Moteurs, générateurs et transformateurs

Débutant

Placez une boucle de fil entre les pôles d'un aimant et faites-y circuler un courant. Un côté de la boucle est poussé vers le haut, l'autre vers le bas : la boucle se tord. Laissée à elle-même, la boucle pivote jusqu'à s'aligner sur l'aimant, puis s'arrête. Pour qu'elle continue de tourner, il faut inverser le courant dans la boucle à chaque demi-tour ; une bague fendue qui tourne avec la boucle en frottant sur deux contacts fixes s'en charge. Vous tenez un moteur électrique, le cœur d'une perceuse, d'un ventilateur ou d'une voiture électrique.

Faites fonctionner la machine à l'envers : elle devient un générateur. Dans l'animation, une bobine tourne sans arrêt entre les pôles nord et sud d'un aimant, comme l'entraînerait une turbine de centrale. Ses côtés balaient le magnétisme et poussent un courant dans le circuit. Observez la flèche rouge sur le fil : elle grandit, rétrécit puis change de sens à chaque demi-tour. C'est le courant alternatif, celui de vos prises, et la lampe clignote deux fois par tour.

Le courant arrive ensuite dans un transformateur : deux bobines sur un même anneau de fer. Le courant variable de la première bobine crée un magnétisme variable dans le fer, qui fait circuler un courant dans la seconde. Plus de spires sur la seconde donnent une tension plus haute, mais jamais plus de puissance : dix fois plus de tension, c'est dix fois moins de courant. Voilà pourquoi l'électricité voyage sous très haute tension : un faible courant dans les câbles gaspille bien moins d'énergie en chaleur.

Testez-vous : un transformateur a 50 spires à l'entrée et 500 à la sortie. Avec 12 V alternatifs à l'entrée, qu'obtient-on ? (120 V, avec dix fois moins de courant.)

Intermédiaire

Force sur un fil, couple sur une bobine

Un champ magnétique exerce une poussée latérale sur les charges en mouvement, donc sur un fil parcouru par un courant : c'est la force de Laplace. Pour un fil rectiligne de longueur $L$ parcouru par un courant $I$ dans un champ uniforme $B$, la force vaut
$F=BIL\sin \theta$
où $\theta$ est l'angle entre le fil et le champ : la force est maximale quand le fil coupe le champ à angle droit, et nulle quand il est parallèle aux lignes de champ. Elle est perpendiculaire à la fois au fil et au champ, et la règle de la main gauche de Fleming en donne le sens : l'index le long du champ, le majeur le long du courant, le pouce le long de la force. Ainsi, un champ de 1 T exerce une force de 1 N sur chaque mètre de fil parcouru par 1 A et placé en travers du champ.

Repliez le fil en une bobine rectangulaire de $N$ spires et d'aire $A$, montée sur un axe entre les pôles de l'aimant. Ses deux grands côtés sont parcourus par des courants opposés et poussés en sens contraires : la bobine subit donc un couple
$\Gamma =NBIA\sin \theta$
où $\theta$ désigne maintenant l'angle entre le champ et la normale à la bobine. Le couple est maximal quand le plan de la bobine est parallèle au champ, et nul quand la bobine fait face au champ : c'est là qu'une bobine abandonnée à elle-même s'immobilise. Un moteur à courant continu continue de tourner grâce à un collecteur, bague fendue montée sur l'axe, sur laquelle frottent deux balais, et qui inverse le courant à chaque demi-tour, juste au moment où le couple s'apprêterait à changer de sens.

Le générateur : un moteur qui tourne à l'envers

Retirez la pile et faites tourner la bobine à une vitesse angulaire constante $\omega$. En mesurant l'angle à partir de la position où la bobine fait face au champ, le flux à travers chaque spire vaut $\Phi =BA\cos \omega t$, et la loi de Faraday, $\epsilon =-Nd\Phi /dt$, donne la f.é.m. et sa valeur maximale :

• $\epsilon =NBA\omega \sin \omega t$
• ${\epsilon }_0=NBA\omega$

Cette f.é.m. alternative a pour fréquence $f=\omega /2\pi$. Elle est maximale quand le plan de la bobine est parallèle au champ : les côtés coupent alors les lignes de champ perpendiculairement, et le flux, en passant par zéro, varie le plus vite. Elle est nulle quand la bobine fait face au champ : le flux y est maximal, mais momentanément constant. Des bagues collectrices transmettent la f.é.m. vers l'extérieur sans tordre les fils ; un collecteur à leur place donnerait un courant continu pulsé. Les appareils de mesure indiquent la valeur efficace (la racine de la moyenne des carrés), égale au maximum divisé par $\sqrt{2}$ pour une sinusoïde : une tension secteur de 230 V atteint environ 325 V au maximum.

Transformateurs : deux bobines, un seul flux

Un transformateur n'a aucune pièce mobile : un enroulement primaire de $N_1$ spires et un secondaire de $N_2$ spires partagent un même noyau de fer fermé. Un courant alternatif dans le primaire crée un flux alternatif que le fer guide à travers le secondaire. Chaque spire, de l'un comme de l'autre enroulement, est traversée par le même flux variable et est le siège de la même f.é.m. ; les tensions sont donc dans le rapport des nombres de spires, et, sans pertes, la puissance reçue est égale à la puissance fournie :

• $\frac{U_2}{U_1}=\frac{N_2}{N_1}$
• $U_1{I}_1=U_2{I}_2$

Un transformateur élévateur ($N_2>N_1$) augmente la tension et diminue le courant du même facteur : aucune énergie n'est créée. Un courant continu constant crée un flux constant, qui n'induit rien ; un transformateur exige donc du courant alternatif. Les gros transformateurs ont un rendement supérieur à 99 %.

Exemple résolu : la machine de l'animation

La bobine compte $N=200$ spires d'aire $A=0,020{\mathrm{m}}^2$ (20 cm sur 10 cm), plongées dans un champ $B=0,50\mathrm{T}$ ; elle fait un tour toutes les 2 s, donc $\omega =2\pi /2=\pi \approx 3,14rad/s$. On obtient alors :
${\Phi }_{\max }=BA=0,50\cdot 0,020=0,010\mathrm{Wb}$
${\epsilon }_0=NBA\omega =200\cdot 0,50\cdot 0,020\cdot \pi \approx 6,28\mathrm{V}$

À $t=0$, la bobine fait face au champ : l'affichage de $\Phi$ indique 10,0 mWb et celui de $\epsilon$ zéro. Un huitième de tour plus tard, à $t=0,25\mathrm{s}$, le flux vaut $10\cos 45^{\circ }\approx 7,1\mathrm{mWb}$ et la f.é.m. $6,28\sin 45^{\circ }\approx 4,44\mathrm{V}$. À $t=0,5\mathrm{s}$, le plan de la bobine est parallèle au champ, $\Phi$ s'annule et $\epsilon$ atteint son maximum, 6,28 V. À $t=1\mathrm{s}$, le flux vaut −10,0 mWb et la f.é.m. est de nouveau nulle.

Avec $N_1=100$ et $N_2=200$, le secondaire délivre $U_2=2\epsilon$, qui culmine à 12,57 V (environ 12,6 V) sur l'affichage de $U_2$, en phase avec $\epsilon$. La puissance de la lampe croît comme $U_2^2$ : elle s'allume donc à chaque maximum, positif comme négatif, soit deux fois par tour.

Lire les flèches : pourquoi le générateur résiste

Les flèches bleues $v$ montrent les grands côtés qui parcourent leur cercle : à $t=0$, ils glissent le long du champ $B$ et ne coupent rien ; à $t=0,5\mathrm{s}$, ils le traversent à angle droit. Seul le mouvement à travers le champ entraîne les charges, d'où le $\sin \omega t$. Les flèches violettes $F$ représentent la force de Laplace à l'œuvre dans le générateur : le champ pousse le courant induit avec $F=BIL$, toujours à l'opposé du mouvement. C'est la loi de Lenz ; si ces forces aidaient au contraire le mouvement, la bobine s'emballerait d'elle-même et produirait de l'énergie à partir de rien.

Considérons la lampe comme une résistance de 25 Ω. Au maximum, elle est traversée par $12,57/25\approx 0,50\mathrm{A}$ ; avec un transformateur parfait, il faut donc le double dans la bobine, environ 1,0 A. Le couple vaut alors $\Gamma =NBIA=200\cdot 0,50\cdot 1,0\cdot 0,020=2,0\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$, et faire tourner la bobine à $\pi rad/s$ contre ce couple exige $\Gamma \omega \approx 6,3\mathrm{W}$, exactement la puissance maximale de la lampe, $12,57\cdot 0,50\approx 6,3\mathrm{W}$. Débranchez la lampe, et la bobine tourne librement.

Exemple résolu : les lignes à haute tension

Un parc éolien envoie 20 MW dans des lignes de résistance totale 4,0 Ω. Elles dégagent de la chaleur à raison de $R{I}^2$ et, pour une puissance donnée, le courant vaut $I=P/U$ ; donc
$P_{\mathrm{pertes}}=R{I}^2={\left(\frac{P}{U}\right)}^{2}R$

Sous les 11 kV des générateurs eux-mêmes, le courant vaudrait $20\times 10^6/(11\times 10^3)\approx 1818\mathrm{A}$ et les pertes $1818^2\cdot 4,0\approx 13,2\mathrm{MW}$ : les deux tiers de la puissance ne feraient que chauffer les câbles. Un transformateur élévateur de rapport 1 : 12 porte la tension à 132 kV. Le courant tombe à 151,5 A et les pertes à $151,5^2\cdot 4,0\approx 92\mathrm{kW}$, moins d'un demi pour cent : une tension douze fois plus grande, $12^2=144$ fois moins de pertes. Près des habitations, des transformateurs abaisseurs la ramènent ensuite à 230 V.

Erreurs fréquentes

• Un transformateur ne fonctionne pas en courant continu constant : une pile de 12 V donne 0 V au secondaire, après une brève impulsion à la mise sous tension.
• La f.é.m. n'est pas maximale quand la bobine fait face aux aimants : le flux y est maximal (10 mWb dans l'animation), mais momentanément constant, donc $\epsilon =0$. La f.é.m. culmine à 6,28 V quand $\Phi =0$.
• Un transformateur élévateur ne crée pas d'énergie : la lampe reçoit le double de la tension de la bobine mais la moitié de son courant, 0,50 A contre 1,0 A, si bien que la puissance, 6,3 W, est la même des deux côtés.
• Les deux angles notés $\theta$ ne sont pas les mêmes : dans $F=BIL\sin \theta$, c'est l'angle entre le fil et le champ ; dans $\Gamma =NBIA\sin \theta$, celui entre le champ et la normale à la bobine. Une bobine parallèle au champ subit donc le couple maximal.

Où on le rencontre

Les moteurs électriques entraînent ventilateurs, ascenseurs, pompes et voitures électriques, et consomment près de la moitié de l'électricité mondiale. Le moteur d'une voiture électrique fonctionne même en générateur quand elle freine. Un alternateur de centrale à deux pôles qui tourne à 3000 tr/min fournit les 50 Hz du réseau européen, et des transformateurs se trouvent aux deux extrémités de chaque ligne électrique, ainsi que dans les chargeurs de téléphone. Les 230 V rencontrés dans la leçon Puissance et énergie électriques à la maison sont une valeur efficace, et les champs variables à l'origine de tout transformateur mènent à la leçon Ondes électromagnétiques.

Avancé

Deux chemins vers la même f.é.m.

Un générateur est une bobine de $N$ spires que l'on fait tourner à une vitesse angulaire constante $\omega$ dans un champ magnétique uniforme $\vec{B}$. La loi du flux de Faraday donne sa f.é.m. en une ligne, mais elle cache ce qui pousse réellement les charges le long du circuit. Nous allons donc d'abord trouver la f.é.m. à partir de la force magnétique qui s'exerce sur les charges du fil en mouvement, puis vérifier que la loi du flux donne le même résultat. Chaque spire est un rectangle dont les deux grands côtés, de longueur $L$, sont parallèles à l'axe, et dont les deux petits côtés ont la longueur $w$, la largeur de la bobine, de sorte que son aire vaut $A=Lw$.

Légende

$\vec{B}$	Champ magnétique, uniforme et horizontal dans le plan de la figure.	$\mathrm{T}$
$\omega$	Vitesse angulaire de la bobine, qui tourne ici dans le sens horaire.	$rad/s$
$\frac{w}{2}$	Rayon du cercle décrit par chaque grand côté : la moitié de la largeur $w$ de la bobine.	$\mathrm{m}$
$\vec{v}$	Vitesse d'un grand côté, tangente à son cercle, de valeur $\omega w/2$.	$m/s$
$\theta$	Angle entre $\vec{v}$ et $\vec{B}$, et aussi entre $\vec{A}$ et $\vec{B}$ : $\theta =\omega t$.	$\mathrm{rad}$
$\vec{A}$	Vecteur surface de la bobine : de norme $A=Lw$, perpendiculaire à la bobine, donc parallèle à $\vec{v}$ du côté supérieur.	${\mathrm{m}}^2$
$\vec{F}$	Force magnétique $q\vec{v}\times \vec{B}$ sur une charge positive $q$ dans un grand côté. Elle est dirigée le long du fil : vers l'extérieur de la page sur le côté supérieur (point), vers l'intérieur sur le côté inférieur (croix).	$\mathrm{N}$

La figure 1 est vue le long de l'axe, qui pointe vers l'intérieur de la page. Chaque grand côté apparaît alors comme un petit disque, et la bobine comme le segment qui joint les deux disques. Le champ $\vec{B}$ est horizontal sur la page, et la bobine tourne dans le sens horaire à la vitesse $\omega$.

Commençons par le mouvement d'un grand côté. Il se trouve à la distance $w/2$ de l'axe, donc il décrit le cercle en pointillés de rayon $w/2$ avec la vitesse $v=\omega w/2$. Sa vitesse $\vec{v}$ est tangente à ce cercle. Comptons le temps à partir de l'instant où les côtés se déplacent le long des lignes de champ, avec $\vec{v}$ parallèle à $\vec{B}$. La vitesse tourne avec la bobine : à l'instant $t$, elle a tourné de l'angle $\theta =\omega t$, marqué sur la figure entre $\vec{v}$ et la ligne horizontale en pointillés du côté supérieur.

Passons à la force. Une charge positive $q$ entraînée par le côté subit la force magnétique $\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$. Les vecteurs $\vec{v}$ et $\vec{B}$ sont tous deux dans le plan de la page, donc leur produit vectoriel est perpendiculaire à la page, c'est-à-dire dirigé le long du fil. Sur le côté supérieur, il sort de la page (le point) ; sur le côté inférieur, dont la vitesse est inversée, il entre dans la page (la croix). Comme $\theta$ est l'angle entre $\vec{v}$ et $\vec{B}$, la force a pour valeur $qvB\sin \theta =qvB\sin \omega t$.

Voyons maintenant le travail. La f.é.m. est le travail fourni à une charge unité qui fait une fois le tour du circuit. Le long d'un grand côté, la force par unité de charge, $vB\sin \omega t$, est dirigée le long du fil sur toute la longueur $L$ ; elle fournit donc le travail $BLv\sin \omega t$ par unité de charge. Les petits côtés se trouvent dans le plan de la page ; la force sur leurs charges reste dirigée le long de l'axe, donc en travers du fil, et ne fournit aucun travail le long d'eux.

Faisons enfin le tour d'une spire. Le long du côté supérieur, nous allons vers l'extérieur de la page, dans le même sens que la force à cet endroit. Le long du côté inférieur, nous revenons vers l'intérieur de la page, et la force y est aussi dirigée vers l'intérieur : elle pousse donc de nouveau dans le sens du parcours. Les deux côtés s'additionnent ainsi au lieu de s'annuler, et chaque spire fournit $2BLv\sin \omega t$. Les $N$ spires sont montées en série, donc leurs f.é.m. s'additionnent aussi :
$\epsilon =2NBL\frac{\omega w}{2}\sin \omega t=NBA\omega \sin \omega t$
où la dernière étape utilise $A=Lw$.

La voie du flux est plus courte. Le vecteur surface $\vec{A}$ a pour norme $A$ et est perpendiculaire au plan de la bobine. Sur la figure 1, il est parallèle à la vitesse du côté supérieur, car cette vitesse est elle aussi perpendiculaire à la bobine. Le vecteur $\vec{A}$ tourne donc avec $\vec{v}$ et fait avec $\vec{B}$ le même angle $\theta =\omega t$. Le flux à travers une spire vaut par conséquent $\Phi =BA\cos \omega t$, maximal à $t=0$, quand la bobine fait face au champ. La loi de Faraday donne
$\epsilon =-N\frac{d\Phi }{dt}=-NBA\frac{d}{dt}\cos \omega t=NBA\omega \sin \omega t$
soit le même résultat.

Reprenons les valeurs de l'animation. Sa bobine mesure $L=0,20\mathrm{m}$ le long de l'axe et $w=0,10\mathrm{m}$ en travers, donc $A=0,020{\mathrm{m}}^2$ ; elle compte $N=200$ spires, plongées dans $B=0,50\mathrm{T}$, et tourne à $\omega =\pi rad/s$ (un tour toutes les 2 s). Chaque grand côté se déplace à $v=\pi \cdot 0,05\approx 0,157m/s$ et apporte au plus $BLv=0,50\cdot 0,20\cdot 0,157\approx 15,7\mathrm{mV}$. Les 200 spires comptent 400 grands côtés, tous en série, donc la f.é.m. maximale est $400\cdot 15,7\mathrm{mV}\approx 6,28\mathrm{V}$, soit la même valeur que $NBA\omega =200\cdot 0,50\cdot 0,020\cdot \pi$.

Les deux voies s'accordent, mais elles décrivent des mécanismes différents. Dans le générateur, le fil se déplace, et c'est la force magnétique sur ses charges en mouvement qui les pousse ; la loi du flux n'est qu'un résumé commode de cette force. Dans un transformateur, rien ne bouge : la force $q\vec{v}\times \vec{B}$ n'existe donc pas du tout. À sa place, le flux variable crée un champ électrique qui circule autour du noyau,
$\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=-\frac{d\Phi }{dt}$
et ce champ électrique entraîne les charges de la bobine secondaire. Qu'une même règle couvre deux mécanismes si différents laisse penser que les champs électrique et magnétique sont deux aspects d'un champ unique, ce que la relativité rend précis.

Lire le graphe : le flux est en avance sur la f.é.m.

Le graphe de l'animation montre ensemble le flux et la f.é.m. Bien le lire, c'est voir la loi de Faraday comme un énoncé sur des pentes, ce qui est le moyen le plus rapide d'esquisser n'importe quelle f.é.m. induite à partir de son flux.

Légende

$\Phi$	Flux magnétique à travers une spire, $BA\cos \omega t$, dessiné à l'échelle de la hauteur de ${\epsilon }_0$.	$\mathrm{Wb}$
$\epsilon$	F.é.m. de la bobine, $-Nd\Phi /dt$.	$\mathrm{V}$
${\epsilon }_0$	F.é.m. maximale de la bobine, $NBA\omega$.	$\mathrm{V}$
$V_s$	Tension de la bobine secondaire du transformateur ; son maximum est $2{\epsilon }_0$ pour $N_s/N_p=2$.	$\mathrm{V}$
$t$	Temps.	$\mathrm{s}$
$T$	Période : la durée d'un tour de la bobine.	$\mathrm{s}$
$\frac{T}{4}$	Un quart de période : la durée dont le flux est en avance sur la f.é.m., soit un déphasage de $90^{\circ }$.	$\mathrm{s}$

La figure 2 redessine ce graphe sur une période $T$, la durée d'un tour : ici $T=2\pi /\omega =2\mathrm{s}$. La courbe verte est le flux $\Phi (t)$ à travers une spire, ramené à la hauteur de la f.é.m. pour que l'on compare facilement les deux. La courbe rouge est la f.é.m. $\epsilon (t)$. La courbe dorée, dont nous parlons plus bas, est la tension de sortie $V_s(t)$ d'un transformateur alimenté par le générateur.

Comparons d'abord les positions des sommets. Le flux $\Phi =BA\cos \omega t$ a un sommet à $t=0$, et la f.é.m. a son premier sommet un quart de période plus tard, à $T/4=0,5\mathrm{s}$. Le flux est en avance d'un quart de cycle sur la f.é.m., soit un déphasage de $90^{\circ }$. Le motif se répète à chaque période : le flux a de nouveau un sommet à 2 s, à 4 s, et ainsi de suite.

Voyons pourquoi. La loi de Faraday, $\epsilon =-Nd\Phi /dt$, dit que la f.é.m. vaut $-N$ fois la pente de la courbe verte. À un sommet ou à un creux de $\Phi$, la courbe est plate un instant, donc $\epsilon =0$ en ce point, alors même que le flux y est à sa valeur extrême. Là où $\Phi$ décroît en passant par zéro, à $T/4$, la pente est la plus raide ; la tangente en pointillés montre cette pente, et $\epsilon$ atteint là son maximum $+{\epsilon }_0=+6,28\mathrm{V}$. Une demi-période plus tard, $\Phi$ croît en passant par zéro tout aussi raidement, et $\epsilon =-6,28\mathrm{V}$.

Les nombres le confirment. Le flux à travers une spire a pour amplitude $BA=0,50\cdot 0,020=10\mathrm{mWb}$, donc le flux total $N\Phi$ a pour amplitude $200\cdot 10\mathrm{mWb}=2,0\mathrm{Wb}$. Un cosinus d'amplitude $a$ et de pulsation $\omega$ a une pente maximale $a\omega$, ici $2,0\cdot \pi \approx 6,28Wb/s$. Comme $1Wb/s=1\mathrm{V}$, c'est la f.é.m. maximale ${\epsilon }_0$.

La courbe dorée $V_s(t)$ a les mêmes zéros et les mêmes sommets que $\epsilon (t)$, mais elle est deux fois plus haute : son maximum est $2{\epsilon }_0$. Un transformateur parfait recopie la forme du signal, la multiplie par son rapport de spires, ici $N_s/N_p=2$, et n'ajoute aucun déphasage ; la figure 4 montre pourquoi.

Reste à savoir quel nombre unique citer pour une telle tension. Une résistance $R$ alimentée par ${\epsilon }_0\sin \omega t$ reçoit la puissance $({\epsilon }_0^2/R){\sin }^2\omega t$. Sur un cycle, ${\sin }^2\omega t$ a pour moyenne $\frac{1}{2}$, car ${\sin }^2$ et ${\cos }^2$ ont la même moyenne et ont pour somme 1. La puissance moyenne est donc la moitié de la puissance maximale, la même que celle d'une tension continue ${\epsilon }_0/\sqrt{2}$. C'est la valeur efficace, ici $6,28/\sqrt{2}\approx 4,44\mathrm{V}$.

Bilan d'énergie : le générateur se paie en couple

Un générateur transforme du travail mécanique en énergie électrique ; quelque chose doit donc s'opposer à la rotation, sans quoi la bobine fournirait de la puissance pour rien. Ce quelque chose, c'est la force magnétique qui s'exerce sur le courant même que la bobine débite.

Supposons que la bobine débite un courant $I$ en phase avec sa f.é.m., comme elle le fait dans une résistance. Dans chaque spire, un grand côté transporte $I$ sur une longueur $L$ perpendiculairement à $\vec{B}$, donc il subit une force $BIL$, perpendiculaire à $\vec{B}$ dans le plan de la figure 1. Seule la partie de cette force qui est dirigée selon la vitesse $\vec{v}$ du côté agit sur la rotation. Comme $\vec{v}$ fait l'angle $\omega t$ avec $\vec{B}$, cette partie vaut $BIL\sin \omega t$ ; d'après la loi de Lenz, elle s'oppose à $\vec{v}$, avec le bras de levier $w/2$. Deux côtés par spire et $N$ spires donnent le couple résistant
$\tau =2N(BIL\sin \omega t)\frac{w}{2}=NBIA\sin \omega t$
Pour que la bobine tourne à $\omega$ constante, celui qui l'entraîne doit fournir ce couple, donc la puissance mécanique apportée est
$\tau \omega =(NBIA\sin \omega t)\omega =(NBA\omega \sin \omega t)I=\epsilon I$
exactement la puissance électrique fournie, à chaque instant.

Quelle force fournit le travail ? Pas la force magnétique : elle est toujours perpendiculaire à la vitesse totale de chaque charge, somme du mouvement de la bobine et de la dérive de la charge le long du fil, donc elle ne fournit aucun travail. Elle ne fait que rediriger du travail. La part de la force due au mouvement de la bobine pousse les charges le long du fil et entretient le courant ; la part due à leur dérive le long du fil pousse le fil sur le côté et s'oppose à la rotation. Ces deux travaux sont égaux et opposés : toute l'énergie électrique vient donc de celui qui fait tourner l'arbre.

Le moteur : f.c.é.m. et droite de couple

Faisons fonctionner la même machine en moteur, et le couplage joue en sens inverse. L'alimentation impose un courant, la force sur ce courant fait tourner la bobine, et la bobine en rotation, qui est aussi un générateur, produit une f.é.m. qui s'oppose à l'alimentation. Cette force contre-électromotrice (f.c.é.m.) fixe le courant et la vitesse du moteur, et décide du couple qu'il peut fournir à chaque vitesse.

Légende

$\omega$	Vitesse de l'arbre du moteur.	$rad/s$
$\tau$	Couple fourni par le moteur ; il décroît linéairement quand $\omega$ augmente.	$\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
${\tau }_0$	Couple de démarrage, $kV/R$ : le couple avec l'arbre bloqué, $\omega =0$.	$\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
${\omega }_0$	Vitesse à vide, $V/k$ : la f.c.é.m. égale la tension d'alimentation, aucun courant ne circule et le couple est nul.	$rad/s$
$\frac{{\omega }_0}{2}$	La moitié de la vitesse à vide, où la puissance mécanique est maximale.	$rad/s$
$\frac{{\tau }_0}{2}$	La moitié du couple de démarrage : le couple à ${\omega }_0/2$.	$\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
$P$	Puissance mécanique $\tau \omega$, aire du rectangle ombré ; à ${\omega }_0/2$ elle atteint sa valeur maximale, $V^2/(4R)$.	$\mathrm{W}$

La figure 3 trace le couple $\tau$ fourni par un moteur en fonction de la vitesse $\omega$ de son arbre, pour une tension d'alimentation $V$ fixe appliquée à travers la résistance $R$ de son enroulement. Pour comprendre pourquoi ce graphe est une droite, modélisons le moteur. Avec de nombreuses bobines sur le rotor et un collecteur qui branche chacune au bon moment, la f.c.é.m. ${\epsilon }_b$ est presque constante et proportionnelle à la vitesse. Trois équations décrivent alors le moteur :
$V={\epsilon }_b+IR,{\epsilon }_b=k\omega ,\tau =kI$
La première est celle du circuit : la tension d'alimentation se partage entre la f.c.é.m. et la chute de tension dans l'enroulement. La deuxième et la troisième contiennent la même constante $k$, et il le faut : le bilan d'énergie ci-dessus, ${\epsilon }_{b}I=\tau \omega$, n'est vrai que si la constante qui relie ${\epsilon }_b$ à $\omega$ est égale à celle qui relie $\tau$ à $I$.

La première équation donne le courant, $I=(V-k\omega )/R$, et la troisième le transforme en couple :
$\tau =\frac{k(V-k\omega )}{R}$
C'est la droite descendante de la figure. À son extrémité gauche, l'arbre est maintenu immobile, $\omega =0$ : il n'y a pas de f.c.é.m., seul l'enroulement limite le courant, à $V/R$, et le couple est alors le couple de démarrage (rotor bloqué) ${\tau }_0=kV/R$. Quand la vitesse augmente, la f.c.é.m. croît, donc le courant diminue, et le couple avec lui. À l'extrémité droite, la vitesse à vide ${\omega }_0=V/k$, la f.c.é.m. a atteint la tension d'alimentation, il ne reste plus de courant et le couple est nul.

La puissance mécanique est $P=\tau \omega$. Sur le graphe, c'est l'aire d'un rectangle dont un coin est à l'origine et le coin opposé sur la droite, comme le rectangle ombré. En écrivant la droite $\tau ={\tau }_0(1-\omega /{\omega }_0)$, on obtient
$P={\tau }_0\omega \left(1-\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)$
qui est nulle aux deux extrémités de la droite. C'est une parabole en $\omega$, symétrique par rapport au milieu de ses deux zéros ; elle est donc maximale en $\omega ={\omega }_0/2$, où le couple vaut ${\tau }_0/2$. La puissance maximale est ainsi $({\tau }_0/2)({\omega }_0/2)=V^2/(4R)$.

Quelle part de l'énergie absorbée devient du travail ? Le moteur prend la puissance électrique $VI$ et en transforme ${\epsilon }_{b}I$ en puissance mécanique ; son rendement, frottements négligés, est donc ${\epsilon }_b/V=\omega /{\omega }_0$. À la vitesse de puissance maximale, ${\epsilon }_b=V/2$ : la moitié seulement de la puissance absorbée devient mécanique, l'autre moitié échauffe l'enroulement. Près de la vitesse à vide, où le rectangle est large mais bas, le rendement est élevé.

Prenons un moteur de 12 V avec $R=0,50\Omega$. Au démarrage, $\omega =0$, donc il n'y a pas de f.c.é.m. et $I=12/0,50=24\mathrm{A}$. À 3000 tr/min, soit $\omega =3000\cdot 2\pi /60\approx 314rad/s$, sa f.c.é.m. est ${\epsilon }_b=11\mathrm{V}$ et il n'appelle que $(12-11)/0,50=2,0\mathrm{A}$. Sur les 24 W absorbés, ${\epsilon }_{b}I=22\mathrm{W}$ deviennent du travail mécanique et $I^{2}R=2\mathrm{W}$ échauffent l'enroulement, soit un rendement de 92 %.

Le point de fonctionnement donne aussi la constante du moteur, $k={\epsilon }_b/\omega =11/314\approx 0,035\mathrm{V}\cdot s/rad$, donc le couple vaut $\tau =kI=0,035\cdot 2,0=0,070\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ ; en vérification, $\tau \omega =0,070\cdot 314\approx 22\mathrm{W}$. Plaçons maintenant ce moteur sur la figure 3. Son couple de démarrage est ${\tau }_0=kV/R=0,035\cdot 12/0,50\approx 0,84\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ et sa vitesse à vide est ${\omega }_0=V/k\approx 343rad/s$, soit environ 3270 tr/min. Les 3000 tr/min se situent donc près de l'extrémité droite de la droite, où le couple est faible et le rendement $\omega /{\omega }_0$ élevé. Le couple décroît linéairement avec la vitesse, de 0,84 N·m à zéro, et la puissance mécanique est maximale à la moitié de la vitesse à vide, environ 1640 tr/min, où elle vaut $V^2/(4R)=72\mathrm{W}$. Le moteur appelle alors $(12-6)/0,50=12\mathrm{A}$, soit 144 W, dont 50 % seulement deviennent du travail.

Dans le transformateur

Un transformateur modifie la valeur d'une tension alternative sans aucune pièce mobile, ce qui explique que les réseaux électriques fonctionnent en alternatif. Tout son comportement découle d'un seul fait : le noyau de fer impose le même flux à travers chaque spire des deux bobines.

Légende

$V_p$	Tension de la source aux bornes de la bobine primaire.	$\mathrm{V}$
$I_p$	Courant dans la bobine primaire.	$\mathrm{A}$
$N_p$	Nombre de spires de la bobine primaire.
$\Phi$	Flux magnétique dans le noyau de fer, le même à travers chaque spire des deux bobines.	$\mathrm{Wb}$
$N_s$	Nombre de spires de la bobine secondaire.
$I_s$	Courant dans la bobine secondaire et dans la charge.	$\mathrm{A}$
$V_s$	Tension aux bornes de la bobine secondaire et de la charge.	$\mathrm{V}$
$R$	Résistance de la charge branchée au secondaire.	$\Omega$

La figure 4 montre un transformateur avec une charge. La source applique la tension $V_p$ aux bornes des $N_p$ spires de la bobine primaire et y fait circuler le courant $I_p$. Le noyau de fer conduit le flux $\Phi$ le long de sa boucle fermée, suivant les flèches vertes, si bien que le même $\Phi$ traverse les $N_s$ spires de la bobine secondaire. Le secondaire applique la tension $V_s$ à la charge $R$ et y fait circuler le courant $I_s$.

Puisque chaque spire de l'une ou l'autre bobine embrasse le même flux, chaque spire a la même f.é.m., de valeur $d\Phi /dt$. Les spires en série s'additionnent et, la résistance des enroulements étant négligée, la tension aux bornes de chaque bobine est égale à sa f.é.m. ; en valeur absolue,
$V_p=N_p\frac{d\Phi }{dt},V_s=N_s\frac{d\Phi }{dt}$
En divisant l'une par l'autre, $d\Phi /dt$ disparaît et il reste le rapport de spires, $V_s/V_p=N_s/N_p$. Les deux tensions suivent le même $d\Phi /dt$ : elles montent et descendent donc ensemble, sans déphasage, comme l'a montré la figure 2.

Lisons maintenant la première équation à l'envers : la tension du primaire impose le flux, quelle que soit la charge. Pour une tension sinusoïdale de maximum $V_0$, le flux est lui aussi sinusoïdal, de maximum ${\Phi }_0=V_0/(N_p\omega )$, car dériver une sinusoïde multiplie son amplitude par $\omega$. Un primaire de 1000 spires alimenté en 230 V, 50 Hz a $V_0\approx 325\mathrm{V}$ et $\omega \approx 314rad/s$, donc ${\Phi }_0\approx 1,04\mathrm{mWb}$. Pour garder le fer sous environ 1,2 T, le noyau doit alors avoir une section d'au moins ${\Phi }_0/B\approx 8,6\times 10^{-4}{\mathrm{m}}^2$, soit environ 8,6 cm². La section nécessaire diminue comme $1/\omega$ : aux 400 Hz utilisés dans les avions, un huitième suffirait, et les chargeurs qui découpent à plusieurs dizaines de kilohertz emploient de minuscules noyaux de ferrite.

Pourquoi le courant du primaire augmente-t-il quand on branche une charge ? Le courant de charge $I_s$ circule dans les spires du secondaire et, à lui seul, magnétiserait le noyau en sens inverse de $I_p$ ; sur la figure 4, les deux courants tournent en sens opposés autour du noyau. Mais le flux est imposé par $V_p$. Le primaire doit donc appeler un courant supplémentaire dont l'effet magnétisant, mesuré par le courant multiplié par le nombre de spires, annule celui du secondaire : $N_p{I}_p=N_s{I}_s$, au petit courant magnétisant près, qui établit le flux lui-même. En multipliant par le rapport des tensions, on obtient $V_p{I}_p=V_s{I}_s$ : la puissance entrante est égale à la puissance sortante.

Un transformateur transforme donc aussi les résistances. Vue du primaire, la charge vaut $V_p/I_p$. En remplaçant $V_p=(N_p/N_s)V_s$ et $I_p=(N_s/N_p)I_s$, on obtient
$\frac{V_p}{I_p}={\left(\frac{N_p}{N_s}\right)}^{2}R$
et c'est ainsi qu'un transformateur adapte un haut-parleur à un amplificateur.

Deux cas limites complètent le tableau. Secondaire ouvert, aucun courant $I_s$ ne circule, et la tension du secondaire est fixée par le seul courant du primaire : en valeur absolue, $V_s=Md{I}_p/dt$, où $M$ est l'inductance mutuelle des deux bobines. En courant continu, $d\Phi /dt=0$ : rien n'est induit dans l'une ou l'autre bobine, rien ne passe au secondaire, et seule la faible résistance du cuivre limite le courant du primaire.

Problème résolu : charger le générateur

Branchons une lampe de 25 Ω, assimilée à une simple résistance, au secondaire du transformateur de l'animation ($N_p=100$, $N_s=200$), dont le primaire est alimenté par le générateur, et négligeons la résistance des bobines. Quel courant la bobine du générateur débite-t-elle, quel effort faut-il exercer pour la faire tourner, et que changerait l'absence de transformateur ?

D'abord, la charge telle que la bobine la voit. Vue du primaire, la lampe équivaut à $(N_p/N_s{)}^{2}R=(100/200{)}^2\cdot 25=6,25\Omega$. La bobine débite sa f.é.m., de maximum 6,28 V, dans cette résistance : le courant de la bobine est donc une sinusoïde en phase avec la f.é.m., de maximum $6,28/6,25\approx 1,01\mathrm{A}$. Le secondaire double la tension et divise le courant par deux : la lampe est donc traversée par un courant de maximum 0,50 A environ, sous une tension de maximum 12,57 V.

Ensuite, le couple. Le bilan d'énergie a donné le couple résistant $NBAI\sin \omega t$, où $I$ est maintenant le courant primaire $I_p$, lui-même proportionnel à $\sin \omega t$. Avec $NBA=200\cdot 0,50\cdot 0,020=2,0\mathrm{Wb}$ et $1\mathrm{Wb}\cdot \mathrm{A}=1\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$,
$\tau =NBA{I}_p\sin \omega t\approx 2,0{\sin }^2\omega t\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$
Ce couple culmine à 2,0 N·m quand le plan de la bobine est parallèle au champ, là où la f.é.m. et le courant sont maximaux, et vaut en moyenne la moitié, 1,0 N·m. En vérification, la puissance mécanique moyenne, $\bar{\tau }\omega =1,005\cdot \pi \approx 3,16\mathrm{W}$, est égale à la puissance moyenne de la lampe, la moitié du produit de sa tension maximale par son courant maximal : $\frac{1}{2}\cdot 12,57\cdot 0,503\approx 3,16\mathrm{W}$.

Sans transformateur, la lampe serait branchée directement sur les bagues collectrices, avec une charge de 25 Ω au lieu de 6,25 Ω. Elle ne recevrait que ${\epsilon }_0^2/(2R)=6,28^2/50\approx 0,79\mathrm{W}$, soit quatre fois moins, et la bobine serait quatre fois plus facile à faire tourner. Le transformateur ne crée aucune énergie : en faisant paraître la résistance de la lampe quatre fois plus petite, il permet à la bobine de débiter un courant quatre fois plus grand pour la même f.é.m., donc de fournir quatre fois plus de puissance, entièrement apportée par celui qui la fait tourner.

Remarquons enfin que le couple varie comme ${\sin }^2\omega t=\frac{1}{2}(1-\cos 2\omega t)$ : il pulse à deux fois la fréquence de rotation, ce qui fait vibrer une machine monophasée. Les centrales évitent cet inconvénient avec trois jeux de bobines décalés de $120^{\circ }$. Les termes en $\cos 2\omega t$ de leurs trois couples sont alors décalés d'un tiers de cycle et s'annulent, puisque
${\sin }^2\theta +{\sin }^2(\theta -120^{\circ })+{\sin }^2(\theta +120^{\circ })=\frac{3}{2}$
de sorte qu'un générateur triphasé équilibré donne un couple et une puissance parfaitement constants.

Limites de validité

Le transformateur parfait suppose trois choses : tout le flux traverse les deux bobines, les enroulements n'ont aucune résistance, et le fer s'aimante sans coût et sans perte. Les noyaux réels perdent de l'énergie de deux façons. L'hystérésis coûte une quantité d'énergie fixe à chaque inversion de l'aimantation du fer, donc la puissance perdue croît à peu près proportionnellement à la fréquence. Les courants de Foucault sont des courants induits dans le fer lui-même ; ils croissent comme le carré de la fréquence et de l'épaisseur des tôles, ce qui explique que les noyaux soient faits de tôles isolées d'environ 0,3 mm d'épaisseur. Les grands transformateurs atteignent un rendement de 99,5 %, mais une unité de 500 MVA dissipe alors 2,5 MW de chaleur, d'où sa cuve d'huile et ses radiateurs. L'acier au silicium sature vers 1,5 à 2 T : au-delà, un courant plus grand n'ajoute presque plus de flux. Comme le flux est imposé par ${\Phi }_0=V_0/(N_p\omega )$, un transformateur utilisé en dessous de sa fréquence nominale ou au-dessus de sa tension nominale est poussé dans la saturation et appelle des courants énormes.

Le traitement est aussi quasi statique : les champs sont supposés agir partout à la fois. À 50 Hz, la longueur d'onde est $c/f=6000\mathrm{km}$, donc toute machine est minuscule en comparaison, mais une ligne de 1000 km vaut un sixième de longueur d'onde et doit être étudiée comme une ligne de transmission. La loi du flux demande aussi de la prudence quand un matériau conducteur glisse devant un contact fixe, comme dans un générateur à disque tournant, où l'on ne sait pas bien à travers quelle boucle compter le flux. La force $q\vec{v}\times \vec{B}$ est alors le guide fiable.

Le courant alternatif n'est pas toujours le meilleur. Un long câble a une grande capacité, que l'alternatif doit sans cesse charger et décharger. Au-delà de 50 à 100 km de câble sous-marin environ, ou de plusieurs centaines de kilomètres de ligne aérienne, le courant continu à haute tension avec convertisseurs électroniques l'emporte. L'isolation, et l'effet couronne dans l'air autour des conducteurs, limitent les tensions de transport les plus élevées à environ 1 MV.

Pour aller plus loin

La force sur les courants vue dans Force magnétique sur une charge en mouvement et la loi du flux vue dans Induction électromagnétique suffisent à toute la physique d'un réseau électrique. Le champ électrique induit de chaque transformateur, associé à son partenaire, un champ magnétique créé par un champ électrique variable, donne les ondes auto-entretenues d'Ondes électromagnétiques. Dans le référentiel qui suit un côté de la bobine, la poussée magnétique du générateur devient un champ électrique : un premier aperçu de la Relativité restreinte. Les valeurs efficaces et le facteur de puissance des alimentations alternatives ont été traités dans Puissance et énergie électriques à la maison, et les redresseurs et onduleurs qui se cachent derrière les moteurs sans balais et les liaisons à courant continu haute tension viennent de Semi-conducteurs, diodes et LED.