Момент импульса и закон его сохранения

Начальный

Сядьте на вращающийся офисный стул, разведите руки и ноги и попросите кого-нибудь слегка вас раскрутить. Теперь резко прижмите их к себе — и вы закружитесь гораздо быстрее. Никто вас не толкал: вы лишь изменили форму. Разберёмся по шагам, почему так.

Шаг 1. Вращающееся тело несёт определённый «запас вращения», который физики называют моментом импульса. Он зависит от того, как быстро тело вращается и как далеко его масса от оси: масса вдали от оси даёт много, масса у самой оси — мало.

Шаг 2. Как и обычный импульс, этот запас вращения не может измениться сам по себе; изменить его может только закручивание извне, например трение. Поэтому, когда масса приближается к оси, тело должно вращаться быстрее, чтобы запас вращения остался прежним, а когда масса удаляется — замедляется.

Шаг 3. В анимации фигуристка показана сверху и сбоку. С разведёнными руками она вращается медленно; прижимая руки, она кружится втрое быстрее, как показывает полоска скорости вращения, а снова разводя их — замедляется. Лёд настолько скользкий, что почти её не тормозит.

Шаг 4. То же правило работает далеко за пределами катка. Прыгуны в воду сжимаются в комок, чтобы быстро крутить сальто, и вытягиваются перед входом в воду. Планета движется быстрее всего, проходя ближе всего к Солнцу, потому что притяжение Солнца не может изменить её запас вращения вокруг него.

Проверьте себя: пиццайоло раскручивает комок теста, и он расплывается в широкий тонкий диск. Что происходит с быстротой его вращения? (Она уменьшается: масса удалилась от оси.)

Средний

Что измеряет момент импульса

Момент импульса $L$ — это «запас вращения» вращающегося тела; как и обычный импульс, изменить его может только воздействие извне. Он зависит от того, как быстро тело вращается и как его масса распределена вокруг оси. Быстроту вращения задаёт угловая скорость $\omega$ в рад/с: один оборот — это $2\pi$ рад, поэтому один оборот в секунду соответствует примерно 6,28 рад/с. Вращение против часовой стрелки, если смотреть сверху, как у фигуристки, считается положительным.

Распределение массы характеризует момент инерции $I=\sum m{r}^2$ в кг·м²: каждая масса, умноженная на квадрат её расстояния $r$ до оси, так что масса, вдвое более удалённая от оси, вносит вчетверо больший вклад. Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси,
$L=I\omega$
в кг·м²/с. Для маленькой массы на окружности $I=m{r}^2$ и $\omega =v/r$, поэтому $L=mvr$: её импульс, умноженный на расстояние до оси. Учитывается только движение вокруг оси; у массы, летящей прямо на ось, момента импульса нет.

Момент силы изменяет момент импульса

Сила изменяет импульс, а момент силы — момент импульса. Момент силы равен силе, умноженной на её плечо — кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы, — и измеряется в Н·м. Учитываются только моменты сил, внешних по отношению к системе:
${\tau }_{\mathrm{внеш}}=\frac{dL}{dt}$
Здесь $dL/dt$ — быстрота изменения $L$, то есть изменение $\Delta L$, делённое на малый промежуток времени $\Delta t$: постоянный момент 2 Н·м добавляет 2 кг·м²/с каждую секунду.

Силы между частями системы образуют пары — равные, противоположные и направленные вдоль одной прямой, — поэтому их моменты взаимно уничтожаются: они могут передавать момент импульса от одной части к другой, но не создают его. Если внешнего момента нет, полный момент импульса постоянен, как бы система ни меняла свою форму:
${\tau }_{\mathrm{внеш}}=0\to I_1{\omega }_1=I_2{\omega }_2$
В отличие от массы, момент инерции меняется, как только тело меняет форму, и тогда $\omega$ меняется обратно пропорционально.

Рабочие уравнения

Задачи о вращающихся телах решают с помощью короткого набора формул:

• $L=I\omega$
• $I=\sum m{r}^2$
• $L=mvr\text{(материальная точка на окружности)}$
• $I_1{\omega }_1=I_2{\omega }_2$
• $K=\frac{1}{2}I{\omega }^2=\frac{L^2}{2I}$

Выпишите все массы и их расстояния до оси до и после и найдите $I_1$ и $I_2$. Убедитесь, что никакие внешние силы не создают момента относительно оси, и запишите $I_1{\omega }_1=I_2{\omega }_2$. Энергии считайте в последнюю очередь, по формуле $K=L^2/(2I)$: при постоянном $L$ кинетическая энергия обратно пропорциональна $I$.

Пример: фигуристка из анимации

В анимации фигуристка моделируется телом с моментом инерции $I_0=0,72\mathrm{кг}\cdot {\mathrm{м}}^2$ и двумя руками, каждая из которых — масса 3 кг на расстоянии $r$ от оси, так что $I=I_0+2m{r}^2$. Сначала руки разведены, $r=0,60\mathrm{м}$, и она вращается с угловой скоростью 2,5 рад/с; затем она прижимает их, и расстояние сокращается до $r=0,20\mathrm{м}$. Лёд не создаёт момента относительно вертикальной оси.
$I_1=0,72+2\cdot 3\cdot 0,60^2=2,88\mathrm{кг}\cdot {\mathrm{м}}^2$
$L=I_1{\omega }_1=2,88\cdot 2,5=7,20\mathrm{кг}\cdot {\mathrm{м}}^2/\mathrm{с}$
$I_2=0,72+2\cdot 3\cdot 0,20^2=0,96\mathrm{кг}\cdot {\mathrm{м}}^2$
${\omega }_2=L/I_2=7,20/0,96=7,5\mathrm{рад}/\mathrm{с}$

Её момент инерции падает втрое, поэтому она вращается втрое быстрее: с 0,40 до 1,19 оборота в секунду. К концу прижатия рук золотое табло $I$, синее $\omega$ и фиолетовое $L$ показывают именно эти значения, а строка $2,88\times 2,5=0,96\times 7,5$ под законом сохранения проверяет произведение. Её кинетическая энергия растёт с $\frac{1}{2}\cdot 2,88\cdot 2,5^2=9\mathrm{Дж}$ до $\frac{1}{2}\cdot 0,96\cdot 7,5^2=27\mathrm{Дж}$; разницу в 18 Дж даёт работа мышц.

Зелёные стрелки — скорости масс рук, $v=\omega r$. При разведённых руках $v=2,5\cdot 0,60=1,5\mathrm{м}/\mathrm{с}$; при прижатых снова $v=7,5\cdot 0,20=1,5\mathrm{м}/\mathrm{с}$, потому что $\omega$ утраивается, а $r$ уменьшается втрое. Кисти рук движутся не быстрее: быстрее вращается всё тело.

Пример: ребёнок вскакивает на карусель

Карусель — однородный диск массой 100 кг и радиусом 1,5 м на свободно вращающейся оси — неподвижна. Ребёнок массой 30 кг бежит со скоростью 4 м/с по прямой, касающейся её края, вскакивает на край и крепко держится. С какой угловой скоростью начнёт вращаться карусель?

Двигаясь по прямой, ребёнок уже обладает моментом импульса относительно оси: $L=mvr=30\cdot 4\cdot 1,5=180\mathrm{кг}\cdot {\mathrm{м}}^2/\mathrm{с}$. Момент инерции диска $I_d=\frac{1}{2}M{R}^2=\frac{1}{2}\cdot 100\cdot 1,5^2=112,5\mathrm{кг}\cdot {\mathrm{м}}^2$, а ребёнок на краю добавляет $m{R}^2=67,5\mathrm{кг}\cdot {\mathrm{м}}^2$, так что полный момент инерции равен $180\mathrm{кг}\cdot {\mathrm{м}}^2$ и
$\omega =L/I=180/180=1,0\mathrm{рад}/\mathrm{с}$

Кинетическая энергия падает с $\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 4^2=240\mathrm{Дж}$ до $\frac{1}{2}\cdot 180\cdot 1,0^2=90\mathrm{Дж}$: как при слипании сталкивающихся тел, момент импульса при прыжке на карусель сохраняется, а 150 Дж превращаются в теплоту. Если ребёнок затем пойдёт к центру, его вклад в $I$ обратится в нуль (считаем его материальной точкой), поэтому $\omega =180/112,5=1,6\mathrm{рад}/\mathrm{с}$, а $K=\frac{1}{2}\cdot 112,5\cdot 1,6^2=144\mathrm{Дж}$. Лишние 54 Дж — это работа, которую он совершает, подтягиваясь к центру.

Как читать полосы и стрелки

Пока руки приближаются к телу, золотая полоса $I$ сокращается втрое, синяя полоса $\omega$ втрое вырастает, а фиолетовая полоса $L$ не двигается: две меняющиеся величины компенсируют друг друга, так что их произведение остаётся равным $7,20\mathrm{кг}\cdot {\mathrm{м}}^2/\mathrm{с}$. Если отложить $\omega$ и $I$ друг против друга, точки лягут на гиперболу $\omega =L/I$.

В первые 1,5 с цикла, с разведёнными руками, фигуристка поворачивается на 3,75 рад — около 0,6 оборота; за 2,4 с с прижатыми руками — на 18 рад, почти три оборота. Пока руки движутся, зелёные стрелки наклоняются — внутрь при прижатии и наружу при разведении — и вырастают примерно до 1,8 м/с, потому что кисти рук движутся ещё и вдоль радиуса; когда руки останавливаются, стрелки снова направлены по касательной и равны 1,5 м/с.

Частые ошибки

• Кинетическая энергия не сохраняется, когда тело меняет форму. Если бы она сохранялась, уменьшение момента инерции втрое увеличило бы угловую скорость лишь в $\sqrt{3}$ раза, до 4,33 рад/с вместо 7,5 рад/с; на самом деле $K$ утраивается, с 9 до 27 Дж.
• Прижимая руки, фигуристка не создаёт внешнего момента, действующего на неё как на единое целое. Руки и туловище давят друг на друга, но эти внутренние моменты лишь перераспределяют момент импульса: доля рук $2m{r}^2\omega$ падает с 5,40 до 1,80 кг·м²/с, а доля остального тела $I_0\omega$ растёт с 1,80 до 5,40.
• Момент инерции пропорционален квадрату расстояния. Если расстояние от масс рук до оси уменьшить втрое, их доля $2m{r}^2$ упадёт с 2,16 до 0,24 кг·м² — в девять раз; полный момент инерции уменьшится лишь втрое, потому что часть тела остаётся неизменной.
• Для сохранения нужен нулевой внешний момент относительно оси. Сила тяжести и сила реакции льда вертикальны и не создают момента относительно вертикальной оси; слабое трение конька о лёд такой момент создаёт, поэтому настоящее вращение затухает.

Где это встречается

Прыгуны в воду и гимнасты отрываются от опоры с заданным моментом импульса, группируются, чтобы вращаться в несколько раз быстрее, и раскрываются перед приземлением или входом в воду. Вертолёту нужен хвостовой винт: двигатель вращает несущий винт в одну сторону, и без внешнего момента корпус стал бы вращаться в другую. Сжимающиеся звёзды раскручиваются необычайно сильно: ядро размером с Землю, делающее оборот за сутки, при сжатии до шара радиусом 10 км уменьшило бы свой момент инерции $I$ в $(6400/10{)}^2\approx 4\times 10^5$ раз и вращалось бы примерно пять раз в секунду, как типичный пульсар.

Дальше урок «Тяготение и орбиты» превращает этот закон в закон площадей Кеплера: сила тяготения не создаёт момента относительно Солнца, поэтому планета быстрее всего движется там, где она ближе всего к нему. А урок «Модели атома: атом Бора» показывает, что момент импульса изменяется лишь целыми порциями.

Продвинутый

Момент импульса как векторное произведение

Импульс показывает, сколько прямолинейного движения несёт тело. Момент импульса делает то же самое для движения вокруг точки, и он остаётся постоянным, пока ничто внешнее не закручивает систему. Чтобы его определить, сначала выберите точку отсчёта O. Частица массой $m$, находящаяся в точке с радиус-вектором $\vec{r}$ относительно O и движущаяся со скоростью $\vec{v}$, имеет импульс $\vec{p}=m\vec{v}$ и момент импульса относительно O
$\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$

Обозначения

$O$	Выбранная точка, относительно которой берётся $\vec{L}$.
$\vec{r}$	Радиус-вектор частицы, проведённый от $O$ к частице.	$\mathrm{м}$
$\vec{p}$	Импульс частицы $m\vec{v}$, направленный вдоль линии её движения.	$\mathrm{кг}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{с}$
$\phi$	Угол между $\vec{r}$ и $\vec{p}$, отмеченный у частицы.	$\mathrm{рад}$
$b$	Плечо: кратчайшее расстояние от $O$ до линии движения, $b=r\sin \phi$.	$\mathrm{м}$
$\vec{L}$	Момент импульса относительно $O$: модуль $rp\sin \phi =pb$, по правилу правой руки направлен из плоскости рисунка.	$\mathrm{кг}\cdot {\mathrm{м}}^2/\mathrm{с}$

На рисунке 1 вектор $\vec{r}$ идёт от O к частице, а $\vec{p}$ направлен вдоль штриховой линии движения. Угол $\phi$ между ними отмечен у частицы — от продолжения $\vec{r}$ до $\vec{p}$. Модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей на синус угла между ними, поэтому $L=rp\sin \phi$.

Теперь посмотрите на отрезок $b$. Он проведён из O к линии движения и встречает её под прямым углом, так что $b$ — кратчайшее расстояние от O до этой прямой. Он замыкает прямоугольный треугольник, гипотенуза которого — $\vec{r}$. Угол этого треугольника при частице заключён между направлением обратно к O и направлением назад вдоль прямой; это направления, противоположные $\vec{r}$ и $\vec{p}$, поэтому этот угол снова равен $\phi$. Противолежащий ему катет равен $b=r\sin \phi$, а значит,
$L=rp\sin \phi =pb$
Расстояние $b$ — плечо импульса. Словами: момент импульса равен импульсу, умноженному на его плечо.

Вектор $\vec{L}$ перпендикулярен и $\vec{r}$, и $\vec{p}$, а в какую сторону он смотрит, определяет правило правой руки: согните пальцы правой руки в ту сторону, куда частица обходит O, и большой палец укажет вдоль $\vec{L}$. На рисунке 1 частица обходит O против часовой стрелки, поэтому $\vec{L}$ направлен из плоскости рисунка, к вам; это показывает точка в кружке у O. Точно так же у фигуристки, вращающейся против часовой стрелки, если смотреть сверху, вектор $\vec{L}$ направлен вверх.

Отсюда сразу следуют три вывода. Во-первых, учитывается только движение вокруг O: у частицы, летящей прямо к O или прямо от неё, $\phi =0$ или $\phi =\pi$, поэтому $L=0$. Во-вторых, $\vec{L}$ зависит от выбора O. Шайба, свободно скользящая со скоростью $v$, имеет $L=mvb$ относительно любой точки, удалённой на $b$ от её прямой, — одно и то же значение в любой момент времени, — и $L=0$ относительно любой точки на самой прямой. В-третьих, $\vec{L}$ показывает, как быстро заметается площадь. За малое время $dt$ отрезок от O до частицы заметает узкий треугольник площадью $\frac{1}{2}|\vec{r}\times \vec{v}|dt$, поэтому площадь, заметаемая за секунду, равна $|\vec{r}\times \vec{v}|/2=L/(2m)$.

Момент силы, внутренние силы и сохранение

Что меняет $\vec{L}$? Для одной частицы продифференцируйте $\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$ по правилу дифференцирования произведения, используя $d\vec{r}/dt=\vec{v}$ и второй закон Ньютона, $d\vec{p}/dt=\vec{F}$:
$\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{v}\times m\vec{v}+\vec{r}\times \vec{F}=\vec{\tau }$
Первое слагаемое равно нулю, потому что векторное произведение двух параллельных векторов обращается в нуль, а $\vec{v}$ параллелен $m\vec{v}$. Второе слагаемое — момент силы $\vec{\tau }=\vec{r}\times \vec{F}$ относительно O. Из той же геометрии, что на рисунке 1, его модуль равен силе, умноженной на её собственное плечо — расстояние от O до прямой, вдоль которой действует сила. Для системы частиц сложите это уравнение по всем частицам. На каждую частицу действуют внешние силы и силы со стороны других частиц, и весь вопрос в том, что внутренние силы дают в сумме.

Обозначения

$O$	Точка, относительно которой берутся моменты сил.
${\vec{r}}_1$	Радиус-вектор частицы 1, проведённый из $O$.	$\mathrm{м}$
${\vec{r}}_2$	Радиус-вектор частицы 2, проведённый из $O$.	$\mathrm{м}$
$\vec{F}$	Сила, действующая на частицу 1 со стороны частицы 2 вдоль соединяющей их прямой. На частицу 2 действует $-\vec{F}$.	$\mathrm{Н}$
$b$	Плечо обеих сил: расстояние от $O$ до прямой, соединяющей частицы.	$\mathrm{м}$
${\vec{\tau }}_1$	Момент силы $\vec{F}$, действующей на частицу 1, относительно $O$: модуль $Fb$, направлен в плоскость рисунка.	$\mathrm{Н}\cdot \mathrm{м}$
${\vec{\tau }}_2$	Момент силы $-\vec{F}$, действующей на частицу 2, относительно $O$: модуль $Fb$, направлен из плоскости рисунка.	$\mathrm{Н}\cdot \mathrm{м}$

На рисунке 2 показана одна пара внутренних сил. На частицу 1 действует сила $\vec{F}$ со стороны частицы 2, а на частицу 2 — сила $-\vec{F}$ со стороны частицы 1: по третьему закону Ньютона они равны по модулю и противоположны по направлению. Обе силы действуют вдоль штриховой прямой, соединяющей частицы. Это сильная форма третьего закона, и ей подчиняются тяготение и контактные силы.

Посмотрите на плечи. Обе силы лежат на одной прямой, а эта прямая отстоит от O на одно и то же расстояние $b$, поэтому у обеих сил плечо равно $b$, каковы бы ни были положения ${\vec{r}}_1$ и ${\vec{r}}_2$. Значит, их моменты равны по модулю: $Fb$. Направления у них противоположные: $\vec{F}$ поворачивает частицу 1 вокруг O по часовой стрелке, поэтому ${\vec{\tau }}_1$ направлен в плоскость рисунка, а $-\vec{F}$ поворачивает частицу 2 против часовой стрелки, поэтому ${\vec{\tau }}_2$ направлен из неё. Два момента взаимно уничтожаются.

Рассуждение верно относительно любой точки и для каждой пары, поэтому все внутренние моменты выпадают из суммы. Остаётся
$\frac{d\vec{L}}{dt}={\vec{\tau }}_{\mathrm{внеш}}$
где $\vec{L}$ — теперь полный момент импульса, а ${\vec{\tau }}_{\mathrm{внеш}}$ — суммарный момент внешних сил. Это вращательный аналог $d\vec{p}/dt={\vec{F}}_{\mathrm{внеш}}$. Закон справедлив для любого набора частиц, твёрдого или нет, а также относительно центра масс, даже если эта точка движется с ускорением. Без внешнего момента $\vec{L}$ остаётся постоянным, как бы система ни меняла форму. Это видно на примере прыгуньи в воду: сила тяжести приложена к её центру масс, поэтому у неё нет ни плеча, ни момента относительно этой точки, и прыгунья сохраняет момент импульса до самой воды.

Центральная сила: закон площадей

Первое применение — орбиты. Центральная сила всегда направлена вдоль прямой, ведущей к неподвижной точке. Эта прямая проходит через саму точку, поэтому у силы нет плеча относительно неё, а значит, нет и момента.

Обозначения

$S$	Солнце — неподвижная точка, к которой всегда направлена сила.
$r$	Расстояние от $S$ до планеты; этот отрезок заметает каждый сектор.	$\mathrm{м}$
$\vec{F}$	Сила, действующая на планету; всегда направлена вдоль прямой к $S$.	$\mathrm{Н}$
$\vec{v}$	Скорость планеты, направленная по касательной к орбите.	$\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$A_1$	Площадь, которую отрезок от $S$ до планеты заметает за время $\Delta t$ вблизи $S$.	${\mathrm{м}}^2$
$A_2$	Площадь, заметаемая за то же время $\Delta t$ вдали от $S$; равна $A_1$.	${\mathrm{м}}^2$

На рисунке 3 сила $\vec{F}$, действующая на планету, направлена вдоль отрезка $r$ к Солнцу $S$, поэтому $\vec{r}\times \vec{F}=0$ и момент импульса планеты относительно $S$ никогда не меняется. Из этого следуют два вывода. Его направление неизменно, а поскольку $\vec{L}$ перпендикулярен и $\vec{r}$, и $\vec{v}$, орбита остаётся в одной плоскости. Его модуль неизменен, поэтому отрезок от $S$ до планеты заметает площадь с постоянной скоростью $L/(2m)$, найденной в первом разделе.

Теперь сравните два закрашенных сектора, каждый из которых заметается за одно и то же время $\Delta t$. Вблизи $S$ планета движется быстро, но отрезок $r$ короткий, поэтому $A_1$ — короткий широкий веер. Вдали от $S$ планета движется медленно, но $r$ длинный, поэтому $A_2$ — длинный узкий клин. Площадь, заметаемая за секунду, $\frac{1}{2}vb$, одинакова в обоих местах, поэтому $A_1=A_2$, как бы ни различались формы. Это второй закон Кеплера — за равные времена заметаются равные площади; Кеплер опубликовал его в 1609 году, почти за восемьдесят лет до того, как Ньютон объяснил, почему он выполняется. В рассуждении нигде не используется закон обратных квадратов, поэтому закон площадей верен для любой центральной силы.

Вращающиеся тела: что показывают графики

Чаще всего в обыденной жизни вращение — это поворот тела вокруг неподвижной оси, и здесь момент импульса принимает простой вид. Малая масса $m$ на расстоянии $r$ от оси движется по окружности со скоростью $\omega r$, где $\omega$ — угловая скорость в рад/с. Её импульс $m\omega r$ перпендикулярен радиусу, поэтому его плечо относительно оси равно $r$, а момент импульса вдоль оси равен $m{r}^2\omega$. Складывая все массы, получаем
$L=\sum m{r}^2\omega =I\omega$
где $I=\sum m{r}^2$ — момент инерции. В отличие от массы, $I$ меняется, когда тело меняет форму. В анимации фигуристка — это туловище с $I_0=0,72\mathrm{кг}\cdot {\mathrm{м}}^2$ и две массы рук по $m=3\mathrm{кг}$ на расстоянии $r$ от оси, так что $I=I_0+2m{r}^2$. Лёд не создаёт момента относительно вертикальной оси, поэтому $L$ неизменен и $\omega =L/I$.

Экспертные графики показывают именно это. $L(t)$ — горизонтальная прямая на уровне $7,20\mathrm{кг}\cdot {\mathrm{м}}^2/\mathrm{с}$: её наклон — это внешний момент, а он равен нулю. $I(t)$ уменьшается с 2,88 до 0,96 кг·м², когда $r$ меняется от 0,60 до 0,20 м, а $\omega (t)=L/I(t)$ растёт от 2,5 до 7,5 рад/с. Растёт она неравномерно. Сначала медленно, а быстрее всего — примерно на двух третях прижатия рук, потому что одно и то же уменьшение $I$ сильнее увеличивает $L/I$, когда $I$ уже мало; в самом конце руки замедляются до остановки. На полпути, при $r=0,40\mathrm{м}$, $I=0,72+2\cdot 3\cdot 0,40^2=1,68\mathrm{кг}\cdot {\mathrm{м}}^2$ и $\omega =7,20/1,68=4,29\mathrm{рад}/\mathrm{с}$ — чуть больше трети пути от 2,5 до 7,5 рад/с.

График $K(t)$ в точности повторяет форму $\omega (t)$. Причина в том, что $K=\frac{1}{2}I{\omega }^2=\frac{1}{2}L\omega$: при неизменном $L$ величина $K$ — это просто $\omega$, умноженная на $L/2=3,6\mathrm{Дж}\cdot \mathrm{с}$. Это даёт 9 Дж при 2,5 рад/с и 27 Дж при 7,5 рад/с. Момент импульса остаётся прежним, а кинетическая энергия утраивается.

Кто платит за дополнительную энергию

Кинетическая энергия выросла на $27-9=18\mathrm{Дж}$, хотя никакой внешний момент не действовал. Энергия должна поступать от самой фигуристки, и стоит точно проследить, как именно.

С точки зрения катка каждая масса руки движется по окружности, поэтому ей нужна центростремительная сила $m{\omega }^{2}r$, направленная к оси, и её создают руки. Пока массы движутся внутрь, каждая такая сила направлена вдоль их движения и потому совершает положительную работу. Чтобы подсчитать эту работу, оставьте $L$ неизменным и запишите $K=L^2/(2I)$. Поскольку $I=I_0+2m{r}^2$, малое изменение радиуса $dr$ меняет $I$ на $dI=4mrdr$. Тогда, учитывая $L/I=\omega$,
$dK=-\frac{L^2}{2I^2}dI=-2m{\omega }^{2}rdr$
Когда руки прижимаются, $dr$ отрицательно, а $dK$ положительно. Правая часть — в точности работа двух сил: $2m{\omega }^{2}r$, умноженное на шаг внутрь $|dr|$. Складывая шаги от $I_1$ до $I_2$, находим
$W=\Delta K=\frac{L^2}{2}\left(\frac{1}{I_2}-\frac{1}{I_1}\right)$
Для фигуристки это даёт $25,92\cdot (1/0,96-1/2,88)=18\mathrm{Дж}$. Когда руки снова разводятся, те же 18 Дж отбираются у вращения.

Табло $W$ отсчитывает эту работу по мере её совершения. Во время прижатия оно слегка опережает рост $K$ — не более чем на 0,60 Дж, — потому что работа оплачивает ещё и движение масс рук к оси: кинетическую энергию $m{\dot{r}}^2$ для пары, где $\dot{r}$ — их радиальная скорость. К остановке рук оба значения достигают 18 Дж.

Во вращающейся системе отсчёта самой фигуристки та же история рассказывается с помощью других сил. Там руки совершают ту же работу против центробежной силы. На массы рук, движущиеся внутрь, действует ещё и сила Кориолиса: она направлена вбок и выталкивает их вперёд относительно туловища, в сторону вращения. Удерживаемые у плеч, они давят на плечи вперёд и раскручивают туловище. Собственный момент импульса туловища $I_0\omega$ растёт со скоростью $I_{0}d\omega /dt$, значит, это и есть внутренний момент. В середине прижатия наклон графика $\omega (t)$ равен примерно $5,5\mathrm{рад}/{\mathrm{с}}^2$, а момент — $I_{0}d\omega /dt\approx 0,72\cdot 5,5\approx 4,0\mathrm{Н}\cdot \mathrm{м}$.

Когда ось поворачивается: прецессия

До сих пор $\vec{L}$ сохранял направление. Но $\vec{L}$ — вектор, и момент силы, перпендикулярный ему, меняет не его модуль, а направление. Именно это не даёт вращающемуся гироскопу опрокинуться.

Обозначения

$d$	Расстояние от точки опоры до линии действия силы тяжести.	$\mathrm{м}$
$mg$	Сила тяжести, действующая на колесо, приложена к его центру.	$\mathrm{Н}$
$\vec{L}$	Собственный момент импульса колеса, направленный вдоль оси.	$\mathrm{кг}\cdot {\mathrm{м}}^2/\mathrm{с}$
$\vec{\tau }$	Момент силы тяжести относительно точки опоры, $\tau =mgd$: горизонтален и перпендикулярен $\vec{L}$.	$\mathrm{Н}\cdot \mathrm{м}$
$d\vec{L}$	Изменение $\vec{L}$ за малое время $dt$: $d\vec{L}=\vec{\tau }dt$.	$\mathrm{кг}\cdot {\mathrm{м}}^2/\mathrm{с}$
${\vec{L}}^{\prime }$	Момент импульса через время $dt$: $\vec{L}+d\vec{L}$.	$\mathrm{кг}\cdot {\mathrm{м}}^2/\mathrm{с}$
$d\beta$	Угол, на который поворачивается $\vec{L}$ за $dt$: $d\beta =\tau dt/L$.	$\mathrm{рад}$
$\Omega$	Угловая скорость, с которой поворачивается ось, $\Omega =d\beta /dt=\tau /L$.	$\mathrm{рад}/\mathrm{с}$

На рисунке 4 показан классический пример: колесо, быстро вращающееся на горизонтальной оси, которую держат только за один конец. Его собственный момент импульса $\vec{L}$ направлен вдоль оси. Слева, на виде сбоку, сила тяжести $mg$ приложена к центру колеса, на расстоянии $d$ от точки опоры. Её момент относительно точки опоры по модулю равен $\tau =mgd$ и направлен горизонтально, перпендикулярно оси. Справа, на виде сверху, $\vec{\tau }$ перпендикулярен $\vec{L}$.

Теперь примените $d\vec{L}/dt=\vec{\tau }$. За малое время $dt$ момент импульса получает приращение $d\vec{L}=\vec{\tau }dt$, параллельное моменту силы и потому направленное вбок от $\vec{L}$. Новый вектор ${\vec{L}}^{\prime }=\vec{L}+d\vec{L}$ с точностью до первого порядка по $dt$ имеет ту же длину, что и $\vec{L}$, но повёрнут на малый угол $d\beta =dL/L=\tau dt/L$. (На рисунке $dt$ взято большим, чтобы угол был заметен.) Ось следует за $\vec{L}$, поэтому вместо того чтобы упасть, она поворачивается в горизонтальной плоскости с угловой скоростью
$\Omega =\frac{d\beta }{dt}=\frac{\tau }{L}$
В векторной форме $\vec{\tau }=\vec{\Omega }\times \vec{L}$, где $\vec{\Omega }$ направлен вверх для поворота против часовой стрелки на рисунке 4.

То же верно для волчка или гироскопа с собственным моментом импульса $I\omega$, центр масс которого находится на расстоянии $d$ от точки опоры вдоль его оси. Если ось наклонена от вертикали, то и плечо силы тяжести, и горизонтальная составляющая $\vec{L}$ содержат синус угла наклона, и этот множитель сокращается. Поэтому при любом наклоне
$\Omega =\frac{mgd}{I\omega }\text{(прецессия гироскопа)}$

Велосипедное колесо с $I=0,25\mathrm{кг}\cdot {\mathrm{м}}^2$ и массой 2,5 кг раскрутили до 40 рад/с и установили одним концом оси на опору в 0,20 м от центра колеса. Его $L=0,25\cdot 40=10\mathrm{кг}\cdot {\mathrm{м}}^2/\mathrm{с}$, а сила тяжести создаёт момент $\tau =2,5\cdot 9,81\cdot 0,20\approx 4,9\mathrm{Н}\cdot \mathrm{м}$. Колесо не падает: оно поворачивается с $\Omega =4,9/10\approx 0,49\mathrm{рад}/\mathrm{с}$, делая один оборот за 13 с. Земля — медленный волчок: Солнце и Луна притягивают её экваториальное вздутие, и её ось совершает один оборот прецессии примерно за 26 000 лет.

Ещё одно следствие того, что $\vec{L}$ — вектор: он параллелен $\vec{\omega }$ только при вращении вокруг главной оси тела, например оси симметрии. У колеса, закреплённого на оси с небольшим перекосом, вектор $\vec{L}$ отклонён от оси. При вращении колеса $\vec{L}$ обходит ось по кругу и поэтому всё время меняется, и по закону $d\vec{L}/dt=\vec{\tau }$ подшипники должны постоянно создавать этот момент. Вот почему колёса автомобилей балансируют.

Задача: вращение, которое затухает

Настоящий лёд не идеально скользкий. Пусть конёк создаёт постоянный момент трения $\tau =0,30\mathrm{Н}\cdot \mathrm{м}$, направленный против вращения, а начальный момент импульса равен $L_0=7,20\mathrm{кг}\cdot {\mathrm{м}}^2/\mathrm{с}$, как в анимации. Сколько длится вращение и сколько оборотов фигуристка сделает с прижатыми руками ($I=0,96\mathrm{кг}\cdot {\mathrm{м}}^2$) и с разведёнными ($I=2,88\mathrm{кг}\cdot {\mathrm{м}}^2$)?

Сколько длится: теперь $dL/dt=-\tau$, поэтому $L$ убывает с постоянной скоростью, $L(t)=7,20-0,30t$, и обращается в нуль через $T=L_0/\tau =24\mathrm{с}$. Поза фигуристки сюда не входит: в обоих случаях горизонтальный график $L(t)$ превратился бы в одну и ту же убывающую прямую.

Сколько оборотов: угол поворота от позы зависит, потому что $\omega =L(t)/I$. Угол равен интегралу от $\omega$ за 24 с:
$\theta ={\int }_0^T\frac{L_0-\tau t}{I}dt=\frac{L_0^2}{2\tau I}$
Это площадь треугольника под убывающей прямой с высотой $L_0/I$ и основанием $L_0/\tau$. С прижатыми руками $\theta =51,84/(2\cdot 0,30\cdot 0,96)=90\mathrm{рад}$, около 14,3 оборота. С разведёнными — лишь 30 рад, около 4,8 оборота.

Энергия подтверждает результат. Момент трения совершает работу $\tau \theta$ против вращения, и $0,30\cdot 90=27\mathrm{Дж}$ и $0,30\cdot 30=9\mathrm{Дж}$ — в точности две её начальные кинетические энергии. Прижатые руки не продлевают вращение, а умещают втрое больше оборотов в те же 24 с.

Границы применимости

Модель фигуристки идеализирована: настоящие руки — распределённые массы, а не две точки, а трение и сопротивление воздуха никогда не исчезают полностью. Сам закон сохранения надёжнее любой модели. В доказательстве выше использована сильная форма третьего закона Ньютона, при которой внутренние силы направлены вдоль прямых, соединяющих частицы. Ей подчиняются тяготение и контактные силы; магнитные силы между движущимися зарядами могут ей не подчиняться. Однако ничего не теряется, потому что электромагнитное поле несёт собственный момент импульса, и закон выполняется, если учесть долю поля. Например, свет с круговой поляризацией передаёт момент импульса тому, что его поглощает.

Формула прецессии предполагает $\Omega \ll \omega$, чтобы почти весь момент импульса приходился на собственное вращение; для велосипедного колеса отношение составляет около 1 %. Раскрутите колесо лишь до 10 рад/с, и $\Omega$ достигнет 2,0 рад/с, пятой части $\omega$. Тогда ось на ходу заметно опускается и поднимается — это движение называют нутацией, — вместо того чтобы плавно скользить по кругу.

В атомных масштабах момент импульса квантован: его проекция на любую ось принимает лишь значения, отстоящие друг от друга на приведённую постоянную Планка $\hslash =1,055\times 10^{-34}\mathrm{Дж}\cdot \mathrm{с}$. Момент импульса фигуристки $7,20\mathrm{кг}\cdot {\mathrm{м}}^2/\mathrm{с}$ — это примерно $7\times 10^{34}$ таких ступеней, поэтому зернистость незаметна. Для электрона в атоме она решает всё. Кроме того, электрон обладает собственным моментом импульса — спином — с проекциями $\pm \hslash /2$, который не является вращением какого-либо маленького шарика. Специальная теория относительности сохраняет выражение $\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$ с релятивистским импульсом, а также закон его сохранения.

Что дальше

Почему момент импульса вообще сохраняется? Потому что у пространства нет выделенного направления. По теореме Нётер каждая непрерывная симметрия законов физики порождает сохраняющуюся величину: одинаковость пространства от точки к точке даёт импульс, одинаковость времени — энергию, а равноправие всех направлений — момент импульса.

Этот закон работает далеко за пределами катка. В уроке «Тяготение и орбиты» он объясняет закон площадей, а слагаемое $L^2/(2m{r}^2)$ в радиальной энергии служит центробежным барьером, не позволяющим планетам упасть на Солнце. В уроке «Модели атома: атом Бора» правило $L=n\hslash$ задаёт уровни энергии водорода. Спин, измеряемый в единицах $\hslash$, отделяет частицы вещества из урока «Частицы и взаимодействия: Стандартная модель», со спином 1/2, от переносчиков взаимодействий, со спином 1. А согласованные спины электронов делают железо магнитным, как описано в уроке «Магнитное поле магнитов и токов».