विद्युत आवेश और स्थिर विद्युत

विद्युत आवेश $q$ दो प्रकार का होता है और प्राथमिक आवेश के पूर्णांक गुणकों में होता है, $q = \pm n e$ ; रगड़ से केवल इलेक्ट्रॉन एक पिंड से दूसरे में जाते हैं, इसलिए कुल आवेश संरक्षित रहता है, और आवेशित पिंड ध्रुवण द्वारा उदासीन वस्तुओं को भी आकर्षित करता है।

एक गुब्बारे को ऊनी स्कार्फ़ पर रगड़ा जाता है तो उसे इलेक्ट्रॉन मिलते हैं; कागज़ के टुकड़ों के ऊपर लाने पर वह उनमें ध्रुवण पैदा करता है, और वे उछलकर उससे चिपक जाते हैं।

शुरुआती

मुख्य विचार

पदार्थ में धनात्मक प्रोटॉन और ऋणात्मक इलेक्ट्रॉन होते हैं; जिस वस्तु में दोनों बराबर हों वह उदासीन होती है।
रगड़ से इलेक्ट्रॉन एक पदार्थ से दूसरे में जाते हैं: जो उन्हें पाता है वह ऋणात्मक और जो खोता है वह धनात्मक हो जाता है।
आवेश न बनता है न नष्ट होता है, केवल स्थानांतरित होता है: गुब्बारे को ठीक उतना आवेश मिलता है जितना ऊन खोता है।
समान आवेश दूर धकेलते हैं और विपरीत आवेश आकर्षित करते हैं; आवेशित वस्तु कागज़ जैसी उदासीन चीज़ों को भी खींचती है।
धातुएँ आवेश को स्वतंत्र चलने देती हैं (चालक); रबर, प्लास्टिक और कागज़ उसे एक जगह रोके रखते हैं (कुचालक)।

किसी अँधेरे कमरे में ऊनी स्वेटर सिर से उतारें तो शायद छोटी चिंगारियाँ दिखें और चटचटाने की आवाज़ आए। यही स्थिर विद्युत है: किसी वस्तु पर जमा हुआ आवेश, जो वहीं टिका रहता है।

चरण 1: दो प्रकार के आवेश। सब कुछ परमाणुओं से बना है। हर परमाणु के केंद्र में प्रोटॉन होते हैं, जिन पर धनात्मक आवेश (+) है; उनके चारों ओर कहीं हल्के इलेक्ट्रॉन घूमते हैं, जिन पर ऋणात्मक आवेश (−) है। एक साधारण वस्तु में इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन बराबर होते हैं, इसलिए वह उदासीन होती है।

चरण 2: खेल का नियम। समान आवेश एक-दूसरे को दूर धकेलते हैं; विपरीत आवेश एक-दूसरे को खींचते हैं।

चरण 3: रगड़ से आवेशित करना। कुछ पदार्थ अपने इलेक्ट्रॉन दूसरों से अधिक कसकर पकड़ते हैं। रबर के गुब्बारे को ऊनी स्कार्फ़ पर रगड़ें, तो इलेक्ट्रॉन ऊन से गुब्बारे में चले जाते हैं। अब गुब्बारे में अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन हैं, इसलिए वह ऋणात्मक है; ऊन में उतने ही इलेक्ट्रॉन कम हैं, इसलिए वह धनात्मक है। कोई आवेश बनता या नष्ट नहीं होता: वह केवल चलता है, और कुल योग वही रहता है।

चरण 4: चालक और कुचालक। धातुओं में कुछ इलेक्ट्रॉन स्वतंत्र घूमते हैं, इसलिए अतिरिक्त आवेश पूरी वस्तु में फैल जाता है; ये चालक हैं। रबर, प्लास्टिक, कागज़ और ऊन में इलेक्ट्रॉन स्थिर रहते हैं, इसलिए आवेश जहाँ रखा गया वहीं रहता है; ये कुचालक हैं।

चरण 5: उदासीन वस्तुओं को खींचना। आवेशित गुब्बारा पास के कागज़ के भीतर के आवेशों को थोड़ा खिसका देता है, जिससे उसकी ओर वाला भाग थोड़ा धनात्मक हो जाता है। यह भाग निकट है, इसलिए खिंचाव जीत जाता है और कागज़ उछलकर ऊपर चला जाता है।

स्वयं जाँचें: एक प्लास्टिक की कंघी आपके बालों से इलेक्ट्रॉन लेती है। कंघी धनात्मक है या ऋणात्मक? क्या वह आपके बालों को आकर्षित करेगी या दूर धकेलेगी? (ऋणात्मक; आकर्षित करेगी, क्योंकि आपके बाल अब धनात्मक हैं।)

एनिमेशन में नीले इलेक्ट्रॉन ऊन से गुब्बारे पर कूदते हैं और पीछे लाल धन चिह्न छोड़ जाते हैं; फिर कागज़ के टुकड़े उछलकर गुब्बारे तक पहुँचते हैं।

मध्यम

मुख्य विचार

आवेश कूलॉम में मापा जाता है और क्वांटित है: $q = \pm n e$ , जहाँ $e = 1.602 \times 1 0^{- 19} C$ ।
ठोसों में केवल इलेक्ट्रॉन चलते हैं: धनात्मक वस्तु ने इलेक्ट्रॉन खोए होते हैं, ऋणात्मक ने प्राप्त किए होते हैं।
संरक्षण: पृथक निकाय का कुल आवेश स्थिर रहता है, इसलिए रगड़ के बाद $q_{balloon} + q_{wool} = 0$ ।
दो समान चालक गोले स्पर्श करने पर कुल आवेश बराबर बाँट लेते हैं: $q^{'} = (q_{1} + q_{2}) /2$ ।
प्रेरण: पास का आवेश चालक के आवेश अलग करता है या कुचालक को ध्रुवित करता है, जिससे बिना स्पर्श आकर्षण होता है।

आवेश क्या है और उसे कैसे गिना जाता है

विद्युत आवेश उन कणों का गुण है जिनसे परमाणु बने हैं। यह दो प्रकार का होता है, जिन्हें बेंजामिन फ़्रैंकलिन ने धनात्मक और ऋणात्मक नाम दिया: नाभिक के प्रोटॉन धनात्मक आवेश रखते हैं, उनके चारों ओर के कहीं अधिक हल्के इलेक्ट्रॉन ऋणात्मक आवेश रखते हैं, और न्यूट्रॉन पर कोई आवेश नहीं होता। समान आवेश एक-दूसरे को दूर धकेलते हैं, असमान आवेश एक-दूसरे को खींचते हैं। परमाणु में इलेक्ट्रॉनों की संख्या प्रोटॉनों के बराबर होती है, इसलिए वह उदासीन होता है: उसका शुद्ध आवेश शून्य है, पर उसमें दोनों प्रकार के आवेश भरपूर होते हैं।

आवेश को कूलॉम (C) में मापा जाता है, और स्थिर आवेश प्रायः नैनोकूलॉम (1 nC = $1 0^{- 9} C$ ) या माइक्रोकूलॉम में होते हैं। आवेश सबसे छोटी इकाई, यानी प्राथमिक आवेश, के पूर्ण गुणकों में होता है: प्रोटॉन पर $+ e$ और इलेक्ट्रॉन पर $- e$ होता है, जहाँ
$e = 1.602 \times 1 0^{- 19} C$
इसलिए किसी भी वस्तु का आवेश
$q = \pm n e, n = 0, 1, 2, \dots$
होता है।

ठोसों में नाभिक अपनी जगह जमे रहते हैं और केवल इलेक्ट्रॉन चलते हैं, इसलिए $n$ प्राप्त (चिह्न $-$ ) या खोए (चिह्न $+$ ) इलेक्ट्रॉनों की गिनती है। एक कूलॉम में $6.24 \times 1 0^{18}$ प्राथमिक आवेश होते हैं।

रगड़ आवेश को अलग करती है; कुल आवेश संरक्षित रहता है

जब दो भिन्न पदार्थ छूते हैं, तो कुछ सतही इलेक्ट्रॉन उस पदार्थ की ओर चले जाते हैं जो उन्हें अधिक कसकर बाँधता है; रगड़ से संपर्क के बिंदु बढ़ जाते हैं। रबर, PVC और पॉलीथीन ऊन, बाल और त्वचा से इलेक्ट्रॉन ले लेते हैं, जबकि काँच कुछ इलेक्ट्रॉन रेशम को दे देता है। ऐसे क्रम, जिन्हें घर्षण-विद्युत श्रेणी (triboelectric series) कहते हैं, केवल मोटे मार्गदर्शक हैं: नमी और गंदगी इन्हें बदल सकती हैं।

रगड़ आवेश नहीं बनाती; वह पहले से मौजूद आवेश को अलग करती है। पृथक निकाय में, जिसमें न आवेश प्रवेश करता है न निकलता है, कुल आवेश कभी नहीं बदलता:
$\sum q = const (isolated system)$
योग चिह्नों सहित लिया जाता है: ऋणात्मक गुब्बारा और उतना ही धनात्मक स्कार्फ़ मिलकर शून्य होते हैं, जैसे छूने से पहले थे। इस नियम के टूटने का कोई प्रयोग अब तक नहीं मिला है।

उदाहरण: एनिमेशन का गुब्बारा

एनिमेशन में गुब्बारे को चार ऊपर-नीचे के स्ट्रोक से रगड़ा जाता है, और काउंटर $n = 6.0 \times 1 0^{10}$ इलेक्ट्रॉनों तक पहुँचता है; पार जाने वाला हर नीला ऋण चिह्न $1 0^{10}$ इलेक्ट्रॉनों का प्रतीक है। गुब्बारे ने इलेक्ट्रॉन प्राप्त किए हैं, इसलिए
$q = - n e = - 6.0 \times 1 0^{10} \cdot 1.602 \times 1 0^{- 19} C$
$q = - 9.6 \times 1 0^{- 9} C = - 9.6 nC$

ऊन ने ठीक उतने ही इलेक्ट्रॉन खोए हैं, इसलिए उस पर $+ 9.6 nC$ है। ये नीले और लाल रीडआउट के अंतिम मान हैं; रगड़ के हर क्षण पर दोनों बराबर और विपरीत होते हैं, क्योंकि ऊन पर बचा हर लाल धन चिह्न गुब्बारे के एक नीले ऋण चिह्न से मेल खाता है।

क्या यह बहुत है? 3 g के गुब्बारे में लगभग $1 0^{24}$ इलेक्ट्रॉन होते हैं, इसलिए केवल 17 ट्रिलियन (1.7 × 10¹³) में से एक इलेक्ट्रॉन अतिरिक्त है। विद्युत बल इतना प्रबल है कि इतना छोटा असंतुलन भी कागज़ उठा देता है।

चालक और कुचालक

धातु में प्रति परमाणु एक या दो इलेक्ट्रॉन पूरे टुकड़े में स्वतंत्र घूमते हैं, इसलिए अतिरिक्त आवेश तुरंत फैलकर बाहरी पृष्ठ पर बैठ जाता है। ऐसे पदार्थ चालक हैं: धातुएँ, नमकीन पानी और मानव शरीर, जिसमें आवेश-वाहक आयन होते हैं।

रबर, प्लास्टिक, काँच और सूखे कागज़ जैसे कुचालकों में इलेक्ट्रॉन अपने परमाणुओं से बँधे रहते हैं, इसलिए आवेश जहाँ रखा गया वहीं रहता है। इसीलिए एनिमेशन में गुब्बारे का रगड़ा गया भाग कागज़ की ओर है। खाली हाथ में पकड़े धातु के चम्मच को रगड़कर आवेशित नहीं किया जा सकता: आवेश आपके शरीर के रास्ते भूमि में निकल जाता है।

चालक को भूमि से जोड़ना, जो कितना भी आवेश दे या ले सकती है, अर्थिंग (earthing) कहलाता है। नम मौसम में सतहों पर पानी की परत भी आवेश रिसाती है, यद्यपि धीरे, इसलिए स्थिर-विद्युत के प्रयोग सूखे दिनों में सबसे अच्छे चलते हैं।

उदाहरण: गोलों के बीच आवेश का बँटवारा

जब दो चालक छूते हैं, तो इलेक्ट्रॉन तब तक बहते हैं जब तक उन्हें और धकेलने वाला कोई बल न रहे। समरूपता से, समान चालकों पर अंत में बराबर आवेश होने चाहिए, और संरक्षण कुल योग तय करता है:
$q^{'} = \frac{q _{1} + q _{2}}{2} (identical conductors in contact)$

तीन समान धातु के गोले कुचालक स्टैंड पर रखे हैं: A पर $- 12 nC$ है, B उदासीन है और C पर $+ 4 nC$ है। A, B को छूता है, फिर B, C को छूता है। हर गोले पर अंत में कितना आवेश होता है?

पहला संपर्क: कुल आवेश $- 12 nC$ है, इसलिए A और B दोनों पर $- 6 nC$ होता है, और इसके लिए A से B की ओर $6 nC / e = 3.7 \times 1 0^{10}$ इलेक्ट्रॉन जा चुके हैं। दूसरा संपर्क: कुल आवेश $- 6 + 4 = - 2 nC$ है, इसलिए B और C दोनों पर $- 1 nC$ होता है। जाँच: $- 6 - 1 - 1 = - 8 nC$ , जो प्रारंभिक कुल योग $- 12 + 0 + 4$ है। दूसरे संपर्क में $5 nC / e = 3.1 \times 1 0^{10}$ इलेक्ट्रॉन B से C की ओर गए, जिन्होंने C के $+ 4 nC$ को निरस्त कर दिया और उसे थोड़ा ऋणात्मक बना दिया; कोई धनात्मक आवेश नहीं चला।

स्पर्श के बिना आकर्षण: ध्रुवण और प्रेरण

आवेशित वस्तु बिना छुए उदासीन वस्तु को खींच सकती है। ऋणात्मक छड़ को धातु की गेंद के पास लाइए: गेंद के स्वतंत्र इलेक्ट्रॉन दूर के भाग की ओर धकेले जाते हैं, और पास का भाग धनात्मक रह जाता है। यही स्थिर-विद्युत प्रेरण है। गेंद उदासीन रहती है, पर उसका धनात्मक भाग छड़ के अधिक निकट होता है, और विद्युत बल दूरी के साथ घटते हैं, इसलिए आकर्षण जीत जाता है।

कुचालक कागज़ में इलेक्ट्रॉन नहीं चल सकते; इसके बदले हर अणु थोड़ा खिंचकर एक सूक्ष्म द्विध्रुव बन जाता है, यानी थोड़ी दूरी पर रखे समान और विपरीत आवेशों का एक जोड़ा। कागज़ ध्रुवित हो जाता है: गुब्बारे की ओर वाले सिरे पर धनात्मक और दूर वाले सिरे पर ऋणात्मक, जैसा क्लोज़-अप में + और − चिह्नों के अलग होने से दिखता है।

बीच वाले टुकड़े के तीरों में यह होड़ दिखती है। $m g$ का तीर, यानी टुकड़े का भार, स्थिर रहता है, जबकि हरा $F$ तीर, विद्युत खिंचाव, गुब्बारे के नीचे आने के साथ तेज़ी से बढ़ता है। जब $F$ की लंबाई $m g$ के बराबर होती है, तब टुकड़ा उड़ जाता है; गुब्बारे के ठीक नीचे वाला बीच का टुकड़ा सबसे पहले उड़ता है। इलेक्ट्रोस्कोप भी प्रेरण से काम करता है: उसकी शीर्ष चकती के पास लाई गई आवेशित छड़ छड़ के चिह्न वाला आवेश दो पतली पत्तियों में भेजती है, जो परस्पर प्रतिकर्षित होकर फैल जाती हैं।

सामान्य गलतियाँ

रगड़ आवेश नहीं बनाती: गुब्बारे का $- 9.6 nC$ और ऊन का $+ 9.6 nC$ उदासीन पदार्थ में पहले से थे, और उनका योग अब भी शून्य है।
धनात्मक वस्तु ने इलेक्ट्रॉन खोए होते हैं, प्रोटॉन प्राप्त नहीं किए: ऊन का $+ 9.6 nC$ का अर्थ है $6.0 \times 1 0^{10}$ इलेक्ट्रॉनों की कमी।
उदासीन का अर्थ आवेशरहित नहीं है: उदासीन 3 g के गुब्बारे के इलेक्ट्रॉनों में लगभग 160,000 C ऋणात्मक आवेश है, जो उसके नाभिकों से ठीक संतुलित है।
आकर्षण से यह सिद्ध नहीं होता कि वस्तु आवेशित है: उदासीन कागज़ का टुकड़ा किसी भी चिह्न के आवेश से आकर्षित होता है। केवल प्रतिकर्षण बताता है कि दो वस्तुओं पर समान चिह्न के आवेश हैं।
$e$ से गुणा करें, भाग नहीं: $6.0 \times 1 0^{10}$ इलेक्ट्रॉनों पर $9.6 \times 1 0^{- 9} C$ आवेश है, जबकि भाग देने पर बेतुका $3.7 \times 1 0^{29} C$ आएगा।

इसका उपयोग कहाँ होता है

स्थिर विद्युत लेज़र प्रिंटर और फ़ोटोकॉपियर में काम आती है, जहाँ आवेशित ड्रम पृष्ठ के पैटर्न में टोनर उठाता है; स्प्रे पेंटिंग में, और इलेक्ट्रोस्टैटिक प्रेसिपिटेटर में भी, जो बिजलीघर के धुएँ से 99% से अधिक राख हटाते हैं। यह खतरा भी है: शुष्क दिन में कालीन पर चलने से शरीर पर लगभग एक माइक्रोकूलॉम आवेश जमा हो सकता है, जो दरवाज़े के हैंडल पर चिंगारी के लिए पर्याप्त है; और ईंधन टैंकरों को उतारने से पहले भूमि से जोड़ा जाता है। बिजली के एक प्रहार में लगभग 5 से 30 C आवेश होता है।

अगला पाठ, कूलॉम का नियम, दो आवेशों के बीच बल को मापता है। विद्युत क्षेत्र और विभव, संधारित्र, और विद्युत धारा और प्रतिरोध आवेश को उसके चारों ओर के स्थान में, भंडारण में और गति में आगे ले जाते हैं।

उन्नत

मुख्य विचार

विद्युत बल गुरुत्वाकर्षण से कहीं प्रबल है (दो प्रोटॉनों के बीच लगभग $1 0^{36}$ गुना), इसलिए पदार्थ अत्यंत सटीकता से उदासीन रहता है।
संरक्षण स्थानीय है: $\partial ρ / \partial t + \nabla \cdot J = 0$ , अतः आवेश किसी क्षेत्र से केवल उसकी सीमा पार करके ही निकल सकता है।
उदासीन पिंड में प्रेरित द्विध्रुव $p = α E$ बनता है और उस पर $F = \frac{α}{2} \nabla (E^{2})$ बल लगता है: $Q$ के चिह्न से स्वतंत्र, वह प्रबल क्षेत्र की ओर खिंचता है।
बिंदु आवेश के निकट $F = 2 α k^{2} Q^{2} / d^{5}$ : $d$ आधा होने पर खिंचाव 32 गुना, इसलिए उठता कण तेज़ी से खिंच जाता है।
साम्यावस्था में चालक के भीतर $E = 0$ होता है, और सारा शुद्ध या प्रेरित आवेश उसके पृष्ठ पर रहता है।

लगभग स्वयं को निरस्त करने वाला बल

यह खंड बताता है कि अधिकांश पदार्थ अनावेशित दिखने के बावजूद विद्युत बल रोज़मर्रा की दुनिया को कैसे चलाते हैं। $r$ दूरी पर रखे दो छोटे आवेश $q_{1}$ और $q_{2}$ परस्पर
$F = \frac{k ∣ q _{1} q _{2} ∣}{r ^{2}}$
परिमाण वाले बल से आकर्षित या प्रतिकर्षित होते हैं (कूलॉम का नियम), जहाँ $k = 8.99 \times 1 0^{9} N \cdot m^{2} / C^{2}$ है। गुरुत्वाकर्षण की तरह यह बल भी दूरी के वर्ग के व्युत्क्रम में घटता है। पर गुरुत्वाकर्षण से भिन्न, यह बल अतुलनीय रूप से कहीं अधिक प्रबल है। दो प्रोटॉनों के बीच दोनों बलों की तुलना कीजिए; प्रत्येक प्रोटॉन पर आवेश $e$ और द्रव्यमान $m_{p}$ है, और $G$ गुरुत्वीय स्थिरांक है। दोनों बलों में समान $1/ r^{2}$ है, इसलिए $r$ निरस्त हो जाता है और अनुपात हर दूरी पर समान रहता है:
$\frac{F _{e}}{F _{g}} = \frac{k e ^{2}}{G m _{p}^{2}} \approx 1.2 \times 1 0^{36}$

तो हम इसे इतने कम क्यों महसूस करते हैं? क्योंकि आवेश के दो चिह्न होते हैं, और पदार्थ इन्हें लगभग पूर्णतः संतुलित रखता है: किसी परमाणु या अणु का आवेश $e$ के $1 0^{21}$ वें भाग तक शून्य होता है। एक मोटा अनुमान दिखाता है कि संतुलन इतना सूक्ष्म क्यों होना चाहिए। 1 g पानी की बूँद में $3.3 \times 1 0^{23}$ इलेक्ट्रॉन होते हैं, जिनका आवेश लगभग $5.4 \times 1 0^{4} C$ है, और इसे उसके नाभिकों के उतने ही धनात्मक आवेश संतुलित करते हैं। ऐसी दो बूँदों में से प्रत्येक से दस लाख में एक इलेक्ट्रॉन निकालिए और उन्हें 1 m दूर रखिए। प्रत्येक बूँद पर $q = + 0.054 C$ रह जाता है, और वे
$F = \frac{k q ^{2}}{r ^{2}} \approx 2.6 \times 1 0^{7} N$
के बल से प्रतिकर्षित होती हैं, जो लगभग 2600 टन के भार के बराबर है।

जो हम वास्तव में महसूस करते हैं, वे अवशेष हैं। पड़ोसी परमाणु उदासीन होते हैं, पर परमाणवीय दूरियों पर उनके धनात्मक और ऋणात्मक आवेश ठीक एक-दूसरे के ऊपर नहीं होते। यही छोटा विचलन मेज़ का धक्का, रस्सी का तनाव और रसायन के बंधन हैं।

क्वांटित, अपरिवर्ती और संरक्षित

तीन प्रायोगिक तथ्य बताते हैं कि आवेश क्या है। पदार्थ का हर सिद्धांत इन तीनों का पालन करना चाहिए।

पहला, आवेश क्वांटित है: यह केवल प्राथमिक आवेश $e$ के पूर्ण गुणकों में होता है। 1909 और 1913 के बीच रॉबर्ट मिलिकन ने विद्युत क्षेत्र में सूक्ष्म आवेशित तेल की बूँदों को गुरुत्वीय बल के विरुद्ध संतुलित करके यह दिखाया; उनके मापे हर आवेश $e$ का पूर्ण गुणक था। 2019 से SI ने $e = 1.602176634 \times 1 0^{- 19} C$ को ठीक-ठीक तय कर दिया है, और यही मान कूलॉम को परिभाषित करता है। क्वार्कों पर भिन्नात्मक आवेश होते हैं, $+ \frac{2}{3} e$ या $- \frac{1}{3} e$ , पर वे कभी अकेले नहीं मिलते। वे हमेशा पूर्ण आवेश वाले कणों में बँधे रहते हैं: प्रोटॉन (uud) पर $+ e$ है, न्यूट्रॉन (udd) पर शून्य।

दूसरा, आवेश अपरिवर्ती है: यह आवेशित कण की गति पर निर्भर नहीं करता। हीलियम नाभिक के भीतर प्रोटॉन प्रकाश की गति के एक पर्याप्त अंश पर चलते हैं; हाइड्रोजन अणु में वे लगभग स्थिर होते हैं। यदि प्रोटॉन का आवेश उसकी चाल के साथ बदलता, तो दोनों में से एक गैस पर शुद्ध आवेश होता, जबकि दोनों लगभग $1 0^{20}$ में एक भाग तक उदासीन हैं। ऊर्जा, संवेग, लंबाई और समय-अंतराल सभी प्रेक्षक पर निर्भर करते हैं; आवेश नहीं।

तीसरा, आवेश संरक्षित है: हर प्रक्रिया में, जो कभी देखी गई है, प्रक्रिया के बाद का कुल आवेश उसके पहले के कुल आवेश के बराबर होता है। किसी नाभिक के निकट से गुज़रती गामा किरण एक इलेक्ट्रॉन और एक पॉज़िट्रॉन में बदल सकती है, $0 \to (- e) + (+ e)$ । एक मुक्त न्यूट्रॉन एक प्रोटॉन, एक इलेक्ट्रॉन और एक प्रतिन्यूट्रिनो में क्षय हो जाता है, $0 \to (+ e) + (- e) + 0$ । कण प्रकट और लुप्त होते हैं, पर शुद्ध आवेश नहीं बदलता।

स्थानीय संरक्षण: सांतत्य समीकरण

संरक्षण केवल “कुल योग वही रहता है” से कहीं अधिक कहता है। आवेश एक जगह लुप्त होकर दूसरी जगह पुनः प्रकट नहीं हो सकता; उसे वहाँ तक यात्रा करनी होती है। यह खंड इस विचार को एक समीकरण में बदलता है, और चित्र 1 हिसाब-किताब की रूपरेखा देता है।

चित्र 1 एक स्थिर आयतन $V$ दिखाता है, जिसे बंद पृष्ठ $S$ घेरे हुए है। भीतर का आवेश उसके आवेश-घनत्व $ρ$ से वर्णित है, यानी प्रति इकाई आयतन आवेश (लाल बिंदु)। गतिमान आवेश को धारा-घनत्व $J$ से वर्णित किया जाता है, यानी प्रति इकाई क्षेत्रफल धारा, जो धनात्मक आवेश के प्रवाह की दिशा में इंगित करती है। तीर $J$ दोनों दिशाओं में $S$ को पार करते हैं: अधिकांश $V$ से बाहर जाते हैं, पर बाईं ओर के दो भीतर आते हैं।

$S$ के पार जाने वाले आवेश को गिनने के लिए उसे छोटे खंडों में बाँटिए। दाईं ओर का बड़ा किया गया खंड क्षेत्रफल $d A$ का है, और हम उसे लंबाई $d A$ वाले, $V$ से बाहर की ओर इंगित करने वाले सदिश $d A$ में बदल देते हैं। $J$ का केवल $d A$ के अनुदिश भाग इस खंड से आवेश ले जाता है; खंड के समांतर भाग उसके पास से फिसल जाता है। अतः इस खंड से बाहर जाने वाली धारा है
$J \cdot d A = J d A cos θ$
जहाँ $θ$ बड़े किए गए खंड के दोनों तीरों के बीच का कोण है। जहाँ आवेश बाहर जाता है, वहाँ $θ$ $9 0^{\circ}$ से कम होता है और यह पद धनात्मक है; जहाँ आवेश भीतर आता है, वहाँ $θ$ $9 0^{\circ}$ से अधिक होता है और यह ऋणात्मक है। सभी खंडों पर जोड़ने पर $\oint_{S} J \cdot d A$ अर्थात $V$ से बाहर जाने वाली शुद्ध धारा मिलती है।

अब भौतिकी। चूँकि $V$ स्थिर है, उसके भीतर का आवेश केवल $S$ को पार करके ही बदल सकता है। अतः भीतर का आवेश ठीक उसी दर से घटता है जिस दर से शुद्ध धारा बाहर बहती है:
$\frac{d}{d t} \int_{V} ρ d V = - \oint_{S} J \cdot d A$
यह स्थानीय संरक्षण का समाकल रूप है। इसे एकल बिंदुओं के कथन में बदलने के लिए अपसरण प्रमेय (divergence theorem) प्रयोग कीजिए, जो बंद पृष्ठ से निर्गत फ़्लक्स को अपसरण के आयतन-समाकल के रूप में लिख देता है: $\oint_{S} J \cdot d A = \int_{V} \nabla \cdot J d V$ । चूँकि $V$ गतिशील नहीं है, समय-अवकलज बाईं ओर के समाकल के भीतर जा सकता है, और दोनों पक्ष एक ही आयतन पर समाकल बन जाते हैं:
$\int_{V} (\frac{\partial ρ}{\partial t} + \nabla \cdot J) d V = 0$
यह हर स्थिर आयतन के लिए, चाहे वह कितना भी छोटा हो, सत्य है। जो समाकल हर छोटे क्षेत्र पर शून्य हो, वह तभी शून्य हो सकता है जब समाकल्य हर बिंदु पर शून्य हो, अतः
$\frac{\partial ρ}{\partial t} + \nabla \cdot J = 0$
यह सांतत्य समीकरण है। शब्दों में: जहाँ आवेश-घनत्व घट रहा हो, वहाँ से धारा बाहर फैल रही होती है।

जब वैश्विक नियम भी कुल योग को उतना ही सुरक्षित रखता, तो स्थानीय नियम पर इतना ज़ोर क्यों? कल्पना कीजिए कि आवेश पृथ्वी पर लुप्त होकर उसी क्षण चंद्रमा पर प्रकट हो जाए। कुल योग कभी नहीं बदलेगा। पर सापेक्षता में, जो दो दूर की घटनाएँ एक प्रेक्षक के लिए एक साथ हैं, वे उस प्रेक्षक के लिए एक साथ नहीं होतीं जो उनके पास से गति कर रहा है। वह दूसरा प्रेक्षक कुछ समय के लिए आवेश को लुप्त देखेगा, या उसे एक साथ दोनों स्थानों पर पाएगा। केवल वही आवेश, जो सीमाओं को पार करके निरंतर बहता है, हर प्रेक्षक के लिए संरक्षित रहता है।

एनिमेशन का $q (t)$ ग्राफ़ समाकल रूप का काम दिखाता है। गुब्बारे के चारों ओर $S$ खींचिए। आवेश केवल वहीं उसे पार करता है जहाँ गुब्बारा और ऊन छूते हैं, इसलिए नीले गुब्बारे वक्र की ढलान गुब्बारे में आती धारा है। लाल ऊन वक्र की ढलान हर क्षण इसके विपरीत है: जो एक प्राप्त करता है, दूसरा खोता है। आवेश 3.2 s में 9.6 nC बदलता है, यानी औसत धारा 3.0 nA है। स्थानांतरण रगड़ी गई दूरी का अनुसरण करता है, इसलिए धारा स्ट्रोक के बीच में लगभग 4.7 nA पर चरम पर होती है और हर स्ट्रोक के सिरे पर शून्य हो जाती है, जहाँ गुब्बारा रुककर उलटता है।

उदासीन पिंड क्यों खिंचता है

आवेशित गुब्बारा ऐसे कागज़ के टुकड़े उठा लेता है जिन पर शुद्ध आवेश नहीं होता। यह खंड बताता है कि ऐसा कैसे होता है, और यह भी कि गुब्बारे के पास आने पर खिंचाव कितनी तेज़ी से बढ़ता है।

चित्र 2 धनात्मक आवेश $Q$ से दूरी $d$ पर स्थित एक उदासीन पिंड दिखाता है। पिंड के आवेश दृढ़ता से स्थिर नहीं हैं; वे थोड़े खिसक सकते हैं। $Q$ का क्षेत्र $Q$ से दूर की ओर इंगित करता है, इसलिए वह धनात्मक आवेश को दूर धकेलता है और ऋणात्मक आवेश को पास खींचता है। पास वाले पक्ष पर आवेश $- q$ जमा होता है और दूर वाले पर $+ q$ , जो लघु सदिश $s$ से अलग होते हैं, जो $- q$ से $+ q$ की ओर खींचा गया है। पिंड एक प्रेरित द्विध्रुव बन गया है, जिसका द्विध्रुव आघूर्ण $p = q s$ है। $p$ कितना बड़ा होता है, यह इस पर निर्भर है कि आवेश कितनी आसानी से खिसकते हैं। परमाणुओं के भीतर के क्षेत्रों की तुलना में दुर्बल क्षेत्र में यह क्षेत्र के समानुपाती होता है,
$p = α E$
जहाँ स्थिरांक $α$ , जिसे ध्रुवणशीलता कहते हैं, यह आसानी मापता है।

अब बलों को देखिए। द्विध्रुव का हर सिरा अपनी स्थिति पर क्षेत्र महसूस करता है। मान लीजिए $r$ निकट सिरे की स्थिति है, जो $Q$ से मापी गई है। $r$ पर स्थित $- q$ सिरा क्षेत्र $E (r)$ में है और $F_{-}$ द्वारा $Q$ की ओर खिंचता है। $r + s$ पर स्थित $+ q$ सिरा दूर है, कमज़ोर क्षेत्र $E (r + s)$ में है, और छोटे बल $F_{+}$ द्वारा दूर धकेला जाता है। दोनों आवेश बराबर और विपरीत हैं, पर उनके क्षेत्र बराबर नहीं हैं, इसलिए बल निरस्त नहीं होते। उनका योग, यानी पिंड के नीचे दर्शाया गया शुद्ध बल $F$ , $Q$ की ओर इंगित करता है।

उसका परिमाण ज्ञात करने के लिए दोनों बलों को जोड़िए और छोटे चरण $s$ पर क्षेत्र का विस्तार कीजिए: $E (r + s) \approx E (r) + (s \cdot \nabla) E$ , जहाँ $(s \cdot \nabla) E$ उस चरण में $E$ का परिवर्तन है। तब
$F = q [E (r + s) - E (r)] \approx (p \cdot \nabla) E$
अतः द्विध्रुव पर शुद्ध बल तभी लगता है जब क्षेत्र स्थान-स्थान पर बदलता हो।

अब $p = α E$ रखिए। किसी भी क्षेत्र के लिए $(E \cdot \nabla) E = \frac{1}{2} \nabla (E^{2}) - E \times (\nabla \times E)$ होता है, और स्थिरवैद्युत क्षेत्र का कर्ल शून्य होता है, $\nabla \times E = 0$ । अतः
$F = \frac{α}{2} \nabla (E^{2})$
बिंदु आवेश के निकट $E = k Q / r^{2}$ है, इसलिए $E^{2} = k^{2} Q^{2} / r^{4}$ । इसकी प्रवणता $Q$ की ओर इंगित करती है, और उसका परिमाण $4 k^{2} Q^{2} / r^{5}$ है। पिंड पर $r = d$ है, और खिंचाव है
$F = \frac{2 α k ^{2} Q ^{2}}{d ^{5}} (point charge)$

इससे तीन परिणाम निकलते हैं। पहला, स्रोत के चिह्न चाहे जो हो, खिंचाव हमेशा प्रबल क्षेत्र की ओर होता है, क्योंकि $E^{2}$ चिह्नों की उपेक्षा करता है। चित्र 2 में $Q$ को ऋणात्मक कर दीजिए: $E$ और $p$ दोनों उलट जाते हैं और $+ q$ सिरा निकटतर हो जाता है, फिर भी $F$ $Q$ की ओर ही इंगित करता है। दूसरा, एकसमान क्षेत्र में $E^{2}$ हर जगह समान होता है, इसलिए कोई शुद्ध बल नहीं होता। लंबा पिंड फिर भी घूमता है, क्योंकि वह अपनी लंबाई के अनुदिश सबसे आसानी से ध्रुवित होता है; इसीलिए कागज़ के टुकड़े उड़ते हुए घूम जाते हैं और एक सिरे के बल गिरते हैं। तीसरा, खिंचाव बहुत तीव्र है: $d$ आधा करने पर यह $2^{5} = 32$ गुना हो जाता है।

बीच वाले टुकड़े के लिए एनिमेशन का $F / m g$ ग्राफ़ इस तीव्रता को दिखाता है। जब 5.6 s पर गुब्बारा नीचे आना शुरू करता है, तब खिंचाव टुकड़े के भार का 6% है। यह 7.0 s पर एक-चौथाई और 7.4 s पर आधे से अधिक पहुँचता है, और लगभग 7.6 s पर 1 पर बनी बिंदुकित रेखा को पार करता है, जब टुकड़ा उठ जाता है। इसी बीच गुब्बारे के केंद्र से टुकड़े तक की दूरी 80 से घटकर 52 इकाई रह जाती है। केंद्र पर स्थित आवेश के लिए $1/ d^{5}$ नियम खिंचाव को $(80/52)^{5} \approx 8.6$ गुना बढ़ा देता, पर वास्तव में यह 17 गुना बढ़ता है। कारण यह है कि आवेश गुब्बारे की निचली सतह पर होता है, जिसका निकटतम भाग लगभग दोगुना पास आ जाता है। एक बार टुकड़ा उठ जाए, तो दूरी और घटती है और खिंचाव अनियंत्रित रूप से बढ़ जाता है।

साम्यावस्था में चालक

चालक में कुछ आवेश स्वतंत्र रूप से चल सकते हैं: धातु में इलेक्ट्रॉन। जब तक कोई भी क्षेत्र उन्हें धकेलता है, वे चलते रहते हैं, इसलिए सब कुछ स्थिर होने पर पदार्थ के भीतर क्षेत्र शून्य होता है, $E = 0$ । फिर विद्युत क्षेत्र और विभव में विकसित गॉस का नियम बताता है कि भीतर कहीं भी शुद्ध आवेश नहीं होता: सारा अतिरिक्त या प्रेरित आवेश पृष्ठ पर बैठता है। पृष्ठ के ठीक बाहर क्षेत्र पृष्ठ के लंबवत होता है, क्योंकि उसका कोई भी घटक जो पृष्ठ के अनुदिश हो, पृष्ठ के आवेशों को अभी भी चलाएगा। उसका परिमाण $E = σ / ε_{0}$ है, जहाँ $σ$ पृष्ठ का प्रति इकाई क्षेत्रफल आवेश है और $ε_{0} = 1/ (4 πk)$ निर्वात की विद्युतशीलता है।

वही गतिशीलता प्रेरण द्वारा आवेशन को भी समझाती है। आवेशित छड़ को चालक के पास लाइए, तो विपरीत चिह्न का आवेश उसके सामने वाले भाग पर जमा हो जाता है। चालक को भूमि से जोड़िए: आवेश उस संयोजन से होकर बहता है जब तक चालक पर छड़ के विपरीत चिह्न का शुद्ध आवेश न हो जाए, जिसे छड़ का आकर्षण वहीं थामे रखता है। पहले भूमि-संयोजन तोड़िए, फिर छड़ हटाइए, और चालक वह आवेश बनाए रखेगा।

जहाँ सतह मुड़ती है वहाँ आवेश जमा होता है

आवेशित चालक पर आवेश समान रूप से नहीं फैलता: वह वहाँ इकट्ठा होता है जहाँ सतह सबसे तीव्र मुड़ती है। चित्र 3 वह सबसे सरल स्थिति दिखाता है जिससे यह बात सटीक होती है।

चित्र 3 त्रिज्याओं $R_{1}$ और $R_{2}$ के दो चालक गोले दिखाता है, जिनमें पहला बड़ा है; वे दूर-दूर हैं और एक पतले तार से जुड़े हैं। मिलकर वे एक ही चालक बनाते हैं, इसलिए आवेश तार से तब तक बहता है जब तक पूरा आवेश, तार और दोनों गोले सहित, एक ही विभव $V$ पर न आ जाए। चूँकि गोले दूर हैं, हर गोले का विभव केवल उसके अपने आवेश से आता है, और $q$ आवेश वाले त्रिज्या $R$ के गोले का विभव $V = k q / R$ होता है। दोनों विभव बराबर रखने पर $k q_{1} / R_{1} = k q_{2} / R_{2}$ , इसलिए
$\frac{q _{1}}{q _{2}} = \frac{R _{1}}{R _{2}}$
बड़े गोले पर अधिक आवेश होता है। अब क्षेत्र के तीरों को देखिए। गोले के पृष्ठ पर क्षेत्र है
$E = \frac{k q}{R ^{2}} = \frac{V}{R}$
और चूँकि $V$ साझा है, $E$ $1/ R$ के अनुपात में है। अतः छोटे गोले पर $E_{2}$ , $E_{1}$ से $R_{1} : R_{2}$ के अनुपात में लंबा है; तीर इसी प्रकार $R_{1} = 2 R_{2}$ के लिए बनाए गए हैं। गोला जितना छोटा होगा, उसके पृष्ठ पर क्षेत्र उतना प्रबल होगा, और चूँकि $E = σ / ε_{0}$ है, वह प्रति इकाई क्षेत्रफल उतना ही अधिक आवेश रखेगा।

यही बात किसी भी आकार के एकल चालक पर लागू होती है: तीखा बिंदु एक छोटे गोले की तरह और सपाट क्षेत्र एक बड़े गोले की तरह व्यवहार करता है। 10 cm त्रिज्या के पिंड पर 0.1 mm त्रिज्या का सिरा, उस पिंड की तुलना में पृष्ठ पर लगभग एक हज़ार गुना विद्युत क्षेत्र देता है। इसीलिए चिंगारियाँ और कोरोना डिस्चार्ज की धीमी चमक बिंदुओं और किनारों से शुरू होती है।

उदाहरण: मनका कब उछलता है?

यह प्रश्न प्रेरित-द्विध्रुव बल को एक वास्तविक वस्तु पर लगाता है। गुब्बारे का आवेश, $Q = 9.6 nC$ , 1 cm त्रिज्या वाले एक धातु के गोले पर रखिए, जो कुचालक स्टैंड पर है। गोले के बाहर उसका क्षेत्र ठीक केंद्र पर रखे बिंदु आवेश $Q$ के क्षेत्र जैसा है। गोले के नीचे एक हल्का चालक मनका है, जो ग्रैफ़ाइट-लेपित पॉलीस्टाइरीन फ़ोम का है, 2 mm चौड़ा है, और जिसका द्रव्यमान-घनत्व $ρ_{m} = 20 kg/ m^{3}$ है। मनका ऊपर उछलने से पहले गोला कितना पास आना चाहिए?

चरण 1, खिंचाव। त्रिज्या $a$ के एक छोटे चालक गोले की ध्रुवणशीलता $α = 4 π ε_{0} a^{3} = a^{3} / k$ है। इसे $F = 2 α k^{2} Q^{2} / d^{5}$ में रखने पर
$F = \frac{2 k Q ^{2} a ^{3}}{d ^{5}}$
मिलता है, जहाँ $d$ गोले और मनके के केंद्रों के बीच की दूरी है।

चरण 2, भार। मनके का द्रव्यमान उसके आयतन और घनत्व के गुणनफल के बराबर है, इसलिए $m g = \frac{4}{3} π a^{3} ρ_{m} g$ ।

चरण 3, शर्त। जब $F > m g$ होगा तब मनका उठेगा। दोनों पक्षों में $a^{3}$ है, जो निरस्त हो जाता है:
$\frac{2 k Q ^{2}}{d ^{5}} > \frac{4}{3} π ρ_{m} g$
$d^{5}$ के लिए हल करने पर:
$d^{5} < \frac{3 k Q ^{2}}{2 π ρ _{m} g}$

चरण 4, संख्याएँ। SI इकाइयों में $3 k Q^{2} = 2.5 \times 1 0^{- 6}$ और $2 π ρ_{m} g = 1.23 \times 1 0^{3}$ है, इसलिए $d^{5} < 2.0 \times 1 0^{- 9} m^{5}$ और $d < 1.8 cm$ । जब मनके का केंद्र गोले के केंद्र से 1.8 cm के भीतर आएगा, तब मनका उछलेगा। गोले की 1 cm त्रिज्या और मनके की 1 mm त्रिज्या घटाने पर, सतहों के बीच लगभग 7 mm का अंतर बचता है।

उठने की दूरी किस प्रकार बदलती है

उदाहरण ने एक ही संख्या दी। चित्र 4 दिखाता है कि आवेश या मनका बदलने पर वह संख्या कैसे खिसकती है, और मनके का आकार क्यों निरस्त हो जाता है।

चित्र 4 मनके पर खिंचाव $F = 2 k Q^{2} a^{3} / d^{5}$ को गोले के केंद्र से दूरी $d$ के विरुद्ध दर्शाता है। $d$ घटने पर खिंचाव तेज़ी से बढ़ता है। भार $m g$ $d$ पर निर्भर नहीं करता, इसलिए वह बिंदुकित क्षैतिज रेखा है। मनका वहाँ उठता है जहाँ कोई वक्र उस रेखा के ऊपर चलता है, यानी प्रतिच्छेद बिंदु के भीतर की किसी भी दूरी पर। आवेश $Q$ के लिए, बाईं ओर का वक्र, प्रतिच्छेद $d_{Q}$ पर है, यानी ऊपर पाए गए 1.8 cm पर।

अब आवेश दोगुना कीजिए। खिंचाव $Q^{2}$ के अनुपात में है, इसलिए हर दूरी पर यह 4 गुना होता है, और $2 Q$ का दायाँ वक्र रेखा को और दूर काटता है। नए प्रतिच्छेद पर भी खिंचाव $m g$ के बराबर होना चाहिए, इसलिए $4/ d_{2 Q}^{5} = 1/ d_{Q}^{5}$ और
$d_{2 Q} = 4^{1/5} d_{Q} = 2^{2/5} d_{Q} \approx 1.32 d_{Q}$
अर्थात 2.4 cm। पाँचवीं घात के कारण आवेश दोगुना करने से दूरी में लगभग एक-तिहाई ही वृद्धि होती है।

जब तक मनका $d$ की तुलना में छोटा रहे, तब तक उसका आकार मायने नहीं रखता, केवल उसका घनत्व मायने रखता है, क्योंकि $a^{3}$ निरस्त हो गया। यदि मनका 32 गुना सघन हो, तो बिंदुकित रेखा 32 गुना ऊँची होगी और प्रतिच्छेद गुणक $3 2^{1/5} = 2$ से अंदर खिसककर 0.9 cm पर आ जाएगा। यह दूरी उस गोले के भीतर है, जिसकी त्रिज्या 1 cm है; इसलिए ऐसा मनका छूने से पहले कभी नहीं उठ सकता।

स्पर्श पर क्या होता है? चालक मनका गोले के आवेश का एक भाग समान चिह्न का लेता है, इसलिए अब वह प्रतिकर्षित होकर दूर फेंक दिया जाता है। कागज़ इतना खराब चालक है कि वह बहुत धीरे आवेशित होता है, इसीलिए कागज़ का टुकड़ा इसके बजाय गुब्बारे से चिपका रहता है।

वैधता की सीमाएँ

इस पाठ का हर प्रतिरूप केवल एक निश्चित परिसर में काम करता है।

हवा लगभग 3 MV/m तक ही कुचालक रहती है। उससे ऊपर, भटके हुए स्वतंत्र इलेक्ट्रॉन अणुओं से टकराने के बीच इतनी ऊर्जा पाते हैं कि और इलेक्ट्रॉन बाहर निकाल दें, और बढ़ता हिमस्खलन चिंगारी बन जाता है। गुब्बारा इससे बहुत दूर है। उसका आवेश लगभग 100 cm² के रगड़े गए क्षेत्र पर फैला है, जो लगभग $σ / (2 ε_{0}) \approx 5 \times 1 0^{4} V/m$ का क्षेत्र देता है, जो लगभग 55 गुना कमज़ोर है; गुणक 2 इसलिए आता है क्योंकि आवेशित कुचालक चादर का क्षेत्र दोनों ओर बाहर की दिशा में होता है। उदाहरण वाला गोला कहीं अधिक पास आता है: उसके पृष्ठ पर क्षेत्र, $R = 1 cm$ के साथ $k Q / R^{2} = 8.6 \times 1 0^{5} V/m$ , भंजन-मान के चौथाई से अधिक है। दूसरे छोर पर, बिजली का एक प्रहार 5 से 30 C ले जाता है, यानी $2 \times 1 0^{20}$ तक इलेक्ट्रॉन, और सैकड़ों मेगावोल्ट के पार।

गुब्बारे के पैमाने पर आवेश का क्वांटित होना दिखाई नहीं देता, जहाँ एक इलेक्ट्रॉन आवेश को $6 \times 1 0^{10}$ के एक भाग से बदलता है। इसीलिए आवेश को घनत्व $ρ$ वाला सतत द्रव माना जा सकता है, जैसा सांतत्य समीकरण में किया गया है। नियम $p = α E$ को परमाणुओं के भीतर के क्षेत्रों से कहीं कम क्षेत्रों की ज़रूरत है, लगभग $5 \times 1 0^{11} V/m$ , और $1/ d^{5}$ नियम को ऐसे पिंड की ज़रूरत है जो $d$ की तुलना में छोटा हो। घर्षण-विद्युत श्रेणी अनुभवजन्य है: यह अब भी बहस का विषय है कि रगड़ी गई सतहों के बीच आवेश इलेक्ट्रॉन, आयन या पदार्थ के सूक्ष्म कण ले जाते हैं। अंत में, शास्त्रीय स्थिरवैद्युतिकी यह नहीं बता सकती कि इलेक्ट्रॉन प्रोटॉन पर क्यों नहीं गिर जाता। इसके लिए क्वांटम यांत्रिकी चाहिए, जो परमाणु मॉडल: बोर परमाणु से शुरू होती है।

इसके आगे

कूलॉम का नियम बिंदु आवेशों के बीच बल को पूरी तरह से लेता है। विद्युत क्षेत्र और विभव क्षेत्रों, गॉस के नियम और समविभव चालकों को उपयोगी औज़ारों में बदल देता है; संधारित्र पृथक आवेश को संचित करता है; विद्युत धारा और प्रतिरोध स्वयं धारा-घनत्व $J$ का अध्ययन करता है। गतिमान आवेश चुंबकीय बल भी अनुभव करते हैं (गतिमान आवेशों पर चुंबकीय बल), और सांतत्य समीकरण मैक्सवेल के समीकरणों में समाहित है (विद्युत चुंबकीय तरंगें)। अर्धचालक, डायोड और एलईडी लुप्त इलेक्ट्रॉन को धनात्मक वाहक मानते हैं, और कण और बल: मानक मॉडल प्रकृति की एक समरूपता से आवेश-संरक्षण निकालता है।

मुख्य सूत्र

आवेश का क्वांटीकरण

q = \pm n e, n = 0, 1, 2, \dots

आवेश कणों द्वारा वहन होता है: प्रत्येक इलेक्ट्रॉन पर $- e$ और प्रत्येक प्रोटॉन पर $+ e$ होता है। अतः किसी वस्तु का शुद्ध आवेश उसके प्राप्त या खोए इलेक्ट्रॉनों की संख्या $n$ को $e$ से गुणा करने पर मिलता है, प्राप्ति के लिए ऋण चिह्न और हानि के लिए धन चिह्न के साथ। आवेश सदैव $e$ के चरणों में बदलता है, उसके भिन्नांश में कभी नहीं।

चिह्न
$q$	वस्तु का शुद्ध आवेश	$C$
$n$	प्राप्त या खोए इलेक्ट्रॉनों की संख्या (पूर्णांक)
$e$	प्राथमिक आवेश	$C$

कब लागू होता है: हर मुक्त कण और हर वस्तु पर लागू होता है। क्वार्कों पर $\pm \frac{1}{3} e$ या $\pm \frac{2}{3} e$ होता है, पर वे हमेशा पूर्ण-संख्या संयोजनों में बँधे रहते हैं। बड़े $n$ के लिए चरण इतने छोटे हैं कि दिखाई नहीं देते, और आवेश सतत-सा व्यवहार करता है।

उदाहरण: एनिमेशन का गुब्बारा $n = 6.0 \times 1 0^{10}$ इलेक्ट्रॉन प्राप्त करता है: $q = - 6.0 \times 1 0^{10} \cdot 1.602 \times 1 0^{- 19} C = - 9.6 nC$ ।

प्राथमिक आवेश

e = 1.602 \times 1 0^{- 19} C

किसी एकल प्रोटॉन या इलेक्ट्रॉन के आवेश का परिमाण, और वह सबसे छोटा आवेश जो कोई मुक्त कण रख सकता है। 2019 से SI इसे ठीक-ठीक $1.602176634 \times 1 0^{- 19} C$ पर स्थिर करता है, और यही कूलॉम को परिभाषित करता है। इसका व्युत्क्रम बताता है कि एक कूलॉम में कितने प्राथमिक आवेश होते हैं: $6.24 \times 1 0^{18}$ ।

चिह्न
$e$	प्राथमिक आवेश	$C$

कब लागू होता है: हर इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के लिए समान है, किसी भी गति पर: आवेश अपरिवर्ती है। प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन के आवेश परिमाण में $1 0^{21}$ के एक भाग से भी बेहतर सटीकता से बराबर हैं।

उदाहरण: 20 C आवेश वाला बिजली का प्रहार $20/ e = 1.25 \times 1 0^{20}$ इलेक्ट्रॉनों को स्थानांतरित करता है।

आवेश का संरक्षण

\sum q = const (isolated system)

ऐसे निकाय में जिसमें न आवेश प्रवेश करता है न निकलता है, सभी आवेशों का योग, उनके चिह्नों सहित, स्थिर रहता है। रगड़ या स्पर्श से आवेशन केवल एक वस्तु से दूसरी में इलेक्ट्रॉन स्थानांतरित करता है; कणों की अभिक्रियाएँ आवेश केवल ऐसे समूहों में उत्पन्न करती हैं जिनका योग शून्य हो, जैसे एक इलेक्ट्रॉन और एक पॉज़िट्रॉन।

चिह्न
$\sum q$	निकाय का कुल आवेश: उसके सभी भागों के आवेश चिह्नों सहित जोड़े गए	$C$
$q$	निकाय के हर भाग का आवेश	$C$

कब लागू होता है: हर अब तक देखी गई प्रक्रिया में सटीक। यह स्थानीय रूप से भी लागू होता है: आवेश किसी क्षेत्र को केवल उसकी सीमा पार करके ही छोड़ सकता है। किसी पृथक न होने वाले निकाय के लिए, कुल योग उतना बदलता है जितना उसमें शुद्ध आवेश प्रवाहित हुआ।

उदाहरण: रगड़ के बाद $q_{balloon} + q_{wool} = - 9.6 + 9.6 = 0 nC$ , जो पहले के कुल योग के समान है।

समान चालकों के बीच आवेश का बँटवारा

q^{'} = \frac{q _{1} + q _{2}}{2} (identical conductors in contact)

जब दो चालक छूते हैं, तो इलेक्ट्रॉन तब तक बहते हैं जब तक उन्हें और कुछ न धकेले। समान दो चालकों के लिए समरूपता अंतिम आवेश बराबर माँगती है, और संरक्षण उनका योग तय करता है, इसलिए हर एक को कुल का आधा मिलता है। आधा करने से पहले आवेशों को उनके चिह्नों सहित जोड़िए।

चिह्न
$q^{'}$	संपर्क के बाद हर चालक पर आवेश	$C$
$q_{1}$	संपर्क से पहले पहले चालक पर आवेश	$C$
$q_{2}$	संपर्क से पहले दूसरे चालक पर आवेश	$C$

कब लागू होता है: केवल समान चालकों (समान आकार और आकृति वाले) के लिए, जो अन्य आवेशों से दूर रखे हों। असमान चालक समान रूप से नहीं बाँटते: बड़ा अधिक लेता है (एक पतले तार से जुड़े दो दूरस्थ गोले अपनी त्रिज्याओं के अनुपात में बाँटते हैं), और कुचालक लगभग बिल्कुल नहीं बाँटते।

उदाहरण: $- 12 nC$ वाला एक गोला एक समान उदासीन गोले को छूता है: हर एक को अंत में $(- 12 + 0) /2 = - 6 nC$ मिलता है।

प्रेरित द्विध्रुव आघूर्ण

p = α E (induced dipole)

एक क्षेत्र किसी उदासीन वस्तु के धनात्मक और ऋणात्मक आवेशों को विपरीत दिशाओं में धकेलता है, इसलिए वस्तु एक द्विध्रुव बन जाती है: थोड़ी दूरी पर समान और विपरीत आवेश। बहुत प्रबल न होने वाले क्षेत्रों के लिए द्विध्रुव आघूर्ण क्षेत्र के समानुपाती होता है और उसी दिशा में होता है; ध्रुवणशीलता $α$ मापती है कि वस्तु कितनी आसानी से ध्रुवित होती है।

चिह्न
$p$	प्रेरित द्विध्रुव आघूर्ण (आवेश × दूरी)	$C \cdot m$
$α$	वस्तु की ध्रुवणशीलता	$C \cdot m^{2} /V$
$E$	वस्तु पर विद्युत क्षेत्र की प्रबलता	$N/C$

कब लागू होता है: परमाणुओं के भीतर के क्षेत्रों (लगभग $5 \times 1 0^{11} V/m$ ) से कहीं दुर्बल क्षेत्रों के लिए, और ऐसी वस्तु के लिए जो उस दूरी की तुलना में छोटी हो जिस पर $E$ बदलता है। लंबी वस्तु अपनी लंबाई के अनुदिश अधिक ध्रुवित होती है, इसलिए उसका द्विध्रुव क्षेत्र के बिल्कुल समानांतर नहीं होता और वस्तु घूम जाती है।

उदाहरण: 1 mm त्रिज्या की चालक गेंद के लिए $α = 4 π ε_{0} a^{3} = 1.1 \times 1 0^{- 19} C \cdot m^{2} /V$ ; $1 0^{5} N/C$ के क्षेत्र में उसे $p = 1.1 \times 1 0^{- 14} C \cdot m$ मिलता है।

उदासीन पिंड पर बल (प्रेरित द्विध्रुव)

F = \frac{α}{2} \nabla (E^{2}) = \frac{2 α k ^{2} Q ^{2}}{d ^{5}} (point charge)

प्रेरित द्विध्रुव प्रबल क्षेत्र की ओर खिंचता है, क्योंकि उसका निकट सिरा दूर वाले सिरे की तुलना में प्रबल क्षेत्र में होता है। बल $E^{2}$ पर निर्भर करता है, इसलिए किसी भी चिह्न के स्रोत के लिए समान होता है, और एकसमान क्षेत्र में शून्य होता है। बिंदु आवेश $Q$ के निकट $E = k Q / d^{2}$ है, अतः $E^{2}$ $1/ d^{4}$ के अनुसार घटता है और उसकी प्रवणता $1/ d^{5}$ के अनुसार।

चिह्न
$F$	पिंड पर बल, प्रबल क्षेत्र की ओर	$N$
$α$	वस्तु की ध्रुवणशीलता	$C \cdot m^{2} /V$
$\nabla$	प्रवणता: अंतरिक्ष में परिवर्तन की दर, सबसे तीव्र वृद्धि की दिशा में इंगित	$m^{- 1}$
$E$	पिंड पर विद्युत क्षेत्र की प्रबलता	$N/C$
$k$	कूलॉम स्थिरांक	$N \cdot m^{2} / C^{2}$
$Q$	स्रोत आवेश	$C$
$d$	स्रोत आवेश से पिंड तक की दूरी	$m$

कब लागू होता है: रैखिक प्रेरित द्विध्रुव और ऐसे पिंड की आवश्यकता है जो $d$ की तुलना में छोटा हो; दूसरा रूप बिंदु आवेश के लिए है, या बाहर से देखे गए एकसमान आवेशित गोले के लिए। चालक के बहुत निकट पिंड के प्रतिबिंब आवेश एक अतिरिक्त खिंचाव जोड़ते हैं।

उदाहरण: $d$ आधा करने पर $F$ $2^{5} = 32$ गुना होता है। $20 kg/ m^{3}$ घनत्व का ग्रेफ़ाइट-लेपित फ़ोम का मनका 9.6 nC आवेश से 1.8 cm के भीतर आते ही उठ जाता है।

सांतत्य समीकरण (आवेश का स्थानीय संरक्षण)

\frac{\partial ρ}{\partial t} + \nabla \cdot J = 0

यदि किसी बिंदु पर आवेश-घनत्व घटता है, तो वहाँ से धारा बहनी चाहिए: अपसरण $\nabla \cdot J$ प्रति इकाई आयतन शुद्ध निर्गत धारा है। किसी भी आयतन पर समाकलित करने पर यह समीकरण कहता है कि उसके भीतर का आवेश केवल उसके पृष्ठ को पार करती धारा से बदलता है। आवेश न कहीं उत्पन्न हो सकता है न लुप्त; वह केवल चल सकता है।

चिह्न
$ρ$	आवेश-घनत्व	$C/ m^{3}$
$t$	समय	$s$
$J$	धारा-घनत्व	$A/ m^{2}$
$\nabla \cdot J$	धारा-घनत्व का अपसरण: छोटे क्षेत्र से प्रति इकाई आयतन शुद्ध निर्गत धारा	$A/ m^{3}$

कब लागू होता है: सटीक है, हर संदर्भ-फ़्रेम में और किसी भी प्रकार के आवेश-वाहक के लिए; यह मैक्सवेल के समीकरणों में समाहित है। केवल स्थानीय संरक्षण सापेक्षता से मेल खाता है, जहाँ एक प्रेक्षक के लिए एक साथ घटित दूर की घटनाएँ दूसरे के लिए एक साथ नहीं होतीं।

उदाहरण: गुब्बारे के रगड़े जाने के दौरान संपर्क पर लगभग 3.0 nA धारा बहती है: गुब्बारे का आवेश $- 3.0 nC/s$ की दर से और ऊन का $+ 3.0 nC/s$ की दर से बदलता है।

शब्दावली

विद्युत आवेश: कणों का वह गुण जिसके कारण वे विद्युतीय रूप से एक-दूसरे को धकेलते या खींचते हैं। यह दो प्रकार का होता है, धनात्मक (प्रोटॉन) और ऋणात्मक (इलेक्ट्रॉन): समान आवेश प्रतिकर्षित करते हैं, असमान आकर्षित करते हैं। किसी वस्तु का आवेश उसके कणों के आवेशों का चिह्न सहित योग है, इसलिए उदासीन वस्तु में दोनों की बराबर मात्रा होती है।
स्थिर विद्युत: किसी वस्तु पर जमा आवेश जो बहने के बजाय वहीं टिका रहता है, आमतौर पर रगड़ या स्पर्श के बाद कुचालक पर। चिंगारियाँ, चटचटाते स्वेटर और खड़े बाल इसके लक्षण हैं।
आवेश का क्वांटीकरण: हर मुक्त आवेश प्राथमिक आवेश का पूर्ण गुणक है, $q = \pm n e$ । क्वार्कों पर $e$ के भिन्नांश होते हैं, पर वे कभी अकेले नहीं मिलते।
आवेश का संरक्षण: पृथक निकाय में चिह्नों सहित कुल आवेश कभी नहीं बदलता: आवेशन केवल इलेक्ट्रॉनों को स्थानांतरित करता है, और कण केवल ऐसे समूहों में उत्पन्न होते हैं जिनके आवेश का योग शून्य हो। यह स्थानीय रूप से भी लागू होता है, क्योंकि आवेश किसी क्षेत्र को केवल उसकी सीमा पार करके छोड़ सकता है।
रगड़ से आवेशन (घर्षण-विद्युत प्रभाव): दो भिन्न पदार्थों का आवेशन जब वे छूते हैं, और रगड़ से प्रबल होता है: इलेक्ट्रॉन उस पदार्थ की ओर जाते हैं जो उन्हें अधिक कसकर बाँधता है। ऊन पर रगड़ा गया रबर ऋणात्मक हो जाता है और ऊन धनात्मक, बराबर मात्रा में।
चालक: वह पदार्थ जिसमें आवेश स्वतंत्र रूप से चलता है: धातुएँ (मुक्त इलेक्ट्रॉन), नमकीन पानी और मानव शरीर (आयन)। चालक पर रखा आवेश उसकी बाहरी सतह पर फैल जाता है, और साम्यावस्था में उसके भीतर कोई क्षेत्र नहीं होता।
कुचालक: वह पदार्थ जिसके इलेक्ट्रॉन अपने परमाणुओं से बँधे रहते हैं, जैसे रबर, प्लास्टिक, काँच, सूखा ऊन और सूखा कागज़। आवेश जहाँ रखा जाए वहीं रहता है, फिर भी पदार्थ का ध्रुवण हो सकता है।
विद्युत ध्रुवण: पास के आवेश के कारण उदासीन वस्तु के भीतर धनात्मक और ऋणात्मक आवेशों का हल्का पृथक्करण। हर अणु एक छोटा द्विध्रुव बन जाता है, और वस्तु के दो पृष्ठों पर विपरीत आवेश आ जाते हैं, जबकि उसका कुल योग शून्य रहता है।
स्थिरवैद्युत प्रेरण: किसी पास की आवेशित वस्तु द्वारा चालक के मुक्त आवेशों का पुनर्विन्यास: निकट वाला भाग विपरीत चिह्न का और दूर वाला भाग वही चिह्न का हो जाता है। चालक को भूमि से जोड़ना, फिर वस्तु हटाने से पहले भू-संयोजन तोड़ना, उसे विपरीत चिह्न का शुद्ध आवेश देता है।
भूसंपर्कन (अर्थिंग): चालक को पृथ्वी से जोड़ना, जो कितना भी आवेश दे या ले सकती है, ताकि चालक अपना अतिरिक्त आवेश खो दे। ईंधन टैंकर और इलेक्ट्रॉनिक्स को छूने वाले लोग चिंगारी रोकने के लिए भूसंपर्कित होते हैं।
विद्युतदर्शी (इलेक्ट्रोस्कोप): आवेश का एक सरल संसूचक: एक धातु की छड़ जिसके निचले सिरे पर दो पतली पत्तियाँ हों। जब छड़ आवेशित होती है, या कोई आवेशित वस्तु उसके ऊपरी सिरे के पास आती है, तो पत्तियाँ समान चिह्न का आवेश लेकर फैल जाती हैं।
विद्युत भंजन (चिंगारी): तीव्र क्षेत्र में कुचालक की अचानक विफलता। हवा में लगभग 3 MV/m से ऊपर मुक्त इलेक्ट्रॉन और इलेक्ट्रॉन निकालने जितनी ऊर्जा पाते हैं, और हिमस्खलन एक चालक मार्ग बनाता है; चिंगारियाँ, कोरोना दीप्ति और बिजली हवा के भंजन हैं।

राशियाँ
$q$	आवेश	$C$	किसी वस्तु का शुद्ध आवेश, उसके चिह्न सहित: अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन हों तो ऋणात्मक, और कुछ खोए हों तो धनात्मक। एनिमेशन का गुब्बारा अंत में $q = - 9.6 nC$ तक पहुँचता है। बँटवारे के नियम में $q_{1}$ और $q_{2}$ संपर्क से पहले दो चालकों के आवेश हैं और $q^{'}$ संपर्क के बाद हर एक का आवेश।
$e$	प्राथमिक आवेश	$C$	एक प्रोटॉन या इलेक्ट्रॉन के आवेश का परिमाण, $1.602 \times 1 0^{- 19} C$ , वह सबसे छोटा आवेश जो कोई मुक्त कण रख सकता है। एक कूलॉम में $6.24 \times 1 0^{18}$ प्राथमिक आवेश होते हैं।
$n$	प्राथमिक आवेशों की संख्या		किसी वस्तु द्वारा प्राप्त या खोए इलेक्ट्रॉनों की संख्या, एक पूर्णांक $n = ∣ q ∣/ e$ । एनिमेशन का गुब्बारा $6.0 \times 1 0^{10}$ प्राप्त करता है।
$Q$	स्रोत आवेश	$C$	वह आवेश जो किसी उदासीन पिंड पर कार्य करने वाला क्षेत्र उत्पन्न करता है, जैसे गुब्बारे का; प्रेरित द्विध्रुव के बल के नियम में इसे बिंदु आवेश माना जाता है। $d$ (m में) दूरी पर स्थित पिंड पर एक खिंचाव $F$ (N में) लगता है जो $1/ d^{5}$ के अनुसार घटता है।
$E$	विद्युत क्षेत्र	$N/C$	किसी बिंदु पर रखे छोटे परीक्षण आवेश के प्रति कूलॉम पर क्षेत्र द्वारा लगाया गया बल। यही इकाई V/m के रूप में भी लिखी जाती है; हवा लगभग $3 \times 1 0^{6} V/m$ से ऊपर भंजित होती है।
$k$	कूलॉम स्थिरांक	$N \cdot m^{2} / C^{2}$	विद्युत बल नियम का स्थिरांक, $k = 1/ (4 π ε_{0}) = 8.99 \times 1 0^{9} N \cdot m^{2} / C^{2}$ ।
$p$	विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण	$C \cdot m$	समान और विपरीत आवेशों के एक युग्म का आवेश और दूरी का गुणनफल, जो ऋणात्मक से धनात्मक आवेश की ओर इंगित करता है। प्रेरित द्विध्रुव स्वयं क्षेत्र द्वारा बनता है: $p = α E$ ।
$α$	ध्रुवणशीलता	$C \cdot m^{2} /V$	प्रति इकाई विद्युत क्षेत्र पर किसी वस्तु में कितना बड़ा द्विध्रुव बनता है। त्रिज्या $a$ की चालक गेंद के लिए यह $4 π ε_{0} a^{3}$ है, जो $a = 1 mm$ के लिए लगभग $1.1 \times 1 0^{- 19} C \cdot m^{2} /V$ है।
$ρ$	आवेश-घनत्व	$C/ m^{3}$	प्रति इकाई आयतन आवेश। यह आवेश को सतत द्रव मानता है, जो तब सटीक है जब किसी क्षेत्र में बहुत अधिक प्राथमिक आवेश हों। यह समय $t$ (s में) के साथ केवल वहीं बदलता है जहाँ धारा भीतर या बाहर बहती है।
$J$	धारा-घनत्व	$A/ m^{2}$	बहाव की दिशा के लंबवत प्रति इकाई क्षेत्रफल से गुज़रती धारा, जो धनात्मक आवेश की गति की दिशा में इंगित करती है (इलेक्ट्रॉनों की गति के विपरीत)। एक एम्पियर एक कूलॉम प्रति सेकंड है।

क्विज़

शुरुआती जब आप किसी गुब्बारे को ऊनी स्कार्फ़ पर रगड़ते हैं, तो गुब्बारा ऋणात्मक आवेशित हो जाता है। स्कार्फ़ पर कौन-सा आवेश है?
1. धनात्मक, उतने ही परिमाण का
2. ऋणात्मक, उतने ही परिमाण का
3. कोई नहीं: केवल गुब्बारा आवेशित है
4. धनात्मक, पर बहुत छोटा
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उत्तर: A. धनात्मक, उतने ही परिमाण का
रगड़ से इलेक्ट्रॉन ऊन से गुब्बारे में जाते हैं। आवेश संरक्षित रहता है, इसलिए ऊन पर उतना ही धनात्मक आवेश बचता है जितना गुब्बारे ने ऋणात्मक प्राप्त किया।
शुरुआती आवेशित गुब्बारा उदासीन कागज़ के छोटे टुकड़ों को क्यों उठा लेता है?
1. कागज़ पहले हवा से आवेश लेता है
2. गुब्बारे के नीचे गुरुत्वाकर्षण कमज़ोर होता है
3. गुब्बारा कागज़ के आवेशों को खिसकाता है, इसलिए निकटवर्ती भाग पर विपरीत आवेश होता है
4. रगड़ से गुब्बारा चुंबक बन जाता है
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उत्तर: C. गुब्बारा कागज़ के आवेशों को खिसकाता है, इसलिए निकटवर्ती भाग पर विपरीत आवेश होता है
गुब्बारे का आवेश कागज़ में समान आवेशों को थोड़ा दूर धकेलता है और विपरीत आवेशों को पास खींचता है। निकट का विपरीत आवेशित भाग दूर वाले भाग के प्रतिकर्षण की तुलना में अधिक प्रबलता से आकर्षित होता है। रगड़ से गुब्बारा चुंबक नहीं बनता, और वैसे भी कागज़ चुंबकीय नहीं है।
शुरुआती धातु के चम्मच को खाली हाथ में पकड़कर रगड़ने से उसे आवेशित क्यों नहीं किया जा सकता?
1. धातुओं में इलेक्ट्रॉन नहीं होते
2. आवेश धातु और आपके शरीर से होकर बह जाता है
3. धातु केवल धनात्मक हो सकती है
4. धातुओं में रगड़ से इलेक्ट्रॉन कभी नहीं चलते
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उत्तर: B. आवेश धातु और आपके शरीर से होकर बह जाता है
धातुएँ चालक हैं: चम्मच पर का कोई भी आवेश उसमें फैलकर आपके हाथ और शरीर से होता हुआ भूमि में रिस जाता है। कुचालक हत्थे से पकड़ने पर धातु आवेश रख सकती है।
मध्यम एक गुब्बारा 5.0 × 10¹⁰ इलेक्ट्रॉन प्राप्त करता है। उसका आवेश क्या है? (e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C)
1. +8.0 nC
2. −0.8 nC
3. −3.1 × 10²⁹ C
4. −8.0 nC
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उत्तर: D. −8.0 nC
q = −n·e = −5.0 × 10¹⁰ × 1.6 × 10⁻¹⁹ C = −8.0 × 10⁻⁹ C = −8.0 nC। चिह्न ऋणात्मक है क्योंकि इलेक्ट्रॉन जुड़े हैं; e से भाग देने पर 10²⁹ C जैसा बेतुका मान आता है।
मध्यम दो समान धातु के गोले जिन पर +6 µC और −2 µC है, उन्हें एक साथ छुआ जाता है और फिर अलग किया जाता है। प्रत्येक पर क्या आवेश है?
1. +4 µC
2. +2 µC
3. +3 µC और −1 µC
4. +8 µC
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उत्तर: B. +2 µC
कुल आवेश +6 − 2 = +4 µC संरक्षित है। समान चालक उसे बराबर बाँटते हैं, इसलिए हर एक पर +2 µC होता है।
मध्यम इनमें से कौन-सा आवेश कोई वस्तु नहीं रख सकती? (e = 1.602 × 10⁻¹⁹ C)
1. 3.204 × 10⁻¹⁹ C
2. −1.602 × 10⁻¹⁹ C
3. 2.403 × 10⁻¹⁹ C
4. 8.010 × 10⁻¹⁹ C
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उत्तर: C. 2.403 × 10⁻¹⁹ C
आवेश क्वांटित है: q = n·e, जहाँ n एक पूर्णांक है। 2.403 × 10⁻¹⁹ C = 1.5·e है, जो संभव नहीं; बाकी 2e, −e और 5e हैं।
उन्नत एक छोटा उदासीन ध्रुवणशील मनका बिंदु आवेश Q से d दूरी पर है। यदि d आधा कर दिया जाए, तो आकर्षण बल किस गुणक से बढ़ता है?
1. 4
2. 8
3. 16
4. 32
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उत्तर: D. 32
प्रेरित द्विध्रुव p ∝ E ∝ 1/d² है, और बल p·dE/dr ∝ (1/d²)·(1/d³) = 1/d⁵। d आधा करने पर F, 2⁵ = 32 गुना हो जाता है। उत्तर 4 केवल दो स्थिर आवेशों के बीच के बल पर लागू होता।
उन्नत गुब्बारे का आवेश −Q से बदलकर +Q कर दिया जाए, और वह कागज़ के ऊपर उसी ऊँचाई पर रहे। एक उदासीन टुकड़े पर बल का क्या होता है?
1. आकर्षण ही रहता है और अपरिवर्तित रहता है
2. प्रतिकर्षण में बदल जाता है
3. शून्य हो जाता है
4. दोगुना हो जाता है
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उत्तर: A. आकर्षण ही रहता है और अपरिवर्तित रहता है
प्रेरित द्विध्रुव क्षेत्र के साथ पलटता है, इसलिए बल F = (α/2)·∇(E²) E² पर निर्भर करता है, यानी Q² पर। उदासीन वस्तु किसी भी चिह्न के आवेश से आकर्षित होती है।

$S$	$V$ को घेरने वाला बंद पृष्ठ।
$V$	$S$ के भीतर का आयतन, स्थिर।	$m^{3}$
$ρ$	$V$ के भीतर प्रति इकाई आयतन आवेश (लाल बिंदु)।	$C/ m^{3}$
$J$	धारा-घनत्व: प्रति इकाई क्षेत्रफल धारा, धनात्मक आवेश के बहाव की दिशा में इंगित।	$A/ m^{2}$
$d A$	$S$ का एक छोटा खंड सदिश रूप में: उसकी लंबाई खंड का क्षेत्रफल $d A$ है, और वह $V$ से बाहर इंगित करता है।	$m^{2}$
$θ$	$J$ और $d A$ के बीच का कोण; आवेश भीतर आने पर $9 0^{\circ}$ से अधिक।	$rad$

$Q$	धनात्मक स्रोत आवेश।	$C$
$d$	$Q$ से पिंड के केंद्र तक की दूरी।	$m$
$q$	पिंड में क्षेत्र द्वारा पृथक किए गए दो आवेशों में से हर एक का परिमाण।	$C$
$s$	आवेशों की दूरी, $- q$ से $+ q$ तक; द्विध्रुव आघूर्ण $p = q s$ है।	$m$
$E (r)$	निकट वाले $- q$ सिरे पर $Q$ का क्षेत्र, $Q$ से $r$ स्थिति पर।	$N/C$
$E (r + s)$	$+ q$ सिरे पर $Q$ का क्षेत्र: दुर्बल, क्योंकि वह सिरा $Q$ से दूर है।	$N/C$
$F_{-}$	$- q$ पर बल, $Q$ की ओर।	$N$
$F_{+}$	$+ q$ पर बल, $Q$ से दूर और छोटा।	$N$
$F$	पिंड पर शुद्ध बल, $F_{-} + F_{+}$ : $Q$ की ओर।	$N$

$V$	तार और दोनों गोलों का विभव: चालक पर हर जगह समान।	$V$
$R_{1}$	बड़े गोले की त्रिज्या।	$m$
$R_{2}$	छोटे गोले की त्रिज्या।	$m$
$q_{1}$	बड़े गोले का आवेश।	$C$
$q_{2}$	छोटे गोले का आवेश।	$C$
$E_{1}$	बड़े गोले के ठीक बाहर का क्षेत्र, उसके पृष्ठ के लंबवत।	$N/C$
$E_{2}$	छोटे गोले के ठीक बाहर का क्षेत्र: प्रबल, क्योंकि $E = V / R$ ।	$N/C$

$d$	आवेशित गोले के केंद्र से मनके के केंद्र तक दूरी।	$m$
$F$	मनके पर ऊपर की ओर खिंचाव, $F = 2 k Q^{2} a^{3} / d^{5}$ , जहाँ $a$ मनके की त्रिज्या है।	$N$
$m g$	मनके का भार (बिंदुकित रेखा)।	$N$
$Q$	गोले पर आवेश; बायाँ वक्र $Q$ के लिए है, दायाँ $2 Q$ के लिए।	$C$
$d_{Q}$	आवेश $Q$ के लिए वह दूरी जहाँ खिंचाव भार के बराबर है: 1.8 cm।	$m$
$d_{2 Q}$	आवेश $2 Q$ के लिए वह दूरी जहाँ खिंचाव भार के बराबर है: 2.4 cm।	$m$