कोणीय संवेग और उसका संरक्षण

स्केटर जब अपनी भुजाएँ अंदर खींचती है तो वह तेज़ घूमती है: बाहरी बल-आघूर्ण न हो तो कोणीय संवेग $L = I ω$ स्थिर रहता है।

ऊपर से देखने पर एक फिगर स्केटर अपनी भुजाएँ अंदर खींचती है और तेज़ घूमने लगती है; फिर भुजाएँ फैलाने पर उसकी गति धीमी हो जाती है।

इस विषय से पहले: घूर्णी गतिकी और बल-आघूर्ण, संवेग और संघट्ट

शुरुआती

मुख्य विचार

कोणीय संवेग ‘घूर्णन की मात्रा’ है: यह इस पर निर्भर करता है कि कोई वस्तु कितनी तेज़ घूमती है और उसका द्रव्यमान अक्ष से कितनी दूर है।
बाहरी मरोड़ न हो तो घूर्णन की मात्रा वही रहती है।
द्रव्यमान को अक्ष के पास खींचिए तो आप तेज़ घूमेंगे; फैलाएँगे तो धीमे हो जाएँगे।
स्केटर, गोताखोर और जिमनास्ट अपना आकार बदलकर अपनी घूर्णन-गति नियंत्रित करते हैं।

किसी आसानी से घूमने वाली दफ़्तरी कुर्सी पर बैठिए, बाहें और टाँगें फैलाइए, और किसी दोस्त से हल्का-सा धक्का दिलवाइए। अब बाहें और टाँगें कसकर अंदर खींच लीजिए: अचानक आप कहीं ज़्यादा तेज़ घूमने लगेंगे। आपको किसी ने धक्का नहीं दिया; आपने केवल अपना आकार बदला। आइए कदम-दर-कदम देखें कि ऐसा क्यों होता है।

चरण 1. घूमती हुई वस्तु में एक निश्चित मात्रा का ‘घूर्णन’ होता है, जिसे भौतिकविज्ञानी कोणीय संवेग कहते हैं। यह इस पर निर्भर करता है कि वस्तु कितनी तेज़ घूमती है और उसका द्रव्यमान अक्ष से कितनी दूर है: दूर का द्रव्यमान बहुत मायने रखता है, पास का द्रव्यमान कम।

चरण 2. सामान्य संवेग की तरह यह घूर्णन की मात्रा भी अपने-आप नहीं बदलती; केवल बाहर से लगा मरोड़, जैसे घर्षण, इसे बदल सकता है। इसलिए जब द्रव्यमान अक्ष के पास आता है, तो उसी घूर्णन की मात्रा बनाए रखने के लिए वस्तु को तेज़ घूमना पड़ता है; और जब द्रव्यमान फिर बाहर जाता है, तो वह धीमी हो जाती है।

चरण 3. एनिमेशन में ऊपर और बगल से देखे गए फिगर स्केटर को दिखाया गया है। भुजाएँ फैली हों तो वह धीरे घूमती है; भुजाएँ अंदर खींचते ही वह तीन गुना तेज़ घूमती है, जैसा घूर्णन-गति की पट्टी दिखाती है, और उन्हें फिर फैलाने पर धीमी हो जाती है। बर्फ़ इतनी फिसलन वाली है कि वह उसे लगभग बिल्कुल नहीं मरोड़ती।

चरण 4. यही नियम बर्फ़ के मैदान से कहीं आगे भी लागू होता है। गोताखोर गेंद की तरह सिकुड़कर तेज़ कलाबाज़ी लगाते हैं और पानी तक पहुँचने से पहले शरीर फैला लेते हैं। ग्रह सूर्य के सबसे निकट होने पर सबसे तेज़ चलता है, क्योंकि सूर्य का खिंचाव सूर्य के चारों ओर उसके घूर्णन की मात्रा को नहीं बदल सकता।

स्वयं जाँचें: एक पिज़्ज़ा शेफ़ आटे की गेंद घुमाता है और वह फैलकर चौड़ी, पतली डिस्क बन जाती है। उसकी घूर्णन-गति का क्या होता है? (वह धीमी हो जाती है: द्रव्यमान अक्ष से और दूर चला गया है।)

मध्यम

मुख्य विचार

$L = I ω$ (kg·m²/s); वृत्त पर किसी छोटे द्रव्यमान के लिए $L = m v r$ ।
बाहरी बल-आघूर्ण न हो तो $L$ संरक्षित रहता है: $I_{1} ω_{1} = I_{2} ω_{2}$ ।
स्केटर: $I$ 2.88 से घटकर 0.96 kg·m² होता है, इसलिए $ω$ 2.5 से बढ़कर 7.5 rad/s होता है और $L$ 7.20 kg·m²/s रहता है।
गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती: $K = \frac{1}{2} I ω^{2}$ 9 J से तिगुनी होकर 27 J हो जाती है, जो उसकी मांसपेशियों के कार्य से आती है।

कोणीय संवेग क्या मापता है

कोणीय संवेग $L$ घूमती वस्तु द्वारा वहन की जाने वाली घूर्णन की मात्रा है; सामान्य संवेग की तरह इसे केवल बाहरी कारण ही बदल सकता है। यह इस पर निर्भर करता है कि वस्तु कितनी तेज़ घूमती है और उसका द्रव्यमान अक्ष के चारों ओर कैसे फैला है। घूमने की दर कोणीय वेग $ω$ है, जिसकी इकाई rad/s है: एक चक्कर $2 π$ rad होता है, इसलिए प्रति सेकंड एक चक्कर लगभग 6.28 rad/s है। ऊपर से देखने पर वामावर्त (जिस दिशा में स्केटर घूमती है) को धनात्मक माना जाता है।

द्रव्यमान के फैलाव को जड़त्व-आघूर्ण मापता है, $I = \sum m r^{2}$ , इकाई kg·m²: प्रत्येक द्रव्यमान को उसकी अक्ष से दूरी $r$ के वर्ग से गुणा किया जाता है, इसलिए दोगुनी दूरी वाला द्रव्यमान चार गुना गिना जाता है। अचल अक्ष पर घूमने वाली वस्तु के लिए
$L = I ω$
इकाई kg·m²/s में। वृत्त पर किसी छोटे द्रव्यमान के लिए $I = m r^{2}$ और $ω = v / r$ है, अतः $L = m v r$ : अर्थात उसका संवेग गुणा अक्ष से उसकी दूरी। केवल अक्ष के चारों ओर की गति ही गिनी जाती है; सीधे अक्ष की ओर बढ़ने वाले द्रव्यमान का कोणीय संवेग शून्य होता है।

बल-आघूर्ण कोणीय संवेग बदलता है

बल संवेग बदलता है; बल-आघूर्ण कोणीय संवेग बदलता है। किसी बल का बल-आघूर्ण बल और उसकी बल-भुजा का गुणनफल होता है; बल-भुजा अक्ष से बल की क्रिया-रेखा तक की लंबवत दूरी है, इकाई N·m। केवल निकाय के बाहर के बल-आघूर्ण गिने जाते हैं:
$τ_{ext} = \frac{d L}{d t}$
यहाँ $d L / d t$ , $L$ के परिवर्तन की दर है, यानी परिवर्तन $Δ L$ को छोटे समय $Δ t$ से भाग देने पर प्राप्त मान: एक स्थिर 2 N·m बल-आघूर्ण प्रति सेकंड 2 kg·m²/s जोड़ता है।

निकाय के भागों के बीच के बल समान और विपरीत युग्मों में एक ही रेखा पर लगते हैं, इसलिए उनके बल-आघूर्ण निरस्त हो जाते हैं: वे केवल भागों के बीच कोणीय संवेग स्थानांतरित कर सकते हैं, उसे उत्पन्न नहीं कर सकते। बाहरी बल-आघूर्ण न हो तो निकाय कैसे भी अपना आकार बदले, कुल योग स्थिर रहता है:
$τ_{ext} = 0 \to I_{1} ω_{1} = I_{2} ω_{2}$
द्रव्यमान के विपरीत, वस्तु का आकार बदलते ही जड़त्व-आघूर्ण बदल जाता है, और तब $ω$ व्युत्क्रम अनुपात में बदलता है।

मूल समीकरण

घूमती वस्तुओं के प्रश्न एक छोटे-से सूत्र-समूह से हल होते हैं:

$L = I ω$
$I = \sum m r^{2}$
$L = m v r (point mass on a circle)$
$I_{1} ω_{1} = I_{2} ω_{2}$
$K = \frac{1}{2} I ω^{2} = \frac{L ^{2}}{2 I}$

हर द्रव्यमान और उसकी अक्ष से दूरी पहले और बाद में लिखिए, और $I_{1}$ व $I_{2}$ निकालिए। जाँचिए कि अक्ष पर कोई बाहरी बल-आघूर्ण नहीं है, फिर $I_{1} ω_{1} = I_{2} ω_{2}$ लिखिए। ऊर्जा सबसे अंत में निकालिए, $K = L^{2} / (2 I)$ से: स्थिर $L$ पर गतिज ऊर्जा $I$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

उदाहरण: एनिमेशन का स्केटर

एनिमेशन में स्केटर को इस प्रकार माना गया है: धड़ का $I_{0} = 0.72 kg \cdot m^{2}$ और प्रत्येक 3 kg द्रव्यमान की दो भुजाएँ जो अक्ष से दूरी $r$ पर हैं, इसलिए $I = I_{0} + 2 m r^{2}$ । वह भुजाएँ फैलाए, $r = 0.60 m$ पर, 2.5 rad/s से घूमना शुरू करती है, और उन्हें $r = 0.20 m$ तक अंदर खींच लेती है। बर्फ़ ऊर्ध्वाधर अक्ष पर कोई बल-आघूर्ण नहीं लगाती।
$I_{1} = 0.72 + 2 \cdot 3 \cdot 0.6 0^{2} = 2.88 kg \cdot m^{2}$
$L = I_{1} ω_{1} = 2.88 \cdot 2.5 = 7.20 kg \cdot m^{2} /s$
$I_{2} = 0.72 + 2 \cdot 3 \cdot 0.2 0^{2} = 0.96 kg \cdot m^{2}$
$ω_{2} = L / I_{2} = 7.20/0.96 = 7.5 rad/s$

उसका जड़त्व-आघूर्ण एक-तिहाई हो जाता है, इसलिए वह तीन गुना तेज़ घूमती है, यानी प्रति सेकंड 0.40 से 1.19 चक्कर। खिंचाव इन्हीं मानों पर समाप्त होता है: सुनहरे $I$ , नीले $ω$ और बैंगनी $L$ की रीडिंग यही दिखाती हैं, और संरक्षण नियम के नीचे की रेखा $2.88 \times 2.5 = 0.96 \times 7.5$ गुणनफल की जाँच करती है। उसकी गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} \cdot 2.88 \cdot 2. 5^{2} = 9 J$ से बढ़कर $\frac{1}{2} \cdot 0.96 \cdot 7. 5^{2} = 27 J$ हो जाती है; उसकी मांसपेशियाँ 18 J का अंतर देती हैं।

हरे तीर भुजाओं के द्रव्यमानों के वेग $v = ω r$ हैं। भुजाएँ फैली हों तो $v = 2.5 \cdot 0.60 = 1.5 m/s$ ; अंदर खींची हों तो $v = 7.5 \cdot 0.20 = 1.5 m/s$ फिर से, क्योंकि $ω$ तिगुना होता है जबकि $r$ एक-तिहाई रह जाता है। उसके हाथ अंत में और तेज़ नहीं होते; पूरा शरीर तेज़ घूमता है।

उदाहरण: बच्चा घूमते झूले पर कूदता है

एक घूमता झूला 100 kg द्रव्यमान और 1.5 m त्रिज्या की एक समान डिस्क है, जो स्वतंत्र रूप से घूमने वाली धुरी पर लगी है, और विराम में है। 30 kg का एक बच्चा 4 m/s से एक ऐसी रेखा पर दौड़ता है जो झूले के किनारे को बस छूती है; वह किनारे पर कूदकर कसकर पकड़ लेता है। यह कितनी तेज़ी से घूमेगा?

सीधी रेखा में दौड़ते हुए वह पहले से अक्ष के बारे में कोणीय संवेग रखता है: $L = m v r = 30 \cdot 4 \cdot 1.5 = 180 kg \cdot m^{2} /s$ । डिस्क का $I_{d} = \frac{1}{2} M R^{2} = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot 1. 5^{2} = 112.5 kg \cdot m^{2}$ है और किनारे पर का बच्चा $m R^{2} = 67.5 kg \cdot m^{2}$ जोड़ता है, इसलिए कुल $180 kg \cdot m^{2}$ होता है और
$ω = L / I = 180/180 = 1.0 rad/s$

गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 4^{2} = 240 J$ से घटकर $\frac{1}{2} \cdot 180 \cdot 1. 0^{2} = 90 J$ हो जाती है: जैसे टकराकर चिपकने वाली दो वस्तुओं में होता है, उतरने के बाद भी कोणीय संवेग बचा रहता है, जबकि 150 J ऊष्मा बन जाती है। अगर वह फिर केंद्र की ओर चली जाए, तो बिंदु-द्रव्यमान मानते हुए उसका $I$ में हिस्सा शून्य हो जाता है, इसलिए $ω = 180/112.5 = 1.6 rad/s$ और $K = \frac{1}{2} \cdot 112.5 \cdot 1. 6^{2} = 144 J$ । अतिरिक्त 54 J वह कार्य है जो वह स्वयं को अंदर खींचने में करती है।

बार और तीरों को पढ़ना

भुजाएँ अंदर आते ही सुनहरी $I$ बार एक-तिहाई रह जाती है, नीली $ω$ बार तिगुनी हो जाती है और बैंगनी $L$ बार कभी नहीं हिलती: दोनों बदलती राशियाँ इस तरह एक-दूसरे को संतुलित करती हैं कि उनका गुणनफल $7.20 kg \cdot m^{2} /s$ पर बना रहे। एक-दूसरे के विरुद्ध आलेखित करने पर $ω$ और $I$ एक हाइपरबोला पर आते हैं, $ω = L / I$ ।

लूप के पहले 1.5 s में, भुजाएँ फैली हुई होने पर, वह 3.75 rad, लगभग 0.6 चक्कर घूमती है; भुजाएँ अंदर होने के 2.4 s में वह 18 rad, लगभग तीन चक्कर घूमती है। भुजाओं के चलने के दौरान हरे तीर झुक जाते हैं, अंदर खींचते समय अंदर की ओर और छोड़ते समय बाहर की ओर, और लगभग 1.8 m/s तक बढ़ जाते हैं, क्योंकि हाथ त्रिज्या की दिशा में भी चलते हैं; भुजाएँ रुकने पर तीर फिर वृत्त की स्पर्श-रेखा पर आ जाते हैं और 1.5 m/s के होते हैं।

सामान्य गलतियाँ

वस्तु का आकार बदलने पर गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती। यदि रहती, तो जड़त्व-आघूर्ण एक-तिहाई होने पर घूर्णन केवल $3$ गुना होता, यानी 7.5 rad/s के बजाय 4.33 rad/s; वास्तव में $K$ तिगुना होकर 9 J से 27 J हो जाता है।
भुजाएँ अंदर खींचने पर पूरे स्केटर पर कोई बल-आघूर्ण नहीं लगता। भुजाएँ और धड़ एक-दूसरे को धक्का देते हैं, परंतु ये आंतरिक बल-आघूर्ण केवल कोणीय संवेग को भागों के बीच घुमाते हैं: भुजाओं का हिस्सा $2 m r^{2} ω$ 5.40 से घटकर 1.80 kg·m²/s होता है, जबकि धड़ का $I_{0} ω$ 1.80 से बढ़कर 5.40 हो जाता है।
जड़त्व-आघूर्ण दूरी के वर्ग के साथ बदलता है। भुजाओं के द्रव्यमान को उनकी दूरी के एक-तिहाई पर लाने से उनका हिस्सा $2 m r^{2}$ 2.16 से घटकर 0.24 kg·m² रह जाता है, यानी नौवाँ हिस्सा; कुल योग केवल एक-तिहाई तक घटता है, क्योंकि धड़ वाला हिस्सा वही रहता है।
संरक्षण के लिए अक्ष पर बाहरी बल-आघूर्ण शून्य होना चाहिए। गुरुत्व और बर्फ़ का धक्का ऊर्ध्वाधर हैं और ऊर्ध्वाधर अक्ष पर कोई बल-आघूर्ण नहीं देते; ब्लेड का हल्का घर्षण देता है, इसलिए वास्तविक घूर्णन धीरे-धीरे समाप्त हो जाते हैं।

इसका उपयोग कहाँ होता है

गोताखोर और जिमनास्ट एक निश्चित कोणीय संवेग के साथ छलाँग लगाते हैं, कई गुना तेज़ घूमने के लिए शरीर सिकोड़ते हैं और ज़मीन पर उतरने से पहले फैल जाते हैं। हेलीकॉप्टर को पूँछ वाले रोटर की ज़रूरत होती है: इंजन मुख्य रोटर को एक दिशा में घुमाता है, और बाहरी बल-आघूर्ण न हो तो शरीर विपरीत दिशा में घूमने लगता। ढहते तारे अत्यधिक तेज़ घूमने लगते हैं: पृथ्वी के आकार का एक कोर, जो एक दिन में एक चक्कर लगाता है, यदि 10 km त्रिज्या की गेंद में सिकुड़ जाए, तो उसका $I$ $(6400/10)^{2} \approx 4 \times 1 0^{5}$ गुना घट जाएगा और वह लगभग प्रति सेकंड पाँच चक्कर लगाने लगेगा, जैसा एक सामान्य पल्सर करता है।

आगे, “गुरुत्वाकर्षण और कक्षाएँ” इस नियम को केप्लर के समान-क्षेत्र नियम में बदलता है: सूर्य के सापेक्ष गुरुत्व कोई बल-आघूर्ण नहीं देता, इसलिए ग्रह सूर्य के सबसे निकट होने पर सबसे तेज़ चलता है। “परमाणु मॉडल: बोर परमाणु” दिखाता है कि कोणीय संवेग पूर्णांक चरणों में आता है।

उन्नत

मुख्य विचार

$d L / d t = τ_{ext}$ : आंतरिक बल युग्मों में एक ही रेखा पर लगते हैं, इसलिए उनके बल-आघूर्ण निरस्त हो जाते हैं।
स्थिर $L$ पर $K = L^{2} /2 I$ : द्रव्यमानों को अंदर खींचने में $W = \frac{L ^{2}}{2} (1/ I_{2} - 1/ I_{1})$ कार्य लगता है, जो गतिज ऊर्जा की वृद्धि है।
$L$ के लंबवत बल-आघूर्ण उसकी दिशा बदलता है, परिमाण नहीं: तेज़ घूमता लट्टू $Ω = m g d / (I ω)$ की दर से पुरस्सरण करता है।
केंद्रीय बल कोई बल-आघूर्ण नहीं देता: ग्रह का $L$ स्थिर रहता है, इसलिए वह बराबर समय में बराबर क्षेत्रफल तय करता है (केप्लर का दूसरा नियम)।
$L$ का संरक्षण अंतरिक्ष की समदिशता को दर्शाता है; क्वांटम यांत्रिकी में इसके घटक $ℏ$ के अंतराल से बढ़ते हैं।

सदिश गुणनफल (क्रॉस गुणनफल) के रूप में कोणीय संवेग

संवेग बताता है कि कोई पिंड कितनी सीधी-रेखीय गति लिए हुए है। कोणीय संवेग किसी बिंदु के चारों ओर की गति के लिए यही काम करता है, और जब तक बाहर से कोई निकाय पर बल-आघूर्ण नहीं लगाता, यह स्थिर रहता है। इसे परिभाषित करने के लिए पहले एक संदर्भ बिंदु O चुनिए। $m$ द्रव्यमान का एक कण, जो O से स्थिति $r$ पर है और वेग $v$ से चल रहा है, उसका संवेग $p = m v$ है और O के सापेक्ष कोणीय संवेग
$L = r \times p$

चित्र 1 में सदिश $r$ , O से कण तक जाता है, और $p$ गति की बिंदुकित रेखा के अनुदिश है। दोनों सदिशों के बीच का कोण $φ$ कण पर अंकित है, $r$ के विस्तार से $p$ तक। दो सदिशों के सदिश गुणनफल का परिमाण पहले सदिश के परिमाण, दूसरे के परिमाण और उनके बीच के कोण की ज्या के गुणनफल के बराबर होता है, इसलिए $L = r p sin φ$ ।

अब खंड $b$ देखिए। यह O से गति की रेखा तक खींचा गया है और उससे समकोण पर मिलता है, इसलिए $b$ , O से उस रेखा की सबसे छोटी दूरी है। यह एक समकोण त्रिभुज बनाता है जिसकी सबसे लंबी भुजा $r$ है। कण पर त्रिभुज का कोण, O की ओर की दिशा और रेखा के साथ पीछे की दिशा के बीच का कोण है; ये दिशाएँ $r$ और $p$ की उल्टी दिशाएँ हैं, इसलिए यह कोण फिर से $φ$ है। उसके सामने की भुजा $b = r sin φ$ है, और इसलिए
$L = r p sin φ = p b$
दूरी $b$ संवेग की बल-भुजा है। शब्दों में: कोणीय संवेग = संवेग × उसकी बल-भुजा।

$L$ की दिशा $r$ और $p$ दोनों के लंबवत होती है, और दाएँ हाथ का नियम तय करता है कि किस ओर: दाएँ हाथ की उँगलियों को उसी दिशा में मोड़िए जिसमें कण O के चारों ओर घूमता है, तो अँगूठा $L$ की दिशा में होगा। चित्र 1 में कण O के चारों ओर वामावर्त घूमता है, इसलिए $L$ पन्ने से बाहर, आपकी ओर है; O पर वृत्त में बिंदु इसी दिशा को दर्शाता है। इसी प्रकार ऊपर से देखने पर वामावर्त घूमता स्केटर, $L$ ऊपर की ओर रखता है।

इससे तीन परिणाम सीधे निकलते हैं। पहला, केवल O के चारों ओर की गति गिनी जाती है: जो कण सीधे O की ओर या O से दूर जा रहा हो, उसके लिए $φ = 0$ या $φ = π$ होता है, इसलिए $L = 0$ । दूसरा, $L$ O के चुनाव पर निर्भर करता है। घर्षण-रहित सतह पर $v$ चाल से फिसलते एक पक का, अपनी रेखा से $b$ दूरी पर स्थित किसी भी बिंदु के सापेक्ष, $L = m v b$ होता है, जो हर क्षण समान रहता है; उस रेखा पर किसी भी बिंदु के सापेक्ष, $L = 0$ होता है। तीसरा, $L$ क्षेत्रफल बुहारे जाने की दर मापता है। छोटे समय $d t$ में O से कण तक की रेखा एक पतला त्रिभुज बुहारती है, जिसका क्षेत्रफल $\frac{1}{2} ∣ r \times v ∣ d t$ है, इसलिए प्रति सेकंड बुहारा गया क्षेत्रफल $∣ r \times v ∣/2 = L / (2 m)$ है।

बल-आघूर्ण, आंतरिक बल और संरक्षण

$L$ को क्या बदलता है? एक कण के लिए, $L = r \times p$ का गुणन-नियम से अवकलन कीजिए, $d r / d t = v$ और न्यूटन का दूसरा नियम $d p / d t = F$ का प्रयोग करते हुए:
$\frac{d L}{d t} = v \times m v + r \times F = τ$
पहला पद शून्य है, क्योंकि दो समानांतर सदिशों का सदिश गुणनफल शून्य होता है, और $v$ , $m v$ के समानांतर है। दूसरा पद O के सापेक्ष बल का बल-आघूर्ण $τ = r \times F$ है। चित्र 1 की समान ज्यामिति से, इसका परिमाण बल को उसकी अपनी बल-भुजा से गुणा करने पर मिलता है, जो O से उस रेखा की दूरी है जिस पर बल लगता है। कणों के निकाय के लिए इस समीकरण को सभी कणों पर जोड़ दीजिए। हर कण पर बाहरी बल और अन्य कणों के बल लगते हैं, और प्रश्न यह है कि आंतरिक बल कुल योग पर क्या प्रभाव डालते हैं।

चित्र 2 में एक आंतरिक युग्म दिखाया गया है। कण 1 पर कण 2 से बल $F$ लगता है, और कण 2 पर कण 1 से $- F$ ; न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार ये बराबर और विपरीत हैं। दोनों बल उस बिंदुकित रेखा के अनुदिश लगते हैं जो दोनों कणों को जोड़ती है। यह तीसरे नियम का प्रबल रूप है, और गुरुत्व व स्पर्श बल इसका पालन करते हैं।

बल-भुजाओं को देखिए। दोनों बल एक ही रेखा पर हैं, और वह रेखा O से $b$ दूरी पर है, इसलिए दोनों बलों की बल-भुजा $b$ है, चाहे $r_{1}$ और $r_{2}$ कुछ भी हों। अतः उनके बल-आघूर्णों का परिमाण समान है, $F b$ । उनकी दिशाएँ विपरीत हैं: $F$ कण 1 को O के चारों ओर दक्षिणावर्त घुमाता है, इसलिए $τ_{1}$ पन्ने के भीतर की ओर है, जबकि $- F$ कण 2 को वामावर्त घुमाता है, इसलिए $τ_{2}$ पन्ने से बाहर की ओर है। दोनों बल-आघूर्ण निरस्त हो जाते हैं।

यह तर्क किसी भी बिंदु के लिए और हर युग्म के लिए काम करता है, इसलिए सभी आंतरिक बल-आघूर्ण योग से बाहर हो जाते हैं। जो शेष रहता है वह है
$\frac{d L}{d t} = τ_{ext}$
जहाँ $L$ अब कुल कोणीय संवेग है और $τ_{ext}$ बाहरी बलों का कुल बल-आघूर्ण। यह $d p / d t = F_{ext}$ का घूर्णी समकक्ष है। यह कणों के किसी भी समूह पर लागू होता है, दृढ़ या अदृढ़; और यह द्रव्यमान-केंद्र के सापेक्ष भी सही है, भले ही वह बिंदु त्वरित हो। बाहरी बल-आघूर्ण न हो तो आकार कैसे भी बदले, $L$ स्थिर रहता है। उड़ते हुए गोताखोर में यही दिखता है: गुरुत्व उसके द्रव्यमान-केंद्र पर लगता है, इसलिए उस बिंदु के सापेक्ष उसकी कोई बल-भुजा और बल-आघूर्ण नहीं होता, और वह पानी तक अपना कोणीय संवेग बनाए रखता है।

केंद्रीय बल: समान क्षेत्रफल

कक्षाओं में पहला फल मिलता है। केंद्रीय बल वह बल है जो हमेशा किसी स्थिर बिंदु की ओर, रेखा के अनुदिश, लगता है। यह रेखा उस बिंदु से होकर जाती है, इसलिए उस बिंदु के सापेक्ष बल की कोई बल-भुजा नहीं होती और बल-आघूर्ण शून्य होता है।

चित्र 3 में ग्रह पर लगने वाला बल $F$ सूर्य $S$ तक की रेखा $r$ के अनुदिश है, इसलिए $r \times F = 0$ और ग्रह का $S$ के सापेक्ष कोणीय संवेग कभी नहीं बदलता। इसके दो परिणाम हैं: उसकी दिशा स्थिर है, और चूँकि $L$ , $r$ और $v$ दोनों के लंबवत है, कक्षा एक ही तल में रहती है। उसका परिमाण स्थिर है, इसलिए $S$ से ग्रह की रेखा पिछले खंड में मिली स्थिर दर $L / (2 m)$ से क्षेत्रफल बुहारती है।

अब दो छायांकित खंडों की तुलना कीजिए, जिन्हें समान समय $Δ t$ में बुहारा गया है। $S$ के निकट ग्रह तेज़ है, पर रेखा $r$ छोटी है, इसलिए $A_{1}$ एक छोटा और चौड़ा पंखा है। $S$ से दूर ग्रह धीमा है, पर $r$ लंबा है, इसलिए $A_{2}$ एक लंबी और पतली फाँक है। प्रति सेकंड बुहारा जाने वाला क्षेत्रफल $\frac{1}{2} v b$ दोनों स्थानों पर समान है, इसलिए $A_{1} = A_{2}$ , भले ही आकार बहुत अलग दिखें। यह केप्लर का दूसरा नियम है: समान समय में समान क्षेत्रफल। उन्होंने इसे 1609 में प्रकाशित किया, और न्यूटन ने लगभग अस्सी वर्ष बाद दिखाया कि यह क्यों सही है। इस तर्क में व्युत्क्रम-वर्ग नियम कभी प्रयोग नहीं हुआ, इसलिए समान क्षेत्रफल हर केंद्रीय बल के लिए लागू होते हैं।

घूमते पिंड: ग्राफ़ क्या दिखाते हैं

अधिकांश दैनिक घूर्णन में पिंड एक स्थिर अक्ष पर घूमता है, और वहाँ कोणीय संवेग एक सरल रूप लेता है। अक्ष से $r$ दूरी पर स्थित एक छोटा द्रव्यमान $m$ $ω r$ चाल से वृत्त पर चलता है, जहाँ $ω$ रेडियन प्रति सेकंड में कोणीय वेग है। उसका संवेग $mω r$ त्रिज्या के लंबवत है, इसलिए अक्ष के सापेक्ष उसकी बल-भुजा $r$ है, और अक्ष के अनुदिश उसका कोणीय संवेग $m r^{2} ω$ है। सभी द्रव्यमानों को जोड़ने पर
$L = \sum m r^{2} ω = I ω$
जहाँ $I = \sum m r^{2}$ जड़त्व-आघूर्ण है। द्रव्यमान के विपरीत, $I$ तब बदलता है जब पिंड का आकार बदलता है। एनिमेशन स्केटर को एक धड़ मानता है जिसका $I_{0} = 0.72 kg \cdot m^{2}$ है, साथ में दो भुजा-द्रव्यमान, जिनमें से प्रत्येक $m = 3 kg$ का है और अक्ष से $r$ दूरी पर है, इसलिए $I = I_{0} + 2 m r^{2}$ । ऊर्ध्वाधर अक्ष पर बर्फ़ कोई बल-आघूर्ण नहीं लगाती, इसलिए $L$ स्थिर है और $ω = L / I$ ।

विशेषज्ञ ग्राफ़ ठीक यही दिखाते हैं। $L (t)$ $7.20 kg \cdot m^{2} /s$ पर एक सपाट रेखा है: उसकी ढलान बाहरी बल-आघूर्ण है, जो शून्य है। $r$ के 0.60 m से 0.20 m होने पर $I (t)$ 2.88 से घटकर 0.96 kg·m² होता है, और $ω (t) = L / I (t)$ 2.5 से बढ़कर 7.5 rad/s होता है। यह समान रूप से नहीं बढ़ता: शुरू में धीरे, और खिंचाव के लगभग दो-तिहाई पर सबसे तेज़, क्योंकि जब $I$ पहले से छोटा हो तो $I$ में उतना ही घटाव $L / I$ को अधिक बढ़ाता है; अंत में भुजाएँ धीमी होकर रुक जाती हैं। बीच में, $r = 0.40 m$ पर, $I = 0.72 + 2 \cdot 3 \cdot 0.4 0^{2} = 1.68 kg \cdot m^{2}$ और $ω = 7.20/1.68 = 4.29 rad/s$ है, जो 2.5 से 7.5 rad/s के रास्ते का लगभग एक-तिहाई से कुछ अधिक है।

$K (t)$ ग्राफ़ का आकार ठीक $ω (t)$ जैसा है। कारण $K = \frac{1}{2} I ω^{2} = \frac{1}{2} L ω$ है: $L$ स्थिर होने पर $K$ सीधे $ω$ गुणा $L /2 = 3.6 J \cdot s$ है। इससे 2.5 rad/s पर 9 J और 7.5 rad/s पर 27 J मिलते हैं। कोणीय संवेग वही रहता है, जबकि गतिज ऊर्जा तिगुनी हो जाती है।

अतिरिक्त ऊर्जा का स्रोत कौन है

गतिज ऊर्जा $27 - 9 = 18 J$ बढ़ी, फिर भी कोई बाहरी बल-आघूर्ण नहीं लगा। यह ऊर्जा स्वयं स्केटर से आनी चाहिए, और यह देखना उपयोगी है कि ठीक-ठीक कैसे।

बर्फ़ पर से देखें तो हर भुजा-द्रव्यमान एक वृत्त पर घूमता है, इसलिए उसे अक्ष की ओर $m ω^{2} r$ के अभिकेन्द्रीय खिंचाव की आवश्यकता होती है, और उसकी भुजाएँ यह देती हैं। जब द्रव्यमान अंदर जाते हैं, तो हर खिंचाव उनकी गति की दिशा में होता है, इसलिए वह धनात्मक कार्य करता है। इस कार्य को गिनने के लिए $L$ को स्थिर रखिए और $K = L^{2} / (2 I)$ लिखिए। चूँकि $I = I_{0} + 2 m r^{2}$ , त्रिज्या में छोटे परिवर्तन $d r$ से $I$ में $d I = 4 m r d r$ परिवर्तन होता है। फिर $L / I = ω$ का प्रयोग करते हुए,
$d K = - \frac{L ^{2}}{2 I ^{2}} d I = - 2 m ω^{2} r d r$
जब भुजाएँ अंदर आती हैं, तो $d r$ ऋणात्मक होता है और $d K$ धनात्मक। दाईं ओर ठीक दो खिंचावों का कार्य है: $2 m ω^{2} r$ गुणा अंदर की ओर का विस्थापन $∣ d r ∣$ । $I_{1}$ से $I_{2}$ तक के विस्थापनों को जोड़ने पर,
$W = Δ K = \frac{L ^{2}}{2} (\frac{1}{I _{2}} - \frac{1}{I _{1}})$
स्केटर के लिए यह $25.92 \cdot (1/0.96 - 1/2.88) = 18 J$ है। भुजाएँ फिर से फैलाने पर वही 18 J घूर्णन से वापस निकल जाते हैं।

$W$ रीडिंग इस कार्य को उसके होते समय गिनती है। खिंचाव के दौरान यह $K$ की वृद्धि से थोड़ा आगे चलती है, अधिकतम 0.60 J, क्योंकि यह कार्य युग्म के द्रव्यमानों की अक्ष की ओर गति के लिए भी खर्च होता है: युग्म की गतिज ऊर्जा $m \overset{r}{˙}^{2}$ है, जहाँ $\overset{r}{˙}$ उनका त्रिज्या-वेग है। भुजाएँ रुकने पर दोनों 18 J तक पहुँचते हैं।

उसके अपने घूमते फ़्रेम से देखें तो वही कहानी भिन्न बलों के साथ कही जाती है। वहाँ उसकी भुजाएँ अपकेन्द्री बल के विरुद्ध वही कार्य करती हैं। अंदर जाती भुजा-द्रव्यमानों पर कोरिओलिस बल भी लगता है, जो बगल की ओर लगता है और उन्हें धड़ के आगे, घूर्णन की दिशा में धकेलता है। कंधों पर रोके जाने के कारण वे उसे आगे दबाते हैं और धड़ को तेज़ घुमाते हैं। धड़ का अपना कोणीय संवेग $I_{0} ω$ दर $I_{0} d ω / d t$ से बढ़ता है, इसलिए यही आंतरिक बल-आघूर्ण है। खिंचाव के मध्य में $ω (t)$ ग्राफ़ की ढलान लगभग $5.5 rad/ s^{2}$ है, और बल-आघूर्ण $I_{0} d ω / d t \approx 0.72 \cdot 5.5 \approx 4.0 N \cdot m$ है।

जब अक्ष घूमता है: पुरस्सरण

अब तक $L$ अपनी दिशा बनाए रखता था। पर $L$ एक सदिश है, और उसके लंबवत बल-आघूर्ण उसकी दिशा बदलता है, परिमाण नहीं। यही वह चीज़ है जो घूमते गायरोस्कोप को गिरने से बचाती है।

चित्र 4 में मानक उदाहरण है: एक तेज़ घूमता पहिया, जो एक क्षैतिज धुरी पर लगा है और केवल एक सिरे से थामा गया है। इसका स्पिन कोणीय संवेग $L$ धुरी के अनुदिश है। बाईं ओर, बगल से देखने पर, भार $m g$ पहिए के केंद्र पर लगता है, जो घूर्णन-बिंदु से $d$ दूरी पर है। घूर्णन-बिंदु के सापेक्ष इसका बल-आघूर्ण $τ = m g d$ परिमाण का है, क्षैतिज है और धुरी के लंबवत है। दाईं ओर, ऊपर से देखने पर, $τ$ , $L$ के लंबवत खड़ा है।

अब $d L / d t = τ$ लागू कीजिए। छोटे समय $d t$ में कोणीय संवेग $d L = τ d t$ बढ़ता है, जो बल-आघूर्ण के समानांतर और इसलिए $L$ के लंबवत है। नया सदिश $L^{'} = L + d L$ , $d t$ की प्रथम कोटि तक $L$ के समान लंबाई का है, पर वह एक छोटे कोण $d β = d L / L = τ d t / L$ से घूम चुका है। (चित्र में कोण दिखाने के लिए $d t$ बड़ा खींचा गया है।) धुरी $L$ का अनुसरण करती है, इसलिए गिरने के बजाय वह इस दर से क्षैतिज रूप से घूमने लगती है:
$Ω = \frac{d β}{d t} = \frac{τ}{L}$
सदिश रूप में, $τ = Ω \times L$ , और चित्र 4 में वामावर्त घूमने के लिए $Ω$ ऊपर की ओर है।

यही बात लट्टू या गायरोस्कोप पर भी लागू होती है, जिसका स्पिन कोणीय संवेग $I ω$ है और जिसका द्रव्यमान-केंद्र अपनी धुरी के अनुदिश घूर्णन-बिंदु से $d$ दूरी पर है। यदि धुरी ऊर्ध्वाधर से झुकी हो, तो भार की बल-भुजा और $L$ का क्षैतिज घटक, दोनों झुकाव की ज्या लिए होते हैं, और यह गुणक निरस्त हो जाता है। अतः किसी भी झुकाव पर
$Ω = \frac{m g d}{I ω} (gyroscopic precession)$

एक साइकिल के पहिए का $I = 0.25 kg \cdot m^{2}$ और द्रव्यमान 2.5 kg है; इसे 40 rad/s पर घुमाया गया है और इसकी धुरी के एक सिरे पर, पहिए के केंद्र से 0.20 m दूर, टिकाया गया है। इसका $L = 0.25 \cdot 40 = 10 kg \cdot m^{2} /s$ है, और इसका भार $τ = 2.5 \cdot 9.81 \cdot 0.20 \approx 4.9 N \cdot m$ का बल-आघूर्ण लगाता है। यह गिरता नहीं: यह $Ω = 4.9/10 \approx 0.49 rad/s$ पर घूमता है, यानी लगभग हर 13 s में एक चक्कर। पृथ्वी एक धीमे लट्टू जैसी है: सूर्य और चंद्रमा इसके विषुवतीय उभार पर खिंचाव डालते हैं, और इसकी धुरी लगभग 26 000 वर्षों में एक बार पुरस्सरण करती है।

$L$ का सदिश होना एक और परिणाम देता है: यह केवल पिंड के मुख्य अक्ष (जैसे सममिति-अक्ष) के चारों ओर घूर्णन में ही $ω$ के समानांतर होता है। धुरी पर थोड़ा तिरछा लगे पहिए का $L$ धुरी से हटकर होता है। जैसे-जैसे पहिया घूमता है, $L$ धुरी के चारों ओर घूमता है और लगातार बदलता रहता है; और $d L / d t = τ$ के अनुसार बेयरिंग को लगातार बल-आघूर्ण देना पड़ता है। इसीलिए कार के पहियों को संतुलित किया जाता है।

हल किया गया प्रश्न: घटता हुआ स्पिन

असल में बर्फ़ घर्षण-रहित नहीं होती। मान लीजिए ब्लेड स्पिन के विरुद्ध $τ = 0.30 N \cdot m$ का स्थिर घर्षण-बल-आघूर्ण लगाता है, जो एनिमेशन के $L_{0} = 7.20 kg \cdot m^{2} /s$ से शुरू होता है। स्पिन कितनी देर चलेगा, और वह कितने चक्कर लगाएगी जब उसकी भुजाएँ अंदर ( $I = 0.96 kg \cdot m^{2}$ ) हों और जब वे फैली हों ( $I = 2.88 kg \cdot m^{2}$ )?

कितनी देर: अब $d L / d t = - τ$ है, इसलिए $L$ एक स्थिर दर से घटता है, $L (t) = 7.20 - 0.30 t$ , और $T = L_{0} / τ = 24 s$ बाद शून्य पर पहुँचता है। उसका आकार यहाँ परिणाम नहीं बदलता: दोनों स्थितियों में सपाट $L (t)$ ग्राफ़ एक ही घटती सीधी रेखा बन जाता।

कितने चक्कर: कोण उसके आकार पर निर्भर करता है, क्योंकि $ω = L (t) / I$ । 24 s में घुमाया गया कोण $ω$ का समाकलन है:
$θ = \int_{0}^{T} \frac{L _{0} - τ t}{I} d t = \frac{L _{0}^{2}}{2 τ I}$
यह घटती रेखा के नीचे के त्रिभुज का क्षेत्रफल है, जिसकी ऊँचाई $L_{0} / I$ और आधार $L_{0} / τ$ है। भुजाएँ अंदर होने पर $θ = 51.84/ (2 \cdot 0.30 \cdot 0.96) = 90 rad$ , लगभग 14.3 चक्कर। भुजाएँ बाहर होने पर केवल 30 rad, लगभग 4.8 चक्कर।

ऊर्जा भी यही पुष्टि करती है। घर्षण-बल-आघूर्ण स्पिन के विरुद्ध $τ θ$ कार्य करता है, और $0.30 \cdot 90 = 27 J$ तथा $0.30 \cdot 30 = 9 J$ ठीक उसकी दोनों आरंभिक गतिज ऊर्जाएँ हैं। भुजाएँ अंदर खींचने से स्पिन अधिक देर नहीं चलता; वह बस उन्हीं 24 s में तीन गुना चक्कर भर देती है।

सीमाएँ

स्केटर मॉडल आदर्शीकृत है: असली भुजाएँ दो बिंदु-द्रव्यमान नहीं, बल्कि फैले हुए द्रव्यमान होती हैं, और घर्षण व वायु-खिंचाव कभी पूरी तरह समाप्त नहीं होते। संरक्षण नियम स्वयं किसी भी मॉडल से अधिक सुदृढ़ है। ऊपर के प्रमाण में न्यूटन के तीसरे नियम का प्रबल रूप प्रयुक्त हुआ, जिसमें आंतरिक बल कणों को जोड़ने वाली रेखाओं के अनुदिश हैं। गुरुत्व और स्पर्श बल इसका पालन करते हैं; गतिमान आवेशों के बीच चुंबकीय बल ऐसा नहीं करते। फिर भी कुछ खोता नहीं, क्योंकि विद्युत-चुंबकीय क्षेत्र का अपना कोणीय संवेग होता है, और क्षेत्र के हिस्से को गिन लेने पर नियम लागू रहता है। उदाहरण के लिए, वृत्तीय ध्रुवित प्रकाश अपना कोणीय संवेग उसे अवशोषित करने वाली किसी भी वस्तु को सौंप देता है।

पुरस्सरण सूत्र मानता है कि $Ω ≪ ω$ , यानी स्पिन लगभग पूरा कोणीय संवेग वहन करता है; साइकिल के पहिए के लिए यह अनुपात लगभग 1% है। पहिए को केवल 10 rad/s पर घुमाएँ, तो $Ω$ 2.0 rad/s तक पहुँच जाता है, जो $ω$ का लगभग पाँचवाँ हिस्सा है। तब धुरी घूमते समय साफ़ तौर पर ऊपर-नीचे झुकती है, जिसे निउटेशन कहते हैं, और चिकनी गति से सरकती नहीं।

परमाणु स्तर पर कोणीय संवेग क्वांटीकृत होता है: किसी भी अक्ष पर इसका घटक केवल उन मानों को लेता है जो लघुकृत प्लांक नियतांक $ℏ = 1.055 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ के अंतराल पर हों। स्केटर का $7.20 kg \cdot m^{2} /s$ ऐसे लगभग $7 \times 1 0^{34}$ चरण हैं, इसलिए उसकी कणिकता अदृश्य है। किसी परमाणु के इलेक्ट्रॉन के लिए यही सब कुछ है। इलेक्ट्रॉन का एक आंतरिक कोणीय संवेग भी होता है, जिसे स्पिन कहते हैं, और उसके घटक $\pm ℏ/2$ होते हैं; यह किसी छोटी गेंद का घूर्णन नहीं है। विशिष्ट आपेक्षिकता में $L = r \times p$ आपेक्षिक संवेग के साथ बना रहता है, और उसका संरक्षण भी।

यह हमें कहाँ ले जाता है

कोणीय संवेग संरक्षित क्यों है? क्योंकि अंतरिक्ष की कोई तरजीही दिशा नहीं है। नोएथर प्रमेय के अनुसार भौतिकी के नियमों की हर सतत समरूपता एक संरक्षित राशि देती है: अंतरिक्ष की एक स्थान से दूसरे स्थान तक समानता संवेग देती है, समय की समानता ऊर्जा देती है, और सभी दिशाओं की समानता कोणीय संवेग देती है।

यह नियम बहुत दूर तक पहुँचता है। “गुरुत्वाकर्षण और कक्षाएँ” में यह समान-क्षेत्र नियम समझाता है, और त्रिज्यीय ऊर्जा में $L^{2} / (2 m r^{2})$ पद एक अपकेन्द्री अवरोध का काम करता है, जो ग्रहों को सूर्य में गिरने से रोकता है। “परमाणु मॉडल: बोर परमाणु” में नियम $L = n ℏ$ हाइड्रोजन के ऊर्जा-स्तर तय करता है। $ℏ$ की इकाइयों में गिना गया स्पिन “कण और बल: मानक मॉडल” के पदार्थ-कणों (स्पिन 1/2) को बल-वाहक कणों (स्पिन 1) से अलग करता है। और इलेक्ट्रॉनों के संरेखित स्पिन लोहे को चुंबकीय बनाते हैं, जैसा “चुंबकों और धाराओं के चुंबकीय क्षेत्र” में वर्णित है।

मुख्य सूत्र

घूमते पिंड का कोणीय संवेग

L = I ω

$ω$ पर घूमते पिंड का हर भाग $ω r$ चाल से वृत्त पर चलता है और $m r^{2} ω$ योगदान देता है; उन्हें जोड़ने पर $I ω$ मिलता है। यह $p = m v$ जैसा है, जहाँ जड़त्व-आघूर्ण द्रव्यमान की जगह लेता है। इसकी दिशा (धनात्मक या ऋणात्मक) दाएँ हाथ के नियम से घूर्णन की दिशा के अनुसार तय होती है।

चिह्न
$L$	अक्ष के सापेक्ष कोणीय संवेग	$kg \cdot m^{2} /s$
$I$	उसी अक्ष के सापेक्ष जड़त्व-आघूर्ण	$kg \cdot m^{2}$
$ω$	कोणीय वेग	$rad/s$

कब लागू होता है: अचल अक्ष पर घूर्णन के लिए यह उस अक्ष के अनुदिश $L$ का घटक देता है; $L$ स्वयं केवल पिंड के मुख्य अक्ष पर ही $ω$ के समानांतर होता है।

उदाहरण: भुजाएँ फैलाए स्केटर: $L = 2.88 \cdot 2.5 = 7.20 kg \cdot m^{2} /s$ ।

बिंदु-द्रव्यमान का कोणीय संवेग

L = m v r (point mass on a circle)

त्रिज्या $r$ के वृत्त पर $v$ चाल से चलने वाले छोटे द्रव्यमान का संवेग $m v$ है, और उसका कोणीय संवेग इस संवेग को त्रिज्या से गुणा करने पर मिलता है। यह $L = I ω$ की विशेष स्थिति है, जहाँ $I = m r^{2}$ और $ω = v / r$ । अन्य पथों के लिए त्रिज्या की जगह संवेग की बल-भुजा लेनी होगी, इसलिए सीधी रेखा की गति का भी कोणीय संवेग होता है।

चिह्न
$L$	केंद्र के सापेक्ष कोणीय संवेग	$kg \cdot m^{2} /s$
$m$	कण का द्रव्यमान	$kg$
$v$	वृत्त के अनुदिश चाल	$m/s$
$r$	वृत्त की त्रिज्या	$m$

कब लागू होता है: केवल वृत्तीय गति के लिए सटीक। अन्य पथों के लिए $L = m v b$ का प्रयोग कीजिए, जहाँ $b$ अक्ष से गति की रेखा तक की लंबवत दूरी है।

उदाहरण: 30 kg का बच्चा 4 m/s से दौड़ता है, घूमते झूले की अक्ष से 1.5 m दूर की रेखा पर: $L = 30 \cdot 4 \cdot 1.5 = 180 kg \cdot m^{2} /s$ ।

बल-आघूर्ण कोणीय संवेग बदलता है

τ_{ext} = \frac{d L}{d t}

न्यूटन के दूसरे नियम का घूर्णी रूप, जो $F = d p / d t$ का समकक्ष है: किसी अक्ष पर बाहरी बल-आघूर्ण उस अक्ष के सापेक्ष कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर है। आंतरिक बल समान और विपरीत युग्मों में एक ही रेखा पर लगते हैं, इसलिए उनके बल-आघूर्ण निरस्त हो जाते हैं और गिने नहीं जाते। स्थिर $I$ वाले दृढ़ पिंड के लिए यह $τ = I α$ हो जाता है।

चिह्न
$τ_{ext}$	उस अक्ष के सापेक्ष कुल बाहरी बल-आघूर्ण	$N \cdot m$
$L$	उसी अक्ष के सापेक्ष कोणीय संवेग	$kg \cdot m^{2} /s$
$t$	समय	$s$

कब लागू होता है: किसी भी निकाय पर लागू होता है, दृढ़ या अदृढ़, स्थिर बिंदु या द्रव्यमान-केंद्र के सापेक्ष, बशर्ते आंतरिक बल कणों को जोड़ने वाली रेखाओं के अनुदिश हों।

उदाहरण: 0.30 N·m का घर्षण-बल-आघूर्ण हर सेकंड 0.30 kg·m²/s हटाता है, इसलिए स्केटर का $7.20 kg \cdot m^{2} /s$ 24 s बाद समाप्त हो जाता है।

कोणीय संवेग का संरक्षण

τ_{ext} = 0 \to I_{1} ω_{1} = I_{2} ω_{2}

बाहरी बल-आघूर्ण न होने पर $L$ नहीं बदल सकता, इसलिए निकाय अपना आकार कैसे भी बदले, बदलाव से पहले और बाद में $I ω$ का गुणनफल समान होता है। यदि $I$ एक-तिहाई हो जाए, तो $ω$ तिगुना हो जाता है। सामान्यतः गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती: वह आंतरिक बलों के कार्य से बदलती है।

चिह्न
$τ_{ext}$	उस अक्ष पर बाहरी बल-आघूर्ण	$N \cdot m$
$I_{1}$	परिवर्तन से पहले जड़त्व-आघूर्ण	$kg \cdot m^{2}$
$ω_{1}$	परिवर्तन से पहले कोणीय वेग	$rad/s$
$I_{2}$	परिवर्तन के बाद जड़त्व-आघूर्ण	$kg \cdot m^{2}$
$ω_{2}$	परिवर्तन के बाद कोणीय वेग	$rad/s$

कब लागू होता है: प्रश्न वाली अक्ष के सापेक्ष बाहरी बल-आघूर्ण शून्य होना चाहिए। जिन बलों की क्रिया-रेखा अक्ष से होकर जाती है या उसके समांतर है, जैसे स्केटर का भार और बर्फ़ का धक्का, वे कोई बल-आघूर्ण नहीं देते; घर्षण इसे धीरे-धीरे बिगाड़ता है।

उदाहरण: स्केटर: $2.88 \cdot 2.5 = 0.96 ω_{2}$ , इसलिए $ω_{2} = 7.5 rad/s$ ।

घूर्णन गतिज ऊर्जा

K = \frac{1}{2} I ω^{2} = \frac{L ^{2}}{2 I}

$ω r$ पर चलता हर द्रव्यमान-भाग $\frac{1}{2} m ω^{2} r^{2}$ गतिज ऊर्जा रखता है; योग करने पर $\frac{1}{2} I ω^{2}$ मिलता है। $ω = L / I$ रखने पर $L^{2} / (2 I)$ मिलता है, जो $L$ संरक्षित होने पर सबसे उपयोगी रूप है: तब गतिज ऊर्जा $I$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है, इसलिए $I$ घटाने से $K$ बढ़ता है।

चिह्न
$K$	घूर्णन की गतिज ऊर्जा	$J$
$I$	जड़त्व-आघूर्ण	$kg \cdot m^{2}$
$ω$	कोणीय वेग	$rad/s$
$L$	कोणीय संवेग	$kg \cdot m^{2} /s$

कब लागू होता है: अचल अक्ष या द्रव्यमान-केंद्र के सापेक्ष घूर्णन के लिए; यदि पिंड पूरा भी चल रहा हो, तो उसकी स्थानांतरीय ऊर्जा $\frac{1}{2} M v_{cm}^{2}$ जोड़नी होगी।

उदाहरण: स्केटर: भुजाएँ फैली हों तो $K = 7.2 0^{2} / (2 \cdot 2.88) = 9 J$ , अंदर हों तो $7.2 0^{2} / (2 \cdot 0.96) = 27 J$ ।

जड़त्व-आघूर्ण बदलने में किया गया कार्य

W = Δ K = (\frac{L ^{2}}{2}) (\frac{1}{I _{2}} - \frac{1}{I _{1}})

स्थिर $L$ पर गतिज ऊर्जा केवल $I$ पर निर्भर करती है, इसलिए आकार बदलने में लगने वाला कार्य दोनों अवस्थाओं के $L^{2} / (2 I)$ का अंतर है। द्रव्यमान को अंदर खींचने ( $I_{2} < I_{1}$ ) पर धनात्मक कार्य लगता है, जो घूमते द्रव्यमानों के बाहर उड़ने की प्रवृत्ति के विरुद्ध होता है; उसे फिर बाहर छोड़ने पर वही ऊर्जा लौट आती है।

चिह्न
$W$	आंतरिक बलों (उसकी मांसपेशियों) द्वारा किया गया कार्य	$J$
$Δ K$	घूर्णन गतिज ऊर्जा का परिवर्तन	$J$
$L$	कोणीय संवेग (स्थिर)	$kg \cdot m^{2} /s$
$I_{1}$	परिवर्तन से पहले जड़त्व-आघूर्ण	$kg \cdot m^{2}$
$I_{2}$	परिवर्तन के बाद जड़त्व-आघूर्ण	$kg \cdot m^{2}$

कब लागू होता है: केवल तब जब बाहरी बल-आघूर्ण न हो और तुलना की जाने वाली अवस्थाओं में द्रव्यमान अक्ष की ओर या उससे दूर न जा रहे हों; गति के दौरान उनकी त्रिज्या-गतिज ऊर्जा भी जोड़नी होगी।

उदाहरण: स्केटर: $W = \frac{1}{2} \cdot 7.2 0^{2} \cdot (1/0.96 - 1/2.88) = 18 J$ ।

गायरोस्कोप की पुरस्सरण दर

Ω = \frac{m g d}{I ω} (gyroscopic precession)

लट्टू का भार, जो उसके द्रव्यमान-केंद्र पर लगता है और घूर्णन-बिंदु से $d$ दूर है, स्पिन कोणीय संवेग $I ω$ के लंबवत बल-आघूर्ण देता है। यह बल-आघूर्ण $L$ को पलटने के बजाय बगल की ओर घुमाता है, इसलिए अक्ष $Ω = τ / L$ की दर से घूमता है। झुकाव निरस्त हो जाता है, क्योंकि बल-आघूर्ण और $L$ का क्षैतिज घटक दोनों झुकाव की ज्या लिए होते हैं। तेज़ स्पिन का अर्थ है धीमा पुरस्सरण।

चिह्न
$Ω$	पुरस्सरण का कोणीय वेग	$rad/s$
$m$	लट्टू या पहिए का द्रव्यमान	$kg$
$g$	मुक्त पतन का त्वरण	$m/ s^{2}$
$d$	घूर्णन-बिंदु से द्रव्यमान-केंद्र की दूरी	$m$
$I$	स्पिन अक्ष के सापेक्ष जड़त्व-आघूर्ण	$kg \cdot m^{2}$
$ω$	स्पिन का कोणीय वेग	$rad/s$

कब लागू होता है: केवल तेज़ स्पिन के लिए, $Ω ≪ ω$ , जब पुरस्सरण $L$ में लगभग कुछ नहीं जोड़ता; धीमे स्पिन में धुरी ऊपर-नीचे भी झुकती है (निउटेशन)।

उदाहरण: साइकिल का पहिया, $I = 0.25 kg \cdot m^{2}$ , द्रव्यमान 2.5 kg, $d = 0.20 m$ , 40 rad/s पर घूमता हुआ: $Ω = 4.9/10 \approx 0.49 rad/s$ , लगभग 13 s में एक चक्कर।

शब्दावली

कोणीय संवेग: संवेग का घूर्णी समकक्ष। कण के लिए यह किसी चुने हुए बिंदु के सापेक्ष $L = r \times p$ है; अचल अक्ष पर घूमते पिंड के लिए $L = I ω$ । इसे केवल बाहरी बल-आघूर्ण बदल सकता है।
घूर्णन के लिए दाएँ हाथ का नियम: घूर्णन को दिशा देने की परिपाटी: दाएँ हाथ की उँगलियों को गति की दिशा में मोड़ें, तो अँगूठा $ω$ और $L$ की दिशा दिखाता है। ऊपर से देखने पर वामावर्त घूमते स्केटर का $L$ ऊपर की ओर होता है।
जड़त्व-आघूर्ण: पिंड का अपने घूर्णन में बदलाव के प्रति प्रतिरोध, $I = \sum m r^{2}$ । यह केवल द्रव्यमान की मात्रा पर नहीं, बल्कि उसे अक्ष के चारों ओर कैसे फैलाया गया है उस पर निर्भर करता है; द्रव्यमान के विपरीत यह आकार बदलने पर बदल जाता है।
बल-आघूर्ण: किसी अक्ष पर बल का घुमाने वाला प्रभाव: बल गुणा उसकी बल-भुजा, N·m में। बाहरी बल-आघूर्ण कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर के बराबर होता है, जैसे कुल बल संवेग के परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
बल-भुजा: अक्ष से उस रेखा तक की लंबवत दूरी जिस पर बल लगता है या पिंड चलता है। जो बल या संवेग सीधे अक्ष की ओर निर्दिष्ट हो, उसकी बल-भुजा शून्य होती है और उसका घुमाने वाला प्रभाव नहीं होता; दूरी $b$ पर गुजरते पिंड का $L = m v b$ होता है।
आंतरिक बल-आघूर्ण: निकाय का एक भाग दूसरे भाग पर जो बल-आघूर्ण लगाता है। आंतरिक बल समान और विपरीत युग्मों में एक ही रेखा पर होते हैं, इसलिए आंतरिक बल-आघूर्ण निरस्त हो जाते हैं: वे भागों के बीच कोणीय संवेग स्थानांतरित करते हैं, पर कुल योग नहीं बदलते।
कोणीय संवेग का संरक्षण: किसी अक्ष पर बाहरी बल-आघूर्ण न हो, तो उसके सापेक्ष कुल कोणीय संवेग स्थिर रहता है, $I_{1} ω_{1} = I_{2} ω_{2}$ , चाहे निकाय अपना आकार कैसे भी बदले। यह दृढ़ और अदृढ़ दोनों पिंडों पर लागू होता है, जबकि गतिज ऊर्जा सामान्यतः बदलती है।
केंद्रीय बल: एक स्थिर बिंदु की ओर सदा निर्देशित बल, जैसे ग्रह पर सूर्य का गुरुत्व। इसकी क्रिया-रेखा उस बिंदु से होकर जाती है, इसलिए वह उस पर बल-आघूर्ण नहीं देता और उस बिंदु के सापेक्ष कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
समान क्षेत्रफल का नियम: केप्लर का दूसरा नियम: सूर्य से ग्रह तक की रेखा बराबर समय में बराबर क्षेत्रफल बुहारती है। बुहारने की दर $L / (2 m)$ है, इसलिए यह केंद्रीय बल के अंतर्गत कोणीय संवेग का संरक्षण ही है।
पुरस्सरण: $L$ के लंबवत बल-आघूर्ण के अंतर्गत स्पिन-अक्ष का धीमा झूलना, जो $L$ की दिशा बदलता है, परिमाण नहीं। तेज़ घूमता लट्टू $Ω = m g d / (I ω)$ से पुरस्सरण करता है; पृथ्वी की धुरी लगभग 26 000 वर्षों में एक बार पुरस्सरण करती है।
मुख्य अक्ष: पिंड का वह अक्ष जिसके चारों ओर उसका कोणीय संवेग कोणीय वेग के समानांतर होता है, जैसे सममिति-अक्ष। किसी अन्य अक्ष पर घूमता पिंड डगमगाता है, या स्थिर घूर्णन के लिए बेयरिंग से बल-आघूर्ण की आवश्यकता होती है।
क्वांटीकृत कोणीय संवेग: क्वांटम यांत्रिकी में कोणीय संवेग का किसी भी अक्ष पर घटक केवल $ℏ \approx 1.055 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ के अंतराल वाले मानों को लेता है। कणों का एक आंतरिक स्पिन भी होता है; इलेक्ट्रॉन के लिए इसके घटक $\pm ℏ/2$ हैं।

राशियाँ
$L$	कोणीय संवेग	$kg \cdot m^{2} /s$	जड़त्व-आघूर्ण गुणा कोणीय वेग, $I ω$ ; वृत्त पर बिंदु-द्रव्यमान के लिए $m v r$ । 1 kg·m²/s = 1 J·s।
$I$	जड़त्व-आघूर्ण	$kg \cdot m^{2}$	हर द्रव्यमान को उसकी अक्ष से दूरी के वर्ग से गुणा करके जोड़ा गया योग: भुजाएँ फैली हों तो स्केटर के लिए 2.88 kg·m², अंदर हों तो 0.96 kg·m²।
$ω$	कोणीय वेग	$rad/s$	प्रति सेकंड घूमा गया कोण; प्रति सेकंड एक चक्कर $2 π \approx 6.28 rad/s$ है।
$m$	द्रव्यमान	$kg$	कण या पिंड के किसी भाग का द्रव्यमान, जैसे एनिमेशन में प्रत्येक 3 kg का भुजा-द्रव्यमान।
$r$	अक्ष से दूरी	$m$	द्रव्यमान की घूर्णन-अक्ष से लंबवत दूरी; यह जड़त्व-आघूर्ण में वर्ग के रूप में आती है।
$v$	वृत्त पर चाल	$m/s$	अक्ष के चारों ओर घूमते द्रव्यमान की चाल, $v = ω r$ : स्केटर के हाथों के लिए 1.5 m/s, भुजाएँ फैली हों या अंदर।
$τ_{ext}$	बाहरी बल-आघूर्ण	$N \cdot m$	निकाय के बाहर के बलों का उस अक्ष पर कुल बल-आघूर्ण; यह $L$ के परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
$K$	घूर्णन गतिज ऊर्जा	$J$	घूर्णन की ऊर्जा, $\frac{1}{2} I ω^{2} = L^{2} / (2 I)$ ; स्थिर $L$ पर यह $I$ के व्युत्क्रमानुपाती है।
$W$	मांसपेशियों द्वारा किया गया कार्य	$J$	स्थिर $L$ पर द्रव्यमानों को अंदर खींचने में लगा कार्य, जो गतिज ऊर्जा की वृद्धि के बराबर है: स्केटर के लिए 18 J।
$Ω$	पुरस्सरण कोणीय वेग	$rad/s$	$L$ के लंबवत बल-आघूर्ण के अंतर्गत स्पिन-अक्ष के घूमने की दर, $Ω = τ / L$ ।

क्विज़

शुरुआती एक फ़िगर स्केटर भुजाएँ फैलाए घूम रही है। जब वह उन्हें शरीर के पास अंदर खींचती है तो क्या होता है?
1. वह धीमी हो जाती है
2. वह और तेज़ घूमती है
3. वह उसी गति से घूमती रहती है
4. वह घूमना बंद कर देती है
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उत्तर: B. वह और तेज़ घूमती है
भुजाएँ अंदर खींचने से द्रव्यमान अक्ष के पास आता है। बाहर से उसे कोई मरोड़ नहीं लग रहा, इसलिए उसका कोणीय संवेग (घूर्णन की मात्रा) स्थिर रहता है और उसे तेज़ घूमना पड़ता है।
शुरुआती एक गोताखोर पानी तक पहुँचने से पहले अधिक कलाबाज़ियाँ लगाना चाहती है। हवा में पहुँचने के बाद उसे क्या करना चाहिए?
1. यथासंभव सीधे फैले रहना
2. हवा को धकेलने के लिए टाँगें चलाना
3. कुछ नहीं: वह कितनी तेज़ घूमेगी यह तख़्ते से छूटते ही तय हो जाता है
4. कसकर गेंद की तरह सिकुड़ जाना
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उत्तर: D. कसकर गेंद की तरह सिकुड़ जाना
तख़्ते से छूटते ही उसकी घूर्णन की मात्रा (कोणीय संवेग) तय हो जाती है, पर उसकी घूर्णन-गति तय नहीं होती। सिकुड़ने से उसका द्रव्यमान अक्ष के पास आता है, इसलिए वह तेज़ घूमती है; पानी से पहले फैलने से वह धीमी होती है।
मध्यम एक स्केटर 2 rad/s से घूम रही है, उसका जड़त्व-आघूर्ण 4 kg·m² है। वह अपनी भुजाएँ अंदर खींचती है जब तक I = 1 kg·m² न हो जाए। घर्षण को नज़रअंदाज़ करें, तो उसका नया कोणीय वेग क्या है?
1. 0.5 rad/s
2. 4 rad/s
3. 8 rad/s
4. 16 rad/s
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उत्तर: C. 8 rad/s
L = I·ω = 4 × 2 = 8 kg·m²/s संरक्षित है, इसलिए ω = 8 / 1 = 8 rad/s। 4 rad/s वह मान है जो गलती से यह मानने पर मिलता है कि गतिज ऊर्जा संरक्षित है।
मध्यम घूमती हुई स्केटर जब अपनी भुजाएँ अंदर खींचती है, तो कौन-सी राशि स्थिर रहती है?
1. उसका कोणीय वेग ω
2. उसका जड़त्व-आघूर्ण I
3. उसकी घूर्णन गतिज ऊर्जा
4. उसका कोणीय संवेग L = I·ω
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उत्तर: D. उसका कोणीय संवेग L = I·ω
घूर्णन-अक्ष के सापेक्ष कोई बाहरी बल-आघूर्ण नहीं है, इसलिए L संरक्षित है। I घटता है, ω उसी अनुपात में बढ़ता है, और गतिज ऊर्जा ½·I·ω² बढ़ती है क्योंकि उसकी मांसपेशियाँ कार्य करती हैं।
मध्यम एक बच्चा घूमते झूले के किनारे पर खड़ा है, जो स्वतंत्र रूप से घूमता है। फिर वह केंद्र की ओर चलता है। घूमते झूले के घूर्णन का क्या होता है?
1. वह तेज़ हो जाता है
2. वह धीमा हो जाता है
3. वह नहीं बदलता
4. उसकी दिशा उलट जाती है
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उत्तर: A. वह तेज़ हो जाता है
बच्चे और झूले का कुल कोणीय संवेग संरक्षित है। बच्चा अंदर जाता है तो कुल जड़त्व-आघूर्ण घटता है, इसलिए कोणीय वेग बढ़ता है।
उन्नत स्थिर कोणीय संवेग पर, स्केटर का जड़त्व-आघूर्ण अपने मान के एक-तिहाई तक घट जाता है। उसकी घूर्णन गतिज ऊर्जा का क्या होता है?
1. वह वही रहती है, क्योंकि ऊर्जा संरक्षित रहती है
2. वह √3 गुना बढ़ जाती है
3. वह तिगुनी हो जाती है, जो उसकी मांसपेशियों के कार्य से आती है
4. वह 9 गुना बढ़ जाती है
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उत्तर: C. वह तिगुनी हो जाती है, जो उसकी मांसपेशियों के कार्य से आती है
K = L²/(2I)। L स्थिर होने पर K, I के व्युत्क्रमानुपाती होता है, इसलिए वह तिगुना हो जाती है। यह ऊर्जा उसकी भुजाओं की मांसपेशियों से आती है: अंदर जाते द्रव्यमानों को अभिकेन्द्रीय बल चाहिए, और जब वे अंदर जाते हैं तो वह बल धनात्मक कार्य करता है।
उन्नत एक तेज़ घूमता गायरोस्कोप अपनी क्षैतिज धुरी के एक सिरे पर टिका है। गुरुत्व उस पर बल-आघूर्ण लगाता है। धुरी का क्या होता है?
1. वह उस छड़ की तरह नीचे गिरती है जो घूम नहीं रही
2. वह धीरे-धीरे क्षैतिज वृत्त में घूमती है
3. वह ऊपर उठकर खड़ी हो जाती है
4. वह स्थिर रहती है जबकि स्पिन धीमा होता है
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उत्तर: B. वह धीरे-धीरे क्षैतिज वृत्त में घूमती है
गुरुत्व का बल-आघूर्ण क्षैतिज है और L⃗ के लंबवत है। चूँकि dL⃗/dt = τ⃗, वह L⃗ की दिशा बदलता है, परिमाण नहीं; इसलिए धुरी क्षैतिज वृत्त में Ω = m·g·d/(I·ω) की दर से घूमती है: इसे पुरस्सरण कहते हैं।
उन्नत एक m द्रव्यमान का पक स्थिर वेग v से एक सीधी रेखा पर फिसलता है, जिसकी बिंदु O से लंबवत दूरी b है। O के सापेक्ष उसका कोणीय संवेग क्या है?
1. m·v·b, रेखा के हर बिंदु पर एक-सा
2. शून्य, क्योंकि वह वृत्त में नहीं चल रहा
3. m·v·r, जो O से दूरी r बढ़ने पर बढ़ता है
4. निकटतम बिंदु पर सबसे अधिक, अन्यत्र कम
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उत्तर: A. m·v·b, रेखा के हर बिंदु पर एक-सा
L = |r⃗ × p⃗| = m·v·r·sin φ, जहाँ φ, r⃗ और v⃗ के बीच का कोण है, और r·sin φ, O से रेखा तक की लंबवत दूरी b है, जो हर जगह समान है। कोई बल नहीं लगता, इसलिए कोई बल-आघूर्ण नहीं और L स्थिर रहता है: सीधी रेखा पर चलने वाले पिंड का अपने पथ से बाहर किसी भी बिंदु के सापेक्ष कोणीय संवेग होता है।

$O$	वह बिंदु जिसके सापेक्ष $L$ लिया गया है।
$r$	कण की स्थिति, $O$ से कण तक।	$m$
$p$	कण का संवेग $m v$ , उसकी गति की रेखा के अनुदिश।	$kg \cdot m/s$
$φ$	$r$ और $p$ के बीच का कोण, कण पर अंकित।	$rad$
$b$	बल-भुजा: $O$ से गति की रेखा तक की लंबवत दूरी, $b = r sin φ$ ।	$m$
$L$	$O$ के सापेक्ष कोणीय संवेग: परिमाण $r p sin φ = p b$ , दाएँ हाथ के नियम से पन्ने से बाहर।	$kg \cdot m^{2} /s$

$S$	सूर्य, वह स्थिर बिंदु जिसकी ओर बल सदा निर्देशित है।
$r$	$S$ से ग्रह तक की दूरी; यह रेखा हर पंखे को बुहारती है।	$m$
$F$	ग्रह पर बल, सदा $S$ की ओर की रेखा के अनुदिश।	$N$
$v$	ग्रह का वेग, उसकी कक्षा के स्पर्शरेखीय।	$m/s$
$A_{1}$	$S$ के पास बीते समय $Δ t$ में $S$ से ग्रह तक की रेखा द्वारा बुहारा गया क्षेत्रफल।	$m^{2}$
$A_{2}$	$S$ से दूर उसी समय $Δ t$ में बुहारा गया क्षेत्रफल; यह $A_{1}$ के बराबर है।	$m^{2}$

$d$	घूर्णन-बिंदु से भार की रेखा तक की दूरी।	$m$
$m g$	पहिए का भार, उसके केंद्र पर लगता है।	$N$
$L$	पहिए का धुरी के अनुदिश स्पिन कोणीय संवेग।	$kg \cdot m^{2} /s$
$τ$	भार का घूर्णन-बिंदु के सापेक्ष बल-आघूर्ण, $τ = m g d$ : क्षैतिज और $L$ के लंबवत।	$N \cdot m$
$d L$	बहुत छोटे समय $d t$ में $L$ का परिवर्तन: $d L = τ d t$ ।	$kg \cdot m^{2} /s$
$L^{'}$	$d t$ के बाद कोणीय संवेग: $L + d L$ ।	$kg \cdot m^{2} /s$
$d β$	$d t$ में $L$ जितना घूमता है: $d β = τ d t / L$ ।	$rad$
$Ω$	जिस दर से धुरी घूमती है: $Ω = d β / d t = τ / L$ ।	$rad/s$

$O$	वह बिंदु जिसके सापेक्ष बल-आघूर्ण लिए गए हैं।
$r_{1}$	कण 1 की स्थिति, $O$ से।	$m$
$r_{2}$	कण 2 की स्थिति, $O$ से।	$m$
$F$	कण 2 से कण 1 पर बल, दोनों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश। कण 2 पर $- F$ लगता है।	$N$
$b$	दोनों बलों की बल-भुजा: $O$ से कणों को जोड़ने वाली रेखा तक की दूरी।	$m$
$τ_{1}$	$F$ का कण 1 पर $O$ के सापेक्ष बल-आघूर्ण: परिमाण $F b$ , पन्ने के भीतर।	$N \cdot m$
$τ_{2}$	$- F$ का कण 2 पर $O$ के सापेक्ष बल-आघूर्ण: परिमाण $F b$ , पन्ने से बाहर।	$N \cdot m$