Momento angular e sua conservação

Iniciante

Sente-se em uma cadeira de escritório que gire livremente, mantenha braços e pernas estendidos e peça a um amigo que lhe dê um leve impulso de giro. Agora puxe-os junto ao corpo: de repente você gira muito mais rápido. Ninguém empurrou você; você apenas mudou sua forma. Veja por quê, passo a passo.

Passo 1. Um objeto em rotação carrega uma certa quantidade de giro, que os físicos chamam de momento angular. Ela depende de quão rápido o objeto gira e de quão longe sua massa está do eixo: massa afastada conta muito, massa próxima conta pouco.

Passo 2. Como a quantidade de movimento comum, essa quantidade de giro não muda sozinha; só um torque vindo de fora, como o atrito, pode alterá-la. Assim, quando a massa se aproxima do eixo, o objeto precisa girar mais rápido para manter a mesma quantidade de giro; quando a massa se afasta de novo, ele desacelera.

Passo 3. A animação mostra uma patinadora artística de cima e de lado. Com os braços abertos, ela gira devagar; ao puxá-los, gira três vezes mais rápido, como mostra a barra de velocidade de giro, e ao abri-los de novo desacelera. O gelo é tão liso que quase não a faz torcer.

Passo 4. A mesma regra funciona muito além da pista de gelo. Saltadores ornamentais se encolhem em uma bola para dar cambalhotas rápidas e se esticam antes de atingir a água. Um planeta se move mais depressa quando passa mais perto do Sol, porque a atração solar não consegue mudar sua quantidade de giro em torno do Sol.

Teste você mesmo: um pizzaiolo gira uma bola de massa, e ela se espalha, virando um disco largo e fino. O que acontece com a velocidade de rotação? (Ela diminui: a massa se afastou do eixo.)

Intermediário

O que o momento angular mede

O momento angular $L$ é a quantidade de rotação que um corpo em giro carrega; como a quantidade de movimento comum, só algo de fora pode alterá-lo. Ele depende de quão rápido o corpo gira e de como sua massa está distribuída em torno do eixo. A taxa de giro é a velocidade angular $\omega$, em rad/s: uma volta equivale a $2\pi$ rad, então uma volta por segundo são cerca de 6,28 rad/s. No sentido anti-horário, visto de cima, como gira a patinadora, considera-se positivo.

A distribuição da massa é medida pelo momento de inércia, $I=\sum m{r}^2$, em kg·m²: cada massa vezes o quadrado de sua distância $r$ ao eixo, de modo que uma massa duas vezes mais afastada conta quatro vezes mais. Para um corpo que gira em torno de um eixo fixo,
$L=I\omega$
em kg·m²/s. Para uma pequena massa em um círculo, $I=m{r}^2$ e $\omega =v/r$, logo $L=mvr$: sua quantidade de movimento vezes sua distância ao eixo. Só conta o movimento em torno do eixo; uma massa que se dirige diretamente ao eixo não tem nenhum.

O torque altera o momento angular

Uma força altera a quantidade de movimento; um torque altera o momento angular. O torque de uma força é a força vezes seu braço de alavanca, a distância perpendicular do eixo até a linha de ação da força, em N·m. Só contam os torques de fora do sistema:
${\tau }_{\mathrm{ext}}=\frac{dL}{dt}$
Aqui $dL/dt$ é a taxa de variação de $L$, ou seja, a variação $\Delta L$ dividida por um intervalo curto $\Delta t$: um torque constante de 2 N·m acrescenta 2 kg·m²/s a cada segundo.

As forças entre partes do sistema vêm em pares iguais e opostos ao longo de uma mesma reta, de modo que seus torques se cancelam: elas podem transferir momento angular de uma parte para outra, mas nunca criá-lo. Sem torque externo, o total é fixo, qualquer que seja a mudança de forma do sistema:
${\tau }_{\mathrm{ext}}=0\to I_1{\omega }_1=I_2{\omega }_2$
Ao contrário da massa, o momento de inércia muda sempre que o corpo muda de forma, e $\omega$ então varia em proporção inversa.

As equações básicas

Problemas sobre corpos em rotação usam um pequeno conjunto de ferramentas:

• $L=I\omega$
• $I=\sum m{r}^2$
• $L=mvr\text{(point mass on a circle)}$
• $I_1{\omega }_1=I_2{\omega }_2$
• $K=\frac{1}{2}I{\omega }^2=\frac{L^2}{2I}$

Liste cada massa e sua distância ao eixo antes e depois, e calcule $I_1$ e $I_2$. Verifique que nada de fora exerce torque em torno do eixo e então escreva $I_1{\omega }_1=I_2{\omega }_2$. Calcule as energias por último, a partir de $K=L^2/(2I)$: com $L$ fixo, a energia cinética é inversamente proporcional a $I$.

Exemplo resolvido: a patinadora da animação

A animação modela a patinadora como um corpo com $I_0=0,72\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ mais dois braços, cada um tratado como uma massa de 3 kg a uma distância $r$ do eixo, logo $I=I_0+2m{r}^2$. Ela começa com os braços estendidos, em $r=0,60\mathrm{m}$, girando a 2,5 rad/s, e os puxa até $r=0,20\mathrm{m}$. O gelo não exerce torque em torno do eixo vertical.
$I_1=0,72+2\cdot 3\cdot 0,60^2=2,88\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$
$L=I_1{\omega }_1=2,88\cdot 2,5=7,20\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$
$I_2=0,72+2\cdot 3\cdot 0,20^2=0,96\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$
${\omega }_2=L/I_2=7,20/0,96=7,5rad/s$

Seu momento de inércia cai para um terço, então ela gira três vezes mais rápido, de 0,40 para 1,19 voltas por segundo. As leituras dourada $I$, azul $\omega$ e roxa $L$ fecham o movimento de puxar com esses valores, e a linha $2,88\times 2,5=0,96\times 7,5$ abaixo da lei de conservação confere o produto. Sua energia cinética sobe de $\frac{1}{2}\cdot 2,88\cdot 2,5^2=9\mathrm{J}$ para $\frac{1}{2}\cdot 0,96\cdot 7,5^2=27\mathrm{J}$; os músculos fornecem a diferença de 18 J.

As setas verdes são as velocidades das massas dos braços, $v=\omega r$. Com os braços estendidos, $v=2,5\cdot 0,60=1,5m/s$; com os braços puxados, $v=7,5\cdot 0,20=1,5m/s$ de novo, porque $\omega$ triplica enquanto $r$ cai para um terço. Suas mãos não ficam mais rápidas no fim; todo o corpo gira mais rápido.

Exemplo resolvido: uma criança sobe em um carrossel

Um carrossel, um disco uniforme de 100 kg e raio de 1,5 m sobre um eixo que gira livremente, está parado. Uma criança de 30 kg corre a 4 m/s numa linha que apenas tangencia a borda, pula na borda e se segura firme. Com que velocidade ele passa a girar?

Correndo em linha reta, ela já tem momento angular em torno do eixo: $L=mvr=30\cdot 4\cdot 1,5=180\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$. O disco tem $I_d=\frac{1}{2}M{R}^2=\frac{1}{2}\cdot 100\cdot 1,5^2=112,5\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$, e a criança na borda acrescenta $m{R}^2=67,5\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$, de modo que o total é $180\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ e
$\omega =L/I=180/180=1,0rad/s$

A energia cinética cai de $\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 4^2=240\mathrm{J}$ para $\frac{1}{2}\cdot 180\cdot 1,0^2=90\mathrm{J}$: como em uma colisão em que dois corpos grudam, o momento angular sobrevive à aterrissagem enquanto 150 J viram calor. Se ela então caminhar até o centro, sua parcela de $I$ cai a zero (tratando-a como um ponto), logo $\omega =180/112,5=1,6rad/s$ e $K=\frac{1}{2}\cdot 112,5\cdot 1,6^2=144\mathrm{J}$. Os 54 J extras são o trabalho que ela realiza ao se puxar para dentro.

Como ler as barras e setas

Quando os braços se aproximam, a barra dourada $I$ encolhe para um terço, a barra azul $\omega$ triplica e a barra roxa $L$ nunca se move: as duas grandezas que mudam se compensam, de modo que seu produto permanece em $7,20\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$. Plotados um contra o outro, $\omega$ e $I$ formam uma hipérbole, $\omega =L/I$.

Nos primeiros 1,5 s do ciclo, com os braços estendidos, ela gira 3,75 rad, cerca de 0,6 volta; nos 2,4 s com os braços puxados, gira 18 rad, quase três voltas. Enquanto os braços se movem, as setas verdes se inclinam, para dentro durante o puxar e para fora durante a soltura, e crescem para cerca de 1,8 m/s, porque as mãos também se movem ao longo do raio; quando os braços param, as setas voltam a ser tangentes, a 1,5 m/s.

Erros comuns

• A energia cinética não se conserva quando um corpo muda de forma. Se se conservasse, um terço do momento de inércia daria apenas $\sqrt{3}$ vezes o giro, 4,33 rad/s em vez de 7,5 rad/s; na realidade $K$ triplica, de 9 J para 27 J.
• Puxar os braços não aplica torque sobre a patinadora como um todo. Braços e tronco empurram um ao outro, mas esses torques internos apenas redistribuem o momento angular: a parcela dos braços $2m{r}^2\omega$ cai de 5,40 para 1,80 kg·m²/s, enquanto a parcela do corpo $I_0\omega$ sobe de 1,80 para 5,40.
• O momento de inércia varia com o quadrado da distância. Levar as massas dos braços a um terço da distância reduz sua parcela $2m{r}^2$ de 2,16 para 0,24 kg·m², ou seja, a um nono; o total cai apenas para um terço, porque a parcela do corpo permanece.
• A conservação exige torque externo nulo em torno do eixo. A gravidade e a força do gelo são verticais e não exercem torque em torno do eixo vertical; já o leve atrito da lâmina exerce, por isso os giros reais se extinguem.

Onde ele aparece

Saltadores ornamentais e ginastas decolam com momento angular fixo, encolhem-se para girar várias vezes mais rápido e se abrem antes de aterrissar. Um helicóptero precisa de um rotor de cauda: o motor gira o rotor principal em um sentido e, sem torque externo, a fuselagem giraria no sentido oposto. Estrelas em colapso aceleram enormemente: um núcleo do tamanho da Terra, girando uma vez por dia, reduzido a uma esfera de 10 km de raio, teria seu $I$ reduzido por um fator de $(6400/10{)}^2\approx 4\times 10^5$ e giraria cerca de cinco vezes por segundo, como um pulsar típico.

A seguir, Gravitação e órbitas transforma essa lei na lei das áreas de Kepler: a gravidade não exerce torque em torno do Sol, de modo que um planeta se move mais rápido quando está mais perto dele. Modelos atômicos: o átomo de Bohr mostra o momento angular surgindo em degraus inteiros.

Avançado

Momento angular como produto vetorial

A quantidade de movimento mede quanto movimento retilíneo um corpo carrega. O momento angular faz o mesmo papel para o movimento em torno de um ponto, e permanece constante sempre que nada de fora torce o sistema. Para defini-lo, primeiro escolha um ponto de referência O. Uma partícula de massa $m$ na posição $\vec{r}$ em relação a O, movendo-se com velocidade $\vec{v}$, tem quantidade de movimento $\vec{p}=m\vec{v}$ e momento angular em relação a O
$\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$

Legenda

$O$	Ponto escolhido em relação ao qual se toma $\vec{L}$.
$\vec{r}$	Posição da partícula, de $O$ até a partícula.	$\mathrm{m}$
$\vec{p}$	Quantidade de movimento $m\vec{v}$ da partícula, ao longo de sua linha de movimento.	$\mathrm{kg}\cdot m/s$
$\phi$	Ângulo entre $\vec{r}$ e $\vec{p}$, marcado na partícula.	$\mathrm{rad}$
$b$	Braço de alavanca: distância perpendicular de $O$ à linha do movimento, $b=r\sin \phi$.	$\mathrm{m}$
$\vec{L}$	Momento angular em relação a $O$: módulo $rp\sin \phi =pb$, para fora da folha pela regra da mão direita.	$\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$

Na Figura 1, o vetor $\vec{r}$ vai de O até a partícula, e $\vec{p}$ aponta ao longo da linha tracejada do movimento. O ângulo $\phi$ entre eles está marcado na partícula, desde o prolongamento de $\vec{r}$ até $\vec{p}$. O produto vetorial de dois vetores tem módulo igual ao primeiro vezes o segundo vezes o seno do ângulo entre eles; portanto, $L=rp\sin \phi$.

Agora observe o segmento $b$. Ele é traçado de O até a linha do movimento e encontra essa linha em ângulo reto; logo, $b$ é a menor distância de O até essa linha. Ele fecha um triângulo retângulo cujo lado mais longo é $\vec{r}$. O ângulo do triângulo na partícula está entre a direção de volta a O e a direção de volta ao longo da linha; estas são as direções opostas de $\vec{r}$ e $\vec{p}$, então esse ângulo é de novo $\phi$. O lado oposto a ele é $b=r\sin \phi$, e portanto
$L=rp\sin \phi =pb$
A distância $b$ é o braço de alavanca da quantidade de movimento. Em palavras: o momento angular é a quantidade de movimento vezes seu braço de alavanca.

A direção de $\vec{L}$ é perpendicular a $\vec{r}$ e a $\vec{p}$, e a regra da mão direita define o sentido: feche os dedos da mão direita no sentido em que a partícula circula em torno de O, e o polegar aponta ao longo de $\vec{L}$. Na Figura 1, a partícula circula no sentido anti-horário em torno de O, então $\vec{L}$ aponta para fora da folha, em sua direção; o círculo com ponto em O marca isso. Do mesmo modo, a patinadora, girando no sentido anti-horário visto de cima, tem $\vec{L}$ apontando para cima.

Três consequências seguem imediatamente. Primeiro, só conta o movimento em torno de O: uma partícula que se dirige diretamente a O ou diretamente para longe dele tem $\phi =0$ ou $\phi =\pi$, logo $L=0$. Segundo, $\vec{L}$ depende da escolha de O. Um disco deslizando livremente com velocidade $v$ tem $L=mvb$ em relação a qualquer ponto a uma distância $b$ de sua linha, o mesmo em todos os instantes, e $L=0$ em relação a qualquer ponto sobre a linha. Terceiro, $\vec{L}$ mede a rapidez com que a área é varrida. Em um intervalo curto $dt$, a linha de O até a partícula varre um triângulo fino de área $\frac{1}{2}|\vec{r}\times \vec{v}|dt$; então a área varrida por segundo é $|\vec{r}\times \vec{v}|/2=L/(2m)$.

Torque, forças internas e conservação

O que altera $\vec{L}$? Para uma partícula, derive $\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$ pela regra do produto, usando $d\vec{r}/dt=\vec{v}$ e a segunda lei de Newton, $d\vec{p}/dt=\vec{F}$:
$\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{v}\times m\vec{v}+\vec{r}\times \vec{F}=\vec{\tau }$
O primeiro termo é zero porque o produto vetorial de dois vetores paralelos se anula, e $\vec{v}$ é paralelo a $m\vec{v}$. O segundo termo é o torque $\vec{\tau }=\vec{r}\times \vec{F}$ da força em relação a O. Pela mesma geometria da Figura 1, seu módulo é a força vezes o próprio braço de alavanca, a distância de O até a linha ao longo da qual a força atua. Para um sistema de partículas, some essa equação para todas elas. Cada partícula sente forças externas e forças das outras partículas, e a questão é o que as forças internas fazem ao total.

Legenda

$O$	Ponto em relação ao qual os torques são tomados.
${\vec{r}}_1$	Posição da partícula 1, a partir de $O$.	$\mathrm{m}$
${\vec{r}}_2$	Posição da partícula 2, a partir de $O$.	$\mathrm{m}$
$\vec{F}$	Força sobre a partícula 1 causada pela partícula 2, ao longo da reta que as une. A partícula 2 sente $-\vec{F}$.	$\mathrm{N}$
$b$	Braço de alavanca de ambas as forças: distância de $O$ à reta que une as partículas.	$\mathrm{m}$
${\vec{\tau }}_1$	Torque de $\vec{F}$ sobre a partícula 1 em relação a $O$: módulo $Fb$, para dentro da folha.	$\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
${\vec{\tau }}_2$	Torque de $-\vec{F}$ sobre a partícula 2 em relação a $O$: módulo $Fb$, para fora da folha.	$\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$

A Figura 2 mostra um par interno. A partícula 1 sente a força $\vec{F}$ da partícula 2, e a partícula 2 sente $-\vec{F}$ da partícula 1: iguais e opostas, pela terceira lei de Newton. As duas forças atuam ao longo da linha tracejada que une as partículas. Esta é a forma forte da terceira lei, e a gravidade e as forças de contato a obedecem.

Observe os braços de alavanca. As duas forças estão na mesma reta, e essa reta está a uma distância $b$ de O; então ambas têm braço de alavanca $b$, quaisquer que sejam as posições ${\vec{r}}_1$ e ${\vec{r}}_2$. Seus torques têm, portanto, o mesmo módulo, $Fb$. Seus sentidos são opostos: $\vec{F}$ gira a partícula 1 no sentido horário em torno de O, então ${\vec{\tau }}_1$ aponta para dentro da folha, enquanto $-\vec{F}$ gira a partícula 2 no sentido anti-horário, então ${\vec{\tau }}_2$ aponta para fora da folha. Os dois torques se cancelam.

O argumento vale para qualquer ponto e para todo par; assim, todos os torques internos saem da soma. O que resta é
$\frac{d\vec{L}}{dt}={\vec{\tau }}_{\mathrm{ext}}$
onde $\vec{L}$ é agora o momento angular total e ${\vec{\tau }}_{\mathrm{ext}}$ o torque total das forças externas. É o análogo rotacional de $d\vec{p}/dt={\vec{F}}_{\mathrm{ext}}$. Vale para qualquer conjunto de partículas, rígido ou não, e também vale em relação ao centro de massa, mesmo quando esse ponto acelera. Sem torque externo, $\vec{L}$ permanece constante, por mais que o sistema mude de forma. Um saltador em voo mostra isso: a gravidade atua no centro de massa, então não tem braço de alavanca nesse ponto nem torque, e ele mantém seu momento angular até chegar à água.

Uma força central: áreas iguais

A primeira aplicação aparece nas órbitas. Uma força central é aquela que sempre aponta ao longo da reta até um ponto fixo. Essa reta passa pelo ponto, então a força não tem braço de alavanca em relação a ele e não produz torque.

Legenda

$S$	O Sol, o ponto fixo para o qual a força sempre aponta.
$r$	Distância de $S$ ao planeta; esta reta varre cada setor.	$\mathrm{m}$
$\vec{F}$	Força sobre o planeta, sempre ao longo da reta até $S$.	$\mathrm{N}$
$\vec{v}$	Velocidade do planeta, tangente à órbita.	$m/s$
$A_1$	Área varrida pela reta de $S$ ao planeta em um tempo $\Delta t$ perto de $S$.	${\mathrm{m}}^2$
$A_2$	Área varrida no mesmo tempo $\Delta t$ longe de $S$; igual a $A_1$.	${\mathrm{m}}^2$

Na Figura 3, a força $\vec{F}$ sobre o planeta está ao longo da reta $r$ até o Sol $S$, então $\vec{r}\times \vec{F}=0$ e o momento angular do planeta em relação a $S$ nunca muda. Isso tem duas consequências. Sua direção é fixa, e como $\vec{L}$ é perpendicular a $\vec{r}$ e a $\vec{v}$, a órbita permanece em um plano. Seu módulo é fixo, então a reta de $S$ até o planeta varre área à taxa constante $L/(2m)$ encontrada na primeira seção.

Agora compare os dois setores sombreados, cada um varrido no mesmo tempo $\Delta t$. Perto de $S$ o planeta é rápido, mas a reta $r$ é curta, então $A_1$ é um leque curto e largo. Longe de $S$ o planeta é lento, mas $r$ é longo, então $A_2$ é uma fatia longa e estreita. A área varrida por segundo, $\frac{1}{2}vb$, é a mesma nos dois lugares; portanto, $A_1=A_2$, por mais diferentes que as formas pareçam. Esta é a segunda lei de Kepler, áreas iguais em tempos iguais, que ele publicou em 1609, quase oitenta anos antes de Newton mostrar por que ela vale. O argumento nunca usa a lei do inverso do quadrado, então áreas iguais valem para qualquer força central.

Corpos em rotação: o que os gráficos mostram

A maior parte das rotações do dia a dia é um corpo girando em torno de um eixo fixo, e aí o momento angular assume uma forma simples. Uma pequena massa $m$ à distância $r$ do eixo se move em um círculo com velocidade $\omega r$, onde $\omega$ é a velocidade angular em rad/s. Sua quantidade de movimento $m\omega r$ é perpendicular ao raio, então seu braço de alavanca em relação ao eixo é $r$, e seu momento angular ao longo do eixo é $m{r}^2\omega$. Somando todas as massas,
$L=\sum m{r}^2\omega =I\omega$
onde $I=\sum m{r}^2$ é o momento de inércia. Diferentemente da massa, $I$ muda quando o corpo muda de forma. A animação modela a patinadora como um tronco com $I_0=0,72\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ mais duas massas de braço de $m=3\mathrm{kg}$ cada, à distância $r$ do eixo, logo $I=I_0+2m{r}^2$. O gelo não exerce torque em torno do eixo vertical; então $L$ é fixo e $\omega =L/I$.

Os gráficos do nível avançado mostram exatamente isso. $L(t)$ é uma linha horizontal em $7,20\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$: sua inclinação é o torque externo, que é zero. $I(t)$ cai de 2,88 para 0,96 kg·m² conforme $r$ vai de 0,60 para 0,20 m, e $\omega (t)=L/I(t)$ sobe de 2,5 para 7,5 rad/s. Ele não sobe de forma uniforme. Sobe devagar no início e mais rápido por volta de dois terços do puxar, porque a mesma queda de $I$ eleva mais $L/I$ quando $I$ já está pequeno; no final, os braços desaceleram até parar. A meio caminho, com $r=0,40\mathrm{m}$, $I=0,72+2\cdot 3\cdot 0,40^2=1,68\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ e $\omega =7,20/1,68=4,29rad/s$, um pouco mais de um terço do caminho de 2,5 a 7,5 rad/s.

O gráfico de $K(t)$ tem exatamente a forma de $\omega (t)$. A razão é $K=\frac{1}{2}I{\omega }^2=\frac{1}{2}L\omega$: com $L$ fixo, $K$ é simplesmente $\omega$ vezes $L/2=3,6\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$. Isso dá 9 J a 2,5 rad/s e 27 J a 7,5 rad/s. O momento angular permanece o mesmo enquanto a energia cinética triplica.

Quem paga a energia extra

A energia cinética subiu $27-9=18\mathrm{J}$, mas nenhum torque externo atuou. A energia deve vir da própria patinadora, e vale a pena rastrear exatamente como.

Visto da pista de gelo, cada massa do braço se move em um círculo e, portanto, precisa de uma força centrípeta $m{\omega }^{2}r$ em direção ao eixo, e seus braços a fornecem. Enquanto as massas se movem para dentro, cada uma dessas forças aponta na direção do movimento, então realiza trabalho positivo. Para contar esse trabalho, mantenha $L$ fixo e escreva $K=L^2/(2I)$. Como $I=I_0+2m{r}^2$, uma pequena variação $dr$ do raio altera $I$ em $dI=4mrdr$. Então, usando $L/I=\omega$,
$dK=-\frac{L^2}{2I^2}dI=-2m{\omega }^{2}rdr$
Conforme os braços se aproximam, $dr$ é negativo e $dK$ positivo. O lado direito é exatamente o trabalho das duas forças: $2m{\omega }^{2}r$ vezes o deslocamento para dentro $|dr|$. Somando os passos de $I_1$ até $I_2$,
$W=\Delta K=\frac{L^2}{2}\left(\frac{1}{I_2}-\frac{1}{I_1}\right)$
que, para a patinadora, é $25,92\cdot (1/0,96-1/2,88)=18\mathrm{J}$. Ao abrir os braços de novo, esses mesmos 18 J são devolvidos ao giro.

A leitura de $W$ conta esse trabalho à medida que ele é realizado. Durante o puxar, ela fica um pouco à frente do aumento de $K$, em no máximo 0,60 J, porque o trabalho também paga o movimento das massas dos braços em direção ao eixo: energia cinética $m{\dot{r}}^2$ para o par, em que $\dot{r}$ é a velocidade radial delas. Ambas chegam a 18 J quando os braços param.

Visto do seu próprio referencial girante, a mesma história é contada com forças diferentes. Lá, os braços realizam o mesmo trabalho contra a força centrífuga. As massas dos braços que se movem para dentro também sentem a força de Coriolis, que atua lateralmente e as empurra à frente do tronco, no sentido da rotação. Retidas nos ombros, elas pressionam o tronco para a frente e o colocam em rotação. O momento angular próprio do tronco $I_0\omega$ cresce à taxa $I_{0}d\omega /dt$; então esse é o torque interno. No meio do puxar, a inclinação do gráfico de $\omega (t)$ é cerca de $5,5rad/{\mathrm{s}}^2$, e o torque é $I_{0}d\omega /dt\approx 0,72\cdot 5,5\approx 4,0\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$.

Quando o eixo gira: precessão

Até aqui $\vec{L}$ mantinha sua direção. Mas $\vec{L}$ é um vetor, e um torque perpendicular a ele altera sua direção em vez de seu módulo. É isso que impede um giroscópio em rotação de tombar.

Legenda

$d$	Distância do pivô até a reta do peso.	$\mathrm{m}$
$mg$	Peso da roda, atuando em seu centro.	$\mathrm{N}$
$\vec{L}$	Momento angular de spin da roda, ao longo do eixo.	$\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$
$\vec{\tau }$	Torque do peso em relação ao pivô, $\tau =mgd$: horizontal e perpendicular a $\vec{L}$.	$\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
$d\vec{L}$	Variação de $\vec{L}$ em um intervalo curto $dt$: $d\vec{L}=\vec{\tau }dt$.	$\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$
${\vec{L}}^{\prime }$	Momento angular após $dt$: $\vec{L}+d\vec{L}$.	$\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$
$d\beta$	Ângulo pelo qual $\vec{L}$ gira em $dt$: $d\beta =\tau dt/L$.	$\mathrm{rad}$
$\Omega$	Taxa com que o eixo gira, $\Omega =d\beta /dt=\tau /L$.	$rad/s$

A Figura 4 mostra o exemplo padrão: uma roda girando rapidamente sobre um eixo horizontal que é sustentado apenas em uma extremidade. Seu momento angular de rotação $\vec{L}$ aponta ao longo do eixo. À esquerda, vista de lado, o peso $mg$ atua no centro da roda, a uma distância $d$ do pivô. Seu torque em relação ao pivô tem módulo $\tau =mgd$ e é horizontal, perpendicular ao eixo. À direita, vista de cima, $\vec{\tau }$ está perpendicular a $\vec{L}$.

Agora aplique $d\vec{L}/dt=\vec{\tau }$. Em um intervalo curto $dt$, o momento angular ganha $d\vec{L}=\vec{\tau }dt$, paralelo ao torque e, portanto, lateral a $\vec{L}$. O novo vetor ${\vec{L}}^{\prime }=\vec{L}+d\vec{L}$ tem o mesmo comprimento que $\vec{L}$ até a primeira ordem em $dt$, mas girou de um pequeno ângulo $d\beta =dL/L=\tau dt/L$. (A figura desenha um $dt$ grande para que o ângulo possa ser visto.) O eixo segue $\vec{L}$; então, em vez de cair, ele gira horizontalmente à taxa
$\Omega =\frac{d\beta }{dt}=\frac{\tau }{L}$
Na forma vetorial, $\vec{\tau }=\vec{\Omega }\times \vec{L}$, com $\vec{\Omega }$ apontando para cima no movimento anti-horário da Figura 4.

O mesmo vale para um pião ou um giroscópio com momento angular de spin $I\omega$ e centro de massa a uma distância $d$ do pivô ao longo de seu eixo. Se o eixo estiver inclinado em relação à vertical, o braço de alavanca do peso e a parte horizontal de $\vec{L}$ carregam ambos o seno da inclinação, e esse fator se cancela. Assim, para qualquer inclinação
$\Omega =\frac{mgd}{I\omega }\text{(gyroscopic precession)}$

Uma roda de bicicleta com $I=0,25\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ e massa de 2,5 kg é girada a 40 rad/s e apoiada em uma extremidade de seu eixo, a 0,20 m do centro da roda. Ela tem $L=0,25\cdot 40=10\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$, e seu peso exerce o torque $\tau =2,5\cdot 9,81\cdot 0,20\approx 4,9\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$. Ela não cai: gira horizontalmente a $\Omega =4,9/10\approx 0,49rad/s$, uma volta a cada 13 s. A Terra é um pião lento: o Sol e a Lua puxam seu bojo equatorial, e seu eixo precessiona uma vez em cerca de 26 000 anos.

Mais uma consequência de $\vec{L}$ ser um vetor: ele é paralelo a $\vec{\omega }$ apenas para rotação em torno de um eixo principal do corpo, como um eixo de simetria. Uma roda montada ligeiramente inclinada em seu eixo tem $\vec{L}$ fora do eixo. À medida que a roda gira, $\vec{L}$ varre o eixo e, assim, continua mudando; pela relação $d\vec{L}/dt=\vec{\tau }$, os mancais precisam continuar fornecendo o torque. É por isso que as rodas dos carros são balanceadas.

Problema resolvido: um giro que se extingue

O gelo real não é isento de atrito. Suponha que a lâmina exerça um torque de atrito constante $\tau =0,30\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ contra o giro, partindo do $L_0=7,20\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$ da animação. Quanto tempo dura o giro, e quantas voltas ela dá com os braços puxados ($I=0,96\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$) e com eles estendidos ($I=2,88\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$)?

Quanto tempo: agora $dL/dt=-\tau$, então $L$ cai a uma taxa constante, $L(t)=7,20-0,30t$, e chega a zero após $T=L_0/\tau =24\mathrm{s}$. A forma dela não entra nisso: nos dois casos, o gráfico horizontal de $L(t)$ se tornaria a mesma reta decrescente.

Quantas voltas: o ângulo depende, sim, da forma dela, porque $\omega =L(t)/I$. O ângulo percorrido é a integral de $\omega$ ao longo dos 24 s:
$\theta ={\int }_0^T\frac{L_0-\tau t}{I}dt=\frac{L_0^2}{2\tau I}$
Isso é a área de um triângulo sob a reta decrescente, com altura $L_0/I$ e base $L_0/\tau$. Com os braços puxados, $\theta =51,84/(2\cdot 0,30\cdot 0,96)=90\mathrm{rad}$, cerca de 14,3 voltas. Com os braços estendidos, são apenas 30 rad, cerca de 4,8 voltas.

A energia confirma. O torque de atrito realiza o trabalho $\tau \theta$ contra o giro, e $0,30\cdot 90=27\mathrm{J}$ e $0,30\cdot 30=9\mathrm{J}$ são exatamente suas duas energias cinéticas iniciais. Puxar os braços não faz o giro durar mais; ele apenas comprime três vezes mais voltas nos mesmos 24 s.

Limites de validade

O modelo da patinadora é idealizado: braços reais são massas distribuídas, não dois pontos, e atrito e arrasto do ar nunca desaparecem por completo. A própria lei de conservação é mais sólida do que qualquer modelo. A demonstração acima usou a forma forte da terceira lei de Newton, com forças internas ao longo das retas que unem as partículas. A gravidade e as forças de contato a obedecem; forças magnéticas entre cargas em movimento não precisam obedecer. Ainda assim, nada se perde, porque o campo eletromagnético carrega momento angular próprio, e a lei vale quando a parcela do campo é contada. A luz com polarização circular, por exemplo, transfere momento angular a tudo o que a absorve.

A fórmula de precessão supõe $\Omega \ll \omega$, de modo que o spin carregue quase todo o momento angular; para a roda de bicicleta, a razão é cerca de 1 %. Gire a roda a apenas 10 rad/s e $\Omega$ chega a 2,0 rad/s, um quinto de $\omega$. O eixo então visivelmente afunda e balança a cada volta, um movimento chamado nutação, em vez de deslizar suavemente.

Na escala atômica, o momento angular é quantizado: sua componente em qualquer eixo assume apenas valores espaçados pela constante de Planck reduzida, $\hslash =1,055\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$. Os $7,20\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/s$ da patinadora correspondem a cerca de $7\times 10^{34}$ desses degraus, então a granulação é invisível. Para um elétron em um átomo, ela é tudo. O elétron também carrega um momento angular intrínseco, seu spin, com componentes $\pm \hslash /2$, que não é a rotação de nenhuma pequena bola. A relatividade restrita mantém $\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$, com a quantidade de movimento relativística, e mantém sua conservação.

Para onde isso leva

Por que o momento angular se conserva, afinal? Porque o espaço não tem direção preferencial. Pelo teorema de Noether, toda simetria contínua das leis da física traz uma grandeza conservada: a uniformidade do espaço de um lugar para outro dá a quantidade de movimento, a uniformidade do tempo dá a energia, e a uniformidade de todas as direções dá o momento angular.

A lei alcança longe. Em Gravitação e órbitas, ela explica as áreas iguais, e o termo $L^2/(2m{r}^2)$ na energia radial age como uma barreira centrífuga que impede os planetas de cair no Sol. Em Modelos atômicos: o átomo de Bohr, a regra $L=n\hslash$ fixa os níveis de energia do hidrogênio. O spin, contado em unidades de $\hslash$, separa as partículas de matéria de Partículas e forças: o Modelo Padrão, com spin 1/2, dos portadores de força, com spin 1. E os spins alinhados dos elétrons tornam o ferro magnético, como descreve Campos magnéticos de ímãs e correntes.