Drehimpuls und Drehimpulserhaltung

Einsteiger

Setz dich auf einen Bürostuhl, der sich frei dreht, halte Arme und Beine ausgestreckt und lass dir von einem Freund einen sanften Drehstoß geben. Zieh sie nun eng an dich: Plötzlich wirbelst du viel schneller herum. Niemand hat dich gestoßen; du hast nur deine Form verändert. Hier ist der Grund, Schritt für Schritt.

Schritt 1. Ein sich drehender Körper trägt einen Betrag an Drehung in sich, den Physiker Drehimpuls nennen. Er hängt davon ab, wie schnell sich der Körper dreht und wie weit seine Masse von der Achse entfernt liegt: Masse weit außen zählt viel, Masse nah innen zählt wenig.

Schritt 2. Wie beim gewöhnlichen Impuls kann sich dieser Drehschwung nicht von selbst ändern; nur ein Anstoß von außen, etwa durch Reibung, kann ihn ändern. Rückt die Masse also näher an die Achse, muss sich das Objekt schneller drehen, um denselben Drehimpuls zu behalten; bewegt sie sich wieder nach außen, wird es langsamer.

Schritt 3. Die Animation zeigt eine Eiskunstläuferin von oben und von der Seite. Mit ausgestreckten Armen dreht sie sich langsam; zieht sie die Arme an, wirbelt sie dreimal so schnell herum, wie der Balken der Drehgeschwindigkeit zeigt, und breitet sie die Arme wieder aus, wird sie langsamer. Das Eis ist so glatt, dass es sie kaum verdreht.

Schritt 4. Dieselbe Regel gilt weit über die Eisbahn hinaus. Turmspringer ziehen sich zu einer Kugel zusammen, um schnell zu überschlagen, und strecken sich, bevor sie das Wasser erreichen. Ein Planet bewegt sich am schnellsten, wenn er der Sonne am nächsten ist, denn die Anziehung der Sonne kann seinen Drehimpuls um die Sonne nicht ändern.

Prüf dich selbst: Ein Pizzabäcker wirbelt einen Teigball herum, und er breitet sich zu einer breiten, dünnen Scheibe aus. Was passiert mit der Drehgeschwindigkeit des Teigs? (Sie wird langsamer: Seine Masse ist weiter von der Achse entfernt.)

Mittelstufe

Was der Drehimpuls misst

Der Drehimpuls $L$ ist das Maß dafür, wie stark ein sich drehender Körper rotiert; wie beim gewöhnlichen Impuls kann ihn nur etwas von außen ändern. Er hängt davon ab, wie schnell sich der Körper dreht und wie seine Masse um die Achse verteilt ist. Die Drehgeschwindigkeit ist die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ in rad/s: Eine Umdrehung entspricht $2\pi$ rad, also sind eine Umdrehung pro Sekunde etwa 6,28 rad/s. Gegen den Uhrzeigersinn, von oben gesehen – so dreht sich die Läuferin –, gilt als positiv.

Die Verteilung der Masse misst man mit dem Trägheitsmoment $I=\sum m{r}^2$ in kg·m²: Jede Masse mal dem Quadrat ihres Abstands $r$ von der Achse; eine doppelt so weit außen liegende Masse zählt also viermal so viel. Für einen Körper, der sich um eine feste Achse dreht,
$L=I\omega$
in kg·m²/s. Für eine kleine Masse auf einem Kreis gilt $I=m{r}^2$ und $\omega =v/r$, also $L=mvr$: ihr Impuls mal ihr Abstand von der Achse. Nur Bewegung um die Achse zählt; eine Masse, die direkt auf die Achse zuläuft, hat keinen.

Drehmomente ändern den Drehimpuls

Eine Kraft ändert den Impuls; ein Drehmoment ändert den Drehimpuls. Das Drehmoment einer Kraft ist die Kraft mal ihrem Hebelarm, dem senkrechten Abstand von der Achse zur Wirkungslinie der Kraft, in N·m. Nur Drehmomente von außerhalb des Systems zählen:
${\tau }_{\mathrm{ext}}=\frac{dL}{dt}$
Dabei ist $dL/dt$ die Änderungsrate von $L$, also die Änderung $\Delta L$ geteilt durch eine kurze Zeit $\Delta t$: Ein konstantes Drehmoment von 2 N·m fügt jede Sekunde 2 kg·m²/s hinzu.

Kräfte zwischen Teilen des Systems treten paarweise mit gleich großer, entgegengesetzter Richtung entlang einer Linie auf, sodass sich ihre Drehmomente aufheben: Sie können Drehimpuls von einem Teil auf einen anderen übertragen, aber nie erzeugen. Ohne äußeres Drehmoment ist die Gesamtsumme fest, egal was das System mit seiner Form macht:
${\tau }_{\mathrm{ext}}=0\to I_1{\omega }_1=I_2{\omega }_2$
Anders als die Masse ändert sich das Trägheitsmoment, sobald sich die Form des Körpers ändert, und $\omega$ ändert sich dann umgekehrt proportional.

Die Rechenformeln

Aufgaben zu rotierenden Körpern verwenden ein kleines Werkzeug:

• $L=I\omega$
• $I=\sum m{r}^2$
• $L=mvr\text{(point mass on a circle)}$
• $I_1{\omega }_1=I_2{\omega }_2$
• $K=\frac{1}{2}I{\omega }^2=\frac{L^2}{2I}$

Liste jede Masse und ihren Abstand von der Achse vorher und nachher auf und berechne $I_1$ und $I_2$. Prüfe, dass nichts von außen ein Drehmoment um die Achse ausübt, und setze dann $I_1{\omega }_1=I_2{\omega }_2$ an. Berechne die Energien zuletzt, aus $K=L^2/(2I)$: Bei festem $L$ ist die kinetische Energie umgekehrt proportional zu $I$.

Musterbeispiel: die Läuferin aus der Animation

Die Animation modelliert die Läuferin als Körper mit $I_0=0,72\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ plus zwei Arme, jeder als 3-kg-Masse im Abstand $r$ von der Achse behandelt, also $I=I_0+2m{r}^2$. Sie startet mit ausgestreckten Armen bei $r=0,60\mathrm{m}$ und dreht sich mit 2,5 rad/s; dann zieht sie die Arme auf $r=0,20\mathrm{m}$ an. Das Eis übt kein Drehmoment um die senkrechte Achse aus.
$I_1=0,72+2\cdot 3\cdot 0,60^2=2,88\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$
$L=I_1{\omega }_1=2,88\cdot 2,5=7,20\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$
$I_2=0,72+2\cdot 3\cdot 0,20^2=0,96\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$
${\omega }_2=L/I_2=7,20/0,96=7,5rad/s$

Ihr Trägheitsmoment sinkt auf ein Drittel, also dreht sie sich dreimal so schnell, von 0,40 auf 1,19 Umdrehungen pro Sekunde. Die goldene $I$-, die blaue $\omega$- und die lila $L$-Anzeige enden beim Ziehen mit diesen Werten, und die Zeile $2,88\times 2,5=0,96\times 7,5$ unter dem Erhaltungssatz prüft das Produkt. Ihre kinetische Energie steigt von $\frac{1}{2}\cdot 2,88\cdot 2,5^2=9\mathrm{J}$ auf $\frac{1}{2}\cdot 0,96\cdot 7,5^2=27\mathrm{J}$; ihre Muskeln liefern den Unterschied von 18 J.

Die grünen Pfeile sind die Geschwindigkeiten der Armmassen, $v=\omega r$. Mit ausgestreckten Armen gilt $v=2,5\cdot 0,60=1,5m/s$; mit angezogenen Armen wieder $v=7,5\cdot 0,20=1,5m/s$, weil sich $\omega$ verdreifacht, während $r$ auf ein Drittel sinkt. Ihre Hände werden am Ende nicht schneller; ihr ganzer Körper dreht sich schneller.

Musterbeispiel: ein Kind springt auf ein Karussell

Ein Karussell, eine gleichmäßige Scheibe von 100 kg mit 1,5 m Radius auf einer frei drehbaren Achse, steht still. Ein 30 kg schweres Kind läuft mit 4 m/s entlang einer Linie, die den Rand gerade streift, springt am Rand auf und hält sich fest. Wie schnell dreht sich das Karussell?

Beim geradlinigen Laufen hat es schon einen Drehimpuls um die Achse: $L=mvr=30\cdot 4\cdot 1,5=180\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$. Die Scheibe hat $I_d=\frac{1}{2}M{R}^2=\frac{1}{2}\cdot 100\cdot 1,5^2=112,5\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$, und das Kind am Rand trägt $m{R}^2=67,5\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ bei; die Summe ist also $180\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$, und
$\omega =L/I=180/180=1,0rad/s$

Die kinetische Energie fällt von $\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 4^2=240\mathrm{J}$ auf $\frac{1}{2}\cdot 180\cdot 1,0^2=90\mathrm{J}$. Wie bei einem Stoß, bei dem zwei Körper zusammenkleben, bleibt der Drehimpuls bei der Landung erhalten, während 150 J in Wärme übergehen. Geht das Kind dann zur Mitte, sinkt sein Anteil an $I$ auf null (es wird als Punkt behandelt), also gilt $\omega =180/112,5=1,6rad/s$ und $K=\frac{1}{2}\cdot 112,5\cdot 1,6^2=144\mathrm{J}$. Die zusätzlichen 54 J leistet es als Arbeit, wenn es sich nach innen zieht.

Die Balken und Pfeile lesen

Wenn die Arme eingezogen werden, schrumpft der goldene $I$-Balken auf ein Drittel, der blaue $\omega$-Balken verdreifacht sich und der lila $L$-Balken bleibt unverändert: Die beiden sich ändernden Größen gleichen sich so aus, dass ihr Produkt bei $7,20\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$ bleibt. Gegeneinander aufgetragen liegen $\omega$ und $I$ auf einer Hyperbel, $\omega =L/I$.

In den ersten 1,5 s der Animationsschleife, mit ausgestreckten Armen, dreht sie sich um 3,75 rad, etwa 0,6 Umdrehungen; in den 2,4 s mit angezogenen Armen um 18 rad, fast drei Umdrehungen. Während sich die Arme bewegen, kippen die grünen Pfeile: beim Anziehen nach innen, beim Loslassen nach außen, und sie wachsen auf etwa 1,8 m/s, weil sich die Hände auch entlang des Radius bewegen. Wenn die Arme stillstehen, sind die Pfeile wieder tangential, mit 1,5 m/s.

Häufige Fehler

• Die kinetische Energie bleibt bei einer Formänderung nicht erhalten. Wäre sie es, würde ein Drittel des Trägheitsmoments nur eine $\sqrt{3}$-mal so schnelle Drehung ergeben, 4,33 rad/s statt 7,5 rad/s; tatsächlich verdreifacht sich $K$, von 9 J auf 27 J.
• Das Anziehen der Arme übt auf die Läuferin als Ganzes kein Drehmoment aus. Arme und Rumpf drücken aufeinander, aber diese inneren Drehmomente verschieben nur Drehimpuls: Der Anteil der Arme $2m{r}^2\omega$ fällt von 5,40 auf 1,80 kg·m²/s, während der Anteil des Rumpfes $I_0\omega$ von 1,80 auf 5,40 kg·m²/s steigt.
• Das Trägheitsmoment hängt vom Quadrat des Abstands ab. Bringt man die Armmassen auf ein Drittel ihres Abstands, sinkt ihr Anteil $2m{r}^2$ von 2,16 auf 0,24 kg·m², also auf ein Neuntel; das Gesamtmoment sinkt nur auf ein Drittel, weil der Anteil des Körpers gleich bleibt.
• Die Erhaltung setzt ein äußeres Drehmoment von null um die Achse voraus. Schwerkraft und die Kraft des Eises wirken senkrecht und üben um die senkrechte Achse keines aus; die leichte Reibung der Kufe dagegen schon, weshalb echte Drehungen ausklingen.

Wo dir der Drehimpuls begegnet

Turmspringer und Turner springen mit festem Drehimpuls ab, ziehen sich zusammen, um sich mehrfach schneller zu drehen, und strecken sich vor der Landung wieder. Ein Hubschrauber braucht einen Heckrotor: Der Motor dreht den Hauptrotor in eine Richtung, und ohne äußeres Drehmoment würde sich der Rumpf in die andere drehen. Kollabierende Sterne drehen sich enorm schnell: Ein Kern von der Größe der Erde, der einmal am Tag rotiert, würde auf eine Kugel mit 10 km Radius zusammenschrumpfen; sein $I$ würde um $(6400/10{)}^2\approx 4\times 10^5$ sinken, und er würde etwa fünfmal pro Sekunde rotieren, wie ein typischer Pulsar.

Als Nächstes kommt Gravitation und Umlaufbahnen, wo dieses Gesetz zum keplerschen Flächensatz wird: Die Schwerkraft übt um die Sonne kein Drehmoment aus, sodass sich ein Planet am schnellsten bewegt, wenn er ihr am nächsten ist. Atommodelle: das bohrsche Atom zeigt, dass der Drehimpuls in ganzen Schritten auftritt.

Fortgeschritten

Drehimpuls als Kreuzprodukt

Der Impuls misst, wie viel geradlinige Bewegung ein Körper trägt. Der Drehimpuls leistet dasselbe für Bewegung um einen Punkt, und er bleibt konstant, solange nichts von außen das System verdreht. Zur Definition wählt man zuerst einen Bezugspunkt O. Ein Teilchen der Masse $m$ an der Position $\vec{r}$ relativ zu O, das sich mit der Geschwindigkeit $\vec{v}$ bewegt, hat den Impuls $\vec{p}=m\vec{v}$ und den Drehimpuls um O
$\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$

Legende

$O$	Gewählter Punkt, um den $\vec{L}$ gebildet wird.
$\vec{r}$	Position des Teilchens, von $O$ zum Teilchen.	$\mathrm{m}$
$\vec{p}$	Impuls $m\vec{v}$ des Teilchens, entlang seiner Bewegungslinie.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
$\phi$	Winkel zwischen $\vec{r}$ und $\vec{p}$, am Teilchen markiert.	$\mathrm{rad}$
$b$	Hebelarm: senkrechter Abstand von $O$ zur Bewegungslinie, $b=r\sin \phi$.	$\mathrm{m}$
$\vec{L}$	Drehimpuls um $O$: Betrag $rp\sin \phi =pb$, nach der Rechte-Hand-Regel aus der Zeichenebene heraus.	$\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$

In Abbildung 1 verläuft der Vektor $\vec{r}$ von O zum Teilchen, und $\vec{p}$ zeigt entlang der gestrichelten Bewegungslinie. Der Winkel $\phi$ zwischen beiden ist am Teilchen markiert, von der Verlängerung von $\vec{r}$ bis hin zu $\vec{p}$. Das Kreuzprodukt zweier Vektoren hat den Betrag des ersten mal dem des zweiten mal dem Sinus des Winkels zwischen ihnen, also $L=rp\sin \phi$.

Betrachte nun die Strecke $b$. Sie verläuft von O zur Bewegungslinie und trifft diese im rechten Winkel, also ist $b$ der kürzeste Abstand von O zu dieser Linie. Zusammen mit dem Ortsvektor und der Bewegungslinie bildet sie ein rechtwinkliges Dreieck, dessen längste Seite $\vec{r}$ ist. Der Winkel des Dreiecks am Teilchen liegt zwischen der Richtung zurück zu O und der Richtung zurück entlang der Linie; das sind die Gegenrichtungen von $\vec{r}$ und $\vec{p}$, daher ist dieser Winkel wieder $\phi$. Die gegenüberliegende Seite ist $b=r\sin \phi$, und daher
$L=rp\sin \phi =pb$
Der Abstand $b$ ist der Hebelarm des Impulses. Mit anderen Worten: Der Drehimpuls ist Impuls mal seinem Hebelarm.

Die Richtung von $\vec{L}$ steht senkrecht auf $\vec{r}$ und $\vec{p}$, und die Rechte-Hand-Regel legt den Drehsinn fest: Krümme die Finger der rechten Hand in dem Sinn, in dem das Teilchen um O läuft, dann zeigt der Daumen in Richtung $\vec{L}$. In Abbildung 1 läuft das Teilchen gegen den Uhrzeigersinn um O, also zeigt $\vec{L}$ aus der Zeichenebene heraus, auf dich zu; der Kreis mit Punkt bei O markiert dies. Ebenso zeigt bei der Läuferin, die von oben gesehen gegen den Uhrzeigersinn dreht, $\vec{L}$ nach oben.

Drei Folgerungen ergeben sich sofort. Erstens zählt nur Bewegung um O: Ein Teilchen, das direkt auf O zu oder direkt von O weg läuft, hat $\phi =0$ oder $\phi =\pi$, also $L=0$. Zweitens hängt $\vec{L}$ von der Wahl von O ab. Ein frei gleitender Puck mit der Geschwindigkeit $v$ hat um jeden Punkt im Abstand $b$ von seiner Bahn $L=mvb$, zu jedem Zeitpunkt gleich, und um jeden Punkt auf der Bahn $L=0$. Drittens misst $\vec{L}$, wie schnell Fläche überstrichen wird. In einer kurzen Zeit $dt$ überstreicht die Linie von O zum Teilchen ein dünnes Dreieck mit der Fläche $\frac{1}{2}|\vec{r}\times \vec{v}|dt$, also ist die pro Sekunde überstrichene Fläche $|\vec{r}\times \vec{v}|/2=L/(2m)$.

Drehmoment, innere Kräfte und Erhaltung

Was ändert $\vec{L}$? Für ein einzelnes Teilchen differenziere man $\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$ mit der Produktregel, unter Verwendung von $d\vec{r}/dt=\vec{v}$ und dem zweiten newtonschen Gesetz, $d\vec{p}/dt=\vec{F}$:
$\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{v}\times m\vec{v}+\vec{r}\times \vec{F}=\vec{\tau }$
Der erste Term ist null, weil das Kreuzprodukt zweier paralleler Vektoren verschwindet, und $\vec{v}$ ist parallel zu $m\vec{v}$. Der zweite Term ist das Drehmoment $\vec{\tau }=\vec{r}\times \vec{F}$ der Kraft um O. Nach derselben Geometrie wie in Abbildung 1 ist sein Betrag die Kraft mal ihrem eigenen Hebelarm, dem Abstand von O zu der Linie, auf der die Kraft wirkt. Für ein System von Teilchen summiert man diese Gleichung über alle. Jedes Teilchen spürt äußere Kräfte und Kräfte der anderen Teilchen; die Frage ist, was die inneren Kräfte für die Summe bewirken.

Legende

$O$	Punkt, um den die Drehmomente gebildet werden.
${\vec{r}}_1$	Position von Teilchen 1, von $O$ aus.	$\mathrm{m}$
${\vec{r}}_2$	Position von Teilchen 2, von $O$ aus.	$\mathrm{m}$
$\vec{F}$	Kraft auf Teilchen 1 durch Teilchen 2, entlang ihrer Verbindungslinie. Teilchen 2 spürt $-\vec{F}$.	$\mathrm{N}$
$b$	Hebelarm beider Kräfte: Abstand von $O$ zur Verbindungslinie der Teilchen.	$\mathrm{m}$
${\vec{\tau }}_1$	Drehmoment von $\vec{F}$ auf Teilchen 1 um $O$: Betrag $Fb$, in die Zeichenebene hinein.	$\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
${\vec{\tau }}_2$	Drehmoment von $-\vec{F}$ auf Teilchen 2 um $O$: Betrag $Fb$, aus der Zeichenebene heraus.	$\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$

Abbildung 2 zeigt ein inneres Paar. Teilchen 1 spürt die Kraft $\vec{F}$ von Teilchen 2, und Teilchen 2 spürt $-\vec{F}$ von Teilchen 1: gleich groß und entgegengesetzt, nach dem dritten newtonschen Gesetz. Beide Kräfte wirken entlang der gestrichelten Linie, die die beiden Teilchen verbindet. Dies ist die starke Form des dritten Gesetzes; Gravitation und Kontaktkräfte gehorchen ihr.

Betrachte die Hebelarme. Beide Kräfte liegen auf derselben Linie, und diese Linie hat den Abstand $b$ von O; daher haben beide Kräfte den Hebelarm $b$, unabhängig von den Positionen ${\vec{r}}_1$ und ${\vec{r}}_2$. Ihre Drehmomente haben daher denselben Betrag, $Fb$. Ihr Drehsinn ist entgegengesetzt: $\vec{F}$ dreht Teilchen 1 um O im Uhrzeigersinn, daher zeigt ${\vec{\tau }}_1$ in die Zeichenebene hinein, während $-\vec{F}$ Teilchen 2 gegen den Uhrzeigersinn dreht, daher zeigt ${\vec{\tau }}_2$ aus der Zeichenebene heraus. Die beiden Drehmomente heben sich auf.

Das Argument gilt für jeden Punkt und jedes Paar, daher fallen alle inneren Drehmomente aus der Summe heraus. Übrig bleibt
$\frac{d\vec{L}}{dt}={\vec{\tau }}_{\mathrm{ext}}$
wobei $\vec{L}$ nun der gesamte Drehimpuls und ${\vec{\tau }}_{\mathrm{ext}}$ das Gesamtdrehmoment der äußeren Kräfte ist. Es ist das rotatorische Gegenstück zu $d\vec{p}/dt={\vec{F}}_{\mathrm{ext}}$. Es gilt für jedes System von Teilchen, starr oder nicht, und es gilt auch bezüglich des Schwerpunkts, selbst wenn dieser Punkt beschleunigt. Ohne äußeres Drehmoment bleibt $\vec{L}$ konstant, egal wie das System seine Form ändert. Eine Springerin im Flug zeigt dies: Die Schwerkraft greift im Schwerpunkt an, hat also um diesen Punkt keinen Hebelarm und kein Drehmoment, und sie behält ihren Drehimpuls bis zum Wasser.

Eine Zentralkraft: gleiche Flächen

Der erste Gewinn zeigt sich bei Umlaufbahnen. Eine Zentralkraft zeigt stets entlang der Linie zu einem festen Punkt. Diese Linie geht durch den Punkt, daher hat die Kraft um ihn keinen Hebelarm und kein Drehmoment.

Legende

$S$	Die Sonne, der feste Punkt, auf den die Kraft immer zeigt.
$r$	Abstand von $S$ zum Planeten; diese Linie überstreicht jeden Sektor.	$\mathrm{m}$
$\vec{F}$	Kraft auf den Planeten, stets entlang der Linie zu $S$.	$\mathrm{N}$
$\vec{v}$	Geschwindigkeit des Planeten, tangential zur Bahn.	$m/s$
$A_1$	Von der Linie von $S$ zum Planeten in einer Zeit $\Delta t$ nahe bei $S$ überstrichene Fläche.	${\mathrm{m}}^2$
$A_2$	In derselben Zeit $\Delta t$ fern von $S$ überstrichene Fläche; gleich $A_1$.	${\mathrm{m}}^2$

In Abbildung 3 liegt die Kraft $\vec{F}$ auf dem Planeten entlang der Linie $r$ zur Sonne $S$, also gilt $\vec{r}\times \vec{F}=0$, und der Drehimpuls des Planeten um $S$ ändert sich nie. Daraus folgen zwei Konsequenzen. Seine Richtung ist fest, und da $\vec{L}$ senkrecht sowohl auf $\vec{r}$ als auch auf $\vec{v}$ steht, bleibt die Bahn in einer Ebene. Sein Betrag ist fest, daher überstreicht die Linie von $S$ zum Planeten Fläche mit der gleichmäßigen Rate $L/(2m)$ aus dem ersten Abschnitt.

Vergleiche nun die beiden schraffierten Sektoren, die jeweils in derselben Zeit $\Delta t$ überstrichen werden. Nahe bei $S$ ist der Planet schnell, aber die Linie $r$ ist kurz, daher ist $A_1$ ein kurzer, breiter Fächer. Fern von $S$ ist der Planet langsam, aber $r$ ist lang, daher ist $A_2$ eine lange, schmale Scheibe. Die pro Sekunde überstrichene Fläche, $\frac{1}{2}vb$, ist an beiden Stellen gleich, also $A_1=A_2$, egal wie unterschiedlich die Formen wirken. Dies ist das zweite keplersche Gesetz, gleiche Flächen in gleichen Zeiten, das Kepler 1609 veröffentlichte, fast achtzig Jahre bevor Newton zeigte, warum es gilt. Das Argument benutzt nie die Abnahme der Kraft mit dem Quadrat des Abstands, daher gelten gleiche Flächen für jede Zentralkraft.

Rotierende Körper: was die Graphen zeigen

Die meisten alltäglichen Drehungen sind ein Körper, der sich um eine feste Achse dreht, und dort nimmt der Drehimpuls eine einfache Form an. Eine kleine Masse $m$ im Abstand $r$ von der Achse bewegt sich auf einem Kreis mit der Geschwindigkeit $\omega r$, wobei $\omega$ die Winkelgeschwindigkeit in rad/s ist. Ihr Impuls $m\omega r$ steht senkrecht zum Radius, daher ist ihr Hebelarm um die Achse $r$, und ihr Drehimpuls entlang der Achse ist $m{r}^2\omega$. Summiert man alle Massen,
$L=\sum m{r}^2\omega =I\omega$
wobei $I=\sum m{r}^2$ das Trägheitsmoment ist. Anders als die Masse ändert sich $I$, wenn der Körper seine Form ändert. Die Animation modelliert die Läuferin als Rumpf mit $I_0=0,72\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ plus zwei Armmassen von je $m=3\mathrm{kg}$ im Abstand $r$ von der Achse, also $I=I_0+2m{r}^2$. Das Eis übt kein Drehmoment um die senkrechte Achse aus, daher ist $L$ fest und $\omega =L/I$.

Die Graphen der Expertenansicht zeigen genau dies. $L(t)$ ist eine waagerechte Linie bei $7,20\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$: Ihre Steigung ist das äußere Drehmoment, das null ist. $I(t)$ fällt von 2,88 auf 0,96 kg·m², während $r$ von 0,60 auf 0,20 m geht, und $\omega (t)=L/I(t)$ steigt von 2,5 auf 7,5 rad/s. Gleichmäßig steigt es nicht. Es steigt zunächst langsam und am schnellsten etwa zwei Drittel des Weges durch das Ziehen, weil dieselbe Abnahme von $I$ den Wert $L/I$ stärker erhöht, wenn $I$ schon klein ist; ganz am Ende kommen die Arme zum Stillstand. Auf halbem Weg, bei $r=0,40\mathrm{m}$, ist $I=0,72+2\cdot 3\cdot 0,40^2=1,68\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ und $\omega =7,20/1,68=4,29rad/s$, knapp ein Drittel des Weges von 2,5 bis 7,5 rad/s.

Der Graph $K(t)$ hat genau die Form von $\omega (t)$. Der Grund ist $K=\frac{1}{2}I{\omega }^2=\frac{1}{2}L\omega$: Bei festem $L$ ist $K$ einfach $\omega$ mal $L/2=3,6\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$. Das ergibt 9 J bei 2,5 rad/s und 27 J bei 7,5 rad/s. Der Drehimpuls bleibt gleich, während sich die kinetische Energie verdreifacht.

Wer die zusätzliche Energie bezahlt

Die kinetische Energie stieg um $27-9=18\mathrm{J}$, obwohl kein äußeres Drehmoment wirkte. Die Energie muss von der Läuferin selbst kommen, und es lohnt sich, genau nachzuverfolgen, wie.

Vom Eis aus gesehen bewegt sich jede Armmasse auf einem Kreis und braucht daher eine Zentripetalkraft $m{\omega }^{2}r$ zur Achse hin, und ihre Arme liefern sie. Während sich die Massen nach innen bewegen, zeigt jede dieser Kräfte in Richtung ihrer Bewegung und leistet daher positive Arbeit. Um diese Arbeit zu zählen, halte $L$ fest und schreibe $K=L^2/(2I)$. Da $I=I_0+2m{r}^2$, ändert eine kleine Änderung $dr$ des Radius $I$ um $dI=4mrdr$. Dann, mit $L/I=\omega$,
$dK=-\frac{L^2}{2I^2}dI=-2m{\omega }^{2}rdr$
Wenn die Arme einziehen, ist $dr$ negativ und $dK$ positiv. Die rechte Seite ist genau die Arbeit der beiden Zugkräfte: $2m{\omega }^{2}r$ mal dem Schritt nach innen $|dr|$. Summiert man die Schritte von $I_1$ bis $I_2$,
$W=\Delta K=\frac{L^2}{2}\left(\frac{1}{I_2}-\frac{1}{I_1}\right)$
was für die Läuferin $25,92\cdot (1/0,96-1/2,88)=18\mathrm{J}$ ergibt. Streckt sie die Arme wieder aus, werden der Drehung dieselben 18 J wieder entzogen.

Die $W$-Anzeige zählt diese Arbeit, während sie geleistet wird. Beim Ziehen läuft sie dem Anstieg von $K$ etwas voraus, um höchstens 0,60 J, weil die Arbeit auch die Bewegung der Armmassen zur Achse hin bezahlt: kinetische Energie $m{\dot{r}}^2$ für das Paar, wobei $\dot{r}$ ihre radiale Geschwindigkeit ist. Beide erreichen 18 J, wenn die Arme stillstehen.

Aus ihrem eigenen rotierenden Bezugssystem betrachtet erzählt sich dieselbe Geschichte mit anderen Kräften. Dort leisten ihre Arme dieselbe Arbeit gegen die Zentrifugalkraft. Die nach innen bewegten Armmassen spüren außerdem die Corioliskraft, die seitlich wirkt und sie vor dem Rumpf her in Drehrichtung schiebt. Am Schultergelenk zurückgehalten, drücken sie nach vorn auf den Rumpf und bringen ihn in Schwung. Der eigene Drehimpuls des Rumpfes $I_0\omega$ wächst mit der Rate $I_{0}d\omega /dt$, das ist also das innere Drehmoment. Auf halbem Weg des Ziehens beträgt die Steigung des Graphen $\omega (t)$ etwa $5,5rad/{\mathrm{s}}^2$, und das Drehmoment ist $I_{0}d\omega /dt\approx 0,72\cdot 5,5\approx 4,0\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$.

Wenn sich die Achse dreht: Präzession

Bisher behielt $\vec{L}$ seine Richtung. Aber $\vec{L}$ ist ein Vektor, und ein Drehmoment senkrecht dazu ändert seine Richtung statt seiner Größe. Genau das verhindert, dass ein rotierender Kreisel umkippt.

Legende

$d$	Abstand vom Drehpunkt zur Wirkungslinie der Gewichtskraft.	$\mathrm{m}$
$mg$	Gewichtskraft des Rades, im Mittelpunkt angreifend.	$\mathrm{N}$
$\vec{L}$	Eigendrehimpuls (Spin) des Rades entlang der Achse.	$\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$
$\vec{\tau }$	Drehmoment der Gewichtskraft um den Drehpunkt, $\tau =mgd$: waagerecht und senkrecht zu $\vec{L}$.	$\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
$d\vec{L}$	Änderung von $\vec{L}$ in einer kurzen Zeit $dt$: $d\vec{L}=\vec{\tau }dt$.	$\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$
${\vec{L}}^{\prime }$	Drehimpuls nach $dt$: $\vec{L}+d\vec{L}$.	$\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$
$d\beta$	Winkel, um den sich $\vec{L}$ in $dt$ dreht: $d\beta =\tau dt/L$.	$\mathrm{rad}$
$\Omega$	Schwenkrate der Achse, $\Omega =d\beta /dt=\tau /L$.	$rad/s$

Abbildung 4 zeigt das Standardbeispiel: ein schnell drehendes Rad auf einer waagerechten Achse, die nur an einem Ende gehalten wird. Sein Drehimpuls $\vec{L}$ zeigt entlang der Achse. Links, von der Seite gesehen, wirkt die Gewichtskraft $mg$ im Radmittelpunkt, in einem Abstand $d$ vom Drehpunkt. Ihr Drehmoment um den Drehpunkt hat den Betrag $\tau =mgd$ und ist waagerecht, senkrecht zur Achse. Rechts, von oben gesehen, steht $\vec{\tau }$ senkrecht auf $\vec{L}$.

Nun wende $d\vec{L}/dt=\vec{\tau }$ an. In einer kurzen Zeit $dt$ gewinnt der Drehimpuls $d\vec{L}=\vec{\tau }dt$, parallel zum Drehmoment und damit seitlich zu $\vec{L}$. Der neue Vektor ${\vec{L}}^{\prime }=\vec{L}+d\vec{L}$ hat in erster Ordnung in $dt$ dieselbe Länge wie $\vec{L}$, ist aber um den kleinen Winkel $d\beta =dL/L=\tau dt/L$ geschwenkt. (Die Abbildung zeichnet ein großes $dt$, damit der Winkel sichtbar ist.) Die Achse folgt $\vec{L}$; daher schwenkt sie, statt zu fallen, waagerecht im Kreis mit der Rate
$\Omega =\frac{d\beta }{dt}=\frac{\tau }{L}$
In Vektorform gilt $\vec{\tau }=\vec{\Omega }\times \vec{L}$, wobei $\vec{\Omega }$ für die Schwenkung gegen den Uhrzeigersinn in Abbildung 4 nach oben zeigt.

Dasselbe gilt für einen Kreisel mit Drehimpuls $I\omega$, dessen Schwerpunkt entlang seiner Achse im Abstand $d$ vom Drehpunkt liegt. Ist die Achse gegen die Senkrechte geneigt, tragen sowohl der Hebelarm der Gewichtskraft als auch der waagerechte Anteil von $\vec{L}$ den Sinus der Neigung, und dieser Faktor kürzt sich heraus. Also gilt bei jeder Neigung
$\Omega =\frac{mgd}{I\omega }\text{(gyroscopic precession)}$

Ein Fahrradrad mit $I=0,25\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ und einer Masse von 2,5 kg wird mit 40 rad/s gedreht und an einem Ende seiner Achse gestützt, 0,20 m vom Radmittelpunkt entfernt. Es hat $L=0,25\cdot 40=10\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$, und seine Gewichtskraft übt das Drehmoment $\tau =2,5\cdot 9,81\cdot 0,20\approx 4,9\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ aus. Es fällt nicht: Es schwenkt waagerecht mit $\Omega =4,9/10\approx 0,49rad/s$, einmal in 13 s. Die Erde ist ein langsamer Kreisel: Sonne und Mond ziehen an ihrem Äquatorwulst, und ihre Achse präzediert einmal in etwa 26 000 Jahren.

Eine weitere Folge daraus, dass $\vec{L}$ ein Vektor ist: Er ist nur bei Drehung um eine Hauptachse des Körpers parallel zu $\vec{\omega }$, etwa um eine Symmetrieachse. Ein Rad, das auf seiner Achse leicht schräg montiert ist, hat $\vec{L}$ abseits der Achse. Während sich das Rad dreht, umkreist $\vec{L}$ die Achse und ändert sich deshalb ständig; nach $d\vec{L}/dt=\vec{\tau }$ muss das Lager das Drehmoment dauernd liefern. Deshalb werden Autoräder gewuchtet.

Musteraufgabe: eine Drehung, die abklingt

Echtes Eis ist nicht reibungsfrei. Angenommen, die Kufe übt ein gleichmäßiges Reibungsdrehmoment $\tau =0,30\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ gegen die Drehung aus, ausgehend von $L_0=7,20\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$ aus der Animation. Wie lange dauert die Drehung, und wie viele Umdrehungen macht sie mit angezogenen Armen ($I=0,96\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$) und mit ausgestreckten ($I=2,88\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$)?

Wie lange: Nun gilt $dL/dt=-\tau$, also fällt $L$ gleichmäßig, $L(t)=7,20-0,30t$, und erreicht nach $T=L_0/\tau =24\mathrm{s}$ null. Ihre Form spielt dabei keine Rolle: In beiden Fällen würde der waagerechte Graph $L(t)$ zur selben fallenden Geraden.

Wie viele Umdrehungen: Der Winkel hängt sehr wohl von ihrer Form ab, denn $\omega =L(t)/I$. Der gedrehte Winkel ist das Integral von $\omega$ über die 24 s:
$\theta ={\int }_0^T\frac{L_0-\tau t}{I}dt=\frac{L_0^2}{2\tau I}$
Das ist die Fläche eines Dreiecks unter der fallenden Geraden, mit der Höhe $L_0/I$ und der Grundlinie $L_0/\tau$. Mit angezogenen Armen ist $\theta =51,84/(2\cdot 0,30\cdot 0,96)=90\mathrm{rad}$, etwa 14,3 Umdrehungen. Mit ausgestreckten Armen sind es nur 30 rad, etwa 4,8 Umdrehungen.

Die Energie bestätigt es. Das Reibungsdrehmoment leistet gegen die Drehung die Arbeit $\tau \theta$, und $0,30\cdot 90=27\mathrm{J}$ und $0,30\cdot 30=9\mathrm{J}$ sind genau ihre beiden Anfangsenergien. Das Anziehen der Arme lässt die Drehung nicht länger dauern; es drängt nur dreimal so viele Umdrehungen in dieselben 24 s.

Grenzen der Gültigkeit

Das Modell der Läuferin ist idealisiert: Echte Arme sind verteilte Massen und keine zwei Punkte, und Reibung und Luftwiderstand verschwinden nie ganz. Der Erhaltungssatz selbst ist robuster als jedes Modell. Der obige Beweis benutzte die starke Form des dritten newtonschen Gesetzes, mit inneren Kräften entlang der Verbindungslinien der Teilchen. Gravitation und Kontaktkräfte gehorchen ihr; magnetische Kräfte zwischen bewegten Ladungen müssen das nicht. Trotzdem geht nichts verloren, denn das elektromagnetische Feld trägt seinen eigenen Drehimpuls, und der Satz gilt, sobald der Anteil des Feldes mitgezählt wird. Zirkular polarisiertes Licht etwa überträgt Drehimpuls auf alles, was es absorbiert.

Die Präzessionsformel setzt $\Omega \ll \omega$ voraus, sodass die Drehung fast den gesamten Drehimpuls trägt; beim Fahrradrad beträgt das Verhältnis etwa 1 %. Dreht man das Rad nur mit 10 rad/s, erreicht $\Omega$ 2,0 rad/s, ein Fünftel von $\omega$. Die Achse senkt und hebt sich dann bei jedem Umlauf sichtbar, eine Bewegung, die Nutation heißt, statt gleichmäßig zu gleiten.

Auf atomarer Skala ist der Drehimpuls gequantelt: Seine Komponente entlang einer beliebigen Achse nimmt nur Werte an, die um das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum $\hslash =1,055\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ auseinanderliegen. Die $7,20\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$ der Läuferin entsprechen etwa $7\times 10^{34}$ solchen Schritten, daher ist die Körnung unsichtbar. Für ein Elektron im Atom ist sie alles. Das Elektron trägt außerdem einen Eigendrehimpuls, seinen Spin, mit Komponenten $\pm \hslash /2$, der nicht die Drehung einer winzigen Kugel ist. Die spezielle Relativitätstheorie behält $\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$ mit dem relativistischen Impuls bei und behält auch seine Erhaltung.

Wohin das führt

Warum bleibt der Drehimpuls überhaupt erhalten? Weil der Raum keine bevorzugte Richtung hat. Nach dem noetherschen Theorem bringt jede kontinuierliche Symmetrie der physikalischen Gesetze eine Erhaltungsgröße mit sich: Die Gleichheit des Raumes von Ort zu Ort ergibt den Impuls, die Gleichheit der Zeit ergibt die Energie, und die Gleichheit aller Richtungen ergibt den Drehimpuls.

Das Gesetz reicht weit. In Gravitation und Umlaufbahnen erklärt es den Satz der gleichen Flächen, und der Term $L^2/(2m{r}^2)$ in der radialen Energie wirkt als Zentrifugalbarriere, die Planeten davon abhält, in die Sonne zu stürzen. In Atommodelle: das bohrsche Atom gibt die Regel $L=n\hslash$ die Energiestufen des Wasserstoffs vor. Der Spin, in Einheiten von $\hslash$ gezählt, trennt die Materieteilchen aus Teilchen und Kräfte: das Standardmodell, mit Spin 1/2, von den Kraftteilchen mit Spin 1. Und die ausgerichteten Spins der Elektronen machen Eisen magnetisch, wie Magnetfelder von Magneten und Strömen beschreibt.