा = वोल्टता ÷ प्रतिरोध: अधिक प्रतिरोध का अर्थ है पूरे लूप में कम धारा और मद्धम बल्ब।
श्रेणी में केवल एक मार्ग होता है: हर भाग में एक ही धारा बहती है, और एक टूटन सबको रोक देती है।
समांतर में हर शाखा को पूरी वोल्टता मिलती है और वह अपने-आप काम करती है, जैसे घरों की वायरिंग में।

विद्युत परिपथ एक बंद लूप है जिसमें आवेश घूम सकता है: एक बैटरी, कुछ तार और ऐसी कोई चीज़ जो ऊर्जा खर्च करती है, जैसे बल्ब। लूप में कहीं भी खुलने पर, मान लीजिए स्विच से, प्रवाह एक साथ हर जगह रुक जाता है।

चरण 1: बैटरी। उसके भीतर की रासायनिक अभिक्रियाएँ एक सिरे को धनात्मक और दूसरे को ऋणात्मक बनाए रखती हैं। वह आवेश नहीं बनाती (तार पहले से उससे भरे होते हैं); वह उस आवेश को लूप में धकेलती है। उसकी वोल्टता बताती है कि हर कूलॉम एक सिरे से दूसरे तक कितनी ऊर्जा ले जाता है: 9 V की बैटरी हर कूलॉम को 9 जूल देती है।

चरण 2: प्रतिरोध। बल्ब या प्रतिरोधक आवेश के लिए रास्ता कठिन बनाते हैं, जैसे पानी के पाइप में कोई संकरा हिस्सा। अधिक धक्का, अधिक धारा; अधिक प्रतिरोध, कम धारा। इसलिए धारा = वोल्टता ÷ प्रतिरोध (ओम का नियम)। ऐनिमेशन में बैंगनी स्लाइडर प्रतिरोध जोड़ता है: नारंगी बिंदु पूरे लूप में धीमे हो जाते हैं, केवल प्रतिरोधक के भीतर नहीं, और बल्ब मद्धम पड़ता है।

चरण 3: एक मार्ग (श्रेणी)। जब भाग एक के बाद एक जुड़े होते हैं, तो उन सबमें एक ही धारा बहती है, उनके प्रतिरोध जुड़ जाते हैं और वे बैटरी की वोल्टता बाँट लेते हैं। श्रेणी की लड़ी में यदि एक बल्ब टूट जाए, तो लूप खुल जाता है और सारे बल्ब बुझ जाते हैं।

चरण 4: कई मार्ग (समांतर)। जब हर भाग की अपनी अलग शाखा बैटरी के आर-पार होती है, तो हर भाग को पूरी वोल्टता मिलती है और वह अपने-आप काम करता है। घरों में इसी तरह वायरिंग होती है, इसलिए एक लैंप बंद करने से फ़्रिज नहीं रुकता।

बिंदु हर जगह एक ही गति से चलते हैं: आवेश खर्च नहीं होते। बल्ब ऊर्जा आवेशों से लेता है, आवेशों को स्वयं नहीं।

खुद जाँचें: 6 V की बैटरी 3 Ω के प्रतिरोधक में से धारा चलाती है। धारा कितनी है? (उत्तर: 2 A।)

मध्यम

मुख्य विचार

ओम का नियम: $V = I R$ । 1 वोल्ट = 1 जूल प्रति कूलॉम, 1 एम्पियर = 1 कूलॉम प्रति सेकंड; प्रतिरोध ओम में मापा जाता है।
श्रेणी में: एक ही मार्ग, हर जगह समान धारा $I$ , $R = R_{1} + R_{2}$ , और वोल्टता-पातों का योग $ε$ के बराबर।
समांतर में: हर शाखा को पूरी वोल्टता मिलती है, शाखा धाराएँ जुड़ती हैं, और $1/ R = 1/ R_{1} + 1/ R_{2}$ ।
उदाहरण: 5 Ω + 10 Ω पर 12 V से $I = 0.80 A$ , $V_{R} = 4.0 V$ और $V_{B} = 8.0 V$ ।

धारा, वोल्टता और प्रतिरोध

परिपथ चालकों का एक बंद पथ है, जो पहले से चल आवेशों (धातु में मुक्त इलेक्ट्रॉनों) से भरा रहता है; बैटरी इन आवेशों की आपूर्ति नहीं करती, बल्कि उन्हें गतिमान रखती है। धारा $I$ किसी बिंदु से प्रति सेकंड गुजरने वाला आवेश है, $I = Q / t$ , एम्पियर में: $1 A = 1 C/s$ । परिपाटी के अनुसार धारा उसी दिशा में बहती मानी जाती है जिस दिशा में धनात्मक आवेश बहेगा, यानी + टर्मिनल से परिपथ के चारों ओर होकर − टर्मिनल तक, जैसा ऐनिमेशन के बिंदु दिखाते हैं; धातु में इलेक्ट्रॉन उसकी उल्टी दिशा में खिसकते हैं, परंतु धारा वही रहती है।

दो बिंदुओं के बीच वोल्टता $V$ वह ऊर्जा है जो हर कूलॉम उनके बीच प्राप्त या खोता है ( $1 V = 1 J/C$ ): विद्युत विभव का अंतर $φ$ , जैसे ऊँचाई का अंतर। बैटरी द्वारा हर कूलॉम को दी गई ऊर्जा उसका विद्युत वाहक बल (emf) $ε$ है; ऐनिमेशन की 12 V की बैटरी हर कूलॉम को 12 J देती है। प्रतिरोध $R$ , ओम में ( $1 Ω = 1 V/A$ ), प्रति एम्पियर आवश्यक वोल्टता है। इन्हें मापने के लिए एमीटर श्रेणी में और वोल्टमीटर समांतर में लगाया जाता है।

ओम का नियम

एक स्थिर ताप पर धातु के लिए धारा वोल्टता के समानुपाती होती है। ओम का नियम इसे इस प्रकार लिखता है
$V = I R$
जहाँ $R$ स्थिर है: वोल्टता दोगुनी करें तो धारा भी दोगुनी हो जाती है। $V$ बनाम $I$ का ग्राफ़ मूल बिंदु से गुजरने वाली, ढलान $R$ वाली सीधी रेखा होता है; ऐसे घटकों को ओमीय कहते हैं। फ़िलामेंट बल्ब ओमीय नहीं है, क्योंकि गर्म होने पर उसका प्रतिरोध लगभग दस गुना बढ़ जाता है; डायोड भी नहीं, क्योंकि वह केवल एक दिशा में चालन करता है।

एकसमान तार का प्रतिरोध उसकी लंबाई $L$ के साथ बढ़ता है और अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ के साथ घटता है:
$R = \frac{ρ L}{A}$
जहाँ प्रतिरोधकता $ρ$ पदार्थ पर निर्भर करती है। तांबे के लिए $ρ = 1.7 \times 1 0^{- 8} Ω m$ , इसलिए 1 mm² अनुप्रस्थ काट के एक मीटर तांबे के तार का प्रतिरोध केवल 0.017 Ω है: 10 Ω के बल्ब के मुकाबले जोड़ने वाले तार प्रायः प्रतिरोध-रहित माने जा सकते हैं।

श्रेणी, समांतर और शक्ति

श्रेणी में जुड़े घटक एक ही मार्ग पर एक के बाद एक होते हैं, इसलिए उनमें एक ही धारा बहती है और उनकी वोल्टताएँ जुड़ती हैं: $I R_{1} + I R_{2} = I (R_{1} + R_{2})$ । समांतर में जुड़े घटक एक ही दो बिंदुओं के बीच होते हैं, इसलिए उनकी वोल्टता समान होती है और उनकी धाराएँ जुड़ती हैं। हर शाखा एक अतिरिक्त मार्ग है, इसलिए चालकता $G = 1/ R$ (सीमेंस, S में) जुड़ती है, और यह संयोजन किसी भी अकेली शाखा से बेहतर चालन करता है:

$R_{series} = R_{1} + R_{2}$
$\frac{1}{R _{parallel}} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$

दो समांतर प्रतिरोधकों के लिए यह $R_{1} R_{2} / (R_{1} + R_{2})$ देता है, जो दोनों में से छोटे से भी कम है। बड़े नेटवर्क को चरण-दर-चरण सरल किया जाता है: हर श्रेणी-शृंखला या समांतर समूह को उसके तुल्य प्रतिरोध से बदला जाता है। अंत में, वोल्टता $V$ से गिरता हर कूलॉम $V$ जूल छोड़ता है, और हर सेकंड $I$ कूलॉम गुजरते हैं, इसलिए शक्ति (वॉट में) है
$P = V I = I^{2} R = \frac{V ^{2}}{R}$
श्रेणी में, जहाँ $I$ साझा है, बड़ा प्रतिरोध अधिक शक्ति लेता है; समांतर में, जहाँ $V$ साझा है, छोटा प्रतिरोध अधिक शक्ति लेता है।

उदाहरण: ऐनिमेशन का परिपथ

बैटरी का $ε = 12 V$ है और बल्ब $R_{B} = 10 Ω$ को ओमीय माना गया है; बैंगनी स्लाइडर परिवर्ती प्रतिरोधक को हर 8 s में 5 Ω से 20 Ω तक और वापस ले जाता है। आरंभ में, $R = 5 Ω$ पर,
$I = \frac{ε}{R + R _{B}} = \frac{12}{5 + 10} = 0.80 A$
$V_{R} = 0.80 \cdot 5 = 4.0 V, V_{B} = 0.80 \cdot 10 = 8.0 V$

ये $I$ , $V_{R}$ और $V_{B}$ के रीडआउट हैं, और उनके वोल्टता-पात मिलकर 12 V देते हैं। बल्ब $P_{B} = 8.0 \cdot 0.80 = 6.4 W$ परिवर्तित करता है और परिवर्ती प्रतिरोधक 3.2 W; दोनों मिलकर वह $ε I = 9.6 W$ हैं जो बैटरी देती है। चक्र के बीच में, $R = 20 Ω$ पर, धारा $12/30 = 0.40 A$ है, $V_{R} = 8.0 V$ और $V_{B} = 4.0 V$ । हिस्से आपस में बदल गए हैं: श्रेणी में हर घटक वोल्टता का वह भाग लेता है जो उसके प्रतिरोध के समानुपाती है। बल्ब की शक्ति चौथाई रह जाती है, 1.6 W तक, और उसकी चमक घट जाती है।

दो लाल $I$ तीर, एक बल्ब से ठीक पहले ऊपर वाले तार पर और दूसरा बल्ब के बाद नीचे वाले तार पर, सदा समान लंबाई के होते हैं: बल्ब आवेशों से ऊर्जा लेता है, आवेशों को स्वयं नहीं। बिंदु पूरे लूप में एक साथ धीमे हो जाते हैं, केवल परिवर्ती प्रतिरोधक में ही नहीं।

उदाहरण: कार की बैटरी पर हेडलैंप

कार के दो हेडलैंप, गर्म होने पर हर एक 2.4 Ω, 12 V की बैटरी के आर-पार समांतर जुड़े हैं। कितनी धारा बहती है, और जब 1.2 Ω का पिछला शीशा हीटर भी चालू किया जाता है तो क्या बदलता है?

हर लैंप के आर-पार पूरी 12 V है, इसलिए वह $12/2.4 = 5.0 A$ खींचता है और $12 \cdot 5.0 = 60 W$ परिवर्तित करता है; दोनों मिलकर 10 A खींचते हैं, जैसे एक 1.2 Ω का प्रतिरोधक। हीटर एक तीसरी शाखा जोड़ता है, जो $12/1.2 = 10 A$ लेती है, इसलिए बैटरी अब 20 A देती है, और सचमुच
$\frac{1}{R _{parallel}} = \frac{1}{2.4} + \frac{1}{2.4} + \frac{1}{1.2} = \frac{1}{0.60 Ω}$
से $12/0.60 = 20 A$ मिलता है।

आदर्श रूप से लैंप को हीटर का पता नहीं चलता। व्यवहार में वे थोड़े मद्धम हो जाते हैं: बैटरी का छोटा आंतरिक प्रतिरोध $r$ , लगभग 0.02 Ω, 20 A पर $20 \cdot 0.02 = 0.4 V$ का नुकसान करता है, और स्टार्टर मोटर लगभग 150 A खींचे तो लगभग 3 V; इसलिए इंजन चालू होते समय लैंप मद्धम पड़ते हैं।

लूप के चारों ओर विभव का अनुसरण

− टर्मिनल को शून्य विभव मानिए और धारा का अनुसरण कीजिए: बैटरी में विभव 12 V ऊपर उठता है, तारों के साथ लगभग स्थिर रहता है, परिवर्ती प्रतिरोधक में $V_{R}$ से गिरता है और बल्ब में $V_{B}$ से, और अंत में फिर शून्य पर लौट आता है। ऊपर उठना और दो गिरावटें एक-दूसरे को निरस्त करती हैं, इसलिए $V_{R} + V_{B} = ε$ , ऐनिमेशन में दिखाया गया श्रेणी नियम।

दो नियम किसी भी नेटवर्क तक बढ़ाए जा सकते हैं। किसी संधि-बिंदु पर आवेश जमा नहीं होता, इसलिए, आने वाली धाराओं को धनात्मक और जाने वाली को ऋणात्मक मानें, तो
$\sum I = 0 at a junction$
और किसी भी बंद लूप का एक चक्कर लगाने पर, पार किए गए विद्युत वाहक बलों का योग प्रतिरोधकों के वोल्टता-पातों के योग के बराबर होता है (हर पद का चिह्न चलने की दिशा से तय होता है):
$\sum ε = \sum I R around a loop$

ये किरखॉफ़ के नियम हैं, जो आवेश और ऊर्जा के संरक्षण को व्यक्त करते हैं। ऐनिमेशन के लूप के लिए दूसरा नियम आरंभ में $12 = 5 I + 10 I$ देता है, वही 0.80 A।

सामान्य गलतियाँ

बल्ब धारा नहीं खर्च करता: 0.80 A भीतर जाती है और 0.80 A बाहर आती है। वह ऊर्जा खर्च करता है, हर कूलॉम से 8 J।
बैटरी लगभग स्थिर वोल्टता देती है, स्थिर धारा नहीं: वही 12 V 15 Ω से 0.80 A चलाती है, पर 30 Ω से केवल 0.40 A।
समांतर में जोड़ा गया प्रतिरोधक कुल प्रतिरोध घटाता है और बैटरी की धारा बढ़ाता है: समांतर में जुड़े दो 10 Ω बल्ब 5 Ω बनाते हैं, 20 Ω नहीं।
इलेक्ट्रॉन परिपथ में तेज़ी से नहीं दौड़ते: 1 mm² के तांबे के तार में 0.80 A के साथ वे लगभग 0.06 mm/s से बहते हैं, यानी प्रति मीटर लगभग पाँच घंटे। बल्ब तुरंत जल उठता है, क्योंकि धक्का सभी तक नैनोसेकंड में पहुँच जाता है।
लघुपथ का अर्थ है बहुत बड़ी धारा, शून्य धारा नहीं: 0.02 Ω आंतरिक प्रतिरोध वाली कार की बैटरी पर $12/0.02 = 600 A$ , जो पतले तार को पिघला देने के लिए काफ़ी है।

इसका उपयोग कहाँ होता है

टॉर्च एक सेल, एक स्विच और एक लैंप का श्रेणी-संयोजन है; घरों में समांतर वायरिंग होती है, ताकि हर उपकरण को पूरी मेन वोल्टता मिले और वह अपने-आप चालू हो सके। वॉल्यूम नॉब और ईंधन गेज परिवर्ती प्रतिरोधक या वोल्टता-विभाजक हैं, और स्ट्रेन गेज तथा थर्मिस्टर ऐसे प्रतिरोधक हैं जिनका $R$ बल या ताप से बदलता है। वही नियम “संधारित्र” पाठ में $RC$ आवेशन के पीछे हैं, और वे “घर में विद्युत शक्ति और ऊर्जा” (किलोवाट-घंटे और फ़्यूज़) तथा “चुंबकों और धाराओं के चुंबकीय क्षेत्र” में फिर लौटते हैं।

उन्नत

मुख्य विचार

लम्प्ड तत्वों का वर्णन केवल टर्मिनल धारा और वोल्टता से होता है: यह तब तक मान्य है जब तक परिपथ से कोई बदलता फ़्लक्स नहीं गुजरता।
किरखॉफ़: किसी नोड पर $\sum I = 0$ (आवेश संरक्षण) और किसी लूप के चारों ओर $\sum V = 0$ ( $\oint E \cdot d l = 0$ )।
दो टर्मिनलों से देखने पर कोई भी रैखिक नेटवर्क एक विद्युत वाहक बल और एक श्रेणी प्रतिरोध की तरह बर्ताव करता है (थेवेनिन); वास्तविक बैटरी $ε - I r$ देती है।
स्रोत $ε I$ देता है, प्रतिरोधक $I^{2} R$ क्षय करता है; आंतरिक प्रतिरोध $r$ वाले भार को $R = r$ पर सबसे अधिक शक्ति मिलती है (50 % दक्षता)।
ऊर्जा प्रतिरोधक तक तारों के चारों ओर के क्षेत्र से पहुँचती है, उसकी पार्श्व सतहों से भीतर आती है, तांबे के भीतर से नहीं।

क्षेत्रों से लम्प्ड तत्वों तक

परिपथ सिद्धांत एक सुविचारित सरलीकरण है, और यह जानना उपयोगी है कि वह क्या छोड़ देता है। कार्यरत परिपथ विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों से भरा होता है, फिर भी हम उसे मुट्ठी भर संख्याओं से वर्णित करते हैं। यह भाग बताता है कि यह न्यूनीकरण कैसे काम करता है और यह कब अनुमत है।

पूरे भाग में उदाहरण ऐनिमेशन वाला परिपथ है: एक 12 V बैटरी, एक परिवर्ती प्रतिरोधक (ऐसा प्रतिरोधक जिसका मान बदला जा सकता है) और एक बल्ब, सब एक ही लूप में। परिवर्ती प्रतिरोधक का प्रतिरोध $R$ हर 8 सेकंड में 5 Ω और 20 Ω के बीच झूलता है, और बल्ब को स्थिर प्रतिरोध $R_{B} = 10 Ω$ माना गया है।

हर तत्व, चाहे वह सेल हो, प्रतिरोधक हो या बल्ब, दो टर्मिनल $a$ और $b$ वाले एक बक्से की तरह लिया जाता है। उसके भीतर क्या होता है, उसे अनदेखा किया जाता है; केवल तत्व से बहने वाली धारा $I$ और उसके टर्मिनलों के बीच की वोल्टता मायने रखती है,
$V_{ab} = φ_{a} - φ_{b} = \int_{a}^{b} E \cdot d l$
जहाँ $φ$ विद्युत विभव है और $E$ विद्युत क्षेत्र। इसके एक ही संख्या होने के लिए $a$ से $b$ तक लिया गया समाकल पथ पर निर्भर नहीं होना चाहिए। ऐसा तब होता है जब तत्व के बाहर का क्षेत्र स्थिरवैद्युत हो, क्योंकि ऐसे क्षेत्र का किसी भी बंद लूप पर समाकल शून्य होता है, इसलिए समान सिरों वाले दो पथ समान परिणाम देते हैं। तत्व के भीतर का सारा विवरण, प्रतिरोधक में क्षेत्र का स्वरूप या सेल की रसायन-विद्या, प्रति तत्व एक संख्या में संघनित हो जाता है: एक प्रतिरोध $R$ या एक विद्युत वाहक बल $ε$ ।

दो शर्तें इस लम्प्ड वर्णन को सटीक बनाती हैं। पहली, तत्वों के बीच के स्थान से कोई बदलता चुंबकीय फ़्लक्स नहीं गुजरना चाहिए; अन्यथा फैराडे का नियम एक प्रेरित विद्युत वाहक बल जोड़ देता है और वहाँ $\oint E \cdot d l$ शून्य नहीं रहता। दूसरी, कहीं भी आवेश जमा नहीं होना चाहिए, ताकि किसी तत्व में प्रवेश करने वाली धारा उससे निकलने वाली धारा के बराबर हो। दिष्ट धारा परिपथ दोनों शर्तें तब पूरी करता है जब स्विच के कारण होने वाला संक्षिप्त संक्रमण समाप्त हो जाता है।

एक प्रश्न शेष है: क्षेत्र को तार के हर मोड़ का पता कैसे चलता है? यह तारों और तत्वों की सतहों पर मौजूद आवेशों से बनता है, जो स्विच बंद करने के कुछ नैनोसेकंड के भीतर तब तक पुनर्व्यवस्थित होते हैं जब तक हर तार के भीतर का क्षेत्र उसी की दिशा में न हो जाए। तांबे में आवश्यक क्षेत्र बहुत छोटा है। ऐनिमेशन की सबसे बड़ी धारा, 0.80 A, को 1 mm² अनुप्रस्थ काट वाले तार में लीजिए। धारा घनत्व, यानी प्रति इकाई क्षेत्रफल धारा, $J = 0.80/1 0^{- 6} = 8 \times 1 0^{5} A/ m^{2}$ है। तांबे की प्रतिरोधकता $ρ$ , यानी प्रति इकाई धारा घनत्व के लिए आवश्यक क्षेत्र, $1.7 \times 1 0^{- 8} Ω m$ है, इसलिए
$E = ρ J = 1.7 \times 1 0^{- 8} \cdot 8 \times 1 0^{5} \approx 0.014 V/m$
तार के हर मीटर में केवल लगभग 0.014 V खर्च होता है, इसलिए 12 V का लगभग सारा भाग परिवर्ती प्रतिरोधक और बल्ब के आर-पार गिरता है।

संरक्षण नियमों से किरखॉफ़ के नियम

दो नियम हर दिष्ट धारा परिपथ को हल करते हैं, और दोनों भेष बदले हुए संरक्षण नियम हैं: संधि-नियम आवेश के संरक्षण को और लूप-नियम ऊर्जा के संरक्षण को व्यक्त करता है। यह देखना कि ये कहाँ से आते हैं, यह भी दिखाता है कि ये कब विफल होंगे।

मान लीजिए $J$ धारा घनत्व है: एक सदिश जो प्रवाह की दिशा में इंगित करता है और जिसका परिमाण प्रति इकाई क्षेत्रफल धारा है, A/m² में। किसी बंद पृष्ठ से निकलने वाली धारा $\oint J \cdot d A$ है, जहाँ $d A$ पृष्ठ का एक छोटा, बाहर की ओर इंगित करने वाला अंश है। आवेश न उत्पन्न होता है न नष्ट, इसलिए यह निर्गम उस दर के बराबर है जिस पर भीतर का आवेश घटता है। स्थिर अवस्था में भीतर का आवेश अचर रहता है, इसलिए
$\oint J \cdot d A = 0$
अब पृष्ठ को किसी संधि-बिंदु के चारों ओर कसकर खींचिए। केवल तार ही उसे भेदते हैं, हर एक अपनी धारा का योगदान देता है, और परिणाम संधि-नियम $\sum I = 0$ है, जिसमें जाने वाली धाराएँ धनात्मक और आने वाली धाराएँ ऋणात्मक गिनी जाती हैं।

लूप-नियम के लिए एक और तत्व चाहिए। अकेला स्थिरवैद्युत क्षेत्र आवेश को लूप में परिक्रमा नहीं करा सकता, क्योंकि लूप पर उसका समाकल शून्य है: वह लूप के एक भाग पर आवेशों के विरुद्ध उतना ही कार्य करता है जितना दूसरे भाग पर उनके पक्ष में। सेल के भीतर एक दूसरा, गैर-स्थिरवैद्युत बल कार्य करता है। उसे $f$ कहिए, यानी प्रति इकाई आवेश पर लगने वाला बल; उसका मूल रासायनिक है, और वह आवेश को − टर्मिनल से + टर्मिनल की ओर धकेलता है, स्थिरवैद्युत क्षेत्र के विरुद्ध। सेल पर उसका समाकल विद्युत वाहक बल है,
$ε = \int_{-}^{+} f \cdot d l$
जो उस हर कूलॉम पर किया गया कार्य है जो उसमें से गुजरता है। आदर्श सेल में, जिसमें आंतरिक प्रतिरोध नहीं होता, $f$ और स्थिरवैद्युत क्षेत्र भीतर एक-दूसरे को निरस्त करते हैं, इसलिए विद्युत वाहक बल टर्मिनलों के बीच की वोल्टता के बराबर होता है।

सेल के बाहर केवल स्थिरवैद्युत क्षेत्र कार्य करता है, और $\oint E \cdot d l = 0$ का अर्थ है कि विभव हर बिंदु पर एक ही मान रखता है: कहीं से भी शुरू करें, लूप का चक्कर लगाएँ, तो उसी विभव पर लौट आते हैं। इसलिए सेलों के पार की वृद्धियाँ बाकी सब जगह के पातों के बराबर होनी चाहिए। यही लूप-नियम है, जो हर घूमते हुए कूलॉम के लिए ऊर्जा का संतुलन है।

प्रतिरोधक के लिए अपना एक नियम चाहिए, और वह पदार्थ से आता है। स्थानीय रूप से, $J = σ E$ , जहाँ $σ$ चालकता है और $ρ = 1/ σ$ प्रतिरोधकता। लंबाई $L$ और अनुप्रस्थ काट $A$ के एकसमान तार में क्षेत्र एकसमान होता है, इसलिए वोल्टता $V = E L$ और धारा $I = J A = σ E A$ है। $E$ का विलोपन करने पर ओम का नियम मिलता है, $V = I R$ , जहाँ $R = ρ L / A$ ।

अब ये नियम ऐनिमेशन के लूप पर लागू कीजिए। इसमें कोई शाखा नहीं है, इसलिए हर जगह एक ही धारा $I$ बहती है। चक्कर लगाने पर बैटरी विभव को $ε$ ऊपर उठाती है, और परिवर्ती प्रतिरोधक तथा बल्ब उसे क्रमशः $I R$ और $I R_{B}$ नीचे गिराते हैं:
$ε - I R - I R_{B} = 0 \Rightarrow I = \frac{ε}{R + R _{B}}$
$ε = 12 V$ और $R_{B} = 10 Ω$ के साथ धारा $R = 5 Ω$ पर 0.80 A और $R = 20 Ω$ पर 0.40 A के बीच चलती है।

परिचित संयोजन-नियम तुरंत निकल आते हैं। श्रेणी में जुड़े तत्व एक ही धारा साझा करते हैं, इसलिए उनकी वोल्टताएँ जुड़ती हैं, और उनके प्रतिरोध भी जुड़ते हैं। समांतर में जुड़े तत्व एक ही वोल्टता साझा करते हैं, इसलिए उनकी धाराएँ जुड़ती हैं, और उनके प्रतिरोधों के व्युत्क्रम भी जुड़ते हैं।

बड़े नेटवर्क के लिए ये नियम हमेशा पर्याप्त समीकरण देते हैं। मान लीजिए नेटवर्क जुड़ा हुआ है और उसमें $n$ संधि-बिंदु और $b$ शाखाएँ हैं, जहाँ शाखा दो संधि-बिंदुओं के बीच का वह परिपथ-भाग है जिसकी अपनी धारा होती है; तब $b$ अज्ञात धाराएँ होंगी। संधि-नियम $n - 1$ स्वतंत्र समीकरण देता है (अंतिम समीकरण बाकी के योग से निकलता है, क्योंकि हर शाखा-धारा एक संधि से निकलती है और दूसरी में प्रवेश करती है), और लूप-नियम $b - n + 1$ स्वतंत्र लूपों में से हर एक के लिए एक समीकरण देता है: कुल मिलाकर ठीक $b$ समीकरण।

V–I ग्राफ़ पर लूप हल करना

एक ग्राफ़ बिना बीजगणित के लूप हल कर सकता है, और यह तब भी काम करता है जब कोई घटक ओम का नियम नहीं मानता। विचार यह है कि एक ही अक्षों पर वह दिखाया जाए जो बल्ब अनुमति देता है और जो परिपथ का शेष भाग अनुमति देता है।

चित्र 1 में धारा $I$ क्षैतिज अक्ष पर है और बल्ब की वोल्टता $V_{B}$ ऊर्ध्वाधर अक्ष पर। बल्ब का अपना नियम, $V_{B} = R_{B} I$ , मूल बिंदु से गुजरने वाली, $R_{B}$ अंकित सीधी रेखा है; उसकी ढलान $R_{B} = 10 Ω$ है। बल्ब जिन भी अवस्थाओं में हो सकता है, वे सब इसी रेखा पर हैं। (ऐनिमेशन के विशेषज्ञ पैनल में वही रेखा बिंदुरेखित है, और एक बिंदु (0.40 A, 4.0 V) और (0.80 A, 8.0 V) के बीच उस पर खिसकता है।)

परिपथ का शेष भाग, यानी बैटरी और परिवर्ती प्रतिरोधक मिलकर, एक दूसरी माँग करते हैं। बल्ब की ओर से देखें तो बैटरी $ε$ देती है और परिवर्ती प्रतिरोधक उसमें से $I R$ लेता है, इसलिए जो बचता है वह बल्ब के आर-पार दिखता है:
$V_{B} = ε - R I$
यह भार-रेखा (लोड लाइन) है। यह वोल्टता-अक्ष पर उस बिंदु से शुरू होती है जिस पर $ε$ अंकित है, यानी 12 V: धारा न होने पर परिवर्ती प्रतिरोधक पर कोई पात नहीं होता, इसलिए बल्ब पर पूरा विद्युत वाहक बल लगता है। फिर यह ढलान $- R$ के साथ नीचे गिरती है और धारा-अक्ष को $ε / R$ पर छूती है, यानी वह धारा जो बैटरी चलाती यदि बल्ब की जगह तार होता।

बल्ब को अपनी रेखा माननी होगी और परिपथ को भार-रेखा, इसलिए परिपथ की वास्तविक अवस्था, उसका कार्यबिंदु, वह जगह है जहाँ दोनों एक-दूसरे को काटती हैं। दोनों को बराबर रखने पर, $R_{B} I = ε - R I$ , ठीक वही लूप-नियम वापस मिलता है: चित्र और बीजगणित एक ही समीकरण हल करते हैं।

अब परिवर्ती प्रतिरोधक को देखिए। चित्र में उसकी सीमा के दोनों सिरों, $R_{1} = 5 Ω$ और $R_{2} = 20 Ω$ , के लिए भार-रेखाएँ खींची गई हैं, और उनके बीच की छायांकित पंखा-आकृति हर बीच की सेटिंग को समेटती है। जैसे-जैसे $R$ , $R_{1}$ से $R_{2}$ तक बढ़ता है, भार-रेखा अपने स्थिर सिरे $ε$ के चारों ओर घूमती है और नीचे की ओर झुकती है: कम ढलान वाली रेखा $R_{1}$ , जो धारा-अक्ष को 2.4 A पर छूती है, से लेकर अधिक ढलान वाली रेखा $R_{2}$ तक, जो 0.60 A पर रुकती है। बल्ब की रेखा के साथ इसका प्रतिच्छेद बिंदु 1, (0.80 A, 8.0 V) से नीचे खिसककर बिंदु 2, (0.40 A, 4.0 V) तक आता है।

यह विधि गैर-ओमीय घटकों के साथ अपनी वास्तविक शक्ति दिखाती है। एक वास्तविक फ़िलामेंट का वक्र गर्म होने पर ऊपर की ओर मुड़ता है, और डायोड का वक्र एक तीखा मोड़ है; इनमें से किसी का भी एक ही प्रतिरोध नहीं है, इसलिए $I$ का सूत्र अब लागू नहीं होता। भार-रेखा के साथ प्रतिच्छेद फिर भी उत्तर है, जिसे ग्राफ़ीय या संख्यात्मक रूप से पाया जा सकता है।

एक चक्र में बल्ब की शक्ति

बल्ब की चमक उसकी शक्ति का अनुसरण करती है, और समय के साथ उस शक्ति का ऐनिमेशन-ग्राफ़ एक आश्चर्य रखता है। $I = ε / (R + R_{B})$ के साथ बल्ब को मिलती है
$P_{B} = I^{2} R_{B} = \frac{ε ^{2} R _{B}}{( R + R _{B} ) ^{2}}$
जो $R = 5 Ω$ पर 6.4 W से घटकर $R = 20 Ω$ पर 1.6 W हो जाती है।

परिवर्ती प्रतिरोधक एक कोसाइन का अनुसरण करता है, $R = 12.5 - 7.5 cos (2 π t / T)$ ओम में, आवर्तकाल $T = 8 s$ के साथ, लेकिन शक्ति उसकी प्रतिलिपि नहीं है। चूँकि $P_{B}$ , $R + R_{B}$ के व्युत्क्रम वर्ग के साथ घटता है, वह अपने शिखर से तेज़ी से गिरती है और अपने न्यूनतम के पास देर तक टिकी रहती है। $t = 2 s$ पर परिवर्ती प्रतिरोधक आधे रास्ते पर है, 12.5 Ω पर, फिर भी $P_{B} = 1 2^{2} \cdot 10/22. 5^{2} \approx 2.8 W$ है, न कि दोनों चरम मानों के बीच के मध्य का 4.0 W, और यह हर चक्र के लगभग दो-तिहाई समय 4 W से नीचे रहती है। वक्र के नीचे का क्षेत्रफल, हर 8 s चक्र में लगभग 27 J, वह ऊर्जा है जिसे बल्ब ऊष्मा और प्रकाश में बदलता है।

नेटवर्क और थेवेनिन का प्रमेय

यदि हर परिवर्तन के लिए शून्य से शुरू करना पड़े, तो एक बड़े नेटवर्क का विश्लेषण असंभव होगा। रैखिकता सहायता करती है: यह पूरे नेटवर्क को दो संख्याओं से बदलने देती है।

ओमीय तत्वों के साथ किरखॉफ़ का हर समीकरण धाराओं और विद्युत वाहक बलों में रैखिक होता है। इससे दो परिणाम निकलते हैं। पहला है अध्यारोपण: कई स्रोत एक साथ कार्य करते हुए जो धाराएँ उत्पन्न करते हैं, वे हर स्रोत के अकेले कार्य करने पर उत्पन्न धाराओं के योग होते हैं। दूसरा है थेवेनिन का प्रमेय: स्रोतों और प्रतिरोधकों से बना कोई भी नेटवर्क, अपने दो टर्मिनलों से देखने पर, ठीक एक विद्युत वाहक बल $ε_{Th}$ और उसके श्रेणी में जुड़े एक प्रतिरोध $R_{Th}$ जैसा व्यवहार करता है। कारण यह है कि रैखिकता के कारण टर्मिनलों की वोल्टता उनसे खींची गई धारा का एक सरल-रेखीय फलन है, $V = ε_{Th} - R_{Th} I$ , और एक सीधी रेखा को केवल अंतःखंड और ढलान चाहिए।

दोनों संख्याएँ ढूँढना आसान है। विद्युत वाहक बल $ε_{Th}$ खुले टर्मिनलों पर की वोल्टता है, जब कोई धारा नहीं खींची जाती। प्रतिरोध $R_{Th}$ वह प्रतिरोध है जो टर्मिनलों के बीच होता है, जब हर आदर्श विद्युत वाहक बल को तार से बदल दिया जाता है।

स्रोत से अधिकतम शक्ति

दिए गए स्रोत से कौन-सा भार सबसे अधिक शक्ति लेता है? इस उत्तर को मिलान (मैचिंग) कहते हैं; यह रेडियो रिसीवर से लेकर स्वयं ऐनिमेशन तक मायने रखता है। सबसे सरल वास्तविक स्रोत एक बैटरी है: एक आदर्श विद्युत वाहक बल $ε$ आंतरिक प्रतिरोध $r$ के साथ श्रेणी में, जो पहले से थेवेनिन रूप में है। एक धारा $I$ खींचने पर उसकी टर्मिनल वोल्टता घटकर $ε - I r$ हो जाती है। भार $R$ में $I = ε / (R + r)$ बहती है, और इस प्रकार वह प्राप्त करता है
$P = I^{2} R = \frac{ε ^{2} R}{( R + r ) ^{2}}$

चित्र 2 इस शक्ति $P$ को भार $R$ के विरुद्ध दर्शाता है। पहले दोनों सिरों को देखिए। $R = 0$ पर भार लघुपथ है: धारा अधिकतम, $ε / r$ है, पर भार पर कोई वोल्टता नहीं, इसलिए वह कुछ नहीं लेता। जैसे-जैसे $R \to \infty$ , भार पर वोल्टता $ε$ के पास पहुँचती है, पर धारा समाप्त हो जाती है और शक्ति फिर शून्य हो जाती है। बीच में वक्र तीखा चढ़कर एक एकल शिखर $P_{m a x}$ तक जाता है, और फिर धीरे-धीरे गिरता है।

शिखर का पता लगाने के लिए भागफल-नियम से अवकलन कीजिए:
$\frac{d P}{d R} = \frac{ε ^{2} ( r - R )}{( R + r ) ^{3}}$
यह $R = r$ से नीचे धनात्मक है, $R = r$ पर शून्य और उसके ऊपर ऋणात्मक, इसलिए शिखर $R = r$ पर है, जो चित्र 2 की अक्ष पर अंकित है। वहाँ $I = ε / (2 r)$ और
$P_{m a x} = \frac{ε ^{2}}{4 r}$
जबकि उतनी ही शक्ति, $I^{2} r$ , स्रोत के भीतर खोती है: अधिकतम स्थिति में आधी ऊर्जा ही भार तक पहुँचती है। मिलान कमज़ोर संकेतों के लिए उपयुक्त है, जैसे रिसीवर को संकेत देने वाला एंटीना, जहाँ शक्ति का हर अंश मायने रखता है। शक्ति-प्रणालियाँ इसके उलट $R$ को $r$ से कहीं अधिक रखती हैं, क्योंकि दक्षता, यानी निर्गत का वह भाग जो भार तक पहुँचता है, $R / (R + r)$ है, जो मिलान पर केवल आधा है।

वक्र की एक कम स्पष्ट विशेषता भी है: समान शक्तियाँ जोड़ों में आती हैं। $P$ के अंश और हर को $R$ से भाग दीजिए:
$P = \frac{ε ^{2}}{R + 2 r + r ^{2} / R}$
$R$ को $r^{2} / R$ से बदलने पर हर के पहले और अंतिम पद बस आपस में अदल-बदल जाते हैं, इसलिए $P$ नहीं बदलता। अतः जिन दो भारों के लिए $R_{1} R_{2} = r^{2}$ है, वे समान शक्ति लेते हैं। चित्र 2 में वे बिंदुरेखित क्षैतिज रेखा पर स्थित दो बिंदु हैं: $R_{1}$ , जो $r$ से नीचे है, और $R_{2}$ , जो उससे ऊपर है, दोनों एक ही गुणक से, $r / R_{1} = R_{2} / r$ ।

यह समरूपता ऐनिमेशन में छिपी है। परिवर्ती प्रतिरोधक के दो टर्मिनलों से परिपथ को देखिए। थेवेनिन के अनुसार, श्रेणी में बैटरी और बल्ब $R_{Th} = R_{B} = 10 Ω$ के पीछे 12 V का स्रोत हैं, इसलिए परिवर्ती प्रतिरोधक $r = 10 Ω$ वाले चित्र 2 का भार $R$ है। उसकी शक्ति $I^{2} R$ 10 Ω पर स्लाइडर के गुजरने पर $1 2^{2} / (4 \cdot 10) = 3.6 W$ के शिखर पर पहुँचती है, और सीमा के दोनों सिरों, 5 Ω और 20 Ω पर, वह 3.2 W है, क्योंकि $5 \cdot 20 = 1 0^{2}$ । तो जहाँ बल्ब की शक्ति चार गुना बदलती है, वहीं परिवर्ती प्रतिरोधक की शक्ति 3.2 और 3.6 W के बीच रहती है।

उदाहरण: एक परिवर्ती प्रतिरोधक पर दो बल्ब

अब इन औज़ारों को एक ऐसे प्रश्न पर लगाइए जिसका उत्तर चौंकाने वाला है। दो समान बल्ब एक परिवर्ती प्रतिरोधक और एक बैटरी साझा करते हैं: सबसे अधिक चमकने के लिए उन्हें समांतर में जोड़ें या श्रेणी में?

चित्र 3 समांतर संस्करण दिखाता है: 12 V बैटरी $ε$ , ऊपरी तार में परिवर्ती प्रतिरोधक $R$ 5 Ω पर सेट, और दो समान 10 Ω बल्ब $R_{B}$ ऊपरी और निचले तारों के बीच साथ-साथ। बैटरी के − टर्मिनल को, जो ग्राउंड चिह्न से दर्शाया गया है, विभव का शून्य मानिए, और $φ$ को उस तार का विभव मानिए जो परिवर्ती प्रतिरोधक को बल्बों से जोड़ता है, उस संधि-बिंदु पर जो $φ$ से अंकित है। जोड़ने वाले तार का कोई प्रतिरोध नहीं है, इसलिए पूरा वह तार $φ$ पर है और पूरा निचला तार 0 पर। इसलिए हर बल्ब के आर-पार $φ$ है और वह $I_{B} = φ / R_{B}$ धारा लेता है।

बैटरी की धारा $I$ परिवर्ती प्रतिरोधक से होकर गुजरती है, जिसके आर-पार $ε - φ$ है, इसलिए $I = (ε - φ) / R$ । संधि-बिंदु पर $I$ दो बल्ब-धाराओं में बँट जाती है, इसलिए संधि-नियम से $I = 2 I_{B}$ । संख्याएँ डालने पर,
$\frac{12 - φ}{5} = \frac{φ}{10} + \frac{φ}{10} \Rightarrow φ = 6.0 V$
क्योंकि दायीं ओर $φ /5$ है, जिससे $12 - φ = φ$ होता है।

तो बैटरी $I = 6.0/5 = 1.2 A$ चलाती है, और हर बल्ब 6.0 V पर 0.60 A लेता है, यानी 3.6 W, जबकि उसी सेटिंग पर अकेला बल्ब 6.4 W लेता। बैटरी $12 \cdot 1.2 = 14.4 W$ देती है, और परिवर्ती प्रतिरोधक उसमें से $1. 2^{2} \cdot 5 = 7.2 W$ लेता है, ठीक आधा। थेवेनिन उस आधे की व्याख्या करता है: बल्बों की ओर से देखने पर, स्रोत 5 Ω के पीछे 12 V है, और समांतर जोड़ी, जो स्वयं भी 5 Ω की है, एक मिलान किया हुआ भार है जो अधिकतम शक्ति, $1 2^{2} / (4 \cdot 5) = 7.2 W$ , लेता है। श्रेणी में बल्बों का प्रतिरोध 20 Ω होता है, धारा $12/25 = 0.48 A$ और हर बल्ब को केवल $0.4 8^{2} \cdot 10 \approx 2.3 W$ मिलता है। समांतर जीतता है।

परिवर्ती प्रतिरोधक 20 Ω पर हो तो भूमिकाएँ उलट जाती हैं। समांतर में $I = 12/25 = 0.48 A$ , हर बल्ब 0.24 A लेता है और उसे $0.2 4^{2} \cdot 10 \approx 0.58 W$ मिलता है। श्रेणी में, अब स्रोत से मिलान होने पर, $I = 12/40 = 0.30 A$ और हर बल्ब को $0.3 0^{2} \cdot 10 = 0.90 W$ मिलता है। श्रेणी जीतती है। चूँकि समान बल्ब हमेशा शक्ति बराबर बाँटते हैं, अधिक चमकीला संयोजन वही है जो कुल मिलाकर अधिक खींचता है, यानी वह जिसका प्रतिरोध अनुपात में स्रोत के प्रतिरोध के अधिक निकट हो। कौन-सा संयोजन अधिक चमकीला है, यह केवल बल्बों पर नहीं, बल्कि स्रोत के प्रतिरोध पर निर्भर करता है।

ऊर्जा वास्तव में कहाँ बहती है

अब तक ऊर्जा केवल हिसाब-किताब रही है: $P = V I$ बताता है कि हर तत्व कितना लेता है, यह नहीं बताता कि ऊर्जा वहाँ तक कैसे पहुँचती है। उत्तर आश्चर्यजनक है। चक्र के आरंभ में बैटरी $12 \cdot 0.80 = 9.6 W$ देती है और बल्ब 6.4 W लेता है, फिर भी इलेक्ट्रॉन मिलीमीटर के एक अंश प्रति सेकंड की गति से बहते हैं: बैटरी से निकला एक इलेक्ट्रॉन बल्ब तक पहुँचने में घंटों लगेंगे। ऊर्जा इलेक्ट्रॉनों के साथ सवार होकर नहीं चलती; वह क्षेत्रों में यात्रा करती है। सतही आवेश परिपथ के चारों ओर के स्थान में एक विद्युत क्षेत्र बनाते हैं, धारा तारों के चारों ओर घूमता एक चुंबकीय क्षेत्र बनाती है, और दोनों मिलकर एक ऊर्जा-प्रवाह ले जाते हैं, वाट प्रति वर्ग मीटर में,
$S = \frac{E \times B}{μ _{0}}$
जहाँ $μ_{0}$ चुंबकीय नियतांक है। यह प्रवाह बैटरी से चलकर तारों के बीच के स्थान से होते हुए परिवर्ती प्रतिरोधक और बल्ब में पहुँचता है।

चित्र 4 लूप के एक प्रतिरोधक पर इसकी जाँच करता है: लंबाई $L$ और त्रिज्या $a$ का एक बेलन, जिसमें दायीं ओर धारा $I$ बह रही है। उसकी पार्श्व सतह के ठीक बाहर के दोनों क्षेत्रों को देखिए, फिर उनके सदिश गुणनफल को।

विद्युत क्षेत्र: विभव लंबाई $L$ पर लगातार $V$ गिरता है। किसी सतह के समानांतर विद्युत क्षेत्र का घटक, सतह के भीतर और बाहर समान होता है, इसलिए पार्श्व के बाहर $E$ भी छड़ के अनुदिश, धारा की दिशा में चलता है, जिसका परिमाण $V / L$ है। चित्र में यह छड़ के ऊपर और नीचे दायीं ओर इंगित करने वाले, $E$ अंकित तीरों की जोड़ी है।

चुंबकीय क्षेत्र: धारा का क्षेत्र दाएँ हाथ के नियम से छड़ के चारों ओर घूमता है (अंगूठा $I$ की दिशा में, उँगलियाँ उस दिशा में मुड़ती हैं जिधर $B$ जाता है), जैसा छड़ के चारों ओर का छल्ला दिखाता है। सतह पर उसका परिमाण $μ_{0} I / (2 πa)$ है। छड़ के ऊपर $B$ पृष्ठ से बाहर आता है; नीचे $B$ पृष्ठ में अंदर जाता है।

प्रवाह: $S$ दोनों क्षेत्रों पर लंबवत है। छड़ के ऊपर $E$ दायीं ओर और $B$ पृष्ठ से बाहर है, इसलिए $S$ नीचे, छड़ के भीतर की ओर है। छड़ के नीचे $B$ उलट है, इसलिए $S$ ऊपर, फिर भी छड़ के भीतर की ओर है। यही हर ओर से सच है: $S$ हर ओर से सीधे छड़ के भीतर की ओर इंगित करता है। चूँकि $E$ और $B$ समकोण पर हैं, इसका परिमाण है
$S = \frac{EB}{μ _{0}} = \frac{V}{L} \cdot \frac{I}{2 πa} = \frac{V I}{2 πa L}$
पार्श्व क्षेत्रफल $2 πa L$ से गुणा करने पर अंतर्वाह ठीक $V I$ होता है, वह शक्ति जो प्रतिरोधक क्षय करता है। हर प्रतिरोधक अपनी शक्ति अपनी सतह के माध्यम से, आसपास के स्थान से लेता है।

बैटरी के भीतर चित्र उलट जाता है। वहाँ $E$ धारा के विरुद्ध, + से − की ओर इंगित करता है, जबकि रासायनिक बल आवेश को विपरीत दिशा में धकेलता है, इसलिए $S$ बाहर की ओर इंगित करता है और बैटरी आसपास के स्थान में ऊर्जा भेजती है। तार ऊर्जा को परिपथ के अनुदिश मार्गदर्शित करते हैं; वे ऊर्जा को तांबे के भीतर नहीं ले जाते।

इसकी वैधता की सीमाएँ

हर मॉडल का एक दायरा होता है जहाँ वह काम करता है, और यह जानना उपयोगी है कि यह मॉडल कहाँ समाप्त होता है।

लम्प्ड चित्र मानता है कि परिपथ के किसी एक बिंदु पर हुआ परिवर्तन हर जगह एक साथ महसूस होता है। यह तब सही है जब परिपथ अपने संकेतों की तरंगदैर्ध्य $λ = c / f$ से बहुत छोटा हो, जहाँ $c$ प्रकाश की गति है और $f$ आवृत्ति। 50 Hz के मेन्स के लिए $λ$ 6000 km है, इसलिए कोई भी घरेलू परिपथ योग्य है; 1 GHz पर यह केवल 30 cm है, और सर्किट बोर्ड विकिरण करता है, इसलिए उसे ट्रांसमिशन लाइनों से निपटना होता है। यहाँ तक कि दिष्ट धारा में भी यह मॉडल स्विच बंद करने के बाद के क्षणिक व्यवहार को छोड़ देता है, परंतु लगभग एक माइक्रोहेनरी वाले बेंच-लूप के प्रेरकत्व के साथ ऐनिमेशन की धारा एक माइक्रोसेकंड के कुछ दसवें भाग में स्थिर हो जाती।

ओम का नियम पदार्थों का गुण है, प्रकृति का नियम नहीं, यद्यपि स्थिर ताप पर धातुओं के लिए यह एक उत्कृष्ट नियम है। फ़िलामेंट का प्रतिरोध ठंडे से सफ़ेद-तप्त होने तक लगभग दस गुना बढ़ जाता है, इसलिए स्विच ऑन करते समय लैंप आरंभ में धारा का उछाल खींचता है; डायोड और गैस-डिस्चार्ज बिल्कुल ओमीय नहीं हैं, और अतिचालक का क्रांतिक ताप के नीचे $R = 0$ ठीक-ठीक होता है। बैटरी भी आदर्श नहीं है: उसका आंतरिक प्रतिरोध $r$ पुरानी होने पर या ठंड में बढ़ता है।

सबसे छोटे पैमाने पर $R = ρ L / A$ पूरी तरह विफल हो जाता है। केवल कुछ परमाणु चौड़ा तार चालन-क्वांटम $2 e^{2} / h \approx 7.75 \times 1 0^{- 5} S$ के चरणों में चालन करता है, जहाँ चालकता प्रतिरोध का व्युत्क्रम है, जिसे सीमेंस में मापा जाता है; यह प्रति चालन-चैनल लगभग 12.9 kΩ है, जिसे क्वांटम यांत्रिकी तय करती है, न कि पदार्थ या लंबाई।

यह कहाँ ले जाता है

परिपथ में एक संधारित्र ऐसा आवेश जोड़ता है जो बदलता है, $I = d Q / d t$ , और लूप-नियम एक अवकल समीकरण बन जाता है: “संधारित्र” पाठ का चरघातांकी आवेशन, समय-स्थिरांक $RC$ के साथ। प्रेरक एक प्रेरित विद्युत वाहक बल जोड़ता है, जो “विद्युत चुंबकीय प्रेरण” का विषय है, जहाँ $\oint E \cdot d l = - d Φ/ d t$ ; एक प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र मिलकर “अवमंदन और अनुनाद” के अवमंदित दोलक समीकरण का पालन करते हैं। “घर में विद्युत शक्ति और ऊर्जा” $P = V I$ को किलोवाट-घंटे और फ़्यूज़ में बदल देता है। “विद्युत धारा और प्रतिरोध” (पिछला पाठ) बताता है कि $ρ$ कहाँ से आता है; “अर्धचालक, डायोड और एलईडी” सबसे उपयोगी गैर-ओमीय तत्वों को कवर करता है; और “विद्युत चुंबकीय तरंगें” दिखाती हैं कि $S$ खाली स्थान में ऊर्जा कैसे ले जाता है।

मुख्य सूत्र

ओम का नियम

V = I R

किसी घटक के आर-पार की वोल्टता, उसके माध्यम से बहती धारा और उसके प्रतिरोध के गुणनफल के बराबर होती है। ओमीय घटक के लिए $R$ नियत है, इसलिए धारा वोल्टता के समानुपाती है और $V$ – $I$ ग्राफ़ मूल बिंदु से गुजरने वाली, ढलान $R$ वाली सीधी रेखा है। दूसरी ओर से देखें तो $R = V / I$ प्रतिरोध को परिभाषित करता है, भले ही वह नियत न हो।

चिह्न
$V$	घटक के आर-पार की वोल्टता	$V$
$I$	घटक से बहने वाली धारा	$A$
$R$	घटक का प्रतिरोध	$Ω$

कब लागू होता है: धातुओं और सामान्य प्रतिरोधकों पर स्थिर ताप पर लागू होता है। फ़िलामेंट का प्रतिरोध गर्म होने पर बढ़ता है, डायोड केवल एक दिशा में चालन करता है, और अतिचालक का $R = 0$ होता है।

उदाहरण: ऐनिमेशन का बल्ब 0.80 A पर: $V_{B} = 0.80 \cdot 10 = 8.0 V$ ।

श्रेणी में प्रतिरोधक

R_{series} = R_{1} + R_{2}

श्रेणी में जुड़े प्रतिरोधकों में एक ही धारा बहती है, इसलिए उनकी वोल्टताएँ $I R_{1}$ और $I R_{2}$ जुड़कर $I (R_{1} + R_{2})$ हो जाती हैं: यह शृंखला एक ऐसे प्रतिरोधक की तरह व्यवहार करती है जिसका प्रतिरोध उनके योग के बराबर है। हर प्रतिरोधक कुल वोल्टता का एक भाग, अपने प्रतिरोध के अनुपात में, लेता है। लंबी शृंखला में बस और पद जुड़ते हैं।

चिह्न
$R_{series}$	शृंखला का तुल्य प्रतिरोध	$Ω$
$R_{1}$	पहले प्रतिरोधक का प्रतिरोध	$Ω$
$R_{2}$	दूसरे प्रतिरोधक का प्रतिरोध	$Ω$

कब लागू होता है: केवल उन घटकों के लिए जो एक ही मार्ग पर हों, जिनके बीच से कोई शाखा न निकलती हो।

उदाहरण: 5 Ω का परिवर्ती प्रतिरोधक और 10 Ω का बल्ब मिलकर 15 Ω बनाते हैं, इसलिए 12 V $12/15 = 0.80 A$ चलाता है।

समांतर में प्रतिरोधक

\frac{1}{R _{parallel}} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}

समांतर में जुड़े प्रतिरोधकों पर एक ही वोल्टता होती है, और उनकी धाराएँ $V / R_{1}$ और $V / R_{2}$ जुड़ जाती हैं। हर शाखा धारा को एक और मार्ग देती है, इसलिए व्युत्क्रम (चालकताएँ) जुड़ते हैं, और संयोजन दोनों में से किसी भी प्रतिरोधक से छोटा होता है। दो प्रतिरोधकों के लिए नियम $R_{1} R_{2} / (R_{1} + R_{2})$ देता है।

चिह्न
$R_{parallel}$	समांतर समूह का तुल्य प्रतिरोध	$Ω$
$R_{1}$	पहली शाखा का प्रतिरोध	$Ω$
$R_{2}$	दूसरी शाखा का प्रतिरोध	$Ω$

कब लागू होता है: उन घटकों के लिए जो एक ही दो बिंदुओं के बीच जुड़े हों। $N$ समान प्रतिरोधक $R$ समांतर में हों तो परिणाम $R / N$ होता है।

उदाहरण: दो 2.4 Ω के हेडलैंप समांतर में: $2.4 \cdot 2.4/ (2.4 + 2.4) = 1.2 Ω$ ।

विद्युत शक्ति

P = V I = I^{2} R = \frac{V ^{2}}{R}

वोल्टता $V$ से गिरता हर कूलॉम $V$ जूल छोड़ता है, और हर सेकंड $I$ कूलॉम गुजरते हैं, इसलिए शक्ति $V I$ है। ओम का नियम इसे $I^{2} R$ में बदलता है, जो श्रेणी में सुविधाजनक है जहाँ $I$ साझा है, और $V^{2} / R$ , जो समांतर में सुविधाजनक है जहाँ $V$ साझा है। प्रतिरोधक में पूरी शक्ति ऊष्मा बन जाती है (और लैंप में आंशिक रूप से प्रकाश)।

चिह्न
$P$	घटक में परिवर्तित शक्ति	$W$
$V$	घटक के आर-पार की वोल्टता	$V$
$I$	घटक से बहने वाली धारा	$A$
$R$	घटक का प्रतिरोध	$Ω$

कब लागू होता है: $P = V I$ किसी भी घटक पर लागू होता है, जिसमें मोटरें और आवेशित की जा रही बैटरियाँ भी शामिल हैं; $I^{2} R$ और $V^{2} / R$ केवल उस प्रतिरोध के लिए जो $V = I R$ मानता हो।

उदाहरण: शुरुआत में बल्ब: $P_{B} = 0.8 0^{2} \cdot 10 = 6.4 W$ ; 0.40 A पर यह 1.6 W तक गिर जाता है।

किरखॉफ़ का संधि-नियम

\sum I = 0 at a junction

स्थिर परिपथ में किसी संधि-बिंदु पर आवेश जमा नहीं होता, इसलिए जो अंदर आता है वह बाहर जाना चाहिए। अंदर आने वाली धाराओं को धनात्मक और बाहर जाने वाली को ऋणात्मक गिनिए: उनका योग शून्य होता है। यह आवेश का संरक्षण है।

चिह्न
$I$	संधि-बिंदु पर मिलने वाली हर धारा, अंदर आने पर धनात्मक और बाहर जाने पर ऋणात्मक	$A$

कब लागू होता है: स्थिर धाराओं के लिए सटीक है। बदलती धाराओं के लिए यह तब तक मान्य है जब तक संधि-बिंदु स्वयं कोई आवेश संचित नहीं करता, जो बहुत उच्च आवृत्तियों पर विफल होता है।

उदाहरण: दो 5.0 A के हेडलैंप और 10 A का हीटर: बैटरी की लीड में $5.0 + 5.0 + 10 = 20 A$ बहती है।

किरखॉफ़ का लूप-नियम

\sum ε = \sum I R around a loop

किसी बंद लूप का एक चक्कर लगाने पर आवेश अपने प्रारंभिक विभव पर लौट आता है, इसलिए स्रोतों द्वारा दी गई ऊर्जा प्रतिरोधकों में खोई ऊर्जा के बराबर होती है। कोई विद्युत वाहक बल धनात्मक गिना जाता है यदि आप उसे − से + की ओर पार करें, और कोई $I R$ पद धनात्मक गिना जाता है यदि आप प्रतिरोधक को उसकी धारा की दिशा में पार करें। यह ऊर्जा का संरक्षण है, जो स्थिरवैद्युत क्षेत्र के लिए $\oint E \cdot d l = 0$ पर आधारित है।

चिह्न
$ε$	लूप में हर स्रोत का विद्युत वाहक बल	$V$
$I$	लूप के हर प्रतिरोधक में धारा	$A$
$R$	हर प्रतिरोधक का प्रतिरोध, आंतरिक प्रतिरोध सहित	$Ω$

कब लागू होता है: लूप से होकर बदलता चुंबकीय फ़्लक्स नहीं गुजरना चाहिए; प्रेरक या बदलते बाहरी क्षेत्र की स्थिति में प्रेरित विद्युत वाहक बल $- d Φ/ d t$ जोड़ना होगा।

उदाहरण: ऐनिमेशन के लूप की शुरुआत पर: $12 = 5 I + 10 I$ , इसलिए $I = 0.80 A$ ।

तार का प्रतिरोध

R = \frac{ρ L}{A}

दोगुनी लंबाई वाला तार दो समान प्रतिरोधकों की श्रेणी जैसा होता है, इसलिए $R$ दोगुना होता है; दोगुने अनुप्रस्थ काट वाला तार दो समांतर प्रतिरोधकों जैसा होता है, इसलिए $R$ आधा होता है। शेष केवल पदार्थ का गुण है, प्रतिरोधकता $ρ$ , जो धातुओं से लेकर कुचालकों तक 20 से अधिक कोटियों में फैली है।

चिह्न
$R$	तार का प्रतिरोध	$Ω$
$ρ$	पदार्थ की प्रतिरोधकता	$Ω m$
$L$	तार की लंबाई	$m$
$A$	अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल	$m^{2}$

कब लागू होता है: एकसमान तार के लिए, जिसमें धारा उसके अनुप्रस्थ काट पर समान रूप से फैली हो, किसी दिए गए ताप पर। यह उन पतली फ़िल्मों पर विफल होता है जो इलेक्ट्रॉनों के माध्य मुक्त पथ से पतली हों, और उच्च आवृत्ति पर, जहाँ धारा सतह की ओर सिमट जाती है।

उदाहरण: एक मीटर लंबे, 1 mm² अनुप्रस्थ काट वाले तांबे के तार का: $R = 1.7 \times 1 0^{- 8} \cdot 1.0/1 0^{- 6} = 0.017 Ω$ ।

शब्दावली

विद्युत परिपथ: चालकों का एक बंद पथ जिसके चारों ओर आवेश घूम सकता है, जिसे बैटरी जैसा स्रोत चलाता है। कहीं भी खोलने पर धारा हर जगह एक साथ रुक जाती है।
दिष्ट धारा (DC): एक ही दिशा में बहने वाली, स्थिर मान वाली धारा, जैसे बैटरी से मिलने वाली धारा। मेन्स बिजली प्रत्यावर्ती धारा (AC) है: वह आवधिक रूप से दिशा बदलती है, प्रति सेकंड 50 या 60 चक्र।
परंपरागत धारा: वह दिशा जिसमें धनात्मक आवेश बहेगा: + टर्मिनल से बाहर, बाहरी परिपथ के चारों ओर और − टर्मिनल में। धातु में इलेक्ट्रॉन उल्टी दिशा में बहते हैं, जिससे वही धारा बनती है।
विभव-अंतर (वोल्टता): दो बिंदुओं के बीच प्रति इकाई आवेश प्राप्त या खोई ऊर्जा, $V = W / q$ , वोल्ट में: $1 V = 1 J/C$ । यह हमेशा दो बिंदुओं से संबंधित होता है; किसी घटक पर वोल्टता-पात वह ऊर्जा है जो हर कूलॉम वहाँ छोड़ता है।
ओम का नियम: किसी घटक के आर-पार की वोल्टता और उसके माध्यम से बहने वाली धारा का अनुपात $V = I R$ , जहाँ $R$ नियत है। स्थिर ताप पर धातुएँ इसे मानती हैं और इन्हें ओमीय कहते हैं; फ़िलामेंट लैंप, जो धारा बढ़ने पर गर्म होता है, और डायोड इसे नहीं मानते।
परिवर्ती प्रतिरोधक: एक ऐसा प्रतिरोधक जिसमें एक खिसकने वाला संपर्क चुनता है कि प्रतिरोधी तार का कितना हिस्सा परिपथ में है। ऐनिमेशन में बैंगनी स्लाइडर उसे 5 Ω और 20 Ω के बीच सेट करता है।
श्रेणी संयोजन: एक ही मार्ग पर एक के बाद एक रखे घटक। वे एक ही धारा लेते हैं, उनकी वोल्टताएँ जुड़ती हैं, और उनके प्रतिरोध भी: $R_{series} = R_{1} + R_{2}$ ।
समांतर संयोजन: एक ही दो बिंदुओं के बीच जुड़े घटक। उनकी वोल्टता समान होती है, धाराएँ जुड़ती हैं, और संयोजन का प्रतिरोध किसी भी एक शाखा से कम होता है।
किरखॉफ़ का संधि-नियम: किसी संधि-बिंदु पर आने वाली धाराओं का योग जाने वाली धाराओं के योग के बराबर होता है, $\sum I = 0$ । स्थिर परिपथ में यह आवेश का संरक्षण है।
किरखॉफ़ का लूप-नियम: किसी भी बंद लूप के चारों ओर विद्युत वाहक बलों का योग $I R$ पातों के योग के बराबर होता है। यह ऊर्जा का संरक्षण है: जो आवेश एक चक्कर लगाता है, वह अपने प्रारंभिक विभव पर लौट आता है।
लघुपथ: स्रोत के आर-पार लगभग शून्य प्रतिरोध वाला मार्ग। तब धारा केवल आंतरिक प्रतिरोध से सीमित होती है और खतरनाक रूप से बड़ी हो सकती है: 0.02 Ω आंतरिक प्रतिरोध वाली कार की बैटरी के लिए $12/0.02 = 600 A$ ।
थेवेनिन तुल्य: श्रेणी में एक प्रतिरोध के साथ जुड़ा एक विद्युत वाहक बल, जो चुने गए दो सिरों पर बिल्कुल एक पूरे रैखिक नेटवर्क की तरह व्यवहार करता है। एक वास्तविक बैटरी, यानी आंतरिक प्रतिरोध वाला विद्युत वाहक बल, सबसे सरल उदाहरण है।

राशियाँ
$I$	धारा	$A$	प्रति सेकंड किसी बिंदु से गुजरने वाला आवेश, $I = Q / t$ । श्रेणी लूप में इसका मान हर जगह समान होता है: ऐनिमेशन में 0.40 से 0.80 A।
$ε$	विद्युत वाहक बल (emf)	$V$	स्रोत हर उस कूलॉम को, जो उससे होकर गुजरता है, जो ऊर्जा देता है; ऐनिमेशन की बैटरी के लिए 12 V। यह तभी टर्मिनल वोल्टता के बराबर होता है जब कोई धारा न बहे या स्रोत का आंतरिक प्रतिरोध न हो।
$φ$	विद्युत विभव	$V$	किसी चुने हुए शून्य, जैसे − टर्मिनल, से मापी गई एक बिंदु पर प्रति कूलॉम ऊर्जा। किसी घटक की वोल्टता उसके दोनों सिरों के विभवों का अंतर है।
$V$	वोल्टता	$V$	दो बिंदुओं के बीच हर कूलॉम जो ऊर्जा प्राप्त या खोता है, $V = W / q$ । ऐनिमेशन के बल्ब के आर-पार यह 4.0 और 8.0 V के बीच बदलती है।
$R$	प्रतिरोध	$Ω$	प्रति एम्पियर आवश्यक वोल्टता, $R = V / I$ । ऐनिमेशन का परिवर्ती प्रतिरोधक 5 और 20 Ω के बीच बदलता है, और उसके बल्ब का प्रतिरोध 10 Ω है।
$r$	आंतरिक प्रतिरोध	$Ω$	वास्तविक स्रोत के भीतर का प्रतिरोध, जिसके कारण उसकी टर्मिनल वोल्टता $ε - I r$ धारा बढ़ने पर घटती है।
$R_{series}$	श्रेणी प्रतिरोध	$Ω$	श्रेणी में जुड़े प्रतिरोधकों के समतुल्य एक प्रतिरोध: उनके प्रतिरोधों का योग।
$R_{parallel}$	समांतर प्रतिरोध	$Ω$	समांतर में जुड़े प्रतिरोधकों के समतुल्य एक प्रतिरोध। यह उनमें से सबसे छोटे से भी छोटा होता है। इसका व्युत्क्रम शाखाओं की चालकताओं $G = 1/ R$ के योग के बराबर है, सीमेंस में ( $1 S = 1 A/V$ )।
$P$	शक्ति	$W$	प्रति सेकंड परिवर्तित ऊर्जा, $P = V I$ । ऐनिमेशन का बल्ब 1.6 से 6.4 W परिवर्तित करता है।
$ρ$	प्रतिरोधकता	$Ω m$	पदार्थ का गुण जो तार का प्रतिरोध तय करता है, $R = ρ L / A$ , जहाँ $L$ लंबाई और $A$ अनुप्रस्थ काट है; तांबे के लिए $1.7 \times 1 0^{- 8} Ω m$ ।

क्विज़

शुरुआती एक बल्ब बैटरी से जुड़ा है। यदि उसी लूप में दूसरा प्रतिरोधक जोड़ दें, तो धारा का क्या होगा?
1. बढ़ेगी
2. घटेगी
3. वही रहेगी
4. दिशा उलट जाएगी
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उत्तर: B. घटेगी
अतिरिक्त प्रतिरोधक लूप में आवेशों के लिए बहाव कठिन बनाता है, इसलिए उसी बैटरी के साथ धारा कम होती है और बल्ब मद्धम हो जाता है।
शुरुआती बल्ब में आने वाली धारा की तुलना में बल्ब से बाहर जाने वाली धारा:
1. कम होती है, क्योंकि बल्ब उसका कुछ भाग खर्च कर देता है
2. शून्य होती है
3. समान होती है
4. अधिक होती है, क्योंकि बल्ब गर्म हो जाता है
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उत्तर: C. समान होती है
आवेश खर्च नहीं होते: बल्ब में प्रवेश करने वाला हर आवेश उससे बाहर निकलता है। बल्ब आवेशों से ऊर्जा लेता है, आवेशों को स्वयं नहीं।
शुरुआती परिपथ में बैटरी क्या करती है?
1. खाली तारों को नए आवेशों से भर देती है
2. रसायनों से इलेक्ट्रॉन बनाती है
3. तारों को धारा का विरोध करने पर मजबूर करती है
4. तारों में पहले से मौजूद आवेशों को धकेलती है और उन्हें ऊर्जा देती है
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उत्तर: D. तारों में पहले से मौजूद आवेशों को धकेलती है और उन्हें ऊर्जा देती है
तारों में पहले से गतिशील आवेश भरे होते हैं। बैटरी एक पंप की तरह काम करती है: वह धक्का (वोल्टता) देती है जो उन्हें गतिमान रखता है और ऊर्जा स्थानांतरित करता है।
मध्यम 9 V की बैटरी 30 Ω के प्रतिरोधक से जुड़ी है। धारा कितनी है?
1. 0.3 A
2. 270 A
3. 3.3 A
4. 0.03 A
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उत्तर: A. 0.3 A
I = V/R = 9 / 30 = 0.3 A। भाग की जगह गुणा करने पर 270 A मिलता है; भाग को उल्टा करने पर 3.3 A मिलता है।
मध्यम 6 Ω और 3 Ω के प्रतिरोधक समांतर में जुड़े हैं। उनका संयुक्त प्रतिरोध कितना है?
1. 9 Ω
2. 4.5 Ω
3. 2 Ω
4. 0.5 Ω
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उत्तर: C. 2 Ω
1/R = 1/6 + 1/3 = 1/2, इसलिए R = 2 Ω, जो दोनों में से किसी भी प्रतिरोधक से छोटा है। 9 Ω श्रेणी का मान है; 0.5 तो 1/R है, R नहीं।
मध्यम 9 V की बैटरी 12 Ω के परिवर्ती प्रतिरोधक और 6 Ω के बल्ब के साथ श्रेणी में धारा चलाती है। बल्ब के आर-पार वोल्टता कितनी है?
1. 6 V
2. 4.5 V
3. 3 V
4. 9 V
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उत्तर: C. 3 V
I = 9 / (12 + 6) = 0.5 A, इसलिए V_B = 0.5 × 6 = 3 V। परिवर्ती प्रतिरोधक शेष 6 V लेता है, और दोनों वोल्टता-पात मिलकर 9 V होते हैं। 4.5 V बराबर बँटवारा होता, जो केवल तब होता जब प्रतिरोध बराबर हों।
उन्नत विद्युत वाहक बल 12 V और आंतरिक प्रतिरोध r = 2 Ω वाली बैटरी एक परिवर्ती भार प्रतिरोधक R को चलाती है। R के किस मान पर भार को दी गई शक्ति सबसे अधिक होगी?
1. R = 0, क्योंकि तब धारा सबसे अधिक होती है
2. R यथासंभव बड़ा, क्योंकि तब उसके आर-पार वोल्टता सबसे अधिक होती है
3. R = 4 Ω
4. R = 2 Ω
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उत्तर: D. R = 2 Ω
P = ε²·R/(R + r)², और dP/dR = ε²·(r − R)/(R + r)³ का मान R = r = 2 Ω पर शून्य होता है, जिससे 12²/(4·2) = 18 W मिलता है। R = 0 पर भार के आर-पार कोई वोल्टता नहीं होती, और बहुत बड़े R पर लगभग कोई धारा नहीं बहती, इसलिए दोनों सिरों पर शक्ति शून्य की ओर जाती है।
उन्नत किरखॉफ़ का लूप-नियम (किसी भी बंद लूप के चारों ओर वोल्टताओं का योग शून्य होता है) किस सिद्धांत को व्यक्त करता है?
1. आवेश का संरक्षण
2. ऊर्जा का संरक्षण, क्योंकि स्थिरवैद्युत क्षेत्र संरक्षी है
3. न्यूटन का तीसरा नियम
4. संवेग का संरक्षण
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उत्तर: B. ऊर्जा का संरक्षण, क्योंकि स्थिरवैद्युत क्षेत्र संरक्षी है
लूप का एक चक्कर लगाने पर आवेश उसी विभव पर लौटता है, इसलिए स्रोतों में प्राप्त ऊर्जा प्रतिरोधकों में खोई ऊर्जा के बराबर होती है। आवेश के संरक्षण को संधि-नियम व्यक्त करता है।

$I$	बल्ब से बहने वाली धारा, लूप में हर जगह एक समान।	$A$
$V_{B}$	बल्ब के आर-पार की वोल्टता।	$V$
$ε$	बैटरी का विद्युत वाहक बल: वह बिंदु जहाँ हर भार-रेखा वोल्टता-अक्ष को छूती है।	$V$
$R_{B}$	बल्ब का प्रतिरोध: उसकी रेखा की ढलान।	$Ω$
$R_{1}$	परिवर्ती प्रतिरोधक का निचला सिरा: कम ढलान वाली भार-रेखा, जिसकी ढलान $- R_{1}$ है और जो धारा-अक्ष को $ε / R_{1}$ पर छूती है।	$Ω$
$R_{2}$	परिवर्ती प्रतिरोधक का ऊपरी सिरा: अधिक ढलान वाली भार-रेखा, जिसकी ढलान $- R_{2}$ है।	$Ω$

$R$	भार का प्रतिरोध।	$Ω$
$P$	स्रोत से भार द्वारा खींची गई शक्ति।	$W$
$r$	स्रोत का आंतरिक प्रतिरोध; शिखर $R = r$ पर है।	$Ω$
$P_{m a x}$	स्रोत जो अधिकतम शक्ति भार को दे सकता है, $ε^{2} / (4 r)$ ।	$W$
$R_{1}$	$r$ से छोटा भार।	$Ω$
$R_{2}$	$r$ से बड़ा भार, जिसके लिए $R_{1} R_{2} = r^{2}$ है; यह $R_{1}$ के समान शक्ति लेता है।	$Ω$

$ε$	बैटरी का विद्युत वाहक बल।	$V$
$R$	परिवर्ती प्रतिरोधक का प्रतिरोध।	$Ω$
$R_{B}$	एक बल्ब का प्रतिरोध; दोनों समान हैं।	$Ω$
$φ$	बल्बों के ऊपर के तार का विभव, बैटरी के − टर्मिनल से मापा गया।	$V$
$I$	बैटरी से परिवर्ती प्रतिरोधक के माध्यम से बहने वाली धारा।	$A$
$I_{B}$	एक बल्ब में धारा: $I$ की आधी, क्योंकि बल्ब समान हैं।	$A$

$L$	प्रतिरोधक की लंबाई।	$m$
$a$	प्रतिरोधक की त्रिज्या।	$m$
$I$	प्रतिरोधक से बहने वाली धारा।	$A$
$E$	पार्श्व के ठीक बाहर का विद्युत क्षेत्र: छड़ के अनुदिश, धारा की दिशा में।	$V/m$
$B$	धारा का चुंबकीय क्षेत्र: छड़ के चारों ओर घूमता है, ऊपर पृष्ठ से बाहर और नीचे पृष्ठ में अंदर।	$T$
$S$	ऊर्जा-प्रवाह $E \times B / μ_{0}$ : छड़ के भीतर की ओर इंगित करता है, ऊपरी भाग पर नीचे की ओर और निचले भाग पर ऊपर की ओर।	$W/ m^{2}$