Équation de Schrödinger et effet tunnel

Débutant

Étape 1 : l'énergie fixe une limite. En montant une colline, une balle échange vitesse contre hauteur. Si elle manque d'énergie pour atteindre le sommet, elle s'arrête en chemin et redescend, toujours : l'énergie ne surgit pas de nulle part.

Étape 2 : les objets minuscules se comportent comme des ondes. La lumière agit tantôt comme une onde, tantôt comme des particules (les photons), et les électrons aussi. Un électron est décrit par une onde, notée $\psi$ (la lettre grecque psi). Où l'onde est grande, on trouvera probablement l'électron ; où elle est plate, presque jamais. Dans l'animation, la ligne bleue est son onde, et la bosse ombrée montre où il se trouve probablement.

Étape 3 : une onde peut fuir à travers un mur mince. La ligne dorée est l'énergie de l'électron et le mur gris est plus haut : une balle reviendrait toujours. L'essentiel de l'onde rebondit, mais une onde plus petite apparaît derrière le mur et poursuit sa route. Chaque électron est trouvé entier d'un seul côté ; ici, environ un sur cinq passe. C'est l'effet tunnel. La lumière piégée dans du verre par réflexion totale peut ainsi franchir une très fine lame d'air vers un second bloc.

Testez-vous : le mur devient deux fois plus épais. Passe-t-il plus ou moins d'électrons ? Réponse : beaucoup moins, car l'onde s'éteint vite dans le mur. Un mur plus bas, lui, en laisse passer davantage.

Étape 4 : une onde piégée n'a que certaines énergies. Dans la boîte de droite, l'onde doit tenir entre les parois comme une corde de guitare : seul un nombre entier de demi-ondes est permis, chacun avec son énergie. Les électrons des atomes sont piégés aussi, d'où leurs niveaux d'énergie.

Grâce à l'effet tunnel, les noyaux fusionnent dans le Soleil et les mémoires flash gardent les photos.

Intermédiaire

La fonction d'onde et ses probabilités

En mécanique quantique, un électron n'a pas de trajectoire bien définie. Son état est une fonction d'onde $\psi (x)$, une onde que l'on ne voit jamais directement : un détecteur trouve l'électron tout entier en un seul endroit, et la fonction d'onde indique seulement la probabilité de chaque endroit.

D'après la règle de Born, $|\psi {|}^2$ est une probabilité par mètre, et la probabilité de trouver la particule entre deux points est l'aire sous cette courbe :
$P=\int |\psi {|}^{2}dx$

Dans l'animation, $|\psi {|}^2$ est la zone ombrée violette et la ligne bleue est la partie réelle de l'onde, $\mathrm{Re}\psi$. Les affichages $P(\text{gauche})$, $P(\text{barrieˋre})$ et $P(\text{droite})$ sont les aires de la zone ombrée dans trois régions ; sur toute la droite, leur somme vaut 1.

L'équation de Schrödinger sur un diagramme d'énergie

Pour une particule d'énergie $E$ bien définie, la fonction d'onde obéit à l'équation de Schrödinger indépendante du temps :
$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi }{d{x}^2}+V(x)\psi =E\psi$
Ici $m$ est la masse, $V(x)$ l'énergie potentielle et $\hslash =h/2\pi$ la constante de Planck réduite. Lisez-la comme un bilan d'énergie : énergie cinétique plus énergie potentielle égale $E$, la partie cinétique étant d'autant plus grande que $\psi$ se courbe fortement.

L'animation est un diagramme d'énergie : la position est en abscisse, l'énergie en ordonnée. La barrière grise est $V(x)$, nulle de part et d'autre et égale à $V_0$ à l'intérieur ; la ligne dorée est $E$, et l'onde est tracée autour d'elle. Là où $E>V$, l'onde oscille avec la longueur d'onde de de Broglie
$\lambda =\frac{h}{p},p=\sqrt{2m(E-V)}$
comme le fait l'onde bleue de part et d'autre de la barrière.

Là où $E<V$, une particule classique ne pourrait jamais se trouver, car son énergie cinétique serait négative. L'équation a pourtant des solutions dans cette région, mais ce sont des exponentielles et non des ondes, et celle qui décroît s'éteint progressivement à l'intérieur du mur.

Dans la barrière : décroissance et transmission

Dans une barrière épaisse de hauteur $V_0$, l'onde décroît comme $e^{-\kappa x}$, avec la constante de décroissance
$\kappa =\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hslash }$
Sur la longueur de décroissance $1/\kappa$, l'amplitude est divisée par $e\approx 2,72$. Un déficit $V_0-E$ plus grand ou une particule plus lourde augmente $\kappa$ et accélère la décroissance.

Une barrière mince laisse subsister une onde de l'autre côté, de même longueur d'onde mais d'amplitude plus faible. La fraction des électrons qui passent est la probabilité de transmission $T$, celle des électrons qui reviennent est $R$, et $R+T=1$. Pour une barrière de largeur $a$ très supérieure à $1/\kappa$,
$T\approx 16\left(\frac{E}{V_0}\right)\left(1-\frac{E}{V_0}\right)e^{-2\kappa a}$
L'amplitude est réduite d'un facteur $e^{-\kappa a}$ et la probabilité de son carré ; le préfacteur, jamais supérieur à 4, ne dépend que de $E/V_0$.

La largeur figure dans un exposant : l'effet tunnel y est donc extrêmement sensible, et chaque épaisseur supplémentaire de $1/(2\kappa )$ divise $T$ par $e$. Pour des barrières hautes de quelques électronvolts, seules les couches épaisses d'au plus quelques nanomètres laissent passer beaucoup d'électrons.

Exemple résolu : la barrière de l'animation

L'électron a une énergie $E=3\mathrm{eV}$ et rencontre une barrière de hauteur $V_0=4\mathrm{eV}$ et de largeur $a=0,25\mathrm{nm}$, valeurs écrites dans la scène. Le sommet de la barrière se trouve 1 eV, soit $1,60\times 10^{-19}\mathrm{J}$, au-dessus de l'énergie ; donc
$\kappa =\frac{\sqrt{2\cdot 9,11\times 10^{-31}\cdot 1,60\times 10^{-19}}}{1,055\times 10^{-34}}\approx 5,12\times 10^9{\mathrm{m}}^{-1}=5,12\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$
et la longueur de décroissance $1/\kappa =0,195\mathrm{nm}$ est un peu plus courte que la barrière.

Ensuite, $2\kappa a=2\cdot 5,12\cdot 0,25=2,56$ et $e^{-2,56}\approx 0,077$. Le préfacteur vaut $16\cdot 0,75\cdot 0,25=3$, d'où
$T\approx 3\cdot 0,077\approx 0,23$
La formule exacte du niveau expert donne 0,214, et le paquet d'ondes en mouvement, qui contient une petite dispersion d'énergies, 0,218. C'est la valeur vers laquelle se stabilisent les affichages : $P(\text{droite})=0,22$ et $P(\text{gauche})=0,78$.

Hors de la barrière, $\lambda =h/\sqrt{2mE}=0,708\mathrm{nm}$, et l'onde transmise a la même longueur d'onde mais seulement environ $\sqrt{0,22}\approx 0,47$ de l'amplitude de l'onde incidente. Devant la barrière, les ondes incidente et réfléchie se superposent en hautes franges distantes de $\lambda /2=0,354\mathrm{nm}$. Vers 4 s, les affichages indiquent 0,80 à gauche, 0,10 dans la barrière et 0,10 à droite : un instant, un dixième de la probabilité se trouve à l'intérieur du mur.

Exemple résolu : un microscope à effet tunnel

Une pointe métallique effilée est maintenue à une fraction de nanomètre au-dessus d'une surface conductrice. Pour des électrons proches du haut des niveaux remplis, l'intervalle est une barrière dont le sommet se situe environ un travail de sortie au-dessus d'eux, ici $V_0-E=4,5\mathrm{eV}$ ; le courant est proportionnel à la transmission, $I\propto e^{-2\kappa d}$, où $d$ est la largeur de l'intervalle. De quel facteur change-t-il quand la pointe se rapproche de 0,1 nm ?

Comme $\kappa$ croît comme la racine carrée du déficit, $\kappa =5,12\cdot \sqrt{4,5}\approx 10,9\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$, et le préfacteur disparaît dans un rapport : $I_2/I_1=e^{2\kappa \Delta d}=e^{2\cdot 10,9\cdot 0,1}=e^{2,17}\approx 8,8$. Avec la valeur plus ronde $\kappa \approx 10\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$, on trouve $e^2\approx 7$ : un déplacement de moins de la moitié du diamètre d'un atome multiplie le courant plusieurs fois.

Une bosse haute de seulement 0,01 nm change le courant d'un facteur $e^{0,217}\approx 1,24$, soit une hausse de 24 %, alors qu'une marche atomique de 0,2 nm le multiplie par 77 environ. Une boucle de rétroaction déplace la pointe pour garder le courant constant pendant le balayage ; la hauteur de la pointe dessine alors la surface atome par atome.

Ondes piégées : niveaux d'énergie dans une boîte

Piégeons maintenant l'électron dans une boîte de largeur $L$, avec $V=0$ à l'intérieur et des parois qu'il ne peut pas franchir. La fonction d'onde doit s'annuler sur les deux parois, comme une corde de guitare fixée à ses deux extrémités : seuls des nombres entiers de demi-longueurs d'onde y tiennent, $L=n\lambda /2$. Alors $p=h/\lambda =nh/(2L)$, et l'énergie cinétique $p^2/2m$ donne les énergies permises
$E_n=\frac{n^2{h}^2}{8m{L}^2}$
avec $n=1,2,3,\dots$ le nombre de demi-ondes ; $n=0$ voudrait dire qu'il n'y a aucune onde, de sorte que l'énergie la plus basse n'est jamais nulle.

Les niveaux croissent comme $n^2$, dans le rapport 1 : 4 : 9, comme dans la boîte de l'animation, où ils sont notés $E_1$, $4E_1$ et $9E_1$. Chaque onde stationnaire garde une zone ombrée $|{\psi }_n{|}^2$ fixe : un état d'énergie bien définie est stationnaire. Pour $L=1\mathrm{nm}$, $E_1=(6,626\times 10^{-34}{)}^2/(8\cdot 9,11\times 10^{-31}\cdot 10^{-18})\approx 6,0\times 10^{-20}\mathrm{J}=0,38\mathrm{eV}$, donc $E_2=1,50\mathrm{eV}$ et $E_3=3,38\mathrm{eV}$. Un saut de $n=3$ à $n=2$ libère $5E_1=1,88\mathrm{eV}$, un photon rouge d'environ 660 nm. Une boîte plus petite écarte davantage les niveaux, en $1/L^2$.

Erreurs fréquentes

• L'électron ne perd pas d'énergie dans la barrière. Au-delà, la longueur d'onde vaut toujours 0,708 nm : un électron de 3 eV ressort avec 3 eV, et seule l'amplitude est plus petite.
• L'électron ne se divise pas. $P(\text{droite})=0,22$ signifie qu'environ 22 électrons sur 100 sont trouvés au-delà de la barrière, chacun tout entier.
• La transmission n'est pas inversement proportionnelle à la largeur : de 0,25 nm à 0,5 nm, $T$ passe de 0,214 à 0,018, soit environ douze fois moins, car doubler la largeur met au carré le facteur exponentiel.
• La masse compte autant que l'énergie. Un proton de même énergie, 3 eV, face à la même barrière a un $\kappa$ plus grand d'un facteur $\sqrt{1836}\approx 43$, donc $2\kappa a\approx 110$ et $T\approx 6\times 10^{-48}$.

Où on le rencontre

Une mémoire flash stocke chaque bit sous forme de charge sur une grille isolée, écrite et effacée en faisant passer des électrons à travers une couche isolante de quelques nanomètres d'épaisseur. Les diodes tunnel, les microscopes à effet tunnel et l'échappement des particules alpha hors des noyaux obéissent à la règle de cette leçon, et au cœur du Soleil, les protons ne fusionnent que grâce à l'effet tunnel.

Les mêmes règles d'ondes gouvernent la lumière dans Réflexion et réfraction, où un faisceau totalement réfléchi peut franchir une mince lame d'air. Des noyaux traversent des barrières par effet tunnel dans Radioactivité et demi-vie et dans Fission, fusion et E = mc² ; Semi-conducteurs, diodes et LED construit des bandes d'énergie à partir d'ondes d'électrons ; et les niveaux de la boîte ont des cousins dans Modèles atomiques : l'atome de Bohr.

Avancé

Une fréquence, plusieurs longueurs d'onde

L'effet tunnel est un phénomène ondulatoire ; partons donc de l'onde d'une particule d'énergie bien définie et demandons-nous comment elle change quand l'énergie potentielle varie le long de son trajet. Deux règles suffisent pour presque tout ce qui suit : la fréquence est la même partout, et la longueur d'onde s'ajuste à l'énergie cinétique locale. Là où l'énergie cinétique serait négative, l'onde ne s'arrête pas net : elle s'éteint.

Légende

$E$	Énergie de l'état : une seule valeur pour toute l'onde.	$\mathrm{J}$
$V(x)$	Énergie potentielle à la position $x$, en gris : $0$, $\frac{3}{4}E$ et $\frac{5}{4}E$.	$\mathrm{J}$
$\psi$	Fonction d'onde : sa partie réelle à un instant donné.	${\mathrm{m}}^{-1/2}$
$x$	Position le long de la ligne de mouvement.	$\mathrm{m}$
${\lambda }_1$	Longueur d'onde sur le niveau le plus bas, où $E-V$ est le plus grand.	$\mathrm{m}$
${\lambda }_2$	Longueur d'onde sur le niveau du milieu, où $E-V$ est quatre fois plus petit : ${\lambda }_2=2{\lambda }_1$.	$\mathrm{m}$
${\kappa }^{-1}$	Longueur de décroissance là où $V>E$ : sur cette longueur, $\psi$ tombe à $1/e$ de sa valeur au bord.	$\mathrm{m}$

La figure 1 montre un état d'énergie $E$ (la droite violette) qui traverse trois paliers de l'énergie potentielle $V(x)$ (en gris). En dessous, la courbe bleue est la fonction d'onde $\psi$ à un instant donné. Sur le palier le plus bas, $V=0$ et l'onde oscille avec la longueur d'onde ${\lambda }_1$. Sur le palier du milieu, $V=\frac{3}{4}E$ : l'énergie cinétique $E-V$ n'est plus que le quart de ce qu'elle était, l'onde s'étire jusqu'à ${\lambda }_2=2{\lambda }_1$ et ses crêtes deviennent plus hautes. Sur le palier le plus haut, $V=\frac{5}{4}E$ dépasse $E$. Là, l'onde cesse d'osciller et s'éteint : elle tombe à $1/e$ de sa valeur au bord sur la courte longueur ${\kappa }^{-1}$ marquée à droite. Remarquez aussi les deux marches : la courbe y est continue et ne présente aucun coude.

Pourquoi la fréquence est commune. Quand $V$ ne dépend pas du temps, un état d'énergie bien définie s'écrit $\psi (x)e^{-i\omega t}$ : une forme fixe dans l'espace multipliée par un unique facteur oscillant, avec la même pulsation $\omega =E/\hslash$ en tout point $x$. Rien dans le potentiel ne varie dans le temps ; rien ne peut donc faire osciller une partie de l'onde plus vite qu'une autre. La lumière qui entre dans le verre se comporte de la même façon : elle garde sa fréquence et ne change que de longueur d'onde. Une seule fréquence pour toute l'onde, c'est une seule énergie pour tout le mouvement : c'est la conservation de l'énergie, dans le langage des ondes.

Pourquoi la longueur d'onde change. L'énergie fixée se partage différemment entre énergie cinétique et énergie potentielle d'un endroit à l'autre. En écrivant $\hslash \omega =p^2/2m+V(x)$ et en isolant la quantité de mouvement, on obtient la quantité de mouvement locale $p(x)=\sqrt{2m(E-V(x))}$, et avec elle la longueur d'onde locale $h/p(x)$. Là où $V$ baisse, $p$ est plus grand et les ondes se resserrent ; là où $V$ monte, elles s'étirent. Sur le palier du milieu de la figure 1, l'énergie cinétique est quatre fois plus petite, donc $p$ est divisé par 2 et la longueur d'onde double, de ${\lambda }_1$ à ${\lambda }_2$. Les crêtes y sont plus hautes parce qu'une particule plus lente passe plus de temps sur chaque tronçon de son trajet : on a donc plus de chances de l'y trouver.

Ce qui se passe là où $V>E$. Une particule classique ne peut jamais s'y trouver, puisque son énergie cinétique $E-V$ serait négative : c'est la région classiquement interdite. Dans la formule, la racine carrée d'un nombre négatif est imaginaire, $p=i\hslash \kappa$, avec la constante de décroissance réelle
$\kappa =\frac{\sqrt{2m(V-E)}}{\hslash }$
Reportée dans l'onde plane $e^{ipx/\hslash }$, elle la transforme en l'exponentielle réelle $e^{-\kappa x}$. L'équation admet aussi la solution croissante $e^{+\kappa x}$, mais dans une région interdite qui se prolonge sans fin elle ferait croître $\psi$ sans limite : on l'écarte. L'amplitude pénètre donc bien dans la région interdite, mais elle y décroît, d'un facteur $e$ sur chaque longueur $1/\kappa$. Dans la figure 1, $V-E$ sur le palier du haut est égal à $E-V$ sur le palier du milieu ; $\kappa$ est donc égal au nombre d'onde $2\pi /{\lambda }_2$ du palier du milieu, et la longueur de décroissance vaut ${\kappa }^{-1}={\lambda }_2/2\pi$ : l'onde a disparu en environ un sixième de longueur d'onde.

La lumière s'éteint de la même façon, et l'effet s'observe sur une paillasse de laboratoire. Un rayon se propage dans du verre d'indice de réfraction $n$, sous un angle $\theta$ avec la normale à une surface au-delà de laquelle se trouve de l'air. Le motif de l'onde le long de la surface doit coïncider des deux côtés : la composante du vecteur d'onde le long de la surface, $k_y=n\omega \sin \theta /c$, est donc la même dans l'air. Or, dans l'air, le vecteur d'onde complet ne mesure que $\omega /c$. Au-delà de l'angle limite, où $n\sin \theta >1$, la composante le long de la surface est déjà à elle seule plus longue que cela ; le carré de la composante à travers l'intervalle est donc négatif :
$k_x^2=(\omega /c{)}^2-k_y^2=(\omega /c{)}^2(1-n^2{\sin }^2\theta )$
Alors $k_x=i\kappa$ est imaginaire, et le champ dans l'air décroît comme $e^{-\kappa x}$. Pour $n=1,5$ à 60°, $\kappa {\lambda }_0=2\pi \sqrt{n^2{\sin }^2\theta -1}\approx 5,2$, où ${\lambda }_0$ est la longueur d'onde dans le vide. Une lumière verte de 550 nm décroît donc sur environ 0,1 µm. Approchez un second bloc de verre aussi près, et une partie de la lumière traverse l'intervalle pour passer dans ce bloc. C'est la réflexion totale frustrée : la traversée d'une barrière par des photons.

Raccordement aux bords : la transmission exacte

Rendons maintenant la région interdite finie : une barrière, avec un domaine permis de chaque côté. L'onde décroissante atteint l'autre côté avec une amplitude réduite mais non nulle, et y relance une onde progressive. Pour savoir quelle part passe, on résout l'équation d'onde dans chaque région et l'on raccorde les morceaux aux bords.

Légende

$V_0$	Hauteur de la barrière.	$\mathrm{J}$
$E$	Énergie de l'onde, inférieure au sommet de la barrière.	$\mathrm{J}$
$a$	Largeur de la barrière.	$\mathrm{m}$
$\psi$	Fonction d'onde : sa partie réelle à un instant donné.	${\mathrm{m}}^{-1/2}$
$x$	Position le long de la ligne de mouvement.	$\mathrm{m}$
$r$	Amplitude de l'onde réfléchie, pour une onde incidente d'amplitude 1.
$t$	Amplitude de l'onde transmise derrière la barrière, sur la même échelle.

La figure 2 montre une onde d'amplitude unité qui arrive de la gauche sur une barrière de hauteur $V_0$ et de largeur $a$. Elle est tracée pour $E=\frac{3}{4}{V}_0$ et $\kappa a=1,6$, une barrière un peu moins épaisse qu'une demi-longueur d'onde. Devant la barrière, l'onde incidente (flèche 1) et l'onde réfléchie (flèche $r$) se superposent et forment une onde presque stationnaire. À l'intérieur, la courbe s'écarte de l'axe et s'enfonce. Derrière la barrière, une seule onde d'amplitude $t$ poursuit vers la droite, et rien n'en revient. Les longueurs des flèches sont les amplitudes : ici $|r|=0,94$ et $|t|=0,34$. Les deux points marquent les bords, où $\psi$ et sa pente ${\psi }^{\prime }$ doivent avoir les mêmes valeurs des deux côtés.

Pourquoi doivent-elles coïncider ? Réécrivons l'équation de Schrödinger comme un énoncé sur la courbure :
$\frac{d^2\psi }{d{x}^2}=\frac{2m}{{\hslash }^2}(V-E)\psi$
Là où $V<E$, la courbure est de signe opposé à $\psi$ : la courbe se replie toujours vers l'axe et oscille. Là où $V>E$, elle est de même signe : la courbe s'écarte de l'axe, comme $e^{\pm \kappa x}$. À un bord, $V$ saute d'une quantité finie ; la courbure saute donc aussi, mais reste finie. Une courbure finie qui agit sur une distance tendant vers zéro ne peut pas changer la pente : ${\psi }^{\prime }$ est donc continue ; et une courbe de pente finie ne peut pas sauter : $\psi$ est continue elle aussi. C'est pourquoi la courbe de la figure 2 passe par les points sans coude.

Passons au calcul. Plaçons la barrière sur $0<x<a$, avec $V=0$ à l'extérieur. À l'extérieur, le nombre d'onde est $k=\sqrt{2mE}/\hslash$ ; à l'intérieur, la constante de décroissance est $\kappa =\sqrt{2m(V_0-E)}/\hslash$. À gauche, $\psi =e^{ikx}+r{e}^{-ikx}$ : l'onde incidente d'amplitude unité plus l'onde réfléchie. À l'intérieur, $\psi =C{e}^{\kappa x}+D{e}^{-\kappa x}$ ; le terme croissant est cette fois permis, car la barrière se termine avant qu'il puisse croître sans limite. À droite, $\psi =t{e}^{ikx}$ seul, car rien n'arrive de ce côté.

Cela fait quatre inconnues, $r$, $C$, $D$ et $t$, et les bords fournissent quatre conditions : $\psi$ et ${\psi }^{\prime }$ continues en $x=0$ et en $x=a$. Ce sont quatre équations linéaires, et l'élimination de $C$ et $D$ laisse
$t=\frac{e^{-ika}}{\cosh \kappa a+i\frac{{\kappa }^2-k^2}{2k\kappa }\sinh \kappa a}$
La probabilité de transmission est son module au carré, soit l'inverse du carré du module du dénominateur :
$|t{|}^2={\left[{\cosh }^2\kappa a+{\left(\frac{{\kappa }^2-k^2}{2k\kappa }\right)}^2{\sinh }^2\kappa a\right]}^{-1}$
Remplaçons ${\cosh }^2$ par $1+{\sinh }^2$. Les deux termes en ${\sinh }^2$ se combinent alors, avec le coefficient $1+({\kappa }^2-k^2{)}^2/(2k\kappa {)}^2=({\kappa }^2+k^2{)}^2/(2k\kappa {)}^2$. Comme ${\kappa }^2+k^2=2m{V}_0/{\hslash }^2$, ce coefficient vaut $V_0^2/(4E(V_0-E))$, et
$T={\left[1+\frac{V_0^2{\sinh }^2(\kappa a)}{4E(V_0-E)}\right]}^{-1}$

Pourquoi $|t{|}^2$ est-il la fraction qui passe ? Le courant de probabilité $j=(\hslash /m)\mathrm{Im}({\psi }^{\ast }{\psi }^{\prime })$ mesure la quantité de probabilité qui traverse un point par seconde. Dans un état stationnaire, la probabilité ne s'accumule nulle part : $j$ est donc le même en tout point $x$. À gauche, il vaut $(\hslash k/m)(1-|r{|}^2)$, flux incident moins flux réfléchi ; à droite, il vaut $(\hslash k/m)|t{|}^2$. En les égalant, on obtient $|r{|}^2+|t{|}^2=1$ : chaque particule est soit réfléchie, soit transmise. La vitesse $\hslash k/m$ est la même des deux côtés, donc $T=|t{|}^2$ est la fraction transmise. Dans la figure 2, les flèches donnent $|r{|}^2=0,88$ et $|t{|}^2=0,12$, dont la somme vaut 1, et les 12 % qui passent sont $T$. La formule est d'accord : avec $E=\frac{3}{4}{V}_0$, le facteur $V_0^2/(4E(V_0-E))$ vaut $4/3$, $\sinh 1,6=2,38$, et $T=1/(1+\frac{4}{3}\cdot 5,65)=0,12$.

Pour une barrière épaisse, $\kappa a\gg 1$, deux simplifications s'appliquent. D'abord, $\sinh \kappa a=\frac{1}{2}(e^{\kappa a}-e^{-\kappa a})\approx \frac{1}{2}{e}^{\kappa a}$, car la seconde exponentielle est minuscule. Ensuite, le terme en ${\sinh }^2$ est alors énorme : le 1 du crochet est négligeable, et l'on peut inverser directement le crochet :
$T\approx 16\left(\frac{E}{V_0}\right)\left(1-\frac{E}{V_0}\right)e^{-2\kappa a}$
Le préfacteur ne dépasse jamais 4, sa valeur pour $E=\frac{1}{2}{V}_0$ ; c'est donc l'exponentielle qui décide : chaque longueur de décroissance $1/\kappa$ de largeur supplémentaire divise $T$ par $e^2\approx 7,4$.

Comment la transmission diminue avec la largeur

La formule exacte se lit mal d'un coup d'œil. Un graphe de $T$ en fonction de la largeur montre ses deux régimes : un début doux pour les barrières minces et une exponentielle pure pour les barrières épaisses.

Légende

$\ln T$	Logarithme népérien de la probabilité de transmission ; 0 signifie $T=1$.
$a$	Largeur de la barrière.	$\mathrm{m}$
$T$	Probabilité de transmission exacte pour une barrière de largeur $a$.
$e^{-2\kappa a}$	Loi des barrières épaisses, ici $T\approx 3e^{-2\kappa a}$ : la droite en tirets.
$\kappa a$	Largeur en longueurs de décroissance $1/\kappa$ ; le repère en tirets à $\kappa a=2$ est l'endroit où la droite prend le relais.
$a_0$	Largeur de la barrière de l'animation, 0,25 nm.	$\mathrm{m}$
$\Delta a$	Un pas sur la largeur de la barrière.	$\mathrm{m}$
$\Delta (\ln T)$	Variation de $\ln T$ sur ce pas, $-2\kappa \Delta a$ : $T$ est multiplié par $e^{-2\kappa \Delta a}$.

La figure 3 trace le $T(a)$ exact pour $E=3\mathrm{eV}$ et $V_0=4\mathrm{eV}$, jusqu'à $a=0,6\mathrm{nm}$ ; le niveau Avancé de l'animation montre la même courbe. Elle est ici tracée en échelle logarithmique, $\ln T$ en fonction de $a$, parce que dans cette échelle une exponentielle est une droite. Pour un électron avec $V_0-E=1\mathrm{eV}$, on a $\kappa =5,12\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$ : une longueur de décroissance vaut donc environ 0,2 nm.

Suivons la courbe pleine $T$ depuis la gauche. Elle part de $T=1$, c'est-à-dire $\ln T=0$, puisque l'absence de barrière signifie l'absence de réflexion. Elle quitte ce niveau en douceur : pour de petits $a$, $\sinh \kappa a\approx \kappa a$, donc $T\approx [1+1,33(\kappa a{)}^2{]}^{-1}$, où $1,33=V_0^2/(4E(V_0-E))$. Les valeurs exactes sont encore 0,92 à 0,05 nm et 0,72 à 0,1 nm. Au-delà du repère en tirets à $\kappa a=2$, la courbe est pratiquement une droite. Le triangle en donne la pente : un pas $\Delta a$ abaisse $\ln T$ de $\Delta (\ln T)=-2\kappa \Delta a$, donc chaque tranche supplémentaire de 0,1 nm multiplie $T$ par $e^{-1,02}\approx 0,36$. Le cercle marque la barrière de l'animation, $a_0=0,25\mathrm{nm}$, où $T=0,214$.

La droite en tirets est la loi des barrières épaisses. Pour ces énergies, $16(E/V_0)(1-E/V_0)=16\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}=3$, donc $T\approx 3e^{-2\kappa a}$ : une droite qui part de $\ln 3\approx 1,1$ et que la courbe exacte rejoint. Pour les barrières minces, la loi est médiocre. En $a=0$ elle donne 3, plus que ne peut valoir une probabilité, et à 0,25 nm elle donne 0,232, soit 8 % de trop. À partir de 0,4 nm, elle s'accorde à 2 % près.

L'animation envoie un paquet d'ondes, et non une onde d'énergie unique : ses énergies sont réparties autour de 3 eV avec une dispersion de 0,34 eV. Comme $T$ augmente fortement avec $E$ (une énergie plus grande donne un $\kappa$ plus petit), les composantes les plus rapides passent plus facilement. La transmission du paquet, 0,218, est donc un peu supérieure aux 0,214 d'une onde de 3 eV, et les électrons transmis ont en moyenne 3,08 eV contre 2,99 eV pour les électrons réfléchis.

Et si l'énergie dépasse la barrière, $E>V_0$ ? Classiquement, toutes les particules passeraient. Dans la formule, $V_0-E$ est maintenant négatif, donc $\kappa$ devient imaginaire : $\kappa =iq$, où $q=\sqrt{2m(E-V_0)}/\hslash$ est le nombre d'onde réel au-dessus de la barrière. Alors $\sinh \kappa a$ devient $i\sin qa$, et ${\sinh }^2\kappa a$ comme $V_0-E$ changent de signe, d'où
$T={\left[1+\frac{V_0^2{\sin }^2(qa)}{4E(E-V_0)}\right]}^{-1}$
Maintenant $T$ oscille avec la largeur au lieu de décroître. Il n'atteint 1 qu'aux résonances $qa=n\pi$, où la barrière contient un nombre entier de demi-longueurs d'onde et où les ondes réfléchies sur ses deux bords s'annulent. Pour toute autre largeur, une partie de l'onde est réfléchie, même si la particule a de l'énergie à revendre. Pour un électron de 3 eV passant au-dessus d'une barrière de 2 eV, $q=5,12\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$ : quand la largeur augmente, $T$ descend à 0,75 et revient à 1 pour $a=0,61\mathrm{nm}$, 1,23 nm, et ainsi de suite.

Barrières lisses et radioactivité alpha

Les barrières réelles sont rarement rectangulaires : leur hauteur change progressivement le long du trajet. La loi des barrières épaisses s'y étend tranche par tranche, et son application la plus connue explique pourquoi certains noyaux vivent des milliards d'années et d'autres moins d'une microseconde.

Légende

$V(r)$	Énergie potentielle de la particule alpha à la distance $r$ du centre : un puits dans le noyau, la répulsion électrique à l'extérieur.	$\mathrm{J}$
$Q$	Énergie libérée dans la désintégration : l'énergie de la particule alpha, le $E$ des formules.	$\mathrm{J}$
$\alpha$	La particule alpha, piégée dans le puits.
$r$	Distance au centre du noyau.	$\mathrm{m}$
$r_1$	Surface du noyau, où commence la barrière.	$\mathrm{m}$
$r_2$	Point de rebroussement extérieur, où $V=Q$ de nouveau et où la barrière se termine.	$\mathrm{m}$
$\kappa (r)$	Constante de décroissance $\sqrt{2m(V-Q)}/\hslash$ à la distance $r$ ; elle tombe à zéro en $r_2$.	${\mathrm{m}}^{-1}$
$dr$	Largeur d'une fine tranche de la barrière ; la tranche multiplie l'amplitude par $e^{-\kappa dr}$.	$\mathrm{m}$
$\int \kappa dr$	Aire sous $\kappa (r)$ de $r_1$ à $r_2$ : l'exposant dans $T\approx e^{-2\int \kappa dr}$.

La figure 4 montre la barrière qui retient une particule alpha à l'intérieur d'un noyau d'uranium 238. La coordonnée le long du mouvement est maintenant la distance $r$ au centre, qui joue le rôle de $x$. Le panneau du haut montre l'énergie potentielle $V(r)$ et l'énergie $Q$ libérée dans la désintégration, qui tient la place de $E$. À l'intérieur de la surface du noyau $r_1$, l'interaction forte creuse un puits profond (seulement esquissé), et la particule alpha $\alpha$ y est piégée. Juste à l'extérieur de $r_1$, la répulsion électrique place $V$ bien au-dessus de $Q$. Elle décroît en $1/r$ et rejoint $Q$ au point de rebroussement extérieur $r_2$, où la barrière se termine. Le panneau du bas trace la constante de décroissance $\kappa (r)=\sqrt{2m(V(r)-Q)}/\hslash$ sur le même intervalle : elle est maximale en $r_1$ et tombe à zéro en $r_2$.

Pour traiter une barrière dont la hauteur varie, découpons-la en fines tranches de largeur $dr$, comme la bande dorée. Si $\kappa$ varie peu sur une longueur de décroissance, c'est-à-dire si $|d\kappa /dr|\ll {\kappa }^2$, chaque tranche se comporte comme un mince morceau de barrière uniforme et multiplie l'amplitude par $e^{-\kappa dr}$. Multiplier les facteurs de toutes les tranches revient à additionner leurs exposants : l'amplitude est donc multipliée par $e^{-\int \kappa dr}$, où $\int \kappa dr$ est l'aire ombrée sous la courbe. La probabilité est le carré de l'amplitude, ce qui double l'exposant :
$T\approx \exp \left(-2{\int }_{r_1}^{r_2}\kappa (r)dr\right)$
C'est l'estimation WKB, d'après Wentzel, Kramers et Brillouin. Elle néglige un préfacteur d'ordre 1, comme le 3 de la barrière rectangulaire, car c'est l'exposant qui décide. Pour une barrière rectangulaire, l'aire vaut simplement $\kappa a$, et l'estimation redonne $e^{-2\kappa a}$.

George Gamow s'en est servi en 1928 pour expliquer la radioactivité alpha. Au-delà de la portée de l'interaction forte, le noyau fils, de charge $Ze$, repousse la particule alpha, de charge $2e$, avec
$V=\frac{2Z{e}^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$
la courbe de la figure 4. Pour l'uranium 238, le noyau fils est le thorium, $Z=90$. La barrière culmine vers 28 MeV à la surface du noyau, à environ 9 fm du centre, alors que l'énergie libérée n'est que $Q=4,27\mathrm{MeV}$. La particule alpha doit donc traverser par effet tunnel jusqu'à l'endroit où $V$ est retombé à $Q$, à environ 61 fm du centre. L'intégrale donne $2\int \kappa dr\approx 88$, d'où $T\approx e^{-88}\approx 6\times 10^{-39}$.

Pour en tirer une durée de vie, on utilise la même idée que dans le problème résolu plus loin. À l'intérieur du noyau, la particule alpha frappe la paroi environ $10^{21}$ fois par seconde, avec la probabilité $T$ de s'échapper à chaque choc. Le taux de fuite est d'environ $10^{21}\cdot 6\times 10^{-39}=6\times 10^{-18}$ par seconde ; elle s'échappe donc au bout de quelque $10^{17}$ s : quelques milliards d'années. C'est le bon ordre de grandeur pour la demi-vie mesurée de 4,5 milliards d'années, un vrai succès pour une estimation dont l'exposant vaut 88.

L'exposant dépend fortement de l'énergie. Le polonium 212 libère 8,95 MeV. Son point de rebroussement extérieur se rapproche à 26 fm, la barrière devient plus mince et plus basse, l'exposant tombe à environ 33, et la demi-vie n'est que de 0,3 µs. Une baisse de 55 de l'exposant correspond à un facteur $e^{55}\approx 10^{24}$ : en doublant à peu près l'énergie, de 4,3 à 9 MeV, on divise la demi-vie par environ $10^{24}$. Cette tendance abrupte avait déjà été mesurée, sous la forme de la loi empirique de Geiger-Nuttall ; l'effet tunnel l'explique.

États liés et énergie du point zéro

Les mêmes conditions de raccordement font plus que dénombrer les particules transmises. Appliquées à une particule piégée entre des parois, elles donnent ses niveaux d'énergie.

Commençons par une boîte aux parois infiniment hautes. Alors $\kappa$ est infini dans les parois, l'onde ne peut pas y pénétrer du tout, et $\psi$ doit s'annuler en $x=0$ et en $x=L$. À l'intérieur, où $V=0$, les solutions sont $\sin kx$ et $\cos kx$. La condition en $x=0$ ne laisse que $\sin kx$, et celle en $x=L$ exige $kL=n\pi$, avec $n$ un entier positif : un nombre entier de demi-longueurs d'onde doit tenir dans la boîte. Il reste
${\psi }_n=\sqrt{2/L}\sin (n\pi x/L)$
où le facteur $\sqrt{2/L}$ rend la probabilité totale égale à 1. L'énergie est l'énergie cinétique ${\hslash }^2{k}_n^2/2m$ avec $k_n=n\pi /L$ :
$E_n=\frac{n^2{h}^2}{8m{L}^2}$

Dans un puits de profondeur finie, les parois ne sont pas parfaitement dures. À l'intérieur, la solution oscille ; à l'extérieur, elle doit décroître de chaque côté ; et à chaque paroi les deux doivent se raccorder avec la même valeur et la même pente. Pour la plupart des énergies, l'onde intérieure arrive à une paroi avec la mauvaise pente, et la partie extérieure devrait croître sans limite. Seules des énergies particulières permettent aux deux raccordements de réussir à la fois : la quantification est une condition aux limites, et non un postulat supplémentaire. Les queues laissent aussi l'onde déborder un peu au-delà des parois, comme si la boîte était légèrement plus large : la longueur d'onde est donc plus grande et l'énergie plus basse. Pour un puits large de 1 nm et profond de 4 eV, le niveau le plus bas vaut 0,26 eV, et non les 0,38 eV de la boîte infinie.

Le niveau le plus bas n'est jamais nul. Prendre $n=0$ donnerait $\psi =0$ partout, c'est-à-dire aucune particule. Le principe d'incertitude dit la même chose. Dans l'état fondamental, la dispersion en position vaut $\Delta x=0,18L$, et la quantité de mouvement, de valeur $\pi \hslash /L$ dans un sens ou dans l'autre, a pour dispersion $\Delta p=\pi \hslash /L$. Leur produit vaut $\Delta x\Delta p\approx 0,57\hslash$, juste au-dessus du minimum $\hslash /2$ que permet le principe. Confiner une particule dans une région de taille $L$ coûte donc une énergie cinétique de l'ordre de ${\hslash }^2/(m{L}^2)$, l'énergie du point zéro. Elle empêche les atomes de s'effondrer : rapprocher un électron du noyau abaisse son énergie potentielle, mais augmente ce coût cinétique.

Problème résolu : un piège qui fuit

Plaçons deux des barrières de l'animation, hautes de 4 eV et épaisses de 0,25 nm, à une distance $L=2\mathrm{nm}$ l'une de l'autre, avec un électron d'environ 3 eV entre elles. Combien de temps l'électron reste-t-il piégé, et comment cela dépend-il de l'épaisseur des parois ?

Traitons l'électron comme une particule qui fait des allers-retours à la vitesse $v=\sqrt{2E/m}=1,03\times 10^{6}m/s$, soit 1,03 nm par femtoseconde, avec une probabilité $T$ de s'échapper chaque fois qu'elle frappe une paroi. Entre deux chocs, elle traverse l'intervalle une fois : elle frappe donc une paroi toutes les $L/v=1,95\mathrm{fs}$. La probabilité de fuite par unité de temps, le taux de fuite, est donc $\Gamma =Tv/L$. Une probabilité constante par unité de temps signifie que le nombre de ceux qui sont encore à l'intérieur décroît comme $e^{-\Gamma t}$, avec la durée de vie moyenne $1/\Gamma$ :
$\tau =\frac{L}{vT}=\frac{1,95\mathrm{fs}}{T}$
Avec les parois de 0,25 nm de l'animation, $T=0,214$ et $\tau \approx 9\mathrm{fs}$. Avec des parois de 1 nm d'épaisseur, $T=1,06\times 10^{-4}$ et $\tau \approx 18\mathrm{ps}$. Avec des parois de 2 nm, $T=3,8\times 10^{-9}$ et $\tau \approx 0,5\mu \mathrm{s}$.

Remarquez la régularité. D'après la loi des barrières épaisses, chaque nanomètre de paroi supplémentaire divise $T$, et donc multiplie la durée de vie, par $e^{2\kappa \cdot 1\mathrm{nm}}=e^{10,25}$, soit environ 28 000 : c'est exactement le passage de 18 ps à 0,5 µs. Un proton dans le même piège s'en tirerait bien plus mal. Sa masse est 1836 fois plus grande ; à la même énergie, il va donc 43 fois plus lentement et fait face à un $\kappa$ 43 fois plus grand, car les deux varient comme $\sqrt{m}$. Même avec des parois de 0,25 nm, $T$ tombe à environ $6\times 10^{-48}$ et $\tau$ monte à quelque $10^{34}$ s, bien plus que l'âge de l'Univers. L'image des rebonds est grossière pour $T=0,214$, où l'électron a disparu en quelques rebonds, et précise quand $T$ est petit, comme pour la radioactivité alpha.

Limites de validité

Tout ce qui précède est non relativiste. Un électron de 3 eV se déplace à 0,34 % de la vitesse de la lumière et son énergie vaut $6\times 10^{-6}$ de son énergie de masse, 511 keV : l'équation de Schrödinger en donne donc une excellente description. La barrière rectangulaire et la boîte infinie sont des idéalisations. Dans une jonction tunnel, par exemple, l'électron induit une charge dans le métal voisin et en est attiré ; cette attraction arrondit et abaisse la barrière. Cela augmente $T$ mais conserve la dépendance exponentielle par rapport à la largeur.

Le modèle est aussi unidimensionnel. En trois dimensions, seul compte le mouvement à travers la barrière : un électron qui arrive en biais, avec moins d'énergie dans cette direction, traverse donc moins facilement. Dans un solide, l'électron réagit aux forces comme s'il avait une autre masse, sa masse effective, qui remplace $m$. Dans l'arséniure de gallium, elle vaut 0,067 fois la masse de l'électron libre, ce qui divise $\kappa$ par environ quatre et permet aux électrons de traverser des couches de quelques nanomètres dans les diodes à effet tunnel résonant. Enfin, le potentiel a été supposé fixe et l'électron seul. Dans de très petites jonctions, la charge d'un électron modifie assez le potentiel pour bloquer le suivant.

Ce qui vient ensuite

Dualité onde-corpuscule a introduit l'amplitude et ses probabilités ; cette leçon lui a donné une équation. Radioactivité et demi-vie montre la loi de décroissance exponentielle que produit un piège qui fuit, et Fission, fusion et E = mc² l'effet tunnel qui permet aux noyaux de fusionner dans les étoiles. Semi-conducteurs, diodes et LED applique les mêmes conditions de raccordement à un potentiel périodique, où elles donnent des bandes d'énergie.

Réflexion et réfraction traite la réflexion totale, dont la forme frustrée est la jumelle optique de l'effet tunnel. Les orbites de Modèles atomiques : l'atome de Bohr font place à l'équation de Schrödinger en trois dimensions, dont la solution pour l'hydrogène donne les mêmes niveaux $-13,6\mathrm{eV}/n^2$ et la forme des orbitales, et Particules et forces : le modèle standard rend cette même mécanique ondulatoire relativiste.