Le moment cinétique et sa conservation

Débutant

Asseyez-vous sur une chaise de bureau qui tourne librement, bras et jambes écartés, et demandez à quelqu'un de vous lancer doucement. Ramenez-les contre vous : vous tournez soudain bien plus vite. Personne ne vous a poussé ; vous avez seulement changé de forme. Voici pourquoi, étape par étape.

Étape 1. Un objet qui tourne porte une certaine « quantité de rotation », que les physiciens appellent moment cinétique. Elle dépend de la vitesse de rotation et de la distance de la masse à l'axe : une masse éloignée compte beaucoup, une masse proche compte peu.

Étape 2. Comme la quantité de mouvement, cette quantité de rotation ne peut pas changer d'elle-même ; seule une torsion venue de l'extérieur, comme un frottement, peut la modifier. Quand la masse se rapproche de l'axe, l'objet doit donc tourner plus vite pour garder la même quantité de rotation ; quand elle s'éloigne, il ralentit.

Étape 3. L'animation montre une patineuse vue de dessus et de côté. Bras tendus, elle tourne lentement ; en les ramenant, elle tourne trois fois plus vite, comme l'indique la barre de vitesse de rotation, et en les écartant de nouveau elle ralentit. La glace est si glissante qu'elle ne la freine presque pas.

Étape 4. La même règle vaut bien au-delà de la patinoire. Les plongeurs se mettent en boule pour enchaîner les saltos, puis s'étirent avant d'entrer dans l'eau. Une planète va le plus vite quand elle passe au plus près du Soleil, car l'attraction du Soleil ne peut pas changer sa quantité de rotation autour de lui.

À vous : un pizzaïolo fait tourner une boule de pâte qui s'étale en un disque large et fin. Que devient sa vitesse de rotation ? (Elle diminue : la masse s'est éloignée de l'axe.)

Intermédiaire

Ce que mesure le moment cinétique

Le moment cinétique $L$ est la quantité de rotation que porte un corps qui tourne ; comme pour la quantité de mouvement, seule une action venue de l'extérieur peut la modifier. Il dépend de la rapidité de la rotation et de la façon dont la masse est répartie autour de l'axe. Le rythme de rotation est la vitesse angulaire $\omega$, en rad/s : un tour vaut $2\pi$ rad, donc un tour par seconde correspond à environ 6,28 rad/s. La rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, vue de dessus, comme celle de la patineuse, est comptée positive.

La répartition de la masse se mesure par le moment d'inertie, $I=\sum m{r}^2$, en kg·m² : chaque masse multipliée par le carré de sa distance $r$ à l'axe, de sorte qu'une masse deux fois plus éloignée compte quatre fois plus. Pour un corps qui tourne autour d'un axe fixe,
$L=I\omega$
en kg·m²/s. Pour une petite masse sur un cercle, $I=m{r}^2$ et $\omega =v/r$, donc $L=mvr$ : sa quantité de mouvement multipliée par sa distance à l'axe. Seul compte le mouvement autour de l'axe ; une masse qui fonce droit vers l'axe n'a aucun moment cinétique.

Le moment de force modifie le moment cinétique

Une force modifie la quantité de mouvement ; un moment de force modifie le moment cinétique. Le moment d'une force est la force multipliée par son bras de levier, distance perpendiculaire entre l'axe et la droite d'action de la force, en N·m. Seuls comptent les moments extérieurs au système :
${\tau }_{\mathrm{ext}}=\frac{dL}{dt}$
Ici $dL/dt$ est le taux de variation de $L$, la variation $\Delta L$ divisée par une courte durée $\Delta t$ : un moment constant de 2 N·m ajoute 2 kg·m²/s chaque seconde.

Les forces entre les parties du système vont par paires égales et opposées sur une même droite ; leurs moments s'annulent donc : elles peuvent transférer du moment cinétique d'une partie à une autre, jamais en créer. Sans moment extérieur, le total est fixé, quoi que le système fasse de sa forme :
${\tau }_{\mathrm{ext}}=0\to I_1{\omega }_1=I_2{\omega }_2$
Contrairement à la masse, le moment d'inertie change dès que le corps change de forme, et $\omega$ varie alors en proportion inverse.

Les équations utiles

Les problèmes sur les corps en rotation font appel à une courte boîte à outils :

• $L=I\omega$
• $I=\sum m{r}^2$
• $L=mvr\text{(point mateˊriel sur un cercle)}$
• $I_1{\omega }_1=I_2{\omega }_2$
• $K=\frac{1}{2}I{\omega }^2=\frac{L^2}{2I}$

Dressez la liste de chaque masse et de sa distance à l'axe avant et après, puis calculez $I_1$ et $I_2$. Vérifiez que rien d'extérieur n'exerce de moment par rapport à l'axe, puis écrivez $I_1{\omega }_1=I_2{\omega }_2$. Calculez les énergies en dernier, avec $K=L^2/(2I)$ : à $L$ fixé, l'énergie cinétique est inversement proportionnelle à $I$.

Exemple résolu : la patineuse de l'animation

L'animation modélise la patineuse par un corps de moment d'inertie $I_0=0,72\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ plus deux bras, chacun assimilé à une masse de 3 kg située à la distance $r$ de l'axe, d'où $I=I_0+2m{r}^2$. Elle part bras tendus, à $r=0,60\mathrm{m}$, en tournant à 2,5 rad/s, puis les ramène à $r=0,20\mathrm{m}$. La glace n'exerce aucun moment par rapport à l'axe vertical.
$I_1=0,72+2\cdot 3\cdot 0,60^2=2,88\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$
$L=I_1{\omega }_1=2,88\cdot 2,5=7,20\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$
$I_2=0,72+2\cdot 3\cdot 0,20^2=0,96\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$
${\omega }_2=L/I_2=7,20/0,96=7,5rad/s$

Son moment d'inertie tombe au tiers : elle tourne donc trois fois plus vite, de 0,40 à 1,19 tour par seconde. À la fin du repli, les valeurs affichées de $I$ (en doré), de $\omega$ (en bleu) et de $L$ (en violet) sont exactement celles-ci, et la ligne $2,88\times 2,5=0,96\times 7,5$ placée sous la loi de conservation en vérifie le produit. Son énergie cinétique passe de $\frac{1}{2}\cdot 2,88\cdot 2,5^2=9\mathrm{J}$ à $\frac{1}{2}\cdot 0,96\cdot 7,5^2=27\mathrm{J}$ ; ses muscles fournissent la différence de 18 J.

Les flèches vertes sont les vitesses des masses des bras, $v=\omega r$. Bras tendus, $v=2,5\cdot 0,60=1,5m/s$ ; bras ramenés, $v=7,5\cdot 0,20=1,5m/s$ de nouveau, car $\omega$ triple tandis que $r$ tombe au tiers. Ses mains ne vont pas plus vite ; c'est tout son corps qui tourne plus vite.

Exemple résolu : un enfant saute sur un manège

Un manège, disque homogène de 100 kg et de rayon 1,5 m monté sur un axe qui tourne librement, est au repos. Un enfant de 30 kg court à 4 m/s le long d'une droite qui effleure tout juste son bord, saute dessus à la périphérie et s'agrippe. Quelle est alors la vitesse de rotation du manège ?

En courant en ligne droite, l'enfant a déjà un moment cinétique par rapport à l'axe : $L=mvr=30\cdot 4\cdot 1,5=180\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$. Le disque a pour moment d'inertie $I_d=\frac{1}{2}M{R}^2=\frac{1}{2}\cdot 100\cdot 1,5^2=112,5\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ et l'enfant au bord ajoute $m{R}^2=67,5\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ ; le total vaut donc $180\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ et
$\omega =L/I=180/180=1,0rad/s$

L'énergie cinétique passe de $\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 4^2=240\mathrm{J}$ à $\frac{1}{2}\cdot 180\cdot 1,0^2=90\mathrm{J}$ : comme lorsque deux corps qui se heurtent restent collés, le moment cinétique survit à la réception tandis que 150 J se transforment en chaleur. Si l'enfant marche ensuite jusqu'au centre, sa part dans $I$ tombe à zéro (on l'assimile à un point), donc $\omega =180/112,5=1,6rad/s$ et $K=\frac{1}{2}\cdot 112,5\cdot 1,6^2=144\mathrm{J}$. Les 54 J supplémentaires sont le travail qu'il fournit en se tirant vers l'intérieur.

Lire les barres et les flèches

À mesure que les bras se replient, la barre dorée de $I$ se réduit au tiers, la barre bleue de $\omega$ triple et la barre violette de $L$ ne bouge jamais : les deux grandeurs qui varient se compensent de sorte que leur produit reste à $7,20\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$. Représentées l'une en fonction de l'autre, $\omega$ et $I$ se placent sur une hyperbole, $\omega =L/I$.

Pendant les 1,5 premières secondes de la boucle, bras tendus, elle tourne de 3,75 rad, soit environ 0,6 tour ; pendant les 2,4 s bras ramenés, de 18 rad, presque trois tours. Tant que les bras bougent, les flèches vertes s'inclinent, vers l'intérieur pendant le repli et vers l'extérieur pendant l'écartement, et atteignent environ 1,8 m/s, car les mains se déplacent aussi le long du rayon ; quand les bras s'arrêtent, les flèches redeviennent tangentes, à 1,5 m/s.

Erreurs fréquentes

• L'énergie cinétique ne se conserve pas quand un corps change de forme. Si elle se conservait, un moment d'inertie réduit au tiers ne donnerait qu'une rotation $\sqrt{3}$ fois plus rapide, soit 4,33 rad/s au lieu de 7,5 rad/s ; en réalité $K$ triple, de 9 J à 27 J.
• Ramener les bras n'exerce aucun moment sur la patineuse prise dans son ensemble. Les bras et le tronc s'appuient l'un sur l'autre, mais ces moments intérieurs ne font que déplacer du moment cinétique : la part des bras, $2m{r}^2\omega$, tombe de 5,40 à 1,80 kg·m²/s tandis que celle du corps, $I_0\omega$, monte de 1,80 à 5,40.
• Le moment d'inertie varie comme le carré de la distance. Ramener les masses des bras au tiers de leur distance réduit leur part $2m{r}^2$ de 2,16 à 0,24 kg·m², c'est-à-dire au neuvième ; le total ne tombe qu'au tiers parce que la part du corps reste la même.
• La conservation exige un moment extérieur nul par rapport à l'axe. La pesanteur et la poussée de la glace sont verticales et n'en exercent aucun autour de l'axe vertical ; le léger frottement de la lame, lui, en exerce un, si bien qu'une vraie pirouette finit par s'éteindre.

Où on le rencontre

Plongeurs et gymnastes s'élancent avec un moment cinétique fixé, se groupent pour tourner plusieurs fois plus vite et se déploient avant la réception. Un hélicoptère a besoin d'un rotor de queue : le moteur fait tourner le rotor principal dans un sens, et, sans moment extérieur, le fuselage tournerait dans l'autre. Les étoiles qui s'effondrent s'emballent : un cœur de la taille de la Terre, qui fait un tour par jour, réduit à une boule de 10 km de rayon, verrait son $I$ divisé par $(6400/10{)}^2\approx 4\times 10^5$ et tournerait environ cinq fois par seconde, comme un pulsar typique.

Ensuite, la leçon Gravitation et orbites transforme cette loi en loi des aires de Kepler : la gravitation n'exerce aucun moment par rapport au Soleil, si bien qu'une planète va le plus vite quand elle en est le plus proche. La leçon Modèles atomiques : l'atome de Bohr montre le moment cinétique qui ne varie que par paliers entiers.

Avancé

Le moment cinétique comme produit vectoriel

La quantité de mouvement mesure combien de mouvement en ligne droite un corps emporte avec lui. Le moment cinétique joue le même rôle pour le mouvement autour d'un point, et il reste constant tant que rien d'extérieur ne fait tourner le système. Pour le définir, choisissez d'abord un point de référence O. Une particule de masse $m$, à la position $\vec{r}$ par rapport à O et de vitesse $\vec{v}$, a la quantité de mouvement $\vec{p}=m\vec{v}$ et, par rapport à O, le moment cinétique
$\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$

Légende

$O$	Point choisi par rapport auquel on prend $\vec{L}$.
$\vec{r}$	Position de la particule, de $O$ à la particule.	$\mathrm{m}$
$\vec{p}$	Quantité de mouvement $m\vec{v}$ de la particule, le long de sa droite de mouvement.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
$\phi$	Angle entre $\vec{r}$ et $\vec{p}$, marqué au niveau de la particule.	$\mathrm{rad}$
$b$	Bras de levier : distance perpendiculaire de $O$ à la droite du mouvement, $b=r\sin \phi$.	$\mathrm{m}$
$\vec{L}$	Moment cinétique par rapport à $O$ : norme $rp\sin \phi =pb$, sortant de la page d'après la règle de la main droite.	$\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$

Sur la figure 1, le vecteur $\vec{r}$ va de O à la particule, et $\vec{p}$ est dirigé le long de la droite du mouvement, en pointillés. L'angle $\phi$ entre eux est marqué au niveau de la particule, du prolongement de $\vec{r}$ jusqu'à $\vec{p}$. La norme d'un produit vectoriel est le produit des normes des deux vecteurs par le sinus de l'angle qu'ils forment, donc $L=rp\sin \phi$.

Regardez maintenant le segment $b$. Il est mené de O jusqu'à la droite du mouvement, qu'il rencontre à angle droit : $b$ est donc la plus courte distance de O à cette droite. Il ferme un triangle rectangle dont l'hypoténuse est $\vec{r}$. L'angle de ce triangle au niveau de la particule est compris entre la direction qui revient vers O et celle qui revient en arrière le long de la droite ; ce sont les directions opposées à $\vec{r}$ et à $\vec{p}$, donc cet angle vaut encore $\phi$. Le côté opposé à cet angle est $b=r\sin \phi$, et par conséquent
$L=rp\sin \phi =pb$
La distance $b$ est le bras de levier de la quantité de mouvement. Autrement dit, le moment cinétique est la quantité de mouvement multipliée par son bras de levier.

La direction de $\vec{L}$ est perpendiculaire à la fois à $\vec{r}$ et à $\vec{p}$, et la règle de la main droite fixe son sens : repliez les doigts de la main droite dans le sens où la particule tourne autour de O, et votre pouce indique $\vec{L}$. Sur la figure 1, la particule tourne autour de O dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, donc $\vec{L}$ sort de la page, vers vous ; le point cerclé en O l'indique. De même, la patineuse, qui tourne dans le sens inverse des aiguilles d'une montre vue de dessus, a un $\vec{L}$ dirigé vers le haut.

Trois conséquences suivent immédiatement. D'abord, seul compte le mouvement autour de O : une particule qui se dirige droit vers O ou qui s'en éloigne en ligne droite a $\phi =0$ ou $\phi =\pi$, donc $L=0$. Ensuite, $\vec{L}$ dépend du choix de O. Un palet qui glisse librement à la vitesse $v$ a $L=mvb$ par rapport à tout point situé à la distance $b$ de sa droite, la même valeur à chaque instant, et $L=0$ par rapport à tout point de cette droite. Enfin, $\vec{L}$ mesure la vitesse à laquelle une aire est balayée. Pendant une courte durée $dt$, le segment qui joint O à la particule balaie un mince triangle d'aire $\frac{1}{2}|\vec{r}\times \vec{v}|dt$, si bien que l'aire balayée par seconde vaut $|\vec{r}\times \vec{v}|/2=L/(2m)$.

Moment, forces intérieures et conservation

Qu'est-ce qui modifie $\vec{L}$ ? Pour une particule, dérivez $\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$ avec la règle de dérivation d'un produit, en utilisant $d\vec{r}/dt=\vec{v}$ et la deuxième loi de Newton, $d\vec{p}/dt=\vec{F}$ :
$\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{v}\times m\vec{v}+\vec{r}\times \vec{F}=\vec{\tau }$
Le premier terme est nul, car le produit vectoriel de deux vecteurs parallèles s'annule, et $\vec{v}$ est parallèle à $m\vec{v}$. Le second terme est le moment $\vec{\tau }=\vec{r}\times \vec{F}$ de la force par rapport à O. Par la même géométrie que sur la figure 1, sa norme est la force multipliée par son propre bras de levier, la distance de O à la droite le long de laquelle la force s'exerce. Pour un système de particules, additionnez cette équation sur toutes les particules. Chacune subit des forces extérieures et des forces exercées par les autres particules, et toute la question est de savoir ce que les forces intérieures apportent au total.

Légende

$O$	Point par rapport auquel on prend les moments.
${\vec{r}}_1$	Position de la particule 1, à partir de $O$.	$\mathrm{m}$
${\vec{r}}_2$	Position de la particule 2, à partir de $O$.	$\mathrm{m}$
$\vec{F}$	Force exercée sur la particule 1 par la particule 2, le long de la droite qui les joint. La particule 2 subit $-\vec{F}$.	$\mathrm{N}$
$b$	Bras de levier des deux forces : distance de $O$ à la droite qui joint les particules.	$\mathrm{m}$
${\vec{\tau }}_1$	Moment de $\vec{F}$ sur la particule 1 par rapport à $O$ : norme $Fb$, entrant dans la page.	$\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
${\vec{\tau }}_2$	Moment de $-\vec{F}$ sur la particule 2 par rapport à $O$ : norme $Fb$, sortant de la page.	$\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$

La figure 2 montre une paire de forces intérieures. La particule 1 subit la force $\vec{F}$ exercée par la particule 2, et la particule 2 subit $-\vec{F}$ exercée par la particule 1 : des forces égales et opposées, d'après la troisième loi de Newton. Les deux forces s'exercent le long de la droite en pointillés qui joint les deux particules. C'est la forme forte de la troisième loi, et la gravitation comme les forces de contact la respectent.

Regardez les bras de levier. Les deux forces sont portées par la même droite, et cette droite se trouve à une seule et même distance $b$ de O ; les deux forces ont donc le bras de levier $b$, quelles que soient les positions ${\vec{r}}_1$ et ${\vec{r}}_2$. Leurs moments ont par conséquent la même norme, $Fb$. Leurs sens sont opposés : $\vec{F}$ fait tourner la particule 1 autour de O dans le sens des aiguilles d'une montre, donc ${\vec{\tau }}_1$ entre dans la page, tandis que $-\vec{F}$ fait tourner la particule 2 dans le sens inverse, donc ${\vec{\tau }}_2$ en sort. Les deux moments s'annulent.

Le raisonnement vaut par rapport à n'importe quel point et pour chaque paire, si bien que tous les moments intérieurs disparaissent de la somme. Il reste
$\frac{d\vec{L}}{dt}={\vec{\tau }}_{\mathrm{ext}}$
où $\vec{L}$ est maintenant le moment cinétique total et ${\vec{\tau }}_{\mathrm{ext}}$ le moment total des forces extérieures. C'est l'équivalent, pour la rotation, de $d\vec{p}/dt={\vec{F}}_{\mathrm{ext}}$. Cette loi vaut pour tout ensemble de particules, rigide ou non, et aussi par rapport au centre de masse, même quand ce point accélère. Sans moment extérieur, $\vec{L}$ reste constant, quelle que soit la façon dont le système change de forme. Une plongeuse en vol le montre : la pesanteur s'applique en son centre de masse, elle n'a donc ni bras de levier ni moment par rapport à ce point, et la plongeuse garde son moment cinétique jusqu'à l'eau.

Une force centrale : la loi des aires

Le premier bénéfice concerne les orbites. Une force centrale est une force toujours dirigée selon la droite qui mène à un point fixe. Cette droite passe par le point lui-même, si bien que la force n'a aucun bras de levier par rapport à lui, et donc aucun moment.

Légende

$S$	Le Soleil, le point fixe vers lequel la force est toujours dirigée.
$r$	Distance de $S$ à la planète ; ce segment balaie chaque secteur.	$\mathrm{m}$
$\vec{F}$	Force exercée sur la planète, toujours dirigée selon la droite qui mène à $S$.	$\mathrm{N}$
$\vec{v}$	Vitesse de la planète, tangente à son orbite.	$m/s$
$A_1$	Aire balayée par le segment qui joint $S$ à la planète pendant une durée $\Delta t$, près de $S$.	${\mathrm{m}}^2$
$A_2$	Aire balayée pendant la même durée $\Delta t$, loin de $S$ ; égale à $A_1$.	${\mathrm{m}}^2$

Sur la figure 3, la force $\vec{F}$ qui s'exerce sur la planète est portée par le segment $r$ qui la relie au Soleil $S$ ; donc $\vec{r}\times \vec{F}=0$, et le moment cinétique de la planète par rapport à $S$ ne change jamais. Cela a deux conséquences. Sa direction est fixe et, comme $\vec{L}$ est perpendiculaire à la fois à $\vec{r}$ et à $\vec{v}$, l'orbite reste dans un plan. Sa norme est fixe, si bien que le segment qui joint $S$ à la planète balaie des aires au taux constant $L/(2m)$ trouvé dans la première partie.

Comparez maintenant les deux secteurs ombrés, balayés chacun pendant la même durée $\Delta t$. Près de $S$, la planète est rapide mais le segment $r$ est court : $A_1$ est un éventail court et large. Loin de $S$, la planète est lente mais $r$ est long : $A_2$ est une tranche longue et étroite. L'aire balayée par seconde, $\frac{1}{2}vb$, est la même aux deux endroits, donc $A_1=A_2$, aussi différentes que paraissent les formes. C'est la deuxième loi de Kepler, des aires égales balayées en des temps égaux, qu'il publia en 1609, près de quatre-vingts ans avant que Newton n'en montre la raison. Le raisonnement n'utilise jamais la loi en inverse du carré : la loi des aires vaut donc pour toute force centrale.

Corps en rotation : ce que montrent les graphes

La plupart des rotations de la vie courante sont celles d'un corps qui tourne autour d'un axe fixe, et le moment cinétique y prend une forme simple. Une petite masse $m$ située à la distance $r$ de l'axe décrit un cercle à la vitesse $\omega r$, où $\omega$ est la vitesse angulaire en rad/s. Sa quantité de mouvement $m\omega r$ est perpendiculaire au rayon, donc son bras de levier par rapport à l'axe vaut $r$, et son moment cinétique le long de l'axe vaut $m{r}^2\omega$. En additionnant toutes les masses,
$L=\sum m{r}^2\omega =I\omega$
où $I=\sum m{r}^2$ est le moment d'inertie. Contrairement à la masse, $I$ change quand le corps change de forme. L'animation représente la patineuse par un tronc de moment d'inertie $I_0=0,72\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ et deux masses de bras de $m=3\mathrm{kg}$ chacune, à la distance $r$ de l'axe, donc $I=I_0+2m{r}^2$. La glace n'exerce aucun moment par rapport à l'axe vertical : $L$ est donc fixé et $\omega =L/I$.

Les graphes de la vue experte montrent exactement cela. $L(t)$ est une droite horizontale à $7,20\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$ : sa pente est le moment extérieur, qui est nul. $I(t)$ descend de 2,88 à 0,96 kg·m² quand $r$ passe de 0,60 à 0,20 m, et $\omega (t)=L/I(t)$ monte de 2,5 à 7,5 rad/s. Elle ne monte pas régulièrement. Elle grimpe lentement au début, et le plus vite aux deux tiers environ du repli, car une même baisse de $I$ augmente davantage $L/I$ quand $I$ est déjà petit ; tout à la fin, les bras ralentissent jusqu'à l'arrêt. À mi-chemin, en $r=0,40\mathrm{m}$, $I=0,72+2\cdot 3\cdot 0,40^2=1,68\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ et $\omega =7,20/1,68=4,29rad/s$, à peine plus du tiers du chemin entre 2,5 et 7,5 rad/s.

Le graphe de $K(t)$ a exactement la forme de celui de $\omega (t)$. La raison en est $K=\frac{1}{2}I{\omega }^2=\frac{1}{2}L\omega$ : à $L$ fixé, $K$ est simplement $\omega$ multipliée par $L/2=3,6\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$. Cela donne 9 J à 2,5 rad/s et 27 J à 7,5 rad/s. Le moment cinétique reste le même tandis que l'énergie cinétique triple.

Qui paie l'énergie supplémentaire ?

L'énergie cinétique a augmenté de $27-9=18\mathrm{J}$, et pourtant aucun moment extérieur n'a agi. L'énergie doit donc venir de la patineuse elle-même, et il vaut la peine de suivre exactement comment.

Vue de la patinoire, chaque masse de bras décrit un cercle ; il lui faut donc une traction centripète $m{\omega }^{2}r$ dirigée vers l'axe, et ce sont ses bras qui la fournissent. Tant que les masses se déplacent vers l'intérieur, chaque traction est dirigée dans le sens de leur mouvement et fournit donc un travail positif. Pour compter ce travail, gardez $L$ fixé et écrivez $K=L^2/(2I)$. Comme $I=I_0+2m{r}^2$, une petite variation $dr$ du rayon fait varier $I$ de $dI=4mrdr$. Ensuite, avec $L/I=\omega$,
$dK=-\frac{L^2}{2I^2}dI=-2m{\omega }^{2}rdr$
Quand les bras se rapprochent, $dr$ est négatif et $dK$ positif. Le membre de droite est exactement le travail des deux tractions : $2m{\omega }^{2}r$ multiplié par le pas vers l'intérieur $|dr|$. En additionnant les pas de $I_1$ à $I_2$,
$W=\Delta K=\frac{L^2}{2}\left(\frac{1}{I_2}-\frac{1}{I_1}\right)$
ce qui donne pour la patineuse $25,92\cdot (1/0,96-1/2,88)=18\mathrm{J}$. Écarter de nouveau les bras retire de la rotation ces mêmes 18 J.

L'affichage de $W$ compte ce travail au fur et à mesure. Pendant le repli, il devance légèrement la hausse de $K$, de 0,60 J au plus, car le travail paie aussi le mouvement des masses des bras vers l'axe : l'énergie cinétique $m{\dot{r}}^2$ pour la paire, où $\dot{r}$ est leur vitesse radiale. Les deux atteignent 18 J quand les bras s'arrêtent.

Dans le référentiel tournant de la patineuse, la même histoire se raconte avec d'autres forces. Ses bras y fournissent le même travail contre la force centrifuge. Les masses des bras qui se déplacent vers l'intérieur subissent aussi la force de Coriolis, qui agit latéralement et les pousse en avant du tronc, dans le sens de la rotation. Retenues aux épaules, elles appuient vers l'avant sur celles-ci et accélèrent la rotation du tronc. Le moment cinétique propre du tronc, $I_0\omega$, augmente au taux $I_{0}d\omega /dt$ : c'est donc là le moment intérieur. À mi-repli, la pente du graphe de $\omega (t)$ vaut environ $5,5rad/{\mathrm{s}}^2$, et le moment vaut $I_{0}d\omega /dt\approx 0,72\cdot 5,5\approx 4,0\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$.

Quand l'axe tourne : la précession

Jusqu'ici, $\vec{L}$ gardait sa direction. Mais $\vec{L}$ est un vecteur, et un moment perpendiculaire à $\vec{L}$ change sa direction plutôt que sa norme. C'est ce qui empêche un gyroscope en rotation de basculer.

Légende

$d$	Distance du pivot à la droite d'action du poids.	$\mathrm{m}$
$mg$	Poids de la roue, appliqué en son centre.	$\mathrm{N}$
$\vec{L}$	Moment cinétique propre de la roue, le long de l'axe.	$\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$
$\vec{\tau }$	Moment du poids par rapport au pivot, $\tau =mgd$ : horizontal et perpendiculaire à $\vec{L}$.	$\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
$d\vec{L}$	Variation de $\vec{L}$ pendant une courte durée $dt$ : $d\vec{L}=\vec{\tau }dt$.	$\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$
${\vec{L}}^{\prime }$	Moment cinétique après $dt$ : $\vec{L}+d\vec{L}$.	$\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$
$d\beta$	Angle dont tourne $\vec{L}$ pendant $dt$ : $d\beta =\tau dt/L$.	$\mathrm{rad}$
$\Omega$	Vitesse angulaire à laquelle l'axe tourne, $\Omega =d\beta /dt=\tau /L$.	$rad/s$

La figure 4 montre l'exemple classique : une roue qui tourne vite sur un axe horizontal tenu par une seule extrémité. Son moment cinétique propre $\vec{L}$ est dirigé le long de l'axe. À gauche, vu de côté, le poids $mg$ s'applique au centre de la roue, à la distance $d$ du pivot. Son moment par rapport au pivot a pour norme $\tau =mgd$ et il est horizontal, perpendiculaire à l'axe. À droite, vu de dessus, $\vec{\tau }$ est perpendiculaire à $\vec{L}$.

Appliquez maintenant $d\vec{L}/dt=\vec{\tau }$. Pendant une courte durée $dt$, le moment cinétique gagne $d\vec{L}=\vec{\tau }dt$, parallèle au moment et donc latéral par rapport à $\vec{L}$. Le nouveau vecteur ${\vec{L}}^{\prime }=\vec{L}+d\vec{L}$ a la même longueur que $\vec{L}$ au premier ordre en $dt$, mais il a tourné du petit angle $d\beta =dL/L=\tau dt/L$. (La figure est tracée avec une grande durée $dt$ pour que l'angle soit visible.) L'axe suit $\vec{L}$ ; au lieu de tomber, il tourne donc dans le plan horizontal au taux
$\Omega =\frac{d\beta }{dt}=\frac{\tau }{L}$
Sous forme vectorielle, $\vec{\tau }=\vec{\Omega }\times \vec{L}$, avec $\vec{\Omega }$ dirigé vers le haut pour la rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre de la figure 4.

Il en va de même pour une toupie ou un gyroscope de moment cinétique propre $I\omega$ dont le centre de masse se trouve à la distance $d$ du pivot le long de son axe. Si l'axe est incliné par rapport à la verticale, le bras de levier du poids et la partie horizontale de $\vec{L}$ portent tous deux le sinus de l'inclinaison, et ce facteur se simplifie. Ainsi, quelle que soit l'inclinaison,
$\Omega =\frac{mgd}{I\omega }\text{(preˊcession gyroscopique)}$

Une roue de vélo de moment d'inertie $I=0,25\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ et de masse 2,5 kg est lancée à 40 rad/s et soutenue par une extrémité de son axe, à 0,20 m du centre de la roue. Elle a $L=0,25\cdot 40=10\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$, et son poids exerce le moment $\tau =2,5\cdot 9,81\cdot 0,20\approx 4,9\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$. Elle ne tombe pas : elle tourne à $\Omega =4,9/10\approx 0,49rad/s$, soit un tour toutes les 13 s. La Terre est une toupie lente : le Soleil et la Lune tirent sur son renflement équatorial, et son axe fait un tour de précession en 26 000 ans environ.

Encore une conséquence du caractère vectoriel de $\vec{L}$ : il n'est parallèle à $\vec{\omega }$ que pour une rotation autour d'un axe principal d'inertie du corps, comme un axe de symétrie. Une roue montée légèrement de travers sur son axe a un $\vec{L}$ qui s'écarte de l'axe. Quand la roue tourne, $\vec{L}$ tourne autour de l'axe et change donc sans cesse, et d'après $d\vec{L}/dt=\vec{\tau }$ les paliers doivent fournir ce moment en permanence. C'est pourquoi l'on équilibre les roues de voiture.

Problème résolu : une rotation qui s'éteint

La vraie glace n'est pas sans frottement. Supposons que la lame exerce un moment de frottement constant $\tau =0,30\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ opposé à la rotation, à partir du $L_0=7,20\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$ de l'animation. Combien de temps dure la rotation, et combien de tours la patineuse fait-elle bras ramenés ($I=0,96\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$), puis bras tendus ($I=2,88\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$) ?

Combien de temps : maintenant $dL/dt=-\tau$, donc $L$ diminue à un rythme constant, $L(t)=7,20-0,30t$, et s'annule au bout de $T=L_0/\tau =24\mathrm{s}$. Sa posture n'intervient pas : dans les deux cas, le graphe plat de $L(t)$ deviendrait la même droite descendante.

Combien de tours : l'angle, lui, dépend de sa posture, car $\omega =L(t)/I$. L'angle parcouru est l'intégrale de $\omega$ sur les 24 s :
$\theta ={\int }_0^T\frac{L_0-\tau t}{I}dt=\frac{L_0^2}{2\tau I}$
C'est l'aire d'un triangle sous la droite descendante, de hauteur $L_0/I$ et de base $L_0/\tau$. Bras ramenés, $\theta =51,84/(2\cdot 0,30\cdot 0,96)=90\mathrm{rad}$, soit environ 14,3 tours. Bras tendus, ce n'est que 30 rad, soit environ 4,8 tours.

L'énergie le confirme. Le moment de frottement fournit le travail $\tau \theta$ contre la rotation, et $0,30\cdot 90=27\mathrm{J}$ et $0,30\cdot 30=9\mathrm{J}$ sont exactement ses deux énergies cinétiques de départ. Ramener les bras ne fait pas durer la rotation plus longtemps ; cela loge trois fois plus de tours dans les mêmes 24 s.

Limites de validité

Le modèle de la patineuse est idéalisé : de vrais bras sont des masses étalées, pas deux points, et le frottement et la traînée de l'air ne disparaissent jamais tout à fait. La loi de conservation elle-même est plus solide que n'importe quel modèle. La démonstration ci-dessus a utilisé la forme forte de la troisième loi de Newton, avec des forces intérieures portées par les droites qui joignent les particules. La gravitation et les forces de contact la respectent ; les forces magnétiques entre charges en mouvement n'y sont pas tenues. Pourtant rien n'est perdu, car le champ électromagnétique porte son propre moment cinétique, et la loi est vérifiée dès qu'on compte la part du champ. La lumière polarisée circulairement, par exemple, cède du moment cinétique à tout ce qui l'absorbe.

La formule de précession suppose $\Omega \ll \omega$, de sorte que la rotation propre porte presque tout le moment cinétique ; pour la roue de vélo, le rapport vaut environ 1 %. Lancez la roue à 10 rad/s seulement et $\Omega$ atteint 2,0 rad/s, un cinquième de $\omega$. L'axe plonge alors et se redresse visiblement en tournant, un mouvement appelé nutation, au lieu de glisser sans à-coups.

À l'échelle atomique, le moment cinétique est quantifié : sa composante le long d'un axe quelconque ne prend que des valeurs espacées de la constante de Planck réduite, $\hslash =1,055\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$. Les $7,20\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$ de la patineuse représentent environ $7\times 10^{34}$ pas de cette taille : la granularité est invisible. Pour un électron dans un atome, elle est déterminante. L'électron porte aussi un moment cinétique intrinsèque, son spin, de composantes $\pm \hslash /2$, qui n'est la rotation d'aucune petite bille. La relativité restreinte garde $\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$, avec la quantité de mouvement relativiste, ainsi que sa conservation.

Où cela mène

Pourquoi le moment cinétique se conserve-t-il ? Parce que l'espace n'a pas de direction privilégiée. D'après le théorème de Noether, toute symétrie continue des lois de la physique entraîne une grandeur conservée : le fait que l'espace soit le même d'un endroit à l'autre donne la quantité de mouvement, le fait que le temps soit le même à tout instant donne l'énergie, et le fait que toutes les directions se valent donne le moment cinétique.

Cette loi porte loin. Dans la leçon Gravitation et orbites, elle explique la loi des aires, et le terme $L^2/(2m{r}^2)$ de l'énergie radiale joue le rôle d'une barrière centrifuge qui empêche les planètes de tomber dans le Soleil. Dans la leçon Modèles atomiques : l'atome de Bohr, la règle $L=n\hslash$ fixe les niveaux d'énergie de l'hydrogène. Le spin, compté en unités de $\hslash$, distingue les particules de matière de la leçon Particules et forces : le modèle standard, de spin 1/2, des porteurs de force, de spin 1. Et les spins alignés des électrons rendent le fer magnétique, comme le décrit la leçon Champs magnétiques des aimants et des courants.