El momento angular y su conservación

Principiante

Siéntate en una silla de oficina que gire libremente, con los brazos y las piernas extendidos, y pide a alguien que te dé un impulso suave. Ahora recógelos de golpe: de repente giras mucho más rápido. Nadie te ha empujado; solo has cambiado de forma. Veamos por qué, paso a paso.

Paso 1. Un objeto que gira lleva una «cantidad de giro», que los físicos llaman momento angular. Depende de lo rápido que gira el objeto y de lo lejos del eje que está su masa: la masa lejana cuenta mucho y la cercana, poco.

Paso 2. Como la cantidad de movimiento, esta cantidad de giro no puede cambiar por sí sola; solo un giro aplicado desde fuera, como el rozamiento, puede modificarla. Por eso, cuando la masa se acerca al eje, el objeto tiene que girar más rápido para conservar la misma cantidad de giro, y cuando se aleja, se frena.

Paso 3. La animación muestra a una patinadora vista desde arriba y de lado. Con los brazos abiertos gira despacio; al recogerlos gira tres veces más rápido, como indica la barra de velocidad de giro, y al abrirlos de nuevo se frena. El hielo es tan resbaladizo que apenas la frena.

Paso 4. La misma regla funciona mucho más allá de la pista. Los saltadores de trampolín se encogen para dar volteretas rápidas y se estiran antes de entrar en el agua. Un planeta va más rápido cuando pasa más cerca del Sol, porque la atracción del Sol no puede cambiar su cantidad de giro a su alrededor.

Comprueba lo aprendido: un pizzero hace girar una bola de masa, que se extiende en un disco ancho y fino. ¿Qué pasa con lo rápido que gira? (Gira más despacio: su masa se ha alejado del eje.)

Intermedio

Qué mide el momento angular

El momento angular $L$ es la cantidad de giro que lleva un cuerpo que rota; igual que la cantidad de movimiento de siempre, solo algo exterior puede cambiarlo. Depende de lo deprisa que gira el cuerpo y de cómo está repartida su masa alrededor del eje. El ritmo de giro es la velocidad angular $\omega$, en rad/s: una vuelta son $2\pi$ rad, así que una vuelta por segundo equivale a unos 6,28 rad/s. Se considera positivo el giro en sentido antihorario visto desde arriba, que es el de la patinadora.

El reparto de la masa lo mide el momento de inercia, $I=\sum m{r}^2$, en kg·m²: cada masa multiplicada por el cuadrado de su distancia $r$ al eje, de modo que una masa el doble de lejos cuenta cuatro veces más. Para un cuerpo que gira alrededor de un eje fijo,
$L=I\omega$
que se mide en kg·m²/s. Para una masa pequeña en una circunferencia, $I=m{r}^2$ y $\omega =v/r$, así que $L=mvr$: su cantidad de movimiento por su distancia al eje. Solo cuenta el movimiento alrededor del eje; una masa que se dirige en línea recta hacia él no tiene momento angular.

El momento de una fuerza cambia el momento angular

Una fuerza cambia la cantidad de movimiento; el momento de una fuerza cambia el momento angular. Ese momento es la fuerza multiplicada por su brazo de palanca, la distancia perpendicular desde el eje hasta la recta de acción de la fuerza, y se mide en N·m. Solo cuentan los momentos que vienen de fuera del sistema:
${\tau }_{\mathrm{ext}}=\frac{dL}{dt}$
Aquí $dL/dt$ es el ritmo de cambio de $L$, es decir, el cambio $\Delta L$ dividido entre un intervalo corto $\Delta t$: un momento constante de 2 N·m añade 2 kg·m²/s cada segundo.

Las fuerzas entre unas partes del sistema y otras forman pares iguales y opuestos sobre una misma recta, así que sus momentos se cancelan: pueden pasar momento angular de una parte a otra, pero nunca crearlo. Sin momento externo, el total no varía, haga lo que haga el sistema con su forma:
${\tau }_{\mathrm{ext}}=0\to I_1{\omega }_1=I_2{\omega }_2$
A diferencia de la masa, el momento de inercia cambia siempre que el cuerpo cambia de forma, y entonces $\omega$ cambia en proporción inversa.

Las ecuaciones para resolver problemas

Los problemas de cuerpos que giran usan un repertorio corto de ecuaciones:

• $L=I\omega$
• $I=\sum m{r}^2$
• $L=mvr\text{(masa puntual en una circunferencia)}$
• $I_1{\omega }_1=I_2{\omega }_2$
• $K=\frac{1}{2}I{\omega }^2=\frac{L^2}{2I}$

Haz una lista de cada masa y de su distancia al eje antes y después, y calcula el momento de inercia inicial $I_1$ y el final $I_2$. Comprueba que nada de fuera ejerce un momento respecto al eje y luego impón $I_1{\omega }_1=I_2{\omega }_2$. Deja las energías para el final, con $K=L^2/(2I)$: con $L$ fijo, la energía cinética es inversamente proporcional a $I$.

Ejemplo resuelto: la patinadora de la animación

La animación modela a la patinadora como un cuerpo con $I_0=0,72\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ más dos brazos, cada uno tratado como una masa de 3 kg a una distancia $r$ del eje, de modo que $I=I_0+2m{r}^2$. Empieza con los brazos extendidos, a $r=0,60\mathrm{m}$, girando a 2,5 rad/s, y los recoge hasta $r=0,20\mathrm{m}$. El hielo no ejerce ningún momento respecto al eje vertical.
$I_1=0,72+2\cdot 3\cdot 0,60^2=2,88\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$
$L=I_1{\omega }_1=2,88\cdot 2,5=7,20\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$
$I_2=0,72+2\cdot 3\cdot 0,20^2=0,96\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$
${\omega }_2=L/I_2=7,20/0,96=7,5rad/s$

Su momento de inercia baja a la tercera parte, así que gira tres veces más deprisa, de 0,40 a 1,19 vueltas por segundo. Al final de la recogida, las lecturas de $I$ (dorada), de $\omega$ (azul) y de $L$ (morada) marcan estos valores, y la línea $2,88\times 2,5=0,96\times 7,5$ que hay bajo la ley de conservación comprueba el producto. Su energía cinética pasa de $\frac{1}{2}\cdot 2,88\cdot 2,5^2=9\mathrm{J}$ a $\frac{1}{2}\cdot 0,96\cdot 7,5^2=27\mathrm{J}$; sus músculos aportan los 18 J de diferencia.

Las flechas verdes son las velocidades de las masas de los brazos, $v=\omega r$. Con los brazos extendidos, $v=2,5\cdot 0,60=1,5m/s$; con los brazos recogidos, $v=7,5\cdot 0,20=1,5m/s$ otra vez, porque $\omega$ se triplica mientras $r$ baja a la tercera parte. Sus manos no acaban yendo más deprisa; lo que gira más deprisa es todo su cuerpo.

Ejemplo resuelto: un niño salta a un tiovivo

Un tiovivo, un disco uniforme de 100 kg y 1,5 m de radio montado sobre un eje que gira libremente, está en reposo. Un niño de 30 kg corre a 4 m/s a lo largo de una recta que apenas roza su borde, se sube de un salto en el borde y se agarra con fuerza. ¿Con qué velocidad angular gira entonces el tiovivo?

Aunque corre en línea recta, el niño ya tiene momento angular respecto al eje: $L=mvr=30\cdot 4\cdot 1,5=180\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$. El disco tiene $I_d=\frac{1}{2}M{R}^2=\frac{1}{2}\cdot 100\cdot 1,5^2=112,5\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ y el niño en el borde añade $m{R}^2=67,5\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$, de modo que el total es $180\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ y
$\omega =L/I=180/180=1,0rad/s$

La energía cinética baja de $\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 4^2=240\mathrm{J}$ a $\frac{1}{2}\cdot 180\cdot 1,0^2=90\mathrm{J}$: igual que cuando dos cuerpos que chocan quedan pegados, el momento angular sobrevive al aterrizaje mientras 150 J se convierten en calor. Si después camina hasta el centro, su parte de $I$ se reduce a cero (lo tratamos como un punto), así que $\omega =180/112,5=1,6rad/s$ y $K=\frac{1}{2}\cdot 112,5\cdot 1,6^2=144\mathrm{J}$. Los 54 J de más son el trabajo que hace al tirar de sí mismo hacia dentro.

Cómo leer las barras y las flechas

Mientras los brazos se recogen, la barra dorada de $I$ se reduce a la tercera parte, la barra azul de $\omega$ se triplica y la barra morada de $L$ no se mueve: las dos magnitudes que cambian se compensan de modo que su producto se queda en $7,20\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$. Si se representa $\omega$ frente a $I$, los puntos caen sobre una hipérbola, $\omega =L/I$.

En los primeros 1,5 s del ciclo, con los brazos extendidos, la patinadora gira 3,75 rad, unas 0,6 vueltas; en los 2,4 s con los brazos recogidos, gira 18 rad, casi tres vueltas. Mientras los brazos se mueven, las flechas verdes se inclinan, hacia dentro durante la recogida y hacia fuera durante la apertura, y crecen hasta unos 1,8 m/s, porque las manos también se mueven a lo largo del radio; cuando los brazos se detienen, las flechas vuelven a ser tangentes, con 1,5 m/s.

Errores frecuentes

• La energía cinética no se conserva cuando un cuerpo cambia de forma. Si se conservara, reducir el momento de inercia a la tercera parte solo multiplicaría la velocidad angular por $\sqrt{3}$, es decir, hasta 4,33 rad/s en lugar de 7,5 rad/s; en realidad $K$ se triplica, de 9 J a 27 J.
• Recoger los brazos no ejerce ningún momento sobre la patinadora en su conjunto. Brazos y tronco se empujan entre sí, pero esos momentos internos solo trasladan momento angular de un sitio a otro: la parte de los brazos, $2m{r}^2\omega$, baja de 5,40 a 1,80 kg·m²/s mientras la del cuerpo, $I_0\omega$, sube de 1,80 a 5,40.
• El momento de inercia depende del cuadrado de la distancia. Acercar las masas de los brazos a la tercera parte de su distancia reduce su parte, $2m{r}^2$, de 2,16 a 0,24 kg·m², nueve veces menos; el total solo baja a la tercera parte porque la parte del cuerpo se mantiene.
• La conservación exige un momento externo nulo respecto al eje. La gravedad y el empuje del hielo son verticales y no ejercen ninguno respecto al eje vertical; el ligero rozamiento de la cuchilla del patín sí, y por eso los giros reales se van apagando.

Dónde aparece

Los saltadores y los gimnastas despegan con un momento angular fijo, se encogen para girar varias veces más deprisa y se estiran antes de caer. Un helicóptero necesita un rotor de cola: el motor hace girar el rotor principal en un sentido y, sin momento externo, el fuselaje giraría en sentido contrario. Las estrellas que colapsan aceleran su giro de forma espectacular: un núcleo del tamaño de la Tierra que gira una vez al día y se comprime hasta una bola de 10 km de radio vería reducido su $I$ en $(6400/10{)}^2\approx 4\times 10^5$ y giraría unas cinco veces por segundo, como un púlsar típico.

A continuación, Gravitación y órbitas convierte esta ley en la ley de las áreas de Kepler: la gravedad no ejerce ningún momento respecto al Sol, así que un planeta se mueve más deprisa cuanto más cerca está de él. Modelos atómicos: el átomo de Bohr muestra que el momento angular se da en pasos enteros.

Avanzado

El momento angular como producto vectorial

La cantidad de movimiento mide cuánto movimiento en línea recta lleva un cuerpo. El momento angular hace lo mismo con el movimiento alrededor de un punto, y se mantiene constante siempre que nada externo haga girar el sistema. Para definirlo, elige primero un punto de referencia O. Una partícula de masa $m$, en la posición $\vec{r}$ respecto a O y con velocidad $\vec{v}$, tiene cantidad de movimiento $\vec{p}=m\vec{v}$ y momento angular respecto a O
$\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$

Leyenda

$O$	Punto elegido respecto al cual se toma $\vec{L}$.
$\vec{r}$	Posición de la partícula, de $O$ a la partícula.	$\mathrm{m}$
$\vec{p}$	Cantidad de movimiento $m\vec{v}$ de la partícula, a lo largo de su recta de movimiento.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
$\phi$	Ángulo entre $\vec{r}$ y $\vec{p}$, marcado en la partícula.	$\mathrm{rad}$
$b$	Brazo de palanca: distancia perpendicular de $O$ a la recta del movimiento, $b=r\sin \phi$.	$\mathrm{m}$
$\vec{L}$	Momento angular respecto a $O$: módulo $rp\sin \phi =pb$, saliendo del papel según la regla de la mano derecha.	$\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$

En la figura 1, el vector $\vec{r}$ va de O a la partícula, y $\vec{p}$ apunta a lo largo de la recta discontinua del movimiento. El ángulo $\phi$ entre ambos está marcado en la partícula, desde la prolongación de $\vec{r}$ hasta $\vec{p}$. El módulo de un producto vectorial es el producto de los módulos de los dos vectores por el seno del ángulo que forman, así que $L=rp\sin \phi$.

Fíjate ahora en el segmento $b$. Va de O a la recta del movimiento y la corta en ángulo recto, así que $b$ es la distancia más corta de O a esa recta. Cierra un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es $\vec{r}$. El ángulo del triángulo en la partícula queda entre la dirección que vuelve hacia O y la que vuelve hacia atrás a lo largo de la recta; son las opuestas de $\vec{r}$ y de $\vec{p}$, así que ese ángulo vuelve a ser $\phi$. El cateto opuesto a él es $b=r\sin \phi$ y, por tanto,
$L=rp\sin \phi =pb$
La distancia $b$ es el brazo de palanca de la cantidad de movimiento. Dicho con palabras: el momento angular es la cantidad de movimiento por su brazo de palanca.

La dirección de $\vec{L}$ es perpendicular a la vez a $\vec{r}$ y a $\vec{p}$, y la regla de la mano derecha elige el sentido: curva los dedos de la mano derecha en el sentido en que la partícula gira alrededor de O, y el pulgar señalará a lo largo de $\vec{L}$. En la figura 1 la partícula rodea O en sentido antihorario, así que $\vec{L}$ sale del papel, hacia ti; lo indica el punto dentro de un círculo en O. Del mismo modo, la patinadora, que gira en sentido antihorario vista desde arriba, tiene $\vec{L}$ hacia arriba.

De aquí salen tres consecuencias inmediatas. Primera: solo cuenta el movimiento alrededor de O. Una partícula que va directa hacia O o que se aleja de O en línea recta tiene $\phi =0$ o $\phi =\pi$, así que $L=0$. Segunda: $\vec{L}$ depende de la elección de O. Un disco de hockey que se desliza libremente con rapidez $v$ tiene $L=mvb$ respecto a cualquier punto situado a una distancia $b$ de su recta, el mismo valor en todo instante, y $L=0$ respecto a cualquier punto de la recta. Tercera: $\vec{L}$ mide lo deprisa que se barre área. En un tiempo corto $dt$, el segmento que une O con la partícula barre un triángulo estrecho de área $\frac{1}{2}|\vec{r}\times \vec{v}|dt$, de modo que el área barrida por segundo es $|\vec{r}\times \vec{v}|/2=L/(2m)$.

Momento, fuerzas internas y conservación

¿Qué cambia $\vec{L}$? Para una partícula, deriva $\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$ con la regla del producto, usando $d\vec{r}/dt=\vec{v}$ y la segunda ley de Newton, $d\vec{p}/dt=\vec{F}$:
$\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{v}\times m\vec{v}+\vec{r}\times \vec{F}=\vec{\tau }$
El primer término es cero porque el producto vectorial de dos vectores paralelos se anula, y $\vec{v}$ es paralelo a $m\vec{v}$. El segundo término es el momento $\vec{\tau }=\vec{r}\times \vec{F}$ de la fuerza respecto a O. Con la misma geometría de la figura 1, su módulo es la fuerza por su propio brazo de palanca, la distancia de O a la recta a lo largo de la cual actúa la fuerza. Para un sistema de partículas, suma esta ecuación para todas ellas. Cada partícula siente fuerzas externas y fuerzas de las demás partículas, y la pregunta es qué aportan las internas al total.

Leyenda

$O$	Punto respecto al cual se toman los momentos.
${\vec{r}}_1$	Posición de la partícula 1, desde $O$.	$\mathrm{m}$
${\vec{r}}_2$	Posición de la partícula 2, desde $O$.	$\mathrm{m}$
$\vec{F}$	Fuerza sobre la partícula 1 debida a la partícula 2, a lo largo de la recta que las une. La partícula 2 siente $-\vec{F}$.	$\mathrm{N}$
$b$	Brazo de palanca de ambas fuerzas: distancia de $O$ a la recta que une las partículas.	$\mathrm{m}$
${\vec{\tau }}_1$	Momento de $\vec{F}$ sobre la partícula 1 respecto a $O$: módulo $Fb$, entrando en el papel.	$\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
${\vec{\tau }}_2$	Momento de $-\vec{F}$ sobre la partícula 2 respecto a $O$: módulo $Fb$, saliendo del papel.	$\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$

La figura 2 muestra un par de fuerzas internas. La partícula 1 siente la fuerza $\vec{F}$ debida a la partícula 2, y la partícula 2 siente $-\vec{F}$ debida a la partícula 1: iguales y opuestas, por la tercera ley de Newton. Ambas fuerzas actúan a lo largo de la recta discontinua que une las dos partículas. Esta es la forma fuerte de la tercera ley, y la gravedad y las fuerzas de contacto la cumplen.

Fíjate en los brazos de palanca. Las dos fuerzas están sobre la misma recta, y esa recta está a una única distancia $b$ de O, así que ambas fuerzas tienen el brazo de palanca $b$, sean cuales sean las posiciones ${\vec{r}}_1$ y ${\vec{r}}_2$. Por tanto, sus momentos tienen el mismo módulo, $Fb$. Sus sentidos son opuestos: $\vec{F}$ hace girar la partícula 1 en sentido horario alrededor de O, así que ${\vec{\tau }}_1$ entra en el papel, mientras que $-\vec{F}$ hace girar la partícula 2 en sentido antihorario, así que ${\vec{\tau }}_2$ sale de él. Los dos momentos se cancelan.

El razonamiento vale respecto a cualquier punto y para cada par, así que todos los momentos internos desaparecen de la suma. Lo que queda es
$\frac{d\vec{L}}{dt}={\vec{\tau }}_{\mathrm{ext}}$
donde $\vec{L}$ es ahora el momento angular total y ${\vec{\tau }}_{\mathrm{ext}}$ el momento total de las fuerzas externas. Es el equivalente rotacional de $d\vec{p}/dt={\vec{F}}_{\mathrm{ext}}$. Vale para cualquier conjunto de partículas, rígido o no, y también respecto al centro de masas, aunque ese punto esté acelerando. Sin momento externo, $\vec{L}$ se mantiene constante, por mucho que el sistema cambie de forma. Una saltadora en el aire lo muestra: la gravedad actúa en su centro de masas, así que no tiene brazo de palanca ni momento respecto a ese punto, y ella conserva su momento angular hasta llegar al agua.

Una fuerza central: la ley de las áreas

La primera recompensa está en las órbitas. Una fuerza central es la que apunta siempre a lo largo de la recta que va a un punto fijo. Esa recta pasa por el propio punto, así que la fuerza no tiene brazo de palanca respecto a él ni, por tanto, momento.

Leyenda

$S$	El Sol, el punto fijo hacia el que apunta siempre la fuerza.
$r$	Distancia de $S$ al planeta; este segmento barre cada sector.	$\mathrm{m}$
$\vec{F}$	Fuerza sobre el planeta, siempre a lo largo de la recta hacia $S$.	$\mathrm{N}$
$\vec{v}$	Velocidad del planeta, tangente a su órbita.	$m/s$
$A_1$	Área barrida por el segmento de $S$ al planeta en un tiempo $\Delta t$ cerca de $S$.	${\mathrm{m}}^2$
$A_2$	Área barrida en el mismo tiempo $\Delta t$ lejos de $S$; igual a $A_1$.	${\mathrm{m}}^2$

En la figura 3, la fuerza $\vec{F}$ sobre el planeta está sobre el segmento $r$ que va al Sol $S$, así que $\vec{r}\times \vec{F}=0$ y el momento angular del planeta respecto a $S$ nunca cambia. Esto tiene dos consecuencias. Su dirección es fija y, como $\vec{L}$ es perpendicular a la vez a $\vec{r}$ y a $\vec{v}$, la órbita permanece en un plano. Su módulo es fijo, así que el segmento que une $S$ con el planeta barre área al ritmo constante $L/(2m)$ hallado en el primer apartado.

Compara ahora los dos sectores sombreados, cada uno barrido en el mismo tiempo $\Delta t$. Cerca de $S$ el planeta va deprisa, pero el segmento $r$ es corto, así que $A_1$ es un abanico corto y ancho. Lejos de $S$ el planeta va despacio, pero $r$ es largo, así que $A_2$ es una cuña larga y estrecha. El área barrida por segundo, $\frac{1}{2}vb$, es la misma en los dos lugares, así que $A_1=A_2$, por distintas que parezcan las formas. Es la segunda ley de Kepler, áreas iguales en tiempos iguales, que él publicó en 1609, casi ochenta años antes de que Newton mostrara por qué se cumple. El razonamiento no usa en ningún momento la ley del inverso del cuadrado, así que la ley de las áreas vale para cualquier fuerza central.

Cuerpos que giran: lo que muestran las gráficas

La mayoría de las rotaciones cotidianas son las de un cuerpo que gira alrededor de un eje fijo, y ahí el momento angular toma una forma sencilla. Una masa pequeña $m$ a una distancia $r$ del eje recorre una circunferencia con rapidez $\omega r$, donde $\omega$ es la velocidad angular en rad/s. Su cantidad de movimiento $m\omega r$ es perpendicular al radio, así que su brazo de palanca respecto al eje es $r$, y su momento angular a lo largo del eje es $m{r}^2\omega$. Sumando todas las masas,
$L=\sum m{r}^2\omega =I\omega$
donde $I=\sum m{r}^2$ es el momento de inercia. A diferencia de la masa, $I$ cambia cuando el cuerpo cambia de forma. La animación representa a la patinadora como un tronco con $I_0=0,72\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ más dos masas en los brazos de $m=3\mathrm{kg}$ cada una, a una distancia $r$ del eje, así que $I=I_0+2m{r}^2$. El hielo no ejerce momento respecto al eje vertical, de modo que $L$ es fijo y $\omega =L/I$.

Las gráficas del nivel experto muestran justo esto. $L(t)$ es una recta horizontal en $7,20\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$: su pendiente es el momento externo, que es cero. $I(t)$ baja de 2,88 a 0,96 kg·m² mientras $r$ pasa de 0,60 a 0,20 m, y $\omega (t)=L/I(t)$ sube de 2,5 a 7,5 rad/s. No sube de manera uniforme. Sube despacio al principio y más deprisa hacia los dos tercios de la recogida, porque la misma bajada de $I$ aumenta más $L/I$ cuando $I$ ya es pequeño; al final del todo, los brazos frenan hasta pararse. A mitad de camino, con $r=0,40\mathrm{m}$, $I=0,72+2\cdot 3\cdot 0,40^2=1,68\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ y $\omega =7,20/1,68=4,29rad/s$, apenas más de un tercio del camino entre 2,5 y 7,5 rad/s.

La gráfica de $K(t)$ tiene exactamente la forma de la de $\omega (t)$. El motivo es que $K=\frac{1}{2}I{\omega }^2=\frac{1}{2}L\omega$: con $L$ fijo, $K$ es simplemente $\omega$ multiplicada por $L/2=3,6\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$. Eso da 9 J a 2,5 rad/s y 27 J a 7,5 rad/s. El momento angular sigue siendo el mismo mientras la energía cinética se triplica.

Quién paga la energía de más

La energía cinética ha aumentado en $27-9=18\mathrm{J}$ y, sin embargo, no ha actuado ningún momento externo. La energía tiene que salir de la propia patinadora, y merece la pena seguir con exactitud cómo.

Vista desde la pista, cada masa de un brazo recorre una circunferencia, así que necesita un tirón centrípeto $m{\omega }^{2}r$ hacia el eje, y se lo dan sus brazos. Mientras las masas se acercan al eje, cada tirón apunta en el sentido de su movimiento, así que realiza un trabajo positivo. Para contar ese trabajo, mantén $L$ fijo y escribe $K=L^2/(2I)$. Como $I=I_0+2m{r}^2$, un pequeño cambio $dr$ del radio cambia $I$ en $dI=4mrdr$. Entonces, usando $L/I=\omega$,
$dK=-\frac{L^2}{2I^2}dI=-2m{\omega }^{2}rdr$
Al recoger los brazos, $dr$ es negativo y $dK$ positivo. El segundo miembro es exactamente el trabajo de los dos tirones: $2m{\omega }^{2}r$ por el paso hacia dentro $|dr|$. Sumando los pasos de $I_1$ a $I_2$,
$W=\Delta K=\frac{L^2}{2}\left(\frac{1}{I_2}-\frac{1}{I_1}\right)$
que para la patinadora vale $25,92\cdot (1/0,96-1/2,88)=18\mathrm{J}$. Al volver a abrir los brazos, esos mismos 18 J se restan otra vez de la energía del giro.

La lectura de $W$ cuenta este trabajo a medida que se realiza. Durante la recogida va un poco por delante del aumento de $K$, como mucho 0,60 J, porque el trabajo también paga el movimiento de las masas de los brazos hacia el eje: la energía cinética $m{\dot{r}}^2$ del par, donde $\dot{r}$ es su rapidez radial. Ambos llegan a 18 J cuando los brazos se detienen.

Desde su propio sistema de referencia en rotación, la misma historia se cuenta con otras fuerzas. Allí sus brazos hacen el mismo trabajo contra la fuerza centrífuga. Las masas de los brazos que se acercan al eje sienten además la fuerza de Coriolis, que actúa de lado y las empuja hacia delante respecto al tronco, en el sentido del giro. Como los hombros las retienen, ellas empujan los hombros hacia delante y aceleran el giro del tronco. El momento angular propio del tronco, $I_0\omega$, crece al ritmo $I_{0}d\omega /dt$, así que ese es el momento interno. A mitad de la recogida, la pendiente de la gráfica de $\omega (t)$ es de unos $5,5rad/{\mathrm{s}}^2$, y el momento vale $I_{0}d\omega /dt\approx 0,72\cdot 5,5\approx 4,0\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$.

Cuando el eje gira: la precesión

Hasta ahora $\vec{L}$ conservaba su dirección. Pero $\vec{L}$ es un vector, y un momento perpendicular a él cambia su dirección en lugar de su módulo. Esto es lo que impide que un giróscopo en rotación se vuelque.

Leyenda

$d$	Distancia del pivote a la recta de acción del peso.	$\mathrm{m}$
$mg$	Peso de la rueda, aplicado en su centro.	$\mathrm{N}$
$\vec{L}$	Momento angular de giro de la rueda, a lo largo del eje.	$\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$
$\vec{\tau }$	Momento del peso respecto al pivote, $\tau =mgd$: horizontal y perpendicular a $\vec{L}$.	$\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
$d\vec{L}$	Cambio de $\vec{L}$ en un tiempo corto $dt$: $d\vec{L}=\vec{\tau }dt$.	$\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$
${\vec{L}}^{\prime }$	Momento angular tras $dt$: $\vec{L}+d\vec{L}$.	$\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$
$d\beta$	Ángulo que gira $\vec{L}$ en $dt$: $d\beta =\tau dt/L$.	$\mathrm{rad}$
$\Omega$	Ritmo al que gira el eje, $\Omega =d\beta /dt=\tau /L$.	$rad/s$

La figura 4 muestra el ejemplo clásico: una rueda que gira deprisa sobre un eje horizontal sujeto solo por un extremo. Su momento angular de giro $\vec{L}$ apunta a lo largo del eje. A la izquierda, vista de lado, el peso $mg$ actúa en el centro de la rueda, a una distancia $d$ del pivote. Su momento respecto al pivote tiene módulo $\tau =mgd$ y es horizontal, perpendicular al eje. A la derecha, vista desde arriba, $\vec{\tau }$ es perpendicular a $\vec{L}$.

Aplica ahora $d\vec{L}/dt=\vec{\tau }$. En un tiempo corto $dt$, el momento angular gana $d\vec{L}=\vec{\tau }dt$, paralelo al momento y, por tanto, de lado respecto a $\vec{L}$. El nuevo vector ${\vec{L}}^{\prime }=\vec{L}+d\vec{L}$ tiene la misma longitud que $\vec{L}$ hasta primer orden en $dt$, pero ha girado el pequeño ángulo $d\beta =dL/L=\tau dt/L$. (La figura usa un $dt$ grande para que se vea el ángulo.) El eje sigue a $\vec{L}$, así que, en lugar de caer, gira en horizontal al ritmo
$\Omega =\frac{d\beta }{dt}=\frac{\tau }{L}$
En forma vectorial, $\vec{\tau }=\vec{\Omega }\times \vec{L}$, con $\vec{\Omega }$ hacia arriba para el giro antihorario de la figura 4.

Lo mismo vale para una peonza o un giróscopo con momento angular de giro $I\omega$ y su centro de masas a una distancia $d$ del pivote a lo largo de su eje. Si el eje está inclinado respecto a la vertical, el brazo de palanca del peso y la parte horizontal de $\vec{L}$ llevan los dos el seno de la inclinación, y ese factor se simplifica. Así que, sea cual sea la inclinación,
$\Omega =\frac{mgd}{I\omega }\text{(precesioˊn giroscoˊpica)}$

Una rueda de bicicleta con $I=0,25\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ y una masa de 2,5 kg se pone a girar a 40 rad/s y se apoya por un extremo de su eje, a 0,20 m del centro de la rueda. Tiene $L=0,25\cdot 40=10\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$, y su peso ejerce el momento $\tau =2,5\cdot 9,81\cdot 0,20\approx 4,9\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$. No cae: gira a $\Omega =4,9/10\approx 0,49rad/s$, una vuelta cada 13 s. La Tierra es una peonza lenta: el Sol y la Luna tiran de su abultamiento ecuatorial, y su eje precesa una vez cada 26 000 años, aproximadamente.

Una consecuencia más de que $\vec{L}$ sea un vector: es paralelo a $\vec{\omega }$ solo en una rotación alrededor de un eje principal del cuerpo, como un eje de simetría. Una rueda montada ligeramente torcida sobre su eje tiene $\vec{L}$ desviado respecto a él. Al girar la rueda, $\vec{L}$ da vueltas alrededor del eje y, por tanto, cambia sin cesar, y por $d\vec{L}/dt=\vec{\tau }$ los cojinetes tienen que aportar ese momento continuamente. Por eso se equilibran las ruedas de los coches.

Problema resuelto: un giro que se va apagando

El hielo de verdad tiene rozamiento. Supón que la cuchilla ejerce un momento de rozamiento constante $\tau =0,30\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ contra el giro, a partir del $L_0=7,20\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$ de la animación. ¿Cuánto dura el giro y cuántas vueltas da la patinadora con los brazos recogidos ($I=0,96\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$) y con los brazos extendidos ($I=2,88\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$)?

Cuánto dura: ahora $dL/dt=-\tau$, así que $L$ disminuye a ritmo constante, $L(t)=7,20-0,30t$, y se anula al cabo de $T=L_0/\tau =24\mathrm{s}$. Su postura no interviene: en los dos casos la gráfica plana de $L(t)$ se convertiría en la misma recta descendente.

Cuántas vueltas: el ángulo sí depende de su postura, porque $\omega =L(t)/I$. El ángulo girado es la integral de $\omega$ durante los 24 s:
$\theta ={\int }_0^T\frac{L_0-\tau t}{I}dt=\frac{L_0^2}{2\tau I}$
Es el área de un triángulo bajo la recta descendente, de altura $L_0/I$ y base $L_0/\tau$. Con los brazos recogidos, $\theta =51,84/(2\cdot 0,30\cdot 0,96)=90\mathrm{rad}$, unas 14,3 vueltas. Con los brazos extendidos, solo 30 rad, unas 4,8 vueltas.

La energía lo confirma. El momento de rozamiento realiza el trabajo $\tau \theta$ contra el giro, y $0,30\cdot 90=27\mathrm{J}$ y $0,30\cdot 30=9\mathrm{J}$ son exactamente sus dos energías cinéticas iniciales. Recoger los brazos no hace que el giro dure más; lo que hace es meter el triple de vueltas en los mismos 24 s.

Límites de validez

El modelo de la patinadora es una idealización: los brazos reales son masas extendidas, no dos puntos, y el rozamiento y la resistencia del aire nunca desaparecen del todo. La ley de conservación en sí es más robusta que cualquier modelo. La demostración anterior usó la forma fuerte de la tercera ley de Newton, con fuerzas internas dirigidas a lo largo de las rectas que unen las partículas. La gravedad y las fuerzas de contacto la cumplen; las fuerzas magnéticas entre cargas en movimiento no tienen por qué cumplirla. Aun así no se pierde nada, porque el campo electromagnético lleva momento angular propio, y la ley se cumple en cuanto se cuenta la parte del campo. La luz polarizada circularmente, por ejemplo, cede momento angular a lo que la absorbe.

La fórmula de la precesión supone $\Omega \ll \omega$, de modo que el giro propio lleva casi todo el momento angular; para la rueda de bicicleta el cociente es de alrededor del 1 %. Haz girar la rueda a solo 10 rad/s y $\Omega$ llega a 2,0 rad/s, una quinta parte de $\omega$. Entonces el eje sube y baja de forma visible mientras da la vuelta, un movimiento llamado nutación, en lugar de deslizarse con suavidad.

A escala atómica el momento angular está cuantizado: su componente a lo largo de cualquier eje solo toma valores separados por la constante de Planck reducida, $\hslash =1,055\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$. Los $7,20\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$ de la patinadora son unos $7\times 10^{34}$ pasos de ese tamaño, así que la granularidad es imperceptible. Para un electrón en un átomo, en cambio, lo decide todo. El electrón tiene además un momento angular intrínseco, su espín, con componentes $\pm \hslash /2$, que no es la rotación de ninguna bolita. La relatividad especial mantiene $\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$, con la cantidad de movimiento relativista, y también su conservación.

Lo que viene después

¿Por qué se conserva el momento angular? Porque el espacio no tiene ninguna dirección privilegiada. Según el teorema de Noether, cada simetría continua de las leyes de la física trae consigo una magnitud conservada: que el espacio sea igual en todos los lugares da la cantidad de movimiento, que el tiempo sea igual en todos los instantes da la energía, y que todas las direcciones sean equivalentes da el momento angular.

La ley llega muy lejos. En Gravitación y órbitas explica la ley de las áreas, y el término $L^2/(2m{r}^2)$ de la energía radial actúa como una barrera centrífuga que impide que los planetas caigan sobre el Sol. En Modelos atómicos: el átomo de Bohr, la regla $L=n\hslash$ fija los niveles de energía del hidrógeno. El espín, contado en unidades de $\hslash$, separa las partículas de materia de Partículas y fuerzas: el modelo estándar, con espín 1/2, de los portadores de fuerza, con espín 1. Y los espines alineados de los electrones hacen magnético al hierro, como describe Campos magnéticos de imanes y corrientes.