Ecuación de Schrödinger y efecto túnel

Principiante

Paso 1: la energía pone un límite. Al subir una colina, una pelota cambia velocidad por altura. Sin energía suficiente para llegar a la cima, se detiene a medio camino y vuelve a bajar, siempre: la energía no sale de la nada.

Paso 2: las cosas diminutas se comportan como ondas. La luz unas veces actúa como una onda y otras como partículas (fotones), y los electrones también. Un electrón se describe con una onda, $\psi$ (la letra griega psi). Donde la onda es grande, es probable hallarlo; donde es plana, casi nunca. En la animación, la línea azul es su onda y la zona sombreada muestra dónde está probablemente.

Paso 3: una onda puede atravesar un muro delgado. La línea dorada es la energía del electrón y el muro gris es más alto: una pelota siempre volvería. Observa: casi toda la onda rebota, pero tras el muro aparece una onda menor que sigue avanzando. Cada electrón se detecta entero en un solo lado; aquí pasa uno de cada cinco, más o menos. Es el efecto túnel. La luz atrapada en un vidrio por reflexión total puede cruzar así una finísima capa de aire hasta un segundo bloque.

Compruébalo: el muro se vuelve el doble de grueso. ¿Pasan más electrones o menos? Respuesta: muchos menos; la onda se apaga rápido dentro del muro. Un muro más bajo, en cambio, deja pasar más.

Paso 4: una onda atrapada solo tiene ciertas energías. En la caja de la derecha, la onda debe caber entre las paredes como una cuerda de guitarra, así que solo vale un número entero de medias ondas, y cada forma tiene su energía. Los electrones de los átomos también están atrapados: de ahí sus niveles de energía.

Gracias al efecto túnel se fusionan los núcleos en el Sol y la memoria flash guarda las fotos.

Intermedio

La función de onda y sus probabilidades

En mecánica cuántica un electrón no tiene una trayectoria definida. Su estado es una función de onda $\psi (x)$, una onda que nunca se ve directamente: un detector encuentra el electrón entero en un solo lugar, y la función de onda solo dice lo probable que es cada lugar.

Según la regla de Born, $|\psi {|}^2$ es una probabilidad por metro, y la probabilidad de encontrar la partícula entre dos puntos es el área bajo ella:
$P=\int |\psi {|}^{2}dx$

En la animación, $|\psi {|}^2$ es el sombreado morado y la línea azul es la parte real de la onda, $\mathrm{Re}\psi$. Las lecturas $P(\text{izquierda})$, $P(\text{barrera})$ y $P(\text{derecha})$ son las áreas del sombreado en tres regiones, y sobre toda la recta suman 1.

La ecuación de Schrödinger en un diagrama de energía

Para una partícula de energía definida $E$, la función de onda cumple la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:
$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi }{d{x}^2}+V(x)\psi =E\psi$
Aquí $m$ es la masa, $V(x)$ la energía potencial y $\hslash =h/2\pi$ la constante de Planck reducida. Léela como un balance de energía: la energía cinética más la potencial es igual a $E$, y la parte cinética depende de lo bruscamente que se curva $\psi$.

La animación es un diagrama de energía: la posición va en horizontal y la energía en vertical. La barrera gris es $V(x)$, nula a ambos lados y $V_0$ en su interior, y la línea dorada es $E$, con la onda dibujada en torno a ella. Donde $E>V$, la onda oscila con la longitud de onda de De Broglie
$\lambda =\frac{h}{p},p=\sqrt{2m(E-V)}$
igual que la onda azul a ambos lados de la barrera.

Donde $E<V$ una partícula clásica nunca podría estar, porque su energía cinética sería negativa. La ecuación sigue teniendo soluciones allí, pero son exponenciales, no ondas, y la que decae se va apagando poco a poco dentro del muro.

Dentro de la barrera: decaimiento y transmisión

Dentro de una barrera gruesa de altura $V_0$, la onda decae como $e^{-\kappa x}$, con la constante de decaimiento
$\kappa =\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hslash }$
A lo largo de la longitud de decaimiento $1/\kappa$, la amplitud se reduce en un factor $e\approx 2,72$. Un déficit $V_0-E$ mayor o una partícula más pesada hacen mayor $\kappa$ y el decaimiento más rápido.

Una barrera delgada deja algo de onda al otro lado, con la misma longitud de onda pero menor amplitud. La fracción de electrones que pasa es la probabilidad de transmisión $T$, la que vuelve es $R$, y $R+T=1$. Para una barrera de anchura $a$ mucho mayor que $1/\kappa$,
$T\approx 16\left(\frac{E}{V_0}\right)\left(1-\frac{E}{V_0}\right)e^{-2\kappa a}$
La amplitud se multiplica por $e^{-\kappa a}$ y la probabilidad por su cuadrado; el factor que acompaña a la exponencial, que nunca pasa de 4, solo depende de $E/V_0$.

La anchura está en un exponente, así que el efecto túnel es extremadamente sensible a ella: cada $1/(2\kappa )$ de grosor adicional divide $T$ entre $e$. Con barreras de unos pocos electronvoltios de altura, solo dejan pasar muchos electrones las capas de, como máximo, unos pocos nanómetros de grosor.

Ejemplo resuelto: la barrera de la animación

El electrón tiene $E=3\mathrm{eV}$ y se encuentra con una barrera de $V_0=4\mathrm{eV}$ de altura y $a=0,25\mathrm{nm}$ de anchura, los valores escritos en la escena. La cima de la barrera está 1 eV, es decir, $1,60\times 10^{-19}\mathrm{J}$, por encima de la energía, así que
$\kappa =\frac{\sqrt{2\cdot 9,11\times 10^{-31}\cdot 1,60\times 10^{-19}}}{1,055\times 10^{-34}}\approx 5,12\times 10^9{\mathrm{m}}^{-1}=5,12\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$
y la longitud de decaimiento $1/\kappa =0,195\mathrm{nm}$ es algo menor que la barrera.

Entonces $2\kappa a=2\cdot 5,12\cdot 0,25=2,56$ y $e^{-2,56}\approx 0,077$. El factor previo es $16\cdot 0,75\cdot 0,25=3$, así que
$T\approx 3\cdot 0,077\approx 0,23$
La fórmula exacta del nivel experto da 0,214, y el paquete en movimiento, que contiene una pequeña dispersión de energías, 0,218. Ahí se estabilizan las lecturas: $P(\text{derecha})=0,22$ y $P(\text{izquierda})=0,78$.

Fuera de la barrera, $\lambda =h/\sqrt{2mE}=0,708\mathrm{nm}$, y la onda transmitida tiene la misma longitud de onda pero solo unos $\sqrt{0,22}\approx 0,47$ de la amplitud incidente. Delante de la barrera, las ondas incidente y reflejada se superponen en franjas altas separadas $\lambda /2=0,354\mathrm{nm}$. Hacia los 4 s, las lecturas marcan 0,80 a la izquierda, 0,10 en la barrera y 0,10 a la derecha: durante un instante, una décima parte de la probabilidad está dentro del muro.

Ejemplo resuelto: un microscopio de efecto túnel

Una punta metálica afilada se mantiene a una fracción de nanómetro sobre una superficie conductora. Para los electrones próximos al nivel ocupado más alto, el hueco es una barrera cuya cima queda aproximadamente una función de trabajo por encima de ellos, aquí $V_0-E=4,5\mathrm{eV}$, y la corriente es proporcional a la transmisión, $I\propto e^{-2\kappa d}$, con $d$ la anchura del hueco. ¿En qué factor cambia cuando la punta se acerca 0,1 nm?

Como $\kappa$ crece con la raíz cuadrada del déficit, $\kappa =5,12\cdot \sqrt{4,5}\approx 10,9\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$, y el factor previo se cancela en un cociente: $I_2/I_1=e^{2\kappa \Delta d}=e^{2\cdot 10,9\cdot 0,1}=e^{2,17}\approx 8,8$. Con el valor más redondo $\kappa \approx 10\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$ queda $e^2\approx 7$: un desplazamiento de menos de la mitad del diámetro de un átomo multiplica la corriente varias veces.

Un bulto de solo 0,01 nm de altura cambia la corriente en un factor $e^{0,217}\approx 1,24$, es decir, la aumenta un 24 %, mientras que un escalón atómico de 0,2 nm la cambia unas 77 veces. Un lazo de realimentación mueve la punta para mantener constante la corriente mientras recorre la superficie, y la altura de la punta dibuja entonces la superficie átomo a átomo.

Ondas atrapadas: niveles de energía en una caja

Atrapemos ahora el electrón en una caja de anchura $L$, con $V=0$ en su interior y unas paredes que no puede atravesar. La función de onda debe anularse en las dos paredes, como una cuerda de guitarra sujeta por ambos extremos, así que solo caben números enteros de medias longitudes de onda, $L=n\lambda /2$. Entonces $p=h/\lambda =nh/(2L)$, y la energía cinética $p^2/2m$ da las energías permitidas
$E_n=\frac{n^2{h}^2}{8m{L}^2}$
con $n=1,2,3,\dots$ contando las medias ondas; $n=0$ significaría que no hay onda en absoluto, así que la energía más baja nunca es cero.

Los niveles crecen como $n^2$, en la proporción 1 : 4 : 9, como en la caja de la animación, marcados como $E_1$, $4E_1$ y $9E_1$. Cada onda estacionaria conserva un sombreado fijo $|{\psi }_n{|}^2$: un estado de energía definida es estacionario. Para $L=1\mathrm{nm}$, $E_1=(6,626\times 10^{-34}{)}^2/(8\cdot 9,11\times 10^{-31}\cdot 10^{-18})\approx 6,0\times 10^{-20}\mathrm{J}=0,38\mathrm{eV}$, así que $E_2=1,50\mathrm{eV}$ y $E_3=3,38\mathrm{eV}$. Un salto de $n=3$ a $n=2$ libera $5E_1=1,88\mathrm{eV}$, un fotón rojo de unos 660 nm. Una caja más pequeña separa más los niveles, como $1/L^2$.

Errores frecuentes

• El electrón no pierde energía en la barrera. Más allá de ella, la longitud de onda sigue siendo 0,708 nm, así que un electrón de 3 eV sale con 3 eV; solo la amplitud es menor.
• El electrón no se divide. $P(\text{derecha})=0,22$ significa que unos 22 de cada 100 electrones se encuentran al otro lado de la barrera, cada uno entero.
• La transmisión no es inversamente proporcional a la anchura: de 0,25 nm a 0,5 nm, $T$ baja de 0,214 a 0,018, unas doce veces, porque duplicar la anchura eleva al cuadrado el factor exponencial.
• La masa importa tanto como la energía. Un protón con los mismos 3 eV ante la misma barrera tiene un $\kappa$ mayor en un factor $\sqrt{1836}\approx 43$, así que $2\kappa a\approx 110$ y $T\approx 6\times 10^{-48}$.

Dónde aparece

La memoria flash guarda cada bit como carga en una puerta aislada; para escribirlo y borrarlo se hacen pasar electrones por una capa aislante de unos pocos nanómetros de grosor. Los diodos túnel, los microscopios de efecto túnel y el escape de partículas alfa de los núcleos siguen la regla de esta lección, y en el núcleo del Sol los protones se fusionan solo gracias al efecto túnel.

Las mismas reglas ondulatorias gobiernan la luz en Reflexión y refracción, donde un haz totalmente reflejado puede cruzar un hueco delgado. Los núcleos atraviesan barreras por efecto túnel en Radiactividad y semivida y en Fisión, fusión y E = mc²; Semiconductores, diodos y LED construye bandas de energía a partir de ondas de electrones; y Modelos atómicos: el átomo de Bohr tiene parientes de los niveles de la caja.

Avanzado

Una frecuencia, muchas longitudes de onda

El efecto túnel es un fenómeno ondulatorio, así que empezamos por la onda de una partícula de energía definida y nos preguntamos cómo cambia cuando la energía potencial varía a lo largo de su trayectoria. Dos reglas resuelven casi todo lo que sigue: la frecuencia es la misma en todas partes, y la longitud de onda se ajusta a la energía cinética local. Donde la energía cinética sería negativa, la onda no se detiene en seco: se desvanece.

Leyenda

$E$	Energía del estado: un único valor para toda la onda.	$\mathrm{J}$
$V(x)$	Energía potencial en la posición $x$, en gris: $0$, $\frac{3}{4}E$ y $\frac{5}{4}E$.	$\mathrm{J}$
$\psi$	Función de onda: su parte real en un instante.	${\mathrm{m}}^{-1/2}$
$x$	Posición a lo largo de la línea de movimiento.	$\mathrm{m}$
${\lambda }_1$	Longitud de onda en el nivel más bajo, donde $E-V$ es mayor.	$\mathrm{m}$
${\lambda }_2$	Longitud de onda en el nivel intermedio, donde $E-V$ es cuatro veces menor: ${\lambda }_2=2{\lambda }_1$.	$\mathrm{m}$
${\kappa }^{-1}$	Longitud de decaimiento donde $V>E$: a lo largo de ella, $\psi$ cae a $1/e$ de su valor en el borde.	$\mathrm{m}$

La figura 1 muestra un estado de energía $E$ (la línea morada) que cruza tres niveles planos de la energía potencial $V(x)$ (en gris). Debajo, la curva azul es la función de onda $\psi$ en un instante. En el nivel más bajo, $V=0$ y la onda oscila con longitud de onda ${\lambda }_1$. En el nivel intermedio, $V=\frac{3}{4}E$, así que la energía cinética $E-V$ es solo la cuarta parte de la anterior: la onda se estira hasta ${\lambda }_2=2{\lambda }_1$ y sus crestas son más altas. En el nivel más alto, $V=\frac{5}{4}E$ queda por encima de $E$. Allí la onda deja de oscilar y se apaga: cae a $1/e$ de su valor en el borde a lo largo de la corta longitud ${\kappa }^{-1}$ marcada a la derecha. Fíjate también en los dos escalones: la curva es continua en ellos y no presenta ningún quiebre.

Por qué la frecuencia es común. Cuando $V$ no depende del tiempo, un estado de energía definida tiene la forma $\psi (x)e^{-i\omega t}$: una forma fija en el espacio multiplicada por un único factor oscilante, con la misma frecuencia angular $\omega =E/\hslash$ en todo $x$. Nada en el potencial cambia con el tiempo, así que nada puede hacer que una parte de la onda oscile más deprisa que otra. La luz que entra en el vidrio se comporta del mismo modo: conserva su frecuencia y solo cambia su longitud de onda. Una sola frecuencia para toda la onda significa una sola energía para todo el movimiento. Es la conservación de la energía, en el lenguaje de las ondas.

Por qué cambia la longitud de onda. La energía fija se reparte de forma distinta entre cinética y potencial de un lugar a otro. Al escribir $\hslash \omega =p^2/2m+V(x)$ y despejar el momento se obtiene el momento local $p(x)=\sqrt{2m(E-V(x))}$ y, con él, la longitud de onda local $h/p(x)$. Donde $V$ baja, $p$ es mayor y las ondas se juntan; donde $V$ sube, se estiran. En el nivel intermedio de la figura 1 la energía cinética es cuatro veces menor, así que $p$ se reduce a la mitad y la longitud de onda se duplica, de ${\lambda }_1$ a ${\lambda }_2$. Las crestas son allí más altas porque una partícula más lenta pasa más tiempo en cada tramo de su camino y, por tanto, es más probable encontrarla allí.

Qué ocurre donde $V>E$. Una partícula clásica nunca puede estar allí, porque su energía cinética $E-V$ sería negativa: es la región clásicamente prohibida. En la fórmula, la raíz cuadrada de un número negativo es imaginaria, $p=i\hslash \kappa$, con la constante de decaimiento real
$\kappa =\frac{\sqrt{2m(V-E)}}{\hslash }$
Llevada a la onda plana $e^{ipx/\hslash }$, la convierte en la exponencial real $e^{-\kappa x}$. La ecuación admite también la solución creciente $e^{+\kappa x}$, pero en una región prohibida que continúa sin fin haría crecer $\psi$ sin límite, así que se descarta. La amplitud, por tanto, sí entra en la región prohibida, pero allí decae, en un factor $e$ por cada longitud $1/\kappa$. En la figura 1, $V-E$ en el nivel superior es igual a $E-V$ en el intermedio, de modo que $\kappa$ es igual al número de onda del nivel intermedio, $2\pi /{\lambda }_2$, y la longitud de decaimiento es ${\kappa }^{-1}={\lambda }_2/2\pi$: la onda desaparece en aproximadamente un sexto de longitud de onda.

La luz se desvanece del mismo modo, y el efecto puede verse sobre una mesa de laboratorio. Un rayo viaja en un vidrio de índice de refracción $n$, con un ángulo $\theta$ respecto a la normal de una superficie tras la cual hay aire. El patrón de la onda a lo largo de la superficie debe coincidir a ambos lados, así que la componente del vector de onda a lo largo de la superficie, $k_y=n\omega \sin \theta /c$, es la misma en el aire. Pero en el aire el vector de onda completo mide solo $\omega /c$. Más allá del ángulo crítico, donde $n\sin \theta >1$, la componente a lo largo de la superficie ya es por sí sola mayor que eso, de modo que el cuadrado de la componente a través del hueco es negativo:
$k_x^2=(\omega /c{)}^2-k_y^2=(\omega /c{)}^2(1-n^2{\sin }^2\theta )$
Entonces $k_x=i\kappa$ es imaginario y el campo en el aire decae como $e^{-\kappa x}$. Para $n=1,5$ a 60°, $\kappa {\lambda }_0=2\pi \sqrt{n^2{\sin }^2\theta -1}\approx 5,2$, donde ${\lambda }_0$ es la longitud de onda en el vacío. La luz verde de 550 nm decae, por tanto, a lo largo de unos 0,1 µm. Acerca un segundo bloque de vidrio a esa distancia y parte de la luz cruzará el hueco hacia él. Es la reflexión total frustrada: la penetración de una barrera por fotones.

Empalme en los bordes: la transmisión exacta

Hagamos ahora finita la región prohibida: una barrera con terreno permitido a ambos lados. La onda que decae llega al otro lado con una amplitud reducida pero no nula, y allí vuelve a poner en marcha una onda viajera. Para saber cuánto pasa, se resuelve la ecuación de ondas en cada región y se empalman las piezas en los bordes.

Leyenda

$V_0$	Altura de la barrera.	$\mathrm{J}$
$E$	Energía de la onda, por debajo de la cima de la barrera.	$\mathrm{J}$
$a$	Anchura de la barrera.	$\mathrm{m}$
$\psi$	Función de onda: su parte real en un instante.	${\mathrm{m}}^{-1/2}$
$x$	Posición a lo largo de la línea de movimiento.	$\mathrm{m}$
$r$	Amplitud de la onda reflejada, para una onda incidente de amplitud 1.
$t$	Amplitud de la onda transmitida detrás de la barrera, en la misma escala.

La figura 2 muestra una onda de amplitud unidad que llega por la izquierda a una barrera de altura $V_0$ y anchura $a$. Está dibujada para $E=\frac{3}{4}{V}_0$ y $\kappa a=1,6$, una barrera algo más fina que media longitud de onda. Delante de la barrera, la onda incidente (flecha 1) y la reflejada (flecha $r$) se superponen y forman una onda casi estacionaria. Dentro, la curva se aleja del eje y se hunde. Detrás de la barrera, una sola onda de amplitud $t$ sigue hacia la derecha, y de allí no vuelve nada. Las longitudes de las flechas son las amplitudes: aquí $|r|=0,94$ y $|t|=0,34$. Los dos puntos marcan los bordes, donde $\psi$ y su pendiente ${\psi }^{\prime }$ deben tener los mismos valores a ambos lados.

¿Por qué deben coincidir? Reordenemos la ecuación de Schrödinger como una afirmación sobre la curvatura:
$\frac{d^2\psi }{d{x}^2}=\frac{2m}{{\hslash }^2}(V-E)\psi$
Donde $V<E$, la curvatura tiene signo opuesto al de $\psi$, así que la curva siempre se dobla hacia el eje y oscila. Donde $V>E$, tiene el mismo signo, así que la curva se aleja del eje, como $e^{\pm \kappa x}$. En un borde, $V$ da un salto finito, de modo que la curvatura también salta, pero sigue siendo finita. Una curvatura finita que actúa sobre una distancia que tiende a cero no puede cambiar la pendiente, así que ${\psi }^{\prime }$ es continua; y una curva de pendiente finita no puede dar un salto, así que $\psi$ también es continua. Por eso la curva de la figura 2 pasa por los puntos sin ningún quiebre.

Pasemos al cálculo. Situemos la barrera en $0<x<a$, con $V=0$ fuera de ella. Fuera, el número de onda es $k=\sqrt{2mE}/\hslash$; dentro, la constante de decaimiento es $\kappa =\sqrt{2m(V_0-E)}/\hslash$. A la izquierda, $\psi =e^{ikx}+r{e}^{-ikx}$: la onda incidente de amplitud unidad más la reflejada. Dentro, $\psi =C{e}^{\kappa x}+D{e}^{-\kappa x}$; esta vez el término creciente está permitido, porque la barrera termina antes de que pueda crecer sin límite. A la derecha, solo $\psi =t{e}^{ikx}$, porque por ese lado no llega nada.

Eso deja cuatro incógnitas, $r$, $C$, $D$ y $t$, y los bordes aportan cuatro condiciones: $\psi$ y ${\psi }^{\prime }$ continuas en $x=0$ y en $x=a$. Son cuatro ecuaciones lineales, y al eliminar $C$ y $D$ queda
$t=\frac{e^{-ika}}{\cosh \kappa a+i\frac{{\kappa }^2-k^2}{2k\kappa }\sinh \kappa a}$
La probabilidad de transmisión es su módulo al cuadrado, es decir, uno dividido por el módulo al cuadrado del denominador:
$|t{|}^2={\left[{\cosh }^2\kappa a+{\left(\frac{{\kappa }^2-k^2}{2k\kappa }\right)}^2{\sinh }^2\kappa a\right]}^{-1}$
Sustituyamos ${\cosh }^2$ por $1+{\sinh }^2$. Los dos términos con ${\sinh }^2$ se combinan entonces, con el coeficiente $1+({\kappa }^2-k^2{)}^2/(2k\kappa {)}^2=({\kappa }^2+k^2{)}^2/(2k\kappa {)}^2$. Como ${\kappa }^2+k^2=2m{V}_0/{\hslash }^2$, este coeficiente es $V_0^2/(4E(V_0-E))$, y
$T={\left[1+\frac{V_0^2{\sinh }^2(\kappa a)}{4E(V_0-E)}\right]}^{-1}$

¿Por qué $|t{|}^2$ es la fracción que pasa? La corriente de probabilidad $j=(\hslash /m)\mathrm{Im}({\psi }^{\ast }{\psi }^{\prime })$ mide cuánta probabilidad fluye por un punto cada segundo. En un estado estacionario la probabilidad no se acumula en ningún sitio, así que $j$ es la misma en todo $x$. A la izquierda vale $(\hslash k/m)(1-|r{|}^2)$, el flujo incidente menos el reflejado; a la derecha vale $(\hslash k/m)|t{|}^2$. Igualándolas se obtiene $|r{|}^2+|t{|}^2=1$: toda partícula se refleja o se transmite. La velocidad $\hslash k/m$ es la misma a ambos lados, así que $T=|t{|}^2$ es la fracción transmitida. En la figura 2 las flechas dan $|r{|}^2=0,88$ y $|t{|}^2=0,12$, que suman 1, y el 12 % que pasa es $T$. La fórmula concuerda: con $E=\frac{3}{4}{V}_0$ el factor $V_0^2/(4E(V_0-E))$ vale $4/3$, $\sinh 1,6=2,38$ y $T=1/(1+\frac{4}{3}\cdot 5,65)=0,12$.

Para una barrera gruesa, $\kappa a\gg 1$, valen dos simplificaciones. Primera: $\sinh \kappa a=\frac{1}{2}(e^{\kappa a}-e^{-\kappa a})\approx \frac{1}{2}{e}^{\kappa a}$, porque la segunda exponencial es minúscula. Segunda: el término con ${\sinh }^2$ es entonces enorme, así que el 1 del corchete es despreciable y el corchete puede invertirse directamente:
$T\approx 16\left(\frac{E}{V_0}\right)\left(1-\frac{E}{V_0}\right)e^{-2\kappa a}$
El factor previo nunca supera 4, su valor para $E=\frac{1}{2}{V}_0$, así que decide la exponencial: cada longitud de decaimiento $1/\kappa$ más de anchura divide $T$ por $e^2\approx 7,4$.

Cómo cae la transmisión con la anchura

La fórmula exacta es difícil de leer de un vistazo. Una gráfica de $T$ frente a la anchura muestra sus dos regímenes: un comienzo suave para las barreras finas y una exponencial pura para las gruesas.

Leyenda

$\ln T$	Logaritmo natural de la probabilidad de transmisión; 0 significa $T=1$.
$a$	Anchura de la barrera.	$\mathrm{m}$
$T$	Probabilidad de transmisión exacta para una barrera de anchura $a$.
$e^{-2\kappa a}$	Ley de la barrera gruesa, aquí $T\approx 3e^{-2\kappa a}$: la recta discontinua.
$\kappa a$	Anchura en longitudes de decaimiento $1/\kappa$; la marca discontinua en $\kappa a=2$ es donde la recta toma el relevo.
$a_0$	Anchura de la barrera de la animación, 0,25 nm.	$\mathrm{m}$
$\Delta a$	Un paso en la anchura de la barrera.	$\mathrm{m}$
$\Delta (\ln T)$	Cambio de $\ln T$ en ese paso, $-2\kappa \Delta a$: $T$ se multiplica por $e^{-2\kappa \Delta a}$.

La figura 3 representa el $T(a)$ exacto para $E=3\mathrm{eV}$ y $V_0=4\mathrm{eV}$, hasta $a=0,6\mathrm{nm}$; el nivel Avanzado de la animación traza la misma curva. Aquí está dibujada en escala logarítmica, como $\ln T$ frente a $a$, porque en esa escala una exponencial es una recta. Para un electrón con $V_0-E=1\mathrm{eV}$, $\kappa =5,12\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$, así que una longitud de decaimiento es de unos 0,2 nm.

Sigue la curva continua $T$ desde la izquierda. Empieza en $T=1$, es decir, $\ln T=0$, porque sin barrera no hay reflexión. Se separa de ese nivel con suavidad: para $a$ pequeño, $\sinh \kappa a\approx \kappa a$, de modo que $T\approx [1+1,33(\kappa a{)}^2{]}^{-1}$, donde $1,33=V_0^2/(4E(V_0-E))$. Los valores exactos aún son 0,92 en 0,05 nm y 0,72 en 0,1 nm. Más allá de la marca discontinua en $\kappa a=2$, la curva es prácticamente una recta. El triángulo permite leer su pendiente: un paso $\Delta a$ reduce $\ln T$ en $\Delta (\ln T)=-2\kappa \Delta a$, así que cada 0,1 nm más multiplica $T$ por $e^{-1,02}\approx 0,36$. El círculo marca la barrera de la animación, $a_0=0,25\mathrm{nm}$, donde $T=0,214$.

La línea discontinua es la ley de la barrera gruesa. Para estas energías, $16(E/V_0)(1-E/V_0)=16\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}=3$, así que $T\approx 3e^{-2\kappa a}$: una recta que parte de $\ln 3\approx 1,1$ y a la que se une la curva exacta. Para barreras finas la ley es mala. En $a=0$ da 3, más de lo que puede valer cualquier probabilidad, y en 0,25 nm da 0,232, un 8 % de más. A partir de 0,4 nm coincide con el valor exacto con un error inferior al 2 %.

La animación envía un paquete de ondas, no una onda de una sola energía: sus energías se dispersan en 0,34 eV en torno a 3 eV. Como $T$ crece con rapidez con $E$ (una energía mayor significa un $\kappa$ menor), las componentes más rápidas pasan con más facilidad. La transmisión del paquete, 0,218, es por tanto algo mayor que los 0,214 de una onda de 3 eV, y los electrones transmitidos tienen una energía media de 3,08 eV, frente a los 2,99 eV de los reflejados.

¿Y si la energía supera la de la barrera, $E>V_0$? Clásicamente pasarían todas las partículas. En la fórmula, $V_0-E$ es ahora negativo y $\kappa$ pasa a ser imaginario: $\kappa =iq$, donde $q=\sqrt{2m(E-V_0)}/\hslash$ es el número de onda real sobre la barrera. Entonces $\sinh \kappa a$ se convierte en $i\sin qa$, y tanto ${\sinh }^2\kappa a$ como $V_0-E$ cambian de signo, de modo que
$T={\left[1+\frac{V_0^2{\sin }^2(qa)}{4E(E-V_0)}\right]}^{-1}$
Ahora $T$ oscila con la anchura en lugar de caer. Solo alcanza 1 en las resonancias $qa=n\pi$, donde la barrera contiene un número entero de medias longitudes de onda y las ondas reflejadas en sus dos bordes se anulan. Con cualquier otra anchura se refleja parte de la onda, aunque la partícula tenga energía de sobra. Para un electrón de 3 eV sobre una barrera de 2 eV de altura, $q=5,12\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$: al crecer la anchura, $T$ baja hasta 0,75 y vuelve a 1 en $a=0,61\mathrm{nm}$, 1,23 nm y así sucesivamente.

Barreras suaves y desintegración alfa

Las barreras reales rara vez son rectangulares: su altura cambia poco a poco a lo largo del camino. La ley de la barrera gruesa se extiende a ellas lámina a lámina, y su uso más conocido explica por qué algunos núcleos viven miles de millones de años y otros menos de un microsegundo.

Leyenda

$V(r)$	Energía potencial de la partícula alfa a la distancia $r$ del centro: un pozo dentro del núcleo, repulsión eléctrica fuera.	$\mathrm{J}$
$Q$	Energía liberada en la desintegración: la energía de la partícula alfa, la $E$ de las fórmulas.	$\mathrm{J}$
$\alpha$	La partícula alfa, atrapada en el pozo.
$r$	Distancia al centro del núcleo.	$\mathrm{m}$
$r_1$	Superficie del núcleo, donde empieza la barrera.	$\mathrm{m}$
$r_2$	Punto de retorno exterior, donde otra vez $V=Q$ y termina la barrera.	$\mathrm{m}$
$\kappa (r)$	Constante de decaimiento $\sqrt{2m(V-Q)}/\hslash$ a la distancia $r$; cae a cero en $r_2$.	${\mathrm{m}}^{-1}$
$dr$	Anchura de una lámina fina de la barrera; la lámina multiplica la amplitud por $e^{-\kappa dr}$.	$\mathrm{m}$
$\int \kappa dr$	Área bajo $\kappa (r)$ de $r_1$ a $r_2$: el exponente en $T\approx e^{-2\int \kappa dr}$.

La figura 4 muestra la barrera que retiene a una partícula alfa dentro de un núcleo de uranio-238. La coordenada a lo largo del movimiento es ahora la distancia $r$ al centro, que hace el papel de $x$. El panel superior muestra la energía potencial $V(r)$ y la energía $Q$ liberada en la desintegración, que hace de $E$. Dentro de la superficie nuclear $r_1$, la fuerza fuerte crea un pozo profundo (solo esbozado), y la partícula alfa $\alpha$ está atrapada en él. Justo fuera de $r_1$, la repulsión eléctrica sitúa $V$ muy por encima de $Q$. Decae como $1/r$ y vuelve a encontrarse con $Q$ en el punto de retorno exterior $r_2$, donde termina la barrera. El panel inferior representa la constante de decaimiento $\kappa (r)=\sqrt{2m(V(r)-Q)}/\hslash$ en el mismo intervalo: es máxima en $r_1$ y cae a cero en $r_2$.

Para tratar una barrera de altura variable, se corta en láminas finas de anchura $dr$, como la franja dorada. Si $\kappa$ cambia poco a lo largo de una longitud de decaimiento, es decir, si $|d\kappa /dr|\ll {\kappa }^2$, cada lámina se comporta como un trozo fino de barrera uniforme y multiplica la amplitud por $e^{-\kappa dr}$. Al multiplicar los factores de todas las láminas se suman sus exponentes, así que la amplitud queda multiplicada por $e^{-\int \kappa dr}$, donde $\int \kappa dr$ es el área sombreada bajo la curva. La probabilidad es el cuadrado de la amplitud, lo que duplica el exponente:
$T\approx \exp \left(-2{\int }_{r_1}^{r_2}\kappa (r)dr\right)$
Es la estimación WKB, llamada así por Wentzel, Kramers y Brillouin. Deja de lado un factor previo del orden de 1, como el 3 de la barrera rectangular, porque decide el exponente. Para una barrera rectangular el área es simplemente $\kappa a$, y la estimación devuelve $e^{-2\kappa a}$.

George Gamow usó esto en 1928 para explicar la desintegración alfa. Más allá del alcance de la fuerza nuclear fuerte, el núcleo hijo, de carga $Ze$, repele a la partícula alfa, de carga $2e$, con
$V=\frac{2Z{e}^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$
la curva de la figura 4. Para el uranio-238 el núcleo hijo es el torio, $Z=90$. La barrera alcanza su máximo cerca de 28 MeV en la superficie nuclear, a unos 9 fm del centro, mientras que la energía liberada es solo $Q=4,27\mathrm{MeV}$. Por tanto, la partícula alfa debe atravesar la barrera por efecto túnel hasta donde $V$ ha caído a $Q$, a unos 61 fm del centro. La integral da $2\int \kappa dr\approx 88$, de modo que $T\approx e^{-88}\approx 6\times 10^{-39}$.

Para convertir esto en un tiempo de vida se usa la misma idea que en el problema resuelto de más abajo. Dentro del núcleo, la partícula alfa choca contra la pared unas $10^{21}$ veces por segundo, con la probabilidad $T$ de escapar en cada choque. La tasa de escape es de unas $10^{21}\cdot 6\times 10^{-39}=6\times 10^{-18}$ por segundo, así que escapa al cabo de unos $10^{17}$ s: unos pocos miles de millones de años. Es el orden correcto para la semivida medida de 4500 millones de años, un verdadero éxito para una estimación cuyo exponente vale 88.

El exponente depende abruptamente de la energía. El polonio-212 libera 8,95 MeV. Su punto de retorno exterior se acerca a 26 fm, la barrera se vuelve más fina y más baja, el exponente baja a unos 33 y la semivida es de solo 0,3 µs. Una caída de 55 en el exponente es un factor $e^{55}\approx 10^{24}$: duplicar aproximadamente la energía, de 4,3 a 9 MeV, acorta la semivida unas $10^{24}$ veces. Esta tendencia abrupta ya había sido medida, como la regla empírica de Geiger–Nuttall; el efecto túnel la explica.

Estados ligados y energía del punto cero

Las mismas condiciones de empalme hacen algo más que contar las partículas transmitidas. Aplicadas a una partícula atrapada entre paredes, producen sus niveles de energía.

Empecemos con una caja de paredes infinitamente altas. Entonces $\kappa$ es infinito en las paredes, la onda no puede entrar en ellas en absoluto y $\psi$ debe anularse en $x=0$ y en $x=L$. Dentro, donde $V=0$, las soluciones son $\sin kx$ y $\cos kx$. La condición en $x=0$ deja solo $\sin kx$, y la de $x=L$ exige $kL=n\pi$, con $n$ un entero positivo: en la caja debe caber un número entero de medias ondas. Queda
${\psi }_n=\sqrt{2/L}\sin (n\pi x/L)$
donde el factor $\sqrt{2/L}$ hace que la probabilidad total sea 1. La energía es la energía cinética ${\hslash }^2{k}_n^2/2m$ con $k_n=n\pi /L$:
$E_n=\frac{n^2{h}^2}{8m{L}^2}$

En un pozo de profundidad finita las paredes no son perfectamente duras. Dentro, la solución oscila; fuera, debe decaer a ambos lados; y en cada pared las dos partes deben empalmar con el mismo valor y la misma pendiente. Para la mayoría de las energías, la onda interior llega a una pared con la pendiente equivocada, y la parte exterior tendría que crecer sin límite. Solo ciertas energías permiten que ambos empalmes funcionen a la vez: la cuantización es una condición de contorno, no un postulado adicional. Las colas dejan además que la onda se extienda un poco más allá de las paredes, como si la caja fuera algo más ancha, de modo que la longitud de onda es mayor y la energía menor. Para un pozo de 1 nm de anchura y 4 eV de profundidad, el nivel más bajo es 0,26 eV, y no los 0,38 eV de la caja infinita.

El nivel más bajo nunca es cero. Tomar $n=0$ daría $\psi =0$ en todas partes, que no es ninguna partícula. El principio de incertidumbre dice lo mismo. En el estado fundamental, la incertidumbre de la posición es $\Delta x=0,18L$, y el momento, de tamaño $\pi \hslash /L$ en un sentido o en el otro, tiene la incertidumbre $\Delta p=\pi \hslash /L$. Su producto es $\Delta x\Delta p\approx 0,57\hslash$, justo por encima del mínimo $\hslash /2$ que permite el principio. Confinar una partícula en una región de tamaño $L$ cuesta, por tanto, una energía cinética del orden de ${\hslash }^2/(m{L}^2)$, la energía del punto cero. Impide que los átomos colapsen: acercar un electrón al núcleo reduce su energía potencial, pero aumenta este coste cinético.

Problema resuelto: una trampa con fugas

Coloca dos de las barreras de la animación, cada una de 4 eV de altura y 0,25 nm de grosor, a una distancia $L=2\mathrm{nm}$ una de otra, con un electrón de unos 3 eV entre ellas. ¿Cuánto tiempo permanece atrapado el electrón y cómo depende ese tiempo del grosor de las paredes?

Trata el electrón como una partícula que rebota de un lado a otro a la velocidad $v=\sqrt{2E/m}=1,03\times 10^{6}m/s$, es decir, 1,03 nm por femtosegundo, con una probabilidad $T$ de escapar cada vez que choca con una pared. Entre dos choques cruza el hueco una vez, así que choca con una pared cada $L/v=1,95\mathrm{fs}$. La probabilidad de escapar por unidad de tiempo, la tasa de escape, es por tanto $\Gamma =Tv/L$. Una probabilidad constante por unidad de tiempo significa que el número de los que siguen dentro decae como $e^{-\Gamma t}$, con vida media $1/\Gamma$:
$\tau =\frac{L}{vT}=\frac{1,95\mathrm{fs}}{T}$
Con las paredes de 0,25 nm de la animación, $T=0,214$ y $\tau \approx 9\mathrm{fs}$. Con paredes de 1 nm de grosor, $T=1,06\times 10^{-4}$ y $\tau \approx 18\mathrm{ps}$. Con paredes de 2 nm, $T=3,8\times 10^{-9}$ y $\tau \approx 0,5\mu \mathrm{s}$.

Fíjate en el patrón. Según la ley de la barrera gruesa, cada nanómetro más de pared divide $T$, y por tanto multiplica la vida media, por $e^{2\kappa \cdot 1\mathrm{nm}}=e^{10,25}$, unas 28 000 veces: exactamente el salto de 18 ps a 0,5 µs. Un protón en la misma trampa saldría mucho peor parado. Su masa es 1836 veces mayor, así que con la misma energía se mueve 43 veces más despacio y se enfrenta a un $\kappa$ 43 veces mayor, ya que ambas magnitudes escalan como $\sqrt{m}$. Incluso con paredes de 0,25 nm, $T$ baja hasta unos $6\times 10^{-48}$ y $\tau$ crece hasta unos $10^{34}$ s, mucho más que la edad del Universo. La imagen del rebote es tosca para $T=0,214$, donde el electrón se va en pocos rebotes, y precisa cuando $T$ es pequeña, como en la desintegración alfa.

Límites de validez

Todo lo anterior es no relativista. Un electrón de 3 eV se mueve al 0,34 % de la velocidad de la luz y su energía es $6\times 10^{-6}$ de su energía en reposo, 511 keV, de modo que la ecuación de Schrödinger lo describe con excelente precisión. La barrera rectangular y la caja infinita son idealizaciones. En una unión túnel, por ejemplo, el electrón induce carga en el metal cercano y es atraído por ella, y esa atracción redondea y rebaja la barrera. Eso aumenta $T$, pero conserva la dependencia exponencial de la anchura.

El modelo es además unidimensional. En tres dimensiones solo cuenta el movimiento perpendicular a la barrera, así que un electrón que llega en ángulo, con menos energía en esa dirección, la atraviesa menos. Dentro de un sólido, el electrón responde a las fuerzas como si tuviera otra masa, su masa efectiva, que sustituye a $m$. En el arseniuro de galio es 0,067 veces la masa del electrón libre, lo que reduce $\kappa$ unas cuatro veces y permite que los electrones atraviesen por efecto túnel capas de unos pocos nanómetros en los diodos de efecto túnel resonante. Por último, se tomó el potencial como fijo y el electrón como único. En uniones muy pequeñas, la carga de un electrón cambia el potencial lo bastante como para bloquear al siguiente.

Lo que viene después

Dualidad onda-corpúsculo presentó la amplitud y sus probabilidades; esta lección le ha dado una ecuación. Radiactividad y semivida muestra la ley de decaimiento exponencial que produce una trampa con fugas, y Fisión, fusión y E = mc² el efecto túnel que permite que los núcleos se fusionen en las estrellas. Semiconductores, diodos y LED aplica las mismas condiciones de empalme a un potencial periódico, donde dan bandas de energía.

Reflexión y refracción trata la reflexión interna total, cuya forma frustrada es la gemela óptica del efecto túnel. Las órbitas de Modelos atómicos: el átomo de Bohr dan paso a la ecuación de Schrödinger tridimensional, cuya solución para el hidrógeno da los mismos niveles de $-13,6\mathrm{eV}/n^2$ y las formas de los orbitales, y Partículas y fuerzas: el modelo estándar vuelve relativista esa misma mecánica ondulatoria.