Flotación y principio de Arquímedes

Principiante

Bucea hasta el fondo de una piscina y notarás el agua en los oídos. El agua presiona todo lo que hay en ella, por todos lados, y con más fuerza cuanto más hondo, porque el agua de abajo sostiene toda el agua de encima.

Ahora imagina un bloque bajo el agua. Su base está más honda que su cara superior, así que el agua empuja la base hacia arriba con más fuerza que la cara superior hacia abajo. La diferencia es una fuerza hacia arriba: el empuje.

¿Cuánto vale? Piensa en una bolsa de plástico muy fina llena de agua, quieta en la piscina. Ni se hunde ni sube, así que el agua de alrededor sostiene justo su peso. Pon en su lugar una piedra de la misma forma: el agua no nota la diferencia y empuja igual. Es el principio de Arquímedes: el empuje es igual al peso del fluido que el objeto desaloja. Cada litro de agua desalojado da unos 9,8 N de empuje, así que bajo el agua solo levantas el peso del objeto menos ese empuje.

Un objeto que pesa más que el agua que puede desalojar se hunde. Uno que pesa menos flota: se hunde justo hasta que el agua desalojada pesa lo que él. En la animación, el bloque de madera sube y baja y se detiene con el 60 % de su altura bajo el agua, cuando la flecha «el agua empuja» es tan larga como la flecha «peso». El aire también es un fluido: un globo aerostático sube porque pesa menos que el aire que desaloja.

Ponte a prueba: una roca de 3 litros está en el fondo de un lago. ¿Cuánto más ligera parece al levantarla bajo el agua? Respuesta: lo que pesan 3 litros de agua, unos 29 N.

Intermedio

Qué miden la densidad y la presión

Que algo flote o no lo decide la densidad, la masa por unidad de volumen:
$\rho =\frac{m}{V}$

Se mide en kg/m³. El agua dulce tiene 1000 kg/m³, así que un litro tiene una masa de 1 kg; el hielo tiene 920 kg/m³ y el acero, unos 7850 kg/m³. En un objeto hueco o formado por varios materiales, $\rho$ es la densidad media: la masa total dividida entre todo el volumen encerrado por su superficie exterior.

La presión es la fuerza por unidad de área y se mide en pascales ($1\mathrm{Pa}=1N/{\mathrm{m}}^2$). Un fluido en reposo empuja perpendicularmente sobre toda superficie, y con más fuerza cuanto más profundo, porque cada capa soporta el fluido que tiene encima:
$p=p_0+\rho gh$

Aquí $p_0$ es la presión en la superficie, de unos 101 kPa, y $h$ la profundidad; el agua añade unos 9,8 kPa por metro, como se ve en Presión en fluidos y principio de Pascal.

De dónde viene el empuje

Toma una caja de altura $H$, con la tapa y el fondo horizontales y de área $A$, totalmente bajo el agua. Su fondo está $H$ más abajo, así que la presión allí es mayor en $\rho gH$, y la fuerza hacia arriba sobre el fondo supera a la fuerza hacia abajo sobre la tapa:
$F_{\mathrm{arriba}}-F_{\mathrm{abajo}}=\rho gHA=\rho gV$

Las fuerzas laterales se anulan por parejas, y tanto $p_0$ como la profundidad de la caja desaparecen: la fuerza neta es hacia arriba, vale lo que pesa el agua a la que sustituye la caja y es la misma a cualquier profundidad.

Para cualquier otra forma, imagina que el lugar del objeto lo ocupa agua. Esa porción permanece en reposo, así que el agua que la rodea la sostiene con exactamente su peso, sin saber qué hay dentro de la superficie. Este es el principio de Arquímedes: un cuerpo en un fluido recibe un empuje hacia arriba igual al peso del fluido que desaloja,
$F_b={\rho }_{\mathrm{fluido}}{V}_{\mathrm{sum}}g$

Usa la densidad del fluido, no la del objeto, y solo el volumen $V_{\mathrm{sum}}$ que queda bajo la superficie.

Hundirse, flotar o quedarse entre dos aguas

Totalmente sumergido, $V_{\mathrm{sum}}=V$: el peso ${\rho }_{\mathrm{objeto}}Vg$ se enfrenta a un empuje ${\rho }_{\mathrm{fluido}}Vg$, así que solo importan las dos densidades.

• Si ${\rho }_{\mathrm{objeto}}>{\rho }_{\mathrm{fluido}}$, el peso gana a cualquier profundidad y el objeto se hunde, por grande que sea.
• Si ${\rho }_{\mathrm{objeto}}<{\rho }_{\mathrm{fluido}}$, gana el empuje y el objeto sube hasta que parte de él sobresale.
• Si las dos densidades son iguales, el objeto se queda suspendido a cualquier profundidad, como un pez o un submarino bien lastrado.

Un objeto que flota se hunde solo hasta que el fluido que desaloja pesa lo mismo que él, ${\rho }_{\mathrm{fluido}}{V}_{\mathrm{sum}}g={\rho }_{\mathrm{objeto}}Vg$, de modo que la fracción sumergida es el cociente de las densidades:
$\frac{V_{\mathrm{sum}}}{V}=\frac{{\rho }_{\mathrm{objeto}}}{{\rho }_{\mathrm{fluido}}}$

El hielo flota en agua dulce con el 92 % sumergido. En agua de mar, de unos 1025 kg/m³, un iceberg tiene $920/1025\approx 0,90$ de su volumen bajo la superficie: solo asoma una décima parte.

Ejemplo resuelto: el bloque de la animación

En las etiquetas, $h$ no es una profundidad sino la altura del bloque, 0,5 m. La sección es $A=0,7\mathrm{m}\times 0,1\mathrm{m}=0,07{\mathrm{m}}^2$, así que $V=0,035{\mathrm{m}}^3$, y ${\rho }_b=600kg/{\mathrm{m}}^3$ es la densidad de la madera (${\rho }_w$ es la del agua). La masa y el peso valen
$m={\rho }_{b}V=600\cdot 0,035=21\mathrm{kg},mg=21\cdot 9,81\approx 206\mathrm{N}$
que es la flecha verde $mg$. Totalmente bajo el agua, el bloque recibiría un empuje de $1000\cdot 0,035\cdot 9,81\approx 343\mathrm{N}$, mayor que su peso, así que flota.

En reposo $F_b=mg$, así que $V_{\mathrm{sum}}=206/(1000\cdot 9,81)=0,021{\mathrm{m}}^3$ y la profundidad de inmersión es $d=V_{\mathrm{sum}}/A=0,30\mathrm{m}=0,6h$: el cociente $600/1000$ de la regla de flotación, a la altura de la línea discontinua. La presión lo confirma: la cara inferior, a 0,30 m de profundidad, soporta $1000\cdot 9,81\cdot 0,30\approx 2943\mathrm{Pa}$ más que la superior, y $2943\cdot 0,07\approx 206\mathrm{N}$.

Las lecturas siguen $F_b={\rho }_{w}gAd$: 6,9 N más por cada centímetro de profundidad. Soltado a 5 cm sobre el agua, el bloque la alcanza a casi 1 m/s, sobrepasa su posición de equilibrio y queda del todo sumergido durante aproximadamente un cuarto de segundo: $d$ se detiene en 50 cm y $F_b$ en su máximo, 343 N, que lanza el bloque de nuevo hacia arriba. Tras unas cuantas oscilaciones cada vez menores, las lecturas terminan en $d\approx 30\mathrm{cm}$ y una $F_b$ a pocos newtons de 206 N.

Ejemplo resuelto: pesar una piedra en el agua

Un dinamómetro del que cuelga una piedra marca 24,5 N en el aire y 14,7 N con la piedra completamente sumergida en agua. ¿Cuáles son su volumen y su densidad?

Bajo el agua el dinamómetro marca el peso aparente, el peso real menos el empuje, así que $F_b=24,5-14,7=9,8\mathrm{N}$, el peso del agua desalojada:
$V=\frac{F_b}{{\rho }_{\mathrm{fluido}}g}=\frac{9,8}{1000\cdot 9,81}\approx 1,0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$
es decir, un litro. La masa es $24,5/9,81\approx 2,5\mathrm{kg}$, luego $\rho =m/V\approx 2500kg/{\mathrm{m}}^3$, propio de una roca. Aún más rápido: el peso dividido entre lo que pierde en el agua, $24,5/9,8=2,5$, es la densidad relativa al agua.

Cuenta la leyenda que Arquímedes comprobó la corona de un rey por el agua que desalojaba. El oro puro (19 300 kg/m³) del mismo peso pierde solo 1,3 N en el agua, de modo que una corona de oro mezclado con plata, menos densa, se delata porque pierde más.

Cómo leer las flechas y la línea discontinua

La flecha verde $mg$ mantiene su longitud, mientras que la flecha roja $F_b$ crece en proporción a la profundidad de inmersión. Con la base del bloque por encima de la línea discontinua, la flecha roja es más corta y la fuerza neta apunta hacia abajo; por debajo, la fuerza neta apunta hacia arriba. Cada centímetro de distancia a la línea devuelve 6,9 N hacia ella, como haría un muelle de rigidez 687 N/m. El bloque se pasa de la línea porque aún se mueve al llegar a ella, y el rozamiento con el agua reduce cada oscilación.

En una gráfica de la presión frente a la profundidad, una recta sube desde $p_0$ a razón de $\rho g$ por metro. La diferencia entre las dos caras de un cuerpo sumergido, $\rho gH$, es la misma esté donde esté.

Errores frecuentes

• Usar la densidad del objeto en $F_b$: para el bloque da $600\cdot 0,021\cdot 9,81\approx 124\mathrm{N}$ en lugar de los 206 N correctos.
• Usar todo el volumen de un objeto que flota: los 0,035 m³ del bloque darían 343 N, pero solo cuentan los 0,021 m³ que quedan bajo la línea de flotación.
• Esperar un empuje mayor a más profundidad: una piedra sumergida de 2 litros recibe $1000\cdot 0,002\cdot 9,81=19,62\mathrm{N}$ tanto a 1 m como a 10 m, porque su cara superior y su cara inferior ganan la misma presión.
• Creer que lo pesado se hunde: una bolita de acero de 1 g se hunde, pero un barco de acero de 50 000 toneladas flota, porque su casco lleno de aire tiene una densidad media menor que la del agua.
• Olvidar pasar los litros a m³: dos litros son 0,002 m³, y si se sustituye 2 se obtienen 19 620 N.

Dónde aparece

Un barco sumerge en agua dulce un 2,5 % más de volumen que en el mar, y por eso los cascos llevan líneas de carga distintas para cada caso. Los submarinos inundan o vacían tanques de lastre para hundirse, mantenerse entre dos aguas o salir a la superficie, y un densímetro flota más hundido en un líquido menos denso, de modo que su tallo graduado indica la densidad de la leche o del vino. Calentado a 100 °C, el aire tiene unos 0,95 kg/m³, frente a los 1,20 kg/m³ del aire exterior a 20 °C, así que cada metro cúbico de un globo aerostático levanta solo unos 0,25 kg.

El empuje impulsa la convección, el ascenso del fluido caliente, que se estudia en Conducción, convección y radiación, y fija la velocidad de sedimentación de los granos en Fuerza de arrastre y velocidad terminal. El bloque que sube y baja es un oscilador como los de Movimiento armónico simple, y cuando el fluido circula, la presión ya no depende solo de la profundidad: eso es el Principio de Bernoulli.

Avanzado

Presión en un fluido en reposo

El empuje es presión y nada más: la fuerza hacia arriba sobre un cuerpo sumergido es la suma de todos los empujones que el fluido que lo rodea ejerce sobre su superficie. Así que empezamos por cómo se comporta la presión en un fluido en reposo. Notación: ${\rho }_f$ es la densidad del fluido, sea cual sea; cuando el fluido es agua escribimos ${\rho }_w$, y, como en la animación, ${\rho }_b$ es la densidad del bloque. Además, $g\approx 9,81m/{\mathrm{s}}^2$ es la aceleración de la gravedad, y $p_0$ es la presión del aire en la superficie del agua.

Leyenda

$p_1$	Presión sobre la cara superior, a la profundidad $h$.	$\mathrm{Pa}$
$p_2$	Presión sobre la cara inferior, a la profundidad $h+\ell$; mayor que $p_1$.	$\mathrm{Pa}$
$h$	Profundidad de la cara superior bajo la superficie.	$\mathrm{m}$
$\ell$	Altura de la caja.	$\mathrm{m}$
$V$	Volumen de la caja, $\ell A$, donde $A$ es el área de su cara superior o inferior.	${\mathrm{m}}^3$
${\vec{F}}_b$	Fuerza de presión neta sobre la caja, hacia arriba: $(p_2-p_1)A={\rho }_{f}gV$.	$\mathrm{N}$

La figura 1 muestra una caja de altura $\ell$ y volumen $V$, con una cara superior y otra inferior de área $A$ cada una (así que $V=\ell A$), mantenida por completo bajo el agua con su cara superior a una profundidad $h$. Fíjate primero en la dirección de las flechas: en cada cara son perpendiculares a ella. Un fluido en reposo no puede resistir un esfuerzo cortante, es decir, una fuerza a lo largo de una superficie que haría deslizar sus capas unas sobre otras, de modo que solo puede empujar perpendicularmente a una superficie.

Ahora fíjate en su longitud. Las flechas crecen con la profundidad, porque cada capa de agua soporta el peso de toda el agua que tiene encima. Solo se dibuja esta parte, la que depende de la profundidad: el aire añade la misma presión $p_0$ a todas las caras, y una presión uniforme no produce fuerza neta sobre una caja cerrada, como demostraremos más adelante.

Las dos caras laterales están a las mismas profundidades, así que sus flechas coinciden por parejas y se anulan. Quedan la cara superior, empujada hacia abajo por $p_{1}A$, y la inferior, empujada hacia arriba por $p_{2}A$. La cara inferior está $\ell$ más abajo, así que $p_2$ supera a $p_1$ en el peso de una columna de agua de altura $\ell$ apoyada sobre la unidad de área, ${\rho }_f(\ell A)g/A$:
$p_2-p_1={\rho }_{f}g\ell$
Por tanto, el empuje neto sobre la caja es hacia arriba:
$F_b=(p_2-p_1)A={\rho }_{f}g\ell A={\rho }_{f}gV$
Es el peso del agua que llenaría la caja. La profundidad $h$ ha desaparecido: mientras el agua no se comprima, el empuje es el mismo a cualquier profundidad.

La presión como campo

El razonamiento de la caja usó dos hechos sin demostrarlos: que la presión en un punto empuja por igual en todas las direcciones y que crece de forma regular con la profundidad. Ambos se deducen de la segunda ley de Newton aplicada a pequeñas porciones de fluido en reposo, y su forma general es lo que más adelante nos permitirá tratar cuerpos de cualquier forma e incluso recipientes acelerados.

Primero, la dirección. Escribe la fuerza del fluido sobre un pequeño elemento de superficie de área $dA$ como $-p\hat{n}dA$, donde $\hat{n}$ es el vector unitario normal al elemento, que apunta hacia fuera del cuerpo; el signo menos indica que el fluido empuja hacia dentro. ¿Es $p$ el mismo, se oriente como se oriente el elemento? Considera una pequeña cuña de fluido de sección triangular. Las fuerzas sobre sus caras crecen con el cuadrado de su tamaño, y su peso, con el cubo. Al encoger la cuña, el peso se vuelve despreciable, así que las fuerzas sobre las caras deben equilibrarse por sí solas, y en un triángulo eso solo es posible si la presión es la misma en todas las caras. Por tanto, $p$ no depende de la dirección: la presión es un campo escalar $p(\vec{r})$, un único número en cada punto.

Segundo, cómo varía. Toma un cubito de aristas $dx$, $dy$, $dz$. El fluido junto a su cara izquierda lo empuja en el sentido $+x$ con $p(x)dydz$; el fluido junto a su cara derecha lo empuja de vuelta con $p(x+dx)dydz$. La fuerza neta a lo largo de $x$ es la diferencia, $-(\partial p/\partial x)dxdydz$. Lo mismo ocurre a lo largo de $y$ y de $z$, así que la fuerza de presión neta por unidad de volumen es $-\nabla p$: las diferencias de presión empujan el fluido de las zonas de presión alta a las de presión baja.

En un fluido en reposo, esta fuerza debe equilibrar la gravedad, que tira de cada unidad de volumen con ${\rho }_f\vec{g}$. Con $z$ medida hacia arriba, de modo que $\vec{g}$ apunta según $-z$,
$\nabla p={\rho }_f\vec{g},\frac{dp}{dz}=-{\rho }_{f}g$
Para densidad constante, integrar hacia abajo desde la superficie da $p=p_0+{\rho }_{f}gh$ a una profundidad $h$; los $p_1$ y $p_2$ de la figura 1 son este valor a las profundidades $h$ y $h+\ell$. Como $\nabla p$ apunta según $\vec{g}$, la presión solo cambia en vertical: las superficies de igual presión, entre ellas la superficie libre, son perpendiculares a $\vec{g}$, es decir, horizontales.

Tres caminos hacia el principio de Arquímedes

El principio de Arquímedes dice que un cuerpo en un fluido en reposo recibe una fuerza hacia arriba igual al peso del fluido que desaloja. La caja lo demostró para una sola forma. Tres razonamientos lo demuestran para cualquier forma, y cada uno aporta algo: el primero es un cálculo de una línea, el segundo dice además dónde actúa la fuerza y el tercero muestra por qué solo importa la densidad media.

Leyenda

$S$	Superficie del cuerpo; a la derecha, la misma superficie encierra agua.
$V$	Volumen encerrado por $S$.	${\mathrm{m}}^3$
$p$	Presión sobre $S$: perpendicular a ella, mayor donde $S$ está más honda.	$\mathrm{Pa}$
$B$	Centroide del volumen encerrado por $S$: el centro de carena.
${\vec{F}}_b$	Fuerza de presión sobre $S$, hacia arriba a través de $B$; la misma en ambos dibujos.	$\mathrm{N}$
$W$	Peso del agua que llena $S$, ${\rho }_{f}Vg$, hacia abajo a través de $B$.	$\mathrm{N}$

La figura 2 contiene la idea clave. A la izquierda, un cuerpo de forma cualquiera está en agua en reposo; $S$ es su superficie, $V$ el volumen que encierra, y las flechas son la presión $p$ sobre $S$, perpendicular a $S$ y más larga donde $S$ está más honda. A la derecha se ha retirado el cuerpo y la misma superficie $S$ encierra agua. Compara las flechas: son idénticas. La presión en cada punto de $S$ la fija la profundidad de ese punto en el agua que lo rodea, que no ha cambiado, así que no puede depender de lo que hay dentro de $S$. Llene lo que llene $S$, la fuerza de presión total sobre ella, ${\vec{F}}_b$, es la misma.

Camino 1, con cálculo integral. El empuje es la suma de las fuerzas de presión sobre la superficie cerrada $S$. La presión hidrostática es solo una función de la altura, así que puede prolongarse al volumen $V$ que ocupa el cuerpo. El teorema del gradiente, pariente cercano del teorema de la divergencia, convierte entonces la integral de superficie de $p\hat{n}$ en la integral de volumen de $\nabla p$, y la ecuación de la hidrostática proporciona $\nabla p$:
${\vec{F}}_b=-{\oint }_{S}p\hat{n}dA=-{\int }_V\nabla pdV=-{\rho }_f\vec{g}V$
La fuerza apunta en sentido contrario a $\vec{g}$, hacia arriba, con módulo ${\rho }_{f}gV$: el peso de un volumen $V$ de fluido. La presión en la superficie, $p_0$, ha desaparecido porque su gradiente es cero; esta es la demostración de que una presión uniforme no ejerce fuerza neta sobre una superficie cerrada.

En un cuerpo que flota solo está mojada una parte de la superficie. Trabaja con el exceso de presión sobre $p_0$: la presión $p_0$ del aire actúa sobre toda la superficie cerrada y se cancela. Ese exceso es cero en el plano de la línea de flotación, así que cerrar la superficie mojada con el trozo de ese plano que queda dentro del cuerpo no añade nada, y el mismo teorema da ${\rho }_{w}g{V}_{\mathrm{sum}}$, donde $V_{\mathrm{sum}}$ es el volumen sumergido.

Camino 2, por equilibrio, sin cálculo integral; usa el dibujo de la derecha. El agua dentro de $S$ está en reposo bajo dos fuerzas: su peso $W={\rho }_{f}Vg$, hacia abajo y aplicado en su centro de masas, y la fuerza de presión ${\vec{F}}_b$ del agua que la rodea. Como no se acelera, las fuerzas se anulan, así que $F_b=W$ y apunta hacia arriba. Como no empieza a girar, las dos fuerzas no tienen momento neto, así que ${\vec{F}}_b$ actúa a lo largo de la misma vertical que $W$. Para agua uniforme, el centro de masas es el centroide, el centro geométrico, del volumen encerrado por $S$, que llamamos $B$.

Vuelve ahora al dibujo de la izquierda. La presión sobre $S$ es la misma, así que el cuerpo recibe la misma fuerza a lo largo de la misma recta. El empuje es igual al peso del fluido desalojado y actúa a través de $B$, el centroide del volumen desalojado, llamado centro de carena. Este razonamiento ni siquiera necesita densidad constante: en un fluido cuya densidad cambia con la profundidad, la fuerza sigue siendo el peso del fluido desalojado, $g{\int }_V{\rho }_{f}dV$, y ahora actúa a través del centro de masas de ese fluido.

Camino 3, por energía. Sube el cuerpo una pequeña altura $\delta z$. Su propia energía potencial aumenta en $mg\delta z$. El fluido ocupa el hueco que deja debajo, y el efecto neto sobre el fluido es que un volumen $V$ de él, de masa ${\rho }_{f}V$, ha bajado $\delta z$ y ha perdido ${\rho }_{f}Vg\delta z$. En total,
$\delta U=(m-{\rho }_{f}V)g\delta z$
Una fuerza es menos la pendiente de la energía potencial, así que la fuerza neta hacia arriba es $-\delta U/\delta z={\rho }_{f}Vg-mg$: el empuje menos el peso. Solo intervienen la masa y el volumen del cuerpo, es decir, su densidad media $m/V$. Por eso flota un casco de acero aunque el acero es casi ocho veces más denso que el agua: encierra aire suficiente para que su densidad media quede por debajo de la del agua.

El agua como un muelle

Un cuerpo flotante al que se hunde un poco y luego se suelta sube y baja. Esta sección muestra que, cerca de su posición de flotación, el agua actúa sobre él como un muelle lineal, y calcula el periodo de ese vaivén.

Toma el bloque de la animación. Tiene los costados verticales, así que el área de su sección horizontal, $A=0,70\mathrm{m}\cdot 0,10\mathrm{m}=0,07{\mathrm{m}}^2$, es la misma a cualquier altura. A partir de aquí, $h$ es la altura del bloque, $h=0,50\mathrm{m}$, y no una profundidad como en la figura 1. Su densidad es ${\rho }_b=0,6{\rho }_w$, así que su masa es $m={\rho }_{b}Ah=21\mathrm{kg}$ y su peso, 206 N. Al flotar, el empuje iguala al peso, ${\rho }_{w}gAd={\rho }_{b}gAh$, de modo que la profundidad de inmersión (el calado) es $d=({\rho }_b/{\rho }_w)h=0,30\mathrm{m}$.

Ahora hunde el bloque una distancia adicional $x$ por debajo de su profundidad de inmersión. Desaloja un volumen extra $Ax$, así que el empuje crece en ${\rho }_{w}gAx$ mientras el peso no cambia. La fuerza neta es una fuerza recuperadora $-kx$ de rigidez $k={\rho }_{w}gA$, unos 687 N/m para el bloque. Es la ley de Hooke, así que el movimiento es armónico simple. Usando $m={\rho }_{b}Ah$ y luego $d=({\rho }_b/{\rho }_w)h$, su frecuencia angular es
${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{{\rho }_{w}g}{{\rho }_{b}h}}=\sqrt{\frac{g}{d}}$
El área se ha cancelado, y el resultado es elegante: un cuerpo flotante de costados verticales oscila con el periodo de un péndulo simple cuya longitud es su profundidad de inmersión. Para $d=0,30\mathrm{m}$, ${\omega }_0\approx 5,7rad/s$ y $T_0=2\pi \sqrt{d/g}\approx 1,10\mathrm{s}$, sea cual sea el área; un barco de costados verticales con 9 m de calado oscilaría verticalmente, es decir, subiría y bajaría, más o menos una vez cada 6 s.

El muelle solo es lineal mientras el bloque está parcialmente sumergido. Cuando queda sumergido por completo, su volumen desalojado ya no puede crecer, y el empuje tampoco. La gráfica del movimiento muestra ambos regímenes.

Cómo leer la gráfica de y(t)

El bloque de la animación se mueve por la acción de este muelle y de un arrastre del agua. Su gráfica pone a prueba el modelo del muelle: dónde funciona, dónde falla y con qué rapidez se apaga el movimiento.

Leyenda

$y$	Altura del bloque sobre su nivel de flotación.	$\mathrm{m}$
$t$	Tiempo desde que se suelta.	$\mathrm{s}$
$y_0$	Altura inicial, en el momento de soltarlo.	$\mathrm{m}$
$d-h$	Altura a la que la cara superior del bloque queda a ras del agua ($d$ es la profundidad de inmersión y $h$ la altura del bloque); por debajo, todo el bloque está sumergido.	$\mathrm{m}$
$T$	Tiempo entre dos puntos de retorno superiores sucesivos.	$\mathrm{s}$
$e^{-\gamma t}$	Factor por el que las oscilaciones se reducen con el tiempo; $\gamma$ es la tasa de amortiguamiento.

La figura 3 representa la altura $y$ del bloque sobre su nivel de flotación frente al tiempo $t$; el eje horizontal $t$, $y=0$, es el propio nivel de flotación. El bloque se suelta desde $y_0=35\mathrm{cm}$, lo que deja su base 5 cm por encima del agua, ya que flota con 30 cm sumergidos.

Sigue la primera oscilación: no es armónica. El bloque cae por el aire y luego se sumerge por completo, por debajo del nivel discontinuo $d-h=-20\mathrm{cm}$, en el que su cara superior queda a ras del agua, hasta $-24,5\mathrm{cm}$ a los 0,55 s. Por debajo de $d-h$ el muelle se satura: $F_b$ no puede superar el empuje sobre el bloque entero, ${\rho }_{w}gV=343\mathrm{N}$. Después de esta oscilación, la profundidad sumergida se mantiene entre unos 15 y 40 cm, dentro de la altura del bloque, donde la fuerza es lineal.

Lee ahora los puntos de retorno superiores posteriores al primero: +15,2, +6,7, +2,9, +1,3 y +0,55 cm. Están separados unos 1,11 s, el intervalo $T$ marcado en la figura, y cada uno es aproximadamente 0,44 veces el anterior. Una razón constante en cada oscilación significa un decaimiento exponencial, así que los máximos quedan sobre la envolvente discontinua $\pm y_0{e}^{-\gamma t}$ de la oscilación amortiguada $y\approx y_0{e}^{-\gamma t}\cos (\omega t)$ que rotula la gráfica en la animación; aquí $\omega$ es la frecuencia angular amortiguada ${\omega }_d$. Un periodo multiplica la amplitud por $e^{-\gamma T}\approx 0,44$, así que
$\gamma \approx \ln (1/0,44)/1,11\approx 0,74{\mathrm{s}}^{-1}$
muy cerca del $\gamma =0,75{\mathrm{s}}^{-1}$ incorporado al arrastre del agua en el modelo.

El amortiguamiento apenas frena las oscilaciones: ${\omega }_d=\sqrt{{\omega }_0^2-{\gamma }^2}\approx 5,67rad/s$ queda solo un 1 % por debajo de ${\omega }_0$, y por eso $T$ está tan cerca de $T_0$. El factor de calidad $Q={\omega }_0/(2\gamma )\approx 3,8$ indica que el amortiguamiento es débil: el bloque hace unas cuantas oscilaciones visibles antes de quedarse quieto.

Estabilidad y metacentro

Flotar no basta: un barco también debe mantenerse derecho. Esta sección se pregunta cuándo una pequeña inclinación, una escora, produce un momento que devuelve el cuerpo a su posición, y encuentra una sola longitud que lo decide: la altura metacéntrica $GM$.

Leyenda

$\theta$	Ángulo de escora: cuánto ha girado el casco respecto a la posición derecha.	$\mathrm{rad}$
$G$	Centro de gravedad del casco, sobre su eje central; aquí actúa el peso.
$B$	Centro de carena cuando el casco estaba derecho, un punto fijo del casco.
$B^{\prime }$	Centro de carena actual: el centroide de la parte sumergida, desplazado hacia el lado bajo.
$M$	Metacentro: el punto donde la vertical por $B^{\prime }$ corta el eje central.
$GM$	Altura metacéntrica: la distancia de $G$ hacia arriba hasta $M$; el par adrizante es $mgGM\sin \theta$.	$\mathrm{m}$
$m\vec{g}$	Peso del casco, hacia abajo a través de $G$.	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_b$	Empuje, hacia arriba a través de $B^{\prime }$; de igual módulo que el peso.	$\mathrm{N}$

La figura 4 muestra un casco en forma de caja escorado un ángulo $\theta$, dibujado mucho mayor que una escora real para que la geometría se vea con claridad. Sobre él actúan dos fuerzas. El peso $m\vec{g}$ actúa hacia abajo en el centro de gravedad $G$, un punto fijo del casco. El empuje ${\vec{F}}_b$ actúa hacia arriba en el centro de carena, el centroide de la parte sumergida. Cuando el casco estaba derecho, ese centroide estaba en $B$, sobre el eje central, el eje de simetría del casco que pasa por $G$. En un barco, $B$ suele estar por debajo de $G$, como aquí, y eso por sí solo no es peligroso.

Mira ahora la línea de flotación. Al escorar, una cuña del casco sale del agua por el lado alto y otra entra por el lado bajo. El volumen sumergido no cambia, pero su forma se desplaza hacia el lado bajo, y su centroide también: el centro de carena pasa de $B$ a $B^{\prime }$, y ${\vec{F}}_b$ actúa ahora a lo largo de la vertical que pasa por $B^{\prime }$. Sigue esa vertical hacia arriba: corta el eje central en el metacentro $M$.

¿A qué altura está $M$? Sea $I$ el segundo momento de área del plano de flotación, el área que la superficie del agua recorta en el casco, respecto al eje de escora, la recta alrededor de la cual se inclina. Una franja del plano de flotación a una distancia $y$ de ese eje gana o pierde una altura sumergida $y\theta$, así que las cuñas trasladan un momento de volumen $I\theta$ de un lado al otro, y $B$ se desplaza lateralmente $I\theta /V_{\mathrm{sum}}$. Para un ángulo pequeño ese desplazamiento es igual a $BM\theta$, así que $M$ está a una altura fija
$BM=\frac{I}{V_{\mathrm{sum}}}$
por encima de $B$.

En la figura 4, $M$ está por encima de $G$, a la distancia $GM$. El peso a través de $G$ y el empuje a través de $B^{\prime }$ son iguales y opuestos pero no están alineados, así que forman un par. Su brazo es $GM\sin \theta$, y su momento, $mgGM\sin \theta$, devuelve el casco a la vertical. Si $M$ estuviera por debajo de $G$, las mismas dos fuerzas lo inclinarían aún más. Por tanto, un cuerpo flotante es estable frente a una escora pequeña cuando $M$ está por encima de $G$, es decir, cuando $GM>0$.

Para un casco en forma de caja de anchura $b$, longitud $L$ y profundidad de inmersión $d$, $I=L{b}^3/12$ y $V_{\mathrm{sum}}=Lbd$, así que
$BM=\frac{b^2}{12d}$
La anchura cuenta al cuadrado. Todo lo que eleva $G$ perjudica la estabilidad: la carga estibada en lo alto, y el agua que corre libremente por una cubierta, que se va hacia el lado bajo y actúa como un $G$ elevado, una causa clásica de vuelcos.

Problema resuelto: ¿se mantendría derecho el bloque?

Aplícalo al bloque de la animación: altura $h=0,50\mathrm{m}$, profundidad de inmersión $d=0,30\mathrm{m}$, 0,70 m de anchura y 0,10 m de espesor. Mide las alturas desde su base. El bloque es uniforme, así que $G$ está a media altura, a 0,25 m, y $B$ en el centro de la parte sumergida, a la mitad de la profundidad de inmersión, 0,15 m.

Al escorar en el plano de la pantalla, el plano de flotación tiene 0,70 m de anchura:
$BM=\frac{b^2}{12d}=\frac{0,70^2}{12\cdot 0,30}\approx 0,136\mathrm{m}$
Así, $M$ está a $0,15+0,136\approx 0,286\mathrm{m}$ sobre la base, 3,6 cm por encima de $G$: en este sentido el bloque es estable. Con una escora de 5°, en la que $\sin \theta \approx 0,087$, el momento adrizante es $206\cdot 0,036\cdot 0,087\approx 0,65\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$.

Al escorar en la dirección del espesor de 0,10 m, el plano de flotación solo tiene 0,10 m de anchura, y $BM=0,10^2/(12\cdot 0,30)\approx 0,003\mathrm{m}$. Ahora $M$ queda 9,7 cm por debajo de $G$, así que $GM<0$ y el bloque es inestable. Un bloque real con estas proporciones volcaría y flotaría sobre su cara ancha, con 6 cm sumergidos (0,6 de su espesor de 0,10 m). Solo la animación bidimensional, que deja al bloque subir y bajar pero no volcar, lo mantiene derecho.

El mismo razonamiento da una regla general. Para un bloque uniforme de densidad relativa $s={\rho }_b/{\rho }_w$, altura $h$ y anchura $b$ en el plano de la escora, $G$ está a $h/2$, $B$ a $d/2=sh/2$, y $BM=b^2/(12sh)$. Exigir que $M$ esté por encima de $G$, $sh/2+b^2/(12sh)>h/2$, y reordenar la desigualdad da la condición para flotar derecho:
$\frac{b}{h}>\sqrt{6s(1-s)}$
Para $s=0,6$ esto exige $b/h>1,2$: la anchura da 1,4, que cumple, y el espesor solo 0,2, que no cumple. Una viga cuadrada, $b=h$, no supera la prueba para ningún $s$ entre aproximadamente 0,21 y 0,79, y por eso las vigas cuadradas de madera corriente flotan inclinadas en lugar de con una cara plana hacia arriba.

Fluidos acelerados y compresibles

Hasta ahora el recipiente estaba en reposo y el fluido era incompresible. Prescindir de cualquiera de estas suposiciones cambia el empuje de formas instructivas.

En un recipiente con aceleración $\vec{a}$, el fluido en reposo respecto a él debe acelerarse con él. La segunda ley de Newton por unidad de volumen queda entonces $-\nabla p+{\rho }_f\vec{g}={\rho }_f\vec{a}$, es decir, $\nabla p={\rho }_f(\vec{g}-\vec{a})$. Es la ecuación de la hidrostática con $\vec{g}$ sustituida por la gravedad efectiva $\vec{g}-\vec{a}$, así que todo lo anterior sigue valiendo: el empuje apunta en sentido contrario a $\vec{g}-\vec{a}$.

De aquí salen tres consecuencias. En un ascensor que acelera hacia arriba a 2 m/s², el peso efectivo $m(g+a)$ y el empuje crecen ambos en el factor $11,81/9,81$, así que un bloque flotante conserva su profundidad de inmersión. En un coche que acelera, la gravedad efectiva se inclina hacia atrás, así que un globo de helio atado a un hilo se inclina hacia delante mientras los pasajeros se ven empujados hacia atrás. En caída libre, $\vec{g}-\vec{a}=0$: no hay gradiente de presión ni empuje, y en una estación en órbita las burbujas no suben en una bebida.

En un fluido compresible, ${\rho }_f$ cambia con la altura. Una atmósfera isoterma tiene $\rho ={\rho }_0{e}^{-z/H}$, donde la altura de escala $H\approx 8,4\mathrm{km}$ a 15 °C es la subida en la que la densidad disminuye en un factor $e$. Un globo rígido y cerrado cuya densidad media es la mitad de la del aire a nivel del suelo sube hasta que el aire que lo rodea es igual de denso que él, donde $e^{-z/H}=1/2$, cerca de $H\ln 2\approx 5,8\mathrm{km}$. Allí se queda, y el equilibrio es estable: si se le empuja más arriba, encuentra aire menos denso, su empuje cae por debajo de su peso y vuelve a bajar; si se le empuja más abajo, ocurre lo contrario.

Un cuerpo compresible dentro de un líquido se comporta al revés. Un buceador con traje de neopreno que se deja llevar a más profundidad queda comprimido por la presión adicional, desaloja menos agua y, por tanto, se hunde más deprisa. Así, la flotabilidad neutra es inestable para todo lo que se comprime más fácilmente que el agua, y por eso buceadores, peces y submarinos tienen que reajustarla continuamente.

Límites de validez

Todo lo anterior se basa en idealizaciones. Veamos cuándo falla cada una y en qué medida.

El agua es ligeramente compresible, con un módulo de compresibilidad de unos 2,2 GPa: a 4000 m, bajo unos 40 MPa, el agua de mar es aproximadamente un 2 % más densa que en la superficie, y el empuje sobre un cuerpo rígido crece en la misma proporción.

La hidrostática también supone que hay fluido alrededor de todo el cuerpo. Un cuerpo apoyado de plano en el fondo, sin fluido debajo, no recibe ningún empuje desde abajo, y la presión sobre su cara superior lo mantiene pegado al fondo.

La tensión superficial $\sigma$ añade una fuerza proporcional a la longitud de la línea donde la superficie del agua se encuentra con el cuerpo, mientras que el peso y el empuje crecen con el volumen. Ambos son comparables para objetos de un tamaño parecido a la longitud capilar, $\sqrt{\sigma /(\rho g)}\approx 2,7\mathrm{mm}$ para el agua, y por eso los insectos y una aguja de acero seca pueden posarse sobre la superficie.

Un cuerpo que se acelera también tiene que acelerar parte del fluido que lo rodea. Para una esfera, esta masa añadida es $\frac{1}{2}{\rho }_{f}V$, así que una burbuja soltada desde el reposo, cuya masa propia es despreciable, arranca hacia arriba con unos ${\rho }_{f}Vg/(\frac{1}{2}{\rho }_{f}V)=2g$, y no con la enorme aceleración que sugiere su diminuta masa. La masa añadida y las ondas que emite un bloque real hacen que suba y baje más despacio, y que se detenga antes, de lo que predice el modelo del muelle.

Por último, el empuje es un efecto de medio continuo, y para partículas muy pequeñas la agitación térmica compite con él. Unos granos de 10 nm de diámetro y el doble de densos que el agua se reparten por la agitación térmica en unos 0,8 m de altura, la altura a la que subir un grano contra su peso menos el empuje cuesta la energía térmica típica $k_{B}T$; por eso apenas sedimentan.

Lo que viene después

El empuje reaparece siempre que hay diferencias de densidad. En Fuerza de arrastre y velocidad terminal, una esfera pequeña que se hunde lentamente en un líquido alcanza una velocidad terminal proporcional a la diferencia de densidades ${\rho }_s-{\rho }_f$, porque el empuje se resta del peso. El fluido caliente que sube y el frío que baja forman la convección, que se trata en Conducción, convección y radiación. Los fluidos en movimiento, en los que la presión ya no depende solo de la profundidad, se estudian en Principio de Bernoulli. El bloque que sube y baja, con $Q\approx 3,8$, es un caso de Amortiguamiento y resonancia, y el globo que se inclina hacia delante en un coche que acelera muestra que la gravedad y la aceleración no pueden distinguirse, el punto de partida de La gravedad como curvatura del espacio-tiempo.