Induction électromagnétique

Débutant

Reliez une bobine de fil à un ampèremètre sensible. Il n'y a aucune pile, l'aiguille reste donc à zéro. Enfoncez maintenant un aimant droit dans la bobine : l'aiguille dévie d'un côté. Tenez l'aimant immobile à l'intérieur : l'aiguille revient à zéro. Retirez-le : l'aiguille dévie de l'autre côté.

C'est l'induction électromagnétique, découverte par Michael Faraday en 1831. La règle tient en une phrase : un courant ne circule que pendant que le magnétisme qui traverse la bobine varie. Un énorme aimant immobile ne produit rien ; un petit aimant déplacé vite produit quelque chose. L'animation montre les trois étapes : l'aimant qui entre, l'aimant au repos, l'aimant qui sort.

Vous connaissez déjà la raison. Un aimant pousse de côté les charges en mouvement. Déplacez un fil à travers le champ d'un aimant : les charges du fil sont emportées avec lui, donc poussées le long du fil, et cette poussée, c'est le courant induit. Peu importe ce qui bouge, l'aimant ou le fil.

Le courant induit combat toujours la variation qui l'a créé. Quand l'aimant arrive, la bobine devient un petit aimant qui le repousse ; quand il repart, elle cherche à le retenir. Il faut donc fournir un travail pour déplacer l'aimant, et c'est précisément de là que vient l'énergie électrique.

Aller plus vite, prendre un aimant plus puissant ou enrouler plus de spires donne un courant plus fort. Les alternateurs des centrales, les dynamos de vélo et les chargeurs sans fil reposent tous sur ce principe.

Testez-vous : un aimant repose dans une bobine reliée à un ampèremètre. Qu'indique l'appareil ? (Zéro : rien ne varie.)

Intermédiaire

Flux magnétique : combien de champ traverse une spire

L'induction n'est pas provoquée par un champ magnétique en tant que tel, mais par la variation de la quantité de champ qui traverse un circuit : le flux magnétique. Pour une spire plane d'aire $A$ dans un champ uniforme $B$,
$\Phi =BA\cos \theta$
où $\theta$ est l'angle entre le champ et la normale, la droite perpendiculaire au plan de la spire. Un champ qui traverse la spire perpendiculairement à son plan donne $\theta =0$ et $\Phi =BA$ ; un champ situé dans le plan donne $\Phi =0$, car aucune ligne de champ ne traverse la spire.

Le flux se mesure en webers, $1\mathrm{Wb}=1\mathrm{T}\cdot {\mathrm{m}}^2$, et il a un signe : si l'on inverse le champ ou si l'on retourne la spire, le flux change de signe. Une bobine de $N$ spires, comme les 200 de l'animation, réagit au flux total $N\Phi$, puisque chaque spire est traversée par le même flux.

Loi de Faraday : seule la variation compte

La loi de Faraday énonce qu'un flux variable induit une force électromotrice (f.é.m.) dans une bobine de $N$ spires :
$\epsilon =-\frac{N\Delta \Phi }{\Delta t}$
La f.é.m., mesurée en volts, est l'énergie cédée à chaque coulomb qui fait une fois le tour du circuit ; la formule en donne la valeur moyenne sur l'intervalle $\Delta t$. Dans un circuit de résistance $R$, elle fait circuler un courant $I=\epsilon /R$.

Le flux $\Phi =BA\cos \theta$ peut varier de trois façons, et chacune induit une f.é.m. :

• Faire varier le champ $B$ : déplacer un aimant, ou allumer ou éteindre un électroaimant.
• Faire varier l'aire $A$ : étirer la spire, ou faire glisser une tige sur des rails.
• Faire varier l'angle $\theta$ : faire tourner la bobine, ce qui est le principe de l'alternateur.

La valeur du flux lui-même ne compte pas. Tant que l'aimant reste au repos dans la bobine, de 2,6 s à 4,6 s, l'affichage $\Phi$ reste à 0,20 mWb et l'affichage $\epsilon$ indique 0 mV.

Loi de Lenz : le signe moins

Le signe moins, c'est la loi de Lenz : le courant induit s'oppose à la variation de flux qui lui a donné naissance. Quand le pôle nord approche, le flux augmente ; le courant crée donc un champ de sens contraire, et la face de la bobine tournée vers l'aimant devient un pôle nord qui le repousse. Quand l'aimant s'éloigne, le flux diminue, le courant s'inverse et cette face devient un pôle sud qui retient l'aimant. Votre main droite donne le sens du courant : le pouce suit le champ que le courant doit créer, et les doigts se referment dans le sens où il circule.

La loi de Lenz est la conservation de l'énergie sous un déguisement. Puisque la bobine résiste, il faut fournir un travail pour déplacer l'aimant, et ce travail devient l'énergie électrique du circuit. Si la bobine aidait au contraire le mouvement, un simple coup de pouce suffirait à ce que l'aimant s'emballe tout seul : de l'énergie à partir de rien.

Exemple résolu : la bobine de l'animation

Quand l'aimant est entièrement à l'intérieur, le champ $B=0,20\mathrm{T}$ est dirigé selon l'axe de la bobine ($\theta =0$) et traverse une aire $A=10\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2=1,0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$ :
$\Phi =BA=0,20\cdot 1,0\times 10^{-3}=2,0\times 10^{-4}\mathrm{Wb}=0,20\mathrm{mWb}$
L'affichage $\Phi$ atteint cette valeur à 2,6 s. Il part de 0,00 parce que, à 125 mm de distance, l'aimant n'envoie qu'environ 0,0025 mWb à travers la bobine.

La poussée dure 2,0 s, de 0,6 s à 2,6 s ; la f.é.m. moyenne pendant la poussée vaut donc
$|\epsilon |=\frac{N\Delta \Phi }{\Delta t}=\frac{200\cdot 0,20\times 10^{-3}}{2,0}=0,020\mathrm{V}$
soit 20 mV. Pourtant, l'affichage $\epsilon$ descend jusqu'à environ $-89\mathrm{mV}$ vers $t\approx 2,2\mathrm{s}$, car le flux ne croît pas à un rythme régulier. À 1,7 s, il n'est encore que d'environ 0,02 mWb ; puis, quand l'extrémité nord pénètre dans la bobine, il grimpe jusqu'à environ 0,18 mWb à 2,3 s. Sur cette fenêtre de 0,6 s, la moyenne vaut $200\cdot 0,16\times 10^{-3}/0,6\approx 53\mathrm{mV}$, et une moyenne ne peut jamais dépasser la valeur de crête.

Le signe obéit à la loi de Lenz : l'affichage est négatif tant que le flux augmente, et il atteint $+89\mathrm{mV}$ quand le flux diminue, lorsque l'aimant ressort.

Exemple résolu : une tige glissant sur des rails

Deux rails parallèles distants de 25 cm sont reliés à une extrémité par une résistance de 0,50 Ω, et une tige métallique repose en travers dans un champ uniforme de 0,40 T perpendiculaire à leur plan. Vous tirez la tige le long des rails à la vitesse constante de 2,0 m/s.

Pendant une durée $\Delta t$, la tige, de longueur $L=0,25\mathrm{m}$ entre les rails, ajoute au circuit une aire $Lv\Delta t$ ; on a donc $\Delta \Phi =BLv\Delta t$, et la loi de Faraday avec $N=1$ donne
$\epsilon =BLv$
$\epsilon =0,40\cdot 0,25\cdot 2,0=0,20\mathrm{V}$
puis un courant $I=\epsilon /R=0,20/0,50=0,40\mathrm{A}$.

Parcourue par un courant dans un champ, la tige subit une force $F=BIL=0,40\cdot 0,40\cdot 0,25=0,040\mathrm{N}$ qui, d'après la loi de Lenz, est dirigée vers l'arrière, contre le mouvement. Maintenir la tige à 2,0 m/s demande une puissance $Fv=0,080\mathrm{W}$, exactement les $I^{2}R=0,080\mathrm{W}$ que la résistance transforme en chaleur : chaque joule vient de votre traction.

Lire le cadran, les flèches et les graphiques

L'affichage vert $\Phi$ passe de 0,00 à 0,20 mWb en une montée en S : lente, puis rapide, puis de nouveau lente quand l'aimant s'immobilise. L'affichage $\epsilon$, l'angle de l'aiguille du cadran et la longueur de la flèche violette $I$ suivent tous la f.é.m. en proportion. Le N ou le S à côté de l'extrémité gauche de la bobine est le pôle que crée le courant induit.

Sur un graphique de $\Phi$ en fonction de $t$, la f.é.m. vaut $-N$ fois la pente : négative sur une montée, nulle sur tout palier, aussi haut soit-il, positive sur une descente. Le point le plus raide de la montée, vers 2,2 s, a une pente d'environ 0,45 mWb/s, et $200\cdot 0,45\approx 89\mathrm{mV}$ est la valeur de crête lue.

Erreurs fréquentes

• Un champ intense ne signifie pas une grande f.é.m. Quand l'aimant repose à l'intérieur, 0,20 mWb traversent chaque spire et la f.é.m. est exactement nulle.
• Le courant induit s'oppose à la variation, pas au champ. Quand l'aimant s'éloigne, le champ induit est de même sens que le champ propre de l'aimant : il soutient le flux qui diminue.
• L'angle $\theta$ se mesure à partir de la normale, pas à partir du plan. Une bobine dont le plan fait 30° avec le champ a $\theta =60^{\circ }$ ; avec les valeurs de l'animation, $\Phi =BA\cos 60^{\circ }=0,10\mathrm{mWb}$, et non 0,17 mWb.
• Gardez le facteur $N$ et convertissez avec $1\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2=10^{-4}{\mathrm{m}}^2$. Si l'on oublie $N$, les 20 mV de moyenne de l'animation deviennent 0,1 mV ; si l'on prend 10 cm² pour $10^{-2}{\mathrm{m}}^2$, ils deviennent 200 mV.
• Une f.é.m. n'est pas un courant. Une bobine dont les extrémités sont libres a toute la f.é.m. entre elles mais n'est parcourue par aucun courant : elle ne subit donc aucun freinage.

Où on le rencontre

La plus grande partie de l'électricité du monde vient d'alternateurs qui font tourner des aimants devant des bobines pour produire un courant alternatif à 50 ou 60 Hz. Les transformateurs changent les tensions par induction, les chargeurs de téléphone sans fil transmettent de l'énergie à travers un petit espace d'air à environ 100–200 kHz, les plaques à induction chauffent une casserole grâce aux courants de Foucault, et les micros de guitare et les détecteurs de métaux repèrent un métal en mouvement ou caché. Certains trains freinent avec des courants de Foucault, et les voitures électriques récupèrent de l'énergie en faisant fonctionner leurs moteurs comme des générateurs.

Les machines font l'objet de la leçon Moteurs, générateurs et transformateurs. La loi de Faraday est aussi la moitié du mécanisme de la lumière : des champs magnétique et électrique variables s'engendrent l'un l'autre et se propagent ensemble, ce que décrit la leçon Ondes électromagnétiques.

Avancé

La f.é.m. et le flux, définis avec précision

La loi de Faraday relie deux grandeurs, la f.é.m. le long d'un circuit et le flux magnétique qui le traverse ; il faut donc définir l'une et l'autre exactement avant d'énoncer la loi. Parcourons une fois un contour fermé $C$ par petits pas $d\vec{l}$. La f.é.m. $\epsilon$ du contour est le travail fourni par unité de charge, pendant ce seul tour, par tout ce qui pousse la charge le long du contour. Si une charge $q$ subit la force $\vec{F}$, alors
$\epsilon =\oint (\vec{F}/q)\cdot d\vec{l}$
Une f.é.m. n'est pas une différence de potentiel. Le champ électrique de charges au repos ne fournit aucun travail net à une charge qui fait le tour d'une boucle fermée, puisqu'elle revient au potentiel dont elle est partie : ce champ a une circulation nulle. Donc, chaque fois qu'un contour fermé a une f.é.m., une autre poussée est à l'œuvre, et cette leçon explique d'où elle vient.

Légende

$C$	Le contour fermé, ici le circuit, parcouru par petits pas.
$S$	Une surface qui s'appuie sur $C$ ; toutes ces surfaces portent le même flux.
$d\vec{l}$	Un petit pas le long de $C$, dans le sens indiqué par les pointes de flèche.	$\mathrm{m}$
$d\vec{A}$	Un petit élément de $S$ sous forme de vecteur : sa longueur est l'aire de l'élément, il est perpendiculaire à l'élément, et la règle de la main droite en choisit la face.	${\mathrm{m}}^2$
$\vec{B}$	Champ magnétique au niveau de l'élément.	$\mathrm{T}$
$\theta$	Angle entre $\vec{B}$ et $d\vec{A}$.	$\mathrm{rad}$

La figure 1 pose la géométrie. Les pointes de flèche sur $C$ donnent le sens dans lequel on parcourt le contour, et un pas $d\vec{l}$ est dessiné. Pour mesurer le flux, il faut une surface $S$ qui s'appuie sur $C$ ; la figure utilise la surface plane. Découpons $S$ en petits éléments et décrivons chacun par un vecteur $d\vec{A}$ : sa longueur est l'aire de l'élément, et il est perpendiculaire à l'élément. Un élément a deux faces, et la règle de la main droite en choisit une : courbez les doigts de la main droite le long de $d\vec{l}$, et le pouce donne la direction de $d\vec{A}$. Cette règle lie le signe du flux au sens dans lequel on compte la f.é.m.

Regardons maintenant l'élément lui-même. Le champ $\vec{B}$ y fait l'angle $\theta$ avec $d\vec{A}$, donc seule sa composante $B\cos \theta$ traverse l'élément, et celui-ci ajoute $BdA\cos \theta =\vec{B}\cdot d\vec{A}$ au flux. En additionnant tous les éléments, on obtient le flux à travers $C$ :
$\Phi =\int \vec{B}\cdot d\vec{A}$
Pourquoi le choix de la surface n'importe-t-il pas ? Parce que $\nabla \cdot \vec{B}=0$ : les lignes de champ ne commencent ni ne finissent nulle part, donc toute ligne qui traverse la surface plane traverse aussi un dôme appuyé sur le même contour. Toutes les surfaces limitées par $C$ portent le même flux, si bien que $\Phi$ appartient au contour lui-même.

Une fois les deux grandeurs définies, la loi de Faraday dit que la f.é.m. est l'opposé de la vitesse de variation du flux. Pour un contour immobile, la seule poussée vient du champ électrique, et la loi s'écrit
$\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=-\frac{d}{dt}\int \vec{B}\cdot d\vec{A}$
Une bobine de $N$ spires est formée de $N$ tels contours en série, tous traversés par le même flux, donc sa f.é.m. est
$\epsilon =-N\frac{d\Phi }{dt}$
Le signe moins est la loi de Lenz. Une f.é.m. positive fait circuler un courant selon $d\vec{l}$, et, par la règle de la main droite, le champ de ce courant traverse $S$ selon $d\vec{A}$, ce qui ajoute un flux positif. Un flux croissant reçoit donc une f.é.m. négative, dont le courant retire du flux et s'oppose ainsi à la hausse.

Le théorème de Stokes transforme la circulation de $\vec{E}$ le long de $C$ en flux de $\nabla \times \vec{E}$ à travers $S$. Comme la loi vaut pour toute boucle, aussi petite soit-elle, elle vaut en chaque point :
$\nabla \times \vec{E}=-\partial \vec{B}/\partial t$
Un champ magnétique variable est entouré d'un champ électrique tourbillonnaire, qu'un fil soit là ou non pour le ressentir.

F.é.m. de mouvement : un circuit mobile dans un champ fixe

Le flux à travers un circuit peut varier pour deux raisons bien différentes : le circuit se déplace dans un champ qui reste en place, ou le champ varie alors que le circuit reste en place. La loi de Faraday couvre les deux cas avec une seule formule, mais la physique qui se cache derrière n'est pas la même. Prenons d'abord le circuit mobile, car la loi s'y déduit d'une force que vous connaissez déjà.

Légende

$\vec{B}$	Champ magnétique, dirigé vers l'intérieur de la page (les croix).	$\mathrm{T}$
$\vec{v}$	Vitesse de la tige, vers la droite.	$m/s$
$L$	Longueur de la tige entre les rails.	$\mathrm{m}$
$\vec{v}dt$	Distance parcourue par la tige pendant le court intervalle $dt$.	$\mathrm{m}$
$d\vec{l}$	Petit élément de la tige, orienté dans le sens du circuit : le sens horaire, donc vers le bas de la tige.	$\mathrm{m}$
$d\vec{A}$	La bande balayée par $d\vec{l}$ pendant $dt$, sous forme de vecteur aire $\vec{v}dt\times d\vec{l}$ ; il pointe vers l'intérieur de la page.	${\mathrm{m}}^2$
$\vec{F}$	Force magnétique $q\vec{v}\times \vec{B}$ sur une charge positive $q$ qui se déplace avec la tige ; elle pointe vers le haut de la tige.	$\mathrm{N}$

La figure 2 montre le circuit mobile le plus simple. Une tige de longueur $L$ repose en travers de deux rails reliés à leur extrémité gauche, et glisse vers la droite avec la vitesse $\vec{v}$. Le champ $\vec{B}$ est partout dirigé vers l'intérieur de la page (les croix). Les charges de la tige se déplacent avec elle, donc chacune subit la force magnétique $q\vec{v}\times \vec{B}$ ; pour une charge positive, c'est la force $\vec{F}$, qui pointe vers le haut de la tige. La f.é.m. est le travail de cette force par unité de charge le long du circuit :
$\epsilon =\oint (\vec{v}\times \vec{B})\cdot d\vec{l}$
Seule la tige bouge, donc seule la tige contribue. Le long de la tige, $\vec{v}\times \vec{B}$ a pour norme $vB$ et est dirigé le long de la tige, si bien que la valeur de la f.é.m. est $BLv$.

Relions maintenant cela au flux. Pendant le court intervalle $dt$, l'élément $d\vec{l}$ se déplace de $\vec{v}dt$ et balaie la bande ombrée, dont le vecteur aire est $d\vec{A}=\vec{v}dt\times d\vec{l}$ ; la tige entière balaie l'aire $Lvdt$. Comme $\nabla \cdot \vec{B}=0$, le flux à travers le circuit augmente exactement du flux à travers ces bandes balayées. En divisant par $dt$ :
$\frac{d\Phi }{dt}=\oint \vec{B}\cdot (\vec{v}\times d\vec{l})=-\oint (\vec{v}\times \vec{B})\cdot d\vec{l}$
La deuxième égalité utilise la permutation circulaire dans le produit mixte, $\vec{B}\cdot (\vec{v}\times d\vec{l})=d\vec{l}\cdot (\vec{B}\times \vec{v})$, ainsi que $\vec{B}\times \vec{v}=-\vec{v}\times \vec{B}$. Le membre de droite est l'opposé de la f.é.m., donc $\epsilon =-d\Phi /dt$. Pour un circuit qui se déplace dans un champ fixe, la règle du flux n'est pas une loi nouvelle : elle découle de la force magnétique sur les charges en mouvement.

Les signes de la figure 2 le confirment. L'élément $d\vec{l}$ pointe vers le bas de la tige, dans le sens de parcours du circuit, qui est le sens horaire. Par la règle de la main droite, $d\vec{A}$ pointe alors vers l'intérieur de la page, dans le sens de $\vec{B}$, donc le flux est positif et croissant. La force $\vec{F}$ pointe vers le haut de la tige, à l'opposé de $d\vec{l}$, donc la f.é.m. est négative : un flux croissant et une f.é.m. négative, comme l'exige la loi de Lenz.

Un champ variable : le champ électrique induit

Maintenant, gardons le circuit immobile et changeons le champ à la place, par exemple en déplaçant l'aimant plutôt que la bobine. Des charges au repos ne subissent aucune force magnétique, donc la force magnétique ne peut pas être la poussée. La poussée vient d'un champ électrique réellement nouveau, dont le rotationnel n'est pas nul : $\nabla \times \vec{E}=-\partial \vec{B}/\partial t$. Rien dans la loi de la force magnétique ne le prédit. C'est une loi de la nature distincte, trouvée par l'expérience.

Pourtant, les deux mécanismes donnent toujours la même f.é.m., si bien que seul compte le mouvement relatif de l'aimant et de la bobine. L'article de relativité d'Einstein de 1905 s'ouvre précisément sur cet exemple. Dans le référentiel de l'aimant, les charges de la bobine se déplacent et subissent la force $q\vec{v}\times \vec{B}$ ; dans le référentiel de la bobine, elles sont au repos et subissent $q\vec{E}$. La relativité montre qu'il s'agit d'un seul champ vu depuis deux référentiels : sa répartition en partie électrique et partie magnétique dépend de l'observateur.

L'impulsion de f.é.m. : sa hauteur et son aire

Quand on enfonce l'aimant de l'animation dans la bobine, la f.é.m. arrive sous la forme d'une seule impulsion. Deux caractéristiques de l'impulsion portent la physique : sa hauteur est fixée par la rapidité de variation du flux, et son aire par la variation totale du flux.

Légende

$t$	Temps.	$\mathrm{s}$
$\Phi$	Flux à travers une spire de la bobine.	$\mathrm{Wb}$
${\Phi }_{\max }$	Flux maximal, atteint quand l'aimant repose dans la bobine.	$\mathrm{Wb}$
$\Delta \Phi$	Hausse totale du flux pendant la poussée.	$\mathrm{Wb}$
$dt$	Court intervalle de temps : le côté horizontal du triangle de pente.	$\mathrm{s}$
$d\Phi$	Variation de $\Phi$ le long de la tangente pendant $dt$ : le côté vertical.	$\mathrm{Wb}$
$\epsilon$	F.é.m. induite dans toute la bobine de $N$ spires.	$\mathrm{V}$
${\epsilon }_{\max }$	Profondeur de l'impulsion, sous le point le plus raide de $\Phi$ ; la f.é.m. y est négative.	$\mathrm{V}$
$N\Delta \Phi$	Valeur de l'aire grisée sous l'impulsion : $N$ spires fois la hausse $\Delta \Phi$.	$\mathrm{V}\cdot \mathrm{s}$

La figure 3 est tracée d'après le même modèle que l'animation. Le graphique du haut est le flux $\Phi (t)$ à travers une spire pendant qu'on enfonce l'aimant : il croît de $\Delta \Phi$ jusqu'à ${\Phi }_{\max }$, puis reste constant. Le graphique du bas est la f.é.m. $\epsilon (t)$, qui, d'après la loi de Faraday, vaut $-N$ fois la pente du graphique du haut. Regardez le point sur la courbe du flux : la tangente y est la plus raide, et son triangle de pente a pour côtés $dt$ et $d\Phi$. Suivez la ligne en pointillés tout droit vers le bas : la f.é.m. est au fond de son impulsion, dont la profondeur est ${\epsilon }_{\max }$. Là où $\Phi$ est constant, avant l'arrivée de l'aimant et après son arrêt à l'intérieur, la f.é.m. est nulle, si grand que soit le flux.

Commençons par la hauteur. Dans le modèle, le flux à travers une spire dépend de la distance $s$ entre les centres de l'aimant et de la bobine selon
$\Phi (s)={\Phi }_{\max }[1+(s/a{)}^2{]}^{-3/2}$
avec ${\Phi }_{\max }=0,20\mathrm{mWb}$ et $a=30\mathrm{mm}$. Le flux ne dépend du temps qu'à travers $s$, donc la dérivation en chaîne scinde la f.é.m. en un facteur fixé par la forme du champ et un facteur fixé par la vitesse :
$\epsilon =-N\frac{d\Phi }{ds}\frac{ds}{dt}$
La pente $d\Phi /ds$ est proportionnelle à $(s/a)[1+(s/a{)}^2{]}^{-5/2}$. Annuler la dérivée de cette expression donne $1+(s/a{)}^2=5(s/a{)}^2$, donc la pente est maximale en $s=\pm a/2$, où sa valeur est $0,86{\Phi }_{\max }/a$. En entrant, l'aimant se déplace à la vitesse constante de 78 mm/s et passe en $s=-15\mathrm{mm}$ vers $t\approx 2,2\mathrm{s}$. La profondeur de l'impulsion est donc
${\epsilon }_{\max }=200\cdot 0,86\cdot (0,20\times 10^{-3}/0,030)\cdot 0,078\approx 0,089\mathrm{V}$
ce qui est le creux de $-89\mathrm{mV}$ du graphique. L'impulsion est nette : elle est plus profonde que la moitié de cette valeur pendant seulement 0,37 s sur les 2 s de la poussée.

Passons à l'aire. En intégrant la loi de Faraday sur toute l'impulsion, on obtient
$\int \epsilon dt=-N\int d\Phi =-N\Delta \Phi$
L'aire ne dépend que de la variation totale du flux, pas de la rapidité avec laquelle elle s'est produite. Ici le flux passe de 0,0025 mWb, l'aimant étant à 125 mm, à 0,20 mWb, donc l'aire vaut $-200\cdot (0,20-0,0025)\mathrm{mWb}\approx -39,5\mathrm{mV}\cdot \mathrm{s}$ (un volt-seconde est un weber). Retirer l'aimant donne une impulsion de même aire et de signe opposé. Une poussée deux fois plus rapide donne une impulsion deux fois plus haute et deux fois plus étroite, de même aire.

L'aire a une utilité pratique. À travers un circuit de résistance $R$, la charge qui circule est $Q=\int \epsilon dt/R$, donc $Q=N|\Delta \Phi |/R$ : environ 2,0 mC par impulsion avec 20 Ω. Cela reste exact même quand l'inductance propre de la bobine compte, car le courant est nul avant et après l'impulsion, si bien que la f.é.m. d'auto-induction a une intégrale nulle. Une bobine exploratrice reliée à un appareil de mesure de la charge peut donc mesurer un champ quelle que soit la vitesse de la main qui la déplace.

La bobine tournante : un générateur

Un générateur fait varier le flux par rotation : une bobine tourne régulièrement dans un champ fixe. Supposons qu'elle tourne à la vitesse angulaire $\omega$ dans un champ uniforme $B$, si bien que l'angle $\theta$ de la figure 1, entre $\vec{B}$ et le vecteur aire de la bobine, croît selon $\theta =\omega t$. Chaque spire, d'aire $A$, est alors traversée par $\Phi =BA\cos \omega t$, et la loi de Faraday donne
$\epsilon =-N\frac{d\Phi }{dt}=NBA\omega \sin \omega t$
La f.é.m. est nulle quand la bobine fait face au champ et que le flux est maximal, car le cosinus est plat à son sommet. Elle est maximale un quart de tour plus tard, quand la bobine est de chant par rapport au champ et que le flux passe par zéro en variant le plus vite. Flux et f.é.m. sont décalés d'un quart de période, comme la position et la vitesse dans un mouvement harmonique simple.

Faisons tourner la bobine de l'animation, avec $N=200$ et $A=1,0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$, dans son champ de 0,20 T, 50 fois par seconde, de sorte que $\omega =2\pi \cdot 50\approx 314rad/s$. La f.é.m. maximale est
$NBA\omega =200\cdot 0,20\cdot 1,0\times 10^{-3}\cdot 314\approx 12,6\mathrm{V}$
La forme moyenne de la loi le confirme. À chaque demi-tour, le flux passe de $+0,20$ à $-0,20\mathrm{mWb}$ en 0,010 s, donc la f.é.m. moyenne vaut $200\cdot 0,40\times 10^{-3}/0,010=8,0\mathrm{V}$. C'est $2/\pi$ de la valeur de crête, la moyenne d'une demi-sinusoïde, comme il se doit. La crête vaut 140 fois les 89 mV de l'aimant poussé à la main, pour deux raisons : le flux s'inverse maintenant complètement au lieu de simplement apparaître, et il le fait cent fois par seconde.

La réaction des courants induits

Dès qu'une f.é.m. induite fait circuler un courant, ce courant se trouve dans un champ magnétique et subit une force. D'après la loi de Lenz, cette force s'oppose toujours au mouvement qui l'a provoquée : l'induction joue le rôle d'un frein. La tige sur ses rails permet de le chiffrer.

Poussons la tige puis lâchons-la. À la vitesse $v$, la f.é.m. $BLv$ fait circuler le courant $I=BLv/R$ dans la résistance $R$ du circuit, et le champ repousse la tige avec la force $BIL=B^2{L}^{2}v/R$. La deuxième loi de Newton pour une tige de masse $m$ s'écrit alors
$m\frac{dv}{dt}=-\frac{B^2{L}^2}{R}v$
Cette force de freinage est proportionnelle à la vitesse, donc la vitesse décroît exponentiellement, $v=v_0{e}^{-t/\tau }$, avec la constante de temps $\tau =mR/(B^2{L}^2)$. Prenons les rails de l'exemple du niveau intermédiaire, avec $B=0,40\mathrm{T}$, $L=0,25\mathrm{m}$ et $R=0,50\Omega$, et une tige de 20 g : $\tau =0,020\cdot 0,50/(0,40^2\cdot 0,25^2)=1,0\mathrm{s}$. Lancée à 2,0 m/s, la tige glisse sur la distance $v_0\tau =2,0\mathrm{m}$ (l'intégrale de $v$ sur tout le temps), et ses 0,040 J d'énergie cinétique finissent en chaleur dans la résistance.

Dans un métal massif, aucun fil ne guide le courant : le champ électrique induit fait circuler des courants de Foucault le long de boucles fermées à l'intérieur du métal lui-même. Ils chauffent la casserole sur une plaque à induction, freinent les trains sans usure et font descendre lentement un aimant dans un tube de cuivre. Les noyaux de transformateur sont faits de fines tôles isolées (on parle de noyau feuilleté), qui coupent ces boucles et réduisent les pertes. Une bobine s'oppose aussi aux variations de son propre courant, parce que le flux de ce courant la traverse elle-même. Cette auto-induction explique pourquoi la coupure du courant dans une grande bobine peut provoquer une étincelle.

Problème résolu : un aimant lâché à travers la bobine

Lâchons l'aimant de l'animation sans vitesse initiale, l'axe vertical, son centre à 20 cm au-dessus du centre de la bobine, de sorte qu'il la traverse en tombant. Laissons d'abord la bobine ouverte : aucun courant ne circule, donc rien ne freine la chute. Comment les impulsions d'entrée et de sortie se comparent-elles ? Fermons ensuite la bobine sur 20 Ω : quel freinage cela ajoute-t-il ?

Hauteur des crêtes. Chaque impulsion est la plus profonde là où la pente $d\Phi /ds$ est la plus raide, en $s=\pm 15\mathrm{mm}$, donc
$|{\epsilon }_{\max }|\approx N\cdot 0,86({\Phi }_{\max }/a)v=200\cdot 0,86\cdot (0,20\times 10^{-3}/0,030)v\approx 1,15v$
en volts pour $v$ en m/s. Le centre de l'aimant atteint $s=-15\mathrm{mm}$ après une chute de 0,185 m, à $v=\sqrt{2\cdot 9,81\cdot 0,185}\approx 1,91m/s$, et $s=+15\mathrm{mm}$ après 0,215 m, à environ 2,05 m/s. L'impulsion d'entrée culmine donc près de $-2,2\mathrm{V}$ et celle de sortie près de $+2,35\mathrm{V}$, seulement 15 ms plus tard.

Largeurs. Chaque impulsion a pour aire $N{\Phi }_{\max }\approx 40\mathrm{mV}\cdot \mathrm{s}$, car le flux passe de presque rien à ${\Phi }_{\max }$ puis retombe. À aires égales, l'impulsion de sortie, plus haute, doit être plus étroite : l'aire divisée par la hauteur donne environ 18 ms pour l'impulsion d'entrée et 17 ms pour celle de sortie. Les deux impulsions sont environ 25 fois plus hautes et 25 fois plus étroites que dans l'animation, ce qui est le rapport des vitesses.

Freinage. Fermons maintenant la bobine sur 20 Ω. La puissance transformée en chaleur est ${\epsilon }^2/R$, et son intégrale $\int {\epsilon }^{2}dt/R$, calculée numériquement sur les deux impulsions, vaut environ 5,8 mJ. Un aimant de 50 g arrive avec $mgh=0,050\cdot 9,81\cdot 0,20\approx 0,098\mathrm{J}$ d'énergie cinétique, donc il perd environ 6 % de son énergie. Sa vitesse varie comme la racine carrée de l'énergie, elle ne baisse donc que d'environ 3 % : négliger le freinage dans la première partie était légitime. Dans un tube de cuivre, la résistance est minuscule, les courants sont grands, et le freinage est assez fort pour limiter l'aimant à une lente vitesse limite.

Limites de validité : quand la règle du flux échoue

La règle du flux fonctionne quand le trajet du courant se déplace avec la matière qui le porte, comme la tige sur ses rails. Un disque en rotation montre ce qui se passe quand ce n'est pas le cas, et ce qu'il faut employer à la place.

Légende

$\vec{B}$	Champ magnétique le long de l'axe, dirigé hors de la page (les points).	$\mathrm{T}$
$\omega$	Vitesse angulaire du disque.	$rad/s$
$r$	Rayon du disque : distance de l'axe au bord.	$\mathrm{m}$
$d\rho$	Petit morceau du rayon, à la distance $\rho$ de l'axe.	$\mathrm{m}$
$\vec{v}$	Vitesse du métal en un point du rayon, de norme $\omega \rho$ : elle croît proportionnellement à la distance à l'axe.	$m/s$
$\vec{F}$	Force magnétique $q\vec{v}\times \vec{B}$ sur une charge positive dans le métal : le long du rayon, en s'éloignant de l'axe.	$\mathrm{N}$
$\epsilon$	F.é.m. entre les balais, lue sur l'appareil.	$\mathrm{V}$

La figure 4 montre un disque de cuivre de rayon $r$ qui tourne à la vitesse angulaire $\omega$ dans un champ $\vec{B}$ dirigé selon son axe, vers vous (hors de la page, les points). Un balai touche l'axe et un autre le bord, et des fils relient les deux à un appareil qui mesure la f.é.m. $\epsilon$. Le courant parcourt les fils, l'appareil et un rayon du disque entre les balais. Ce trajet reste en place pendant que le disque tourne, donc le flux qui le traverse ne change jamais, et la règle du flux ne prévoit aucune f.é.m. Pourtant l'appareil en indique une.

La loi de force explique la mesure. Le métal du disque se déplace, donc les charges qu'il contient subissent $q\vec{v}\times \vec{B}$. À la distance $\rho$ de l'axe, le métal se déplace à la vitesse $\omega \rho$ ; dans la figure 4, les flèches $\vec{v}$ le long du rayon grandissent donc proportionnellement à $\rho$, et leurs pointes se trouvent sur une droite en pointillés qui passe par le centre. La force $\vec{F}$ sur une charge positive est dirigée le long du rayon, en s'éloignant de l'axe (elle est dessinée sur le rayon de gauche). Un petit morceau $d\rho$ du rayon ajoute donc $B\omega \rho d\rho$ à la f.é.m., et la somme de l'axe au bord est l'aire sous cette droite, un triangle :
$\epsilon ={\int }_0^{r}B\omega \rho d\rho =\frac{1}{2}B\omega r^2$
Pour un disque de rayon 10 cm qui tourne 50 fois par seconde dans 0,50 T, cela donne 0,79 V. La règle qui ne faillit jamais est la loi de force elle-même, avec la force par unité de charge intégrée le long du trajet réel des charges :
$\epsilon =\oint (\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B})\cdot d\vec{l}$

L'image du circuit a ses propres limites. Elle suppose que la f.é.m. apparaît d'un coup tout autour de la boucle, ce qui exige un circuit très petit devant la longueur d'onde $c/f$ du champ variable : 6000 km à 50 Hz, mais seulement 30 cm à 1 GHz, où les fils commencent à rayonner comme des antennes. Nous avons aussi négligé le champ propre de la bobine. Pour la bobine de l'animation, de longueur $\ell =60\mathrm{mm}$, l'estimation du solénoïde long pour son inductance, ${\mu }_0{N}^{2}A/\ell$, donne moins de 1 mH, et avec 20 Ω une constante de temps voisine de 40 µs : négligeable devant l'impulsion de 0,4 s, mais dominante aux hautes fréquences.

La façon dont la poussée se partage entre $\vec{E}$ et $\vec{v}\times \vec{B}$ dépend du référentiel. À basse vitesse, un référentiel animé de la vitesse $\vec{v}$ voit le champ électrique ${\vec{E}}^{\prime }=\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B}$ ; aux 78 mm/s de l'animation, cette règle n'est en défaut que d'environ $(v/c{)}^2\approx 7\times 10^{-20}$.

À l'autre extrême se trouve l'anneau supraconducteur. Le long d'une boucle de résistance nulle, la f.é.m. totale doit être nulle, sinon le courant croîtrait sans limite ; le flux à travers l'anneau, y compris celui de son propre courant, ne peut donc pas varier du tout. Ce flux ne vaut en outre qu'un nombre entier de fois le quantum de flux $h/2e\approx 2,07\times 10^{-15}\mathrm{Wb}$. Les 0,20 mWb de la bobine représentent environ $10^{11}$ quanta ; les SQUID, des dispositifs supraconducteurs à interférence quantique, résolvent une petite fraction d'un seul quantum, de quoi enregistrer les champs magnétiques du cerveau.

Ce qui vient ensuite

La leçon Force magnétique sur une charge en mouvement a fourni la moitié $\vec{v}\times \vec{B}$ de la présente leçon. Moteurs, générateurs et transformateurs met la loi au travail : un transformateur est formé de deux bobines qui partagent un même flux variable, et un moteur est un générateur qui fonctionne à l'envers, avec la force contre-électromotrice que prévoit la loi de Lenz. Puissance et énergie électriques à la maison suit cette énergie jusqu'à la prise, et le frein à courants de Foucault reparaît comme un amortisseur linéaire dans Amortissement et résonance.

Ajoutez la correction de Maxwell, selon laquelle un champ électrique variable crée aussi un champ magnétique, et les deux champs s'engendrent l'un l'autre dans le vide, en se propageant à la vitesse $c=1/\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}$ : c'est le sujet de la leçon Ondes électromagnétiques. Et comme seul compte le mouvement relatif de l'aimant et de la bobine, le chemin mène ensuite à la leçon Relativité restreinte.